Operasi logik yang paling mudah

Operasi logik yang paling mudah tergolong dalam logik dua nilai. Terdapat 4 daripadanya: "TIDAK", "DAN", "ATAU", "XOR". Juga, simbol berbeza (“~”, “&”, dsb.) digunakan untuk menunjukkan operasi ini.

Apabila menulis formula logik, bukannya perkataan "benar" dan "salah", notasi antarabangsa standard biasanya digunakan:
Daripada "benar" mereka menulis: benar, T, t, 1.
Daripada "palsu" mereka menulis: palsu, F, f, 0.

"TIDAK"

Operasi "TIDAK" menukar benar kepada palsu dan palsu kepada benar:

TIDAK benar = palsu
BUKAN palsu = benar

Operasi ini mempunyai pelbagai nama lain: "BUKAN logik", "penolakan", "penolakan logik", "penyongsangan", "penyongsangan logik". Untuk sebutan antarabangsa, "TIDAK" ditulis dan bukannya "TIDAK".

Dalam bahasa semula jadi, operasi ini sepadan dengan menambah perkataan "tidak benar bahawa..." pada permulaan pernyataan. Contohnya:

Menggunakan operasi "TIDAK" pada pernyataan (1):

"Tidak benar bahawa Surkov berhutang dengan saya." (2)

Jika pernyataan (1) salah, maka pernyataan (2) adalah benar. Jika pernyataan (2) salah, maka pernyataan (1) adalah benar.

Tidak sukar untuk memahami bahawa penggunaan dua kali "TIDAK" mengembalikan kita kepada kebenaran sebelumnya.

"Ia tidak benar, tidak benar bahawa Surkov berhutang wang dengan saya." (3)

Kebenaran pernyataan (3) sentiasa bertepatan dengan kebenaran pernyataan (1).

"DAN"

Operasi AND digunakan pada dua pernyataan. Keputusannya adalah "benar" hanya jika kedua-dua pernyataan adalah benar (jika tidak "salah"):

palsu DAN palsu = palsu
palsu DAN benar = palsu
benar dan salah = palsu
benar DAN benar = benar

Operasi ini mempunyai pelbagai nama lain: "logik DAN", "kata hubung", "pendaraban logik". Untuk sebutan antarabangsa, bukannya "Saya" mereka menulis "DAN".

Dalam bahasa semula jadi, operasi ini sepadan dengan sisipan kata hubung "dan" antara pernyataan. Contohnya:

"Surkov berhutang dengan saya." (1)
“Petrov berhutang dengan saya.” (2)

Menggunakan operasi "DAN" pada pernyataan (1) dan (2):

"Surkov berhutang wang kepada saya, dan Petrov berhutang wang kepada saya." (3)

Frasa ini boleh dipendekkan sambil mengekalkan makna yang sama:

"Surkov dan Petrov berhutang dengan saya." (3)

Pernyataan (3) adalah benar hanya jika kedua-dua pernyataan (1) dan (2) adalah benar. Jika sekurang-kurangnya salah satu daripadanya palsu, maka hasilnya juga palsu. Jika kedua-duanya palsu, begitu juga mereka.

Iaitu, jika Petrov tidak berhutang wang kepada saya, tetapi hanya Surkov yang melakukannya, maka pernyataan (3) tidak akan menjadi "separuh kebenaran" atau "separuh pembohongan," tetapi hanya akan menjadi pembohongan.

"ATAU"

Operasi OR digunakan pada dua pernyataan. Keputusannya adalah "benar" jika sekurang-kurangnya satu pernyataan adalah benar (jika tidak "salah"):

palsu ATAU palsu = palsu
palsu ATAU benar = benar
benar ATAU palsu = benar
benar ATAU benar = benar

Operasi ini mempunyai pelbagai nama lain: "logik ATAU", "termasuk ATAU", "disjungsi", "tambahan logik". Untuk sebutan antarabangsa, bukannya "ATAU", tulis "ATAU".
Dalam bahasa semula jadi, operasi ini sepadan dengan sisipan kata hubung "atau" antara pernyataan, tetapi... tidak selalu (lihat di bawah tentang operasi "XOR"). Contohnya:

"Saya mahu minum." (1)
“Saya nak makan.” (2)

Menggunakan operasi OR pada pernyataan (1) dan (2):

"Saya mahu minum, atau saya mahu makan." (3)

Dalam bahasa Rusia bunyinya betul, tetapi kekok, dan frasa ini boleh dipendekkan, mengekalkan makna yang sama:

"Saya mahu minum atau makan." (3)

Pernyataan (3) adalah benar apabila sekurang-kurangnya satu daripada pernyataan (1) dan (2) adalah benar, atau kedua-duanya mungkin. Jika kedua-dua pernyataan palsu, maka hasilnya juga salah.

Maksudnya, jika saya lapar tetapi tidak dahaga, maka kenyataan (3) adalah benar. Jika saya tidak suka makan dan minum, kenyataan (3) juga benar. Ia adalah palsu apabila saya tidak mahu satu atau yang lain.

"XOR"

Operasi XOR digunakan pada dua pernyataan. Keputusannya adalah "benar" jika betul-betul salah satu kenyataan adalah benar (jika tidak "salah"):

palsu XOR palsu = palsu
palsu XOR benar = benar
benar XOR salah = benar
benar XOR benar = palsu

Operasi ini mempunyai pelbagai nama lain: "eksklusif ATAU", "module tambahan 2", "module tambahan logik 2". "XOR" ialah sebutan antarabangsa; tidak ada analog "Rusia" yang diterima umum.

Dalam bahasa semula jadi, operasi ini sepadan dengan sisipan kata hubung "atau" antara pernyataan - sama seperti dalam kes operasi "ATAU". Contohnya:

"Saya akan meminta kenaikan gaji." (1)
"Saya akan cuba menjimatkan wang." (2)

Menggunakan operasi "XOR" pada pernyataan (1) dan (2):

"Saya akan meminta kenaikan gaji atau saya akan cuba menjimatkan wang." (3)

Disingkat:

"Saya akan meminta kenaikan gaji atau cuba menjimatkan wang." (3)

Pernyataan (3) adalah benar jika tepat satu daripada pernyataan (1) dan (2) adalah benar. Jika saya tidak akan meminta kenaikan gaji atau simpanan, maka frasa itu adalah palsu. Selain itu, saya bermaksud bahawa saya tidak akan melakukan kedua-duanya pada masa yang sama.

Perhatikan perbezaan antara operasi OR dan XOR. Ia hanya terdiri dalam peraturan terakhir:

benar ATAU benar = benar
benar XOR benar = palsu

Dalam bahasa semula jadi, kedua-dua operasi diwakili oleh kata hubung "atau" yang sama. Ini adalah contoh kekaburan dalam bahasa semula jadi. Jika anda masih ingat, homonim dan perkataan samar-samar boleh mempunyai lebih daripada satu makna. Kata hubung "atau" hanyalah: ia mempunyai dua makna yang mungkin. Yang pertama dinyatakan oleh operasi logik "OR", yang kedua - oleh operasi logik "XOR".

Dalam bahasa Inggeris masalah yang sama wujud: kata hubung “atau” mempunyai dua makna yang sama. Tetapi lebih mudah bagi orang Rom kuno, kerana dalam bahasa Latin terdapat dua perkataan yang berbeza: "vel" (operasi ATAU) dan "aut" (operasi XOR).

Oleh kerana perbezaan antara OR dan XOR adalah kecil (hanya satu peraturan terakhir), kadangkala perbezaan itu tidak penting. Kadangkala anda boleh meneka apa yang dimaksudkan dengan intonasi atau konteks. Kadang-kadang tidak mungkin untuk menentukan makna yang tepat.

Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang beberapa operasi bit. Mari kita lihat yang utama: XOR (eksklusif ATAU), DAN, BUKAN dan ATAU.

Seperti yang diketahui, unit minimum ukuran maklumat ialah sedikit, yang menyimpan satu daripada 2 nilai: 0 ( palsu, palsu) atau 1 ( betul, benar). Oleh itu, sel bit hanya boleh berada dalam satu daripada dua keadaan yang mungkin pada satu masa.

Untuk memanipulasi bit, operasi tertentu digunakan - logik atau boolean. Ia boleh digunakan pada sebarang bit, tidak kira sama ada nilainya adalah sifar atau satu. Baiklah, mari kita lihat contoh penggunaan tiga operasi logik asas.

Operasi logik DAN (dan)

DAN dilambangkan dengan &.

Operator AND dilakukan pada 2 bit, mari kita ambil contoh a dan b. Keputusan operasi AND ialah 1 jika a dan b bersamaan dengan 1. Jika tidak, hasilnya ialah 0. Contohnya, menggunakan AND anda boleh mengetahui sama ada nombor genap atau tidak.

Lihat jadual kebenaran operasi DAN:

Operasi logik ATAU (OR)

Ditunjukkan oleh | .

Operator ATAU juga dilakukan dengan 2 bit (a dan b). Hasilnya ialah 0 jika a dan b ialah 0, jika tidak ialah 1. Lihat jadual kebenaran.

Operasi logik XOR (eksklusif OR)

Pengendali XOR dilambangkan dengan ^.

XOR dilaksanakan dengan 2 bit (a dan b). Hasil daripada operasi XOR ( eksklusif ATAU) ialah 1 apabila salah satu bit b atau a ialah 1. Jika tidak, hasil penggunaan operator XOR ialah 0.

Jadual kebenaran operasi logik untuk XOR (eksklusif ATAU) kelihatan seperti ini:

Menggunakan XOR (eksklusif OR), anda boleh menukar nilai 2 pembolehubah jenis data yang sama tanpa menggunakan pembolehubah sementara. Anda juga boleh menyulitkan teks menggunakan XOR, contohnya:

String msg = "Ini adalah mesej"; mesej char = msg.toCharArray(); Kunci rentetan = ".*)"; String encryptedString = new String(); untuk(int i = 0; i< message.length; i++){ encryptedString += message[i]^key.toCharArray(); }

Saya bersetuju bahawa XOR jauh daripada kaedah penyulitan yang paling boleh dipercayai, tetapi ini tidak bermakna ia tidak boleh dijadikan sebahagian daripada mana-mana algoritma penyulitan.

Operasi logik BUKAN (TIDAK)

Ini adalah penafian bitwise, jadi dilakukan dengan satu bit dan dilambangkan dengan ~ .

Hasilnya bergantung pada keadaan bit. Jika ia berada dalam keadaan sifar, maka hasil operasi adalah satu dan sebaliknya. Semuanya sangat mudah.

4 operasi logik ini harus diingat terlebih dahulu, kerana dengan bantuan mereka, anda boleh mendapatkan hampir semua hasil yang mungkin. Terdapat juga operasi seperti<< (побитовый сдвиг влево) и >> (anjakan sedikit ke kanan).

Operator	Sintaks	Penerangan
DAN	A DAN B	Kata Hubung: Jika A dan B adalah Benar, maka Benar. Jika tidak - Salah
ATAU	A ATAU B	Disjunction: Jika mana-mana operan adalah Benar, maka Benar. Jika tidak - Salah
TIDAK	BUKAN A	Negasi: Jika A adalah Salah, maka ia adalah Benar. Jika tidak - Salah
XOR	A XOR B	Pengecualian: Jika A adalah Benar atau B adalah Benar, maka - Benar. Jika tidak - Salah
EQV	A EQV B	Kesetaraan: Jika A mempunyai nilai yang sama dengan B, maka ia adalah Benar. Jika tidak - Salah
IMP	A IMP B	Implikasi: Jika A adalah Benar dan B adalah Salah, maka Salah. Jika tidak - Benar

Operan untuk operator Boolean boleh berupa sebarang ungkapan sah yang mempunyai hasil Boolean, serta nombor yang boleh ditukar kepada nilai Boolean.

Hasil daripada operasi logik ialah nilai jenis Boolean (atau Null jika sekurang-kurangnya satu daripada operan adalah Null).

Operator logik DAN

Sintaks:
Operan_1 DAN Operan_2

Operator AND melakukan kata hubung logik.

Hasil operasi ini adalah Benar hanya apabila kedua-dua operan adalah Benar, sebaliknya Salah.

Jadual kebenaran

Operator AND boleh digunakan untuk berbilang operan:

(5 3) DAN (5=6) hasilnya akan Salah

Tanpa mengira bilangan operan, hasil operasi logik DAN akan menjadi Benar hanya jika semua operan ungkapan itu menilai kepada Benar. Dalam mana-mana kes lain, hasilnya adalah Palsu. Perhatikan bahawa operan disertakan dalam kurungan. VBA mula-mula menilai nilai setiap operan di dalam kurungan, dan kemudian keseluruhan ungkapan.

Operator logik ATAU

Sintaks:
Operand_1 ATAU Operand_2

Pengendali OR melakukannya percanggahan logik.

Keputusan operasi ini adalah Benar jika sekurang-kurangnya satu daripada operan adalah Benar, sebaliknya Salah.

Jadual kebenaran

Operator OR boleh digunakan untuk berbilang operan:

(5 3) ATAU (5=6) hasilnya akan menjadi Benar

Tanpa mengira bilangan operan, hasil operasi logik ATAU akan sentiasa Benar jika sekurang-kurangnya satu daripada operan ungkapan itu Benar. Jika tidak, hasilnya akan menjadi Palsu.

Operator AND dan OR boleh digabungkan:

((5 3)) ATAU (5=6) hasilnya akan menjadi Benar

Operator logik TIDAK

Sintaks:
BUKAN Operan

Operator NOT melakukannya penafian logik.

Operator NOT hanya menggunakan satu operan.

Jadual kebenaran

DAN ATAU TIDAK operator boleh digabungkan:

((5 3)) ATAU TIDAK (5=6) hasilnya akan menjadi Benar

Pengendali logik XOR

Sintaks:
Operan_1 XOR Operan_2

Pengendali XOR melakukannya pengecualian logik.

Keputusan operasi ini adalah Benar jika operan mempunyai nilai yang berbeza, sebaliknya Salah.

Jadual kebenaran

((5 3)) ATAU TIDAK (5=6) XOR (5=5) hasilnya akan Salah

Pengendali logik EQV

Sintaks:
Operand_1 EQV Operand_2

Pengendali EQV ialah pengendali kesetaraan logik.

Keputusan operasi ini adalah Benar jika operan mempunyai nilai yang sama, sebaliknya Salah.

Jadual kebenaran

((5 3)) ATAU TIDAK (5=6) EQV (5=5) hasilnya akan menjadi Benar

IMP pengendali logik

Sintaks:
Operand_1 IMP Operand_2

Pengendali IMP menjalankan operasi logik implikasi.

Jadual kebenaran

((5 3)) ATAU TIDAK (5=6) IMP (5=5) hasilnya akan menjadi Benar

Pengendali logik IMP adalah yang paling tidak intuitif daripada semua pengendali logik. Nasib baik, keperluan untuk menggunakannya agak jarang berlaku.

Operasi eksklusif OR (bukan kesetaraan, penambahan modulo dua) dilambangkan dengan simbol dan berbeza daripada logik OR hanya apabila A=1 dan B=1.

Oleh itu, perbezaan dua pernyataan X1 dan X2 dipanggil pernyataan Y yang benar jika dan hanya jika satu daripada pernyataan ini benar dan satu lagi palsu.

Takrif operasi ini boleh ditulis dalam bentuk jadual kebenaran (Jadual 6):

Jadual 6 – Jadual kebenaran operasi “EKSKLUSIF ATAU”.

Seperti yang dapat dilihat dari Jadual 6, logik operasi elemen sepadan dengan namanya.

Ini adalah elemen "ATAU" yang sama dengan satu perbezaan kecil. Jika nilai pada kedua-dua input adalah sama dengan yang logik, maka output elemen "EKSKLUSIF ATAU", tidak seperti elemen "ATAU", bukan satu, tetapi sifar.

Operasi EKSKLUSIF ATAU sebenarnya membandingkan dua digit binari untuk padanan.

Setiap penghubung logik dianggap sebagai operasi pada pernyataan logik dan mempunyai nama dan sebutan tersendiri (Jadual 7).

Jadual 7 - Operasi logik asas

Jawatan operasi	Membaca	Nama operasi	Penamaan alternatif
		Penolakan (penyongsangan)	Garisan di bahagian atas
		Kata hubung (pendaraban logik)
		Disjunction (penambahan logik)
	Jika... maka	Implikasi
	Kemudian dan hanya kemudian	Kesetaraan
	Sama ada...atau	EKSKLUSIF ATAU (module tambahan 2)

1. Susunan operasi logik dalam ungkapan logik yang kompleks

Sistem operasi logik penyongsangan, konjungsi, dan disjungsi membolehkan anda membina ungkapan logik kompleks yang sewenang-wenangnya.

Apabila mengira nilai ungkapan logik, susunan operasi logik tertentu dilakukan.

1. Penyongsangan.

2. Kata Hubung.

3. Disjunction.

4. Implikasi.

5. Kesetaraan.

Tanda kurung digunakan untuk menukar susunan operasi yang ditentukan.

1. Ungkapan Logik dan Jadual Kebenaran

   1. Ungkapan Boolean

Setiap pernyataan majmuk boleh dinyatakan dalam bentuk formula (ungkapan logik), yang merangkumi pembolehubah logik, menyatakan pernyataan, dan tanda-tanda operasi logik, menunjukkan fungsi logik.

Untuk menulis pernyataan majmuk dalam bentuk ungkapan logik dalam bahasa formal (bahasa algebra logik), dalam pernyataan majmuk adalah perlu untuk mengenal pasti pernyataan mudah dan hubungan logik di antara mereka.

Mari kita tulis dalam bentuk ungkapan logik pernyataan majmuk “(2·2=5 atau 2∙2=4) dan (2∙2≠5 atau 2∙ 2 ≠4)".

Mari kita analisis pernyataan majmuk. Ia mengandungi dua pernyataan mudah:

A = “2 2=5” - palsu (0),

B = “2 2=4” - benar (1).

Kemudian pernyataan majmuk boleh ditulis dalam bentuk berikut:

«( AatauDALAM) dan (Ā atauDALAM)».

Sekarang anda perlu menulis pernyataan dalam bentuk ungkapan logik, dengan mengambil kira urutan operasi logik. Apabila melaksanakan operasi logik, susunan pelaksanaannya berikut ditakrifkan:

penyongsangan, kata hubung, cerai.

Tanda kurung boleh digunakan untuk menukar susunan yang ditentukan:

F = (AvDALAM) & (Ā vDALAM).

Kebenaran atau kepalsuan pernyataan majmuk boleh ditentukan secara formal semata-mata, berpandukan undang-undang algebra proposisi, tanpa merujuk kepada kandungan semantik pernyataan tersebut.

Marilah kita menggantikan nilai pembolehubah logik ke dalam ungkapan logik dan, menggunakan jadual kebenaran operasi logik asas, kita memperoleh nilai fungsi logik:

F= (A v B) & ( Ā v B) = (0 v 1) & (1 v 0) = 1 & 1 = 1.

Jadual kebenaran

Jadual di mana operasi logik mencerminkan hasil pengiraan pernyataan kompleks untuk pelbagai nilai pernyataan mudah asal dipanggil jadual kebenaran.

Pernyataan mudah dilambangkan dengan pembolehubah (contohnya, A dan B).

Apabila membina jadual kebenaran, adalah dinasihatkan untuk dipandu oleh urutan tindakan tertentu:

adalah perlu untuk menentukan bilangan baris dalam jadual kebenaran. Ia sama dengan bilangan kemungkinan kombinasi nilai pembolehubah logik yang disertakan dalam ungkapan logik. Jika bilangan pembolehubah logik adalah sama p, itu:

bilangan baris = 2 n .

Dalam kes kami, fungsi logik

mempunyai 2 pembolehubah dan oleh itu bilangan baris dalam jadual kebenaran mestilah 4;

adalah perlu untuk menentukan bilangan lajur dalam jadual kebenaran, yang sama dengan bilangan pembolehubah logik ditambah bilangan operasi logik.

Dalam kes kami, bilangan pembolehubah ialah dua: A dan B, dan bilangan operasi logik ialah lima (Jadual 8), iaitu bilangan lajur jadual kebenaran ialah tujuh;

adalah perlu untuk membina jadual kebenaran dengan bilangan baris dan lajur yang ditentukan, tetapkan lajur dan masukkan ke dalam jadual kemungkinan set nilai pembolehubah logik asal;

adalah perlu untuk mengisi jadual kebenaran mengikut lajur, melaksanakan operasi logik asas dalam urutan yang diperlukan dan mengikut jadual kebenarannya.

Kini kita boleh menentukan nilai fungsi Boolean untuk sebarang set nilai pembolehubah Boolean.

Jadual 8 – Jadual kebenaran bagi fungsi logik

Ditandakan dengan kiasan “sama ada... atau...” Pernyataan majmuk “sama ada A atau B” adalah benar apabila sama ada A atau B adalah benar, tetapi tidak kedua-duanya; jika tidak pernyataan majmuk adalah palsu.

Itu. hasilnya benar (sama dengan 1), Jika A tidak sama dengan B (A≠B).

Operasi ini sering dibandingkan dengan disjungsi kerana ia sangat serupa dalam sifat, dan kedua-duanya mempunyai persamaan dengan kata hubung "atau" dalam pertuturan harian. Bandingkan peraturan untuk operasi ini:

1. benar jika benar atau , atau kedua-duanya sekali.

2. benar jika benar atau, Tetapi Tidak kedua-duanya sekali.

Operasi tidak termasuk pilihan terakhir (“kedua-duanya sekali”) dan atas sebab ini dipanggil “ATAU” eksklusif. Kekaburan bahasa semula jadi ialah kata hubung “atau” boleh digunakan dalam kedua-dua kes.

5. Implikasi (akibat logik) dibentuk dengan menggabungkan dua pernyataan menjadi satu menggunakan kiasan “jika ... maka ....”.

Rakaman: A®B

Pernyataan majmuk yang dibentuk oleh operasi implikasi adalah palsu jika dan hanya jika kesimpulan palsu (penyataan kedua) mengikuti daripada premis yang benar (pernyataan pertama).

Itu. jika 1 membayangkan 0, maka hasilnya adalah 0, dalam kes lain - 1.

Sebagai contoh, pernyataan "Jika nombor boleh dibahagi dengan 10, maka ia boleh dibahagi dengan 5" adalah benar kerana kedua-dua pernyataan pertama dan kedua adalah benar.

Pernyataan "Jika nombor boleh dibahagi dengan 10, maka ia boleh dibahagi dengan 3" adalah palsu kerana kesimpulan yang salah dibuat daripada premis yang benar.

"Segi empat ini ialah segi empat sama" (A) Dan "Bulatan boleh dihadkan mengelilingi segi empat tertentu" (DALAM). Kemudian pernyataan majmuk berbunyi sebagai "Jika segiempat tertentu ialah segi empat sama, maka bulatan boleh dilukis di sekelilingnya."

Dalam ucapan biasa penghubung "kalau... jadi" menerangkan hubungan sebab-akibat antara pernyataan. Tetapi dalam operasi logik makna pernyataan tidak diambil kira. Hanya kebenaran atau kepalsuan mereka sahaja yang dipertimbangkan. Oleh itu, seseorang tidak seharusnya berasa malu dengan "tidak bermakna" implikasi yang dibentuk oleh kenyataan yang tidak berkaitan sama sekali dalam kandungan. Sebagai contoh, seperti ini: "Jika Presiden Amerika Syarikat adalah Demokrat, maka terdapat zirafah di Afrika," "jika tembikai adalah buah beri, maka terdapat petrol di stesen minyak."

6. Kesetaraan (kesamaan logik, ~ º Û) dibentuk dengan menggabungkan dua pernyataan menjadi satu menggunakan kiasan “...jika dan hanya jika...”

Pernyataan majmuk yang dibentuk oleh operasi kesetaraan adalah benar jika dan hanya jika kedua-dua pernyataan serentak sama ada palsu atau benar.

Sebagai contoh, pernyataan "Komputer boleh mengira jika dan hanya jika ia dihidupkan" dan "Komputer tidak boleh mengira jika dan hanya jika ia tidak dihidupkan" adalah benar kerana kedua-dua pernyataan mudah adalah benar serentak.

Jadual kebenaran

Bagi setiap pernyataan majmuk (fungsi logik), adalah mungkin untuk membina jadual kebenaran yang menentukan kebenaran atau kepalsuannya untuk semua kemungkinan gabungan nilai awal pernyataan mudah.

Jadual kebenaran ialah perwakilan jadual bagi litar logik (operasi) yang menyenaraikan semua kemungkinan gabungan nilai kebenaran isyarat input (operand) bersama-sama dengan nilai kebenaran isyarat keluaran (hasil operasi) untuk setiap gabungan ini.

Marilah kita mencerminkan operasi logik yang dibincangkan di atas dalam jadual kebenaran:

Dalam algebra proposisi, semua fungsi logik melalui transformasi logik boleh dikurangkan kepada tiga fungsi asas: penambahan logik, pendaraban logik dan penolakan logik.

Mari kita buktikan bahawa operasi implikasi A®B adalah bersamaan dengan ungkapan logik: