Suka? Tambahkan pada penanda halaman

Menyelesaikan masalah menggunakan kaedah simpleks: contoh dalam talian

Tugasan 1. Syarikat itu mengeluarkan rak bilik mandi dalam dua saiz - A dan B. Ejen jualan menganggarkan sehingga 550 rak boleh dijual di pasaran setiap minggu. Setiap rak jenis A memerlukan 2 m2 bahan, dan setiap rak jenis B memerlukan 3 m2 bahan. Syarikat boleh menerima sehingga 1200 m2 bahan setiap minggu. Untuk mengeluarkan satu rak jenis A, 12 minit masa mesin diperlukan, dan untuk mengeluarkan satu rak jenis B - 30 minit; Mesin ini boleh digunakan 160 jam seminggu. Jika keuntungan daripada penjualan rak jenis A ialah 3 unit monetari, dan dari rak jenis B - 4 unit monetari. unit, maka berapa banyak rak bagi setiap jenis perlu dihasilkan setiap minggu?

Tugasan 2. Selesaikan masalah pengaturcaraan linear kaedah simplex.

Tugasan 3. Syarikat mengeluarkan 3 jenis produk: A1, A2, A3, menggunakan dua jenis bahan mentah. Kos setiap jenis bahan mentah seunit pengeluaran, rizab bahan mentah untuk tempoh perancangan, serta keuntungan daripada unit pengeluaran setiap jenis diketahui.

1. Berapa banyak item bagi setiap jenis mesti dihasilkan untuk memaksimumkan keuntungan?
2. Tentukan status setiap jenis bahan mentah dan nilai khususnya.
3. Tentukan selang maksimum untuk perubahan dalam inventori setiap jenis bahan mentah, di mana struktur pelan optimum, i.e. Nomenklatur pengeluaran tidak akan berubah.
4. Tentukan kuantiti produk yang dikeluarkan dan keuntungan daripada pengeluaran apabila meningkatkan stok salah satu jenis bahan mentah yang terhad kepada nilai maksimum yang mungkin (dalam julat output yang diberikan).
5. Tentukan selang perubahan dalam keuntungan daripada unit pengeluaran setiap jenis yang terhasil rancangan yang optimum tidak akan berubah.

Tugasan 4. Menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear kaedah simplex:

Tugasan 5. Selesaikan masalah pengaturcaraan linear menggunakan kaedah simpleks:

Tugasan 6. Selesaikan masalah menggunakan kaedah simpleks, menganggap sebagai permulaan pelan rujukan, pelan yang diberikan dalam keadaan:

Tugasan 7. Selesaikan masalah menggunakan kaedah simpleks yang diubah suai.
Untuk menghasilkan dua jenis produk A dan B, tiga jenis peralatan teknologi digunakan. Untuk menghasilkan unit produk A, peralatan jenis pertama menggunakan a1=4 jam, peralatan jenis kedua a2=8 jam, dan peralatan jenis ketiga a3=9 jam. Untuk menghasilkan unit produk B, peralatan jenis pertama menggunakan b1=7 jam, peralatan jenis kedua b2=3 jam, dan peralatan jenis ketiga b3=5 jam.
Peralatan jenis pertama boleh berfungsi untuk pengeluaran produk ini tidak lebih daripada t1=49 jam, peralatan jenis kedua tidak lebih daripada t2=51 jam, peralatan jenis ketiga tidak lebih daripada t3=45 jam.
Keuntungan daripada penjualan unit produk siap A ialah ALPHA = 6 rubel, dan produk B ialah BETTA = 5 rubel.
Buat rancangan pengeluaran untuk produk A dan B, memastikan keuntungan maksimum daripada jualannya.

Tugasan 8. Cari penyelesaian optimum menggunakan kaedah dwi simpleks

Contoh penyelesaian masalah menggunakan kaedah simpleks dipertimbangkan, serta contoh penyelesaian dua masalah.

Tugas

Untuk penjualan tiga kumpulan barang perusahaan komersial mempunyai tiga jenis sumber bahan dan kewangan terhad dalam jumlah b 1 = 240, b 2 = 200, b 3 = 160 unit. Pada masa yang sama, untuk penjualan 1 kumpulan barang untuk 1 ribu rubel. perolehan komoditi, sumber jenis pertama digunakan dalam jumlah 11 = 2 unit, sumber jenis kedua dalam jumlah 21 = 4 unit, sumber jenis ketiga dalam jumlah 31 = 4 unit. Untuk penjualan 2 dan 3 kumpulan barang untuk 1 ribu rubel. perolehan digunakan mengikut sumber jenis pertama dalam jumlah 12 = 3, a 13 = 6 unit, sumber jenis kedua dalam jumlah 22 = 2, a 23 = 4 unit, sumber jenis ketiga dalam jumlah a 32 = 6, a 33 = 8 unit . Keuntungan daripada penjualan tiga kumpulan barang untuk 1 ribu rubel. perolehan masing-masing c 1 = 4, c 2 = 5, c 3 = 4 (ribu rubel). Tentukan jumlah yang dirancang dan struktur pusing ganti perdagangan supaya keuntungan perusahaan perdagangan adalah maksimum.

Kepada masalah langsung perancangan perolehan, diselesaikan dengan kaedah simpleks, mengarang dua masalah pengaturcaraan linear.
Pasang konjugasi pasangan pembolehubah langsung dan dua masalah.
Menurut pasangan konjugasi pembolehubah, daripada penyelesaian masalah langsung kita perolehi penyelesaian masalah dwi tersebut, di mana ia dihasilkan penilaian sumber, dibelanjakan untuk penjualan barangan.

Menyelesaikan masalah menggunakan kaedah simpleks

Biarkan x 1, x 2, x 3 ialah bilangan barang yang dijual, masing-masing dalam ribu rubel, 1, 2, 3 kumpulan. Kemudian model matematik tugas mempunyai bentuk:

F = 4 x 1 + 5 x 2 + 4 x 3 ->maks

0)))(~)" title="delim(lbrace)(matriks(4)(1)((2x_1 + 3x_2 + 6x_3= 0)))(~)">!}

Kami menyelesaikan kaedah simplex.

Kami memperkenalkan pembolehubah tambahan x 4 ≥ 0, x 5 ≥ 0, x 6 ≥ 0 untuk mengubah ketaksamaan kepada kesamaan.

Mari kita ambil x 4 = 240 sebagai asas; x 5 = 200; x 6 = 160.

Kami memasukkan data ke dalam jadual simplex

Jadual Simplex No. 1

Fungsi objektif:

0 240 + 0 200 + 0 160 = 0

Kami mengira anggaran menggunakan formula:

Δ 1 = 0 2 + 0 4 + 0 4 - 4 = - 4
Δ 2 = 0 3 + 0 2 + 0 6 - 5 = - 5
Δ 3 = 0 6 + 0 4 + 0 8 - 4 = - 4
Δ 4 = 0 1 + 0 0 + 0 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 0 + 0 1 + 0 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 0 + 0 0 + 0 1 - 0 = 0

Oleh kerana terdapat anggaran negatif, rancangan itu tidak optimum. Skor terendah:

Kami memperkenalkan pembolehubah x 2 ke dalam asas.

Kami mentakrifkan pembolehubah yang muncul daripada asas. Untuk melakukan ini, kami mencari nisbah bukan negatif terkecil untuk lajur x2.

= 26.667

Bukan negatif terkecil: Q 3 = 26.667. Kami memperoleh pembolehubah x 6 daripada asas

Bahagikan baris ke-3 dengan 6.
Daripada baris pertama, tolak baris ke-3, didarab dengan 3
Daripada baris ke-2, tolak baris ke-3, didarab dengan 2

Kami mengira:

Kita mendapatkan meja baru:

Jadual Simplex No. 2

Fungsi objektif:

0 160 + 0 440/3 + 5 80/3 = 400/3

Kami mengira anggaran menggunakan formula:

Δ 1 = 0 0 + 0 8/3 + 5 2/3 - 4 = - 2/3
Δ 2 = 0 0 + 0 0 + 5 1 - 5 = 0
Δ 3 = 0 2 + 0 4/3 + 5 4/3 - 4 = 8/3
Δ 4 = 0 1 + 0 0 + 5 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 0 + 0 1 + 5 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 (-1)/2 + 0 (-1)/3 + 5 1/6 - 0 = 5/6

Oleh kerana terdapat anggaran negatif Δ 1 = - 2/3, rancangan itu tidak optimum.

Kami memperkenalkan pembolehubah x 1 ke dalam asas.

Kami mentakrifkan pembolehubah yang muncul daripada asas. Untuk melakukan ini, kami mencari nisbah bukan negatif terkecil untuk lajur x 1.

Bukan negatif terkecil: Q 3 = 40. Kami terbitkan pembolehubah x 2 daripada asas

Bahagikan baris ke-3 dengan 2/3.
Daripada baris ke-2, tolak baris ke-3, didarab dengan 8/3

Kami mengira:

Kami mendapat jadual baharu:

Jadual Simplex No. 3

Fungsi objektif:

0 160 + 0 40 + 4 40 = 160

Kami mengira anggaran menggunakan formula:

Δ 1 = 0 0 + 0 0 + 4 1 - 4 = 0
Δ 2 = 0 0 + 0 (-4) + 4 3/2 - 5 = 1
Δ 3 = 0 2 + 0 (-4) + 4 2 - 4 = 4
Δ 4 = 0 1 + 0 0 + 4 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 0 + 0 1 + 4 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 (-1)/2 + 0 (-1) + 4 1/4 - 0 = 1

Oleh kerana tiada penilaian negatif, pelan ini adalah optimum.

Penyelesaian masalah:

Jawab

x 1 = 40; x2 = 0; x 3 = 0; x 4 = 160; x 5 = 40; x6 = 0; F maks = 160

Iaitu, adalah perlu untuk menjual jenis barang pertama dalam jumlah 40 ribu rubel. Produk jenis 2 dan 3 tidak perlu dijual. Di mana keuntungan maksimum akan menjadi F max = 160 ribu rubel.

Penyelesaian masalah dwi

Masalah dwi mempunyai bentuk:

Z = 240 y 1 + 200 y 2 + 160 y 3 ->min

Tajuk="delim(lbrace)(matriks(4)(1)((2y_1 + 4y_2 + 4y_3>=4) (3y_1 + 2y_2 + 6y_3>=5) (6y_1 + 4y_2 + 8y_3>=4) (y_1, y_2, y_3>= 0)))(~)">!}

Kami memperkenalkan pembolehubah tambahan y 4 ≥ 0, y 5 ≥ 0, y 6 ≥ 0 untuk mengubah ketaksamaan kepada kesamaan.

Pasangan konjugasi pembolehubah masalah langsung dan dua mempunyai bentuk:

Daripada jadual simplex terakhir No. 3 masalah langsung, kami mencari penyelesaian kepada masalah dwi:

Z min = F maks = 160;
y 1 = Δ 4 = 0; y 2 = Δ 5 = 0; y 3 = Δ 6 = 1; y 4 = Δ 1 = 0; y 5 = Δ 2 = 1; y 6 = Δ 3 = 4;

. Algoritma kaedah simplex

Contoh 5.1. Selesaikan masalah pengaturcaraan linear berikut menggunakan kaedah simpleks:

Penyelesaian:

saya lelaran:

x3, x4, x5, x6 x1,x2. Mari kita nyatakan pembolehubah asas dari segi pembolehubah percuma:

Mari kita kurangkan fungsi sasaran kepada pandangan seterusnya:

Berdasarkan masalah yang diperoleh, kami akan membentuk jadual simpleks awal:

Jadual 5.3

Jadual simplex asal

				Hubungan Evaluatif

Menurut definisi penyelesaian asas, pembolehubah bebas adalah sama dengan sifar, dan nilai pembolehubah asas adalah sama dengan nilai sepadan nombor bebas, iaitu:

Peringkat 3: menyemak keserasian sistem sekatan PAP.

Pada lelaran ini (dalam Jadual 5.3), tanda ketidakkonsistenan sistem kekangan (tanda 1) tidak dikenal pasti (iaitu tidak ada garis dengan nombor bebas negatif (kecuali untuk garis fungsi objektif) yang tidak akan menjadi sekurang-kurangnya satu elemen negatif (iaitu pekali negatif untuk pembolehubah bebas)).

Pada lelaran ini (dalam Jadual 5.3), tanda ketakterbatasan fungsi objektif (tanda 2) tidak dikenal pasti (iaitu, tiada lajur dengan unsur negatif dalam baris fungsi objektif (kecuali lajur nombor bebas). ) di mana tidak akan ada sekurang-kurangnya satu unsur positif) .

Oleh kerana penyelesaian asas yang ditemui tidak mengandungi komponen negatif, ia boleh diterima.

Peringkat 6: semakan optimum.

Penyelesaian asas yang ditemui tidak optimum, kerana mengikut kriteria optimum (tanda 4) seharusnya tidak ada unsur negatif dalam baris fungsi objektif ( nombor percuma baris ini tidak diambil kira apabila mempertimbangkan ciri ini). Oleh itu, mengikut algoritma kaedah simplex, kita beralih ke peringkat 8.

Oleh kerana penyelesaian asas yang ditemui boleh diterima, kami akan mencari lajur penyelesaian mengikut skema berikut: kami menentukan lajur dengan unsur negatif dalam baris fungsi objektif (kecuali lajur nombor bebas). Menurut Jadual 5.3, terdapat dua lajur tersebut: lajur “ x1"dan lajur" x2" Daripada lajur sedemikian, lajur yang mengandungi elemen terkecil dalam baris fungsi sasaran dipilih. Dia akan menjadi yang permisif. Kolum " x2" mengandungi unsur terkecil (–3) berbanding lajur " x1

Untuk menentukan garis penyelesaian, kita dapati nisbah anggaran positif nombor bebas kepada unsur lajur penyelesaian; garisan yang sepadan dengan nisbah penilaian positif terkecil diterima sebagai diselesaikan.

Jadual 5.4

Jadual simplex asal

Dalam Jadual 5.4, hubungan penilaian positif terkecil sepadan dengan garis " x5", oleh itu, ia akan menjadi permisif.

Elemen yang terletak di persimpangan lajur pemboleh dan baris pemboleh diterima sebagai pemboleh. Dalam contoh kami, ini ialah elemen yang terletak di persimpangan garis " x5"dan lajur" x2».

Elemen penyelesaian menunjukkan satu asas dan satu pembolehubah bebas yang mesti ditukar dalam jadual simpleks untuk beralih kepada penyelesaian asas "diperbaiki" baharu. DALAM dalam kes ini ini adalah pembolehubah x5 Dan x2, dalam jadual simplex baharu (Jadual 5.5) kami menukarnya.

9.1. Transformasi unsur penyelesaian.

Elemen resolusi Jadual 5.4 ditukar seperti berikut:

Kami memasukkan hasil yang terhasil ke dalam sel yang serupa dalam Jadual 5.5.

9.2. Penukaran rentetan resolusi.

Kami membahagikan elemen baris penyelesaian jadual 5.4 dengan elemen penyelesaian jadual simpleks ini, hasilnya sesuai dengan sel yang serupa dalam jadual simpleks baharu (jadual 5.5). Transformasi elemen rentetan resolusi diberikan dalam Jadual 5.5.

9.3. Penukaran lajur resolusi.

Kami membahagikan elemen lajur resolusi jadual 5.4 dengan elemen resolusi jadual ringkas ini, dan hasilnya diambil daripada tanda bertentangan. Keputusan yang diperolehi dimuatkan ke dalam sel yang serupa pada jadual simpleks baharu (Jadual 5.5). Transformasi unsur-unsur lajur resolusi diberikan dalam Jadual 5.5.

9.4. Transformasi unsur-unsur baki jadual simpleks.

Transformasi unsur-unsur baki jadual simpleks (iaitu, elemen yang tidak terletak dalam baris penyelesaian dan lajur penyelesaian) dijalankan mengikut peraturan "segi empat tepat".

Sebagai contoh, pertimbangkan untuk menukar elemen yang terletak di persimpangan garis " x3" dan lajur "", kami akan menyatakannya secara bersyarat " x3" Dalam Jadual 5.4, kita secara mental melukis segi empat tepat, satu bucunya terletak di dalam sel yang nilainya kita ubah (iaitu dalam sel " x3"), dan satu lagi (bucu pepenjuru) berada dalam sel dengan elemen penyelesaian. Dua bucu yang lain (pada pepenjuru kedua) ditentukan secara unik. Kemudian nilai berubah sel " x3" akan sama dengan nilai sebelumnya sel ini tolak pecahan, dalam penyebutnya ialah elemen penyelesaian (daripada Jadual 5.4), dan dalam pengangka ialah hasil darab dua bucu lain yang tidak digunakan, iaitu:

« x3»: .

Nilai sel lain ditukar sama:

« x3 x1»: ;

« x4»: ;

« x4 x1»: ;

« x6»: ;

« x6 x1»: ;

«»: ;

« x1»: .

Hasil daripada transformasi ini, kami menerima yang baharu jadual simplex(Jadual 5.5).

II lelaran:

Peringkat 1: merangka jadual simpleks.

Jadual 5.5

Jadual simplexII lelaran

				Dianggarkan perhubungan

Peringkat 2: penentuan penyelesaian asas.

Hasil daripada penjelmaan simpleks, penyelesaian asas baru diperolehi (Jadual 5.5):

Seperti yang anda lihat, dengan penyelesaian asas ini nilai fungsi objektif = 15, yang lebih besar daripada penyelesaian asas sebelumnya.

Ketidakkonsistenan sistem sekatan mengikut ciri 1 dalam Jadual 5.5 belum dikenal pasti.

Peringkat 4: menyemak sempadan fungsi objektif.

Ketakterbatasan fungsi objektif mengikut kriteria 2 dalam Jadual 5.5 tidak didedahkan.

Peringkat 5: menyemak kebolehterimaan penyelesaian asas yang ditemui.

Penyelesaian asas yang ditemui mengikut kriteria 4 tidak optimum, kerana garis fungsi objektif jadual simpleks (Jadual 5.5) mengandungi unsur negatif: –2 (nombor bebas baris ini tidak diambil kira apabila mempertimbangkan ini ciri). Oleh itu, kita beralih ke peringkat 8.

Peringkat 8: penentuan elemen penyelesaian.

8.1. Definisi lajur resolusi.

Penyelesaian asas yang ditemui boleh diterima; kami menentukan lajur dengan unsur negatif dalam baris fungsi objektif (kecuali lajur nombor bebas). Menurut Jadual 5.5, terdapat hanya satu lajur sedemikian: “ x1" Oleh itu, kami menerimanya seperti yang dibenarkan.

8.2. Definisi rentetan dayakan.

Mengikut nilai yang diperolehi hubungan penilaian positif dalam Jadual 5.6, minimum ialah hubungan yang sepadan dengan garis " x3" Oleh itu, kami menerimanya seperti yang dibenarkan.

Jadual 5.6

Jadual simplexII lelaran

				Dianggarkan perhubungan
				3/1=3 – min

Peringkat 9: penjelmaan jadual simpleks.

Transformasi jadual simplex (Jadual 5.6) dilakukan dengan cara yang sama seperti dalam lelaran sebelumnya. Keputusan penjelmaan unsur jadual simpleks diberikan dalam Jadual 5.7.

III lelaran

Berdasarkan hasil transformasi simpleks lelaran sebelumnya, kami menyusun jadual simpleks baharu:

Jadual 5.7

Jadual simplexIII lelaran

				Dianggarkan perhubungan

Peringkat 2: penentuan penyelesaian asas.

Hasil daripada penjelmaan simpleks, penyelesaian asas baru diperolehi (Jadual 5.7):

Peringkat 3: menyemak keserasian sistem sekatan.

Ketidakkonsistenan sistem sekatan mengikut ciri 1 dalam Jadual 5.7 belum dikenal pasti.

Peringkat 4: menyemak sempadan fungsi objektif.

Ketakterbatasan fungsi objektif mengikut kriteria 2 dalam Jadual 5.7 tidak didedahkan.

Peringkat 5: menyemak kebolehterimaan penyelesaian asas yang ditemui.

Penyelesaian asas yang ditemui mengikut kriteria 3 boleh diterima, kerana ia tidak mengandungi komponen negatif.

Peringkat 6: menyemak optimum penyelesaian asas yang ditemui.

Penyelesaian asas yang ditemui mengikut kriteria 4 tidak optimum, kerana garis fungsi objektif jadual simpleks (Jadual 5.7) mengandungi unsur negatif: –3 (nombor bebas baris ini tidak diambil kira apabila mempertimbangkan ini ciri). Oleh itu, kita beralih ke peringkat 8.

Peringkat 8: penentuan elemen penyelesaian.

8.1. Definisi lajur resolusi.

Penyelesaian asas yang ditemui boleh diterima; kami menentukan lajur dengan unsur negatif dalam baris fungsi objektif (kecuali lajur nombor bebas). Menurut Jadual 5.7, terdapat hanya satu lajur sedemikian: “ x5" Oleh itu, kami menerimanya seperti yang dibenarkan.

8.2. Definisi rentetan dayakan.

Menurut nilai yang diperolehi hubungan penilaian positif dalam Jadual 5.8, minimum ialah hubungan yang sepadan dengan garis " x4" Oleh itu, kami menerimanya seperti yang dibenarkan.

Jadual 5.8

Jadual simplexIII lelaran

				Dianggarkan perhubungan
				5/5=1 – min

Peringkat 9: penjelmaan jadual simpleks.

Transformasi jadual simpleks (Jadual 5.8) dilakukan dengan cara yang sama seperti dalam lelaran sebelumnya. Keputusan penjelmaan unsur jadual simpleks diberikan dalam Jadual 5.9.

IV lelaran

Peringkat 1: pembinaan jadual simpleks baharu.

Berdasarkan hasil transformasi simpleks lelaran sebelumnya, kami menyusun jadual simpleks baharu:

Jadual 5.9

Jadual simplexIV lelaran

				Dianggarkan perhubungan
			–(–3/5)=3/5
			–(1/5)=–1/5
			–(9/5)=–9/5
			–(–3/5)=3/5

Peringkat 2: penentuan penyelesaian asas.

Hasil daripada penjelmaan simpleks, penyelesaian asas baharu telah diperoleh; mengikut Jadual 5.9, penyelesaiannya adalah seperti berikut:

Peringkat 3: menyemak keserasian sistem sekatan.

Ketidakkonsistenan sistem sekatan mengikut ciri 1 dalam Jadual 5.9 belum dikenal pasti.

Peringkat 4: menyemak sempadan fungsi objektif.

Ketakterbatasan fungsi objektif mengikut kriteria 2 dalam Jadual 5.9 tidak didedahkan.

Peringkat 5: menyemak kebolehterimaan penyelesaian asas yang ditemui.

Penyelesaian asas yang ditemui mengikut kriteria 3 boleh diterima, kerana ia tidak mengandungi komponen negatif.

Peringkat 6: menyemak optimum penyelesaian asas yang ditemui.

Penyelesaian asas yang ditemui mengikut ciri 4 adalah optimum, kerana tiada unsur negatif dalam baris fungsi objektif jadual simpleks (Jadual 5.9) (nombor bebas baris ini tidak diambil kira apabila mempertimbangkan ciri ini) .

Peringkat 7: menyemak alternatif penyelesaian.

Penyelesaian yang ditemui adalah unik, kerana garis fungsi objektif (Jadual 5.9) tidak mengandungi unsur sifar(nombor bebas baris ini tidak diambil kira apabila mempertimbangkan ciri ini).

Jawapan: nilai optimum fungsi objektif masalah yang sedang dipertimbangkan =24, yang dicapai pada.

Contoh 5.2. Selesaikan masalah pengaturcaraan linear di atas dengan syarat fungsi objektif diminimumkan:

Penyelesaian:

saya lelaran:

Peringkat 1: pembentukan jadual simpleks awal.

Masalah asal pengaturcaraan linear dinyatakan dalam bentuk piawai. Jom bawa ke bentuk kanonik dengan memasukkan ke dalam setiap ketaksamaan mengekang pembolehubah bukan negatif tambahan, i.e.

Dalam sistem persamaan yang terhasil, kami mengambil pembolehubah (asas) yang dibenarkan x3, x4, x5, x6, maka pembolehubah bebas ialah x1,x2. Mari kita nyatakan pembolehubah asas dari segi pembolehubah percuma.

Kaedah simplex ialah proses berulang bagi penyelesaian berarah sistem persamaan langkah demi langkah, yang bermula dengan penyelesaian rujukan dan mencari pilihan terbaik bergerak di sepanjang titik sudut kawasan penyelesaian yang boleh dilaksanakan, meningkatkan nilai fungsi objektif sehingga fungsi objektif mencapai nilai optimum.

Tujuan perkhidmatan. Perkhidmatan ini bertujuan untuk penyelesaian dalam talian Masalah pengaturcaraan linear (LPP) menggunakan kaedah simpleks dalam borang berikut penyertaan:

• dalam bentuk jadual simplex (kaedah transformasi Jordan); bentuk asas rekod;
• kaedah simpleks diubah suai; dalam bentuk lajur; dalam bentuk baris.

Arahan. Pilih bilangan pembolehubah dan bilangan baris (bilangan kekangan). Penyelesaian yang terhasil disimpan dalam Fail perkataan dan Excel.

Bilangan pembolehubah 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Bilangan baris (bilangan sekatan) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dalam kes ini, jangan ambil kira sekatan seperti x i ≥ 0. Jika tiada sekatan dalam tugasan untuk beberapa x i, maka ZLP mesti ditukar kepada KZLP, atau menggunakan perkhidmatan ini. Apabila menyelesaikan, penggunaan ditentukan secara automatik M-kaedah(kaedah simplex dengan asas buatan) dan kaedah simpleks dua peringkat.

Perkara berikut juga digunakan dengan kalkulator ini:
Kaedah grafik untuk menyelesaikan ZLP
Penyelesaian masalah pengangkutan
Menyelesaikan permainan matriks
Menggunakan perkhidmatan dalam mod atas talian anda boleh menentukan harga permainan matriks (batas bawah dan atas), semak kehadiran titik pelana, cari penyelesaian kepada strategi campuran menggunakan kaedah berikut: minimax, kaedah simplex, kaedah grafik (geometrik), kaedah Brown .
Ekstrem bagi fungsi dua pembolehubah
Masalah pengaturcaraan dinamik
Agihkan 5 lot barang yang homogen antara tiga pasaran untuk mendapatkan pendapatan maksimum daripada jualan mereka. Pendapatan daripada jualan dalam setiap pasaran G(X) bergantung pada bilangan kumpulan terjual produk X dan dibentangkan dalam jadual.

Jumlah produk X (dalam lot)	Pendapatan G(X)
	1	2	3
0	0	0	0
1	28	30	32
2	41	42	45
3	50	55	48
4	62	64	60
5	76	76	72

Algoritma kaedah simplex merangkumi langkah-langkah berikut:

1. Merangka pelan asas pertama. Peralihan kepada bentuk kanonik masalah pengaturcaraan linear dengan memperkenalkan pembolehubah baki tambahan bukan negatif.
2. Menyemak pelan untuk optimum. Sekiranya terdapat sekurang-kurangnya satu pekali garis indeks kurang daripada sifar, maka rancangan itu tidak optimum dan perlu diperbaiki.
3. Menentukan lajur dan baris terkemuka. Daripada pekali negatif garis indeks, yang terbesar dipilih nilai mutlak. Kemudian unsur-unsur lajur ahli bebas jadual simpleks dibahagikan kepada unsur-unsur tanda yang sama bagi lajur terkemuka.
4. Membina pelan rujukan baharu. Peralihan kepada pelan baru dijalankan hasil daripada pengiraan semula jadual simplex menggunakan kaedah Jordan-Gauss.

Jika perlu mencari ekstrem bagi fungsi objektif, maka kita bercakap tentang tentang carian nilai minimum(F(x) → min , lihat contoh penyelesaian pengecilan fungsi) dan nilai maksimum((F(x) → max , lihat contoh penyelesaian pemaksimuman fungsi)

Penyelesaian melampau dicapai pada sempadan kawasan penyelesaian yang boleh dilaksanakan pada salah satu bucu titik sudut poligon, atau pada segmen antara dua titik sudut bersebelahan.

Teorem Asas Pengaturcaraan Linear. Jika fungsi objektif ZLP mencapai nilai yang melampau pada satu titik dalam kawasan penyelesaian yang boleh dilaksanakan, maka ia mengambil nilai ini pada titik sudut. Jika fungsi objektif ZLP mencapai nilai melampau pada lebih daripada satu titik sudut, maka ia mengambil nilai yang sama pada mana-mana cembung gabungan linear titik-titik ini.

Intipati kaedah simpleks. Pergerakan ke titik optimum dilakukan dengan bergerak dari satu titik sudut ke titik yang bersebelahan, yang membawa lebih dekat dan lebih pantas ke X opt. Skim sedemikian untuk menghitung mata, dipanggil kaedah simpleks, dicadangkan oleh R. Danzig.
Titik penjuru dicirikan oleh m pembolehubah asas, jadi peralihan dari satu titik penjuru ke titik jiran boleh dicapai dengan menukar hanya satu pembolehubah asas dalam asas kepada pembolehubah daripada bukan asas.
Pelaksanaan kaedah simpleks yang sedang berkuat kuasa pelbagai ciri dan penyataan masalah, LP mempunyai pelbagai pengubahsuaian.

Pembinaan jadual simpleks diteruskan sehingga penyelesaian optimum diperolehi. Bagaimanakah anda boleh menggunakan jadual simpleks untuk menentukan bahawa penyelesaian kepada masalah pengaturcaraan linear adalah optimum?
Jika baris terakhir (nilai fungsi objektif) tidak mengandungi unsur negatif, oleh itu, ia akan mencari rancangan yang optimum.

Catatan 1. Jika salah satu pembolehubah asas adalah sama dengan sifar, maka titik ekstrem yang sepadan dengan penyelesaian asas tersebut adalah merosot. Degenerasi berlaku apabila terdapat kekaburan dalam pilihan garis panduan. Anda mungkin tidak menyedari kemerosotan masalah sama sekali jika anda memilih talian lain sebagai panduan. Sekiranya terdapat kekaburan, baris dengan indeks terendah harus dipilih untuk mengelakkan gelung.

Catatan 2. Biarkan pada satu titik ekstrem semua perbezaan ringkas adalah bukan negatif D k ³ 0 (k = 1..n+m), i.e. penyelesaian optimum diperolehi dan wujud A k - vektor bukan asas yang mana D k = 0. Kemudian maksimum dicapai dengan sekurang-kurangnya pada dua titik, i.e. terdapat alternatif optimum. Jika kita memperkenalkan pembolehubah x k ini ke dalam asas, nilai fungsi objektif tidak akan berubah.

Catatan 3. Penyelesaian kepada masalah dwi adalah dalam jadual simpleks terakhir. Komponen m terakhir bagi vektor perbezaan simpleks (dalam lajur pembolehubah keseimbangan) adalah penyelesaian optimum kepada masalah dwi. Nilai fungsi objektif masalah langsung dan dua pada titik optimum bertepatan.

Catatan 4. Apabila menyelesaikan masalah pengecilan, vektor dengan perbezaan simpleks positif terbesar dimasukkan ke dalam asas. Seterusnya, algoritma yang sama digunakan seperti untuk masalah pemaksimuman.

Jika syarat "Adalah perlu bahan mentah jenis III dimakan sepenuhnya" dinyatakan, maka syarat yang sepadan ialah kesamarataan.

Kaedah ini ialah kaedah penghitungan bertujuan penyelesaian rujukan kepada masalah pengaturcaraan linear. Ia membenarkan, dalam bilangan langkah yang terhad, sama ada untuk mencari penyelesaian yang optimum atau untuk menentukan bahawa tiada penyelesaian yang optimum.

Kandungan utama kaedah simpleks adalah seperti berikut:

1. Nyatakan kaedah untuk mencari penyelesaian rujukan yang optimum
2. Tunjukkan kaedah peralihan dari satu penyelesaian rujukan kepada yang lain, di mana nilai fungsi objektif akan lebih dekat dengan yang optimum, i.e. menunjukkan cara untuk menambah baik penyelesaian rujukan
3. Tetapkan kriteria yang membolehkan anda berhenti dengan segera mencari penyelesaian sokongan pada penyelesaian optimum atau membuat kesimpulan tentang ketiadaan penyelesaian optimum.

Algoritma kaedah simpleks untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear

Untuk menyelesaikan masalah menggunakan kaedah simpleks, anda mesti melakukan perkara berikut:

1. Bawa masalah kepada bentuk kanonik
2. Cari penyelesaian sokongan awal dengan "asas unit" (jika tiada penyelesaian sokongan, maka masalah tidak mempunyai penyelesaian kerana ketidakserasian sistem kekangan)
3. Kira anggaran penguraian vektor berdasarkan penyelesaian rujukan dan isikan jadual kaedah simpleks
4. Sekiranya kriteria untuk keunikan penyelesaian optimum dipenuhi, maka penyelesaian masalah itu berakhir
5. Jika syarat untuk kewujudan satu set penyelesaian optimum dipenuhi, maka semua penyelesaian optimum ditemui dengan penghitungan mudah

Contoh penyelesaian masalah menggunakan kaedah simpleks

Contoh 26.1

Selesaikan masalah menggunakan kaedah simpleks:

Penyelesaian:

Kami membawa masalah kepada bentuk kanonik.

Untuk tujuan ini dalam sebelah kiri Untuk kekangan ketaksamaan pertama, kami memperkenalkan pembolehubah tambahan x 6 dengan pekali +1. Pembolehubah x 6 dimasukkan dalam fungsi objektif dengan pekali sifar (iaitu, ia tidak disertakan).

Kita mendapatkan:

Kami mencari penyelesaian sokongan awal. Untuk melakukan ini, kita menyamakan pembolehubah bebas (tidak dapat diselesaikan) kepada sifar x1 = x2 = x3 = 0.

Kita mendapatkan penyelesaian rujukan X1 = (0,0,0,24,30,6) dengan asas unit B1 = (A4, A5, A6).

Kami mengira anggaran penguraian vektor keadaan berdasarkan penyelesaian rujukan mengikut formula:

Δ k = C b X k - c k

• C b = (c 1, c 2, ..., c m) - vektor pekali fungsi objektif untuk pembolehubah asas
• X k = (x 1k, x 2k, ..., x mk) - vektor pengembangan vektor sepadan A k mengikut asas penyelesaian rujukan
• C k ialah pekali bagi fungsi objektif bagi pembolehubah x k.

Anggaran vektor yang termasuk dalam asas sentiasa sama dengan sifar. Penyelesaian rujukan, pekali pengembangan dan anggaran pengembangan vektor keadaan berdasarkan penyelesaian rujukan ditulis dalam jadual simplex:

Di bahagian atas jadual, untuk memudahkan pengiraan anggaran, pekali fungsi objektif ditulis. Dalam lajur pertama "B" vektor yang termasuk dalam asas penyelesaian rujukan ditulis. Urutan di mana vektor ini ditulis sepadan dengan bilangan yang tidak diketahui yang dibenarkan dalam persamaan kekangan. Dalam lajur kedua jadual "C b" pekali fungsi objektif untuk pembolehubah asas ditulis dalam susunan yang sama. Pada lokasi yang betul Pekali fungsi objektif dalam lajur "C b" anggaran vektor unit yang termasuk dalam asas sentiasa sama dengan sifar.

DALAM baris terakhir jadual dengan anggaran Δ k dalam lajur “A 0” nilai fungsi objektif pada penyelesaian rujukan Z(X 1) ditulis.

Penyelesaian sokongan awal tidak optimum, kerana dalam masalah maksimum anggaran Δ 1 = -2, Δ 3 = -9 untuk vektor A 1 dan A 3 adalah negatif.

Menurut teorem untuk menambah baik penyelesaian sokongan, jika dalam masalah maksimum sekurang-kurangnya satu vektor mempunyai anggaran negatif, maka anda boleh mencari penyelesaian sokongan baharu di mana nilai fungsi objektif akan lebih besar.

Mari kita tentukan yang mana antara dua vektor yang akan membawa kepada peningkatan yang lebih besar dalam fungsi objektif.

Kenaikan fungsi objektif didapati dengan formula: .

Kami mengira nilai parameter θ 01 untuk lajur pertama dan ketiga menggunakan formula:

Kami memperoleh θ 01 = 6 untuk l = 1, θ 03 = 3 untuk l = 1 (Jadual 26.1).

Kami mencari pertambahan fungsi objektif apabila memasukkan ke dalam asas vektor pertama ΔZ 1 = - 6*(- 2) = 12, dan vektor ketiga ΔZ 3 = - 3*(- 9) = 27.

Oleh itu, untuk pendekatan yang lebih pantas kepada penyelesaian optimum, adalah perlu untuk memperkenalkan vektor A3 ke dalam asas penyelesaian rujukan dan bukannya vektor pertama asas A6, kerana parameter minimum θ 03 dicapai dalam baris pertama ( l = 1).

Kami melakukan transformasi Jordan dengan unsur X13 = 2, kami memperoleh penyelesaian rujukan kedua X2 = (0,0,3,21,42,0) dengan asas B2 = (A3, A4, A5). (Jadual 26.2)

Penyelesaian ini tidak optimum, kerana vektor A2 mempunyai anggaran negatif Δ2 = - 6. Untuk menambah baik penyelesaian, adalah perlu untuk memasukkan vektor A2 ke dalam asas penyelesaian rujukan.

Kami menentukan bilangan vektor yang diperoleh daripada asas. Untuk melakukan ini, kami mengira parameter θ 02 untuk lajur kedua, ia sama dengan 7 untuk l = 2. Akibatnya, kami memperoleh vektor asas kedua A4 daripada asas. Kami melakukan transformasi Jordan dengan unsur x 22 = 3, kami memperoleh penyelesaian rujukan ketiga X3 = (0,7,10,0,63,0) B2 = (A3, A2, A5) (Jadual 26.3).

Penyelesaian ini adalah satu-satunya penyelesaian yang optimum, kerana untuk semua vektor yang tidak termasuk dalam asas anggaran adalah positif

Δ 1 = 7/2, Δ 4 = 2, Δ 6 = 7/2.

Jawapan: maks Z(X) = 201 pada X = (0.7,10,0.63).

Kaedah pengaturcaraan linear dalam analisis ekonomi

Kaedah pengaturcaraan linear memungkinkan untuk mewajarkan yang paling optimum keputusan ekonomi dalam keadaan sekatan yang teruk berkaitan dengan sumber yang digunakan dalam pengeluaran (aset tetap, bahan, sumber buruh). Penggunaan kaedah ini dalam analisis ekonomi memungkinkan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan terutamanya dengan perancangan aktiviti sesebuah organisasi. Kaedah ini membantu menentukan tahap output yang optimum, serta arahan untuk yang paling banyak penggunaan yang berkesan sumber pengeluaran yang tersedia untuk organisasi.

Menggunakan kaedah ini, masalah yang dipanggil melampau diselesaikan, yang terdiri daripada mencari nilai ekstrem, iaitu maksimum dan minimum fungsi pembolehubah.

Tempoh ini adalah berdasarkan penyelesaian sistem persamaan linear dalam kes di mana fenomena ekonomi yang dianalisis disambungkan secara linear, dengan ketat. pergantungan fungsi. Kaedah pengaturcaraan linear digunakan untuk menganalisis pembolehubah dengan kehadiran faktor pengehad tertentu.

Penyelesaian yang sangat biasa ialah apa yang dipanggil masalah pengangkutan menggunakan kaedah pengaturcaraan linear. Kandungan tugas ini adalah untuk meminimumkan kos yang ditanggung berkaitan dengan pengendalian kenderaan di bawah sekatan sedia ada mengenai bilangan kenderaan, kapasiti tampungnya, tempoh operasinya, jika terdapat keperluan untuk penyelenggaraan. kuantiti maksimum pelanggan.

selain itu, kaedah ini digunakan secara meluas dalam menyelesaikan masalah penjadualan. Tugas ini terdiri daripada pengagihan masa operasi sedemikian untuk kakitangan organisasi tertentu yang paling boleh diterima baik untuk ahli kakitangan ini dan untuk pelanggan organisasi.

Tugas ini adalah untuk memaksimumkan bilangan pelanggan yang berkhidmat di bawah syarat had bilangan kakitangan yang ada, serta dana masa bekerja.

Oleh itu, kaedah pengaturcaraan linear agak biasa dalam analisis penempatan dan penggunaan. pelbagai jenis sumber, serta dalam proses perancangan dan ramalan aktiviti organisasi.

Namun begitu, pengaturcaraan matematik juga boleh digunakan untuk fenomena ekonomi tersebut, yang hubungannya tidak linear. Untuk tujuan ini, kaedah pengaturcaraan tak linear, dinamik dan cembung boleh digunakan.

Pengaturcaraan bukan linear bergantung pada sifat bukan linear fungsi objektif atau kekangan, atau kedua-duanya. Bentuk fungsi objektif dan kekangan ketidaksamaan dalam keadaan ini boleh berbeza.

Pengaturcaraan bukan linear digunakan dalam analisis ekonomi, khususnya, apabila mewujudkan hubungan antara penunjuk yang menyatakan kecekapan aktiviti organisasi dan jumlah aktiviti ini, struktur kos pengeluaran, keadaan pasaran, dll.

Pengaturcaraan dinamik adalah berdasarkan membina pepohon keputusan. Setiap peringkat pokok ini berfungsi sebagai peringkat untuk menentukan akibatnya keputusan sebelumnya dan untuk menghapuskan pilihan yang tidak berkesan untuk penyelesaian ini. Oleh itu, pengaturcaraan dinamik mempunyai sifat berbilang langkah, berbilang peringkat. Pengaturcaraan jenis ini digunakan dalam analisis ekonomi untuk mencari pilihan yang optimum pembangunan organisasi pada masa kini dan masa hadapan.

Pengaturcaraan cembung ialah sejenis pengaturcaraan tak linear. Pengaturcaraan jenis ini menyatakan sifat tidak linear hubungan antara hasil aktiviti organisasi dan kosnya. Pengaturcaraan cembung (aka cekung) menganalisis cembung fungsi objektif dan sistem sekatan cembung (titik nilai yang boleh diterima). Pengaturcaraan cembung digunakan dalam analisis aktiviti ekonomi dengan tujuan meminimumkan kos, dan pengaturcaraan cekung dengan tujuan memaksimumkan pendapatan di bawah sekatan sedia ada terhadap tindakan faktor yang mempengaruhi penunjuk yang dianalisis dengan cara yang bertentangan. Akibatnya, dengan jenis pengaturcaraan yang sedang dipertimbangkan, fungsi objektif cembung diminimumkan, dan fungsi objektif cekung dimaksimumkan.