Manual ini akan membantu anda mempelajari cara melakukan operasi dengan matriks: penambahan (tolak) matriks, transposisi matriks, pendaraban matriks, mencari matriks songsang. Semua bahan dibentangkan dalam bentuk yang mudah dan boleh diakses, contoh yang relevan diberikan, jadi walaupun orang yang tidak bersedia boleh belajar cara melakukan tindakan dengan matriks. Untuk pemantauan kendiri dan ujian kendiri, anda boleh memuat turun kalkulator matriks secara percuma >>>.

Saya akan cuba meminimumkan pengiraan teori; di sesetengah tempat penjelasan "di jari" dan penggunaan istilah bukan saintifik adalah mungkin. Pencinta teori yang kukuh, tolong jangan terlibat dalam kritikan, tugas kami adalah belajar melakukan operasi dengan matriks.

Untuk penyediaan SUPER FAST mengenai topik (yang "terbakar") terdapat kursus pdf intensif Matriks, penentu dan ujian!

Matriks ialah jadual segi empat tepat beberapa elemen. Sebagai elemen kita akan mempertimbangkan nombor, iaitu matriks berangka. ELEMEN adalah istilah. Adalah dinasihatkan untuk mengingati istilah itu, ia akan muncul dengan kerap, bukan kebetulan saya menggunakan font tebal untuk menyerlahkannya.

Jawatan: matriks biasanya dilambangkan dalam huruf Latin besar

Contoh: Pertimbangkan matriks dua per tiga:

Matriks ini terdiri daripada enam elemen:

Semua nombor (elemen) di dalam matriks wujud sendiri, iaitu, tidak ada persoalan tentang sebarang penolakan:

Ia hanya satu jadual (set) nombor!

Kami juga akan bersetuju jangan susun semula nombor, melainkan dinyatakan sebaliknya dalam penjelasan. Setiap nombor mempunyai lokasinya sendiri dan tidak boleh dikocok!

Matriks yang dimaksudkan mempunyai dua baris:

dan tiga lajur:

STANDARD: apabila bercakap tentang saiz matriks, maka pada mulanya nyatakan bilangan baris, dan hanya kemudian bilangan lajur. Kami baru sahaja memecahkan matriks dua demi tiga.

Jika bilangan baris dan lajur sesuatu matriks adalah sama, maka matriks itu dipanggil segi empat sama, Sebagai contoh: – matriks tiga per tiga.

Jika matriks mempunyai satu lajur atau satu baris, maka matriks tersebut juga dipanggil vektor.

Sebenarnya, kita telah mengetahui konsep matriks sejak sekolah; pertimbangkan, sebagai contoh, titik dengan koordinat "x" dan "y": . Pada asasnya, koordinat titik ditulis ke dalam matriks satu demi dua. Ngomong-ngomong, berikut ialah contoh mengapa susunan nombor penting: dan merupakan dua titik yang sama sekali berbeza pada satah.

Sekarang mari kita sambung belajar operasi dengan matriks:

1) Bertindak satu. Mengeluarkan tolak daripada matriks (memperkenalkan tolak ke dalam matriks).

Mari kita kembali ke matriks kita . Seperti yang mungkin anda perhatikan, terdapat terlalu banyak nombor negatif dalam matriks ini. Ini sangat menyusahkan dari sudut pandangan melakukan pelbagai tindakan dengan matriks, adalah menyusahkan untuk menulis begitu banyak minus, dan ia hanya kelihatan hodoh dalam reka bentuk.

Mari kita alihkan tolak di luar matriks dengan menukar tanda SETIAP elemen matriks:

Pada sifar, seperti yang anda faham, tanda itu tidak berubah; sifar juga sifar di Afrika.

Contoh terbalik: . Ia kelihatan hodoh.

Mari kita perkenalkan tolak ke dalam matriks dengan menukar tanda SETIAP elemen matriks:

Nah, ternyata lebih bagus. Dan, yang paling penting, ia akan menjadi LEBIH MUDAH untuk melakukan sebarang tindakan dengan matriks. Kerana terdapat tanda rakyat matematik sedemikian: lebih banyak minus, lebih banyak kekeliruan dan kesilapan.

2) Bertindak dua. Mendarab matriks dengan nombor.

Contoh:

Ia mudah, untuk mendarab matriks dengan nombor, anda perlukan setiap unsur matriks didarab dengan nombor yang diberi. Dalam kes ini - tiga.

Satu lagi contoh berguna:

– mendarab matriks dengan pecahan

Mula-mula mari kita lihat apa yang perlu dilakukan TIDAK PERLU:

TIDAK PERLU memasukkan pecahan ke dalam matriks; pertama, ia hanya merumitkan tindakan selanjutnya dengan matriks, dan kedua, ia menyukarkan guru menyemak penyelesaian (terutama jika – jawapan akhir tugasan).

Dan terutamanya, TIDAK PERLU bahagikan setiap elemen matriks dengan tolak tujuh:

Daripada artikel Matematik untuk dummies atau di mana untuk bermula, kita ingat bahawa dalam matematik yang lebih tinggi mereka cuba mengelakkan pecahan perpuluhan dengan koma dalam setiap cara yang mungkin.

Satu-satunya perkara ialah sebaiknya Apa yang perlu dilakukan dalam contoh ini ialah menambah tolak pada matriks:

Tetapi jika sahaja SEMUA elemen matriks dibahagikan dengan 7 tanpa jejak, maka mungkin (dan perlu!) untuk membahagikan.

Contoh:

Dalam kes ini, anda boleh PERLU darab semua elemen matriks dengan , kerana semua nombor matriks boleh dibahagikan dengan 2 tanpa jejak.

Nota: dalam teori matematik sekolah tinggi tidak ada konsep "pembahagian". Daripada menyebut "ini dibahagi dengan itu", anda sentiasa boleh menyebut "ini didarab dengan pecahan". Iaitu, pembahagian ialah kes pendaraban khas.

3) Tindakan tiga. Transpose Matriks.

Untuk menukar matriks, anda perlu menulis barisnya ke dalam lajur matriks terpindah.

Contoh:

Transpose matriks

Terdapat hanya satu baris di sini dan, mengikut peraturan, ia perlu ditulis dalam lajur:

– matriks terpindah.

Matriks transposed biasanya ditunjukkan oleh superskrip atau perdana di bahagian atas sebelah kanan.

Contoh langkah demi langkah:

Transpose matriks

Mula-mula kita menulis semula baris pertama ke dalam lajur pertama:

Kemudian kami menulis semula baris kedua ke dalam lajur kedua:

Dan akhirnya, kami menulis semula baris ketiga ke dalam lajur ketiga:

sedia. Secara kasarnya, transposing bermaksud memusingkan matriks pada sisinya.

4) Tindakan empat. Jumlah (perbezaan) matriks.

Jumlah matriks ialah operasi mudah.
TIDAK SEMUA MATRIKS BOLEH DIlipat. Untuk melakukan penambahan (penolakan) matriks, adalah perlu ia adalah SAIZ yang SAMA.

Sebagai contoh, jika matriks dua-dua-dua diberikan, maka ia hanya boleh ditambah dengan matriks dua-dua-dua dan tiada yang lain!

Contoh:

Tambah matriks Dan

Untuk menambah matriks, anda perlu menambah elemen yang sepadan:

Untuk perbezaan matriks peraturannya adalah serupa, adalah perlu untuk mencari perbezaan unsur-unsur yang sepadan.

Contoh:

Cari perbezaan matriks ,

Bagaimanakah anda boleh menyelesaikan contoh ini dengan lebih mudah, supaya tidak keliru? Adalah dinasihatkan untuk menyingkirkan tolak yang tidak perlu; untuk melakukan ini, tambahkan tolak pada matriks:

Nota: dalam teori matematik sekolah tinggi tidak ada konsep "tolak". Daripada mengatakan "tolak ini daripada ini", anda sentiasa boleh mengatakan "tambah nombor negatif pada ini." Iaitu, penolakan adalah kes khas penambahan.

5) Tindakan kelima. Pendaraban matriks.

Apakah matriks yang boleh didarabkan?

Untuk membolehkan sesuatu matriks didarab dengan matriks, adalah perlu supaya bilangan lajur matriks adalah sama dengan bilangan baris matriks.

Contoh:
Adakah mungkin untuk mendarab matriks dengan matriks?

Ini bermakna data matriks boleh didarab.

Tetapi jika matriks disusun semula, maka, dalam kes ini, pendaraban tidak lagi mungkin!

Oleh itu, pendaraban tidak mungkin:

Ia tidak begitu jarang untuk menghadapi tugas dengan helah, apabila pelajar diminta untuk mendarab matriks, pendaraban yang jelas mustahil.

Perlu diingatkan bahawa dalam beberapa kes adalah mungkin untuk mendarabkan matriks dalam kedua-dua cara.
Sebagai contoh, untuk matriks, dan kedua-dua pendaraban dan pendaraban adalah mungkin

Topik ini akan merangkumi operasi seperti menambah dan menolak matriks, mendarab matriks dengan nombor, mendarab matriks dengan matriks, dan memindahkan matriks. Semua simbol yang digunakan pada halaman ini diambil dari topik sebelumnya.

Penambahan dan penolakan matriks.

Jumlah $A+B$ matriks $A_(m\times n)=(a_(ij))$ dan $B_(m\times n)=(b_(ij))$ dipanggil matriks $C_(m \times n) =(c_(ij))$, dengan $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ untuk semua $i=\overline(1,m)$ dan $j=\overline( 1,n) $.

Definisi yang sama diperkenalkan untuk perbezaan matriks:

Perbezaan antara matriks $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ dan $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ialah matriks $C_(m\times n)=( c_(ij))$, dengan $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ untuk semua $i=\overline(1,m)$ dan $j=\overline(1, n)$.

Penjelasan untuk entri $i=\overline(1,m)$: show\hide

Notasi "$i=\overline(1,m)$" bermakna parameter $i$ berbeza dari 1 hingga m. Sebagai contoh, notasi $i=\overline(1,5)$ menunjukkan bahawa parameter $i$ mengambil nilai 1, 2, 3, 4, 5.

Perlu diingat bahawa operasi tambah dan tolak ditakrifkan hanya untuk matriks yang sama saiz. Secara umum, penambahan dan penolakan matriks ialah operasi yang jelas secara intuitif, kerana ia pada asasnya bermaksud penjumlahan atau penolakan unsur-unsur yang sepadan.

Contoh No. 1

Tiga matriks diberikan:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

Adakah mungkin untuk mencari matriks $A+F$? Cari matriks $C$ dan $D$ jika $C=A+B$ dan $D=A-B$.

Matriks $A$ mengandungi 2 baris dan 3 lajur (dengan kata lain, saiz matriks $A$ ialah $2\kali 3$), dan matriks $F$ mengandungi 2 baris dan 2 lajur. Saiz matriks $A$ dan $F$ tidak sepadan, jadi kami tidak boleh menambahnya, i.e. operasi $A+F$ tidak ditakrifkan untuk matriks ini.

Saiz matriks $A$ dan $B$ adalah sama, i.e. Data matriks mengandungi bilangan baris dan lajur yang sama, jadi operasi penambahan boleh digunakan untuknya.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \kanan) $$

Mari cari matriks $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(array) \kanan) $$

Jawab: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Mendarab matriks dengan nombor.

Hasil darab matriks $A_(m\times n)=(a_(ij))$ dengan nombor $\alpha$ ialah matriks $B_(m\times n)=(b_(ij))$, dengan $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ untuk semua $i=\overline(1,m)$ dan $j=\overline(1,n)$.

Ringkasnya, mendarab matriks dengan nombor tertentu bermakna mendarab setiap elemen matriks tertentu dengan nombor itu.

Contoh No. 2

Matriks diberikan: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Cari matriks $3\cdot A$, $-5\cdot A$ dan $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( tatasusunan) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (tatasusunan) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \kanan) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \kanan). $$

Tatatanda $-A$ ialah tatatanda singkatan untuk $-1\cdot A$. Iaitu, untuk mencari $-A$ anda perlu mendarab semua elemen matriks $A$ dengan (-1). Pada asasnya, ini bermakna bahawa tanda semua elemen matriks $A$ akan berubah kepada sebaliknya:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Jawab: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Hasil darab dua matriks.

Takrif operasi ini adalah rumit dan, pada pandangan pertama, tidak jelas. Oleh itu, mula-mula saya akan menunjukkan definisi umum, dan kemudian kami akan menganalisis secara terperinci apa maksudnya dan bagaimana untuk bekerja dengannya.

Hasil darab matriks $A_(m\kali n)=(a_(ij))$ dengan matriks $B_(n\kali k)=(b_(ij))$ ialah matriks $C_(m\kali k )=(c_( ij))$, yang mana setiap elemen $c_(ij)$ adalah sama dengan hasil tambah bagi unsur-unsur yang sepadan bagi baris ke-i matriks $A$ oleh unsur-unsur j -lajur ke- matriks $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Mari kita lihat pendaraban matriks langkah demi langkah menggunakan contoh. Walau bagaimanapun, anda harus segera ambil perhatian bahawa tidak semua matriks boleh didarab. Jika kita ingin mendarab matriks $A$ dengan matriks $B$, maka pertama sekali kita perlu memastikan bahawa bilangan lajur matriks $A$ adalah sama dengan bilangan baris matriks $B$ (matriks sedemikian sering dipanggil dipersetujui). Contohnya, matriks $A_(5\kali 4)$ (matriks mengandungi 5 baris dan 4 lajur) tidak boleh didarab dengan matriks $F_(9\kali 8)$ (9 baris dan 8 lajur), kerana nombor lajur matriks $A $ tidak sama dengan bilangan baris matriks $F$, i.e. $4\neq 9$. Tetapi anda boleh mendarab matriks $A_(5\darab 4)$ dengan matriks $B_(4\darab 9)$, kerana bilangan lajur matriks $A$ adalah sama dengan bilangan baris matriks $ B$. Dalam kes ini, hasil pendaraban matriks $A_(5\kali 4)$ dan $B_(4\kali 9)$ akan menjadi matriks $C_(5\kali 9)$, yang mengandungi 5 baris dan 9 lajur:

Contoh No. 3

Matriks yang diberi: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (tatasusunan) \kanan)$ dan $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Cari matriks $C=A\cdot B$.

Mula-mula, mari segera tentukan saiz matriks $C$. Oleh kerana matriks $A$ mempunyai saiz $3\kali 4$, dan matriks $B$ mempunyai saiz $4\kali 2$, maka saiz matriks $C$ ialah: $3\kali 2$:

Jadi, hasil daripada hasil darab matriks $A$ dan $B$, kita harus memperoleh matriks $C$, yang terdiri daripada tiga baris dan dua lajur: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \kanan)$. Jika penetapan unsur menimbulkan persoalan, maka anda boleh melihat topik sebelumnya: "Matriks. Jenis matriks. Istilah asas", pada permulaannya penetapan unsur matriks dijelaskan. Matlamat kami: untuk mencari nilai semua elemen matriks $C$.

Mari kita mulakan dengan elemen $c_(11)$. Untuk mendapatkan unsur $c_(11)$, anda perlu mencari jumlah hasil darab unsur baris pertama matriks $A$ dan lajur pertama matriks $B$:

Untuk mencari elemen $c_(11)$ itu sendiri, anda perlu mendarabkan elemen baris pertama matriks $A$ dengan elemen sepadan lajur pertama matriks $B$, i.e. unsur pertama kepada yang pertama, yang kedua kepada yang kedua, yang ketiga kepada yang ketiga, yang keempat kepada yang keempat. Kami meringkaskan keputusan yang diperoleh:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Mari kita teruskan penyelesaian dan cari $c_(12)$. Untuk melakukan ini, anda perlu mendarabkan elemen baris pertama matriks $A$ dan lajur kedua matriks $B$:

Sama seperti yang sebelumnya, kami mempunyai:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Semua elemen baris pertama matriks $C$ telah ditemui. Mari kita beralih ke baris kedua, yang bermula dengan elemen $c_(21)$. Untuk mencarinya, anda perlu mendarabkan elemen baris kedua matriks $A$ dan lajur pertama matriks $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Kami mencari elemen seterusnya $c_(22)$ dengan mendarabkan elemen baris kedua matriks $A$ dengan elemen sepadan lajur kedua matriks $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Untuk mencari $c_(31)$, darabkan unsur-unsur baris ketiga matriks $A$ dengan unsur-unsur lajur pertama matriks $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

Dan akhirnya, untuk mencari elemen $c_(32)$, anda perlu mendarabkan elemen baris ketiga matriks $A$ dengan elemen sepadan lajur kedua matriks $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Semua elemen matriks $C$ telah ditemui, yang tinggal hanyalah menulis bahawa $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( tatasusunan) \kanan)$ . Atau, untuk menulis sepenuhnya:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Jawab: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Dengan cara ini, selalunya tiada sebab untuk menerangkan secara terperinci lokasi setiap elemen matriks hasil. Untuk matriks yang saiznya kecil, anda boleh melakukan ini:

Perlu juga diperhatikan bahawa pendaraban matriks adalah bukan komutatif. Ini bermakna dalam kes umum $A\cdot B\neq B\cdot A$. Hanya untuk beberapa jenis matriks, yang dipanggil boleh ubah(atau berulang-alik), kesamaan $A\cdot B=B\cdot A$ adalah benar. Ia adalah berdasarkan kepada bukan komutatif pendaraban yang kita perlukan untuk menunjukkan dengan tepat cara kita mendarab ungkapan dengan matriks tertentu: di sebelah kanan atau di sebelah kiri. Sebagai contoh, frasa "darab kedua-dua belah kesamaan $3E-F=Y$ dengan matriks $A$ di sebelah kanan" bermakna anda ingin mendapatkan kesamaan berikut: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Ditransmisikan berkenaan dengan matriks $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ialah matriks $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, bagi unsur yang $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Ringkasnya, untuk mendapatkan matriks alih alih $A^T$, anda perlu menggantikan lajur dalam matriks asal $A$ dengan baris yang sepadan mengikut prinsip ini: terdapat baris pertama - akan ada lajur pertama ; terdapat baris kedua - akan ada lajur kedua; terdapat baris ketiga - akan ada lajur ketiga dan seterusnya. Sebagai contoh, mari kita cari matriks yang ditukar kepada matriks $A_(3\times 5)$:

Sehubungan itu, jika matriks asal mempunyai saiz $3\times 5$, maka matriks transposed mempunyai saiz $5\times 3$.

Beberapa sifat operasi pada matriks.

Di sini diandaikan bahawa $\alpha$, $\beta$ ialah beberapa nombor dan $A$, $B$, $C$ ialah matriks. Untuk empat sifat pertama saya menunjukkan nama; selebihnya boleh dinamakan dengan analogi dengan empat yang pertama.

1. $A+B=B+A$ (komutatif penambahan)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (persekutuan penambahan)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (taburan pendaraban dengan matriks berkenaan dengan penambahan nombor)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (taburan pendaraban dengan nombor berbanding dengan penambahan matriks)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, dengan $E$ ialah matriks identiti bagi susunan yang sepadan.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, dengan $O$ ialah matriks sifar dengan saiz yang sesuai.
10. $\kiri(A^T \kanan)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

Dalam bahagian seterusnya, kami akan mempertimbangkan operasi menaikkan matriks kepada kuasa integer bukan negatif, dan juga menyelesaikan contoh di mana ia perlu melakukan beberapa operasi pada matriks.

Jadi, dalam pelajaran sebelumnya kita melihat peraturan untuk menambah dan menolak matriks. Ini adalah operasi yang begitu mudah yang kebanyakan pelajar memahaminya secara literal langsung.

Walau bagaimanapun, anda bergembira awal. Hadiah percuma sudah tamat - mari kita beralih kepada pendaraban. Saya akan memberi amaran kepada anda dengan segera: mendarab dua matriks tidak sama sekali mendarab nombor dalam sel dengan koordinat yang sama, seperti yang anda fikirkan. Semuanya lebih menyeronokkan di sini. Dan kita perlu bermula dengan definisi awal.

Matriks dipadankan

Salah satu ciri yang paling penting bagi matriks ialah saiznya. Kami telah bercakap tentang perkara ini seratus kali: tatatanda $A=\left[ m\times n \right]$ bermakna bahawa matriks mempunyai tepat $m$ baris dan $n$ lajur. Kami juga telah membincangkan cara untuk tidak mengelirukan baris dengan lajur. Sesuatu yang penting sekarang.

Definisi. Matriks dalam bentuk $A=\left[ m\times n \right]$ dan $B=\left[ n\times k \right]$, di mana bilangan lajur dalam matriks pertama bertepatan dengan bilangan baris dalam kedua, dipanggil konsisten.

Sekali lagi: bilangan lajur dalam matriks pertama adalah sama dengan bilangan baris dalam kedua! Dari sini kita mendapat dua kesimpulan sekaligus:

1. Susunan matriks adalah penting bagi kami. Sebagai contoh, matriks $A=\left[ 3\times 2 \right]$ dan $B=\left[ 2\times 5 \right]$ adalah konsisten (2 lajur dalam matriks pertama dan 2 baris dalam kedua) , tetapi sebaliknya — matriks $B=\left[ 2\times 5 \right]$ dan $A=\left[ 3\times 2 \right]$ tidak lagi konsisten (5 lajur dalam matriks pertama bukan 3 baris dalam kedua).
2. Ketekalan boleh disemak dengan mudah dengan menulis semua dimensi satu demi satu. Menggunakan contoh dari perenggan sebelumnya: "3 2 2 5" - terdapat nombor yang sama di tengah, jadi matriks adalah konsisten. Tetapi “2 5 3 2” tidak konsisten, kerana terdapat nombor yang berbeza di tengah.

Di samping itu, Captain Obviousness nampaknya membayangkan bahawa matriks segi empat sama saiz $\left[ n\times n \right]$ sentiasa konsisten.

Dalam matematik, apabila susunan penyenaraian objek adalah penting (contohnya, dalam definisi yang dibincangkan di atas, susunan matriks adalah penting), kita sering bercakap tentang pasangan tertib. Kami bertemu dengan mereka di sekolah: Saya rasa tidak mengapa koordinat $\left(1;0 \right)$ dan $\left(0;1 \right)$ mentakrifkan titik yang berbeza pada pesawat.

Jadi: koordinat juga tersusun pasangan yang terdiri daripada nombor. Tetapi tiada apa yang menghalang anda daripada membuat pasangan sedemikian daripada matriks. Kemudian kita boleh katakan: "Pasangan tertib matriks $\left(A;B \right)$ adalah konsisten jika bilangan lajur dalam matriks pertama adalah sama dengan bilangan baris dalam kedua."

Nah, jadi apa?

Definisi pendaraban

Pertimbangkan dua matriks tekal: $A=\left[ m\times n \right]$ dan $B=\left[ n\times k \right]$. Dan kami menentukan operasi pendaraban untuk mereka.

Definisi. Hasil darab dua matriks yang dipadankan $A=\left[ m\times n \right]$ dan $B=\left[ n\times k \right]$ ialah matriks baharu $C=\left[ m\times k \ kanan] $, unsur-unsurnya dikira menggunakan formula:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

Produk sedemikian dilambangkan dengan cara standard: $C=A\cdot B$.

Mereka yang melihat definisi ini buat kali pertama serta-merta mempunyai dua soalan:

1. Apakah jenis permainan sengit ini?
2. Kenapa susah sangat?

Nah, perkara pertama dahulu. Mari kita mulakan dengan soalan pertama. Apakah maksud semua indeks ini? Dan bagaimana untuk tidak membuat kesilapan apabila bekerja dengan matriks sebenar?

Pertama sekali, kami perhatikan bahawa garis panjang untuk mengira $((c)_(i;j))$ (Saya meletakkan koma bertitik di antara indeks supaya tidak keliru, tetapi tidak perlu memasukkannya ke dalam umum - Saya sendiri bosan menaip formula dalam definisi) sebenarnya datang kepada peraturan mudah:

1. Ambil baris $i$th dalam matriks pertama;
2. Ambil lajur $j$th dalam matriks kedua;
3. Kami mendapat dua urutan nombor. Kami mendarabkan unsur-unsur jujukan ini dengan nombor yang sama, dan kemudian menambah produk yang terhasil.

Proses ini mudah difahami dari gambar:

Skema untuk mendarab dua matriks

Sekali lagi: kami menetapkan baris $i$ dalam matriks pertama, lajur $j$ dalam matriks kedua, darab unsur dengan nombor yang sama, dan kemudian tambah hasil yang terhasil - kami mendapat $((c)_(ij))$ . Dan seterusnya untuk semua $1\le i\le m$ dan $1\le j\le k$. Itu. Akan ada $m\kali k$ "penyelewengan" sedemikian secara keseluruhan.

Sebenarnya, kita telah pun menemui pendaraban matriks dalam kurikulum sekolah, hanya dalam bentuk yang sangat berkurangan. Biarkan vektor diberikan:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right). \\ \end(align)\]

Maka hasil darab skalarnya ialah jumlah tepat hasil darab berpasangan:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

Pada asasnya, apabila pokok lebih hijau dan langit lebih cerah, kami hanya mendarabkan vektor baris $\overrightarrow(a)$ dengan vektor lajur $\overrightarrow(b)$.

Tiada apa yang berubah hari ini. Cuma sekarang terdapat lebih banyak vektor baris dan lajur ini.

Tetapi cukup teori! Mari kita lihat contoh sebenar. Dan mari kita mulakan dengan kes paling mudah - matriks persegi.

Pendaraban matriks segi empat sama

Tugasan 1. Lakukan pendaraban:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \kanan]\]

Penyelesaian. Jadi, kita mempunyai dua matriks: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ dan $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Ia adalah jelas bahawa ia adalah konsisten (matriks persegi dengan saiz yang sama sentiasa konsisten). Oleh itu, kami melakukan pendaraban:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot \kiri(-2 \kanan)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \kiri(-2 \kanan)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ end(array)\right]. \end(align)\]

Itu sahaja!

Jawapan: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$.

Tugasan 2. Lakukan pendaraban:

\[\left[ \begin(matriks) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(array) \right]\]

Penyelesaian. Sekali lagi, matriks yang konsisten, jadi kami melakukan tindakan berikut:\[\]

\[\begin(align) & \left[ \begin(matriks) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matriks) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( ) r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ kiri(-3 \kanan) & 1\cdot 6+3\cdot \kiri(-2 \kanan) \\ 2\cdot 9+6\cdot \kiri(-3 \kanan) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \right) \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(matriks) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right ] . \end(align)\]

Seperti yang anda lihat, hasilnya ialah matriks yang diisi dengan sifar

Jawapan: $\left[ \begin(matriks) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

Daripada contoh di atas adalah jelas bahawa pendaraban matriks bukanlah operasi yang begitu rumit. Sekurang-kurangnya untuk 2 kali 2 matriks persegi.

Dalam proses pengiraan, kami menyusun matriks perantaraan, di mana kami secara langsung menerangkan nombor mana yang disertakan dalam sel tertentu. Inilah yang sepatutnya dilakukan apabila menyelesaikan masalah sebenar.

Sifat asas produk matriks

Secara ringkas. Pendaraban matriks:

1. Bukan komutatif: $A\cdot B\ne B\cdot A$ dalam kes umum. Sudah tentu, terdapat matriks khas yang kesamaan $A\cdot B=B\cdot A$ (contohnya, jika $B=E$ ialah matriks identiti), tetapi dalam kebanyakan kes ini tidak berfungsi ;
2. Secara bersekutu: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Tiada pilihan di sini: matriks bersebelahan boleh didarab tanpa perlu risau tentang perkara di sebelah kiri dan di sebelah kanan kedua-dua matriks ini.
3. Secara agihan: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ dan $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (disebabkan oleh tidak komutatif produk, adalah perlu untuk menentukan secara berasingan pengedaran kanan dan kiri.

Dan sekarang - semuanya sama, tetapi dengan lebih terperinci.

Pendaraban matriks dalam banyak cara serupa dengan pendaraban nombor klasik. Tetapi terdapat perbezaan, yang paling penting ialah itu Pendaraban matriks, secara amnya, tidak komutatif.

Mari kita lihat semula matriks dari Masalah 1. Kita sudah tahu produk langsung mereka:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]\]

Tetapi jika kita menukar matriks, kita mendapat hasil yang sama sekali berbeza:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(matriks) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end(matriks )\kanan]\]

Ternyata $A\cdot B\ne B\cdot A$. Di samping itu, operasi pendaraban hanya ditakrifkan untuk matriks konsisten $A=\left[ m\times n \right]$ dan $B=\left[ n\times k \right]$, tetapi tiada siapa yang menjamin bahawa mereka akan kekal konsisten.jika ditukar. Sebagai contoh, matriks $\left[ 2\times 3 \right]$ dan $\left[ 3\times 5 \right]$ agak konsisten dalam susunan yang ditentukan, tetapi matriks yang sama $\left[ 3\times 5 \right] $ dan $\left[ 2\times 3 \right]$ ditulis dalam susunan terbalik tidak lagi konsisten. Sedih. :(

Di antara matriks segi empat sama saiz $n$ akan sentiasa ada yang memberikan hasil yang sama apabila didarab secara langsung dan dalam susunan terbalik. Cara menghuraikan semua matriks tersebut (dan berapa banyak yang terdapat secara umum) ialah topik untuk pelajaran yang berasingan. Kami tidak akan bercakap mengenainya hari ini. :)

Walau bagaimanapun, pendaraban matriks adalah bersekutu:

\[\kiri(A\cdot B \kanan)\cdot C=A\cdot \kiri(B\cdot C \kanan)\]

Oleh itu, apabila anda perlu mendarab beberapa matriks berturut-turut sekali gus, ia tidak perlu dilakukan terus: ada kemungkinan beberapa matriks bersebelahan, apabila didarab, memberikan hasil yang menarik. Sebagai contoh, matriks sifar, seperti dalam Masalah 2 yang dibincangkan di atas.

Dalam masalah sebenar, selalunya kita perlu mendarab matriks segi empat sama bersaiz $\left[ n\times n \right]$. Set semua matriks tersebut dilambangkan dengan $((M)^(n))$ (iaitu, entri $A=\left[ n\times n \right]$ dan \ bermaksud perkara yang sama), dan ia akan semestinya mengandungi matriks $E$, yang dipanggil matriks identiti.

Definisi. Matriks identiti bersaiz $n$ ialah matriks $E$ supaya bagi mana-mana matriks segi empat sama $A=\left[ n\times n \right]$ kesamaan dipegang:

Matriks sedemikian sentiasa kelihatan sama: terdapat matriks pada pepenjuru utamanya, dan sifar dalam semua sel lain.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \kiri(A+B \kanan)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

Dalam erti kata lain, jika anda perlu mendarab satu matriks dengan jumlah dua yang lain, anda boleh mendarabkannya dengan setiap "dua yang lain" ini dan kemudian menambah hasilnya. Dalam amalan, kita biasanya perlu melakukan operasi yang bertentangan: kita melihat matriks yang sama, mengeluarkannya dari kurungan, melakukan penambahan dan dengan itu memudahkan hidup kita. :)

Nota: untuk menerangkan pengagihan, kami terpaksa menulis dua formula: di mana jumlahnya berada dalam faktor kedua dan di mana jumlahnya berada dalam faktor pertama. Ini berlaku dengan tepat kerana pendaraban matriks adalah bukan komutatif (dan secara amnya, dalam algebra bukan komutatif terdapat banyak perkara yang menyeronokkan yang tidak terlintas dalam fikiran apabila bekerja dengan nombor biasa). Dan jika, sebagai contoh, anda perlu menulis harta ini dalam peperiksaan, maka pastikan anda menulis kedua-dua formula, jika tidak, guru mungkin sedikit marah.

Okay, ini semua cerita dongeng tentang matriks segi empat sama. Bagaimana dengan yang segi empat tepat?

Kes matriks segi empat tepat

Tetapi tiada apa-apa - semuanya sama dengan yang segi empat sama.

Tugasan 3. Lakukan pendaraban:

\[\left[ \begin(matriks) \begin(matriks) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matriks) & \begin(matriks) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matriks) \ \\end(matriks) \kanan]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]\]

Penyelesaian. Kami mempunyai dua matriks: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ dan $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Mari kita tulis nombor yang menunjukkan saiz dalam satu baris:

Seperti yang anda lihat, dua nombor pusat bertepatan. Ini bermakna matriks adalah konsisten dan boleh didarab. Selain itu, pada output kita mendapat matriks $C=\left[ 3\times 2 \right]$:

\[\begin(align) & \left[ \begin(matriks) \begin(matriks) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matriks) & \begin(matriks) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matriks) \\\end(matriks) \kanan]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \kanan]=\kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \kiri(-2 \kanan)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \kiri(-2 \kanan)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\end(array) \right]. \end(align)\]

Semuanya jelas: matriks akhir mempunyai 3 baris dan 2 lajur. Cukup $=\kiri[ 3\kali 2 \kanan]$.

Jawapan: $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \begin(matriks) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(matriks) \\\end(array) \right]$.

Sekarang mari kita lihat salah satu tugas latihan terbaik untuk mereka yang baru mula bekerja dengan matriks. Di dalamnya anda tidak perlu hanya mendarab beberapa dua tablet, tetapi terlebih dahulu menentukan: adakah pendaraban sedemikian dibenarkan?

Masalah 4. Cari semua hasil berpasangan yang mungkin bagi matriks:

\\]; $B=\left[ \begin(matriks) \begin(matriks) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matriks) & \begin(matriks) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(matriks) \\\end(matriks) \kanan]$; $C=\left[ \begin(matriks)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

Penyelesaian. Pertama, mari kita tuliskan saiz matriks:

\;\ B=\kiri[ 4\kali 2 \kanan];\ C=\kiri[ 2\kali 2 \kanan]\]

Kami mendapati bahawa matriks $A$ hanya boleh diselaraskan dengan matriks $B$, kerana bilangan lajur $A$ ialah 4, dan hanya $B$ mempunyai bilangan baris ini. Oleh itu, kita boleh mencari produk:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(array) \right]=\ kiri[ \begin(array)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]\]

Saya cadangkan pembaca melengkapkan langkah perantaraan secara bebas. Saya hanya akan ambil perhatian bahawa adalah lebih baik untuk menentukan saiz matriks yang terhasil terlebih dahulu, walaupun sebelum sebarang pengiraan:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

Dalam erti kata lain, kami hanya mengalih keluar pekali "transit" yang memastikan ketekalan matriks.

Apakah pilihan lain yang mungkin? Sudah tentu, seseorang boleh mencari $B\cdot A$, kerana $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, jadi pasangan tertib $\ left(B ;A \right)$ adalah konsisten, dan dimensi produk ialah:

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

Ringkasnya, output akan menjadi matriks $\left[ 4\times 4 \right]$, yang pekalinya boleh dikira dengan mudah:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(array) \right]=\ kiri[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(array) \right]\]

Jelas sekali, anda juga boleh bersetuju dengan $C\cdot A$ dan $B\cdot C$ - dan itu sahaja. Oleh itu, kami hanya menulis produk yang dihasilkan:

Ia adalah mudah. ​​:)

Jawapan: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(array) \kanan]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \right]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(array) \right]$.

Secara umum, saya sangat mengesyorkan melakukan tugas ini sendiri. Dan satu lagi tugasan yang serupa iaitu dalam kerja rumah. Pemikiran yang kelihatan mudah ini akan membantu anda mempraktikkan semua peringkat utama pendaraban matriks.

Tetapi cerita itu tidak berakhir di sana. Mari kita beralih kepada kes pendaraban khas. :)

Vektor baris dan vektor lajur

Salah satu operasi matriks yang paling biasa ialah pendaraban dengan matriks yang mempunyai satu baris atau satu lajur.

Definisi. Vektor lajur ialah matriks bersaiz $\left[ m\times 1 \right]$, i.e. terdiri daripada beberapa baris dan hanya satu lajur.

Vektor baris ialah matriks bersaiz $\left[ 1\times n \right]$, i.e. terdiri daripada satu baris dan beberapa lajur.

Malah, kita telah pun menemui objek ini. Sebagai contoh, vektor tiga dimensi biasa daripada stereometri $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ adalah tidak lebih daripada vektor baris. Dari sudut pandangan teori, hampir tiada perbezaan antara baris dan lajur. Anda hanya perlu berhati-hati apabila menyelaras dengan matriks pengganda di sekeliling.

Tugasan 5. Lakukan pendaraban:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]\]

Penyelesaian. Di sini kita mempunyai hasil darab matriks yang dipadankan: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Mari cari bahagian ini:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \kanan]\]

Jawapan: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.

Tugasan 6. Lakukan pendaraban:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \kanan]\]

Penyelesaian. Sekali lagi semuanya dipersetujui: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Kami mengira produk:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)( ) r))5 & -19 & 5 \\\end(array) \kanan]\]

Jawapan: $\left[ \begin(matriks) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$.

Seperti yang anda lihat, apabila kita mendarabkan vektor baris dan vektor lajur dengan matriks segi empat sama, output sentiasa menghasilkan baris atau lajur dengan saiz yang sama. Fakta ini mempunyai banyak aplikasi - daripada menyelesaikan persamaan linear kepada semua jenis transformasi koordinat (yang akhirnya juga turun kepada sistem persamaan, tetapi jangan bercakap tentang perkara yang menyedihkan).

Saya rasa semuanya jelas di sini. Mari kita teruskan ke bahagian akhir pelajaran hari ini.

Eksponentasi matriks

Di antara semua operasi pendaraban, pengeksponenan patut diberi perhatian khusus - ini adalah apabila kita mendarab objek yang sama dengan sendirinya beberapa kali. Matriks tidak terkecuali; ia juga boleh dinaikkan kepada pelbagai kuasa.

Kerja-kerja sedemikian sentiasa dipersetujui:

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

Dan mereka ditetapkan dengan cara yang sama seperti darjah biasa:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \end(align)\]

Pada pandangan pertama, semuanya mudah. Mari lihat bagaimana keadaan ini dalam amalan:

Tugasan 7. Naikkan matriks kepada kuasa yang ditunjukkan:

$((\left[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))$

Penyelesaian. Baiklah, mari kita bina. Mula-mula mari kita segi empat sama:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \right])^(2))=\left[ \begin(matriks ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan]\cdot \left[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(array) \right] \end(align)\]

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))=((\left[ \begin (matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan])^(3))\cdot \left[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( matriks) \kanan]= \\ & =\kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Itu sahaja.:)

Jawapan: $\left[ \begin(matriks)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Masalah 8. Naikkan matriks kepada kuasa yang ditunjukkan:

\[((\kiri[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan])^(10))\]

Penyelesaian. Cuma jangan menangis sekarang tentang fakta bahawa "ijazah terlalu besar," "dunia tidak adil," dan "guru-guru telah kehilangan semangat mereka." Ia sebenarnya mudah:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))=((\left[ \begin (matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matriks) \kanan])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matriks) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan]\cdot \left[ \begin(matriks) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin(matriks) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan]\cdot \left[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan ] \kanan)= \\ & =\kiri[ \begin(matriks) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan]\cdot \left[ \begin(matriks) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan]= \\ & =\left[ \begin(matriks) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \right] \end(align)\ ]

Perhatikan bahawa dalam baris kedua kami menggunakan perkaitan pendaraban. Sebenarnya, kami menggunakannya dalam tugasan sebelumnya, tetapi ia tersirat di sana.

Jawapan: $\left[ \begin(matriks) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Seperti yang anda lihat, tidak ada yang rumit tentang menaikkan matriks kepada kuasa. Contoh terakhir boleh diringkaskan:

\[((\left[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Fakta ini mudah dibuktikan melalui aruhan matematik atau pendaraban langsung. Walau bagaimanapun, tidak selalu mungkin untuk menangkap corak sedemikian apabila menaikkan kuasa. Oleh itu, berhati-hati: selalunya mendarab beberapa matriks "secara rawak" ternyata lebih mudah dan lebih cepat daripada mencari beberapa jenis corak.

Secara umum, jangan mencari makna yang lebih tinggi di mana tidak ada. Kesimpulannya, mari kita pertimbangkan eksponen bagi matriks yang lebih besar - sebanyak $\left[ 3\times 3 \right]$.

Masalah 9. Naikkan matriks kepada kuasa yang ditunjukkan:

\[((\left[ \begin(matriks) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matriks) \right])^(3))\]

Penyelesaian. Jangan kita cari corak. Kami bekerja ke hadapan:

\[((\left[ \begin(matriks) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matriks) \right])^(3))=(( \left[ \begin(matriks) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (matriks)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matriks) \kanan]\]

Pertama, mari kita kuasai matriks ini:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matriks) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matriks) \kanan])^( 2))=\left[ \begin(matriks) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matriks) \kanan]\cdot \left[ \begin(matriks ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matriks) \kanan]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Sekarang mari kita kiubkannya:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matriks) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matriks) \kanan])^( 3))=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(matriks) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matriks) \right]= \\ & =\left[ \begin( tatasusunan)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(array) \kanan] \end(align)\]

Itu sahaja. Masalah selesai.

Jawapan: $\left[ \begin(matriks) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrix) \right]$.

Seperti yang anda lihat, jumlah pengiraan telah menjadi lebih besar, tetapi maknanya tidak berubah sama sekali. :)

Ini menyimpulkan pelajaran. Lain kali kita akan mempertimbangkan operasi songsang: menggunakan produk sedia ada kita akan mencari faktor asal.

Seperti yang anda mungkin sudah meneka, kita akan bercakap tentang matriks songsang dan kaedah untuk mencarinya.

Aplikasi utama matriks adalah berkaitan dengan operasi pendaraban.

Dua matriks diberikan:

A – saiz mn

B – saiz n k

Kerana panjang baris dalam matriks A bertepatan dengan ketinggian lajur dalam matriks B, anda boleh menentukan matriks C=AB, yang akan mempunyai dimensi m k. unsur matriks C, terletak dalam baris ke-i arbitrari (i=1,...,m) dan lajur ke-j arbitrari (j=1,...,k), mengikut takrifan, adalah sama dengan hasil darab skalar daripada dua vektor daripada
:i-baris matriks A dan lajur ke-j matriks B:

Sifat:

Bagaimanakah operasi mendarab matriks A dengan nombor λ ditakrifkan?

Hasil darab A dan nombor λ ialah matriks di mana setiap unsur adalah sama dengan hasil darab unsur A dan λ yang sepadan. Corollary: Faktor sepunya semua elemen matriks boleh diambil daripada tanda matriks.

13. Definisi matriks songsang dan sifatnya.

Definisi. Jika terdapat matriks segi empat sama X dan A dengan susunan yang sama memenuhi syarat:

di mana E ialah matriks identiti yang sama susunan dengan matriks A, maka matriks X dipanggil terbalik kepada matriks A dan dilambangkan dengan A -1.

Sifat matriks songsang

Mari kita nyatakan sifat-sifat berikut bagi matriks songsang:

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (A T) -1 = (A -1) T .

1. Jika matriks songsang wujud, maka ia adalah unik.

2. Tidak setiap matriks persegi bukan sifar mempunyai songsang.

14. Berikan sifat utama penentu. Semak kesahihan harta |AB|=|A|*|B| untuk matriks

A= dan B=

Sifat penentu:

1. Jika mana-mana baris penentu terdiri daripada sifar, maka penentu itu sendiri adalah sama dengan sifar.

2. Apabila menyusun semula dua baris, penentu didarab dengan -1.

3. Penentu dengan dua baris yang sama adalah sama dengan sifar.

4. Faktor sepunya unsur-unsur mana-mana baris boleh diambil daripada tanda penentu.

5. Jika unsur-unsur baris tertentu penentu A dibentangkan sebagai hasil tambah dua sebutan, maka penentu itu sendiri adalah sama dengan hasil tambah dua penentu B dan D. Dalam penentu B, garis yang ditentukan terdiri daripada sebutan pertama, dalam D - bagi sebutan kedua. Baki garis penentu B dan D adalah sama seperti dalam A.

6. Nilai penentu tidak akan berubah jika garis lain ditambahkan pada salah satu garis, didarab dengan sebarang nombor.

7. Jumlah hasil darab unsur mana-mana baris dengan pelengkap algebra kepada unsur-unsur sepadan baris lain adalah sama dengan 0.

8. Penentu matriks A adalah sama dengan penentu matriks terpindah A m, i.e. penentu tidak berubah apabila ditukar.

15. Takrifkan modulus dan hujah bagi nombor kompleks. Tulis nombor √3+ dalam bentuk trigonometrii, -1+ i.

Setiap nombor kompleks z=a+ib boleh dikaitkan dengan vektor (a,b)€R 2. Panjang vektor ini bersamaan dengan √a 2 + b 2 dipanggil modulus nombor kompleks z dan dilambangkan dengan |z|. Sudut φ antara vektor yang diberikan dan arah positif paksi Lembu dipanggil hujah nombor kompleks z dan dilambangkan dengan arg z.

Mana-mana nombor kompleks z≠0 boleh diwakili sebagai z=|z|(cosφ +isinφ).

Bentuk penulisan nombor kompleks ini dipanggil trigonometri.

√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(kosπ/6+isinπ/6);

1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosπ/4+isinπ/4).

Setiap nombor kompleks Z = a + ib boleh diberikan vektor (a; b) kepunyaan R^2. Panjang vektor ini, sama dengan KB dari a^2 + b^2, dipanggil modulus nombor kompleks dan dilambangkan dengan modulus Z. Sudut antara vektor ini dan arah positif paksi Lembu dipanggil hujah nombor kompleks (ditandakan dengan arg Z).

Kami akan "mengecualikan" yang tidak diketahui secara berurutan. Untuk melakukan ini, kami akan membiarkan persamaan pertama sistem tidak berubah, dan mengubah yang kedua dan ketiga:

1) kepada persamaan kedua kita menambah yang pertama, didarab dengan –2, dan membawanya ke bentuk –3 x 2 –2x 3 = –2;

2) kepada persamaan ketiga kita menambah yang pertama, didarab dengan – 4, dan membawanya ke bentuk –3 x 2 – 4x 3 = 2.

Akibatnya, yang tidak diketahui akan dikecualikan daripada persamaan kedua dan ketiga x 1 dan sistem akan mengambil borang

Kami mendarabkan persamaan kedua dan ketiga sistem dengan -1, kami dapat

Pekali 1 dalam persamaan pertama untuk yang pertama tidak diketahui X 1 dipanggil unsur peneraju langkah pertama penghapusan.

Dalam langkah kedua, persamaan pertama dan kedua kekal tidak berubah, dan kaedah yang sama untuk menghapuskan pembolehubah digunakan pada persamaan ketiga x 2 . Elemen utama daripada langkah kedua ialah pekali 3. Pada persamaan ketiga kita tambahkan yang kedua, didarab dengan –1, kemudian sistem diubah menjadi bentuk

(1.2)

Proses mengurangkan sistem (1.1) kepada membentuk (1.2) dipanggil langsung kemajuan kaedah Gauss.

Prosedur untuk menyelesaikan sistem (1.2) dipanggil sebaliknya. Daripada persamaan terakhir yang kita dapat X 3 = –2. Menggantikan nilai ini ke dalam persamaan kedua, kita dapat X 2 = 2. Selepas ini, persamaan pertama memberi X 1 = 1. Oleh itu, adalah penyelesaian kepada sistem (1.1).

Konsep matriks

Mari kita pertimbangkan kuantiti yang termasuk dalam sistem (1.1). Satu set sembilan pekali berangka yang muncul sebelum yang tidak diketahui dalam persamaan membentuk jadual nombor yang dipanggil matriks:

A= .

(1.3)

Nombor jadual dipanggil elemen matriks. Bentuk unsur baris dan lajur matriks. Bilangan baris dan bilangan lajur terbentuk dimensi matriks. Matriks A mempunyai dimensi 3'3 (“tiga dengan tiga”), dengan nombor pertama menunjukkan bilangan baris, dan nombor kedua bilangan lajur. Selalunya matriks dilambangkan dengan menunjukkan dimensinya A (3 ´ 3). Oleh kerana bilangan baris dan lajur dalam matriks A sama, matriks dipanggil segi empat sama. Bilangan baris (dan lajur) dalam matriks segi empat sama dipanggilnya mengikut tertib, Itulah sebabnya A- matriks pesanan ketiga.

Sisi kanan persamaan juga membentuk jadual nombor, i.e. matriks:

Setiap baris matriks ini dibentuk oleh satu elemen, jadi B(3 ´ 1) dipanggil lajur matriks, dimensinya ialah 3'1. Set yang tidak diketahui juga boleh diwakili sebagai matriks lajur:

Mendarab matriks segi empat sama dengan matriks lajur

Anda boleh melakukan pelbagai operasi dengan matriks, yang akan dibincangkan secara terperinci kemudian. Di sini kita hanya akan menganalisis peraturan untuk mendarab matriks segi empat sama dengan matriks lajur. Oleh takrifan, hasil pendaraban matriks A(3 ´ 3) setiap lajur DALAM(3 ´ 1) ialah lajur D(3 ´ 1) , yang unsur-unsurnya sama dengan hasil tambah bagi unsur-unsur baris matriks A kepada elemen lajur DALAM:

2)kedua elemen lajur D sama dengan jumlah hasil darab unsur kedua baris matriks A kepada elemen lajur DALAM:

Daripada formula di atas adalah jelas bahawa mendarab matriks dengan lajur DALAM hanya mungkin jika bilangan lajur matriks A sama dengan bilangan elemen dalam lajur DALAM.

Mari kita lihat dua lagi contoh berangka bagi pendaraban matriks (3 ´3) setiap lajur (3 ´1):

Contoh 1.1

AB =
.

Contoh 1.2

AB= .