Seperti yang anda ketahui, nombor kompleks digunakan untuk menyelesaikan beberapa masalah biasa dalam kejuruteraan elektrik. Tetapi untuk apa mereka digunakan dan mengapa mereka melakukannya dengan cara ini? Kami akan cuba memikirkannya sepanjang artikel ini. Hakikatnya ialah kaedah kompleks, atau kaedah amplitud kompleks, adalah mudah untuk mengira litar kompleks arus ulang alik. Pertama, mari kita ingat beberapa asas matematik:

Seperti yang anda lihat, nombor kompleks z termasuk bahagian khayalan dan nyata, yang berbeza antara satu sama lain dan ditetapkan secara berbeza dalam teks. Nombor kompleks z itu sendiri boleh ditulis dalam bentuk algebra, trigonometri atau eksponen:

Latar belakang sejarah

Adalah dipercayai bahawa idea nombor khayalan mula muncul pada tahun 1545, apabila ahli matematik, jurutera, ahli falsafah, doktor dan ahli nujum Itali Girolamo Cardano menerbitkan dalam risalahnya "The Great Art" kaedah ini menyelesaikan persamaan, di mana, dengan cara itu, dia mengakui bahawa idea itu diberikan kepadanya oleh Niccolo Tartaglia (ahli matematik Itali) 6 tahun sebelum penerbitan karya ini. Dalam karyanya, Cradano menyelesaikan persamaan bentuk:

Dalam proses menyelesaikan persamaan ini, saintis terpaksa mengakui kewujudan nombor "tidak nyata" tertentu, yang kuasa duanya akan sama dengan tolak satu "-1", iaitu, seolah-olah terdapat Punca kuasa dua daripada nombor negatif, dan jika kita sekarang kuasa duakannya, kita mendapat, sewajarnya, nombor negatif di bawah punca. Cardano menyatakan peraturan pendaraban mengikut mana:

Selama tiga abad, komuniti matematik sedang dalam proses membiasakan diri dengan pendekatan baharu yang dicadangkan oleh Cardano. Nombor khayalan beransur-ansur berakar, tetapi diterima oleh ahli matematik dengan berat hati. Hanya dengan penerbitan karya Gauss tentang algebra, di mana dia membuktikan teorem asas algebra, nombor kompleks akhirnya diterima dengan teliti; ia adalah abad ke-19.

Nombor khayalan telah menjadi penyelamat sebenar bagi ahli matematik, kerana masalah yang paling kompleks menjadi lebih mudah untuk diselesaikan dengan penerimaan kewujudan nombor khayalan.

Jadi tidak lama kemudian ia datang kepada kejuruteraan elektrik. Litar elektrik AC kadang-kadang menjadi sangat rumit, dan untuk mengiranya adalah perlu untuk mengira banyak kamiran, yang selalunya sangat menyusahkan.

Akhirnya, pada tahun 1893, jurutera elektrik yang cemerlang Karl August Steinmetz bercakap di Chicago di Kongres Elektroteknikal Antarabangsa dengan laporan "Nombor kompleks dan aplikasinya dalam kejuruteraan elektrik," yang sebenarnya menandakan permulaan permohonan praktikal jurutera kaedah kompleks untuk mengira litar elektrik AC.

Dari kursus fizik kita tahu bahawa ini adalah arus yang berubah mengikut masa baik dari segi magnitud dan arah.

Ditemui dalam teknologi pelbagai bentuk arus ulang alik, bagaimanapun, arus yang paling biasa hari ini ialah arus ulang alik sinusoidal, ini adalah jenis yang digunakan di mana-mana, dengan bantuan elektrik yang dihantar, dalam bentuk arus ulang alik ia dihasilkan, ditukar oleh transformer dan digunakan oleh beban . Arus sinusoidal berubah secara berkala mengikut hukum sinusoidal (harmonik).

Dalam kaedah yang kompleks, nilai berkesan arus dan voltan ditulis seperti berikut:

Ambil perhatian bahawa dalam kejuruteraan elektrik unit khayalan dilambangkan dengan huruf "j" kerana huruf "i" sudah diambil di sini untuk mewakili arus.

Nilai rintangan kompleks ditentukan daripada:

Penambahan dan penolakan nilai kompleks dilakukan dalam bentuk algebra, manakala pendaraban dan pembahagian dilakukan dalam bentuk eksponen.

Mari kita lihat kaedah amplitud kompleks menggunakan contoh litar tertentu dengan nilai tertentu parameter utama.

Diberi:

voltan gegelung 50 V,

rintangan perintang 25 Ohm,

kearuhan gegelung 500 mH,

kapasiti elektrik kapasitor ialah 30 mikrofarad,

rintangan wayar gegelung 10 Ohm,

frekuensi sesalur 50 Hz.

Cari: bacaan ammeter dan voltmeter, serta wattmeter.

Penyelesaian:

Mula-mula, mari kita tuliskan rintangan kompleks unsur bersiri yang bersambung, yang terdiri daripada bahagian nyata dan khayalan, kemudian cari rintangan kompleks unsur induktif aktif.

Mari ingat! Untuk mendapatkan bentuk eksponen, cari modulus z, sama dengan punca kuasa dua hasil tambah kuasa dua bahagian nyata dan khayalan, serta phi, sama dengan arctangent bagi hasil bagi bahagian khayalan dibahagikan dengan nyata.

Butiran 28 Mac 2017

Tuan-tuan, dalam artikel hari ini saya ingin memberitahu anda sedikit tentang nombor kompleks dan isyarat. Artikel ini akan menjadi terutamanya teori. Tugasnya adalah untuk menyediakan beberapa asas untuk kemungkinan memahami artikel selanjutnya. Hanya apabila ia datang kepada fasa atau, katakan, kelakuan kapasitor dalam litar arus ulang-alik, semua kerumitan ini serta-merta mula menjalar masuk. Tetapi saya masih mahu bercakap mengenai fasa, ia adalah perkara penting. Tidak, artikel ini tidak akan menjadi kursus pendek TFKP, kami akan mempertimbangkan hanya kawasan yang sangat sempit dalam topik yang tidak diragukan lagi menarik dan luas ini. Jadi, mari pergi!

Tetapi sebelum kita mula bercakap secara langsung tentang nombor kompleks, saya juga ingin bercakap tentang perkara yang ingin tahu seperti bulatan trigonometri. Tuan-tuan, saya dan tuan-tuan telah bercakap mengenai arus sinusoidal sebanyak tiga (satu, dua, tiga) artikel. Tetapi bagaimanakah fungsi sinus terbentuk secara umum? Dan kosinus juga? Terdapat pelbagai cara untuk menjawab soalan ini, tetapi untuk tujuan artikel ini saya telah memilih penjelasan berikut. Sila lihat Rajah 1. Ia menunjukkan bulatan trigonometri yang dipanggil.

Rajah 1 - Bulatan trigonometri

Terdapat banyak bahan yang dilukis di sana, jadi mari kita fikirkan sedikit demi sedikit apa itu. Pertama, terdapat, sebenarnya, bulatan tertentu, pusatnya bertepatan dengan pusat sistem koordinat dengan paksi X Dan Y. Jejari bulatan ini adalah sama dengan satu. Hanya satu, tanpa sebarang volt, ampere dan lain-lain. Seterusnya, dua vektor jejari dilukis dari pusat bulatan ini OA Dan OE. Jelas sekali, panjang vektor ini adalah sama dengan satu, kerana kita mempunyai bulatan jejari unit. Sudut antara vektor OA dan paksi X adalah sama dengan φ 1, sudut antara vektor OE dan paksi X sama dengan φ 2

Dan sekarang bahagian yang paling menarik, tuan-tuan. Mari kita lihat apa yang mereka setara unjuran daripada vektor ini pada paksi X Dan Y. Unjuran vektor OA setiap paksi X- ini adalah segmen OB, dan pada paksi Y- ini adalah segmen OS. Dan semuanya bersama-sama (vektor itu sendiri OA dan unjurannya OB Dan OS) membentuk segi tiga tepat OAV. Menggunakan peraturan untuk bekerja dengan segi tiga tepat, kita boleh mencari sisinya OB Dan OS, iaitu unjuran vektor jejari OA pada paksi X Dan Y:

Sama sekali, anda boleh mencari hubungan untuk vektor OE:

Jika tidak jelas mengapa ini berlaku, saya nasihatkan anda untuk google tentang nisbah bidang dalam segi tiga tepat. Nah, sekarang kita membuat satu kesimpulan penting untuk diri kita sendiri - unjuran vektor unit pada paksi X adalah sama dengan kosinus sudut antara vektor dan paksi X, dan unjuran pada paksi XY ialah sinus bagi sudut ini.

Sekarang mari kita mulakan berputar vektor jejari lawan jam dengan beberapa frekuensi. Nah, supaya dengan hujungnya ia melukis bulatan. Dan, seperti yang anda mungkin sudah meneka, dengan putaran sedemikian, unjuran vektor pada paksi X akan melukis fungsi kosinus, dan unjuran pada paksi Y akan melukis fungsi sinus. Iaitu, jika vektor jejari kita ini membuat, sebagai contoh, 50 pusingan sesaat (iaitu, ia berputar pada frekuensi 50 Hz), maka ini bermakna unjurannya ke paksi X membentuk fungsi

dan unjurannya pada paksi Y melukis fungsi

Cukup fakta menarik Pada pendapat saya. Secara umum, bulatan trigonometri adalah perkara yang ingin tahu. Saya syorkan mengenalinya dengan lebih baik dengan menggoog topik ini. Ia membolehkan anda memahami dengan lebih baik. Kami kini telah mempertimbangkan hanya beberapa ciri yang kami perlukan. Sekarang mari kita tinggalkan fakta ini buat sementara waktu dan bercakap terus tentang nombor kompleks.

Jadi tuan-tuan, nombor kompleks ialah ungkapan bentuk

a- Ini sah sebahagian daripada nombor kompleks z.

b- Ini khayalan sebahagian daripada nombor kompleks z.

Malah, dalam buku serius mengenai matematik, nombor kompleks ditakrifkan agak berbeza, tetapi kami agak gembira dengan pilihan ini.

Secara saintifik, ini algebra bentuk penulisan nombor kompleks. Ada yang lain, kita akan mengenali mereka sedikit kemudian.

A Dan b- ini adalah nombor biasa yang kita semua terbiasa. Contohnya, 42, 18, -94, 100500, 1.87 dan seterusnya. Iaitu, sama sekali mana-mana. Sebagai contoh, mungkin terdapat rekod sedemikian

Nombor j- inilah yang dipanggil unit khayalan. Ia sering dilambangkan bukan dengan j, tetapi dengan i, tetapi i biasanya semasa dalam kejuruteraan elektrik, jadi kita akan menggunakan huruf j. Apa ini? Secara formal, ia boleh ditulis seperti ini

Agak tidak jelas bagaimana ini boleh menjadi punca nombor negatif. Sejak zaman kanak-kanak, kita semua telah terbiasa dengan hakikat bahawa di bawah akarnya kita hanya ada nombor positif. Tetapi ahli matematik telah memperkenalkan abstraksi sedemikian, yang membolehkan seseorang mengekstrak punca nombor negatif. Dan, anehnya, abstraksi sedemikian membantu dengan baik untuk menerangkan proses yang agak nyata, dan tidak sama sekali abstrak, dalam kejuruteraan elektrik.

Iaitu, kita melihat bahawa nombor kompleks itu sendiri hanya terdiri daripada dua sangat nombor biasa. Ya, yang kedua didahului oleh beberapa j mitos, tetapi ini tidak mengubah intipati perkara itu.

Jom kenali sekarang perwakilan grafik nombor kompleks .

Tuan-tuan, lihat Rajah 2. Ini betul-betul idea yang digambarkan di sana.

Rajah 2 - Satah kompleks

Jadi, apa sebenarnya maksud di sini? Dan caranya ialah kita mengambil dan melukis sistem koordinat. Di dalamnya kita panggil paksi X Re, dan paksi Y ialah Im. Re ialah paksi nombor sebenar, danIm ialah paksi nombor khayalan. Sekarang pada paksi Re kita ketepikan nilai a, dan pada paksi Im- saiz b nombor kompleks kami z. Akibatnya, kita mendapat titik pada satah kompleks dengan koordinat (A,b). Dan sekarang kita boleh melukis vektor jejari dari asal ke titik ini. Sebenarnya, vektor ini boleh dianggap sebagai nombor kompleks.

Fakta menarik: mari kita bayangkan b sama dengan 0. Kemudian ternyata nombor kompleks itu merosot menjadi nombor yang paling biasa, "satu dimensi": bahagian khayalan hilang begitu saja. Dan, secara semula jadi, vektor dalam kes ini akan terletak pada paksi Re. Iaitu, kita boleh mengatakan bahawa semua nombor yang mengelilingi kita kehidupan biasa, berada pada paksi Re, dan nombor kompleks melangkaui paksi ini, dalam beberapa cara mengembangkan sempadan. Baiklah, kita tidak perlu mendalami perkara ini.

Mari kita mendalami sesuatu yang lain. Iaitu, bagaimana lagi nombor kompleks boleh diwakili. Kami baru saja membuat kesimpulan bahawa nombor kompleks pada dasarnya adalah vektor. Dan vektor boleh dicirikan panjang dan sudut kecondongan, sebagai contoh, kepada paksi X. Sesungguhnya, kedua-dua parameter ini menentukan mana-mana vektor sepenuhnya, dengan syarat kita mempunyai ruang dua dimensi, sudah tentu. Untuk volum atau beberapa ruang multidimensi (seramnya) ini tidak benar, tetapi untuk ruang dua dimensi ia adalah benar. Sekarang mari kita nyatakan ini secara matematik. Jadi, mari kita anggap bahawa kita tahu panjang vektor (mari kita panggilnya | z|) dan sudut φ 1 .

Apakah yang boleh kita dapati daripada pengetahuan ini? Secara umumnya, agak banyak. Malah, kita tahu hipotenus segi tiga tegak dan salah satu sudutnya, iaitu, menurut beberapa teorem geometri, segi tiga tegak. ditakrifkan sepenuhnya. Jadi mari kita cari kakinya A Dan b:

Sekarang, tuan-tuan, bolehkah kita melakukan sedikit helah dengan telinga kita? Ingat tatatanda algebra untuk nombor kompleks? Nah, yang ini

Mari letak di sini a Dan b, diwakili melalui sinus dan kosinus. Kita mendapatkan

Kami mendapat ungkapan yang menarik. Ungkapan bentuk

dipanggil trigonometri bentuk penulisan nombor kompleks. Adalah baik jika kita mengetahui panjang vektor kita |z| dan sudut kecondongannya φ 1. Apabila ia datang kepada kejuruteraan elektrik, panjang vektor tiba-tiba bertukar menjadi amplitud isyarat, dan sudut kecenderungan menjadi fasa isyarat. Dengan cara ini, sila ambil perhatian bahawa bentuk trigonometri untuk menulis nombor kompleks agak hampir dengan bulatan trigonometri yang kami lukis pada permulaan artikel. Tetapi kita akan kembali kepada persamaan ini sedikit kemudian.

Tuan-tuan, sekarang kita hanya perlu berkenalan dengan bentuk terakhir penulisan nombor kompleks - indikatif. Untuk melakukan ini, anda perlu mengetahui apa yang dipanggil Formula Euler. Dengan izin anda, saya tidak akan menyentuh tentang terbitan formula ini dan mempertimbangkan dari mana ia datang. Ini sedikit di luar skop artikel dan, selain itu, terdapat banyak sumber di mana, tanpa keraguan, mereka akan memberitahu anda tentang terbitan formula ini secara lebih profesional daripada yang saya boleh lakukan. Kami hanya akan membentangkan hasil yang telah siap. Jadi, formula Euler kelihatan seperti

di mana e- Ini eksponen atau, sebagaimana ia juga dipanggil, fungsi eksponen. Bagi ahli matematik, ini adalah had tertentu apabila sesuatu cenderung kepada infiniti, atau, dalam istilah mudah, nombor biasa

Ya, hanya dua koma tujuh.

Sekarang bandingkan formula Euler dengan tatatanda trigonometri nombor kompleks. Tidakkah anda perasan sebarang persamaan yang menarik? Dengan melintasi dua ungkapan ini, kita boleh mendapatkan dengan tepat indikatif bentuk nombor kompleks:

Anehnya, notasi rumit ini tidak digunakan begitu jarang dalam kejuruteraan elektrik.

Jadi, kami berkenalan dengan pilihan utama untuk menulis nombor kompleks. Sekarang mari kita bergerak secara beransur-ansur ke arah kejuruteraan elektrik kegemaran kita. Mari kita tuliskan hukum perubahan voltan kosinus.

Kami telah menulis undang-undang ini beberapa kali, sebagai contoh, dalam artikel pertama yang dikhaskan untuk arus ulang-alik. Benar, ada sinus, dan di sini kosinus, tetapi ini tidak mengubah apa-apa pada dasarnya, cuma kosinus itu sedikit lebih mudah untuk penjelasan.

Dan sekarang perhatian, tuan-tuan. Urutan tindakan yang sangat bijak.

Pertama, tiada siapa yang menghalang kita daripada mempertimbangkan kosinus yang muncul dalam ungkapan ini pada bulatan trigonometri yang kita lukis dalam Rajah 1 pada awal artikel. Dan apa? Kenapa tidak? Mari kita bayangkan bahawa beberapa vektor Á m, sama dengan amplitud voltan kosinus kami, berputar masuk sistem segi empat tepat koordinat dengan frekuensi bulat ω . Dan kemudian, disebabkan oleh keadaan yang dinyatakan di atas, unjurannya pada paksi X akan menggariskan undang-undang kami dengan tepat. v(t). Nampaknya masih belum ada tangkapan.

Mari lihat lebih jauh. Pada paksi X, unjuran melukis fungsi masa kita, dan paksi Y tidak digunakan sama sekali. Dan supaya dia tidak hanya terbiar - mari kita anggap bahawa ini bukan sebarang paksiY, a paksi nombor khayalan . Iaitu, kami kini memperkenalkan ruang kompleks yang sama. Dalam ruang ini, apabila memutarkan vektor Á m(vektor biasanya dilambangkan dengan huruf dengan titik atau anak panah di atas) manakala unjurannya pada paksi X melukis kosinus, pada paksi Y kita akan melukis fungsi sinus. Keseluruhannya ialah kita sekarang, seolah-olah, melintasi bulatan trigonometri dengan satah kompleks. Dan hasilnya, kami mendapat sesuatu seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 3 (gambar boleh diklik).

Rajah 3 - Perwakilan tegasan pada satah kompleks

Apa yang kita lihat padanya? Sebenarnya, apa yang kami bincangkan tadi. Vektor yang sama panjangnya dengan amplitud voltan kita berputar dalam sistem koordinat, dan hukum kosinus muncul pada paksi X (iaitu Re) (ia bertepatan sepenuhnya dengan isyarat v(t) kita). Dan pada paksi Y (iaitu Im) hukum sinus muncul. Jumlah berdasarkan perkara di atas isyarat asal kami

kita boleh mewakili dalam bentuk trigonometri macam ni

atau dalam bentuk demonstrasi macam ni

Mari kita bayangkan sekarang bahawa kita tidak mempunyai isyarat kosinus, tetapi isyarat sinusoidal. Kami entah bagaimana menjadi lebih terbiasa dengannya. Iaitu, biarkan voltan berubah mengikut undang-undang ini

Mari kita laksanakan semua penaakulan dengan cara yang sama. Satu-satunya perbezaan adalah bahawa sekarang isyarat kami "digambar" pada paksi Im khayalan, dan paksi Re nampaknya tidak berfungsi. Tetapi memperkenalkan ruang kompleks, kami tiba-tiba mendapat bahawa notasi isyarat kompleks untuk kes ini betul-betul sama seperti untuk kes kosinus. Iaitu, untuk isyarat

kita boleh menulis perwakilan yang kompleks dalam bentuk trigonometri macam ni

atau dalam bentuk demonstrasi macam ni

Ternyata begitu perwakilan kompleks untuk kes isyarat sinus dan kosinus mempunyai bentuk yang sama. Dengan cara ini, ini agak jelas jika anda ingat bahawa apabila vektor berputar di sekeliling bulatan, kedua-dua sinus dan kosinus muncul serentak pada paksi yang berbeza. Dan nombor kompleks itu sendiri menerangkan dengan tepat vektor berputar ini dan, dengan itu, mengandungi maklumat tentang kedua-dua paksi X dan Y.

Sekarang mari kita ke belakang dan bayangkan bahawa kita mempunyai rekod beberapa isyarat kompleks sebagai

Atau, sebagai contoh, dalam bentuk ini

Bagaimanakah anda memahami perkara yang diterangkan: sinus atau kosinus? Jawapannya adalah tidak. Dia menerangkan kedua-duanya pada masa yang sama. Dan jika kita ada kosinus isyarat maka kita mesti ambil sah sebahagian daripada isyarat kompleks ini, dan jika sinusoidal - khayalan. Itu dia untuk kes kosinus ia kelihatan seperti ini:

atau lebih

A untuk kes sinus ia kelihatan seperti ini

atau lebih

Di sini semula() Dan saya()- berfungsi untuk mengambil bahagian nyata atau khayalan nombor kompleks. Dengan cara ini, ia ditakrifkan dalam banyak sistem CAD matematik dan boleh digunakan secara langsung dalam bentuk ini. Iaitu, berikan mereka nombor kompleks, dan terima bahagian sebenar atau khayalan pada output.

Anda mungkin bertanya: mengapa merumitkan banyak perkara? Apa faedahnya? Apakah untungnya? Sudah tentu, ada keuntungan, tetapi kami akan membincangkannya sedikit kemudian, dalam artikel berikut. Itu sahaja untuk hari ini, tuan-tuan. Terima kasih kerana membaca dan selamat tinggal!

Sertai kami

Istilah nombor kompleks (selepas ini dalam teks - CN) digunakan untuk menunjukkan ungkapan jenis berikut: ċ=а+jb, di mana indeks "ċ" digunakan untuk menunjukkan CN, dan "a" dan "b" memaparkan bahagian sebenar dan khayalan. Maknanya "j" menandakan unit khayalan dan sama dengan √(-1) .

DALAM Bahasa Inggeris dalam satu perkataan Nyata ia adalah adat untuk mencirikan realiti, dan istilah khayalan- sifat khayalan. Daripada kata-kata ini sebutan telah dicipta Re dan Im, yang digunakan untuk menyatakan kuantiti "A" Dan "b" dengan cara berikut:

a=Re(c), b=Im(c).

Untuk memaparkan CN secara geometri dalam bentuk vektor, satah kompleks digunakan. Paksi mendatarnya ditandakan dengan tanda +1 , dan yang menegak dilambangkan +j. Istilah bahagian sebenar (kurang kerap nyata) digunakan untuk menamakan paksi mendatar, dan untuk menegak - khayalan.

Kedua-dua komponen (sebenar dan khayalan) CN ialah unjuran segi empat tepat vektor pada paksi yang sepadan.

Dalam graf yang dibentangkan nilai с=|ċ| dipanggil modul CN dan sama dengan panjang vektor. Parameter lain yang menentukan kedudukan vektor jejari ialah sudut putaran α dari paksi +1 sebelum ini keadaan semasa ċ , dianggap sebagai hujah. α=arqċ.

Kaki segi tiga diwakili melalui hubungan:

a=cosα, b=csinα.

Menggunakan bentuk trigonometri untuk menyatakan CN, ia boleh diwakili sebagai:

ċ=с(cosα+jsinα).

Menggunakan formula Euler e jα = cosα+jbsinα, anda boleh mendapatkan nilai modulus dalam bentuk eksponen ċ=сe jα.

Dalam bentuk polar ungkapan itu kelihatan seperti:

ċ=с∠α.

Kedudukan vektor unit boleh digambarkan pada satah kompleks:

Unit khayalan mempunyai sifat berikut:

j=e j90° , j 2 =-1=e j180° , j 3 =jj 2 =-j=e j270° =e -j90° ,
j 4 =j 2 j 2 =1=e j0 =e j2Π , 1/J=1j/Jj=J/-1=-j.

Konsep konjugasi boleh digunakan untuk CN. Mereka adalah nombor yang sama dalam magnitud dalam moduli dan hujah, tetapi mempunyai tanda yang berbeza pada hujah-hujah.

ċ=a+jb=ce jα , ĉ=a-jb=ce jα.

Jelas daripada graf bahawa CN yang digambarkan oleh vektor adalah simetri berkenaan dengan paksi mendatar.

CC dan operasi matematik. Untuk menambah atau menolaknya, entri dibuat dalam ungkapan algebra:

ċ=ċ 1 +ċ 2 =(a 1 +jb 1)+(a 2 +jb 2)=(a 1 +a 2)+j(b 1 +b 2)=a+jb.

Dalam hubungan ini, komponen khayalan dan nyata disimpulkan secara berasingan: a=a 1 +a 2, b=b 1 +b 2.

Penambahan algebra nombor ini menyatakan penambahan vektor sepadannya.

Apabila melakukan penambahan nombor konjugat, anda boleh perhatikan bahawa jumlahnya dinyatakan dengan dua kali ganda nilai komponen sebenar:

ċ+ĉ=(a+jb)+(a-jb)=2a.

Ungkapan CN dalam bentuk eksponen adalah mudah untuk melakukan pendaraban atau pembahagian. Pada masa yang sama, modul mereka didarab atau dibahagikan, nilai hujah ditambah atau ditolak.

ċ=ċ 1 ċ 2 =c 1 e jα1 c 2 e jα2 =c 1 c 2 e j(α1+α2) =ce jα ;
ċ=ċ 1 /ċ 2 =c 1 e jα1 /c 2 e jα2 =c 1 e j(α1-α2) /c 2 =ce jα .

Dalam ungkapan с=с 1 /с 2 , α= α 1 -α 2.

Adalah mudah untuk melihat bahawa apabila pendaraban berlaku, panjang vektor bertambah sebanyak dari 2, dan hujahnya ialah nilai a 2. Apabila mewakili CN dengan vektor, keteraturan diperhatikan: untuk mendarab vektor dengan CN dalam bentuk aе jα ia cukup untuk meregangkan vektor masuk A sekali dan pusingkannya ke sudut α .

Untuk mengira hasil darab nombor konjugat, cukup untuk mengambil kuasa dua modulusnya:

ċĉ=(a+jb)(a-jb)=a 2 +b 2, atau ċĉ=сe jα сe -jα =с 2.

Untuk mendarab dan membahagi CN dalam keadaan tertentu, adalah mudah untuk menggunakan ungkapan algebranya. Dalam tindakan jenis ini, tindakan dijalankan mengikut undang-undang pendaraban polinomial dan mengambil kira nilai j 2 =-1.

ċ=ċ 1 ċ 2 =(a 1 +jb 1)(a 2 +jb 2)=(a 1 a 2 -b 1 b 2)+j(b 1 a 2 +a 1 b 2).

Untuk membahagikan nombor, cukup untuk menyingkirkan nilai j dalam ungkapan penyebut dengan mendarabkan penyebut dan pengangka dengan ungkapan yang sama penyebut konjugat:

ċ=ċ 1 /ċ 2 =((a 1 +jb 1)/(a 2 +jb 2))((a 2 -jb 2)/(a 2 -jb 2))=((a 1 a 2 + b 1 b 2)+(b 1 a 2 -a 1 b 2))/(a 2 2 +b 2 2)=a+jb;
a=(a 1 a 2 +b 1 b 2)/(a 2 2 +b 2 2);
b=(b 1 a 2 -a 1 b 2)/(a 2 2 +b 2 2).

Graf rajah vektor yang dibina boleh mempunyai imej berikut:

Untuk menyatakan nilai semasa dengan bentuk sinusoidal, gunakan hubungan i=Imsin(ωt+ψ), yang digunakan untuk mewakili vektor dengan panjang pada satah kompleks Im dan sudut kecondongan ψ ke kaki langit. Ekspresinya Im=Imejψ dianggap sebagai amplitud kompleks untuk arus. diwakili oleh graf:

Untuk mendapatkan nilai berkesan untuk arus, amplitud kompleks mesti dibahagikan dengan √2 .

İ=İm/√2=e jψ Im/√2 =Iaitu jψ .

Dalam kejuruteraan elektrik huruf besar dengan titik di atasnya (E, U, I) digunakan untuk menetapkan CN yang menyatakan pergantungan sinusoidal EMF, voltan dan arus tepat pada masanya.

Penetapan kekonduksian kompleks dan rintangan dibuat dalam huruf besar Y Dan Z, penulisan huruf kecil digunakan untuk memaparkan modul mereka di Dan z. Jawatan kuasa bersepadu dilaksanakan dengan simbol S dengan ikon tilde "҇" atasnya.

Arus elektrik, ketumpatan arus, voltan elektrik, tenaga apabila arus mengalir, kuasa arus elektrik
• Elektrik
  Arus elektrik adalah fenomena pergerakan tertib caj elektrik. Arah arus elektrik diambil sebagai arah pergerakan cas positif.

  Formula arus elektrik:
  
  Arus elektrik diukur dalam ampere. SI: A.
  Arus elektrik ditunjukkan dalam huruf Latin i atau saya. Simbol i(t) menandakan nilai "semerta" arus, i.e. semasa dalam apa jua jenis pada bila-bila masa. Dalam kes tertentu, ia boleh menjadi tetap atau berubah-ubah.
  
  Huruf besar huruf latin saya Sebagai peraturan, nilai semasa malar ditunjukkan.
  Di mana-mana kawasan yang tidak bercabang litar elektrik arus dengan magnitud yang sama mengalir, yang berkadar terus dengan voltan di hujung bahagian dan berkadar songsang dengan rintangannya. Nilai semasa ditentukan oleh hukum Ohm:
  1) untuk rantai arus terus
  2) untuk litar AC,
  di mana U- voltan, DALAM;
  R- rintangan ohmik, Ohm;
  Z- rintangan total, Ohm.
  Rintangan ohmik konduktor:
  ,
  di mana l- panjang konduktor, m;
  s- keratan rentas, mm 2;
  ρ - kerintangan, (Ohm mm2)/m.
  Ketergantungan rintangan ohmik pada suhu:
  R t = R 20,
  di mana R 20- rintangan di 20°C, Ohm;
  Rt- rintangan di t°C, Ohm;
  α - pekali suhu rintangan.
  Impedans litar AC:
  ,
  di manakah rintangan aktif, Ohm;
  - tindak balas induktif, Ohm;
  - kearuhan, Gn;
  - kemuatan, Ohm;
  - kapasiti, F.
  Rintangan aktif lebih besar daripada rintangan ohmik R:
  ,
  di manakah pekali yang mengambil kira peningkatan rintangan dengan arus ulang alik, bergantung kepada: frekuensi semasa; sifat magnet, kekonduksian dan diameter konduktor.
  Pada frekuensi industri, untuk konduktor bukan keluli, ia diterima dan dipertimbangkan.

• Ketumpatan Semasa
  Ketumpatan semasa ( j) ialah arus yang dikira per unit luas keratan rentas ( s)
  .
  Untuk mengagihkan ketumpatan arus secara seragam dan menyelaraskannya dengan normal ke permukaan yang melaluinya arus mengalir, formula ketumpatan semasa mengambil bentuk:
  ,
  di mana saya- kekuatan arus melalui keratan rentas konduktor dengan luas s.
  SI: A/m 2
• Voltan elektrik
  Apabila arus mengalir, seperti mana-mana pergerakan cas, proses penukaran tenaga berlaku. Voltan elektrik ialah jumlah tenaga yang mesti dibelanjakan untuk memindahkan satu unit cas dari satu titik ke titik yang lain.
  Formula voltan elektrik:
  
  Voltan elektrik ditunjukkan oleh huruf Latin u. Simbol u(t) menandakan nilai voltan "semerta", dan dengan huruf Latin besar U Sebagai peraturan, voltan malar ditunjukkan.
  Voltan elektrik diukur dalam volt. SI: DALAM.
• Tenaga apabila arus elektrik mengalir
  Formula tenaga apabila arus elektrik mengalir:
  
  SI: J
• Kuasa apabila arus elektrik mengalir
  Formula kuasa apabila arus elektrik mengalir:
  
  SI: W.

Litar elektrik
• Litar elektrik- satu set peranti yang direka untuk membenarkan arus elektrik mengalir melaluinya.
  Peranti ini dipanggil elemen litar.
• Sumber tenaga elektrik - peranti yang menukar jenis lain tenaga, seperti mekanikal atau kimia, kepada tenaga elektrik.
• Sumber voltan yang ideal- sumber yang voltan terminalnya tidak bergantung pada magnitud arus yang mengalir melaluinya.
  
  Rintangan dalaman sumber voltan ideal boleh diambil secara konvensional sama dengan sifar.
• Sumber semasa yang ideal- sumber, magnitud arus yang mengalir melaluinya yang tidak bergantung pada voltan pada terminalnya.
  
  Rintangan dalaman sumber sedemikian boleh diandaikan secara konvensional sama dengan infiniti.
• Penerima ialah peranti yang menggunakan tenaga atau menukar tenaga elektrik kepada jenis tenaga lain.
• Rangkaian dua terminal ialah litar yang mempunyai dua terminal sambungan (kutub).
• Elemen R yang ideal (elemen rintangan, perintang)- ini adalah elemen litar pasif di mana proses tak boleh balik untuk menukar tenaga elektrik kepada tenaga haba berlaku.
  Parameter utama perintang ialah rintangannya.
  
  Rintangan diukur dalam ohm. SI: Ohm
  Kekonduksian adalah timbal balik rintangan.
  .
  Kekonduksian diukur dalam siemens. SI: Cm.
  Formula kuasa unsur-R:
  .
  Formula tenaga unsur-R:
  .
• Elemen C yang ideal (elemen kapasitif, atau kapasitor)- ini adalah elemen litar pasif di mana proses menukar tenaga arus elektrik kepada tenaga berlaku medan elektrik dan begitu juga sebaliknya. Dalam sel C yang ideal tidak ada kehilangan tenaga.
  Formula kapasiti:
  . Contoh: , .
  Arus kapasiti:
  
  Voltan kapasiti:
  .
  Undang-undang pertukaran untuk unsur kapasitif. Dengan arus amplitud terhingga, cas pada elemen C tidak boleh berubah secara mendadak: .
  .
  Dengan kapasiti malar, voltan pada elemen kapasitif tidak boleh berubah secara mendadak: .
  Kuasa sel C: .
  Pada p > 0- tenaga disimpan apabila hlm< 0
  Tenaga unsur-C:
  , atau
  .
  
  
  Kapasitansi diukur dalam farad. SI: F.
• Elemen L yang ideal (elemen induktif atau induktor)- ini adalah unsur pasif di mana proses menukar tenaga arus elektrik kepada tenaga medan magnet dan sebaliknya berlaku. Dalam elemen L yang ideal tidak ada kehilangan tenaga.
  Untuk unsur L linear, formula kearuhan ( L) mempunyai bentuk:
  ,
  di manakah hubungan fluks.
  Kearuhan ditetapkan oleh huruf dan memainkan peranan sebagai pekali perkadaran antara fluks dan arus.
  Voltan pada elemen induktif:
  .
  Arus dalam unsur induktif:
  .
  Undang-undang pertukaran untuk unsur induktif. Dengan voltan amplitud terhingga, pautan fluks tidak boleh berubah secara mendadak: .
  .
  Dengan kearuhan yang berterusan, arus dalam unsur induktif tidak boleh berubah secara mendadak: .
  Kuasa elemen L: .
  Pada p > 0- tenaga disimpan apabila hlm< 0 - tenaga kembali kepada sumber.
  Tenaga unsur L:
  , atau
  .
  Jika pada masa , tenaga ialah 0, maka
  
  Kearuhan diukur dalam henries. SI: Gn
  Contoh: .
• R, L, C— elemen dua kutub pasif asas litar elektrik.
  
  

Undang-undang asas litar elektrik
• Hukum Ohm untuk bahagian litar yang tidak mengandungi sumber EMF.
  Hukum Ohm untuk bahagian litar yang tidak mengandungi sumber EMF mewujudkan hubungan antara arus dan voltan dalam bahagian ini.
  
  Berhubung dengan angka ini, ungkapan matematik hukum Ohm mempunyai bentuk:
  , atau
  Kesamaan ini dirumuskan seperti berikut: dengan rintangan berterusan konduktor, voltan di atasnya adalah berkadar dengan arus dalam konduktor.
• Hukum Ohm untuk bahagian litar yang mengandungi sumber EMF
  Untuk litar
  
  
  .
  Untuk litar
  
  
  .
  Secara umum
  .
• Undang-undang Joule-Lenz. Tenaga yang dibebaskan pada rintangan R apabila arus mengalir melaluinya saya, adalah berkadar dengan hasil kuasa dua arus dan nilai rintangan:
  
• undang-undang Kirchhoff.
  Topologi (struktur) litar.
  Gambar rajah elektrik — imej grafik litar elektrik.
  Cawangan- bahagian litar yang mengandungi satu atau lebih elemen yang disambung secara bersiri dan tertutup di antara dua nod.
  Simpul- titik rantai di mana sekurang-kurangnya tiga cabang bertumpu. Nod dinomborkan sewenang-wenangnya, biasanya dengan angka Arab. Pada rajah, nod mungkin atau mungkin tidak ditunjukkan oleh titik. Sebagai peraturan, nod yang lokasinya jelas (sambungan berbentuk T) tidak ditunjukkan. Jika cawangan bersilang membentuk nod, ia ditunjukkan dengan titik. Sekiranya tidak ada titik di persimpangan cawangan, maka tidak ada nod (wayar terletak di atas satu sama lain).
  Litar- laluan tertutup melalui beberapa cawangan. Laluan adalah bebas jika ia berbeza dalam sekurang-kurangnya satu cawangan. Kontur ditunjukkan oleh anak panah dengan arah traversal yang ditunjukkan dan angka Rom. Arah pintasan dipilih sewenang-wenangnya. Terdapat banyak litar bebas dalam litar, tetapi tidak semua litar ini diperlukan untuk mengarang bilangan persamaan yang mencukupi untuk menyelesaikan masalah.
  
  
  1) jumlah algebra arus yang mengalir ke mana-mana nod litar adalah sama dengan sifar:
  ;
  
  2) jumlah arus yang mengalir ke mana-mana nod adalah sama dengan jumlah arus yang mengalir dari nod:
  . .
  Hukum kedua Kirchhoff:
  1) jumlah algebra bagi penurunan voltan dalam mana-mana litar tertutup adalah sama dengan jumlah algebra bagi emf sepanjang litar yang sama:
  
  2) jumlah algebra bagi tegasan (bukan penurunan voltan!) di sepanjang mana-mana litar tertutup adalah sama dengan sifar:
  . .
• Bentuk matriks penulisan persamaan Kirchhoff:
  ,
  di mana A, DALAM- pekali untuk arus dan voltan perintah itu p x p (hlm- bilangan cawangan litar; q- bilangan nod litar);
  saya, E- arus yang tidak diketahui dan diberi EMF
  Unsur matriks A ialah pekali untuk arus di sebelah kiri persamaan yang disusun mengikut hukum pertama dan kedua Kirchhoff. Baris pertama matriks A mengandungi pekali untuk arus dalam persamaan yang disusun mengikut hukum pertama Kirchhoff, dan mempunyai unsur +1, -1, 0 bergantung pada tanda yang arus yang diberi ke dalam persamaan.
  Elemen baris matriks berikut A adalah sama dengan nilai rintangan pada arus yang sepadan dalam persamaan yang disusun mengikut undang-undang kedua Kirchhoff, dengan tanda yang sepadan. Unsur matriks DALAM adalah sama dengan pekali untuk EMF di sebelah kanan persamaan yang disusun mengikut undang-undang Kirchhoff. Baris pertama matriks mempunyai unsur sifar, kerana tiada EMF di sebelah kanan persamaan yang ditulis mengikut undang-undang pertama Kirchhoff. Baris selebihnya mengandungi elemen +1, -1 bergantung pada tanda yang EMF disertakan dalam persamaan, dan 0 jika EMF tidak termasuk dalam persamaan.
  Penyelesaian umum persamaan yang disusun mengikut hukum Kirchhoff:
  ,
  di mana - matriks kekonduksian.
  .
  Arus di setiap cawangan:
  ;
  ;
  
  .
Mod pengendalian litar elektrik
• Mod pengendalian nominal bagi elemen litar elektrik- ini ialah mod di mana ia beroperasi dengan parameter nominal.
• Mod Dipersetujui ialah mod di mana kuasa yang dibekalkan oleh sumber atau digunakan oleh penerima mempunyai nilai maksimum. Nilai ini diperoleh dengan nisbah tertentu (penyelarasan) parameter litar elektrik.
• Mod bergerak terbiar - ini ialah mod di mana tiada aliran melalui sumber atau penerima elektrik. Dalam kes ini, sumber tidak melepaskan tenaga ke dalam bahagian luar litar, dan penerima tidak menggunakannya. Untuk enjin, ini akan menjadi mod tanpa beban mekanikal secara pukal.
• Mod litar pintas - ini ialah mod yang berlaku apabila terminal yang berbeza bagi sumber atau elemen pasif, serta bahagian litar elektrik yang bertenaga, disambungkan antara satu sama lain.
Litar elektrik DC
• Jika arus adalah malar, maka tidak ada fenomena aruhan diri dan voltan merentasi induktor adalah sifar:
  , kerana
• Arus terus tidak melalui kapasitansi.
• ialah litar sumber tunggal secara bersiri, selari atau sambungan bercampur penerima.
  
  Pada sambungan bersiri penerima:
  Persamaan I×R;
  R eq =ΣR i.
  Apabila menyambungkan penerima secara selari, voltan pada semua penerima adalah sama.
  Menurut hukum Ohm, arus dalam setiap cabang ialah:
  .
  Mengikut undang-undang pertama Kirchhoff jumlah arus:
  E×G persamaan;
  G eq =G 1 +G 2 +…+G n; R eq =1/G eq.
  Untuk sambungan bercampur:
  R eq =.
• Kaedah semasa gelung.
  Kaedah ini berdasarkan penggunaan undang-undang kedua Kirchhoff dan membolehkan seseorang mengurangkan pengiraan sistem yang kompleks bilangan persamaan yang perlu diselesaikan.
  Dalam litar saling bebas, di mana untuk setiap litar sekurang-kurangnya satu cawangan dimasukkan hanya dalam litar ini, arus litar bersyarat dalam semua cawangan litar dipertimbangkan.
  Arus gelung, berbeza dengan arus cawangan, mempunyai indeks berikut: atau
  Persamaan disusun mengikut hukum kedua Kirchhoff untuk arus gelung.
  Arus cawangan dinyatakan melalui arus gelung mengikut undang-undang pertama Kirchhoff.
  Bilangan kontur yang dipilih dan bilangan persamaan yang diselesaikan adalah sama dengan bilangan persamaan yang disusun mengikut hukum kedua Kirchhoff: .
  Jumlah rintangan semua elemen rintangan setiap litar dengan tanda tambah adalah pekali untuk arus litar dan mempunyai indeks berikut: atau
  Tanda pekali untuk arus litar bersebelahan bergantung kepada kebetulan atau ketidakpadanan arah arus litar bersebelahan. EMF memasuki persamaan dengan tanda tambah jika arah EMF dan arah arus litar bertepatan. .
• Kaedah potensi nod.
  Kaedah ini berdasarkan penggunaan undang-undang pertama Kirchhoff dan membolehkan seseorang mengurangkan bilangan persamaan untuk diselesaikan apabila mencari arus yang tidak diketahui kepada . Apabila membuat persamaan, potensi salah satu nod litar diambil sama dengan sifar, dan arus cawangan dinyatakan melalui potensi yang tidak diketahui bagi nod litar yang tinggal dan persamaan ditulis untuk mereka mengikut undang-undang pertama Kirchhoff. Menyelesaikan sistem persamaan membolehkan anda menentukan potensi yang tidak diketahui dan melaluinya mencari arus cawangan.
  Apabila http:="" title="U_(12)=(jumlah(i=1)(m)(E_i/R_i))/(jumlah(i=1)(n)(1/R_i) )=(jumlah(i=1)(m)(E_i*G_i))/(jumlah(i=1)(n)(G_i))">.!}
  .
• Kaedah kebesaran berkadar.
  Kaedah ini digunakan untuk mencari arus yang tidak diketahui dalam penyambungan rantai unsur perintang dalam litar elektrik dengan satu punca. Arus dan voltan, serta EMF litar yang diketahui, dinyatakan melalui arus cawangan yang paling jauh dari punca. Masalahnya datang kepada menyelesaikan satu persamaan dengan satu yang tidak diketahui.
• Imbangan kuasa
  Berdasarkan undang-undang pemuliharaan tenaga, kuasa yang dibangunkan oleh sumber tenaga elektrik mestilah sama dengan kuasa penukaran tenaga elektrik kepada jenis tenaga lain dalam litar:
  .
  — jumlah kapasiti yang dibangunkan oleh sumber;
  — jumlah kuasa semua penerima dan transformasi tenaga tak boleh balik di dalam sumber.
  Imbangan kuasa disediakan untuk memeriksa ketepatan penyelesaian yang ditemui. Dalam kes ini, kuasa yang disumbangkan kepada litar oleh sumber tenaga dibandingkan dengan kuasa yang dibelanjakan oleh pengguna.
  Formula kuasa untuk satu perintang:
  
  Jumlah kuasa pengguna:
  P P=
  Kuasa sumber:
  P sumber = P E + P J,
  di mana P E = ±EI- kuasa sumber EMF(ditentukan dengan mendarab EMFnya dengan arus yang mengalir dalam cawangan tertentu. Arus diambil dengan tanda yang diperoleh hasil daripada pengiraan. Tolak diletakkan di hadapan hasil jika arah arus dan EMF tidak bertepatan dalam rajah);
  PJ = JUJ— kuasa sumber arus (ditentukan dengan mendarabkan arus punca dengan penurunan voltan merentasinya).
  Untuk menentukan UJ, pilih mana-mana litar yang mengandungi sumber arus. Tunjukkan jatuh U J pada litar melawan arus punca, dan tulis persamaan gelung. Semua kuantiti kecuali U J, dalam persamaan ini sudah diketahui, yang memungkinkan untuk mengira penurunan voltan U J.
  Perbandingan kuasa: P sumber = P P. Jika kesaksamaan dipenuhi, maka baki adalah betul dan pengiraan semasa adalah betul.
• Algoritma untuk mengira litar mengikut hukum Kirchhoff
  1. Kami merancang secara rawak nombor dan arah arus yang tidak diketahui pada rajah.
  2. Kami meletakkan nombor nod secara rawak pada rajah.
  3. Kami mengarang persamaan nod untuk nod yang dipilih secara sewenang-wenangnya (mengikut undang-undang pertama).
  4. Kami menandakan kontur pada rajah dan pilih arah untuk mengelilinginya.
  5. Bilangan kontur yang ditetapkan adalah sama dengan bilangan persamaan yang disusun mengikut hukum kedua Kirchhoff. Dalam kes ini, tiada litar harus termasuk cawangan dengan sumber semasa.
  6. Kami mengarang persamaan kontur untuk kontur yang dipilih (mengikut undang-undang kedua).
  7. Kami menggabungkan persamaan yang disusun ke dalam sistem. Kami memindahkan kuantiti yang diketahui kepada sebelah kanan persamaan. Kami memasukkan pekali untuk arus yang dikehendaki ke dalam matriks A(sisi kiri persamaan) (baca tentang matriks). Mengisi matriks F, memasukkan bahagian kanan persamaan ke dalamnya.
  8. Kami menyelesaikan sistem persamaan ().
  9. Kami menyemak ketepatan penyelesaian dengan membuat imbangan kuasa.
     Contoh: .
litar elektrik AC
• Litar elektrik arus sinusoidal ialah litar elektrik di mana EMF, voltan dan arus berbeza mengikut undang-undang sinusoidal:
  
• Arus ulang alik ialah arus yang berubah secara berkala dalam magnitud dan arah dan dicirikan oleh amplitud, tempoh, kekerapan dan fasa.
• Amplitud arus AC- Ini nilai tertinggi, positif atau negatif, diterima oleh arus ulang alik.
• Tempoh- ini adalah masa di mana ayunan lengkap arus berlaku dalam konduktor.
• Kekerapan adalah timbal balik tempoh.
• fasa ialah sudut atau di bawah tanda sinus. Fasa mencirikan keadaan arus ulang alik dari semasa ke semasa. Pada t=0 fasa dipanggil fasa awal.
• Mod berkala: . Mod ini juga boleh dikelaskan sebagai sinusoidal:
  ,
  di manakah amplitud;
  - fasa awal;
  — kelajuan sudut putaran pemutar penjana.
  Pada f= 50 Hz rad/s.
• Arus sinusoidal- ini ialah arus yang berubah mengikut masa mengikut hukum sinusoidal:
  .
• Nilai purata arus sinusoidal (EMF, voltan), formula:
  ,
  iaitu, nilai purata arus sinusoidal adalah sama dengan amplitud. Begitu juga,
  .
• Nilai berkesan arus sinusoidal (EMF, voltan), formula:
  . Begitu juga,
  .
• Jumlah haba yang dibebaskan dalam satu tempoh oleh arus sinusoidal, formula:
  .
  Nilai berkesan arus sinusoidal saya adalah sama secara berangka dengan nilai arus terus tersebut, yang, dalam masa yang sama dengan tempoh arus sinusoidal, membebaskan jumlah haba yang sama seperti arus sinusoidal.
  =R×I jawatan 2×T atau saya pos=saya=
• Faktor puncak arus sinusoidal (κ a) ialah nisbah amplitud arus sinusoidal kepada nilai berkesan arus sinusoidal: .
• Faktor bentuk arus sinusoidal (κ f) ialah sikap nilai berkesan arus sinusoidal kepada nilai purata arus sinusoidal selama setengah tempoh:
  κ f=.
  Untuk arus berkala bukan sinusoidal κa≠, κ f≠1.11. Sisihan ini secara tidak langsung menunjukkan betapa berbezanya arus bukan sinusoidal dengan arus sinusoidal.
Asas kaedah komprehensif untuk mengira litar elektrik
• Mana-mana nombor kompleks boleh diwakili:
  a) dalam bentuk algebra
  b) dalam bentuk trigonometri
  c) dalam bentuk demonstrasi
  di mana - Formula Euler;
  d) vektor pada satah kompleks,
  
  di manakah unit khayalan;
  — bahagian nyata nombor kompleks (unjuran vektor ke paksi nyata);
  — bahagian khayalan nombor kompleks (unjuran vektor ke paksi khayalan);
  — modulus nombor kompleks;
  — nilai utama hujah nombor kompleks.
  Menyelesaikan contoh operasi pada nombor kompleks.
• Arus sinusoidal i .
• Amplitud arus kompleks- nombor kompleks yang modul dan hujahnya masing-masing sama dengan amplitud dan fasa awal arus sinusoidal:
  .
• Arus kompleks (arus berkesan kompleks):
  
  
• Voltan sinusoidal u boleh diberikan kepada nombor kompleks .
• Amplitud voltan kompleks- nombor kompleks yang modulus dan hujahnya masing-masing sama dengan amplitud dan fasa awal voltan sinusoidal:
  .
• Rintangan kompleks:
  
  Rintangan aktif dalam bentuk kompleks dinyatakan sebagai nombor nyata positif.
  Reaktans dalam bentuk kompleks dinyatakan dalam nombor khayalan, dan tindak balas induktif ( XL) adalah positif, dan kapasitif ( X C) negatif.
  Impedans bahagian litar dengan sambungan bersiri R Dan X dinyatakan sebagai nombor kompleks, bahagian sebenar adalah sama dengan rintangan aktif, dan bahagian khayalan adalah sama dengan reaktansi bahagian ini.
• Segitiga rintangan:
  
  
  
• Segi tiga voltan:
  
  
  
  
• Segitiga kuasa:
  
  Kuasa penuh:
  Kuasa aktif:
  Kuasa reaktif:
  
• Hukum Ohm dalam bentuk kompleks:
  .
• Hukum pertama Kirchhoff dalam bentuk kompleks:
  .
• Hukum kedua Kirchhoff dalam bentuk kompleks:
  .
Fenomena resonans dalam litar elektrik
Rintangan aktif yang ideal tidak bergantung pada frekuensi, reaktans induktif bergantung secara linear pada frekuensi, reaktans kapasitif bergantung pada frekuensi menurut hukum hiperbolik:





• Resonans voltan.
  Resonans dalam litar elektrik ialah mod bahagian litar elektrik yang mengandungi unsur induktif dan kapasitif, di mana perbezaan fasa antara voltan dan arus adalah sifar.
  Mod resonans boleh diperolehi dengan menukar frekuensi ω bekalan voltan atau menukar parameter L Dan C.
  Apabila disambung secara bersiri, resonans voltan berlaku.
  
  
  Arus dalam litar ialah:
  
  Apabila vektor semasa bertepatan dengan vektor voltan dalam fasa:
  
  
  
  di manakah frekuensi resonans voltan, ditentukan daripada keadaan
  
  Kemudian
  
  Gelombang atau impedans ciri litar bersiri:
  
  Faktor kualiti litar ialah nisbah voltan merentasi kearuhan atau kemuatan kepada voltan pada input dalam mod resonans:
  
  Faktor kualiti litar ialah keuntungan voltan:
  U Lres=Saya potong X potong=
  DALAM rangkaian perindustrian resonans voltan adalah mod kecemasan, kerana peningkatan voltan pada kapasitor boleh menyebabkan kerosakannya, dan peningkatan arus boleh menyebabkan pemanasan wayar dan penebat.
• Resonans arus.
  
  
  Resonans arus boleh berlaku apabila unsur reaktif disambung secara selari dalam litar arus ulang alik. Dalam kes ini: di mana
  
  Kemudian
  
  Pada frekuensi resonans, komponen reaktif kekonduksian boleh dibandingkan dalam magnitud dan jumlah kekonduksian akan menjadi minimum. Di mana rintangan total menjadi maksimum, jumlah arus adalah minimum, vektor semasa bertepatan dengan vektor voltan. Fenomena ini dipanggil resonans semasa.
  Kekonduksian gelombang: .
  Pada g<< b L arus dalam cawangan dengan induktansi adalah lebih besar daripada jumlah arus, jadi fenomena ini dipanggil resonans semasa.
  Kekerapan Resonans:
  ω* =
  Daripada formula berikut:
  1) kekerapan resonans bergantung pada parameter bukan sahaja rintangan reaktif, tetapi juga yang aktif;
  2) resonans adalah mungkin jika R L Dan R C lebih kurang ρ , jika tidak, kekerapan akan menjadi kuantiti khayalan dan resonans tidak mungkin;
  3) jika R L = R C = ρ, maka frekuensi akan mempunyai nilai tidak tentu, yang bermaksud bahawa resonans boleh wujud pada sebarang frekuensi apabila fasa voltan bekalan dan jumlah arus bertepatan;
  4) bila R L = R C<< ρ frekuensi resonan voltan adalah sama dengan frekuensi resonan arus.
  Proses tenaga dalam litar semasa resonans semasa adalah serupa dengan proses semasa resonans voltan.
  Kuasa reaktif pada resonans semasa adalah sifar. secara terperinci, kuasa reaktif disemak

Daripada surat pelanggan:
Beritahu saya, demi Tuhan, mengapa kuasa UPS ditunjukkan dalam Volt-Amps, dan bukan dalam kilowatt biasa. Ia sangat tertekan. Lagipun, semua orang telah lama terbiasa dengan kilowatt. Dan kuasa semua peranti ditunjukkan terutamanya dalam kW.
Alexei. 21 Jun 2007

Ciri teknikal mana-mana UPS menunjukkan kuasa ketara [kVA] dan kuasa aktif [kW] - ia mencirikan kapasiti beban UPS. Contoh, lihat foto di bawah:

Kuasa bukan semua peranti ditunjukkan dalam W, sebagai contoh:

• Kuasa transformer ditunjukkan dalam VA:
  http://www.mstator.ru/products/sonstige/powertransf (pengubah TP: lihat lampiran)
  http://metz.by/download_files/catalog/transform/tsgl__tszgl__tszglf.pdf (pengubah TSGL: lihat lampiran)
• Kuasa kapasitor ditunjukkan dalam Vars:
  http://www.elcod.spb.ru/catalog/k78-39.pdf (kapasitor K78-39: lihat lampiran)
  http://www.kvar.su/produkciya/25-nizkogo-napraygeniya-vbi (kapasitor UK: lihat lampiran)
• Untuk contoh beban lain, lihat lampiran di bawah.

Ciri-ciri kuasa beban boleh ditentukan dengan tepat oleh satu parameter tunggal (kuasa aktif dalam W) hanya untuk kes arus terus, kerana dalam litar arus terus hanya terdapat satu jenis rintangan - rintangan aktif.

Ciri-ciri kuasa beban untuk kes arus ulang-alik tidak dapat ditentukan dengan tepat oleh satu parameter tunggal, kerana dalam litar arus ulang-alik terdapat dua jenis rintangan - aktif dan reaktif. Oleh itu, hanya dua parameter: kuasa aktif dan kuasa reaktif dengan tepat mencirikan beban.

Prinsip operasi rintangan aktif dan reaktif adalah berbeza sama sekali. Rintangan aktif - menukar tenaga elektrik kepada jenis tenaga lain (terma, cahaya, dll.) secara tidak boleh balik - contoh: lampu pijar, pemanas elektrik (perenggan 39, Fizik gred ke-11 V.A. Kasyanov M.: Bustard, 2007).

Reaktansi - secara bergantian mengumpul tenaga dan kemudian melepaskannya semula ke dalam rangkaian - contoh: kapasitor, induktor (perenggan 40,41, Fizik gred ke-11 V.A. Kasyanov M.: Bustard, 2007).

Selanjutnya dalam mana-mana buku teks mengenai kejuruteraan elektrik anda boleh membaca bahawa kuasa aktif (dilesapkan oleh rintangan aktif) diukur dalam watt, dan kuasa reaktif (beredar melalui reaktans) diukur dalam vars; Juga, untuk mencirikan kuasa beban, dua lagi parameter digunakan: kuasa ketara dan faktor kuasa. Semua 4 parameter ini:

1. Kuasa aktif: penunjukan P, unit ukuran: Watt
2. Kuasa reaktif: penunjukan Q, unit ukuran: VAR(Volt Ampere reaktif)
3. Kuasa ketara: penunjukan S, unit ukuran: VA(Vol Ampere)
4. Faktor kuasa: simbol k atau cosФ, unit ukuran: kuantiti tanpa dimensi

Parameter ini dikaitkan dengan hubungan: S*S=P*P+Q*Q, cosФ=k=P/S

Juga cosФ dipanggil faktor kuasa ( Faktor Kuasa – PF)

Oleh itu, dalam kejuruteraan elektrik, mana-mana dua daripada parameter ini ditentukan untuk mencirikan kuasa, kerana selebihnya boleh didapati daripada kedua-dua parameter ini.

Sebagai contoh, motor elektrik, lampu (pelepasan) - dalam mereka. data menunjukkan P[kW] dan cosФ:
http://www.mez.by/dvigatel/air_table2.shtml (enjin AIR: lihat lampiran)
http://www.mscom.ru/katalog.php?num=38 (lampu DRL: lihat lampiran)
(untuk contoh data teknikal untuk beban yang berbeza, lihat lampiran di bawah)

Ia sama dengan bekalan kuasa. Kuasa mereka (kapasiti beban) dicirikan oleh satu parameter untuk bekalan kuasa DC - kuasa aktif (W), dan dua parameter untuk sumber. Bekalan kuasa AC. Biasanya kedua-dua parameter ini ialah kuasa ketara (VA) dan kuasa aktif (W). Lihat, sebagai contoh, parameter set penjana diesel dan UPS.

Kebanyakan peralatan pejabat dan rumah adalah aktif (tiada atau sedikit tindak balas), jadi kuasanya ditunjukkan dalam Watt. Dalam kes ini, apabila mengira beban, nilai kuasa UPS dalam Watt digunakan. Jika beban adalah komputer dengan bekalan kuasa (PSU) tanpa pembetulan faktor kuasa input (APFC), pencetak laser, peti sejuk, penghawa dingin, motor elektrik (contohnya, pam tenggelam atau motor sebagai sebahagian daripada alat mesin. ), lampu balast pendarfluor, dsb., semua output digunakan dalam pengiraan. . Data UPS: kVA, kW, ciri beban lampau, dsb.

Lihat buku teks kejuruteraan elektrik, sebagai contoh:

1. Evdokimov F. E. Asas teori Kejuruteraan Elektrik. - M.: Pusat penerbitan "Akademi", 2004.

2. Nemtsov M.V. Kejuruteraan elektrik dan elektronik. - M.: Pusat penerbitan "Akademi", 2007.

3. Chastoedov L. A. Kejuruteraan elektrik. - M.: Sekolah Tinggi, 1989.

Lihat juga kuasa AC, Faktor kuasa, Rintangan elektrik, Reaktans http://en.wikipedia.org
(terjemahan: http://electron287.narod.ru/pages/page1.html)

Permohonan

Contoh 1: kuasa transformer dan autotransformer ditunjukkan dalam VA (Volt Ampere)

http://metz.by/download_files/catalog/transform/tsgl__tszgl__tszglf.pdf (pengubah TSGL)

Autotransformer fasa tunggal
TDGC2-0.5 kVa, 2A		AOSN-2-220-82
TDGC2-1.0 kVa, 4A	Latr 1.25	AOSN-4-220-82
TDGC2-2.0 kVa, 8A	Latr 2.5	AOSN-8-220-82
TDGC2-3.0 kVa, 12A
TDGC2-4.0 kVa, 16A
TDGC2-5.0 kVa, 20A		AOSN-20-220
TDGC2-7.0 kVa, 28A
TDGC2-10 kVa, 40A		AOMN-40-220
TDGC2-15 kVa, 60A
TDGC2-20 kVa, 80A

http://www.gstransformers.com/products/voltage-regulators.html (LATR / autotransformers makmal TDGC2)

Contoh 2: kuasa kapasitor ditunjukkan dalam VAR (Volt Ampere reaktif)

http://www.elcod.spb.ru/catalog/k78-39.pdf (kapasitor K78-39)

http://www.kvar.su/produkciya/25-nizkogo-napraygeniya-vbi (kapasitor UK)

Contoh 3: data teknikal untuk motor elektrik mengandungi kuasa aktif (kW) dan cosF

Untuk beban seperti motor elektrik, lampu (nyahcas), bekalan kuasa komputer, beban gabungan, dsb. - data teknikal menunjukkan P [kW] dan cosФ (faktor kuasa dan kuasa aktif) atau S [kVA] dan cosФ (kuasa ketara dan faktor kuasa) kuasa).

http://www.weiku.com/products/10359463/Stainless_Steel_cutting_machine.html
(beban gabungan – mesin pemotong plasma keluli / Inverter Plasma cutter LGK160 (IGBT)

http://www.silverstonetek.com.tw/product.php?pid=365&area=en (bekalan kuasa PC)

Lampiran 1

Jika beban mempunyai faktor kuasa yang tinggi (0.8 ... 1.0), maka sifatnya mendekati beban rintangan. Beban sedemikian sesuai untuk kedua-dua talian rangkaian dan untuk sumber kuasa, kerana tidak menjana arus dan kuasa reaktif dalam sistem.

Oleh itu, banyak negara telah menerima pakai piawaian yang mengawal selia faktor kuasa peralatan.

Tambahan 2

Peralatan beban tunggal (contohnya, unit bekalan kuasa PC) dan peralatan gabungan berbilang komponen (contohnya, mesin pengilangan industri yang mengandungi beberapa motor, PC, lampu, dll.) mempunyai faktor kuasa rendah (kurang daripada 0.8) daripada unit dalaman (contohnya, penerus bekalan kuasa PC atau motor elektrik mempunyai faktor kuasa 0.6 .. 0.8). Oleh itu, pada masa kini kebanyakan peralatan mempunyai unit input pembetulan faktor kuasa. Dalam kes ini, faktor kuasa input ialah 0.9 ... 1.0, yang sepadan dengan piawaian kawal selia.

Lampiran 3: Nota Penting Berkenaan Faktor Kuasa UPS dan Penstabil Voltan

Kapasiti beban set penjana UPS dan diesel dinormalkan kepada beban industri standard (faktor kuasa 0.8 dengan sifat induktif). Sebagai contoh, UPS 100 kVA / 80 kW. Ini bermakna peranti boleh membekalkan beban rintangan dengan kuasa maksimum 80 kW, atau beban bercampur (reaktif-reaktif) dengan kuasa maksimum 100 kVA dengan faktor kuasa induktif 0.8.

Dengan penstabil voltan keadaannya berbeza. Untuk penstabil, faktor kuasa beban adalah acuh tak acuh. Sebagai contoh, penstabil voltan 100 kVA. Ini bermakna peranti boleh membekalkan beban aktif dengan kuasa maksimum 100 kW, atau mana-mana kuasa lain (aktif tulen, reaktif tulen, campuran) 100 kVA atau 100 kVAr dengan sebarang faktor kuasa yang bersifat kapasitif atau induktif. Ambil perhatian bahawa ini adalah benar untuk beban linear (tanpa arus harmonik yang lebih tinggi). Dengan herotan harmonik besar arus beban (SOI tinggi), kuasa keluaran penstabil dikurangkan.

Tambahan 4

Contoh ilustrasi beban aktif dan reaktif tulen:

• Lampu pijar 100 W disambungkan ke rangkaian arus ulang-alik 220 VAC - di mana-mana dalam litar terdapat arus pengaliran (melalui konduktor wayar dan filamen tungsten lampu). Ciri-ciri beban (lampu): kuasa S=P~=100 VA=100 W, PF=1 => semua kuasa elektrik aktif, yang bermaksud ia diserap sepenuhnya dalam lampu dan ditukar kepada haba dan kuasa cahaya.
• Kapasitor bukan kutub 7 µF disambungkan kepada rangkaian arus ulang alik sebanyak 220 VAC - terdapat arus pengaliran dalam litar wayar, dan arus pincang mengalir di dalam kapasitor (melalui dielektrik). Ciri-ciri beban (kapasitor): kuasa S=Q~=100 VA=100 VAr, PF=0 => semua kuasa elektrik adalah reaktif, yang bermaksud ia sentiasa beredar dari punca ke beban dan kembali, sekali lagi ke beban, dan lain-lain.

Tambahan 5

Untuk menunjukkan reaktansi utama (induktif atau kapasitif), faktor kuasa diberikan tanda:

+ (tambah)– jika jumlah tindak balas adalah induktif (contoh: PF=+0.5). Fasa semasa ketinggalan di belakang fasa voltan dengan sudut Ф.

- (tolak)– jika jumlah tindak balas adalah kapasitif (contoh: PF=-0.5). Fasa semasa memajukan fasa voltan mengikut sudut F.

Lampiran 6

Soalan tambahan

Soalan 1:
Mengapakah semua buku teks kejuruteraan elektrik, semasa mengira litar AC, menggunakan nombor/kuantiti khayalan (contohnya, kuasa reaktif, reaktans, dsb.) yang tidak wujud dalam realiti?

Jawapan:
Ya, semua kuantiti individu di dunia sekeliling adalah nyata. Termasuk suhu, reaktansi, dsb. Penggunaan nombor khayalan (kompleks) hanyalah teknik matematik yang memudahkan pengiraan. Hasil pengiraan adalah nombor yang semestinya nyata. Contoh: kuasa reaktif bagi beban (kapasitor) 20 kVAr ialah aliran tenaga sebenar, iaitu, Watt sebenar yang beredar dalam litar beban sumber. Tetapi untuk membezakan Watts ini daripada Watts yang diserap oleh beban yang tidak dapat dipulihkan, mereka memutuskan untuk memanggil "Watts beredar" reaktif Volt Amperes ini.

Ulasan:
Sebelum ini, hanya kuantiti tunggal digunakan dalam fizik, dan apabila mengira, semua kuantiti matematik sepadan dengan kuantiti sebenar dunia sekeliling. Sebagai contoh, jarak sama dengan kelajuan masa masa (S=v*t). Kemudian, dengan perkembangan fizik, iaitu, semakin banyak yang dipelajari objek kompleks(cahaya, gelombang, arus elektrik berselang-seli, atom, angkasa, dll.) perkara sedemikian muncul sejumlah besar kuantiti fizik bahawa ia menjadi mustahil untuk mengira setiap satu secara berasingan. Ini bukan sahaja masalah pengiraan manual, tetapi juga masalah menyusun atur cara komputer. Untuk penyelesaian tugasan yang diberi Kuantiti tunggal yang rapat mula digabungkan menjadi yang lebih kompleks (termasuk 2 atau lebih kuantiti tunggal), tertakluk kepada undang-undang transformasi yang diketahui dalam matematik. Beginilah cara kuantiti skalar (tunggal) (suhu, dsb.), vektor dan kuantiti dwi kompleks (impedans, dsb.), kuantiti vektor tiga kali ganda (vektor medan magnet, dsb.), dan kuantiti yang lebih kompleks muncul - matriks dan tensor (dielektrik). tensor malar, tensor Ricci dan lain-lain). Untuk memudahkan pengiraan dalam kejuruteraan elektrik, kuantiti dwi khayalan (kompleks) berikut digunakan:

1. Jumlah rintangan (galangan) Z=R+iX
2. Kuasa ketara S=P+iQ
3. Pemalar dielektrik e=e"+iaitu"
4. Kebolehtelapan magnet m=m"+im"
5. dan lain-lain.

Soalan 2:

Halaman http://en.wikipedia.org/wiki/Ac_power menunjukkan S P Q Ф pada kompleks, iaitu, satah khayalan / tidak wujud. Apa kaitan semua ini dengan realiti?

Jawapan:
Sukar untuk menjalankan pengiraan dengan sinusoid sebenar, oleh itu, untuk memudahkan pengiraan, gunakan perwakilan vektor (kompleks) seperti dalam Rajah. lebih tinggi. Tetapi ini tidak bermakna S P Q yang ditunjukkan dalam rajah itu tidak berkaitan dengan realiti. Nilai sebenar S P Q boleh dibentangkan dalam bentuk biasa, berdasarkan pengukuran isyarat sinusoidal dengan osiloskop. Nilai S P Q Ф I U dalam litar arus ulang-alik "beban sumber" bergantung pada beban. Di bawah ialah contoh isyarat sinusoidal sebenar S P Q dan Ф untuk kes beban yang terdiri daripada rintangan aktif dan reaktif (induktif) yang disambungkan secara bersiri.

Soalan 3:
Menggunakan pengapit arus konvensional dan multimeter, arus beban 10 A dan voltan beban 225 V diukur. Kami mendarab dan mendapatkan kuasa beban dalam W: 10 A · 225V = 2250 W.

Jawapan:
Anda telah memperoleh (mengira) jumlah kuasa beban 2250 VA. Oleh itu, jawapan anda hanya akan sah jika beban anda adalah rintangan semata-mata, maka sememangnya Volt Ampere adalah sama dengan Watt. Untuk semua jenis beban lain (contohnya, motor elektrik) - tidak. Untuk mengukur semua ciri sebarang beban sewenang-wenangnya, anda mesti menggunakan penganalisis rangkaian, contohnya APPA137:

Lihat bacaan lanjut, sebagai contoh:

Evdokimov F. E. Asas teori kejuruteraan elektrik. - M.: Pusat penerbitan "Akademi", 2004.

Nemtsov M.V. Kejuruteraan elektrik dan elektronik. - M.: Pusat penerbitan "Akademi", 2007.

Chastoedov L. A. Kejuruteraan elektrik. - M.: Sekolah Tinggi, 1989.

Kuasa AC, Faktor kuasa, Rintangan elektrik, Reaktans
http://en.wikipedia.org (terjemahan: http://electron287.narod.ru/pages/page1.html)

Teori dan pengiraan transformer kuasa rendah Yu.N. Starodubtsev / RadioSoft Moscow 2005 / rev d25d5r4feb2013