Teori matematik set kabur(set kabur) dan logik kabur ( logik kabur) ialah generalisasi teori set klasik dan logik formal klasik. Konsep-konsep ini pertama kali dicadangkan oleh saintis Amerika Lotfi Zadeh pada tahun 1965. Sebab utama kemunculan teori baru adalah kehadiran penaakulan kabur dan anggaran apabila manusia menerangkan proses, sistem, dan objek.

Sebelum pendekatan pemodelan kabur sistem yang kompleks menerima pengiktirafan di seluruh dunia, lebih sedekad telah berlalu sejak kelahiran teori set kabur. Dan di sepanjang laluan pembangunan sistem kabur ini, adalah lazim untuk membezakan tiga tempoh.

Tempoh pertama (akhir 60-an–awal 70-an) dicirikan oleh pembangunan radas teori set kabur (L. Zadeh, E. Mamdani, Bellman). Dalam tempoh kedua (70-80s), keputusan praktikal pertama muncul dalam bidang kawalan kabur kompleks sistem teknikal(penjana wap dengan kawalan kabur). Pada masa yang sama, perhatian mula diberikan kepada isu membina sistem pakar berdasarkan logik kabur dan pembangunan pengawal kabur. Sistem pakar kabur untuk sokongan keputusan digunakan secara meluas dalam perubatan dan ekonomi. Akhirnya, dalam tempoh ketiga, yang berlangsung dari akhir 80-an dan berterusan hari ini, pakej perisian untuk membina sistem pakar kabur muncul, dan bidang aplikasi logik kabur semakin berkembang dengan ketara. Ia digunakan dalam industri automotif, aeroangkasa dan pengangkutan, dalam bidang produk perkakas rumah, dalam bidang kewangan, analisis dan keputusan keputusan pengurusan dan lain-lain lagi.

Perarakan kemenangan logik kabur di seluruh dunia bermula selepas Bartholomew Kosko membuktikan teorem FAT (Teorem Penghampiran Kabur) yang terkenal pada akhir 80-an. Dalam perniagaan dan kewangan, logik kabur mendapat pengiktirafan selepas pada tahun 1988, sistem pakar berdasarkan peraturan kabur untuk meramal penunjuk kewangan adalah satu-satunya yang meramalkan kejatuhan pasaran saham. Dan bilangan aplikasi fuzzy yang berjaya kini berjumlah beribu-ribu.

radas matematik

Ciri set kabur ialah Fungsi Keahlian. Mari kita nyatakan dengan MF c (x) darjah keahlian dalam set kabur C, yang merupakan generalisasi konsep fungsi ciri bagi set biasa. Maka set kabur C ialah set pasangan tertib dalam bentuk C=(MF c (x)/x), MF c (x) . Nilai MF c (x)=0 bermaksud tiada keahlian dalam set, 1 bermaksud keahlian lengkap.

Mari kita menggambarkan ini dengan contoh mudah. Mari kita rasmikan takrifan "teh panas" yang tidak tepat. X (kawasan perbincangan) ialah skala suhu dalam darjah Celsius. Jelas sekali, ia akan berbeza dari 0 hingga 100 darjah. Set kabur untuk konsep "teh panas" mungkin kelihatan seperti ini:

C=(0/0; 0/10; 0/20; 0.15/30; 0.30/40; 0.60/50; 0.80/60; 0.90/70; 1/80; 1/90; 1/100).

Oleh itu, teh dengan suhu 60 C tergolong dalam set "Panas" dengan tahap keahlian 0.80. Bagi seorang, teh pada suhu 60 C mungkin panas, bagi yang lain mungkin tidak terlalu panas. Di sinilah kekaburan menentukan set yang sepadan menampakkan dirinya.

Untuk set kabur, seperti untuk set biasa, operasi logik asas ditakrifkan. Yang paling asas diperlukan untuk pengiraan ialah persilangan dan kesatuan.

Persilangan dua set kabur (kabur “DAN”): A B: MF AB (x)=min(MF A (x), MF B (x)).
Penyatuan dua set kabur (kabur "OR"): A B: MF AB (x)=maks(MF A (x), MF B (x)).

Dalam teori set kabur, pendekatan umum untuk pelaksanaan pengendali persilangan, kesatuan dan pelengkap telah dibangunkan, dilaksanakan dalam apa yang dipanggil norma dan konorm segi tiga. Pelaksanaan operasi persimpangan dan kesatuan di atas adalah kes-kes yang paling biasa bagi t-norm dan t-conorm.

Untuk menerangkan set kabur, konsep pembolehubah kabur dan linguistik diperkenalkan.

Pembolehubah kabur diterangkan oleh set (N,X,A), di mana N ialah nama pembolehubah, X ialah set universal (domain penaakulan), A ialah set kabur pada X.
Nilai pembolehubah linguistik boleh menjadi pembolehubah kabur, i.e. pembolehubah linguistik adalah lebih tahap tinggi daripada pembolehubah kabur. Setiap pembolehubah linguistik terdiri daripada:

• tajuk;
• set nilainya, yang juga dipanggil set istilah asas T. Unsur set istilah asas ialah nama pembolehubah kabur;
• set universal X;
• peraturan sintaksis G, mengikut mana istilah baharu dijana menggunakan perkataan bahasa semula jadi atau formal;
• peraturan semantik P, yang memberikan setiap nilai pembolehubah linguistik kepada subset kabur bagi set X.

Mari kita pertimbangkan konsep kabur seperti "Harga saham". Ini adalah nama pembolehubah linguistik. Mari kita bentuk set istilah asas untuknya, yang akan terdiri daripada tiga pembolehubah kabur: "Rendah", "Sederhana", "Tinggi" dan tetapkan skop penaakulan dalam bentuk X= (unit). Perkara terakhir yang perlu dilakukan ialah membina fungsi keahlian bagi setiap istilah linguistik daripada set istilah asas T.

Terdapat lebih sedozen bentuk lengkung standard untuk menentukan fungsi keahlian. Yang paling banyak digunakan ialah: fungsi keahlian segi tiga, trapezoid dan Gaussian.

Fungsi keahlian segi tiga ditakrifkan oleh tiga nombor (a,b,c), dan nilainya pada titik x dikira mengikut ungkapan:

$$MF\,(x) = \,\begin(cases) \;1\,-\,\frac(b\,-\,x)(b\,-\,a),\,a\leq \,x\leq \,b &\ \\ 1\,-\,\frac(x\,-\,b)(c\,-\,b),\,b\leq \,x\leq \ ,c &\ \\ 0, \;x\,\bukan \in\,(a;\,c)\ \end(kes)$$

Apabila (b-a)=(c-b) kita mempunyai kes fungsi keahlian segi tiga simetri, yang boleh ditentukan secara unik oleh dua parameter daripada triple (a,b,c).

Begitu juga, untuk menentukan fungsi keahlian trapezoid, anda memerlukan empat nombor (a,b,c,d):

$$MF\,(x)\,=\, \begin(kes) \;1\,-\,\frac(b\,-\,x)(b\,-\,a),\,a \leq \,x\leq \,b & \\ 1,\,b\leq \,x\leq \,c & \\ 1\,-\,\frac(x\,-\,c)(d \,-\,c),\,c\leq \,x\leq \,d &\\ 0, x\,\bukan \in\,(a;\,d) \ \end(cases)$$

Apabila (b-a)=(d-c) fungsi keahlian trapezoid mengambil bentuk simetri.

Fungsi keahlian jenis Gaussian diterangkan oleh formula

$$MF\,(x) = \exp\biggl[ -\,(\Bigl(\frac(x\,-\,c)(\sigma)\Bigr))^2\biggr]$$

dan beroperasi dengan dua parameter. Parameter c menandakan pusat set kabur, dan parameter bertanggungjawab untuk kecerunan fungsi.

Pengumpulan fungsi keahlian untuk setiap istilah dalam set istilah dasar T biasanya diplot bersama pada satu graf. Rajah 3 menunjukkan contoh pembolehubah linguistik "Harga Saham" yang diterangkan di atas; Rajah 4 menunjukkan pemformalan konsep yang tidak tepat "Umur Orang". Oleh itu, untuk orang berumur 48 tahun, tahap keahlian dalam set "Muda" ialah 0, "Purata" - 0.47, "Di atas purata" - 0.20.

Bilangan istilah dalam pembolehubah linguistik jarang melebihi 7.

Inferens kabur

Asas untuk menjalankan operasi inferens logik kabur ialah asas peraturan yang mengandungi pernyataan kabur dalam bentuk "Jika-maka" dan fungsi keahlian untuk istilah linguistik yang sepadan. Dalam kes ini, syarat berikut mesti dipenuhi:

1. Terdapat sekurang-kurangnya satu peraturan untuk setiap istilah linguistik pembolehubah keluaran.
2. Untuk sebarang istilah pembolehubah input terdapat sekurang-kurangnya satu peraturan di mana istilah ini digunakan sebagai prasyarat ( sebelah kiri peraturan).

Jika tidak, terdapat asas peraturan kabur yang tidak lengkap.

Biarkan asas peraturan mempunyai m peraturan bentuk:
R 1: JIKA x 1 ialah A 11... DAN... x n ialah A 1n, MAKA y ialah B 1
…
R i: JIKA x 1 ialah A i1 ... DAN ... x n ialah A dalam , MAKA y ialah B i
…
R m: JIKA x 1 ialah A i1 ... DAN ... x n ialah A mn, MAKA y ialah B m,
di mana x k, k=1..n – pembolehubah input; y – pembolehubah keluaran; A ik – diberikan set kabur dengan fungsi keahlian.

Hasil inferens kabur ialah nilai jelas pembolehubah y * berdasarkan nilai jelas yang diberikan x k , k=1..n.

Secara umum, mekanisme inferens merangkumi empat peringkat: pengenalan kekaburan (fasifikasi), inferens kabur, komposisi dan pengurangan kepada kejelasan, atau penyahfuzzan (lihat Rajah 5).

Algoritma inferens kabur berbeza terutamanya dalam jenis peraturan yang digunakan, operasi logik dan sejenis kaedah defasifikasi. Model inferens kabur Mamdani, Sugeno, Larsen, Tsukamoto telah dibangunkan.

Mari kita lihat dengan lebih dekat inferens kabur menggunakan mekanisme Mamdani sebagai contoh. Ini adalah kaedah inferens yang paling biasa dalam sistem kabur. Ia menggunakan komposisi minimax set kabur. Mekanisme ini termasuk urutan berikut tindakan.

1. Prosedur fasifikasi: darjah kebenaran ditentukan, i.e. nilai fungsi keahlian untuk bahagian kiri setiap peraturan (prasyarat). Untuk asas petua dengan peraturan m, kita menyatakan darjah kebenaran sebagai A ik (x k), i=1..m, k=1..n.

Keluaran kabur. Mula-mula, tahap pemotongan untuk sebelah kiri setiap peraturan ditentukan:

$$alfa_i\,=\,\min_i \,(A_(ik)\,(x_k))$$

$$B_i^*(y)= \min_i \,(alfa_i,\,B_i\,(y))$$

Komposisi, atau gabungan fungsi terpenggal yang terhasil, yang mana komposisi maksimum set kabur digunakan:

$$MF\,(y)= \maks_i \,(B_i^*\,(y))$$

dengan MF(y) ialah fungsi keahlian bagi set kabur akhir.

Dephasification, atau membawa kepada kejelasan. Terdapat beberapa kaedah defuzzifikasi. Contohnya, kaedah pusat min, atau kaedah centroid:
$$MF\,(y)= \maks_i \,(B_i^*\,(y))$$

Makna geometri bagi nilai ini ialah pusat graviti bagi lengkung MF(y). Rajah 6 secara grafik menunjukkan proses inferens kabur Mamdani untuk dua pembolehubah input dan dua peraturan kabur R1 dan R2.

Integrasi dengan paradigma pintar

Hibridisasi kaedah pemprosesan maklumat intelektual adalah moto di mana tahun 90-an berlalu di kalangan penyelidik Barat dan Amerika. Hasil gabungan beberapa teknologi kecerdasan buatan muncul istilah khas– “pengkomputeran lembut”, yang diperkenalkan oleh L. Zadeh pada tahun 1994. Pada masa ini, pengkomputeran lembut menggabungkan bidang seperti: logik kabur, rangkaian saraf tiruan, penaakulan kebarangkalian dan algoritma evolusi. Mereka saling melengkapi dan digunakan dalam pelbagai kombinasi untuk mencipta sistem pintar hibrid.

Pengaruh logik kabur ternyata mungkin yang paling meluas. Sama seperti set kabur meluaskan skop teori set matematik klasik, logik kabur telah "menyerang" hampir kebanyakan Kaedah data Perlombongan, memberikan mereka fungsi baharu. Di bawah adalah yang paling banyak contoh yang menarik persatuan sedemikian.

Rangkaian saraf kabur

Rangkaian saraf kabur membuat inferens berdasarkan logik kabur, tetapi parameter fungsi keahlian dilaraskan menggunakan algoritma pembelajaran NN. Oleh itu, untuk memilih parameter rangkaian sedemikian, kami menggunakan kaedah tersebut perambatan balik ralat, pada asalnya dicadangkan untuk melatih perceptron berbilang lapisan. Untuk tujuan ini, modul kawalan kabur diwakili dalam bentuk rangkaian berbilang lapisan. Rangkaian saraf kabur biasanya terdiri daripada empat lapisan: lapisan pemfasakan pembolehubah input, lapisan pengagregatan nilai pengaktifan keadaan, lapisan pengagregatan peraturan kabur dan lapisan keluaran.

Seni bina rangkaian neural kabur yang paling banyak digunakan ialah ANFIS dan TSK. Telah terbukti bahawa rangkaian tersebut adalah penghampir universal.

Algoritma pembelajaran pantas dan kebolehtafsiran pengetahuan terkumpul - faktor ini telah menjadikan rangkaian neural kabur hari ini sebagai salah satu yang paling menjanjikan dan alat yang berkesan pengkomputeran lembut.

Sistem kabur adaptif

Sistem kabur klasik mempunyai kelemahan bahawa untuk merumuskan peraturan dan fungsi keahlian adalah perlu untuk melibatkan pakar satu atau yang lain. bidang subjek, yang tidak selalu dapat dipastikan. Sistem kabur penyesuaian menyelesaikan masalah ini. Dalam sistem sedemikian, pemilihan parameter sistem kabur dijalankan dalam proses latihan ke atas data eksperimen. Algoritma untuk melatih sistem kabur adaptif adalah agak intensif buruh dan kompleks berbanding dengan algoritma untuk melatih rangkaian saraf, dan, sebagai peraturan, terdiri daripada dua peringkat: 1. Penjanaan peraturan linguistik; 2. Pembetulan fungsi keahlian. Masalah pertama ialah masalah jenis carian yang menyeluruh, yang kedua ialah masalah pengoptimuman dalam ruang berterusan. Dalam kes ini, percanggahan tertentu timbul: untuk menghasilkan peraturan kabur, fungsi keahlian diperlukan, dan untuk melaksanakan inferens kabur, peraturan diperlukan. Selain itu, apabila penjanaan automatik peraturan kabur, adalah perlu untuk memastikan kesempurnaan dan konsistensi mereka.

Sebahagian penting kaedah untuk mengajar penggunaan sistem kabur algoritma genetik. Dalam kesusasteraan bahasa Inggeris, ini sepadan dengan istilah khas - Sistem Fuzzy Genetik.

Sumbangan penting kepada pembangunan teori dan amalan sistem kabur dengan penyesuaian evolusi telah dibuat oleh sekumpulan penyelidik Sepanyol yang diketuai oleh F. Herrera.

Pertanyaan kabur

Pertanyaan kabur ke pangkalan data adalah arah yang menjanjikan sistem moden pemprosesan maklumat. Alat ini memungkinkan untuk merumuskan pertanyaan dalam bahasa semula jadi, contohnya: "Paparkan senarai tawaran perumahan murah berdekatan dengan pusat bandar," yang mustahil apabila menggunakan mekanisme pertanyaan standard. Untuk tujuan ini, fuzzy algebra hubungan dan sambungan khas bahasa SQL untuk pertanyaan kabur. Kebanyakan penyelidikan di kawasan ini adalah milik saintis Eropah Barat D. Dubois dan G. Prade.

Peraturan persatuan kabur

kabur peraturan persatuan(peraturan asosiatif kabur) – alat untuk mengekstrak corak daripada pangkalan data yang dirumuskan dalam bentuk pernyataan linguistik. Di sini, konsep khas transaksi kabur, sokongan dan kebolehpercayaan peraturan perkaitan kabur diperkenalkan.

Peta kognitif kabur

Peta kognitif kabur telah dicadangkan oleh B. Kosko pada tahun 1986 dan digunakan untuk memodelkan hubungan sebab akibat yang dikenal pasti antara konsep kawasan tertentu. Tidak seperti peta kognitif mudah, peta kognitif kabur ialah graf terarah kabur yang nodnya ialah set kabur. Tepi terarah graf bukan sahaja mencerminkan hubungan sebab-akibat antara konsep, tetapi juga menentukan tahap pengaruh (berat) konsep yang disambungkan. Penggunaan aktif peta kognitif kabur sebagai cara sistem pemodelan adalah disebabkan oleh kemungkinan representasi visual sistem yang dianalisis dan kemudahan tafsiran hubungan sebab-akibat antara konsep. Masalah utama adalah berkaitan dengan proses membina peta kognitif, yang tidak boleh diformalkan. Selain itu, perlu dibuktikan bahawa peta kognitif yang dibina adalah memadai dengan sistem sebenar yang dimodelkan. Untuk menyelesaikan masalah ini, algoritma untuk membina peta kognitif secara automatik berdasarkan pensampelan data telah dibangunkan.

Pengelompokan Kabur

Kaedah pengelompokan kabur, berbeza dengan kaedah yang jelas (contohnya, rangkaian saraf Kohonen), membenarkan objek yang sama tergolong dalam beberapa kelompok secara serentak, tetapi dengan darjah yang berbeza-beza. Pengelompokan kabur dalam banyak situasi adalah lebih "semula jadi" daripada pengelompokan yang jelas, contohnya, untuk objek yang terletak di sempadan gugusan. Yang paling biasa ialah algoritma penyusunan diri kabur c-means dan generalisasinya dalam bentuk algoritma Gustafson-Kessel.

kesusasteraan

• Zadeh L. Konsep pembolehubah linguistik dan aplikasinya untuk membuat keputusan anggaran. – M.: Mir, 1976.
• Kruglov V.V., Dli M.I. Pintar Sistem maklumat: sokongan komputer untuk logik kabur dan sistem inferens kabur. – M.: Fizmatlit, 2002.
• Leolenkov A.V. Pemodelan kabur masuk persekitaran MATLAB dan fuzzyTECH. – St. Petersburg, 2003.
• Rutkowska D., Piliński M., Rutkowski L. Rangkaian saraf, algoritma genetik dan sistem kabur. – M., 2004.
• Masalovich A. Logik kabur dalam perniagaan dan kewangan. www.tora-centre.ru/library/fuzzy/fuzzy-.htm
• Kosko B. Sistem kabur sebagai penghampir universal // Transaksi IEEE pada Komputer, vol. 43, No. 11, November 1994. – P. 1329-1333.
• Cordon O., Herrera F., Kajian umum mengenai sistem kabur genetik // Algoritma Genetik dalam kejuruteraan dan sains komputer, 1995. - P. 33-57.

Logik kabur (logik kabur) timbul sebagai cara yang paling mudah untuk membina kompleks proses teknologi, dan juga telah menemui aplikasi dalam elektronik pengguna, diagnostik dan sistem pakar lain. Alat matematik logik kabur pertama kali dibangunkan di Amerika Syarikat pada pertengahan 60-an abad yang lalu, pembangunan aktif kaedah ini bermula di Eropah juga.

Logik klasik telah berkembang sejak zaman purba. Aristotle dianggap sebagai pengasasnya. Logik dikenali kepada kami sebagai sains yang ketat yang mempunyai banyak aplikasi terpakai: contohnya, prinsip operasi semua komputer moden. Pada masa yang sama, logik klasik mempunyai satu kelemahan yang ketara- dengan bantuannya adalah mustahil untuk menggambarkan pemikiran bersekutu seseorang dengan secukupnya. Logik klasik beroperasi dengan hanya dua konsep: TRUE dan FALSE (logik 1 atau 0), dan tidak termasuk sebarang nilai perantaraan. Semua ini bagus untuk komputer, tetapi cuba bayangkan seluruh dunia di sekeliling anda hanya dalam warna hitam dan putih, di samping itu, tidak termasuk daripada bahasa itu sebarang jawapan kepada soalan selain YA dan TIDAK. Dalam keadaan sedemikian, anda hanya boleh bersimpati.

Matematik tradisional, dengan rumusan undang-undang yang tepat dan tidak jelas, juga berdasarkan logik klasik. Dan kerana matematik pula mewakili alat universal untuk menerangkan fenomena dunia sekeliling dalam semua sains semula jadi (fizik, kimia, biologi, dll.) dan mereka aplikasi(contohnya, teori pengukuran, teori kawalan, dsb.), tidaklah menghairankan bahawa semua sains ini beroperasi dengan data yang tepat secara matematik, seperti: “kelajuan purata kereta di bahagian trek sepanjang 62 km ialah 93 km/j .” Tetapi adakah seseorang benar-benar berfikir dalam kategori sedemikian? Cuba bayangkan bahawa meter kelajuan di dalam kereta anda telah rosak. Adakah ini bermakna mulai sekarang anda kehilangan keupayaan untuk menilai kelajuan pergerakan anda dan tidak dapat menjawab soalan seperti "adakah anda pulang ke rumah dengan cepat semalam?" Sudah tentu tidak. Kemungkinan besar anda akan mengatakan sesuatu sebagai tindak balas kepada input: "Ya, dengan cepat." Sebenarnya, anda berkemungkinan besar akan menjawab dengan semangat yang lebih kurang sama, walaupun meter kelajuan kereta anda berada dalam keadaan sempurna, kerana semasa dalam perjalanan anda tidak mempunyai tabiat memantau bacaannya secara berterusan dalam masa nyata. Iaitu, dalam pemikiran semula jadi kita, berhubung dengan kelajuan, kita cenderung untuk beroperasi bukan dengan nilai tepat​​​ dalam km/j atau m/s, tetapi dengan anggaran anggaran seperti: “perlahan”, “sederhana”, “cepat. ” dan separuh nada dan anggaran pertengahan yang tidak terkira banyaknya: “ diseret bersama seperti kura-kura”, “berguling perlahan”, “tidak keluar dari arus”, “memandu agak cepat”, “bergegas seperti orang gila”, dsb.

Jika kita cuba menyatakan idea intuitif kita tentang kelajuan secara grafik, kita akan mendapat sesuatu seperti rajah di bawah.

Di sini di sepanjang paksi X nilai kelajuan diplot dalam tatatanda matematik ketat tradisional, dan sepanjang paksi Y- kononnya fungsi keahlian (berbeza dari 0 hingga 1) nilai kelajuan tepat ke set kabur , ditetapkan oleh satu atau nilai lain pembolehubah linguistik "kelajuan": sangat rendah, rendah, sederhana, tinggi dan sangat tinggi. Mungkin terdapat lebih sedikit atau lebih daripada penggredan ini (butiran). Lebih besar butiran maklumat kabur, lebih banyak ia mendekati anggaran yang tepat secara matematik (jangan kita lupa bahawa maklumat pengukuran yang dinyatakan dalam bentuk tradisional sentiasa mempunyai beberapa ralat, dan oleh itu, dalam erti kata tertentu, juga kabur). Oleh itu, sebagai contoh, nilai kelajuan 105 km/j tergolong dalam set kabur "tinggi" dengan nilai fungsi keahlian 0.8, dan kepada set "sangat tinggi" dengan nilai 0.5.

Contoh lain ialah menganggar umur seseorang. Selalunya kita langsung tiada maklumat yang tepat kira-kira umur orang ini atau orang itu yang kita kenali dan oleh itu, apabila menjawab soalan yang sepadan, kita terpaksa memberikan penilaian yang tidak jelas seperti: “dia berumur 30 tahun” atau “dia berumur lebih daripada 60 tahun”, dsb. Nilai sedemikian ​​pembolehubah linguistik "umur" terutamanya sering digunakan sebagai: "muda", "pertengahan umur", "tua", dll. Rajah di bawah menunjukkan secara grafik kemungkinan penampilan set kabur "umur = muda" (jelas, dari sudut pandangan seseorang yang umurnya tidak melebihi 20 tahun;)

Nombor kabur terhasil daripada “tidak cukup ukuran yang tepat”, dalam banyak cara serupa (tetapi tidak serupa! lihat contoh dengan dua botol) dengan taburan teori kebarangkalian, tetapi bebas daripada kelemahan yang wujud dari yang terakhir: sebilangan kecil fungsi taburan yang sesuai untuk analisis, keperluan untuk normalisasi paksa mereka, pematuhan dengan keperluan tambahan, kesukaran untuk mewajarkan kecukupan abstraksi matematik untuk menggambarkan tingkah laku kuantiti sebenar. Berbanding dengan kaedah tepat dan, terutamanya, kaedah probabilistik, kaedah pengukuran dan kawalan kabur memungkinkan untuk mengurangkan secara mendadak jumlah pengiraan yang dilakukan, yang seterusnya, membawa kepada peningkatan dalam prestasi sistem kabur.

Seperti yang telah disebutkan, keahlian setiap nilai tepat kepada salah satu nilai pembolehubah linguistik ditentukan melalui fungsi keahlian. Penampilannya boleh sewenang-wenangnya. Kini konsep yang dipanggil fungsi keahlian standard telah dibentuk (lihat rajah di bawah).

Fungsi keahlian standard mudah digunakan untuk menyelesaikan kebanyakan masalah. Walau bagaimanapun, jika anda perlu menyelesaikan masalah tertentu, anda boleh memilih bentuk fungsi keahlian yang lebih sesuai, dan anda boleh mencapai hasil terbaik operasi sistem berbanding apabila menggunakan fungsi paparan standard.

Proses membina (grafik atau analitik) fungsi keahlian nilai yang tepat kepada set kabur dipanggil kekaburan data.

mekanisme pemikiran, menyedari bahawa pada hakikatnya tidak ada hanya satu logik (contohnya, Boolean), tetapi seberapa banyak yang kita mahu, kerana segala-galanya ditentukan oleh pilihan sistem aksiom yang sesuai. Sudah tentu, sebaik sahaja aksiom dipilih, semua pernyataan yang dibina berdasarkan asasnya mestilah ketat, tanpa percanggahan, dikaitkan antara satu sama lain mengikut peraturan yang ditetapkan dalam sistem aksiom ini.

Pemikiran manusia adalah gabungan intuisi dan ketegasan, yang, dalam satu pihak, menganggap dunia secara keseluruhan atau dengan analogi, dan sebaliknya, secara logik dan konsisten dan, oleh itu, mewakili mekanisme kabur. Undang-undang pemikiran yang kita ingin masukkan dalam program komputer mestilah formal; hukum pemikiran yang dimanifestasikan dalam dialog manusia-manusia tidak jelas. Oleh itu, bolehkah kita mengatakan bahawa logik kabur boleh disesuaikan dengan baik kepada dialog manusia? Ya - jika perisian , dibangunkan dengan mengambil kira logik kabur, akan beroperasi dan boleh dilaksanakan secara teknikal, maka komunikasi manusia-mesin akan menjadi lebih mudah, lebih pantas dan lebih sesuai untuk menyelesaikan masalah.

istilah " logik kabur" biasanya digunakan dalam dua makna yang berbeza. Dalam dalam erti kata yang sempit, logik kabur ialah kalkulus logik, yang merupakan lanjutan logik berbilang nilai. Dalam dirinya dalam erti kata yang luas, yang merupakan yang utama digunakan hari ini, logik kabur adalah bersamaan dengan teori set kabur. Dari sudut pandangan ini, logik kabur dalam erti kata sempit ialah cabang logik kabur dalam erti kata luas.

Definisi. mana-mana pembolehubah kabur dicirikan oleh tiga

Di manakah nama pembolehubah, - set universal, ialah subset kabur bagi set, yang mewakili kekangan kabur pada nilai pembolehubah, dikondisikan oleh .

Menggunakan analogi beg kembara, pembolehubah kabur boleh diumpamakan seperti beg kembara dengan label yang mempunyai dinding "lembut". Kemudian - tulisan pada label (nama beg), - senarai item yang, pada dasarnya, boleh diletakkan di dalam beg, dan - sebahagian daripada senarai ini, di mana untuk setiap item nombor ditunjukkan, mencirikan tahap kemudahan item itu boleh diletakkan di dalam beg.

Sekarang mari kita pertimbangkan pelbagai pendekatan untuk mentakrifkan operasi asas pada pembolehubah kabur, iaitu konjungsi, disjungsi dan penafian. Operasi ini adalah asas kepada logik kabur dalam erti kata bahawa semua strukturnya adalah berdasarkan operasi ini. Pada masa ini dalam logik kabur sebagai operasi kata hubung dan disjungsi secara meluas menggunakan -norma dan -konorma, yang datang kepada logik kabur daripada teori ruang metrik kemungkinan. Mereka dikaji dengan baik dan menjadi asas kepada banyak pembinaan formal logik kabur. Pada masa yang sama, pengembangan skop aplikasi logik kabur dan keupayaan pemodelan kabur memerlukan generalisasi operasi ini. Satu arah dikaitkan dengan melemahkan aksiomatik mereka untuk mengembangkan alat pemodelan kabur. Satu lagi arah generalisasi operasi kata hubung dan disjungsi logik kabur dikaitkan dengan menggantikan set nilai keahlian dengan set penilaian kredibiliti linguistik yang tersusun secara linear atau separa. Generalisasi operasi asas logik kabur ini, di satu pihak, disebabkan oleh keperluan untuk membangunkan sistem pakar di mana nilai kebenaran fakta dan peraturan diterangkan oleh pakar atau pengguna secara langsung pada skala linguistik dan bersifat kualitatif. Sebaliknya, generalisasi tersebut disebabkan oleh peralihan ke arah pembangunan aktif logik kabur daripada memodelkan proses kuantitatif yang boleh diukur kepada memodelkan proses pemikiran manusia, di mana persepsi dunia dan membuat keputusan berlaku atas dasar perincian maklumat dan pengiraan dalam perkataan.

Generalisasi semula jadi bagi operasi penolakan involutif bagi logik kabur ialah penolakan bukan involutif. Mereka berkepentingan bebas dan dianggap dalam logik kabur dan lain-lain logik bukan klasik. Keperluan untuk mengkaji operasi penafian tersebut juga disebabkan oleh pengenalan kepada pertimbangan umum operasi kata hubung dan disjungsi bersambung antara satu sama lain menggunakan operasi penafian.

Asas teori set kabur dan logik kabur

Salah satu kaedah untuk mengkaji set tanpa menyatakan sempadannya ialah teori set kabur, yang dicadangkan pada tahun 1965 oleh profesor Universiti California Lotfi Zadeh. Ia pada asalnya dibangunkan sebagai cara memodelkan ketidakpastian bahasa semula jadi. Walau bagaimanapun, seterusnya pelbagai masalah yang diselesaikan menggunakan radas set kabur telah berkembang dengan ketara dan kini merangkumi bidang seperti analisis data, pengecaman, penyelidikan operasi, pemodelan sistem yang kompleks, sokongan keputusan, dsb.

Selalunya, apabila menentukan dan menerangkan ciri-ciri objek, mereka beroperasi bukan sahaja dengan kuantitatif, tetapi juga dengan nilai kualitatif. Khususnya, ketinggian seseorang boleh diukur secara kuantitatif dalam sentimeter, atau ia boleh digambarkan menggunakan nilai kualitatif: kerdil, pendek, sederhana, tinggi atau gergasi. Tafsiran nilai kualitatif adalah subjektif, i.e. mereka boleh ditafsirkan secara berbeza orang yang berbeza(mengikut mata pelajaran). Disebabkan oleh kekaburan nilai kualitatif, apabila perlu beralih daripadanya kepada nilai kuantitatif, kesukaran tertentu timbul.

Dalam sistem yang dibina berdasarkan set kabur, peraturan dalam bentuk "JIKA A MAKA B" (A ® B) digunakan, di mana kedua-dua A (keadaan, premis) dan B (hasil, hipotesis) boleh merangkumi nilai kualitatif. Contohnya, "JIKA Tinggi = "tinggi" MAKA Sport_type = "bola keranjang"."

Pembolehubah yang nilainya ditentukan oleh satu set nilai kualitatif bagi sesetengah sifat dipanggil dalam teori set kabur linguistik. Peraturan contoh menggunakan dua pembolehubah linguistik: Height dan Sport_type.

Setiap nilai pembolehubah linguistik ditentukan melalui apa yang dipanggil set kabur. Set kabur ditentukan melalui beberapa skala asas X dan fungsi keahlian (fungsi ciri) m( X), Di mana X Î X. Selain itu, jika dalam set Cantor klasik, elemen sama ada tergolong dalam set (m( X) = 1), atau bukan milik (m( X) = 0), maka dalam teori set kabur m( X) boleh mengambil sebarang nilai dalam selang . Anda boleh melakukan operasi standard pada set kabur: penambahan (penafian), kesatuan, persilangan, perbezaan, dsb. (Gamb. 33).

Untuk set kabur terdapat juga beberapa operasi khas: penambahan, pendaraban, kepekatan, pengembangan, dll.

Apabila menentukan pembolehubah linguistik, nilainya, iaitu set kabur, mesti memenuhi keperluan tertentu (Rajah 34).

1. Keteraturan. Set kabur mesti disusun (disusun pada skala asas) mengikut susunan di mana nilai kualitatif ditentukan untuk pembolehubah linguistik.

2. Terhad. Skop definisi pembolehubah linguistik mesti ditakrifkan dengan jelas (minimum dan nilai maksimum pembolehubah linguistik pada skala asas). Di sempadan set universal di mana pembolehubah linguistik ditakrifkan, nilai fungsi keahlian set kabur minimum dan maksimum mestilah kesatuan. Dalam rajah T 1 mempunyai salah fungsi aksesori, dan T 6 adalah betul.

3. Konsisten. Perbezaan semula jadi antara konsep (nilai pembolehubah linguistik) mesti diperhatikan apabila titik yang sama bagi set universal tidak boleh pada masa yang sama tergolong dalam m( X) = 1 hingga dua atau lebih set kabur (keperluan dilanggar oleh pasangan T 2 – T 3).

4. Kesempurnaan. Setiap nilai daripada domain takrif pembolehubah linguistik mesti diterangkan oleh sekurang-kurangnya satu set kabur (keperluan dilanggar antara pasangan T 3 - T 4).

5. Normaliti. Setiap konsep dalam pembolehubah linguistik mesti mempunyai sekurang-kurangnya satu rujukan atau objek tipikal, iaitu pada satu ketika fungsi keahlian set kabur mestilah unit (keperluan dilanggar T 5).

X

Set kabur “ketinggian pendek” m n ( X)

0 20 40 60 80 100 110 120 140 160 X

Set kabur "pertumbuhan tinggi" m dalam ( X)

0 20 40 60 80 100 110 120 140 160 X

D = N: Pelengkap set kabur "ketinggian pendek"

m d ( X) = 1 – m n ( X)

0 20 40 60 80 100 110 120 140 160 X

N È V: Menggabungkan set kabur "pertumbuhan rendah" dan "pertumbuhan tinggi"

m nv ( X) = maks(m n ( X), m dalam ( X))

0 20 40 60 80 100 110 120 140 160 X

N Ç V: Persilangan set kabur "pertumbuhan rendah" dan "pertumbuhan tinggi"

m nv ( X) = min(m n ( X), m dalam ( X))

nasi. 33. Operasi pada set kabur

m( X) T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6

nasi. 34. Contoh menentukan set kabur untuk pembolehubah linguistik dengan pelanggaran keperluan

Keperluan 2–4 boleh digantikan dengan satu universal – jumlah fungsi keahlian m( X) untuk semua set kabur pada setiap titik dalam domain takrifan pembolehubah mestilah sama dengan 1.

Apabila memproses peraturan dengan pembolehubah linguistik (peraturan kabur), peraturan logik kabur digunakan untuk mengira kebenaran hipotesis. Logik kabur– sejenis logik berterusan di mana premis, hipotesis dan formula logik sendiri boleh mengambil nilai kebenaran dengan beberapa tahap kebarangkalian.

Prinsip asas logik kabur:

· kebenaran premis, hipotesis atau formula terletak pada selang;

· jika dua premis (E 1 dan E 2) disambungkan dengan Ù (logik AND), maka kebenaran hipotesis H dikira dengan formula t(H) = MIN(t(E 1), t(E 2)) ;

· jika dua premis (E 1 dan E 2) disambungkan dengan Ú (logik OR), maka kebenaran hipotesis H dikira dengan formula t(H) = MAX(t(E 1), t(E 2) );

· jika peraturan (P) mempunyai anggaran kebenarannya sendiri, maka kebenaran akhir hipotesis N jumlah diselaraskan dengan mengambil kira kebenaran peraturan t(N jumlah) = MIN(t(N), t(P)) .

Epimenides of Knossos dari pulau Crete ialah seorang penyair dan ahli falsafah separuh mitos yang hidup pada abad ke-6. SM, pernah mengisytiharkan: "Semua orang Kreta adalah pendusta!" Oleh kerana dia sendiri adalah orang Kreta, dia diingati sebagai pencipta paradoks Kreta yang dipanggil.

Dari segi logik Aristotelian, di mana pernyataan tidak boleh benar dan salah, dan penafian diri sedemikian tidak masuk akal. Jika mereka benar maka mereka salah, tetapi jika mereka palsu maka mereka benar.

Dan di sini logik kabur dimainkan, di mana pembolehubah boleh menjadi ahli separa set. Kebenaran atau kepalsuan tidak lagi mutlak - kenyataan boleh sebahagiannya benar dan sebahagiannya palsu. Menggunakan pendekatan ini membolehkan kami membuktikan secara matematik bahawa paradoks Epimenides betul-betul 50% benar dan 50% palsu.

Oleh itu, logik kabur pada asasnya tidak serasi dengan logik Aristotelian, terutamanya berkaitan dengan undang-undang Tertium non datur ("Tiada ketiga diberikan" - Latin), yang juga dipanggil hukum pengecualian purata1. Secara ringkasnya, ia adalah seperti ini: jika kenyataan itu tidak benar, maka ia adalah palsu. Dalil-dalil ini adalah sangat asas sehingga sering dianggap remeh.

Contoh yang lebih remeh tentang kegunaan logik kabur boleh diberikan dalam konteks konsep sejuk. Kebanyakan orang dapat menjawab soalan: "Adakah anda sejuk sekarang?" Dalam kebanyakan kes (melainkan anda bercakap dengan pelajar siswazah fizik), orang memahami bahawa kita tidak bercakap tentang suhu mutlak pada skala Kelvin. Walaupun suhu 0 K boleh, tanpa ragu-ragu, dipanggil sejuk, ramai yang tidak akan menganggap suhu +15 C sebagai sejuk.

Tetapi mesin tidak mampu membuat penggredan halus sedemikian. Jika takrifan standard bagi sejuk ialah "suhu di bawah +15 C", maka +14.99 C akan dianggap sebagai sejuk, tetapi +15 C tidak.

Teori set kabur

Mari lihat Rajah. 1. Ia menunjukkan graf yang membantu anda memahami cara seseorang melihat suhu. Seseorang menganggap suhu +60 F (+12 C) sebagai sejuk dan suhu +80 F (+27 C) sebagai panas. Suhu +65 F (+15 C) kelihatan sejuk bagi sesetengah orang, tetapi agak selesa bagi yang lain. Kami memanggil kumpulan definisi ini sebagai fungsi keahlian dalam set yang menggambarkan persepsi subjektif seseorang terhadap suhu.

Ia adalah sama mudah untuk mencipta set tambahan yang menggambarkan persepsi manusia terhadap suhu. Contohnya, anda boleh menambah set seperti "sangat sejuk" dan "sangat panas." Boleh digambarkan fungsi yang serupa untuk konsep lain, seperti keadaan terbuka dan tertutup, suhu penyejuk atau suhu menara penyejuk.

Iaitu, sistem kabur boleh digunakan sebagai penghampir universal (perata) bagi kelas linear dan linear yang sangat luas. sistem tak linear. Ini bukan sahaja menjadikan strategi kawalan lebih dipercayai dalam kes tak linear, tetapi juga membenarkan penggunaan penilaian pakar untuk membina litar logik komputer.

Operator Fuzzy

Untuk menggunakan algebra kepada nilai kabur, anda perlu menentukan pengendali untuk digunakan. Biasanya, logik Boolean hanya menggunakan set pengendali yang terhad, dengan bantuan operasi lain yang dilakukan: NOT (NOT operator), AND (AND operator) dan OR (OR operator).

Banyak definisi boleh diberikan untuk ketiga-tiga ini pengendali asas, tiga daripadanya ditunjukkan dalam jadual. Ngomong-ngomong, semua takrifan adalah sama sah untuk logik Boolean (untuk menyemak, cuma gantikan 0 dan 1 di dalamnya). Dalam logik Boolean nilai SALAH FALSE bersamaan dengan 0, dan TRUE bersamaan dengan 1. Begitu juga, dalam logik kabur, darjah kebenaran boleh berkisar antara 0 hingga 1, jadi nilai "Sejuk" adalah benar kepada kuasa 0.1, dan operasi NOT("Sejuk") akan memberikan nilai 0.9.

Anda boleh kembali ke paradoks Epimenides dan cuba menyelesaikannya (secara matematik ia dinyatakan sebagai A = NOT(A), di mana A ialah darjah kebenaran pernyataan yang sepadan). Jika anda inginkan masalah yang lebih mencabar, cuba selesaikan masalah bunyi tepukan yang dibuat oleh sebelah tangan...

Menyelesaikan masalah menggunakan kaedah logik kabur

Hanya beberapa injap yang mampu membuka "sedikit sahaja." Semasa mengendalikan peralatan, nilai jelas biasanya digunakan (contohnya, dalam kes isyarat bimodal 0-10 V), yang boleh diperolehi menggunakan apa yang dipanggil "penyelesaian masalah logik kabur". Pendekatan ini memungkinkan untuk mengubah pengetahuan semantik yang terkandung dalam sistem kabur kepada strategi kawalan yang boleh dilaksanakan2.

Ini boleh dilakukan menggunakan pelbagai teknik, tetapi untuk menggambarkan proses secara keseluruhan, mari kita lihat hanya satu contoh.

Dalam kaedah penyahfuzzan ketinggian, hasilnya ialah jumlah puncak set kabur, dikira menggunakan pemberat. Kaedah ini mempunyai beberapa kelemahan termasuk kerja teruk dengan fungsi keahlian set asimetri, tetapi ia mempunyai satu kelebihan - kaedah ini adalah yang paling mudah untuk difahami.

Mari kita anggap bahawa set peraturan yang mengawal pembukaan injap memberikan kita hasil berikut:

"Injap tertutup sebahagian": 0.2

"Injap terbuka sebahagian": 0.7

"Injap terbuka": 0.3

Jika kita menggunakan kaedah penyahfuzzifikasi ketinggian untuk menentukan tahap keterbukaan injap, kita akan mendapat keputusan:

"Injap tertutup": 0.1

(0,1*0% + 0,2*25% + 0,7*75% + 0,3*100%)/ /(0,1 + 0,2 + 0,7 + 0,3) =

= (0% + 5% + 52,5% + 30%)/(1,3) = = 87,5/1,3 = = 67,3%,

mereka. injap mesti dibuka kepada 67.3%.

Aplikasi praktikal logik kabur

Apabila teori logik kabur mula-mula muncul, artikel mengenai kemungkinan bidang penggunaannya boleh didapati dalam jurnal saintifik. Apabila pembangunan di kawasan ini berkembang, lebih banyak lagi aplikasi praktikal kerana logik kabur mula berkembang pesat. Senarai ini akan menjadi terlalu panjang pada masa ini, tetapi berikut ialah beberapa contoh untuk membantu anda memahami cara logik kabur digunakan secara meluas dalam sistem kawalan dan sistem pakar3.

– Peranti untuk mengekalkan kelajuan kenderaan secara automatik dan meningkatkan kecekapan/kestabilan enjin kereta (syarikat Nissan, Subaru).