Penentu urutan ke-n. Sifat penentu. Pelengkap minor dan algebra. Teorem Laplace dan akibatnya. Permutasi dan penggantian. Kaedah untuk mengira penentu urutan ke-n

Mempertimbangkan ungkapan yang diperluaskan untuk penentu

kami ambil perhatian bahawa setiap istilah termasuk sebagai faktor satu elemen daripada setiap baris dan satu daripada setiap lajur penentu, dan semua kemungkinan produk jenis ini dimasukkan dalam penentu dengan tanda tambah atau tolak. Sifat ini digunakan sebagai asas untuk menyamaratakan konsep penentu kepada matriks kuasa dua bagi sebarang susunan. Iaitu: penentu susunan matriks segi empat sama, atau, secara ringkasnya, penentu tertib, ialah jumlah algebra bagi semua hasil darab unsur matriks yang mungkin, diambil satu daripada setiap baris dan satu daripada setiap lajur, dan hasil yang terhasil dilengkapi. dengan tanda tambah dan tolak mengikut beberapa peraturan yang jelas. Peraturan ini diperkenalkan

dengan cara yang agak rumit, dan kita tidak akan memikirkan perumusannya. Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa ia ditubuhkan sedemikian rupa sehingga sifat asas penentu yang paling penting berikut dipastikan:

1. Apabila dua baris disusun semula, penentu bertukar tanda kepada yang bertentangan.

Untuk penentu pesanan ke-2 dan ke-3, sifat ini boleh disahkan dengan mudah melalui pengiraan terus. Dalam kes umum, ia dibuktikan berdasarkan peraturan tanda-tanda yang tidak kami rumuskan di sini.

Penentu mempunyai beberapa sifat luar biasa lain yang memungkinkan untuk menggunakan penentu dengan jayanya dalam pelbagai pengiraan teori dan berangka, walaupun penentu yang sangat rumit: lagipun, penentu urutan ke-n mengandungi, seperti yang mudah dilihat, istilah, setiap istilah terdiri daripada faktor dan istilah dilengkapi tanda mengikut beberapa peraturan yang kompleks.

Kami meneruskan untuk menyenaraikan sifat utama penentu, tanpa memikirkan bukti terperinci mereka.

Sifat pertama ini telah pun dirumuskan di atas.

2. Penentu tidak berubah apabila matriksnya dialihkan, iaitu, apabila menggantikan baris dengan lajur sambil mengekalkan susunan.

Buktinya adalah berdasarkan kajian terperinci tentang peraturan untuk meletakkan tanda dalam syarat penentu. Sifat ini memungkinkan untuk memindahkan sebarang pernyataan mengenai baris penentu ke lajur.

3. Penentu ialah fungsi linear bagi unsur-unsur mana-mana baris (atau lajurnya). Maklumat lanjut

di mana mewakili ungkapan yang tidak bergantung pada unsur rentetan.

Sifat ini jelas mengikuti fakta bahawa setiap istilah mengandungi satu dan hanya satu faktor daripada setiap, khususnya, baris.

Kesamaan (5) dipanggil pengembangan penentu kepada unsur-unsur rentetan, dan pekali dipanggil pelengkap algebra bagi unsur-unsur dalam penentu.

4. Pelengkap algebra bagi unsur adalah sama, sehingga tanda, dengan apa yang dipanggil kecil penentu, iaitu, penentu

perkadaran susunan yang diperoleh daripada yang diberikan dengan memadam baris dan lajur. Untuk mendapatkan pelengkap algebra, minor mesti diambil dengan tanda. Sifat 3 dan 4 mengurangkan pengiraan penentu susunan kepada pengiraan penentu susunan

Sebilangan sifat penentu yang menarik mengikuti daripada sifat asas yang disenaraikan. Mari kita senaraikan beberapa daripada mereka.

5. Penentu dengan dua garisan yang sama adalah sama dengan peluru.

Sesungguhnya, jika penentu mempunyai dua baris yang sama, maka apabila mereka disusun semula, penentu tidak berubah, kerana baris adalah sama, tetapi pada masa yang sama, disebabkan oleh sifat pertama, ia menukar tandanya kepada sebaliknya. Oleh itu ia adalah sama dengan sifar.

Jumlah hasil darab unsur mana-mana baris dan pelengkap algebra bagi baris lain ialah sifar.

Sesungguhnya, jumlah sedemikian adalah hasil pengembangan penentu dengan dua baris yang sama dalam salah satu daripadanya.

Faktor sepunya unsur-unsur mana-mana baris boleh dikeluarkan daripada tanda penentu.

Ini berikutan daripada harta 3.

8. Penentu dengan dua baris berkadar adalah sama dengan sifar.

Ia cukup untuk menghapuskan faktor perkadaran, dan kita akan mendapat penentu dengan dua garisan yang sama.

9. Penentu tidak berubah jika nombor yang berkadar dengan elemen baris lain ditambah kepada unsur baris.

Sesungguhnya, berdasarkan sifat 3, penentu yang diubah: adalah sama dengan jumlah penentu asal penentu dengan dua baris berkadar, yang sama dengan sifar.

Harta terakhir menyediakan cara yang baik untuk mengira penentu. Dengan menggunakan sifat ini, anda boleh, tanpa mengubah nilai penentu, mengubah matriksnya supaya dalam mana-mana baris (atau lajur) semua elemen kecuali satu adalah sama dengan sifar. Kemudian, setelah mengembangkan penentu kepada unsur-unsur baris ini (lajur), kami mengurangkan pengiraan penentu tertib kepada pengiraan satu penentu tertib, iaitu, pelengkap algebra satu-satunya unsur bukan sifar bagi baris yang dipilih. .

Untuk definisi yang lebih tepat dan kompleks dan untuk bercakap tentang penentu susunan yang lebih besar daripada ketiga, anda perlu mengingati sesuatu yang lebih. Kami berminat dengan istilah penggantian, tidak begitu banyak definisi sebagai kaedah pengiraannya.

Untuk penggantian, penyertaan berikut diterima:
, iaitu pasangan nombor ditulis dalam lajur, supaya nombor teratas adalah berurutan (secara umumnya, lajur boleh ditukar).

Penggantian boleh genap atau ganjil. Untuk mengetahui sama ada penggantian yang diberikan adalah genap atau ganjil, anda perlu memberi perhatian kepada baris kedua, atau lebih tepat lagi, kepada susunan nombor di dalamnya. Adalah perlu untuk mengira bilangan pasangan nombor dalam baris kedua supaya nombor di sebelah kiri adalah lebih besar daripada nombor di sebelah kanan (). Jika bilangan pasangan sedemikian adalah ganjil, maka penggantian dipanggil ganjil, dan, dengan itu, jika bilangan pasangan tersebut adalah genap, maka penggantian dipanggil genap.

Contoh:
1)

4 berada di sebelah kiri 3, di sebelah kiri 1, di sebelah kiri 2 - ini sudah menjadi tiga pasangan "salah".
3 berada di sebelah kiri 1 dan 2 – dua lagi pasangan.
Jumlah 5 pasang, i.e. Ini adalah penggantian ganjil.
2)

Perhatikan bahawa nombor dalam baris pertama tidak teratur. Mari kita susun semula lajur.

Mari kita lihat nombor di baris kedua.
3 berada di sebelah kiri 2 dan 1 – dua pasang,
2 berada di sebelah kiri 1 – sepasang,
5 berada di sebelah kiri 4 dan 1 – dua pasang,
4 berada di sebelah kiri 1 – sepasang.
Jumlah 6 pasang – penggantian genap.

Definisi 2(untuk pelajar kepakaran matematik, mendedahkan keseluruhan intipati konsep yang ditentukan):

Penentu urutan ke-n yang sepadan dengan matriks
,
ialah jumlah algebra bagi sebutan yang terdiri seperti berikut: sebutan ialah semua hasil darab unsur matriks yang mungkin, diambil satu daripada setiap baris dan setiap lajur, dan sebutan itu diambil dengan tanda tambah jika indeksnya membentuk penggantian genap, dan dengan tolak. tandatangan dalam kes yang bertentangan.
Ulasan: Mari kita terangkan takrif ini menggunakan contoh penentu tertib ketiga, yang formula pengiraannya sudah diketahui.
.
1) “jumlah sebutan algebra” - . Dan ya, memang, terdapat enam istilah di sini.
2) "istilah adalah semua kemungkinan produk unsur matriks, diambil satu daripada setiap baris dan setiap lajur" - pertimbangkan, sebagai contoh, istilah . Faktor pertamanya diambil dari baris kedua, yang kedua dari yang pertama, dan yang ketiga dari yang ketiga. Ia sama dengan lajur - faktor pertama adalah dari lajur pertama, yang kedua adalah dari yang ketiga, dan yang terakhir adalah dari yang kedua.
3) "dan istilah diambil dengan tanda tambah jika indeksnya membentuk penggantian genap, dan dengan tanda tolak dalam kes yang bertentangan" - pertimbangkan, sebagai contoh, istilah (dengan tanda tambah) dan (dengan tanda tolak ).

Mari kita susun atur supaya baris pertama mengandungi nombor baris faktor, dan baris kedua mengandungi nombor lajur.
Untuk istilah: (lajur pertama ialah indeks faktor pertama, dsb.)
Untuk istilah: .
Mari kita tentukan pariti pilih atur ini:
a) - unsur-unsur dalam baris pertama adalah mengikut urutan. Baris kedua mengandungi pasangan yang tidak tertib:
2 di sebelah kiri 1 – sepasang,
3 di sebelah kiri 1 – sepasang.
Jumlah dua pasang, i.e. bilangan pasangan adalah genap, yang bermaksud pilih atur adalah genap, yang bermaksud istilah mesti dimasukkan dalam jumlah dengan tanda tambah (seperti yang sebenarnya).
b) - unsur-unsur dalam baris pertama adalah mengikut urutan. Baris kedua mengandungi pasangan yang tidak tertib:
2 di sebelah kiri 1 – sepasang.
Secara keseluruhan, bilangan pasangan nombor yang diposisikan supaya yang lebih besar berada di sebelah kiri yang lebih kecil ialah 1, i.e. ganjil, yang bermaksud pilih atur dipanggil ganjil, dan istilah yang sepadan mesti disertakan dalam jumlah dengan tanda tolak (ya, itu benar).
Contoh(“Koleksi masalah dalam algebra” disunting oleh A.I. Kostrikin, No. 1001):

Ketahui yang mana antara produk berikut termasuk dalam ungkapan yang diperluaskan bagi penentu pesanan yang sepadan dan dengan tanda apa.
A)
Mari kita perhatikan bahagian "satu daripada setiap baris dan setiap lajur" dalam definisi. Semua indeks pertama faktor adalah berbeza daripada 1 hingga 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Semua indeks kedua faktor adalah berbeza daripada 1 hingga 6 (3, 2, 1, 4, 5, 6).
Kesimpulan - produk ini termasuk dalam ungkapan diperluaskan penentu pesanan ke-6.

3 di sebelah kiri 2, 1 – dua pasang,
2 di sebelah kiri 1 – sepasang,
6 di sebelah kiri 5, 4 – dua pasang,
5 di sebelah kiri 4 – sepasang.
Jumlah 6 pasangan, i.e. pilih aturnya adalah genap dan istilah itu termasuk dalam tatatanda dikembangkan bagi penentu dengan tanda tambah.

b)
Semua indeks pertama faktor adalah berbeza daripada 1 hingga 5(3, 1, 5, 4, 2). Semua indeks kedua faktor adalah berbeza daripada 1 hingga 5 (1, 3, 2, 5, 4).
Kesimpulan - produk ini termasuk dalam ungkapan diperluaskan penentu pesanan ke-5.
Mari tentukan tanda istilah ini; untuk melakukan ini, kita akan membuat pilih atur bagi indeks faktor:

Mari kita susun semula lajur supaya nombor dalam baris pertama adalah mengikut tertib daripada terkecil kepada terbesar.

3 di sebelah kiri 1, 2 – dua pasang.
4 di sebelah kiri 1, 2 – dua pasang,
5 di sebelah kiri 2 – sepasang.
Jumlah 5 pasang, i.e. pilih atur adalah ganjil dan istilah itu termasuk dalam tatatanda dikembangkan penentu dengan tanda tolak.
V) — beri perhatian kepada faktor pertama dan keenam: dan . Kedua-duanya diambil dari lajur ke-4, yang bermaksud bahawa produk ini tidak boleh disertakan dalam ungkapan diperluaskan bagi penentu pesanan ke-7.

Penentu urutan ke-n

Penentu urutan ke-n terdiri daripada n 2 elemen, ditulis dalam n baris dan n lajur, dan mempunyai bentuk:

Unsur penentu dan saya j berada dalam nombor baris i dan nombor lajur j. Indeks i dan j boleh mengambil sebarang nilai semula jadi dari 1 hingga n. Jadi, setelah ditulis A i3 (i=1,2,…,n), kami menyenaraikan semua elemen dalam lajur nombor 3: A 13 , A 23 , A 33 ,…,A n3. elemen A ij (untuk i=j) membentuk pepenjuru utama penentu.

Pengiraan penentu tertib ke-n dikurangkan kepada pengiraan penentu tertib ketiga dan kedua menggunakan sifat-sifat berikut.

Sifat penentu:

1. Penentu tidak akan berubah jika barisnya digantikan dengan lajur (tanpa mengubah susunan nombornya). Oleh itu, selanjutnya kita akan bercakap tentang baris, dengan mengandaikan bahawa apa yang telah dikatakan juga benar untuk lajur.

2. Jika anda menukar dua baris penentu, ia akan menukar tandanya.

3. Penentu dengan dua baris yang sama (atau berkadar) adalah sama dengan sifar.

4. Faktor sepunya bagi semua elemen mana-mana barisnya boleh dikeluarkan daripada tanda penentu.

5. Jika semua elemen bagi mana-mana baris penentu adalah sama dengan sifar, maka penentu tersebut adalah sama dengan sifar.

6. Penentu tidak akan berubah jika kepada semua elemen mana-mana barisnya kita menambah elemen sepadan baris lain, didarab dengan nombor yang sama.

Contoh.

No. 6. Kirakan penentu:

Di sini unsur-unsur lajur ketiga telah ditambahkan pada unsur-unsur lajur pertama.

Unsur-unsur baris ketiga telah ditambahkan pada unsur-unsur baris pertama.

Adalah lebih mudah untuk mengira penentu ini menggunakan peraturan Sarrus, kerana empat daripada enam sebutan adalah sifar.

Mari kita kembali kepada sifat-sifat penentu. Tetapi mari kita mula-mula memperkenalkan konsep pelengkap minor dan algebra.

Jika daripada penentu urutan ke-n yang diberikan kami memadamkan baris dan lajur di persimpangan yang terdapat elemen A ij , maka kita memperoleh penentu bagi susunan (n-1), yang dipanggil unsur kecil A ij dan dilambangkan dengan M ij. Sebagai contoh, dalam penentu urutan ketiga cari M kecil bagi 21 unsur A 21. Untuk melakukan ini, potong baris kedua dan lajur pertama:

Dalam penentu tertib keempat, anda boleh menulis 4x4 = 16 bawah umur, setiap satunya akan menjadi penentu tertib ketiga.

Mari kita tuliskan unsur-unsur di bawah umur A 32 dan A 44, sebagai contoh, penentu tertib keempat:

Penambahan algebra bagi sesuatu unsur A ij dipanggil minornya, diambil dengan tanda (–1) i+ j, dan dilambangkan A ij. Oleh itu, А ij =(–1) i+ j ×М ij.

Mari kita cari, sebagai contoh, pelengkap algebra bagi unsur-unsur penentu .

Akhirnya mari kita pertimbangkan harta tentang pengembangan penentu mengikut baris atau lajur.

7. Penentu adalah sama dengan hasil tambah unsur bagi mana-mana baris (atau lajur) dengan pelengkap algebranya.

Oleh itu, penentu tertib ketiga, sebagai contoh, boleh dikira menggunakan tiga penentu tertib kedua:

- pengembangan ke dalam elemen baris pertama.

Akibat. Jika semua elemen baris (lajur), kecuali satu, adalah sama dengan sifar, maka penentu adalah sama dengan hasil darab unsur bukan sifar dan pelengkap algebranya.

Oleh itu, sebagai contoh,

№.7

Dalam penentu tertib ketiga, kami menambah pada elemen lajur pertama elemen yang sepadan dengan yang ketiga, didarab dengan 2.

Jadi, menggunakan sifat penentu, anda boleh mengembangkan penentu mana-mana susunan ke dalam baris atau lajur. Secara konsisten menurunkan susunan, kami mengira penentu secara langsung, menggunakan peraturan untuk mengira penentu bagi susunan ketiga atau kedua.

Mari kita pertimbangkan penentu jenis khas: pepenjuru dan segi tiga.

pepenjuru Penentu ialah penentu yang unsur pepenjurunya adalah bukan sifar dan semua unsur lain adalah sama dengan sifar.

segi tiga Penentu ialah penentu yang unsur-unsurnya terletak di bawah (atau di atas) pepenjuru utama adalah sama dengan sifar.

No. 8 Hitung penentu pepenjuru bagi susunan ke-n

Mengembangkan penentu kepada unsur 1 ke lajur, kami mendapat produk itu Tetapi penentu (n–1) susunan A 11 boleh diwakili dengan cara yang sama seperti produk dan lain-lain.

Oleh itu, penentu pepenjuru adalah sama dengan hasil darab unsur pepenjuru utamanya.

Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa penentu segi tiga adalah sama dengan hasil darab unsur pepenjuru utamanya:

No. 9 Kirakan penentu:

penentu pesanan ke-n

Penentu atau penentu bagi susunan ke-n ialah nombor yang ditulis dalam bentuk

Dan dikira dari nombor ini(nyata atau kompleks) - unsur penentu

Skim untuk mengira penentu bagi pesanan ke-2 dan ke-3

Teorem Cramer.

Biarkan (delta) menjadi penentu matriks sistem A, dan biarkan (delta)i menjadi penentu matriks, yang diperoleh daripada matriks A dengan menggantikan lajur ke-j lajur nombor bebas Kemudian, jika (delta ) tidak sama dengan 0, maka sistem mempunyai penyelesaian unik, ditentukan dalam formula:

1. Penentu tertib ke-2 dikira menggunakan formula

2. Penentu tertib ketiga dikira menggunakan formula

Terdapat skema mudah untuk mengira penentu tertib ketiga (lihat Rajah 1 dan Rajah 2).

Harta penentu

1. Jika mana-mana baris (lajur) matriks hanya terdiri daripada sifar, maka penentunya ialah 0.

2. Jika semua elemen mana-mana baris (lajur) matriks didarab dengan nombor (lambda), maka penentunya akan didarab dengan nombor ini (lambda).

3. Apabila matriks ditranspose, penentunya tidak berubah.

Transpose-dalam matematik, ini ialah transformasi matriks segi empat sama - menggantikan lajur dengan baris atau sebaliknya.

4. Apabila dua baris (lajur) matriks disusun semula, penentunya bertukar tanda kepada yang bertentangan.

5. Jika matriks segi empat sama mengandungi dua baris (lajur) yang sama, maka penentunya ialah 0

6. Jika unsur-unsur dua baris (lajur) matriks adalah berkadar, maka penentunya ialah 0

7. Jumlah hasil darab unsur mana-mana baris (lajur) matriks dengan pelengkap algebra unsur-unsur baris lain (lajur) matriks ini adalah sama dengan 0

8. Penentu sesuatu matriks tidak berubah jika unsur-unsur baris (lajur) lain, yang sebelum ini didarab dengan nombor yang sama, ditambah kepada unsur-unsur mana-mana baris (lajur) matriks.

9. Jumlah hasil darab nombor b1,b2,...,bn oleh pelengkap algebra bagi unsur-unsur mana-mana baris (lajur) adalah sama dengan penentu matriks yang diperoleh daripada penggantian unsur-unsur baris ini. (lajur) b1,b2,...bn.

10. Penentu hasil darab dua matriks persegi adalah sama dengan hasil darab penentunya |C|=|A|*|B|, di mana C=A*B;A dan B-matriks tertib ke-n.