Ширина интервала составит:
Xmax - максимальное значение группировочного признака в совокупности.
Xmin - минимальное значение группировочного признака.
Определим границы группы.
Номер группы | Нижняя граница | Верхняя граница |
1 | 43 | 45.83 |
2 | 45.83 | 48.66 |
3 | 48.66 | 51.49 |
4 | 51.49 | 54.32 |
5 | 54.32 | 57.15 |
6 | 57.15 | 60 |
Одно и тоже значение признака служит верхней и нижней границами двух смежных (предыдущей и последующей) групп.
Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество раз оно попадает в тот или иной интервал. Для этого сортируем ряд по возрастанию.
43 | 43 - 45.83 | 1 |
48.5 | 45.83 - 48.66 | 1 |
49 | 48.66 - 51.49 | 1 |
49 | 48.66 - 51.49 | 2 |
49.5 | 48.66 - 51.49 | 3 |
50 | 48.66 - 51.49 | 4 |
50 | 48.66 - 51.49 | 5 |
50.5 | 48.66 - 51.49 | 6 |
51.5 | 51.49 - 54.32 | 1 |
51.5 | 51.49 - 54.32 | 2 |
52 | 51.49 - 54.32 | 3 |
52 | 51.49 - 54.32 | 4 |
52 | 51.49 - 54.32 | 5 |
52 | 51.49 - 54.32 | 6 |
52 | 51.49 - 54.32 | 7 |
52 | 51.49 - 54.32 | 8 |
52 | 51.49 - 54.32 | 9 |
52.5 | 51.49 - 54.32 | 10 |
52.5 | 51.49 - 54.32 | 11 |
53 | 51.49 - 54.32 | 12 |
53 | 51.49 - 54.32 | 13 |
53 | 51.49 - 54.32 | 14 |
53.5 | 51.49 - 54.32 | 15 |
54 | 51.49 - 54.32 | 16 |
54 | 51.49 - 54.32 | 17 |
54 | 51.49 - 54.32 | 18 |
54.5 | 54.32 - 57.15 | 1 |
54.5 | 54.32 - 57.15 | 2 |
55.5 | 54.32 - 57.15 | 3 |
57 | 54.32 - 57.15 | 4 |
57.5 | 57.15 - 59.98 | 1 |
57.5 | 57.15 - 59.98 | 2 |
58 | 57.15 - 59.98 | 3 |
58 | 57.15 - 59.98 | 4 |
58.5 | 57.15 - 59.98 | 5 |
60 | 57.15 - 59.98 | 6 |
Результаты группировки оформим в виде таблицы:
Группы | № совокупности | Частота fi |
43 - 45.83 | 1 | 1 |
45.83 - 48.66 | 2 | 1 |
48.66 - 51.49 | 3,4,5,6,7,8 | 6 |
51.49 - 54.32 | 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26 | 18 |
54.32 - 57.15 | 27,28,29,30 | 4 |
57.15 - 59.98 | 31,32,33,34,35,36 | 6 |
Таблица для расчета показателей.
Группы | x i | Кол-во, f i | x i * f i | Накопленная частота, S | |x - x ср |*f | (x - x ср) 2 *f | Частота, f i /n |
43 - 45.83 | 44.42 | 1 | 44.42 | 1 | 8.88 | 78.91 | 0.0278 |
45.83 - 48.66 | 47.25 | 1 | 47.25 | 2 | 6.05 | 36.64 | 0.0278 |
48.66 - 51.49 | 50.08 | 6 | 300.45 | 8 | 19.34 | 62.33 | 0.17 |
51.49 - 54.32 | 52.91 | 18 | 952.29 | 26 | 7.07 | 2.78 | 0.5 |
54.32 - 57.15 | 55.74 | 4 | 222.94 | 30 | 9.75 | 23.75 | 0.11 |
57.15 - 59.98 | 58.57 | 6 | 351.39 | 36 | 31.6 | 166.44 | 0.17 |
36 | 1918.73 | 82.7 | 370.86 | 1 |
Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:
Показатели центра распределения .
Средняя взвешенная
Мода
Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.
где x 0 – начало модального интервала; h – величина интервала; f 2 –частота, соответствующая модальному интервалу; f 1 – предмодальная частота; f 3 – послемодальная частота.
Выбираем в качестве начала интервала 51.49, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.
Наиболее часто встречающееся значение ряда – 52.8
Медиана
Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина - больше.
В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Медианным является интервал 51.49 - 54.32, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).
Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 53.06
Показатели вариации .
Абсолютные показатели вариации .
Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.
R = X max - X min
R = 60 - 43 = 17
Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.
Каждое значение ряда отличается от другого не более, чем на 2.3
Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).
Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии.
Среднее квадратическое отклонение .
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 53.3 не более, чем на 3.21
Оценка среднеквадратического отклонения .
Относительные показатели вариации .
К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.
Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.
Поскольку v ≤ 30%, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять.
Линейный коэффициент вариации или Относительное линейное отклонение - характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.
Проверка гипотез о виде распределения .
1. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.
где p i - вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону
Для вычисления вероятностей p i применим формулу и таблицу функции Лапласа
где
s = 3.21, x ср = 53.3
Теоретическая (ожидаемая) частота равна n i = np i , где n = 36
Интервалы группировки | Наблюдаемая частота n i | x 1 = (x i - x ср)/s | x 2 = (x i+1 - x ср)/s | Ф(x 1) | Ф(x 2) | Вероятность попадания в i-й интервал, p i = Ф(x 2) - Ф(x 1) | Ожидаемая частота, 36p i | Слагаемые статистики Пирсона, K i |
43 - 45.83 | 1 | -3.16 | -2.29 | -0.5 | -0.49 | 0.01 | 0.36 | 1.14 |
45.83 - 48.66 | 1 | -2.29 | -1.42 | -0.49 | -0.42 | 0.0657 | 2.37 | 0.79 |
48.66 - 51.49 | 6 | -1.42 | -0.56 | -0.42 | -0.21 | 0.21 | 7.61 | 0.34 |
51.49 - 54.32 | 18 | -0.56 | 0.31 | -0.21 | 0.13 | 0.34 | 12.16 | 2.8 |
54.32 - 57.15 | 4 | 0.31 | 1.18 | 0.13 | 0.38 | 0.26 | 9.27 | 3 |
57.15 - 59.98 | 6 | 1.18 | 2.06 | 0.38 | 0.48 | 0.0973 | 3.5 | 1.78 |
36 | 9.84 |
Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение K набл, тем сильнее довод против основной гипотезы.
Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: }