Человеческое мышление устроено так, что мир представляется состоящим из отдельных «объектов». Философам давно известно, что мир – единое неразрывное целое, и выделение в нем объектов – это не более чем произвольный акт нашего мышления, позволяющий сформировать доступную для рационального анализа картину. Но как бы то ни было, выделение объектов и их совокупностей – естественный способ организации нашего мышления, поэтому не удивительно, что он лежит в основе главного инструмента описания точного знания – математики.

Понятие множества принадлежит к числу фундаментальных неопределяемых понятий математики. О множестве известно как минимум, что оно состоит из элементов. Для определенности примем следующие формулировки.

Определение . Под множеством S будем понимать любое собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества S .

Определение . Под множеством понимают объединение в единое целое определенных вполне различаемых предметов (объектов), которые при этом называются элементами образуемого ими множества.

Обычно множества обозначают прописными буквами латинского алфавита: A , B , C , …; а элементы множеств – строчными буквами: a , b , c , … .

Если объект х является элементом множества М , то говорят, что х принадлежит М : х М . В противном случае говорят, что х не принадлежит М : х М .

В этом интуитивном определении, принадлежащем немецкому математику Г. Кантору, существенным является то обстоятельство, что собрание предметов само рассматривается как один предмет, мыслится как единое целое. Что касается самих предметов, которые могут входить в множество, то относительно них существует значительная свобода.

Пример 1

Это может быть множество студентов, обучающихся в университете, множество простых чисел и т. д.

Определение . Множество А называется подмножеством множества В , если всякий элемент из А является элементом В (обозначают ). Если А является подмножеством В и В не является подмножеством А , то говорят, что А является строгим (собственным) подмножеством В (обозначают ).

Определение . Множество, не содержащее элементов, называется пустым (обозначают Æ), оно является подмножеством любого множества. Множество U называется универсальным, то есть все рассматриваемые множества являются его подмножеством.

Рассмотрим два определения равенства множеств.

Определение . Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, пишут А=В , в противном случае А ¹ В .

Определение . Множества А и В считаются равными, если

Существуют следующие способы задания множеств :

1) перечислением элементов: М = { a 1 , a 2 , …, a k } , т. е. списком своих элементов;

2) характеристическим предикатом: М = { x | P (x )} (описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его элементы);

порождающей процедурой: M = { x | x = f } , которая описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо других объектов. В таком случае элементами множества являются все объекты, которые могут быть

1) построены с помощью такой процедуры. Например, множество всех целых чисел, являющихся степенями двойки.

Замечание . При задании множеств перечислением обозначения элементов обычно заключают в фигурные скобки и разделяют запятыми. Перечислением можно задавать только конечные множества (число элементов множества конечно, в противном случае множество называется бесконечным). Характеристический предикат – это некоторое условие, выраженное в форме логического утверждения или процедуры, возвращающей логическое значение. Если для данного элемента условие выполнено, то он принадлежит определяемому множеству, в противном случае – не принадлежит. Порождающая процедура – это процедура, которая, будучи запущенной, порождает некоторые объекты, являющиеся элементами определяемого множества. Бесконечные множества задаются характеристическим предикатом или порождающей процедурой.

Пример 2

1) М = {1, 2, 3, 4} – перечисление элементов множества.

2) — характеристический предикат.

Определение . Мощность конечного множества А – это число его элементов.

Мощность множества обозначают: |A |.

Пример 3

|| = 0; |{}| = 1.

Определение . Множества называются равномощными, если их мощности совпадают.

Определение . Множество всех подмножеств множества А называется булеаном P(A).

Известно, что если множество А содержит n элементов, то множество P (A ) содержит 2 n элементов. В связи с этим используется также обозначение множества-степени множества А в виде 2 А .

Пример 4

А = {0, 1, 2}, P (A ) = { , {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}} .

Геометрически множества можно представить с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U , а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.

Определение . Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А , В (рис. 1.1):

Рис. 1.1. Диаграмма Эйлера-Венна для объединения

Определение . Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А , так и множеству В (рис. 1.2):

Рис. 1.2. Диаграмма Эйлера-Венна для пересечения

Определение . Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А , которые не содержатся в В (рис. 1.3):

Рис. 1.3. Диаграмма Эйлера-Венна для разности

Определение . Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А , либо только множеству В (рис. 1.4):

Рис. 1.4. Диаграмма Эйлера-Венна для симметрической разности

Определение . Абсолютным дополнением множества А называется множество всех тех элементов, которые не принадлежат множеству А (рис. 1.5):

Рис. 1.5. Диаграмма Эйлера-Венна для абсолютного дополнения

Пример 5

С помощью диаграмм Эйлера-Венна докажем тождество:

Рассмотрим левую часть соотношения и выполним действия по порядку:

1) найдем пересечение множеств В и С () (рис. 1.6, а);

2) найдем объединение полученного множества с множеством А () (рис. 1.6, б).

Рассмотрим правую часть соотношения :

1) найдем объединение множеств А и В (рис. 1.6, в);

2) найдем объединение множеств А и С (рис.

1.6, г);

3) найдем пересечение двух последних множеств и () (рис. 6, д):

В обоих случаях (рис. 1.6, б) и (рис. 1.6, д) получаем равные множества. Следовательно, исходное соотношение справедливо.

Рис. 1.6. Доказательство тождества с помощью диаграмм Эйлера-Венна

Рассмотрим основные тождества алгебры множеств. Для произвольных множеств А , В , и С справедливы следующие соотношения (табл. 1.11):

Таблица 1.11 Основные тождества алгебры множеств

Объединение	Пересечение
1. Коммутативность объединения	1′. Коммутативность пересечения
2. Ассоциативность объединения	2′. Ассоциативность пересечения
3. Дистрибутивность объединения относительно пересечения	3′. Дистрибутивность пересечения относительно объединения
4. Законы действия с пустым и универсальным множествами	4′. Законы действия с пустым и универсальным множествами
5. Закон идемпотентности объединения	5′. Закон идемпотентности пересечения
6. Закон де Моргана	6′. Закон де Моргана
7. Закон поглощения	7′. Закон поглощения
8. Закон склеивания	8′. Закон склеивания
9. Закон Порецкого	9′. Закон Порецкого
10. Закон двойного дополнения

История

Определение 1

Леонарду Эйлеру задали вопрос: можно ли, прогуливаясь по Кенигсбергу, обойти через все мосты города, дважды не проходя ни через один из них. План города с семью мостами прилагался.

В письме знакомому итальянскому математику Эйлер дал краткое и красивое решение проблемы кенигсбергских мостов: при таком расположении задача неразрешима. При этом он указал, что вопрос показался ему интересным, т.к. «для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра...» .

При решении многих задач Л. Эйлер изображал множества с помощью кругов, поэтому они и получили название «круги Эйлера» . Этим методом ещё ранее пользовался немецкий философ и математик Готфрид Лейбниц, который использовал их для геометрического объяснения логических связей между понятиями, но при этом чаще использовал линейные схемы. Эйлер же достаточно основательно развил метод. Особенно знаменитыми графические методы стали благодаря английскому логику и философу Джону Венну, который ввел диаграммы Венна и подобные схемы часто называют диаграммами Эйлера-Венна . Используются они во многих областях, например, в теории множеств, теории вероятности, логике, статистике и информатике.

Принцип построения диаграмм

До сих пор диаграммы Эйлера-Венна широко используют для схематичного изображения всех возможных пересечений нескольких множеств. На диаграммах изображают все $2^n$ комбинаций n свойств. Например, при $n=3$ на диаграмме изображают три круга с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, который приближенно равен длине стороны треугольника.

Логические операции задают таблицы истинности. На диаграмме изображается круг с названием множества, которое он представляет, например, $A$. Область в середине круга $A$ будет отображать истинность выражения $A$, а область вне круга -- ложь. Для отображения логической операции заштриховывают только те области, в которых значения логической операции при множествах $A$ и $B$ истинны.

Например, конъюнкция двух множеств $A$ и $B$ истинна только в том случае, когда оба множества истинны. В таком случае на диаграмме результатом конъюнкции $A$ и $B$ будет область в середине кругов, которая одновременно принадлежит множеству $A$ и множеству $B$ (пересечению множеств).

Рисунок 1. Конъюнкция множеств $A$ и $B$

Использование диаграмм Эйлера-Венна для доказательства логических равенств

Рассмотрим, как применяется метод построения диаграмм Эйлера-Венна для доказательства логических равенств.

Докажем закон де Моргана, который описывается равенством:

Доказательство:

Рисунок 4. Инверсия $A$

Рисунок 5. Инверсия $B$

Рисунок 6. Конъюнкция инверсий $A$ и $B$

После сравнения области для отображения левой и правой части видим, что они равны. Из этого следует справедливость логического равенства. Закон де Моргана доказан с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Решение задачи поиска информации в Интернет с помощью диаграмм Эйлера-Венна

Для осуществления поиска информации в Интернет удобно использовать поисковые запросы с логическими связками, аналогичными по смыслу союзам "и", "или" русского языка. Смысл логических связок становится более понятным, если проиллюстрировать их с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Пример 1

В таблице приведены примеры запросов к поисковому серверу. Каждый запрос имеет свой код -- буква от $A$ до $B$. Нужно расположить коды запросов в порядке убывания количества найденных страниц по каждому запросу.

Рисунок 7.

Решение:

Построим для каждого запроса диаграмму Эйлера-Венна:

Рисунок 8.

Ответ: БВА.

Решение логической содержательной задачи с помощью диаграмм Эйлера-Венна

Пример 2

За зимние каникулы из $36$ учеников класса $2$ не были ни в кино, ни в театре, ни в цирке. В кино сходило $25$ человек, в театр -- $11$, в цирк -- $17$ человек; и в кино, и в театре -- $6$; и в кино и в цирк -- $10$; и в театр и в цирк -- $4$.

Сколько человек побывало и в кино, и в театре, и в цирке?

Решение:

Обозначим количество ребят, побывавших и в кино, и в театре, и в цирке -- $x$.

Построим диаграмму и узнаем количество ребят в каждой области:

Рисунок 9.

Не были ни в театре, ни в кино, ни в цирке -- $2$ чел.

Значит, $36 - 2 = 34$ чел. побывали на мероприятиях.

В кино и театр сходило $6$ чел., значит, только в кино и театр ($6 - x)$ чел.

В кино и цирк сходило $10$ чел., значит, только в кино и цирк ($10 - x$) чел.

В театр и цирк сходило $4$ чел., значит, только в театре и цирк ($4 - x$) чел.

В кино сходило $25$ чел., значит, из них только в кино сходило $25 - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$.

Аналогично, только в театр сходило ($1+x$) чел.

Только в цирк сходило ($3+x$) чел.

Итак, сходили в театр, кино и цирк:

$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34$;

Т.е. только один человек сходил и в театр, и в кино, и в цирк.

Подобные документы

Восстановление графов по заданным матрицам смежности вершин. Построение для каждого графа матрицы смежности ребер, инцидентности, достижимости, контрдостижимости. Поиск композиции графов. Определение локальных степеней вершин графа. Поиск базы графов.

лабораторная работа , добавлен 09.01.2009


Описание заданного графа множествами вершин V и дуг X, списками смежности, матрицей инцидентности и смежности. Матрица весов соответствующего неориентированного графа. Определение дерева кратчайших путей по алгоритму Дейкстры. Поиск деревьев на графе.

курсовая работа , добавлен 30.09.2014


Понятие "граф" и его матричное представление. Свойства матриц смежности и инцидентности. Свойства маршрутов, цепей и циклов. Задача нахождения центральных вершин графа, его метрические характеристики. Приложение теории графов в областях науки и техники.

курсовая работа , добавлен 09.05.2015


Алгоритм перехода к графическому представлению для неориентированного графа. Количество вершин неориентированного графа. Чтение из матрицы смежностей. Связи между вершинами в матрице. Задание координат вершин в зависимости от количества секторов.

лабораторная работа , добавлен 29.04.2011


Математическое описание системы автоматического управления с помощью графов. Составление графа и его преобразование, избавление от дифференциалов. Оптимизации ориентированных и неориентированных графов, составления матриц смежности и инцидентности.

лабораторная работа , добавлен 11.03.2012


Ориентированные и неориентированные графы: общая характеристика, специальные вершины и ребра, полустепени вершин, матрицы смежности, инцидентности, достижимости, связности. Числовые характеристики каждого графа, обход в глубину и в ширину, базис циклов.

курсовая работа , добавлен 14.05.2012


Проверка справедливости тождеств или включений с использованием алгебры множеств и диаграмм Эйлера-Венна. Изображение графа и матрицы отношения, обладающего свойствами рефлексивности, транзитивности и антисиммеричности. Изучение неориентированного графа.

контрольная работа , добавлен 05.05.2013


Множеством именуется некоторая совокупность элементов, объединенных по какому-либо признаку. Над множествами определяют операции, во многом сходные с арифметическими. Операции над множествами интерпретируют геометрически с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

реферат , добавлен 03.02.2009


Построение диаграммы псевдографа, матрицы инцидентности и матрицы соседства вершин. Восстановление дерева по вектору с помощью алгоритма Прюфера. Построение таблицы истинности для функции и совершенной конъюнктивной и дизъюнктивной нормальной форм.

контрольная работа , добавлен 25.09.2013


Способы решения задач дискретной математики. Расчет кратчайшего пути между парами всех вершин в ориентированном и неориентированном графах с помощью использования алгоритма Флойда. Анализ задачи и методов ее решения. Разработка и характеристика программы.

Для наглядного представления множеств используют диаграммы Эйлера – Венна (названных по имени математиков Леонарда Эйлера (1707–1783) и Джона Венна (1834–1923)). Множества обозначают областями на плоскости и внутри этих областей условно располагают элементы множества. Часто все множества на диаграмме размещают внутри прямоугольника, который представляет собой универсальное множество . Если элемент принадлежит более чем одному множеству, то области, отвечающие таким множествам, должны перекрываться, чтобы общий элемент мог одновременно находиться в соответствующих областях. Выбор формы областей, изображающих множества на диаграммах, может быть произвольным (круги, многоугольники и т. п.).

Например , с помощью диаграмм Эйлера – Венна можно показать, что множество является подмножеством множества(рис. 3).

Проиллюстрируем введенные выше операции над множествами с помощью диаграмм Эйлера – Венна: а) объединение множеств и; б) пересечение множестви; в) разность множестви(без); г) дополнение множествадо универсального множества(рис. 4,а , б , в , г ).

Пример 1. Докажите с помощью диаграмм Эйлера – Венна тождество .

Решение

Построим дополнение множества до универсального множества(рис. 5,а ). Множеству соответствует закрашенная область (рис. 5,б ). Таким образом, видно, что на диаграммах Эйлера – Венна множества иизображаются одинаково, поэтому.

Пример 2. Покажите, что .

Решение

Построим множество, соответствующее левой части заданного тождества. Множество представлено закрашенной областью на рис. 6,а . Множеству соответствует закрашенная область на рис. 6,б .

Множество изображает область, закрашенная на обеих предыдущих диаграммах, поэтому оно представлено на рис. 6, в более темной областью.

Построим множество, соответствующее правой части заданного тождества.

Множества ипредставлены закрашенной областью на рис. 7,а и 7, б соответственно.

Множество изображено закрашенной областью на рис. 7, в .

Сравнивая рис. 6, в и рис. 7, в , видим, что и на диаграммах Эйлера – Венна изображаются одинаково, поэтому .

Вопросы и задачи для самостоятельного решения

1. Изобразите множества, используя диаграммы Эйлера – Венна:

2. Опишите множества, соответствующие закрашенным частям на рис. 8, а , б , в , г , с помощью диаграмм Эйлера – Венна:

3. С помощью диаграмм Эйлера – Венна покажите, что:

1.4. Свойства операций над множествами

Операции над множествами, введенные выше, обладают следующими свойствами.

1. – коммутативность.

2. – ассоциативность.

3. – дистрибутивность.

4. – идемпотентность.

5. – законы тождества.

6. ,,– законы дополнения.

7. – законы де Моргана.

8. – законы поглощения.

9. – законы склеивания.

10. – законы Порецкого.

Пример 1. Опираясь на свойства операций над множествами, упростите выражение .

Решение

= /закон де Моргана/ =

= = /закон дистрибутивности/ =

= = /закон коммутативности/ =

= = /закон дистрибутивности/ =

/закон коммутативности/ =

/законы дополнения/ =

= /законы коммутативности и тождества/ =

= = /определение симметрической разности/ =.

Как уже было сказано, мощность конечного множества – это число его элементов. Следующая теорема дает простое правило вычисления мощности объединения двух множеств.

Теорема включений и исключений. Мощность объединения двух множеств равна разности между суммой мощностей этих множеств и мощностью их пересечения, т. е. .

Доказательство

Доказательство утверждения удобнее всего проиллюстрировать графически. Как показано на рис. 9, множество состоит из подмножеств:,и, которые не имеют общих элементов. Следовательно,и.

Введем обозначения:

Что и требовалось доказать.

Пример 2. Каждый из 63 студентов первого курса, изучающих информатику в университете, может посещать и дополнительные лекции. Если 16 из них слушают еще курс бухгалтерии, 37 – курс коммерческой деятельности и 5 изучают обе эти дисциплины, то сколько студентов вообще не посещают упомянутых дополнительных занятий?

Решение

Введем обозначения:

Следовательно, ­– количество студентов, не посещающих дополнительных курсов.

Замечание 1. Теорему включений и исключений можно сформулировать для случая трех множеств:

Пример 3. На курсе обучаются 42 студента. Из них 16 занимаются в секции по легкой атлетике, 24 – в футбольной секции, 15 – в шахматной секции, 11 – и в секции по легкой атлетике, и в футбольной; 8 – и в легкоатлетической, и в шахматной; 12 – и в футбольной, и в шахматной; а 6 – во всех трех секциях. Остальные студенты увлекаются туризмом. Сколько студентов являются туристами?

Решение

Введем обозначения:

Из условия задачи: ,,,,,,и.

Откуда , т. е.– количество студентов, занимающихся туризмом.

Замечание 2. При решении вышеуказанных задач удобно пользоваться диаграммами Эйлера – Венна.

Задачи для самостоятельного решения

Докажите тождества с помощью свойств операций множеств:

2. В столовую на обед пришли 33 человека. 10 человек заказали себе суп, 16 – плов, 30 – компот, все три блюда заказали 7 человек, суп и плов – 8 человек, суп и компот – 14 человек. Сколько человек заказали плов и компот?

3. В студенческой группе 12 человек изучают английский язык, 13 – немецкий язык, 16 – французский язык, 4 – только английский и немецкий, 3 – только английский и французский, 5 – все три языка. В группе нет студентов, изучающих только английский язык. Два человека изучают только немецкий язык, шесть человек изучают только французский язык. Один студент в группе не изучает ни один из перечисленных языков. Сколько всего студентов в группе?

Некоторые задачи удобно и наглядно решать с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Например, задачи на множества. Если Вы не знаете, что такое диаграммы Эйлера-Венна и как их строить, то сначала прочтите .

Теперь разберем типовые задачи о множествах.

Задача 1.

В школе с углубленным изучением иностранных языков провели опрос среди 100 учащихся. Ученикам задали вопрос: "Какие иностранные языки вы изучаете?". Выяснилось, что 48 учеников изучают английский, 26 - французский, 28 - немецкий. 8 школьников изучают английский и немецкий, 8 - английский и французский, 13 - французский и немецкий. 24 школьника не изучают ни английский, ни французский, ни немецкий. Сколько школьников, прошедших опрос, изучают одновременно три языка: английский, французский и немецкий?

Ответ: 3.

Решение:

• множество школьников, изучающих английский ("А");
• множество школьников изучающих французский ("Ф");
• множество школьников изучающих немецкий ("Н").

Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию.

Обозначим искомую область А=1, Ф=1, Н=1 как "х" (в таблице ниже область №7). Выразим остальные области через х.

0) Область А=0, Ф=0, Н=0 : 24 школьника - дано по условию задачи.

1) Область А=0, Ф=0, Н=1 : 28-(8-х+х+13-х)=7+х школьников.

2) Область А=0, Ф=1, Н=0 : 26-(8-х+х+13-х)=5+х школьников.

3) Область А=0, Ф=1, Н=1 : 13-х школьников.

4) Область А=1, Ф=0, Н=0 : 48-(8-х+х+8-х)=32+х школьников.

5) Область А=1, Ф=0, Н=1 : 8-х школьников.

6) Область А=1, Ф=1, Н=0 : 8-х школьников.

№ области	А	Ф	Н	Количество школьников
0	0	0	0	24
1	0	0	1	7+х
2	0	1	0	5+х
3	0	1	1	13-х
4	1	0	0	32+х
5	1	0	1	8-х
6	1	1	0	8-х
7	1	1	1	х

Определим х:

24+7+(х+5)+х+(13-х)+(32+х)+(8-х)+(8-х)+х=100.

х=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.

Получили, что 3 школьника изучают одновременно три языка: английский, французский и немецкий.

Так будет выглядеть диаграмма Эйлера-Венна при известном х:

Задача 2.

На олимпиаде по математике школьникам предложили решить три задачи: одну по алгебре, одну по геометрии, одну по тригонометрии. В олимпиаде участвовало 1000 школьников. Результаты олимпиады были следующие: задачу по алгебре решили 800 участников, по геометрии - 700, по тригонометрии - 600. 600 школьников решили задачи по алгебре и геометрии, 500 - по алгебре и тригонометрии, 400 - по геометрии и тригонометрии. 300 человек решили задачи по алгебре, геометрии и тригонометрии. Сколько школьников не решило ни одной задачи?

Ответ: 100.

Решение:

Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:

• множество задач по алгебре ("А");
• множество задач по геометрии ("Г");
• множество задач по тригонометрии ("Т").

Изобразим то, что нам надо найти:

Определим количество школьников для всех возможных областей.

Обозначим искомую область А=0, Г=0, Т=0 как "х" (в таблице ниже область №0).

Найдем остальные области:

1) Область А=0, Г=0, Т=1 : школьников нет.

2) Область А=0, Г=1, Т=0 : школьников нет.

3) Область А=0, Г=1, Т=1 : 100 школьников.

4) Область А=1, Г=0, Т=0 : школьников нет.

5) Область А=1, Г=0, Т=1 : 200 школьников.

6) Область А=1, Г=1, Т=0 : 300 школьников.

7) Область А=1, Г=1, Т=1 : 300 школьников.

Запишем значения областей в таблицу:

№ области	А	Г	Т	Количество школьников
0	0	0	0	х
1	0	0	1	0
2	0	1	0	0
3	0	1	1	100
4	1	0	0	0
5	1	0	1	200
6	1	1	0	300
7	1	1	1	300

Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:

Определим х:

х=U-(A V Г V Т), где U-универсум.

A V Г V Т=0+0+0+300+300+200+100=900.

Получили, что 100 школьников не решило ни одной задачи.

Задача 3.

На олимпиаде по физике школьникам предложили решить три задачи: одну по кинематике, одну по термодинамике, одну по оптике. Результаты олимпиады были следующие: задачу по кинематике решили 400 участников, по термодинамике - 350, по оптике - 300. 300 школьников решили задачи по кинематике и термодинамике, 200 - по кинематике и оптике, 150 - по термодинамике и оптике. 100 человек решили задачи по кинематике, термодинамике и оптике. Сколько школьников решило две задачи?

Ответ: 350.

Решение:

Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:

• множество задач по кинематике ("К");
• множество задач по термодинамике ("Т");
• множество задач по оптике ("О").

Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию:

Изобразим то, что нам надо найти:

Определим количество школьников для всех возможных областей:

0) Область К=0, Т=0, О=0 : не определено.

1) Область К=0,Т=0, О=1 : 50 школьников.

2) Область К=0, Т=1, О=0 : школьников нет.

3) Область К=0, Т=1, О=1 : 50 школьников.

4) Область К=1, Т=0, О=0 : школьников нет.

5) Область К=1, Т=0, О=1 : 100 школьников.

6) Область К=1, Т=1, О=0 : 200 школьников.

7) Область К=1, Т=1, О=1 : 100 школьников.

Запишем значения областей в таблицу:

№ области	К	Т	О	Количество школьников
0	0	0	0	-
1	0	0	1	50
2	0	1	0	0
3	0	1	1	50
4	1	0	0	0
5	1	0	1	100
6	1	1	0	200
7	1	1	1	100

Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:

Определим х.

х=200+100+50=350.

Получили, 350 школьников решило две задачи.

Задача 4.

Среди прохожих провели опрос. Был задан вопрос: "Какое домашнее животное у Вас есть?". По результатам опроса выяснилось, что у 150 человек есть кошка, у 130 - собака, у 50 - птичка. У 60 человек есть кошка и собака, у 20 - кошка и птичка, у 30 - собака и птичка. У 70 человек вообще нет домашнего животного. У 10 человек есть и кошка, и собака, и птичка. Сколько прохожих приняли участие в опросе?

Ответ: 300.

Решение:

Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:

• множество людей, у которых есть кошка ("К");
• множество людей, у которых есть собака ("С");
• множество людей, у которых есть птичка ("П").

Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию:

Изобразим то, что нам надо найти:

Определим количество человек для всех возможных областей:

0) Область К=0, С=0, П=0 : 70 человек.

1) Область К=0, С=0, П=1 : 10 человек.

2) Область К=0, С=1, П=0 : 50 человек.

3) Область К=0, С=1, П=1 : 20 человек.

4) Область К=1, С=0, П=0 : 80 человек.

5) Область К=1, Т=0, О=1 : 10 человек.

6) Область К=1, Т=1, О=0 : 50 человек.

7) Область К=1, Т=1, О=1 : 10 человек.

Запишем значения областей в таблицу:

№ области	К	C	П	Количество человек
0	0	0	0	70
1	0	0	1	10
2	0	1	0	50
3	0	1	1	20
4	1	0	0	80
5	1	0	1	10
6	1	1	0	50
7	1	1	1	10

Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:

Определим х:

х=U (универсум)

U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.

Получили, что 300 человек приняли участие в опросе.

Задача 5.

На одну специальность в одном из ВУЗов поступало 120 человек. Абитуриенты сдавали три экзамена: по математике, по информатике и русскому языку. Математику сдали 60 человек, информатику - 40. 30 абитуриентов сдали математику и информатику, 30 - математику и русский язык, 25 - информатику и русский язык. 20 человек сдали все три экзамена, а 50 человек - провалили. Сколько абитуриентов сдали русский язык?