Задача ставится так: дана функция F(p), надо найти функцию /(<)> изображением которой является F(p).
Сформулируем условия, достаточные для того, чтобы функция F(p) комплексного переменного р служила изображением.
Теорема 12. Если аналитическая в полуплоскости функция F(p)
1) стремится к нулю при в любой полуплоскости Rep = а > s0 равномерно относительно arg
Отыскание оригинала по изображению
2) интеграл
а-«сю
сходится абсолютно,
то F(p) является изображением некоторой функции-оригинала f{t). Задач*. Может ли функция F(p) = ^ служить изображением некоторой функции-оригинала? Укажем некоторые способы отыскания оригинала по изображению.
3.1. Отыскание оригинала с помощью таблиц изображений
Прежде всего стоит привести функцию F(p) к более простому, «табличному» виду. Например, в случае, когда F(p) - дробно-рациональная функция аргумента р,ее разлагают на элементарные дроби и пользуются подходящими свойствами преобразования Лапласа.
Пример 1. Найти оригинал для
Запишем функцию F(p) в виде
Пользуясь теоремой смещения и свойством линейности преобразования Лапласа, получаем
Пример 2. Найти оригинал для функции
М Запишем F(p) в виде Отсюда /
3.2. Использование теоремы обращения и следствий из нее
Теорема 13 (обращения). /Гош функция fit) есть функция-оригинал с показателем роста s0 и F(p) - ее изображение, то в любой точке непрерывности функции f(t) выполняется соотношение
где интеграл берется вдоль любой прямой и понимается в смысле главного значения, т. е. как
Формула (1) называется формулой обращения преобразования Лапласа, или формулой Меллина.
В самом деле, пусть, например, f(t) - кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке }