സിംപ്ലക്സ് രീതിയുടെ ആശയം

ലളിതമായ രീതി

ടാസ്ക് ആണെങ്കിൽ എന്ന് മുൻ വിഭാഗത്തിൽ കാണിച്ചിരുന്നു ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ്ഒരു ഒപ്റ്റിമൽ സൊല്യൂഷനുണ്ട്, പിന്നെ ഒപ്റ്റിമൽ സൊല്യൂഷനുകളിലൊന്ന് അതിൻ്റെ നിയന്ത്രണ സംവിധാനത്തിൻ്റെ അനുവദനീയമായ അടിസ്ഥാന പരിഹാരമാണ്, ഇത് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അനുവദനീയമായ പരിഹാരങ്ങളുടെ പോളിഹെഡ്രോണിൻ്റെ ചില കോർണർ പോയിൻ്റുമായി യോജിക്കുന്നു. പ്രശ്‌നത്തിൻ്റെ നിയന്ത്രണ സംവിധാനത്തിലേക്കുള്ള അടിസ്ഥാന പരിഹാരങ്ങളുടെ പരിമിതമായ തിരയൽ ഉപയോഗിച്ച് ഈ ഒപ്റ്റിമൽ പരിഹാരം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് കാണിച്ചു. എന്നിരുന്നാലും, പ്രശ്ന നിയന്ത്രണ സംവിധാനത്തിൻ്റെ അളവ് n വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച്, അടിസ്ഥാന പരിഹാരങ്ങളുടെ സമഗ്രമായ എണ്ണൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് ക്രമാതീതമായി വളരുകയും പ്രായോഗികമായി അനുയോജ്യമല്ലാതാകുകയും ചെയ്യുന്നു. അനുവദനീയമായ അടിസ്ഥാന പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു കണക്കെടുപ്പ് സംഘടിപ്പിക്കാനും തുടർന്നുള്ള അനുവദനീയമായ ഓരോ അടിസ്ഥാന പരിഹാരവും തിരഞ്ഞെടുത്താൽ എണ്ണപ്പെട്ട പരിഹാരങ്ങളുടെ എണ്ണം കുത്തനെ കുറയ്ക്കാനും കഴിയും. വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനംമെച്ചപ്പെട്ടു അല്ലെങ്കിൽ കുറഞ്ഞത് മോശമായില്ല. ഒപ്റ്റിമൽ അടിസ്ഥാന പരിഹാരം കണ്ടെത്തുമ്പോൾ ഘട്ടങ്ങളുടെ എണ്ണം കുറയ്ക്കാൻ ഈ സമീപനം നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഈ ആശയം ഗ്രാഫിക്കായി വിശദീകരിക്കാം.

പോളിഗോൺ ABCDEFGH രണ്ട് വേരിയബിളുകളും വെക്‌ടറും ഉള്ള PLP യുടെ അനുവദനീയമായ പരിഹാരങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കട്ടെ – വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഗ്രേഡിയൻ്റ്.

ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ എടുക്കുന്ന ഈ ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റ് നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യം. കോർണർ പോയിൻ്റ് ബിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രാരംഭ അനുവദനീയമായ അടിസ്ഥാന പരിഹാരം നിർണ്ണയിക്കപ്പെടട്ടെ, സ്വീകാര്യമായ എല്ലാ അടിസ്ഥാന പരിഹാരങ്ങളുടെയും പൂർണ്ണമായ തിരച്ചിലിന് ശേഷം, പോളിഗോണിൻ്റെ എട്ട് കോർണർ പോയിൻ്റുകൾക്ക് സമാനമായ എട്ട് പരിഹാരങ്ങൾ പരിശോധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഗ്രേഡിയൻ്റിൻ്റെ ദിശ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, അയൽ ശീർഷം സി ലേക്ക് പോകുന്നത് കൂടുതൽ ലാഭകരമാണെന്ന് ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്, തുടർന്ന് പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ഒപ്റ്റിമൽ അടിസ്ഥാന പരിഹാരവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന അയൽപക്ക ശീർഷകം ഡി ലേക്ക് പോകുന്നു. അതിനാൽ, എട്ട് പരിഹാരങ്ങൾക്ക് പകരം, മൂന്ന് പ്രായോഗിക അടിസ്ഥാന പരിഹാരങ്ങൾ മാത്രമേ പരിഗണിക്കൂ.

ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സാർവത്രിക രീതിയുടെ അടിസ്ഥാനമാണ് പരിഹാരത്തിൻ്റെ തുടർച്ചയായ മെച്ചപ്പെടുത്തൽ എന്ന ആശയം. – സിംപ്ലക്സ് രീതി.

സിംപ്ലെക്സ് രീതിയുടെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം, പോളിഹെഡ്രോണിൻ്റെ ഒരു ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് പ്രശ്നത്തിന് സാധ്യമായ പരിഹാരങ്ങളുടെ അയൽപക്കത്തിലേക്കുള്ള ഒരു തുടർച്ചയായ പരിവർത്തനം നടത്തുന്നു, അതിൽ വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനം മുമ്പത്തെ ശീർഷത്തേക്കാൾ മോശമല്ലാത്ത ഒരു മൂല്യം എടുക്കുന്നു. ഒപ്റ്റിമൽ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നത് വരെ ഈ പരിവർത്തനം തുടരും അല്ലെങ്കിൽ പ്രശ്നത്തിന് ഒന്നുമില്ലെന്ന് കണ്ടെത്തും.

സിംപ്ലക്സ് രീതിയും അതിൻ്റെ പേരും ആദ്യമായി നിർദ്ദേശിച്ചത് അമേരിക്കൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ജോൺ ഡാൻ്റ്സിഗ് 1947-ൽ ആണ്, എന്നിരുന്നാലും ഈ രീതിയുടെ ആശയങ്ങൾ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത് റഷ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ എൽ.വി. 1939-ൽ കണ്ടോറോവിച്ച് എന്ന ലേഖനത്തിൽ " ഗണിതശാസ്ത്ര രീതികൾഓർഗനൈസേഷനും ഉൽപ്പാദന ആസൂത്രണവും."

സിംപ്ലക്സ് രീതി മൂന്ന് പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

ആമുഖം

എൻ്റെ ജോലിയുടെ വിഷയം സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിൽ ഉണ്ടാകുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചാണ്. ഇത് ഒരു അർത്ഥത്തിൽ, ഏറ്റവും മികച്ചത് തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിനുള്ള ചോദ്യം ഉയർത്തുന്നു. ഒപ്പം തിരയാനും സാധ്യമായ ഓപ്ഷൻതിരഞ്ഞെടുക്കാനുള്ള വ്യാപ്തി കുറയ്ക്കുന്ന വിവിധ ഘടകങ്ങളാൽ പലപ്പോഴും സ്വാധീനിക്കപ്പെടുന്നു. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അത് തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകതയിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു മികച്ച ഓപ്ഷൻഒരു നിശ്ചിത, സാധാരണയായി പരിമിതമായ സാധ്യമായ ഓപ്ഷനുകൾക്കിടയിലുള്ള തീരുമാനങ്ങൾ.

സെറ്റ് ആണെങ്കിൽ ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ പ്രശ്നം ഗണിതശാസ്ത്ര ഭാഷയിൽ രൂപപ്പെടുത്താം ലഭ്യമായ ഓപ്ഷനുകൾഗണിത ബന്ധങ്ങൾ (സമത്വങ്ങൾ, അസമത്വങ്ങൾ, സമവാക്യങ്ങൾ) ഉപയോഗിച്ച് വിവരിക്കാം, കൂടാതെ ഒപ്റ്റിമലിറ്റി ക്രൈറ്റീരിയൻ അല്ലെങ്കിൽ ഒബ്ജക്ടീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്ന ചില സൂചകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഓരോ പരിഹാരവും അളവ്പരമായി വിലയിരുത്താം. പിന്നെ മികച്ച പരിഹാരംപ്രശ്നത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനപരമായ അർത്ഥത്തെ ആശ്രയിച്ച്, ടാർഗെറ്റ് ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ കുറഞ്ഞ മൂല്യം നൽകുന്ന ഒന്നായിരിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, നിരവധി പ്രോജക്റ്റുകളിൽ പരിമിതമായ തുക നിക്ഷേപിക്കുമ്പോൾ, ഭാവിയിൽ ഏറ്റവും വലിയ ലാഭം കൊണ്ടുവരാൻ കഴിയുന്ന പ്രോജക്റ്റുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുക എന്നതാണ് സ്വാഭാവിക ചുമതല. വിവിധ വിതരണക്കാരിൽ നിന്ന് സ്റ്റോറുകളിലേക്ക് ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ വിതരണം ചെയ്യുമ്പോൾ, ഗതാഗത ചെലവ് കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള ചുമതല ഉയർന്നുവരുന്നു.

ഒരു പ്രശ്നത്തെ ഔപചാരികമാക്കുന്ന പ്രക്രിയയെ അതിൻ്റെ ഗണിത മാതൃക നിർമ്മിക്കൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇത് മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

1. പരിഹാരം ആശ്രയിക്കുന്ന പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. ഈ പരാമീറ്ററുകളെ കൺട്രോൾ വേരിയബിളുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അവയിൽ നിന്ന് ഒരു വെക്റ്റർ രൂപീകരിച്ചുകൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു . ഒരു തീരുമാനം എടുക്കുക എന്നതിനർത്ഥം വേരിയബിളുകൾക്കായി നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യങ്ങൾ സജ്ജമാക്കുക എന്നാണ്.

2. നിങ്ങൾക്ക് താരതമ്യം ചെയ്യാൻ കഴിയുന്ന ഒരു സംഖ്യാ മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെ നിർമ്മാണം വിവിധ ഓപ്ഷനുകൾതീരുമാനങ്ങൾ. അത്തരമൊരു മാനദണ്ഡത്തെ സാധാരണയായി ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് .

3. മുഴുവൻ സെറ്റിൻ്റെയും വിവരണം എക്സ്വേരിയബിളുകളുടെ സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങൾ - ഭൗതിക വിഭവങ്ങൾ, സാമ്പത്തിക വിഭവങ്ങൾ, സാങ്കേതിക കഴിവുകൾ മുതലായവയുടെ ലഭ്യതയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട നിയന്ത്രണങ്ങൾ.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ പ്രശ്നം അത്തരമൊരു പ്രായോഗിക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് സാധ്യമായ എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളിലും ഏറ്റവും വലുതോ ചെറുതോ ആയ മൂല്യം വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനത്തിന് നൽകുന്നു.

1. ജ്യാമിതീയ രീതി LP പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

രണ്ട് അജ്ഞാത അളവുകൾ മാത്രമുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഈ രീതി പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത് നോക്കാം:

ഉദാഹരണം 1.1. (പെയിൻ്റുകളുടെ ഉത്പാദനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രശ്നം).

ഒരു ചെറിയ ഫാക്ടറി രണ്ട് തരം പെയിൻ്റുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നു: INT- ഇൻ്റീരിയർ ജോലികൾക്കും EXT- ഔട്ട്ഡോർ ജോലിക്ക്. പെയിൻ്റ് നിർമ്മാണത്തിൽ, രണ്ട് ആരംഭ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു എഒപ്പം IN. ചെറിയ വെയർഹൗസ് ഏരിയ കാരണം, ഈ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ പരമാവധി ദൈനംദിന കരുതൽ യഥാക്രമം 6 ടൺ, 8 ടൺ എന്നിവയാണ്. 1 ടൺ പെയിൻ്റ് ഉത്പാദിപ്പിക്കാൻ INT 1 ടൺ ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിക്കുന്നു എകൂടാതെ 2 ടൺ ഉൽപ്പന്നവും IN, കൂടാതെ 1 ടൺ പെയിൻ്റ് ഉത്പാദനത്തിനും EXT 2 ടൺ ഉൽപ്പന്നമുണ്ട് എകൂടാതെ 1 ടൺ ഉൽപ്പന്നവും IN. ഫാക്ടറി 3 ആയിരം വിലയ്ക്ക് പെയിൻ്റ് വിൽക്കുന്നു. ഒരു ടൺ പെയിൻ്റിന് ഡോളർ INTഒരു ടൺ പെയിൻ്റിന് 2 ആയിരം ഡോളറും EXT. ഒരു പട്ടികയിലെ പ്രാരംഭ ഡാറ്റ സംഗ്രഹിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്:

സെയിൽസ് മാർക്കറ്റിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു പഠനം കാണിക്കുന്നത് പെയിൻ്റിൻ്റെ ദൈനംദിന ഡിമാൻഡ് ആണ് EXTപെയിൻ്റിൻ്റെ ആവശ്യകതയെ ഒരിക്കലും കവിയുന്നില്ല INT, 1 ടണ്ണിൽ കൂടുതൽ. ഉൽപ്പന്ന വിൽപനയിൽ നിന്നുള്ള വരുമാനം വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിന് ഓരോ തരത്തിലുമുള്ള പെയിൻ്റ് ഫാക്ടറി പ്രതിദിനം എത്രമാത്രം നിർമ്മിക്കണം?

നമുക്ക് പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക നിർമ്മിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, പ്രശ്ന വേരിയബിളുകൾ, വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനം, വേരിയബിളുകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന നിയന്ത്രണങ്ങൾ എന്നിവ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. എന്ന് നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം x 1- INT പെയിൻ്റിൻ്റെ പ്രതിദിന ഉൽപ്പാദന അളവ് ആസൂത്രണം ചെയ്തു, അതിനുശേഷവും x 2- EXT പെയിൻ്റിൻ്റെ പ്രതിദിന ഉൽപാദന അളവ്. ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ f(x)തുല്യമായ പെയിൻ്റ് വിൽപ്പനയിൽ നിന്നുള്ള പ്രതിദിന വരുമാനം പ്രകടിപ്പിക്കും 3x 1 + 2x 2(ആയിരം ഡോളർ). ഈ വരുമാനം പരമാവധി വർദ്ധിപ്പിക്കണം

f( x)= 3 x 1 + 2 x 2 ® പരമാവധി

ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ പരിമിതമായ വിതരണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നത്തിൻ്റെ നിയന്ത്രണങ്ങൾ നമുക്ക് നിർമ്മിക്കാം എഒപ്പം IN. പെയിൻ്റ് നിർമ്മാണത്തിനായി INTഅളവിൽ x 1(t) ഉപയോഗിക്കും 1x 1(t) ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ എ, കൂടാതെ പെയിൻ്റ് ഉത്പാദനത്തിനും EXTവോളിയത്തിൽ x 2(ടി) ചെലവഴിക്കും 2x2(t) ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ എ. ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ദൈനംദിന വിതരണം മുതൽ എ 6 ടൺ ആണ്, പിന്നെ ഉൽപ്പന്ന ഉപഭോഗം എരണ്ട് തരം പെയിൻ്റുകളുടെ ഉത്പാദനത്തിന് പ്രതിദിനം ഈ തുക കവിയരുത്: 1x 1 + 2x 2 £6. അതുപോലെ, ഉൽപ്പന്ന സ്റ്റോക്കുമായി ബന്ധപ്പെട്ട നിയന്ത്രണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നേടുന്നു IN : 2x 1 +1x 2 £8. പെയിൻ്റുകളുടെ ആവശ്യകതയുടെ അനുപാതത്തിലെ നിയന്ത്രണം അസമത്വത്താൽ വിവരിക്കാം: x 2 - x 1 £1. പ്രൊഡക്ഷൻ വോള്യങ്ങളുടെ നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്തതിൻ്റെ സ്വാഭാവിക സാഹചര്യങ്ങൾ കണക്കിലെടുത്ത്, നമുക്ക് ഒടുവിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നം ലഭിക്കും

f(x) = 3 x 1 + 2 x 2 ® പരമാവധി (1.1)

1 x 1 + 2 x 2 £ 6 , (1.2)

2 x 1 + 1 x 2 £ 8 , (1.3)

- x 1 + x 2 £1 , (1.4)

x 1 ³ 0, x 2 ³ 0 . (1.5)

നിയന്ത്രണങ്ങൾ (1.2)-(1.5) വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന പ്രശ്ന പദ്ധതികളുടെ ഒരു കൂട്ടം നമുക്ക് നിർമ്മിക്കാം. ആദ്യത്തെ അസമത്വം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. അതിർത്തിരേഖയുടെ ഒരു വശത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ഒരു നിശ്ചിത അർദ്ധതലം ഇത് വ്യക്തമാക്കുന്നു

p 1 : 1x 1 +2x 2 =6

കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുള്ള ഒരു തലത്തിൽ നമുക്ക് ഈ നേർരേഖ നിർമ്മിക്കാം x 1ഒപ്പം x 2. ഒരു രേഖ വരയ്ക്കാൻ, അതിൻ്റെ രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ അറിഞ്ഞാൽ മതി. കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നേർരേഖയുടെ വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ള മാർഗം. വിശ്വസിക്കുന്നു x 1 = 0, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന നേർരേഖയുടെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x 2 = 3, എപ്പോൾ x 2 = 0ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും x 1 = 6. അങ്ങനെ നേരെ p 1പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകും (0,3) ഒപ്പം ( 6,0) . വരിയുടെ ഏത് വശത്താണ് ആവശ്യമുള്ള അർദ്ധ-തലം സ്ഥിതിചെയ്യുന്നതെന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ, വിമാനത്തിൻ്റെ ഏത് പോയിൻ്റിൻ്റെയും കോർഡിനേറ്റുകൾ അസമത്വത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചാൽ മതിയാകും (1.2). നേർരേഖ ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നില്ലെങ്കിൽ, പോയിൻ്റ് എടുക്കുന്നത് ഏറ്റവും സൗകര്യപ്രദമാണ് (0, 0) . വ്യക്തമായും, ഈ ഘട്ടത്തിൽ അസമത്വം (1.2) കർശനമായി സംതൃപ്തമാണ് (1* 0 + 2* 0 < 6) , അതായത് ഈ അസമത്വം നിർവ്വചിച്ച അർദ്ധതലം നേർരേഖയ്ക്ക് താഴെയാണ് p1,ഉത്ഭവം ഉൾപ്പെടെ. ഞങ്ങൾ ആവശ്യമുള്ള അർദ്ധ-തലം ഷേഡിംഗ് ഉപയോഗിച്ച് അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു ( ചിത്രം.1.1).

അസമത്വം (1.3) നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന അർദ്ധതലം നമുക്ക് സമാനമായി നിർമ്മിക്കാം. . ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ ഒരു അതിർത്തി രേഖ വരയ്ക്കുക

p2 : 2x 1 +x 2 =8 ,

കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അതിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു: (0,8) ഒപ്പം (4,0) .

പോയിൻ്റ് കോർഡിനേറ്റുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു (0,0) അസമത്വത്തിലേക്ക് (2.3), കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവം ആവശ്യമുള്ള അർദ്ധ-തലത്തിൽ ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു (2* 0 + 1* 0 < 8) , അതായത് അസമത്വം (2.3) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും നേർരേഖയുടെ ഇടതുവശത്താണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത് p2. നമുക്ക് ഈ പ്രദേശം ഷേഡിംഗ് ഉപയോഗിച്ച് അടയാളപ്പെടുത്താം ( ചിത്രം.1.1).

നിയന്ത്രണത്താൽ നിർവ്വചിച്ച പോയിൻ്റുകൾ ( 4 ), നേർരേഖയ്ക്ക് താഴെയാണ്

പി 3 : -x 1 +x 2 =1,

പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു (0, 1) ഒപ്പം (-1, 0) .

അവസാനമായി, നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത അവസ്ഥകൾ: x 1 ³ 0, x 2³0 ആദ്യ പാദത്തിലെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും സജ്ജീകരിച്ചു, അത് ഞങ്ങൾ ഷേഡിംഗ് ഉപയോഗിച്ച് അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു.

പ്രശ്‌നത്തിൻ്റെ എല്ലാ പരിമിതികളും (1.1)-(1.5) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന പ്ലെയിനിൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾ ഇപ്പോൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, അതായത്, എല്ലാ ഷേഡുള്ള അർദ്ധവിമാനങ്ങളിലും ഒരേസമയം സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു കൂട്ടം പ്ലാനുകൾ ലഭിക്കും. എക്സ്. ഇതൊരു ബഹുഭുജമാണ് (ഈ പ്രശ്നത്തിൽ, ഒരു പെൻ്റഗൺ). അതിൻ്റെ വശങ്ങൾ നേർരേഖയിൽ കിടക്കുന്നു, അവയിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റംഅസമത്വങ്ങൾ (1.2)-(1.5) അസമത്വ ചിഹ്നങ്ങളെ കർശനമായ തുല്യതകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ.

വേണ്ടി ഗ്രാഫിക്കൽ പ്രാതിനിധ്യംവസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ, ഞങ്ങൾ ഒരു ലെവൽ ലൈൻ (ഫംഗ്ഷൻ ഐസോലിൻ) എന്ന ആശയം അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം.ഫംഗ്ഷൻ ലെവൽ ലൈൻ (ഐസോലിൻ) f(x)പോയിൻ്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടം എന്ന് വിളിക്കുന്നു x = (x 1, x2), അതിൽ ഒരേ സ്ഥിരമായ മൂല്യം എടുക്കുന്നു f(x) = h, എവിടെ എച്ച്- കുറച്ച് നമ്പർ. രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു രേഖീയ പ്രവർത്തനത്തിന് f(x) = c 1 x 1 + c 2 x 2സംഖ്യയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ലെവൽ ലൈൻ എച്ച്, സമവാക്യത്തോടുകൂടിയ ഒരു നേർരേഖയെ പ്രതിനിധീകരിക്കും

c 1 x 1 + c 2 x 2 = എച്ച് (1.6)

നമ്പർ മാറുമ്പോൾ എച്ച്ഒരേ ദിശയിലുള്ള വെക്‌ടറുള്ള ലെവൽ ലൈനുകളുടെ (സമാന്തര നേർരേഖകൾ) നമുക്ക് ഒരു കുടുംബം ലഭിക്കും c = =(c 1 , c 2), എല്ലാ വരികൾക്കും ലംബമായി. വെക്റ്റർ ആണെന്ന് അറിയാം c = (c 1, c 2)രേഖീയ പ്രവർത്തനത്തിന് f(x) = c 1 x 1 +c 2 x 2അതിൻ്റെ വർദ്ധനവിൻ്റെ ദിശ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ജ്യാമിതീയമായി, ലക്ഷ്യം വെക്റ്ററിൻ്റെ ദിശയിൽ നേർരേഖയുടെ (1.6) സമാന്തര ചലനം ഉണ്ടാകുമ്പോൾ സിവസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ മൂല്യം വർദ്ധിക്കുന്നു.

ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ലെവൽ ലൈനുകൾ നമുക്ക് നിർമ്മിക്കാം f(x) = 3x 1 + 2 x 2ഞങ്ങളുടെ ചുമതലയിൽ. അവരുടെ സമവാക്യങ്ങൾ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും 3x 1 + 2 x 2 = h.പാരാമീറ്ററിനെ ആശ്രയിച്ച് സമാന്തര വരകളുടെ ഒരു കുടുംബത്തെ അവർ നിർവചിക്കുന്നു എച്ച്. എല്ലാ വരികളും ടാർഗെറ്റ് വെക്റ്ററിന് ലംബമാണ് c = (3, 2), ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അതിനാൽ, ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ലെവലിൻ്റെ ഒരു കുടുംബം നിർമ്മിക്കാൻ, അതിൻ്റെ ടാർഗെറ്റ് വെക്റ്റർ നിർമ്മിക്കുകയും ഈ വെക്റ്ററിന് ലംബമായി നിരവധി നേർരേഖകൾ വരയ്ക്കുകയും ചെയ്താൽ മതിയാകും. പല പ്ലാനുകളിലും ഞങ്ങൾ ലെവൽ ലൈനുകൾ വരയ്ക്കും എക്സ്, ടാർഗെറ്റ് വെക്റ്ററിൻ്റെ ദിശയിൽ സമാന്തര രേഖകൾ നീക്കുമ്പോൾ ഓർക്കുന്നു c = (3, 2)പ്രവർത്തന മൂല്യം f(x)= 3x 1 + 2x 2കൂട്ടും. പ്രശ്നം മുതൽ ഒപ്റ്റിമൽ പ്ലാൻടാർഗെറ്റ് ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് സാധ്യമായ പരമാവധി മൂല്യം നൽകണം, തുടർന്ന് പ്രശ്നം ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുന്നതിന് എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലും അത് ആവശ്യമാണ് x = (x 1, x2)നിരവധി പദ്ധതികൾ എക്സ്അത്തരമൊരു പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുക x* = (x 1 * , x 2 *), ഇതിലൂടെ അവസാന ലെവൽ ലൈൻ ടാർഗെറ്റ് വെക്റ്ററിൻ്റെ ദിശയിലേക്ക് കടന്നുപോകും c = (3,2). ചിത്രം 1.2 ൽ നിന്ന്, ആവശ്യമുള്ള പോയിൻ്റ് സെറ്റിൻ്റെ മുകളിൽ കിടക്കുന്ന പോയിൻ്റായിരിക്കുമെന്ന് വ്യക്തമാണ്. എക്സ്, വരികളുടെ വിഭജനം വഴി രൂപപ്പെട്ടു p 1ഒപ്പം p2. ഈ വരികൾ വിവരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നത് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു ഒപ്റ്റിമൽ പ്ലാൻ x 1 * = 3 1/3, x 2 * = 1 1/3. അതിൽ പരമാവധി മൂല്യംവസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനം തുല്യമായിരിക്കും f(x*) = 12 2 / 3 .അങ്ങനെ, എല്ലാ ദിവസവും ഫാക്ടറി ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കണം 3 1 / 3 ടൺ പെയിൻ്റ് INTഒപ്പം 1 1 / 3 ടൺ പെയിൻ്റ് EXTവരുമാനം ലഭിക്കുമ്പോൾ 12 2 / 3 ആയിരം ഡോളർ.

x 1 + 2 x 2 = 6,

2 x 1 + x 2 = 8,

ഉദാഹരണം 1.2.മൂന്ന് തരം വിറ്റാമിനുകൾ അടങ്ങിയ "ആരോഗ്യം", "ദീർഘായുസ്സ്" എന്നീ രണ്ട് തരം മൾട്ടിവിറ്റമിൻ കോംപ്ലക്സുകൾ മെഡിക്കൽ എൻ്റർപ്രൈസ് വാങ്ങുന്നു. ഒരു ഗ്രാം മൾട്ടികോംപ്ലക്സുകളിലെ ഈ വിറ്റാമിനുകളുടെ യൂണിറ്റുകളുടെ എണ്ണം, പ്രതിരോധ ഉപയോഗത്തിന് ആവശ്യമായ മാനദണ്ഡം, ഒരു ഗ്രാം "ആരോഗ്യം", "ദീർഘായുസ്സ്" കോംപ്ലക്സുകളുടെ വില എന്നിവ പട്ടികയിൽ പ്രതിഫലിക്കുന്നു.

ഒരു പ്രതിരോധ ഡോസിന് ഓരോ തരത്തിലുമുള്ള മൾട്ടിവിറ്റമിൻ കോംപ്ലക്സുകളുടെ എത്ര ഗ്രാം ആവശ്യമാണ്, അതിനാൽ എല്ലാ വിറ്റാമിനുകളും കുറഞ്ഞത് ആവശ്യാനുസരണം ലഭിക്കും, അതേ സമയം അവയുടെ ആകെ ചെലവ് വളരെ കുറവാണ്.

പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ഒരു ഗണിത മാതൃക സൃഷ്ടിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ വേരിയബിളുകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു: x 1- "ആരോഗ്യ" സമുച്ചയത്തിൻ്റെ അളവ് (ഗ്രാം.) , x 2- "ദീർഘായുസ്സ്" സമുച്ചയത്തിൻ്റെ അളവ് (ഗ്രാം.)പ്രതിരോധ ഉപയോഗത്തിന് ആവശ്യമാണ്. വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനം വിറ്റാമിൻ കോംപ്ലക്സുകളുടെ ആകെ ചെലവ് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, അത് കഴിയുന്നത്ര കുറവായിരിക്കണം

f( x)= 5 x 1 + 4 x 2 ® മിനിറ്റ് (1.7)

വിറ്റാമിൻ മാനദണ്ഡങ്ങൾ പാലിക്കുന്നത് വിവരിക്കുന്ന നിയന്ത്രണങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ്:

വിറ്റാമിൻ വഴി വി 1 : 3x 1 + x 2 ³ 9 , (1.8)

വിറ്റാമിൻ വഴി വി 2 : x 1 + 2x 2 ³ 8, (1.9)

വിറ്റാമിൻ വഴി വി 3 : x 1 + 6x 2 ³ 12 . (1.10)

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വേരിയബിളുകൾ നോൺ-നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കണം: x ജെ ³ 0, j = 1, 2.

നിരവധി പ്ലാനുകൾ നിർമ്മിച്ച് നമുക്ക് പരിഹാരം വീണ്ടും ആരംഭിക്കാം എക്സ്, അതിനായി ഞങ്ങൾ അതിർത്തി നേർരേഖകൾ വരയ്ക്കുന്നു, നിയന്ത്രണങ്ങളിലെ അസമത്വ ചിഹ്നങ്ങളെ തുല്യത ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ

p 1 : 3 x 1 + x 2 = 9,

p2 : x 1 + 2 x 2 = 8,

പി 3 : x 1 + 6 x 2 = 12.

പോയിൻ്റ് കോർഡിനേറ്റുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു (0,0) അസമത്വങ്ങളിൽ (1.8)-(1.10) കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവം അവരെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നില്ലെന്നും അതിനാൽ, പ്ലാനുകളുടെ ഗണത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ലെന്നും നാം കാണുന്നു. എക്സ്. അതിനാൽ, ഹാച്ചിംഗുകൾ അതിർത്തിരേഖകളുടെ മുകളിലേക്കും വലതുവശത്തേക്കും നയിക്കപ്പെടുന്നു. എല്ലാ അസമത്വങ്ങളും നോൺ-നെഗറ്റിവിറ്റി അവസ്ഥകളും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന പോയിൻ്റുകൾ തിരിച്ചറിയുന്നതിലൂടെ, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന പ്ലാനുകളുടെ ഒരു കൂട്ടം നമുക്ക് ലഭിക്കും. 1.2 IN ഈ ഉദാഹരണത്തിൽഅത് പരിമിതമല്ല.

ലെവൽ ലൈനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ (1.7) ചിത്രീകരിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ടാർഗെറ്റ് വെക്റ്റർ നിർമ്മിക്കാൻ ഇത് മതിയാകും c = (5, 4)കൂടാതെ സെറ്റിൽ അതിന് ലംബമായി നിരവധി വരകൾ വരയ്ക്കുക എക്സ്.ടാർഗെറ്റ് വെക്റ്റർ ടാർഗെറ്റ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവിൻ്റെ ദിശയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഭക്ഷണ പ്രശ്‌നത്തിൽ അതിൻ്റെ മിനിമം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, തുടർന്ന് ഒപ്റ്റിമൽ പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങൾ ലെവൽ ലൈൻ സെറ്റിനൊപ്പം സമാന്തരമായി നീക്കും. എക്സ്ടാർഗെറ്റ് വെക്റ്ററിന് എതിർ ദിശയിൽ.

ലെവൽ ലൈൻ ഇപ്പോഴും കടന്നുപോകുന്ന പ്ലാനുകളുടെ അവസാന പോയിൻ്റ് ലൈനുകളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റായിരിക്കും p 1ഒപ്പം p2. യുറേനിയം സംവിധാനം പരിഹരിക്കുന്നു (ചിത്രം 1.3).

3 x 1 + x 2 = 9

x 1 + 2 x 2 = 8

ഞങ്ങൾക്ക് ഒപ്റ്റിമൽ പ്ലാൻ ലഭിക്കും x 1 * = 2, x 2 * = 3.ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യം തുല്യമായിരിക്കും

f(x*) = 5∙2 + 4∙ 3 = 22.

അതിനാൽ, വിലകുറഞ്ഞ പ്രോഫൈലാക്റ്റിക് കിറ്റ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു 2 ഗ്രാം. സങ്കീർണ്ണമായ എ ഒപ്പം 3 ഗ്രാം. സങ്കീർണ്ണമായ IN, അതിൻ്റെ വില 22 തടവുക.

ഇപ്പോൾ ഒരു ജ്യാമിതീയ പരിഹാരം രൂപപ്പെടുത്താൻ എളുപ്പമാണ് സാധാരണ ജോലികൾരണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള LP:

· അനുവദനീയമായ ഒരു ബഹുഭുജം ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു - അനുബന്ധ അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരമായ അർദ്ധ-തലങ്ങളുടെ വിഭജനം;

· ടാർഗെറ്റ് വെക്റ്റർ ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു;

· ടാർഗെറ്റ് വെക്റ്ററിന് ലംബമായി ഒരു അനുവദനീയമായ സെറ്റിലൂടെ വരയ്ക്കുന്നു - ഇത് ടാർഗെറ്റ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ലെവൽ ലൈൻ ആണ്;

· ചലിപ്പിച്ച നേർരേഖയുടെ ഒരു വശം വരെ ടാർഗെറ്റ് വെക്‌ടറിൻ്റെ ദിശയിലേക്ക് ലെവൽ ലൈൻ സമാന്തരമായി നീക്കുന്നതിലൂടെ, പരമാവധി പോയിൻ്റ് (അല്ലെങ്കിൽ പോയിൻ്റുകൾ) ദൃശ്യപരമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു;

· പരമാവധി പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണക്കാക്കുന്നു (നേർരേഖകൾ നിർവചിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ അനുബന്ധ സംവിധാനം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ, ആവശ്യമുള്ള പോയിൻ്റിൻ്റെ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റ്) വസ്തുനിഷ്ഠ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പരമാവധി മൂല്യം.

അഭിപ്രായം.ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റ് നിർണ്ണയിക്കാൻ, ടാർഗെറ്റ് വെക്റ്ററിൻ്റെ ദിശയിലേക്ക് ഐസോലിൻ നീക്കുക.

വിശകലനം ചെയ്ത ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, സാധ്യമായ പ്ലാനുകളുടെ ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ ഏക ശിഖരത്തിലാണ് ഒപ്റ്റിമൽ പ്ലാൻ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്. എന്നിരുന്നാലും, എൽപി പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, മറ്റ് കേസുകളും ഉണ്ടാകാം.

ഒപ്റ്റിമൽ പ്ലാനുകളുടെ അനന്തമായ എണ്ണം.ഓൺ ചിത്രം.1.4ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ സെഗ്‌മെൻ്റിലെ ഏത് പോയിൻ്റിലും ഒരേ പരമാവധി മൂല്യം എടുക്കുന്നു എബിഒരു കൂട്ടം പ്ലാനുകളുടെ രണ്ട് ലംബങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു എക്സ്. ലെവൽ ലൈനുകൾ അതിർത്തിരേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമാണെങ്കിൽ ഈ സാഹചര്യം സംഭവിക്കുന്നു.

പരിമിതമായ പരിഹാരമില്ല. ഓൺ ചിത്രം.1.5വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനം പ്ലാനുകളുടെ സെറ്റിൽ മുകളിൽ നിന്ന് പരിമിതപ്പെടുത്താത്തതും പരമാവധി പ്രശ്‌നത്തിനുള്ള പരിഹാരം നിലവിലില്ലാത്തതുമാണ് കേസ് ചിത്രീകരിക്കുന്നത്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മിനിമം പ്രശ്നത്തിന് ഒരു പരിഹാരം നിലനിൽക്കും (വിറ്റാമിനുകളുടെ പ്രശ്നം പോലെ).

സാധുവായ പ്ലാനുകളുടെ അഭാവം.ഓൺ ചിത്രം.1.6ഓരോ നിയന്ത്രണങ്ങൾക്കും കീഴിൽ അനുവദനീയമായ മേഖലകൾക്ക് പൊതുവായ പോയിൻ്റുകളില്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിയന്ത്രണങ്ങൾ അസ്ഥിരമാണെന്നും പദ്ധതികളുടെ കൂട്ടം ശൂന്യമാണെന്നും എൽപി പ്രശ്‌നത്തിന് പരിഹാരമില്ലെന്നും അവർ പറയുന്നു.

അരി. 1.4 ചിത്രം. 1.5 ചിത്രം. 1.6

2. സിംപ്ലക്സ് രീതി

2.1 സിംപ്ലക്സ് രീതിയുടെ ആശയം

നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം സാർവത്രിക രീതികാനോനിക്കൽ ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നു

, , ,

കൂടെ എൻവേരിയബിളുകൾ കൂടാതെ എംസിംപ്ലക്സ് രീതി എന്നറിയപ്പെടുന്ന സമത്വ നിയന്ത്രണങ്ങൾ.

ഒരു കാനോനിക്കൽ പ്രശ്നത്തിനുള്ള പ്ലാനുകളുടെ കൂട്ടം, പരിമിതമായ കോർണർ പോയിൻ്റുകളുള്ള ഒരു കോൺവെക്സ് പോളിഹെഡ്രൽ സെറ്റാണ്. ഈ പ്രശ്‌നത്തിന് ഒപ്റ്റിമൽ പരിഹാരമുണ്ടെങ്കിൽ, കുറഞ്ഞത് ഒരു കോണിലെങ്കിലും ഇത് കൈവരിക്കാനാകും.

ഏത് കോർണർ പോയിൻ്റും പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന പദ്ധതിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അതിൽ വേരിയബിളുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, ശേഷിക്കുന്ന വേരിയബിളുകൾ രേഖീയമായി യോജിക്കുന്നു സ്വതന്ത്ര നിരകൾഅവസ്ഥ മെട്രിക്സ്. ഈ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര നിരകൾ ഏകമല്ലാത്ത അടിസ്ഥാന മാട്രിക്സ് ഉണ്ടാക്കുന്നു.

എല്ലാ കോർണർ പോയിൻ്റുകളിലും ആവർത്തനം ചെയ്യുന്നത് ഗണിതപരമായി ചെലവേറിയതും അതിനാൽ ഫലപ്രദമല്ലാത്തതുമാണ്. 1947-ൽ, J. Danzig കോർണർ പോയിൻ്റുകൾ എണ്ണുന്നതിനുള്ള ഒരു ചിട്ടയായ നടപടിക്രമം നിർദ്ദേശിച്ചു, അതിൽ ഒപ്റ്റിമൽ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിന് അവയിൽ ഒരു ചെറിയ ഭാഗം മാത്രം പരിശോധിച്ചാൽ മതി. ഈ നടപടിക്രമം വിളിക്കുന്നു സിംപ്ലക്സ് രീതി .

ജെ. ഡാൻസിഗ്, ഒരു തീവ്ര പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറുമ്പോൾ, പകരം വയ്ക്കാൻ നിർദ്ദേശിച്ചു അടിസ്ഥാന മാട്രിക്സ്ഒരു വെക്റ്റർ മാത്രം. ഇതിനർത്ഥം അത്തരമൊരു പരിവർത്തന സമയത്ത് നമ്മൾ അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് ഒഴിവാക്കണം - അത് അടിസ്ഥാനമല്ലാത്തതാക്കുക ( പൂജ്യത്തിന് തുല്യം), അതിൻ്റെ സ്ഥാനത്ത് അടിസ്ഥാനമല്ലാത്ത (പൂജ്യം) വേരിയബിളിൽ നിന്ന് ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കുക - ഇത് അടിസ്ഥാന (പോസിറ്റീവ്) ആക്കുക.

ജ്യാമിതീയമായി അത്തരമൊരു മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ ഒരു കോർണർ പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് അടുത്തുള്ള (അയൽവാസി) ഒന്നിലേക്ക് മാറുന്നതിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. മുൻ പോയിൻ്റ്പൊതുവായ എഡ്ജ്.

എല്ലാ അയൽ പോയിൻ്റുകളിൽ നിന്നും, ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ ഏറ്റവും കൂടുതൽ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒന്ന് തിരഞ്ഞെടുത്തു. കോർണർ പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണം പരിമിതമായതിനാൽ, പരിമിതമായ സംക്രമണങ്ങളിലൂടെ ശീർഷകം ഏറ്റവും ഉയർന്ന മൂല്യംഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ അല്ലെങ്കിൽ വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പരിധിയില്ലാത്തത് പരിധിയില്ലാത്ത പ്ലാനുകളിൽ സ്ഥാപിക്കപ്പെടും.

പൊതു പദ്ധതിസിംപ്ലക്സ് രീതി ഇനിപ്പറയുന്ന അടിസ്ഥാന ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

· ഘട്ടം 0. പ്രാരംഭ അടിസ്ഥാനവും അനുബന്ധ പ്രാരംഭ കോർണർ പോയിൻ്റും (ബേസ്ലൈൻ) നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

· ഘട്ടം 1. ഒപ്റ്റിമലിറ്റിക്കായി നിലവിലെ അടിസ്ഥാനം പരിശോധിക്കുന്നു . ഒപ്റ്റിമലിറ്റി മാനദണ്ഡം പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പ്ലാൻ ഒപ്റ്റിമൽ ആണ്, പരിഹാരം പൂർത്തിയായി. അല്ലെങ്കിൽഘട്ടം 2-ലേക്ക് പോകുക.

· ഘട്ടം 2. അടിസ്ഥാനപരമായവയിൽ അവതരിപ്പിച്ച വേരിയബിൾ കണ്ടെത്തൽ. (വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിപ്പിക്കുന്ന അവസ്ഥയിൽ നിന്ന്).

· ഘട്ടം 3. അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കിയ ഒരു വേരിയബിൾ കണ്ടെത്തൽ (പ്രശ്നത്തിൻ്റെ നിയന്ത്രണങ്ങൾ സംരക്ഷിക്കുന്ന അവസ്ഥയിൽ നിന്ന്).

· ഘട്ടം 4 . പുതിയ ബേസ്‌ലൈനിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു (അടുത്തുള്ള കോർണർ പോയിൻ്റ്). ഘട്ടം 1-ലേക്ക് പോകുക.

ആവർത്തിച്ചുള്ള 1-4 ഘട്ടങ്ങൾ സിംപ്ലക്സ് രീതിയുടെ ഒരു ആവർത്തനമായി മാറുന്നു.

ഈ ഡയഗ്രാമിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു, ഒന്നാമതായി, സിംപ്ലക്സ് രീതി ആരംഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരുതരം കോർണർ പോയിൻ്റ് ഉണ്ടായിരിക്കണം - ഒരു പ്രാഥമിക അടിസ്ഥാന പദ്ധതി, രണ്ടാമതായി, അടുത്തുള്ളവയെല്ലാം കണക്കാക്കാതെ ഒപ്റ്റിമലിറ്റിക്കായി നിലവിലെ കോർണർ പോയിൻ്റ് പരിശോധിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയേണ്ടതുണ്ട്. ലംബങ്ങൾ. കാനോനിക്കൽ എൽപി പ്രശ്നത്തിന് ഒരു നിശ്ചിതമുണ്ടെങ്കിൽ ഈ പ്രശ്നങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടും പ്രത്യേക തരം.

നിർവ്വചനം. കാനോനിക്കൽ എൽപി പ്രശ്നത്തിന് ഒരു "ഇഷ്ടപ്പെട്ട ഫോം" ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ പറയും

1. സമവാക്യങ്ങളുടെ വലത് വശങ്ങൾ, .

2. കണ്ടീഷൻ മാട്രിക്‌സിൽ വലിപ്പത്തിൻ്റെ ഒരു യൂണിറ്റ് സബ്‌മാട്രിക്‌സ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു

.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഏതൊരു സമവാക്യത്തിലും ഒന്നിന് തുല്യമായ ഒരു കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉള്ള ഒരു വേരിയബിൾ ഉണ്ട്, അത് മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ ഇല്ല. ആദ്യ വ്യവസ്ഥ ഭാരമുള്ളതല്ല, കാരണം ചില സമവാക്യങ്ങളുടെ വലതുവശത്ത് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, അതിനെ (-1) കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ മതിയാകും. ഒരു മുൻഗണനാ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നത്തിൽ, പ്രാരംഭ അടിസ്ഥാനം കണ്ടെത്തുന്നത് വളരെ ലളിതമാണ്.

ഉദാഹരണം 2.1.

കണ്ടീഷൻ മാട്രിക്സ് എനിയന്ത്രണങ്ങളുടെ വലതുവശത്തെ വെക്റ്റർ ബിഇതുപോലിരിക്കുന്നു

, ,

ടാർഗെറ്റ് വെക്റ്റർ c = (1, -3, 0, 4, 2).

ഒരു അടിസ്ഥാന മാട്രിക്സ് ഉടനടി വ്യക്തമാണ്: വ്യവസ്ഥകളുടെ യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകൾക്കൊപ്പം.

അതിനാൽ, അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളായി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു x 1 , x 3 ,x 5സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നു x 2 = x 4 = 0 (അടിസ്ഥാനമല്ലാത്ത വേരിയബിളുകൾ) , ഞങ്ങൾ അത് ഉടൻ കണ്ടെത്തും x 1 = 10,x 3 = 20,x 5 = 8, അതിനാൽ പ്രാരംഭ അടിസ്ഥാനം x 0= (10, 0, 20, 0, 8) അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ വലത് വശങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. ഇതിൽ നിന്ന് വലതുവശങ്ങൾ പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കണം എന്ന് വ്യക്തമാണ് ബി ഐ.

ഭാവിയിൽ, ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകൾ ഒരു വെക്റ്ററായി സംയോജിപ്പിക്കും x ബി.

അതിനാൽ, തിരഞ്ഞെടുത്ത ഫോമിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ പ്രശ്നത്തിൽ, ഐഡൻ്റിറ്റി സബ്മാട്രിക്സ് പ്രാരംഭ അടിസ്ഥാന മാട്രിക്സ് ആയി എടുക്കുന്നു എ ബി = ഇ, കൂടാതെ അനുബന്ധ അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകൾ നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ വലത് വശങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്:

x ബി = ബി .

ഇത്തരത്തിലുള്ള ഒരു അടിസ്ഥാന പ്ലാനിനായി, പരീക്ഷിക്കാൻ കഴിയുന്നത്ര ലളിതമായ ഒരു ഒപ്റ്റിമലിറ്റി മാനദണ്ഡം രൂപപ്പെടുത്താൻ കഴിയും. നമുക്ക് അളവുകൾ പരിചയപ്പെടുത്താം

∆ j =< с Б, A j >– c j , j = 1,...,n, (2.1)

എവിടെ കൂടെ ബിഅടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകൾക്കായുള്ള ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ വെക്റ്റർ x ബി , എ ജെ - j-കണ്ടീഷൻ മാട്രിക്സിൻ്റെ കോളം, സി ജെ - j-വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഗുണകം. വ്യത്യാസങ്ങൾ ∆ ജെസിംപ്ലക്സ് വ്യത്യാസങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ സിംപ്ലക്സ് എസ്റ്റിമേറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അടിസ്ഥാന പ്ലാനിനുള്ള ഒപ്റ്റിമലിറ്റി മാനദണ്ഡം. ഒരു യൂണിറ്റ് അടിസ്ഥാന മാട്രിക്സ് ഉള്ള ഒരു അടിസ്ഥാന പ്ലാനിന് എല്ലാ സിംപ്ലക്സ് എസ്റ്റിമേറ്റുകളും നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ, ഈ പ്ലാൻ അനുയോജ്യമാണ്.

അടിസ്ഥാന പദ്ധതിയുടെ ഒപ്റ്റിമലിറ്റി പരിശോധിക്കാൻ നമുക്ക് ഈ മാനദണ്ഡം പ്രയോഗിക്കാം x 0= (10, 0, 20, 0, 8) ഉദാഹരണം 2.1 ൽ നിന്ന്.

ഇക്കാര്യത്തിൽ അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളുടെ വെക്റ്റർ ആയതിനാൽ x ബി =(x 1 , x 3 ,x 5), അത് കൂടെ ബി = (c 1 , c 3 ,c 5) = (1, 0, 2).

.

അതിനാൽ,

∆ 1 = < с Б, A 1 >- 1 മുതൽ =1∙1 + 0∙0 + 2∙0 – 1= 0,

∆ 2 = < с Б, A 2 >- സി 2 =1∙3 + 0∙1 + 2∙2 – (-3) = 10,

∆ 3 = < с Б, A 3 >- സി 3 =1∙0 + 0∙1 + 2∙0 – 0= 0,

∆ 4 = < с Б, A 4 >- സി 4 =1∙(-1) + 0∙5 + 2∙1 – 4= -3,

∆ 5 = < с Б, A 5 >- 5 മുതൽ =1∙0 + 0∙0 + 2∙1 – 2= 0.

വിലയിരുത്തൽ മുതൽ ∆ 4 < 0, то базисный план x 0ഒപ്റ്റിമൽ അല്ല. അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകൾക്ക് അനുയോജ്യമായ സിംപ്ലക്സ് എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ അടിസ്ഥാനമല്ലാത്ത എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ മാത്രം പരിശോധിച്ചാൽ മതിയാകും.

2.2 ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് സിംപ്ലക്സ് രീതി നടപ്പിലാക്കൽ

നമുക്ക് സിംപ്ലക്സ് രീതിയുടെ ഉപയോഗം ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് കാണിക്കാം. നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം കാനോനിക്കൽ പ്രശ്നംഎൽ.പി

f(x) = x 1 + 2x 2 + 0x 3 + 0x 4 →പരമാവധി	(2.2)
–x 1 + 2x 2 +x 3 = 4,	(2.3)
3x 1 + 2x 2 +x 4 = 12,	(2.4)
x ജെ ≥ 0, j = 1,2,3,4.	(2.5)

കണ്ടീഷൻ മാട്രിക്സ് എ = (എ 1 , എ 2 , എ 3 , എ 4), എവിടെ

ടാർഗെറ്റ് വെക്റ്റർ സി =(c 1, c2, c 3, c 4) = (1, 2, 0, 0); വലത് ഭാഗങ്ങളുടെ വെക്റ്റർ ബി =(ബി 1 , ബി 2) = (4, 12).

ഘട്ടം 0.ആരംഭ കോർണർ പോയിൻ്റ് (അടിസ്ഥാനം) കണ്ടെത്തുന്നു.

സമവാക്യങ്ങളുടെ വലത് വശങ്ങൾ പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ, അവസ്ഥ മാട്രിക്സിൻ്റെ നിരകൾ ആയതിനാൽ, പ്രശ്നത്തിന് അഭികാമ്യമായ ഒരു രൂപമുണ്ട്. എ 3, എ 4 ഒരു യൂണിറ്റ് സബ്മാട്രിക്സ് രൂപീകരിക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം പ്രാരംഭ അടിസ്ഥാന മാട്രിക്സ് എന്നാണ് = (എ 3 ,എ 4); x 3 ഒപ്പം x 4 – അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകൾ x 1 ഒപ്പം x 2 - അടിസ്ഥാനമല്ലാത്ത വേരിയബിളുകൾ, സി ബി = (സി 3, സി 4) = = (0, 0).

പ്രാരംഭ അടിസ്ഥാനം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു x 0 = (0, 0, x 3 , x 4) = (0, 0, 4, 12); f( x ഒ)= 0.

ഘട്ടം 1.ഒപ്റ്റിമലിറ്റിക്കായി അടിസ്ഥാന പ്ലാൻ പരിശോധിക്കുന്നു.

ഫോർമുല (5.1) ഉപയോഗിച്ച് അടിസ്ഥാനേതര വേരിയബിളുകൾക്കുള്ള സിംപ്ലക്സ് എസ്റ്റിമേറ്റ് കണക്കാക്കാം

 1 = < സി ബി, എ 1 > – സി 1 = 0 ·(–1) + 0 ·3 - 1 = -1 .

 2 = < സി ബി, എ 2 > – സി 2 = 0 2 + 0 2 – 2 = –2 .

കണക്കുകൾ നെഗറ്റീവ് ആയതിനാൽ, പദ്ധതി x -ഒപ്റ്റിമൽ അല്ല. ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വലിയ മൂല്യമുള്ള ഒരു പുതിയ ബേസ്‌ലൈനിനായി (അടുത്തുള്ള കോർണർ പോയിൻ്റ്) ഞങ്ങൾ നോക്കും.

ഘട്ടം 2. അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് അവതരിപ്പിച്ച വേരിയബിൾ കണ്ടെത്തൽ.

അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളിൽ നോൺ-ബേസിക് വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയും (അത് പോസിറ്റീവ് ആക്കുന്നു) x 1 അല്ലെങ്കിൽ x 2, രണ്ട് കണക്കുകളും മുതൽ  ജെ < 0. Обычно в состав базисных вводят небазисную переменную с наибольшей по модулю отрицательной оценкой, поэтому будем вводить в базис переменную x 2.

ഘട്ടം 3.അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞ ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ നിർവ്വചനം.

അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് വേരിയബിൾ നൽകിയ ശേഷം x 2പുതിയ പ്ലാൻ ഇതുപോലെയായിരിക്കും

x" = (0, x 2, x 3 , x 4).

ഈ പ്ലാൻ അടിസ്ഥാനപരമായ ഒന്നല്ല, കാരണം അതിൽ ഒരു പൂജ്യം കോർഡിനേറ്റ് മാത്രമേ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ, അതായത് വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് പൂജ്യമാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് (അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കുക) x 3 അല്ലെങ്കിൽ x 4 . പ്ലാനിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം x" = (0, x 2, x 3 ,x 4) പ്രശ്നത്തിൻ്റെ നിയന്ത്രണങ്ങളിൽ. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

2x 2 + x 3 = 4,

2x 2 + x 4 = 12.

നമുക്ക് ഇവിടെ നിന്ന് അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകൾ പ്രകടിപ്പിക്കാം x 3 ഒപ്പം x 4 വേരിയബിൾ വഴി x 2 , അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രവേശിച്ചു.

ഉയർന്ന മൂല്യം x 2 , കൂടുതൽ വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു. പുതിയ അടിസ്ഥാന വേരിയബിളിൻ്റെ പരമാവധി മൂല്യം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം, അത് പ്രശ്നത്തിൻ്റെ നിയന്ത്രണങ്ങൾ ലംഘിക്കുന്നില്ല, അതായത്, തൃപ്തികരമായ വ്യവസ്ഥകൾ (2.8), (2.9).

ഫോമിലെ അവസാന അസമത്വങ്ങൾ നമുക്ക് മാറ്റിയെഴുതാം

2x 2 ≤ 4,

2x 2 ≤ 12,

പരമാവധി മൂല്യം എവിടെ നിന്ന് വരുന്നു? x 2 = മിനിറ്റ് (4/2, 12/2 ) = 2. ഈ മൂല്യം എക്‌സ്‌പ്രഷനുകളായി (2.6), (2.7) മാറ്റി സ്ഥാപിക്കുന്നു x 3 ഒപ്പം x 4, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു x 3 = 0. അതിനാൽ x 3 അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞത് .

ഘട്ടം 4.പുതിയ അടിസ്ഥാനരേഖയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

പുതിയ അടിസ്ഥാനരേഖ (അടുത്തുള്ള കോർണർ പോയിൻ്റ്) ഇതാണ്:

x" = (0, x 2, 0, x 4)

ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം നിരകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു എ 2 ഒപ്പം എ 4 , അങ്ങനെ =( എ 2, എ 4). വെക്റ്റർ ആയതിനാൽ ഈ അടിസ്ഥാനം ഏകീകൃതമല്ല എ 2 = (2,2), അതിനാൽ പ്രശ്നം (2.2)–(2.5) പുതിയ അടിസ്ഥാനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒരു മുൻഗണനാ ഫോം ഇല്ല. പ്രശ്‌നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥകൾ (2.3), (2.4) രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം, അതുവഴി പുതിയ അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് അത് ഇഷ്ടപ്പെട്ട രൂപമെടുക്കും. x 2, x 4, അതായത്, അങ്ങനെ വേരിയബിൾ xഒന്നിന് തുല്യമായ ഒരു കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉള്ള ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ 2 ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ ഉണ്ടായിരുന്നില്ല. പ്രശ്നത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ മാറ്റിയെഴുതാം

– x 1 + 2 x 2 + x 3 = 4, (പി 1)

3x 1 +2 x 2 + x 4 = 12. (പി 2)

ആദ്യ സമവാക്യത്തെ ഗുണകം കൊണ്ട് ഹരിക്കാം x 2. നമുക്ക് ഒരു പുതിയ സമവാക്യം എടുക്കാം = പിഒറിജിനലിന് തുല്യമായ 1/2

– 1/2 x 1 + x 2 + 1/2 x 3 = 2. ( )

വേരിയബിളിനെ ഇല്ലാതാക്കാൻ നമ്മൾ ഈ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതിനെ നമ്മൾ പരിഹരിക്കുന്നു xരണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് 2. ഇതിനായി നമുക്ക് സമവാക്യം ആവശ്യമാണ് 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് അതിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുക പി 2 . നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു = പി 2 – 2= പി 2 -പി 1:

4 x 1 – x 3 + x 4 = 8. ( )

തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പുതിയ "ഇഷ്ടപ്പെട്ട" പ്രാതിനിധ്യം ലഭിച്ചു യഥാർത്ഥ പ്രശ്നംപുതിയ അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ x 2 , x 4:

എഫ് (x) = x 1 + 2 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4  പരമാവധി

– 1/2 x 1 + x 2 + 1/2 x 3 = 2 ( )

4 x 1 – x 3 + x 4 = 8 ( )

x ജെ 0, ജെ = 1,2,3,4

പുതിയ ബേസ്‌ലൈനിൻ്റെ പ്രാതിനിധ്യം ഇവിടെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു x 1 = (0, x 2, 0, x 4), അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ വലത് വശങ്ങൾക്ക് തുല്യമായതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഉടൻ തന്നെ അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തും.

x" = (0, 2, 0, 8); എഫ് (x 1)=4.

ഇത് സിംപ്ലക്സ് രീതിയുടെ ആദ്യ ആവർത്തനം പൂർത്തിയാക്കുന്നു. അടുത്തതായി, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രക്രിയ ഘട്ടം 1 മുതൽ തുടരുന്നു, അതിൽ ഒപ്റ്റിമലിറ്റിക്കായി കണ്ടെത്തിയ പ്ലാൻ പരിശോധിക്കുന്നു. നിലവിലെ അടിസ്ഥാന പദ്ധതിയുടെ എല്ലാ സിംപ്ലെക്‌സ് എസ്റ്റിമേറ്റുകളും നോൺ-നെഗറ്റീവ് ആയി മാറുമ്പോൾ പരിഹാരം അവസാനിക്കുന്നു.

ആദ്യത്തേതിൻ്റെ സ്കീം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ആവർത്തനം നടത്തില്ല, കാരണം സിംപ്ലക്സ് രീതിയുടെ എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളും നടപ്പിലാക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്. പട്ടിക രൂപം.

2.3 ഒരു ലളിതമായ സിംപ്ലക്സ് രീതിയുടെ പട്ടിക നടപ്പിലാക്കൽ

അതേ ഉദാഹരണം (2.2)-(2.5) ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പട്ടിക നടപ്പിലാക്കൽ പ്രദർശിപ്പിക്കും.

ഘട്ടം 0. ഒരു പ്രാരംഭ സിംപ്ലക്സ് ടേബിൾ നിർമ്മിച്ചുകൊണ്ട് പരിഹാരം ആരംഭിക്കുന്നു. ആദ്യം പൂരിപ്പിച്ചു വലത് ഭാഗംമൂന്നാം നിരയിൽ നിന്നുള്ള പട്ടികകൾ. രണ്ടിൽ മുകളിലെ വരികൾപേരുകൾ രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട് പ്രശ്നം വേരിയബിളുകൾ (x 1, ...,x 4) ഈ വേരിയബിളുകൾക്കുള്ള ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗുണകങ്ങളും. സമവാക്യങ്ങളുടെ ഗുണകങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട് - വ്യവസ്ഥകളുടെ മാട്രിക്സിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ എ, അങ്ങനെ വേരിയബിളിന് കീഴിൽ x 1 സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന നിരയാണ് എ 1, വേരിയബിളിന് കീഴിൽ x 2 – കോളം എ 2, മുതലായവ നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ (നമ്പറുകൾ) വലത് വശങ്ങൾ വലത് കോളത്തിൽ നൽകിയിട്ടുണ്ട് ബി ഐ > 0).

യൂണിറ്റ് അടിസ്ഥാനമായി രൂപപ്പെടുന്ന അവസ്ഥ മാട്രിക്സിൻ്റെ നിരകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു - ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ ഇതാണ് എ 3 ഒപ്പം എ 4, അനുബന്ധ അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകൾ x 3, x 4 രണ്ടാം നിരയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു. അവസാനമായി, ആദ്യ നിരയിൽ അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകൾക്കായി ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു.

പട്ടിക 1 - പ്രാരംഭ സിംപ്ലക്സ് പട്ടിക

എസ് ബി	അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകൾ	1 =1 കൂടെ	2 =2 കൂടെ	3 =0 കൂടെ	4 =0 കൂടെ	അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ മൂല്യങ്ങൾ ( x ബി = ബി)
		x 1	x 2	x 3	x 4
c 3 =0	x 3	a 11 =-1	a 12 =2	a 13 =1	ഒരു 14 =0	b 1 =4
c 4 =0	x 4	a 21 =3	a 22 =2	ഒരു 23 =0	a 24 =1	b 2 =12
റേറ്റിംഗ് ലൈൻ  ജെ		 1 = -1	 2 = -2	 3 = 0	 4 = 0	f(x)= 0

പ്രശ്‌നത്തിന് ഇഷ്ടപ്പെട്ട ഫോം ഉള്ളതിനാൽ, അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ അവസാന നിരയിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ വലത് വശങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്. അടിസ്ഥാനമല്ലാത്ത വേരിയബിളുകൾ പൂജ്യമായതിനാൽ, പ്രാരംഭ അടിസ്ഥാനം ഇതാണ്

x o = (0, 0, x 3 , x 4) = (0, 0, 4, 12).

ഘട്ടം 1.പ്ലാൻ പരിശോധിക്കാൻ xഒപ്റ്റിമലിറ്റിക്കായി ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാനമല്ലാത്ത വേരിയബിളുകൾക്കുള്ള സിംപ്ലക്സ് എസ്റ്റിമേറ്റ് കണക്കാക്കുന്നു x 1 ഒപ്പം x 2 ഫോർമുല പ്രകാരം

 ജെ =< c Б , എ ജെ > – സി ജെ.

 1 = < c Б , എ 1 > – സി 1 = 0 ·(–1) + 0 ·3 - 1 = -1 .

സ്കോർ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു പട്ടിക നടപ്പാക്കലിനൊപ്പം  1 ആദ്യ നിരയിലെ മൂലകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക നമുക്ക് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് ( സി ബി)അനുബന്ധ നിര ഘടകങ്ങളിലേക്ക് എഅടിസ്ഥാനമല്ലാത്ത വേരിയബിളിന് 1 x 1 . സ്കോർ അതേ രീതിയിൽ കണക്കാക്കുന്നു  2 , ആദ്യ നിരയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നമായി ( സി ബി)വേരിയബിളിലെ ഓരോ കോളത്തിനും x 2 .

 2 = < സി ബി, എ 2 > – സി 2 = 0 2 + 0 2 – 2 = –2 .

സിംപ്ലക്സ് ടേബിളിൻ്റെ അവസാന നിരയിലാണ് സിംപ്ലക്സ് എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ എഴുതിയിരിക്കുന്നത്, അതിനെ ഡെൽറ്റ റോ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അടിസ്ഥാനമല്ലാത്ത വേരിയബിളുകൾക്കുള്ള സെല്ലുകൾ മാത്രമല്ല, അടിസ്ഥാന സെല്ലുകളും നിറഞ്ഞിരിക്കുന്നു. കണ്ടീഷൻ മാട്രിക്സിൻ്റെ അടിസ്ഥാന യൂണിറ്റ് നിരകൾക്ക് സിംപ്ലക്സ് എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. മൂല്യനിർണ്ണയ വരിയുടെ അവസാന സെല്ലിൽ, പോയിൻ്റിലെ വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു xo.അടിസ്ഥാന പദ്ധതിയുടെ അടിസ്ഥാനമല്ലാത്ത കോർഡിനേറ്റുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ കണക്കാക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

എഫ് (x)= < സി ബി ,x ബി >,

പട്ടികയുടെ ആദ്യത്തേയും അവസാനത്തേയും നിരകളെ സ്കെലാർ ആയി ഗുണിക്കുന്നു.

കണക്കുകൾക്കിടയിൽ മുതൽ  ജെനെഗറ്റീവ് ഉണ്ട് , പിന്നെ പദ്ധതി xഒ ഒപ്റ്റിമൽ അല്ല, അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് മാറ്റി അടിസ്ഥാനമല്ലാത്തവയിൽ നിന്ന് പുതിയ ഒന്ന് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പുതിയ അടിസ്ഥാന പ്ലാൻ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഘട്ടം 2.രണ്ട് കണക്കുകളും മുതൽ  1 ഒപ്പം  2 < 0,то в базис можно включить любую из переменных x 1, x 2 . ഏറ്റവും വലിയ സമ്പൂർണ്ണ നെഗറ്റീവ് എസ്റ്റിമേറ്റ് ഉള്ള വേരിയബിളിനെ അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് നമുക്ക് പരിചയപ്പെടുത്താം, അതായത് x 2 .

സിംപ്ലക്സ് ടേബിളിൻ്റെ കോളം, അതിൽ ആധാരത്തിൽ പ്രവേശിച്ച വേരിയബിൾ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, അതിനെ ലീഡിംഗ് കോളം എന്ന് വിളിക്കുന്നു .

ഉദാഹരണത്തിൽ, മുൻനിര കോളം എന്നതായിരിക്കും x 2 .

ഘട്ടം 3.ലീഡിംഗ് കോളത്തിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, പ്രശ്‌നത്തിനും പരമാവധിയ്ക്കും പരിഹാരമില്ല എഫ് (x) . ഉദാഹരണത്തിൽ, മുൻനിര നിരയുടെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ, നമുക്ക് പരമാവധി മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ കഴിയും x 2 , പഴയ അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് പൂജ്യത്തിലേക്ക് പോകുന്നു. പരമാവധി മൂല്യം എന്ന് ഓർക്കുക x 2 =മിനിറ്റ്(4/2, 12/2)=2.

പട്ടിക അനുസരിച്ച്, ഈ മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നു അടിസ്ഥാനരേഖയിലെ ഘടകങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ അനുപാതം (അവസാന നിരയിൽ നിന്ന്) അനുബന്ധമായത് പോസിറ്റീവ്മുൻനിര നിരയുടെ ഘടകങ്ങൾ.

അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുള്ള വരിയിലാണ് ഏറ്റവും ചെറിയ അനുപാതം x 3.അതിനാൽ വേരിയബിൾ x 3അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കിയിരിക്കുന്നു ( x 3 = 0).

അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കേണ്ട വേരിയബിൾ അടങ്ങിയ വരിയെ ലീഡിംഗ് ലൈൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിൽ, ലീഡിംഗ് ലൈൻ ആദ്യ വരി ആയിരിക്കും.

മുൻനിര നിരയുടെയും മുൻ നിരയുടെയും കവലയിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന മൂലകത്തെ മുൻനിര ഘടകം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, മുൻനിര ഘടകം എ 12 = 2.

മേശ 2 - മുൻനിര വരിയും നിരയും ഉള്ള പ്രാരംഭ സിംപ്ലക്സ് പട്ടിക

സി ബി	അടിസ്ഥാന മാറ്റങ്ങൾ.	1 =1 കൂടെ	2 =2 കൂടെ	3 =0 കൂടെ	സി 4 =0	അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ മൂല്യങ്ങൾ	സമവാക്യങ്ങൾ
		x 1	x 2	x 3	x 4
c 3 =0	x 3	–1	2	1	0	4	p 1
c 4 =0	x 4	3	2	0	1	12	p2
റേറ്റിംഗ് ലൈൻ  ജെ		 1 = –1	 2 = –2	 3 = 0	 4 = 0	f(x)= 0

ഘട്ടം 4. ഒരു പുതിയ അടിസ്ഥാന പ്ലാൻ ലഭിക്കുന്നതിന്, പുതിയ അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഞങ്ങൾ പ്രശ്നം ഒരു പുതിയ മുൻഗണനാ ഫോമിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഒഴിവാക്കിയ വേരിയബിളിന് പകരം രണ്ടാമത്തെ നിരയിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ സിംപ്ലക്സ് പട്ടിക നിർമ്മിക്കും. x 3നമുക്ക് ഒരു പുതിയ അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ എഴുതാം x 2, കൂടാതെ ആദ്യ നിരയിൽ ( കൂടെ ബി) ഇതിനുപകരമായി 3 മുതൽഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗുണകം എഴുതാം x 2 : c 2 =2. പുതിയ സിംപ്ലക്സ് പട്ടികയിൽ, എന്ന കോളം x 2ഒന്നായി മാറണം (പ്രധാന ഘടകം ഒന്നിന് തുല്യമായിരിക്കണം, മറ്റെല്ലാ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യമായിരിക്കണം). ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടിക വരി പരിവർത്തനങ്ങൾ വഴി ഇത് നേടാനാകും.

എ. ലീഡിംഗ് ലൈനിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ഞങ്ങൾ ലീഡിംഗ് മൂലകം കൊണ്ട് വിഭജിക്കുകയും പുതിയതായി അതേ വരിയിൽ എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു സിംപ്ലക്സ് പട്ടികകൾ.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സ്ട്രിംഗ് p 1"നമുക്ക് അതിനെ അനുവദനീയമെന്ന് വിളിക്കാം.

ബി. ശേഷിക്കുന്ന രണ്ടാമത്തെ വരിയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന വരി ചേർക്കുന്നു, അത്തരം ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ മുൻനിര നിരയിലെ ഘടകം പൂജ്യമാകും.

p 2 "= p 2 + (- 2) p 1 "= p 2 - p 1.

സി. എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ കണക്കാക്കി അവസാന വരി പൂരിപ്പിക്കാം  j " =< c Б ", A j " >- - സി ജെ,എവിടെ സി ബി ", എ ജെ " -പുതിയ സിംപ്ലക്സ് പട്ടികയുടെ അനുബന്ധ നിരകളും ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യവും f(x)=< c Б ", x Б " >.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയുള്ള രണ്ടാമത്തെ സിംപ്ലക്സ് ടേബിൾ ഞങ്ങൾ നേടുന്നു.

പട്ടിക 3 - ആദ്യ ആവർത്തനത്തിൻ്റെ ഫലം

സി ബി"	അടിസ്ഥാന മാറ്റങ്ങൾ.	1 =1 കൂടെ	2 =2 കൂടെ	3 =0 കൂടെ	4 =0 കൂടെ	അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ മൂല്യങ്ങൾ	സമവാക്യങ്ങൾ
		x 1	x 2	x 3	x 4
c 2 =2	x 2	–1/2	1	1/2	0	2	p 1 " =p 1/2
c 4 =0	x 4	4	0	-1	1	8	p 2 " =p 2 - p 1
കണക്കാക്കുന്നു  j"		–2	0	1	0	f(x")=4

പുതിയ അടിസ്ഥാനരേഖ x " = (0, x 2, 0, x 4) = (0, 2, 0, 8 ).

വിലയിരുത്തൽ മുതൽ  1 = -2 < 0, പിന്നെ പദ്ധതി x " ഒപ്റ്റിമൽ അല്ല. ഒരു പുതിയ അടിസ്ഥാന പ്ലാനിലേക്ക് (അയൽ കോർണർ പോയിൻ്റിൻ്റെ) നീങ്ങാൻ, ഞങ്ങൾ സിംപ്ലക്സ് രീതിയുടെ മറ്റൊരു ആവർത്തനം നടത്തും.

കാരണം  1 < 0, തുടർന്ന് അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് ഒരു വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു x 1 . അടങ്ങുന്ന ആദ്യ നിര x 1 -നയിക്കുന്നു.

അടിസ്ഥാന പദ്ധതിയുടെ ഘടകങ്ങളും അനുബന്ധവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു പോസിറ്റീവ്മുൻനിര നിരയുടെ ഘടകങ്ങൾ, ഏറ്റവും ചെറിയ അനുപാതമുള്ള വരി മുൻനിരയായി എടുക്കുക. പട്ടിക 2-ൽ, ലീഡിംഗ് കോളത്തിൽ രണ്ടാമത്തെ ഘടകം മാത്രമേ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ് (= 4), അതിനാൽ രണ്ടാമത്തെ വരി മുന്നിലായിരിക്കും, അതിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന അടിസ്ഥാനം വേരിയബിൾ x 4അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കലിന് വിധേയമാണ് .

ഞങ്ങൾ മുൻനിര നിരയും മുൻനിര വരിയും തിരഞ്ഞെടുക്കുകയും അവയുടെ കവലയിൽ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു മുൻനിര ഘടകം (= 4) .

ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ (മൂന്നാം) സിംപ്ലക്സ് ടേബിൾ നിർമ്മിക്കുന്നു, അതിൽ അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു x 4 ഓൺ x 1 , വീണ്ടും പട്ടിക വരികൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു, അങ്ങനെ ലീഡിംഗ് ഘടകം ഒന്നിന് തുല്യമാകും, കൂടാതെ ലീഡിംഗ് കോളത്തിൻ്റെ ശേഷിക്കുന്ന ഘടകങ്ങൾ പൂജ്യമാകും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ലീഡിംഗ് (രണ്ടാമത്തെ) വരിയെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന രണ്ടാമത്തെ വരി 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ച ആദ്യ വരിയിലേക്ക് ചേർക്കുക. അവസാന വരിസിംപ്ലെക്സ് എസ്റ്റിമേറ്റുകൾക്കായി ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടുക  ജെ "" = < c Б "", എ ജെ ""> - സി ജെ,എവിടെ സി ബി "", എ ജെ "" - പുതിയ സിംപ്ലക്സ് പട്ടികയുടെ അനുബന്ധ നിരകൾ. പുതിയ ബേസ്‌ലൈനിലെ ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു f(x "")= < c Б "", x ബി "" >.

പട്ടിക 4 - രണ്ടാമത്തെ ആവർത്തനത്തിൻ്റെ ഫലം

സി ബി ""	അടിസ്ഥാനം മാറ്റം.	1 =1 കൂടെ	2 =2 കൂടെ	3 =0 കൂടെ	4 =0 കൂടെ	അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ മൂല്യങ്ങൾ	സമവാക്യങ്ങൾ
		x 1	x 2	x 3	x 4
c 2 =2	x 2	0	1	3/8	1/8	3	p 1 "" = p 1 "+p 2 ""/2
c 1 =1	x 1	1	0	-1/4	1/4	2	p 2 "" = p 2 "/4
കണക്കാക്കുന്നു  j ""		0	0	1/2	1/2	f(x "")= 8

പുതിയ അടിസ്ഥാനരേഖ x "" = (x 1, x 2, 0, 0) = (2, 3, 0, 0 ). എല്ലാ എസ്റ്റിമേറ്റുകളും നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്തതിനാൽ, പ്ലാൻ x ""- ഒപ്റ്റിമൽ പ്ലാൻ.

അങ്ങനെ, x* = (2, 3, 0, 0 ), f(x*) = 8.

ഉപസംഹാരം

ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പരിഗണിക്കപ്പെട്ട രീതികൾ പ്രായോഗികമായി വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, അത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃകഎല്ലായ്പ്പോഴും യഥാർത്ഥത്തേക്കാൾ ദരിദ്രനാണ് സാമ്പത്തിക വ്യവസ്ഥ. ഇത് ഈ സിസ്റ്റത്തെ ഏകദേശം വിവരിക്കുന്നു, ചില സവിശേഷതകൾ എടുത്തുകാണിക്കുകയും മറ്റുള്ളവ അവഗണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. നഷ്ടപരിഹാരത്തിന് നിർദ്ദിഷ്ട ദോഷംഗണിതശാസ്ത്ര സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിൽ, നിരവധി തരം മോഡലുകൾ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട്, അവ ഓരോന്നും സാമ്പത്തിക യാഥാർത്ഥ്യത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക വശം പ്രതിഫലിപ്പിക്കാൻ രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിട്ടുള്ളതാണ്, അങ്ങനെ ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട പരിഹാരം കണ്ടെത്തുമ്പോൾ സാമ്പത്തിക പ്രശ്നംഅതിന് ഏറ്റവും അനുയോജ്യമായ ഒരു മോഡൽ തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ സാധിച്ചു.

ഉപയോഗിച്ച റഫറൻസുകളുടെ പട്ടിക

1. അഷ്മാനോവ് എസ്.എ. ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ്. – എം.: നൗക, 1981.

2. കുസ്നെറ്റ്സോവ് യു.എൻ., കുസുബോവ് വി.ഐ., വോലോഷ്ചെങ്കോ എ.ബി. ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രോഗ്രാമിംഗ്. – എം.: ഹയർ സ്കൂൾ, 1980.

3. കലിഖ്മാൻ ഐ.എൽ. ലീനിയർ ബീജഗണിതവും പ്രോഗ്രാമിംഗും. – എം.: ഹയർ സ്കൂൾ, 1967.

4. നിറ്റ് ഐ.വി. ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ്. - എം.: മോസ്കോ സ്റ്റേറ്റ് യൂണിവേഴ്സിറ്റി പബ്ലിഷിംഗ് ഹൗസ്, 1978.

5. യുഡിൻ ഡി.ബി., ഗോൾഷെയിൻ ഇ.ജി. ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ്. സിദ്ധാന്തവും അന്തിമ രീതികൾ. - എം.: ഫിസ്മാറ്റിസ്, 1963.

6. താരസെൻകോ എൻ.വി. ഗണിതം-2. ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ്: പ്രഭാഷണങ്ങളുടെ ഒരു കോഴ്സ്. – ഇർകുട്സ്ക്: പബ്ലിഷിംഗ് ഹൗസ് BGUEP, 2003.

7. ഉദാഹരണങ്ങളിലും പ്രശ്‌നങ്ങളിലും ഗണിത പ്രോഗ്രാമിംഗ്: പ്രോസി. അലവൻസ്. – 2nd എഡി., റവ. കൂടാതെ അധികവും - എം.: ഉയർന്നത്. സ്കൂൾ, 1993. - 336 പേ.

8. www.yandex.ru

9. www.mathematica.ru

എൽപി പ്രശ്‌നത്തിന് പരിഹാരമായ ഒരു വെർട്ടെക്സ് (ആംഗിൾ) കണ്ടെത്തി പരീക്ഷിക്കുന്നതാണ് സിംപ്ലക്സ് രീതി. ഓരോ ഘട്ടത്തിലും, രീതി ഒരു ശീർഷകവും അതിൻ്റെ അനുബന്ധ വേരിയബിളുകളും തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, ഇത് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ (പരമാവധി) ചലനം ഉറപ്പാക്കുന്നു. ഏറ്റവും ഉയർന്ന വേഗത. തിരഞ്ഞെടുത്ത വേരിയബിൾ മറ്റൊന്നിനെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, ഏറ്റവും നിയന്ത്രിതമായ ഒന്ന്. ഒരു പരിഹാരം നിലവിലുണ്ടോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ സിംപ്ലക്സ് രീതി നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. സിംപ്ലക്സ് രീതി നടപ്പിലാക്കുന്ന അൽഗോരിതം ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

ഘട്ടം 1.മാട്രിക്സിൽ നിന്ന് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നതിലൂടെ കണ്ടെത്തുന്ന അടിസ്ഥാന അനുവദനീയമായ പരിഹാരങ്ങൾക്ക് (വേരിയബിളുകൾ) അനുസൃതമായി ODR-ലെ ഒരു നിശ്ചിത ശീർഷകം നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. ടി- രേഖീയ സ്വതന്ത്ര നിരകളും മാട്രിക്സിൻ്റെ മറ്റ് നിരകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന മറ്റെല്ലാ വേരിയബിളുകളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുന്നു.

ഘട്ടം 2.ശേഷിക്കുന്ന എല്ലാ സാധ്യതകളിൽ നിന്നും തിരഞ്ഞെടുത്തു പി - ടിനോൺ-ബേസിക് വേരിയബിളുകൾക്ക് അനുയോജ്യമായ അരികുകൾ, ഒരു എഡ്ജ് (വേരിയബിൾ), അതിലൂടെ നീങ്ങുമ്പോൾ, ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷനിൽ അതിവേഗം കുറയുന്നു.

ഘട്ടം 3.തിരഞ്ഞെടുത്ത അരികിലൂടെ പ്രാരംഭ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് മറ്റൊരു ശീർഷത്തിലേക്ക് ഒരു ചലനം നടത്തുന്നത് പോലെയാണ് ഇത്, ഇത് കുറഞ്ഞ CF മൂല്യമുള്ള ഒരു പുതിയ പരിഹാരം നൽകുന്നു. അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ (എഡ്ജ്) മാറ്റി പുതിയ അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ (എഡ്ജ്) ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പുതിയ ശീർഷകം രൂപപ്പെടുന്നു.

വെക്റ്ററുകളുടെ നിരകളും ഘടകങ്ങളും സാധാരണയായി ഒരു സിംപ്ലെക്സ് പട്ടികയുടെ രൂപത്തിൽ ഓർഡർ ചെയ്യുകയും എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു, അതിൻ്റെ രൂപീകരണം ചുവടെ കാണിക്കും.

സിംപ്ലക്സ് രീതി എൽപി പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നു സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോം.

x > 0 വ്യവസ്ഥകൾക്ക് കീഴിലുള്ള ഫംഗ്‌ഷൻ ചെറുതാക്കുക (പരമാവധിയാക്കുക); കോടാലി = b.

മാട്രിക്സ് എ യഥാർത്ഥവും അളവും ഉണ്ട് ടി x "ഉം റാങ്കും ടി.

രൂപപ്പെടുത്തിയ എൽപി പ്രശ്നവും ഫോമിൽ എഴുതാം

ഫോമിലെ (8Л) എൽപി പ്രശ്നത്തിൻ്റെ റെക്കോർഡിംഗിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് എന്ന് നമുക്ക് പറയാം.

അളവുകൾ (t + 1) (n + 2) പരിഹാരങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു[x/] t.

നമുക്ക് മാട്രിക്സ് എയെ നിരകളുടെ ഒരു കൂട്ടമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം

മാട്രിക്സ് എയ്ക്ക് റാങ്കുള്ളതിനാൽ ടി,അപ്പോൾ ഉണ്ടാകും ടിമാട്രിക്സ് A യുടെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര നിരകൾ, ഉദാഹരണത്തിന് (a V1 ,...,a V/i ഒരു വെക്റ്റർ പരിഗണിക്കുക x° > 0, അതെല്ലാം പി - ടിമൂലകങ്ങൾ 0, Ax° = b എന്നിവയാണ്. ഇവ അക്കങ്ങളുള്ള ഘടകങ്ങളായിരിക്കട്ടെ..., i n_m.മാട്രിക്സ് A യുടെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര നിരകളുടെ സ്ഥാനം aw വെക്റ്ററുകൾ 0 ലെ പൂജ്യമല്ലാത്ത മൂലകങ്ങളുടെ സ്ഥാനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു എന്നും നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. ജ്യാമിതീയമായി, § 7.6 ൻ്റെ പ്രസ്താവന 3 അനുസരിച്ച്, x° എന്നത് ODR-ൻ്റെ ശീർഷകം (കോണ്) ആണെന്നും കൂടാതെ, നൽകിയിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥകളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെന്നും അർത്ഥമാക്കുന്നു. ഈ പരിഹാരത്തെ വിളിക്കുന്നു അനുവദനീയമായ അടിസ്ഥാന പരിഹാരം.അനുവദനീയമായ സെറ്റിൻ്റെ കോണുകളാണ് അനുവദനീയമായ അടിസ്ഥാന പരിഹാരങ്ങൾ.

എൽപി പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ഒപ്റ്റിമൽ പരിഹാരത്തിന് ആവശ്യമായ എല്ലാ വിവരങ്ങളും അടിസ്ഥാന പരിഹാരങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്ന് ഓർക്കുക. § 7.6-ൽ പരിഗണിക്കുന്ന ദ്വിമാന കേസിന്, അടിസ്ഥാന പരിഹാരങ്ങൾ എല്ലാ 6 പോയിൻ്റുകളും, സ്വീകാര്യമായ അടിസ്ഥാന പരിഹാരങ്ങൾ പോയിൻ്റുകളുമാണ്. എൽ, വി,എസ്.ഐ 0.

അതിനാൽ, x° ന് സമാനമായ ഏത് വെക്‌ടറും x എന്ന് എഴുതാം

എവിടെ x ഇൻ- മാട്രിക്സ് എ യുടെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര നിരകളുമായി ഘടകങ്ങൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഒരു വെക്റ്റർ; xF -പൂജ്യം മൂലകങ്ങളുള്ള വെക്റ്റർ.

നമുക്ക് വെക്റ്ററുകളെ സമാനമായി നിർവചിക്കാം

വെക്റ്ററിൻ്റെ മൂലകങ്ങളായ വേരിയബിളുകൾ x ഇൻ,വിളിക്കുന്നു അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകൾവെക്‌ടറിൻ്റെ മൂലകങ്ങളായ വേരിയബിളുകളും x എഫ്വിളിക്കുന്നു സൗ ജന്യം (അടിസ്ഥാനമല്ലാത്ത) വേരിയബിളുകൾ.

കാരണം x° F=0, അപ്പോൾ പ്രാരംഭ വെക്റ്റർ x° എന്നതിൻ്റെ ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം തുല്യമായിരിക്കും

ഇവിടെ /° എന്നത് x° എന്ന പോയിൻ്റിൻ്റെ മൂല്യമാണ്.

x > 0 എന്നതിനായുള്ള [x°/°]t എന്ന ഫോമിൻ്റെ (8.1) പരിഹാരത്തെ വിളിക്കുന്നു വ്യക്തമായ (വ്യക്തമായ) പരിഹാരം.അതിനാൽ, അടിസ്ഥാനമല്ലാത്ത വേരിയബിളുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായി സജ്ജമാക്കിയാൽ, നമുക്ക് വ്യക്തമായ ഒരു പരിഹാരം ലഭിക്കും.

സൗകര്യത്തിനായി, നമുക്ക് പുനഃക്രമീകരിക്കാം ടിമാട്രിക്സ് എയുടെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര നിരകൾ ഇടത് വശംഫോമിൽ മാട്രിക്സ് എഴുതുക

ഇവിടെ മാട്രിക്സ് ബി യോജിക്കുന്നു ടിരേഖീയ സ്വതന്ത്ര നിരകൾ അളവുണ്ട് ടെക്സ്റ്റ്റാങ്കും ടി,കൂടാതെ മാട്രിക്സ് എഫ്

ആണ് th (p - t)മാട്രിക്സ്. മാട്രിക്സ് B രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമായ നിരകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നതിനാൽ, ഇതിന് വിപരീത B -1 ഉം detB ഉം ഉണ്ട് φ 0. മാട്രിക്സ് ബി രൂപീകരിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾക്ക് ഏത് വേണമെങ്കിലും തിരഞ്ഞെടുക്കാം ടിമാട്രിക്സ് എയുടെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര നിരകൾ.

അവതരിപ്പിച്ച നൊട്ടേഷൻ കണക്കിലെടുത്ത് നമുക്ക് പ്രശ്നം (8.1) പ്രതിനിധീകരിക്കാം

ഈ പ്രാതിനിധ്യം വിപുലീകൃത മാട്രിക്സുമായി യോജിക്കുന്നു, നമുക്ക് അത് അനുമാനിക്കാം

എവിടെ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു

വെക്റ്റർ x ആണെങ്കിൽ വി Bx d = b എന്ന സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരമാകും, അപ്പോൾ അത് അടിസ്ഥാന പരിഹാരമായിരിക്കും. അസമത്വം നിലനിൽക്കുകയാണെങ്കിൽ വി= B -1 b > O, അപ്പോൾ x ഇൻസ്വീകാര്യമായ പരിഹാരമായിരിക്കും.

അങ്ങനെ, നിലവിലെ പരിഹാരംഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു:

നമുക്ക് മാട്രിക്സ് (8.4) പരിഗണിക്കാം. അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകൾ അവതരിപ്പിക്കും വ്യക്തമായി, മാട്രിക്സ് ബിയെ ഐഡൻ്റിറ്റി മാട്രിക്സ് I ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഇടതുവശത്തുള്ള മാട്രിക്സിൻ്റെ (8.4) ആദ്യ വരിയെ ബി~ 1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കും

എവിടെ B_1 b > O, അതായത്. ടി മുകളിലെ ഘടകങ്ങൾവലത് നിരയിൽ നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്തതും വേരിയബിളുകളുടെ നിലവിലെ മൂല്യത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതുമാണ്.

മുകളിലെ വരിയുടെ ഇടതുവശത്ത് നമുക്ക് ഒരു യൂണിറ്റ് മാട്രിക്സ് ലഭിക്കും: B -1 B = I. ഈ അവതരണംവളരെ സൗകര്യപ്രദമാണ്, കാരണം ഒരു വെക്റ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ x ഇൻഓരോ വേരിയബിളും ഒരു പ്രത്യേക വരിയിലായിരിക്കും.

അതിനാൽ, സ്വീകാര്യമായതും അടിസ്ഥാന ബിയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നതുമായ അടിസ്ഥാന പരിഹാരം x m = [x-ൽ 0] ആണ്. x ഇൻ == B_1 ബി. എന്ന അനുമാനത്തിൽ നിന്നാണ് അടിസ്ഥാന പരിഹാരം ഉണ്ടാകുന്നത് x F = 0. എന്നിരുന്നാലും, എങ്കിൽ xF* 0, തുടർന്ന് x^ എന്നത് x 5 = = B~"b - B^"Fx/r ആയി കണക്കാക്കാം. ഈ പദപ്രയോഗം ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് (കോസ്റ്റ് ഫംഗ്‌ഷൻ) പകരം വയ്ക്കുന്നത്, നമുക്ക് ലഭിക്കും

അടിസ്ഥാനമല്ലാത്ത വേരിയബിളുകളുടെ വിലയുടെ ആശ്രിതത്വം നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് അത്യാവശ്യമായതിനാൽ, അവയിലൊന്ന് അടിസ്ഥാനപരമായവയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തും, മാട്രിക്സ് I-ന് കീഴിലുള്ള താഴത്തെ വരി പൂജ്യമായിരിക്കണം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, (8.7) ൽ നമ്മൾ ആദ്യ വരി (മാട്രിക്സിൻ്റെ) ഗുണിക്കുക മുതൽ വരെരണ്ടാമത്തേതിനൊപ്പം ചേർക്കുക

പ്രാരംഭ നൂറ്റാണ്ടിലെ വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ മൂല്യം എവിടെയാണ്

(8.3) മുതൽ ടോറസ് x 0

മാട്രിക്സ് (8.8) എന്ന് വിളിക്കുന്നു സിംപ്ലക്സ് ടേബിൾ.അവളെ കൊണ്ടുവരുന്നു ഈ ഇനംആണ് പ്രാരംഭ ഘട്ടംസിംപ്ലക്സ് അൽഗോരിതം. അൽഗോരിതം നിർവ്വഹിക്കുമ്പോൾ, പട്ടികയുടെ താഴത്തെ വലത് മൂലകം പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ മിനിമം ആകുന്നതുവരെ ഒരു ടേബിളിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് ഒരു പരിവർത്തനം നടക്കുന്നു.

ഒരു സിംപ്ലെക്സ് ടേബിൾ ഉപയോഗിച്ച്, സാധ്യമായ ഒരു പരിഹാരം കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. വേരിയബിളുകൾ xഎഫ് പൂജ്യം സബ്‌മാട്രിക്‌സുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, വേരിയബിളുകൾ x ഇൻ- യൂണിറ്റ് മാട്രിക്സ്:

എൽപി പ്രശ്നം സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കി, സിംപ്ലക്സ് ടേബിൾ കണക്കാക്കി, പോളിഹെഡ്രോണിൻ്റെ ശീർഷകവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രാഥമിക അടിസ്ഥാന പരിഹാരം തിരഞ്ഞെടുത്തു എന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം.

പിന്നെ - പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം (8.1). അങ്ങനെ

b > ഓ, ഇതൊരു അടിസ്ഥാന സ്വീകാര്യമായ പരിഹാരമാണ്.

അടിസ്ഥാന നൊട്ടേഷൻ നിലനിർത്തിക്കൊണ്ട് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമായ രൂപത്തിൽ നമുക്ക് മാട്രിക്സ് (8.9) അവതരിപ്പിക്കാം:

മാക്സിമൈസേഷൻ്റെയും മിനിമൈസേഷൻ്റെയും പ്രശ്നങ്ങൾ നമുക്ക് പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കാം.

• മുമ്പ്, ഒരു ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നത്തിന് ഒപ്റ്റിമൽ സൊല്യൂഷൻ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒപ്റ്റിമൽ സൊല്യൂഷനുകളിലൊന്ന് അതിൻ്റെ നിയന്ത്രണ സംവിധാനത്തിന് അനുവദനീയമായ അടിസ്ഥാന പരിഹാരമാണ്, ഇത് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സ്വീകാര്യമായ പരിഹാരങ്ങളുടെ പോളിഹെഡ്രോണിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കോർണർ പോയിൻ്റുമായി യോജിക്കുന്നു.

• പ്രശ്‌നത്തിൻ്റെ നിയന്ത്രണ സംവിധാനത്തിലേക്കുള്ള അടിസ്ഥാന പരിഹാരങ്ങളുടെ പരിമിതമായ തിരയൽ ഉപയോഗിച്ച് ഈ ഒപ്റ്റിമൽ പരിഹാരം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് കാണിച്ചു. എന്നിരുന്നാലും, പ്രശ്ന നിയന്ത്രണ സംവിധാനത്തിൻ്റെ അളവ് n വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച്, അടിസ്ഥാന പരിഹാരങ്ങളുടെ സമഗ്രമായ എണ്ണൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് ക്രമാതീതമായി വളരുകയും പ്രായോഗികമായി അനുയോജ്യമല്ലാതാകുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അനുബന്ധ മൂല്യം മെച്ചപ്പെടുകയോ കുറഞ്ഞപക്ഷം വഷളാകാതിരിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നതിനായി ഓരോ തുടർന്നുള്ള അനുവദനീയമായ അടിസ്ഥാന പരിഹാരവും തിരഞ്ഞെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, പ്രായോഗികമായ അടിസ്ഥാന പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു കണക്കെടുപ്പ് സംഘടിപ്പിക്കാനും എണ്ണപ്പെട്ട പരിഹാരങ്ങളുടെ എണ്ണം കുത്തനെ കുറയ്ക്കാനും കഴിയും. ഒപ്റ്റിമൽ അടിസ്ഥാന പരിഹാരം കണ്ടെത്തുമ്പോൾ ഘട്ടങ്ങളുടെ എണ്ണം കുറയ്ക്കാൻ ഈ സമീപനം നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഈ ആശയം ഗ്രാഫിക്കായി വിശദീകരിക്കാം.

പോളിഗോൺ ABCDEFGH രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള PLP യുടെ പ്രായോഗിക പരിഹാരങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കട്ടെ, വെക്റ്റർ N ആയിരിക്കട്ടെ വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഗ്രേഡിയൻ്റ്.

• വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനം ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യം കൈക്കൊള്ളുന്ന ഈ ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റ് നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

• കോർണർ പോയിൻ്റ് ബിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രാഥമിക പ്രായോഗിക പരിഹാരം നിർണ്ണയിക്കട്ടെ.

• സാധ്യമായ എല്ലാ അടിസ്ഥാന പരിഹാരങ്ങളുടെയും പൂർണ്ണമായ തിരയലിനൊപ്പം, പോളിഗോണിൻ്റെ എട്ട് കോണുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട അത്തരം എട്ട് പരിഹാരങ്ങൾ പരിശോധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

• എന്നിരുന്നാലും, ഗ്രേഡിയൻ്റ് N ൻ്റെ ദിശ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, അയൽ ശീർഷം C ലേക്ക് പോകുന്നത് കൂടുതൽ ലാഭകരമാണെന്ന് ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്, തുടർന്ന് പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ഒപ്റ്റിമൽ അടിസ്ഥാന പരിഹാരവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന അയൽ ശീർഷം D ലേക്ക് പോകുന്നു.

• അതിനാൽ, എട്ട് പരിഹാരങ്ങൾക്ക് പകരം, മൂന്ന് പ്രായോഗിക അടിസ്ഥാന പരിഹാരങ്ങൾ മാത്രമേ പരിഗണിക്കൂ.

• പരിഹാരത്തിൻ്റെ തുടർച്ചയായ മെച്ചപ്പെടുത്തൽ എന്ന ആശയം ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സാർവത്രിക രീതിയുടെ അടിസ്ഥാനമാണ് - സിംപ്ലക്സ് രീതി.

സിംപ്ലെക്സ് രീതിയുടെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം, പോളിഹെഡ്രോണിൻ്റെ ഒരു ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് പ്രശ്നത്തിന് സാധ്യമായ പരിഹാരങ്ങളുടെ അയൽപക്കത്തിലേക്കുള്ള ഒരു തുടർച്ചയായ പരിവർത്തനം നടത്തുന്നു, അതിൽ വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനം മുമ്പത്തെ ശീർഷത്തേക്കാൾ മോശമല്ലാത്ത ഒരു മൂല്യം എടുക്കുന്നു. ഒപ്റ്റിമൽ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നത് വരെ ഈ പരിവർത്തനം തുടരും അല്ലെങ്കിൽ പ്രശ്നത്തിന് ഒന്നുമില്ലെന്ന് കണ്ടെത്തും.

• സിംപ്ലക്സ് രീതിയും അതിൻ്റെ പേരും ആദ്യമായി നിർദ്ദേശിച്ചത് അമേരിക്കൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ജോൺ ഡാൻ്റ്സിഗ് 1947-ൽ ആണ്, എന്നിരുന്നാലും ഈ രീതിയുടെ ആശയങ്ങൾ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത് റഷ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ എൽ.വി. കാൻ്റോറോവിച്ച് 1939 ൽ "ഉൽപാദനം സംഘടിപ്പിക്കുന്നതിനും ആസൂത്രണം ചെയ്യുന്നതിനുമുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര രീതികൾ" എന്ന ലേഖനത്തിൽ.

സിംപ്ലക്സ് രീതി മൂന്ന് പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

• പ്രശ്നത്തിന് പ്രാഥമിക പ്രായോഗികമായ ചില അടിസ്ഥാന പരിഹാരം നിർണ്ണയിക്കൽ;

• അടുത്ത മോശം അനുവദനീയമല്ലാത്ത അടിസ്ഥാന പരിഹാരത്തിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനത്തിനുള്ള നിയമങ്ങൾ;

• കണ്ടെത്തിയ പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഒപ്റ്റിമലിറ്റി പരിശോധിക്കുന്നു.

• കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിൽ എഴുതിയ ഒരു ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നത്തിന് സിംപ്ലക്സ് രീതി പ്രയോഗിക്കുന്നു.

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ലളിതമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ

• നമുക്ക് ZLP കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിൽ പരിഗണിക്കാം. രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നൽകാം:

• ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ കുറയ്ക്കുന്ന ഈ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് പരിഹാരം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്

• നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം - സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ് (1),

• - ഈ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ്.

എ, ബി മെട്രിക്‌സുകളുടെ റാങ്കുകൾ തുല്യമാകുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ കേസ് പരിഗണിക്കും: , അതായത്. സിസ്റ്റത്തിന് (1) അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഉള്ളപ്പോൾ. ഈ കേസിൽ പ്രശ്നത്തിന് ഒപ്റ്റിമൽ പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടോ എന്നും അവ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്നും കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ഞങ്ങളുടെ ചുമതല.

• വ്യക്തതയ്ക്കായി, മാട്രിക്സ് A യുടെ ആദ്യ r നിരകൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു, തുടർന്ന് സിസ്റ്റം (1) ഗോസിയൻ എലിമിനേഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഫോമിലേക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:

• ഈ സിസ്റ്റം സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് തുല്യമാണ് (1). വിചിത്രമായ നിരകൾ

• സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (2) മാട്രിക്സിൻ്റെ നിരകളുടെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം രൂപപ്പെടുത്തുന്നു, അതിനാൽ വേരിയബിളുകൾ അടിസ്ഥാനമാണ്, കൂടാതെ സെറ്റ് ഒരു അടിസ്ഥാന സെറ്റാണ്.

• സംക്ഷിപ്തതയ്ക്കായി, ഞങ്ങൾ വേരിയബിളുകളുടെ അടിസ്ഥാന സെറ്റിനെ അടിസ്ഥാനം എന്നും വിളിക്കും, അതായത് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് നിരകളുടെ അനുബന്ധ അടിസ്ഥാനം. ശേഷിക്കുന്ന വേരിയബിളുകൾ സൗജന്യമാണ്.

നമുക്ക് സിസ്റ്റത്തിലെ (3) അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകൾ സ്വതന്ത്രമായവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുകയും സിസ്റ്റം (4) നേടുകയും ചെയ്യാം:

• (4)

• (4) സമവാക്യ വ്യവസ്ഥയുടെ (1) പൊതുവായ പരിഹാരമാണെന്ന് പറയുന്നത് പതിവാണ്. ഫ്രീ വേരിയബിളുകൾക്ക് പൂജ്യം മൂല്യങ്ങൾ നൽകുന്നതിലൂടെ, അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയും നിർമ്മിച്ച അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകൾക്ക് അനുയോജ്യമായ ഒരു അടിസ്ഥാന പരിഹാരം നിർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

• അതിനാൽ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന പരിഹാരം (1).

• സിസ്റ്റത്തിന് (1) സ്വീകാര്യമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, അതിനെ (3) വ്യവസ്ഥ (5) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന തരത്തിലേക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടുത്താമെന്ന് ഇനിപ്പറയുന്നവ കാണിക്കും.

• അതിനാൽ, വ്യവസ്ഥ (5) തൃപ്തികരമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും. അപ്പോൾ അടിസ്ഥാന പരിഹാരം പ്രായോഗികമായ അടിസ്ഥാന പരിഹാരമാണ്.

തുല്യതകൾ (4) ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ഫ്രീ വേരിയബിളുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ f ഫംഗ്ഷൻ പ്രകടിപ്പിക്കാം: (6) ഇപ്പോൾ നമുക്ക് അടിസ്ഥാന പരിഹാരത്തിന് അനുയോജ്യമായ f ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാം.

• സിംപ്ലക്സ് രീതി എന്ന ആശയം നടപ്പിലാക്കുന്നതിലൂടെ, സാധ്യമായ ഒരു അടിസ്ഥാന പരിഹാരത്തിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറാൻ ഞങ്ങൾ പഠിക്കും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് xi ആധാരത്തിൽ നിന്ന് നീക്കം ചെയ്യുകയും പകരം കുറച്ച് സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ xj നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു.

• അടിസ്ഥാനത്തിലെ ഈ മാറ്റത്തോടെ, സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റവും (4) ലീനിയർ ഫംഗ്ഷനും (6) രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (3) i-th സമവാക്യം സംബന്ധിച്ച് പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട് xj

• തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം ഇതാണ്:

• xj എന്നതിനുപകരം, (7) മുതൽ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (4) ശേഷിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളിലേക്കും (6) ഫംഗ്‌ഷനിലേക്കും അതിൻ്റെ പദപ്രയോഗം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, സിസ്റ്റത്തിന് (1) തുല്യമായ ഒരു പുതിയ സിസ്റ്റം നമുക്ക് ലഭിക്കും, അത് പുതിയ അടിസ്ഥാനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പരിഹരിക്കപ്പെടും.

കോ എഫിഷ്യൻ്റ് aij, അടിസ്ഥാനത്തിൽ xi ന് പകരം ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ xj എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, സിംപ്ലക്സ് പട്ടികയുടെ പരിഹരിക്കുന്ന ഘടകം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സമത്വത്തിൽ നിന്ന് (7) അത് പിന്തുടരുന്നു

• പുതിയ അടിസ്ഥാന പരിഹാരം സ്വീകാര്യമായിരിക്കണം (നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്തത്)

• അപ്പോൾ വ്യവസ്ഥ തൃപ്തിപ്പെടുത്തണം, അതായത് . മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, jth നിരയിലെ പരിഹരിക്കുന്ന ഘടകം aij (xi ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ ആണ്) പോസിറ്റീവ് തിരഞ്ഞെടുക്കണം. ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം അനുസരിച്ച് പരിഹരിക്കുന്ന ഘടകം aij തിരഞ്ഞെടുത്താൽ വിവരിച്ച പരിവർത്തനത്തെ ഞങ്ങൾ സിംപ്ലക്സ് എന്ന് വിളിക്കും:

• 1. ഘടകം AIJ പോസിറ്റീവ് ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന jth നിരയിൽ നിന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കുക.

• 2. ഈ കോളത്തിൽ നിരവധി പോസിറ്റീവ് ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ bk അനുപാതങ്ങളും akj>0 എന്ന ഗുണകങ്ങളുമായുള്ള അനുപാതം രചിക്കും.

• എല്ലാ അനുപാതങ്ങളിലും, ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും ചെറിയ ഒന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. അങ്ങനെ സംഭവിക്കട്ടെ :

• (8)

• ഈ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിനെ ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന ഘടകമായി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. ഈ അനുപാതങ്ങളിൽ പലതും വളരെ കുറവാണെങ്കിൽ (തുല്യം), ഞങ്ങൾ ഈ ഡിനോമിനേറ്ററുകളിൽ ഏതെങ്കിലും തിരഞ്ഞെടുക്കും.

സിദ്ധാന്തം. ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൽ (4) എല്ലാ സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളും നോൺ-നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, സിംപ്ലക്സ് പരിവർത്തനം പ്രയോഗിച്ചതിന് ശേഷം അവ നെഗറ്റീവ് ആയി തുടരും.

• തെളിവ്. (4) എന്നതിലെ സിംപ്ലക്സ് പരിവർത്തനത്തിന് ശേഷം നമുക്ക് പുതിയ സൗജന്യ നിബന്ധനകൾ സൂചിപ്പിക്കാം

• പിന്നെ ചെയ്തത്

• akj>0 ആണെങ്കിൽ, (8) മുതൽ അത് പിന്തുടരുന്നു

• എങ്കിൽ akj

• akj =0 ആണെങ്കിൽ

• അനന്തരഫലം. ഒരു സിംപ്ലെക്സ് പരിവർത്തനം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ZLP-യുടെ ഒരു അനുവദനീയമായ അടിസ്ഥാന പരിഹാരത്തിൽ നിന്ന് ഈ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ മറ്റൊരു സ്വീകാര്യമായ അടിസ്ഥാന പരിഹാരത്തിലേക്ക് പോകാം.

കുർസ്ക് അക്കാദമി ഓഫ് സ്റ്റേറ്റ് ആൻഡ് മുനിസിപ്പൽ സർവീസ്

ഇൻഫർമേഷൻ ആൻഡ് ടെക്നോസ്ഫിയർ സെക്യൂരിറ്റി വകുപ്പ്

ഉപന്യാസം

അച്ചടക്കത്തിലൂടെ "ഒപ്റ്റിമൽ പരിഹാരങ്ങളുടെ രീതികൾ"

വിഷയത്തിൽ "സിംപ്ലക്സ് രീതിയുടെ ആശയം"

പൂർത്തിയാക്കിയത്: രണ്ടാം വർഷ വിദ്യാർത്ഥി

പ്രത്യേകതകൾ "സാമ്പത്തികശാസ്ത്രം"

മോസ്കലേവ ഒ.എസ്.

പരിശോധിച്ചത്: പിഎച്ച്ഡി, അസോസിയേറ്റ് പ്രൊഫസർ പോഗോസിയൻ എസ്.എൽ.

കുർസ്ക് - 2012

ആമുഖം …………………………………………………………………………………………………… 3

1. സിംപ്ലക്സ് രീതിയുടെ ആശയം ……………………………………………… 4

2. ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് സിംപ്ലക്സ് രീതി നടപ്പിലാക്കൽ ………………………………. 6

3. ഒരു സിംപിൾ സിംപ്ലെക്‌സ് രീതിയുടെ ടാബുലാർ നടപ്പിലാക്കൽ……………….10

ഉപസംഹാരം ………………………………………………………………………………… 15

ഉപയോഗിച്ച സാഹിത്യങ്ങളുടെ പട്ടിക ……………………………………………….16

ആമുഖം.

ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഉപയോഗിക്കുന്ന ആവർത്തന കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഒരു സാധാരണ ഉദാഹരണമാണ് സിംപ്ലക്സ് രീതി.

സിംപ്ലക്സ് രീതിയുടെ കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ സ്കീമിൽ, ഒരു ഓർഡർ പ്രോസസ്സ് നടപ്പിലാക്കുന്നു, അതിൽ ചില പ്രാരംഭ അനുവദനീയമായ കോർണർ പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് (സാധാരണയായി ഉത്ഭവം) ആരംഭിച്ച്, ഒപ്റ്റിമൽ സൊല്യൂഷനുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു പോയിൻ്റ് വരെ അനുവദനീയമായ ഒരു തീവ്ര പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് തുടർച്ചയായ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നു. കണ്ടെത്തി.

സിംപ്ലക്സ് രീതിയുടെ ആശയം

കാനോനിക്കൽ ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സാർവത്രിക രീതി നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം എൻവേരിയബിളുകൾ കൂടാതെ എംസിംപ്ലക്സ് രീതി എന്നറിയപ്പെടുന്ന സമത്വ നിയന്ത്രണങ്ങൾ.

ഒരു കാനോനിക്കൽ പ്രശ്നത്തിനുള്ള പ്ലാനുകളുടെ കൂട്ടം, പരിമിതമായ കോർണർ പോയിൻ്റുകളുള്ള ഒരു കോൺവെക്സ് പോളിഹെഡ്രൽ സെറ്റാണ്. ഈ പ്രശ്‌നത്തിന് ഒപ്റ്റിമൽ പരിഹാരമുണ്ടെങ്കിൽ, കുറഞ്ഞത് ഒരു കോണിലെങ്കിലും ഇത് കൈവരിക്കാനാകും.

ഏത് കോർണർ പോയിൻ്റും പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന പദ്ധതിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അതിൽ വേരിയബിളുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, ശേഷിക്കുന്ന വേരിയബിളുകൾ കണ്ടീഷൻ മാട്രിക്സിൻ്റെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര നിരകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. ഈ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര നിരകൾ ഏകമല്ലാത്ത അടിസ്ഥാന മാട്രിക്സ് ഉണ്ടാക്കുന്നു.

എല്ലാ കോർണർ പോയിൻ്റുകളിലും ആവർത്തനം ചെയ്യുന്നത് ഗണിതപരമായി ചെലവേറിയതും അതിനാൽ ഫലപ്രദമല്ലാത്തതുമാണ്. 1947-ൽ, J. Danzig കോർണർ പോയിൻ്റുകൾ എണ്ണുന്നതിനുള്ള ഒരു ചിട്ടയായ നടപടിക്രമം നിർദ്ദേശിച്ചു, അതിൽ ഒപ്റ്റിമൽ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിന് അവയിൽ ഒരു ചെറിയ ഭാഗം മാത്രം പരിശോധിച്ചാൽ മതി. ഈ നടപടിക്രമം വിളിക്കുന്നു സിംപ്ലക്സ് രീതി.

ജെ. ഡാൻസിഗ് ഒരു തീവ്ര പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറുമ്പോൾ അടിസ്ഥാന മാട്രിക്സിൽ ഒരു വെക്റ്റർ മാത്രം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ നിർദ്ദേശിച്ചു. ഇതിനർത്ഥം അത്തരമൊരു പരിവർത്തന സമയത്ത് അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് ഒഴിവാക്കണം - അത് അടിസ്ഥാനമല്ലാത്തത് (പൂജ്യം തുല്യം), അതിൻ്റെ സ്ഥാനത്ത് അടിസ്ഥാനമല്ലാത്തതിൽ നിന്ന് (പൂജ്യം) ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കുക - ഇത് അടിസ്ഥാന (പോസിറ്റീവ്) ആക്കുക. ).

ജ്യാമിതീയമായി അത്തരമൊരു മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ ഒരു കോർണർ പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് തൊട്ടടുത്തുള്ള ഒരു പരിവർത്തനത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു, മുമ്പത്തെ പോയിൻ്റുമായി ഒരു പൊതു അരികിൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

എല്ലാ അയൽ പോയിൻ്റുകളിൽ നിന്നും, ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ ഏറ്റവും കൂടുതൽ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒന്ന് തിരഞ്ഞെടുത്തു. കോർണർ പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണം പരിമിതമായതിനാൽ, പരിമിതമായ എണ്ണം സംക്രമണങ്ങളിലൂടെ ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യമുള്ള ശീർഷകം കണ്ടെത്തും, അല്ലെങ്കിൽ പരിമിതികളില്ലാത്ത പ്ലാനുകളിൽ ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരിധിയില്ലാത്തത് സ്ഥാപിക്കപ്പെടും.

സിംപ്ലക്സ് രീതിയുടെ പൊതുവായ സ്കീം ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രധാന ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: ഘട്ടം 0. പ്രാരംഭ അടിസ്ഥാനവും അനുബന്ധ പ്രാരംഭ കോർണർ പോയിൻ്റും (ബേസ്ലൈൻ) നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ഘട്ടം 1. ഒപ്റ്റിമലിറ്റിക്കായി നിലവിലെ അടിസ്ഥാനം പരിശോധിക്കുന്നു . ഒപ്റ്റിമലിറ്റി മാനദണ്ഡം തൃപ്തികരമാണെങ്കിൽ, അത് പ്ലാൻ ഒപ്റ്റിമൽ ആണ്, പരിഹാരം പൂർത്തിയായി. അല്ലെങ്കിൽഘട്ടം 2-ലേക്ക് പോകുക.

ഘട്ടം 2. അടിസ്ഥാനപരമായവയിൽ അവതരിപ്പിച്ച വേരിയബിൾ കണ്ടെത്തൽ. (വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിപ്പിക്കുന്ന അവസ്ഥയിൽ നിന്ന്).

ഘട്ടം 3. അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കിയ ഒരു വേരിയബിൾ കണ്ടെത്തൽ (പ്രശ്നത്തിൻ്റെ നിയന്ത്രണങ്ങൾ സംരക്ഷിക്കുന്ന അവസ്ഥയിൽ നിന്ന്).

ഘട്ടം 4 . പുതിയ ബേസ്‌ലൈനിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു (അടുത്തുള്ള കോർണർ പോയിൻ്റ്). ഘട്ടം 1-ലേക്ക് പോകുക.

ആവർത്തിച്ചുള്ള 1-4 ഘട്ടങ്ങൾ സിംപ്ലക്സ് രീതിയുടെ ഒരു ആവർത്തനമായി മാറുന്നു.

ഈ ഡയഗ്രാമിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു, ഒന്നാമതായി, സിംപ്ലക്സ് രീതി ആരംഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരുതരം കോർണർ പോയിൻ്റ് ഉണ്ടായിരിക്കണം - ഒരു പ്രാഥമിക അടിസ്ഥാന പദ്ധതി, രണ്ടാമതായി, അടുത്തുള്ളവയെല്ലാം കണക്കാക്കാതെ ഒപ്റ്റിമലിറ്റിക്കായി നിലവിലെ കോർണർ പോയിൻ്റ് പരിശോധിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയേണ്ടതുണ്ട്. ലംബങ്ങൾ. കാനോനിക്കൽ എൽപി പ്രശ്നത്തിന് ചില പ്രത്യേക രൂപമുണ്ടെങ്കിൽ ഈ പ്രശ്നങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടും.

നിർവ്വചനം. കാനോനിക്കൽ എൽപി പ്രശ്നത്തിന് ഒരു "ഇഷ്ടപ്പെട്ട ഫോം" ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ പറയും: സമവാക്യങ്ങളുടെ വലത് വശങ്ങൾ; കണ്ടീഷൻ മാട്രിക്സിൽ ഒരു യൂണിറ്റ് സൈസ് സബ്മാട്രിക്സ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഏതൊരു സമവാക്യത്തിലും ഒന്നിന് തുല്യമായ ഒരു കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉള്ള ഒരു വേരിയബിൾ ഉണ്ട്, അത് മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ ഇല്ല. ആദ്യ വ്യവസ്ഥ ഭാരമുള്ളതല്ല, കാരണം ചില സമവാക്യങ്ങളുടെ വലതുവശത്ത് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, അതിനെ (-1) കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ മതിയാകും. ഒരു മുൻഗണനാ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നത്തിൽ, പ്രാരംഭ അടിസ്ഥാനം കണ്ടെത്തുന്നത് വളരെ ലളിതമാണ്.

ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് സിംപ്ലക്സ് രീതി നടപ്പിലാക്കൽ

നമുക്ക് സിംപ്ലക്സ് രീതിയുടെ ഉപയോഗം ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് കാണിക്കാം. കാനോനിക്കൽ എൽപി പ്രശ്നം പരിഗണിക്കുക

f(x) = x 1 + 2x 2 + 0x 3 + 0x 4 > പരമാവധി
-x 1 + 2x 2 +x 3 = 4,
3x 1 + 2x 2 +x 4 = 12,
x ജെ? 0, j = 1,2,3,4.

കണ്ടീഷൻ മാട്രിക്സ് എ = (എ 1 , എ 2 , എ 3 , എ 4), എവിടെ

ടാർഗെറ്റ് വെക്റ്റർ സി =(c 1, c 2, c 3, c 4) = (1, 2, 0, 0); വലത് ഭാഗങ്ങളുടെ വെക്റ്റർ ബി=(ബി 1 , ബി 2) = (4, 12).

ഘട്ടം 0.ആരംഭ കോർണർ പോയിൻ്റ് (അടിസ്ഥാനം) കണ്ടെത്തുന്നു.

സമവാക്യങ്ങളുടെ വലത് വശങ്ങൾ പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ, അവസ്ഥ മാട്രിക്സിൻ്റെ നിരകൾ ആയതിനാൽ, പ്രശ്നത്തിന് അഭികാമ്യമായ ഒരു രൂപമുണ്ട്. എ 3, എ 4 ഒരു യൂണിറ്റ് സബ്മാട്രിക്സ് രൂപീകരിക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം പ്രാരംഭ അടിസ്ഥാന മാട്രിക്സ് എന്നാണ് = (എ 3 ,എ 4); x 3 ഒപ്പം x 4 - അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകൾ x 1 ഒപ്പം x 2 - അടിസ്ഥാനമല്ലാത്ത വേരിയബിളുകൾ, സി ബി = (സി 3, സി 4) = = (0, 0).

പ്രാരംഭ അടിസ്ഥാനം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു x 0 =(0, 0, x 3 , x 4) = (0, 0, 4, 12); f(x o) = 0.

ഘട്ടം 1.ഒപ്റ്റിമലിറ്റിക്കായി അടിസ്ഥാന പ്ലാൻ പരിശോധിക്കുന്നു.

ഫോർമുല (5.1) ഉപയോഗിച്ച് അടിസ്ഥാനേതര വേരിയബിളുകൾക്കുള്ള സിംപ്ലക്സ് എസ്റ്റിമേറ്റ് കണക്കാക്കാം

? 1 = 1 > - സി 1 = 0·(-1) + 0 ·3 - 1 = -1 .

? 2 = 2 > - സി 2 = 0 2 + 0 2 - 2 = -2 .

കണക്കുകൾ നെഗറ്റീവ് ആയതിനാൽ, പദ്ധതി x- ഒപ്റ്റിമൽ അല്ല. ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വലിയ മൂല്യമുള്ള ഒരു പുതിയ ബേസ്‌ലൈനിനായി (അടുത്തുള്ള കോർണർ പോയിൻ്റ്) ഞങ്ങൾ നോക്കും.

ഘട്ടം 2. അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് അവതരിപ്പിച്ച വേരിയബിൾ കണ്ടെത്തൽ.

അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളിൽ നോൺ-ബേസിക് വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയും (അത് പോസിറ്റീവ് ആക്കുന്നു) x 1 അഥവാ x 2, രണ്ട് കണക്കുകളും മുതൽ ? ജെ x 2.

ഘട്ടം 3.അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞ ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ നിർവ്വചനം.

അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് വേരിയബിൾ നൽകിയ ശേഷം x 2പുതിയ പ്ലാൻ ഇതുപോലെയായിരിക്കും

x" =(0, x 2, x 3 , x 4).

ഈ പ്ലാൻ അടിസ്ഥാനപരമായ ഒന്നല്ല, കാരണം അതിൽ ഒരു പൂജ്യം കോർഡിനേറ്റ് മാത്രമേ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ, അതായത് വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് പൂജ്യമാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് (അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കുക) x 3 അഥവാ x 4 . പ്ലാനിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം x" =(0, x 2, x 3 ,x 4) പ്രശ്നത്തിൻ്റെ നിയന്ത്രണങ്ങളിൽ. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

2x 2 +x 3 = 4,

2x 2 + x 4 = 12.

നമുക്ക് ഇവിടെ നിന്ന് അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകൾ പ്രകടിപ്പിക്കാം x 3 ഒപ്പം x 4 വേരിയബിൾ വഴി x 2 , അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രവേശിച്ചു.

x 3 = 4 - 2x 2,
x 4 = 12 - 2x 2 .

അതിനാൽ വേരിയബിളുകൾ x 3 ഒപ്പം x 4 നോൺ-നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കണം, നമുക്ക് അസമത്വങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കും

4 - 2x 2 ? 0,
12 - 2x 2 ? 0.

ഉയർന്ന മൂല്യം x 2 , കൂടുതൽ വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു. പുതിയ അടിസ്ഥാന വേരിയബിളിൻ്റെ പരമാവധി മൂല്യം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം, അത് പ്രശ്നത്തിൻ്റെ നിയന്ത്രണങ്ങൾ ലംഘിക്കുന്നില്ല, അതായത്, തൃപ്തികരമായ വ്യവസ്ഥകൾ (2.8), (2.9).

ഫോമിലെ അവസാന അസമത്വങ്ങൾ നമുക്ക് മാറ്റിയെഴുതാം

2x 2 ? 4,

2x 2 ? 12,

പരമാവധി മൂല്യം എവിടെ നിന്ന് വരുന്നു? x 2 = മിനിറ്റ് (4/2, 12/2 ) = 2. ഈ മൂല്യം എക്‌സ്‌പ്രഷനുകളായി (2.6), (2.7) മാറ്റി സ്ഥാപിക്കുന്നു x 3 ഒപ്പം x 4 , നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു x 3 = 0. അതുകൊണ്ട് x 3 അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞത് .

ഘട്ടം 4.പുതിയ അടിസ്ഥാനരേഖയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

പുതിയ അടിസ്ഥാനരേഖ (അടുത്തുള്ള കോർണർ പോയിൻ്റ്) ഇതാണ്:

x" = (0, x 2, 0, x 4)

ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം നിരകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു എ 2 ഒപ്പം എ 4 , അങ്ങനെ =( എ 2, എ 4). വെക്റ്റർ ആയതിനാൽ ഈ അടിസ്ഥാനം ഏകീകൃതമല്ല എ 2 = (2,2), അതിനാൽ പ്രശ്നം (2.2)-(2.5) പുതിയ അടിസ്ഥാനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒരു മുൻഗണനാ ഫോം ഇല്ല. പ്രശ്‌നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥകൾ (2.3), (2.4) രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം, അതുവഴി പുതിയ അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് അത് ഇഷ്ടപ്പെട്ട രൂപമെടുക്കും. x 2, x 4, അതായത്, അങ്ങനെ വേരിയബിൾ x 2 ഒന്നിന് തുല്യമായ ഒരു കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉള്ള ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ ഉണ്ടായിരുന്നില്ല. പ്രശ്നത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ മാറ്റിയെഴുതാം

- x 1 + 2 x 2 + x 3 = 4, (പി 1)

3x 1 +2 x 2 + x 4 = 12. (പി 2)

ആദ്യ സമവാക്യത്തെ ഗുണകം കൊണ്ട് ഹരിക്കാം x 2 . നമുക്ക് ഒരു പുതിയ സമവാക്യം ലഭിക്കും = പിഒറിജിനലിന് തുല്യമായ 1/2

1/2 x 1 + x 2 + 1/2 x 3 = 2. ()

വേരിയബിളിനെ ഇല്ലാതാക്കാൻ നമ്മൾ ഈ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതിനെ നമ്മൾ പരിഹരിക്കുന്നു x 2 രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ സമവാക്യത്തെ 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് അതിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട് പി 2 . നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു = പി 2 - 2= പി 2 -പി 1:

4 x 1 - x 3 + x 4 = 8. ()

തൽഫലമായി, പുതിയ അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് യഥാർത്ഥ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ഒരു പുതിയ "ഇഷ്ടപ്പെട്ട" പ്രാതിനിധ്യം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു x 2 , x 4:

എഫ്(x) = x 1 + 2 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 ? പരമാവധി

1/2 x 1 + x 2 + 1/2 x 3 = 2 ()

4 x 1 - x 3 + x 4 = 8 ()

x ജെ? 0, j = 1,2,3,4

പുതിയ ബേസ്‌ലൈനിൻ്റെ പ്രാതിനിധ്യം ഇവിടെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു x 1 = (0, x 2, 0, x 4), അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ വലത് വശങ്ങൾക്ക് തുല്യമായതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഉടൻ തന്നെ അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തും.

x" = (0, 2, 0, 8); എഫ്(x 1)=4.

ഇത് സിംപ്ലക്സ് രീതിയുടെ ആദ്യ ആവർത്തനം പൂർത്തിയാക്കുന്നു. അടുത്തതായി, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രക്രിയ ഘട്ടം 1 മുതൽ തുടരുന്നു, അതിൽ ഒപ്റ്റിമലിറ്റിക്കായി കണ്ടെത്തിയ പ്ലാൻ പരിശോധിക്കുന്നു. നിലവിലെ അടിസ്ഥാന പദ്ധതിയുടെ എല്ലാ സിംപ്ലെക്‌സ് എസ്റ്റിമേറ്റുകളും നോൺ-നെഗറ്റീവ് ആയി മാറുമ്പോൾ പരിഹാരം അവസാനിക്കുന്നു.

ആദ്യത്തേതിൻ്റെ സ്കീം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ആവർത്തനം നടത്തില്ല, കാരണം സിംപ്ലക്സ് രീതിയുടെ എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളും പട്ടിക രൂപത്തിൽ നടപ്പിലാക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്.

ലളിതമായ ഒരു സിംപ്ലെക്സ് രീതിയുടെ പട്ടിക നടപ്പിലാക്കൽ

അതേ ഉദാഹരണം (2.2)-(2.5) ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പട്ടിക നടപ്പിലാക്കൽ പ്രദർശിപ്പിക്കും.

ഘട്ടം 0. ഒരു പ്രാരംഭ സിംപ്ലക്സ് ടേബിൾ നിർമ്മിച്ചുകൊണ്ട് പരിഹാരം ആരംഭിക്കുന്നു. ആദ്യം, പട്ടികയുടെ വലതുഭാഗം മൂന്നാം നിരയിൽ നിന്ന് പൂരിപ്പിക്കുന്നു. മുകളിലെ രണ്ട് വരികളിൽ ടാസ്ക് വേരിയബിളുകളുടെ പേരുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു ( x 1, ...,x 4) ഈ വേരിയബിളുകൾക്കുള്ള ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗുണകങ്ങളും. സമവാക്യങ്ങളുടെ ഗുണകങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട് - വ്യവസ്ഥ മാട്രിക്സിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ എ, അങ്ങനെ വേരിയബിളിന് കീഴിൽ x 1 സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത് കോളം എ 1, വേരിയബിളിന് കീഴിൽ x 2 - കോളം എ 2 തുടങ്ങിയവ. നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ (നമ്പറുകൾ) വലത് വശങ്ങൾ വലത് കോളത്തിൽ നൽകിയിട്ടുണ്ട് ബി ഐ > 0).

യൂണിറ്റ് അടിസ്ഥാനമായി രൂപപ്പെടുന്ന അവസ്ഥ മാട്രിക്സിൻ്റെ നിരകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു - ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ ഇതാണ് എ 3 ഒപ്പം എ 4 - അവയുടെ അനുബന്ധ അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളും x 3, x 4 രണ്ടാമത്തെ കോളത്തിൽ എഴുതുക. അവസാനമായി, ആദ്യ നിരയിൽ അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകൾക്കായി ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു.

പട്ടിക 1- പ്രാരംഭ സിംപ്ലക്സ് പട്ടിക

	അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകൾ					അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ മൂല്യങ്ങൾ ( x ബി = ബി)
		x 1	x 2	x 3	x 4
	x 3	a 11 =-1
	x 4
റേറ്റിംഗ് ലൈൻ ? ജെ	? 1 = -1	? 2 = -2

പ്രശ്‌നത്തിന് ഇഷ്ടപ്പെട്ട ഫോം ഉള്ളതിനാൽ, അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ അവസാന നിരയിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ വലത് വശങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്. അടിസ്ഥാനമല്ലാത്ത വേരിയബിളുകൾ പൂജ്യമായതിനാൽ, പ്രാരംഭ അടിസ്ഥാനം ഇതാണ്

x o = (0, 0, x 3 , x 4) = (0, 0, 4, 12).

ഘട്ടം 1.പ്ലാൻ പരിശോധിക്കാൻ xഒ ഒപ്റ്റിമലിറ്റിക്കായി ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാനമല്ലാത്ത വേരിയബിളുകൾക്കുള്ള സിംപ്ലക്സ് എസ്റ്റിമേറ്റ് കണക്കാക്കുന്നു x 1 ഒപ്പം x 2 ഫോർമുല പ്രകാരം

? j = ബി, എ ജെ > - സി ജെ.

? 1 = ബി, എ 1 > - സി 1 = 0·(-1) + 0 ·3 - 1 = -1 .

സ്കോർ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു പട്ടിക നടപ്പാക്കലിനൊപ്പം ? 1 ആദ്യ നിരയിലെ മൂലകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക നമുക്ക് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് ( സി ബി) അനുബന്ധ നിര ഘടകങ്ങളിലേക്ക് എ 1 അടിസ്ഥാനമല്ലാത്ത ഒരു വേരിയബിളിനായി x 1 . സ്കോർ അതേ രീതിയിൽ കണക്കാക്കുന്നു ? 2 , ആദ്യ നിരയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നമായി ( സി ബി) വേരിയബിളിലെ ഓരോ കോളത്തിനും x 2.

? 2 = 2 > - സി 2 = 0 2 + 0 2 - 2 = -2 .

സിംപ്ലക്സ് ടേബിളിൻ്റെ അവസാന നിരയിലാണ് സിംപ്ലക്സ് എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ എഴുതിയിരിക്കുന്നത്, അതിനെ ഡെൽറ്റ റോ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അടിസ്ഥാനമല്ലാത്ത വേരിയബിളുകൾക്കുള്ള സെല്ലുകൾ മാത്രമല്ല, അടിസ്ഥാന സെല്ലുകളും നിറഞ്ഞിരിക്കുന്നു. കണ്ടീഷൻ മാട്രിക്സിൻ്റെ അടിസ്ഥാന യൂണിറ്റ് നിരകൾക്ക് സിംപ്ലക്സ് എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. മൂല്യനിർണ്ണയ വരിയുടെ അവസാന സെല്ലിൽ, പോയിൻ്റിലെ വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു xo.അടിസ്ഥാന പദ്ധതിയുടെ അടിസ്ഥാനമല്ലാത്ത കോർഡിനേറ്റുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ കണക്കാക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

എഫ്(x)= സി ബി, x ബി >,

പട്ടികയുടെ ആദ്യത്തേയും അവസാനത്തേയും നിരകളെ സ്കെലാർ ആയി ഗുണിക്കുന്നു.

കണക്കുകൾക്കിടയിൽ മുതൽ ? ജെഇതുണ്ട് നെഗറ്റീവ് , പിന്നെ പദ്ധതി xഒ ഒപ്റ്റിമൽ അല്ല, അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് മാറ്റി അടിസ്ഥാനമല്ലാത്തവയിൽ നിന്ന് പുതിയ ഒന്ന് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പുതിയ അടിസ്ഥാന പ്ലാൻ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഘട്ടം 2.രണ്ട് കണക്കുകളും മുതൽ ? 1 ഒപ്പം ? 2 അപ്പോൾ ഏതെങ്കിലും വേരിയബിളുകൾ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്താം x 1, x 2 . ഏറ്റവും വലിയ സമ്പൂർണ്ണ നെഗറ്റീവ് എസ്റ്റിമേറ്റ് ഉള്ള വേരിയബിളിനെ അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് നമുക്ക് പരിചയപ്പെടുത്താം, അതായത് x 2 .

സിംപ്ലക്സ് ടേബിളിൻ്റെ കോളം, അതിൽ ആധാരത്തിൽ പ്രവേശിച്ച വേരിയബിൾ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, അതിനെ ലീഡിംഗ് കോളം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിൽ, മുൻനിര കോളം എന്നതായിരിക്കും x 2 .

ഘട്ടം 3.ലീഡിംഗ് കോളത്തിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, പ്രശ്‌നത്തിനും പരമാവധിയ്ക്കും പരിഹാരമില്ല എഫ്(x) ???. ഉദാഹരണത്തിൽ, മുൻനിര നിരയുടെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ, നമുക്ക് പരമാവധി മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ കഴിയും x 2 , പഴയ അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് പൂജ്യത്തിലേക്ക് പോകുന്നു. പരമാവധി മൂല്യം എന്ന് ഓർക്കുക x 2 =മിനിറ്റ്(4/2, 12/2)=2.

പട്ടിക അനുസരിച്ച്, ഈ മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നു അടിസ്ഥാനരേഖയിലെ ഘടകങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ അനുപാതം (അവസാന നിരയിൽ നിന്ന്) അനുബന്ധമായത് പോസിറ്റീവ്മുൻനിര നിരയുടെ ഘടകങ്ങൾ.

അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുള്ള വരിയിലാണ് ഏറ്റവും ചെറിയ അനുപാതം x 3.അതിനാൽ വേരിയബിൾ x 3അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കിയിരിക്കുന്നു ( x 3 = 0).

അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കേണ്ട വേരിയബിൾ അടങ്ങിയ വരിയെ ലീഡിംഗ് ലൈൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിൽ, ലീഡിംഗ് ലൈൻ ആദ്യ വരി ആയിരിക്കും.

മുൻനിര നിരയുടെയും മുൻ നിരയുടെയും കവലയിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന മൂലകത്തെ മുൻനിര ഘടകം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, മുൻനിര ഘടകം എ 12 = 2.

മേശ 2- മുൻനിര വരിയും നിരയും ഉള്ള പ്രാരംഭ സിംപ്ലക്സ് പട്ടിക

	അടിസ്ഥാന മാറ്റങ്ങൾ.					അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ മൂല്യങ്ങൾ	സമവാക്യങ്ങൾ
			x 2
c 3 =0	x 3	-1	2	1	0	4
			2
റേറ്റിംഗ് ലൈൻ ? ജെ	? 1 = -1	? 2 = -2

ഘട്ടം 4. ഒരു പുതിയ അടിസ്ഥാന പ്ലാൻ ലഭിക്കുന്നതിന്, പുതിയ അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഞങ്ങൾ പ്രശ്നം ഒരു പുതിയ മുൻഗണനാ ഫോമിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഒഴിവാക്കിയ വേരിയബിളിന് പകരം രണ്ടാമത്തെ നിരയിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ സിംപ്ലക്സ് പട്ടിക നിർമ്മിക്കും. x 3നമുക്ക് ഒരു പുതിയ അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ എഴുതാം x 2, കൂടാതെ ആദ്യ നിരയിൽ ( കൂടെ ബി) ഇതിനുപകരമായി 3 മുതൽഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗുണകം എഴുതാം x 2: c 2 =2. പുതിയ സിംപ്ലക്സ് പട്ടികയിൽ, എന്ന കോളം x 2വേണം ഒന്നാകുക (മുൻനിര ഘടകം ഒന്നിന് തുല്യമായിരിക്കണം, മറ്റെല്ലാ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യമായിരിക്കണം). ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടിക വരി പരിവർത്തനങ്ങൾ വഴി ഇത് നേടാനാകും.

എ.ഞങ്ങൾ മുൻനിരയിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും മുൻനിര ഘടകത്താൽ വിഭജിക്കുകയും പുതിയ സിംപ്ലക്സ് പട്ടികയുടെ അതേ വരിയിൽ എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സ്ട്രിംഗ് p 1"നമുക്ക് അതിനെ അനുവദനീയമെന്ന് വിളിക്കാം.

ബി.ശേഷിക്കുന്ന രണ്ടാമത്തെ വരിയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന വരി ചേർക്കുന്നു, അത്തരം ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ മുൻനിര നിരയിലെ ഘടകം പൂജ്യമാകും.

p 2 " = p 2 + (- 2) p 1 " = p 2 - p 1.

സി.എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ കണക്കാക്കി അവസാന വരി പൂരിപ്പിക്കാം ? j " = - - സി ജെ, എവിടെ സി ബി ", എ ജെ " -പുതിയ സിംപ്ലക്സ് പട്ടികയുടെ അനുബന്ധ നിരകളും ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യവും f(x)= .

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയുള്ള രണ്ടാമത്തെ സിംപ്ലക്സ് ടേബിൾ ഞങ്ങൾ നേടുന്നു.

പട്ടിക 3- ആദ്യ ആവർത്തനത്തിൻ്റെ ഫലം

	അടിസ്ഥാന മാറ്റങ്ങൾ.					അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ മൂല്യങ്ങൾ	സമവാക്യങ്ങൾ
		-1/2
	x 4	4	0	-1	1	8	p 2 " =p 2 - p 1
കണക്കാക്കുന്നു ? j"	-2

പുതിയ അടിസ്ഥാനരേഖ x " = (0, x 2, 0, x 4) = (0, 2, 0, 8 ). വിലയിരുത്തൽ മുതൽ ? 1 = -2 തുടർന്ന് പ്ലാൻ ചെയ്യുക x " ഒപ്റ്റിമൽ അല്ല. ഒരു പുതിയ അടിസ്ഥാന പ്ലാനിലേക്ക് (അയൽ കോർണർ പോയിൻ്റിൻ്റെ) നീങ്ങാൻ, ഞങ്ങൾ സിംപ്ലക്സ് രീതിയുടെ മറ്റൊരു ആവർത്തനം നടത്തും.

കാരണം? 1 തുടർന്ന് അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് ഒരു വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു x 1. അടങ്ങുന്ന ആദ്യ നിര x 1 -നയിക്കുന്നു.

അടിസ്ഥാന പദ്ധതിയുടെ ഘടകങ്ങളും അനുബന്ധവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു പോസിറ്റീവ്മുൻനിര നിരയുടെ ഘടകങ്ങൾ, ഏറ്റവും ചെറിയ അനുപാതമുള്ള വരി മുൻനിരയായി എടുക്കുക. പട്ടിക 2-ൽ, ലീഡിംഗ് കോളത്തിൽ രണ്ടാമത്തെ ഘടകം മാത്രമേ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ് (= 4), അതിനാൽ രണ്ടാമത്തെ വരി മുന്നിലായിരിക്കും, അതിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന അടിസ്ഥാനം വേരിയബിൾ x 4അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കലിന് വിധേയമാണ്.

ഞങ്ങൾ മുൻനിര നിരയും മുൻനിര വരിയും തിരഞ്ഞെടുക്കുകയും അവയുടെ കവലയിൽ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു മുൻനിര ഘടകം (= 4).

ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ (മൂന്നാം) സിംപ്ലക്സ് ടേബിൾ നിർമ്മിക്കുന്നു, അതിൽ അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു x 4 ഓൺ x 1 , വീണ്ടും പട്ടിക വരികൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു, അങ്ങനെ ലീഡിംഗ് ഘടകം ഒന്നിന് തുല്യമാകും, കൂടാതെ ലീഡിംഗ് കോളത്തിൻ്റെ ശേഷിക്കുന്ന ഘടകങ്ങൾ പൂജ്യമാകും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ലീഡിംഗ് (രണ്ടാം) വരിയെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, ആദ്യ വരിയിലേക്ക് തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന രണ്ടാമത്തെ വരി ചേർക്കുക, 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. സിംപ്ലക്സ് എസ്റ്റിമേറ്റുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അവസാന വരി കണക്കാക്കുന്നു ? ജെ"" = "", എ ജെ""> - സി ജെ, എവിടെ സി ബി"", എ ജെ"" - പുതിയ സിംപ്ലക്സ് പട്ടികയുടെ അനുബന്ധ നിരകൾ. പുതിയ ബേസ്‌ലൈനിലെ ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു f(x"")= "", x ബി"" >.

പട്ടിക 4- രണ്ടാമത്തെ ആവർത്തനത്തിൻ്റെ ഫലം

	അടിസ്ഥാനം മാറ്റം.					അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ മൂല്യങ്ങൾ	സമവാക്യങ്ങൾ
							p 1 "" = p 1 "+p 2 ""/2
							p 2 "" = p 2 "/4
കണക്കാക്കുന്നു ? j ""					f(x"")= 8

പുതിയ അടിസ്ഥാനരേഖ x "" = (x 1, x 2, 0, 0) = (2, 3, 0, 0 ). എല്ലാ എസ്റ്റിമേറ്റുകളും നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്തതിനാൽ, പ്ലാൻ x ""- ഒപ്റ്റിമൽ പ്ലാൻ.

അങ്ങനെ, x* = (2, 3, 0, 0 ), f(x*) = 8.

ഉപസംഹാരം

ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പരിഗണിക്കപ്പെട്ട രീതികൾ പ്രായോഗികമായി വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, അത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്

ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു യഥാർത്ഥ സാമ്പത്തിക വ്യവസ്ഥയെക്കാൾ ദരിദ്രമാണ്. ഇത് ഈ സിസ്റ്റത്തെ ഏകദേശം വിവരിക്കുന്നു, ചില സവിശേഷതകൾ എടുത്തുകാണിക്കുകയും മറ്റുള്ളവ അവഗണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്ര സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിലെ ഈ പോരായ്മ നികത്താൻ, നിരവധി തരം മോഡലുകൾ വികസിപ്പിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്നു, അവ ഓരോന്നും സാമ്പത്തിക യാഥാർത്ഥ്യത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക വശം പ്രതിഫലിപ്പിക്കാൻ രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിട്ടുള്ളതാണ്, അതിനാൽ ഒരു പ്രത്യേക സാമ്പത്തിക പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അതിന് ഏറ്റവും അനുയോജ്യമായ ഒരു മോഡൽ തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ കഴിയും. .

ഉപയോഗിച്ച റഫറൻസുകളുടെ പട്ടിക

1. അഷ്മാനോവ് എസ്.എ. ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ്. - എം.: നൗക, 1981.