മൾട്ടിപ്ലയർ രീതിലഗ്രാഞ്ച്(ഇംഗ്ലീഷ് സാഹിത്യത്തിൽ "LaGrange's method of undetermined multipliers") ˗ ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സംഖ്യാ രീതിയാണ്, അത് ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ (മിനിമം അല്ലെങ്കിൽ കൂടിയ മൂല്യം) “സോപാധിക” തീവ്രത നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

സമത്വത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ അതിൻ്റെ വേരിയബിളുകളിൽ നിർദ്ദിഷ്ട നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ സാന്നിധ്യത്തിൽ (അതായത്, പ്രദേശം സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങൾ)

˗ ഇവ ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യം ഒരു തീവ്രതയിലേക്ക് നയിക്കുന്ന യഥാർത്ഥ ഡൊമെയ്‌നിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ (നിയന്ത്രിക്കാവുന്ന പാരാമീറ്ററുകൾ) മൂല്യങ്ങളാണ്. "സോപാധിക" എക്‌സ്‌ട്രീം എന്ന പേരിൻ്റെ ഉപയോഗം വേരിയബിളുകളിൽ ഒരു അധിക നിബന്ധന അടിച്ചേൽപ്പിക്കുന്നതിനാലാണ്, ഇത് ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌ട്രീമിനായി തിരയുമ്പോൾ അനുവദനീയമായ മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിരുപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ്റെ പ്രശ്‌നമായി രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നതിന്, അനുവദനീയമായ ഒരു കൂട്ടം മൂല്യങ്ങളിൽ ഒരു ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സോപാധികമായ ഒരു എക്‌സ്‌ട്രീം തിരയുന്നതിനുള്ള പ്രശ്‌നത്തെ ലാഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ രീതി അനുവദിക്കുന്നു.

പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ ഒപ്പം അവയുടെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾക്കൊപ്പം തുടർച്ചയായി, പിന്നെ അത്തരം വേരിയബിളുകൾ ഉണ്ട് λ അവ ഒരേസമയം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നു:

അതിനാൽ, ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ രീതിക്ക് അനുസൃതമായി, അനുവദനീയമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ഗണത്തിൽ ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഞാൻ ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷൻ L(x, λ) രചിക്കുന്നു, അത് കൂടുതൽ ഒപ്റ്റിമൈസ് ചെയ്യുന്നു:

ഇവിടെ λ ˗ എന്നത് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടാത്ത ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയറുകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന അധിക വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു വെക്റ്റർ ആണ്.

അങ്ങനെ, f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്‌സ്‌ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്‌നം L(x, λ) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിരുപാധികമായ എക്‌സ്‌ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്‌നമായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.

ഒപ്പം

ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌ട്രീമിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റമാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത് (സിസ്റ്റത്തിൽ “n + m” സമവാക്യങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു):

ഈ സമവാക്യ സംവിധാനം പരിഹരിക്കുന്നത്, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ (X) ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, അതിൽ L(x, λ) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യവും അതുപോലെ ടാർഗെറ്റ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം f(x) ൻ്റെ മൂല്യവും എക്‌സ്‌ട്രീമുമായി യോജിക്കുന്നു.

സമവാക്യത്തിൽ (സ്ഥിരമായ) ഒരു സ്വതന്ത്ര പദത്തോടുകൂടിയ രൂപത്തിൽ നിയന്ത്രണങ്ങൾ അവതരിപ്പിച്ചാൽ ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയറുകളുടെ (λ) മാഗ്നിറ്റ്യൂഡ് പ്രായോഗിക താൽപ്പര്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യ വ്യവസ്ഥയിലെ സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ മൂല്യം മാറ്റുന്നതിലൂടെ ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം നമുക്ക് കൂടുതൽ പരിഗണിക്കാം (വർദ്ധന/കുറവ്). അങ്ങനെ, പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന സ്ഥിരാങ്കം മാറുമ്പോൾ, പരമാവധി ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷനിലെ മാറ്റത്തിൻ്റെ നിരക്ക് ലാഗ്രാഞ്ച് ഗുണിതം ചിത്രീകരിക്കുന്നു.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ തീവ്രതയുടെ സ്വഭാവം നിർണ്ണയിക്കാൻ നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്:

ആദ്യ രീതി: എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളും ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അനുബന്ധ മൂല്യവും ആയിരിക്കട്ടെ. പോയിൻ്റിന് അടുത്തുള്ള ഒരു പോയിൻ്റ് എടുക്കുകയും ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

എങ്കിൽ , അപ്പോൾ പോയിൻ്റിൽ പരമാവധി ഉണ്ട്.

എങ്കിൽ , അപ്പോൾ പോയിൻ്റിൽ ഒരു മിനിമം ഉണ്ട്.

രണ്ടാമത്തെ രീതി: ലാഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡിഫറൻഷ്യലിൻ്റെ അടയാളമാണ് അഗ്രഭാഗത്തിൻ്റെ സ്വഭാവം നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയുന്ന മതിയായ അവസ്ഥ. ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു:

അകത്തുണ്ടെങ്കിൽ പോയിൻ്റ് നൽകി ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്, എങ്കിൽ , അത് വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനം f(x)ന് ഒരു സോപാധികമുണ്ട് പരമാവധി.

മൂന്നാമത്തെ രീതി: കൂടാതെ, ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഹെസ്സിയൻ പരിഗണിച്ച് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌ട്രീമിൻ്റെ സ്വഭാവം നിർണ്ണയിക്കാനാകും. ഹെസ്സിയൻ മാട്രിക്സ് ഒരു സമമിതിയാണ് ചതുര മാട്രിക്സ്മാട്രിക്സ് മൂലകങ്ങൾ പ്രധാന ഡയഗണലിനെക്കുറിച്ച് സമമിതിയുള്ള പോയിൻ്റിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ രണ്ടാം ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ.

എക്സ്ട്രീം തരം നിർണ്ണയിക്കാൻ (ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ കുറഞ്ഞത്), നിങ്ങൾക്ക് സിൽവെസ്റ്ററിൻ്റെ നിയമം ഉപയോഗിക്കാം:

1. ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡിഫറൻഷ്യൽ പോസിറ്റീവ് സൈനായിരിക്കുന്നതിന് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ കോണീയ മൈനറുകൾ പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അത്തരം സാഹചര്യങ്ങളിൽ, ഈ ഘട്ടത്തിലെ പ്രവർത്തനത്തിന് ഒരു മിനിമം ഉണ്ട്.

2. ലാഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡിഫറൻഷ്യൽ ചിഹ്നത്തിൽ നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുന്നതിന് , ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ കോണീയ മൈനറുകൾ ഒന്നിടവിട്ട് മാറേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, കൂടാതെ മാട്രിക്സിൻ്റെ ആദ്യ ഘടകം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കണം. അത്തരം സാഹചര്യങ്ങളിൽ, ഈ ഘട്ടത്തിലെ പ്രവർത്തനത്തിന് പരമാവധി ഉണ്ട്.

കോണീയ മൈനർ എന്നതുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത് യഥാർത്ഥ മാട്രിക്സിൻ്റെ ആദ്യ k വരികളിലും k നിരകളിലും സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന മൈനറിനെയാണ്.

അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾ പ്രായോഗിക പ്രാധാന്യംസോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൈസേഷനിൽ നിന്ന് നിരുപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൈസേഷനിലേക്ക് നീങ്ങാനും അതിനനുസരിച്ച് ആയുധശേഖരം വികസിപ്പിക്കാനും ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു എന്നതാണ് ലാഗ്രാഞ്ച് രീതി. ലഭ്യമായ രീതികൾപ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം, അത് തിളച്ചുമറിയുന്നു ഈ രീതി, പൊതുവേ ഇത് ലളിതമല്ല യഥാർത്ഥ പ്രശ്നംഒരു തീവ്രതയ്ക്കായി തിരയുന്നു. അത്തരം രീതികളെ പരോക്ഷമായി വിളിക്കുന്നു. വിശകലന രൂപത്തിൽ (ഉദാഹരണത്തിന്, ചില സൈദ്ധാന്തിക കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക്) ഒരു തീവ്രമായ പ്രശ്നത്തിന് പരിഹാരം നേടേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകതയാണ് അവയുടെ ഉപയോഗം വിശദീകരിക്കുന്നത്. നിർദ്ദിഷ്ട പരിഹരിക്കുമ്പോൾ പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾഒപ്റ്റിമൈസ് ചെയ്യുന്ന ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിനും താരതമ്യം ചെയ്യുന്നതിനുമുള്ള ആവർത്തന പ്രക്രിയകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി നേരിട്ടുള്ള രീതികൾ സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

കണക്കുകൂട്ടൽ രീതി

1 ഘട്ടം: നൽകിയിരിക്കുന്ന ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷനിൽ നിന്നും നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ സംവിധാനത്തിൽ നിന്നും ഞങ്ങൾ ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷൻ നിർണ്ണയിക്കുന്നു:

മുന്നോട്ട്

ലേഖനത്തിൽ നിങ്ങളുടെ അഭിപ്രായം ചേർക്കുന്നതിന്, ദയവായി സൈറ്റിൽ രജിസ്റ്റർ ചെയ്യുക.

ഒരു സോപാധികമായ അതിരുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള രീതി നിർമ്മാണത്തിൽ ആരംഭിക്കുന്നു സഹായ പ്രവർത്തനംലാഗ്രേഞ്ച്, സാധ്യമായ പരിഹാരങ്ങളുടെ മേഖലയിൽ വേരിയബിളുകളുടെ അതേ മൂല്യങ്ങൾക്ക് പരമാവധി എത്തുന്നു x 1 , x 2 , ..., x എൻ , വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനത്തിന് സമാനമാണ് z . ഫംഗ്ഷൻ്റെ സോപാധികമായ തീവ്രത നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം പരിഹരിക്കപ്പെടട്ടെ z = f(X) നിയന്ത്രണങ്ങൾക്ക് കീഴിൽ φ ഐ ( x 1 , x 2 , ..., x എൻ ) = 0, ഐ = 1, 2, ..., എം , എം < എൻ

നമുക്ക് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ രചിക്കാം

വിളിക്കുന്നത് ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷൻ. എക്സ് , - സ്ഥിരമായ ഘടകങ്ങൾ ( ലഗ്രാഞ്ച് ഗുണിതങ്ങൾ). Lagrange ഗുണിതങ്ങൾക്ക് ഒരു സാമ്പത്തിക അർത്ഥം നൽകാമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. എങ്കിൽ f(x 1 , x 2 , ..., x എൻ ) - പദ്ധതിയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന വരുമാനം X = (x 1 , x 2 , ..., x എൻ ) , ഒപ്പം ചടങ്ങും φ ഐ (x 1 , x 2 , ..., x എൻ ) - ഈ പ്ലാനിന് അനുയോജ്യമായ i-th റിസോഴ്സിൻ്റെ ചിലവ് എക്സ് , i-th റിസോഴ്സിൻ്റെ വില (എസ്റ്റിമേറ്റ്) ആണ്, i-th റിസോഴ്സിൻ്റെ (മാർജിനൽ എസ്റ്റിമേറ്റ്) വലുപ്പത്തിലുള്ള മാറ്റത്തെ ആശ്രയിച്ച് ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ അങ്ങേയറ്റത്തെ മൂല്യത്തിലെ മാറ്റത്തിൻ്റെ സവിശേഷത. L(X) - പ്രവർത്തനം n+m വേരിയബിളുകൾ (x 1 , x 2 , ..., x എൻ , λ 1 , λ 2 , ..., λ എൻ ) . ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് നയിക്കുന്നു

അത് കാണാൻ എളുപ്പമാണ് . അങ്ങനെ, ഫംഗ്ഷൻ്റെ സോപാധികമായ തീവ്രത കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ചുമതല z = f(X) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ലോക്കൽ എക്‌സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നു L(X) . ഒരു നിശ്ചല പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തിയാൽ, ഏറ്റവും ലളിതമായ സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഒരു എക്സ്ട്രീമത്തിൻ്റെ നിലനിൽപ്പിനെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം അങ്ങേയറ്റത്തെ മതിയായ വ്യവസ്ഥകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടും - രണ്ടാമത്തെ ഡിഫറൻഷ്യലിൻ്റെ അടയാളം പഠിക്കുന്നു ഡി 2 L(X) ഒരു സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റിൽ, വേരിയബിൾ ഇൻക്രിമെൻ്റുകൾ നൽകുന്നു Δx ഐ - ബന്ധങ്ങളാൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു

കപ്ലിംഗ് സമവാക്യങ്ങൾ വേർതിരിക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കുന്നത്.

സൊല്യൂഷൻ ഫൈൻഡർ ടൂൾ ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളിൽ രേഖീയമല്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു

ക്രമീകരണങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നുരണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള രേഖീയമല്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു:

എവിടെ
- വേരിയബിളുകളുടെ രേഖീയമല്ലാത്ത പ്രവർത്തനം x ഒപ്പം വൈ ,
- ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കം.

ദമ്പതികളാണെന്ന് അറിയാം ( x , വൈ അജ്ഞാതമായ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുള്ള ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണെങ്കിൽ മാത്രം (10) സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണ്.

കൂടെമറുവശത്ത്, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (10) പരിഹാരം രണ്ട് വളവുകളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റുകളാണ്: എഫ് ] (x, വൈ) = സി ഒപ്പം എഫ് 2 (x, y) = സി 2 ഉപരിതലത്തിൽ XOവൈ.

ഇത് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതിയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. രേഖീയമല്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങൾ:

സമവാക്യങ്ങളുടെ (10) അല്ലെങ്കിൽ സമവാക്യം (11) സിസ്റ്റത്തിലേക്കുള്ള ഒരു പരിഹാരത്തിൻ്റെ നിലനിൽപ്പിൻ്റെ ഇടവേള (ഏകദേശമെങ്കിലും) നിർണ്ണയിക്കുക. ഇവിടെ സിസ്റ്റത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ തരം, അവയുടെ ഓരോ സമവാക്യങ്ങളുടെയും നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ മുതലായവ കണക്കിലെടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ചിലപ്പോൾ പരിഹാരത്തിൻ്റെ പ്രാഥമിക ഏകദേശത്തിൻ്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് ഉപയോഗിക്കുന്നു;

തിരഞ്ഞെടുത്ത ഇടവേളയിൽ x, y വേരിയബിളുകൾക്കുള്ള സമവാക്യത്തിൻ്റെ (11) പരിഹാരം പട്ടികപ്പെടുത്തുക അല്ലെങ്കിൽ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുക എഫ് 1 (x, വൈ) = സി, ഒപ്പം എഫ് 2 (x,y) = സി 2 (സിസ്റ്റം(10)).

സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വേരുകൾ പ്രാദേശികവൽക്കരിക്കുക - സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ (11) പട്ടികപ്പെടുത്തുന്ന പട്ടികയിൽ നിന്ന് നിരവധി മിനിമം മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക, അല്ലെങ്കിൽ സിസ്റ്റത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന വക്രങ്ങളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുക (10).

4. ആഡ്-ഇൻ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ (10) സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നു.

വിജ്ഞാന അടിത്തറയിൽ നിങ്ങളുടെ നല്ല സൃഷ്ടികൾ അയയ്ക്കുക ലളിതമാണ്. ചുവടെയുള്ള ഫോം ഉപയോഗിക്കുക

നല്ല ജോലിസൈറ്റിലേക്ക്">

വിദ്യാർത്ഥികൾ, ബിരുദ വിദ്യാർത്ഥികൾ, അവരുടെ പഠനത്തിലും ജോലിയിലും വിജ്ഞാന അടിത്തറ ഉപയോഗിക്കുന്ന യുവ ശാസ്ത്രജ്ഞർ നിങ്ങളോട് വളരെ നന്ദിയുള്ളവരായിരിക്കും.

ചെല്യാബിൻസ്ക് ലോ കോളേജ്

ഗണിതശാസ്ത്ര, പ്രകൃതി ശാസ്ത്ര വിഭാഗം

കോഴ്‌സ് വർക്ക്

"ഗണിതശാസ്ത്ര രീതികൾ" എന്ന വിഷയത്തിൽ

ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ രീതി

വിദ്യാർത്ഥി ഗ്ര. PO-3-05, ഡിപ്പാർട്ട്മെൻ്റ് ഓഫ് ലോ ആൻഡ് ഇൻഫർമേഷൻ ടെക്നോളജീസ്

സൂപ്പർവൈസർ

എൻ.ആർ. ഖബീബുല്ലീന

ചെല്യാബിൻസ്ക്

ആമുഖം

1. മാതൃകാ കെട്ടിടം

2. ലഗ്രാഞ്ച് പ്രശ്നം. നിരുപാധികവും സോപാധികവുമായ തീവ്രത

3. ഒരു പരിമിതിയുള്ള ലഗ്രാഞ്ച് പ്രശ്നം

4. ലഗ്രാഞ്ച് ഗുണിതങ്ങളുടെ അർത്ഥം

4.1 ലഗ്രാഞ്ചിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം

4. 2. ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ രീതി

4.3 രീതി നിർവചിക്കാത്ത ഗുണിതങ്ങൾലഗ്രാഞ്ച്

4.4 ദ്വിമാന കേസ്

ഉപസംഹാരം

ഉപയോഗിച്ച സാഹിത്യങ്ങളുടെ പട്ടിക

ആമുഖം

ലഗ്രാഞ്ച് രീതി നിരവധി പ്രധാന ആശയങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. ഫംഗ്ഷനിൽ ചില നിയന്ത്രണങ്ങൾ ഏർപ്പെടുത്തിയാൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മിനിമം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം എന്നതാണ് അതിലൊന്ന്. ഈ സാങ്കേതികതയെ ഇപ്പോൾ "ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ റൂൾ" എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഈ വിഷയം ആധുനിക കാലത്ത് പ്രസക്തമാണ്, കാരണം പല മേഖലകളിലും (ഉദാഹരണത്തിന്, സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിൽ) ഉയർന്നുവരുന്ന നോൺ-ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ Lagrange മൾട്ടിപ്ലയർ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണത്തിൽ ഒരു പ്രധാന സ്ഥാനം വഹിക്കുന്നു ഒപ്റ്റിമൽ ടാസ്ക്കുകൾ- ഒരു പ്രത്യേക അർത്ഥത്തിൽ ഏറ്റവും മികച്ച പരിഹാരം തേടുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ. സാമ്പത്തിക പ്രയോഗത്തിൽ, ലഭ്യമായ വിഭവങ്ങൾ ഏറ്റവും ലാഭകരമായ രീതിയിൽ ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. IN സാമ്പത്തിക സിദ്ധാന്തംഓരോ സാമ്പത്തിക സ്ഥാപനത്തിനും അതിൻ്റെ സ്വഭാവം തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ ഒരു നിശ്ചിത സ്വാതന്ത്ര്യമുണ്ടെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ കാഴ്ചപ്പാടിൽ നിന്ന് ഏറ്റവും മികച്ച ഓപ്ഷൻ തിരയുന്നു എന്നതാണ് ആരംഭ പോയിൻ്റുകളിലൊന്ന്. ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ പ്രശ്നങ്ങൾ സാമ്പത്തിക സ്ഥാപനങ്ങളുടെ പെരുമാറ്റം വിവരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗമായി വർത്തിക്കുന്നു, ഈ സ്വഭാവത്തിൻ്റെ പാറ്റേണുകൾ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉപകരണം.

1. മാതൃകാ കെട്ടിടം

പ്രശ്നം രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിന്, സിസ്റ്റം വിശകലനം ചെയ്യുകയും അതിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ പഠിക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് സാധ്യമായ രീതികൾസിസ്റ്റം മാനേജ്മെൻ്റ്. അത്തരം വിശകലനത്തിൻ്റെ ഫലമായി നിർമ്മിച്ച ഡയഗ്രം ഒന്നുകിൽ ചിത്രമോ അനലോഗ് മോഡലോ ആണ്. അങ്ങനെ, മോഡൽ നിർമ്മാണത്തിൻ്റെ ആദ്യ ഘട്ടം പ്രശ്നം രൂപപ്പെടുത്തുന്ന പ്രക്രിയയിലാണ് നടത്തുന്നത്. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അത്തരമൊരു വിശകലനത്തിന് ശേഷം, വിലയിരുത്തേണ്ട പരിഹാരങ്ങൾക്കായുള്ള വിവിധ ഓപ്ഷനുകളുടെ പട്ടിക വ്യക്തമാക്കുന്നു. ഈ ഓപ്ഷനുകളുടെ മൊത്തത്തിലുള്ള ഫലപ്രാപ്തിയുടെ അളവുകൾ പിന്നീട് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ, സിസ്റ്റത്തെ നിർവചിക്കുന്ന വേരിയബിളുകളുടെ പ്രവർത്തനമായി സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ കാര്യക്ഷമത പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു മാതൃക നിർമ്മിക്കുക എന്നതാണ് അടുത്ത ഘട്ടം. ഈ വേരിയബിളുകളിൽ ചിലത് യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റംമാറ്റാൻ കഴിയും, മറ്റ് വേരിയബിളുകൾ മാറ്റാൻ കഴിയില്ല. മാറ്റാൻ കഴിയുന്ന വേരിയബിളുകളെ നമ്മൾ "നിയന്ത്രണം" എന്ന് വിളിക്കുന്നു. വിവിധ ഓപ്ഷനുകൾനിയന്ത്രിത വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കണം.

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ കാര്യക്ഷമതയെ ബാധിക്കുന്ന സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ലിസ്റ്റ് ചെയ്തുകൊണ്ട് ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര (പ്രതീകാത്മക) മാതൃകയുടെ നിർമ്മാണം ആരംഭിക്കാം. മൊത്തത്തിലുള്ള കാര്യക്ഷമതയുടെ അളവുകോലായി "മൊത്തം പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന ചെലവ്" ഉപയോഗിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, പ്രശ്ന രൂപീകരണ ഘട്ടത്തിൽ ലഭിച്ച ചിത്രമോ അനലോഗ് മോഡലോ പരിശോധിച്ചുകൊണ്ട് ഒരാൾക്ക് ആരംഭിക്കാം. ചില ചെലവുകൾ നിയോഗിക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളും മെറ്റീരിയലുകളും നിങ്ങൾക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രാരംഭ പട്ടിക ലഭിക്കും:

ഉൽപാദനച്ചെലവ്:

a) അസംസ്കൃത വസ്തുക്കളുടെ വാങ്ങൽ വില;

ബി) അസംസ്കൃത വസ്തുക്കൾ കൊണ്ടുപോകുന്നതിനുള്ള ചെലവ്;

സി) അസംസ്കൃത വസ്തുക്കൾ സ്വീകരിക്കുന്നതിനുള്ള ചെലവ്;

d) അസംസ്കൃത വസ്തുക്കൾ സംഭരിക്കുന്നതിനുള്ള ചെലവ്;

ഇ) ഉൽപ്പാദന ആസൂത്രണത്തിൻ്റെ ചെലവ്;

എഫ്) വർക്ക്ഷോപ്പിലെ അഡ്ജസ്റ്റ്മെൻ്റ് ജോലിയുടെ ചെലവ്;

g) പ്രോസസ്സിംഗ് പ്രക്രിയയുടെ ചെലവ്;

h) ഉൽപ്പാദന പ്രക്രിയയിൽ സാധനങ്ങൾ സൂക്ഷിക്കുന്നതിനുള്ള ചെലവ്;

i) ഉൽപ്പാദനം പൂർത്തിയാക്കുന്നതിനും പൂർത്തിയായ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ വെയർഹൗസിലേക്ക് മാറ്റുന്നതിനുമുള്ള ചെലവ്;

j) ആസൂത്രണ ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ജോലിയുടെ ഫലങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ചെലവ്;

കെ) പൂർത്തിയായ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ സംഭരിക്കുന്നതിനുള്ള ചെലവ്.

വിൽപ്പന ചെലവ്.

ഓവർഹെഡുകൾ.

2. ലഗ്രാഞ്ച് പ്രശ്നം . നിരുപാധികവും സോപാധികവുമായ തീവ്രത

നിരവധി ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ പ്രശ്നങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. വിഷയം എടുക്കേണ്ട തീരുമാനം x 1, x 2,..., x n (അല്ലെങ്കിൽ n-ഡൈമൻഷണൽ സ്പേസിൻ്റെ X = (x 1, x 2,..., x n) പോയിൻ്റ്) സംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടം വിവരിക്കുന്നു. ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഗുണഫലങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് f(X) = f(x 1, x 2,...,x n) -- എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങളാണ്. വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനം. മികച്ച പരിഹാരം-- ഇത് f(X) ഫംഗ്‌ഷൻ എടുക്കുന്ന ഒരു പോയിൻ്റ് X ആണ് ഏറ്റവും ഉയർന്ന മൂല്യം. അത്തരമൊരു പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു:

f(X) പരമാവധി.

f(X) ഫംഗ്‌ഷൻ തീരുമാനത്തിൻ്റെ നെഗറ്റീവ് വശങ്ങൾ (നാശം, നഷ്ടം മുതലായവ) ചിത്രീകരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, എഫ്(X) ൻ്റെ മൂല്യം ഏറ്റവും കുറവുള്ള പോയിൻ്റ് X തിരയുന്നു:

f(X) മിനിറ്റ്.

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതും കൂടിയതും തീവ്രത എന്ന ആശയത്താൽ ഏകീകരിക്കപ്പെടുന്നു. വ്യക്തമായി പറഞ്ഞാൽ, ഞങ്ങൾ പരമാവധി പ്രശ്‌നങ്ങളെക്കുറിച്ച് മാത്രമേ സംസാരിക്കൂ. മിനിമം കണ്ടെത്തുന്നതിന് പ്രത്യേക പരിഗണന ആവശ്യമില്ല, കാരണം f(X) എന്ന ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷനെ -f(X) ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്‌പ്പോഴും "അനുകൂലതകളെ നേട്ടങ്ങളാക്കി മാറ്റാനും" ചെറുതാക്കുന്നത് പരമാവധിയാക്കാനും കഴിയും.

ഏത് ഓപ്ഷനുകളിൽ നിന്നാണ് ഏറ്റവും മികച്ചത് തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടത്? മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ബഹിരാകാശത്തിലെ ഏത് പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിൽ നാം ഒപ്റ്റിമൽ നോക്കണം. ഈ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അത്തരം ഒരു ഘടകവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു സാധ്യമായ പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം. ചില പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ, x 1, x 2,..., x n എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഏത് കോമ്പിനേഷനും സാധുവാണ്, അതായത്, സാധ്യമായ പരിഹാരങ്ങളുടെ ഗണമാണ് പരിഗണനയിലുള്ള മുഴുവൻ ഇടവും.

മറ്റ് പ്രശ്നങ്ങളിൽ, വിവിധ നിയന്ത്രണങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കണം, അതായത് ബഹിരാകാശത്തെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിന് ലഭ്യമല്ല. പ്രശ്നങ്ങളുടെ അർത്ഥവത്തായ രൂപീകരണങ്ങളിൽ, ഇത് കാരണം, ഉദാഹരണത്തിന്, ലഭ്യമായ വിഭവങ്ങളുടെ പരിമിതമായ അളവ്.

ഫോമിൻ്റെ തുല്യതയുടെ രൂപത്തിൽ നിയന്ത്രണങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കാൻ കഴിയും

അല്ലെങ്കിൽ അസമത്വം

വ്യവസ്ഥകൾക്ക് അൽപ്പം വ്യത്യസ്തമായ രൂപമുണ്ടെങ്കിൽ, പറയുക, g 1 (X) = g 2 (X) അല്ലെങ്കിൽ g (X) A, തുടർന്ന് അവയെ ചുരുക്കാം സാധാരണ കാഴ്ച, സമത്വത്തിൻ്റെയോ അസമത്വത്തിൻ്റെയോ ഭാഗങ്ങളിലൊന്നിലേക്ക് ഫംഗ്ഷനുകളിലേക്കും സ്ഥിരാങ്കങ്ങളിലേക്കും മാറ്റുന്നു.

പരിമിതമായ വ്യവസ്ഥകളില്ലാതെ മുഴുവൻ സ്ഥലത്തും കാണപ്പെടുന്ന ഒരു തീവ്രതയെ നിരുപാധികം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ തുടർച്ചയായി വ്യതിരിക്തമാണെങ്കിൽ, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിരുപാധികമായ എക്‌സ്‌ട്രീമിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥ അതിൻ്റെ എല്ലാ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് എന്നതാണ്:

നിയന്ത്രണങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, പ്രശ്‌നത്തിൻ്റെ എല്ലാ നിയന്ത്രണങ്ങളും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിൽ മാത്രമേ തീവ്രത അന്വേഷിക്കുകയുള്ളൂ, കാരണം അത്തരം പോയിൻ്റുകൾ മാത്രമേ സ്വീകാര്യമാകൂ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, എക്സ്ട്രീം എന്ന് വിളിക്കുന്നു സോപാധിക.

ഒരു സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം പരിഗണിക്കുക:

വ്യവസ്ഥകൾ പ്രകാരം (2)

g 1 (X) = 0; g 2 (X) = 0, ..., g n (X) = 0,

അവരുടെ എല്ലാ നിയന്ത്രണങ്ങളും തുല്യതയാണ്.

ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷനും എല്ലാ ലിമിറ്റിംഗ് ഫംഗ്ഷനുകളും തുടർച്ചയായി വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അത്തരമൊരു പ്രശ്നം വിളിക്കും ലഗ്രാഞ്ച് പ്രശ്നം.

3. ഒരു പരിമിതിയുള്ള ലഗ്രാഞ്ച് പ്രശ്നം

ഇനിപ്പറയുന്ന ഘടനയിലെ ഒരു പ്രശ്നം പരിഗണിക്കുക:

f(X) പരമാവധി

(3) വിധേയമാണ്

g(X) = 0.

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം. മലയോരത്ത് ഒരു റോഡുണ്ട്, അതിൽ ഏറ്റവും ഉയർന്ന സ്ഥലം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ചിത്രത്തിൽ. 1 പ്രദേശത്തിൻ്റെ ഭൂപടം കാണിക്കുന്നു, അതിൽ വരികൾ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു

തുല്യ ഉയരങ്ങൾ; കട്ടിയുള്ള വരയാണ് റോഡ്. റോഡ് ഒരു ലെവൽ ലൈനിൽ സ്പർശിക്കുന്ന പോയിൻ്റ് എം, റോഡിൻ്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന പോയിൻ്റാണ്.

X = (x 1, x 2) സാന്ദ്രത പോയിൻ്റും x 1 ഉം x 2 ഉം അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളാണെങ്കിൽ, പ്രശ്നം നൽകാം ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം. സമുദ്രനിരപ്പിന് മുകളിലുള്ള പോയിൻ്റ് X ൻ്റെ ഉയരം f(X) ആയിരിക്കട്ടെ, g(X) = 0 എന്ന സമവാക്യം റോഡിനെ വിവരിക്കുന്നു. അപ്പോൾ റോഡിൻ്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന പോയിൻ്റ് പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ് (3).

റോഡ് ഒരു പർവതത്തിൻ്റെ മുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുകയാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന സ്ഥലം പ്രദേശത്തെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന സ്ഥലമായിരിക്കും, നിയന്ത്രണം അവഗണിക്കാം.

റോഡ് കൊടുമുടിയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നില്ലെങ്കിൽ, റോഡിൽ നിന്ന് അല്പം വ്യതിചലിച്ചാൽ, റോഡിലൂടെ കർശനമായി നീങ്ങുന്നതിനേക്കാൾ ഉയരത്തിൽ ഉയരാം. റോഡിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിചലനം g(X) 0 എന്ന ഹിറ്റിംഗ് പോയിൻ്റുമായി യോജിക്കുന്നു; ചെറിയ വ്യതിയാനങ്ങൾക്ക്, കൈവരിക്കാവുന്ന ഉയരം വ്യതിയാനത്തിന് ആനുപാതികമായി കണക്കാക്കാം.

ലാഗ്രാഞ്ച് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ആശയം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ അവതരിപ്പിക്കാം: നിങ്ങൾക്ക് ഭൂപ്രദേശം "ശരിയാക്കാൻ" ശ്രമിക്കാം, അങ്ങനെ റോഡിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനം ഉയരങ്ങൾ കൈവരിക്കുന്നതിൽ ഒരു നേട്ടം നൽകില്ല. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് ഉയരം f(X) മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

L(X) = f(X) - g(X),

പോയിൻ്റ് M ന് സമീപമുള്ള ചരിവിൻ്റെ ഭാഗം തിരശ്ചീനമായി മാറുന്ന വിധത്തിൽ മൾട്ടിപ്ലയർ തിരഞ്ഞെടുക്കുമ്പോൾ (വളരെ ചെറുതായത് റോഡിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങൾ ഇല്ലാതാക്കില്ല, കൂടാതെ വളരെ വലുത് എതിർ ദിശയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങൾക്ക് ഗുണം ചെയ്യും ).

ഇപ്പോൾ, റിലീഫ് L(X) ഒപ്റ്റിമൽ പോയിൻ്റിൻ്റെ സമീപത്തുള്ള പ്രദേശത്തെ തിരശ്ചീനമാക്കുന്നതിനാൽ, ഈ പോയിൻ്റ് തുല്യതകളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു

പോയിൻ്റ് റോഡിലായതിനാൽ, പരിമിതി g(X) = 0.

മലയുടെയും റോഡിൻ്റെയും ഉദാഹരണം ആശയത്തിൻ്റെ ഒരു ദൃഷ്ടാന്തം മാത്രമാണ്; അതുപോലെ, ദ്വിമാന കേസ് വ്യക്തതയ്ക്കായി മാത്രം ഉപയോഗിക്കുന്നു. സമാനമായ രീതിയിൽപൊതുവായ, എൻ-ഡൈമൻഷണൽ കേസിലും ഒരാൾക്ക് ന്യായവാദം ചെയ്യാം.

ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവന ശരിയാണ്:

f(x 1 ,...,x n), g(x 1 ,...,x n) എന്നിവ അവയുടെ എല്ലാ ആർഗ്യുമെൻ്റുകളുടെയും തുടർച്ചയായി വ്യത്യസ്‌തമായ പ്രവർത്തനങ്ങളാണെങ്കിൽ, പ്രശ്‌നത്തിനുള്ള പരിഹാരം

f(x 1,...,x n) പരമാവധി

അത് നൽകി

g(x 1,…,x n) = 0

തുല്യതകളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു

L(x 1,...,x n;) = f(x 1,...,x n) - g(x 1,...,x n).

L(X;) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനെ വിളിക്കുന്നു ലഗ്രാഞ്ച് പ്രവർത്തനങ്ങൾ(അഥവാ ലഗ്രാൻജിയൻ) പ്രശ്നത്തിൻ്റെ (3), ഗുണകമാണ് ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ.

സമത്വം (5) എന്നത് മറ്റൊരു രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന g(X) = 0 എന്ന നിയന്ത്രണമാണ്.

മുകളിൽ പറഞ്ഞ ന്യായവാദം, തീർച്ചയായും ഇവിടെ രൂപപ്പെടുത്തിയ പ്രസ്താവനയുടെ തെളിവല്ല; ഈ രീതിയുടെ സാരാംശം മനസ്സിലാക്കാൻ മാത്രമേ അവ സഹായിക്കൂ: ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഭാഗമായ g(X) എന്ന ഘടകം സാധ്യമായ വർദ്ധനവിനെ സന്തുലിതമാക്കണം. പരമാവധി മൂല്യംപൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് ഫംഗ്ഷൻ g(X). ലഗ്രാഞ്ച് ഗുണിതത്തിൻ്റെ അർത്ഥം ചർച്ച ചെയ്യുമ്പോൾ ഈ സാഹചര്യം ഭാവിയിൽ വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാകും.

വളരെ ലളിതമായ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം. എ നീളമുള്ള ഒരു കയർ ഉപയോഗിച്ച്, കടൽത്തീരത്തെ ഏറ്റവും വലിയ പ്രദേശത്തിൻ്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഒരു പ്രദേശം നിങ്ങൾ വേലിയിറക്കേണ്ടതുണ്ട് (തീരം നേരെയായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു).

ചിത്രം.3 ഡിഡോയുടെ പ്രശ്നത്തിലേക്ക്

ദീർഘചതുരം x 1, x 2 എന്നിവയുടെ വശങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കാം (ചിത്രം 3 കാണുക). Lagrange രീതി ഉപയോഗിക്കാതെ ആദ്യം നമുക്ക് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാം.

വ്യക്തമായും, x 2 = A - 2 x 1, ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം S = x 1 x 2 = x 1 (A - 2x 1) ആണ്. ഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റ് x1 ൻ്റെ ഫംഗ്‌ഷൻ ആയി കണക്കാക്കുമ്പോൾ, ഏരിയ പരമാവധി ആയ അതിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല: x 1 = A/4. അതിനാൽ x 2 = A/2. പരമാവധി ഏരിയ S* = A 2/8 ആണ്.

ഇപ്പോൾ Lagrange പ്രശ്നത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ അതേ പ്രശ്നം പരിഗണിക്കുക:

അത് നൽകി

2 x 1 + x 2 - A = 0

ഈ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ലഗ്രാൻജിയൻ തുല്യമാണ്

L(x 1,x 2 ;) = x 1 x 2 - (2x 1 + x 2 - A),

കൂടാതെ അങ്ങേയറ്റത്തെ അവസ്ഥകൾക്ക് രൂപമുണ്ട്

2 x 1 + x 2 = എ

ഒന്നും രണ്ടും തുല്യതകളിൽ നിന്ന് x 1, x 2 എന്നീ മൂല്യങ്ങൾ മൂന്നാമത്തേതിലേക്ക് മാറ്റി, 4 = A, എവിടെ നിന്ന്

എ/4; x 1 = A/4; x 2 =A/2,

ആദ്യ പരിഹാരത്തിലെന്നപോലെ.

ഈ ഉദാഹരണം Lagrange പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു പൊതു മാർഗ്ഗം കാണിക്കുന്നു. ബന്ധങ്ങൾ (4) ഉം (5) x 1,..., x n ഒപ്പം, എന്നിവയ്‌ക്കായുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ഉണ്ടാക്കുന്നു. സിസ്റ്റത്തിൽ n + 1 സമവാക്യങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു - ഫോമിൻ്റെ (4) സമവാക്യങ്ങളും ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യവും (5). സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. ഫോമിൻ്റെ (4) സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന്, നിങ്ങൾക്ക് ഓരോ അജ്ഞാതവും x 1,..., x 2 എന്നിവയിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം, അതായത്, അതിനെ ഒരു പാരാമീറ്ററായി കണക്കാക്കി n സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റമായി പരിഹരിക്കുക. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങളെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു (5) - ഇത് പരിമിതിയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുവെന്ന് നമുക്കറിയാം - നമുക്ക് ആപേക്ഷിക സമവാക്യം ലഭിക്കും. അത് പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ, അവർ അത് കണ്ടെത്തുന്നു, അതിനുശേഷം പ്രാരംഭ അജ്ഞാതമായ x 1,..., x n നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

4. ലഗ്രാഞ്ച് ഗുണിതങ്ങളുടെ അർത്ഥം

Lagrange പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, x 1,..., x n മൂല്യങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടായിരുന്നു; കൂടാതെ, f(X) എന്ന ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അങ്ങേയറ്റത്തെ മൂല്യത്തിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടാകാം. എന്നാൽ പരിഹാര പ്രക്രിയയിൽ, മറ്റൊരു അളവിൻ്റെ മൂല്യം ഒരേസമയം നിർണ്ണയിക്കപ്പെട്ടു - ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ.

ലാഗ്രേഞ്ച് ഗുണിതം പരിഹരിക്കപ്പെടുന്ന പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട സ്വഭാവമാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. അതിൻ്റെ അർത്ഥം വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, സാരാംശത്തിൽ ഒന്നും മാറ്റാതെ നിയന്ത്രണത്തിൻ്റെ പദങ്ങൾ നമുക്ക് ചെറുതായി മാറ്റാം.

ഒരു നിശ്ചിത വിഭവത്തിൻ്റെ പരിമിതമായ തുക ഉപയോഗിച്ച് ഒരാൾ ഏറ്റവും ലാഭകരമായ പരിഹാരം തേടേണ്ട വസ്തുതയാണ് ഒരു സാധാരണ സാമ്പത്തിക സാഹചര്യത്തിൻ്റെ സവിശേഷത. r എന്നത് ഒരു റിസോഴ്സിൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത തുകയാണെങ്കിൽ, h(X) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ X പോയിൻ്റിൽ എത്താൻ ആവശ്യമായ തുകയെ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, നിയന്ത്രണത്തിന് ഫോം നൽകുന്നത് സ്വാഭാവികമാണ്.

പ്രശ്‌നത്തിൻ്റെ സ്വഭാവം കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ഒപ്റ്റിമൽ നേടുന്നതിന് വിഭവം പൂർണ്ണമായി വിനിയോഗിക്കണമെന്ന് പലപ്പോഴും വ്യക്തമാണ്, അതിനാൽ നിയന്ത്രണത്തെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം

ഈ അവസ്ഥയെ g(X) = h(X) - r = 0 എന്ന രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം. എന്നാൽ റിസോഴ്സ് r-ൻ്റെ ലഭ്യമായ തുകയെ ആശ്രയിച്ച് f(x) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരമാവധി കൈവരിക്കാവുന്ന നിലയാണ് ശ്രദ്ധേയമായത്. സൂചിപ്പിക്കാം

F(r) = max f(X) h(X) = r.

വലതു വശത്ത് - അംഗീകൃത പദവികണ്ടീഷണൽ എക്സ്ട്രീം: ലംബ വരയ്ക്ക് ശേഷം ഒരു വ്യവസ്ഥ എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

ലഗ്രാൻജിയൻ്റെ ഘടനയെക്കുറിച്ച് ചർച്ചചെയ്യുമ്പോൾ, g(X) പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യതിചലിക്കുമ്പോൾ, പരമാവധി f(X)-ൽ സാധ്യമായ വർദ്ധനവ് സന്തുലിതമാക്കുന്ന ഒരു ഘടകമായി g(X) വ്യാഖ്യാനിച്ചത് നമുക്ക് ഓർക്കാം. എന്നാൽ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് g(X) ൻ്റെ വ്യതിയാനം r-ൽ നിന്നുള്ള h(X) ൻ്റെ വ്യതിയാനമാണ്. ഒരു റിസോഴ്‌സിൻ്റെ ലഭ്യമായ തുക r കൊണ്ട് വർദ്ധിക്കുകയാണെങ്കിൽ, f(X) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരമാവധി r വർദ്ധിപ്പിക്കുമെന്ന് നമ്മൾ പ്രതീക്ഷിക്കണം.

വാസ്തവത്തിൽ, ഈ അനുപാതം ഏകദേശമാണ്. r 0 എന്ന പരിധിയിൽ നമുക്ക് കൃത്യമായ ഫലം ലഭിക്കും:

അങ്ങനെ, ഫോമിൻ്റെ (6) പരിമിതിയിലെ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന സ്ഥിരാങ്കം r മാറുമ്പോൾ, പരമാവധി ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷനിലെ മാറ്റത്തിൻ്റെ നിരക്ക് ലാഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നു.

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ പരിഗണിച്ച ഡിഡോ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പതിപ്പിൽ പരിമിതമായ വിഭവംകയറിൻ്റെ നീളം A ആയിരുന്നു. പരമാവധി വിസ്തീർണ്ണം S(A) = A 2/8 ന് തുല്യമായി മാറി. അതിനാൽ dS(A)/dA = A/4, ഇത് ലായനിയിൽ കാണുന്ന മൂല്യവുമായി കൃത്യമായി യോജിക്കുന്നു.

നമുക്ക് ഒരു ന്യായവാദം കൂടി പറയാം. സാധ്യമായ എല്ലാ പോയിൻ്റുകൾക്കും X, ഞങ്ങൾ f (X), h (X) എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയും ഈ മൂല്യങ്ങൾ പോയിൻ്റുകളുടെ രൂപത്തിൽ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റുകൾ(ചിത്രം 4). h (X) ൻ്റെ ഓരോ മൂല്യത്തിനും പരമാവധി f (X) ഫംഗ്‌ഷൻ ഉണ്ടെങ്കിൽ, എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും ഒരു നിശ്ചിത വക്രത്തിന് താഴെയായി സ്ഥിതിചെയ്യും, കട്ടിയുള്ള വരയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

h(X) = r എന്ന അവസ്ഥയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പോയിൻ്റുകളിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്. പരമാവധി f(X) പോയിൻ്റ് M* കൊണ്ട് അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു; ഈ ഘട്ടത്തിൽ വക്രത്തിൻ്റെ ചരിവ് സൂചിപ്പിക്കാം. നമ്മൾ ഓർഡിനേറ്റ് ആയി f(X) അല്ല, L(X;) = f(X) - എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, പുതിയ മുകളിലെ അതിർത്തിക്ക് M* എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഒരു തിരശ്ചീന ടാൻജെൻ്റ് ഉണ്ടായിരിക്കും. ഇതിനർത്ഥം യഥാർത്ഥ n-ഡൈമൻഷണൽ സ്‌പെയ്‌സിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന പാരാമീറ്റർ മൂല്യമുള്ള L (X;) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു നിശ്ചല പോയിൻ്റാണ് M എന്നത്. അങ്ങനെ, ലഗ്രാഞ്ച് ഗുണിതമാണ്.

എന്നാൽ കട്ടിയുള്ള കറുത്ത വക്രം F(r) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫാണ്, അത് അതിൻ്റെ ചരിവാണ്, അത് സമത്വം (7) സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

4.1 ലഗ്രാഞ്ചിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം

പ്ലെയിനിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ?(x) നൽകുകയും ഒരു വക്രം g(x) = 0 നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു എന്ന് കരുതുക. തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു വക്രത്തിലേക്ക് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ? ഒരു ബിന്ദുവിൽ അതിൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതോ കൂടിയതോ ആയാൽ, വെക്‌ടറുകൾ?() g"() എന്നിവ കോളിനിയറാണ് (രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകൾക്കും ഒരു ബിന്ദുവിൽ ഡെറിവേറ്റീവുകളുണ്ടെങ്കിൽ).

ലഗ്രാഞ്ചിൻ്റെ പൊതു സിദ്ധാന്തത്തിൽ, പ്രവർത്തനം? രണ്ടിനെയല്ല, n വേരിയബിളുകളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ പരിമിതികൾ (x)=0, i=l,..., m വ്യക്തമാക്കുന്ന നിരവധി ഫംഗ്ഷനുകൾ g(x) ഉണ്ട്. തെളിവില്ലാതെ ഞങ്ങൾ ഈ സിദ്ധാന്തം ഉപേക്ഷിക്കും, അത് നമ്മെ വളരെയധികം വഴിതെറ്റിക്കും ഗണിത വിശകലനം. മാക്സിമയും മിനിമയും കണ്ടെത്തുന്നതിൽ ഇത് എത്ര നന്നായി പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് നോക്കാം.

സിദ്ധാന്തം (പ്രകാശത്തിൻ്റെ അപവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സ്നെലിൻ്റെ നിയമം). രണ്ട് മാധ്യമങ്ങൾ ഒരു നേർരേഖയാൽ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു, ആദ്യത്തേതിൽ പ്രകാശപ്രചരണത്തിൻ്റെ വേഗത തുല്യമാണ്, രണ്ടാമത്തേതിൽ - . ഒരു പ്രകാശകിരണം ആദ്യ മാധ്യമത്തെ സാധാരണ കോണിൽ വിട്ട് രണ്ടാമത്തേത് ഒരു കോണിൽ പ്രവേശിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പിന്നെ

തെളിവ്. ഒരു വിമാനത്തിൽ ഒരു നേർരേഖ സമവാക്യം നൽകുന്നു

ഒരു വരിയിൽ അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റ് എവിടെയാണ്,

a n എന്നത് ഒരു വരിക്ക് ലംബമായ ഒരു വെക്റ്റർ ആണ്. പ്രകാശത്തിൻ്റെ ഇൻകമിംഗ് ബീമിൽ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റും റിഫ്രാക്റ്റഡ് ഒന്നിൽ ഒരു പോയിൻ്റും തിരഞ്ഞെടുക്കാം (ചിത്രം 30). ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സമയമെടുക്കുന്ന പാതയിലൂടെയാണ് പ്രകാശം എപ്പോഴും സഞ്ചരിക്കുന്നത്. ഇതിനർത്ഥം, അളവ്?(x) = ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യം എടുക്കുന്ന മീഡിയയുടെ അതിർത്തിയിൽ ഒരു പോയിൻ്റ് x കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് എന്നാണ്. ഞങ്ങൾക്ക് ചുമതല ലഭിക്കുന്നു:

g(x) = n (x--) = 0 എന്ന വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് കീഴിലുള്ള ?(x)=-min.

ലഗ്രാഞ്ചിൻ്റെ തത്വമനുസരിച്ച്, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റിൽ വെക്‌ടറുകൾ "(x), g"(x) കോളിനിയറാണ്. ഡെറിവേറ്റീവ്?(x) എന്നത് വെക്‌ടറിൻ്റെ ദൈർഘ്യം 1/ ആയ ഒരു വെക്‌ടറിൻ്റെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അത് വെക്‌ടറുമായി കോഡയറക്‌ഷണലും വെക്‌ടറുമായി കോഡയറക്ഷണലും 1/ നീളമുള്ള വെക്‌ടറും x-- വെക്‌ടറിൻ്റെ കോഡയറക്ഷണലും ആണ്. ഡെറിവേറ്റീവ് g"(x) വെക്റ്റർ n ന് തുല്യമാണ്. കോളിനിയറിറ്റി അവസ്ഥ അർത്ഥമാക്കുന്നത്, തുക + വരയ്ക്ക് ലംബമാണ്, അതായത് വെക്റ്ററുകളുടെയും ലൈനിലേക്കുള്ള പ്രൊജക്ഷനുകളും തുല്യമാണ്. അങ്ങനെ, എന്താണ് ആവശ്യമായിരുന്നത്.

ശരി, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഒരു നേർരേഖയിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലേക്കും ഒരു വിമാനത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലേക്കും ദൂരങ്ങളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ തുകയുടെ പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് വാഗ്ദാനം ചെയ്ത പരിഹാരങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കാൻ തയ്യാറാണ്.

66. പ്രശ്നം കുറഞ്ഞ തുകവിമാനത്തിൻ്റെ k പോയിൻ്റുകളിൽ നിന്ന് ലൈനിലെ ഒരു പോയിൻ്റിലേക്കുള്ള ദൂരം. ഒരു ലൈനും കെ പോയിൻ്റും ഒരു വിമാനത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഈ പോയിൻ്റുകളിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിൻ്റെ ആകെത്തുക വളരെ കുറവുള്ള ഒരു വരിയിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൻ്റെ സ്ഥാനം കണ്ടെത്തുക (അല്ലെങ്കിൽ സ്വഭാവരൂപമാക്കുക).

പരിഹാരം. ഞാൻ നൽകിയിരിക്കുന്ന വരിയും നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളും ആയിരിക്കട്ടെ. നമുക്ക് പ്രശ്നം ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത് പരിഹരിക്കാം:

?(x) = |x--|+...+|x--|^മിനിറ്റ് നൽകിയിരിക്കുന്നു g(x) = n (x--) = 0,

l വരിയിൽ ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ പോയിൻ്റ് എവിടെയാണ്, n എന്നത് ഈ രേഖയ്ക്ക് ലംബമായ ഒരു വെക്റ്റർ ആണ്. x-- വെക്‌റ്ററുമായി കോഡയറക്ഷണൽ ആയ യൂണിറ്റ് നീളമുള്ള ഒരു വെക്‌ടർ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം. പിന്നെ?"(x)=+...+, a g"(x)=n. ലഗ്രാഞ്ചിൻ്റെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റിൽ വെക്റ്റർ?(x) n ലേക്ക് കോളിനിയർ ആണ്, അതായത് l നേർരേഖയ്ക്ക് ലംബമാണ്. ഇപ്രകാരം: പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം l വരിയിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ്, അതിൽ നിന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളിലേക്ക് നയിക്കുന്ന യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകളുടെ k ലൈനിലേക്കുള്ള പ്രൊജക്ഷനുകളുടെ ആകെത്തുക പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

തന്നിരിക്കുന്ന k പോയിൻ്റുകളിൽ നിന്ന് L ലൈനിൽ കിടക്കാത്ത ഒരെണ്ണമെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, പ്രശ്‌നത്തിന് സവിശേഷമായ ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്. നിങ്ങൾ പ്രശ്നം 62-ൽ നിന്നുള്ള സാങ്കേതികത ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഇത് തെളിയിക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്. k?3 ആണെങ്കിൽ, പൊതുവേ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു കോമ്പസും റൂളറും ഉപയോഗിച്ച് അത്തരമൊരു പോയിൻ്റ് നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയില്ല (അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണക്കാക്കുന്നത് സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. ഉയർന്ന ബിരുദം). അതിനാൽ, പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ നൽകിയ മിനിമം പോയിൻ്റിൻ്റെ വിവരണത്തേക്കാൾ മികച്ചതായി ഒന്നുമില്ല.

ബഹിരാകാശത്തിലെ k പോയിൻ്റുകളിൽ നിന്ന് ഒരു നിശ്ചിത തലത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ തുകയുടെ പ്രശ്നം. ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു വിമാനവും കെ പോയിൻ്റുകളും നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഈ പോയിൻ്റുകളിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിൻ്റെ ആകെത്തുക ഏറ്റവും കുറവുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിൻ്റെ സ്ഥാനം കണ്ടെത്തുക (അല്ലെങ്കിൽ സ്വഭാവരൂപമാക്കുക).

ഈ പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമല്ല, സമാനമായ ഉത്തരത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു:

പ്ലെയിനിൻ്റെ പോയിൻ്റ് x-ൽ മിനിമം കൈവരിക്കുന്നു, ഇതിനായി x-ൽ നിന്ന് ഈ പോയിൻ്റുകളിലേക്ക് നയിക്കുന്ന k യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകളുടെ തലത്തിലേക്കുള്ള പ്രൊജക്ഷനുകളുടെ ആകെത്തുക പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

4.2 ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ രീതി

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള രീതി എഫ്(x), എവിടെ, താരതമ്യേന എംനിയന്ത്രണങ്ങൾ ഐ(x) = 0, ഐഒന്നിൽ നിന്ന് വ്യത്യാസപ്പെടുന്നു എം.

ഫോമിൻ്റെ സമത്വ നിയന്ത്രണങ്ങൾക്ക് കീഴിൽ NP പ്രശ്നം നൽകട്ടെ

ചെറുതാക്കുക (4.2.1)

നിയന്ത്രണങ്ങൾക്ക് കീഴിൽ

എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും വ്യത്യസ്തമാണെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. നമുക്ക് ഒരു കൂട്ടം വേരിയബിളുകൾ അവതരിപ്പിക്കാം (അവയുടെ എണ്ണം നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്), അവയെ വിളിക്കുന്നു ലഗ്രാഞ്ച് ഗുണിതങ്ങൾ, കൂടാതെ ഈ ഫോമിൻ്റെ ഒരു Lagrange ഫംഗ്ഷൻ രചിക്കുക:

ഈ പ്രസ്താവന ശരിയാണ്: ഒരു വെക്റ്റർ പ്രശ്നത്തിന് (4.2.1) നിയന്ത്രണങ്ങൾക്ക് (5.2.2) പരിഹാരമാകണമെങ്കിൽ, ഒരു ജോടി വെക്‌ടറുകൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു വെക്റ്റർ ഉണ്ടായിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ലളിതമായ ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് വ്യവസ്ഥകളുടെ ആവശ്യകത (4.2.4), (4.2.5) കാണിക്കാം:

ചെറുതാക്കുക (4.2.6)

നിയന്ത്രണങ്ങൾക്ക് കീഴിൽ

നിയന്ത്രണങ്ങൾ (5.2.7) സാധ്യമായ മേഖലയെ നിർവചിക്കുന്നു, ഇത് ബഹിരാകാശത്തിലെ ഒരു വക്രമാണ്, കൂടാതെ ഇത് വിഭജനത്തിൻ്റെ ഫലവുമാണ്.

പരിഗണനയിലുള്ള പ്രശ്നത്തിന് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റ്:

രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമായ.

സമവാക്യങ്ങളിലെ രണ്ട് വേരിയബിളുകൾ (4.2.7) രൂപത്തിൽ മൂന്നാമത്തേതിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, അവയെ ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് (5.2.6) മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ പ്രശ്‌നത്തെ നിയന്ത്രണങ്ങളില്ലാതെ ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രശ്‌നമാക്കി മാറ്റുന്നു, അതിൽ ഒന്ന് മാത്രം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. വേരിയബിൾ:

ചെറുതാക്കുക. (4.2.8)

ഗ്രേഡിയൻ്റുകൾ തുടർച്ചയായതും രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രവുമായതിനാൽ, നമുക്ക് വ്യക്തമായ പ്രവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൻ്റെ അറിയപ്പെടുന്ന സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കാനും നിശ്ചല പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്താനും കഴിയും.

മുകളിലുള്ള സമീപനം, തത്വത്തിൽ, സമത്വ നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ സാന്നിധ്യത്തിൽ വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ കാര്യത്തിലേക്ക് വ്യാപിപ്പിക്കാം:

ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഇംപ്ലിസിറ്റ് ഫംഗ്‌ഷൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെങ്കിൽ, വേരിയബിൾ സമവാക്യങ്ങൾ (4.2.9) ശേഷിക്കുന്ന വേരിയബിളുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാനും അവയെ മാറ്റി പകരം വയ്ക്കാനും അങ്ങനെ നിയന്ത്രിത മിനിമൈസേഷൻ പ്രശ്‌നത്തെ വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിരുപാധികമായ മിനിമൈസേഷൻ പ്രശ്‌നമാക്കി മാറ്റാനും കഴിയും. എന്നിരുന്നാലും, ഈ സമീപനം പ്രായോഗികമായി നടപ്പിലാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്, കാരണം ചില വേരിയബിളുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമവാക്യങ്ങൾ (4.2.9) പരിഹരിക്കുന്നത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. പൊതുവേ, ഇത് പൂർണ്ണമായും അസാധ്യമാണ്.

അതിനാൽ, ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ രീതിയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള മറ്റൊരു സമീപനം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

എക്സ്പ്രഷൻ (4.2.8) നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റ് ആയിരിക്കട്ടെ. പരോക്ഷമായ പ്രവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൻ്റെ അറിയപ്പെടുന്ന സിദ്ധാന്തത്തിന് അനുസൃതമായി, നമുക്ക് എഴുതാം

നിയന്ത്രണങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ സമാനമായ ബന്ധങ്ങൾ നേടുന്നു

നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങൾ (4.2.10), (4.2.11) ഒരുമിച്ച് രൂപത്തിൽ എഴുതാം

വെക്റ്റർ പൂജ്യമല്ലാത്തതിനാൽ, അത് (4.2.12) മുതൽ പിന്തുടരുന്നു. ഇതിൽ നിന്ന് വരി വെക്റ്ററുകൾ പിന്തുടരുന്നു
മെട്രിക്സ് A രേഖീയമായി ആശ്രിതമായിരിക്കണം. അതിനാൽ, 0 ന് തുല്യമല്ലാത്ത മൂന്ന് സ്കെയിലറുകൾ ഉണ്ട്

സ്കെയിലർ എഅനുമാനം അനുസരിച്ച്, രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമായതിനാൽ, 0 ന് തുല്യമാകില്ല. അതിനാൽ, (5.2.13) കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും

അതിനാൽ, പരിമിതികളുള്ള (4.2.6) ഒരു മിനിമൈസേഷൻ പ്രശ്നത്തിന് (4.2.14) സാധുതയുള്ളതും അതേ സമയം അപ്രത്യക്ഷമാകാത്തതുമായ സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്. അതിനാൽ, n=3 എന്ന കേസിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകളുടെ (4.2.4) സാധുത കാണിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, വ്യവസ്ഥകളിൽ (4.2.7) ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ (4.2.6) കണ്ടെത്തുന്നതിന്, Lagrange ഫംഗ്ഷൻ്റെ സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

ആവശ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം (4.2.14), (4.2.5) സംയുക്തമായി പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഒരു ജ്യാമിതീയ വീക്ഷണകോണിൽ, അവസ്ഥ (4.2.14) അർത്ഥമാക്കുന്നത് അത് വെക്റ്ററുകളാൽ വ്യാപിച്ചിരിക്കുന്ന തലത്തിലാണ് എന്നാണ്.

ഇപ്പോൾ ഏകപക്ഷീയമായവയുടെ പൊതുവായ കേസ് പരിഗണിക്കാം. NP പ്രശ്നം ഫോമിൽ നൽകട്ടെ (4.2.1), (4.2.2), എല്ലാ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കും സെറ്റിൽ തുടർച്ചയായ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ട്. എല്ലാ ഫംഗ്‌ഷനുകളും ഉള്ള സെറ്റിൻ്റെ ഒരു ഉപഗണമാകട്ടെ, അതായത്, അപ്പോൾ ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയറുകളെക്കുറിച്ചുള്ള ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം സാധുവാണ്.

സിദ്ധാന്തം. പറയട്ടെവ്യാഴംഓ അങ്ങനെ ഒരു പോയിൻ്റുണ്ട് , ഇതിൽ NP പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ആപേക്ഷിക തീവ്രത (5.2.1) വ്യവസ്ഥകളിൽ (4.2.2) കൈവരിക്കുന്നു. റാങ്കാണെങ്കിൽമെട്രിക്സ് പോയിൻ്റിൽ തുല്യമാണ് , പിന്നെ ഉണ്ട് സംഖ്യകൾ , ഇവയെല്ലാം ഒരേ സമയം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, അതിനായി

ഈ സിദ്ധാന്തം ലാഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ രീതിയെ ന്യായീകരിക്കുന്നു, അതിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു.

Lagrange ഫംഗ്ഷൻ രചിക്കുക

ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക

സിസ്റ്റത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക (4.2.16).

4.3 നിർണ്ണയിക്കപ്പെടാത്ത ഗുണിതങ്ങളുടെ ലഗ്രാഞ്ചിൻ്റെ രീതി

ഒപ്റ്റിമലിറ്റി മാനദണ്ഡത്തിനും സ്വതന്ത്രമായ നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ സാന്നിധ്യത്തിനും അനലിറ്റിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു. തരം വേരിയബിളുകൾതുല്യമാണ് ഒരു വിശകലന പരിഹാരം ലഭിക്കുന്നതിന്, നിയന്ത്രണങ്ങൾക്ക് ഒരു വിശകലന രൂപം ഉണ്ടായിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അനിശ്ചിതകാല ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയറുകളുടെ ഉപയോഗം, ക്ലാസിക്കൽ വിശകലനത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ പഠിക്കുന്ന രീതികൾ വഴി പരിഹരിക്കുന്ന ഒരു പ്രശ്നത്തിലേക്ക് ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ പ്രശ്നം കുറയ്ക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുന്നതിന് പരിഹരിച്ച സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ക്രമം നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ എണ്ണം വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നു. വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണം മൂന്നോ അതിൽ കുറവോ ആണെങ്കിൽ ഈ രീതി ഫലപ്രദമാണ്. പരിമിതമായ സമവാക്യങ്ങളാൽ പ്രക്രിയ വിവരിച്ചാൽ, വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണം മൂന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ ഈ രീതിയും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ബന്ധങ്ങളാൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന n വേരിയബിളുകളെ ആശ്രയിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമായിരിക്കട്ടെ. വ്യവസ്ഥകളുടെ പൂർത്തീകരണം കണക്കിലെടുത്ത് ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ നേടിയ എക്‌സ്ട്രീമിനെ ആപേക്ഷിക അല്ലെങ്കിൽ സോപാധിക എന്ന് വിളിക്കുന്നു. വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണം ബന്ധങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ (), ബന്ധങ്ങൾ വിവരിച്ച സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ ആവശ്യമായ അജ്ഞാതങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നത് ഫംഗ്ഷനുകൾക്കെതിരെ ഈ രീതിയിൽ കണ്ടെത്തിയ വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു. അതിനാൽ, വ്യവസ്ഥകളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന വേരിയബിളുകൾ എണ്ണിപ്പറഞ്ഞാൽ അതിരുകടന്ന പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാനാകും.

എങ്കിൽ എം< n , അപ്പോൾ നമുക്ക് കപ്ലിംഗ് സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ആശ്രിതത്വം കണ്ടെത്താം എംമുതൽ വേരിയബിളുകൾ n - mശേഷിക്കുന്ന വേരിയബിളുകൾ, അതായത്.

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വേരിയബിളുകൾ ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ ഫംഗ്ഷൻ ലഭിക്കും. അപ്പോൾ അത് അധിക വ്യവസ്ഥകളാൽ ബന്ധിതമല്ലാത്ത വേരിയബിളുകളെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കും. തൽഫലമായി, നിയന്ത്രണങ്ങൾ നീക്കം ചെയ്യുന്നതിലൂടെ യഥാർത്ഥ ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അളവ് കുറയ്ക്കാൻ സാധിക്കും. പലപ്പോഴും ഈ രീതിയിൽ പ്രശ്നം വിശകലനം ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. അതിനാൽ, പല വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അനിശ്ചിത ഗുണിതങ്ങളുടെ ലഗ്രാഞ്ച് രീതി സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

indefinite Lagrange multipliers എന്നറിയപ്പെടുന്ന പുതിയ വേരിയബിളുകൾ അവതരിപ്പിക്കുമ്പോൾ, ഒരു പുതിയ ഫംഗ്ഷൻ അവതരിപ്പിക്കുന്നത് സാധ്യമാകും.

ആ. പ്രവർത്തനം m+nവേരിയബിളുകൾ, അതിൽ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ സിസ്റ്റം ഏർപ്പെടുത്തിയ നിയന്ത്രണങ്ങൾ ഒരു അവിഭാജ്യ ഘടകമായി ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അങ്ങേയറ്റത്തെ മൂല്യം കൺസ്ട്രൈൻ്റ് അവസ്ഥ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അങ്ങേയറ്റത്തെ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. അനേകം വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌ട്രീമിന് ആവശ്യമായ ഒരു വ്യവസ്ഥ, ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്ട്രീമൽ പോയിൻ്റിലെ ഡിഫറൻഷ്യൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്.

സ്വതന്ത്ര ഡിഫറൻഷ്യലുകളുടെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്കായി ഈ പദപ്രയോഗം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നതിന്, ഈ ഡിഫറൻഷ്യലുകളുടെ ഗുണകങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കണം, ഇത് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനം നൽകുന്നു.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പുതിയ സ്വതന്ത്രമായവ വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു

സിസ്റ്റങ്ങളുടെ (4.3.1), (4.3.2) എന്നിവയുടെ സംയോജനം ലഭിക്കും

അങ്ങനെ, ഫോമിലെ പ്രശ്നം (4.3.3) ചുമതലയിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നു: കണ്ടെത്തുക

പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, തുടർച്ചയായ ഡെറിവേറ്റീവുകളുള്ള തുടർച്ചയായ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായി ഒരു സോപാധികമായ അസ്തിത്വത്തിൻ്റെ നിലനിൽപ്പിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾ മാത്രം കണ്ടെത്താൻ ലാഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ രീതി ഒരാളെ അനുവദിക്കുന്നുവെന്നത് പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. എന്നിരുന്നാലും, നിന്ന് ശാരീരിക അർത്ഥംപരിഹരിക്കപ്പെടുന്ന പ്രശ്നം സാധാരണയായി നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നത് പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ കുറഞ്ഞ ഫംഗ്ഷനെക്കുറിച്ചാണോ എന്ന് അറിയാം; കൂടാതെ, ഒരു ചട്ടം പോലെ, ഡിസൈൻ പ്രശ്നങ്ങളിൽ, പരിഗണനയിലുള്ള സെഗ്മെൻ്റിലെ പ്രവർത്തനം ഏകീകൃതമാണ്. അതിനാൽ, ഡിസൈൻ പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ ഉയർന്ന ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ വിശകലനം ഉപയോഗിച്ച് എക്‌സ്‌ട്രീമിനായി പരിഗണിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ കണ്ടെത്തിയ വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ പരിശോധിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല.

4.4 ദ്വിമാന കേസ്

രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ചില ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്ട്രീം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ടെന്ന് കരുതുക എഫ്(x,വൈ) w( എന്ന സമവാക്യം വ്യക്തമാക്കിയ വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് കീഴിൽ x,വൈ) = 0. എല്ലാ ഫംഗ്ഷനുകളും തുടർച്ചയായി വ്യതിരിക്തമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും, ഈ സമവാക്യം ഒരു സുഗമമായ വക്രത്തെ നിർവചിക്കുന്നു എസ്ഉപരിതലത്തിൽ ( x,വൈ). അപ്പോൾ പ്രശ്നം ഫംഗ്ഷൻ്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് കുറയുന്നു എഫ്വളവിൽ എസ്. ഞങ്ങളും അത് അനുമാനിക്കും എസ്ഗ്രേഡിയൻ്റ് ഉള്ള പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നില്ല എഫ് 0 ആയി മാറുന്നു.

ലെവൽ ലൈനുകൾ f(x,y), കർവ് എസ്

നമുക്ക് വിമാനത്തിൽ വരയ്ക്കാം ( x,വൈ) ഫംഗ്ഷൻ ലെവൽ ലൈനുകൾ എഫ്(അതായത്, വളവുകൾ എഫ്(x,വൈ) = const). ജ്യാമിതീയ പരിഗണനകളിൽ നിന്ന് ഫംഗ്ഷൻ്റെ തീവ്രത വ്യക്തമാണ് എഫ്വളവിൽ എസ്സ്പർശനങ്ങളിലേക്കുള്ള പോയിൻ്റുകൾ മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ എസ്ഒപ്പം അനുബന്ധ ലെവൽ ലൈൻ യോജിക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, കർവ് ആണെങ്കിൽ എസ്ലെവൽ ലൈൻ കടക്കുന്നു എഫ്പോയിൻ്റിൽ ( x 0 ,വൈ 0) തിരശ്ചീനമായി (അതായത്, ചില പൂജ്യമല്ലാത്ത കോണിൽ), തുടർന്ന് വളവിലൂടെ നീങ്ങുന്നു എസ്പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ( x 0 ,വൈ 0) ഒരു വലിയ മൂല്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ലെവൽ ലൈനുകളിലേക്ക് നമുക്ക് എത്തിച്ചേരാം എഫ്, കുറവ്. അതിനാൽ, അത്തരമൊരു പോയിൻ്റ് ഒരു എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റ് ആകാൻ കഴിയില്ല.

അതിനാൽ, നമ്മുടെ കാര്യത്തിൽ ഒരു തീവ്രതയ്ക്ക് ആവശ്യമായ ഒരു വ്യവസ്ഥ ടാൻജൻ്റുകളുടെ യാദൃശ്ചികതയായിരിക്കും. ഇത് വിശകലന രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ, ഇത് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രേഡിയൻ്റുകളുടെ സമാന്തരതയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. എഫ്ഈ ഘട്ടത്തിൽ w, ഗ്രേഡിയൻ്റ് വെക്റ്റർ, ലെവൽ ലൈനിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിന് ലംബമായതിനാൽ. ഈ അവസ്ഥ ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

ഇവിടെ l ഒരു പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യയാണ്, അത് ലഗ്രാഞ്ച് ഗുണിതമാണ്.

ഇനി നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷൻ, ഇതിനെ ആശ്രയിച്ച് x,വൈഒപ്പം എൽ:

എൽ(x,വൈ,l) = എഫ്(x,വൈ) ? lsh( x,വൈ)

ഗ്രേഡിയൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് എന്നതാണ് അതിൻ്റെ തീവ്രതയ്ക്ക് ആവശ്യമായ ഒരു വ്യവസ്ഥ. വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായി, അത് രൂപത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു

ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിച്ചു, അതിൽ ആദ്യത്തെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ഒരു ലോക്കൽ എക്സ്ട്രീം (1) ന് ആവശ്യമായ അവസ്ഥയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, മൂന്നാമത്തേത് w( എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്. x,വൈ) = 0. അതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം ( x 0 ,വൈ 0 ,l 0). മാത്രമല്ല, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രേഡിയൻ്റ് എഫ്നമ്മുടെ അനുമാനങ്ങൾക്ക് വിരുദ്ധമായ ഒരു ഘട്ടത്തിൽ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു. ഈ രീതിയിൽ കണ്ടെത്തിയ പോയിൻ്റുകൾ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് ( x 0 ,വൈ 0) സോപാധികമായ എക്‌സ്‌ട്രീമിൻ്റെ ആവശ്യമുള്ള പോയിൻ്റുകൾ ആയിരിക്കണമെന്നില്ല - പരിഗണിക്കുന്ന അവസ്ഥ ആവശ്യമാണ്, പക്ഷേ പര്യാപ്തമല്ല. ഒരു ഓക്സിലറി ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോപാധികമായ ഒരു എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നു എൽരണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഏറ്റവും ലളിതമായ കേസിനായി ഇവിടെ പ്രയോഗിക്കുന്ന ലാഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ രീതിയുടെ അടിസ്ഥാനം. മേൽപ്പറഞ്ഞ ന്യായവാദം കേസിനെ സാമാന്യവൽക്കരിക്കുന്നതായി മാറുന്നു ഏതെങ്കിലും നമ്പർവ്യവസ്ഥകൾ വ്യക്തമാക്കുന്ന വേരിയബിളുകളും സമവാക്യങ്ങളും

ഉപസംഹാരം

നിരന്തരം വികസിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന സമ്പദ്‌വ്യവസ്ഥയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകളുടെ ഉപയോഗം ഇപ്പോൾ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു പ്രശ്നമായി മാറിയിരിക്കുന്നു.

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ കാര്യക്ഷമതയെ ബാധിക്കുന്ന സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ലിസ്റ്റ് ചെയ്തുകൊണ്ട് ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര (പ്രതീകാത്മക) മാതൃകയുടെ നിർമ്മാണം ആരംഭിക്കാം. മൊത്തത്തിലുള്ള കാര്യക്ഷമതയുടെ അളവുകോലായി "മൊത്തം പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന ചെലവ്" ഉപയോഗിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, പ്രശ്ന രൂപീകരണ ഘട്ടത്തിൽ ലഭിച്ച ചിത്രമോ അനലോഗ് മോഡലോ പരിശോധിച്ചുകൊണ്ട് ഒരാൾക്ക് ആരംഭിക്കാം.

Lagrange മൾട്ടിപ്ലയർ രീതി സമത്വ പരിമിതികൾക്ക് കീഴിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ കുറഞ്ഞത് കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഈ രീതിയുടെ പ്രധാന ആശയം, സോപാധികമായ ഒരു എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തിൽ നിന്ന് ചില നിർമ്മിത ലാഗ്രേഞ്ച് ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിരുപാധികമായ എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തിലേക്ക് നീങ്ങുക എന്നതാണ്.

അതിനാൽ, ലാഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയറുകളുടെ രീതി വികസനം, പ്രവചനം, ഒപ്റ്റിമൽ ഓപ്ഷൻ്റെ നിർമ്മാണം, മനുഷ്യ പ്രവർത്തന മേഖല എന്നിവയിൽ ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു.

. ഉപയോഗിച്ച സാഹിത്യങ്ങളുടെ പട്ടിക

1. വി.ഐ. വാർഫോലോമിവ് "സാമ്പത്തിക വ്യവസ്ഥകളുടെ മോഡലിംഗ് ഘടകങ്ങൾ." മോസ്കോ 2000

2. ബസ്ലെങ്കോ എൻ.പി. "സങ്കീർണ്ണ സംവിധാനങ്ങളുടെ മോഡലിംഗ്" മോസ്കോ, 1999.

3. ഡബ്ല്യു. ചർച്ച്മാൻ, ആർ. അക്കോഫ്, എൽ. ആർട്ടോഫ്. "ഓപ്പറേഷൻ റിസർച്ചിന് ആമുഖം." ശാസ്ത്രം: മോസ്കോ, 1968.

4. A. Budylin "എലിമെൻ്ററി പ്രശ്നങ്ങൾ". മോസ്കോ, 2002

5. വാൻകോ വി.ഐ., എർമോഷിന ഒ.വി., കുവിർകിൻ ജി.എൻ. വേരിയഷണൽ "കാൽക്കുലസും ഒപ്റ്റിമൽ നിയന്ത്രണവും". മോസ്കോ, 1999

6. അഷ്മാനോവ് എസ്.എ., തിമോഖോവ് എ.വി. "പ്രശ്നങ്ങളിലും വ്യായാമങ്ങളിലും ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ സിദ്ധാന്തം." മോസ്കോ, 1991

7. "ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ രീതികളെക്കുറിച്ചുള്ള ലബോറട്ടറി വർക്ക്ഷോപ്പ്." A.G.Kovalenko, I.A.Vlasova, A.F.Fedechev. - സമാറ, 1998

സമാനമായ രേഖകൾ

സിസ്റ്റം നേരിട്ട് പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട് ഗുണകങ്ങൾ a[i] നിർണ്ണയിക്കുന്ന ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി - നിർണ്ണയിക്കാത്ത ഗുണകങ്ങളുടെ രീതി. ന്യൂട്ടൻ്റെ ഇൻ്റർപോളേഷൻ ഫോർമുലയും അതിൻ്റെ വകഭേദങ്ങളും. അനുസരിച്ച് ലഗ്രാഞ്ച് ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയലിൻ്റെ നിർമ്മാണം നൽകിയ പ്രവർത്തനം.

ലബോറട്ടറി ജോലി, 11/16/2015 ചേർത്തു


കോൺവെക്സിലും ലാഗ്രേഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പ്രയോഗം ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ്. ബോൾട്ട്സിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ പ്രശ്നവും വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ക്ലാസിക്കൽ കാൽക്കുലസും. ഐസോപെരിമെട്രിക് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ Euler-Lagrange സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു. സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ.

കോഴ്‌സ് വർക്ക്, 01/16/2013 ചേർത്തു


നിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നത് നിർവചനത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലൂടെയല്ല, ഒരു നിശ്ചിത വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു സെറ്റിലൂടെയാണ്. കേസ് പഠനംഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരമാവധി കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ രീതിയുടെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ.

അവതരണം, 09/17/2013 ചേർത്തു


സോപാധികവും നിരുപാധികവുമായ നോൺലീനിയർ ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ്റെ രീതികൾ. നിരുപാധികമായ ഒരു തീവ്രതയ്‌ക്കായുള്ള ഒരു പ്രവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള സംഖ്യാ രീതികൾ. സമ്മിശ്ര നിയന്ത്രണങ്ങളുള്ള ചെറുതാക്കൽ. ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സാഡിൽ പോയിൻ്റുകൾ. MS Excel, Matlab പാക്കേജുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ലബോറട്ടറി ജോലി, 07/06/2009 ചേർത്തു


ലഗ്രാഞ്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെയും അവയുടെ പ്രയോഗങ്ങളുടെയും പ്രയോജനങ്ങൾ. ഉള്ളിലെ കണക്ഷനുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം മെക്കാനിക്കൽ സിസ്റ്റം. മെക്കാനിക്കൽ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സാധ്യമായ ചലനങ്ങളും സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണവും. ഒരു മെക്കാനിക്കൽ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പഠനത്തിന് രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള ലഗ്രാഞ്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ പ്രയോഗം.

കോഴ്‌സ് വർക്ക്, 08/21/2009 ചേർത്തു


പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ലഗ്രാഞ്ചിൻ്റെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രയോഗം. ചില സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, അസമത്വങ്ങളും സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിൽ അതിൻ്റെ ഉപയോഗം. മോണോടോണിസിറ്റി അവസ്ഥ ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. വർദ്ധിച്ചുവരുന്നതോ കുറയുന്നതോ ആയ പ്രവർത്തനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം.

സംഗ്രഹം, 03/14/2013 ചേർത്തു


ലഗ്രാഞ്ച് ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയലിൻ്റെ അസ്തിത്വത്തിൻ്റെയും അതുല്യതയുടെയും തെളിവ്. ലഗ്രാൻജിയൻ ഗുണകങ്ങളുടെ ആശയം. ഒരു ഇൻ്റർപോളേറ്റിംഗ് ക്യൂബിക് സ്‌പ്ലൈനിൻ്റെ ചരിവുകൾ വ്യക്തമാക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ, വലിയ ഇടവേളകളിൽ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള അതിൻ്റെ ഉപയോഗം.

അവതരണം, 10/29/2013 ചേർത്തു


ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുന്നു. വിപുലീകരിച്ച ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ എക്സ്പ്രഷൻ. പെനാൽറ്റി ഫംഗ്ഷനുകളുടെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നത്തിൻ്റെ സംഖ്യാപരമായ പരിഹാരത്തിനുള്ള അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ സ്കീം നിരുപാധികമായ മിനിമൈസേഷൻ രീതിയുമായി സംയോജിപ്പിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നു. കൺസ്ട്രൈൻ്റ് ലൈനുകളുടെ നിർമ്മാണം.

കോഴ്‌സ് വർക്ക്, 05/04/2011 ചേർത്തു


ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ രൂപീകരണം, കുൻ, ടക്കർ അവസ്ഥകൾ. സംഖ്യാ ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ രീതികളും ഫ്ലോചാർട്ടുകളും. പെനാൽറ്റി ഫംഗ്ഷൻ രീതികളുടെ പ്രയോഗം, ബാഹ്യ പോയിൻ്റ്, കോർഡിനേറ്റ് ഡിസെൻ്റ്, സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ പ്രശ്നങ്ങൾ നിരുപാധികമായവയിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള കോൺജുഗേറ്റ് ഗ്രേഡിയൻ്റുകൾ.

കോഴ്‌സ് വർക്ക്, 11/27/2012 ചേർത്തു


തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നു. ലഗ്രാഞ്ച് ഗുണിതത്തിൻ്റെ നിർവ്വചനം. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് അപ്രത്യക്ഷമാകുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്നുള്ള ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളാണ് ക്രിട്ടിക്കൽ പോയിൻ്റുകൾ. ഏറ്റവും മഹത്തായതും ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യംഒരു സെഗ്മെൻ്റിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 1. കണക്ഷൻ സമവാക്യങ്ങൾ (3) തൃപ്‌തികരമാകുമ്പോൾ പോയിൻ്റ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിൻ്റായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ പോയിൻ്റിൽ വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്‌തികരമാകുന്ന സംഖ്യകൾ നിലവിലുണ്ട്

അനന്തരഫലം. ഇടാം

സിദ്ധാന്തത്തിൽ വ്യക്തമാക്കിയ സംഖ്യകൾ എവിടെയാണ്. ഫംഗ്ഷൻ (8) ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു പോയിൻ്റ് ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിൻ്റാണെങ്കിൽ, അത് ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിശ്ചല പോയിൻ്റാണ്, അതായത്. ഈ സമയത്ത്

സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവ്. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിൻ്റ് ആയിരിക്കട്ടെ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ വ്യക്തതയ്‌ക്കായി നിബന്ധന (4) തൃപ്തിപ്പെടുത്തട്ടെ. അപ്പോൾ പോയിൻ്റ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സാധാരണ എക്‌സ്‌ട്രീമിൻ്റെ പോയിൻ്റാണ്, അതിനാൽ പോയിൻ്റിൽ

എവിടെ നിന്ന്, ആദ്യ ഡിഫറൻഷ്യലിൻ്റെ രൂപത്തിൻ്റെ മാറ്റമില്ലാതെ, നമുക്കുള്ള പോയിൻ്റിനായി

(5) യെ (3) ആക്കി മാറ്റി, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഐഡൻ്റിറ്റിയെ പോയിൻ്റിൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത അയൽപക്കത്തിൽ വേർതിരിക്കുക, അതിനാൽ പോയിൻ്റിൽ തന്നെ, നമുക്ക് ലഭിക്കും

ഫോർമുല (11), ഫോർമുല (10) എന്നിവയിൽ, ഡിഫറൻഷ്യലുകൾ സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളുടെ വ്യത്യാസങ്ങളാണ്, കൂടാതെ ഡിഫറൻഷ്യലുകൾ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡിഫറൻഷ്യലുകളാണ്.

സംഖ്യകൾ എന്തുതന്നെയായാലും, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പോയിൻ്റിലെ സമത്വം (11) ഗുണിച്ച് അവയെ ഒരുമിച്ച് ചേർത്ത് തുല്യതയോടെ (10) നമുക്ക് ലഭിക്കും.

പോയിൻ്റിൽ തുല്യത നിലനിർത്തുന്ന തരത്തിൽ തിരഞ്ഞെടുത്തു

ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമാണ്, കാരണം (13) ഡിറ്റർമിനൻ്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് രേഖീയമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനമാണ്

പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല.

ഈ തിരഞ്ഞെടുപ്പിനൊപ്പം നമുക്കുണ്ട്

ഇവിടെ, എല്ലാ ഡിഫറൻഷ്യലുകളും സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളുടെ ഡിഫറൻഷ്യലുകളാണ്, അതിനാൽ, ഏത് മൂല്യങ്ങളും എടുക്കാൻ കഴിയുന്ന സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളാണ്. എടുക്കൽ, കൂടാതെ ഫോർമുലയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന മറ്റെല്ലാ വ്യത്യാസങ്ങളും (14), പൂജ്യത്തിന് തുല്യം, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

അങ്ങനെ, വ്യവസ്ഥകൾ (13) ഉം (15) തൃപ്‌തികരവുമായ അസ്തിത്വം ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചു, അതായത്. വ്യവസ്ഥകൾ (7).

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

Lagrange മൾട്ടിപ്ലയർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

x 1 ,x 2 ,…,x n എന്നീ വേരിയബിളുകൾ ബന്ധങ്ങളാൽ (നിയന്ത്രണങ്ങൾ) ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, n വേരിയബിളുകളുടെ f(x 1 ,x 2 ,...,x n) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമായിരിക്കട്ടെ.

അവയിൽ തുല്യത പരിമിതികളുടെ എണ്ണം m എന്നത് വേരിയബിളുകളുടെ n എന്ന സംഖ്യയേക്കാൾ കുറവാണ്, കൂടാതെ അസമത്വ നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ എണ്ണവും r ഉം ഏകപക്ഷീയമായിരിക്കാം.

മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് (x 1 ,x 2 ,...,x n )=X, അത് അനിവാര്യമായും f(X) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ തീവ്രത നൽകുന്നു, നിങ്ങൾക്ക് അനിശ്ചിത ഗുണിതങ്ങളുടെ Lagrange രീതി ഉപയോഗിക്കാം:

• 1. അസമത്വ നിയന്ത്രണങ്ങൾ g(X)0 എന്ന രൂപത്തിലേക്ക് (X)0 ആയി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു, ഇവിടെ (X) = - g(X).
• 2. അസമത്വ നിയന്ത്രണങ്ങൾ ലഭിച്ചു

+r അധിക വേരിയബിളുകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ സമത്വ പരിമിതികളിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു

തൽഫലമായി, ഒരു സോപാധികമായ അറ്റം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം കാനോനിക്കൽ രൂപമെടുക്കും:

അതിൽ m++r എന്ന ബന്ധം< n++r указывает на возможность получения множества допустимых решений, а значит, и нахождения среди них тех, которые доставляют экстремум f(X).

3. Lagrange ഫംഗ്ഷൻ സമാഹരിച്ചിരിക്കുന്നു:

Ф(x 1 ,...,x n , 1 ,…, m++r) = f(x 1 ,x 2 ,…,x n)+ 1 q 1 + 2 q 2 +…+ m++r q m++r ,

ഇതിൽ അധിക വേരിയബിളുകൾ ( 1 ,…, m++r )= നിർണ്ണയിക്കപ്പെടാത്ത ലഗ്രാഞ്ച് ഗുണിതങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർമ്മിച്ച Lagrange ഫംഗ്‌ഷനായി, നിരുപാധികമായ തീവ്രത കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്‌നം നമുക്ക് സൃഷ്ടിക്കാം

അതിൻ്റെ പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഫലം ഒരു സോപാധികമായ തീവ്രത കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള യഥാർത്ഥ പ്രശ്നത്തിന് ആവശ്യമുള്ള പരിഹാരവുമായി പൊരുത്തപ്പെടും.

4. ഫംഗ്ഷൻ Ф(Х,), ഒരു എക്സ്ട്രീം നിലനിൽപ്പിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾ തയ്യാറാക്കുന്നു:

5. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം Ф(Х,) = 0 പരിഹരിച്ചു, പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഫലമായി മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തി

തൃപ്തികരമായ ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾഒരു തീവ്രതയുടെ അസ്തിത്വം.

6. കണ്ടെത്തിയ പോയിൻ്റുകളിൽ മാക്സിമയോ മിനിമയോ ഉണ്ടോ എന്ന ചോദ്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, എക്സ്ട്രീമയുടെ നിലനിൽപ്പിന് മതിയായ വ്യവസ്ഥകൾ ഉപയോഗിക്കണം, സുഗമമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കായി Ф() ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു:

ഏതെങ്കിലും ഘട്ടത്തിൽ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ മാട്രിക്സ് പോസിറ്റീവ് ഡെഫിനിറ്റാണെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ അളവ് വിശകലനം ചെയ്ത പോയിൻ്റിലാണ് (എക്സ്).

വെക്റ്റർ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ രണ്ട് തവണ തുടർച്ചയായി വ്യത്യാസപ്പെടുത്താവുന്ന സ്കെയിലർ ഫംഗ്ഷനുകൾ അനുവദിക്കുക. ആർഗ്യുമെൻ്റ് നിയന്ത്രണ സംവിധാനത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

(അവസാന വ്യവസ്ഥകണക്ഷൻ അവസ്ഥ എന്നും വിളിക്കുന്നു).

മിക്കതും ലളിതമായ രീതിഒരു സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നത്, ഇതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കണക്ഷൻ സമവാക്യം പരിഹരിച്ച് നിരുപാധികമായ ഒരു തീവ്രത കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് പ്രശ്നം കുറയ്ക്കുക എന്നതാണ്. എംവേരിയബിളുകളും ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് അവയുടെ തുടർന്നുള്ള പകരവും.

ഉദാഹരണം 3.വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് കീഴിലുള്ള ഫംഗ്ഷൻ്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. കണക്ഷൻ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു x 2വഴി x 1ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക ചെയ്തത്:

ഈ ഫംഗ്‌ഷനിൽ ഒരൊറ്റ എക്സ്ട്രീം (മിനിമം) ഉണ്ട് x 1=2. യഥാക്രമം, x 2=1. അങ്ങനെ, തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്‌സ്‌ട്രീം (മിനിമം) പോയിൻ്റ് പോയിൻ്റാണ്.

പരിഗണിച്ച ഉദാഹരണത്തിൽ, വേരിയബിളുകളിലൊന്നുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് കപ്ലിംഗ് സമവാക്യം എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാനാകും. എന്നിരുന്നാലും, കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ സന്ദർഭങ്ങളിൽ വേരിയബിളുകൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമല്ല. അതനുസരിച്ച്, മുകളിൽ വിവരിച്ച സമീപനം എല്ലാ പ്രശ്നങ്ങൾക്കും ബാധകമല്ല.

കൂടുതൽ സാർവത്രിക രീതിഒരു സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക എന്നതാണ് ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ രീതി. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രയോഗത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. സമവാക്യങ്ങൾ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന മേഖലയിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്ട്രീം പോയിൻ്റാണ് പോയിൻ്റെങ്കിൽ, (ചിലർക്ക് അധിക വ്യവസ്ഥകൾ) അങ്ങനെയുണ്ട് എം-ഡൈമൻഷണൽ വെക്റ്റർ ആ പോയിൻ്റ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു നിശ്ചല ബിന്ദുവാണ്

ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ രീതിക്കുള്ള അൽഗോരിതം

ഘട്ടം 1. Lagrange ഫംഗ്ഷൻ രചിക്കുക:

എവിടെയാണ് ലഗ്രാഞ്ച് ഗുണിതം യോജിക്കുന്നത് ഐ-ആം നിയന്ത്രണം.

ഘട്ടം 2. ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തി അവയെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുക

ഘട്ടം 3.തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റം പരിഹരിച്ചു എൻ+എംസമവാക്യങ്ങൾ, നിശ്ചല പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.

സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റുകളിൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ തീവ്രതയ്ക്ക് ആവശ്യമായതും എന്നാൽ മതിയായതുമായ അവസ്ഥ തൃപ്തികരമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഒരു നിശ്ചല പോയിൻ്റിൻ്റെ വിശകലനം അതിൽ ഒരു തീവ്രതയുടെ സാന്നിധ്യത്തിനായി ഈ സാഹചര്യത്തിൽതികച്ചും സങ്കീർണ്ണമായ. അതിനാൽ, പഠനത്തിൻ കീഴിലുള്ള ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതോ കൂടിയതോ ആയ അസ്തിത്വം ജ്യാമിതീയമോ വസ്തുനിഷ്ഠമോ ആയ പരിഗണനകളിൽ നിന്ന് മുൻകൂട്ടി അറിയാവുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ ലാഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ രീതി പ്രധാനമായും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ചിലത് പരിഹരിക്കുമ്പോൾ സാമ്പത്തിക ചുമതലകൾലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയറുകൾക്ക് ഒരു നിശ്ചിത സെമാൻ്റിക് ഉള്ളടക്കമുണ്ട്. അതിനാൽ, എങ്കിൽ - പ്രൊഡക്ഷൻ പ്ലാൻ പ്രകാരം എൻ്റർപ്രൈസസിൻ്റെ ലാഭം എൻസാധനങ്ങൾ, - ചെലവുകൾ ഐ-th റിസോഴ്സ്, അപ്പോൾ l i- ഈ വിഭവത്തിൻ്റെ വിലയിരുത്തൽ, മാറ്റത്തെ ആശ്രയിച്ച് ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒപ്റ്റിമൽ മാറ്റത്തിൻ്റെ നിരക്ക് കാണിക്കുന്നു ഐ-th റിസോഴ്സ്.

ഉദാഹരണം 4.വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് കീഴിലുള്ള ഫംഗ്ഷൻ്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. ഫംഗ്ഷനുകൾ തുടർച്ചയായതും തുടർച്ചയായ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളുമുണ്ട്. നമുക്ക് Lagrange ഫംഗ്ഷൻ രചിക്കാം:

ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തി അവയെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കാം.

ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് നിശ്ചല പോയിൻ്റുകൾ ലഭിക്കും:

ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ സ്വഭാവം കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, അതിൻ്റെ ലെവൽ ലൈനുകൾ പ്ലെയിനുകൾ, ഫംഗ്ഷൻ (ദീർഘവൃത്തം) എന്നിവ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, പോയിൻ്റിൽ, ഫംഗ്ഷൻ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യവും പോയിൻ്റിൽ പരമാവധി മൂല്യവും എടുക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം 5.സിസ്റ്റം പരിഹാരങ്ങളുടെ മേഖലയിൽ

വ്യവസ്ഥയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരമാവധി കുറഞ്ഞ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. സാധ്യമായ പരിഹാരങ്ങളുടെ മേഖലയുടെ വിഭജനവും ഒരു നേർരേഖയും സെഗ്മെൻ്റാണ് എം.എൻ: എം(0,6), എൻ(6.0) അതിനാൽ, പ്രവർത്തനത്തിന് സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റുകളിലോ പോയിൻ്റുകളിലോ അങ്ങേയറ്റത്തെ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാം എംഒപ്പം എൻ. ഒരു നിശ്ചല പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ Lagrange രീതി പ്രയോഗിക്കുന്നു. നമുക്ക് Lagrange ഫംഗ്ഷൻ രചിക്കാം

Lagrange ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തി അവയെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കാം

സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റ് ലഭിക്കും കെ(2.2;3.8). പോയിൻ്റുകളിലെ ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യാം കെ, എം, എൻ:

അതിനാൽ,

ഉദാഹരണം 6.ഒരു പ്രത്യേക ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ വിപണി ആവശ്യം 180 കഷണങ്ങളായി അറിയപ്പെടുന്നു. വ്യത്യസ്ത സാങ്കേതികവിദ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരേ ആശങ്കയുള്ള രണ്ട് സംരംഭങ്ങൾക്ക് ഈ ഉൽപ്പന്നം നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും. ഉല്പാദനത്തിൽ x 1ആദ്യ എൻ്റർപ്രൈസസിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ, അതിൻ്റെ ചെലവ് ആയിരിക്കും തടവുക., ഉൽപ്പാദന സമയത്ത് x 2അവർ നിർമ്മിക്കുന്ന രണ്ടാമത്തെ എൻ്റർപ്രൈസ് വഴിയുള്ള ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ തടവുക.

ഓരോ സാങ്കേതികവിദ്യയും ഉപയോഗിച്ച് ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കുന്ന ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുക, അതിലൂടെ അതിൻ്റെ ഉൽപ്പാദനത്തിൻ്റെ ആകെ ചെലവ് വളരെ കുറവായിരിക്കും.

പരിഹാരം. ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃകചുമതലകൾ:

ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിന് വിധേയമാണ് x 1+ x 2=180, അതായത്. വേരിയബിളുകളുടെ നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്തതിൻ്റെ ആവശ്യകത കണക്കിലെടുക്കാതെ, ഞങ്ങൾ Lagrange ഫംഗ്ഷൻ രചിക്കുന്നു:

ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവുകളെ സംബന്ധിച്ച് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം x 1, x 2, എൽ, അവയെ 0 ന് തുല്യമാക്കുക. നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കും:

ഈ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു: , അതായത്. ഒരു എക്സ്ട്രീം എന്ന് സംശയിക്കുന്ന ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ഒരു പോയിൻ്റാണോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ ( ) ലോക്കൽ മിനിമം, ഞങ്ങൾ ഹെസ്സിയൻ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പഠിക്കുന്നു, ഇതിനായി ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു:

കാരണം

അപ്പോൾ ഹെസ്സിയൻ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പോസിറ്റീവ് ഡെഫനിറ്റാണ്; അതിനാൽ, വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനം കുത്തനെയുള്ളതും ബിന്ദുവിലുള്ളതുമാണ് ( ) ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പ്രാദേശിക മിനിമം ഉണ്ട്: