കെ വരികളും k നിരകളും (k ≤ min(m; n)) അളവുകളുടെ (m; n) മാട്രിക്സ് എയിൽ ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുക്കട്ടെ. തിരഞ്ഞെടുത്ത വരികളുടെയും നിരകളുടെയും കവലയിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന മാട്രിക്സ് ഘടകങ്ങൾ k എന്ന ക്രമത്തിൻ്റെ ഒരു ചതുര മാട്രിക്സ് ഉണ്ടാക്കുന്നു, ഇതിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റിനെ k y ഓർഡറിൻ്റെ മൈനർ M kk അല്ലെങ്കിൽ മാട്രിക്സ് A യുടെ kth ഓർഡർ മൈനർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് എന്നത് മാട്രിക്സ് എയുടെ r നോൺ സീറോ മൈനറുകളുടെ പരമാവധി ക്രമമാണ്, കൂടാതെ പൂജ്യമല്ലാത്ത r എന്ന ക്രമത്തിൻ്റെ ഏത് മൈനറും അടിസ്ഥാന മൈനറാണ്. പദവി: റിംഗ് എ = ആർ. റാങ്ങ് എ = റാംഗ് ബിയും എ, ബി മെട്രിക്സുകളുടെ വലുപ്പവും ഒന്നുതന്നെയാണെങ്കിൽ, എ, ബി മെട്രിക്സുകളെ തുല്യമെന്ന് വിളിക്കുന്നു. പദവി: എ ~ ബി.

ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന രീതികൾ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ ബോർഡർ ചെയ്യുന്ന രീതിയും രീതിയുമാണ്.

ബോർഡറിംഗ് മൈനർ രീതി

ബോർഡറിംഗ് മൈനേഴ്സ് രീതിയുടെ സാരാംശം ഇപ്രകാരമാണ്. പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ k ക്രമത്തിൻ്റെ ഒരു മൈനർ മാട്രിക്സിൽ ഇതിനകം കണ്ടെത്തിയിരിക്കട്ടെ. പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്‌തമായ kth ഓർഡറിൻ്റെ ഒരു മൈനർ (അതായത്, ബോർഡർ) അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന (അതായത്, ബോർഡർ) ഓർഡറിൻ്റെ k+1 ൻ്റെ മൈനറുകൾ മാത്രമേ ഞങ്ങൾ ചുവടെ പരിഗണിക്കൂ. അവയെല്ലാം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് k ന് തുല്യമാണ്, അല്ലാത്തപക്ഷം (k+1) ഓർഡറിൻ്റെ അതിർത്തിയിലുള്ള പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവർക്കിടയിൽ പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒന്ന് ഉണ്ടായിരിക്കുകയും മുഴുവൻ നടപടിക്രമവും ആവർത്തിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ വരികളുടെ (നിരകൾ) ലീനിയർ സ്വാതന്ത്ര്യം

മാട്രിക്സ് റാങ്ക് എന്ന ആശയം അതിൻ്റെ വരികളുടെ (നിരകൾ) രേഖീയ സ്വാതന്ത്ര്യം എന്ന ആശയവുമായി അടുത്ത ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

മാട്രിക്സ് വരികൾ:

സമത്വം ശരിയാകുന്ന തരത്തിൽ λ 1, λ 2, λ k സംഖ്യകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ രേഖീയ ആശ്രിതത്വം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു:

എല്ലാ സംഖ്യകളും λ 1 = λ 2 = … = λ k = 0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ മുകളിലുള്ള സമത്വം സാധ്യമാകൂ എങ്കിൽ മാട്രിക്സ് A യുടെ വരികളെ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമെന്ന് വിളിക്കുന്നു.

മാട്രിക്സ് A യുടെ നിരകളുടെ രേഖീയ ആശ്രിതത്വവും സ്വാതന്ത്ര്യവും സമാനമായ രീതിയിൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

മാട്രിക്സ് A യുടെ ഏതെങ്കിലും വരി (a l) (എവിടെ (a l)=(a l1 , a l2 ,..., a ln)) ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ

നിരകളുടെ രേഖീയ സംയോജനം എന്ന ആശയം സമാനമായ രീതിയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. അടിസ്ഥാന മൈനറിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം സാധുവാണ്.

അടിസ്ഥാന വരികളും അടിസ്ഥാന നിരകളും രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണ്. മാട്രിക്സ് A യുടെ ഏതൊരു വരിയും (അല്ലെങ്കിൽ കോളം) അടിസ്ഥാന വരികളുടെ (നിരകൾ) ഒരു രേഖീയ സംയോജനമാണ്, അതായത് അടിസ്ഥാന മൈനറിനെ വിഭജിക്കുന്ന വരികൾ (നിരകൾ). അങ്ങനെ, മാട്രിക്സ് A: rang A = k എന്നതിൻ്റെ റാങ്ക് മാട്രിക്സ് A യുടെ പരമാവധി രേഖീയ സ്വതന്ത്ര വരികളുടെ (നിരകൾ) തുല്യമാണ്.

ആ. ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് എന്നത് മാട്രിക്സിനുള്ളിലെ ഏറ്റവും വലിയ ചതുര മാട്രിക്സിൻ്റെ അളവാണ്, അതിനായി റാങ്ക് നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതിനായി ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല. ഒറിജിനൽ മെട്രിക്സ് ചതുരമല്ലെങ്കിൽ, അല്ലെങ്കിൽ അത് ചതുരമാണെങ്കിലും അതിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, ലോവർ ഓർഡറിൻ്റെ ചതുര മെട്രിക്സുകൾക്ക് വരികളും നിരകളും ഏകപക്ഷീയമായി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു.

ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾക്ക് പുറമേ, മെട്രിക്സിൻ്റെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര വരികളുടെയോ നിരകളുടെയോ എണ്ണം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് കണക്കാക്കാം. ഇത് രേഖീയ സ്വതന്ത്ര വരികളുടെയോ നിരകളുടെയോ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, ഏതാണ് ചെറുത്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു മാട്രിക്സിന് 3 രേഖീയ സ്വതന്ത്ര വരികളും 5 രേഖീയ സ്വതന്ത്ര നിരകളും ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ റാങ്ക് മൂന്ന് ആണ്.

ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ ബോർഡർ ചെയ്യുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച്, മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം: രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ മൈനർ

അതിർത്തിയിലുള്ള മൈനർ M 2-ഉം പൂജ്യമല്ല. എന്നിരുന്നാലും, പ്രായപൂർത്തിയാകാത്ത രണ്ടുപേരും എം 3 യുടെ അതിർത്തിയിലുള്ള നാലാമത്തെ ക്രമത്തിലാണ്.

പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, മാട്രിക്സ് എയുടെ റാങ്ക് 3 ആണ്, അടിസ്ഥാന മൈനർ, ഉദാഹരണത്തിന്, മുകളിൽ അവതരിപ്പിച്ച മൈനർ M 3 ആണ്.

ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ അതിൻ്റെ റാങ്ക് മാറ്റില്ല എന്ന വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് പ്രാഥമിക പരിവർത്തന രീതി. ഈ പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു 11, a 22, ..., a rr (r ≤min (m, n)) ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു രൂപത്തിലേക്ക് നിങ്ങൾക്ക് മാട്രിക്സ് കൊണ്ടുവരാൻ കഴിയും. ഇത് വ്യക്തമായും അർത്ഥമാക്കുന്നത് റാങ്ക് A = r എന്നാണ്. ഒരു nth-order മാട്രിക്‌സിന് മുകളിലെ ത്രികോണ മാട്രിക്‌സിൻ്റെ രൂപമുണ്ടെങ്കിൽ, അതായത്, പ്രധാന ഡയഗണലിന് കീഴിലുള്ള എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു മാട്രിക്‌സ് ആണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ നിർവചനം പ്രധാന ഡയഗണലിലെ മൂലകങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്. . പ്രാഥമിക പരിവർത്തന രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് കണക്കാക്കുമ്പോൾ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കാം: മാട്രിക്സ് ഒരു ത്രികോണമായി കുറയ്ക്കുന്നതിന് അവ ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, തുടർന്ന്, അനുബന്ധ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് തിരഞ്ഞെടുത്ത്, മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ പ്രധാന ഡയഗണലിൻ്റെ മൂലകങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.

പ്രാഥമിക പരിവർത്തന രീതി ഉപയോഗിച്ച്, മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം α i എന്ന മാട്രിക്സ് A യുടെ i-th വരിയെ നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം. ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, ഞങ്ങൾ പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തും

രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽ, ഞങ്ങൾ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നു

അതിൻ്റെ ഫലമായി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

ചില സംഖ്യകൾ എവിടെയാണ് (ഈ സംഖ്യകളിൽ ചിലത് അല്ലെങ്കിൽ അവയെല്ലാം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കാം). നിരകളുടെ ഘടകങ്ങൾക്കിടയിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യതകൾ ഉണ്ടെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം:

(3.3.1) മുതൽ അത് പിന്തുടരുന്നു

സമത്വം (3.3.3) ആണെങ്കിൽ മാത്രം ശരിയാണെങ്കിൽ, വരികളെ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമെന്ന് വിളിക്കുന്നു. റിലേഷൻ (3.3.2) കാണിക്കുന്നത്, വരികളിലൊന്ന് മറ്റുള്ളവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ രേഖീയമായി പ്രകടിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, വരികൾ രേഖീയമായി ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

വിപരീതമായി കാണുന്നത് എളുപ്പമാണ്: സ്ട്രിംഗുകൾ രേഖീയമായി ആശ്രിതമാണെങ്കിൽ, ശേഷിക്കുന്ന സ്ട്രിംഗുകളുടെ രേഖീയ സംയോജനമായ ഒരു സ്ട്രിംഗ് ഉണ്ട്.

ഉദാഹരണത്തിന്, (3.3.3) ൽ അനുവദിക്കുക .

നിർവ്വചനം. മാട്രിക്സ് A-ൽ ഒരു നിശ്ചിത r-th ഓർഡർ മൈനർ തിരിച്ചറിയട്ടെ, അതേ മാട്രിക്സിൻ്റെ (r+1)-th ഓർഡർ മൈനറിൽ മൈനർ പൂർണ്ണമായും അടങ്ങിയിരിക്കട്ടെ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മൈനർ മൈനറിൻ്റെ അതിർത്തിയാണെന്ന് ഞങ്ങൾ പറയും (അല്ലെങ്കിൽ ബോർഡറാണ്).

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഒരു പ്രധാന ലെമ്മ തെളിയിക്കും.

ലെമ്മപ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ കുറിച്ച്. മാട്രിക്സ് A= ൻ്റെ ഒരു മൈനർ ഓർഡർ r പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ അതിർത്തിയിലുള്ള എല്ലാ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, മാട്രിക്സ് A യുടെ ഏത് വരിയും (നിര) അതിൻ്റെ വരികളുടെ (നിരകളുടെ) രേഖീയ സംയോജനമാണ് .

തെളിവ്. ന്യായവാദത്തിൻ്റെ സാമാന്യത നഷ്‌ടപ്പെടാതെ, rth ക്രമത്തിൻ്റെ പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒരു മൈനർ മാട്രിക്‌സ് A =:

.

മാട്രിക്സ് A യുടെ ആദ്യ k വരികൾക്ക്, ലെമ്മയുടെ പ്രസ്താവന വ്യക്തമാണ്: ഒരു രേഖീയ സംയോജനത്തിൽ ഒരേ വരി ഒന്നിന് തുല്യമായ ഒരു ഗുണകവും ബാക്കിയുള്ളവ - പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ ഗുണകങ്ങളും ഉൾപ്പെടുത്തിയാൽ മതി.

മാട്രിക്സ് A യുടെ ശേഷിക്കുന്ന വരികൾ ആദ്യ k വരികളിലൂടെ രേഖീയമായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ തെളിയിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, മൈനറിലേക്ക് kth ലൈൻ () ചേർത്ത് ഞങ്ങൾ (r+1) ക്രമത്തിൻ്റെ ഒരു മൈനർ നിർമ്മിക്കുന്നു. എൽമത്തെ കോളം():

.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൈനർ എല്ലാ k, l എന്നിവയ്ക്കും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. എങ്കിൽ, രണ്ട് സമാന നിരകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതിനാൽ അത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. എങ്കിൽ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൈനർ ഒരു എഡ്ജ് മൈനറാണ്, അതിനാൽ, ലെമ്മയുടെ വ്യവസ്ഥകൾ പ്രകാരം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

അവസാനത്തെ മൂലകങ്ങൾക്കനുസരിച്ച് മൈനറിനെ വിഘടിപ്പിക്കാം എൽമത്തെ കോളം:

ഊഹിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

(3.3.6)

എക്സ്പ്രഷൻ (3.3.6) എന്നാൽ മാട്രിക്സ് A യുടെ kth വരി ആദ്യ r വരികളിലൂടെ രേഖീയമായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു എന്നാണ്.

ഒരു മാട്രിക്സ് കൈമാറ്റം ചെയ്യുമ്പോൾ, അതിൻ്റെ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ മൂല്യങ്ങൾ മാറില്ല (ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളുടെ സ്വത്ത് കാരണം), തുടർന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ടതെല്ലാം നിരകൾക്കും ശരിയാണ്. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

പരിണതഫലം I. ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ ഏത് വരിയും (നിര) അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാന വരികളുടെ (നിരകൾ) ഒരു രേഖീയ സംയോജനമാണ്. തീർച്ചയായും, മാട്രിക്സിൻ്റെ അടിസ്ഥാന മൈനർ പൂജ്യമല്ല, അതിൻ്റെ അതിർത്തിയിലുള്ള എല്ലാ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഫലം II. ഒരു nth ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിൽ രേഖീയമായി ആശ്രിത വരികൾ (നിരകൾ) ഉണ്ടെങ്കിൽ മാത്രം. ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുന്നതിന് വരികളുടെ (നിരകൾ) രേഖീയ ആശ്രിതത്വത്തിൻ്റെ പര്യാപ്തത ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളുടെ ഒരു സ്വത്തായി നേരത്തെ തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരുന്നു.

ആവശ്യം തെളിയിക്കാം. മൈനർ പൂജ്യം മാത്രമുള്ള n-ആം ക്രമത്തിൻ്റെ ഒരു ചതുര മാട്രിക്സ് നമുക്ക് നൽകാം. ഈ മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് n-നേക്കാൾ കുറവാണ്, അതായത്. ഈ മാട്രിക്സിൻ്റെ അടിസ്ഥാന വരികളുടെ രേഖീയ സംയോജനമായ ഒരു വരിയെങ്കിലും ഉണ്ട്.

മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്കിനെക്കുറിച്ചുള്ള മറ്റൊരു സിദ്ധാന്തം നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

സിദ്ധാന്തം.ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര വരികളുടെ പരമാവധി എണ്ണം അതിൻ്റെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര നിരകളുടെ പരമാവധി എണ്ണത്തിന് തുല്യവും ഈ മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്കിന് തുല്യവുമാണ്.

തെളിവ്. മാട്രിക്സ് A= ൻ്റെ റാങ്ക് r ന് തുല്യമായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ അതിൻ്റെ k അടിസ്ഥാന വരികളിൽ ഏതെങ്കിലും രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമായിരിക്കും, അല്ലാത്തപക്ഷം അടിസ്ഥാന മൈനർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും. മറുവശത്ത്, ഏതെങ്കിലും r+1 അല്ലെങ്കിൽ അതിൽ കൂടുതൽ വരികൾ രേഖീയമായി ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. നേരെമറിച്ച് അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, മുൻ ലെമ്മയുടെ കോറോളറി 2 പ്രകാരം പൂജ്യമല്ലാത്ത r-നേക്കാൾ വലിയ ക്രമത്തിൻ്റെ ഒരു മൈനർ നമുക്ക് കണ്ടെത്താനാകും. രണ്ടാമത്തേത് പൂജ്യമല്ലാത്ത പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ പരമാവധി ക്രമം r ആണ് എന്ന വസ്തുതയ്ക്ക് വിരുദ്ധമാണ്. വരികൾക്കായി തെളിയിക്കപ്പെട്ടതെല്ലാം നിരകൾക്കും ശരിയാണ്.

ഉപസംഹാരമായി, ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു രീതി ഞങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തും. പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്‌തമായ പരമാവധി ക്രമത്തിൻ്റെ ഒരു മൈനർ കണ്ടെത്തുന്നതിലൂടെ ഒരു മാട്രിക്‌സിൻ്റെ റാങ്ക് നിർണ്ണയിക്കാനാകും.

ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, ഇതിന് ഒരു പരിമിതമായ കണക്കുകൂട്ടൽ ആവശ്യമാണ്, പക്ഷേ ഈ മാട്രിക്സിൻ്റെ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ എണ്ണം വളരെ കൂടുതലായിരിക്കാം.

എന്നിരുന്നാലും, ഇതിൽ കാര്യമായ ലളിതവൽക്കരണങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കാൻ ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം അനുവദിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം.മാട്രിക്സ് A യുടെ മൈനർ പൂജ്യമല്ലെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ അതിർത്തിയിലുള്ള എല്ലാ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് r-ന് തുല്യമാണ്.

തെളിവ്. S>r എന്നതിനായുള്ള മാട്രിക്സ് വരികളുടെ ഏതെങ്കിലും ഉപസിസ്റ്റം സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് കീഴിൽ രേഖീയമായി ആശ്രയിക്കുമെന്ന് കാണിച്ചാൽ മതിയാകും (r എന്നത് ലീനിയർ ഇൻഡിപെൻഡൻ്റ് മാട്രിക്സ് വരികളുടെ പരമാവധി എണ്ണം അല്ലെങ്കിൽ അതിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും മൈനർ ഓർഡറുകളിൽ k നേക്കാൾ വലുതാണ്. പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്).

നമുക്ക് വിപരീതമായി അനുമാനിക്കാം. വരികൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമായിരിക്കട്ടെ. ബോർഡർ ചെയ്യുന്ന പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെക്കുറിച്ചുള്ള ലെമ്മ പ്രകാരം, അവ ഓരോന്നും മൈനർ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന വരികളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ രേഖീയമായി പ്രകടിപ്പിക്കും, അവ പൂജ്യമല്ലാത്തതിനാൽ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണ്:

ഇപ്പോൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രേഖീയ സംയോജനം പരിഗണിക്കുക:

അല്ലെങ്കിൽ

(3.3.7), (3.3.8) എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ലഭിക്കും

,

ഇത് രേഖീയ വരി സ്വാതന്ത്ര്യത്തിന് വിരുദ്ധമാണ്.

തൽഫലമായി, ഞങ്ങളുടെ അനുമാനം തെറ്റാണ്, അതിനാൽ, സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് കീഴിലുള്ള ഏതെങ്കിലും S>r വരികൾ രേഖീയമായി ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

ഈ സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം - പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ അതിർത്തിയാക്കുന്നതിനുള്ള രീതി.

ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് കണക്കാക്കുമ്പോൾ, താഴ്ന്ന ഓർഡറുകളുടെ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരിൽ നിന്ന് ഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരിലേക്ക് മാറണം. പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്‌തമായ rth ഓർഡറിൻ്റെ ഒരു മൈനർ ഇതിനകം കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, മൈനറിൻ്റെ അതിർത്തിയിലുള്ള (r+1)മത്തെ ഓർഡറിൻ്റെ മൈനറുകൾ മാത്രം കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അവ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് r ന് തുല്യമാണ്. ഞങ്ങൾ മെട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് കണക്കാക്കുക മാത്രമല്ല, മെട്രിക്സിൻ്റെ അടിസ്ഥാന മൈനർ ഏത് നിരകൾ (വരികൾ) ആണെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്താൽ ഈ രീതിയും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം. ബോർഡറിംഗ് മൈനേഴ്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് കണക്കാക്കുക

പരിഹാരം. മാട്രിക്സ് എയുടെ മുകളിൽ ഇടത് കോണിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ മൈനർ പൂജ്യമല്ല:

.

എന്നിരുന്നാലും, അതിൻ്റെ അതിർത്തിയിലുള്ള എല്ലാ മൂന്നാം-ക്രമ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്:

;	;
;	;
;	.

അതിനാൽ, മാട്രിക്സ് എയുടെ റാങ്ക് രണ്ടിന് തുല്യമാണ്: .

ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും വരികൾ, ഈ മാട്രിക്സിലെ ഒന്നും രണ്ടും നിരകൾ അടിസ്ഥാനപരമാണ്. ശേഷിക്കുന്ന വരികളും നിരകളും അവയുടെ രേഖീയ സംയോജനമാണ്. വാസ്തവത്തിൽ, താഴെപ്പറയുന്ന തുല്യതകൾ സ്ട്രിംഗുകൾക്കായി നിലനിർത്തുന്നു:

ഉപസംഹാരമായി, ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുടെ സാധുത ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു:

1) മെട്രിക്സുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ റാങ്ക് ഓരോ ഘടകങ്ങളുടെയും റാങ്കിനേക്കാൾ വലുതല്ല;

2) അനിയന്ത്രിതമായ മാട്രിക്സ് A യുടെ ഗുണനത്തിൻ്റെ റാങ്ക് വലത്തോട്ടും ഇടത്തോട്ടും ഒരു ഏകവചനമല്ലാത്ത ചതുര മാട്രിക്സ് Q എന്നത് മാട്രിക്സ് A യുടെ റാങ്കിന് തുല്യമാണ്.

പോളിനോമിയൽ മെട്രിക്സ്

നിർവ്വചനം. ഒരു പോളിനോമിയൽ മാട്രിക്സ് അല്ലെങ്കിൽ -മാട്രിക്സ് എന്നത് ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള മാട്രിക്സാണ്, അതിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു വേരിയബിളിലെ പോളിനോമിയലുകളാണ്.

പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ -മെട്രിക്സിൽ നടത്താം. ഇവ ഉൾപ്പെടുന്നു:

രണ്ട് വരികൾ (നിരകൾ) പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നു;

പൂജ്യം അല്ലാതെ മറ്റൊരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഒരു വരി (നിര) ഗുണിക്കുക;

ഒരു നിരയിലേക്ക് (നിര) മറ്റൊരു വരി (നിര) ചേർക്കുന്നത് ഏതെങ്കിലും ബഹുപദത്താൽ ഗുണിച്ചാൽ.

രണ്ട് -മെട്രിക്സുകളും ഒരേ വലിപ്പവും തുല്യമാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു: , ഒരാൾക്ക് മാട്രിക്സിൽ നിന്ന് പരിമിതമായ എലിമെൻ്ററി പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാനാകുമെങ്കിൽ.

ഉദാഹരണം. മാട്രിക്സ് തുല്യത തെളിയിക്കുക

,

.

1. മാട്രിക്സിലെ ഒന്നും രണ്ടും നിരകൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്യുക:

.

2. രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ നിന്ന്, ആദ്യത്തേത് കുറയ്ക്കുക, ഗുണിച്ച് ():

.

3. രണ്ടാമത്തെ വരിയെ (–1) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, അത് ശ്രദ്ധിക്കുക

.

4. രണ്ടാമത്തെ നിരയിൽ നിന്ന് ആദ്യത്തേത് കുറയ്ക്കുക, ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും

.

നൽകിയിരിക്കുന്ന വലുപ്പത്തിലുള്ള എല്ലാ -മെട്രിക്സുകളുടെയും സെറ്റ് തുല്യമായ മെട്രിക്സുകളുടെ വിഭജിത ക്ലാസുകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. പരസ്പരം തുല്യമായ മെട്രിക്സുകൾ ഒരു ക്ലാസും തുല്യമല്ലാത്തവ മറ്റൊരു വിഭാഗവും ഉണ്ടാക്കുന്നു.

തത്തുല്യമായ മെട്രിക്സുകളുടെ ഓരോ ക്ലാസും നൽകിയിരിക്കുന്ന അളവുകളുടെ ഒരു കാനോനിക്കൽ അല്ലെങ്കിൽ സാധാരണ മാട്രിക്സാണ്.

നിർവ്വചനം. കാനോനിക്കൽ, അല്ലെങ്കിൽ സാധാരണ, അളവുകളുടെ മാട്രിക്സ് ഒരു മാട്രിക്സ് ആണ്, അതിൻ്റെ പ്രധാന ഡയഗണലിൽ ബഹുപദങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, ഇവിടെ p എന്നത് m, n എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ചെറുതാണ് ( ), പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത പോളിനോമിയലുകൾക്ക് ലീഡിംഗ് ഗുണകങ്ങൾ 1 ന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ തുടർന്നുള്ള ഓരോ പോളിനോമിയലും മുമ്പത്തേത് കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. പ്രധാന ഡയഗണലിന് പുറത്തുള്ള എല്ലാ ഘടകങ്ങളും 0 ആണ്.

പോളിനോമിയലുകൾക്കിടയിൽ ഡിഗ്രി പൂജ്യത്തിൻ്റെ പോളിനോമിയലുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അവ പ്രധാന ഡയഗണലിൻ്റെ തുടക്കത്തിലാണെന്ന് നിർവചനം പിന്തുടരുന്നു. പൂജ്യങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അവ പ്രധാന ഡയഗണലിൻ്റെ അവസാനത്തിലാണ്.

മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ് കാനോനിക്കൽ ആണ്. മാട്രിക്സ്

കാനോനികവും.

-മെട്രിക്സിൻ്റെ ഓരോ ക്ലാസിലും ഒരു അദ്വിതീയ കാനോനിക്കൽ -മാട്രിക്സ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതായത്. ഓരോ -മാട്രിക്സും ഒരു അദ്വിതീയ കാനോനിക്കൽ മാട്രിക്സിന് തുല്യമാണ്, അതിനെ കാനോനിക്കൽ ഫോം അല്ലെങ്കിൽ ആ മാട്രിക്സിൻ്റെ സാധാരണ രൂപം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

തന്നിരിക്കുന്ന -മാട്രിക്സിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഡയഗണലിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ബഹുപദങ്ങളെ ഈ മാട്രിക്സിൻ്റെ മാറ്റമില്ലാത്ത ഘടകങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

മാറ്റമില്ലാത്ത ഘടകങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി, തന്നിരിക്കുന്ന -മാട്രിക്സ് കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുക എന്നതാണ്.

അതിനാൽ, മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സിന്, മാറ്റമില്ലാത്ത ഘടകങ്ങൾ

മേൽപ്പറഞ്ഞതിൽ നിന്ന്, ഒരേ കൂട്ടം മാറ്റമില്ലാത്ത ഘടകങ്ങളുടെ സാന്നിധ്യം -മെട്രിക്സുകളുടെ തുല്യതയ്ക്ക് ആവശ്യമായതും മതിയായതുമായ ഒരു വ്യവസ്ഥയാണ്.

കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് -മാട്രിക്സ് കുറയ്ക്കുന്നത് മാറ്റമില്ലാത്ത ഘടകങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു

, ; ,

ഇവിടെ r എന്നത് മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്കാണ്; - kth ഓർഡർ മൈനറുകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം, ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് 1 ന് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം. നൽകട്ടെ -മാട്രിക്സ്

.

പരിഹാരം. വ്യക്തമായും, ആദ്യ ക്രമത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം, അതായത്. .

നമുക്ക് രണ്ടാം ഓർഡർ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ നിർവചിക്കാം:

,

മുതലായവ

ഒരു നിഗമനത്തിലെത്താൻ ഇതിനകം തന്നെ ഈ ഡാറ്റ മതിയാകും: അതിനാൽ, .

ഞങ്ങൾ നിർവചിക്കുന്നു

,

അതിനാൽ, .

അതിനാൽ, ഈ മാട്രിക്സിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപം ഇനിപ്പറയുന്ന -മാട്രിക്സ് ആണ്:

.

ഒരു മാട്രിക്സ് പോളിനോമിയൽ രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു ആവിഷ്കാരമാണ്

വേരിയബിൾ എവിടെയാണ്; - സംഖ്യാ ഘടകങ്ങളുള്ള n എന്ന ക്രമത്തിൻ്റെ ചതുര മെട്രിക്സ്.

എങ്കിൽ, S നെ മാട്രിക്സ് പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഡിഗ്രി എന്ന് വിളിക്കുന്നു, n എന്നത് മാട്രിക്സ് പോളിനോമിയലിൻ്റെ ക്രമമാണ്.

ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് -മാട്രിക്സിനെയും മാട്രിക്സ് പോളിനോമിയൽ ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. വ്യക്തമായും, വിപരീത പ്രസ്താവനയും ശരിയാണ്, അതായത്. ഏതെങ്കിലും മാട്രിക്സ് പോളിനോമിയലിനെ ഒരു ചതുര മാട്രിക്സ് ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം.

ഈ പ്രസ്താവനകളുടെ സാധുത മെട്രിക്സുകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സവിശേഷതകളിൽ നിന്ന് വ്യക്തമായി പിന്തുടരുന്നു. ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

ഉദാഹരണം. ഒരു പോളിനോമിയൽ മാട്രിക്‌സിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുക

ഒരു മാട്രിക്സ് പോളിനോമിയലിൻ്റെ രൂപത്തിൽ താഴെ പറയുന്നു

.

ഉദാഹരണം. മാട്രിക്സ് ബഹുപദം

ഇനിപ്പറയുന്ന ബഹുപദ മാട്രിക്സ് (-മാട്രിക്സ്) ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം

.

ഫാക്ടർ, ഘടക വിശകലന രീതികളുടെ ഗണിത ഉപകരണത്തിൽ മാട്രിക്സ് പോളിനോമിയലുകളുടെയും പോളിനോമിയൽ മെട്രിക്സുകളുടെയും ഈ പരസ്പര കൈമാറ്റം ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു.

സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങളുള്ള സാധാരണ പോളിനോമിയലുകൾ പോലെ ഒരേ ക്രമത്തിലുള്ള മാട്രിക്സ് പോളിനോമിയലുകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും ഗുണിക്കാനും കഴിയും. എന്നിരുന്നാലും, മാട്രിക്സ് പോളിനോമിയലുകളുടെ ഗുണനം, പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് അല്ല, കാരണം മാട്രിക്സ് ഗുണനം കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് അല്ല.

രണ്ട് മാട്രിക്സ് പോളിനോമിയലുകൾ അവയുടെ ഗുണകങ്ങൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ തുല്യമാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു, അതായത്. വേരിയബിളിൻ്റെ അതേ ശക്തികൾക്കുള്ള അനുബന്ധ മെട്രിക്സ്.

രണ്ട് മാട്രിക്സ് പോളിനോമിയലുകളുടെ ആകെത്തുക (വ്യത്യാസം) ഒരു മാട്രിക്സ് പോളിനോമിയലാണ്, വേരിയബിളിൻ്റെ ഓരോ ഡിഗ്രിയുടെയും ഗുണകം പോളിനോമിയലുകളിലെ അതേ ഡിഗ്രിയിലെ ഗുണകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക (വ്യത്യാസം) തുല്യമാണ്.

ഒരു മാട്രിക്സ് പോളിനോമിയലിനെ ഒരു മാട്രിക്സ് പോളിനോമിയൽ കൊണ്ട് ഗുണിക്കാൻ, നിങ്ങൾ മാട്രിക്സ് പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഓരോ പദത്തെയും മാട്രിക്സ് പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഓരോ പദവും കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ചേർത്ത് സമാന പദങ്ങൾ കൊണ്ടുവരണം.

ഘടകങ്ങളുടെ ഡിഗ്രികളുടെ ആകെത്തുകയേക്കാൾ കുറവോ തുല്യമോ ആയ ഒരു ഉൽപ്പന്നമാണ് മാട്രിക്സ് പോളിനോമിയലിൻ്റെ ബിരുദം.

മാട്രിക്സ് പോളിനോമിയലുകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ അനുബന്ധ -മെട്രിക്സുകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നടത്താം.

മാട്രിക്സ് പോളിനോമിയലുകൾ ചേർക്കാൻ (കുറയ്ക്കാൻ), അനുബന്ധ -മെട്രിക്സുകൾ ചേർത്താൽ (കുറയ്ക്കുക) മതി. ഗുണനത്തിനും ഇത് ബാധകമാണ്. മാട്രിക്സ് പോളിനോമിയലുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ -മാട്രിക്സ് ഘടകങ്ങളുടെ -മെട്രിക്സിൻ്റെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്.

മറുവശത്ത്, കൂടാതെ ഫോമിൽ എഴുതാം

ഇവിടെ B 0 എന്നത് ഏകമല്ലാത്ത ഒരു മാട്രിക്‌സ് ആണ്.

വിഭജിക്കുമ്പോൾ ഒരു അദ്വിതീയ വലത് ഘടകവും വലത് ശേഷിപ്പും ഉണ്ടാകും

R 1 ൻ്റെ ബിരുദം ഡിഗ്രിയേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ , അല്ലെങ്കിൽ (ബാക്കി ഇല്ലാത്ത വിഭജനം), അതുപോലെ ഇടത് ഘടകവും ഇടത് ശേഷിയും എങ്കിൽ മാത്രം, ക്രമമുണ്ടെങ്കിൽ മാത്രം

മാട്രിക്സിൻ്റെ വരികളും നിരകളും അളവുകളുടെ ഗണിത വെക്റ്ററുകളായി കണക്കാക്കാമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. എംഒപ്പം എൻ, യഥാക്രമം. അങ്ങനെ, വലിപ്പം മാട്രിക്സ് ഒരു സെറ്റ് ആയി വ്യാഖ്യാനിക്കാം എം എൻ-ഡൈമൻഷണൽ അല്ലെങ്കിൽ എൻ എം-ഡൈമൻഷണൽ അരിത്മെറ്റിക് വെക്റ്ററുകൾ. ജ്യാമിതീയ വെക്റ്ററുകളുമായുള്ള സാമ്യം വഴി, ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ വരികളുടെയും നിരകളുടെയും രേഖീയ ആശ്രിതത്വത്തിൻ്റെയും രേഖീയ സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെയും ആശയങ്ങൾ ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

4.8.1. നിർവ്വചനം. ലൈൻ
വിളിച്ചു സ്ട്രിംഗുകളുടെ രേഖീയ സംയോജനംസാധ്യതകളോടെ
, ഈ വരിയുടെ എല്ലാ ഘടകങ്ങൾക്കും ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യത ഉണ്ടെങ്കിൽ:

,
.

4.8.2. നിർവ്വചനം.

സ്ട്രിംഗുകൾ
വിളിക്കപ്പെടുന്നു രേഖീയമായി ആശ്രയിക്കുന്നത്, പൂജ്യം വരിക്ക് തുല്യമായ ഒരു നോൺ-ട്രിവിയൽ ലീനിയർ കോമ്പിനേഷൻ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതായത്. എല്ലാം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത സംഖ്യകളുണ്ട്

,
.

4.8.3. നിർവ്വചനം.

സ്ട്രിംഗുകൾ
വിളിക്കപ്പെടുന്നു രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമായ, അവരുടെ നിസ്സാരമായ രേഖീയ സംയോജനം പൂജ്യം വരിക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അതായത്.

,

4.8.4. സിദ്ധാന്തം. (മാട്രിക്സ് വരികളുടെ രേഖീയ ആശ്രിതത്വത്തിനുള്ള മാനദണ്ഡം)

വരികൾ രേഖീയമായി ആശ്രയിക്കുന്നതിന്, അവയിലൊന്നെങ്കിലും മറ്റുള്ളവയുടെ രേഖീയ സംയോജനമായിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യവും പര്യാപ്തവുമാണ്.

തെളിവ്:

ആവശ്യം.വരികൾ വരട്ടെ
രേഖീയമായി ആശ്രിതമാണ്, അപ്പോൾ പൂജ്യം വരിക്ക് തുല്യമായ ഒരു നോൺട്രിവിയൽ ലീനിയർ കോമ്പിനേഷൻ ഉണ്ട്:

.

സാമാന്യത നഷ്‌ടപ്പെടാതെ, ലീനിയർ കോമ്പിനേഷൻ്റെ ഗുണകങ്ങളിൽ ആദ്യത്തേത് പൂജ്യമല്ലെന്ന് കരുതുക (അല്ലെങ്കിൽ, വരികൾ പുനർനാമകരണം ചെയ്യാം). ഈ അനുപാതം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു , നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

,

അതായത്, ആദ്യ വരി മറ്റുള്ളവരുടെ രേഖീയ സംയോജനമാണ്.

പര്യാപ്തത.ഉദാഹരണത്തിന്, വരികളിലൊന്ന് അനുവദിക്കുക. , മറ്റുള്ളവയുടെ ഒരു രേഖീയ സംയോജനമാണ്, അപ്പോൾ

അതായത്, സ്ട്രിംഗുകളുടെ നിസ്സാരമല്ലാത്ത രേഖീയ സംയോജനമുണ്ട്
, പൂജ്യം സ്ട്രിങ്ങിന് തുല്യം:

അതായത് വരികൾ
രേഖീയമായി ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അതാണ് തെളിയിക്കേണ്ടത്.

അഭിപ്രായം.

മാട്രിക്സിൻ്റെ നിരകൾക്ക് സമാനമായ നിർവചനങ്ങളും പ്രസ്താവനകളും രൂപപ്പെടുത്താവുന്നതാണ്.

§4.9. മാട്രിക്സ് റാങ്ക്.

4.9.1. നിർവ്വചനം. മൈനർഓർഡർ മെട്രിക്സ് വലിപ്പം
ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു അതിൽ ചിലതിൻ്റെ കവലയിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന മൂലകങ്ങളോടൊപ്പം വരികളും നിരകൾ.

4.9.2. നിർവ്വചനം. പൂജ്യമല്ലാത്ത മൈനർ ഓർഡർ മെട്രിക്സ് വലിപ്പം
വിളിച്ചു അടിസ്ഥാന പ്രായപൂർത്തിയാകാത്ത, മാട്രിക്സിലെ എല്ലാ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരും ക്രമത്തിലാണെങ്കിൽ
പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

അഭിപ്രായം. ഒരു മാട്രിക്സിന് നിരവധി അടിസ്ഥാന മൈനറുകൾ ഉണ്ടാകാം. വ്യക്തമായും, അവയെല്ലാം ഒരേ ക്രമത്തിലായിരിക്കും. മാട്രിക്സ് ആകാനും സാധ്യതയുണ്ട് വലിപ്പം
ചെറിയ ക്രമം പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവർ ക്രമത്തിലാണ്
നിലവിലില്ല, അതായത്
.

4.9.3. നിർവ്വചനം. അടിസ്ഥാന മൈനർ രൂപപ്പെടുത്തുന്ന വരികൾ (നിരകൾ) വിളിക്കുന്നു അടിസ്ഥാനവരികൾ (നിരകൾ).

4.9.4. നിർവ്വചനം. റാങ്ക്ഒരു മാട്രിക്സിനെ അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാന മൈനറിൻ്റെ ക്രമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മാട്രിക്സ് റാങ്ക് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്
അല്ലെങ്കിൽ
.

അഭിപ്രായം.

ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ വരികളുടെയും നിരകളുടെയും തുല്യത കാരണം, മാട്രിക്സ് ട്രാൻസ്പോസ് ചെയ്യുമ്പോൾ അതിൻ്റെ റാങ്ക് മാറില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

4.9.5. സിദ്ധാന്തം. (എലിമെൻ്ററി പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് കീഴിലുള്ള മാട്രിക്സ് റാങ്കിൻ്റെ മാറ്റമില്ല)

ഒരു മാട്രിക്സ് അതിൻ്റെ പ്രാഥമിക പരിവർത്തന സമയത്ത് അതിൻ്റെ റാങ്ക് മാറില്ല.

തെളിവില്ല.

4.9.6. സിദ്ധാന്തം. (അടിസ്ഥാന പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തതിനെ കുറിച്ച്).

അടിസ്ഥാന വരികൾ (നിരകൾ) രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണ്. ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ ഏത് വരിയും (നിര) അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാന വരികളുടെ (നിരകൾ) ഒരു രേഖീയ സംയോജനമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം.

തെളിവ്:

സ്ട്രിംഗുകൾക്കുള്ള തെളിവ് നമുക്ക് ചെയ്യാം. നിരകൾക്കായുള്ള പ്രസ്താവനയുടെ തെളിവ് സാമ്യം ഉപയോഗിച്ച് നടപ്പിലാക്കാം.

മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് അനുവദിക്കുക വലിപ്പങ്ങൾ
തുല്യമാണ് , എ
- അടിസ്ഥാന മൈനർ. സാമാന്യത നഷ്ടപ്പെടാതെ, അടിസ്ഥാന മൈനർ മുകളിൽ ഇടത് കോണിലാണ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നതെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു (അല്ലെങ്കിൽ, പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാട്രിക്സ് ഈ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാം):

.

അടിസ്ഥാന വരികളുടെ രേഖീയ സ്വാതന്ത്ര്യം നമുക്ക് ആദ്യം തെളിയിക്കാം. ഞങ്ങൾ വൈരുദ്ധ്യത്തിലൂടെ തെളിവ് നടപ്പിലാക്കും. അടിസ്ഥാന വരികൾ രേഖീയമായി ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. തുടർന്ന്, സിദ്ധാന്തം 4.8.4 അനുസരിച്ച്, ഒരു സ്ട്രിംഗിനെ ശേഷിക്കുന്ന അടിസ്ഥാന സ്ട്രിംഗുകളുടെ രേഖീയ സംയോജനമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. അതിനാൽ, ഈ വരിയിൽ നിന്ന് നിർദ്ദിഷ്ട ലീനിയർ കോമ്പിനേഷൻ കുറച്ചാൽ, നമുക്ക് ഒരു പൂജ്യം വരി ലഭിക്കും, അതായത് മൈനർ
പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, ഇത് അടിസ്ഥാന മൈനറിൻ്റെ നിർവചനത്തിന് വിരുദ്ധമാണ്. അങ്ങനെ, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു വൈരുദ്ധ്യം ലഭിച്ചു, അതിനാൽ അടിസ്ഥാന വരികളുടെ രേഖീയ സ്വാതന്ത്ര്യം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ ഓരോ വരിയും അടിസ്ഥാന വരികളുടെ ഒരു രേഖീയ സംയോജനമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ തെളിയിക്കാം. ചോദ്യം ചെയ്യപ്പെടുന്ന വരി നമ്പർ ആണെങ്കിൽ 1 മുതൽ ആർ, അപ്പോൾ, വ്യക്തമായും, ലൈനിന് 1 ന് തുല്യമായ ഒരു കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉള്ള ഒരു രേഖീയ സംയോജനമായി ഇത് പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ശേഷിക്കുന്ന വരികൾക്ക് പൂജ്യം ഗുണകങ്ങളും. ലൈൻ നമ്പർ ആണെങ്കിൽ നമുക്ക് ഇപ്പോൾ കാണിക്കാം നിന്ന്
വരെ
, അടിസ്ഥാന സ്ട്രിംഗുകളുടെ ഒരു രേഖീയ സംയോജനമായി ഇത് പ്രതിനിധീകരിക്കാം. മാട്രിക്സ് മൈനർ പരിഗണിക്കുക
, അടിസ്ഥാന മൈനറിൽ നിന്ന് ലഭിച്ചു
ഒരു വരി ചേർക്കുന്നു ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ കോളവും
:

ഈ മൈനർ എന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാം
നിന്ന്
വരെ
കൂടാതെ ഏതെങ്കിലും കോളം നമ്പറിനും 1 മുതൽ .

തീർച്ചയായും, കോളം നമ്പർ ആണെങ്കിൽ 1 മുതൽ ആർ, അപ്പോൾ നമുക്ക് രണ്ട് സമാന നിരകളുള്ള ഒരു ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഉണ്ട്, അത് വ്യക്തമായും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. കോളം നമ്പർ ആണെങ്കിൽ നിന്ന് ആർ+1 മുതൽ , ലൈൻ നമ്പർ നിന്ന്
വരെ
, അത്
അടിസ്ഥാന മൈനറിനേക്കാൾ ഉയർന്ന ഓർഡറിൻ്റെ ഒറിജിനൽ മാട്രിക്സിൻ്റെ മൈനറാണ്, അതായത് അടിസ്ഥാന മൈനറിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഇത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അങ്ങനെ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്ത ആളാണെന്ന് തെളിഞ്ഞു
ഏത് വരി നമ്പറിനും പൂജ്യമാണ് നിന്ന്
വരെ
കൂടാതെ ഏതെങ്കിലും കോളം നമ്പറിനും 1 മുതൽ . അവസാന നിരയിൽ ഇത് വിപുലീകരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഇവിടെ
- അനുബന്ധ ബീജഗണിത കൂട്ടിച്ചേർക്കലുകൾ. അതല്ല
, അതിനാൽ മുതൽ
അടിസ്ഥാന പ്രായപൂർത്തിയാകാത്ത ആളാണ്. അതിനാൽ, വരിയുടെ ഘടകങ്ങൾ കെകോളം നമ്പറിൽ നിന്ന് സ്വതന്ത്രമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള അടിസ്ഥാന വരികളുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങളുടെ രേഖീയ സംയോജനമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം :

അങ്ങനെ, ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ അനിയന്ത്രിതമായ വരിയെ അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാന വരികളുടെ രേഖീയ സംയോജനമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

പ്രഭാഷണം 13

4.9.7. സിദ്ധാന്തം. (ഒരു ഏകവചനമല്ലാത്ത ചതുര മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്കിൽ)

ഒരു ചതുര മാട്രിക്സ് ഏകവചനമല്ലാത്തതായിരിക്കാൻ, മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് ഈ മെട്രിക്സിൻ്റെ വലുപ്പത്തിന് തുല്യമായിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യവും മതിയായതുമാണ്.

തെളിവ്:

ആവശ്യം.ചതുര മാട്രിക്സ് അനുവദിക്കുക വലിപ്പം എൻഡീജനറേറ്റ് അല്ല, അപ്പോൾ
അതിനാൽ, മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് അടിസ്ഥാന മൈനറാണ്, അതായത്.

പര്യാപ്തത.അനുവദിക്കുക
അടിസ്ഥാന മൈനറിൻ്റെ ക്രമം മാട്രിക്സിൻ്റെ വലുപ്പത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ അടിസ്ഥാന മൈനർ മാട്രിക്സിൻ്റെ നിർണ്ണായകമാണ് , അതായത്.
അടിസ്ഥാന പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തതിൻ്റെ നിർവചനം പ്രകാരം.

അനന്തരഫലം.

ഒരു ചതുര മാട്രിക്സ് ഏകവചനമല്ലാത്തതായിരിക്കാൻ, അതിൻ്റെ വരികൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമായിരിക്കണം.

തെളിവ്:

ആവശ്യം.ഒരു ചതുര മാട്രിക്സ് ഏകവചനമല്ലാത്തതിനാൽ, അതിൻ്റെ റാങ്ക് മാട്രിക്സിൻ്റെ വലുപ്പത്തിന് തുല്യമാണ്
അതായത്, മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് അടിസ്ഥാന മൈനറാണ്. അതിനാൽ, മൈനറിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ സിദ്ധാന്തം 4.9.6 പ്രകാരം, മാട്രിക്സിൻ്റെ വരികൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണ്.

പര്യാപ്തത.മാട്രിക്സിൻ്റെ എല്ലാ വരികളും രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമായതിനാൽ, അതിൻ്റെ റാങ്ക് മാട്രിക്സിൻ്റെ വലുപ്പത്തേക്കാൾ കുറവല്ല, അതായത്
അതിനാൽ, മുമ്പത്തെ സിദ്ധാന്തം 4.9.7 പ്രകാരം, മാട്രിക്സ് ജീർണ്ണതയില്ലാത്തതാണ്.

4.9.8. ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുന്നതിന് പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ ബോർഡർ ചെയ്യുന്ന രീതി.

അടിസ്ഥാന മൈനർ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവിൽ ഈ രീതിയുടെ ഒരു ഭാഗം ഇതിനകം തന്നെ വിവരിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക.

4.9.8.1. നിർവ്വചനം. മൈനർ
വിളിച്ചു അതിരുകൾപ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുമായി ബന്ധപ്പെട്ടത്
, പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരിൽ നിന്ന് ലഭിച്ചതാണെങ്കിൽ
ഒറിജിനൽ മാട്രിക്സിലേക്ക് ഒരു പുതിയ വരിയും ഒരു പുതിയ കോളവും ചേർത്ത്.

4.9.8.2. ബോർഡറിംഗ് മൈനേഴ്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള നടപടിക്രമം.

പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള മെട്രിക്സിൻ്റെ നിലവിലുള്ള ഏതെങ്കിലും മൈനർ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

അതിൻ്റെ അതിർത്തിയിലുള്ള എല്ലാ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെയും ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു.

അവയെല്ലാം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, നിലവിലെ മൈനർ ഒരു അടിസ്ഥാനമാണ്, കൂടാതെ മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് നിലവിലെ മൈനറിൻ്റെ ക്രമത്തിന് തുല്യമാണ്.

അതിർത്തിയിലുള്ള പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരിൽ പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒന്നെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, അത് നിലവിലുള്ളതായി കണക്കാക്കുകയും നടപടിക്രമം തുടരുകയും ചെയ്യും.

പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ ബോർഡർ ചെയ്യുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുന്നു

.

നിലവിലെ പൂജ്യമല്ലാത്ത രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ മൈനർ വ്യക്തമാക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്, ഉദാ.

.

അതിൻ്റെ അതിർത്തിയിലുള്ള പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു:

തൽഫലമായി, മൂന്നാം ഓർഡറിലെ എല്ലാ ബോർഡർ മൈനർമാരും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ, മൈനർ
അടിസ്ഥാനമാണ്, അതായത്

അഭിപ്രായം. പരിഗണിച്ച ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന്, ഈ രീതി തികച്ചും അധ്വാനിക്കുന്നതാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്. അതിനാൽ, പ്രായോഗികമായി, പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ രീതി പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു, അത് ചുവടെ ചർച്ചചെയ്യും.

4.9.9. പ്രാഥമിക പരിവർത്തന രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 4.9.5 അടിസ്ഥാനമാക്കി, പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് കീഴിൽ മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് മാറില്ലെന്ന് വാദിക്കാം (അതായത്, തുല്യമായ മെട്രിക്സുകളുടെ റാങ്കുകൾ തുല്യമാണ്). അതിനാൽ, മെട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളിലൂടെ യഥാർത്ഥത്തിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച സ്റ്റെപ്പ് മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്കിന് തുല്യമാണ്. ഒരു സ്റ്റെപ്പ് മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് അതിൻ്റെ പൂജ്യമല്ലാത്ത വരികളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.

മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം

പ്രാഥമിക പരിവർത്തന രീതിയിലൂടെ.

നമുക്ക് മാട്രിക്സ് അവതരിപ്പിക്കാം ഘട്ടം കാണുന്നതിന്:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന എച്ചലോൺ മാട്രിക്സിൻ്റെ പൂജ്യമല്ലാത്ത വരികളുടെ എണ്ണം മൂന്നാണ്, അതിനാൽ,

4.9.10. ലീനിയർ സ്പേസ് വെക്റ്ററുകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ റാങ്ക്.

വെക്റ്ററുകളുടെ സിസ്റ്റം പരിഗണിക്കുക
കുറച്ച് ലീനിയർ സ്പേസ് . ഇത് രേഖീയമായി ആശ്രിതമാണെങ്കിൽ, അതിൽ ഒരു രേഖീയ സ്വതന്ത്ര ഉപസിസ്റ്റം വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും.

4.9.10.1. നിർവ്വചനം. വെക്റ്റർ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ റാങ്ക്
രേഖീയ ഇടം ഈ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരമാവധി രേഖീയ സ്വതന്ത്ര വെക്റ്ററുകളെ വിളിക്കുന്നു. വെക്റ്റർ സിസ്റ്റം റാങ്ക്
ആയി സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു
.

അഭിപ്രായം. വെക്റ്ററുകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ റാങ്ക് സിസ്റ്റത്തിലെ വെക്റ്ററുകളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഒരു ലീനിയർ സ്പേസിലെ വെക്റ്ററുകളുടെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ റാങ്കും ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്കും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം കാണിക്കുന്ന ഒരു സിദ്ധാന്തം നമുക്ക് രൂപപ്പെടുത്താം.

4.9.10.2. സിദ്ധാന്തം. (ലീനിയർ സ്പേസിലെ വെക്റ്ററുകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ റാങ്കിൽ)

ഒരു ലീനിയർ സ്‌പെയ്‌സിലെ വെക്‌ടറുകളുടെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ റാങ്ക്, ലീനിയർ സ്‌പെയ്‌സിൻ്റെ ചില അടിസ്ഥാനത്തിൽ വെക്‌ടറുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളാകുന്ന നിരകളോ വരികളോ ഉള്ള ഒരു മാട്രിക്‌സിൻ്റെ റാങ്കിന് തുല്യമാണ്.

തെളിവില്ല.

അനന്തരഫലം.

ഒരു ലീനിയർ സ്പേസിലെ വെക്റ്ററുകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാകുന്നതിന്, മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക്, ഒരു നിശ്ചിത അടിസ്ഥാനത്തിൽ വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളാകുന്ന നിരകളോ വരികളോ സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കണം. സിസ്റ്റത്തിലെ വെക്റ്ററുകളുടെ.

തെളിവ് വ്യക്തമാണ്.

4.9.10.3. സിദ്ധാന്തം (ഒരു രേഖീയ ഷെല്ലിൻ്റെ അളവിൽ).

ലീനിയർ ഹൾ വെക്റ്ററുകളുടെ അളവ്
രേഖീയ ഇടം ഈ വെക്റ്റർ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ റാങ്കിന് തുല്യം:

തെളിവില്ല.

ചില സംഖ്യകൾ എവിടെയാണ് (ഈ സംഖ്യകളിൽ ചിലത് അല്ലെങ്കിൽ അവയെല്ലാം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കാം). നിരകളുടെ ഘടകങ്ങൾക്കിടയിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യതകൾ ഉണ്ടെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം:

അല്ലെങ്കിൽ .

(3.3.1) മുതൽ അത് പിന്തുടരുന്നു

(3.3.2)

പൂജ്യം സ്ട്രിംഗ് എവിടെയാണ്.

നിർവ്വചനം. ഒരേ സമയം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത സംഖ്യകളുണ്ടെങ്കിൽ മാട്രിക്സ് എയുടെ വരികൾ രേഖീയമായി ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

(3.3.3)

സമത്വം (3.3.3) ആണെങ്കിൽ മാത്രം ശരിയാണെങ്കിൽ, വരികളെ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമെന്ന് വിളിക്കുന്നു. റിലേഷൻ (3.3.2) കാണിക്കുന്നത്, വരികളിലൊന്ന് മറ്റുള്ളവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ രേഖീയമായി പ്രകടിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, വരികൾ രേഖീയമായി ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

വിപരീതമായി കാണുന്നത് എളുപ്പമാണ്: സ്ട്രിംഗുകൾ രേഖീയമായി ആശ്രിതമാണെങ്കിൽ, ശേഷിക്കുന്ന സ്ട്രിംഗുകളുടെ രേഖീയ സംയോജനമായ ഒരു സ്ട്രിംഗ് ഉണ്ട്.

ഉദാഹരണത്തിന്, (3.3.3) ൽ അനുവദിക്കുക .

നിർവ്വചനം. മാട്രിക്സ് എയിൽ ഒരു നിശ്ചിത പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തയാളെ തിരഞ്ഞെടുക്കാംആർ ഓർഡറും മൈനറും അനുവദിക്കുക (ആർ ഒരേ മാട്രിക്സിൻ്റെ +1)മത്തെ ക്രമത്തിൽ പൂർണ്ണമായും മൈനർ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മൈനർ മൈനറിൻ്റെ അതിർത്തിയാണെന്ന് ഞങ്ങൾ പറയും (അല്ലെങ്കിൽ ബോർഡറാണ്).

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഒരു പ്രധാന ലെമ്മ തെളിയിക്കും.

ലെമ്മപ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ കുറിച്ച്. പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവൻ ക്രമത്തിലാണെങ്കിൽആർ മാട്രിക്സ് A = പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അതിൻ്റെ അതിർത്തിയിലുള്ള എല്ലാ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അപ്പോൾ മാട്രിക്സ് A യുടെ ഏത് വരിയും (കോളം) അതിൻ്റെ വരികളുടെ (നിരകൾ) രേഖീയ സംയോജനമാണ് .

തെളിവ്. ന്യായവാദത്തിൻ്റെ സാമാന്യത നഷ്‌ടപ്പെടാതെ, ഒരു നോൺസീറോ മൈനർ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുംആർ മെട്രിക്സ് എ =: എന്ന മാട്രിക്സിൻ്റെ മുകളിൽ ഇടത് കോണിലാണ് ആ ക്രമം.

.

ആദ്യ കെ മാട്രിക്സ് എയുടെ വരികൾ, ലെമ്മയുടെ പ്രസ്താവന വ്യക്തമാണ്: ഒരു ലീനിയർ കോമ്പിനേഷനിൽ ഒരേ വരി ഒന്നിന് തുല്യമായ ഗുണകവും ബാക്കിയുള്ളവ - പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ ഗുണകങ്ങളും ഉൾപ്പെടുത്തിയാൽ മതി.

മാട്രിക്സ് A യുടെ ശേഷിക്കുന്ന വരികൾ ആദ്യത്തേതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ രേഖീയമായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ തെളിയിക്കാംകെ വരികൾ. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു മൈനർ നിർമ്മിക്കും (ആർ +1) പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ ചേർത്തുകൊണ്ട് ഓർഡർ k -th ലൈൻ () കൂടാതെ എൽമത്തെ കോളം():

.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൈനർ എല്ലാവർക്കും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്കെ, എൽ . എങ്കിൽ, രണ്ട് സമാന നിരകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതിനാൽ അത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. എങ്കിൽ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൈനർ ഒരു എഡ്ജ് മൈനറാണ്, അതിനാൽ, ലെമ്മയുടെ വ്യവസ്ഥകൾ പ്രകാരം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

അവസാനത്തെ മൂലകങ്ങൾക്കനുസരിച്ച് മൈനറിനെ വിഘടിപ്പിക്കാംഎൽമത്തെ കോളം:

(3.3.4)

മൂലകങ്ങളുടെ ബീജഗണിത പൂരകങ്ങൾ എവിടെയാണ്. ബീജഗണിത പൂരകം മാട്രിക്സ് A യുടെ മൈനറാണ്, അതിനാൽ . (3.3.4) വിഭജിച്ച് അതിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുക:

(3.3.5)

എവിടെ ,.

ഊഹിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

(3.3.6)

എക്സ്പ്രഷൻ (3.3.6) എന്നാണ്കെ മാട്രിക്സ് A യുടെ വരി ആദ്യത്തേതിലൂടെ രേഖീയമായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു r വരികൾ.

ഒരു മാട്രിക്സ് കൈമാറ്റം ചെയ്യുമ്പോൾ, അതിൻ്റെ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ മൂല്യങ്ങൾ മാറില്ല (ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളുടെ സ്വത്ത് കാരണം), തുടർന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ടതെല്ലാം നിരകൾക്കും ശരിയാണ്. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

അനന്തരഫലം ഐ . ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും വരി (നിര) അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാന വരികളുടെ (നിരകൾ) രേഖീയ സംയോജനമാണ്. തീർച്ചയായും, മാട്രിക്സിൻ്റെ അടിസ്ഥാന മൈനർ പൂജ്യമല്ല, അതിൻ്റെ അതിർത്തിയിലുള്ള എല്ലാ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഫലം II. ഡിറ്റർമിനൻ്റ് എൻ രേഖീയമായി ആശ്രിത വരികൾ (നിരകൾ) അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ മാത്രം ക്രമം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുന്നതിന് വരികളുടെ (നിരകൾ) രേഖീയ ആശ്രിതത്വത്തിൻ്റെ പര്യാപ്തത ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളുടെ ഒരു സ്വത്തായി നേരത്തെ തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരുന്നു.

ആവശ്യം തെളിയിക്കാം. ഒരു ചതുര മാട്രിക്സ് നൽകട്ടെഎൻ th ഓർഡർ, അതിൽ ഒരേയൊരു മൈനർ പൂജ്യമാണ്. ഈ മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് കുറവാണെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നുഎൻ , അതായത്. ഈ മാട്രിക്സിൻ്റെ അടിസ്ഥാന വരികളുടെ രേഖീയ സംയോജനമായ ഒരു വരിയെങ്കിലും ഉണ്ട്.

മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്കിനെക്കുറിച്ചുള്ള മറ്റൊരു സിദ്ധാന്തം നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

സിദ്ധാന്തം.ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര വരികളുടെ പരമാവധി എണ്ണം അതിൻ്റെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര നിരകളുടെ പരമാവധി എണ്ണത്തിന് തുല്യവും ഈ മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്കിന് തുല്യവുമാണ്.

തെളിവ്. മാട്രിക്സ് A= ൻ്റെ റാങ്ക് തുല്യമായിരിക്കട്ടെആർ. അപ്പോൾ അതിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും കെ അടിസ്ഥാന വരികൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണ്, അല്ലാത്തപക്ഷം അടിസ്ഥാനം മൈനർ പൂജ്യമായിരിക്കും. മറുവശത്ത്, ഏതെങ്കിലുംആർ +1 അല്ലെങ്കിൽ കൂടുതൽ വരികൾ രേഖീയമായി ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. നേരെമറിച്ച് ഊഹിച്ചാൽ, അതിലും വലിയ ക്രമത്തിലുള്ള ഒരു മൈനർ നമുക്ക് കണ്ടെത്താനാകുംആർ , മുമ്പത്തെ ലെമ്മയുടെ കോറലറി 2 പ്രകാരം പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. രണ്ടാമത്തേത് പൂജ്യമല്ലാത്ത പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ പരമാവധി ക്രമം തുല്യമാണ് എന്ന വസ്തുതയ്ക്ക് വിരുദ്ധമാണ്ആർ . വരികൾക്കായി തെളിയിക്കപ്പെട്ടതെല്ലാം നിരകൾക്കും ശരിയാണ്.

ഉപസംഹാരമായി, ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു രീതി ഞങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തും. പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്‌തമായ പരമാവധി ക്രമത്തിൻ്റെ ഒരു മൈനർ കണ്ടെത്തുന്നതിലൂടെ ഒരു മാട്രിക്‌സിൻ്റെ റാങ്ക് നിർണ്ണയിക്കാനാകും.

ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, ഇതിന് ഒരു പരിമിതമായ കണക്കുകൂട്ടൽ ആവശ്യമാണ്, പക്ഷേ ഈ മാട്രിക്സിൻ്റെ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ എണ്ണം വളരെ കൂടുതലായിരിക്കാം.

എന്നിരുന്നാലും, ഇതിൽ കാര്യമായ ലളിതവൽക്കരണങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കാൻ ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം അനുവദിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം.മാട്രിക്സ് എയുടെ മൈനർ പൂജ്യമല്ലെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ അതിർത്തിയിലുള്ള എല്ലാ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് ഇതിന് തുല്യമാണ്ആർ.

തെളിവ്. മാട്രിക്സ് വരികളുടെ ഏതെങ്കിലും സബ്സിസ്റ്റം കാണിക്കാൻ ഇത് മതിയാകും S>r സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് കീഴിൽ രേഖീയമായി ആശ്രയിച്ചിരിക്കും (ഇതിൽ നിന്ന് r എന്നത് മാട്രിക്സിൻ്റെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര വരികളുടെ പരമാവധി എണ്ണം അല്ലെങ്കിൽ അതിലും കൂടുതലുള്ള ക്രമത്തിലുള്ള ഏതെങ്കിലും മൈനർ ആണ്. k പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്).

നമുക്ക് വിപരീതമായി അനുമാനിക്കാം. വരികൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമായിരിക്കട്ടെ. ബോർഡർ ചെയ്യുന്ന പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെക്കുറിച്ചുള്ള ലെമ്മ പ്രകാരം, അവ ഓരോന്നും മൈനർ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന വരികളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ രേഖീയമായി പ്രകടിപ്പിക്കും, അവ പൂജ്യമല്ലാത്തതിനാൽ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണ്:

(3.3.7)

ലീനിയർ എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ (3.3.7) ഗുണകങ്ങളിൽ നിന്ന് മാട്രിക്സ് കെ പരിഗണിക്കുക:

.

ഈ മാട്രിക്സിൻ്റെ വരികൾ സൂചിപ്പിക്കും . മാട്രിക്സ് കെയുടെ റാങ്ക് ആയതിനാൽ അവ രേഖീയമായി ആശ്രയിക്കും, അതായത്. അതിൻ്റെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര ലൈനുകളുടെ പരമാവധി എണ്ണം കവിയരുത്ആർ< S . അതിനാൽ, സംഖ്യകളുണ്ട്, എല്ലാം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, അത്

നമുക്ക് ഘടകങ്ങളുടെ തുല്യതയിലേക്ക് പോകാം

(3.3.8)

ഇപ്പോൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രേഖീയ സംയോജനം പരിഗണിക്കുക:

അല്ലെങ്കിൽ

ഉചിതമായ ലീനിയർ കോമ്പിനേഷനിലൂടെ ഈ വെക്റ്ററുകളിൽ നിന്ന് ഒരു പൂജ്യം വെക്റ്റർ ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതേ ക്രമത്തിലുള്ള വെക്റ്ററുകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തെ ലീനിയർ ആശ്രിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. (ഒരു ലീനിയർ കോമ്പിനേഷൻ്റെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുന്നത് അനുവദനീയമല്ല, കാരണം ഇത് നിസ്സാരമായിരിക്കും.) അല്ലെങ്കിൽ, വെക്റ്ററുകളെ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമെന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന മൂന്ന് വെക്‌ടറുകൾ:

രേഖീയമായി ആശ്രയിക്കുന്നു, കാരണം അത് പരിശോധിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. ഒരു ലീനിയർ ആശ്രിതത്വത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, ഏത് വെക്റ്ററും എല്ലായ്പ്പോഴും മറ്റ് വെക്റ്ററുകളുടെ ഒരു രേഖീയ സംയോജനത്തിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ: ഒന്നുകിൽ അല്ലെങ്കിൽ ഇത് ഉചിതമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന നിർവചനത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു: ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ ഒരു രേഖീയ സംയോജനമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ ഒരു വെക്റ്റർ മറ്റ് വെക്റ്ററുകളിൽ നിന്ന് രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണ്.

രേഖീയമായി ആശ്രിതമാണോ അതോ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണോ എന്ന് വ്യക്തമാക്കാതെ വെക്റ്ററുകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. കോളം വെക്റ്ററുകൾ അടങ്ങുന്ന ഓരോ സിസ്റ്റത്തിനും, സാധ്യമായ പരമാവധി രേഖീയ സ്വതന്ത്ര വെക്റ്ററുകൾ തിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും. അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഈ സംഖ്യ ഈ വെക്റ്റർ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ റാങ്കാണ്. ഓരോ മാട്രിക്സും കോളം വെക്റ്ററുകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റമായി കാണാൻ കഴിയുന്നതിനാൽ, ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് അതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന പരമാവധി രേഖീയ സ്വതന്ത്ര കോളം വെക്റ്ററുകളായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു. ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് നിർണ്ണയിക്കാൻ റോ വെക്റ്ററുകളും ഉപയോഗിക്കുന്നു. രണ്ട് രീതികളും ഒരേ മെട്രിക്സിന് ഒരേ ഫലം നൽകുന്നു, കൂടാതെ 0 മുതൽ . വരെയുള്ള ക്രമത്തിൻ്റെ ചതുര മാട്രിക്സിൻ്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ അല്ലെങ്കിൽ റാങ്ക് കവിയരുത്. എല്ലാ വെക്റ്ററുകളും പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് പൂജ്യമാണ്. എല്ലാ വെക്റ്ററുകളും പരസ്പരം രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് തുല്യമാണ്. മുകളിലുള്ള വെക്റ്ററുകളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ഒരു മാട്രിക്സ് ഉണ്ടാക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് 2 ആണ്, കാരണം ഓരോ രണ്ട് വെക്റ്ററുകളും ഒരു ലീനിയർ കോമ്പിനേഷൻ വഴി മൂന്നിലൊന്നായി കുറയ്ക്കാം.

എന്നാൽ അവയിൽ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണെന്ന് നമുക്ക് ഉറപ്പാക്കാം, അതിനാൽ റാങ്ക്

ഒരു ചതുര മാട്രിക്സ് അതിൻ്റെ നിര വെക്റ്ററുകൾ അല്ലെങ്കിൽ വരി വെക്റ്ററുകൾ രേഖീയമായി ആശ്രിതമാണെങ്കിൽ അതിനെ ഏകവചനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരമൊരു മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ അതിൻ്റെ വിപരീത മാട്രിക്സ് നിലവിലില്ല. ഈ നിഗമനങ്ങൾ പരസ്പരം തുല്യമാണ്. തൽഫലമായി, ഒരു ചതുര മാട്രിക്‌സിനെ അതിൻ്റെ കോളം വെക്‌റ്ററുകളോ വരി വെക്‌റ്ററുകളോ പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമാണെങ്കിൽ, അതിനെ ഏകവചനമല്ലാത്ത അല്ലെങ്കിൽ ഏകവചനമല്ലാത്തത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരമൊരു മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, അതിൻ്റെ വിപരീത മാട്രിക്സ് നിലവിലുണ്ട് (പേജ് 43 മായി താരതമ്യം ചെയ്യുക)

മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്കിന് വ്യക്തമായ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനമുണ്ട്. മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ, -ഡൈമൻഷണൽ സ്പേസ് വെക്റ്ററുകളാൽ വ്യാപിച്ചതായി പറയപ്പെടുന്നു. റാങ്ക് ആണെങ്കിൽ, വെക്‌ടറുകൾ എല്ലാം ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു -ഡൈമൻഷണൽ സബ്‌സ്‌പെയ്‌സിൽ കിടക്കുന്നു. അതിനാൽ, മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് "എല്ലാ വെക്റ്ററുകളും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന" സ്ഥലത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ അളവുമായി യോജിക്കുന്നു - ഒരു -ഡൈമൻഷണൽ സ്പേസിലെ -ഡൈമൻഷണൽ സബ്സ്പേസിനെ -ഡൈമൻഷണൽ ഹൈപ്പർപ്ലെയ്ൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് എല്ലാ വെക്റ്ററുകളും ഇപ്പോഴും കിടക്കുന്ന ഹൈപ്പർപ്ലെയിനിൻ്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ അളവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.