സങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിൾ നിർവചനത്തിന്റെ പ്രവർത്തനം. ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ. ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം. Cauchy-Riemann വ്യവസ്ഥകൾ

ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ.
ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം.

ഈ ലേഖനം പാഠങ്ങളുടെ ഒരു പരമ്പര തുറക്കുന്നു, അതിൽ ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തന സിദ്ധാന്തവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സാധാരണ പ്രശ്നങ്ങൾ ഞാൻ പരിഗണിക്കും. ഉദാഹരണങ്ങൾ വിജയകരമായി കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ, നിങ്ങൾക്ക് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളെക്കുറിച്ചുള്ള അടിസ്ഥാന അറിവ് ഉണ്ടായിരിക്കണം. മെറ്റീരിയൽ ഏകീകരിക്കാനും ആവർത്തിക്കാനും, പേജ് സന്ദർശിക്കുക. കണ്ടെത്താനുള്ള കഴിവുകളും നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ് രണ്ടാം ഓർഡർ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ. അവ ഇവിടെയുണ്ട്, ഈ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ... അവ എത്ര തവണ സംഭവിക്കുന്നു എന്നതിൽ ഞാൻ അൽപ്പം ആശ്ചര്യപ്പെട്ടു.

ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കാൻ തുടങ്ങുന്ന വിഷയം പ്രത്യേക ബുദ്ധിമുട്ടുകളൊന്നും അവതരിപ്പിക്കുന്നില്ല, ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ, തത്വത്തിൽ, എല്ലാം വ്യക്തവും ആക്സസ് ചെയ്യാവുന്നതുമാണ്. ഞാൻ പരീക്ഷണാത്മകമായി ഉരുത്തിരിഞ്ഞ അടിസ്ഥാന നിയമം പാലിക്കുക എന്നതാണ് പ്രധാന കാര്യം. വായിക്കൂ!

ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിന്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ആശയം

ആദ്യം, ഒരു വേരിയബിളിന്റെ സ്കൂൾ പ്രവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള നമ്മുടെ അറിവ് പുതുക്കാം:

സിംഗിൾ വേരിയബിൾ ഫംഗ്‌ഷൻസ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിന്റെ ഓരോ മൂല്യവും (നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്ന്) ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഒരേയൊരു മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഒരു നിയമമാണ്. സ്വാഭാവികമായും, "x" ഉം "y" ഉം യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്.

സങ്കീർണ്ണമായ സാഹചര്യത്തിൽ, പ്രവർത്തനപരമായ ആശ്രിതത്വം സമാനമായി വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു:

ഒരു കോംപ്ലക്സ് വേരിയബിളിന്റെ സിംഗിൾ-വാല്യൂഡ് ഫംഗ്ഷൻ- ഇത് എല്ലാവരും അനുസരിച്ചുള്ള നിയമമാണ് സമഗ്രമായസ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം (നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്ന്) ഒന്നിന് മാത്രം യോജിക്കുന്നു സമഗ്രമായപ്രവർത്തന മൂല്യം. സിദ്ധാന്തം ഒന്നിലധികം മൂല്യമുള്ളതും മറ്റ് ചില തരത്തിലുള്ള ഫംഗ്ഷനുകളും പരിഗണിക്കുന്നു, എന്നാൽ ലാളിത്യത്തിനായി ഞാൻ ഒരു നിർവചനത്തിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കും.

ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിൾ ഫംഗ്‌ഷൻ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എന്താണ്?

പ്രധാന വ്യത്യാസം: സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ. ഞാൻ വിരോധാഭാസമല്ല. അത്തരം ചോദ്യങ്ങൾ പലപ്പോഴും ആളുകളെ മയക്കത്തിലാക്കുന്നു; ലേഖനത്തിന്റെ അവസാനം ഞാൻ നിങ്ങളോട് ഒരു രസകരമായ കഥ പറയും. പാഠത്തിൽ ഡമ്മികൾക്കുള്ള സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾഫോമിലെ ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ചു. ഇപ്പോൾ മുതൽ "z" എന്ന അക്ഷരം മാറി വേരിയബിൾ, അപ്പോൾ നമ്മൾ അത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിക്കും: , "x", "y" എന്നിവ വ്യത്യസ്തമായി എടുക്കാം സാധുവായഅർത്ഥങ്ങൾ. ഏകദേശം പറഞ്ഞാൽ, സങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തനം "സാധാരണ" മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്ന വേരിയബിളുകളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ വസ്തുതയിൽ നിന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന പോയിന്റ് യുക്തിപരമായി പിന്തുടരുന്നു:

ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തനം ഇങ്ങനെ എഴുതാം:
, എവിടെ, രണ്ടിന്റെ രണ്ട് പ്രവർത്തനങ്ങൾ സാധുവായവേരിയബിളുകൾ.

ചടങ്ങിനെ വിളിക്കുന്നു യഥാർത്ഥ ഭാഗംപ്രവർത്തനങ്ങൾ
ചടങ്ങിനെ വിളിക്കുന്നു സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗംപ്രവർത്തനങ്ങൾ

അതായത്, ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തനം രണ്ട് യഥാർത്ഥ ഫംഗ്ഷനുകളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒടുവിൽ എല്ലാം വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് പ്രായോഗിക ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

ഉദാഹരണം 1

പരിഹാരം:സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ "zet", നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നതുപോലെ, ഫോമിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ:

(1) ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചു.

(2) ആദ്യ പദത്തിന്, ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചു. പദത്തിൽ, പരാൻതീസിസുകൾ തുറന്നിരിക്കുന്നു.

(3) അത് മറക്കാതെ ശ്രദ്ധാപൂർവം സ്ക്വയർ ചെയ്യുക

(4) നിബന്ധനകളുടെ പുനഃക്രമീകരണം: ആദ്യം നമ്മൾ നിബന്ധനകൾ മാറ്റിയെഴുതുന്നു , ഇതിൽ സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ് ഇല്ല(ആദ്യഗ്രൂപ്പ്), പിന്നെ ഉള്ള പദങ്ങൾ (രണ്ടാം ഗ്രൂപ്പ്). നിബന്ധനകൾ ഷഫിൾ ചെയ്യേണ്ട ആവശ്യമില്ല, ഈ ഘട്ടം ഒഴിവാക്കാവുന്നതാണ് (യഥാർത്ഥത്തിൽ ഇത് വാമൊഴിയായി ചെയ്യുന്നതിലൂടെ).

(5) രണ്ടാമത്തെ ഗ്രൂപ്പിനായി ഞങ്ങൾ അത് ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുന്നു.

തൽഫലമായി, ഞങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനം ഫോമിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതായി മാറി

ഉത്തരം:
- പ്രവർത്തനത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ ഭാഗം.
- പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗം.

ഇവ ഏത് തരത്തിലുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളായി മാറി? രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഏറ്റവും സാധാരണമായ ഫംഗ്‌ഷനുകളിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് അത്തരം ജനപ്രിയമായത് കണ്ടെത്താൻ കഴിയും ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ. ദയയില്ലാതെ, ഞങ്ങൾ അത് കണ്ടെത്തും. എന്നാൽ കുറച്ച് കഴിഞ്ഞ്.

ചുരുക്കത്തിൽ, പരിഹരിച്ച പ്രശ്നത്തിനുള്ള അൽഗോരിതം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം: ഞങ്ങൾ , ഒറിജിനൽ ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് മാറ്റി, ലളിതവൽക്കരണങ്ങൾ നടത്തുകയും എല്ലാ നിബന്ധനകളും രണ്ട് ഗ്രൂപ്പുകളായി വിഭജിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു - ഒരു സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ് (യഥാർത്ഥ ഭാഗം) കൂടാതെ ഒരു സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ് (സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗം) .

ഉദാഹരണം 2

പ്രവർത്തനത്തിന്റെ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗം കണ്ടെത്തുക

നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണിത്. നിങ്ങളുടെ ചെക്കറുകൾ വരച്ചുകൊണ്ട് സങ്കീർണ്ണമായ വിമാനത്തിൽ നിങ്ങൾ യുദ്ധത്തിലേക്ക് കുതിക്കുന്നതിനുമുമ്പ്, വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഉപദേശം ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് നൽകട്ടെ:

ശ്രദ്ധാലുവായിരിക്കുക!നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും എല്ലായിടത്തും ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതുണ്ട്, എന്നാൽ സങ്കീർണ്ണമായ സംഖ്യകളിൽ നിങ്ങൾ എന്നത്തേക്കാളും കൂടുതൽ ശ്രദ്ധാലുവായിരിക്കണം! ഓർക്കുക, ബ്രാക്കറ്റുകൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം തുറക്കുക, ഒന്നും നഷ്ടപ്പെടരുത്. എന്റെ നിരീക്ഷണങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, ഏറ്റവും സാധാരണമായ തെറ്റ് ഒരു അടയാളം നഷ്ടപ്പെടുന്നതാണ്. തിടുക്കപ്പെടരുത്!

പാഠത്തിന്റെ അവസാനം പൂർണ്ണമായ പരിഹാരവും ഉത്തരവും.

ഇപ്പോൾ ക്യൂബ്. ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്:
.

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പ്രായോഗികമായി ഉപയോഗിക്കാൻ വളരെ സൗകര്യപ്രദമാണ്, കാരണം അവ പരിഹാര പ്രക്രിയയെ ഗണ്യമായി വേഗത്തിലാക്കുന്നു.

ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം.

എനിക്ക് രണ്ട് വാർത്തകളുണ്ട്: നല്ലതും ചീത്തയും. ഞാൻ നല്ലതിൽ നിന്ന് തുടങ്ങും. ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിന്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്, ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങളും എലിമെന്ററി ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയും സാധുവാണ്. അതിനാൽ, ഒരു യഥാർത്ഥ വേരിയബിളിന്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ തന്നെ ഡെറിവേറ്റീവ് എടുക്കുന്നു.

പല സങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിൾ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കും ഡെറിവേറ്റീവുകളൊന്നുമില്ല എന്നതാണ് മോശം വാർത്ത, നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് അത് വേർതിരിക്കാവുന്നതാണോ?ഒരു പ്രവർത്തനം അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊന്ന്. നിങ്ങളുടെ ഹൃദയം എങ്ങനെ അനുഭവപ്പെടുന്നുവെന്ന് "കണ്ടെത്തുക" എന്നത് അധിക പ്രശ്നങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തനം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ വ്യതിരിക്തമാകുന്നതിന്, ഇത് ആവശ്യവും മതിയായതുമാണ്:

1) അതിനാൽ ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ നിലവിലുണ്ട്. ഈ നൊട്ടേഷനുകളെക്കുറിച്ച് ഉടൻ തന്നെ മറക്കുക, കാരണം ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ പരമ്പരാഗതമായി മറ്റൊരു നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു: .

2) വിളിക്കപ്പെടുന്നവ നടപ്പിലാക്കാൻ Cauchy-Riemann വ്യവസ്ഥകൾ:

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മാത്രമേ ഡെറിവേറ്റീവ് നിലനിൽക്കൂ!

ഉദാഹരണം 3

പരിഹാരംതുടർച്ചയായ മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു:

1) ഫംഗ്‌ഷന്റെ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങൾ കണ്ടെത്താം. ഈ ടാസ്‌ക്ക് മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ചർച്ച ചെയ്‌തു, അതിനാൽ ഞാൻ അഭിപ്രായമില്ലാതെ ഇത് എഴുതാം:

അന്ന് മുതൽ:

അങ്ങനെ:

- പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗം.

ഞാൻ ഒരു സാങ്കേതിക പോയിന്റ് കൂടി സ്പർശിക്കട്ടെ: ഏത് ക്രമത്തിലാണ്യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങളിൽ നിബന്ധനകൾ എഴുതണോ? അതെ, തത്വത്തിൽ, അത് പ്രശ്നമല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, യഥാർത്ഥ ഭാഗം ഇതുപോലെ എഴുതാം: , ഒപ്പം സാങ്കൽപ്പികമായ ഒന്ന് - ഇതുപോലെ: .

2) കൗച്ചി-റീമാൻ വ്യവസ്ഥകളുടെ പൂർത്തീകരണം നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം. അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ട്.

അവസ്ഥ പരിശോധിച്ച് തുടങ്ങാം. ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ:

അങ്ങനെ, വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാണ്.

തീർച്ചയായും, ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും വളരെ ലളിതമാണ് എന്നതാണ് നല്ല വാർത്ത.

രണ്ടാമത്തെ വ്യവസ്ഥയുടെ പൂർത്തീകരണം ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു:

ഫലം ഒന്നുതന്നെയാണ്, എന്നാൽ വിപരീത അടയാളങ്ങളോടെ, അതായത്, വ്യവസ്ഥയും നിറവേറ്റപ്പെടുന്നു.

Cauchy-Riemann വ്യവസ്ഥകൾ സംതൃപ്തമാണ്, അതിനാൽ പ്രവർത്തനം വ്യത്യസ്തമാണ്.

3) ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം. ഡെറിവേറ്റീവ് വളരെ ലളിതവും സാധാരണ നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായി കാണപ്പെടുന്നു:

സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ് ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ സമയത്ത് സ്ഥിരമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

ഉത്തരം: - യഥാർത്ഥ ഭാഗം, - സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗം.
Cauchy-Riemann വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തികരമാണ്, .

ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന് രണ്ട് വഴികൾ കൂടി ഉണ്ട്, തീർച്ചയായും അവ വളരെ കുറച്ച് തവണ മാത്രമേ ഉപയോഗിക്കുന്നുള്ളൂ, എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ പാഠം മനസ്സിലാക്കാൻ വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗപ്രദമാകും - ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിന്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?

ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം:

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ:

അങ്ങനെ

നമ്മൾ വിപരീത പ്രശ്നം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട് - ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗത്തിൽ നമ്മൾ ഒറ്റപ്പെടുത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിബന്ധനകളിലും ബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് പുറത്തും ഇത് ആവശ്യമാണ്:

റിവേഴ്സ് ആക്ഷൻ, പലരും ശ്രദ്ധിച്ചതുപോലെ, നിർവ്വഹിക്കാൻ കുറച്ചുകൂടി ബുദ്ധിമുട്ടാണ്; പരിശോധിക്കുന്നതിന്, ഒരു ഡ്രാഫ്റ്റിൽ എക്സ്പ്രഷൻ എടുക്കുകയോ അല്ലെങ്കിൽ ബ്രാക്കറ്റുകൾ വാമൊഴിയായി തുറക്കുകയോ ചെയ്യുന്നതാണ് നല്ലത്, ഫലം കൃത്യമായി ഉണ്ടെന്ന് ഉറപ്പാക്കുക.

ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള മിറർ ഫോർമുല:

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ: , അതുകൊണ്ടാണ്:

ഉദാഹരണം 4

ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുക . Cauchy-Riemann വ്യവസ്ഥകളുടെ പൂർത്തീകരണം പരിശോധിക്കുക. Cauchy-Riemann വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.

പാഠത്തിന്റെ അവസാനത്തിൽ ഒരു ചെറിയ പരിഹാരവും അന്തിമ രൂപകൽപ്പനയുടെ ഏകദേശ മാതൃകയും.

കൗച്ചി-റീമാൻ വ്യവസ്ഥകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും തൃപ്തികരമാണോ? സൈദ്ധാന്തികമായി, അവ നിറവേറ്റുന്നതിനേക്കാൾ കൂടുതൽ തവണ നിറവേറ്റപ്പെടുന്നില്ല. എന്നാൽ പ്രായോഗിക ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, അവ നിറവേറ്റാത്ത ഒരു കേസ് ഞാൻ ഓർക്കുന്നില്ല =) അതിനാൽ, നിങ്ങളുടെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ "കൺവെർജ് ചെയ്യുന്നില്ലെങ്കിൽ", വളരെ ഉയർന്ന സാധ്യതയോടെ നിങ്ങൾക്ക് എവിടെയോ തെറ്റ് പറ്റിയെന്ന് പറയാൻ കഴിയും.

നമുക്ക് നമ്മുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ സങ്കീർണ്ണമാക്കാം:

ഉദാഹരണം 5

ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുക . Cauchy-Riemann വ്യവസ്ഥകളുടെ പൂർത്തീകരണം പരിശോധിക്കുക. കണക്കാക്കുക

പരിഹാരം:പരിഹാര അൽഗോരിതം പൂർണ്ണമായും സംരക്ഷിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, എന്നാൽ അവസാനം ഒരു പുതിയ പോയിന്റ് ചേർക്കും: ഒരു പോയിന്റിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തൽ. ക്യൂബിനായി, ആവശ്യമായ ഫോർമുല ഇതിനകം ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ്:

ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങൾ നമുക്ക് നിർവചിക്കാം:

വീണ്ടും ശ്രദ്ധയും ശ്രദ്ധയും!

അന്ന് മുതൽ:

അങ്ങനെ:
- പ്രവർത്തനത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ ഭാഗം;
- പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗം.

രണ്ടാമത്തെ അവസ്ഥ പരിശോധിക്കുന്നു:

ഫലം ഒന്നുതന്നെയാണ്, എന്നാൽ വിപരീത അടയാളങ്ങളോടെ, അതായത്, വ്യവസ്ഥയും നിറവേറ്റപ്പെടുന്നു.

Cauchy-Riemann വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തികരമാണ്, അതിനാൽ പ്രവർത്തനം വ്യത്യസ്തമാണ്:

ആവശ്യമായ പോയിന്റിൽ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാം:

ഉത്തരം:,, കൗച്ചി-റീമാൻ വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തികരമാണ്,

ക്യൂബുകളുമായുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ സാധാരണമാണ്, അതിനാൽ ശക്തിപ്പെടുത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ:

ഉദാഹരണം 6

ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുക . Cauchy-Riemann വ്യവസ്ഥകളുടെ പൂർത്തീകരണം പരിശോധിക്കുക. കണക്കുകൂട്ടുക.

പാഠത്തിന്റെ അവസാനം പൂർത്തിയാക്കുന്നതിനുള്ള പരിഹാരവും ഉദാഹരണവും.

സങ്കീർണ്ണമായ വിശകലന സിദ്ധാന്തത്തിൽ, സങ്കീർണ്ണമായ ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ മറ്റ് പ്രവർത്തനങ്ങളും നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്: എക്‌സ്‌പോണന്റ്, സൈൻ, കോസൈൻ മുതലായവ. ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് അസാധാരണവും വിചിത്രവുമായ ഗുണങ്ങളുണ്ട് - ഇത് ശരിക്കും രസകരമാണ്! ഞാൻ ശരിക്കും നിങ്ങളോട് പറയാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു, പക്ഷേ ഇവിടെ, അത് സംഭവിക്കുന്നത് പോലെ, ഒരു റഫറൻസ് പുസ്തകമോ പാഠപുസ്തകമോ അല്ല, മറിച്ച് ഒരു പരിഹാര പുസ്തകമാണ്, അതിനാൽ ചില പൊതുവായ പ്രവർത്തനങ്ങളുമായി ഞാൻ ഇതേ പ്രശ്നം പരിഗണിക്കും.

വിളിക്കപ്പെടുന്നതിനെക്കുറിച്ച് ആദ്യം യൂലറുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ:

ആർക്കും സാധുവായഅക്കങ്ങൾ, ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സാധുവാണ്:

നിങ്ങൾക്ക് ഇത് നിങ്ങളുടെ നോട്ട്ബുക്കിലേക്ക് റഫറൻസ് മെറ്റീരിയലായി പകർത്താനും കഴിയും.

കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു സൂത്രവാക്യം മാത്രമേയുള്ളൂ, എന്നാൽ സാധാരണയായി സൗകര്യാർത്ഥം അവർ എക്‌സ്‌പോണന്റിൽ ഒരു മൈനസ് ഉള്ള ഒരു പ്രത്യേക കേസും എഴുതുന്നു. പരാമീറ്റർ ഒരൊറ്റ അക്ഷരമായിരിക്കണമെന്നില്ല; അതൊരു സങ്കീർണ്ണമായ പദപ്രയോഗമോ പ്രവർത്തനമോ ആകാം, അവർ അംഗീകരിക്കുന്നത് പ്രധാനമാണ് മാത്രം സാധുതയുള്ളഅർത്ഥങ്ങൾ. യഥാർത്ഥത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഇത് ഇപ്പോൾ കാണും:

ഉദാഹരണം 7

ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം:പാർട്ടിയുടെ പൊതു ലൈൻ അചഞ്ചലമായി തുടരുന്നു - ചടങ്ങിന്റെ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങൾ വേർതിരിച്ചറിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഞാൻ വിശദമായ ഒരു പരിഹാരം നൽകുകയും ചുവടെയുള്ള ഓരോ ഘട്ടത്തിലും അഭിപ്രായമിടുകയും ചെയ്യും:

അന്ന് മുതൽ:

(1) പകരം "z" പകരം വയ്ക്കുക.

(2) പകരത്തിനു ശേഷം, നിങ്ങൾ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട് സൂചകത്തിൽ ആദ്യംപ്രദർശകർ. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുക.

(3) സൂചകത്തിന്റെ സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗം ഞങ്ങൾ ഗ്രൂപ്പുചെയ്യുന്നു, സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ് ബ്രാക്കറ്റിനു പുറത്ത് സ്ഥാപിക്കുന്നു.

(4) ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രികൾക്കൊപ്പം സ്കൂൾ പ്രവർത്തനം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

(5) ഗുണിതത്തിനായി ഞങ്ങൾ യൂലറുടെ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു, കൂടാതെ .

(6) ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുക, ഫലമായി:

- പ്രവർത്തനത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ ഭാഗം;
- പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗം.

കൂടുതൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ സാധാരണമാണ്; കൗച്ചി-റീമാൻ വ്യവസ്ഥകളുടെ പൂർത്തീകരണം പരിശോധിക്കാം:

ഉദാഹരണം 9

ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുക . Cauchy-Riemann വ്യവസ്ഥകളുടെ പൂർത്തീകരണം പരിശോധിക്കുക. അങ്ങനെയാകട്ടെ, ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുകയില്ല.

പരിഹാരം:പരിഹാര അൽഗോരിതം മുമ്പത്തെ രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങളുമായി വളരെ സാമ്യമുള്ളതാണ്, എന്നാൽ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട പോയിന്റുകൾ ഉണ്ട്, അതിനാൽ പ്രാരംഭ ഘട്ടത്തിൽ ഘട്ടം ഘട്ടമായി ഞാൻ വീണ്ടും അഭിപ്രായമിടും:

അന്ന് മുതൽ:

1) പകരം "z" പകരം വയ്ക്കുക.

(2) ആദ്യം, ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു സൈനസിനുള്ളിൽ. ഈ ആവശ്യങ്ങൾക്കായി, ഞങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുന്നു.

(3) ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഒപ്പം .

(4) ഉപയോഗിക്കുക ഹൈപ്പർബോളിക് കോസൈന്റെ തുല്യത: ഒപ്പം ഹൈപ്പർബോളിക് സൈനിന്റെ വിചിത്രത: . ഹൈപ്പർബോളിക്‌സ്, ഈ ലോകത്തിന് പുറത്താണെങ്കിലും, പല തരത്തിലും സമാനമായ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളെ അനുസ്മരിപ്പിക്കുന്നു.

ഒടുവിൽ:
- പ്രവർത്തനത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ ഭാഗം;
- പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗം.

ശ്രദ്ധ!മൈനസ് ചിഹ്നം സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഒരു സാഹചര്യത്തിലും നമുക്ക് അത് നഷ്ടപ്പെടരുത്! വ്യക്തമായ ഒരു ചിത്രീകരണത്തിനായി, മുകളിൽ ലഭിച്ച ഫലം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാം:

കൗച്ചി-റീമാൻ വ്യവസ്ഥകളുടെ പൂർത്തീകരണം പരിശോധിക്കാം:

കൗച്ചി-റീമാൻ വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തികരമാണ്.

ഉത്തരം:,, Cauchy-Riemann വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തികരമാണ്.

സ്ത്രീകളേ, നമുക്ക് ഇത് സ്വയം കണ്ടെത്താം:

ഉദാഹരണം 10

പ്രവർത്തനത്തിന്റെ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുക. Cauchy-Riemann വ്യവസ്ഥകളുടെ പൂർത്തീകരണം പരിശോധിക്കുക.

ഞാൻ മനഃപൂർവ്വം കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്തു, കാരണം ഷെൽഡ് നിലക്കടല പോലെ എല്ലാവർക്കും എന്തെങ്കിലും നേരിടാൻ കഴിയുമെന്ന് തോന്നുന്നു. അതേ സമയം, നിങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധ പരിശീലിപ്പിക്കും! പാഠത്തിന്റെ അവസാനം നട്ട് ക്രാക്കർ.

ശരി, ഉപസംഹാരമായി, സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു വാദം ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഉള്ളപ്പോൾ രസകരമായ മറ്റൊരു ഉദാഹരണം ഞാൻ നോക്കാം. ഇത് പ്രായോഗികമായി രണ്ട് തവണ സംഭവിച്ചു, നമുക്ക് ലളിതമായ ഒന്ന് നോക്കാം. ഓ, എനിക്ക് വയസ്സായി...

ഉദാഹരണം 11

പരിഹാരം:ഫംഗ്ഷന്റെ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങൾ വേർതിരിച്ചറിയാൻ വീണ്ടും അത് ആവശ്യമാണ്.
എങ്കിൽ, പിന്നെ

ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു, "Z" ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ആയിരിക്കുമ്പോൾ എന്തുചെയ്യണം?

എല്ലാം ലളിതമാണ് - സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഒന്ന് സഹായിക്കും സംയോജിത പദപ്രയോഗം കൊണ്ട് ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഗുണിക്കുന്ന രീതി, പാഠത്തിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ഇത് ഇതിനകം ഉപയോഗിച്ചിട്ടുണ്ട് ഡമ്മികൾക്കുള്ള സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ. സ്കൂൾ ഫോർമുല ഓർക്കാം. ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഉണ്ട്, അതായത് സംയോജിത പദപ്രയോഗം . അതിനാൽ, നിങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഇപ്രകാരം ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

എവിടെ
യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്, കൂടാതെ - വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു പ്രത്യേക കഥാപാത്രം സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ് . ഒരു സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റിന്, നിർവചനം അനുസരിച്ച് അത് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു
.

(4.1) – ബീജഗണിത രൂപം സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ, കൂടാതെ
വിളിച്ചു യഥാർത്ഥ ഭാഗം സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ, കൂടാതെ
-സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗം .

നമ്പർ
വിളിച്ചു സങ്കീർണ്ണമായ സംയോജനം നമ്പറിലേക്ക്
.

രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ നൽകട്ടെ
,
.

1. തുക
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ ഒപ്പം ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു

2. വ്യത്യാസം കൊണ്ട്
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ ഒപ്പം ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു

3. ജോലി
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ ഒപ്പം ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു

4. സ്വകാര്യം ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയെ ഹരിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയിലേക്ക്
ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു

പരാമർശം 4.1. അതായത്, ബീജഗണിതത്തിലെ അക്ഷര പദപ്രയോഗങ്ങളിലെ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സാധാരണ നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായാണ് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നത്.

ഉദാഹരണം 4.1.സങ്കീർണ്ണമായ നമ്പറുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. 1) .

4) ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ സങ്കീർണ്ണ സംയോജനത്താൽ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും

ത്രികോണമിതി രൂപം സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ:

എവിടെ
- ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ്,
ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ വാദം. കോർണർ ഒരു പദം വരെ അദ്വിതീയമായി നിർവചിച്ചിട്ടില്ല
:

,
.

- വാദത്തിന്റെ പ്രധാന മൂല്യം, വ്യവസ്ഥയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു

, (അഥവാ
).

പ്രകടനാത്മക രൂപം സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ:

റൂട്ട്
സംഖ്യയുടെ ശക്തി അതിനുണ്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്ന വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങൾ

എവിടെ
.

മൂല്യങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന പോയിന്റുകൾ
, ശരിയായതിന്റെ ശീർഷകങ്ങളാണ്
ദൂരത്തിന്റെ ഒരു വൃത്തത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്ത ഒരു ചതുരം
ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് കേന്ദ്രം.

ഉദാഹരണം 4.2.എല്ലാ റൂട്ട് മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക
.

പരിഹാരം.നമുക്ക് ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ സങ്കൽപ്പിക്കാം
ത്രികോണമിതി രൂപത്തിൽ:

, എവിടെ
.

പിന്നെ
. അതിനാൽ, ഫോർമുല അനുസരിച്ച് (4.2)
നാല് അർത്ഥങ്ങളുണ്ട്:

,
.

വിശ്വസിക്കുന്നു
, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

,
,

, .

ഇവിടെ ഞങ്ങൾ ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ മൂല്യങ്ങളെ അതിന്റെ പ്രധാന മൂല്യത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്തു.

സങ്കീർണ്ണമായ വിമാനത്തിൽ സജ്ജീകരിക്കുന്നു

കോംപ്ലക്സ് നമ്പർ
ഒരു വിമാനത്തിൽ ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു
ഡോട്ട്
കോർഡിനേറ്റുകൾക്കൊപ്പം
. മൊഡ്യൂൾ
വാദവും
പോയിന്റിന്റെ ധ്രുവീയ കോർഡിനേറ്റുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു
.

അസമത്വം ഓർക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്
ഒരു ബിന്ദുവിൽ കേന്ദ്രമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തെ നിർവചിക്കുന്നു ആരം . അസമത്വം
നേർരേഖയുടെ വലതുവശത്ത് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഒരു അർദ്ധ-തലം നിർവ്വചിക്കുന്നു
, അസമത്വവും
- നേർരേഖയ്ക്ക് മുകളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന അർദ്ധതലം
. കൂടാതെ, അസമത്വങ്ങളുടെ സംവിധാനം
കിരണങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ സജ്ജമാക്കുന്നു
ഒപ്പം
ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് പുറപ്പെടുന്നു.

ഉദാഹരണം 4.3.അസമത്വങ്ങളാൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ട പ്രദേശം വരയ്ക്കുക:
.

പരിഹാരം.ആദ്യത്തെ അസമത്വം ബിന്ദുവിൽ കേന്ദ്രമുള്ള ഒരു വളയവുമായി യോജിക്കുന്നു
കൂടാതെ രണ്ട് ആരം 1 ഉം 2 ഉം, സർക്കിളുകൾ പ്രദേശത്ത് ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല (ചിത്രം 4.1).

രണ്ടാമത്തെ അസമത്വം കിരണങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള കോണുമായി യോജിക്കുന്നു
(4-ആം കോർഡിനേറ്റ് കോണിന്റെ ദ്വിഭാഗം) കൂടാതെ
(പോസിറ്റീവ് അക്ഷ ദിശ
). കിരണങ്ങൾ സ്വയം മേഖലയിൽ പ്രവേശിക്കുന്നില്ല (ചിത്രം 4.2).

ലഭിച്ച രണ്ട് മേഖലകളുടെ വിഭജനമാണ് ആവശ്യമുള്ള പ്രദേശം (ചിത്രം 4.3)

4.2 ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ

സിംഗിൾ-വാല്യൂഡ് ഫംഗ്‌ഷൻ അനുവദിക്കുക
മേഖലയിൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ടതും തുടർച്ചയായതും
, എ - കഷണങ്ങളായി മിനുസമാർന്ന അടച്ചതോ അല്ലാത്തതോ ആയ ഓറിയന്റഡ് കർവ് കിടക്കുന്നു
. പതിവുപോലെ വരട്ടെ,
,, എവിടെ
,
- വേരിയബിളുകളുടെ യഥാർത്ഥ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഒപ്പം .

ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഇന്റഗ്രൽ കണക്കാക്കുന്നു
സങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിൾ സാധാരണ curvilinear ഇന്റഗ്രലുകൾ കണക്കാക്കുന്നത് കുറയ്ക്കുന്നു, അതായത്

ചടങ്ങാണെങ്കിൽ
ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ച ഡൊമെയ്‌നിലെ വിശകലനം
, പോയിന്റുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു ഒപ്പം , അപ്പോൾ ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല കൈവശം വയ്ക്കുന്നു:

എവിടെ
- ഫംഗ്ഷനുള്ള ചില ആന്റിഡെറിവേറ്റീവ്
, അതാണ്
പ്രദേശത്ത്
.

ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിന്റെ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഇന്റഗ്രലുകളിൽ, ഒരാൾക്ക് വേരിയബിളിന്റെ മാറ്റം വരുത്താൻ കഴിയും, കൂടാതെ ഒരു യഥാർത്ഥ വേരിയബിളിന്റെ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഇന്റഗ്രലുകൾ കണക്കാക്കുമ്പോൾ അത് എങ്ങനെ ചെയ്യുന്നു എന്നതിന് സമാനമാണ് ഭാഗങ്ങളുടെ സംയോജനം.

ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് പുറപ്പെടുന്ന ഒരു വരിയുടെ ഭാഗമാണ് സംയോജന പാതയെങ്കിൽ എന്നതും ശ്രദ്ധിക്കുക , അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ബിന്ദുവിൽ കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ഭാഗം , തുടർന്ന് ഫോമിന്റെ വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്
. ആദ്യ കേസിൽ
, എ - യഥാർത്ഥ സംയോജന വേരിയബിൾ; രണ്ടാമത്തെ കേസിൽ
, എ - യഥാർത്ഥ ഇന്റഗ്രേഷൻ വേരിയബിൾ.

ഉദാഹരണം 4.4.കണക്കാക്കുക
പരവലയത്താൽ
പോയിന്റിൽ നിന്ന്
വിഷയത്തിലേക്ക്
(ചിത്രം 4.4).

പരിഹാരം.ഫോമിൽ നമുക്ക് ഇന്റഗ്രാൻഡ് മാറ്റിയെഴുതാം

പിന്നെ
,
. നമുക്ക് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാം (4.3):

കാരണം
, അത്
,
. അതുകൊണ്ടാണ്

ഉദാഹരണം 4.5.ഇന്റഗ്രൽ കണക്കാക്കുക
, എവിടെ - ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആർക്ക്
,
(ചിത്രം 4.5) .

പരിഹാരം.പറയട്ടെ
, പിന്നെ
,
,
. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഫംഗ്ഷൻ
, സിംഗിൾ-മൂല്യമുള്ളതും റിംഗിൽ വിശകലനം ചെയ്യുന്നതും
, ഈ വളയത്തിൽ വിഘടിക്കുന്നു ലോറന്റ് സീരീസ്

ഫോർമുലയിൽ (4.5) പരമ്പര
വിളിച്ചു പ്രധാന ഭാഗം ലോറന്റിന്റെ പരമ്പരയും പരമ്പരയും
വിളിച്ചു വലത് ഭാഗം ലോറന്റ് സീരീസ്.

നിർവ്വചനം 4.1. ഡോട്ട് വിളിച്ചുഒറ്റപ്പെട്ട ഏക ബിന്ദു പ്രവർത്തനങ്ങൾ
, ഈ പോയിന്റിന്റെ ഒരു അയൽപക്കമുണ്ടെങ്കിൽ അതിൽ പ്രവർത്തനം നടക്കുന്നു
പോയിന്റ് ഒഴികെ എല്ലായിടത്തും വിശകലനം .

ഫംഗ്ഷൻ
ഒരു പോയിന്റിന്റെ പരിസരത്ത് ഒരു ലോറന്റ് സീരീസിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ലോറന്റ് സീരീസ് ചെയ്യുമ്പോൾ മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത കേസുകൾ സാധ്യമാണ്:

1) വ്യത്യാസത്തിന്റെ നെഗറ്റീവ് ശക്തികളുള്ള പദങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ല
, അതാണ്

(ലോറന്റിന്റെ പരമ്പരയിൽ പ്രധാന ഭാഗം അടങ്ങിയിട്ടില്ല). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ വിളിച്ചു നീക്കം ചെയ്യാവുന്ന ഏക ബിന്ദു പ്രവർത്തനങ്ങൾ
;

2) വ്യത്യാസത്തിന്റെ നെഗറ്റീവ് ശക്തികളുള്ള പരിമിതമായ എണ്ണം പദങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു
, അതാണ്

ഒപ്പം
. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പോയിന്റ് വിളിച്ചു ക്രമത്തിന്റെ ധ്രുവം പ്രവർത്തനങ്ങൾ
;

3) നെഗറ്റീവ് ശക്തികളുള്ള അനന്തമായ പദങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു:

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പോയിന്റ് വിളിച്ചു അടിസ്ഥാനപരമായി ഒരു പ്രത്യേക പോയിന്റ് പ്രവർത്തനങ്ങൾ
.

ഒരു ഒറ്റപ്പെട്ട ഏകവചനത്തിന്റെ സ്വഭാവം നിർണ്ണയിക്കുമ്പോൾ, ഒരു ലോറന്റ് സീരീസ് വിപുലീകരണത്തിനായി നോക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. ഒറ്റപ്പെട്ട ഏകവചന പോയിന്റുകളുടെ വിവിധ ഗുണങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം.

1) ഫംഗ്‌ഷന്റെ നീക്കം ചെയ്യാവുന്ന ഏക ബിന്ദു ആണ്
, ഫംഗ്‌ഷന്റെ പരിമിതമായ ഒരു പരിധി ഉണ്ടെങ്കിൽ
പോയിന്റിൽ :

2) പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഒരു ധ്രുവമാണ്
, എങ്കിൽ

3) ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഒരു പ്രധാന പോയിന്റാണ്
, എങ്കിൽ
ഒരു ഫംഗ്‌ഷന് പരിധിയില്ല, പരിമിതമോ അനന്തമോ അല്ല.

നിർവ്വചനം 4.2. ഡോട്ട് വിളിച്ചുപൂജ്യം
ആദ്യ ഓർഡർ (അല്ലെങ്കിൽ ബഹുസ്വരത ) പ്രവർത്തനങ്ങൾ
, ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ:

…,

.

പരാമർശം 4.2. ഡോട്ട് പൂജ്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം
ആദ്യ ഓർഡർ പ്രവർത്തനങ്ങൾ
, ഈ പോയിന്റിലെ ചില അയൽപക്കങ്ങളിൽ സമത്വം നിലനിൽക്കുമ്പോൾ

എവിടെയാണ് പ്രവർത്തനം
ഒരു ഘട്ടത്തിൽ വിശകലനം ഒപ്പം

4) പോയിന്റ് ക്രമത്തിന്റെ ധ്രുവമാണ് (
) പ്രവർത്തനങ്ങൾ
, ഈ പോയിന്റ് പൂജ്യം ക്രമമാണെങ്കിൽ പ്രവർത്തനത്തിന്
.

5) അനുവദിക്കുക - ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഒറ്റപ്പെട്ട ഏക ബിന്ദു
, എവിടെ
- ഒരു ഘട്ടത്തിൽ വിശകലന പ്രവർത്തനങ്ങൾ . പിന്നെ കാര്യം പറയട്ടെ പൂജ്യം ക്രമമാണ് പ്രവർത്തനങ്ങൾ
പൂജ്യം ക്രമവും പ്രവർത്തനങ്ങൾ
.

ചെയ്തത്
ഡോട്ട് ക്രമത്തിന്റെ ധ്രുവമാണ്
പ്രവർത്തനങ്ങൾ
.

ചെയ്തത്
ഡോട്ട് ഫംഗ്‌ഷന്റെ നീക്കം ചെയ്യാവുന്ന ഏക ബിന്ദു ആണ്
.

ഉദാഹരണം 4.6.ഒറ്റപ്പെട്ട പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തി ഒരു ഫംഗ്‌ഷനായി അവയുടെ തരം നിർണ്ണയിക്കുക
.

പരിഹാരം.പ്രവർത്തനങ്ങൾ
ഒപ്പം
- മുഴുവൻ സങ്കീർണ്ണ തലത്തിലും വിശകലനം. ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏക ബിന്ദുക്കൾ എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം
ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ പൂജ്യങ്ങളാണ്, അതായത് പോയിന്റുകൾ
. അത്തരം ധാരാളം പോയിന്റുകൾ ഉണ്ട്. ഒന്നാമതായി, ഇതാണ് പോയിന്റ്
, അതുപോലെ സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന പോയിന്റുകൾ
. ഇവിടെ നിന്ന്
ഒപ്പം
.

കാര്യം പരിഗണിക്കുക
. ഈ ഘട്ടത്തിൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

,
,

,
.

പൂജ്യത്തിന്റെ ക്രമം
.

,
,

,
.

അതിനാൽ, കാലഘട്ടം
രണ്ടാം ക്രമത്തിന്റെ ഒരു ധ്രുവമാണ് (
).

. പിന്നെ

,
.

പൂജ്യം ന്യൂമറേറ്ററിന്റെ ക്രമം
.

,
,
.

ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ പൂജ്യത്തിന്റെ ക്രമം
. അതിനാൽ, പോയിന്റുകൾ
ചെയ്തത്
ആദ്യ ക്രമത്തിന്റെ ധ്രുവങ്ങളാണ് ( ലളിതമായ ധ്രുവങ്ങൾ ).

സിദ്ധാന്തം 4.1. (അവശിഷ്ടങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള കൗച്ചിയുടെ സിദ്ധാന്തം ). ചടങ്ങാണെങ്കിൽ
അതിർത്തിയിൽ അനലിറ്റിക് ആണ് പ്രദേശം
കൂടാതെ, പരിമിതമായ ഏകവചന പോയിന്റുകൾ ഒഴികെ, മേഖലയ്ക്കുള്ളിൽ എല്ലായിടത്തും
, അത്

ഇന്റഗ്രലുകൾ കണക്കാക്കുമ്പോൾ, ഫംഗ്ഷന്റെ എല്ലാ ഏകവചന പോയിന്റുകളും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം കണ്ടെത്തുന്നത് മൂല്യവത്താണ്
, തുടർന്ന് കോണ്ടൂർ, സിംഗുലാർ പോയിന്റുകൾ വരയ്ക്കുക, അതിനുശേഷം ഇന്റഗ്രേഷൻ കോണ്ടറിനുള്ളിൽ വരുന്ന പോയിന്റുകൾ മാത്രം തിരഞ്ഞെടുക്കുക. ഒരു ചിത്രമില്ലാതെ ശരിയായ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് നടത്തുന്നത് പലപ്പോഴും ബുദ്ധിമുട്ടാണ്.

കിഴിവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള രീതി
സിംഗുലാർ പോയിന്റിന്റെ തരത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, അവശിഷ്ടം കണക്കാക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, നിങ്ങൾ സിംഗുലാർ പോയിന്റിന്റെ തരം നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

1) ഒരു ബിന്ദുവിലെ ഒരു പ്രവർത്തനത്തിന്റെ അവശിഷ്ടം ലോറന്റ് വികാസത്തിലെ മൈനസ് ഫസ്റ്റ് ഡിഗ്രിയുടെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്
ഒരു പോയിന്റിന്റെ പരിസരത്ത് :

ഈ പ്രസ്താവന എല്ലാത്തരം ഒറ്റപ്പെട്ട പോയിന്റുകൾക്കും ശരിയാണ്, അതിനാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഒരു ഏകവചനത്തിന്റെ തരം നിർണ്ണയിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല.

2) നീക്കം ചെയ്യാവുന്ന ഏക പോയിന്റിലെ അവശിഷ്ടം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

3) എങ്കിൽ ഒരു ലളിതമായ ധ്രുവമാണ് (ആദ്യ ക്രമത്തിന്റെ ധ്രുവം), കൂടാതെ ഫംഗ്ഷൻ
രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം
, എവിടെ
,
(ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ശ്രദ്ധിക്കുക
), തുടർന്ന് പോയിന്റിലെ അവശിഷ്ടം തുല്യമാണ്

പ്രത്യേകിച്ചും, എങ്കിൽ
, അത്
.

4) എങ്കിൽ - ലളിതമായ പോൾ, പിന്നെ

5) എങ്കിൽ - പോൾ
th ഓർഡർ ഫംഗ്ഷൻ
, അത്

ഉദാഹരണം 4.7.ഇന്റഗ്രൽ കണക്കാക്കുക
.

പരിഹാരം.സംയോജനത്തിന്റെ ഏക ബിന്ദുക്കൾ കണ്ടെത്തുന്നു
. ഫംഗ്ഷൻ
രണ്ട് ഏക പോയിന്റുകൾ ഉണ്ട്
ഒപ്പം
കോണ്ടറിനുള്ളിൽ ഒരു പോയിന്റ് മാത്രം വീഴുന്നു
(ചിത്രം 4.6). ഡോട്ട്
- രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ പോൾ, മുതൽ
ഫംഗ്‌ഷനുള്ള മൾട്ടിപ്പിൾ 2 ന്റെ പൂജ്യമാണ്
.

തുടർന്ന്, ഫോർമുല (4.7) ഉപയോഗിച്ച്, ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഞങ്ങൾ അവശിഷ്ടം കണ്ടെത്തുന്നു:

സിദ്ധാന്തം 4.1 വഴി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

വിദ്യാഭ്യാസത്തിനുള്ള ഫെഡറൽ ഏജൻസി

___________________________________

സെന്റ് പീറ്റേഴ്സ്ബർഗ് സംസ്ഥാനം

ഇലക്ട്രോ ടെക്നിക്കൽ യൂണിവേഴ്സിറ്റി "LETI"

_______________________________________

ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തം

മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശങ്ങൾ

പ്രായോഗിക ക്ലാസുകളിലേക്ക്

ഉയർന്ന ഗണിതത്തിൽ

സെന്റ് പീറ്റേഴ്സ്ബർഗ്

പബ്ലിഷിംഗ് ഹൗസ് SPbSETU "LETI"

UDC 512.64(07)

TFKP: പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതിശാസ്ത്ര നിർദ്ദേശങ്ങൾ / സമാഹരിച്ചത്: V.G. Dyumin, A.M. Kotochigov, N.N. Sosnovsky സെന്റ് പീറ്റേഴ്സ്ബർഗ്: സെന്റ് പീറ്റേഴ്സ്ബർഗ് സ്റ്റേറ്റ് ഇലക്ട്രോ ടെക്നിക്കൽ യൂണിവേഴ്സിറ്റിയുടെ പബ്ലിഷിംഗ് ഹൗസ് "LETI", 2010. 32 പേ.

അംഗീകരിച്ചു

യൂണിവേഴ്സിറ്റിയുടെ എഡിറ്റോറിയൽ ആൻഡ് പബ്ലിഷിംഗ് കൗൺസിൽ

മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശങ്ങളായി

സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ, പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, യഥാർത്ഥ വിമാനത്തിന്റെ മാപ്പിംഗിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്
അതിൽ തന്നെ റെക്കോർഡിംഗ് രൂപത്തിൽ മാത്രം. സങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്ലാസാണ് പ്രധാനപ്പെട്ടതും വളരെ ഉപയോഗപ്രദവുമായ വസ്തു,

ഒരു വേരിയബിളിന്റെ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ അതേ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉള്ളത്. നിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്ക് ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളും ദിശാസൂചന ഡെറിവേറ്റീവുകളും ഉണ്ടാകുമെന്ന് അറിയാം, പക്ഷേ, ഒരു ചട്ടം പോലെ, വ്യത്യസ്ത ദിശകളിലുള്ള ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല, കൂടാതെ ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാൻ കഴിയില്ല. എന്നിരുന്നാലും, സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് അവ വ്യത്യാസം അനുവദിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ വിവരിക്കാൻ കഴിയും. സങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിളിന്റെ ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം രീതിശാസ്ത്ര നിർദ്ദേശങ്ങളുടെ ഉള്ളടക്കമാണ്. അത്തരം ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ സവിശേഷതകൾ വിവിധ പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് കാണിക്കുന്നതിനാണ് നിർദ്ദേശങ്ങൾ ലക്ഷ്യമിടുന്നത്. സങ്കീർണ്ണമായ സംഖ്യകളുമായുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളിലെ അടിസ്ഥാന വൈദഗ്ധ്യവും ലളിതമായ ജ്യാമിതീയ വസ്തുക്കളുമായി പരിചയവുമില്ലാതെ അവതരിപ്പിച്ച മെറ്റീരിയലിന്റെ വിജയകരമായ വൈദഗ്ദ്ധ്യം അസാധ്യമാണ്, ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന അസമത്വങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്, അതിന്റെ മോഡുലസും വാദവും. ഇതിന് ആവശ്യമായ എല്ലാ വിവരങ്ങളുടെയും സംഗ്രഹം മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശങ്ങളിൽ കാണാം.

ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിന്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഉപകരണം: പരിധികൾ, ഡെറിവേറ്റീവുകൾ, ഇന്റഗ്രലുകൾ, ശ്രേണികൾ എന്നിവ മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശങ്ങളുടെ വാചകത്തിൽ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഈ ആശയങ്ങൾക്ക് അതിന്റേതായ പ്രത്യേകതകൾ ഉള്ളിടത്ത്, ഒരു വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ഉചിതമായ വിശദീകരണങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു, എന്നാൽ മിക്ക കേസുകളിലും യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങൾ വേർതിരിച്ച് അവയ്ക്ക് യഥാർത്ഥ വിശകലനത്തിന്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഉപകരണം പ്രയോഗിച്ചാൽ മതിയാകും.

1. ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിന്റെ പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ

ഏത് എലിമെന്ററി ഫംഗ്ഷനുകൾക്ക് ഈ ഗുണമുണ്ടെന്ന് കണ്ടെത്തി സങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിളിന്റെ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ വ്യത്യാസത്തിനുള്ള വ്യവസ്ഥകളെക്കുറിച്ചുള്ള ചർച്ച ആരംഭിക്കുന്നത് സ്വാഭാവികമാണ്. വ്യക്തമായ ബന്ധത്തിൽ നിന്ന്

ഏത് പോളിനോമിയലും വേർതിരിക്കാവുന്നതാണെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു. കൂടാതെ, ഒരു പവർ സീരീസിനെ അതിന്റെ സംയോജന വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ പദമനുസരിച്ച് വേർതിരിക്കാൻ കഴിയുന്നതിനാൽ,

അപ്പോൾ ഏത് ഫംഗ്ഷനും ടെയ്‌ലർ സീരീസിൽ വിപുലീകരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സമീപത്തുള്ള പോയിന്റുകളിൽ വ്യത്യാസമുണ്ട്. ഇത് മതിയായ വ്യവസ്ഥയാണ്, പക്ഷേ, ഉടൻ തന്നെ വ്യക്തമാകും, അത് ആവശ്യമാണ്. ഫംഗ്‌ഷൻ ഗ്രാഫിന്റെ സ്വഭാവം നിരീക്ഷിച്ചുകൊണ്ട് ഒരു വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളെ അവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവിനെ സംബന്ധിച്ചുള്ള പഠനത്തെ പിന്തുണയ്ക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് ഇത് സാധ്യമല്ല. ഗ്രാഫ് പോയിന്റുകൾ ഡൈമൻഷൻ 4 ന്റെ ഒരു സ്പെയ്സിലാണ്.

എന്നിരുന്നാലും, സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിലെ വളരെ ലളിതമായ സെറ്റുകളുടെ ചിത്രങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നതിലൂടെ ഫംഗ്ഷന്റെ ചില ഗ്രാഫിക്കൽ പ്രാതിനിധ്യം ലഭിക്കും.
, തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ സ്വാധീനത്തിൽ ഉണ്ടാകുന്നതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് നിരവധി ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ

ഈ ലളിതമായ ഫംഗ്‌ഷൻ വളരെ പ്രധാനമാണ്, കാരണം ഏത് ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്‌ഷനും പ്രാദേശികമായി ഒരു ലീനിയറിന് സമാനമാണ്. പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പ്രവർത്തനം പരമാവധി വിശദമായി പരിഗണിക്കാം

ഇവിടെ
-- ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് ഒപ്പം -- അവന്റെ വാദം. അങ്ങനെ, ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ സ്ട്രെച്ചിംഗ്, റൊട്ടേഷൻ, വിവർത്തനം എന്നിവ നടത്തുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു ലീനിയർ മാപ്പിംഗ് ഏത് സെറ്റിനെയും സമാനമായ സെറ്റിലേക്ക് കൊണ്ടുപോകുന്നു. പ്രത്യേകിച്ചും, ഒരു ലീനിയർ മാപ്പിംഗിന്റെ സ്വാധീനത്തിൽ, നേർരേഖകൾ നേർരേഖകളായി മാറുന്നു, സർക്കിളുകൾ സർക്കിളുകളായി മാറുന്നു.

ഫംഗ്ഷൻ

ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ ലീനിയർ കഴിഞ്ഞാൽ ഏറ്റവും സങ്കീർണ്ണമാണ്. ഇത് ഏതെങ്കിലും വരിയെ നേർരേഖയായും ഒരു വൃത്തത്തെ ഒരു വൃത്തമായും മാറ്റുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണ്; ഇത് സംഭവിക്കുന്നില്ലെന്ന് ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു, എന്നിരുന്നാലും, ഈ ഫംഗ്ഷൻ എല്ലാ വരികളുടെയും സർക്കിളുകളുടെയും ഗണത്തെ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നുവെന്ന് കാണിക്കാൻ കഴിയും. തന്നെ. ഇത് സ്ഥിരീകരിക്കുന്നതിന്, മാപ്പിംഗിന്റെ യഥാർത്ഥ (കോർഡിനേറ്റ്) വിവരണത്തിലേക്ക് പോകുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്

തെളിവിന് വിപരീത മാപ്പിംഗിന്റെ ഒരു വിവരണം ആവശ്യമാണ്

എങ്കിൽ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക
, അപ്പോൾ നമുക്ക് വരിയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം ലഭിക്കും. എങ്കിൽ
, അത്

അതിനാൽ, എപ്പോൾ
ഒരു ഏകപക്ഷീയ വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം ലഭിക്കും.

എങ്കിൽ ശ്രദ്ധിക്കുക
ഒപ്പം
, തുടർന്ന് വൃത്തം ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു. എങ്കിൽ
ഒപ്പം
, അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖ ലഭിക്കും.

വിപരീത പ്രവർത്തനത്തിന് കീഴിൽ, പരിഗണനയിലുള്ള സമവാക്യം രൂപത്തിൽ വീണ്ടും എഴുതപ്പെടും

, (
)

അഥവാ . ഇത് വൃത്തങ്ങളെയോ നേർരേഖകളെയോ വിവരിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യം കൂടിയാണെന്ന് കാണാൻ കഴിയും. സമവാക്യത്തിലെ ഗുണകങ്ങൾ എന്ന വസ്തുത ഒപ്പം
സ്വാപ്പ് ചെയ്ത സ്ഥലങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത് വിപരീത സമയത്ത്, 0 ലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖകൾ സർക്കിളുകളായി മാറും, 0 യിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വൃത്തങ്ങൾ നേർരേഖകളായി മാറും എന്നാണ്.

പവർ പ്രവർത്തനങ്ങൾ

ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകളും നേരത്തെ ചർച്ച ചെയ്‌തവയും തമ്മിലുള്ള പ്രധാന വ്യത്യാസം അവ പരസ്പരം ഒന്നല്ല എന്നതാണ് (
). ഫങ്ഷൻ എന്ന് പറയാം
സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു വിമാനത്തെ ഒരേ വിമാനത്തിന്റെ രണ്ട് പകർപ്പുകളാക്കി മാറ്റുന്നു. ഈ വിഷയത്തിന്റെ കൃത്യമായ ചികിത്സയ്ക്ക് റീമാൻ ഉപരിതലങ്ങളുടെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഉപകരണത്തിന്റെ ഉപയോഗം ആവശ്യമാണ് കൂടാതെ ഇവിടെ പരിഗണിക്കുന്ന പ്രശ്നങ്ങളുടെ പരിധിക്കപ്പുറമാണ്. സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തെ സെക്ടറുകളായി വിഭജിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്, അവ ഓരോന്നും സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിലേക്ക് മാപ്പ് ചെയ്യുന്നു. ഫംഗ്‌ഷന്റെ തകർച്ചയാണിത്
ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, മുകളിലെ അർദ്ധ-തലം ഫംഗ്‌ഷൻ പ്രകാരം സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിലേക്ക് ഒന്ന്-ടു-ഒന്ന് മാപ്പ് ചെയ്യുന്നു
. അത്തരം ചിത്രങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ വികലങ്ങൾ വിപരീതത്തിന്റെ കാര്യത്തേക്കാൾ വിവരിക്കാൻ കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. ഒരു വ്യായാമമെന്ന നിലയിൽ, പ്രദർശിപ്പിക്കുമ്പോൾ മുകളിലെ അർദ്ധ-തലത്തിന്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഗ്രിഡ് എന്തായി മാറുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും.

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഗ്രിഡ് പരവലയങ്ങളുടെ ഒരു കുടുംബമായി രൂപാന്തരപ്പെടുന്നതായി കാണാൻ കഴിയും, അത് വിമാനത്തിൽ വളഞ്ഞ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഒരു സംവിധാനമായി മാറുന്നു.
. മുകളിൽ വിവരിച്ച വിമാനത്തിന്റെ വിഭജനം അത്തരം പ്രവർത്തനമാണ്
ഓരോന്നും പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നു മുഴുവൻ വിമാനത്തിലും ഉള്ള സെക്ടറുകൾ. ഫോർവേഡ്, റിവേഴ്സ് മാപ്പിംഗിന്റെ വിവരണം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു

അതിനാൽ പ്രവർത്തനം
അതിനുണ്ട് വിവിധ വിപരീത പ്രവർത്തനങ്ങൾ,

വിമാനത്തിന്റെ വിവിധ മേഖലകളിൽ വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു

അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ മാപ്പിംഗ് മൾട്ടി ഷീറ്റ് ആണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.

Zhukovsky ഫംഗ്ഷൻ

സുക്കോവ്സ്കി സൃഷ്ടിച്ച വിമാന ചിറകിന്റെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം രൂപപ്പെടുത്തിയതിനാൽ ഈ പ്രവർത്തനത്തിന് അതിന്റേതായ പേരുണ്ട് (ഈ രൂപകൽപ്പനയുടെ വിവരണം പുസ്തകത്തിൽ കാണാം). ഫംഗ്‌ഷന് രസകരമായ നിരവധി പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉണ്ട്, അവയിലൊന്നിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാം - ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ ഏതൊക്കെ സെറ്റുകളിൽ ഒന്നായി പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് കണ്ടെത്തുക. സമത്വം പരിഗണിക്കുക

, എവിടെ
.

തൽഫലമായി, ഏത് ഡൊമെയ്‌നിലും സുക്കോവ്‌സ്‌കി ഫംഗ്‌ഷൻ ഒന്ന്-ടു-വൺ ആണ് ഒപ്പം അവരുടെ ഉൽപ്പന്നം ഒന്നിന് തുല്യമല്ല. ഇവയാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, ഓപ്പൺ യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ
അടഞ്ഞ യൂണിറ്റ് സർക്കിളിന്റെ പൂരകവും
.

ഒരു സർക്കിളിൽ Zhukovsky ഫംഗ്ഷന്റെ പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കുക

യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങൾ വേർതിരിക്കുമ്പോൾ, ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ പാരാമെട്രിക് സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും.

,
.

എങ്കിൽ
, അപ്പോൾ ഈ ദീർഘവൃത്തങ്ങൾ മുഴുവൻ വിമാനവും നിറയ്ക്കുന്നു. സെഗ്‌മെന്റുകളുടെ ഇമേജുകൾ ഹൈപ്പർബോളുകളാണെന്ന് സമാനമായ രീതിയിൽ സ്ഥിരീകരിക്കാൻ കഴിയും

എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ

മുഴുവൻ സങ്കീർണ്ണ തലത്തിലും തികച്ചും കൂടിച്ചേരുന്ന ഒരു പവർ സീരീസിലേക്ക് ഫംഗ്ഷൻ വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിയും; അതിനാൽ, ഇത് എല്ലായിടത്തും വ്യത്യസ്തമാണ്. ഫംഗ്‌ഷൻ വൺ-ടു-വൺ ആയ സെറ്റുകളെ നമുക്ക് വിവരിക്കാം. വ്യക്തമായ സമത്വം
വിമാനത്തെ സ്ട്രിപ്പുകളുടെ ഒരു കുടുംബമായി വിഭജിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് കാണിക്കുന്നു, അവയിൽ ഓരോന്നിനും ഒരു ഫംഗ്ഷൻ മുഴുവൻ സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിലേക്ക് മാപ്പ് ചെയ്യുന്നു. വിപരീത പ്രവർത്തനം, അല്ലെങ്കിൽ, കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, വിപരീത പ്രവർത്തനങ്ങൾ എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ ഈ പാർട്ടീഷൻ അത്യാവശ്യമാണ്. ഓരോ വരയിലും സ്വാഭാവികമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട വിപരീത മാപ്പിംഗ് ഉണ്ട്