രീതി ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ്നിരവധി സാമ്പത്തിക പ്രശ്നങ്ങൾ വിജയകരമായി പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു (ഉദാഹരണത്തിന്, കാണുക). അത്തരം ഏറ്റവും ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങളിലൊന്ന് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ഞങ്ങളുടെ പക്കൽ ചില റിസർവ് ഫണ്ടുകൾ (വിഭവങ്ങൾ) കെ ഉണ്ട്, അത് സംരംഭങ്ങൾക്കിടയിൽ വിതരണം ചെയ്യണം. ഓരോ എന്റർപ്രൈസസും, അതിൽ ചില ഫണ്ടുകൾ നിക്ഷേപിക്കുമ്പോൾ, അതിനെ ആശ്രയിച്ചുള്ള വരുമാനം സൃഷ്ടിക്കുന്നു, അതായത്, ഏതെങ്കിലും തരത്തിലുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. എല്ലാ ഫംഗ്ഷനുകളും നൽകിയിരിക്കുന്നു (തീർച്ചയായും, ഈ ഫംഗ്ഷനുകൾ കുറയുന്നില്ല).

എന്റർപ്രൈസുകൾക്കിടയിൽ എങ്ങനെ ഫണ്ട് കെ വിതരണം ചെയ്യണം, അങ്ങനെ മൊത്തത്തിൽ അവർ പരമാവധി വരുമാനം ഉണ്ടാക്കുന്നു എന്നതാണ് ചോദ്യം.

ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഈ പ്രശ്നം എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടും. അതിന്റെ രൂപീകരണത്തിൽ സമയത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു പരാമർശവും ഇല്ലെങ്കിലും, എന്റർപ്രൈസിലെ ഫണ്ടുകളുടെ നിക്ഷേപം, രണ്ടാമത്തേത് മുതലായവയുടെ ആദ്യ ഘട്ടം കണക്കിലെടുത്ത് ചില ക്രമത്തിൽ ഫണ്ട് വിതരണത്തിന്റെ പ്രവർത്തനം മാനസികമായി വെളിപ്പെടുത്തുന്നത് ഇപ്പോഴും സാധ്യമാണ്.

നിയന്ത്രിത സിസ്റ്റം എസ് ഇൻ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ- വിതരണം ചെയ്യുന്ന ഫണ്ടുകൾ അല്ലെങ്കിൽ വിഭവങ്ങൾ. ഓരോ ഘട്ടത്തിനും മുമ്പുള്ള സിസ്റ്റം S-ന്റെ അവസ്ഥയെ ഒരു നമ്പർ S കൊണ്ട് സവിശേഷമാക്കുന്നു - ഇതുവരെ നിക്ഷേപിച്ചിട്ടില്ലാത്ത ഫണ്ടുകളുടെ ലഭ്യമായ സ്റ്റോക്ക്. ഈ ടാസ്ക്കിൽ, "സ്റ്റെപ്പ് മാനേജ്മെന്റ്" എന്നത് എന്റർപ്രൈസസിന് അനുവദിച്ച ഫണ്ടാണ്. ഒപ്റ്റിമൽ നിയന്ത്രണം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതായത് മൊത്തത്തിലുള്ള വരുമാനം പരമാവധി ആയ സംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടം:

നമുക്ക് ഈ പ്രശ്നം ആദ്യം പൊതുവായ, സൂത്രവാക്യ രൂപത്തിലും തുടർന്ന് നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യാ ഡാറ്റയിലും പരിഹരിക്കാം. ഓരോ ഘട്ടത്തിനും സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൽ നേട്ടം കണ്ടെത്താം (ഈ ഘട്ടം മുതൽ അവസാനം വരെ), ഞങ്ങൾ ഈ ഘട്ടത്തെ സമീപിച്ചാൽ ഫണ്ടുകളുടെ കരുതൽ എസ്. നമുക്ക് സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൽ നേട്ടത്തെയും അനുബന്ധ സോപാധികമായ നിയന്ത്രണത്തെയും സൂചിപ്പിക്കാം - നിക്ഷേപിച്ച ഫണ്ടുകൾ. എന്റർപ്രൈസ് -

അവസാന ഘട്ടത്തിൽ നിന്ന് ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ ആരംഭിക്കാം. ഫണ്ടുകളുടെ ഒരു ബാലൻസ് ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഈ ഘട്ടത്തെ സമീപിക്കാം. നമ്മൾ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? വ്യക്തമായും, മുഴുവൻ തുകയും എന്റർപ്രൈസിൽ നിക്ഷേപിക്കുക.അതിനാൽ, സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൽ നിയന്ത്രണം മൂന്നാം ഘട്ടത്തിൽ: അവസാനത്തെ എന്റർപ്രൈസിന് ലഭ്യമായ എല്ലാ ഫണ്ടുകളും എസ് നൽകുക, അതായത്.

സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൽ നേട്ടവും

S ന്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു മുഴുവൻ ശ്രേണിയും നൽകുമ്പോൾ (അവയെ വളരെ അടുത്ത് കണ്ടെത്തുന്നു), S ന്റെ ഓരോ മൂല്യത്തെക്കുറിച്ചും നമുക്ക് അറിയാം. അവസാന ഘട്ടം ഒപ്റ്റിമൈസ് ചെയ്തു.

നമുക്ക് അവസാന ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകാം. ഫണ്ടുകളുടെ ഒരു കരുതൽ എസ്സുമായി നമുക്ക് അതിനെ സമീപിക്കാം. അവസാന രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളിലെ സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൽ നേട്ടത്തെ നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം: (ഇത് ഇതിനകം ഒപ്റ്റിമൈസ് ചെയ്തിട്ടുണ്ട്). ഘട്ടത്തിൽ ഞങ്ങൾ എന്റർപ്രൈസസിന് ഫണ്ട് അനുവദിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അവസാന ഘട്ടത്തിലേക്ക് അവശേഷിക്കും. അവസാന രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളിലെ ഞങ്ങളുടെ വിജയങ്ങൾ തുല്യമായിരിക്കും.

ഈ നേട്ടം പരമാവധി ഉള്ള ഒന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്:

അത് എടുത്തിരിക്കുന്നു എന്നാണ് അടയാളം അർത്ഥമാക്കുന്നത് പരമാവധി മൂല്യംസാധ്യമായ എല്ലാത്തിനും (ഞങ്ങൾക്ക് എസ്-നേക്കാൾ കൂടുതൽ നിക്ഷേപിക്കാൻ കഴിയില്ല), എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൽ നിന്ന് ചുരുണ്ട ബ്രേസുകൾ. ഈ പരമാവധി എന്നത് അവസാന രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളിലെ സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൽ നേട്ടമാണ്, കൂടാതെ ഈ പരമാവധി കൈവരിക്കുന്ന മൂല്യം ഘട്ടത്തിലെ സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൽ നിയന്ത്രണമാണ്.

ഈ പരമാവധി കൈവരിക്കുന്ന മൂല്യമാണ് അനുബന്ധ സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൽ നിയന്ത്രണം.

ഈ രീതിയിൽ തുടർന്നാൽ, അവസാനം നമ്മൾ എന്റർപ്രൈസസിൽ എത്തും.ഇവിടെ നമുക്ക് S ന്റെ മൂല്യങ്ങൾ വ്യത്യാസപ്പെടുത്തേണ്ടതില്ല; ആദ്യ ഘട്ടത്തിന് മുമ്പുള്ള ഫണ്ടുകളുടെ സ്റ്റോക്ക് K ന് തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ഉറപ്പായും അറിയാം:

അതിനാൽ, എല്ലാ സംരംഭങ്ങളിൽ നിന്നും പരമാവധി നേട്ടം (വരുമാനം) കണ്ടെത്തി. ഇപ്പോൾ അവശേഷിക്കുന്നത് "നിർദ്ദേശങ്ങൾ വായിക്കുക" മാത്രമാണ്. പരമാവധി (13.4) എത്തിയ മൂല്യം 1st സ്റ്റെപ്പിലെ ഒപ്റ്റിമൽ കൺട്രോൾ ആണ്.

ആദ്യത്തെ എന്റർപ്രൈസസിൽ ഞങ്ങൾ ഈ ഫണ്ടുകൾ നിക്ഷേപിച്ച ശേഷം, അവ ശേഷിക്കും. ഈ മൂല്യം എസ് എന്നതിനായുള്ള ശുപാർശ "വായിക്കുക", ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ എന്റർപ്രൈസിലേക്ക് അനുവദിക്കും ഒപ്റ്റിമൽ അളവ്അർത്ഥം: മുതലായവ അവസാനം വരെ.

ഇനി നമുക്ക് ഒരു സംഖ്യാ ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കാം. ഫണ്ടുകളുടെ പ്രാരംഭ സ്റ്റോക്ക് (സ്റ്റാൻഡേർഡ് യൂണിറ്റുകൾ), അത് അഞ്ച് സംരംഭങ്ങൾക്കിടയിൽ ഒപ്റ്റിമൽ ആയി വിതരണം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. വരുമാന പ്രവർത്തനങ്ങൾ പട്ടിക 13.1 ൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

പട്ടിക 13.1

ഓരോ നിരയിലും, ഒരു നിശ്ചിത തുക നിക്ഷേപത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച്, വരുമാനം വർദ്ധിക്കുന്നത് നിർത്തുന്നു (വാസ്തവത്തിൽ, ഓരോ എന്റർപ്രൈസസിനും പരിമിതമായ തുക മാത്രമേ "മാസ്റ്റർ" ചെയ്യാൻ കഴിയൂ എന്ന വസ്തുതയുമായി ഇത് യോജിക്കുന്നു).

അവസാനത്തെ, അഞ്ചാമത്തെ ഘട്ടത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് മുകളിൽ വിവരിച്ചതുപോലെ സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ നടത്താം. ഓരോ തവണയും ഞങ്ങൾ അടുത്ത ഘട്ടത്തിലേക്ക് അടുക്കുമ്പോൾ, ഫണ്ടുകളുടെ കരുതൽ ഉണ്ടോ?, ഈ ഘട്ടത്തിനായി ഒന്നോ അതിലധികമോ ഫണ്ടുകൾ അനുവദിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കുന്നു, വിജയങ്ങൾ എടുക്കുക ഈ ഘട്ടംപട്ടിക 13.1 അനുസരിച്ച്, അവസാനം വരെയുള്ള എല്ലാ തുടർന്നുള്ള ഘട്ടങ്ങളിലും ഞങ്ങൾ ഇതിനകം ഒപ്റ്റിമൈസ് ചെയ്ത വിജയങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു (ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം കുറച്ച് ഫണ്ടുകൾ അവശേഷിക്കുന്നുവെന്നത് കണക്കിലെടുത്ത്, ഞങ്ങൾ അനുവദിച്ച ഫണ്ടുകളുടെ തുകയ്ക്ക് മാത്രം) ഈ തുകയുടെ നിക്ഷേപം കണ്ടെത്തുക. പരമാവധി എത്തുന്നു. ഈ നിക്ഷേപം ഈ ഘട്ടത്തിലെ സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൽ നിയന്ത്രണമാണ്, പരമാവധി തന്നെ സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൽ നേട്ടമാണ്.

എല്ലാ ഘട്ടങ്ങൾക്കുമുള്ള സോപാധിക ഒപ്റ്റിമൈസേഷന്റെ ഫലങ്ങൾ പട്ടിക 13.2 കാണിക്കുന്നു. പട്ടിക ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നു: ആദ്യ നിര ഞങ്ങൾ ഈ ഘട്ടത്തെ സമീപിക്കുന്ന എസ് ഫണ്ടുകളുടെ സ്റ്റോക്കിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ നൽകുന്നു. സ്റ്റെപ്പ് നമ്പറിന് അനുസൃതമായി പട്ടിക അഞ്ച് ജോഡി കോളങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു.

പട്ടിക 13.2

ഓരോ ജോഡിയുടെയും ആദ്യ നിര സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൽ നിയന്ത്രണത്തിന്റെ മൂല്യം നൽകുന്നു, രണ്ടാമത്തേത് - സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൽ നേട്ടം. പട്ടിക ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട്, മുകളിൽ നിന്ന് താഴേക്ക് നിറഞ്ഞിരിക്കുന്നു. അഞ്ചാമത്തെ - അവസാന ഘട്ടത്തിലെ തീരുമാനം നിർബന്ധിതമാണ്: എല്ലാ ഫണ്ടുകളും അനുവദിച്ചിരിക്കുന്നു; മറ്റെല്ലാ ഘട്ടങ്ങളിലും, പരിഹാരം ഒപ്റ്റിമൈസ് ചെയ്യണം. 5, 4, 3, 2, 1 സ്റ്റെപ്പുകളുടെ തുടർച്ചയായ ഒപ്റ്റിമൈസേഷന്റെ ഫലമായി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു മുഴുവൻ പട്ടികഒപ്റ്റിമൽ നിയന്ത്രണത്തിനായുള്ള എല്ലാ ശുപാർശകളും മുഴുവൻ പ്രവർത്തനത്തിനും ഉപാധികളില്ലാത്ത ഒപ്റ്റിമൽ നേട്ടം W - ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഇത് 5.6 ന് തുല്യമാണ്. പട്ടിക 13.2-ന്റെ അവസാന രണ്ട് നിരകളിൽ, ഒരു വരി മാത്രമേ പൂരിപ്പിച്ചിട്ടുള്ളൂ, കാരണം ആദ്യ ഘട്ടം ആരംഭിക്കുന്നതിന് മുമ്പ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ അവസ്ഥ കൃത്യമായി അറിയാം: . എല്ലാ ഘട്ടങ്ങളിലും ഒപ്റ്റിമൽ നിയന്ത്രണങ്ങൾ ഒരു ഫ്രെയിം ഉപയോഗിച്ച് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, ഞങ്ങൾക്ക് അന്തിമ നിഗമനം ലഭിച്ചു: ആദ്യത്തെ എന്റർപ്രൈസസിന് പത്തിൽ രണ്ട് യൂണിറ്റുകൾ, രണ്ടാമത്തേതിന് അഞ്ച് യൂണിറ്റുകൾ, രണ്ടിൽ നിന്ന് മൂന്നാമത്തേതിന്, ഒന്നും നാലാമത്തേതിന്, ഒരു യൂണിറ്റ് അഞ്ചാമത്തേതിന് അനുവദിക്കണം. ഈ വിതരണത്തിലൂടെ, വരുമാനം പരമാവധി 5.6 ന് തുല്യമായിരിക്കും.

പാഠ പദ്ധതി

അക്കാദമിക് അച്ചടക്കംസാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിലെ ഗണിത രീതികളും മോഡലുകളും

പാഠ വിഷയം ഗണിതശാസ്ത്ര രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് വിവിധ പ്രായോഗിക ഡിപി പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

പാഠത്തിന്റെ ലക്ഷ്യങ്ങൾ

ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള കഴിവുകൾ വികസിപ്പിക്കുക.

വിദ്യാർത്ഥികളുടെ മനസ്സിന്റെ ഗുണനിലവാരം, ശ്രദ്ധ, അക്കാദമിക് വർക്ക് കഴിവുകൾ എന്നിവയുടെ വികസനം.

വിദ്യാർത്ഥികളിൽ അച്ചടക്കവും നിശ്ചയദാർഢ്യവും വളർത്തുക.

പാഠ ഉപകരണങ്ങൾപ്രഭാഷണ കുറിപ്പുകൾ, വി.പി. അഗൽത്സോവ് " ഗണിതശാസ്ത്ര രീതികൾപ്രോഗ്രാമിംഗിൽ."

ക്ലാസുകൾക്കിടയിൽ:

ഓർഗനൈസേഷൻ സമയം:

ഹാജരാകാത്തവരെ പരിശോധിക്കുന്നു, ലോഗ് പൂരിപ്പിക്കുന്നു.

റഫറൻസ് അറിവ് അപ്ഡേറ്റ് ചെയ്യുന്നു: സുരക്ഷാ ചോദ്യങ്ങൾക്കുള്ള ഉത്തരങ്ങൾ

ഏത് ജോലികളെയാണ് മൾട്ടി-സ്റ്റെപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നത്?

മൾട്ടി-സ്റ്റെപ്പ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഏത് ഗണിത ഉപകരണമാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്?

എന്താണ് ഒപ്റ്റിമൽ കൺട്രോൾ യു*?

രണ്ട് സർക്കിളുകളുടെ തുടർച്ചയായ ഏകദേശ രീതിയുടെ അൽഗോരിതം എന്താണ്?

ചുമതലകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുക ഒപ്റ്റിമൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻവിഭവങ്ങൾ.

പുതിയ മെറ്റീരിയൽ പഠിക്കുന്നു:

ക്ലാസിക് ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നങ്ങൾ

• ഏറ്റവും ദൈർഘ്യമേറിയ പൊതുവായ ഉപക്രമ പ്രശ്നം: രണ്ട് സീക്വൻസുകൾ നൽകിയാൽ, നിങ്ങൾ ഏറ്റവും ദൈർഘ്യമേറിയ പൊതുവായ ഉപക്രമം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

• ദൈർഘ്യമേറിയ വർധിച്ചുവരുന്ന ഉപക്രമം കണ്ടെത്തുന്നതിലെ പ്രശ്നം: ഒരു സീക്വൻസ് നൽകിയാൽ, നിങ്ങൾ ഏറ്റവും ദൈർഘ്യമേറിയ വർധിക്കുന്ന ഉപക്രമം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

• എഡിറ്റോറിയൽ ദൂരം പ്രശ്നം (Levenshtein ദൂരം): രണ്ട് സ്‌ട്രിംഗുകൾ നൽകിയാൽ, ഒരു സ്‌ട്രിംഗിനെ മറ്റൊന്നാക്കി മാറ്റുന്ന പ്രതീകങ്ങളുടെ മായ്‌ക്കലുകളുടെയും പകരം വയ്ക്കലുകളുടെയും കൂട്ടിച്ചേർക്കലുകളുടെയും ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ എണ്ണം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

• ഫിബൊനാച്ചി നമ്പറുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിലെ പ്രശ്നം

• മാട്രിക്സ് ഗുണന ക്രമത്തിന്റെ പ്രശ്നം: നൽകിയിരിക്കുന്ന മെട്രിക്സ്, ..., അവയുടെ ഗുണനത്തിനായി സ്കെയിലർ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ എണ്ണം കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

• പാത തിരഞ്ഞെടുക്കൽ പ്രശ്നം

• ക്രമാനുഗതമായ തീരുമാനമെടുക്കൽ പ്രശ്നം

• തൊഴിൽ വിനിയോഗ പ്രശ്നം

• ഇൻവെന്ററി മാനേജ്മെന്റ് പ്രശ്നം

• നാപ്‌സാക്ക് പ്രശ്‌നം: "ചെലവ്", "ഭാരം" എന്നീ ഗുണങ്ങളുള്ള ഒരു പരിധിയില്ലാത്ത ഒബ്‌ജക്റ്റുകളിൽ നിന്ന്, പരിമിതമായ മൊത്തം ഭാരം ഉപയോഗിച്ച് പരമാവധി മൊത്തം ചെലവ് നേടുന്നതിന് ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം ഒബ്‌ജക്റ്റുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്.

• Floyd-Warshall അൽഗോരിതം: ഒരു വെയ്റ്റഡ് ഡയറക്റ്റ് ഗ്രാഫിന്റെ എല്ലാ ലംബങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ദൂരം കണ്ടെത്തുക.

• ബെൽമാൻ-ഫോർഡ് അൽഗോരിതം: നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് ലംബങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള വെയ്റ്റഡ് ഗ്രാഫിലെ ഏറ്റവും ചെറിയ പാത കണ്ടെത്തുക.

• ഒരു മരത്തിലെ പരമാവധി സ്വതന്ത്രമായ ശീർഷകങ്ങൾ: ഒരു വൃക്ഷം നൽകിയാൽ, അവയിൽ രണ്ടെണ്ണവും ഒരു അരികിൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടില്ലാത്ത തരത്തിൽ പരമാവധി ലംബങ്ങളുടെ കൂട്ടം കണ്ടെത്തുക.

ഉദാഹരണം: ഒപ്റ്റിമൽ റിസോഴ്സ് അലോക്കേഷൻ

മൂലധനം 40 ദശലക്ഷം റൂബിൾസ്. നിക്ഷേപകൻ നാലിൽ നിക്ഷേപിക്കണം നിക്ഷേപ പദ്ധതിഅങ്ങനെ പരമാവധി വരുമാനം ലഭിക്കും. പ്രോജക്റ്റുകളുടെ ലാഭക്ഷമത പട്ടികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു (നിക്ഷേപം 8 ദശലക്ഷം റുബിളിന്റെ ഗുണിതങ്ങളാണ്)

യു

നടപ്പിലാക്കുന്നതിൽ നിന്നുള്ള ലാഭം

f4(u)

f3(u)

f2(u)

f1(u)

55

39

120

115

10 0

120

135

134

14 0

145

158

147

പരിഹാരം:

ഇതൊരു ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നമാണ്. പരിഹാരം രണ്ട് ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ (അവസാനം മുതൽ തുടക്കം വരെ) ഞങ്ങൾ ഒരു സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൽ പരിഹാരത്തിനായി നോക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തേതിൽ (ആരംഭം മുതൽ അവസാനം വരെ) പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഒപ്റ്റിമൽ പരിഹാരത്തിനായി ഞങ്ങൾ നോക്കുന്നു.

ഘട്ടം 1.

ഞങ്ങൾ നാല് പ്രോജക്റ്റുകൾക്കിടയിൽ മൂലധനം വിതരണം ചെയ്യുകയും ലഭിച്ച ലാഭം കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു എൽ (ഐ ), ഐ = 8,16,24,32,40.

1 ഘട്ടം: പണംനാലാമത്തെ പദ്ധതിയിലാണ് നിക്ഷേപം നടത്തുന്നത്.

L(8)= 55

എൽ(16)=58

L(24)=90

L(32)=100

L(40)=140

ഘട്ടം 2: നാലാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും പ്രോജക്റ്റുകളിൽ ഫണ്ടുകൾ നിക്ഷേപിക്കുന്നു.

യു

നടപ്പിലാക്കുന്നതിൽ നിന്നുള്ള ലാഭം

1 ഘട്ടം

f3(u)

55

39

10 0

120

14 0

145

ഘട്ടം 3: നാലാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും (ഘട്ടം 2) രണ്ടാമത്തെയും പ്രോജക്ടുകളിലാണ് ഫണ്ടുകൾ നിക്ഷേപിക്കുന്നത്.

യു

നടപ്പിലാക്കുന്നതിൽ നിന്നുള്ള ലാഭം

ഘട്ടം 2

f 2(u)

94

108

120

135

135

175

158

175

134

214

147

ഘട്ടം 2:

നാലാമത്തെ ഘട്ടത്തിൽ, ലഭിച്ച ലാഭ മൂല്യങ്ങളുടെ പരമാവധി ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു L (40) = 214.

പട്ടികയിൽ നിന്ന് പട്ടികയിലേക്ക് വിപരീത ക്രമത്തിൽ മടങ്ങുമ്പോൾ (4 ഘട്ടങ്ങൾ മുതൽ 1 വരെ) ഞങ്ങൾ അത്തരം വരുമാന മൂല്യങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, അതിൽ മൂല്യം 214 ലഭിക്കും.

പരമാവധി വരുമാനം 214 ദശലക്ഷം റൂബിൾസ്. നിക്ഷേപിച്ച ഫണ്ടുകളിൽ നിന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫണ്ടുകളുടെ വിതരണത്തോടൊപ്പം ലഭിക്കും:

1 പ്രോജക്റ്റ് - 0 ദശലക്ഷം റൂബിൾസ്.

2 പദ്ധതി - 24 ദശലക്ഷം റൂബിൾസ്.

മൂന്നാമത്തെ പ്രോജക്റ്റ് - 8 ദശലക്ഷം റൂബിൾസ്.

4 പദ്ധതി - 8 ദശലക്ഷം റൂബിൾസ്.

പുതിയ മെറ്റീരിയൽ ഏകീകരിക്കുന്നു:

5. പാഠത്തിന്റെ സംഗ്രഹം: നിഗമനങ്ങൾ, വിലയിരുത്തലുകൾ, ഗൃഹപാഠം:

(2) വകുപ്പ് 5.1

Ср12: സൈദ്ധാന്തിക വസ്തുക്കളുടെ ഉള്ളടക്കത്തിന്റെ രൂപീകരണവും സ്വാംശീകരണവും

അധ്യാപകന്റെ ഒപ്പ്

ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ് രീതികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതിൽ ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ അല്ലെങ്കിൽ പരിമിതികൾ, അല്ലെങ്കിൽ ആദ്യത്തേതും രണ്ടാമത്തേതും ഒരേസമയം രേഖീയമല്ലാത്ത ഡിപൻഡൻസികളാൽ വിശേഷിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു.

ഈ വിഭാഗത്തെ ഇനിപ്പറയുന്ന കാൽക്കുലേറ്ററുകൾ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു:

1. . സംരംഭങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള നിക്ഷേപങ്ങളുടെ വിതരണം പി 1, പി 2,..., പി എൻ. നിക്ഷേപിച്ച തുക E പരിവർത്തനം. ഗുഹ. യൂണിറ്റുകൾ
2. റിസോഴ്സ് അലോക്കേഷൻ പ്രശ്നം. രണ്ട് സംരംഭങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനം n വർഷത്തേക്ക് ആസൂത്രണം ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. പ്രാരംഭ വിഭവങ്ങൾ s 0 ന് തുല്യമാണ്.
3. വെയർഹൗസ് ചുമതല: രചിക്കുക ഒപ്റ്റിമൽ പ്രോഗ്രാംഎക്‌സ് ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ഔട്ട്‌പുട്ട്, ഇത് എന്റർപ്രൈസസിന്റെ മൊത്തം ചെലവ് കുറയ്ക്കുന്നു.
4. ബാക്ക്പാക്ക് പ്രശ്നം (ഒരു വാഹനം ലോഡ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നു).

നിക്ഷേപം അനുവദിക്കൽ പ്രശ്നം

ചുമതലകളിൽ ഈ തരത്തിലുള്ളനിക്ഷേപ തുകയും (അല്ലെങ്കിൽ വിതരണത്തിനുള്ള തുകയും) ആസൂത്രണം ചെയ്ത ലാഭ പട്ടികയും വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ട്. വിതരണത്തിനുള്ള തുക വ്യക്തമായി വ്യക്തമാക്കിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ, അത് പട്ടികയിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്താനാകും - ഇത് പരമാവധി മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ് x i (പട്ടികയുടെ അവസാന വരി).

പട്ടികകൾക്ക് വ്യത്യസ്ത രൂപങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം.
പട്ടിക 1 - ഉറവിട ഡാറ്റ പട്ടികയുടെ ആദ്യ പതിപ്പ്

x	എഫ് 1 (x)	എഫ് 2 (x)	എഫ് 3 (x)
5 *

* - ഇവിടെ മൂല്യം 5 ആണ് പരമാവധി മൂല്യം (വിതരണത്തിനുള്ള തുക).

പട്ടിക 2 - ഉറവിട ഡാറ്റ പട്ടികയുടെ രണ്ടാം പതിപ്പ്

x
എഫ് 1 (x)
എഫ് 2 (x)
എഫ് 3 (x)

മാതൃകാ ചുമതല.
രണ്ട് സംരംഭങ്ങൾക്കായി ഒരു യൂണിറ്റ് ഫണ്ട് അനുവദിച്ചിട്ടുണ്ട്. ആദ്യ എന്റർപ്രൈസിൽ നിക്ഷേപിച്ച ഫണ്ടുകളുടെ x യൂണിറ്റുകളിൽ നിന്നുള്ള വരുമാനം f 1 (x) ന് തുല്യമാണെന്നും നിക്ഷേപിച്ച ഫണ്ടുകളുടെ y യൂണിറ്റുകളിൽ നിന്നുള്ള വരുമാനം ആണെന്നും അറിയാമെങ്കിൽ വരുമാനം ഏറ്റവും വലുതായി 4 വർഷത്തിനുള്ളിൽ എല്ലാ ഫണ്ടുകളും എങ്ങനെ വിതരണം ചെയ്യാം രണ്ടാമത്തെ എന്റർപ്രൈസിൽ f 2(y) ന് തുല്യമാണ്. വർഷാവസാനത്തെ ഫണ്ടുകളുടെ ബാലൻസ് ആദ്യ സംരംഭത്തിന് g 1 (x), രണ്ടാമത്തെ എന്റർപ്രൈസിന് g 2 (y) ആണ്. ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുക.

ഡാറ്റ നൽകുമ്പോൾ, ആദ്യത്തെ പൂജ്യം ലൈൻ ശൂന്യമാക്കാം.

ഇൻവെസ്റ്റ്‌മെന്റ് അലോക്കേഷൻ പ്രശ്‌ന സേവനം ബാക്ക്‌വേർഡ് സ്വീപ്പ് രീതിയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

പാസിംഗ് രീതി

ഈ പ്രശ്നം നിക്ഷേപ വിതരണത്തിന്റെ പ്രശ്നവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. ലഭിച്ച പരിഹാരത്തിന്റെ ഫലങ്ങളുടെ അവതരണത്തിലും നേരിട്ടുള്ള സ്വീപ്പ് രീതിയുടെ പ്രയോഗത്തിലും വ്യത്യാസമുണ്ട്.

സ്വീപ്പ് മെത്തേഡ് സേവനത്തിൽ, നിങ്ങൾ പരിഹാര രീതിയും തിരഞ്ഞെടുക്കണം: ഫോർവേഡ് അല്ലെങ്കിൽ റിവേഴ്സ് സ്വീപ്പ് നടപടിക്രമം.

ഉപകരണങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം

അൽഗോരിതത്തിന്റെ ഏത് ഘട്ടങ്ങളിലാണ് (ഏത് വർഷങ്ങളിൽ) ഉപകരണങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടത് എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക എന്നതാണ് പരിഹാരത്തിന്റെ ലക്ഷ്യം. ഈ ആവശ്യത്തിനായി ഞങ്ങൾ പരിചയപ്പെടുത്തുന്നു പ്രവർത്തന കാലയളവ്(വർഷങ്ങളിൽ) ഒപ്പം പുതിയ ഉപകരണങ്ങളുടെ വില. ഇതിനുശേഷം, നിങ്ങൾ വരുമാന പട്ടിക പൂരിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട് r (t) ഒപ്പം ശേഷിക്കുന്ന മൂല്യംഎസ്(ടി).
ഉപകരണങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം

പ്രൊഡക്ഷൻ ലൈൻ ആസൂത്രണം

ടാസ്ക് തുടർച്ചയായ പ്രോസസ്സിംഗ്രണ്ട് മെഷീനുകളിൽ N വ്യത്യസ്ത ഭാഗങ്ങളിൽ, ബന്ധപ്പെട്ട മെഷീനുകളിലെ i-th ഭാഗത്തിന്റെ A i, B i എന്നിവ പ്രോസസ്സ് ചെയ്യുന്ന സമയം അറിയാമെങ്കിൽ. രണ്ടാമത്തെ മെഷീന്റെ പ്രവർത്തനരഹിതമായ സമയം കുറയ്ക്കുകയും അതുവഴി കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്ന ഒരു പ്രോസസ്സിംഗ് ഓർഡർ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് ആകെ സമയംഭാഗങ്ങളുടെ പ്രോസസ്സിംഗ്.

മൊത്തം ലഭിക്കുന്നതിന് അവലോകനം ചെയ്യുന്ന കാലയളവിൽ (മാസം, പാദം, അർദ്ധ വർഷം, വർഷം മുതലായവ) നിലവിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കായി n ബിസിനസ്സ് സ്ഥാപനങ്ങൾക്കിടയിൽ വിതരണം ചെയ്യേണ്ട ഒരു നിശ്ചിത അളവിലുള്ള വിഭവങ്ങൾ s 0 ഉണ്ട്. പരമാവധി ലാഭം. ഓരോ സാമ്പത്തിക സ്ഥാപനത്തിന്റെയും പ്രവർത്തനങ്ങളിലെ റിസോഴ്സ് നിക്ഷേപങ്ങളുടെ വലുപ്പം x i (;) ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യത്തിന്റെ ഗുണിതമാണ്. അവലോകനം ചെയ്യുന്ന കാലയളവിൽ x i ഉപയോഗിച്ച ഫണ്ടുകളുടെ അളവ് അനുസരിച്ച് ഓരോ സാമ്പത്തിക സ്ഥാപനവും f i (x i) തുകയിൽ ലാഭം ഉണ്ടാക്കുന്നു (മറ്റ് സാമ്പത്തിക സ്ഥാപനങ്ങളിലെ വിഭവങ്ങളുടെ നിക്ഷേപത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല).

ബിസിനസ് സ്ഥാപനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള റിസോഴ്സ് ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ പ്രക്രിയ ഒരു n-സ്റ്റെപ്പ് മാനേജ്മെന്റ് പ്രക്രിയയായി നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം (സ്റ്റെപ്പ് നമ്പർ ബിസിനസ്സ് എന്റിറ്റിയുടെ സോപാധിക നമ്പറുമായി യോജിക്കുന്നു). s k () എന്നത് ഒരു സംസ്ഥാന പാരാമീറ്ററായിരിക്കട്ടെ, അതായത്. ശേഷിക്കുന്ന (n - k) ബിസിനസ് സ്ഥാപനങ്ങൾക്കിടയിൽ വിതരണത്തിനായി kth ഘട്ടത്തിന് ശേഷം ലഭ്യമായ ഫണ്ടുകളുടെ തുക. അപ്പോൾ സംസ്ഥാനത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതാം ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം:

നമുക്ക് ഫംഗ്‌ഷൻ പരിഗണിക്കാം - k-th, (k+1) - th, ..., n-th ഇക്കണോമിക് എന്റിറ്റികളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൽ മൊത്ത ലാഭം, s k-1 () ന്റെ അളവിൽ വിഭവങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ അവയ്ക്കിടയിൽ സമുചിതമായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെട്ടു. സാധ്യമായ പലതും മാനേജ്മെന്റ് തീരുമാനങ്ങൾ k-th സ്റ്റെപ്പിലെ വിതരണം ചെയ്ത വിഭവങ്ങളുടെ വലുപ്പവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

അപ്പോൾ R.E യുടെ ആവർത്തന സമവാക്യങ്ങൾ. ബെൽമാൻ (റിവേഴ്സ് ഡയഗ്രം) ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

ഉദാഹരണം.മൊത്തം പരമാവധി ലാഭം ലഭിക്കുന്നതിന്, അവലോകനം ചെയ്യുന്ന കാലയളവിൽ (മാസം) നിലവിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കായി n=4 ബിസിനസ്സ് സ്ഥാപനങ്ങൾക്കിടയിൽ വിതരണം ചെയ്യേണ്ട ഒരു നിശ്ചിത അളവ് ഉറവിടങ്ങളുണ്ട് s 0 =100. ഓരോ സാമ്പത്തിക സ്ഥാപനത്തിന്റെയും പ്രവർത്തനങ്ങളിലെ റിസോഴ്‌സുകളുടെ നിക്ഷേപത്തിന്റെ വലുപ്പം x i (;) മൂല്യം h = 20 ന്റെ ഗുണിതമാണ്, ഇത് വെക്‌റ്റർ ക്യു വ്യക്തമാക്കുന്നു. ഉപയോഗിച്ച ഫണ്ടുകളുടെ അളവ് അനുസരിച്ച് ഓരോ സാമ്പത്തിക സ്ഥാപനവും അറിയപ്പെടുന്നു. അവലോകനം ചെയ്യുന്ന കാലയളവിലെ x i, f i (x i) () തുകയിൽ ലാഭം കൊണ്ടുവരുന്നു (മറ്റ് സാമ്പത്തിക സ്ഥാപനങ്ങളിലെ വിഭവങ്ങളുടെ നിക്ഷേപത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല):

മൊത്തം ലാഭം ഏറ്റവും വലുതായിരിക്കുന്നതിന് ഓരോ എന്റർപ്രൈസസിനും എത്ര വിഭവങ്ങൾ അനുവദിക്കണമെന്ന് നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം.നമുക്ക് ബെൽമാന്റെ ആവർത്തന സമവാക്യങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കാം (ഇൻവേഴ്സ് സ്കീം):

(13) അനുസരിച്ച് നമുക്ക് സോപാധിക മാക്സിമുകൾ നിർണ്ണയിക്കാം; കണക്കുകൂട്ടൽ ഫലങ്ങൾ പട്ടിക 1 ൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

പട്ടിക 1. സോപാധിക ഒപ്റ്റിമയുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ

		22+20=42
		22+33=55		17+42=59
		22+46=68		17+55=72		14+59=73
		67+20=87

സോപാധിക ഒപ്റ്റിമൈസേഷന്റെ ഫലങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, വിഭവങ്ങളുടെ ഒപ്റ്റിമൽ അലോക്കേഷൻ ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കും:

അതിനാൽ, ഒപ്റ്റിമൽ റിസോഴ്സ് അലോക്കേഷൻ ഇതാണ്:

ഇത് 87 പരമ്പരാഗത യൂണിറ്റുകളിൽ ഏറ്റവും വലിയ ലാഭം നൽകും. ഗുഹ. യൂണിറ്റുകൾ

ഉത്തരം:ഒപ്റ്റിമൽ റിസോഴ്സ് അലോക്കേഷൻ: ഇത് 87 പരമ്പരാഗത യൂണിറ്റുകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ ലാഭം നൽകുന്നു. ഗുഹ. യൂണിറ്റുകൾ

ഉപസംഹാരം

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രോഗ്രാമിംഗിന്റെ ഒരു മേഖലയാണ് ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ്, അതിൽ ഒരു കൂട്ടം സാങ്കേതിക വിദ്യകളും കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഉപകരണങ്ങളും ഉൾപ്പെടുന്നു ഒപ്റ്റിമൽ പരിഹാരം, അതുപോലെ സിസ്റ്റത്തിലെ ഓരോ ഘട്ടവും ഒപ്റ്റിമൈസ് ചെയ്യുകയും ഒരു മാനേജ്മെന്റ് തന്ത്രം വികസിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു, അതായത്, മാനേജ്മെന്റ് പ്രക്രിയയെ ഒരു മൾട്ടി-സ്റ്റെപ്പ് പ്രക്രിയയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള ആസൂത്രണം ഉപയോഗിച്ച് ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ്, പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഹാരം ലളിതമാക്കാൻ മാത്രമല്ല, രീതികൾ പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയാത്ത പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും അനുവദിക്കുന്നു. ഗണിത വിശകലനം. സങ്കീർണ്ണമായ മൾട്ടിവാരിയേറ്റ് പ്രശ്നം ഒരിക്കൽ പരിഹരിക്കുന്നതിനുപകരം, ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള ആസൂത്രണ രീതിയിൽ താരതമ്യേന ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾ ഒന്നിലധികം തവണ പരിഹരിക്കുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നതിനാൽ, പഠനത്തിന് കീഴിലുള്ള ഓപ്ഷനുകളുടെ എണ്ണം ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കുന്നതിലൂടെ പരിഹാരത്തിന്റെ ലളിതവൽക്കരണം കൈവരിക്കാനാകും. ഒരു ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള പ്രക്രിയ ആസൂത്രണം ചെയ്യുമ്പോൾ, മുഴുവൻ പ്രക്രിയയുടെയും മൊത്തത്തിലുള്ള താൽപ്പര്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ മുന്നോട്ട് പോകുന്നു, അതായത്. ഒരു പ്രത്യേക ഘട്ടത്തിൽ ഒരു തീരുമാനം എടുക്കുമ്പോൾ, അന്തിമ ലക്ഷ്യം എപ്പോഴും മനസ്സിൽ സൂക്ഷിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗിനും അതിന്റെ ദോഷങ്ങളുമുണ്ട്. ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, അതിൽ സിംപ്ലക്സ് രീതിസാർവത്രികമാണ്; ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗിൽ അത്തരമൊരു രീതിയില്ല. ഓരോ ജോലിക്കും അതിന്റേതായ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ട്, ഓരോ സാഹചര്യത്തിലും ഏറ്റവും അനുയോജ്യമായ പരിഹാര രീതി കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗിന്റെ പോരായ്മ മൾട്ടിഡൈമൻഷണൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സങ്കീർണ്ണത കൂടിയാണ്. ഒരു ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നം രണ്ട് വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കണം. ആദ്യത്തെ അവസ്ഥയെ സാധാരണയായി ആഫ്റ്റർ ഇഫക്റ്റ് ഇല്ലാത്ത അവസ്ഥ എന്നും രണ്ടാമത്തേതിനെ അഡിറ്റിവിറ്റി അവസ്ഥ എന്നും വിളിക്കുന്നു വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനംചുമതലകൾ. പ്രായോഗികമായി, ക്രമരഹിതമായ ഘടകങ്ങൾ ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്ന ആസൂത്രണ പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്, ഇത് സിസ്റ്റത്തിന്റെ അവസ്ഥയെയും നേട്ടത്തെയും സ്വാധീനിക്കുന്നു. ഡിറ്റർമിനിസ്റ്റിക്, സ്റ്റോക്കാസ്റ്റിക് ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നങ്ങൾ തമ്മിൽ വ്യത്യാസമുണ്ട്. ഒരു നിർണ്ണായക പ്രശ്നത്തിൽ, ഒപ്റ്റിമൽ കൺട്രോൾ അദ്വിതീയമാണ്, അത് മുൻകൂറായി വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു കഠിനമായ പ്രോഗ്രാംപ്രവർത്തനങ്ങൾ. ക്രമരഹിതമായ ഒരു പ്രശ്നത്തിൽ, ഒപ്റ്റിമൽ നിയന്ത്രണം ക്രമരഹിതമാണ്, ക്രമരഹിതമായ സാഹചര്യത്തെ ആശ്രയിച്ച് പ്രക്രിയയിൽ തന്നെ തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെടുന്നു. ഒരു ഡിറ്റർമിനിസ്റ്റിക് സ്കീമിൽ, അവസാനം മുതൽ തുടക്കം വരെ ഘട്ടങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന പ്രക്രിയയിൽ, ഓരോ ഘട്ടത്തിലും സോപാധികമായ അവസ്ഥകളുടെ ഒരു മുഴുവൻ ശ്രേണിയും ഉണ്ട്. ഒപ്റ്റിമൽ നിയന്ത്രണങ്ങൾ, എന്നാൽ ഈ എല്ലാ നിയന്ത്രണങ്ങളിലും, ആത്യന്തികമായി ഒന്ന് മാത്രമാണ് നടപ്പിലാക്കിയത്. ഒരു സ്റ്റോക്കാസ്റ്റിക് സ്കീമിൽ ഇത് അങ്ങനെയല്ല. ക്രമരഹിതമായ പ്രക്രിയയുടെ മുമ്പത്തെ കോഴ്സ് സിസ്റ്റത്തെ അനുബന്ധ അവസ്ഥയിലേക്ക് നയിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഓരോ സോപാധിക ഒപ്റ്റിമൽ നിയന്ത്രണങ്ങളും യഥാർത്ഥത്തിൽ നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും. ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള പരിഹാരത്തിനുള്ള അടിസ്ഥാനമാണ് ഒപ്റ്റിമലിറ്റി തത്വം. സാധാരണ പ്രതിനിധികൾ സാമ്പത്തിക ചുമതലകൾപ്രൊഡക്ഷൻ, സ്റ്റോറേജ് പ്രശ്നങ്ങൾ, നിക്ഷേപ വിതരണ പ്രശ്നങ്ങൾ, പ്രൊഡക്ഷൻ ഷെഡ്യൂളിംഗ് പ്രശ്നങ്ങൾ എന്നിവയും മറ്റും വിളിക്കപ്പെടുന്നവയാണ് ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ്. കാലാകാലങ്ങളിൽ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആവശ്യകതയിലെ മാറ്റങ്ങൾ കണക്കിലെടുത്ത് ഒരു എന്റർപ്രൈസസിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ആസൂത്രണം ചെയ്യുന്നതിൽ ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ദിശയിലോ സമയത്തിലോ സംരംഭങ്ങൾക്കിടയിൽ വിഭവങ്ങളുടെ ഒപ്റ്റിമൽ വിതരണത്തിൽ. ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗിന്റെ സവിശേഷതകളുടെയും അതിന്റെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിൽ രൂപപ്പെടുത്താവുന്ന പ്രശ്നങ്ങളുടെ തരങ്ങളുടെയും വിവരണം വളരെ പൊതുവായതും കുറച്ച് അവ്യക്തവുമായിരിക്കണം, കാരണം വൈവിധ്യമാർന്ന വൈവിധ്യമുണ്ട്. വിവിധ ജോലികൾ, ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ് സ്കീമിലേക്ക് യോജിക്കുന്നു. പഠനം മാത്രം വലിയ സംഖ്യഉദാഹരണങ്ങൾ ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗിന്റെ ഘടനയെക്കുറിച്ച് വ്യക്തമായ ധാരണ നൽകുന്നു.

അബ്സ്ട്രാക്റ്റ്

ആമുഖം

ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ്- പ്രവർത്തനങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഒരു ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ രീതി, അതിൽ തീരുമാനമെടുക്കൽ പ്രക്രിയയെ ഘട്ടങ്ങളായി (ഘട്ടങ്ങളായി) വിഭജിക്കാം. അത്തരം പ്രവർത്തനങ്ങളെ മൾട്ടി-സ്റ്റെപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗിന്റെ വികസനത്തിന്റെ തുടക്കം ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ 50 കളിൽ നിന്നാണ്. കൂടാതെ റിച്ചാർഡ് ഏണസ്റ്റ് ബെൽമാൻ എന്ന പേരുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

സങ്കീർണ്ണമായ സാഹചര്യങ്ങളിൽ വലിയ തോതിലുള്ള ആസൂത്രണ തീരുമാനങ്ങൾ എടുക്കാൻ സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിൽ ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് മോഡലുകൾ ഉപയോഗിക്കാമെങ്കിൽ, വളരെ ചെറിയ തോതിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ് മോഡലുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ü ഇൻവെന്ററി മാനേജ്മെന്റ് നിയമങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കുമ്പോൾ;

ü ഇതര പദ്ധതികൾക്കിടയിൽ നിക്ഷേപ വിഭവങ്ങൾ വിതരണം ചെയ്യുമ്പോൾ;

ü കറന്റിനായി കലണ്ടർ പ്ലാനുകൾ വരയ്ക്കുമ്പോൾ ഓവർഹോൾസങ്കീർണ്ണമായ ഉപകരണങ്ങളും അതിന്റെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ മുതലായവ.

1. ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നത്തിന്റെ പൊതുവായ രൂപീകരണം

ഡൈനാമിക് ബെൽമാൻ സമവാക്യ പ്രോഗ്രാമിംഗ്

ഒരു നിയന്ത്രിത പ്രക്രിയ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, സംരംഭങ്ങൾക്കിടയിൽ ഫണ്ട് വിതരണം ചെയ്യുന്ന പ്രക്രിയ, നിരവധി വർഷങ്ങളായി വിഭവങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കൽ, ഉപകരണങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ തുടങ്ങിയവ. നിയന്ത്രണത്തിന്റെ ഫലമായി, സിസ്റ്റം (നിയന്ത്രണ ഒബ്ജക്റ്റ്) എസ് പ്രാരംഭ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് കൈമാറ്റം ചെയ്യപ്പെടുന്നു s 0സംസ്ഥാനത്തിന് എസ് എൻ . നിയന്ത്രണം n ഘട്ടങ്ങളായി വിഭജിക്കട്ടെ, അതായത്. ഓരോ ഘട്ടത്തിലും തുടർച്ചയായി തീരുമാനം എടുക്കുന്നു, കൂടാതെ സിസ്റ്റം S-നെ പ്രാരംഭ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് അന്തിമ അവസ്ഥയിലേക്ക് മാറ്റുന്ന നിയന്ത്രണം n ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള മാനേജ്മെന്റ് തീരുമാനങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്.

നമുക്ക് X കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം കെ മാനേജ്മെന്റ് തീരുമാനം kth ഘട്ടം(k=1, 2, ..., n). വേരിയബിളുകൾ X കെ ചില നിയന്ത്രണങ്ങൾ പാലിക്കുക, ഈ അർത്ഥത്തിൽ സ്വീകാര്യമെന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു (X കെ ഒരു സംഖ്യ ആകാം, n-ഡൈമൻഷണൽ സ്‌പെയ്‌സിലെ ഒരു പോയിന്റ് അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഗുണപരമായ സവിശേഷത).

X എന്ന് അനുവദിക്കുക=(X 1, എക്സ് 2,…, എക്സ് എൻ ) - സംസ്ഥാനങ്ങളിൽ നിന്ന് സിസ്റ്റം എസ് കൈമാറുന്ന നിയന്ത്രണം 0സംസ്ഥാനത്തിന് എസ് എൻ . നമുക്ക് s കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം കെ kth നിയന്ത്രണ ഘട്ടത്തിന് ശേഷം സിസ്റ്റത്തിന്റെ അവസ്ഥ (ഒരു നിശ്ചിത പാരാമീറ്ററുകളും അവയുടെ നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യങ്ങളും കൊണ്ട് വിശേഷിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു). മാത്രമല്ല, സിസ്റ്റത്തിന്റെ അവസ്ഥ എസ് കെ kth ഘട്ടത്തിന്റെ അവസാനം മുമ്പത്തെ അവസ്ഥയെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു k-1 k-th step X-ലെ മാനേജ്‌മെന്റ് തീരുമാനവും കെ (അതായത് മുൻ വ്യവസ്ഥകളെയും മാനേജ്മെന്റ് തീരുമാനങ്ങളെയും നേരിട്ട് ആശ്രയിക്കുന്നില്ല). ഈ ആവശ്യംഇതിനെ "പരിണിതഫലങ്ങളൊന്നുമില്ല" എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് സംസ്ഥാനത്തിന്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യങ്ങളാൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം:

അങ്ങനെ, നമുക്ക് s0, s1, ..., sk-1, sk, ..., sn-1, sn എന്നീ സംസ്ഥാനങ്ങളുടെ ഒരു ക്രമം ലഭിക്കുന്നു. അപ്പോൾ n-step മാനേജ്മെന്റ് പ്രോസസ്സ് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ചിത്രീകരിക്കാം:

kth സ്റ്റെപ്പിന്റെ കാര്യക്ഷമത സൂചകം ചില ഫംഗ്‌ഷൻ മുഖേന പ്രകടിപ്പിക്കട്ടെ:

പരിഗണനയിലുള്ള മുഴുവൻ മൾട്ടി-സ്റ്റെപ്പ് പ്രക്രിയയുടെയും കാര്യക്ഷമത ഇനിപ്പറയുന്ന സങ്കലന പ്രവർത്തനമാണ്:

തുടർന്ന് ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ പ്രശ്നം (ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നം) ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു: ഒരു അനുവദനീയമായ കൺട്രോൾ X നിർണ്ണയിക്കുക, അത് സിസ്റ്റം എസ് s0-ൽ നിന്ന് സ്റ്റേറ്റ് sn-ലേക്ക് മാറ്റുന്നു, അതിൽ ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ Z ഏറ്റവും വലിയ (ചെറിയ) മൂല്യം എടുക്കുന്നു.

ഒരു ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നമുണ്ട് ഇനിപ്പറയുന്ന സവിശേഷതകൾ:

ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ പ്രശ്നം ഒരു n-ഘട്ട നിയന്ത്രണ പ്രക്രിയയായി വ്യാഖ്യാനിക്കപ്പെടുന്നു.

ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ ഓരോ ഘട്ടത്തിന്റെയും ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

kth സ്റ്റെപ്പിലെ നിയന്ത്രണത്തിന്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് ഈ ഘട്ടത്തിലെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ അവസ്ഥയെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, മുമ്പത്തെ ഘട്ടങ്ങളെ ബാധിക്കില്ല (അഭാവം പ്രതികരണം).

kth നിയന്ത്രണ ഘട്ടത്തിന് ശേഷമുള്ള സംസ്ഥാന sk മുമ്പത്തെ അവസ്ഥ sk-1, കൺട്രോൾ Xk എന്നിവയെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു ("ഫലങ്ങളൊന്നുമില്ല").

ഓരോ ഘട്ടത്തിലും, കൺട്രോൾ Xk പരിമിതമായ കൺട്രോൾ വേരിയബിളുകളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ സ്റ്റേറ്റ് sk ഒരു പരിമിതമായ പാരാമീറ്ററുകളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

2. ഒപ്റ്റിമലിറ്റി തത്വവും ബെൽമാൻ സമവാക്യങ്ങളും

ഒപ്റ്റിമലിറ്റി തത്വം1953-ൽ റിച്ചാർഡ് ഏണസ്റ്റ് ബെൽമാൻ ആണ് ആദ്യമായി രൂപപ്പെടുത്തിയത് (ഇ.എസ്. വെന്റ്സെൽ വ്യാഖ്യാനിച്ചതുപോലെ):

നിരവധി ഘട്ടങ്ങളുടെ ഫലമായി സിസ്റ്റത്തിന്റെ അവസ്ഥ എന്തുതന്നെയായാലും, അടുത്ത ഘട്ടത്തിൽ, തുടർന്നുള്ള എല്ലാ ഘട്ടങ്ങളിലും ഒപ്റ്റിമൽ നിയന്ത്രണത്തോടൊപ്പം, ശേഷിക്കുന്ന എല്ലാ ഘട്ടങ്ങളിലും ഒപ്റ്റിമൽ നേട്ടത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന തരത്തിൽ നിയന്ത്രണം തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇത് ഉൾപ്പെടെ.

ആർ.ഇ. തത്ത്വം സത്യമായിരിക്കുന്ന സാഹചര്യങ്ങളും ബെൽമാൻ രൂപപ്പെടുത്തി. പ്രധാന ആവശ്യകത നിയന്ത്രണ പ്രക്രിയ ഫീഡ്ബാക്ക് ഇല്ലാതെ ആയിരിക്കണം, അതായത്. ഈ ഘട്ടത്തിലെ നിയന്ത്രണം മുമ്പത്തെ ഘട്ടങ്ങളെ ബാധിക്കരുത്.

മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന പൊതുവായ ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നം പരിഗണിക്കുക. സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഏത് അവസ്ഥയ്ക്കും അവസാനത്തേത് ഒഴികെ ഓരോ ഘട്ടത്തിലും k-1 മാനേജ്മെന്റ് തീരുമാനം X കെ "ജാഗ്രതയോടെ" തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, കാരണം ഈ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് സിസ്റ്റം sk ന്റെ തുടർന്നുള്ള അവസ്ഥയെ ബാധിക്കുന്നു .

അവസാന ഘട്ടത്തിൽ, സിസ്റ്റത്തിന്റെ അവസ്ഥയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി n-1 മാനേജ്മെന്റ് തീരുമാനം X എൻ പ്രാദേശികമായി ഒപ്റ്റിമൽ ആയി ആസൂത്രണം ചെയ്യാൻ കഴിയും, അതായത്. ഈ ഘട്ടത്തിന്റെ പരിഗണനകളെ മാത്രം അടിസ്ഥാനമാക്കി.

നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം കഴിഞ്ഞ nthഘട്ടം:

എസ് n-1 - n-ആം ഘട്ടത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ സിസ്റ്റത്തിന്റെ അവസ്ഥ;

എസ് എൻ - സിസ്റ്റത്തിന്റെ അവസാന അവസ്ഥ;

എക്സ് എൻ - n-ആം ഘട്ടത്തിൽ നിയന്ത്രണം;

എഫ് എൻ (സെ n-1 , എക്സ് എൻ n-ആം ഘട്ടത്തിന്റെ ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ (പണം) ആണ്.

ഒപ്റ്റിമലിറ്റി തത്വമനുസരിച്ച്, എക്സ് എൻ വ്യവസ്ഥിതിയുടെ ഏതെങ്കിലും സംസ്ഥാനങ്ങൾക്കായി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന വിധത്തിൽ വേണം n-1 ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഒപ്റ്റിമൽ നേടുക.

ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഒപ്റ്റിമൽ (വ്യക്തതയ്‌ക്കായി ഞങ്ങൾ പരമാവധി എടുക്കും) - n-ആം ഘട്ടത്തിന്റെ കാര്യക്ഷമതയുടെ സൂചകം, അവസാന ഘട്ടത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ സിസ്റ്റം S ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ അവസ്ഥയിൽ സ്‌എൻ-1 ആയിരുന്നുവെങ്കിൽ സൂചിപ്പിക്കാം. , അവസാന ഘട്ടത്തിൽ നിയന്ത്രണം ഒപ്റ്റിമൽ ആയിരുന്നു.

n-ആം ഘട്ടത്തിലെ ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷന്റെ സോപാധികമായ പരമാവധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:

അനുവദനീയമായ എല്ലാ നിയന്ത്രണങ്ങളും Xn-ലും പരമാവധിയാക്കൽ നടപ്പിലാക്കുന്നു.

ഇത് നേടിയെടുക്കുന്ന Xn ലായനിയും sn-1-നെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനെ n-ാം ഘട്ടത്തിൽ സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൽ സൊല്യൂഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നമുക്ക് അതിനെ സൂചിപ്പിക്കാം.

ഒരു ഏകമാന പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നു പ്രാദേശിക ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻസമവാക്യം അനുസരിച്ച് (5), ഞങ്ങൾ എല്ലാത്തിനും നിർണ്ണയിക്കുന്നു സാധ്യമായ സംസ്ഥാനങ്ങൾ sn-1 രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളും.

നമുക്ക് ഒരു രണ്ട്-ഘട്ട പ്രശ്നം പരിഗണിക്കാം: n-th സ്റ്റെപ്പിലേക്ക് (n-1) -th ചേർക്കുക.

ഏത് സംസ്ഥാനങ്ങൾക്കും sn-2, അനിയന്ത്രിതമായ മാനേജ്മെന്റ് തീരുമാനങ്ങൾ Xn-1, n-ആം ഘട്ടത്തിലെ ഒപ്റ്റിമൽ നിയന്ത്രണം, അവസാന രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളിലെ ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

ബെൽമാന്റെ ഒപ്റ്റിമലിറ്റി തത്വമനുസരിച്ച് ഏത് എസ് n-2 അവസാന (nth) ഘട്ടത്തിലെ ഒപ്റ്റിമൽ നിയന്ത്രണത്തോടൊപ്പം, അവസാന രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളിലെ ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഒപ്റ്റിമൽ ആയി ഇത് നയിക്കും. അതിനാൽ, അനുവദനീയമായ എല്ലാ മാനേജ്‌മെന്റ് തീരുമാനങ്ങൾക്കും Xn-1 പദപ്രയോഗത്തിന്റെ ഒപ്റ്റിമൽ (6) കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. :

അവസാന രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളിൽ ഒപ്റ്റിമൽ നിയന്ത്രണത്തിലുള്ള ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷന്റെ സോപാധികമായ പരമാവധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. (6) ഫോർമുലയിലെ ചുരുണ്ട ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ പദപ്രയോഗം sn-2, Xn-1 എന്നിവയെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്, കാരണം സ്‌റ്റേറ്റുകളുടെ (1) സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് sn-1 കണ്ടെത്താനാകും:

(n-1)-ആം ഘട്ടത്തിലെ അനുബന്ധ നിയന്ത്രണം Xn-1 സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതിനെ (n-1)-ആം ഘട്ടത്തിൽ സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൽ നിയന്ത്രണം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷന്റെ സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമ, k-th മുതൽ അവസാനം വരെ (n-k+1) സ്റ്റെപ്പുകളിലെ ഒപ്റ്റിമൽ നിയന്ത്രണത്തിനായി സമാനമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു, k-th സ്റ്റെപ്പിന്റെ തുടക്കത്തിൽ സിസ്റ്റം സ്‌റ്റേറ്റ് sk ആയിരുന്നു. -1:

(8) അനുസരിച്ച് പരമാവധി കൈവരിക്കുന്ന kth സ്റ്റെപ്പിൽ Xk നിയന്ത്രിക്കുക, അതിനെ kth സ്റ്റെപ്പിൽ സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൽ കൺട്രോൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

(5), (8) സമവാക്യങ്ങളെ ആവർത്തന ബെൽമാൻ സമവാക്യങ്ങൾ (റിവേഴ്സ് സ്കീം) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയെ കൺസ്ട്രൈൻഡ് ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സോപാധിക ഒപ്റ്റിമൈസേഷന്റെ ഫലമായി, രണ്ട് ശ്രേണികൾ ലഭിക്കും:

, …, - ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷന്റെ സോപാധിക മാക്‌സിമ അവസാനത്തെ, രണ്ട് അവസാനത്തെ, ..., n ഘട്ടങ്ങളിൽ;

, …, - nth-ൽ സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൽ നിയന്ത്രണങ്ങൾ, (n-1) - th, …, 1st ഘട്ടങ്ങളിൽ.

ഈ സീക്വൻസുകൾ ഉപയോഗിച്ച്, n ഉം s0 ഉം നൽകിയിട്ടുള്ള ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്‌നത്തിന് നമുക്ക് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ കഴിയും:

തൽഫലമായി, ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഒപ്റ്റിമൽ പരിഹാരം ഞങ്ങൾ നേടുന്നു: .

സമാനമായ ന്യായവാദം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് നേരിട്ടുള്ള സോപാധിക ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ സ്കീം നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും:

ഈ കേസിൽ പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഏറ്റവും മികച്ച പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന സ്കീം അനുസരിച്ച് കണ്ടെത്തി:

അങ്ങനെ, ഒരു ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ് മോഡൽ നിർമ്മിക്കുകയും അതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു പൊതുവായ കാഴ്ചഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

മാനേജ്മെന്റ് പ്രക്രിയയെ ഘട്ടങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി തിരഞ്ഞെടുക്കുക.

സംസ്ഥാന പാരാമീറ്ററുകൾ നിർവ്വചിക്കുക കെ ഒപ്പം നിയന്ത്രണ വേരിയബിളുകൾഎക്സ് കെ ഓരോ ഘട്ടത്തിലും, സംസ്ഥാനത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

3. k-th സ്റ്റെപ്പിന്റെ ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷനുകളും മൊത്തം ഒബ്‌ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷനും കൂടാതെ k-th സ്റ്റെപ്പിൽ സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമയും സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൽ നിയന്ത്രണവും നൽകുക.

ബെൽമാൻ ആവർത്തിച്ചുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ വിപരീത അല്ലെങ്കിൽ നേരിട്ടുള്ള സ്കീമിന് അനുസൃതമായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ നടത്തിയതിന് ശേഷം, രണ്ട് സീക്വൻസുകൾ ലഭിക്കും: () ഉം ().

നിർവ്വചിക്കുക ഒപ്റ്റിമൽ മൂല്യംവസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനവും ഒപ്റ്റിമൽ പരിഹാരവും.

3. റിസോഴ്സ് അലോക്കേഷൻ പ്രശ്നം

മൊത്തം പരമാവധി ലാഭം നേടുന്നതിന്, അവലോകനം ചെയ്യുന്ന കാലയളവിൽ (മാസം, പാദം, അർദ്ധ വർഷം, വർഷം മുതലായവ) നിലവിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കായി n ബിസിനസ്സ് സ്ഥാപനങ്ങൾക്കിടയിൽ വിതരണം ചെയ്യേണ്ട ഒരു നിശ്ചിത അളവ് ഉറവിടങ്ങളുണ്ട് s0. ഓരോ സാമ്പത്തിക സ്ഥാപനത്തിന്റെയും പ്രവർത്തനങ്ങളിലെ റിസോഴ്സ് നിക്ഷേപങ്ങളുടെ വലിപ്പം xi (;) ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യത്തിന്റെ ഗുണിതമാണ്. അവലോകനം ചെയ്യുന്ന കാലയളവിലേക്ക് xi ഉപയോഗിച്ച ഫണ്ടുകളുടെ അളവ് അനുസരിച്ച് ഓരോ സാമ്പത്തിക സ്ഥാപനവും fi(xi) തുകയിൽ ലാഭം കൊണ്ടുവരുന്നു (മറ്റ് സാമ്പത്തിക സ്ഥാപനങ്ങളിലെ വിഭവങ്ങളുടെ നിക്ഷേപത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല).

ബിസിനസ് സ്ഥാപനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള റിസോഴ്സ് ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ പ്രക്രിയ ഒരു n-സ്റ്റെപ്പ് മാനേജ്മെന്റ് പ്രക്രിയയായി നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം (സ്റ്റെപ്പ് നമ്പർ ബിസിനസ്സ് എന്റിറ്റിയുടെ സോപാധിക നമ്പറുമായി യോജിക്കുന്നു). sk() ഒരു സംസ്ഥാന പാരാമീറ്ററായിരിക്കട്ടെ, അതായത്. ശേഷിക്കുന്ന (n - k) ബിസിനസ് സ്ഥാപനങ്ങൾക്കിടയിൽ വിതരണത്തിനായി kth ഘട്ടത്തിന് ശേഷം ലഭ്യമായ ഫണ്ടുകളുടെ തുക. അപ്പോൾ സംസ്ഥാനത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാം:

നമുക്ക് ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കാം - k-th, (k+1) - th, ..., n-th ഇക്കണോമിക് എന്റിറ്റികളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൽ മൊത്ത ലാഭം, sk-1 () ന്റെ അളവിൽ വിഭവങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ അവയ്ക്കിടയിൽ സമുചിതമായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. അനുവദിച്ചിട്ടുള്ള വിഭവങ്ങളുടെ വലിപ്പം സംബന്ധിച്ച് സാധ്യമായ മാനേജ്മെന്റ് തീരുമാനങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം k-th ഘട്ടത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ അവതരിപ്പിക്കാവുന്നതാണ്:

അപ്പോൾ R.E യുടെ ആവർത്തന സമവാക്യങ്ങൾ. ബെൽമാൻ (റിവേഴ്സ് ഡയഗ്രം) ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

ഉദാഹരണം. s0=100 റിസോഴ്സുകളുടെ ഒരു നിശ്ചിത തുകയുണ്ട്, മൊത്തം പരമാവധി ലാഭം ലഭിക്കുന്നതിന്, അവലോകനം ചെയ്യുന്ന കാലയളവിൽ (മാസം) നിലവിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കായി n=4 ബിസിനസ്സ് സ്ഥാപനങ്ങൾക്കിടയിൽ ഇത് വിതരണം ചെയ്യണം. ഓരോ സാമ്പത്തിക സ്ഥാപനത്തിന്റെയും പ്രവർത്തനങ്ങളിലെ റിസോഴ്‌സുകളുടെ നിക്ഷേപത്തിന്റെ വലുപ്പം xi (;) മൂല്യം h=20 ന്റെ ഗുണിതമാണ്, ഇത് വെക്‌ടർ Q ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കുന്നു. ഉപയോഗിക്കുന്ന ഫണ്ടുകളുടെ അളവ് അനുസരിച്ച് ഓരോ സാമ്പത്തിക സ്ഥാപനവും അറിയപ്പെടുന്നു. അവലോകനം ചെയ്യുന്ന കാലയളവിലെ xi, fi(xi) () തുകയിൽ ലാഭം കൊണ്ടുവരുന്നു (മറ്റ് സാമ്പത്തിക സ്ഥാപനങ്ങളിലെ വിഭവങ്ങളുടെ നിക്ഷേപത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല):

മൊത്തം ലാഭം ഏറ്റവും വലുതായിരിക്കുന്നതിന് ഓരോ എന്റർപ്രൈസസിനും എത്ര വിഭവങ്ങൾ അനുവദിക്കണമെന്ന് നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം.നമുക്ക് ബെൽമാന്റെ ആവർത്തന സമവാക്യങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കാം (ഇൻവേഴ്സ് സ്കീം):

(13) അനുസരിച്ച് നമുക്ക് സോപാധിക മാക്സിമുകൾ നിർണ്ണയിക്കാം; കണക്കുകൂട്ടൽ ഫലങ്ങൾ പട്ടിക 1 ൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

പട്ടിക 1. സോപാധിക ഒപ്റ്റിമയുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ

എസ് k-1 x കെ എസ് കെ k=3k=2k=1 123456789101112000000000000200200+20=20 22 200+22=22 2200+22=22 22020022+0=22 17+0=1714+0=14400400+33=33 42 200+42=42 4200+42=42 420202022+20=42 17+22=3914+22=3640021+0=2120+0=2026+0=26600600+46=46 55 200+55=55 59 20 0+59=59 590204022+33=5517+42=59 14+42=56402021+20=4120+22=4226+22=4860037+0=3732+0=3235+0=35800800+30=30 68 200+68=68 72 200+72=72 73 20206022+46=6817+55=7214+59=73 404021+33=5420+42=6426+42=68602037+20=5732+22=5435+22=5780067+0=6761+0=6152+0=5210001000+42=42 87 800+87=87 8700+87=87 870208022+30=5217+68=8514+72=86406021+46=6720+55=7526+59=85604037+33=7032+42=7435+42=77802067+20=87 61+22=8352+22=74100058+0=5872+0=7261+0=61സോപാധിക ഒപ്റ്റിമൈസേഷന്റെ ഫലങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, വിഭവങ്ങളുടെ ഒപ്റ്റിമൽ അലോക്കേഷൻ ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കും:

അതിനാൽ, ഒപ്റ്റിമൽ റിസോഴ്സ് അലോക്കേഷൻ ഇതാണ്:

ഇത് 87 പരമ്പരാഗത യൂണിറ്റുകളിൽ ഏറ്റവും വലിയ ലാഭം നൽകും. ഗുഹ. യൂണിറ്റുകൾ

ഉത്തരം:ഒപ്റ്റിമൽ റിസോഴ്സ് അലോക്കേഷൻ: ഇത് 87 പരമ്പരാഗത യൂണിറ്റുകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ ലാഭം നൽകുന്നു. ഗുഹ. യൂണിറ്റുകൾ

ഉപസംഹാരം

ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ് എന്നത് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രോഗ്രാമിംഗിന്റെ ഒരു മേഖലയാണ്, അതിൽ ഒപ്റ്റിമൽ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു കൂട്ടം സാങ്കേതികതകളും ഉപകരണങ്ങളും ഉൾപ്പെടുന്നു, അതുപോലെ തന്നെ സിസ്റ്റത്തിലെ ഓരോ ഘട്ടവും ഒപ്റ്റിമൈസ് ചെയ്യുകയും ഒരു നിയന്ത്രണ തന്ത്രം വികസിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു, അതായത്, നിയന്ത്രണ പ്രക്രിയയെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം. മൾട്ടി-സ്റ്റെപ്പ് പ്രക്രിയ. ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള ആസൂത്രണം ഉപയോഗിച്ച് ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ്, പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഹാരം ലളിതമാക്കാൻ മാത്രമല്ല, ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലന രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയാത്ത പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും അനുവദിക്കുന്നു. സങ്കീർണ്ണമായ മൾട്ടിവാരിയേറ്റ് പ്രശ്നം ഒരിക്കൽ പരിഹരിക്കുന്നതിനുപകരം, ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള ആസൂത്രണ രീതിയിൽ താരതമ്യേന ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾ ഒന്നിലധികം തവണ പരിഹരിക്കുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നതിനാൽ, പഠനത്തിന് കീഴിലുള്ള ഓപ്ഷനുകളുടെ എണ്ണം ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കുന്നതിലൂടെ പരിഹാരത്തിന്റെ ലളിതവൽക്കരണം കൈവരിക്കാനാകും. ഒരു ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള പ്രക്രിയ ആസൂത്രണം ചെയ്യുമ്പോൾ, മുഴുവൻ പ്രക്രിയയുടെയും മൊത്തത്തിലുള്ള താൽപ്പര്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ മുന്നോട്ട് പോകുന്നു, അതായത്. ഒരു പ്രത്യേക ഘട്ടത്തിൽ ഒരു തീരുമാനം എടുക്കുമ്പോൾ, അന്തിമ ലക്ഷ്യം എപ്പോഴും മനസ്സിൽ സൂക്ഷിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗിനും അതിന്റെ ദോഷങ്ങളുമുണ്ട്. ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, സിംപ്ലക്സ് രീതി സാർവത്രികമാണ്, ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗിൽ അത്തരമൊരു രീതിയില്ല. ഓരോ ജോലിക്കും അതിന്റേതായ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ട്, ഓരോ സാഹചര്യത്തിലും ഏറ്റവും അനുയോജ്യമായ പരിഹാര രീതി കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗിന്റെ പോരായ്മ മൾട്ടിഡൈമൻഷണൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സങ്കീർണ്ണത കൂടിയാണ്. ഒരു ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നം രണ്ട് വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കണം. ആദ്യത്തെ അവസ്ഥയെ സാധാരണയായി ആഫ്റ്റർ ഇഫക്റ്റിന്റെ അഭാവത്തിന്റെ അവസ്ഥ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തേത് പ്രശ്നത്തിന്റെ വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ അഡിറ്റിവിറ്റിയുടെ അവസ്ഥയാണ്. പ്രായോഗികമായി, ക്രമരഹിതമായ ഘടകങ്ങൾ ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്ന ആസൂത്രണ പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്, ഇത് സിസ്റ്റത്തിന്റെ അവസ്ഥയെയും നേട്ടത്തെയും സ്വാധീനിക്കുന്നു. ഡിറ്റർമിനിസ്റ്റിക്, സ്റ്റോക്കാസ്റ്റിക് ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നങ്ങൾ തമ്മിൽ വ്യത്യാസമുണ്ട്. ഒരു നിർണ്ണായക പ്രശ്നത്തിൽ, ഒപ്റ്റിമൽ കൺട്രോൾ അദ്വിതീയവും പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു കർക്കശമായ പ്രോഗ്രാമായി മുൻകൂട്ടി വ്യക്തമാക്കിയതുമാണ്. ക്രമരഹിതമായ ഒരു പ്രശ്നത്തിൽ, ഒപ്റ്റിമൽ നിയന്ത്രണം ക്രമരഹിതമാണ്, ക്രമരഹിതമായ സാഹചര്യത്തെ ആശ്രയിച്ച് പ്രക്രിയയിൽ തന്നെ തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെടുന്നു. ഒരു നിർണ്ണായക സ്കീമിൽ, അവസാനം മുതൽ തുടക്കം വരെ ഘട്ടങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന പ്രക്രിയയിൽ, ഓരോ ഘട്ടത്തിലും സോപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൽ നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ ഒരു മുഴുവൻ ശ്രേണിയും ഉണ്ട്, എന്നാൽ ഈ എല്ലാ നിയന്ത്രണങ്ങളിലും, ആത്യന്തികമായി ഒന്ന് മാത്രമാണ് നടപ്പിലാക്കിയത്. ഒരു സ്റ്റോക്കാസ്റ്റിക് സ്കീമിൽ ഇത് അങ്ങനെയല്ല. ക്രമരഹിതമായ പ്രക്രിയയുടെ മുമ്പത്തെ കോഴ്സ് സിസ്റ്റത്തെ അനുബന്ധ അവസ്ഥയിലേക്ക് നയിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഓരോ സോപാധിക ഒപ്റ്റിമൽ നിയന്ത്രണങ്ങളും യഥാർത്ഥത്തിൽ നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും. ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള പരിഹാരത്തിനുള്ള അടിസ്ഥാനമാണ് ഒപ്റ്റിമലിറ്റി തത്വം. ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗിന്റെ സാമ്പത്തിക പ്രശ്നങ്ങളുടെ സാധാരണ പ്രതിനിധികൾ ഉൽപ്പാദന, സംഭരണ ​​പ്രശ്നങ്ങൾ, മൂലധന നിക്ഷേപ വിതരണ പ്രശ്നങ്ങൾ, ഉൽപ്പാദന ഷെഡ്യൂളിംഗ് പ്രശ്നങ്ങൾ എന്നിവയും മറ്റുള്ളവയുമാണ്. കാലാകാലങ്ങളിൽ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആവശ്യകതയിലെ മാറ്റങ്ങൾ കണക്കിലെടുത്ത് ഒരു എന്റർപ്രൈസസിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ആസൂത്രണം ചെയ്യുന്നതിൽ ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ദിശയിലോ സമയത്തിലോ സംരംഭങ്ങൾക്കിടയിൽ വിഭവങ്ങളുടെ ഒപ്റ്റിമൽ വിതരണത്തിൽ. ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗിന്റെ സവിശേഷതകളും അതിന്റെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിൽ രൂപപ്പെടുത്താവുന്ന പ്രശ്നങ്ങളുടെ തരങ്ങളും വളരെ സാമാന്യവും കുറച്ച് അവ്യക്തവുമായിരിക്കണം, കാരണം ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗ് സ്കീമിന് അനുയോജ്യമായ നിരവധി വ്യത്യസ്ത പ്രശ്നങ്ങൾ ഉണ്ട്. ധാരാളം ഉദാഹരണങ്ങൾ പഠിക്കുന്നതിലൂടെ മാത്രമേ ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിംഗിന്റെ ഘടനയെക്കുറിച്ച് വ്യക്തമായ ധാരണ ലഭിക്കൂ.

ഗ്രന്ഥസൂചിക

1. സാമ്പത്തികവും ഗണിതപരവുമായ മാതൃകകളും രീതികളും. ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ്: ട്യൂട്ടോറിയൽസാമ്പത്തിക സ്പെഷ്യാലിറ്റികളുടെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കായി / സമാഹരിച്ചത്: സ്മിർനോവ് യു.എൻ., ഷിബാനോവ ഇ.വി., നബെറെഷ്നി ചെൽനി: കാംപിഐ പബ്ലിഷിംഗ് ഹൗസ്, 2004, 81 പേ.
2. സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിലെ പ്രവർത്തന ഗവേഷണം: പാഠപുസ്തകം. സർവ്വകലാശാലകൾക്കുള്ള മാനുവൽ / N.Sh. ക്രെമർ, ബി.എ. പുട്ട്കോ, ഐ.എം. തൃഷിൻ, എം.എൻ. ഫ്രീഡ്മാൻ; എഡ്. പ്രൊഫ. എൻ.എസ്.എച്ച്. ക്രെമർ. - എം.: UNITY, 2000. - 407 പേ.
3. കുസ്നെറ്റ്സോവ് എ.വി. ഉന്നത ഗണിതശാസ്ത്രം: ഗണിതം. പ്രോഗ്രാമിംഗ്: പാഠപുസ്തകം/എ.വി. കുസ്നെറ്റ്സോവ്, വി.എ. സക്കോവിച്ച്, എൻ.ഐ. തണുപ്പ്; പൊതുവായി കീഴിൽ ed. എ.വി. കുസ്നെറ്റ്സോവ. - Mn.: ഉയർന്നത്. സ്കൂൾ, 1994. - 286 പേജ്.: അസുഖം.

ട്യൂട്ടറിംഗ്

ഒരു വിഷയം പഠിക്കാൻ സഹായം ആവശ്യമുണ്ടോ?

നിങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള വിഷയങ്ങളിൽ ഞങ്ങളുടെ സ്പെഷ്യലിസ്റ്റുകൾ ഉപദേശിക്കുകയോ ട്യൂട്ടറിംഗ് സേവനങ്ങൾ നൽകുകയോ ചെയ്യും.
നിങ്ങളുടെ അപേക്ഷ സമർപ്പിക്കുകഒരു കൺസൾട്ടേഷൻ നേടുന്നതിനുള്ള സാധ്യതയെക്കുറിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഇപ്പോൾ വിഷയം സൂചിപ്പിക്കുന്നു.