ഇടവേളയുടെ വീതി ഇതായിരിക്കും:

Xmax - പരമാവധി മൂല്യംമൊത്തത്തിൽ ഗ്രൂപ്പിംഗ് സ്വഭാവം.
ഗ്രൂപ്പിംഗ് സ്വഭാവത്തിന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യമാണ് Xmin.
നമുക്ക് ഗ്രൂപ്പിന്റെ അതിരുകൾ നിർവചിക്കാം.

ഗ്രൂപ്പ് നമ്പർ	താഴത്തെ വരി	ഉയർന്ന പരിധി
1	43	45.83
2	45.83	48.66
3	48.66	51.49
4	51.49	54.32
5	54.32	57.15
6	57.15	60

ഒരേ ആട്രിബ്യൂട്ട് മൂല്യം മുകളിലും ഒപ്പം താഴ്ന്ന അതിരുകൾരണ്ട് അടുത്തുള്ള (മുമ്പത്തെതും തുടർന്നുള്ളതുമായ) ഗ്രൂപ്പുകൾ.
ശ്രേണിയുടെ ഓരോ മൂല്യത്തിനും, അത് ഒരു പ്രത്യേക ഇടവേളയിൽ എത്ര തവണ വീഴുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സീരീസ് ആരോഹണ ക്രമത്തിൽ അടുക്കുന്നു.

43	43 - 45.83	1
48.5	45.83 - 48.66	1
49	48.66 - 51.49	1
49	48.66 - 51.49	2
49.5	48.66 - 51.49	3
50	48.66 - 51.49	4
50	48.66 - 51.49	5
50.5	48.66 - 51.49	6
51.5	51.49 - 54.32	1
51.5	51.49 - 54.32	2
52	51.49 - 54.32	3
52	51.49 - 54.32	4
52	51.49 - 54.32	5
52	51.49 - 54.32	6
52	51.49 - 54.32	7
52	51.49 - 54.32	8
52	51.49 - 54.32	9
52.5	51.49 - 54.32	10
52.5	51.49 - 54.32	11
53	51.49 - 54.32	12
53	51.49 - 54.32	13
53	51.49 - 54.32	14
53.5	51.49 - 54.32	15
54	51.49 - 54.32	16
54	51.49 - 54.32	17
54	51.49 - 54.32	18
54.5	54.32 - 57.15	1
54.5	54.32 - 57.15	2
55.5	54.32 - 57.15	3
57	54.32 - 57.15	4
57.5	57.15 - 59.98	1
57.5	57.15 - 59.98	2
58	57.15 - 59.98	3
58	57.15 - 59.98	4
58.5	57.15 - 59.98	5
60	57.15 - 59.98	6

ഞങ്ങൾ ഗ്രൂപ്പിംഗ് ഫലങ്ങൾ ഒരു പട്ടികയുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കും:

ഗ്രൂപ്പുകൾ	ശേഖരം നം.	ഫ്രീക്വൻസി എഫ് ഐ
43 - 45.83	1	1
45.83 - 48.66	2	1
48.66 - 51.49	3,4,5,6,7,8	6
51.49 - 54.32	9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26	18
54.32 - 57.15	27,28,29,30	4
57.15 - 59.98	31,32,33,34,35,36	6

സൂചകങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പട്ടിക.

ഗ്രൂപ്പുകൾ	x i	അളവ്, f i	x i * f i	സഞ്ചിത ആവൃത്തി, എസ്	|x - x av |*f	(x - x ശരാശരി) 2 *f	ഫ്രീക്വൻസി, f i /n
43 - 45.83	44.42	1	44.42	1	8.88	78.91	0.0278
45.83 - 48.66	47.25	1	47.25	2	6.05	36.64	0.0278
48.66 - 51.49	50.08	6	300.45	8	19.34	62.33	0.17
51.49 - 54.32	52.91	18	952.29	26	7.07	2.78	0.5
54.32 - 57.15	55.74	4	222.94	30	9.75	23.75	0.11
57.15 - 59.98	58.57	6	351.39	36	31.6	166.44	0.17
		36	1918.73		82.7	370.86	1

വിതരണ ശ്രേണി വിലയിരുത്തുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന സൂചകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
വിതരണ കേന്ദ്രത്തിന്റെ സൂചകങ്ങൾ.
ശരാശരി തൂക്കം


ഫാഷൻ
ഒരു നിശ്ചിത പോപ്പുലേഷന്റെ യൂണിറ്റുകൾക്കിടയിൽ ഒരു സ്വഭാവത്തിന്റെ ഏറ്റവും സാധാരണമായ മൂല്യമാണ് മോഡ്.

ഇവിടെ x 0 എന്നത് മോഡൽ ഇടവേളയുടെ തുടക്കമാണ്; h - ഇടവേള മൂല്യം; f 2 - മോഡൽ ഇടവേളയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ആവൃത്തി; f 1 - പ്രീമോഡൽ ആവൃത്തി; f 3 - പോസ്റ്റ്മോഡൽ ആവൃത്തി.
ഇടവേളയുടെ തുടക്കമായി ഞങ്ങൾ 51.49 തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, കാരണം ഈ ഇടവേള ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയാണ്.

പരമ്പരയുടെ ഏറ്റവും സാധാരണമായ മൂല്യം 52.8 ആണ്
മീഡിയൻ
മീഡിയൻ സാമ്പിളിനെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു: പകുതി മീഡിയനേക്കാൾ കുറവാണ്, പകുതി കൂടുതലാണ്.
ഒരു ഇടവേള വിതരണ ശ്രേണിയിൽ, മോഡ് അല്ലെങ്കിൽ മീഡിയൻ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഇടവേള മാത്രമേ നിങ്ങൾക്ക് ഉടനടി വ്യക്തമാക്കാൻ കഴിയൂ. റാങ്ക് ചെയ്ത ശ്രേണിയുടെ മധ്യത്തിലുള്ള ഓപ്ഷനുമായി മീഡിയൻ യോജിക്കുന്നു. മീഡിയൻ ഇടവേള 51.49 - 54.32 ആണ്, കാരണം ഈ ഇടവേളയിൽ, സമാഹരിച്ച ഫ്രീക്വൻസി എസ് ശരാശരി സംഖ്യയേക്കാൾ കൂടുതലാണ് (മധ്യസ്ഥം എന്നത് ആദ്യത്തെ ഇടവേളയാണ്, അതിന്റെ സഞ്ചിത ആവൃത്തി S മൊത്തം ആവൃത്തികളുടെ പകുതിയിലധികം കവിയുന്നു).


അങ്ങനെ, ജനസംഖ്യയിലെ 50% യൂണിറ്റുകളും 53.06 നേക്കാൾ കുറവായിരിക്കും.
വ്യതിയാന സൂചകങ്ങൾ.
സമ്പൂർണ്ണ വ്യതിയാനങ്ങൾ.
വ്യതിയാനത്തിന്റെ പരിധി പരമാവധി തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യങ്ങൾപ്രാഥമിക പരമ്പരയുടെ അടയാളം.
R = X പരമാവധി - X മിനിറ്റ്
R = 60 - 43 = 17
ശരാശരി രേഖീയ വ്യതിയാനം- പഠനത്തിന് കീഴിലുള്ള ജനസംഖ്യയുടെ എല്ലാ യൂണിറ്റുകളുടെയും വ്യത്യാസങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുന്നതിനായി കണക്കാക്കുന്നു.


ശ്രേണിയുടെ ഓരോ മൂല്യവും മറ്റൊന്നിൽ നിന്ന് 2.3-ൽ കൂടുതൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു
വിസരണം- അതിന്റെ ശരാശരി മൂല്യത്തെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയുള്ള ചിതറിക്കിടക്കുന്നതിന്റെ അളവ് (ചിതറിക്കലിന്റെ അളവ്, അതായത് ശരാശരിയിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനം).


നിഷ്പക്ഷ വേരിയൻസ് എസ്റ്റിമേറ്റർ- വ്യതിയാനത്തിന്റെ സ്ഥിരമായ കണക്ക്.


സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ.

ശ്രേണിയുടെ ഓരോ മൂല്യവും ശരാശരി മൂല്യമായ 53.3-ൽ നിന്ന് 3.21-ൽ കൂടാതെ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു
സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷന്റെ എസ്റ്റിമേഷൻ.

ആപേക്ഷിക വ്യതിയാന നടപടികൾ.
വ്യതിയാനത്തിന്റെ ആപേക്ഷിക സൂചകങ്ങളിൽ ഇവ ഉൾപ്പെടുന്നു: ആന്ദോളനത്തിന്റെ ഗുണകം, വ്യതിയാനത്തിന്റെ രേഖീയ ഗുണകം, ആപേക്ഷിക രേഖീയ വ്യതിയാനം.
വ്യതിയാനത്തിന്റെ ഗുണകം- ജനസംഖ്യാ മൂല്യങ്ങളുടെ ആപേക്ഷിക വ്യാപനത്തിന്റെ അളവ്: ഈ മൂല്യത്തിന്റെ ശരാശരി മൂല്യത്തിന്റെ എത്ര അനുപാതമാണ് അതിന്റെ ശരാശരി വ്യാപനമെന്ന് കാണിക്കുന്നു.

v ≤ 30% ആയതിനാൽ, ജനസംഖ്യ ഏകതാനവും വ്യതിയാനം ദുർബലവുമാണ്. ലഭിച്ച ഫലങ്ങൾ വിശ്വസനീയമാണ്.
വ്യതിയാനത്തിന്റെ രേഖീയ ഗുണകംഅഥവാ ആപേക്ഷിക രേഖീയ വ്യതിയാനം- ശരാശരി മൂല്യത്തിൽ നിന്നുള്ള സമ്പൂർണ്ണ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ചിഹ്നത്തിന്റെ ശരാശരി മൂല്യത്തിന്റെ അനുപാതം വിശേഷിപ്പിക്കുന്നു.

വിതരണ തരത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അനുമാനങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു.
1. എക്‌സ് വിതരണം ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തം പരിശോധിക്കാം സാധാരണ നിയമംപിയേഴ്സൺ ഗുഡ്നസ് ഓഫ് ഫിറ്റ് ടെസ്റ്റ് ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഇവിടെ p i എന്നത് അടിക്കാനുള്ള സാധ്യതയാണ് i-th ഇടവേള റാൻഡം വേരിയബിൾ, സാങ്കൽപ്പിക നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം
പ്രോബബിലിറ്റികൾ p i കണക്കാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്ഷന്റെ ഫോർമുലയും പട്ടികയും പ്രയോഗിക്കുന്നു

എവിടെ
s = 3.21, xav = 53.3
സൈദ്ധാന്തിക (പ്രതീക്ഷിച്ച) ആവൃത്തി n i = np i ആണ്, ഇവിടെ n = 36

ഗ്രൂപ്പിംഗ് ഇടവേളകൾ	നിരീക്ഷിച്ച ആവൃത്തി n i	x 1 = (x i - x ശരാശരി)/സെ	x 2 = (x i+1 - x av)/സെ	F(x 1)	F(x 2)	i-th ഇടവേളയിൽ പ്രവേശിക്കാനുള്ള സാധ്യത, p i = Ф(x 2) - Ф(x 1)	പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന ആവൃത്തി, 36p i	പിയേഴ്സൺ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സ് നിബന്ധനകൾ, കെ ഐ
43 - 45.83	1	-3.16	-2.29	-0.5	-0.49	0.01	0.36	1.14
45.83 - 48.66	1	-2.29	-1.42	-0.49	-0.42	0.0657	2.37	0.79
48.66 - 51.49	6	-1.42	-0.56	-0.42	-0.21	0.21	7.61	0.34
51.49 - 54.32	18	-0.56	0.31	-0.21	0.13	0.34	12.16	2.8
54.32 - 57.15	4	0.31	1.18	0.13	0.38	0.26	9.27	3
57.15 - 59.98	6	1.18	2.06	0.38	0.48	0.0973	3.5	1.78
	36							9.84

നിർണായക മേഖലയുടെ അതിർത്തി നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം. പിയേഴ്സൺ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ അനുഭവപരവും സൈദ്ധാന്തികവുമായ വിതരണങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം അളക്കുന്നതിനാൽ, അതിന്റെ നിരീക്ഷിച്ച മൂല്യം വലുതായ K obs, പ്രധാന സിദ്ധാന്തത്തിനെതിരായ വാദം ശക്തമാണ്.
അതിനാൽ, ഈ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളുടെ നിർണായക മേഖല എല്ലായ്പ്പോഴും വലംകൈയാണ് :)