ഒരു ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററുടെ ഈജൻവാല്യൂ കണ്ടെത്തുക. ഒരു ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററുടെ ഈജൻ മൂല്യങ്ങളും ഈജൻ വെക്ടറുകളും

ഡയഗണൽ മെട്രിക്സിന് ഏറ്റവും ലളിതമായ ഘടനയുണ്ട്. ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററിന്റെ മാട്രിക്സിന് ഒരു ഡയഗണൽ ഫോം ഉണ്ടായിരിക്കുന്ന ഒരു അടിസ്ഥാനം കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമോ എന്ന ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു. അത്തരമൊരു അടിസ്ഥാനം നിലവിലുണ്ട്.
നമുക്ക് ഒരു ലീനിയർ സ്പേസ് R n നൽകാം, അതിൽ ഒരു ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ A പ്രവർത്തിക്കുന്നു; ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഓപ്പറേറ്റർ A R n സ്വയം എടുക്കുന്നു, അതായത് A:R n → R n .

നിർവ്വചനം. ഒരു നോൺ-സീറോ വെക്‌ടറിനെ, ഓപ്പറേറ്റർ A ഒരു കോളിനിയർ വെക്‌റ്ററായി വിവർത്തനം ചെയ്‌താൽ, A-ന്റെ ഈജൻ വെക്‌ടറിനെ വിളിക്കുന്നു. λ എന്ന സംഖ്യയെ ഐജൻ വെക്‌ടറുമായി ബന്ധപ്പെട്ട, ഓപ്പറേറ്റർ എയുടെ ഐജൻവാല്യൂ അല്ലെങ്കിൽ ഐജൻവാല്യൂ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഈജൻവാല്യൂസ്, ഈജൻ വെക്‌ടറുകൾ എന്നിവയുടെ ചില സവിശേഷതകൾ നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം.
1. ഏതെങ്കിലും രേഖീയ സംയോജനംഈജൻ വെക്‌ടറുകൾ ഒരേ ഐജൻവാല്യൂ λ യുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഓപ്പറേറ്റർ എ, അതേ ഐജൻവാല്യൂ ഉള്ള ഒരു ഐജൻ വെക്‌ടറാണ്.
2. ഈജൻ വെക്‌ടറുകൾ λ 1 , λ 2 , ..., λ m ജോടിയായി വ്യത്യസ്ത ഈജൻ മൂല്യങ്ങളുള്ള ഓപ്പറേറ്റർ A രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണ്.
3. ഈജൻ മൂല്യങ്ങൾ λ 1 =λ 2 = λ m = λ ആണെങ്കിൽ, eigenvalue λ m രേഖീയ സ്വതന്ത്ര ഈജൻ വെക്റ്ററുകളേക്കാൾ കൂടുതലല്ല.

അതിനാൽ, n രേഖീയ സ്വതന്ത്ര ഈജൻ വെക്‌ടറുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ , λ 1, λ 2, ..., λ n എന്നീ വ്യത്യസ്ത ഈജൻ മൂല്യങ്ങൾക്ക് അനുസൃതമായി, അവ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണ്, അതിനാൽ അവ R n എന്ന സ്ഥലത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനമായി കണക്കാക്കാം. ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ A യുടെ മാട്രിക്സിന്റെ രൂപം അതിന്റെ ഈജൻ വെക്റ്ററുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം, ഇതിനായി ഞങ്ങൾ ഓപ്പറേറ്റർ A യുമായി അടിസ്ഥാന വെക്റ്ററുകളിൽ പ്രവർത്തിക്കും: പിന്നെ .
അതിനാൽ, ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ A യുടെ മാട്രിക്സിന് അതിന്റെ ഈജൻ വെക്റ്ററുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു ഡയഗണൽ രൂപമുണ്ട്, കൂടാതെ A യുടെ ഈജൻ മൂല്യങ്ങൾ ഡയഗണലിലാണ്.
മാട്രിക്സിന് ഒരു ഡയഗണൽ രൂപമുണ്ടെന്നതിന് മറ്റൊരു അടിസ്ഥാനമുണ്ടോ? ഈ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം നൽകുന്നു.

സിദ്ധാന്തം. അടിസ്ഥാനത്തിലെ (i = 1..n) ഒരു ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ A യുടെ മാട്രിക്സിന് ഒരു ഡയഗണൽ ഫോം ഉണ്ടായിരിക്കും, അടിസ്ഥാനത്തിന്റെ എല്ലാ വെക്റ്ററുകളും A യുടെ ഈജൻ വെക്റ്ററുകളാണെങ്കിൽ മാത്രം.

ഈജൻ മൂല്യങ്ങളും ഈജൻ വെക്ടറുകളും കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള നിയമം

ഒരു വെക്റ്റർ നൽകട്ടെ

, ഇവിടെ x 1, x 2, ..., x n അടിസ്ഥാനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട വെക്‌ടറിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളാണ്

λ എന്ന ഈഗൻവാല്യൂവിന് അനുയോജ്യമായ ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ A യുടെ ഈജൻ വെക്റ്റർ ആണ്. ഈ ബന്ധം മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതാം

. (*)

സമവാക്യം (*) കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു സമവാക്യമായി കണക്കാക്കാം, അതായത്, നിസ്സാരമല്ലാത്ത പരിഹാരങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്, കാരണം ഐജൻ വെക്റ്റർ പൂജ്യമാകാൻ കഴിയില്ല. ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിന്റെ നിസ്സാരമായ പരിഹാരങ്ങൾ എന്ന് അറിയപ്പെടുന്നു രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ det(A - λE) = 0 ആണെങ്കിൽ മാത്രമേ നിലനിൽക്കൂ. അതിനാൽ, λ ഓപ്പറേറ്റർ A യുടെ ഈജൻവാല്യൂ ആകണമെങ്കിൽ det(A - λE) = 0 എന്നത് ആവശ്യമാണ്.
സമവാക്യം (*) കോർഡിനേറ്റ് രൂപത്തിൽ വിശദമായി എഴുതിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, നമുക്ക് രേഖീയ ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കും:

(1)
എവിടെ - ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ മാട്രിക്സ്.

സിസ്റ്റം (1) ഡിറ്റർമിനന്റ് ഡി ആണെങ്കിൽ പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒരു പരിഹാരമുണ്ട് പൂജ്യത്തിന് തുല്യം

ഈജൻ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു സമവാക്യം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു.
ഈ സമവാക്യത്തെ സ്വഭാവ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിന്റെ ഇടത് വശം- മാട്രിക്സിന്റെ (ഓപ്പറേറ്റർ) സ്വഭാവസവിശേഷത പോളിനോമിയൽ A. സ്വഭാവ ബഹുപദത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ലെങ്കിൽ, മാട്രിക്സ് A ന് ഈജൻ വെക്റ്ററുകൾ ഇല്ല, കൂടാതെ ഡയഗണൽ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാൻ കഴിയില്ല.
λ 1, λ 2, ..., λ n എന്നിവ സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ വേരുകളായിരിക്കട്ടെ, അവയിൽ ഗുണിതങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം. ഈ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റി സിസ്റ്റം (1) ആയി മാറ്റി, ഞങ്ങൾ ഈജൻ വെക്റ്ററുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

ഉദാഹരണം 12. ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ A നിയമം അനുസരിച്ച് R 3 ൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു, ഇവിടെ x 1, x 2, .., x n എന്നിവ വെക്റ്ററിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളാണ്. , , . ഈ ഓപ്പറേറ്ററുടെ ഈജൻ മൂല്യങ്ങളും ഈജൻ വെക്‌ടറുകളും കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം. ഈ ഓപ്പറേറ്ററുടെ മാട്രിക്സ് ഞങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നു:
.
ഈജൻ വെക്ടറുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സംവിധാനം ഞങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു:

ഞങ്ങൾ ഒരു സ്വഭാവ സമവാക്യം രചിക്കുകയും അത് പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് λ = -1 മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾക്ക് ഇവയുണ്ട്:
അഥവാ
കാരണം , അപ്പോൾ രണ്ട് ആശ്രിത വേരിയബിളുകളും ഒരു ഫ്രീ വേരിയബിളും ഉണ്ട്.
അപ്പോൾ x 1 ഒരു സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാതമായിരിക്കട്ടെ ഞങ്ങൾ ഈ സിസ്റ്റം ഏതെങ്കിലും വിധത്തിൽ പരിഹരിക്കുകയും കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു പൊതു തീരുമാനംഈ സിസ്റ്റത്തിന്റെ: n - r = 3 - 2 = 1 എന്നതിനാൽ, പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനം ഒരു പരിഹാരം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.
ഈജൻവാല്യൂ λ = -1 ന് അനുയോജ്യമായ ഈജൻ വെക്‌ടറുകളുടെ ഗണത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്: , ഇവിടെ x 1 എന്നത് പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയുമാണ്. ഈ സെറ്റിൽ നിന്ന് ഒരു വെക്റ്റർ തിരഞ്ഞെടുക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, x 1 = 1 ഇടുക: .
സമാനമായി ന്യായവാദം ചെയ്യുന്നതിലൂടെ, ഈജൻവാല്യൂ λ = 3 ന് അനുയോജ്യമായ ഐജൻവെക്റ്റർ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: .
R 3 എന്ന സ്ഥലത്ത്, അടിസ്ഥാനം മൂന്ന് രേഖീയ സ്വതന്ത്ര വെക്‌ടറുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, എന്നാൽ ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് രേഖീയ സ്വതന്ത്ര ഈജൻ വെക്‌ടറുകൾ മാത്രമേ ലഭിച്ചിട്ടുള്ളൂ, അവയിൽ നിന്ന് R 3-ലെ അടിസ്ഥാനം രചിക്കാൻ കഴിയില്ല. തൽഫലമായി, ഒരു ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററിന്റെ മാട്രിക്സ് എയെ ഡയഗണൽ രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് കഴിയില്ല.

ഉദാഹരണം 13. ഒരു മാട്രിക്സ് നൽകി .
1. വെക്റ്റർ എന്ന് തെളിയിക്കുക മാട്രിക്സ് A യുടെ ഒരു ഈജൻ വെക്‌ടറാണ്. ഈ ഐജൻ വെക്‌ടറുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഈജൻമൂല്യം കണ്ടെത്തുക.
2. മാട്രിക്സ് എയ്ക്ക് ഒരു ഡയഗണൽ ഫോം ഉള്ള അടിസ്ഥാനം കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം.
1. എങ്കിൽ, ഒരു ഈജൻ വെക്റ്റർ ആണ്

.
വെക്റ്റർ (1, 8, -1) ഒരു ഈജൻ വെക്റ്റർ ആണ്. ഈജൻവാല്യൂ λ = -1.
മാട്രിക്സിന് ഈജൻ വെക്റ്ററുകൾ അടങ്ങിയ ഒരു ഡയഗണൽ രൂപമുണ്ട്. അതിലൊന്ന് പ്രശസ്തമാണ്. ബാക്കി നമുക്ക് കണ്ടെത്താം.
സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ഈജൻ വെക്ടറുകൾക്കായി തിരയുന്നു:

സ്വഭാവ സമവാക്യം: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
ഈജൻവാല്യൂ λ = -3 ന് അനുയോജ്യമായ ഈജൻ വെക്റ്റർ കണ്ടെത്താം:

ഈ സിസ്റ്റത്തിന്റെ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് രണ്ടാണ്, അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ ഈ സിസ്റ്റത്തിന് പൂജ്യം പരിഹാരമേ ഉള്ളൂ x 1 = x 3 = 0. ഇവിടെ x 2 പൂജ്യമല്ലാതെ മറ്റെന്തെങ്കിലും ആകാം, ഉദാഹരണത്തിന്, x 2 = 1. അങ്ങനെ, വെക്റ്റർ (0 ,1,0) λ = -3 ന് അനുയോജ്യമായ ഒരു ഐജൻ വെക്റ്റർ ആണ്. നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം:
.
λ = 1 ആണെങ്കിൽ, നമുക്ക് സിസ്റ്റം ലഭിക്കും
മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് രണ്ട് ആണ്. ഞങ്ങൾ അവസാന സമവാക്യം മറികടക്കുന്നു.
x 3 ഒരു സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാതമായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
x 3 = 1 എന്ന് അനുമാനിക്കുക, നമുക്ക് (-3,-9,1) ഉണ്ട് - λ = 1 എന്ന ഈഗൻവാല്യൂവിന് അനുയോജ്യമായ ഒരു ഐജൻ വെക്റ്റർ. പരിശോധിക്കുക:

.
ഈജൻമൂല്യങ്ങൾ യഥാർത്ഥവും വ്യതിരിക്തവുമായതിനാൽ, അവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട വെക്‌ടറുകൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണ്, അതിനാൽ അവ R 3-ൽ അടിസ്ഥാനമായി കണക്കാക്കാം. അങ്ങനെ, അടിസ്ഥാനത്തിൽ , , മാട്രിക്സ് എ ഫോം ഉണ്ട്:
.
ഒരു ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററിന്റെ എല്ലാ മാട്രിക്സും A:R n → R n ഡയഗണൽ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാൻ കഴിയില്ല, കാരണം ചില ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർമാർക്ക് n ലീനിയർ ഇൻഡിപെൻഡന്റ് ഈജൻ വെക്റ്ററുകളേക്കാൾ കുറവായിരിക്കാം. എന്നിരുന്നാലും, മാട്രിക്സ് സമമിതി ആണെങ്കിൽ, m ഗുണിതത്തിന്റെ സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് കൃത്യമായി m രേഖീയ സ്വതന്ത്ര വെക്റ്ററുകളുമായി യോജിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം. ഒരു സമമിതി മാട്രിക്സ് എന്നത് ഒരു ചതുര മാട്രിക്സാണ്, അതിൽ പ്രധാന ഡയഗണലുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സമമിതി ഘടകങ്ങൾ തുല്യമാണ്, അതായത്, അതിൽ .
കുറിപ്പുകൾ. 1. ഒരു സമമിതി മാട്രിക്സിന്റെ എല്ലാ ഐജൻമൂല്യങ്ങളും യഥാർത്ഥമാണ്.
2. ജോഡിവൈസ് വ്യത്യസ്ത ഈജൻ മൂല്യങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഒരു സമമിതി മാട്രിക്സിന്റെ ഈജൻ വെക്റ്ററുകൾ ഓർത്തോഗണൽ ആണ്.
പഠിച്ച ഉപകരണത്തിന്റെ നിരവധി ആപ്ലിക്കേഷനുകളിലൊന്ന് എന്ന നിലയിൽ, ഒരു രണ്ടാം ഓർഡർ വക്രത്തിന്റെ തരം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു.

വെക്റ്റർ X ≠ 0 എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഈജൻ വെക്റ്റർമാട്രിക്സ് A ഉള്ള ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ, AX =X എന്ന തരത്തിൽ ഒരു സംഖ്യ ഉണ്ടെങ്കിൽ.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമ്പർ വിളിക്കുന്നു ഈജൻ മൂല്യംവെക്റ്റർ x ന് അനുയോജ്യമായ ഓപ്പറേറ്റർ (മാട്രിക്സ് എ).

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററുടെ പ്രവർത്തനത്തിൽ, ഒരു കോളിനിയർ വെക്റ്ററായി രൂപാന്തരപ്പെടുന്ന ഒരു വെക്റ്റർ ആണ് ഈജൻ വെക്റ്റർ, അതായത്. ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ മതി. നേരെമറിച്ച്, അനുചിതമായ വെക്റ്ററുകൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നതിന് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമാണ്.

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ ഒരു ഐജൻ വെക്റ്ററിന്റെ നിർവചനം എഴുതാം:

നമുക്ക് എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഇടതുവശത്തേക്ക് നീക്കാം:

പിന്നീടുള്ള സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:

(A - E)X = O

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും X = O ഒരു പൂജ്യം പരിഹാരമുണ്ട്. എല്ലാ സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ അത്തരം സിസ്റ്റങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു ഏകതാനമായ. അത്തരമൊരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ മാട്രിക്സ് ചതുരവും അതിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യവുമല്ലെങ്കിൽ, ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരം ലഭിക്കും - പൂജ്യം. ഈ മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ സിസ്റ്റത്തിന് പൂജ്യമല്ലാത്ത പരിഹാരങ്ങളുള്ളുവെന്ന് തെളിയിക്കാൻ കഴിയും, അതായത്.

|എ - E| = = 0

അജ്ഞാതമായ ഈ സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു സ്വഭാവ സമവാക്യം(സ്വഭാവ ബഹുപദം) മാട്രിക്സ് എ (ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ).

ഒരു ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററുടെ പോളിനോമിയലിന്റെ സ്വഭാവം അടിസ്ഥാനത്തിന്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ലെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് കണ്ടെത്താം ഈജൻ മൂല്യങ്ങൾകൂടാതെ മാട്രിക്സ് A = നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററിന്റെ ഈജൻ വെക്റ്ററുകൾ.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നമുക്ക് ഒരു സ്വഭാവ സമവാക്യം ഉണ്ടാക്കാം |A - E| = = (1 -) 2 – 36 = 1 – 2+ 2 - 36 = 2 – 2- 35; D = 4 + 140 = 144; eigenvalues 1 = (2 - 12)/2 = -5; 2 = (2 + 12)/2 = 7.

ഈജൻ വെക്റ്ററുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

അവയിൽ ആദ്യത്തേതിന്, വികസിപ്പിച്ച മാട്രിക്സ് രൂപമെടുക്കുന്നു

എവിടെ നിന്ന് x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, അതായത്. X (1) = (-(2/3)s; s).

അവയിൽ രണ്ടാമത്തേതിന്, വികസിപ്പിച്ച മാട്രിക്സ് രൂപമെടുക്കുന്നു

എവിടെ നിന്ന് x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, അതായത്. X (2) = ((2/3)s 1; s 1).

അങ്ങനെ, ഈ ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററിന്റെ ഈജൻ വെക്‌ടറുകൾ, ഈജൻവാല്യൂ (-5) ഉള്ള ഫോമിന്റെ (-(2/3) с; с) എല്ലാ വെക്‌റ്ററുകളും ((2/3) с 1 ; с 1) ഫോമിന്റെ എല്ലാ വെക്‌ടറുകളും ആണ്. ഈജൻവാല്യൂ 7.

ഓപ്പറേറ്റർ A യുടെ മാട്രിക്സ് അതിന്റെ ഐജൻ വെക്റ്ററുകൾ അടങ്ങുന്ന അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഡയഗണൽ ആണെന്നും രൂപമുണ്ടെന്നും തെളിയിക്കാനാകും:

ഇവിടെ  ഞാൻ ഈ മാട്രിക്സിന്റെ ഈജൻ മൂല്യങ്ങളാണ്.

വിപരീതവും ശരിയാണ്: ചില അടിസ്ഥാനത്തിൽ മാട്രിക്സ് A ഡയഗണൽ ആണെങ്കിൽ, ഈ അടിസ്ഥാനത്തിലെ എല്ലാ വെക്റ്ററുകളും ഈ മാട്രിക്സിന്റെ ഈജൻ വെക്റ്ററുകളായിരിക്കും.

ഒരു ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററിന് n ജോഡിവൈസ് വ്യത്യസ്തമായ ഈജൻ മൂല്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, അനുബന്ധ ഐജൻ വെക്‌ടറുകൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണ്, കൂടാതെ ഈ ഓപ്പറേറ്ററുടെ മാട്രിക്സിന് ഒരു ഡയഗണൽ രൂപമുണ്ടെന്നും തെളിയിക്കാനാകും.

നിർവ്വചനം 5.3. ലീനിയർ സ്പേസിൽ നോൺസീറോ വെക്റ്റർ xഎൽ എന്നാണ് വിളിക്കുന്നത് ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററിന്റെ ഈജൻ വെക്റ്റർ A: L → L, ചില യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾക്ക് Ax = λx എന്ന ബന്ധം പിടിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമ്പർ λ വിളിക്കുന്നു ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററുടെ ഈജൻവാല്യൂ (eigenvalue). എ.

ഉദാഹരണം 5.3. n-ൽ കൂടാത്ത ബഹുപദങ്ങളുടെ ലീനിയർ സ്പേസ് K n [x] ഡിഗ്രി പൂജ്യത്തിന്റെ പോളിനോമിയലുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അതായത്. സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ. dc/dx = 0 = 0 c ആയതിനാൽ, ഡിഗ്രി പൂജ്യം p(x) = c ≠ 0 എന്ന പോളിനോമിയലുകൾ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ ഓപ്പറേറ്ററിന്റെ ഈജൻ വെക്റ്ററുകളാണ്, കൂടാതെ നമ്പർ λ = 0 ഈ ഓപ്പറേറ്ററിന്റെ ഈജൻവാല്യൂ ആണ്. #

ഒരു ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററുടെ എല്ലാ ഐജൻവാല്യൂകളുടെയും സെറ്റിനെ വിളിക്കുന്നു ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററുടെ സ്പെക്ട്രം . ഓരോ ഈജൻ വെക്‌ടറും അതിന്റേതായ ഈജൻ മൂല്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, ഒരു വെക്റ്റർ x ഒരേസമയം Ax = λx, Ax = μx എന്നീ രണ്ട് തുല്യതകളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെങ്കിൽ, λx = μx, എവിടെ നിന്ന് (λ - μ)x = 0. λ - μ ≠ 0 ആണെങ്കിൽ, തുല്യതയെ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക (λ - μ) ) -1 അതിന്റെ ഫലമായി നമുക്ക് x = 0 ലഭിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഇത് ഈജൻ വെക്‌ടറിന്റെ നിർവചനത്തിന് വിരുദ്ധമാണ്, കാരണം ഒരു ഐജൻ വെക്‌ടർ എപ്പോഴും പൂജ്യമല്ല.

ഓരോ ഐജൻവാല്യൂവിനും അതിന്റേതായ ഈജൻ വെക്‌ടറുകൾ ഉണ്ട്, അവയിൽ അനന്തമായി ധാരാളം ഉണ്ട്. തീർച്ചയായും, x ഒരു ഈജൻവാല്യൂ λ ഉള്ള ഒരു ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ A യുടെ ഈജൻ വെക്റ്റർ ആണെങ്കിൽ, അതായത്. Ах = λx, അപ്പോൾ പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതൊരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയ്ക്കും α αx ≠ 0 ഉം А(αх) = α(Ах) = αλx = λ(αx) ഉം ഉണ്ട്. ഇതിനർത്ഥം വെക്റ്റർ αx ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററിനുള്ള ഒരു ഈജൻ വെക്റ്റർ കൂടിയാണ്.

പരാമർശം 5.1.അവർ പലപ്പോഴും സംസാരിക്കാറുണ്ട് ഒരു ചതുര മാട്രിക്സിന്റെ ഈജൻവാല്യൂസ് (നമ്പറുകൾ), സ്പെക്ട്രം, ഈജൻ വെക്റ്ററുകൾ . ഇതിനർത്ഥം ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ്. n എന്ന ക്രമത്തിന്റെ മാട്രിക്സ് എ മാട്രിക്സ്ചിലത് ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർഒരു നിശ്ചിത ൽ അടിസ്ഥാനം, പ്രവർത്തിക്കുന്നു n-ഡൈമൻഷണൽ ലീനിയർ സ്പേസ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങൾ നിർത്തുകയാണെങ്കിൽ രേഖീയ ഗണിത സ്ഥലത്ത് സ്റ്റാൻഡേർഡ് അടിസ്ഥാനം R n , തുടർന്ന് മാട്രിക്സ് A ഒരു ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ A യെ നിർവചിക്കുന്നു, ഒരു വെക്റ്റർ x ∈ R n ഒരു കോർഡിനേറ്റ് കോളം x ഉപയോഗിച്ച് ഒരു കോർഡിനേറ്റ് കോളം ഉള്ള ഒരു വെക്റ്ററിലേക്ക് മാപ്പ് ചെയ്യുന്നു. മാട്രിക്സ് എ കൃത്യമായി മാട്രിക്സ് എ ആണ്. ഒരു ഗണിത വെക്റ്ററിനെ അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഒരു കോളം ഉപയോഗിച്ച് തിരിച്ചറിയുന്നതുപോലെ ഒരു ഓപ്പറേറ്ററെ അതിന്റെ മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് തിരിച്ചറിയുന്നത് സ്വാഭാവികമാണ്. ഈ ഐഡന്റിഫിക്കേഷൻ, പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നതും എല്ലായ്പ്പോഴും വ്യക്തമാക്കാത്തതും, "ഓപ്പറേറ്റർ" നിബന്ധനകൾ മെട്രിക്സുകളിലേക്ക് കൈമാറുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു.

ഒരു ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററുടെ സ്പെക്ട്രം അതിന്റെ സ്പെക്ട്രവുമായി അടുത്ത ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു സ്വഭാവ സമവാക്യം.

സിദ്ധാന്തം 5.3.ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യ λ ഒരു ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററുടെ ഈജൻവാല്യൂ ആകണമെങ്കിൽ, അത് ഈ ഓപ്പറേറ്ററുടെ സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് ആയിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

◄ ആവശ്യം. λ എന്ന സംഖ്യ ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ A: L → L ന്റെ ഒരു ഐജൻവാല്യൂ ആയിരിക്കട്ടെ. ഇതിനർത്ഥം ഒരു വെക്റ്റർ x ≠ 0 ഉണ്ടെന്നാണ്.

കോടാലി = λx. (5.2)

L-ൽ ഉണ്ട് എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക ഐഡന്റിറ്റി ഓപ്പറേറ്റർഞാൻ: ഏത് വെക്‌ടറിനും x = x. ഈ ഓപ്പറേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ സമത്വം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നു (5.2): Ах = λIx, അല്ലെങ്കിൽ

(A - λI)x = 0. (5.3)

നമുക്ക് വെക്റ്റർ തുല്യത (5.3) ഏതെങ്കിലും അടിസ്ഥാനത്തിൽ എഴുതാം b. ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ A - λI മാട്രിക്സ് A - λE ആയിരിക്കും, ഇവിടെ A എന്നത് ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ A യുടെ മാട്രിക്സ് ആണ് b അടിസ്ഥാനം, E എന്നത് ഐഡന്റിറ്റി മാട്രിക്സ് ആണ്, കൂടാതെ x എന്നത് eigenvector x ന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ കോളം ആകട്ടെ. . അപ്പോൾ x ≠ 0, വെക്റ്റർ തുല്യത (5.3) മാട്രിക്സിന് തുല്യമാണ്

(A - λE)x = 0, (5.4)

ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ (SLAE) ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനം എഴുതുന്നതിനുള്ള ഒരു മാട്രിക്സ് രൂപമാണിത് ചതുര മാട്രിക്സ് A - λE of order n. ഈ സിസ്റ്റത്തിന് പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്, ഇത് ഐജൻവെക്റ്റർ x ന്റെ x-കോർഡിനേറ്റ് കോളമാണ്. അതിനാൽ, സിസ്റ്റത്തിന്റെ (5.4) മാട്രിക്സ് A - λE ന് പൂജ്യം ഡിറ്റർമിനന്റ് ഉണ്ട്, അതായത്. det(A - λE) = 0. ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ A യുടെ സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിന്റെ മൂലമാണ് λ എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

പര്യാപ്തത. മേൽപ്പറഞ്ഞ ന്യായവാദം വിപരീത ക്രമത്തിൽ നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. λ എന്നത് സ്വഭാവസമവാക്യത്തിന്റെ മൂലമാണെങ്കിൽ, ഒരു നിശ്ചിത അടിസ്ഥാനത്തിൽ b തുല്യത det (A - λE) = 0 നിലനിർത്തുന്നു, തൽഫലമായി, മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതിയ ഏകതാനമായ SLAE (5.4) യുടെ മാട്രിക്സ് ഡീജനറേറ്റ് ആണ്, കൂടാതെ സിസ്റ്റത്തിന് പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒരു പരിഹാരം ഉണ്ട് x. ഈ നോൺ-സീറോ സൊല്യൂഷൻ ചില നോൺ-സീറോ വെക്റ്റർ x ന്റെ അടിസ്ഥാന b യിലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്, അതിനായി വെക്റ്റർ തുല്യത (5.3) അല്ലെങ്കിൽ അതിന് തുല്യമായ തുല്യത (5.2) ഉണ്ട്. λ എന്ന സംഖ്യ ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ A യുടെ ഈജൻവാല്യൂ ആണെന്ന നിഗമനത്തിൽ ഞങ്ങൾ എത്തിച്ചേരുന്നു.

മാട്രിക്സിന്റെ (ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ) ഓരോ ഐജൻവാല്യൂവും λ അതുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു ബഹുസ്വരത, ഈ മാട്രിക്സിന്റെ (ഈ ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററിന്റെ) സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് λ ന്റെ ഗുണിതത്തിന് തുല്യമായി ഇത് നൽകുന്നു.

ഒരു ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററിന്റെ തന്നിരിക്കുന്ന ഈജൻവാല്യൂവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട എല്ലാ ഐജൻ വെക്റ്ററുകളുടെയും സെറ്റ് അല്ല രേഖീയ ഉപസ്ഥലം, ഈ സെറ്റിൽ അടങ്ങിയിരിക്കാത്തതിനാൽ പൂജ്യം വെക്റ്റർ, ഏത്, നിർവചനം, ശരിയായ കഴിയില്ല. എന്നാൽ ഔപചാരികവും എളുപ്പത്തിൽ നീക്കം ചെയ്യാവുന്നതുമായ ഈ തടസ്സം ഒന്നുമാത്രമാണ്. ഈ സെറ്റിലേക്ക് പൂജ്യം വെക്‌ടർ ചേർത്തുകൊണ്ട്, ഈഗൻവാല്യൂ λ യുമായി ബന്ധപ്പെട്ട L ലീനിയർ സ്‌പെയ്‌സിലെ ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ A യുടെ എല്ലാ ഈജൻ വെക്‌ടറുകളുടെയും ഗണത്തെ നമുക്ക് £(A, λ) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം.

സിദ്ധാന്തം 5.4.£(A,λ) എന്ന സെറ്റ് L-ലെ ഒരു രേഖീയ ഉപസ്‌പേസാണ്.

◄ നമുക്ക് അനിയന്ത്രിതമായ രണ്ടെണ്ണം തിരഞ്ഞെടുക്കാം വെക്റ്റർ x,y∈ £(A, λ) കൂടാതെ ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ α, β എന്നിവയ്‌ക്ക് വെക്‌ടർ αx + βу £(A, λ) ലും ചേർന്നതാണെന്ന് തെളിയിക്കുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ എയുടെ പ്രവർത്തനത്തിന് കീഴിൽ ഈ വെക്റ്ററിന്റെ ചിത്രം ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു:

А(αх + βу) = А((αx) + А(βу) = αАх + βАу = α(λх) + β(λу) = λ(αx) + λ(βу) = λ(αx + βу).

അങ്ങനെ, z = αх + βу വെക്‌ടറിന് Az = λz ബന്ധമുണ്ട്. z പൂജ്യം വെക്‌ടറാണെങ്കിൽ, അത് £(A,λ) യുടെതാണ്. ഇത് പൂജ്യമല്ലെങ്കിൽ, തെളിയിക്കപ്പെട്ട ബന്ധമനുസരിച്ച്, അത് ഈജൻവാല്യൂ λ ഉള്ള ഒരു ഐജൻവാല്യൂ ആണ്, വീണ്ടും £(A, λ) സെറ്റിൽ പെടുന്നു.

ലീനിയർ സബ്‌സ്‌പെയ്‌സ് £(A,λ) ചിലപ്പോൾ വിളിക്കപ്പെടുന്നു ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററുടെ ഐജൻസബ്സ്പേസ് *. അതൊരു പ്രത്യേക കേസാണ് മാറ്റമില്ലാത്ത ഉപസ്ഥലം ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ A - ഏതൊരു വെക്‌ടറിനും x ∈ H വെക്‌ടർ ആക്‌സും H-ന്റേതായ ഒരു ലീനിയർ സബ്‌സ്‌പെയ്‌സ്.

ഒരു ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററുടെ മാറ്റമില്ലാത്ത സബ്‌സ്‌പെയ്‌സ് അതിന്റെ ഈജൻ വെക്‌ടറുകളുടെ ഏതൊരു സിസ്റ്റത്തിന്റെയും ലീനിയർ സ്‌പാൻ കൂടിയാണ്. ഒരു ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററിന്റെ ഈജൻ വെക്‌ടറുകളുമായി ബന്ധമില്ലാത്ത ഒരു മാറ്റമില്ലാത്ത സബ്‌സ്‌പെയ്‌സ് ആണ് ഓപ്പറേറ്റർ ചിത്രം.

മാട്രിക്സ് A ഉപയോഗിച്ച്, AX = lX എന്ന സംഖ്യ l ഉണ്ടെങ്കിൽ.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമ്പർ വിളിക്കുന്നു l ഈജൻ മൂല്യംവെക്റ്റർ X-ന് അനുയോജ്യമായ ഓപ്പറേറ്റർ (മാട്രിക്സ് എ).

നമുക്ക് എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഇടതുവശത്തേക്ക് നീക്കാം:

പിന്നീടുള്ള സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:

(A - lE)X = O

|എ - എൽഇ| = = 0

അജ്ഞാതമായ l ഉള്ള ഈ സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു സ്വഭാവ സമവാക്യം (സ്വഭാവ ബഹുപദം) മാട്രിക്സ് എ (ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ).

ഉദാഹരണത്തിന്, മാട്രിക്സ് A = നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററിന്റെ ഈജൻവാല്യൂകളും ഈജൻ വെക്റ്ററുകളും കണ്ടെത്താം.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നമുക്ക് ഒരു സ്വഭാവ സമവാക്യം സൃഷ്ടിക്കാം |A - lE| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; eigenvalues l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

അവയിൽ ആദ്യത്തേതിന്, വികസിപ്പിച്ച മാട്രിക്സ് രൂപമെടുക്കുന്നു

എവിടെ നിന്ന് x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, അതായത്. X (1) = (-(2/3)s; s).

അവയിൽ രണ്ടാമത്തേതിന്, വികസിപ്പിച്ച മാട്രിക്സ് രൂപമെടുക്കുന്നു

എവിടെ നിന്ന് x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, അതായത്. X (2) = ((2/3)s 1; s 1).

ഇവിടെ ഞാൻ ഈ മാട്രിക്സിന്റെ ഈജൻ മൂല്യങ്ങളാണ്.

മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിലൂടെ ഇത് വ്യക്തമാക്കാം. നമുക്ക് അനിയന്ത്രിതമായ പൂജ്യമല്ലാത്ത മൂല്യങ്ങൾ c, c 1 എടുക്കാം, എന്നാൽ X (1), X (2) വെക്‌ടറുകൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണ്, അതായത്. ഒരു അടിത്തറ ഉണ്ടാക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, c = c 1 = 3, പിന്നെ X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3).

ഉറപ്പിക്കാം രേഖീയ സ്വാതന്ത്ര്യംഈ വെക്‌ടറുകൾ:

12 ≠ 0. ഈ പുതിയ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, മാട്രിക്സ് A, A * = ഫോം എടുക്കും.

ഇത് സ്ഥിരീകരിക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് A * = C -1 AC ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം. ആദ്യം, നമുക്ക് C -1 കണ്ടെത്താം.

സി -1 = ;

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപങ്ങൾ

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപം n വേരിയബിളുകളുടെ f(x 1, x 2, x n) ഒരു സം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിന്റെ ഓരോ പദവും ഒന്നുകിൽ വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ വർഗ്ഗം അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വേരിയബിളുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം, ഒരു നിശ്ചിത ഗുണകം ഉപയോഗിച്ച് എടുത്തതാണ്: f(x 1 , x 2, x n) = (a ij = a ji).

ഈ ഗുണകങ്ങൾ അടങ്ങിയ മാട്രിക്സ് എ എന്ന് വിളിക്കുന്നു മാട്രിക്സ്ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപം. അത് എപ്പോഴും സമമിതിമാട്രിക്സ് (അതായത് പ്രധാന ഡയഗണലുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു മാട്രിക്സ് സമമിതി, a ij = a ji).

മാട്രിക്സ് നൊട്ടേഷനിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം f(X) = X T AX ആണ്, എവിടെയാണ്

തീർച്ചയായും

ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് എഴുതാം മാട്രിക്സ് ഫോംചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപം.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് രൂപത്തിന്റെ ഒരു മാട്രിക്സ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. അതിന്റെ ഡയഗണൽ ഘടകങ്ങൾ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വേരിയബിളുകളുടെ ഗുണകങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്, ശേഷിക്കുന്ന മൂലകങ്ങൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് രൂപത്തിന്റെ അനുബന്ധ ഗുണകങ്ങളുടെ പകുതിക്ക് തുല്യമാണ്. അതുകൊണ്ടാണ്

മാട്രിക്സ് കോളം Y യുടെ ഡീജനറേറ്റ് അല്ലാത്ത രേഖീയ പരിവർത്തനം വഴി X വേരിയബിളുകളുടെ മാട്രിക്സ് കോളം ലഭിക്കട്ടെ, അതായത്. X = CY, ഇവിടെ C എന്നത് n-ആം ഓർഡറിന്റെ ഏകമല്ലാത്ത മാട്രിക്സ് ആണ്. അപ്പോൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

അങ്ങനെ, ഒരു നോൺ-ഡീജനറേറ്റ് ലീനിയർ ട്രാൻസ്ഫോർമേഷൻ C ഉപയോഗിച്ച്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോമിന്റെ മാട്രിക്സ് ഫോം എടുക്കുന്നു: A * = C T AC.

ഉദാഹരണത്തിന്, രേഖീയ പരിവർത്തനം വഴി f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് രൂപത്തിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം f(y 1, y 2) കണ്ടെത്താം.

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപത്തെ വിളിക്കുന്നു കാനോനിക്കൽ(അതുണ്ട് കാനോനിക്കൽ വീക്ഷണം), അതിന്റെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും i ≠ j ന് ij = 0 ആണെങ്കിൽ, അതായത്.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

അതിന്റെ മാട്രിക്സ് ഡയഗണൽ ആണ്.

സിദ്ധാന്തം(തെളിവ് ഇവിടെ നൽകിയിട്ടില്ല). ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് രൂപവും ചുരുക്കാം കാനോനിക്കൽ രൂപംഒരു നോൺ-ഡീജനറേറ്റ് ലീനിയർ ട്രാൻസ്ഫോർമേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാം
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ആദ്യം വേരിയബിൾ x 1 ഉള്ള ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം തിരഞ്ഞെടുക്കുക:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ x 2 എന്ന വേരിയബിളുള്ള ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 - (1/10)x 3) 2 + (1/20)x 3 2.

അപ്പോൾ ഡീജനറേറ്റ് അല്ലാത്ത രേഖീയ പരിവർത്തനം y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3, y 3 = x 3 എന്നിവ ഈ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപത്തെ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു (y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപത്തിന്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപം അവ്യക്തമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക (അതേ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാം. വ്യത്യസ്ത വഴികൾ). എന്നിരുന്നാലും, ലഭിച്ചത് വ്യത്യസ്ത വഴികൾകാനോനിക്കൽ രൂപങ്ങൾക്ക് ധാരാളം ഉണ്ട് പൊതു ഗുണങ്ങൾ. പ്രത്യേകിച്ചും, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് രൂപത്തിന്റെ പോസിറ്റീവ് (നെഗറ്റീവ്) ഗുണകങ്ങളുള്ള പദങ്ങളുടെ എണ്ണം ഈ ഫോമിലേക്ക് ഫോം കുറയ്ക്കുന്ന രീതിയെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല (ഉദാഹരണത്തിന്, പരിഗണിക്കുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ എല്ലായ്പ്പോഴും രണ്ട് നെഗറ്റീവ്, ഒരു പോസിറ്റീവ് കോഫിഫിഷ്യന്റ് ഉണ്ടായിരിക്കും). ഈ സ്വഭാവത്തെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപങ്ങളുടെ ജഡത്വ നിയമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരേ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപം മറ്റൊരു രീതിയിൽ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവന്ന് നമുക്ക് ഇത് പരിശോധിക്കാം. x 2 വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് പരിവർത്തനം ആരംഭിക്കാം:

f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2) + 3((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 + (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, ഇവിടെ y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 ഉം y 3 = x 1 ഉം. ഇവിടെ y 1-ൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് കോഫിഫിഷ്യന്റ് -3 ഉം y 2-ലും y 3-ൽ 3-ഉം 2-ഉം രണ്ട് പോസിറ്റീവ് ഗുണകങ്ങളും ഉണ്ട് (മറ്റൊരു രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾക്ക് y 2-ൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് കോഫിഫിഷ്യന്റും (-5) രണ്ട് പോസിറ്റീവ് ഗുണങ്ങളും ലഭിച്ചു: 2-ൽ y 1. കൂടാതെ 1/20 y 3).

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപത്തിന്റെ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതും ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് രൂപത്തിന്റെ റാങ്ക്, പൂജ്യമല്ലാത്ത ഗുണകങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് കാനോനിക്കൽ രൂപംകൂടാതെ രേഖീയ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് കീഴിൽ മാറില്ല.

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപത്തെ f(X) എന്ന് വിളിക്കുന്നു ക്രിയാത്മകമായി (നെഗറ്റീവ്) ഉറപ്പാണ്, ഒരേസമയം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത വേരിയബിളുകളുടെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും, അത് പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതായത്. f(X) > 0 (നെഗറ്റീവ്, അതായത്.
f(X)< 0).

ഉദാഹരണത്തിന്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 പോസിറ്റീവ് ഡിഫനിറ്റാണ്, കാരണം ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഫോം f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 എന്നത് നെഗറ്റീവ് ഡെഫിനിറ്റാണ്, കാരണം അതിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം.

മിക്ക പ്രായോഗിക സാഹചര്യങ്ങളിലും, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് രൂപത്തിന്റെ കൃത്യമായ അടയാളം സ്ഥാപിക്കുന്നത് കുറച്ചുകൂടി ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, അതിനാൽ ഇതിനായി ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തങ്ങളിലൊന്ന് ഉപയോഗിക്കുന്നു (ഞങ്ങൾ അവ തെളിവില്ലാതെ രൂപപ്പെടുത്തും).

സിദ്ധാന്തം. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം പോസിറ്റീവ് (നെഗറ്റീവ്) ആണ്, അതിന്റെ മാട്രിക്സിന്റെ എല്ലാ ഐജൻമൂല്യങ്ങളും പോസിറ്റീവ് (നെഗറ്റീവ്) ആണെങ്കിൽ മാത്രം.

സിദ്ധാന്തം(സിൽവസ്റ്റർ മാനദണ്ഡം). ഈ ഫോമിന്റെ മാട്രിക്സിലെ മുൻനിര പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെല്ലാം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ മാത്രം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം പോസിറ്റീവ് ആണ്.

പ്രധാന (കോണിൽ) മൈനർ n-ആം ഓർഡറിന്റെ kth ഓർഡർ മാട്രിക്സ് A യെ മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, മാട്രിക്സ് A () യുടെ ആദ്യ k വരികളും നിരകളും ചേർന്നതാണ്.

നെഗറ്റീവ് ഡെഫിനിറ്റ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോമുകൾക്ക് പ്രധാന പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ അടയാളങ്ങൾ ഒന്നിടവിട്ട് വരുന്നതും ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ മൈനർ നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കണം എന്നതും ശ്രദ്ധിക്കുക.

ഉദാഹരണത്തിന്, ചിഹ്നത്തിന്റെ വ്യക്തതയ്ക്കായി നമുക്ക് f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം പരിശോധിക്കാം.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. അതിനാൽ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപം പോസിറ്റീവ് നിശ്ചലമാണ്.

രീതി 2. മാട്രിക്സിന്റെ ആദ്യ ക്രമത്തിലെ പ്രിൻസിപ്പൽ മൈനർ A D 1 = a 11 = 2 > 0. രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ പ്രിൻസിപ്പൽ മൈനർ D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. അതിനാൽ, സിൽവെസ്റ്ററിന്റെ മാനദണ്ഡം അനുസരിച്ച്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം പോസിറ്റീവ് ഡെഫിനിറ്റ്.

ചിഹ്നത്തിന്റെ വ്യക്തതയ്ക്കായി ഞങ്ങൾ മറ്റൊരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം പരിശോധിക്കുന്നു, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

രീതി 1. ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം A = ഒരു മാട്രിക്സ് നിർമ്മിക്കാം. സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപം ഉണ്ടായിരിക്കും = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. അതിനാൽ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപം നിഷേധാത്മകമാണ്.

രീതി 2. മാട്രിക്സിന്റെ ആദ്യ ക്രമത്തിന്റെ പ്രിൻസിപ്പൽ മൈനർ A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. തൽഫലമായി, സിൽവെസ്റ്ററിന്റെ മാനദണ്ഡമനുസരിച്ച്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം നെഗറ്റീവ് ഡെഫനിറ്റാണ് (പ്രധാന പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ അടയാളങ്ങൾ ഒന്നിടവിട്ട്, മൈനസിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു).

മറ്റൊരു ഉദാഹരണമെന്ന നിലയിൽ, ഞങ്ങൾ അടയാളം-നിർണ്ണയിച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 പരിശോധിക്കുന്നു.

രീതി 1. ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം A = ഒരു മാട്രിക്സ് നിർമ്മിക്കാം. സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപം ഉണ്ടായിരിക്കും = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

ഈ സംഖ്യകളിൽ ഒന്ന് നെഗറ്റീവ് ആണ്, മറ്റൊന്ന് പോസിറ്റീവ് ആണ്. ഈജൻ മൂല്യങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണ്. തൽഫലമായി, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ പോസിറ്റീവ് നിർണ്ണായകമായിരിക്കില്ല, അതായത്. ഈ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപം അടയാളം-നിശ്ചിതമല്ല (ഇതിന് ഏത് ചിഹ്നത്തിന്റെയും മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാം).

രീതി 2. മാട്രിക്സിന്റെ ആദ്യ ക്രമത്തിന്റെ പ്രിൻസിപ്പൽ മൈനർ A D 1 = a 11 = 2 > 0. രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ പ്രിൻസിപ്പൽ മൈനർ D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).