കൽമാൻ ഫിൽട്ടർ

പ്രശ്നത്തിൻ്റെ രൂപീകരണം

കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം x കെഞങ്ങൾ അളക്കുകയും തുടർന്ന് ഫിൽട്ടർ ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്ന മൂല്യം. ഇത് സ്ഥാനം, വേഗത, ത്വരണം, ഈർപ്പം, താപനില, മർദ്ദം മുതലായവ ആകാം.

ഒരു ലളിതമായ ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം, അത് പൊതുവായ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ രൂപീകരണത്തിലേക്ക് നമ്മെ നയിക്കും. മുന്നോട്ടും പിന്നോട്ടും മാത്രം സഞ്ചരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു റേഡിയോ നിയന്ത്രിത ചലിക്കുന്ന വസ്തു നമുക്കുണ്ടെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക. വസ്തുവിൻ്റെ ഭാരം, ആകൃതി, അത് ചലിക്കുന്ന ഉപരിതല ആവരണം മുതലായവ അറിഞ്ഞുകൊണ്ട്, നിയന്ത്രിത ജോയിസ്റ്റിക്ക് ചലന വേഗതയെ എങ്ങനെ ബാധിക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കി. വി കെ .

Ri. 19 ചലിക്കുന്ന വസ്തു

അപ്പോൾ വസ്തുവിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റ് നിയമം അനുസരിച്ച് മാറും:

x k+1 = x കെ +v കെ dt (3.7)

യഥാർത്ഥ ജീവിതത്തിൽ, ഒരു വസ്തുവിൽ (കാറ്റ്, ഉപരിതല അസമത്വം, തടസ്സങ്ങൾ) പ്രവർത്തിക്കുന്ന ചെറിയ അസ്വസ്ഥതകൾ നമ്മുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ കണക്കിലെടുക്കാനാവില്ല, അതിനാൽ വസ്തുവിൻ്റെ യഥാർത്ഥ വേഗത കണക്കാക്കിയതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. എഴുതിയ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്ത് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ ചേർക്കും ഒ കെ :

x k+1 = x കെ +v കെ dt +o കെ (3.8)

യഥാർത്ഥ കോർഡിനേറ്റ് അളക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്ന ഒബ്‌ജക്റ്റിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു GPS സെൻസർ ഇൻസ്റ്റാൾ ചെയ്തിട്ടുണ്ട് x കെഒബ്ജക്റ്റ്, തീർച്ചയായും, അത് കൃത്യമായി അളക്കാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ ഒരു പിശക് ഉപയോഗിച്ച് അത് അളക്കുന്നു എച്ച് എൽ, ഇത് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ കൂടിയാണ്.

തൽഫലമായി, സെൻസറിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് തെറ്റായ ഡാറ്റ ലഭിക്കുന്നു:

z കെ = x കെ + z കെ (3.9)

തെറ്റായ സെൻസർ റീഡിംഗുകൾ അറിയുന്നു എന്നതാണ് പ്രശ്നം z കെ, വസ്തുവിൻ്റെ യഥാർത്ഥ കോർഡിനേറ്റിന് ഒരു നല്ല ഏകദേശം കണ്ടെത്തുക x കെ. ഈ നല്ല ഏകദേശം ഞങ്ങൾ ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കും.

പൊതുവായ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ രൂപീകരണത്തിൽ, കോർഡിനേറ്റിനായി x കെഎന്തിനും ഉത്തരം നൽകാൻ കഴിയും (താപനില, ഈർപ്പം മുതലായവ), കൂടാതെ സിസ്റ്റത്തെ പുറത്ത് നിന്ന് നിയന്ത്രിക്കുന്നതിന് ഉത്തരവാദിത്തമുള്ള അംഗത്തെ ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു യു കെ(വസ്തുവുമായുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ യു കെ = വി കെ dt).

കോർഡിനേറ്റുകൾക്കും സെൻസർ റീഡിംഗുകൾക്കുമുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

x k+1 = x കെ +u കെ +o കെ

z കെ = x കെ + z കെ (3.10)

അതിനാൽ നമുക്ക് അറിയാവുന്നത്:

· യു കെസിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിണാമത്തെ നിയന്ത്രിക്കുന്ന അറിയപ്പെടുന്ന അളവാണ്. ഞങ്ങൾ നിർമ്മിച്ച ഭൗതിക മാതൃകയിൽ നിന്ന് നമുക്കത് അറിയാം.

മോഡൽ പിശക് ഒ കെസെൻസർ പിശകും എച്ച് കെ- ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾ. അവയുടെ വിതരണ നിയമങ്ങൾ സമയത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല (ആവർത്തന നമ്പറിൽ കെ).

· ശരാശരി പിശക് മൂല്യങ്ങൾ പൂജ്യമാണ്: ഇഒ കെ = Eз കെ = 0 .

· റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ വിതരണ നിയമം നമുക്കറിയില്ലായിരിക്കാം, പക്ഷേ അവയുടെ വ്യതിചലനങ്ങളും വ്യത്യാസങ്ങൾ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക കെ, കാരണം വിതരണ നിയമങ്ങൾ അതിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല.

· എല്ലാ ക്രമരഹിതമായ പിശകുകളും പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമാണെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു: സമയത്തിൻ്റെ നിമിഷത്തിൽ എന്ത് പിശക് ഉണ്ടാകും കെമറ്റൊരു ഘട്ടത്തിൽ പിശകിൽ നിന്ന് പൂർണ്ണമായും സ്വതന്ത്രമായി കെ".

ഫിൽട്ടറിംഗ് ജോലി ഒരു സുഗമമായ ജോലിയല്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. സെൻസർ ഡാറ്റ സുഗമമാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കുന്നില്ല, യഥാർത്ഥ കോർഡിനേറ്റിൻ്റെ ഏറ്റവും അടുത്ത മൂല്യം നേടാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കുന്നു. x കെ .

കൽമാൻ അൽഗോരിതം

ഇൻഡക്ഷൻ വഴി ഞങ്ങൾ വാദിക്കും. അത് സങ്കൽപ്പിക്കുക കെ-ആം ഘട്ടത്തിൽ, സെൻസറിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം ഒരു ഫിൽട്ടർ ചെയ്ത മൂല്യം കണ്ടെത്തി, അത് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ കോർഡിനേറ്റിനെ നന്നായി കണക്കാക്കുന്നു. x കെ. അജ്ഞാത കോർഡിനേറ്റിലെ മാറ്റത്തെ നിയന്ത്രിക്കുന്ന സമവാക്യം നമുക്കറിയാമെന്ന കാര്യം മറക്കരുത്:

x k+1 = x കെ +u കെ +o കെ ,

അതിനാൽ, സെൻസറിൽ നിന്ന് ഇതുവരെ മൂല്യം ലഭിക്കാതെ, നമുക്ക് അത് ഘട്ടത്തിൽ അനുമാനിക്കാം k+1ഈ നിയമം അനുസരിച്ച് സിസ്റ്റം വികസിക്കുന്നു, സെൻസർ അതിനോട് അടുത്തുള്ള എന്തെങ്കിലും കാണിക്കും.നിർഭാഗ്യവശാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ കൃത്യമായി ഒന്നും പറയാൻ കഴിയില്ല. മറുവശത്ത്, ഘട്ടത്തിൽ k+1ഞങ്ങളുടെ കൈകളിൽ കൃത്യമല്ലാത്ത സെൻസർ റീഡിംഗ് ഉണ്ടാകും z k+1 .

യഥാർത്ഥ കോർഡിനേറ്റിലേക്ക് ഏറ്റവും മികച്ച ഏകദേശം നേടുക എന്നതാണ് കൽമാൻ്റെ ആശയം x k+1, വായനയ്ക്കിടയിൽ ഒരു മധ്യനിര തിരഞ്ഞെടുക്കണം z k+1കൃത്യമല്ലാത്ത സെൻസറും - അതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഞങ്ങളുടെ പ്രവചനവും. സെൻസർ റീഡിംഗിന് ഞങ്ങൾ ഭാരം നൽകും കെ,പ്രവചിച്ച മൂല്യത്തിൽ ഭാരം നിലനിൽക്കും ( 1-കെ):

ഗുണകം കെകൽമാൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇത് ആവർത്തന ഘട്ടത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഇത് എഴുതുന്നത് കൂടുതൽ ശരിയായിരിക്കും കെ k+1, എന്നാൽ ഇപ്പോൾ, കണക്കുകൂട്ടൽ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അലങ്കോലപ്പെടുത്താതിരിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ അതിൻ്റെ സൂചിക ഒഴിവാക്കും.

നമ്മൾ കൽമാൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് തിരഞ്ഞെടുക്കണം കെതത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഒപ്റ്റിമൽ കോർഡിനേറ്റ് മൂല്യം യഥാർത്ഥ കോർഡിനേറ്റിനോട് ഏറ്റവും അടുത്തായിരിക്കും x k+1. ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്മുടെ സെൻസർ വളരെ കൃത്യമാണെന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അതിൻ്റെ വായനയെ കൂടുതൽ വിശ്വസിക്കുകയും മൂല്യം നൽകുകയും ചെയ്യും z k+1കൂടുതൽ ഭാരം ( കെഐക്യത്തോട് അടുത്ത്). സെൻസർ, നേരെമറിച്ച്, കൃത്യമല്ലെങ്കിൽ, സൈദ്ധാന്തികമായി പ്രവചിച്ച മൂല്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കും.

പൊതുവേ, കൽമാൻ ഗുണകത്തിൻ്റെ കൃത്യമായ മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ കെ, നിങ്ങൾ പിശക് കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്:

പിശകിനുള്ള എക്സ്പ്രഷൻ മാറ്റിയെഴുതാൻ ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങൾ (3.10) ഉപയോഗിക്കുന്നു:

തെളിവ്:

ഒരു പിശക് കുറയ്ക്കുക എന്നതിൻ്റെ അർത്ഥമെന്താണെന്ന് ഇപ്പോൾ നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്? എല്ലാത്തിനുമുപരി, പിശക്, നമ്മൾ കാണുന്നതുപോലെ, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളാണ്, ഓരോ തവണയും വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു.

കുറഞ്ഞ പിശക് എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് എന്ന് നിർവചിക്കുന്നതിന് യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു-വലുപ്പ-ഫിറ്റ്-എല്ലാ സമീപനവുമില്ല.

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിസർജ്ജനത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ, അതിൻ്റെ സ്കാറ്ററിൻ്റെ സ്വഭാവ വീതി കണക്കാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിച്ചപ്പോൾ, ഇവിടെ ഞങ്ങൾ കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ മാനദണ്ഡം തിരഞ്ഞെടുക്കും. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പിശകിൻ്റെ ശരാശരി ഞങ്ങൾ ചെറുതാക്കും:

അവസാന പദപ്രയോഗം എഴുതാം:

തെളിവ്:

എല്ലാ റാൻഡം വേരിയബിളുകളും എക്സ്പ്രഷനിൽ (5.13) ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട് എന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്ന് ഇ k+1, സ്വതന്ത്രമാണ്, എല്ലാ "ക്രോസ്" പദങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു: ഇ(ഒ കെ എച്ച് k+1 ) = ഇ(ഇ കെ ഒ കെ ) = ഇ(ഇ കെ എച്ച് k+1 ) =0.

കൂടാതെ Ez k+1 =ഇഒ കെ =0 , വ്യതിയാനങ്ങൾക്കായുള്ള ഫോർമുല വളരെ ലളിതമായി കാണപ്പെടുന്നു:

എക്സ്പ്രഷൻ (3.15) ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യം എടുക്കുമ്പോൾ (ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുന്നു):

ഞങ്ങൾ എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് (3.15) പകരം വയ്ക്കുന്നത് ശരാശരി ചതുര പിശകിന് അതിനെ ചെറുതാക്കുന്ന കൽമാൻ ഗുണകത്തിൻ്റെ (5.17) മൂല്യമാണ്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു. കൽമാൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് കണക്കാക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് ആവർത്തന ഫോർമുല (3.18) ലഭിച്ചു. അനുബന്ധം എയിൽ പ്രായോഗികമായി നടപ്പിലാക്കൽ.

അരി. 20

ആവർത്തന ഘട്ടം എങ്ങനെയെന്ന് നിങ്ങൾ പിന്തുടരുകയാണെങ്കിൽ കെകൽമാൻ ഗുണകം മാറുന്നു കെ കെ, അപ്പോൾ അത് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യത്തിലേക്ക് സ്ഥിരത കൈവരിക്കുന്നതായി കാണിക്കാം കെ കുത്തുക. ഉദാഹരണത്തിന്, സെൻസറിൻ്റെയും മോഡലിൻ്റെയും റൂട്ട് മീഡിയൻ സ്ക്വയർ പിശകുകൾക്ക് പത്ത് മുതൽ ഒന്ന് വരെ അനുപാതം ഉള്ളപ്പോൾ, ആവർത്തന ഘട്ടത്തെ ആശ്രയിച്ച് കൽമാൻ ഗുണകത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

അരി. 21

കൽമാൻ ഫിൽട്ടറിൻ്റെ പ്രധാന ആശയം ഗുണകം കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് കെഫിൽട്ടർ ചെയ്ത മൂല്യം ഇങ്ങനെയാണ്:

കോർഡിനേറ്റിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് ശരാശരി വ്യത്യാസമുണ്ടാകും x k+1. ഫിൽട്ടർ ചെയ്ത മൂല്യം സെൻസർ റീഡിംഗിൻ്റെ ഒരു ലീനിയർ ഫംഗ്ഷനാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു z k+1മുമ്പത്തെ ഫിൽട്ടർ ചെയ്ത മൂല്യവും. മുമ്പത്തെ ഫിൽട്ടർ ചെയ്ത മൂല്യം സെൻസർ റീഡിംഗിൻ്റെ ഒരു രേഖീയ പ്രവർത്തനമാണ് z കെമുമ്പത്തെ ഫിൽട്ടർ ചെയ്ത മൂല്യവും. ചങ്ങല പൂർണ്ണമായും തിരിയുന്നതുവരെ അങ്ങനെ. അതായത്, ഫിൽട്ടർ ചെയ്ത മൂല്യം മുമ്പത്തെ എല്ലാ സെൻസർ റീഡിംഗുകളെയും രേഖീയമായി ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു:

അതിനാൽ, കൽമാൻ ഫിൽട്ടറിനെ ലീനിയർ ഫിൽട്ടർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

വ്യക്തവും യുക്തിസഹവുമായ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ന്യായീകരണമുള്ള എല്ലാത്തരം അൽഗോരിതങ്ങളും ഞാൻ ശരിക്കും ഇഷ്ടപ്പെടുന്നുവെന്നത് എങ്ങനെയോ സംഭവിച്ചു) എന്നാൽ പലപ്പോഴും ഇൻ്റർനെറ്റിലെ അവരുടെ വിവരണം ഫോർമുലകളും കണക്കുകൂട്ടലുകളും കൊണ്ട് അമിതമായതിനാൽ അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ പൊതുവായ അർത്ഥം മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയില്ല. എന്നാൽ ഒരു ഉപകരണം / മെക്കാനിസം / അൽഗോരിതം എന്നിവയുടെ സത്തയും പ്രവർത്തന തത്വവും മനസ്സിലാക്കുന്നത് വലിയ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ മനഃപാഠമാക്കുന്നതിനേക്കാൾ വളരെ പ്രധാനമാണ്. എത്ര നിസ്സാരമാണെങ്കിലും, നൂറുകണക്കിന് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പോലും മനഃപാഠമാക്കുന്നത് ഒരു തരത്തിലും സഹായിക്കില്ല, അവ എങ്ങനെ, എവിടെ പ്രയോഗിക്കണമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയില്ലെങ്കിൽ, യഥാർത്ഥത്തിൽ, ഇതെല്ലാം എന്തിനുവേണ്ടിയാണ്.. ചില അൽഗോരിതങ്ങളുടെ ഒരു വിവരണം ഉണ്ടാക്കാൻ ഞാൻ തീരുമാനിച്ചു. എനിക്ക് പ്രായോഗികമായി നേരിടേണ്ടി വന്നു. ഗണിതശാസ്ത്ര കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഓവർലോഡ് ചെയ്യാതിരിക്കാൻ ഞാൻ ശ്രമിക്കും, അതുവഴി മെറ്റീരിയൽ മനസ്സിലാക്കാവുന്നതും വായിക്കാൻ എളുപ്പവുമാണ്.

പിന്നെ ഇന്ന് നമ്മൾ സംസാരിക്കും കൽമാൻ ഫിൽട്ടർ, അത് എന്താണെന്നും എന്തുകൊണ്ട്, എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്നും നമുക്ക് കണ്ടെത്താം.

ഒരു ചെറിയ ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് തുടങ്ങാം. ഒരു പറക്കുന്ന വിമാനത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ചുമതല നമുക്ക് നേരിടാം. മാത്രമല്ല, സ്വാഭാവികമായും, കോർഡിനേറ്റ് (അതിനെ സൂചിപ്പിക്കാം) കഴിയുന്നത്ര കൃത്യമായി നിർണ്ണയിക്കണം.

ഞങ്ങൾ വിമാനത്തിൽ മുൻകൂട്ടി ഒരു സെൻസർ ഇൻസ്റ്റാൾ ചെയ്തു, അത് ഞങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായ ലൊക്കേഷൻ ഡാറ്റ നൽകുന്നു, എന്നാൽ, ഈ ലോകത്തിലെ എല്ലാ കാര്യങ്ങളും പോലെ, ഞങ്ങളുടെ സെൻസർ അപൂർണ്ണമാണ്. അതിനാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന മൂല്യത്തിന് പകരം:

സെൻസർ പിശക് എവിടെയാണ്, അതായത്, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ. അതിനാൽ, അളക്കുന്ന ഉപകരണങ്ങളുടെ കൃത്യമല്ലാത്ത വായനകളിൽ നിന്ന്, വിമാനത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ സ്ഥാനത്തിന് കഴിയുന്നത്ര അടുത്ത് ഒരു കോർഡിനേറ്റ് മൂല്യം () നമുക്ക് ലഭിക്കണം.

ചുമതല സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു, അത് പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് പോകാം.

വിമാനം പറക്കുന്ന നിയന്ത്രണ പ്രവർത്തനം () നന്ദി (പൈലറ്റ് ഏതൊക്കെ ലിവർ വലിക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങളോട് പറഞ്ഞു 😉). തുടർന്ന്, kth സ്റ്റെപ്പിലെ കോർഡിനേറ്റ് അറിയുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് (k+1) ഘട്ടത്തിൽ മൂല്യം ലഭിക്കും:

ഇതാണ് നമുക്ക് വേണ്ടത് എന്ന് തോന്നുന്നു! കൽമാൻ ഫിൽട്ടർ ഇവിടെ ആവശ്യമില്ല. എന്നാൽ എല്ലാം അത്ര ലളിതമല്ല.. വാസ്തവത്തിൽ, ഫ്ലൈറ്റിനെ ബാധിക്കുന്ന എല്ലാ ബാഹ്യ ഘടകങ്ങളും നമുക്ക് കണക്കിലെടുക്കാൻ കഴിയില്ല, അതിനാൽ ഫോർമുല ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം എടുക്കുന്നു:

ബാഹ്യ സ്വാധീനം, എഞ്ചിൻ്റെ അപൂർണത മുതലായവ മൂലമുണ്ടാകുന്ന പിശക് എവിടെയാണ്.

അപ്പോൾ എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നത്? ഘട്ടത്തിൽ (k+1) നമുക്ക് ആദ്യം, ഒരു കൃത്യമല്ലാത്ത സെൻസർ റീഡിംഗ് ഉണ്ട്, രണ്ടാമതായി, മുൻ ഘട്ടത്തിലെ മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് തെറ്റായി കണക്കാക്കിയ മൂല്യം.

രണ്ട് കൃത്യമല്ലാത്ത മൂല്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ആവശ്യമുള്ള കോർഡിനേറ്റിൻ്റെ (ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിന്) കൃത്യമായ എസ്റ്റിമേറ്റ് നേടുക എന്നതാണ് കൽമാൻ ഫിൽട്ടറിൻ്റെ ആശയം (വ്യത്യസ്ത വെയ്റ്റിംഗ് ഗുണകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അവ എടുക്കുക). പൊതുവേ, അളന്ന മൂല്യം തികച്ചും എന്തും ആകാം (താപനില, വേഗത...). എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് ഇതാ:

ഗണിതശാസ്ത്ര കണക്കുകൂട്ടലുകളിലൂടെ, ഓരോ ഘട്ടത്തിലും കൽമാൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സൂത്രവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും, പക്ഷേ, ലേഖനത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ സമ്മതിച്ചതുപോലെ, ഞങ്ങൾ കണക്കുകൂട്ടലുകളിലേക്ക് ആഴത്തിൽ പോകില്ല, പ്രത്യേകിച്ചും പ്രായോഗികമായി കൽമാൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് എന്ന് സ്ഥാപിക്കപ്പെട്ടതിനാൽ. k വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു. ഞങ്ങളുടെ ഫോർമുലയുടെ ആദ്യ ലളിതവൽക്കരണം നമുക്ക് ലഭിക്കും:

ഇപ്പോൾ പൈലറ്റുമായി ഒരു ബന്ധവുമില്ലെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം, നിയന്ത്രണ പ്രവർത്തനം ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നമുക്ക് കൽമാൻ ഫിൽട്ടർ ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് തോന്നുന്നു, പക്ഷേ ഇത് അങ്ങനെയല്ല 😉 നമുക്ക് അറിയാത്തത് ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് "പുറത്തേക്ക് വലിച്ചെറിയുക", അപ്പോൾ

ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും ലളിതമായ കൽമാൻ ഫോർമുല നേടുന്നു, എന്നിരുന്നാലും, അത്തരം "കഠിനമായ" ലളിതവൽക്കരണങ്ങൾ ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, അതിൻ്റെ ചുമതലയെ തികച്ചും നേരിടുന്നു. നിങ്ങൾ ഫലങ്ങൾ ഗ്രാഫിക്കായി അവതരിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഇതുപോലൊന്ന് ലഭിക്കും:

ഞങ്ങളുടെ സെൻസർ വളരെ കൃത്യമാണെങ്കിൽ, സ്വാഭാവികമായും വെയ്റ്റിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് കെ ഐക്യത്തിന് അടുത്തായിരിക്കണം. സാഹചര്യം വിപരീതമാണെങ്കിൽ, അതായത്, നമ്മുടെ സെൻസർ അത്ര മികച്ചതല്ലെങ്കിൽ, കെ പൂജ്യത്തിനടുത്തായിരിക്കണം.

അത്രയേയുള്ളൂ, അത് പോലെ, ഞങ്ങൾ കൽമാൻ ഫിൽട്ടറിംഗ് അൽഗോരിതം കണ്ടെത്തി! ലേഖനം ഉപയോഗപ്രദവും മനസ്സിലാക്കാവുന്നതുമാണെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു =)

കൽമാൻ ഫിൽട്ടർ

റഡാർ, വിഷൻ സിസ്റ്റങ്ങൾ മുതൽ മാക്രോ ഇക്കണോമിക് മോഡലുകളുടെ പാരാമീറ്റർ എസ്റ്റിമേഷൻ വരെ എഞ്ചിനീയറിംഗ്, ഇക്കണോമെട്രിക് ആപ്ലിക്കേഷനുകളിൽ കൽമാൻ ഫിൽട്ടർ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. കൽമാൻ ഫിൽട്ടറിംഗ് നിയന്ത്രണ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രധാന ഭാഗമാണ്, കൂടാതെ നിയന്ത്രണ സംവിധാനങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നതിൽ വലിയ പങ്ക് വഹിക്കുന്നു. ഒരു ലീനിയർ-ക്വാഡ്രാറ്റിക് കൺട്രോളറിനൊപ്പം, കൽമാൻ ഫിൽട്ടർ ലീനിയർ-ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഗാസിയൻ നിയന്ത്രണത്തിൻ്റെ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു. കൽമാൻ ഫിൽട്ടറും ലീനിയർ ക്വാഡ്രാറ്റിക് കൺട്രോളറും കൺട്രോൾ തിയറിയിലെ മിക്ക അടിസ്ഥാന പ്രശ്നങ്ങൾക്കും സാധ്യമായ പരിഹാരമാണ്.

മിക്ക ആപ്ലിക്കേഷനുകളിലും, ഒരു വസ്തുവിൻ്റെ അവസ്ഥയെ നിർവചിക്കുന്ന പരാമീറ്ററുകളുടെ എണ്ണം അളക്കാൻ ലഭ്യമായ നിരീക്ഷിക്കാവുന്ന പരാമീറ്ററുകളുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ കൂടുതലാണ്. ലഭ്യമായ നിരവധി അളവുകൾ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു വസ്തുവിൻ്റെ ഒരു മാതൃക ഉപയോഗിച്ച്, കൽമാൻ ഫിൽട്ടർ ഒരാളെ ആന്തരിക അവസ്ഥയുടെ എസ്റ്റിമേറ്റ് നേടാൻ അനുവദിക്കുന്നു.

കൽമാൻ ഫിൽട്ടർ രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിരിക്കുന്നത് ഒരു പ്രിയോറി അറിയപ്പെടുന്ന ഡൈനാമിക് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അവസ്ഥ വെക്റ്റർ ആവർത്തിച്ച് കണക്കാക്കുന്നതിനാണ്, അതായത്, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ നിലവിലെ അവസ്ഥ കണക്കാക്കാൻ, നിലവിലെ അളവും അതുപോലെ തന്നെ ഫിൽട്ടറിൻ്റെ മുൻ അവസ്ഥയും അറിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. . അങ്ങനെ, കൽമാൻ ഫിൽട്ടറും, മറ്റ് പല ആവർത്തന ഫിൽട്ടറുകളും പോലെ, ഒരു ഫ്രീക്വൻസി പ്രാതിനിധ്യത്തിന് പകരം ഒരു സമയത്ത് നടപ്പിലാക്കുന്നു.

ഫിൽട്ടറിൻ്റെ കഴിവുകളുടെ വ്യക്തമായ ഉദാഹരണം, ചില വസ്തുവിൻ്റെ സ്ഥാനത്തിൻ്റെയും വേഗതയുടെയും കൃത്യമായ, തുടർച്ചയായി അപ്ഡേറ്റ് ചെയ്ത എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ അതിൻ്റെ സ്ഥാനത്തിൻ്റെ കൃത്യതയില്ലാത്ത അളവുകളുടെ ഒരു സമയ ശ്രേണിയുടെ ഫലങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, റഡാറിൽ ടാർഗെറ്റ് ട്രാക്കുചെയ്യുക, അതിൻ്റെ സ്ഥാനം, വേഗത, ത്വരണം എന്നിവ നിർണ്ണയിക്കുക എന്നതാണ്, അതേസമയം അളക്കൽ ഫലങ്ങൾ ക്രമേണ എത്തുകയും വളരെ ശബ്ദമുണ്ടാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. കൽമാൻ ഫിൽട്ടർ ടാർഗെറ്റ് ഡൈനാമിക്സിൻ്റെ പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് മോഡൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അത് ഒബ്ജക്റ്റിൻ്റെ സാധ്യതയുള്ള ചലനത്തിൻ്റെ തരം വ്യക്തമാക്കുന്നു, ഇത് ശബ്ദത്തിൻ്റെ ആഘാതം കുറയ്ക്കുകയും വർത്തമാനം, ഭാവി അല്ലെങ്കിൽ കഴിഞ്ഞ സമയം എന്നിവയിൽ വസ്തുവിൻ്റെ സ്ഥാനം നന്നായി കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ആമുഖം

കൽമാൻ ഫിൽട്ടർ ഒരു സിസ്റ്റം സ്റ്റേറ്റ് വെക്റ്റർ (ഒരു നിശ്ചിത സമയത്ത് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അവസ്ഥ വിവരിക്കുന്ന ഒരു കൂട്ടം പാരാമീറ്ററുകൾ) അതിൻ്റെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ വിവരണം എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നു. പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു നിശ്ചിത സംസ്ഥാന വെക്റ്ററിൻ്റെ ചലനാത്മകത വിവരിക്കുന്നത് ഓരോ നിമിഷത്തിലും അതിൻ്റെ ഘടകങ്ങളുടെ വിതരണത്തിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി സാന്ദ്രതയാണ്. നിങ്ങൾക്ക് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ ഒരു നിശ്ചിത ഗണിത മാതൃകയും സംസ്ഥാന വെക്റ്ററിൻ്റെ പരാമീറ്ററുകളിലെ ഒരു പ്രിയോറി മാറ്റത്തിൻ്റെ മാതൃകയും ഉണ്ടെങ്കിൽ (അതായത്, ഒരു മാർക്കോവ് രൂപീകരണ പ്രക്രിയയായി), നിങ്ങൾക്ക് പിൻഭാഗത്തെ പ്രോബബിലിറ്റി സാന്ദ്രതയ്ക്ക് ഒരു സമവാക്യം എഴുതാം. ഏത് സമയത്തും സംസ്ഥാന വെക്റ്റർ. ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തെ സ്ട്രാറ്റോനോവിച്ച് സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സ്ട്രാറ്റോനോവിച്ച് സമവാക്യം അതിൻ്റെ പൊതുവായ രൂപത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. നിരവധി നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ (അനുമാനങ്ങളുടെ) കാര്യത്തിൽ മാത്രമേ ഒരു വിശകലന പരിഹാരം ലഭിക്കൂ:

• എപ്പോൾ വേണമെങ്കിലും സംസ്ഥാന വെക്‌ടറിൻ്റെ പ്രയോറി, പോസ്‌റ്റീരിയർ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റിയുടെ ഗാസിയാനിറ്റി (പ്രാരംഭഭാഗം ഉൾപ്പെടെ)
• രൂപപ്പെടുത്തുന്ന ശബ്ദത്തിൻ്റെ ഗാസിയാനിറ്റി
• നിരീക്ഷണ ശബ്ദത്തിൻ്റെ ഗാസിയാനിറ്റി
• നിരീക്ഷണ ശബ്ദത്തിൻ്റെ വെളുപ്പ്
• നിരീക്ഷണ മാതൃകയുടെ രേഖീയത
• രൂപീകരണ പ്രക്രിയയുടെ മാതൃകയുടെ രേഖീയത (ഇത്, ഒരു മാർക്കോവ് പ്രക്രിയയായിരിക്കണം)

ക്ലാസിക്കൽ കൽമാൻ ഫിൽട്ടർ, നൽകിയിരിക്കുന്ന നിയന്ത്രണങ്ങൾക്ക് കീഴിൽ പിൻഭാഗത്തെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി (ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകളുടെ വെക്റ്റർ, പരസ്പരമുള്ളവ ഉൾപ്പെടെയുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ മാട്രിക്സ് എന്ന അർത്ഥത്തിൽ) ആദ്യത്തേയും രണ്ടാമത്തെയും നിമിഷങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സമവാക്യമാണ്. സാധാരണ പ്രോബബിലിറ്റി സാന്ദ്രതയ്ക്ക് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും ഡിസ്പർഷൻ മാട്രിക്സും പ്രോബബിലിറ്റി സാന്ദ്രതയെ പൂർണ്ണമായും നിർവചിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുത കാരണം, കൽമാൻ ഫിൽട്ടർ ഓരോ സമയത്തും സംസ്ഥാന വെക്റ്ററിൻ്റെ പിൻഭാഗത്തെ പ്രോബബിലിറ്റി സാന്ദ്രത കണക്കാക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. ഇതിനർത്ഥം ഇത് സംസ്ഥാന വെക്റ്ററിനെ ഒരു റാൻഡം വെക്റ്റർ ക്വാണ്ടിറ്റിയായി പൂർണ്ണമായും വിവരിക്കുന്നു എന്നാണ്.

ഈ കേസിൽ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകളുടെ കണക്കാക്കിയ മൂല്യങ്ങൾ റൂട്ട്-മീൻ-സ്ക്വയർ പിശകിൻ്റെ മാനദണ്ഡം അനുസരിച്ച് ഒപ്റ്റിമൽ എസ്റ്റിമേറ്റുകളാണ്, ഇത് അതിൻ്റെ വ്യാപകമായ ഉപയോഗം നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

കൽമാൻ ഫിൽട്ടറിൻ്റെ നിരവധി ഇനങ്ങൾ ഉണ്ട്, ഏകദേശങ്ങളിലും തന്ത്രങ്ങളിലും വ്യത്യാസമുണ്ട്, അവ ഫിൽട്ടറിനെ വിവരിച്ച രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നതിനും അതിൻ്റെ അളവ് കുറയ്ക്കുന്നതിനും ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

• വിപുലീകരിച്ച കൽമാൻ ഫിൽട്ടർ (EKF). ടെയ്‌ലർ സീരീസ് വിപുലീകരണത്തിലൂടെ ലീനിയറൈസേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് നോൺലീനിയർ നിരീക്ഷണ മോഡലുകളും രൂപപ്പെടുത്തൽ പ്രക്രിയയും കുറയ്ക്കുന്നു.
• മണമില്ലാത്ത കൽമാൻ ഫിൽട്ടർ (UKF). ലളിതമായ രേഖീയവൽക്കരണം സംസ്ഥാന വെക്റ്ററിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ഉപയോഗപ്രദമായ കണക്ഷനുകളുടെ നാശത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, "ലീനിയറൈസേഷൻ" സുഗന്ധമില്ലാത്ത പരിവർത്തനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്.
• എൻസെംബിൾ കൽമാൻ ഫിൽട്ടർ (EnKF). ഒരു പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അളവ് കുറയ്ക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
• നോൺ-ലീനിയർ അധിക ഫിൽട്ടർ ഉപയോഗിച്ച് ഓപ്ഷനുകൾ സാധ്യമാണ്, ഇത് നോൺ-ഗൗസിയൻ നിരീക്ഷണങ്ങളെ സാധാരണമായവയിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു.
• "വൈറ്റ്നിംഗ്" ഫിൽട്ടർ ഉള്ള ഓപ്ഷനുകൾ സാധ്യമാണ്, "നിറമുള്ള" ശബ്ദത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു
• തുടങ്ങിയവ.

ഡൈനാമിക് സിസ്റ്റം മോഡൽ ഉപയോഗിച്ചു

കൽമാൻ ഫിൽട്ടറുകൾ സമയ-സാമ്പിൾ ലീനിയർ ഡൈനാമിക് സിസ്റ്റങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. സാധാരണ വിതരണത്തോടുകൂടിയ ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർമാരും നിബന്ധനകളും ഉപയോഗിച്ച് മാർക്കോവ് ശൃംഖലകളാണ് ഇത്തരം സംവിധാനങ്ങൾ മാതൃകയാക്കുന്നത്. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അവസ്ഥ വിവരിക്കുന്നത് പരിമിതമായ അളവിലുള്ള ഒരു വെക്റ്റർ ആണ് - സംസ്ഥാന വെക്റ്റർ. ഓരോ ഘട്ടത്തിലും, ഒരു ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ സംസ്ഥാന വെക്റ്ററിൽ പ്രവർത്തിക്കുകയും അത് മറ്റൊരു സംസ്ഥാന വെക്റ്ററിലേക്ക് മാറ്റുകയും ചെയ്യുന്നു (സ്റ്റേറ്റിലെ നിർണ്ണായക മാറ്റം), സാധാരണ ശബ്ദത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക വെക്റ്റർ (റാൻഡം ഘടകങ്ങൾ) ചേർക്കുന്നു, പൊതുവേ, ഒരു നിയന്ത്രണ വെക്റ്റർ നിയന്ത്രണ സംവിധാനത്തിൻ്റെ സ്വാധീനത്തെ മാതൃകയാക്കുന്നു. കൽമാൻ ഫിൽട്ടറിനെ മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന മാർക്കോവ് മോഡലുകൾക്ക് സമാനമായി കാണാൻ കഴിയും, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അവസ്ഥ വിവരിക്കുന്ന വേരിയബിളുകൾ അനന്തമായ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഘടകങ്ങളാണ് (മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന മാർക്കോവ് മോഡലുകളിലെ പരിമിതമായ സ്‌റ്റേറ്റ് സ്‌പെയ്‌സിന് വിപരീതമായി). കൂടാതെ, മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന മാർക്കോവ് മോഡലുകൾക്ക് തുടർന്നുള്ള സംസ്ഥാന വെക്റ്റർ മൂല്യങ്ങൾക്കായി അനിയന്ത്രിതമായ വിതരണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയും, കൽമാൻ ഫിൽട്ടറിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ഇത് സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യുന്ന നോയ്സ് മോഡൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു. കൽമാൻ ഫിൽട്ടറും മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന മാർക്കോവ് മോഡൽ സമവാക്യങ്ങളും തമ്മിൽ കർശനമായ ബന്ധമുണ്ട്. ഇവയുടെയും മറ്റ് മോഡലുകളുടെയും ഒരു അവലോകനം Roweis and Chahramani (1999) നൽകിയിട്ടുണ്ട്.

ഒരു കൽമാൻ ഫിൽട്ടർ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, ഒരു പ്രക്രിയയുടെ സംസ്ഥാന വെക്റ്ററിൻ്റെ എസ്റ്റിമേറ്റ് ലഭിക്കുന്നതിന്, ഫിൽട്ടറിൻ്റെ ഘടനയ്ക്ക് അനുസൃതമായി ഈ പ്രക്രിയയുടെ ഒരു മാതൃക അവതരിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് - ഒരു മാട്രിക്സ് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ. ചില തരം. ഓരോ അടിക്കും കെഫിൽട്ടറിൻ്റെ പ്രവർത്തനം, ചുവടെയുള്ള വിവരണത്തിന് അനുസൃതമായി മെട്രിക്സുകൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്: പ്രക്രിയ പരിണാമം എഫ് കെ; നിരീക്ഷണ മാട്രിക്സ് എച്ച് കെ; പ്രോസസ് കോവേറിയൻസ് മാട്രിക്സ് ക്യു കെ; മെഷർമെൻ്റ് നോയ്സ് കോവേരിയൻസ് മാട്രിക്സ് ആർ കെ; നിയന്ത്രണ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സാന്നിധ്യത്തിൽ - അവയുടെ ഗുണകങ്ങളുടെ ഒരു മാട്രിക്സ് ബി കെ .

ഫിൽട്ടർ എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു എന്നതിൻ്റെ ചിത്രം. മെട്രിക്സുകൾ ചതുരങ്ങളാൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. എലിപ്‌സുകൾ മൾട്ടിവാരിയേറ്റ് നോർമൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകളുടെ മെട്രിക്സുകളെ അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു (ഉപകരണങ്ങളും കോവേറിയൻസുകളും ഉൾപ്പെടെ). വെക്‌ടറുകൾ വൃത്താകൃതിയിലല്ലാതെ അവശേഷിക്കുന്നു. ഏറ്റവും ലളിതമായ സാഹചര്യത്തിൽ, ചില മെട്രിക്സുകൾ കാലക്രമേണ മാറില്ല (സൂചികയെ ആശ്രയിക്കരുത് കെ), എന്നാൽ ഓരോ പ്രവർത്തന ചക്രത്തിലും ഫിൽട്ടർ ഇപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

സിസ്റ്റം/പ്രോസസ് മോഡൽ ആ സമയത്തെ യഥാർത്ഥ അവസ്ഥ അനുമാനിക്കുന്നു കെഇപ്പോഴത്തെ യഥാർത്ഥ അവസ്ഥയിൽ നിന്നാണ് ലഭിക്കുന്നത് കെസമവാക്യം അനുസരിച്ച് −1:

,

• എഫ് കെ- വെക്റ്ററിനെ ബാധിക്കുന്ന പ്രക്രിയ/സിസ്റ്റം പരിണാമ മാട്രിക്സ് x കെ−1 (ഇപ്പോൾ സംസ്ഥാന വെക്റ്റർ കെ−1 );
• ബി കെ- നിയന്ത്രണ മാട്രിക്സ്, ഇത് നിയന്ത്രണ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ വെക്റ്ററിലേക്ക് പ്രയോഗിക്കുന്നു യു കെ ;
• w കെ- പൂജ്യം ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും കോവേറിയൻസ് മാട്രിക്സും ഉള്ള സാധാരണ ക്രമരഹിതമായ പ്രക്രിയ ക്യു കെ, ഇത് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ/പ്രക്രിയയുടെ പരിണാമത്തിൻ്റെ ക്രമരഹിതമായ സ്വഭാവം വിവരിക്കുന്നു:

നിമിഷത്തിൽ കെനിരീക്ഷണം (അളവ്) നടത്തുന്നു z കെയഥാർത്ഥ അവസ്ഥ വെക്റ്റർ x കെ, ഇവ സമവാക്യം വഴി പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

എവിടെ എച്ച് കെ- യഥാർത്ഥ അവസ്ഥ വെക്റ്ററും എടുത്ത അളവുകളുടെ വെക്റ്ററും ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന മെഷർമെൻ്റ് മാട്രിക്സ്, വി കെ- പൂജ്യം ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും കോവേറിയൻസ് മാട്രിക്സും ഉള്ള അളവുകളുടെ വെളുത്ത ഗൗസിയൻ ശബ്ദം ആർ കെ :

ഓരോ ക്ലോക്ക് സൈക്കിളിലും ക്രമരഹിതമായ പ്രക്രിയകളുടെ പ്രാരംഭ അവസ്ഥയും വെക്റ്ററുകളും ( x 0 , w 1 , …, w കെ , വി 1 , …, വി കെ) സ്വതന്ത്രമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

പല യഥാർത്ഥ ചലനാത്മക സംവിധാനങ്ങളും ഈ മോഡലിന് കൃത്യമായി വിവരിക്കാൻ കഴിയില്ല. പ്രായോഗികമായി, മോഡലിൽ കണക്കിലെടുക്കാത്ത ഡൈനാമിക്സ് ഫിൽട്ടറിൻ്റെ പ്രകടനത്തെ ഗുരുതരമായി നശിപ്പിക്കും, പ്രത്യേകിച്ച് ഒരു അജ്ഞാതമായ ഇൻപുട്ട് സിഗ്നലുമായി പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ. മാത്രമല്ല, മോഡലിൽ കണക്കിലെടുക്കാത്ത ഡൈനാമിക്സ് ഫിൽട്ടറിനെ അസ്ഥിരമാക്കും. മറുവശത്ത്, ഒരു സിഗ്നൽ എന്ന നിലയിൽ സ്വതന്ത്രമായ വെളുത്ത ശബ്ദം അൽഗോരിതം വ്യതിചലിക്കുന്നതിന് കാരണമാകില്ല. മോഡലിൽ കണക്കിലെടുക്കാത്ത ചലനാത്മകതയിൽ നിന്ന് അളക്കൽ ശബ്ദത്തെ വേർതിരിക്കുന്ന പ്രശ്നം സങ്കീർണ്ണമാണ്; ശക്തമായ നിയന്ത്രണ സംവിധാനങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചാണ് ഇത് പരിഹരിക്കുന്നത്.

കൽമാൻ ഫിൽട്ടർ

കൽമാൻ ഫിൽട്ടർ ഒരു തരം ആവർത്തന ഫിൽട്ടറാണ്. നിലവിലെ പ്രവർത്തന ചക്രത്തിനായുള്ള സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയുടെ വിലയിരുത്തൽ കണക്കാക്കാൻ, ഇതിന് സംസ്ഥാനത്തിൻ്റെ ഒരു വിലയിരുത്തൽ ആവശ്യമാണ് (സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയുടെ വിലയിരുത്തലിൻ്റെ രൂപത്തിലും ഈ അവസ്ഥ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിലെ പിശകിൻ്റെ എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെയും രൂപത്തിൽ) മുമ്പത്തെ പ്രവർത്തന ചക്രവും നിലവിലെ സൈക്കിളിലെ അളവുകളും. ഈ പ്രോപ്പർട്ടി അതിനെ പാക്കറ്റ് ഫിൽട്ടറുകളിൽ നിന്ന് വേർതിരിക്കുന്നു, ഇതിന് നിലവിലെ പ്രവർത്തന ചക്രത്തിൽ അളവുകൾ കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ എസ്റ്റിമേറ്റുകളുടെ ചരിത്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ആവശ്യമാണ്. കൂടാതെ, നൊട്ടേഷൻ വഴി യഥാർത്ഥ വെക്റ്ററിൻ്റെ എസ്റ്റിമേറ്റ് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ മനസ്സിലാകും എൻജോലി ആരംഭിച്ച നിമിഷം മുതൽ അളവുകൾ കണക്കിലെടുക്കുന്നു എംഉൾപ്പെടെ.

ഫിൽട്ടർ നില രണ്ട് വേരിയബിളുകളാൽ വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു:

കൽമാൻ ഫിൽട്ടർ ആവർത്തനങ്ങളെ രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു: എക്സ്ട്രാപോളേഷനും തിരുത്തലും. എക്‌സ്‌ട്രാപോളേഷൻ സമയത്ത്, ഫിൽട്ടറിന് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രാഥമിക വിലയിരുത്തൽ ലഭിക്കുന്നു (റഷ്യൻ ഭാഷാ സാഹിത്യത്തിൽ ഇത് പലപ്പോഴും സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു , ഇവിടെ അതിൻ്റെ അർത്ഥം “എക്‌സ്‌ട്രാപോളേഷൻ”, കൂടാതെ കെ- മുമ്പത്തെ ഘട്ടത്തിൽ നിന്നുള്ള സംസ്ഥാനത്തിൻ്റെ അന്തിമ വിലയിരുത്തൽ അനുസരിച്ച് നിലവിലെ ഘട്ടത്തിനായി അത് ലഭിച്ച ടിക്കിൻ്റെ എണ്ണം (അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലെ ഘട്ടത്തിൻ്റെ അന്തിമ വിലയിരുത്തലിന് അനുസരിച്ച് അടുത്ത ടിക്കിനുള്ള പ്രാഥമിക എസ്റ്റിമേറ്റ്, വ്യാഖ്യാനം). ഈ പ്രാഥമിക എസ്റ്റിമേറ്റിനെ സംസ്ഥാനത്തിൻ്റെ പ്രിയോറി എസ്റ്റിമേറ്റ് എന്നും വിളിക്കുന്നു, കാരണം ഇത് അനുബന്ധ ഘട്ടത്തിൻ്റെ നിരീക്ഷണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചല്ല. തിരുത്തൽ ഘട്ടത്തിൽ, എസ്റ്റിമേറ്റ് ശരിയാക്കാൻ പ്രയോറി എക്സ്ട്രാപോളേഷൻ പ്രസക്തമായ നിലവിലെ അളവുകൾക്കൊപ്പം ചേർക്കുന്നു. ക്രമീകരിച്ച എസ്റ്റിമേറ്റിനെ പോസ്റ്റീരിയർ സ്റ്റേറ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ് അല്ലെങ്കിൽ സ്റ്റേറ്റ് വെക്റ്റർ എസ്റ്റിമേറ്റ് എന്നും വിളിക്കുന്നു. സാധാരണഗതിയിൽ, ഈ രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളും മാറിമാറി വരുന്നു: അടുത്ത നിരീക്ഷണം വരെ തിരുത്തൽ ഫലങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് എക്സ്ട്രാപോളേഷൻ നടത്തുന്നത്, അടുത്ത ഘട്ടത്തിൽ ലഭ്യമായ നിരീക്ഷണങ്ങൾക്കൊപ്പം തിരുത്തൽ നടത്തുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, സംഭവങ്ങളുടെ മറ്റൊരു വികസനം സാധ്യമാണ്. ചില കാരണങ്ങളാൽ നിരീക്ഷണം ലഭ്യമല്ലാത്തതിനാൽ, തിരുത്തൽ ഘട്ടം ഒഴിവാക്കുകയും ക്രമീകരിക്കാത്ത എസ്റ്റിമേറ്റിൽ നിന്ന് എക്സ്ട്രാപോളേറ്റ് ചെയ്യുകയും ചെയ്യാം (പ്രയോറി എക്സ്ട്രാപോളേഷൻ). അതുപോലെ, ചില വർക്ക് സൈക്കിളുകളിൽ മാത്രം സ്വതന്ത്ര അളവുകൾ ലഭ്യമാണെങ്കിൽ, തിരുത്തലുകൾ ഇപ്പോഴും സാധ്യമാണ് (സാധാരണയായി മറ്റൊരു നിരീക്ഷണ മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിക്കുന്നു എച്ച് കെ ).

എക്സ്ട്രാപോളേഷൻ ഘട്ടം

തിരുത്തൽ ഘട്ടം

ഘട്ടത്തിൽ ലഭിച്ച വ്യതിയാനം കെഎക്സ്ട്രാപോളേഷനിൽ നിന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന നിരീക്ഷണത്തിൽ നിന്നുള്ള നിരീക്ഷണങ്ങൾ:
ഡീവിയേഷൻ വെക്‌ടറിനുള്ള കോവേറിയൻസ് മാട്രിക്സ് (പിശക് വെക്റ്റർ):
കൽമാൻ ഒപ്റ്റിമൽ ഗെയിൻ മാട്രിക്സ്, സംസ്ഥാന വെക്റ്ററിൻ്റെ നിലവിലുള്ള എക്സ്ട്രാപോളേഷൻ്റെ കോവേറിയൻസ് മെട്രിക്സിൻ്റെയും ലഭിച്ച അളവുകളുടെയും അടിസ്ഥാനത്തിൽ രൂപീകരിച്ചു (ഡീവിയേഷൻ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോവേറിയൻസ് മാട്രിക്സ് വഴി):
സ്റ്റേറ്റ് വെക്റ്ററിൻ്റെ മുമ്പ് ലഭിച്ച എക്സ്ട്രാപോളേഷൻ്റെ തിരുത്തൽ - സിസ്റ്റം സ്റ്റേറ്റ് വെക്റ്ററിൻ്റെ ഒരു എസ്റ്റിമേറ്റ് നേടുന്നു:
സിസ്റ്റം അവസ്ഥ വെക്റ്റർ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള കോവേറിയൻസ് മാട്രിക്സിൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ:

നൽകിയിരിക്കുന്ന ഒപ്റ്റിമൽ വെക്റ്റർ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ സിസ്റ്റം സ്റ്റേറ്റ് വെക്റ്റർ എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ കോവേറിയൻസ് മാട്രിക്സിനുള്ള എക്സ്പ്രഷൻ സാധുവാകൂ. പൊതുവേ, ഈ പദപ്രയോഗത്തിന് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ രൂപമുണ്ട്.

മാറ്റമില്ലാത്തവ

മോഡൽ തികച്ചും കൃത്യവും പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകളും തികച്ചും കൃത്യമായി വ്യക്തമാക്കിയതാണെങ്കിൽ, ഫിൽട്ടറിൻ്റെ എത്ര ആവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷവും ഇനിപ്പറയുന്ന മൂല്യങ്ങൾ സംരക്ഷിക്കപ്പെടും - അവ മാറ്റമില്ലാത്തവയാണ്:

സിസ്റ്റം സ്റ്റേറ്റ് വെക്‌ടറിൻ്റെ എസ്റ്റിമേറ്റുകളുടെയും എക്‌സ്‌ട്രാപോളേഷനുകളുടെയും ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകളും പിശക് മെട്രിക്‌സുകളും ശൂന്യ വെക്‌ടറുകളാണ്:

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ എവിടെയാണ്.

എക്‌സ്‌ട്രാപോളേഷനുകൾ, സിസ്റ്റം സ്‌റ്റേറ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ, പിശക് വെക്‌ടറുകൾ എന്നിവയുടെ കണക്കാക്കിയ കോവേരിയൻസ് മെട്രിക്‌സുകൾ യഥാർത്ഥ കോവേറിയൻസ് മെട്രിക്‌സുകളുമായി യോജിക്കുന്നു:

ഫിൽട്ടർ നിർമ്മാണത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം

ഘർഷണത്തിൻ്റെ അഭാവത്തിൽ അനന്തമായ നീളമുള്ള പാളങ്ങളിൽ ഒരു ട്രോളി നിൽക്കുന്നതായി സങ്കൽപ്പിക്കുക. തുടക്കത്തിൽ, അത് 0 സ്ഥാനത്ത് വിശ്രമത്തിലാണ്, എന്നാൽ ക്രമരഹിതമായ ഘടകങ്ങളുടെ സ്വാധീനത്തിൽ ഇത് ക്രമരഹിതമായ ത്വരിതപ്പെടുത്തലിന് വിധേയമാണ്. ഓരോ ∆യിലും ഞങ്ങൾ ട്രോളിയുടെ സ്ഥാനം അളക്കുന്നു ടിസെക്കൻ്റുകൾ, എന്നാൽ അളവുകൾ കൃത്യമല്ല. ട്രോളിയുടെ സ്ഥാനത്തെക്കുറിച്ചും അതിൻ്റെ വേഗതയെക്കുറിച്ചും കണക്കാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ഈ പ്രശ്നത്തിന് കൽമാൻ ഫിൽട്ടർ പ്രയോഗിക്കുകയും ആവശ്യമായ എല്ലാ മെട്രിക്സുകളും നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്യാം.

ഈ പ്രശ്നത്തിൽ മെട്രിക്സ് എഫ് , എച്ച് , ആർഒപ്പം ക്യുസമയത്തെ ആശ്രയിക്കരുത്, ഞങ്ങൾ അവരുടെ സൂചികകൾ ഒഴിവാക്കും. കൂടാതെ, ഞങ്ങൾ ട്രോളിയെ നിയന്ത്രിക്കുന്നില്ല, അതിനാൽ നിയന്ത്രണ മാട്രിക്സ് ബിഇല്ല.

ട്രോളിയുടെ കോർഡിനേറ്റുകളും വേഗതയും ലീനിയർ സ്റ്റേറ്റ് സ്പേസിലെ ഒരു വെക്റ്റർ വിവരിക്കുന്നു

വേഗത എവിടെയാണ് (സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് കോർഡിനേറ്റിൻ്റെ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവ്).

അതിനിടയിൽ ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും ( കെ-1) ഒപ്പം കെആ ചക്രത്തിൽ, ട്രോളി നിരന്തരമായ ത്വരിതഗതിയിൽ നീങ്ങുന്നു ഒരു കെ, പൂജ്യം ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും ഉള്ള സാധാരണ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നു σa. ന്യൂട്ടോണിയൻ മെക്കാനിക്സ് അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് എഴുതാം

.

ക്രമരഹിതമായ ഇഫക്റ്റുകളുടെ കോവേരിയൻസ് മാട്രിക്സ്

(σ എ- സ്കെയിലർ).

ജോലിയുടെ ഓരോ ഘട്ടത്തിലും, ട്രോളിയുടെ സ്ഥാനം അളക്കുന്നു. അളക്കൽ പിശക് എന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം vkപൂജ്യം ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും ഉള്ള ഒരു സാധാരണ വിതരണമുണ്ട് σ z. പിന്നെ

നിരീക്ഷണ ശബ്ദത്തിൻ്റെ കോവേറിയൻസ് മാട്രിക്സിന് രൂപമുണ്ട്

.

ട്രോളിയുടെ പ്രാരംഭ സ്ഥാനം കൃത്യമായി അറിയാം

, .

ട്രോളിയുടെ സ്ഥാനവും വേഗതയും ഏകദേശം അറിയാമെങ്കിൽ, വേരിയൻസ് മാട്രിക്സ് മതിയായ വലിയ സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് ആരംഭിക്കാൻ കഴിയും. എൽ, അങ്ങനെ സംഖ്യ കോർഡിനേറ്റ് അളവുകളുടെ വ്യത്യാസം കവിയുന്നു

, .

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ആദ്യ സൈക്കിളുകളിൽ, ലഭ്യമായ മുൻകൂർ വിവരങ്ങളേക്കാൾ വലിയ ഭാരമുള്ള അളവെടുപ്പ് ഫലങ്ങൾ ഫിൽട്ടർ ഉപയോഗിക്കും.

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു

സംസ്ഥാന വെക്റ്റർ എസ്റ്റിമേഷൻ്റെ കോവേരിയൻസ് മാട്രിക്സ്

കോവേറിയൻസ് മാട്രിക്സിൻ്റെ നിർവചനം പ്രകാരം പി കെ|കെ

സ്റ്റേറ്റ് വെക്റ്റർ കണക്കാക്കാൻ എക്സ്പ്രഷൻ പകരം വയ്ക്കുക

കൂടാതെ പിശക് വെക്റ്ററിനുള്ള എക്സ്പ്രഷൻ എഴുതുക

അളക്കൽ വെക്റ്ററുകളും

ഞങ്ങൾ അളക്കൽ പിശക് വെക്റ്റർ പുറത്തെടുക്കുന്നു വി കെ

അളക്കൽ പിശക് വെക്റ്റർ മുതൽ വി കെമറ്റ് വാദങ്ങളുമായി ബന്ധമില്ല, നമുക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ ലഭിക്കും

വെക്റ്റർ കോവേറിയൻസിൻ്റെ ഗുണങ്ങൾക്ക് അനുസൃതമായി, ഈ പദപ്രയോഗം രൂപത്തിലേക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു

സ്റ്റേറ്റ് വെക്റ്റർ എക്സ്ട്രാപോളേഷൻ കോവേറിയൻസ് മാട്രിക്സിനുള്ള എക്സ്പ്രഷൻ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു പി കെ|കെ−1 നിരീക്ഷണ ശബ്ദത്തിൻ്റെ കോവേറിയൻസ് മാട്രിക്സിൻ്റെ നിർണ്ണയവും ആർ കെ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന എക്‌സ്‌പ്രഷൻ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് മാട്രിക്‌സിന് സാധുതയുള്ളതാണ്, എന്നാൽ ഇത് ഒരു കൽമാൻ ഒപ്റ്റിമൽ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് മാട്രിക്‌സാണെങ്കിൽ, കോവേറിയൻസ് മാട്രിക്‌സിൻ്റെ ഈ പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കാം.

ഒപ്റ്റിമൽ ഗെയിൻ മാട്രിക്സ്

സംസ്ഥാന വെക്റ്റർ എസ്റ്റിമേഷൻ പിശകുകളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകളുടെ സ്ക്വയറുകളുടെ ആകെത്തുക കൽമാൻ ഫിൽട്ടർ കുറയ്ക്കുന്നു.

സംസ്ഥാന വെക്റ്റർ എസ്റ്റിമേഷൻ പിശക് വെക്റ്റർ

തന്നിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററിൻ്റെ ഘടകങ്ങളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകളുടെ ആകെത്തുക കുറയ്ക്കുക എന്നതാണ് ചുമതല.

,

ഇത് സംസ്ഥാന വെക്റ്റർ എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ കോവേറിയൻസ് മാട്രിക്സിൻ്റെ ട്രെയ്സ് കുറയ്ക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ് പി കെ|കെ. സംസ്ഥാന വെക്റ്റർ എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ കോവേറിയൻസ് മാട്രിക്സിനുള്ള എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് നിലവിലുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകൾ മാറ്റി അതിനെ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരത്തിലേക്ക് പൂർത്തിയാക്കാം:

അവസാന പദം ചില റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ കോവേറിയൻസ് മാട്രിക്സ് ആണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിനാൽ അതിൻ്റെ ട്രെയ്സ് നോൺ-നെഗറ്റീവ് ആണ്. അവസാന പദം പൂജ്യമായി സജ്ജീകരിക്കുമ്പോൾ ട്രേസ് മിനിമം കൈവരിക്കും:

ഈ മാട്രിക്സ് ആവശ്യമുള്ള ഒന്നാണെന്നും കൽമാൻ ഫിൽട്ടറിലെ ഗുണകങ്ങളുടെ മാട്രിക്സായി ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, സംസ്ഥാന വെക്റ്റർ കണക്കാക്കുന്നതിലെ ശരാശരി സ്ക്വയർ പിശകുകളുടെ ആകെത്തുക ചെറുതാക്കുമെന്നും വാദിക്കുന്നു.

ഒപ്റ്റിമൽ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് സ്റ്റേറ്റ് വെക്റ്റർ എസ്റ്റിമേഷൻ്റെ കോവേറിയൻസ് മാട്രിക്സ്

സംസ്ഥാന വെക്റ്റർ എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ കോവേറിയൻസ് മാട്രിക്സിനുള്ള എക്സ്പ്രഷൻ പി കെ|കെഒപ്റ്റിമൽ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ ഫോം എടുക്കും:

ഈ സൂത്രവാക്യം ഗണിതപരമായി ലളിതമാണ്, അതിനാൽ പ്രായോഗികമായി എപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്, എന്നാൽ ഒപ്റ്റിമൽ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ ഇത് ശരിയാകൂ. കുറഞ്ഞ കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ കൃത്യത കാരണം, കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ സ്ഥിരതയിൽ ഒരു പ്രശ്നം ഉണ്ടാകുകയോ അല്ലെങ്കിൽ ഒപ്റ്റിമൽ ഒഴികെയുള്ള ഒരു കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് മാട്രിക്സ് പ്രത്യേകമായി ഉപയോഗിക്കുകയോ ചെയ്താൽ, സംസ്ഥാന വെക്റ്റർ എസ്റ്റിമേഷൻ്റെ കോവേരിയൻസ് മാട്രിക്സിന് ഒരു പൊതു ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കണം.

കൽമാൻ ഫിൽട്ടറിൻ്റെ വിമർശനം

ഇപ്പോൾ, കൽമാൻ ഫിൽട്ടറിൻ്റെ പ്രധാന വിമർശനം ഇനിപ്പറയുന്ന മേഖലകളിലാണ് നടത്തുന്നത്

റാൻഡം ഫോറസ്റ്റ് എൻ്റെ പ്രിയപ്പെട്ട ഡാറ്റാ മൈനിംഗ് അൽഗോരിതങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്. ഒന്നാമതായി, ഇത് അവിശ്വസനീയമാംവിധം ബഹുമുഖമാണ്; റിഗ്രഷൻ, വർഗ്ഗീകരണ പ്രശ്നങ്ങൾ എന്നിവ പരിഹരിക്കാൻ ഇത് ഉപയോഗിക്കാം. അപാകതകൾക്കായി തിരയുക, പ്രവചകരെ തിരഞ്ഞെടുക്കുക. രണ്ടാമതായി, ഇത് തെറ്റായി പ്രയോഗിക്കാൻ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം ആണ്. മറ്റ് അൽഗോരിതങ്ങളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ഇതിന് കുറച്ച് ഇഷ്ടാനുസൃതമാക്കാവുന്ന പാരാമീറ്ററുകൾ മാത്രമേയുള്ളൂ. കൂടാതെ ഇത് പ്രകൃതിയിൽ അതിശയകരമാംവിധം ലളിതവുമാണ്. അതേ സമയം, അത് അതിശയകരമാംവിധം കൃത്യവുമാണ്.

അത്തരമൊരു അത്ഭുതകരമായ അൽഗോരിതത്തിന് പിന്നിലെ ആശയം എന്താണ്? ആശയം ലളിതമാണ്: നമുക്ക് വളരെ ദുർബലമായ അൽഗോരിതം ഉണ്ടെന്ന് പറയാം. ഈ ദുർബലമായ അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ നിരവധി വ്യത്യസ്ത മോഡലുകൾ നിർമ്മിക്കുകയും അവയുടെ പ്രവചനങ്ങളുടെ ശരാശരി ഫലങ്ങൾ നൽകുകയും ചെയ്താൽ, അന്തിമഫലം ഗണ്യമായി മെച്ചപ്പെടും. ഇതിനെയാണ് എൻസെംബിൾ ലേണിംഗ് ഇൻ ആക്ഷൻ എന്ന് പറയുന്നത്. അതിനാൽ റാൻഡം ഫോറസ്റ്റ് അൽഗോരിതത്തെ "റാൻഡം ഫോറസ്റ്റ്" എന്ന് വിളിക്കുന്നു; ലഭിച്ച ഡാറ്റയ്ക്ക്, അത് നിരവധി തീരുമാന മരങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുകയും പിന്നീട് അവയുടെ പ്രവചനങ്ങളുടെ ശരാശരി ഫലം നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു. ഓരോ വൃക്ഷത്തിൻ്റെയും സൃഷ്ടിയിലെ അവസരത്തിൻ്റെ ഘടകമാണ് ഇവിടെ പ്രധാന കാര്യം. എല്ലാത്തിനുമുപരി, നമ്മൾ സമാനമായ നിരവധി മരങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അവയുടെ ശരാശരിയുടെ ഫലം ഒരു വൃക്ഷത്തിൻ്റെ കൃത്യതയായിരിക്കുമെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

അവൻ എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു? നമുക്ക് കുറച്ച് ഇൻപുട്ട് ഡാറ്റ ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. ഓരോ നിരയും ചില പരാമീറ്ററുകളോട് യോജിക്കുന്നു, ഓരോ വരിയും ചില ഡാറ്റാ ഘടകങ്ങളുമായി യോജിക്കുന്നു.

നമുക്ക് മുഴുവൻ ഡാറ്റാ സെറ്റിൽ നിന്നും ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം നിരകളും വരികളും ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുക്കാനും അവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു തീരുമാന ട്രീ നിർമ്മിക്കാനും കഴിയും.

2012 മെയ് 10 വ്യാഴാഴ്ച

2012 ജനുവരി 12 വ്യാഴാഴ്ച

അത്രയേയുള്ളൂ. 17 മണിക്കൂർ ഫ്ലൈറ്റ് അവസാനിച്ചു, റഷ്യ വിദേശത്ത് തുടരുന്നു. യുഎസിലെ കാലിഫോർണിയയിലെ പ്രശസ്തമായ സിലിക്കൺ വാലി, സാൻ ഫ്രാൻസിസ്കോ, സുഖപ്രദമായ 2 ബെഡ്‌റൂം അപ്പാർട്ട്മെൻ്റിൻ്റെ ജാലകത്തിലൂടെ ഞങ്ങളെ നോക്കുന്നു. അതെ, ഈയിടെയായി ഞാൻ അധികം എഴുതാത്തതിൻ്റെ കാരണം ഇതാണ്. ഞങ്ങൾ ഇറങ്ങി.

2011 ഏപ്രിലിൽ ഞാൻ സിങ്കയുമായി ഒരു ഫോൺ അഭിമുഖം നടത്തിയപ്പോഴാണ് ഇതെല്ലാം ആരംഭിച്ചത്. അപ്പോൾ ഇതെല്ലാം യാഥാർത്ഥ്യവുമായി ബന്ധമില്ലാത്ത ഒരുതരം ഗെയിമായി തോന്നി, അത് എന്തിലേക്ക് നയിക്കുമെന്ന് എനിക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാൻ പോലും കഴിഞ്ഞില്ല. 2011 ജൂണിൽ, സിങ്ക മോസ്കോയിൽ വന്ന് നിരവധി അഭിമുഖങ്ങൾ നടത്തി, ഒരു ടെലിഫോൺ അഭിമുഖത്തിൽ വിജയിച്ച 60 ഓളം ഉദ്യോഗാർത്ഥികളെ പരിഗണിക്കുകയും അവരിൽ നിന്ന് 15 ഓളം പേരെ തിരഞ്ഞെടുക്കുകയും ചെയ്തു (എനിക്ക് കൃത്യമായ നമ്പർ അറിയില്ല, ചിലർ പിന്നീട് മനസ്സ് മാറ്റി, മറ്റുള്ളവർ ഉടനെ നിരസിച്ചു). അഭിമുഖം അത്ഭുതകരമാംവിധം ലളിതമായി മാറി. പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്‌നങ്ങളൊന്നുമില്ല, ഹാച്ചുകളുടെ ആകൃതിയെക്കുറിച്ച് തന്ത്രപരമായ ചോദ്യങ്ങളൊന്നുമില്ല, കൂടുതലും ചാറ്റുചെയ്യാനുള്ള നിങ്ങളുടെ കഴിവ് പരിശോധിക്കുന്നു. അറിവ്, എൻ്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ, ഉപരിപ്ലവമായി മാത്രമേ വിലയിരുത്തപ്പെട്ടിട്ടുള്ളൂ.

തുടർന്ന് റിഗ്മറോൾ ആരംഭിച്ചു. ആദ്യം ഞങ്ങൾ ഫലങ്ങൾക്കായി കാത്തിരുന്നു, തുടർന്ന് ഓഫർ, തുടർന്ന് എൽസിഎ അംഗീകാരം, തുടർന്ന് വിസ അപേക്ഷയുടെ അംഗീകാരം, തുടർന്ന് യുഎസ്എയിൽ നിന്നുള്ള രേഖകൾ, തുടർന്ന് എംബസിയിലെ ക്യൂ, തുടർന്ന് അധിക പരിശോധന, തുടർന്ന് വിസ. എല്ലാം ഉപേക്ഷിച്ച് സ്കോർ ചെയ്യാൻ ഞാൻ തയ്യാറാണെന്ന് ചിലപ്പോൾ എനിക്ക് തോന്നി. ചില സമയങ്ങളിൽ എനിക്ക് ഈ അമേരിക്ക വേണോ എന്ന് സംശയിച്ചു, റഷ്യയും മോശമല്ല. മുഴുവൻ പ്രക്രിയയും ഏകദേശം ആറ് മാസമെടുത്തു, അവസാനം, ഡിസംബർ പകുതിയോടെ ഞങ്ങൾക്ക് വിസ ലഭിച്ചു, പുറപ്പെടുന്നതിന് തയ്യാറെടുക്കാൻ തുടങ്ങി.

ഒരു പുതിയ സ്ഥലത്ത് എൻ്റെ ആദ്യത്തെ പ്രവൃത്തി ദിവസം തിങ്കളാഴ്ചയായിരുന്നു. ജോലിക്ക് മാത്രമല്ല, ജീവിക്കാനുള്ള എല്ലാ സാഹചര്യങ്ങളും ഓഫീസിലുണ്ട്. നമ്മുടെ സ്വന്തം പാചകക്കാരിൽ നിന്നുള്ള പ്രഭാതഭക്ഷണം, ഉച്ചഭക്ഷണം, അത്താഴം, എല്ലാ കോണിലും നിറച്ച വൈവിധ്യമാർന്ന ഭക്ഷണങ്ങൾ, ജിം, മസാജ്, ഒരു ഹെയർഡ്രെസ്സർ പോലും. ഇതെല്ലാം ജീവനക്കാർക്ക് തികച്ചും സൗജന്യമാണ്. നിരവധി ആളുകൾ സൈക്കിളിലാണ് ജോലിസ്ഥലത്തേക്ക് പോകുന്നത്, വാഹനങ്ങൾ സൂക്ഷിക്കാൻ നിരവധി മുറികൾ സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു. പൊതുവേ, റഷ്യയിൽ ഇതുപോലൊന്ന് ഞാൻ കണ്ടിട്ടില്ല. എന്നിരുന്നാലും, എല്ലാത്തിനും അതിൻ്റേതായ വിലയുണ്ട്; ഞങ്ങൾ വളരെയധികം പ്രവർത്തിക്കേണ്ടിവരുമെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ഉടൻ മുന്നറിയിപ്പ് ലഭിച്ചു. എന്താണ് "ഒരുപാട്" എന്നത്, അവരുടെ നിലവാരമനുസരിച്ച്, എനിക്ക് വളരെ വ്യക്തമല്ല.

എന്നിരുന്നാലും, ജോലിയുടെ അളവ് ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, ഭാവിയിൽ എനിക്ക് ബ്ലോഗിംഗ് പുനരാരംഭിക്കാൻ കഴിയുമെന്നും, ഒരുപക്ഷേ, അമേരിക്കൻ ജീവിതത്തെക്കുറിച്ചും അമേരിക്കയിൽ ഒരു പ്രോഗ്രാമറായി ജോലി ചെയ്യുന്നതിനെക്കുറിച്ചും എന്തെങ്കിലും പറയാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. കാത്തിരുന്ന് കാണു. അതിനിടയിൽ, എല്ലാവർക്കും പുതുവത്സരാശംസകളും ക്രിസ്തുമസ് ആശംസകളും നേരുന്നു, വീണ്ടും കാണാം!

ഉപയോഗത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണത്തിനായി, റഷ്യൻ കമ്പനികളുടെ ലാഭവിഹിതം ഞങ്ങൾ പ്രിൻ്റ് ചെയ്യും. അടിസ്ഥാന വിലയായി, രജിസ്റ്റർ അവസാനിക്കുന്ന ദിവസം ഞങ്ങൾ ഓഹരിയുടെ ക്ലോസിംഗ് വില എടുക്കുന്നു. ചില കാരണങ്ങളാൽ, ഈ വിവരങ്ങൾ ട്രോയിക്ക വെബ്‌സൈറ്റിൽ ലഭ്യമല്ല, പക്ഷേ ഡിവിഡൻ്റുകളുടെ സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യങ്ങളേക്കാൾ ഇത് വളരെ രസകരമാണ്.
ശ്രദ്ധ! കോഡ് എക്സിക്യൂട്ട് ചെയ്യാൻ വളരെ സമയമെടുക്കും, കാരണം... ഓരോ പ്രമോഷനും നിങ്ങൾ ഫിനാം സെർവറുകളിലേക്ക് ഒരു അഭ്യർത്ഥന നടത്തുകയും അതിൻ്റെ മൂല്യം നേടുകയും വേണം.

ഫലമായി<- NULL for(i in (1:length(divs[,1]))){ d <- divs if (d$Divs>0)( ശ്രമിക്കുക(( ഉദ്ധരണികൾ<- getSymbols(d$Symbol, src="Finam", from="2010-01-01", auto.assign=FALSE) if (!is.nan(quotes)){ price <- Cl(quotes) if (length(price)>0)(dd<- d$Divs result <- rbind(result, data.frame(d$Symbol, d$Name, d$RegistryDate, as.numeric(dd)/as.numeric(price), stringsAsFactors=FALSE)) } } }, silent=TRUE) } } colnames(result) <- c("Symbol", "Name", "RegistryDate", "Divs") result

അതുപോലെ, നിങ്ങൾക്ക് മുൻ വർഷങ്ങളിലെ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും.

ഹബ്രെ ഉൾപ്പെടെ ഇൻ്റർനെറ്റിൽ, കൽമാൻ ഫിൽട്ടറിനെക്കുറിച്ചുള്ള ധാരാളം വിവരങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും. എന്നാൽ സൂത്രവാക്യങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ ദഹിപ്പിക്കാവുന്ന ഒരു നിഗമനം കണ്ടെത്തുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. ഒരു നിഗമനവുമില്ലാതെ, ഈ ശാസ്ത്രം മുഴുവൻ ഒരുതരം ഷാമനിസമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ മുഖമില്ലാത്ത ചിഹ്നങ്ങൾ പോലെ കാണപ്പെടുന്നു, ഏറ്റവും പ്രധാനമായി, സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഉപരിതലത്തിൽ കിടക്കുന്ന നിരവധി ലളിതമായ പ്രസ്താവനകൾ മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്തതാണ്. ഈ ലേഖനത്തിൻ്റെ ഉദ്ദേശ്യം ഈ ഫിൽട്ടറിനെക്കുറിച്ച് കഴിയുന്നത്ര ആക്സസ് ചെയ്യാവുന്ന ഭാഷയിൽ സംസാരിക്കുക എന്നതാണ്.
കൽമാൻ ഫിൽട്ടർ ഒരു ശക്തമായ ഡാറ്റ ഫിൽട്ടറിംഗ് ഉപകരണമാണ്. ഫിൽട്ടറിംഗ് പ്രതിഭാസത്തിൻ്റെ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു എന്നതാണ് ഇതിൻ്റെ പ്രധാന തത്വം. നിങ്ങൾ ഒരു കാറിൻ്റെ സ്പീഡോമീറ്ററിൽ നിന്ന് ഡാറ്റ ഫിൽട്ടർ ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, കാറിൻ്റെ നിഷ്ക്രിയത്വം, വേഗതയിൽ വളരെ വേഗത്തിലുള്ള കുതിച്ചുചാട്ടം അളക്കുന്നതിനുള്ള പിശകായി മനസ്സിലാക്കാനുള്ള അവകാശം നൽകുന്നു. കൽമാൻ ഫിൽട്ടർ രസകരമാണ്, കാരണം ഒരർത്ഥത്തിൽ ഇത് മികച്ച ഫിൽട്ടറാണ്. "മികച്ചത്" എന്ന വാക്കുകൾ കൃത്യമായി എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് എന്ന് ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ വിശദമായി ചുവടെ ചർച്ച ചെയ്യും. ലേഖനത്തിൻ്റെ അവസാനത്തിൽ, മിക്ക കേസുകളിലും സൂത്രവാക്യങ്ങൾ വളരെ ലളിതമാക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞാൻ കാണിക്കും, അവയിൽ ഒന്നും അവശേഷിക്കുന്നില്ല.

വിദ്യാഭ്യാസ പരിപാടി

കൽമാൻ ഫിൽട്ടറുമായി പരിചയപ്പെടുന്നതിന് മുമ്പ്, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്നുള്ള ചില ലളിതമായ നിർവചനങ്ങളും വസ്തുതകളും ഓർമ്മിക്കാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു.

ക്രമരഹിതമായ മൂല്യം

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ നൽകിയെന്ന് അവർ പറയുമ്പോൾ, ഈ മൂല്യത്തിന് ക്രമരഹിതമായ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാൻ കഴിയുമെന്നാണ് അവർ അർത്ഥമാക്കുന്നത്. വ്യത്യസ്‌ത സാധ്യതകളുള്ള വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങൾ ഇത് സ്വീകരിക്കുന്നു. നിങ്ങൾ ഒരു ഡൈ റോൾ ചെയ്യുമ്പോൾ, ഒരു പ്രത്യേക മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം ദൃശ്യമാകും: . നമ്മൾ സംസാരിക്കുമ്പോൾ, ഉദാഹരണത്തിന്, അലഞ്ഞുതിരിയുന്ന ഒരു കണത്തിൻ്റെ വേഗതയെക്കുറിച്ച്, അപ്പോൾ, വ്യക്തമായും, തുടർച്ചയായ മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം നമ്മൾ കൈകാര്യം ചെയ്യണം. വഴി ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ "ഡ്രോപ്പ് ഔട്ട്" മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കും, എന്നാൽ ചിലപ്പോൾ റാൻഡം വേരിയബിളിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന അതേ അക്ഷരം ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും: .
ഒരു തുടർച്ചയായ മൂല്യങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിനെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റിയാണ് സ്വഭാവമാക്കുന്നത്, ഇത് ദൈർഘ്യമുള്ള ഒരു ചെറിയ അയൽപക്കത്തിൽ ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ "കൊഴിഞ്ഞുവീഴാനുള്ള" പ്രോബബിലിറ്റിക്ക് തുല്യമാണെന്ന് നമ്മോട് നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഈ പ്രോബബിലിറ്റി ഗ്രാഫിന് കീഴിലുള്ള ഷേഡുള്ള ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്:

ജീവിതത്തിൽ മിക്കപ്പോഴും, പ്രോബബിലിറ്റി സാന്ദ്രത തുല്യമായിരിക്കുമ്പോൾ ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾ ഗാസിയൻ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു.

ഫംഗ്‌ഷന് ഒരു ബിന്ദുവിൽ ഒരു കേന്ദ്രവും ക്രമത്തിൻ്റെ സ്വഭാവ വീതിയും ഉള്ള ഒരു മണിയുടെ ആകൃതി ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു.
നമ്മൾ ഗോസിയൻ വിതരണത്തെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നത് എന്നതിനാൽ, അത് എവിടെ നിന്നാണ് വന്നതെന്ന് പരാമർശിക്കാതിരിക്കുന്നത് ലജ്ജാകരമാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ സംഖ്യകൾ ഉറച്ചുനിൽക്കുകയും ഏറ്റവും അപ്രതീക്ഷിതമായ സ്ഥലങ്ങളിൽ കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നതുപോലെ, ഗൗസിയൻ വിതരണവും പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൽ ആഴത്തിൽ വേരൂന്നിയിരിക്കുന്നു. ഗൗസിയൻ സർവ്വവ്യാപിയെ ഭാഗികമായി വിശദീകരിക്കുന്ന ശ്രദ്ധേയമായ ഒരു പ്രസ്താവന ഇതാണ്:
അനിയന്ത്രിതമായ വിതരണമുള്ള ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ ഉണ്ടാകട്ടെ (വാസ്തവത്തിൽ, ഈ ഏകപക്ഷീയതയ്ക്ക് ചില നിയന്ത്രണങ്ങളുണ്ട്, പക്ഷേ അവ കർശനമല്ല). നമുക്ക് പരീക്ഷണങ്ങൾ നടത്തി ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ "ഡ്രോപ്പ് ഔട്ട്" മൂല്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണക്കാക്കാം. ഇത്തരം നിരവധി പരീക്ഷണങ്ങൾ നടത്താം. ഓരോ തവണയും നമുക്ക് തുകയുടെ വ്യത്യസ്ത മൂല്യം ലഭിക്കുമെന്ന് വ്യക്തമാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഈ തുക അതിൻ്റേതായ പ്രത്യേക വിതരണ നിയമത്തോടുകൂടിയ ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളാണ്. ആവശ്യത്തിന് വലുതായിരിക്കുമ്പോൾ, ഈ തുകയുടെ വിതരണ നിയമം ഗൗസിയൻ വിതരണത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു (വഴിയിൽ, "മണി" യുടെ സ്വഭാവ വീതി ഇതുപോലെ വളരുന്നു). വിക്കിപീഡിയ: കേന്ദ്ര പരിധി സിദ്ധാന്തത്തിൽ ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ വിശദമായി വായിക്കുന്നു. ജീവിതത്തിൽ, പലപ്പോഴും ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന സ്വതന്ത്ര റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ആകെത്തുകയായ അളവുകൾ ഉണ്ട്, അതിനാൽ അവ ഗാസിയൻ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു.

ശരാശരി മൂല്യം

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യം, നമ്മൾ ധാരാളം പരീക്ഷണങ്ങൾ നടത്തുകയും ഡ്രോപ്പ് ചെയ്ത മൂല്യങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരി കണക്കാക്കുകയും ചെയ്താൽ നമുക്ക് പരിധിയിൽ ലഭിക്കും. ശരാശരി മൂല്യം വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു: ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ അത് (ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ), വിദേശ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ (പ്രതീക്ഷ) എന്നിവയിലൂടെ സൂചിപ്പിക്കാൻ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു. അല്ലെങ്കിൽ വഴി ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞർ. ഞങ്ങൾ അതിനെ ഒരു വിദേശ രീതിയിൽ നിയോഗിക്കും:
ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഗൗസിയൻ വിതരണത്തിന്, ശരാശരി .

വിസരണം

ഗാസിയൻ വിതരണത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, റാൻഡം വേരിയബിൾ അതിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യത്തിൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത അയൽപക്കത്തിൽ വീഴാൻ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നതായി ഞങ്ങൾ വ്യക്തമായി കാണുന്നു. ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, മൂല്യങ്ങളുടെ സ്വഭാവം വ്യാപിക്കുന്നത് ക്രമത്തിലാണ്. ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണം അറിയാമെങ്കിൽ, മൂല്യങ്ങളുടെ ഈ വ്യാപനം നമുക്ക് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം? നിങ്ങൾക്ക് അതിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി സാന്ദ്രതയുടെ ഒരു ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കാനും കണ്ണ് ഉപയോഗിച്ച് സ്വഭാവത്തിൻ്റെ വീതി കണക്കാക്കാനും കഴിയും. എന്നാൽ ബീജഗണിത വഴിയിൽ പോകാനാണ് ഞങ്ങൾ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നത്. ശരാശരി മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ശരാശരി ഡീവിയേഷൻ ദൈർഘ്യം (മോഡുലസ്) കണ്ടെത്താനാകും: . ഈ മൂല്യം മൂല്യങ്ങളുടെ സ്വഭാവ വ്യാപനത്തിൻ്റെ ഒരു നല്ല മതിപ്പ് ആയിരിക്കും. എന്നാൽ ഫോർമുലകളിൽ മൊഡ്യൂളുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഒരു തലവേദനയാണെന്ന് നിങ്ങൾക്കും എനിക്കും നന്നായി അറിയാം, അതിനാൽ ഈ ഫോർമുല സ്വഭാവ ചിതറിക്കൽ കണക്കാക്കാൻ വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ ഉപയോഗിക്കൂ.
ഒരു ലളിതമായ മാർഗം (കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ കാര്യത്തിൽ ലളിതം) കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്. ഈ അളവിനെ ഡിസ്പർഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് പലപ്പോഴും സൂചിപ്പിക്കുന്നു. വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ മൂലത്തെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വ്യാപനത്തിൻ്റെ നല്ല കണക്കാണ്.
ഉദാഹരണത്തിന്, ഗാസിയൻ വിതരണത്തിന്, മുകളിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന വ്യത്യാസം കൃത്യമായി തുല്യമാണെന്ന് നമുക്ക് കണക്കാക്കാം, അതായത് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ തുല്യമാണ്, ഇത് നമ്മുടെ ജ്യാമിതീയ അവബോധവുമായി നന്നായി യോജിക്കുന്നു.
വാസ്തവത്തിൽ, ഇവിടെ ഒരു ചെറിയ തട്ടിപ്പ് മറഞ്ഞിരിക്കുന്നു. ഗാസിയൻ വിതരണത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ, ഘാതകത്തിന് കീഴിൽ ഒരു പദപ്രയോഗമുണ്ട് എന്നതാണ് വസ്തുത. ഇത് രണ്ടും ഡിനോമിനേറ്ററിലാണ്, അതിനാൽ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ഗുണകത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും. അതായത്, ഗൗസിയൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫോർമുല തന്നെ പ്രത്യേകം തയ്യാറാക്കിയ ഫോമിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നതിനാൽ അതിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കും.

ഇൻഡിപെൻഡൻ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ

റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ ആശ്രിതമോ അല്ലയോ ആകാം. ഒരു സൂചി ഒരു വിമാനത്തിലേക്ക് എറിയുന്നതും രണ്ട് അറ്റങ്ങളുടെയും കോർഡിനേറ്റുകൾ രേഖപ്പെടുത്തുന്നതും സങ്കൽപ്പിക്കുക. ഈ രണ്ട് കോർഡിനേറ്റുകളും ആശ്രിതമാണ്; അവ തമ്മിലുള്ള ദൂരം എല്ലായ്പ്പോഴും സൂചിയുടെ നീളത്തിന് തുല്യമാണ് എന്ന വ്യവസ്ഥയാൽ അവ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അവ ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകളാണെങ്കിലും.
ആദ്യത്തേതിൻ്റെ ഫലം രണ്ടാമത്തേതിൻ്റെ ഫലത്തിൽ നിന്ന് പൂർണ്ണമായും സ്വതന്ത്രമാണെങ്കിൽ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ സ്വതന്ത്രമായിരിക്കും. റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ സ്വതന്ത്രമാണെങ്കിൽ, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യം അവയുടെ ശരാശരി മൂല്യങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്:

തെളിവ്

ഉദാഹരണത്തിന്, നീലക്കണ്ണുകളുള്ളതും സ്വർണ്ണ മെഡലോടെ സ്കൂളിൽ നിന്ന് ബിരുദം നേടുന്നതും സ്വതന്ത്രമായ ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകളാണ്. നീലക്കണ്ണുകളാണെങ്കിൽ, സ്വർണ്ണമെഡൽ നേടിയവർ, പിന്നെ നീലക്കണ്ണുള്ള മെഡലുകൾ, ഈ ഉദാഹരണം നമ്മോട് പറയുന്നു, ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾ അവയുടെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റികളാൽ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ, ഈ മൂല്യങ്ങളുടെ സ്വാതന്ത്ര്യം പ്രകടമാകുന്നത് പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ( ആദ്യ മൂല്യം ഉപേക്ഷിച്ചു, രണ്ടാമത്തേത്) ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു:

ഇതിൽ നിന്ന് ഉടൻ തന്നെ ഇത് പിന്തുടരുന്നു:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, തുടർച്ചയായ മൂല്യങ്ങളുടെ സ്പെക്ട്രം ഉള്ളതും അവയുടെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി അനുസരിച്ച് വ്യക്തമാക്കുന്നതുമായ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്കായാണ് തെളിവ് നടത്തിയത്. മറ്റ് സന്ദർഭങ്ങളിൽ, തെളിവ് എന്ന ആശയം സമാനമാണ്.

പ്രശ്നത്തിൻ്റെ രൂപീകരണം

നമ്മൾ അളക്കുകയും ഫിൽട്ടർ ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്ന മൂല്യത്തെ സൂചിപ്പിക്കാം. ഇത് സ്ഥാനം, വേഗത, ത്വരണം, ഈർപ്പം, ദുർഗന്ധത്തിൻ്റെ അളവ്, താപനില, മർദ്ദം മുതലായവ ആകാം.
ഒരു ലളിതമായ ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം, അത് പൊതുവായ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ രൂപീകരണത്തിലേക്ക് നമ്മെ നയിക്കും. മുന്നോട്ടും പിന്നോട്ടും മാത്രം പോകാൻ കഴിയുന്ന ഒരു റേഡിയോ നിയന്ത്രിത കാർ നമുക്കുണ്ടെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക. കാറിൻ്റെ ഭാരം, ആകൃതി, റോഡ് ഉപരിതലം മുതലായവ അറിഞ്ഞുകൊണ്ട്, കൺട്രോൾ ജോയിസ്റ്റിക്ക് ചലന വേഗതയെ എങ്ങനെ ബാധിക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കി.

അപ്പോൾ കാറിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിയമം അനുസരിച്ച് മാറും:

യഥാർത്ഥ ജീവിതത്തിൽ, കാറിൽ (കാറ്റ്, കുമിളകൾ, റോഡിലെ കല്ലുകൾ) പ്രവർത്തിക്കുന്ന ചെറിയ അസ്വസ്ഥതകൾ ഞങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ കണക്കിലെടുക്കാനാവില്ല, അതിനാൽ കാറിൻ്റെ യഥാർത്ഥ വേഗത കണക്കാക്കിയതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. എഴുതിയ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്ത് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ ചേർക്കും:

കാറിൻ്റെ യഥാർത്ഥ കോർഡിനേറ്റ് അളക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്ന ഒരു GPS സെൻസർ ഞങ്ങൾ കാറിൽ ഇൻസ്റ്റാൾ ചെയ്തിട്ടുണ്ട്, തീർച്ചയായും, അത് കൃത്യമായി അളക്കാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ ഒരു പിശക് ഉപയോഗിച്ച് അത് അളക്കുന്നു, ഇത് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ കൂടിയാണ്. തൽഫലമായി, സെൻസറിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് തെറ്റായ ഡാറ്റ ലഭിക്കുന്നു:

തെറ്റായ സെൻസർ റീഡിംഗുകൾ അറിയുന്നതിലൂടെ, കാറിൻ്റെ യഥാർത്ഥ കോർഡിനേറ്റിനായി ഒരു നല്ല ഏകദേശം കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ചുമതല.
പൊതുവായ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ രൂപീകരണത്തിൽ, കോർഡിനേറ്റിന് (താപനില, ഈർപ്പം...) എന്തും ഉത്തരവാദിയാകാം, കൂടാതെ സിസ്റ്റത്തെ പുറത്ത് നിന്ന് നിയന്ത്രിക്കുന്നതിന് ഉത്തരവാദിത്തമുള്ള അംഗത്തെ ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കും (മെഷീൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ). കോർഡിനേറ്റുകൾക്കും സെൻസർ റീഡിംഗുകൾക്കുമുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

(1)

നമുക്കറിയാവുന്ന കാര്യങ്ങൾ വിശദമായി ചർച്ച ചെയ്യാം:

ഫിൽട്ടറിംഗ് ജോലി ഒരു സുഗമമായ ജോലിയല്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. സെൻസർ ഡാറ്റ സുഗമമാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കുന്നില്ല, യഥാർത്ഥ കോർഡിനേറ്റിൻ്റെ ഏറ്റവും അടുത്ത മൂല്യം നേടാനാണ് ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കുന്നത്.

കൽമാൻ അൽഗോരിതം

ഇൻഡക്ഷൻ വഴി ഞങ്ങൾ വാദിക്കും. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ കോർഡിനേറ്റിനെ നന്നായി കണക്കാക്കുന്ന സെൻസറിൽ നിന്ന് ഫിൽട്ടർ ചെയ്ത മൂല്യം ഞങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടെത്തിയതായി സങ്കൽപ്പിക്കുക. അജ്ഞാത കോർഡിനേറ്റിലെ മാറ്റത്തെ നിയന്ത്രിക്കുന്ന സമവാക്യം നമുക്കറിയാമെന്ന കാര്യം മറക്കരുത്:

അതിനാൽ, സെൻസറിൽ നിന്ന് ഇതുവരെ മൂല്യം ലഭിക്കാതെ, ഘട്ടത്തിൽ സിസ്റ്റം ഈ നിയമം അനുസരിച്ച് വികസിക്കുമെന്നും സെൻസർ അടുത്തുള്ള എന്തെങ്കിലും കാണിക്കുമെന്നും നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. നിർഭാഗ്യവശാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് ഇതുവരെ കൂടുതൽ കൃത്യമായി ഒന്നും പറയാൻ കഴിയില്ല. മറുവശത്ത്, ഘട്ടത്തിൽ നമ്മുടെ കൈകളിൽ കൃത്യമല്ലാത്ത സെൻസർ റീഡിംഗ് ഉണ്ടാകും.
കൽമാൻ്റെ ആശയം ഇപ്രകാരമാണ്. യഥാർത്ഥ കോർഡിനേറ്റിൻ്റെ ഏറ്റവും മികച്ച ഏകദേശം ലഭിക്കുന്നതിന്, കൃത്യമല്ലാത്ത സെൻസറിൻ്റെ വായനയ്ക്കും അത് കാണുമെന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രതീക്ഷിച്ചതിനെക്കുറിച്ചുള്ള നമ്മുടെ പ്രവചനത്തിനും ഇടയിലുള്ള ഒരു മധ്യനിര തിരഞ്ഞെടുക്കണം. സെൻസർ റീഡിംഗിന് ഞങ്ങൾ ഒരു ഭാരം നൽകും, പ്രവചിച്ച മൂല്യത്തിൽ ഒരു ഭാരം നിലനിൽക്കും:

ഗുണകത്തെ കൽമാൻ ഗുണകം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇത് ആവർത്തന ഘട്ടത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഇത് എഴുതുന്നത് കൂടുതൽ ശരിയാകും, എന്നാൽ ഇപ്പോൾ, കണക്കുകൂട്ടൽ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അലങ്കോലപ്പെടുത്താതിരിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ അതിൻ്റെ സൂചിക ഒഴിവാക്കും.
ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഒപ്റ്റിമൽ കോർഡിനേറ്റ് മൂല്യം യഥാർത്ഥ മൂല്യത്തോട് ഏറ്റവും അടുത്ത് വരുന്ന തരത്തിൽ നമ്മൾ കൽമാൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് തിരഞ്ഞെടുക്കണം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങളുടെ സെൻസർ വളരെ കൃത്യമാണെന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അതിൻ്റെ വായനയെ കൂടുതൽ വിശ്വസിക്കുകയും മൂല്യത്തിന് കൂടുതൽ ഭാരം നൽകുകയും ചെയ്യും (ഒന്നിനടുത്ത്). സെൻസർ, നേരെമറിച്ച്, കൃത്യമല്ലെങ്കിൽ, സൈദ്ധാന്തികമായി പ്രവചിച്ച മൂല്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കും.
പൊതുവേ, കൽമാൻ ഗുണകത്തിൻ്റെ കൃത്യമായ മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ പിശക് കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്:

പിശകിനുള്ള എക്സ്പ്രഷൻ മാറ്റിയെഴുതാൻ ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങൾ (1) (ഫ്രെയിമിലെ നീല പശ്ചാത്തലത്തിലുള്ളവ) ഉപയോഗിക്കുന്നു:

തെളിവ്

പിശക് കുറയ്ക്കുക എന്ന പ്രയോഗം എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് എന്ന് ചർച്ച ചെയ്യാനുള്ള സമയമാണിത്? എല്ലാത്തിനുമുപരി, പിശക്, നമ്മൾ കാണുന്നതുപോലെ, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളാണ്, ഓരോ തവണയും വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു. കുറഞ്ഞ പിശക് എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് എന്ന് നിർവചിക്കുന്നതിന് യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു-വലുപ്പ-ഫിറ്റ്-എല്ലാ സമീപനവുമില്ല. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വ്യാപനത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ, അതിൻ്റെ ചിതറിക്കിടക്കുന്നതിൻ്റെ സ്വഭാവ വീതി കണക്കാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിച്ചപ്പോൾ, ഇവിടെ ഞങ്ങൾ കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ മാനദണ്ഡം തിരഞ്ഞെടുക്കും. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പിശകിൻ്റെ ശരാശരി ഞങ്ങൾ ചെറുതാക്കും:

അവസാന പദപ്രയോഗം എഴുതാം:

തെളിവ്

പദപ്രയോഗത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ റാൻഡം വേരിയബിളുകളും സ്വതന്ത്രമാണ് എന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്ന്, എല്ലാ "ക്രോസ്" പദങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു:

വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ സൂത്രവാക്യം വളരെ ലളിതമായി കാണപ്പെടുന്നു എന്ന വസ്തുത ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചു: .

(ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുമ്പോൾ) ഈ പദപ്രയോഗം ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യം എടുക്കുന്നു:

സ്റ്റെപ്പ് ഇൻഡക്സിനൊപ്പം കൽമാൻ കോഫിഫിഷ്യൻസിനായി ഞങ്ങൾ ഇതിനകം ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ എഴുതുകയാണ്, അതുവഴി അത് ആവർത്തന ഘട്ടത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ ഊന്നിപ്പറയുന്നു.
തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഒപ്റ്റിമൽ മൂല്യം, ഞങ്ങൾ ചെറുതാക്കിയ, എന്നതിനുള്ള എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു;

ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു. കൽമാൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ആവർത്തന ഫോർമുല ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു.
നാം നേടിയ അറിവ് ഒരു ഫ്രെയിമിൽ സംഗ്രഹിക്കാം:

ഉദാഹരണം

മാറ്റ്ലാബ് കോഡ്

എല്ലാം മായ്ക്കുക; N=100% സാമ്പിളുകളുടെ എണ്ണം a=0.1% ആക്സിലറേഷൻ sigmaPsi=1 sigmaEta=50; k=1:N x=k x(1)=0 z(1)=x(1)+normrnd(0,sigmaEta); t=1-ന്:(N-1) x(t+1)=x(t)+a*t+normrnd(0,sigmaPsi); z(t+1)=x(t+1)+normrnd(0,sigmaEta); അവസാനിക്കുന്നു; %kalman ഫിൽട്ടർ xOpt(1)=z(1); eOpt(1)=sigmaEta; t=1-ന്:(N-1) eOpt(t+1)=sqrt((sigmaEta^2)*(eOpt(t)^2+sigmaPsi^2)/(sigmaEta^2+eOpt(t)^2+ sigmaPsi^2)) K(t+1)=(eOpt(t+1))^2/sigmaEta^2 xOpt(t+1)=(xOpt(t)+a*t)*(1-K(t) +1)+K(t+1)*z(t+1) അവസാനം; പ്ലോട്ട്(k,xOpt,k,z,k,x)

വിശകലനം

ആവർത്തന ഘട്ടങ്ങളിലൂടെ കൽമാൻ ഗുണകം എങ്ങനെ മാറുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയാണെങ്കിൽ, അത് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യത്തിലേക്ക് സ്ഥിരത കൈവരിക്കുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണിക്കാനാകും. ഉദാഹരണത്തിന്, സെൻസറിൻ്റെയും മോഡലിൻ്റെയും റൂട്ട് മീഡിയൻ സ്ക്വയർ പിശകുകൾക്ക് പത്ത് മുതൽ ഒന്ന് വരെ അനുപാതം ഉള്ളപ്പോൾ, ആവർത്തന ഘട്ടത്തെ ആശ്രയിച്ച് കൽമാൻ ഗുണകത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ, ഇത് എങ്ങനെ നമ്മുടെ ജീവിതത്തെ കൂടുതൽ എളുപ്പമാക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്യും.

രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണം

പ്രായോഗികമായി, നമ്മൾ ഫിൽട്ടർ ചെയ്യുന്നതിൻ്റെ ഭൗതിക മാതൃകയെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് ഒന്നുമറിയില്ല എന്നത് പലപ്പോഴും സംഭവിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങളുടെ പ്രിയപ്പെട്ട ആക്‌സിലറോമീറ്ററിൽ നിന്ന് റീഡിംഗുകൾ ഫിൽട്ടർ ചെയ്യാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. നിങ്ങൾ ആക്‌സിലറോമീറ്റർ തിരിക്കാൻ ഉദ്ദേശിക്കുന്ന നിയമം എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് മുൻകൂട്ടി അറിയില്ല. നിങ്ങൾക്ക് ശേഖരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഏറ്റവും കൂടുതൽ വിവരങ്ങൾ സെൻസർ പിശക് വേരിയൻസ് ആണ്. അത്തരമൊരു വിഷമകരമായ സാഹചര്യത്തിൽ, ചലന മാതൃകയെക്കുറിച്ചുള്ള എല്ലാ അജ്ഞതയും ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിലേക്ക് നയിക്കാനാകും:

പക്ഷേ, വ്യക്തമായി പറഞ്ഞാൽ, റാൻഡം വേരിയബിളിൽ ഞങ്ങൾ അടിച്ചേൽപ്പിച്ച വ്യവസ്ഥകൾ അത്തരമൊരു സംവിധാനം മേലിൽ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നില്ല, കാരണം ഇപ്പോൾ ചലനത്തിൻ്റെ അജ്ഞാതമായ എല്ലാ ഭൗതികശാസ്ത്രവും അവിടെ മറഞ്ഞിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ വ്യത്യസ്ത സമയങ്ങളിൽ മോഡൽ പിശകുകൾ സ്വതന്ത്രമാണെന്ന് പറയാൻ കഴിയില്ല. പരസ്പരം അവയുടെ ശരാശരി മൂല്യങ്ങൾ പൂജ്യമാണെന്നും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വലിയതോതിൽ, കൽമാൻ ഫിൽട്ടർ സിദ്ധാന്തം ബാധകമല്ല. പക്ഷേ, ഞങ്ങൾ ഈ വസ്തുത ശ്രദ്ധിക്കില്ല, പക്ഷേ ഫിൽട്ടർ ചെയ്‌ത ഡാറ്റ മനോഹരമായി കാണുന്നതിന്, സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ എല്ലാ ഭീമാകാരങ്ങളും മണ്ടത്തരമായി പ്രയോഗിക്കും, ഗുണകങ്ങൾ കണ്ണ് ഉപയോഗിച്ച് തിരഞ്ഞെടുക്കും. ഈ ഗുണകം എല്ലായ്പ്പോഴും സ്ഥിരമായി കണക്കാക്കാം, ഇത് മാത്രം തിരഞ്ഞെടുക്കുക. സ്ഥിരമായ. ഈ അനുമാനം ഏതാണ്ട് ഒന്നും നശിപ്പിക്കില്ല. ഒന്നാമതായി, ഞങ്ങൾ ഇതിനകം നിയമവിരുദ്ധമായി കൽമാൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നു, രണ്ടാമതായി, കൽമാൻ ഗുണകം വേഗത്തിൽ സ്ഥിരത കൈവരിക്കുന്നു. അവസാനം, എല്ലാം വളരെ ലളിതമായിരിക്കും. കൽമാൻ്റെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് സൂത്രവാക്യങ്ങളൊന്നും ആവശ്യമില്ല, ഞങ്ങൾക്ക് സ്വീകാര്യമായ ഒരു മൂല്യം തിരഞ്ഞെടുത്ത് അത് ആവർത്തന സൂത്രവാക്യത്തിലേക്ക് തിരുകേണ്ടതുണ്ട്:

ഇനിപ്പറയുന്ന ഗ്രാഫ് ഒരു സാങ്കൽപ്പിക സെൻസറിൽ നിന്ന് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ ഫിൽട്ടർ ചെയ്ത ഡാറ്റ കാണിക്കുന്നു. പ്രതിഭാസത്തിൻ്റെ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾക്ക് ഒന്നും അറിയില്ലെന്ന് നൽകിയിട്ടുണ്ട്. കൽമാൻ്റെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്നുള്ള എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളോടും കൂടിയ ആദ്യ രീതി സത്യസന്ധമാണ്. രണ്ടാമത്തേത് സൂത്രവാക്യങ്ങളില്ലാതെ ലളിതമാക്കിയിരിക്കുന്നു.

നമുക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, രീതികൾ ഏതാണ്ട് വ്യത്യസ്തമല്ല. കൽമാൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഇതുവരെ സ്ഥിരത കൈവരിച്ചിട്ടില്ലാത്ത തുടക്കത്തിൽ മാത്രമാണ് ചെറിയ വ്യത്യാസം കാണുന്നത്.

ചർച്ച

നമ്മൾ കണ്ടതുപോലെ, കൽമാൻ ഫിൽട്ടറിൻ്റെ പ്രധാന ആശയം അത്തരമൊരു ഗുണകം കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്, അതാകട്ടെ, സെൻസർ റീഡിംഗിൻ്റെ ലീനിയർ ഫംഗ്ഷനും മുമ്പത്തെ ഫിൽട്ടർ ചെയ്ത മൂല്യവും. ചങ്ങല പൂർണ്ണമായും തിരിയുന്നതുവരെ അങ്ങനെ. അതായത്, ഫിൽട്ടർ ചെയ്ത മൂല്യം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു എല്ലാവരുംമുൻ സെൻസർ റീഡിംഗുകൾ രേഖീയമായി:

അതിനാൽ, കൽമാൻ ഫിൽട്ടറിനെ ലീനിയർ ഫിൽട്ടർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
എല്ലാ ലീനിയർ ഫിൽട്ടറുകളിലും ഏറ്റവും മികച്ചത് കൽമാൻ ഫിൽട്ടറാണെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും. ഫിൽട്ടറിൻ്റെ ശരാശരി സ്ക്വയർ പിശക് കുറവാണ് എന്ന അർത്ഥത്തിൽ ഏറ്റവും മികച്ചത്.

മൾട്ടിഡൈമൻഷണൽ കേസ്

കൽമാൻ ഫിൽട്ടറിൻ്റെ മുഴുവൻ സിദ്ധാന്തവും മൾട്ടിഡൈമൻഷണൽ കേസിലേക്ക് സാമാന്യവൽക്കരിക്കാൻ കഴിയും. അവിടെയുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അൽപ്പം ഭയാനകമായി കാണപ്പെടുന്നു, പക്ഷേ അവ ഉരുത്തിരിഞ്ഞ ആശയം ഏകമാന കേസിൽ സമാനമാണ്. ഈ അത്ഭുതകരമായ ലേഖനത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് അവ കാണാൻ കഴിയും: http://habrahabr.ru/post/140274/.
ഈ അത്ഭുതത്തിൽ വീഡിയോഅവ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്നതിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നൽകിയിരിക്കുന്നു.