എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കണമെന്ന് പഠിക്കാൻ ഈ മാനുവൽ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും മെട്രിക്സുകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ: മെട്രിക്സുകളുടെ സങ്കലനം (കുറക്കൽ), ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ സ്ഥാനമാറ്റം, മെട്രിക്സുകളുടെ ഗുണനം, വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തൽ. എല്ലാ മെറ്റീരിയലുകളും ലളിതവും ആക്സസ് ചെയ്യാവുന്നതുമായ രൂപത്തിലാണ് അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നത്, പ്രസക്തമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ തയ്യാറല്ലാത്ത ഒരാൾക്ക് പോലും മെട്രിക്സുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തനങ്ങൾ എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ കഴിയും. സ്വയം നിരീക്ഷണത്തിനും സ്വയം പരിശോധനയ്ക്കും, നിങ്ങൾക്ക് സൗജന്യമായി ഒരു മാട്രിക്സ് കാൽക്കുലേറ്റർ >>> ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യാം.

സൈദ്ധാന്തിക കണക്കുകൂട്ടലുകൾ കുറയ്ക്കാൻ ഞാൻ ശ്രമിക്കും; ചില സ്ഥലങ്ങളിൽ "വിരലുകളിൽ" വിശദീകരണങ്ങളും ശാസ്ത്രീയമല്ലാത്ത പദങ്ങളുടെ ഉപയോഗവും സാധ്യമാണ്. ഉറച്ച സിദ്ധാന്തത്തെ സ്നേഹിക്കുന്നവരേ, ദയവായി വിമർശനങ്ങളിൽ ഏർപ്പെടരുത്, ഞങ്ങളുടെ ചുമതല മെട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താൻ പഠിക്കുക.

വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സൂപ്പർ ഫാസ്റ്റ് തയ്യാറെടുപ്പിനായി (ആരാണ് "തീയിൽ") ഒരു തീവ്രമായ പിഡിഎഫ് കോഴ്‌സ് ഉണ്ട് മാട്രിക്സ്, ഡിറ്റർമിനന്റ്, ടെസ്റ്റ്!

ചിലതിന്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പട്ടികയാണ് മാട്രിക്സ് ഘടകങ്ങൾ. പോലെ ഘടകങ്ങൾഞങ്ങൾ സംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കും, അതായത് സംഖ്യാ മാട്രിക്സ്. എലമെന്റ്ഒരു പദമാണ്. ഈ പദം ഓർമ്മിക്കുന്നത് ഉചിതമാണ്, ഇത് പലപ്പോഴും ദൃശ്യമാകും, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യാൻ ഞാൻ ബോൾഡ് ഫോണ്ട് ഉപയോഗിച്ചത് യാദൃശ്ചികമല്ല.

പദവി:മെട്രിക്സുകളെ സാധാരണയായി വലിയ ലാറ്റിൻ അക്ഷരങ്ങളിൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു

ഉദാഹരണം:രണ്ട്-മൂന്ന് മാട്രിക്സ് പരിഗണിക്കുക:

ഈ മാട്രിക്സിൽ ആറ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു ഘടകങ്ങൾ:

മാട്രിക്സിനുള്ളിലെ എല്ലാ സംഖ്യകളും (മൂലകങ്ങൾ) സ്വന്തമായി നിലവിലുണ്ട്, അതായത്, കുറയ്ക്കലിനെക്കുറിച്ച് ഒരു ചോദ്യവുമില്ല:

ഇത് അക്കങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക (സെറ്റ്) മാത്രമാണ്!

ഞങ്ങളും സമ്മതിക്കും പുനഃക്രമീകരിക്കരുത്സംഖ്യകൾ, വിശദീകരണങ്ങളിൽ മറ്റുവിധത്തിൽ പറഞ്ഞിട്ടില്ലെങ്കിൽ. ഓരോ നമ്പറിനും അതിന്റേതായ ലൊക്കേഷൻ ഉണ്ട്, അത് ഷഫിൾ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല!

സംശയാസ്‌പദമായ മാട്രിക്‌സിന് രണ്ട് വരികളുണ്ട്:

കൂടാതെ മൂന്ന് നിരകളും:

സ്റ്റാൻഡേർഡ്: മാട്രിക്സ് വലുപ്പങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുമ്പോൾ, പിന്നെ ആദ്യംവരികളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുക, അതിനുശേഷം മാത്രം നിരകളുടെ എണ്ണം. ഞങ്ങൾ രണ്ട്-മൂന്ന് മാട്രിക്സ് തകർത്തു.

ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ വരികളുടെയും നിരകളുടെയും എണ്ണം തുല്യമാണെങ്കിൽ, മാട്രിക്സ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു സമചതുരം Samachathuram, ഉദാഹരണത്തിന്: - ഒരു ത്രീ-ബൈ-ത്രീ മാട്രിക്സ്.

ഒരു മാട്രിക്സിന് ഒരു നിരയോ ഒരു വരിയോ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അത്തരം മെട്രിക്സുകളും വിളിക്കപ്പെടുന്നു വെക്റ്ററുകൾ.

വാസ്‌തവത്തിൽ, സ്‌കൂൾ മുതൽ മാട്രിക്‌സ് എന്ന ആശയം ഞങ്ങൾക്കറിയാം; ഉദാഹരണത്തിന്, “x”, “y” എന്നീ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള ഒരു പോയിന്റ് പരിഗണിക്കുക: . അടിസ്ഥാനപരമായി, ഒരു പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വൺ-ബൈ-ടു-മാട്രിക്സിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു. വഴിയിൽ, അക്കങ്ങളുടെ ക്രമം എന്തുകൊണ്ട് പ്രാധാന്യമർഹിക്കുന്നു എന്നതിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ: കൂടാതെ വിമാനത്തിലെ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത പോയിന്റുകളും.

ഇനി നമുക്ക് പഠനത്തിലേക്ക് കടക്കാം മെട്രിക്സുകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ:

1) ആക്റ്റ് ഒന്ന്. മാട്രിക്സിൽ നിന്ന് ഒരു മൈനസ് നീക്കംചെയ്യുന്നു (മാട്രിക്സിൽ ഒരു മൈനസ് അവതരിപ്പിക്കുന്നു).

നമുക്ക് നമ്മുടെ മാട്രിക്സിലേക്ക് മടങ്ങാം . നിങ്ങൾ ഒരുപക്ഷേ ശ്രദ്ധിച്ചതുപോലെ, ഈ മാട്രിക്സിൽ വളരെയധികം നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾ ഉണ്ട്. മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് വിവിധ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നതിന്റെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് ഇത് വളരെ അസൗകര്യമാണ്, വളരെയധികം മൈനസുകൾ എഴുതുന്നത് അസൗകര്യമാണ്, മാത്രമല്ല ഇത് രൂപകൽപ്പനയിൽ വൃത്തികെട്ടതായി തോന്നുന്നു.

മെട്രിക്സിന്റെ ഓരോ മൂലകത്തിന്റെയും അടയാളം മാറ്റി മൈനസ് മെട്രിക്സിന് പുറത്തേക്ക് നീക്കാം:

പൂജ്യത്തിൽ, നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നതുപോലെ, അടയാളം മാറില്ല; ആഫ്രിക്കയിലും പൂജ്യം പൂജ്യമാണ്.

വിപരീത ഉദാഹരണം: . വൃത്തികെട്ടതായി തോന്നുന്നു.

മാട്രിക്സിന്റെ ഓരോ മൂലകത്തിന്റെയും അടയാളം മാറ്റി മാട്രിക്സിൽ ഒരു മൈനസ് അവതരിപ്പിക്കാം:

ശരി, അത് വളരെ മനോഹരമായി മാറി. കൂടാതെ, ഏറ്റവും പ്രധാനമായി, മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് എന്തെങ്കിലും പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നത് എളുപ്പമായിരിക്കും. അത്തരമൊരു ഗണിതശാസ്ത്ര നാടോടി ചിഹ്നം ഉള്ളതിനാൽ: കൂടുതൽ മൈനസുകൾ, കൂടുതൽ ആശയക്കുഴപ്പങ്ങളും പിശകുകളും.

2) ആക്റ്റ് രണ്ട്. ഒരു മാട്രിക്സിനെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

ഉദാഹരണം:

ഇത് ലളിതമാണ്, ഒരു മാട്രിക്സിനെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ് ഓരോന്നുംഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച മാട്രിക്സ് ഘടകം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ - മൂന്ന്.

മറ്റൊരു ഉപയോഗപ്രദമായ ഉദാഹരണം:

- ഒരു മാട്രിക്സിനെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു

ആദ്യം എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടതെന്ന് നോക്കാം ആവശ്യമില്ല:

മാട്രിക്സിലേക്ക് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ നൽകേണ്ട ആവശ്യമില്ല; ഒന്നാമതായി, ഇത് മാട്രിക്സുമായി തുടർ പ്രവർത്തനങ്ങളെ സങ്കീർണ്ണമാക്കുന്നു, രണ്ടാമതായി, പരിഹാരം പരിശോധിക്കുന്നത് അധ്യാപകനെ ബുദ്ധിമുട്ടാക്കുന്നു (പ്രത്യേകിച്ച് എങ്കിൽ - ചുമതലയുടെ അവസാന ഉത്തരം).

പ്രത്യേകിച്ച്, ആവശ്യമില്ലമാട്രിക്സിന്റെ ഓരോ മൂലകത്തെയും മൈനസ് ഏഴ് കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:

ലേഖനത്തിൽ നിന്ന് ഡമ്മികൾക്കുള്ള ഗണിതം അല്ലെങ്കിൽ എവിടെ തുടങ്ങണം, ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ സാധ്യമായ എല്ലാ വഴികളിലും കോമകളുള്ള ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കാൻ അവർ ശ്രമിക്കുന്നതായി ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു.

ഒരേയൊരു കാര്യം അഭികാമ്യംഈ ഉദാഹരണത്തിൽ ചെയ്യേണ്ടത് മാട്രിക്സിൽ ഒരു മൈനസ് ചേർക്കുക എന്നതാണ്:

എന്നാൽ എങ്കിൽ മാത്രം എല്ലാംമാട്രിക്സ് മൂലകങ്ങളെ 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്നു ഒരു തുമ്പും ഇല്ലാതെ, അപ്പോൾ വിഭജനം സാധ്യമാകും (ആവശ്യമാണ്!).

ഉദാഹരണം:

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും വേണംഎല്ലാ മാട്രിക്സ് സംഖ്യകളും 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതിനാൽ എല്ലാ മാട്രിക്സ് ഘടകങ്ങളും കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക ഒരു തുമ്പും ഇല്ലാതെ.

ശ്രദ്ധിക്കുക: ഹയർ സ്കൂൾ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ "ഡിവിഷൻ" എന്ന ആശയം ഇല്ല. "ഇതിനെ അത് കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു" എന്ന് പറയുന്നതിന് പകരം "ഇത് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചിരിക്കുന്നു" എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എപ്പോഴും പറയാം. അതായത്, വിഭജനം ഗുണനത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക സന്ദർഭമാണ്.

3) ആക്റ്റ് മൂന്ന്. മാട്രിക്സ് ട്രാൻസ്പോസ്.

ഒരു മാട്രിക്‌സ് ട്രാൻസ്‌പോസ് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അതിന്റെ വരികൾ ട്രാൻസ്‌പോസ് ചെയ്‌ത മാട്രിക്‌സിന്റെ നിരകളിലേക്ക് എഴുതേണ്ടതുണ്ട്.

ഉദാഹരണം:

ട്രാൻസ്പോസ് മാട്രിക്സ്

ഇവിടെ ഒരു വരി മാത്രമേയുള്ളൂ, ചട്ടം അനുസരിച്ച്, അത് ഒരു നിരയിൽ എഴുതേണ്ടതുണ്ട്:

- ട്രാൻസ്പോസ്ഡ് മാട്രിക്സ്.

ഒരു ട്രാൻസ്പോസ്ഡ് മാട്രിക്സ് സാധാരണയായി മുകളിൽ വലതുവശത്തുള്ള ഒരു സൂപ്പർസ്ക്രിപ്റ്റ് അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പ്രൈം ആണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള ഉദാഹരണം:

ട്രാൻസ്പോസ് മാട്രിക്സ്

ആദ്യം നമ്മൾ ആദ്യ വരി ആദ്യ നിരയിലേക്ക് മാറ്റിയെഴുതുന്നു:

തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ വരി രണ്ടാമത്തെ നിരയിലേക്ക് മാറ്റിയെഴുതുന്നു:

അവസാനമായി, ഞങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ വരി മൂന്നാം നിരയിലേക്ക് മാറ്റിയെഴുതുന്നു:

തയ്യാറാണ്. ഏകദേശം പറഞ്ഞാൽ, ട്രാൻസ്പോസിംഗ് എന്നാൽ മാട്രിക്സ് അതിന്റെ വശത്തേക്ക് തിരിക്കുക എന്നാണ്.

4) നിയമം നാല്. മെട്രിക്സുകളുടെ ആകെത്തുക (വ്യത്യാസം)..

മെട്രിക്സുകളുടെ ആകെത്തുക ഒരു ലളിതമായ പ്രവർത്തനമാണ്.
എല്ലാ മെട്രിസുകളും മടക്കാൻ കഴിയില്ല. മെട്രിക്സുകളുടെ സങ്കലനം (കുറയ്ക്കൽ) നടത്തുന്നതിന്, അവ ഒരേ വലുപ്പമായിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, ടു-ബൈ-ടു-മാട്രിക്സ് നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അത് ടു-ബൈ-ടു-മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് മാത്രമേ ചേർക്കാൻ കഴിയൂ, മറ്റൊന്നുമല്ല!

ഉദാഹരണം:

മെട്രിക്സ് ചേർക്കുക ഒപ്പം

മെട്രിക്സുകൾ ചേർക്കുന്നതിന്, അവയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ നിങ്ങൾ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്:

മെട്രിക്സുകളുടെ വ്യത്യാസത്തിന്, നിയമം സമാനമാണ്, അനുബന്ധ ഘടകങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം:

മാട്രിക്സ് വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുക ,

ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകാതിരിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ ഈ ഉദാഹരണം കൂടുതൽ എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാനാകും? അനാവശ്യമായ മൈനസുകൾ ഒഴിവാക്കുന്നതാണ് ഉചിതം; ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, മാട്രിക്സിൽ ഒരു മൈനസ് ചേർക്കുക:

ശ്രദ്ധിക്കുക: ഹയർ സ്കൂൾ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ "വ്യവകലനം" എന്ന ആശയം ഇല്ല. "ഇതിൽ നിന്ന് ഇത് കുറയ്ക്കുക" എന്ന് പറയുന്നതിന് പകരം "ഇതിലേക്ക് ഒരു നെഗറ്റീവ് നമ്പർ ചേർക്കുക" എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എപ്പോഴും പറയാം. അതായത്, കുറയ്ക്കൽ എന്നത് സങ്കലനത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക സന്ദർഭമാണ്.

5) ആക്റ്റ് അഞ്ച്. മാട്രിക്സ് ഗുണനം.

എന്ത് മെട്രിക്സുകൾ ഗുണിക്കാം?

ഒരു മാട്രിക്സ് ഒരു മെട്രിക്സ് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്, അത് ആവശ്യമാണ് അതിനാൽ മാട്രിക്സ് നിരകളുടെ എണ്ണം മാട്രിക്സ് വരികളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം:
ഒരു മാട്രിക്സിനെ ഒരു മാട്രിക്സ് കൊണ്ട് ഗുണിക്കാൻ കഴിയുമോ?

ഇതിനർത്ഥം മാട്രിക്സ് ഡാറ്റ ഗുണിക്കാമെന്നാണ്.

എന്നാൽ മെട്രിക്സുകൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഗുണനം ഇനി സാധ്യമല്ല!

അതിനാൽ, ഗുണനം സാധ്യമല്ല:

ഒരു തന്ത്രം ഉപയോഗിച്ച് ടാസ്‌ക്കുകൾ നേരിടുന്നത് അത്ര അപൂർവമല്ല, മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കാൻ വിദ്യാർത്ഥിയോട് ആവശ്യപ്പെടുമ്പോൾ, അതിന്റെ ഗുണനം വ്യക്തമായും അസാധ്യമാണ്.

ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ രണ്ട് വഴികളിലൂടെയും മെട്രിക്സുകളെ ഗുണിക്കാൻ കഴിയുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്.
ഉദാഹരണത്തിന്, മെട്രിക്സുകൾക്ക്, ഗുണനവും ഗുണനവും സാധ്യമാണ്

ഈ വിഷയം മെട്രിക്സുകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുക, ഒരു മാട്രിക്സിനെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, ഒരു മെട്രിക്സിനെ ഒരു മെട്രിക്സ് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, ഒരു മാട്രിക്സ് ട്രാൻസ്പോസ് ചെയ്യുക തുടങ്ങിയ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഈ പേജിൽ ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്ന എല്ലാ ചിഹ്നങ്ങളും മുമ്പത്തെ വിഷയത്തിൽ നിന്ന് എടുത്തതാണ്.

മെട്രിക്സുകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും.

$A_(m\times n)=(a_(ij))$, $B_(m\times n)=(b_(ij))$ എന്നീ മെട്രിക്സുകളുടെ $A+B$ തുകയെ മാട്രിക്സ് $C_(m) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. \times n) =(c_(ij))$, ഇവിടെ $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ എല്ലാ $i=\overline(1,m)$, $j=\overline( 1,n) $.

മെട്രിക്സുകളുടെ വ്യത്യാസത്തിന് സമാനമായ ഒരു നിർവചനം അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു:

$A-B$ മാട്രിക്സ് $A_(m\times n)=(a_(ij))$, $B_(m\times n)=(b_(ij))$ എന്നിവ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം $C_(m\times ആണ്. n)=( c_(ij))$, ഇവിടെ $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ എല്ലാത്തിനും $i=\overline(1,m)$, $j=\overline(1, n)$.

എൻട്രിയുടെ വിശദീകരണം $i=\overline(1,m)$: show\hide

"$i=\overline(1,m)$" എന്ന നൊട്ടേഷൻ അർത്ഥമാക്കുന്നത് $i$ പരാമീറ്റർ 1 മുതൽ m വരെ വ്യത്യാസപ്പെടുന്നു എന്നാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, $i=\overline(1,5)$ എന്ന നൊട്ടേഷൻ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് $i$ എന്ന പരാമീറ്റർ 1, 2, 3, 4, 5 മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു എന്നാണ്.

സങ്കലന, വ്യവകലന പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഒരേ വലുപ്പത്തിലുള്ള മെട്രിക്സുകൾക്ക് മാത്രമേ നിർവചിച്ചിട്ടുള്ളൂ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. പൊതുവേ, മെട്രിക്സുകളുടെ സങ്കലനവും കുറയ്ക്കലും അവബോധപൂർവ്വം വ്യക്തമാകുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്, കാരണം അവ പ്രധാനമായും അർത്ഥമാക്കുന്നത് അനുബന്ധ ഘടകങ്ങളുടെ സംഗ്രഹമോ കുറയ്ക്കലോ മാത്രമാണ്.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 1

മൂന്ന് മെട്രിക്സുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

$A+F$ എന്ന മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമോ? $C=A+B$, $D=A-B$ എന്നിവയാണെങ്കിൽ $C$, $D$ എന്നീ മെട്രിക്‌സുകൾ കണ്ടെത്തുക.

മാട്രിക്സ് $A$-ൽ 2 വരികളും 3 കോളങ്ങളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു (മറ്റൊരു രീതിയിൽ പറഞ്ഞാൽ, $A$ മാട്രിക്സിന്റെ വലുപ്പം $2\times 3$ ആണ്), കൂടാതെ $F$-ൽ 2 വരികളും 2 കോളങ്ങളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. $A$, $F$ എന്നീ മെട്രിക്സുകളുടെ വലുപ്പങ്ങൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല, അതിനാൽ ഞങ്ങൾക്ക് അവ ചേർക്കാൻ കഴിയില്ല, അതായത്. ഈ മെട്രിക്സുകൾക്ക് $A+F$ പ്രവർത്തനം നിർവചിച്ചിട്ടില്ല.

$A$, $B$ എന്നീ മെട്രിക്‌സുകളുടെ വലുപ്പങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതായത്. മാട്രിക്സ് ഡാറ്റയിൽ തുല്യ എണ്ണം വരികളും നിരകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ പ്രവർത്തനം അവയ്ക്ക് ബാധകമാണ്.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \ end(array) \ right)= \ഇടത്(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \ end(array) \right) $$

നമുക്ക് $D=A-B$ എന്ന മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്താം:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \ end(array) \ right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \ അവസാനം(അറേ) \വലത്) $$

ഉത്തരം: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \ end(array) \right)$.

ഒരു മാട്രിക്സിനെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

$\alpha$ എന്ന സംഖ്യകൊണ്ട് $A_(m\times n)=(a_(ij))$ എന്ന മാട്രിക്സിന്റെ ഗുണനം $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ആണ്, ഇവിടെ $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ എല്ലാത്തിനും $i=\overline(1,m)$, $j=\overline(1,n)$.

ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു മാട്രിക്സിനെ ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം നൽകിയിരിക്കുന്ന മാട്രിക്സിന്റെ ഓരോ മൂലകത്തെയും ആ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക എന്നാണ്.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 2

മാട്രിക്സ് നൽകിയിരിക്കുന്നു: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. $3\cdot A$, $-5\cdot A$, $-A$ എന്നീ മെട്രിക്‌സുകൾ കണ്ടെത്തുക.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( array) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (അറേ) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end(array) \ right) =\ left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$

$-A$ എന്നത് $-1\cdot A$ എന്നതിന്റെ ചുരുക്കെഴുത്താണ്. അതായത്, $-A$ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങൾ $A$ മാട്രിക്സിന്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും (-1) കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അടിസ്ഥാനപരമായി, $A$ മാട്രിക്സിന്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളുടെയും അടയാളം വിപരീതമായി മാറും എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ ഇടത് (\ആരംഭിക്കുക(അറേ) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(അറേ) \ വലത്) $$

ഉത്തരം: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

രണ്ട് മെട്രിക്സുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം.

ഈ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ നിർവചനം ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതും ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ അവ്യക്തവുമാണ്. അതിനാൽ, ആദ്യം ഞാൻ ഒരു പൊതു നിർവചനം സൂചിപ്പിക്കും, തുടർന്ന് അതിന്റെ അർത്ഥമെന്താണെന്നും അത് എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കാമെന്നും ഞങ്ങൾ വിശദമായി വിശകലനം ചെയ്യും.

മാട്രിക്സ് $A_(m\times n)=(a_(ij))$ എന്ന മാട്രിക്സിന്റെ ഗുണനഫലം $B_(n\times k)=(b_(ij))$ ആണ് $C_(m\times k )=(c_(ij))$, ഇതിനായി ഓരോ മൂലകവും $c_(ij)$, മാട്രിക്സിന്റെ i-th വരിയുടെ i-th വരിയുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ് j ന്റെ മൂലകങ്ങൾ $B$ എന്ന മാട്രിക്സിന്റെ -മത്തെ കോളം: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ഘട്ടം ഘട്ടമായി മെട്രിക്സ് ഗുണനം നോക്കാം. എന്നിരുന്നാലും, എല്ലാ മെട്രിക്സുകളും വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് നിങ്ങൾ ഉടനടി ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. നമുക്ക് $A$ മാട്രിക്സ് $B$ കൊണ്ട് ഗുണിക്കണമെങ്കിൽ, $A$ എന്ന മാട്രിക്സിന്റെ നിരകളുടെ എണ്ണം $B$ എന്ന മാട്രിക്സിന്റെ വരികളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ആദ്യം ഉറപ്പാക്കേണ്ടതുണ്ട് (അത്തരം മെട്രിക്സുകളെ പലപ്പോഴും വിളിക്കാറുണ്ട്. സമ്മതിച്ചു). ഉദാഹരണത്തിന്, മാട്രിക്സ് $A_(5\times 4)$ (മാട്രിക്സിൽ 5 വരികളും 4 നിരകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു) എന്ന മാട്രിക്സ് $F_(9\times 8)$ (9 വരികളും 8 നിരകളും) കൊണ്ട് ഗുണിക്കാൻ കഴിയില്ല. $A $ എന്ന മാട്രിക്സിന്റെ നിരകളുടെ എണ്ണം $F$ എന്ന മാട്രിക്സിന്റെ വരികളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമല്ല, അതായത്. $4\neq 9$. എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് $A_(5\തവണ 4)$ മാട്രിക്സ് $B_(4\times 9)$ കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം, കാരണം $A$ മാട്രിക്സിന്റെ നിരകളുടെ എണ്ണം $ മെട്രിക്സിന്റെ വരികളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. B$. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, $A_(5\times 4)$, $B_(4\times 9)$ എന്നിവ ഗുണിച്ചതിന്റെ ഫലം 5 വരികളും 9 കോളങ്ങളും അടങ്ങുന്ന $C_(5\times 9)$ മാട്രിക്സ് ആയിരിക്കും:

ഉദാഹരണം നമ്പർ 3

നൽകിയിരിക്കുന്ന മെട്രിസുകൾ: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ end (ശ്രേണി) \ വലത് $. $C=A\cdot B$ എന്ന മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുക.

ആദ്യം, നമുക്ക് $C$ മാട്രിക്സിന്റെ വലുപ്പം ഉടനടി നിർണ്ണയിക്കാം. മാട്രിക്‌സ് $A$ ന് $3\ മടങ്ങ് 4$ വലുപ്പവും $B$ എന്ന മാട്രിക്‌സിന് $4\ മടങ്ങ് 2$ വലിപ്പവും ഉള്ളതിനാൽ, $C$ മാട്രിക്‌സിന്റെ വലുപ്പം: $3\ മടങ്ങ് 2$:

അതിനാൽ, $A$, $B$ എന്നീ മെട്രിക്സുകളുടെ ഗുണനഫലമായി, മൂന്ന് വരികളും രണ്ട് നിരകളും അടങ്ങുന്ന ഒരു മാട്രിക്സ് $C$ നമുക്ക് ലഭിക്കും: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. മൂലകങ്ങളുടെ പദവി ചോദ്യങ്ങൾ ഉന്നയിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് മുമ്പത്തെ വിഷയം നോക്കാം: "മാട്രിക്സ്. മെട്രിക്സുകളുടെ തരങ്ങൾ. അടിസ്ഥാന നിബന്ധനകൾ", അതിന്റെ തുടക്കത്തിൽ മാട്രിക്സ് ഘടകങ്ങളുടെ പദവി വിശദീകരിക്കുന്നു. ഞങ്ങളുടെ ലക്ഷ്യം: $C$ മാട്രിക്സിന്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളുടെയും മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.

$c_(11)$ എന്ന മൂലകത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം. $c_(11)$ എന്ന മൂലകം ലഭിക്കുന്നതിന്, $A$ എന്ന മാട്രിക്സിന്റെ ആദ്യ വരിയുടെയും $B$ എന്ന മാട്രിക്സിന്റെ ആദ്യ നിരയുടെയും മൂലകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്:

$c_(11)$ എന്ന ഘടകം തന്നെ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, $A$ എന്ന മാട്രിക്സിന്റെ ആദ്യ വരിയിലെ ഘടകങ്ങളെ $B$ എന്ന മാട്രിക്സിന്റെ ആദ്യ നിരയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങളാൽ ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്. ആദ്യ ഘടകം ആദ്യത്തേത്, രണ്ടാമത്തേത് രണ്ടാമത്തേത്, മൂന്നാമത്തേത് മൂന്നാമത്തേത്, നാലാമത്തേത് മുതൽ നാലാമത്തേത് വരെ. ലഭിച്ച ഫലങ്ങൾ ഞങ്ങൾ സംഗ്രഹിക്കുന്നു:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

നമുക്ക് പരിഹാരം തുടരാം, $c_(12)$ കണ്ടെത്താം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ $A$ മാട്രിക്സിന്റെ ആദ്യ വരിയുടെയും $B$ എന്ന മാട്രിക്സിന്റെ രണ്ടാമത്തെ നിരയുടെയും ഘടകങ്ങൾ ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

മുമ്പത്തേതിന് സമാനമായി, ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

$C$ മാട്രിക്സിന്റെ ആദ്യ വരിയിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും കണ്ടെത്തി. $c_(21)$ എന്ന മൂലകത്തിൽ തുടങ്ങുന്ന രണ്ടാമത്തെ വരിയിലേക്ക് നമുക്ക് പോകാം. അത് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, $A$ മാട്രിക്സിന്റെ രണ്ടാമത്തെ നിരയുടെയും $B$ എന്ന മാട്രിക്സിന്റെ ആദ്യ നിരയുടെയും ഘടകങ്ങൾ നിങ്ങൾ ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

$A$ മാട്രിക്സിന്റെ രണ്ടാമത്തെ വരിയിലെ മൂലകങ്ങളെ $B$ എന്ന മാട്രിക്സിന്റെ രണ്ടാമത്തെ നിരയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങളാൽ ഗുണിച്ച് ഞങ്ങൾ അടുത്ത ഘടകം $c_(22)$ കണ്ടെത്തുന്നു:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

$c_(31)$ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, $A$ മാട്രിക്സിന്റെ മൂന്നാം നിരയിലെ ഘടകങ്ങളെ $B$ എന്ന മാട്രിക്സിന്റെ ആദ്യ നിരയിലെ മൂലകങ്ങൾ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

അവസാനമായി, $c_(32)$ എന്ന മൂലകം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, $A$ മാട്രിക്സിന്റെ മൂന്നാം നിരയിലെ ഘടകങ്ങളെ $B$ എന്ന മാട്രിക്സിന്റെ രണ്ടാമത്തെ നിരയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

$C$ എന്ന മാട്രിക്സിന്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും കണ്ടെത്തി, $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end എന്ന് എഴുതുക മാത്രമാണ് ബാക്കിയുള്ളത് അറേ) \വലത്)$ . അല്ലെങ്കിൽ, പൂർണ്ണമായി എഴുതാൻ:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \ right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

ഉത്തരം: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

വഴിയിൽ, ഫല മാട്രിക്സിന്റെ ഓരോ ഘടകത്തിന്റെയും സ്ഥാനം വിശദമായി വിവരിക്കാൻ പലപ്പോഴും കാരണമില്ല. വലിപ്പം കുറവുള്ള മെട്രിക്സുകൾക്ക്, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും:

മാട്രിക്സ് ഗുണനം കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് അല്ല എന്നതും ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. ഇതിനർത്ഥം പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ $A\cdot B\neq B\cdot A$ എന്നാണ്. വിളിക്കപ്പെടുന്ന ചില തരം മെട്രിക്സുകൾക്ക് മാത്രം ക്രമാനുഗതമായ(അല്ലെങ്കിൽ യാത്ര ചെയ്യൽ), തുല്യത $A\cdot B=B\cdot A$ ശരിയാണ്. ഗുണനത്തിന്റെ നോൺ-കമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റിയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ്, ഒരു പ്രത്യേക മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് എക്സ്പ്രഷൻ എങ്ങനെ ഗുണിക്കുന്നുവെന്ന് കൃത്യമായി സൂചിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്: വലത് അല്ലെങ്കിൽ ഇടത്. ഉദാഹരണത്തിന്, "സമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും $3E-F=Y$ വലത് വശത്തുള്ള $A$ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക" എന്ന വാചകം അർത്ഥമാക്കുന്നത് നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യത ലഭിക്കണമെന്നാണ്: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

$A_(m\times n)=(a_(ij))$ എന്ന മാട്രിക്സുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് മാറ്റുന്നത് $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$ ആണ്, $a_(ij)^(T)=a_(ji)$ എന്ന മൂലകങ്ങൾക്ക്.

ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു ട്രാൻസ്പോസ്ഡ് മാട്രിക്സ് $A^T$ ലഭിക്കുന്നതിന്, ഈ തത്വമനുസരിച്ച് നിങ്ങൾ യഥാർത്ഥ മാട്രിക്സ് $A$ ലെ നിരകൾ അനുബന്ധ വരികൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്: ഒരു ആദ്യ വരി ഉണ്ടായിരുന്നു - ഒരു ആദ്യ നിര ഉണ്ടാകും ; രണ്ടാമത്തെ വരി ഉണ്ടായിരുന്നു - രണ്ടാമത്തെ നിര ഉണ്ടാകും; മൂന്നാമത്തെ വരി ഉണ്ടായിരുന്നു - ഒരു മൂന്നാം നിരയും മറ്റും ഉണ്ടാകും. ഉദാഹരണത്തിന്, $A_(3\times 5)$ എന്ന മാട്രിക്സിലേക്ക് ട്രാൻസ്പോസ് ചെയ്ത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്താം:

അതനുസരിച്ച്, യഥാർത്ഥ മെട്രിക്സിന് $3\ മടങ്ങ് 5$ വലുപ്പമുണ്ടെങ്കിൽ, ട്രാൻസ്പോസ് ചെയ്ത മാട്രിക്സിന് $5\ മടങ്ങ് 3$ ആണ്.

മെട്രിക്സുകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ചില സവിശേഷതകൾ.

ഇവിടെ $\alpha$, $\beta$ എന്നിവ ചില സംഖ്യകളാണെന്നും $A$, $B$, $C$ എന്നിവ മെട്രിക്സുകളാണെന്നും അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു. ആദ്യത്തെ നാല് പ്രോപ്പർട്ടികൾക്കായി ഞാൻ പേരുകൾ സൂചിപ്പിച്ചു; ബാക്കിയുള്ളവയ്ക്ക് ആദ്യത്തെ നാലിന്റെ സാമ്യം ഉപയോഗിച്ച് പേര് നൽകാം.

1. $A+B=B+A$ (സങ്കലനത്തിന്റെ കമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റി)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (സങ്കലനം)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (സംഖ്യകളുടെ സങ്കലനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒരു മാട്രിക്സ് കൊണ്ട് ഗുണനത്തിന്റെ വിതരണം)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (മാട്രിക്സ് സങ്കലനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്റെ വിതരണം)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, ഇവിടെ $E$ എന്നത് അനുബന്ധ ഓർഡറിന്റെ ഐഡന്റിറ്റി മാട്രിക്‌സ് ആണ്.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, ഇവിടെ $O$ എന്നത് ഉചിതമായ വലിപ്പത്തിന്റെ പൂജ്യം മാട്രിക്‌സ് ആണ്.
10. $\ഇടത്(A^T \right)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

അടുത്ത ഭാഗത്ത്, ഒരു മാട്രിക്സ് നെഗറ്റീവല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യ പവറിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനം ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും, കൂടാതെ മെട്രിക്സുകളിൽ നിരവധി പ്രവർത്തനങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടതിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഹരിക്കുക.

അതിനാൽ, മുൻ പാഠത്തിൽ ഞങ്ങൾ മെട്രിക്സുകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള നിയമങ്ങൾ പരിശോധിച്ചു. മിക്ക വിദ്യാർത്ഥികളും അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ ബാറ്റിൽ നിന്ന് തന്നെ മനസ്സിലാക്കുന്ന ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങളാണിവ.

എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ നേരത്തെ സന്തോഷിക്കുന്നു. സൗജന്യം അവസാനിച്ചു - നമുക്ക് ഗുണനത്തിലേക്ക് പോകാം. ഞാൻ ഉടൻ തന്നെ നിങ്ങൾക്ക് മുന്നറിയിപ്പ് നൽകും: രണ്ട് മെട്രിക്സുകളെ ഗുണിക്കുന്നത് നിങ്ങൾ വിചാരിക്കുന്നതുപോലെ, ഒരേ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള സെല്ലുകളിലെ സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുകയല്ല. ഇവിടെ എല്ലാം കൂടുതൽ രസകരമാണ്. ഞങ്ങൾ പ്രാഥമിക നിർവചനങ്ങളിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

പൊരുത്തപ്പെടുന്ന മെട്രിക്‌സുകൾ

മാട്രിക്സിന്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട സവിശേഷതകളിലൊന്ന് അതിന്റെ വലുപ്പമാണ്. ഞങ്ങൾ ഇതിനകം നൂറ് തവണ ഇതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിച്ചു: $A=\left[ m\times n \right]$ എന്ന് എഴുതുന്നത് മാട്രിക്സിൽ കൃത്യമായി $m$ വരികളും $n$ കോളങ്ങളും ഉണ്ടെന്നാണ്. നിരകളെ എങ്ങനെ നിരകളുമായി ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുതെന്നും ഞങ്ങൾ ഇതിനകം ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. ഇപ്പോൾ മറ്റൊരു കാര്യം പ്രധാനമാണ്.

നിർവ്വചനം. $A=\left[ m\times n \right]$, $B=\left[ n\times k \right]$ എന്നീ ഫോമിന്റെ മെട്രിക്‌സ്, അതിൽ ആദ്യ മെട്രിക്‌സിലെ നിരകളുടെ എണ്ണം വരികളുടെ എണ്ണവുമായി യോജിക്കുന്നു രണ്ടാമത്തേതിൽ, സ്ഥിരത എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരിക്കൽ കൂടി: ആദ്യ മാട്രിക്സിലെ നിരകളുടെ എണ്ണം രണ്ടാമത്തേതിലെ വരികളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്! ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ഒരേസമയം രണ്ട് നിഗമനങ്ങൾ ലഭിക്കും:

1. മെട്രിക്സുകളുടെ ക്രമം ഞങ്ങൾക്ക് പ്രധാനമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, $A=\left[ 3\times 2 \right]$, $B=\left[ 2\times 5 \right]$ എന്നിവ സ്ഥിരതയുള്ളതാണ് (ആദ്യ മെട്രിക്സിലെ 2 നിരകളും രണ്ടാമത്തേതിൽ 2 വരികളും) , എന്നാൽ തിരിച്ചും — മെട്രിക്സുകൾ $B=\left[ 2\times 5 \right]$, $A=\left[ 3\times 2 \right]$ ഇനി സ്ഥിരതയുള്ളതല്ല (ആദ്യ മെട്രിക്സിലെ 5 നിരകൾ 3 വരികളല്ല രണ്ടാമത്തേതിൽ).
2. എല്ലാ അളവുകളും ഒന്നിനുപുറകെ ഒന്നായി എഴുതുന്നതിലൂടെ സ്ഥിരത എളുപ്പത്തിൽ പരിശോധിക്കാം. മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ നിന്നുള്ള ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച്: "3 2 2 5" - മധ്യത്തിൽ സമാനമായ സംഖ്യകൾ ഉണ്ട്, അതിനാൽ മെട്രിക്സുകൾ സ്ഥിരതയുള്ളതാണ്. എന്നാൽ മധ്യത്തിൽ വ്യത്യസ്ത സംഖ്യകൾ ഉള്ളതിനാൽ "2 5 3 2" സ്ഥിരതയുള്ളതല്ല.

കൂടാതെ, $\left[ n\times n \right]$ ഒരേ വലിപ്പത്തിലുള്ള ചതുര മെട്രിക്‌സുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും സ്ഥിരതയുള്ളതാണെന്ന് ക്യാപ്റ്റൻ ഒബ്വിയസ്‌നെസ് സൂചന നൽകുന്നതായി തോന്നുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ഒബ്‌ജക്‌റ്റുകൾ ലിസ്റ്റുചെയ്യുന്നതിന്റെ ക്രമം പ്രധാനമാകുമ്പോൾ (ഉദാഹരണത്തിന്, മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത നിർവചനത്തിൽ, മെട്രിക്‌സിന്റെ ക്രമം പ്രധാനമാണ്), ഞങ്ങൾ പലപ്പോഴും ഓർഡർ ജോഡികളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ അവരെ വീണ്ടും സ്കൂളിൽ കണ്ടുമുട്ടി: $\left(1;0 \right)$, $\left(0;1 \right)$ എന്നീ കോർഡിനേറ്റുകൾ വിമാനത്തിലെ വ്യത്യസ്‌ത പോയിന്റുകൾ നിർവചിക്കുന്നത് ബുദ്ധിശൂന്യമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു.

അതിനാൽ: കോർഡിനേറ്റുകളും അക്കങ്ങൾ കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ച ജോഡികളാണ്. എന്നാൽ മെട്രിക്സിൽ നിന്ന് അത്തരമൊരു ജോടി ഉണ്ടാക്കുന്നതിൽ നിന്ന് ഒന്നും നിങ്ങളെ തടയുന്നില്ല. തുടർന്ന് നമുക്ക് ഇങ്ങനെ പറയാൻ കഴിയും: "ആദ്യ മെട്രിക്സിലെ നിരകളുടെ എണ്ണം രണ്ടാമത്തേതിലെ വരികളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ $\left(A;B \right)$ ക്രമപ്പെടുത്തിയ ഒരു ജോടി മെട്രിക്സ് സ്ഥിരമായിരിക്കും."

ശരി, അപ്പോൾ എന്താണ്?

ഗുണനത്തിന്റെ നിർവ്വചനം

രണ്ട് സ്ഥിരതയുള്ള മെട്രിക്സുകൾ പരിഗണിക്കുക: $A=\left[ m\times n \right]$, $B=\left[ n\times k \right]$. അവർക്കുള്ള ഗുണന പ്രവർത്തനം ഞങ്ങൾ നിർവ്വചിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം. $A=\left[ m\times n \right]$, $B=\left[ n\times k \right]$ എന്നീ രണ്ട് പൊരുത്തപ്പെടുന്ന മെട്രിക്സുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം പുതിയ മാട്രിക്സ് $C=\left[ m\times k \ ആണ് വലത്] $, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടുന്ന ഘടകങ്ങൾ:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\പരിധി_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

അത്തരമൊരു ഉൽപ്പന്നം സ്റ്റാൻഡേർഡ് രീതിയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു: $C=A\cdot B$.

ഈ നിർവചനം ആദ്യമായി കാണുന്നവർക്ക് ഉടൻ തന്നെ രണ്ട് ചോദ്യങ്ങളുണ്ട്:

1. ഇത് എന്ത് തരം ക്രൂരമായ കളിയാണ്?
2. എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇത് ഇത്ര ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളത്?

ശരി, ആദ്യം കാര്യങ്ങൾ ആദ്യം. ആദ്യത്തെ ചോദ്യത്തിൽ നിന്ന് തുടങ്ങാം. ഈ സൂചികകളെല്ലാം എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? യഥാർത്ഥ മെട്രിക്സുകളിൽ പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ എങ്ങനെ തെറ്റുകൾ വരുത്തരുത്?

ഒന്നാമതായി, $((c)_(i;j))$ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള നീണ്ട ലൈൻ (ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകാതിരിക്കാൻ സൂചികകൾക്കിടയിൽ ഞാൻ പ്രത്യേകമായി ഒരു അർദ്ധവിരാമം ഇടുന്നു, പക്ഷേ അവ ഉൾപ്പെടുത്തേണ്ട ആവശ്യമില്ല. പൊതുവായത് - നിർവചനത്തിലെ ഫോർമുല ടൈപ്പുചെയ്യുന്നതിൽ ഞാൻ മടുത്തു) യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു ലളിതമായ നിയമത്തിലേക്ക് വരുന്നു:

1. ആദ്യ മെട്രിക്സിലെ $i$th വരി എടുക്കുക;
2. രണ്ടാമത്തെ മാട്രിക്സിലെ $j$th കോളം എടുക്കുക;
3. നമുക്ക് സംഖ്യകളുടെ രണ്ട് ശ്രേണികൾ ലഭിക്കും. ഈ സീക്വൻസുകളുടെ ഘടകങ്ങളെ ഞങ്ങൾ ഒരേ സംഖ്യകളാൽ ഗുണിക്കുക, തുടർന്ന് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ചേർക്കുക.

ഈ പ്രക്രിയ ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ എളുപ്പമാണ്:

രണ്ട് മെട്രിക്സുകളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള സ്കീം

ഒരിക്കൽ കൂടി: ഞങ്ങൾ ആദ്യ മെട്രിക്സിൽ വരി $i$, രണ്ടാമത്തെ മെട്രിക്സിൽ $j$ കോളം ശരിയാക്കുക, അതേ സംഖ്യകളുള്ള ഘടകങ്ങൾ ഗുണിക്കുക, തുടർന്ന് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ചേർക്കുക - ഞങ്ങൾക്ക് $((c)_(ij))$ ലഭിക്കും . അങ്ങനെ എല്ലാ $1\le i\le m$, $1\le j\le k$ എന്നിവയ്ക്കും. ആ. മൊത്തത്തിൽ അത്തരം "വികൃതികളുടെ" $m\ തവണ k$ ഉണ്ടാകും.

വാസ്തവത്തിൽ, സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിയിൽ മാട്രിക്സ് ഗുണനം ഞങ്ങൾ ഇതിനകം നേരിട്ടിട്ടുണ്ട്, വളരെ കുറഞ്ഞ രൂപത്തിൽ മാത്രം. വെക്റ്ററുകൾ നൽകട്ടെ:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \ right); \\ & \overrightarrow(b)=\ഇടത്(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \ ​​right). \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അപ്പോൾ അവയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കൃത്യമായി ജോഡിവൈസ് ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ആയിരിക്കും:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

അടിസ്ഥാനപരമായി, മരങ്ങൾ പച്ചയും ആകാശം തെളിച്ചവുമുള്ളപ്പോൾ, ഞങ്ങൾ വരി വെക്റ്റർ $\overrightarrow(a)$ നിര വെക്റ്റർ $\overrightarrow(b)$ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു.

ഇന്ന് ഒന്നും മാറിയിട്ടില്ല. ഇപ്പോൾ ഈ വരി, നിര വെക്‌ടറുകൾ കൂടുതലായി ഉണ്ടെന്ന് മാത്രം.

എന്നാൽ മതിയായ സിദ്ധാന്തം! നമുക്ക് യഥാർത്ഥ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം. നമുക്ക് ഏറ്റവും ലളിതമായ കേസിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം - ചതുര മെട്രിക്സ്.

സ്ക്വയർ മാട്രിക്സ് ഗുണനം

ടാസ്ക് 1. ഗുണനം ചെയ്യുക:

\[\ഇടത്[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ end(array) \right]\]

പരിഹാരം. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് മെട്രിക്സുകളുണ്ട്: $A=\left[ 2\times 2 \right]$, $B=\left[ 2\time 2 \right]$. അവ സ്ഥിരതയുള്ളതാണെന്ന് വ്യക്തമാണ് (ഒരേ വലിപ്പത്തിലുള്ള സ്ക്വയർ മെട്രിക്സുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും സ്ഥിരതയുള്ളതാണ്). അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഗുണനം നടത്തുന്നു:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ end(array) \right]\cdot \left[ \ തുടക്കം(അറേ)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ end(array) \right]=\ഇടത്[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\ end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ അവസാനം(അറേ)\വലത്]. \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അത്രയേയുള്ളൂ!

ഉത്തരം: $\ഇടത്[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ end(array) \right]$.

ടാസ്ക് 2. ഗുണനം ചെയ്യുക:

\[\ഇടത്[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\ end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\ end(array) \right]\]

പരിഹാരം. വീണ്ടും, സ്ഥിരമായ മെട്രിക്സുകൾ, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ ചെയ്യുന്നു:\[\]

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\ end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( ) r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\ end(array) \ right]=\ left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ ഇടത്(-3 \വലത്) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \right) \\\ end(array) \right]= \\ & =\ left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\ end(matrix) \right ] . \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഫലം പൂജ്യങ്ങൾ നിറഞ്ഞ ഒരു മാട്രിക്സ് ആണ്

ഉത്തരം: $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\ end(matrix) \right]$.

മുകളിലെ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന് മാട്രിക്സ് ഗുണനം അത്ര സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനമല്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്. കുറഞ്ഞത് 2 ബൈ 2 സ്ക്വയർ മെട്രിക്സുകളെങ്കിലും.

കണക്കുകൂട്ടൽ പ്രക്രിയയിൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു ഇന്റർമീഡിയറ്റ് മാട്രിക്സ് സമാഹരിച്ചു, അവിടെ ഒരു പ്രത്യേക സെല്ലിൽ ഏതൊക്കെ നമ്പറുകളാണ് ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നതെന്ന് ഞങ്ങൾ നേരിട്ട് വിവരിച്ചു. യഥാർത്ഥ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഇത് കൃത്യമായി ചെയ്യണം.

മാട്രിക്സ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

ചുരുക്കത്തിൽ. മാട്രിക്സ് ഗുണനം:

1. നോൺ-കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ്: പൊതു കേസിൽ $A\cdot B\ne B\cdot A$. തീർച്ചയായും, തുല്യത $A\cdot B=B\cdot A$ (ഉദാഹരണത്തിന്, $B=E$ ഐഡന്റിറ്റി മെട്രിക്‌സ് ആണെങ്കിൽ) പ്രത്യേക മെട്രിക്‌സുകൾ ഉണ്ട്, എന്നാൽ മിക്ക കേസുകളിലും ഇത് പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ല ;
2. അനുബന്ധമായി: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. ഇവിടെ ഓപ്‌ഷനുകളൊന്നുമില്ല: ഈ രണ്ട് മെട്രിക്‌സുകളുടെ ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും എന്താണെന്നതിനെക്കുറിച്ച് വിഷമിക്കാതെ അടുത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കാം.
3. വിതരണപരമായി: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$, $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ കമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റി ഇല്ലാത്തതിനാൽ, വലത്, ഇടത് ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടിവിറ്റി വെവ്വേറെ വ്യക്തമാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഇപ്പോൾ - എല്ലാം ഒന്നുതന്നെയാണ്, പക്ഷേ കൂടുതൽ വിശദമായി.

മാട്രിക്സ് ഗുണനം പല തരത്തിൽ ക്ലാസിക്കൽ സംഖ്യ ഗുണനത്തിന് സമാനമാണ്. എന്നാൽ വ്യത്യാസങ്ങളുണ്ട്, അവയിൽ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടത് മാട്രിക്സ് ഗുണനം, പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് അല്ല.

പ്രശ്നം 1-ൽ നിന്നുള്ള മെട്രിക്സുകളിലേക്ക് വീണ്ടും നോക്കാം. അവയുടെ നേരിട്ടുള്ള ഉൽപ്പന്നം ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാം:

\[\ഇടത്[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ end(array) \ right]=\ left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ end(array) \right]\]

എന്നാൽ ഞങ്ങൾ മെട്രിക്സുകൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്താൽ, നമുക്ക് തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ ഫലം ലഭിക്കും:

\[\ഇടത്[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ end(array) \right]=\left[ \begin(matrix) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\ end(matrix )\വലത്]\]

$A\cdot B\ne B\cdot A$ എന്ന് ഇത് മാറുന്നു. കൂടാതെ, ഗുണന പ്രവർത്തനം $A=\left[ m\times n \right]$, $B=\left[ n\times k \right]$ എന്നിവയ്ക്ക് മാത്രമേ നിർവചിച്ചിട്ടുള്ളൂ, എന്നാൽ അവയ്ക്ക് ആരും ഉറപ്പുനൽകിയിട്ടില്ല. അവ മാറുകയാണെങ്കിൽ സ്ഥിരത നിലനിൽക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, $\left[ 2\times 3 \right]$, $\left[ 3\times 5 \right]$ എന്നിവ നിർദ്ദിഷ്ട ക്രമത്തിൽ തികച്ചും സ്ഥിരതയുള്ളവയാണ്, എന്നാൽ അതേ മെട്രിക്സുകൾ $\left[ 3\times 5 \right] $, $\left[ 2\time 3 \right]$ വിപരീത ക്രമത്തിൽ എഴുതിയത് ഇനി സ്ഥിരതയുള്ളതല്ല. ദുഃഖകരമായ.:(

തന്നിരിക്കുന്ന വലുപ്പമുള്ള $n$ ന്റെ സ്ക്വയർ മെട്രിക്സുകളിൽ നേരിട്ടും വിപരീത ക്രമത്തിലും ഗുണിക്കുമ്പോൾ ഒരേ ഫലം നൽകുന്നവ എപ്പോഴും ഉണ്ടായിരിക്കും. അത്തരം എല്ലാ മെട്രിക്സുകളെയും എങ്ങനെ വിവരിക്കാം (പൊതുവായി എത്രയുണ്ട്) ഒരു പ്രത്യേക പാഠത്തിനുള്ള ഒരു വിഷയമാണ്. ഇന്ന് നമ്മൾ അതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കില്ല. :)

എന്നിരുന്നാലും, മാട്രിക്സ് ഗുണനം അനുബന്ധമാണ്:

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

അതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വരിയിൽ നിരവധി മെട്രിക്സുകൾ ഒരേസമയം ഗുണിക്കേണ്ടിവരുമ്പോൾ, അത് ഉടനടി ചെയ്യേണ്ട ആവശ്യമില്ല: അടുത്തുള്ള ചില മെട്രിക്സുകൾ ഗുണിക്കുമ്പോൾ രസകരമായ ഒരു ഫലം നൽകാൻ സാധ്യതയുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത പ്രശ്നം 2 ലെ പോലെ ഒരു സീറോ മാട്രിക്സ്.

യഥാർത്ഥ പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ, മിക്കപ്പോഴും നമ്മൾ $\ഇടത്[ n\times n \right]$ വലുപ്പമുള്ള ചതുര മെട്രിക്സുകൾ ഗുണിക്കണം. അത്തരത്തിലുള്ള എല്ലാ മെട്രിക്സുകളുടെയും ഗണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് $((M)^(n))$ ആണ് ഐഡന്റിറ്റി മാട്രിക്സ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന $E$ മാട്രിക്സ് നിർബന്ധമായും അടങ്ങിയിരിക്കണം.

നിർവ്വചനം. $n$ വലുപ്പമുള്ള ഒരു ഐഡന്റിറ്റി മെട്രിക്സ് $E$ ആണ്, അതായത് ഏത് ചതുര മാട്രിക്സിനും $A=\ഇടത്[ n\times n \right]$ തുല്യത നിലനിർത്തുന്നു:

അത്തരമൊരു മാട്രിക്സ് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: അതിന്റെ പ്രധാന ഡയഗണലിലും മറ്റെല്ലാ സെല്ലുകളിലും പൂജ്യങ്ങളുണ്ട്.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു മാട്രിക്സ് മറ്റ് രണ്ടിന്റെ ആകെത്തുക കൊണ്ട് ഗുണിക്കണമെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഈ "മറ്റ് രണ്ടെണ്ണം" കൊണ്ട് അതിനെ ഗുണിച്ച് ഫലങ്ങൾ ചേർക്കാം. പ്രായോഗികമായി, ഞങ്ങൾ സാധാരണയായി വിപരീത പ്രവർത്തനം നടത്തേണ്ടതുണ്ട്: ഞങ്ങൾ ഒരേ മാട്രിക്സ് ശ്രദ്ധിക്കുകയും ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുകയും കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും അതുവഴി നമ്മുടെ ജീവിതം ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. :)

കുറിപ്പ്: ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടിവിറ്റി വിവരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എഴുതേണ്ടതുണ്ട്: തുക എവിടെയാണ് രണ്ടാമത്തെ ഘടകത്തിലും തുക ആദ്യത്തേതിലും. മാട്രിക്സ് ഗുണനം കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് അല്ലാത്തതിനാലാണ് ഇത് സംഭവിക്കുന്നത് (പൊതുവേ, നോൺ-കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് ബീജഗണിതത്തിൽ സാധാരണ സംഖ്യകളിൽ പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ പോലും മനസ്സിൽ വരാത്ത ധാരാളം രസകരമായ കാര്യങ്ങളുണ്ട്). ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഒരു പരീക്ഷയിൽ എഴുതേണ്ടതുണ്ടെങ്കിൽ, രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങളും എഴുതുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക, അല്ലാത്തപക്ഷം അധ്യാപകന് അൽപ്പം ദേഷ്യം വന്നേക്കാം.

ശരി, ഇവയെല്ലാം ചതുര മെട്രിക്സിനെക്കുറിച്ചുള്ള യക്ഷിക്കഥകളായിരുന്നു. ചതുരാകൃതിയിലുള്ളവയുടെ കാര്യമോ?

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള മെട്രിക്സുകളുടെ കേസ്

എന്നാൽ ഒന്നുമില്ല - എല്ലാം ചതുരാകൃതിയിലുള്ളതു പോലെ തന്നെ.

ടാസ്ക് 3. ഗുണനം ചെയ്യുക:

\[\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\ end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\\ end(matrix) \ \\ end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\ end(array) \right]\]

പരിഹാരം. ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് മെട്രിക്സുകളുണ്ട്: $A=\left[ 3\times 2 \right]$, $B=\left[ 2\time 2 \right]$. ഒരു വരിയിലെ വലുപ്പങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്ന അക്കങ്ങൾ നമുക്ക് എഴുതാം:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, കേന്ദ്ര രണ്ട് സംഖ്യകൾ യോജിക്കുന്നു. മെട്രിക്‌സുകൾ സ്ഥിരതയുള്ളതും ഗുണിക്കാവുന്നതുമാണ് എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. മാത്രമല്ല, ഔട്ട്പുട്ടിൽ നമുക്ക് $C=\left[ 3\times 2 \right]$: എന്ന മാട്രിക്സ് ലഭിക്കും.

\[\ആരംഭിക്കുക(അലൈൻ) & \ഇടത്[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\ end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matrix) \\\ end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\ end(array) \right]=\ഇടത്[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\ end(array) \right]= \\ & =\ left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\ അവസാനം (അറേ) \ വലത്]. \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

എല്ലാം വ്യക്തമാണ്: അന്തിമ മാട്രിക്സിൽ 3 വരികളും 2 നിരകളും ഉണ്ട്. വളരെ $=\ഇടത്[ 3\ തവണ 2 \ വലത്]$.

ഉത്തരം: $\ഇടത്[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\ end(array) & \begin(matrix) 41 \\ 30 \\ 19 \\\ end(matrix) \\\ end(array) \right]$.

ഇപ്പോൾ മെട്രിക്സുമായി പ്രവർത്തിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നവർക്കുള്ള ഏറ്റവും മികച്ച പരിശീലന ജോലികളിലൊന്ന് നോക്കാം. അതിൽ നിങ്ങൾ കുറച്ച് രണ്ട് ഗുളികകൾ ഗുണിക്കേണ്ടതില്ല, ആദ്യം നിർണ്ണയിക്കുക: അത്തരം ഗുണനം അനുവദനീയമാണോ?

പ്രശ്നം 4. മെട്രിക്സുകളുടെ സാധ്യമായ എല്ലാ ജോഡിവൈസ് ഉൽപ്പന്നങ്ങളും കണ്ടെത്തുക:

\\]; $B=\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\ end(matrix) & \begin(matrix) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\ end(matrix) \\\ end(matrix) \right]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\ end(matrix) \right]$.

പരിഹാരം. ആദ്യം, നമുക്ക് മെട്രിക്സുകളുടെ വലുപ്പങ്ങൾ എഴുതാം:

\;\ B=\left[ 4\times 2 \right];\ C=\left[ 2\times 2 \right]\]

$A$ ന്റെ നിരകളുടെ എണ്ണം 4 ആയതിനാൽ $A$ എന്ന മാട്രിക്സ് $B$ എന്ന മാട്രിക്സുമായി മാത്രമേ പൊരുത്തപ്പെടുത്താൻ കഴിയൂ എന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി, കൂടാതെ $B$ ന് മാത്രമേ ഈ വരികൾ ഉള്ളൂ. അതിനാൽ, നമുക്ക് ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്താം:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\ end(array) \right]=\ ഇടത്[ \begin(array)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\ end(array) \right]\]

വായനക്കാരന് ഇന്റർമീഡിയറ്റ് ഘട്ടങ്ങൾ സ്വതന്ത്രമായി പൂർത്തിയാക്കാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. ഏതെങ്കിലും കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് മുമ്പുതന്നെ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സിന്റെ വലുപ്പം മുൻകൂട്ടി നിർണ്ണയിക്കുന്നതാണ് നല്ലതെന്ന് ഞാൻ ശ്രദ്ധിക്കും:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, മെട്രിക്സുകളുടെ സ്ഥിരത ഉറപ്പാക്കുന്ന "ട്രാൻസിറ്റ്" ഗുണകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നീക്കംചെയ്യുന്നു.

മറ്റ് എന്ത് ഓപ്ഷനുകൾ സാധ്യമാണ്? തീർച്ചയായും, ഒരാൾക്ക് $B\cdot A$ കണ്ടെത്താനാകും, കാരണം $B=\left[ 4\time 2 \right]$, $A=\left[ 2\time 4 \right]$, അങ്ങനെ ഓർഡർ ചെയ്ത ജോഡി $\ ഇടത്(ബി ;എ \വലത്)$ സ്ഥിരതയുള്ളതാണ്, ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ അളവ് ഇതായിരിക്കും:

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

ചുരുക്കത്തിൽ, ഔട്ട്പുട്ട് ഒരു മെട്രിക്സ് ആയിരിക്കും $\left[ 4\times 4 \right]$, ഇതിന്റെ ഗുണകങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കാം:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\ end(array) \right]=\ ഇടത്[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\ end(array) \right]\]

വ്യക്തമായും, നിങ്ങൾക്ക് $C\cdot A$, $B\cdot C$ എന്നിവയും അംഗീകരിക്കാം - അത്രമാത്രം. അതിനാൽ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ലളിതമായി എഴുതുന്നു:

അത് എളുപ്പമായിരുന്നു.:)

ഉത്തരം: $AB=\ഇടത്[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\ end(array) \right]$; $BA=\ഇടത്[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\ അവസാനം (അറേ) \ വലത്]$; $CA=\ഇടത്[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\ end(array) \right]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\ end(array) \right]$.

പൊതുവേ, ഈ ജോലി സ്വയം ചെയ്യാൻ ഞാൻ വളരെ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. ഗൃഹപാഠത്തിലുള്ള സമാനമായ മറ്റൊരു ജോലിയും. ഈ ലളിതമായ ചിന്തകൾ മാട്രിക്സ് ഗുണനത്തിന്റെ എല്ലാ പ്രധാന ഘട്ടങ്ങളും പരിശീലിക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.

എന്നാൽ കഥ അവിടെ അവസാനിക്കുന്നില്ല. ഗുണനത്തിന്റെ പ്രത്യേക സാഹചര്യങ്ങളിലേക്ക് പോകാം. :)

വരി വെക്റ്ററുകളും നിര വെക്റ്ററുകളും

ഒരു വരിയോ ഒരു നിരയോ ഉള്ള ഒരു മാട്രിക്സ് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക എന്നതാണ് ഏറ്റവും സാധാരണമായ മാട്രിക്സ് പ്രവർത്തനങ്ങളിലൊന്ന്.

നിർവ്വചനം. കോളം വെക്റ്റർ എന്നത് $\left[ m\times 1 \right]$ വലുപ്പമുള്ള ഒരു മാട്രിക്സാണ്, അതായത്. നിരവധി വരികളും ഒരു കോളവും മാത്രം അടങ്ങുന്ന.

ഒരു വരി വെക്റ്റർ എന്നത് $\left[ 1\times n \right]$ വലുപ്പമുള്ള ഒരു മാട്രിക്സാണ്, അതായത്. ഒരു വരിയും നിരവധി നിരകളും അടങ്ങുന്നു.

വാസ്തവത്തിൽ, ഈ വസ്തുക്കൾ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം നേരിട്ടിട്ടുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, സ്റ്റീരിയോമെട്രിയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു സാധാരണ ത്രിമാന വെക്റ്റർ $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ എന്നത് ഒരു വരി വെക്‌ടറല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല. സൈദ്ധാന്തിക കാഴ്ചപ്പാടിൽ, വരികളും നിരകളും തമ്മിൽ ഏതാണ്ട് വ്യത്യാസമില്ല. ചുറ്റുമുള്ള മൾട്ടിപ്ലയർ മെട്രിക്സുകളുമായി ഏകോപിപ്പിക്കുമ്പോൾ മാത്രം നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ടാസ്ക് 5. ഗുണനം ചെയ്യുക:

\[\ഇടത്[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\ end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\ end(array) \right]\]

പരിഹാരം. പൊരുത്തപ്പെടുന്ന മെട്രിക്സുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം ഇവിടെയുണ്ട്: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. നമുക്ക് ഈ കഷണം കണ്ടെത്താം:

\[\ഇടത്[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\ end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\ end(array) \right]=\ left[ \begin(array)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\ end(array) \right]\]

ഉത്തരം: $\ഇടത്[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\ end(array) \right]$.

ടാസ്ക് 6. ഗുണനം ചെയ്യുക:

\[\ഇടത്[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\ end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\ end(array) \right]\]

പരിഹാരം. വീണ്ടും എല്ലാം സമ്മതിച്ചു: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. ഞങ്ങൾ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കുന്നു:

\[\ഇടത്[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\ end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\ end(array) \right]=\ഇടത്[ \begin(array)(*(35)( ) r))5 & -19 & 5 \\\ end(array) \right]\]

ഉത്തരം: $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\ end(matrix) \right]$.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഞങ്ങൾ ഒരു വരി വെക്‌റ്ററും കോളം വെക്‌ടറും ഒരു സ്‌ക്വയർ മാട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ഔട്ട്‌പുട്ട് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരേ വലുപ്പത്തിലുള്ള ഒരു നിരയോ നിരയോ ഉണ്ടാക്കുന്നു. ഈ വസ്തുതയ്ക്ക് നിരവധി പ്രയോഗങ്ങളുണ്ട് - ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് മുതൽ എല്ലാത്തരം കോർഡിനേറ്റ് പരിവർത്തനങ്ങൾ വരെ (അത് ആത്യന്തികമായി സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങളിലേക്കും വരുന്നു, പക്ഷേ സങ്കടകരമായ കാര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കരുത്).

എല്ലാം ഇവിടെ വ്യക്തമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. ഇന്നത്തെ പാഠത്തിന്റെ അവസാന ഭാഗത്തേക്ക് പോകാം.

മാട്രിക്സ് എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ

എല്ലാ ഗുണന പ്രവർത്തനങ്ങളിലും, എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ അർഹിക്കുന്നു - നമ്മൾ ഒരേ വസ്തുവിനെ തന്നെ പല തവണ ഗുണിക്കുമ്പോഴാണ്. മെട്രിക്സുകൾ ഒരു അപവാദമല്ല; അവ വിവിധ ശക്തികളിലേക്ക് ഉയർത്താനും കഴിയും.

അത്തരം പ്രവൃത്തികൾ എല്ലായ്പ്പോഴും അംഗീകരിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

അവ സാധാരണ ഡിഗ്രികൾക്ക് സമാനമായി നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, എല്ലാം ലളിതമാണ്. പ്രായോഗികമായി ഇത് എങ്ങനെയായിരിക്കുമെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം:

ടാസ്ക് 7. സൂചിപ്പിച്ച പവറിലേക്ക് മാട്രിക്സ് ഉയർത്തുക:

$((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right])^(3))$

പരിഹാരം. ശരി, നമുക്ക് നിർമ്മിക്കാം. ആദ്യം നമുക്ക് ഇത് സമചതുരമാക്കാം:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right])^(2))=\ left[ \begin(matrix ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right]= \\ & =\ഇടത്[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\ end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\അവസാനം(അറേ) \വലത്] \അവസാനം(അലൈൻ)\]

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right])^(3))=(\left[ \begin (മാട്രിക്സ്) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \ right])^(3))\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end( മാട്രിക്സ്) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\ end(array) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right]= \\ & =\ left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ end(array) \right] \end(align)\]

അത്രയേയുള്ളൂ.:)

ഉത്തരം: $\ഇടത്[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

പ്രശ്നം 8. സൂചിപ്പിച്ച ശക്തിയിലേക്ക് മാട്രിക്സ് ഉയർത്തുക:

\[((\ഇടത്[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \ right])^(10))\]

പരിഹാരം. "ബിരുദം വളരെ വലുതാണ്," "ലോകം ന്യായമല്ല", "അധ്യാപകർക്ക് അവരുടെ തീരം പൂർണ്ണമായും നഷ്ടപ്പെട്ടു" എന്ന വസ്തുതയെക്കുറിച്ച് ഇപ്പോൾ കരയരുത്. ഇത് യഥാർത്ഥത്തിൽ എളുപ്പമാണ്:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right])^(10))=((\left[ \begin) (മാട്രിക്സ്) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \ right])^(3))\cdot ((\ഇടത്[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right]= \\ & =\ left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right ] \right)= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right] \end(align)\ ]

രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ഞങ്ങൾ ഗുണന അസോസിയേറ്റിവിറ്റി ഉപയോഗിച്ചത് ശ്രദ്ധിക്കുക. യഥാർത്ഥത്തിൽ, മുമ്പത്തെ ടാസ്ക്കിൽ ഞങ്ങൾ ഇത് ഉപയോഗിച്ചു, പക്ഷേ അത് അവിടെ പരോക്ഷമായിരുന്നു.

ഉത്തരം: $\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right]$.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഒരു മാട്രിക്സ് ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല. അവസാനത്തെ ഉദാഹരണം സംഗ്രഹിക്കാം:

\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\ end(array) \ right]\]

ഈ വസ്തുത ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ അല്ലെങ്കിൽ നേരിട്ടുള്ള ഗുണനത്തിലൂടെ തെളിയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ അത്തരം പാറ്റേണുകൾ പിടിക്കാൻ എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമല്ല. അതിനാൽ, ശ്രദ്ധിക്കുക: പലപ്പോഴും "ക്രമരഹിതമായി" നിരവധി മെട്രിക്സുകൾ ഗുണിക്കുന്നത് ഏതെങ്കിലും തരത്തിലുള്ള പാറ്റേണുകൾ തിരയുന്നതിനേക്കാൾ എളുപ്പവും വേഗമേറിയതുമായി മാറുന്നു.

പൊതുവേ, ഒന്നുമില്ലാത്തിടത്ത് ഉയർന്ന അർത്ഥത്തിനായി നോക്കരുത്. ഉപസംഹാരമായി, ഒരു വലിയ മാട്രിക്സിന്റെ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യേഷൻ പരിഗണിക്കാം - $\ഇടത്[ 3\ മടങ്ങ് 3 \ വലത്]$.

പ്രശ്നം 9. സൂചിപ്പിച്ച ശക്തിയിലേക്ക് മാട്രിക്സ് ഉയർത്തുക:

\[((\ഇടത്[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end(matrix) \ right])^(3))\]

പരിഹാരം. പാറ്റേണുകൾക്കായി നോക്കരുത്. ഞങ്ങൾ മുന്നോട്ട് പ്രവർത്തിക്കുന്നു:

\[((\ഇടത്[ \begin(matrix)) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end(matrix) \right])^(3))=(( \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end(matrix) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (മാട്രിക്സ്)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ അവസാനം (മാട്രിക്സ്) \right]\]

ആദ്യം, നമുക്ക് ഈ മാട്രിക്സ് സ്ക്വയർ ചെയ്യാം:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end(matrix) \ right])^( 2))=\ഇടത്[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ അവസാനം (മാട്രിക്സ്) \right]= \\ & =\ഇടത്[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\ അവസാനം (അറേ) \ right] \end(align)\]

ഇനി നമുക്ക് ഇത് ക്യൂബ് ചെയ്യാം:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end(matrix) \ right])^( 3))=\ഇടത്[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\ end(array) \ right] \cdot \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end(matrix) \right]= \\ & =\ left[ \begin( array)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\ end(array) \right] \end(align)\]

അത്രയേയുള്ളൂ. പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു.

ഉത്തരം: $\left[ \begin(matrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\ end(matrix) \right]$.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് വലുതായി, പക്ഷേ അർത്ഥം മാറിയിട്ടില്ല. :)

ഇത് പാഠം അവസാനിപ്പിക്കുന്നു. അടുത്ത തവണ ഞങ്ങൾ വിപരീത പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കും: നിലവിലുള്ള ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ ഘടകങ്ങൾക്കായി നോക്കും.

നിങ്ങൾ ഇതിനകം ഊഹിച്ചതുപോലെ, ഞങ്ങൾ വിപരീത മാട്രിക്സിനെക്കുറിച്ചും അത് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള രീതികളെക്കുറിച്ചും സംസാരിക്കും.

മെട്രിക്സുകളുടെ പ്രധാന പ്രയോഗങ്ങൾ പ്രവർത്തനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണ് ഗുണനം.

രണ്ട് മെട്രിക്സ് നൽകിയിരിക്കുന്നു:

A - mn വലിപ്പം

ബി - വലിപ്പം n കെ

കാരണം മാട്രിക്സ് എയിലെ ഒരു വരിയുടെ നീളം മാട്രിക്സ് ബിയിലെ ഒരു നിരയുടെ ഉയരവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു മാട്രിക്സ് C=AB നിർവചിക്കാം, അതിന് അളവുകൾ m ഉണ്ടായിരിക്കും. കെ. ഘടകം മാട്രിക്സ് സി, ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ i-th വരിയിലും (i=1,...,m) ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ j-th നിരയിലും (j=1,...,k), നിർവചനം അനുസരിച്ച്, സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ് നിന്ന് രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ
: മാട്രിക്സ് എയുടെ i-th വരിയും മാട്രിക്സ് B യുടെ j-th നിരയും:

പ്രോപ്പർട്ടികൾ:

ഒരു മാട്രിക്സ് A യെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്റെ പ്രവർത്തനം എങ്ങനെയാണ് നിർവചിക്കുന്നത്?

എയുടെയും λ എന്ന സംഖ്യയുടെയും ഗുണനം ഒരു മെട്രിക്‌സാണ്, അതിൽ ഓരോ മൂലകവും എ, λ എന്നിവയുടെ അനുബന്ധ മൂലകത്തിന്റെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്. ഉപസംഹാരം: എല്ലാ മാട്രിക്സ് മൂലകങ്ങളുടെയും പൊതുവായ ഘടകം മാട്രിക്സ് ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം.

13. വിപരീത മാട്രിക്സിന്റെയും അതിന്റെ ഗുണങ്ങളുടെയും നിർവചനം.

നിർവ്വചനം. വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന അതേ ക്രമത്തിലുള്ള X, A എന്നീ ചതുര മെട്രിക്‌സുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ:

ഇവിടെ E എന്നത് മാട്രിക്സ് A യുടെ അതേ ക്രമത്തിന്റെ ഐഡന്റിറ്റി മാട്രിക്സ് ആണ്, അപ്പോൾ മാട്രിക്സ് X നെ വിളിക്കുന്നു വിപരീതംമാട്രിക്സ് A ലേക്ക്, ഇത് A -1 കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

വിപരീത മെട്രിക്സുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ

വിപരീത മെട്രിക്സിന്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങൾ നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം:

1) (എ -1) -1 = എ;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (എ ടി) -1 = (എ -1) ടി.

1. വിപരീത മാട്രിക്സ് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, അത് അദ്വിതീയമാണ്.

2. എല്ലാ നോൺ-സീറോ സ്ക്വയർ മാട്രിക്സിനും വിപരീതം ഇല്ല.

14. ഡിറ്റർമിനന്റുകളുടെ പ്രധാന ഗുണങ്ങൾ നൽകുക.വസ്തുവിന്റെ സാധുത പരിശോധിക്കുക |AB|=|A|*|B| മെട്രിക്സുകൾക്കായി

A= കൂടാതെ ബി=

ഡിറ്റർമിനന്റുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ:

1. ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ ഏതെങ്കിലും വരിയിൽ പൂജ്യങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ഡിറ്റർമിനന്റ് തന്നെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

2. രണ്ട് വരികൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുമ്പോൾ, ഡിറ്റർമിനന്റ് -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു.

3. രണ്ട് സമാന വരികളുള്ള ഡിറ്റർമിനന്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

4. ഏതെങ്കിലും വരിയുടെ മൂലകങ്ങളുടെ പൊതുവായ ഘടകം ഡിറ്റർമിനന്റ് ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം.

5. ഡിറ്റർമിനന്റ് A യുടെ ഒരു നിശ്ചിത നിരയിലെ ഘടകങ്ങൾ രണ്ട് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായി അവതരിപ്പിച്ചാൽ, ഡിറ്റർമിനന്റ് തന്നെ രണ്ട് ഡിറ്റർമിനന്റായ B, D എന്നിവയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ഡിറ്റർമിനന്റ് ബിയിൽ, നിർദ്ദിഷ്ട വരിയിൽ ആദ്യ പദങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, ഡിയിൽ - രണ്ടാമത്തെ നിബന്ധനകളിൽ. ഡിറ്റർമിനന്റുകളുടെ B, D എന്നിവയുടെ ശേഷിക്കുന്ന വരികൾ A-യിലേതിന് സമാനമാണ്.

6. ഏതെങ്കിലും ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, ഒരു വരിയിൽ മറ്റൊരു വരി ചേർത്താൽ ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ മൂല്യം മാറില്ല.

7. മറ്റൊരു വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങളുമായി ബീജഗണിത പൂരകങ്ങളാൽ ഏതെങ്കിലും വരിയിലെ മൂലകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 0 ന് തുല്യമാണ്.

8. മാട്രിക്സ് A യുടെ ഡിറ്റർമിനന്റ് ട്രാൻസ്പോസ്ഡ് മാട്രിക്സ് A m ന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റിന് തുല്യമാണ്, അതായത്. ട്രാൻസ്പോസ് ചെയ്യുമ്പോൾ ഡിറ്റർമിനന്റ് മാറില്ല.

15. ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസും ആർഗ്യുമെന്റും നിർവചിക്കുക. അക്കങ്ങൾ √3+ ത്രികോണമിതി രൂപത്തിൽ എഴുതുകഐ, -1+ ഐ.

ഓരോ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയും z=a+ib ഒരു വെക്‌ടറുമായി ബന്ധപ്പെടുത്താം (a,b)€R 2. ഈ വെക്‌ടറിന്റെ നീളം √a 2 + b 2 ന് തുല്യമാണ് ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് z എന്നതിനെ |z| ​​എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്‌ടറിനും ഓക്‌സ് അക്ഷത്തിന്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയ്ക്കും ഇടയിലുള്ള കോണിനെ വിളിക്കുന്നു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ വാദം z, arg z എന്നിവയാൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

z≠0 എന്ന സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയെ z=|z|(cosφ +isinφ) ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം.

ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ എഴുതുന്ന രീതിയെ ത്രികോണമിതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(cosπ/6+isinπ/6);

1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosπ/4+isinπ/4).

ഓരോ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയും Z = a + ib R^2 ന്റെ ഒരു വെക്റ്റർ (a; b) നൽകാം. ഈ വെക്‌ടറിന്റെ നീളം, a^2 + b^2-ൽ നിന്ന് KB-ന് തുല്യമാണ്, ഇതിനെ ഒരു കോംപ്ലക്സ് സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇതിനെ മോഡുലസ് Z എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഈ വെക്‌ടറും ഓക്‌സ് അക്ഷത്തിന്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയും തമ്മിലുള്ള കോണിനെ വിളിക്കുന്നു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ ആർഗ്യുമെന്റ് (arg Z കൊണ്ട് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു).

അജ്ഞാതരെ ഞങ്ങൾ തുടർച്ചയായി "ഒഴിവാക്കും". ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമവാക്യം മാറ്റാതെ വിടുകയും രണ്ടാമത്തേതും മൂന്നാമത്തേതും രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യും:

1) രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നമ്മൾ ആദ്യത്തേത് ചേർത്ത് –2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് അതിനെ –3 എന്ന ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു. x 2 –2x 3 = –2;

2) മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നമ്മൾ ആദ്യത്തേത് ചേർത്ത് – 4 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് അതിനെ –3 എന്ന ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു. x 2 – 4x 3 = 2.

തൽഫലമായി, അജ്ഞാതമായത് രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കപ്പെടും x 1, സിസ്റ്റം ഫോം എടുക്കും

സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളെ -1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും

ആദ്യത്തെ അജ്ഞാതന്റെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിലെ ഗുണകം 1 എക്സ് 1 എന്ന് വിളിക്കുന്നു പ്രമുഖ ഘടകംഉന്മൂലനത്തിന്റെ ആദ്യപടി.

രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽ, ഒന്നും രണ്ടും സമവാക്യങ്ങൾ മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നു, വേരിയബിളിനെ ഇല്ലാതാക്കുന്നതിനുള്ള അതേ രീതി മൂന്നാം സമവാക്യത്തിലും പ്രയോഗിക്കുന്നു. x 2 . പ്രമുഖ ഘടകംരണ്ടാമത്തെ ഘട്ടത്തിന്റെ ഗുണകം 3. മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നമ്മൾ രണ്ടാമത്തേത് ചേർക്കുന്നു, അത് –1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, സിസ്റ്റം രൂപത്തിലേക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു

(1.2)

സിസ്റ്റം (1.1) രൂപത്തിലേക്ക് (1.2) കുറയ്ക്കുന്ന പ്രക്രിയയെ നേരിട്ട് വിളിക്കുന്നു രീതിയുടെ പുരോഗതിഗൗസ്.

സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റം (1.2) എന്ന പ്രക്രിയയെ വിളിക്കുന്നു നേർ വിപരീതം.അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് എക്സ് 3 = -2. ഈ മൂല്യം രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും എക്സ് 2 = 2. ഇതിനുശേഷം, ആദ്യ സമവാക്യം നൽകുന്നു എക്സ് 1 = 1. അങ്ങനെ, സിസ്റ്റത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണ് (1.1).

മാട്രിക്സ് ആശയം

സിസ്റ്റത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന അളവുകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം (1.1). സമവാക്യങ്ങളിലെ അജ്ഞാതർക്ക് മുമ്പായി പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്ന ഒമ്പത് സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകളുടെ ഒരു പട്ടിക ഉണ്ടാക്കുന്നു മാട്രിക്സ്:

എ= .

(1.3)

പട്ടിക നമ്പറുകൾ വിളിക്കുന്നു ഘടകങ്ങൾമെട്രിക്സ്. മൂലകങ്ങളുടെ രൂപം വരികളും നിരകളുംമെട്രിക്സ്. വരികളുടെ എണ്ണവും നിരകളുടെ എണ്ണവും രൂപംകൊള്ളുന്നു മാനംമെട്രിക്സ്. മാട്രിക്സ് എ 3´3 ("മൂന്ന് മൂന്ന്") എന്നതിന്റെ അളവുണ്ട്, ആദ്യ സംഖ്യ വരികളുടെ എണ്ണവും രണ്ടാമത്തേത് നിരകളുടെ എണ്ണവും സൂചിപ്പിക്കുന്നു. പലപ്പോഴും ഒരു മാട്രിക്സ് അതിന്റെ അളവ് A (3´ 3) സൂചിപ്പിക്കുന്നു. മാട്രിക്സിലെ വരികളുടെയും നിരകളുടെയും എണ്ണം മുതൽ എഅതുപോലെ, മാട്രിക്സ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു സമചതുരം Samachathuram.ഒരു ചതുര മാട്രിക്സിലെ വരികളുടെ (നിരകളും) എണ്ണത്തെ വിളിക്കുന്നു ക്രമത്തിൽ, അതുകൊണ്ടാണ് എ- മാട്രിക്സ് മൂന്നാമത്തെ ഓർഡർ.

സമവാക്യങ്ങളുടെ വലതുവശവും സംഖ്യകളുടെ ഒരു പട്ടിക ഉണ്ടാക്കുന്നു, അതായത്. മാട്രിക്സ്:

ഈ മാട്രിക്സിന്റെ ഓരോ വരിയും ഒരൊറ്റ മൂലകത്താൽ രൂപം കൊള്ളുന്നു ബി(3´ 1) എന്ന് വിളിക്കുന്നു മാട്രിക്സ്-കോളം, അതിന്റെ അളവ് 3´1 ആണ്. അജ്ഞാതരുടെ കൂട്ടത്തെ ഒരു കോളം മാട്രിക്സ് ആയും പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

ഒരു ചതുര മാട്രിക്സിനെ ഒരു കോളം മാട്രിക്സ് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക

നിങ്ങൾക്ക് മെട്രിക്സുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വിവിധ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താൻ കഴിയും, അത് പിന്നീട് വിശദമായി ചർച്ച ചെയ്യും. ഇവിടെ ഒരു സ്ക്വയർ മാട്രിക്സ് ഒരു കോളം മാട്രിക്സ് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം മാത്രമേ ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുന്നുള്ളൂ. എഴുതിയത് നിർവചനം, മാട്രിക്സ് ഗുണനത്തിന്റെ ഫലം എ(3´ 3) ഓരോ കോളത്തിനും IN(3´ 1) എന്നത് നിരയാണ് ഡി(3´ 1), അതിന്റെ മൂലകങ്ങൾ മാട്രിക്സ് വരികളിലെ മൂലകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ് എനിര ഘടകങ്ങളിലേക്ക് IN:

2)രണ്ടാമത്തേത്നിര ഘടകം ഡിമൂലകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ് രണ്ടാമത്തേത്മാട്രിക്സ് വരികൾ എനിര ഘടകങ്ങളിലേക്ക് IN:

മുകളിലെ ഫോർമുലകളിൽ നിന്ന് ഒരു മാട്രിക്സിനെ ഒരു കോളം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് വ്യക്തമാണ് INമാട്രിക്സ് നിരകളുടെ എണ്ണം ഉണ്ടെങ്കിൽ മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ എനിരയിലെ മൂലകങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് IN.

മാട്രിക്സ് ഗുണനത്തിന്റെ രണ്ട് സംഖ്യാ ഉദാഹരണങ്ങൾ കൂടി നോക്കാം (3´3) ഓരോ കോളത്തിനും (3´1) :

ഉദാഹരണം 1.1

എബി =
.

ഉദാഹരണം 1.2

എബി= .