Exponenta.Pro മാസികയിലെ (നമ്പർ 3, 2003) എൻ്റെ ലേഖനത്തിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച, Mathcad പാക്കേജിലെ ഫിനൈറ്റ് എലമെൻ്റ് രീതി ഉപയോഗിച്ച്, രൂപഭേദം വരുത്താവുന്ന സോളിഡിൻ്റെ മെക്കാനിക്സിൻ്റെ ഒരു പ്ലെയിൻ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ലളിതമായ അൽഗോരിതം ഇവിടെ അവതരിപ്പിക്കുന്നു. Exponenta.ru ഫോറത്തിൽ. അതനുസരിച്ച് ഞാൻ പോസ്റ്റിൻ്റെ തീയതി നിശ്ചയിച്ചു.

പ്രദേശത്തെ ത്രികോണ ഘടകങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്ന ഏറ്റവും ലളിതവും അതേ സമയം ഏറ്റവും സാധാരണവുമായ ഓപ്ഷൻ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു. (വഴിയിൽ, പുസ്തകത്തിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന അൽഗോരിതം എന്നെ നയിച്ചു ഫദേവ് എ.ബി. ജിയോമെക്കാനിക്സിലെ ഫിനിറ്റ് എലമെൻ്റ് രീതി. - എം.: നേദ്ര, 1987).

1. പ്രാരംഭ ഡാറ്റ തയ്യാറാക്കൽ.

കംപ്യൂട്ടേഷണൽ ഡൊമെയ്‌നിലെ ഓരോ ഘടകങ്ങളെയും നോഡുകളെയും കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കേണ്ടത് അത്യാവശ്യമായതിനാൽ, ഡാറ്റ തയ്യാറാക്കാൻ Excel സ്‌പ്രെഡ്‌ഷീറ്റ് എഡിറ്റർ ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഏറ്റവും സൗകര്യപ്രദമാണ്, പ്രത്യേകിച്ചും Mathcad .prn ഫോർമാറ്റ് ഫയലുകളിൽ നിന്ന് ഡാറ്റ ഇറക്കുമതി ചെയ്യാനുള്ള കഴിവ് നൽകുന്നതിനാൽ. ഘടകങ്ങളെയും നോഡുകളെയും കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന പട്ടികകൾ ഉപയോഗിച്ച് Excel-ൽ രണ്ട് ഫയലുകൾ സൃഷ്ടിച്ചിരിക്കുന്നു. പട്ടികകളുടെ ഘടനയും അവയിലെ അളവുകളുടെ അളവുകളും ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 1, 2. നോഡ് ഡാറ്റാ ടേബിളിൽ Px, Ru എന്നീ പ്രത്യേക വേരിയബിളുകളുടെ രണ്ട് നിരകളുണ്ട്, അവയ്ക്ക് യഥാക്രമം 0x അല്ലെങ്കിൽ 0y അക്ഷത്തിൽ ചലനം ഉറപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള അടയാളം നൽകിയിരിക്കുന്നു (പൂജ്യം ചലനം വ്യക്തമാക്കിയാൽ മൂല്യം 1 ഉം എങ്കിൽ 0 ഉം എടുക്കുന്നു. ചലനം അജ്ഞാതമാണ്).

അരി. 1. മൂലകങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങളുള്ള ഉറവിട ഡാറ്റ പട്ടികയുടെ ഘടന.

അരി. 2. നോഡുകളെക്കുറിച്ചും നിർദ്ദിഷ്ട നോഡൽ ശക്തികളെക്കുറിച്ചും സ്ഥാനചലനങ്ങളെക്കുറിച്ചും ഉള്ള വിവരങ്ങളുള്ള ഉറവിട ഡാറ്റ പട്ടികയുടെ ഘടന.

ആവശ്യമുള്ള ഫോർമാറ്റിൽ പട്ടികകൾ സംരക്ഷിക്കാൻ, തിരഞ്ഞെടുക്കുക ഫയൽ->ഇതായി സംരക്ഷിക്കുക..., ഫയലിൻ്റെ പേര് സൂചിപ്പിക്കുകയും ഉചിതമായ ഫീൽഡുകളിൽ ടൈപ്പ് ചെയ്യുകയും ചെയ്യുക - റിച്ച് ടെക്സ്റ്റ് (സ്പേസ് കൊണ്ട് വേർതിരിച്ചത്). സേവ് ബട്ടണിൽ ക്ലിക്ക് ചെയ്ത ശേഷം, ദൃശ്യമാകുന്ന വിൻഡോയിൽ അതെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക. അങ്ങനെ, നമുക്ക് പേരുകളുള്ള ഫയലുകൾ ലഭിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, EL_1.prn, KN_1.prn.

2. Mathcad-ലേക്ക് ഡാറ്റ ലോഡ് ചെയ്യുന്നു. വേരിയബിളുകൾ തയ്യാറാക്കുന്നു.

അറേ എലമെൻ്റുകളുടെ നമ്പറിംഗ് സൗകര്യത്തിനായി, പിന്നീട് Mathcad ബുക്കിൽ അറേകളിലെ ആദ്യ മൂലകങ്ങളുടെ സൂചിക ഒന്നിന് തുല്യമായി സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു:

Mathcad-ലെ ഫയലുകളിൽ നിന്ന് ഡാറ്റ നേടുന്നതിന്, READPRN (“filename.prn”) ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിക്കുക (നിങ്ങൾക്ക് ഫയലിലേക്കുള്ള മുഴുവൻ പാതയും വ്യക്തമാക്കാം, അല്ലാത്തപക്ഷം നിലവിലെ ഫോൾഡർ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതിലേക്കുള്ള പാത CWD ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും).

മുമ്പ് സൃഷ്‌ടിച്ച ഫയലുകൾ ഡി ഡ്രൈവിലെ DATA ഫോൾഡറിലാണ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നതെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം: അവയുടെ ഉള്ളടക്കങ്ങൾ DEL, DKN മെട്രിക്‌സുകളിലേക്ക് അസൈൻ ചെയ്‌തിരിക്കുന്നു:

നമുക്ക് മെട്രിക്സുകളിൽ നിന്ന് അനുബന്ധ വേരിയബിളുകളിലേക്ക് മൂല്യങ്ങൾ നൽകാം:

പ്രാരംഭ ഡാറ്റയുടെ കൃത്യത പരിശോധിക്കുന്നതിനും കൂടുതൽ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ അത് ഉപയോഗിക്കുന്നതിനും, ബഹുജനശക്തികളുടെ പ്രവർത്തനം, നിർദ്ദിഷ്ട സ്ഥാനചലനങ്ങളുടെ വെക്റ്റർ, സ്ഥാനചലനങ്ങളുടെ ഫിക്സേഷൻ അടയാളങ്ങൾ എന്നിവ കണക്കിലെടുത്ത് നോഡൽ ശക്തികളുടെ ഒരു വെക്റ്റർ സൃഷ്ടിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. മൂലകങ്ങളുടെ.

n-ാമത്തെ മൂലകത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഒരു ഉപയോക്തൃ ഫംഗ്‌ഷനായി സജ്ജീകരിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ് (വെക്റ്റർ V മൂലക നോഡുകളുടെ ആഗോള സംഖ്യകൾ പട്ടികപ്പെടുത്തുന്നു):

കണക്കുകൂട്ടൽ ഏരിയയുടെ ആകെ വിസ്തീർണ്ണം:

മൂലകങ്ങളുടെ ഭാരം അവയുടെ ഓരോ നോഡുകൾക്കും തുല്യമായി ബഹുജന ശക്തികളായി പരിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടുന്നു:

നോഡൽ ശക്തികളും സ്ഥാനചലനങ്ങളും അവയുടെ അടയാളങ്ങളും വെക്റ്ററുകളിൽ തുടർച്ചയായ ജോഡി മൂല്യങ്ങളിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു: ലംബ ഘടകങ്ങൾ ഇരട്ട സ്ഥാനങ്ങളിൽ, തിരശ്ചീന ഘടകങ്ങൾ വിചിത്രമായവ:

3. സിസ്റ്റം കാഠിന്യം മാട്രിക്സിൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ.

സിസ്റ്റം കാഠിന്യം മാട്രിക്സ് ലഭിക്കുന്നത് മൂലക കാഠിന്യം മെട്രിക്സുകൾ [K] സംയോജിപ്പിച്ചാണ്, അവ ഇനിപ്പറയുന്ന എക്സ്പ്രഷൻ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു

ഡെൽറ്റ എന്നത് മൂലകത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എവിടെയാണ്; [B] - ആകൃതി ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ മാട്രിക്സ് (നോഡുകളുടെ സ്വാധീനത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനം), [D] - സമ്മർദ്ദത്തിൻ്റെയും സമ്മർദ്ദ ബന്ധങ്ങളുടെയും മാട്രിക്സ്:

മൂലകത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നത് മുമ്പ് വ്യക്തമാക്കിയ ഉപയോക്തൃ ഫംഗ്ഷൻ A(n) കൊണ്ടാണ്. ഉപയോക്തൃ പ്രവർത്തനമായി മാട്രിക്സ് [D] വ്യക്തമാക്കുന്നതും സൗകര്യപ്രദമാണ്; തലം രൂപഭേദം വരുത്തുന്ന അവസ്ഥകൾക്ക്, അതിന് ഒരു രൂപം ഉണ്ടായിരിക്കും

മാട്രിക്സ് [B] ഒരു മൂലകത്തിൻ്റെ നോഡുകളുടെ ചലനങ്ങളെ അതിൻ്റെ രൂപഭേദം കൊണ്ട് ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു:

(Nj, Nk ഫോമിൻ്റെ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ i, j, k ക്രമത്തിൽ സൂചികകളുടെ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പകരം വയ്ക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കും)

i, j, k - മൂലക നോഡുകളുടെ സംഖ്യകൾ, xi,j,k, yi,j,k - നോഡുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ.

ലളിതമായ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം, മാട്രിക്സ് [B] ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം

ഫോമിൻ്റെ ഫംഗ്‌ഷനുകളിലെ സൂചികകളുടെ ക്രമമാറ്റത്തിൻ്റെ ക്രമം നിർണ്ണയിക്കുന്ന ഒരു സഹായ മാട്രിക്സ് പി ആദ്യം വ്യക്തമാക്കിയതിന് ശേഷം, ഒരു ഉപയോക്തൃ ഫംഗ്‌ഷനായി നമുക്ക് [B] പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

സിസ്റ്റം കാഠിന്യം മാട്രിക്സ് ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രോഗ്രാം ബ്ലോക്കിൽ കണക്കാക്കുന്നു:

(MLS-ലെ മൂലകങ്ങളുടെ കാഠിന്യം മെട്രിക്സുകളുടെ സംയോജനം ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമമനുസരിച്ചാണ് നടപ്പിലാക്കുന്നത്: I ഉള്ള നോഡിനോട് ചേർന്നുള്ള എല്ലാ ഘടകങ്ങളുടെയും കാഠിന്യ മെട്രിക്സിൽ നിന്നുള്ള Ki,j എന്ന പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ് MHS അംഗം Kci,j. - സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രി).

4. സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരം

ഇതിനുശേഷം, MLS-ൻ്റെ i-th നിരയും i-th വരിയും ഫോഴ്‌സ് വെക്‌ടറിലെ i-th അജ്ഞാത പദവും ഇല്ലാതാക്കാൻ കഴിയും. MLS-ൽ നിന്ന് വരികളും നിരകളും നീക്കംചെയ്യുന്നതിന്, ഉപയോക്തൃ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ വ്യക്തമാക്കിയ സബ്‌മെട്രിസുകൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു; M11 - ആദ്യ വരിയും നിരയും ഇല്ലാതാക്കുന്നു, Mnn - അവസാനത്തേത്, MI-IV - ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ്.

അതിനാൽ, ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ (SLAE) ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, Mathcad സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ കഴിവുകൾ ചുമതലയെ വളരെ ലളിതമാക്കും. ഈ ആവശ്യത്തിനായി, SLAE യുടെ സൊല്യൂഷൻ വെക്റ്റർ കണ്ടെത്തുന്നതിന് lsolve(M,V) ഫംഗ്‌ഷൻ നൽകുന്നു, അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ M അറേയിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകൾ വെക്റ്റർ V യിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ഇടതുവശത്തുള്ള സോഫ്‌റ്റ്‌വെയർ മൊഡ്യൂൾ, അതിൽ നിന്ന് മുമ്പ് നീക്കം ചെയ്‌ത നിർദ്ദിഷ്ട നോഡൽ ചലനങ്ങൾ ജനറൽ വെക്‌റ്ററിലെ “അവരുടെ സ്ഥലങ്ങളിലേക്ക്” തിരികെ നൽകുന്നു. രണ്ടാമത്തെ ബ്ലോക്ക് നോഡൽ ഡിസ്പ്ലേസ്മെൻ്റുകളുടെ അച്ചുതണ്ട ഘടകങ്ങളുള്ള രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

5. മൂലകങ്ങളിലെ അച്ചുതണ്ട് സമ്മർദ്ദങ്ങളും സമ്മർദ്ദങ്ങളും കണ്ടെത്തൽ

ലഭിച്ച നോഡൽ ഡിസ്പ്ലേസ്മെൻ്റുകൾ അറിയുന്നതിലൂടെ, ഖണ്ഡിക 3 (സിഗ്മ, എപ്സിലോൺ) ൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ബന്ധങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഓരോ മൂലകത്തിനും രൂപഭേദവും സമ്മർദ്ദവും കണക്കാക്കാൻ കഴിയും:

ഓരോ മൂലകത്തിലും, പ്രധാന സമ്മർദ്ദങ്ങളും 0y അക്ഷത്തിനും പരമാവധി പ്രിൻസിപ്പൽ സമ്മർദ്ദത്തിൻ്റെ വെക്റ്ററിനും ഇടയിലുള്ള കോണും കണക്കാക്കുന്നു. പൂജ്യത്താൽ വിഭജനം ഒഴിവാക്കാൻ, ആംഗിൾ കണക്കുകൂട്ടൽ വരിയിൽ ഒരു സോപാധിക പദപ്രയോഗം ഉപയോഗിക്കുന്നു, അത് ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിലെ പദപ്രയോഗം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, കോണിലേക്ക് മൂല്യം നൽകുന്നു.
.

6. ഫലങ്ങൾ സംരക്ഷിക്കുന്നു.

മുകളിലുള്ള നടപടിക്രമം ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടൽ വളരെ കുറച്ച് സമയമെടുക്കും (ഉദാഹരണത്തിന്, പെൻ്റിയം-IV-1300 മെഗാഹെർട്സ് പ്രൊസസർ ഉള്ള ഒരു പിസിയിൽ; 128 MB റാം, 95 നോഡുകളുടെ 119 ഘടകങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ സമയം ~ 3 സെക്കൻഡ് ആണ്) , എന്നിരുന്നാലും, പിന്നീടുള്ള വിശകലനത്തിനായി ഫലങ്ങൾ സംരക്ഷിക്കുന്നതാണ് ഉചിതം.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സ്ട്രെസ്-സ്ട്രെയിൻ അവസ്ഥയും ഡിസ്പ്ലേസ്മെൻ്റ് ഫീൽഡും ചിത്രീകരിക്കുന്ന മെട്രിക്സുകൾ ഞങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കും, അവയിൽ ഘടകങ്ങളുടെയും നോഡുകളുടെയും കേന്ദ്രങ്ങളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളും എഴുതുന്നു:

(മൂലകങ്ങളുടെ കേന്ദ്രങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ, ശരാശരി() ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ചു, വെക്റ്റർ മൂലകങ്ങളുടെ ശരാശരി മൂല്യം നൽകുന്നു)

ഒരു ഫയലിലേക്ക് ഡാറ്റ എഴുതാൻ, Mathcad WRITEPRN("filename.prn") ഫംഗ്‌ഷൻ നൽകുന്നു; ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, നിങ്ങൾക്ക് ആദ്യം PRNPRECISION വേരിയബിളിലെ ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങളുടെ എണ്ണവും PRNCOLWIDTH വേരിയബിൾ ഫയലിലെ നിരയുടെ വീതിയും സജ്ജമാക്കാൻ കഴിയും:

അരി. 3. ഡിസൈൻ സ്കീമും അതിൻ്റെ പരിമിതമായ മൂലക പ്രാതിനിധ്യവും.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ത്രികോണ മൂലകങ്ങളായി വിഭജിക്കുമ്പോൾ, 95 നോഡുകളുടെയും 119 മൂലകങ്ങളുടെയും ഒരു ശൃംഖലയായിരുന്നു ഫലം. അക്കമിടുന്നത് ഏകപക്ഷീയമാണ്.

പഠനത്തിൻ കീഴിലുള്ള പ്രദേശത്ത് പ്രവർത്തിക്കുന്ന എല്ലാത്തരം ലോഡുകളും അതിൽ ഒരു നിശ്ചിത സ്ട്രെസ്-സ്ട്രെയിൻ അവസ്ഥ ഉണ്ടാക്കുന്നു, നോഡുകളിൽ പ്രയോഗിക്കുന്ന സ്റ്റാറ്റിക്കലി തുല്യമായ ശക്തികളായി കുറയുന്നു.

സമമിതി കാരണം, സ്ഥാനചലനങ്ങളുടെ അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ ഇപ്രകാരമാണ്: ലംബമായ (x=0) തിരശ്ചീന ഘടകങ്ങളും ചതുരത്തിൻ്റെ തിരശ്ചീന (y=0) വശങ്ങളിലുള്ള ലംബ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അറേയ്‌ക്കുള്ളിലെ എല്ലാ നോഡൽ പോയിൻ്റുകളുടെയും ചലനങ്ങൾ, ഉത്ഖനനത്തിൻ്റെ രൂപരേഖയിലും പ്രദേശത്തിൻ്റെ അരികിലും അജ്ഞാതമാണ്.

കണക്കുകൂട്ടൽ ഫലങ്ങൾ ഡയഗ്രമുകൾ (ചിത്രം 4), സ്ട്രെസ് അല്ലെങ്കിൽ ഡിസ്പ്ലേസ്മെൻ്റ് കോണ്ടറുകൾ (ചിത്രം 5, എ), ലെവൽ പ്രതലങ്ങൾ (ചിത്രം 5, ബി) രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കാം. വെക്റ്ററുകളുടെ (മെട്രിക്സ്) രൂപത്തിൽ കണക്കുകൂട്ടൽ ഫലങ്ങൾ സംരക്ഷിക്കുകയും അവതരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടില്ലാതെ ഇത് ചെയ്യാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

അരി. 4. തിരശ്ചീന അക്ഷത്തിൽ സ്ട്രെസ് ഡയഗ്രമുകൾ (മൂല്യങ്ങൾ സുഗമമാക്കുന്നതിന്, സ്ട്രെസ് മൂല്യങ്ങൾ അടുത്തുള്ള ത്രികോണങ്ങൾ കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ച ദീർഘചതുരങ്ങളുടെ കേന്ദ്രങ്ങളിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു).

അരി. 5. കണക്കുകൂട്ടൽ ഫലങ്ങളുടെ ദൃശ്യവൽക്കരണത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ.

സാഹിത്യം:

1. ഫദേവ് എ.ബി. ജിയോമെക്കാനിക്സിലെ ഫിനിറ്റ് എലമെൻ്റ് രീതി. - എം.: നേദ്ര, 1987. - 221 പേ.
2. Erzhanov Zh.S., Karimbaev T.D. റോക്ക് മെക്കാനിക്സ് പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഫിനിറ്റ് എലമെൻ്റ് രീതി. – അൽമ-അറ്റ: സയൻസ്, 1975. – 239 പേ.
3. Zinkevich O. സാങ്കേതികവിദ്യയിൽ ഫിനിറ്റ് എലമെൻ്റ് രീതി: പെർ. ഇംഗ്ലീഷിൽ നിന്ന് – എം.: മിർ, 1975. - 542 പേ.
4. Norrie D., de Vries J.. പരിമിതമായ മൂലക രീതിയുടെ ആമുഖം: Transl. ഇംഗ്ലീഷിൽ നിന്ന് - എം.: മിർ, 1981. - 304 പേ.
5. കാർലോസ് എ ഫെലിപ്പ. ഫിനിറ്റ് എലമെൻ്റ് രീതികളിലേക്കുള്ള ആമുഖം. – ഡിപ്പാർട്ട്‌മെൻ്റ് ഓഫ് എയ്‌റോസ്‌പേസ് എഞ്ചിനീയറിംഗ് സയൻസസ് ആൻഡ് സെൻ്റർ ഫോർ എയ്‌റോസ്‌പേസ് സ്ട്രക്ചേഴ്‌സ് യൂണിവേഴ്‌സിറ്റി ഓഫ് കൊളറാഡോ, ബോൾഡർ. – 2001.
6. കിരൺ ഡി. മിഷ്, ലിയോനാർഡ് ആർ. ഹെർമാൻ, ലാഡോൺ ഹാസ്. അപ്ലൈഡ് മെക്കാനിക്സിലെ ഫിനിറ്റ് എലമെൻ്റ് നടപടിക്രമങ്ങൾ (ഇത് ഇൻ്റർനെറ്റിൽ എവിടെയോ കണ്ടു).
7. Zenkevich O., Morgan K. ഫിനിറ്റ് ഘടകങ്ങളും ഏകദേശവും. - എം.: മിർ, 1986. - 318 പേ.
8. Zenkevich O., Chang I. ഘടനകളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെയും തുടർച്ചയായ മെക്കാനിക്സിൻ്റെയും പരിമിതമായ മൂലക രീതി. - എം.: നേദ്ര, 1974. - 240 പേ.

ലിങ്കുകൾ:

• http://www.fea.ru/ ...FEA.RU വെബ്‌സൈറ്റ് പരിമിതമായ എലമെൻ്റ് മെക്കാനിക്‌സ്, കമ്പ്യൂട്ടർ എയ്ഡഡ് എഞ്ചിനീയറിംഗ് (CAE), FEM, ശക്തി കണക്കുകൂട്ടലുകൾ എന്നിവയുടെ നിലവിലെ പ്രശ്‌നങ്ങൾക്കായി സമർപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു;
• http://www.cae.ru/ CAD, CAE സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ഫോറം, എഫ്ഇ മോഡലിംഗിൻ്റെ സൈദ്ധാന്തികവും പ്രായോഗികവുമായ വശങ്ങളും രൂപഭേദം വരുത്താവുന്ന സോളിഡിൻ്റെ മെക്കാനിക്സിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതും ഉൾപ്പെടുന്നു. ഘടനകൾ, യന്ത്രങ്ങൾ, ഘടനകൾ, ഇൻസ്റ്റാളേഷനുകൾ എന്നിവയുടെ മെക്കാനിക്സ്;
• - FEM-മായി ബന്ധപ്പെട്ട വിഭവങ്ങളുടെ ശക്തമായ കാറ്റലോഗ്;
• http://www.isib.cnr.it/~secchi/EdMultifield/ - രീതിയുടെ നല്ല വിവരണത്തോടെ പരിമിതമായ മൂലക കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കായുള്ള പ്രോഗ്രാമിൻ്റെ വെബ്‌സൈറ്റ്.

FEM ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടുന്ന ഒരു ടൺ പ്രോഗ്രാമുകൾ ഉണ്ട്. എന്തുകൊണ്ടാണ് ഈ രീതി വളരെ നല്ലതും വ്യാപകമായി ബാധകമായതും എന്നതിൻ്റെ വിശദാംശങ്ങളിലേക്ക് പോകാതെ, ഉള്ളിൽ നിന്ന് കണക്കുകൂട്ടൽ പ്രക്രിയ നോക്കാം. എല്ലാം ലളിതമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, എന്തുകൊണ്ട് നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം ബൈക്ക് കൂട്ടിച്ചേർക്കാൻ ശ്രമിക്കരുത്, അതായത്. നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം പ്രോഗ്രാം ഉണ്ടാക്കുക. ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് MathCAD-ൽ കണക്കുകൂട്ടൽ ഡീബഗ് ചെയ്യാനും പരിശോധിക്കാനും കോൺഫിഗർ ചെയ്യാനും കഴിയും. പിന്നീട്, ഇതിനകം ഡീബഗ് ചെയ്ത കണക്കുകൂട്ടൽ അൽഗോരിതം, ഡാറ്റാ എൻട്രിയും ഫലങ്ങളുടെ വിശകലനവും എളുപ്പമാക്കുന്നതിന്, ഒരു ചെറിയ ഗ്രാഫിക്സ് ചേർത്ത് C#-ൽ വീണ്ടും എഴുതാം.

എവിടെ തുടങ്ങണം? എൻ്റെ ആഗോള ചുമതല മണ്ണ് മോഡലിംഗ് ആയതിനാൽ, ഇലാസ്തികതയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങളുമായി ഞാൻ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ആരംഭിക്കും.


വിശകലനം ചെയ്യേണ്ട ഒരു പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ. ഇലാസ്റ്റിക് ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ FE. സർക്യൂട്ട് കംപൈൽ ചെയ്ത് FEMmodels 2.0 പ്രോഗ്രാമിൽ പരിഹരിച്ചു. MathCAD-ൽ ഇത് ആവർത്തിക്കാം.

1. പ്രദേശത്തിൻ്റെ വിവേചനാധികാരം,
അതായത്, ഈ പ്രദേശത്തെ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ച്, "നോഡൽ" പോയിൻ്റുകൾ തിരിച്ചറിയുന്നു. അനന്തമായ അളവിലുള്ള സ്വാതന്ത്ര്യമുള്ള ഒരു സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന്, പരിമിതമായ എണ്ണം നോഡുകളുള്ള ഒരു സിസ്റ്റം ഞങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു, അതനുസരിച്ച്, സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികൾ.

2. ഒരു ഘടകത്തിനായുള്ള ഏകദേശ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ നിർവ്വചനം.
നോഡുകൾക്കിടയിൽ, ഞങ്ങൾ നൽകിയിട്ടുള്ള നിയമങ്ങൾക്കനുസരിച്ച്, ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഏകദേശ കണക്കനുസരിച്ച്, ആവശ്യപ്പെട്ട ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ (ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, X, Y എന്നിവയുടെ ചലനങ്ങൾ) മാറുന്നു.

3. മുഴുവൻ സിസ്റ്റത്തെയും വിവരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ വരയ്ക്കുന്നു.
അജ്ഞാതമെന്ന നിലയിൽ, നോഡുകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ (ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, നമുക്ക് ലീനിയർ SLAE സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കും).

4. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു
നോഡൽ മൂല്യങ്ങളുടെയും മറ്റ് അജ്ഞാതങ്ങളുടെയും നിർണ്ണയം.

ഞാൻ അൽപ്പം ആരംഭിക്കുന്നത് ഏരിയ വിഭജിക്കുന്നതിലൂടെയല്ല, രണ്ടാമത്തെ പോയിൻ്റിൽ നിന്നാണ് - പരിമിത ഘടകത്തിനായുള്ള ഫംഗ്ഷനുകൾ നിർവചിക്കുക. ഇലാസ്തികത സിദ്ധാന്തത്തിൽ ഒരു വിമാന പ്രശ്നം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ പരിമിതമായ ഘടകം ഒരു രേഖീയ ഏകദേശ പ്രവർത്തനമുള്ള ഒരു ത്രികോണമാണ്:

അരി. 1. ഏകദേശ പ്രവർത്തനവും അതിനുള്ള ഗുണകങ്ങൾ നേടലും.
ഓരോ നോഡിലും നമുക്ക് രണ്ട് ഡിഗ്രി ഫ്രീഡം ഉള്ളതിനാൽ (X, Y എന്നിവയിൽ), സമാനമായ മറ്റൊരു ഫംഗ്ഷൻ ചേർക്കുന്നു.
മൂലകത്തിൻ്റെ നോഡുകളുടെ ചലനങ്ങളും അതിൽ സംഭവിക്കുന്ന രൂപഭേദങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം നേടുക എന്നതാണ് എല്ലാ കൃത്രിമത്വങ്ങളുടെയും സാരാംശം. ഞങ്ങൾക്ക് 6 സ്ഥാനചലന ഘടകങ്ങളും 3 രൂപഭേദങ്ങളും ഉള്ളതിനാൽ, കണക്ഷൻ ചില മാട്രിക്സ് വഴിയാണ് നടത്തുന്നത് ബിഅളവ് 3x6 (ആകൃതി ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ മാട്രിക്സ്). മൂലകത്തിൻ്റെ നിർമ്മാണത്തിനുള്ള ആദ്യ മാട്രിക്സ് ഇതാണ്.
സ്ട്രെയിനുകളും സമ്മർദ്ദങ്ങളും (മാട്രിക്സ് ഡി) തമ്മിലുള്ള ബന്ധം പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു മാട്രിക്സും നമുക്ക് ആവശ്യമാണ്. ഒരു ഇലാസ്റ്റിക് ശരീരത്തിന്, ഈ ആശ്രിതത്വം ഒരു സാമാന്യവൽക്കരിച്ച ഹുക്കിൻ്റെ നിയമമാണ്.

വിഷയത്തിൽ നിന്നുള്ള മറ്റൊരു ചെറിയ വ്യതിചലനം, മറ്റൊരു തരത്തിലുള്ള പ്ലെയിൻ സ്ട്രെസ് അവസ്ഥയുടെ കാര്യത്തിൽ മാട്രിക്സ് ഡി. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടിവരുമ്പോൾ, ഒരു റെയിൽവേ ട്രാക്കിനായുള്ള കായലിൻ്റെ അടിത്തറയോ വിപുലീകൃത കെട്ടിടത്തിൻ്റെ അടിത്തറയോ, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ഒരു വിമാന പ്രശ്‌നമായി കണക്കാക്കാം, കാരണം കായലോ കെട്ടിടത്തിലോ ഉള്ള രൂപഭേദം പൂജ്യമാണെന്ന് അനുമാനിക്കാം. D ലഭിക്കുന്നതിന് നമ്മൾ e z =0 തുല്യമാക്കുന്നു. ഭിത്തിയുടെ തലത്തിൽ മാത്രം ശക്തികൾ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഒരു കെട്ടിടത്തിൻ്റെ മതിൽ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് അതിനെ ഒരു വിമാന പ്രശ്നമായി കണക്കാക്കാം, സെക്ഷൻ തലത്തിൽ നിന്ന് രൂപഭേദം മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ, പക്ഷേ സമ്മർദ്ദങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല, ഞങ്ങൾ സിഗ്മ അനുമാനിക്കുന്നു. z = 0.

പൊതുവായ മൂലക മാട്രിക്സ് K e:=B T D B V

ഈ നിഗമനത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ അടിസ്ഥാനം ഞാൻ വീണ്ടും പറയില്ല, ഒരു ഹ്രസ്വ ഭൗതിക അർത്ഥം ഞാൻ നിങ്ങളോട് പറയും.
മാട്രിക്സ് കെ ഇയുടെ ഉദാഹരണം:

വരികളുടെയും നിരകളുടെയും എണ്ണം സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. K i,j = സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രിയുടെ ദിശയിലുള്ള ശക്തി j സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രിയുടെ ദിശയിലുള്ള ഒരു യൂണിറ്റ് സ്ഥാനചലനത്തിൻ്റെ പ്രയോഗത്തിൽ നിന്ന് i. തുടർന്ന്, ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്മുടെ ഘടകത്തിന്, ഒരു ചെക്ക് എന്ന നിലയിൽ, ഏത് വരിയിലോ നിരയിലോ ഉള്ള ഇരട്ട/ഒറ്റ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കാൻ കഴിയും; നമ്മുടെ മൂലകത്തിൻ്റെ അർത്ഥമനുസരിച്ച്, ഇവ യഥാക്രമം X അല്ലെങ്കിൽ Y എന്നിവയ്‌ക്കൊപ്പമുള്ള ഫിക്സേഷനുകളിലെ പ്രതികരണങ്ങളായിരിക്കും, അവയുടെ ആകെത്തുക. സ്വാഭാവികമായും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഭൗതികശാസ്ത്രമനുസരിച്ച് മാട്രിക്സ് അപചയമാണ്. സാരാംശത്തിൽ, അയഞ്ഞ മൂലകത്തിന് നോഡുകളിൽ അനിശ്ചിത ശക്തികൾ/പ്രതികരണങ്ങൾ ഉണ്ടെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

അപ്പോൾ അത് എളുപ്പമാണ്. വ്യക്തിഗത ഘടകങ്ങളിൽ നിന്ന് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആഗോള മാട്രിക്സ് കൂട്ടിച്ചേർക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഡിഗ്രികൾക്കും (മാട്രിക്സ് കെയുടെ വരികളും നിരകളും), വ്യക്തിഗത ഘടകങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള അനുബന്ധ പ്രതികരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു. ഈ പരിവർത്തനത്തിൽ ഞാൻ ഏറ്റവും കൂടുതൽ സമയം ചിലവഴിച്ചു, പക്ഷേ ഫലം 5 നെസ്റ്റഡ് ലൂപ്പുകളുള്ള ഈ ലളിതമായ അൽഗോരിതം ആണ്:

കൂടുതൽ ലളിതമായി, എല്ലാ സ്ഥിരതയില്ലാത്ത സ്വാതന്ത്ര്യത്തിനും വേണ്ടി ഞങ്ങൾ ഫോഴ്‌സ് വെക്‌ടറുകൾ ശേഖരിക്കുന്നു പി, നിന്ന് TOനിശ്ചിത അളവിലുള്ള സ്വാതന്ത്ര്യത്തോടെ വരികളും നിരകളും ഞങ്ങൾ മറികടക്കുകയും രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നേടുകയും ചെയ്യുന്നു: K * u = P; കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് ശക്തിയുടെ കാര്യത്തിൽ ഈ രീതിയുടെ കാര്യക്ഷമതയില്ലായ്മയെക്കുറിച്ച് അധികം ചിന്തിക്കാതെ തന്നെ ഞങ്ങൾ u = K -1 P പരിഹരിക്കുന്നു, കാരണം പ്രശ്നം ചെറുതാണ്.

MathCAD-ലെ പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും അസുഖകരമായ വശം പ്രാരംഭ ഡാറ്റ നൽകുന്നതിനും ഫലങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുന്നതിനുമുള്ള അസൗകര്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, എല്ലാ നടപടിക്രമങ്ങളും അൽഗോരിതം ചെയ്തിരിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, എല്ലാ ഫാസ്റ്റണിംഗുകളും ക്രമീകരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനത്തിന് 8 വരികൾ എടുക്കും, കൂടാതെ 11 വരികളിൽ n ​​x n x 2 ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ലിസ്റ്റ് അടങ്ങിയിരിക്കും (ഉദാഹരണത്തിൽ 242 കഷണങ്ങൾ).

എൻ്റെ അടുത്ത രണ്ട് ടാസ്‌ക്കുകൾ: കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഏകദേശ ഘടകങ്ങൾ, മൂലകങ്ങളുടെ എണ്ണം കുറയ്ക്കാനും പരിഹാരം പരിഷ്കരിക്കാനും അനുവദിക്കുന്നു, പ്രധാനം, രേഖീയമല്ലാത്ത ഘടകങ്ങൾ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മാട്രിക്സ് കെ സ്ഥാനചലനങ്ങളെ ആശ്രയിക്കുകയും പരിഹാരം കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമാവുകയും ചെയ്യും. K(u)*u=P(u). പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, ബാഹ്യശക്തികളുടെ വെക്റ്റർ സ്ഥാനചലനത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു u.

അറിവിൻ്റെ ഉറവിടങ്ങൾ:
1. PGUPS-ൻ്റെ ഫിസിക്കൽ സയൻസസ് വകുപ്പിൽ 2008 ലെ പ്രഭാഷണങ്ങൾ. ഷാഷ്കിൻ കെ.ജി.
2. സെഗർലിൻഡ് "പരിമിതമായ മൂലക രീതിയുടെ പ്രയോഗം" (1979)
3. എ.എൽ. റോസിൻ

റഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ്റെ വിദ്യാഭ്യാസ, ശാസ്ത്ര മന്ത്രാലയം

സംസ്ഥാന വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം

ഉയർന്ന പ്രൊഫഷണൽ വിദ്യാഭ്യാസം

"പസഫിക് സ്റ്റേറ്റ് യൂണിവേഴ്സിറ്റി"

മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശങ്ങളും നിയന്ത്രണ ജോലികളും പൂർത്തിയാക്കണം

മാസ്റ്റേഴ്സ് പ്രോഗ്രാമായ ഖബറോവ്സ്ക് പബ്ലിഷിംഗ് ഹൗസ് TOGU 2011 UDC 539.3/6 ൽ പഠിക്കുന്ന വിദ്യാർത്ഥികൾക്കായി "ഗണിതശാസ്ത്ര ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അനലിറ്റിക്കൽ, സംഖ്യാ രീതികൾ" എന്ന കോഴ്‌സിലെ ലബോറട്ടറി പ്രവർത്തനം. (076.5) MATHCAD-ലെ പരിമിതമായ മൂലക രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ദ്വിമാന താപ ചാലക പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നു: ബിരുദാനന്തര ബിരുദത്തിൽ പഠിക്കുന്ന വിദ്യാർത്ഥികൾക്കായി "ഗണിതശാസ്ത്ര ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അനലിറ്റിക്കൽ, സംഖ്യാ രീതികൾ" എന്ന കോഴ്‌സിൽ ലബോറട്ടറി ജോലികൾ ചെയ്യുന്നതിനുള്ള മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശങ്ങളും ടെസ്റ്റ് അസൈൻമെൻ്റുകളും. കമ്പ്. എൽ.എം. ഇവാനിക്കോവ്. - ഖബറോവ്സ്ക്: പസഫിക് പബ്ലിഷിംഗ് ഹൗസ്. സംസ്ഥാനം യൂണിവേഴ്സിറ്റി, 2011.

ഡിഫോർമബിൾ സോളിഡ്‌സിൻ്റെ മെക്കാനിക്‌സ് വകുപ്പിൽ രീതിശാസ്ത്ര നിർദ്ദേശങ്ങൾ സമാഹരിച്ചു. ലബോറട്ടറി ജോലിയുടെ ഉള്ളടക്കവും അത് നടപ്പിലാക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ “ഗണിതശാസ്ത്ര ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള വിശകലന, സംഖ്യാ രീതികൾ” എന്ന കോഴ്‌സിൻ്റെ വിഭാഗങ്ങൾ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ശുപാർശകളും ശുപാർശ ചെയ്യുന്ന സാഹിത്യത്തിൻ്റെയും ലബോറട്ടറി ജോലികൾക്കായുള്ള ചുമതലകളുടെയും ഒരു ലിസ്റ്റ് ഉൾപ്പെടുന്നു.

ഡിഫോർമബിൾ സോളിഡുകളുടെ മെക്കാനിക്സ് വകുപ്പിൻ്റെയും ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ഓഫ് കൺസ്ട്രക്ഷൻ ആൻഡ് ആർക്കിടെക്ചറിൻ്റെ മെത്തഡോളജിക്കൽ കൗൺസിലിൻ്റെയും തീരുമാനങ്ങൾക്കനുസൃതമായി പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു.

© പസഫിക് സ്റ്റേറ്റ് യൂണിവേഴ്സിറ്റി,

സാധാരണയായി ലഭ്യമാവുന്നവ

പരിമിതമായ മൂലക രീതി ഉപയോഗിച്ച് ദ്വിമാന താപ ചാലക പ്രശ്നങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം മാസ്റ്റർ ചെയ്യുക എന്നതാണ് ലബോറട്ടറി പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ലക്ഷ്യം.

ഹീറ്റ് ട്രാൻസ്ഫർ സമവാക്യം

പ്ലെയിൻ താപ ചാലക പ്രശ്നത്തിൻ്റെ സമവാക്യത്തിന് 2T (x, y) 2T (x, y) Ky Q(x, y) 0, (1) Kx x 2 y kW എന്ന രൂപമുണ്ട്, ഇവിടെ K x, K y താപ ചാലകതയാണ്. x, y അക്ഷങ്ങളുടെ ദിശയിലുള്ള ഗുണകങ്ങൾ, ;

(m K) T (x, y) - ആവശ്യമുള്ള താപനില പ്രവർത്തനം; Q(x, y) - ശരീരത്തിനുള്ളിലെ താപ സ്രോതസ്സ്, kW. ശരീരത്തിലേക്ക് താപം വിതരണം ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ Q(x, y) 0.

m അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ രണ്ട് തരത്തിലാണ് ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നത്:

T TG (Г), 1. (2) Г അതിർത്തിയുടെ ഏതെങ്കിലും ഭാഗത്ത് താപനില T അറിയാമെങ്കിൽ, ഇവിടെ TG (Г) എന്നത് ഉപരിതല പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളെ ആശ്രയിച്ച് അതിർത്തിയുടെ പോയിൻ്റുകളിൽ അറിയപ്പെടുന്ന താപനിലയാണ്. അതിർത്തിയിൽ Г;

T (x, y) T (x, y) l Ky m h(T T) q(x, y) 0, 2. (3) Kx x y ഉപരിതലത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗത്ത് സംവഹന താപ വിനിമയം സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ Г 1, മൂല്യം h(T T), അല്ലെങ്കിൽ ഹീറ്റ് ഫ്ലോ q(x, y) ഉപരിതലത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗത്ത് വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ട് Г 2, കൂടാതെ Г Г1 Г 2. (2) ഉം (3) ലെ നോട്ടേഷനുകളും: h - ഹീറ്റ് ട്രാൻസ്ഫർ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് kW, ; ടി (x, y) - അതിർത്തിയിൽ അജ്ഞാത താപനില, കെ; T – (m2 K) അറിയപ്പെടുന്ന ആംബിയൻ്റ് താപനില, K; l, m - ഗൈഡ് ബ്രേസുകൾ; q(x, y) എന്നത് അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു താപ പ്രവാഹമാണ്, ശരീരത്തിന് m ചൂട് നഷ്ടപ്പെട്ടാൽ പോസിറ്റീവ് ആയി കണക്കാക്കുന്നു. ഒരേ പ്രദേശത്തെ താപ പ്രവാഹവും സംവഹന താപ കൈമാറ്റവും ഒരേസമയം പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയില്ല.

ഒരു താപ ഇൻസുലേറ്റ് ചെയ്ത അതിർത്തി ഉണ്ടെങ്കിൽ, താപ പ്രവാഹം പൂജ്യവും സംവഹന താപ കൈമാറ്റം ഇല്ലെങ്കിൽ, അതിർത്തി അവസ്ഥ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതപ്പെടും:

dT 0, dn ഇവിടെ n എന്നത് പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന പ്രദേശത്തിൻ്റെ അതിർത്തിയിലേക്കുള്ള ബാഹ്യ സാധാരണമാണ്.

താപ ചാലക പ്രശ്‌നത്തിനുള്ള പരിഹാരത്തിനുള്ള പ്രവർത്തനം

Гയിലെ അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകളുള്ള (2) കൂടാതെ (3) ഒരു പ്രദേശത്തിൻ്റെ സമവാക്യം (1) പരിഹരിക്കുന്നത് ഫങ്ഷണലിൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ അളവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന് തുല്യമാണ്. സാധാരണയായി ത്രികോണങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ എടുക്കുന്നവ (ചിത്രം 1) . ചുവടെ, ത്രികോണ FE-കൾക്കായി എല്ലാ ഫോർമുലകളും നൽകിയിരിക്കുന്നു. മേഖലയിലെ എല്ലാ പരിമിത ഘടകങ്ങളുടെയും സംഭാവനകളുടെ ആകെത്തുകയാണ് ഫങ്ഷണൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നത്. അപ്പോൾ (4) ചാലകതയുടെ രൂപമെടുക്കും.

അല്ലെങ്കിൽ നോഡൽ മൂല്യങ്ങളിലൂടെ എഫ്ഇയിൽ താപനില മാറുന്നതിനെ നമുക്ക് പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

ഇവിടെ [ N (e) ] എന്നത് FE ആകൃതിയിലുള്ള ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ മാട്രിക്‌സ് ആണ്, FE-യിലെ താപനില വിതരണം കണക്കിലെടുക്കുന്നു.

അപ്പോൾ FE ആകൃതി ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രേഡിയൻ്റുകളുടെ മാട്രിക്‌സ് എവിടെയാണ് [B (e)].

ഓരോ എഫ്ഇയ്ക്കും, ഫങ്ഷണൽ (4) എന്നതിനായുള്ള എക്‌സ്‌പ്രഷനിലേക്ക് ഓരോ എഫ്ഇയുടെയും സംഭാവന ഇപ്പോൾ നമുക്ക് എഴുതാം:

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തനക്ഷമത (4) ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

ഒരു വ്യക്തിഗത എഫ്ഇക്ക്, എഫ്ഇയുടെ താപ ചാലകത മാട്രിക്സിന് രൂപവും ബാഹ്യ സ്വാധീന വെക്‌ടറും എവിടെയായിരിക്കുമെന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു, പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന മുഴുവൻ പ്രദേശത്തിനും ഞങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു അല്ലെങ്കിൽ സമവാക്യം (6) എന്നത് ഉപയോഗിച്ച് താപ ചാലകത പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന സമവാക്യം. പരിമിതമായ മൂലക രീതി.

ദ്വിമാന സിംപ്ലക്സ് എലമെൻ്റ്

ഒരു വിമാന താപ ചാലക പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ, നേരായ വശങ്ങളുള്ള ഒരു ത്രികോണ FE ഉപയോഗിക്കുന്നു (ചിത്രം 1 കാണുക). നോഡുകളുടെ നമ്പറിംഗ് എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ നടക്കുന്നു, ഒരു പ്രത്യേക നോഡിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച്, ഒന്ന് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

FE വശങ്ങളുടെ നമ്പറിംഗ് ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 1.

നോഡൽ താപനില മൂല്യങ്ങൾ T1, T2, T3 എന്ന് നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു. x, y കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള ഒരു FE പോയിൻ്റിലെ താപനില സൂത്രവാക്യം നിർണ്ണയിച്ചിരിക്കുന്നത് ഈ FE-യ്‌ക്ക് ഉപയോഗിക്കുന്ന ആകൃതി ഫംഗ്‌ഷനുകളാണ്.

അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് FE ഏരിയ കണക്കാക്കുന്നത്. ആകൃതി ഫംഗ്ഷനുകളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഗുണകങ്ങൾ നോഡുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അവ ചുവടെ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

മെഷ് ജനറേഷനുള്ള ക്വാഡഗണൽ ഫെയുടെ അപേക്ഷ

പ്രാഥമികമായി ഒരു വലിയ സെല്ലുള്ള ഒരു ഗ്രിഡ് പ്രയോഗിക്കുന്നതിന് (പ്രദേശത്തെ സോണുകളായി വിഭജിക്കുന്നു), ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഘടകങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു (ചിത്രം 2).

FE യുടെ ഓരോ വശത്തും മൂന്ന് നോഡുകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

ചിത്രത്തിൽ. നോഡ് 7 (1, 1) എന്ന ലോക്കൽ റിലേറ്റീവ് കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ചിത്രം 2 കാണിക്കുന്നു. നോഡ് 1 മുതൽ ആരംഭിക്കുന്ന അത്തരമൊരു എഫ്ഇയുടെ നോഡുകളുടെ എണ്ണം എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ നടക്കുന്നു. 2, 4, 6, 8 നോഡുകൾ അനുബന്ധ വശത്ത് ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ പോയിൻ്റിൽ സ്ഥിതിചെയ്യാം, ഇത് പോയിൻ്റ് ആഘാതങ്ങൾക്ക് സമീപം സാന്ദ്രമായ മെഷ് കൂടുതൽ നിർമ്മിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു. തുടർന്ന്, അത്തരമൊരു എഫ്ഇയുടെ ഓരോ വശവും നൽകിയിരിക്കുന്ന വിഭാഗങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. നോഡുകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ അക്കമിട്ടിരിക്കുന്നു: കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള നോഡിൽ നിന്ന് ലംബമായി (1, 1) അച്ചുതണ്ടിന് താഴേക്കും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ടും അക്ഷത്തിൽ. അങ്ങനെ, വലിയ മൂലകങ്ങളെ ചെറിയവയായി വിഭജിക്കുന്നു, അവ ചെറിയ ഡയഗണൽ ദൈർഘ്യമുള്ള ത്രികോണ FE കളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. സോണിൻ്റെ ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള വിഭാഗങ്ങളും ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് മൂലകങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു (ചിത്രം 3).

അരി. 3. ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള പ്രദേശത്തെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് മൂലകമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു

FE തെർമൽ കണ്ടക്റ്റിവിറ്റി മെട്രിക്സ്

ഒരു ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള എഫ്ഇക്ക്, താപ ചാലകത മാട്രിക്സിന് എഫ്ഇയുടെ അനുബന്ധ വശങ്ങളുടെ നീളം എൽ 1 2, എൽ 2 3, എൽ 31 എന്നിങ്ങനെയുള്ള രൂപമുണ്ട്. അവസാനത്തെ മൂന്ന് പദങ്ങൾ FE യുടെ ഓരോ വശത്തുമുള്ള സംവഹന താപ കൈമാറ്റം കണക്കിലെടുക്കുന്നു. എഫ്ഇ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന പ്രദേശത്തിൻ്റെ അവിഭാജ്യ ഘടകമായതിനാൽ, സാധാരണയായി എഫ്ഇയുടെ ഒന്നോ രണ്ടോ വശങ്ങളിൽ സംവഹന താപ കൈമാറ്റം സംഭവിക്കുന്നു.

FE-യിലെ ബാഹ്യ സ്വാധീനങ്ങളുടെ വെക്റ്റർ

ബാഹ്യ (അറിയപ്പെടുന്ന) സ്വാധീനങ്ങൾ ഇവയാണ്:

1. സ്ഥിരമായ തീവ്രത Q (e) യുടെ FE ക്കുള്ളിലെ താപ സ്രോതസ്സ്.

2. ഹീറ്റ് ഫ്ലോ q (e) കാരണം താപ പ്രവാഹം.

3. ഹീറ്റ് ട്രാൻസ്ഫർ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് എച്ച് (ഇ) ഉള്ള എഫ്ഇയുടെ രണ്ട് വശങ്ങളിൽ കൂടുതൽ സംവഹന താപ കൈമാറ്റം.

4. പോയിൻ്റ് ഹീറ്റ് സ്രോതസ്സ് Q * (X 0, Y0), FE-യുടെ ഉള്ളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു.

എഫ്ഇയിലെ ബാഹ്യ സ്വാധീനങ്ങളുടെ വെക്റ്ററിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്

FE പ്രകാരം താപനില ഗ്രേഡിയൻ്റുകളും ശരാശരി താപനിലയും

FE അനുസരിച്ച് താപനില ഗ്രേഡിയൻ്റും ശരാശരി താപനിലയും ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

താപ ചാലക പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള നടപടിക്രമം

പരിഗണനയിലുള്ള പ്രദേശത്ത് നോഡുകളുടെ ഒരു ഗ്രിഡ് പ്രയോഗിക്കുന്നു

പ്രശ്‌ന പരിഹാര ഏരിയ ആഗോള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റമായ X, Y-ൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു. പരിഗണനയിലുള്ള പ്രദേശം നോഡുകളുടെ ഒരു ഗ്രിഡ് കൊണ്ട് മൂടിയിരിക്കണം. ചെറിയ ഗ്രിഡ് സെൽ, പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം കൂടുതൽ കൃത്യമായിരിക്കും. മെഷ് 2 ഘട്ടങ്ങളിലായാണ് പ്രയോഗിക്കുന്നത്.

ഘട്ടം I. പരിഗണനയിലുള്ള പ്രദേശം ചതുരാകൃതിയിലുള്ളതും ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ളതുമായ സോണുകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു (ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഘടകങ്ങൾ). ക്രമരഹിതമായ ക്രമത്തിലാണ് സോണുകൾ അക്കമിട്ടിരിക്കുന്നത്. അത്തരം ഓരോ സോണിനും, 8 നോഡൽ പോയിൻ്റുകൾ വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ട് (ഓരോ വശത്തും മൂന്ന്, കോർണർ പോയിൻ്റുകൾ ഉൾപ്പെടെ). ഒരു ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള സോണിന്, വശങ്ങളിലൊന്ന് ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളുമായി (5 പോയിൻ്റ്) യോജിക്കുന്നു.

അങ്ങനെ, സോണുകളായി വിഭജിക്കുമ്പോൾ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഘടകങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉറവിട ഡാറ്റയുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടികകൾ സമാഹരിച്ചിരിക്കുന്നു:

ഒരു പട്ടിക. 1 സോൺ കണക്ഷനുകൾ, സോണുകളുടെ ഏതൊക്കെ വശങ്ങൾ പരസ്പരം സമ്പർക്കത്തിലാണെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

പരിഗണനയിലുള്ള പ്രദേശത്തെ സോണുകളുടെ കണക്ഷൻ. പട്ടിക 1.

നൽകിയിരിക്കുന്ന പട്ടികയിൽ. സോൺ 1 ആദ്യ വശത്തുള്ള സോണുമായി മാത്രമാണ് സമ്പർക്കം പുലർത്തുന്നതെന്ന് 1 കാണിക്കുന്നു, സോൺ 2 ആദ്യ വശത്ത് സോൺ 1 മായും നാലാം വശത്ത് സോൺ 3 മായും ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. സോൺ 3 രണ്ടാം വശത്ത് സോൺ 2 മായി മാത്രമേ ബന്ധപ്പെടുകയുള്ളൂ (ചിത്രം 4). വശങ്ങളുടെ നമ്പറിംഗ് ആപേക്ഷിക കോർഡിനേറ്റുകളിലെ പ്രാദേശിക അക്ഷങ്ങളുടെ ഓറിയൻ്റേഷനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അവ ചിത്രത്തിൽ ബോൾഡ് നമ്പറുകളിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. ചിത്രത്തിൽ. പ്രാരംഭ നോഡായ N-ൽ നിന്ന് സോൺ നോഡുകളുടെ നമ്പറിംഗിൻ്റെ ദിശ ചിത്രം 4 കാണിക്കുന്നു.

അരി. 4. ഒരു സോൺ കണക്ഷൻ പട്ടികയുടെ രൂപീകരണം ബി). മേശ അംഗീകൃത ആഗോള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ സോണുകളുടെ അതിരുകളിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന നോഡുകളുടെ 2 കോർഡിനേറ്റുകൾ.

സോൺ അതിർത്തികളിലെ നോഡുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ പട്ടിക 2.

വി). മേശ 3, ചെറിയ വലിപ്പത്തിലുള്ള സെല്ലുകളുള്ള ഒരു ഗ്രിഡ് ലഭിക്കുന്നതിന് ഓരോ സോണും വിഭജിച്ചിരിക്കുന്ന ലംബവും തിരശ്ചീനവുമായ വരകളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ചെറിയ സെല്ലുകളുള്ള ഒരു ഗ്രിഡിൻ്റെ രൂപീകരണം പട്ടിക 3.

സോൺ 1 ഉയരത്തിൽ അഞ്ച് വരകളും വീതിയിൽ ആറ് വരകളും ആയി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു.

ജി). മേശ 4, അതിൽ ഓരോ സോണിനും മുമ്പ് പ്രയോഗിച്ച നോഡുകൾ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഓരോ സോണിനുമുള്ള പ്രാഥമിക ഗ്രിഡ് നോഡുകളുടെ എണ്ണം പട്ടിക 4.

പട്ടികയിൽ രണ്ടാമത്തെ സോണിൻ്റെ എട്ട് നോഡുകൾക്ക് എതിർ ഘടികാരദിശയിലുള്ള സോണിനെ മറികടക്കുമ്പോൾ അത്തരം സംഖ്യകളുണ്ടെന്ന് 4 സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഘട്ടം II. അടുത്തതായി, Mathcad "ഗ്രിഡ്" പ്രോഗ്രാം നടപ്പിലാക്കുന്നു, ഇത് ഓരോ സോണിനും ഉയരത്തിലും വീതിയിലും ഉള്ള സ്ട്രൈപ്പുകളുടെ എണ്ണം സജ്ജമാക്കുന്നു, ഇത് ഓരോ സോണിനെയും വളരെ ചെറിയ ദീർഘചതുരങ്ങളായി വിഭജിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഈ ചെറിയ ദീർഘചതുരങ്ങൾ ഓരോന്നും ഒരു ചെറിയ ഡയഗണൽ ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ പരിഗണനയിലുള്ള മുഴുവൻ പ്രദേശവും ഒരു ത്രികോണ സെല്ലുള്ള ഒരു ഗ്രിഡ് കൊണ്ട് മൂടിയിരിക്കുന്നു.

ഈ പ്രോഗ്രാമിൻ്റെ ഫലമായി, ഇനിപ്പറയുന്ന ഡാറ്റ നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു:

a). ത്രികോണ FE-കളുടെ എണ്ണം (Kol_Elem).

b) ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടികകൾ. 5, 6, 7.

സോണുകളുടെ വശങ്ങളിലുള്ള ഗ്രിഡ് നോഡുകളുടെ എണ്ണം പട്ടിക ഓരോ സോണിനും വലിപ്പത്തിൻ്റെ (ഉയരത്തിലുള്ള സോൺ സ്ട്രൈപ്പുകളുടെ എണ്ണം, സോൺ സ്ട്രൈപ്പുകളുടെ എണ്ണം) ഒരു മാട്രിക്സ് രൂപത്തിലാണ് പട്ടിക നൽകിയിരിക്കുന്നത്, ഇത് ഗ്രിഡിൻ്റെ നിർമ്മാണം ലളിതമാക്കുന്നു.

നൽകിയിരിക്കുന്ന മാട്രിക്സ് കാണിക്കുന്നത് സോൺ 3 ൽ സൈഡ് 1 ൽ 23, 24, 25, 26 നോഡുകൾ ഉണ്ട്; വശം 2 ൽ 26, 22, 1 നോഡുകൾ ഉണ്ട്; വശത്ത് 3 - നോഡുകൾ 1, 16, 13, 10; വശത്ത് 10, 19, 23 എന്നീ 4 നോഡുകൾ ഉണ്ട്. സോൺ എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ ബൈപാസ് ചെയ്യുക. ഈ നമ്പറിംഗ് ചുവടെയുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

എഫ്ഇയുടെ സ്ഥാനവും ത്രികോണ മെഷിലുള്ള എഫ്ഇ നോഡുകളുടെ ലൊക്കേഷനും സോൺ നമ്പർ, എഫ്ഇ നമ്പർ, എഫ്ഇ നോഡുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ എന്നിവ ലിങ്ക് ചെയ്യുന്ന പട്ടിക പട്ടികകളും പ്രദർശിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.

എഫ്ഇകളുടെയും അവയുടെ നോഡുകളുടെയും നമ്പറിംഗ് ഉള്ള ഒരു ഗ്രിഡ് പരിഗണനയിലുള്ള ഏരിയയുടെ ഡയഗ്രാമിൽ സ്വമേധയാ പ്രയോഗിക്കുന്നു.

ബാഹ്യ സ്വാധീനങ്ങളുടെ വെക്‌ടറിൻ്റെ രൂപീകരണം

പരിഗണനയിലുള്ള പ്രദേശത്തിനായി നിർമ്മിച്ച ഗ്രിഡിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്നവ ശ്രദ്ധിക്കപ്പെടുന്നു:

a) സംവഹന താപ വിനിമയം സംഭവിക്കുന്ന വശങ്ങളുടെ സംഖ്യകൾ.

b) താപനില സജ്ജമാക്കിയിരിക്കുന്ന നോഡുകളുടെ എണ്ണം.

സി) സാന്ദ്രീകൃത താപ സ്രോതസ്സുകൾ അവയുടെ വശങ്ങളിലോ നോഡുകളിലോ ഉള്ളിലോ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന എഫ്ഇ നമ്പറുകൾ.

ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടികകൾ സമാഹരിച്ചിരിക്കുന്നു. 8, 9, 10.

സംവഹന താപ കൈമാറ്റം ഉള്ള പ്രദേശത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾ FE യുടെ മൂന്ന് വശങ്ങളിൽ രണ്ടിൽ മാത്രമേ സംവഹന താപ കൈമാറ്റം സാധ്യമാകൂ എന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു.

പോയിൻ്റ് ഹീറ്റ് സ്രോതസ്സുകളുടെ പട്ടിക FE നോഡുകളിലെ താപനില മൂല്യങ്ങളുടെ പട്ടിക.

താപനില ഗ്രേഡിയൻ്റുകളുടെ പട്ടിക യഥാക്രമം X, Y അക്ഷങ്ങൾക്കൊപ്പം Gradx, Grady.

ഓരോ ഇസിക്കും ശരാശരി താപനില Tsred പട്ടിക.

ഐസോതെർം മൂല്യങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന, പരിഗണനയിലുള്ള പ്രദേശത്തെ താപനില വിതരണം.

ലബോറട്ടറി ജോലിയുടെ ഉദാഹരണം

ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ചൂട് ചാലക മാധ്യമത്തിലൂടെ 4 കേബിളുകൾ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. 5. മീഡിയത്തിന് താപ ചാലകത ഗുണകങ്ങൾ ഉണ്ട് K x K y 10. മാധ്യമത്തിൻ്റെ ഉപരിതലത്തിൽ താപ വിനിമയ ഗുണകം h 5 ആണ്. ലാറ്ററൽ വശങ്ങളിൽ, 2 K പരിഗണിക്കുക, ഇടത്തരം ഇൻസുലേഷൻ്റെ കട്ടിയുള്ള പാളിയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. മാധ്യമത്തിൻ്റെ ഉപരിതലത്തിലെ വായുവിൻ്റെ താപനില T 30 0 C ആണ്. മാധ്യമത്തിൻ്റെ താഴത്തെ പാളിയുടെ താപനില T 20 0 C ആണ്.

ഓരോ കേബിളിൻ്റെയും താപ വികിരണ ശക്തി Q 200 W ആണ്.

ആവശ്യമാണ്:

നിർദ്ദേശങ്ങൾ:

a) ലബോറട്ടറി ജോലി ചെയ്യുമ്പോൾ, പ്രദേശത്തിൻ്റെ സമമിതിയും താപനില പ്രഭാവത്തിൻ്റെ സമമിതിയും കണക്കിലെടുക്കുക;

ബി) പ്രദേശത്തിൻ്റെ കണക്കാക്കിയ ഭാഗം മൂന്നോ നാലോ സോണുകളായി വിഭജിക്കുക;

c) ഏരിയയിലേക്ക് ഗ്രിഡിൻ്റെ പ്രയോഗം ലളിതമാക്കുന്നതിന് ഓരോ സോണിനെയും ഉയരത്തിലും വീതിയിലും മൂന്ന് മുതൽ അഞ്ച് വരെ വരകളായി വിഭജിക്കുക.

പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പരിഹാരം

പരിഗണനയിലുള്ള പ്രദേശത്തിൻ്റെ സമമിതി കണക്കിലെടുത്ത്, കണക്കുകൂട്ടലിൽ ഈ പ്രദേശത്തിൻ്റെ പകുതി മാത്രമേ ഞങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കൂ (ചിത്രം 6).

X, Y എന്നീ ഗ്ലോബൽ അക്ഷങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൽ പരിഗണനയിലുള്ള പ്രദേശം സ്ഥാപിക്കുകയും അതിനെ മൂന്ന് സോണുകളായി വിഭജിക്കുകയും ചെയ്യാം, അതിൻ്റെ വശങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾ നോഡുകൾ പ്രയോഗിക്കും, സോണുകളെ ചിത്രത്തിൽ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഘടകങ്ങളായി കണക്കാക്കുന്നു. 7. നമുക്ക് സോണുകളും നോഡുകളും അക്കമിടാം, പ്രദേശത്തിന് എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ ചുറ്റി സഞ്ചരിക്കാം. സോൺ സൈഡ് നമ്പറുകൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഓരോ സോണിനും പ്രാദേശിക അക്ഷങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനം സ്ഥാപിച്ചിട്ടുണ്ട്.

അരി. 7. സോണുകളായി പ്രദേശത്തിൻ്റെ പ്രാഥമിക വിഭജനം പ്രശ്നത്തിൻ്റെ കൂടുതൽ കൃത്യമായ പരിഹാരത്തിനായി, പോയിൻ്റ് ഹീറ്റ് സ്രോതസ്സുകൾക്ക് അടുത്തുള്ള സോൺ അതിർത്തികളിൽ നോഡുകൾ സ്ഥാപിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

നിയുക്ത സോണുകളുടെയും നോഡുകളുടെയും പ്രാരംഭ ഡാറ്റ സമാഹരിച്ചിരിക്കുന്നു (പട്ടിക 1, 2, 3, 4). കണക്കുകൂട്ടൽ പ്രോഗ്രാം ഒരു പട്ടിക ഉണ്ടാക്കുന്നു. 5, 6, 7, കൂടുതൽ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഏരിയയിൽ പ്രയോഗിക്കുന്ന ത്രികോണ മെഷിനെക്കുറിച്ചുള്ള പൂർണ്ണമായ വിവരങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു. ഈ പട്ടികകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഷീറ്റിൽ ഒരു ഗ്രിഡ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നു (ചിത്രം 8).

അരി. 8. ത്രികോണ മെഷ് പ്രദേശത്ത് പ്രയോഗിക്കുന്നു, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മെഷ് ഉപയോഗിച്ച്, ബാഹ്യ താപനില ഇഫക്റ്റുകൾ കണക്കിലെടുക്കുകയും പട്ടികകൾ സമാഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. 8, 9, 10. അതിനുശേഷം, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലങ്ങളും ചിത്രം 1 ലെ അവയുടെ ഗ്രാഫിക്കൽ പ്രാതിനിധ്യവും പട്ടിക രൂപത്തിൽ പ്രദർശിപ്പിക്കും. 9 ഒപ്പം

1. ഫെ ഗ്രിഡ് സൃഷ്ടിക്കുന്നതിനുള്ള പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഫലങ്ങൾ

സോൺ അതിർത്തികളിൽ ഗ്രിഡ് നോഡുകൾ

ടേബിൾ ഓഫ് ഫെ

ഫെ നോഡുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ

വെക്റ്റർ രൂപീകരണം

ബാഹ്യ സ്വാധീനങ്ങൾ

സ്റ്റോർ

2. പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലങ്ങൾ

പ്രദേശത്തെ FE താപനില അനുസരിച്ച് താപനില ഗ്രേഡിയൻ്റും ശരാശരി താപനിലയും

ലബോറട്ടറി ജോലികൾക്കുള്ള ടാസ്ക് ഓപ്ഷനുകൾ

ഒരു ചൂട് ചാലക മാധ്യമത്തിൽ, ഡയഗ്രാമിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, ചൂട് പ്രസരിപ്പിക്കുന്ന കേബിളുകൾ ഉണ്ട്. മാധ്യമത്തിന് താപ ചാലകത ഗുണകങ്ങൾ K x, K y എന്നിവയുണ്ട്. മീഡിയം എച്ച് ൻ്റെ ഉപരിതലത്തിൽ ഹീറ്റ് ട്രാൻസ്ഫർ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ്. ചില പ്രദേശങ്ങളിൽ, സംശയാസ്പദമായ പരിസ്ഥിതി ഇൻസുലേഷൻ്റെ കട്ടിയുള്ള പാളിയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. സംവഹന താപ വിനിമയം സംഭവിക്കുന്ന പരിസ്ഥിതിയുടെ ചില പ്രദേശങ്ങളിലെ വായുവിൻ്റെ താപനില, ടി. പരിസ്ഥിതിയുടെ ചില പ്രദേശങ്ങളിൽ താപനില ടി സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഓരോ കേബിളിൻ്റെയും റേഡിയേഷൻ ഹീറ്റ് പവർ Q ആണ്.

നിങ്ങളുടെ പതിപ്പിനും ടാസ്‌ക് ഡയഗ്രാമിനും (പട്ടിക 11, ചിത്രം 11) പ്രാരംഭ ഡാറ്റ ഉപയോഗിച്ച് ആവശ്യമാണ്:

1. ഒരു നിശ്ചിത പ്രദേശത്ത് താപനില വിതരണം നിർണ്ണയിക്കുക.

2. പ്രദേശത്തെ താപനില ഗ്രേഡിയൻ്റും ശരാശരി താപനിലയും നിർണ്ണയിക്കുക.

3. ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങളിലെ മാറ്റങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുക.

പ്രാരംഭ ഡാറ്റ

ഓപ്‌ഷനുകളിലെ ലബോറട്ടറി പ്രവർത്തനത്തിനുള്ള പ്രാരംഭ ഡാറ്റ ടേബിൾ ഹോഹ്, ആൻ്റ ചിത്രം. 11. ലബോറട്ടറി പ്രവർത്തനത്തിനുള്ള റിയർ ഓപ്ഷനുകളുടെ സ്കീമുകൾ

നിയന്ത്രണ ചോദ്യങ്ങൾ

ഒരു ദ്വിമാന പ്രശ്നത്തിനുള്ള താപ സമവാക്യം എഴുതുക.

ദ്വിമാന താപ ചാലക പ്രശ്നത്തിനുള്ള അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ എഴുതുക.

താപ ചാലക പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പൂർണ്ണമായ പ്രവർത്തനരീതി എഴുതുക.

പരിമിതമായ മൂലക രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ദ്വിമാന താപ ചാലക പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക.

5. ദ്വിമാന താപ ചാലക പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ഏത് പരിമിത മൂലകങ്ങളാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്?

6. ദ്വിമാന സിംപ്ലക്സ് മൂലകത്തിന് ആകൃതി ഫംഗ്ഷനുകൾ എങ്ങനെയാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്?

7. ക്വാഡ്രാറ്റിക് മൂലകങ്ങൾ എന്തിനുവേണ്ടിയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്?

8. ലോക്കൽ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം എങ്ങനെ തിരഞ്ഞെടുക്കുകയും ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് മൂലകത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾ അക്കമിട്ടിരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു?

9. ത്രികോണ FE-യുടെ താപ ചാലകത മാട്രിക്സ് എഴുതുക.

10. പരിഗണനയിലുള്ള പ്രദേശത്തിന് താപ ചാലകത മാട്രിക്സ് എങ്ങനെയാണ് രൂപപ്പെടുന്നത്?

11. എഫ്ഇയുടെ ബാഹ്യ താപ സ്വാധീനങ്ങളുടെ വെക്റ്റർ എങ്ങനെയാണ് രൂപപ്പെടുന്നത്?

12. പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന പ്രദേശത്തിന് ബാഹ്യ സ്വാധീനങ്ങളുടെ വെക്റ്റർ എങ്ങനെയാണ് രൂപപ്പെടുന്നത്?

13. താപനില ഗ്രേഡിയൻ്റുകളും ശരാശരി താപനിലയും എങ്ങനെയാണ് FE നിർണ്ണയിക്കുന്നത്?

14. പരിഗണനയിലുള്ള പ്രദേശത്ത് മെഷ് എങ്ങനെയാണ് പ്രയോഗിക്കുന്നത്?

15. മെഷ് പ്രയോഗിക്കുന്നതിന് എന്ത് പ്രാരംഭ ഡാറ്റ തയ്യാറാക്കണം?

16. മെഷ് സൃഷ്ടിക്കാൻ എന്ത് ഔട്ട്പുട്ട് ഉപയോഗിക്കുന്നു, അത് ഏരിയയിൽ എങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കുന്നു?

17. ബാഹ്യ താപ സ്വാധീനങ്ങളുടെ വെക്റ്റർ രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിന് എന്ത് ഡാറ്റ നൽകണം?

18. ഒരു പോയിൻ്റ് ഹീറ്റ് സ്രോതസ്സിൻ്റെ വ്യാപ്തിയുടെ അടയാളം എങ്ങനെ കണക്കിലെടുക്കാം? ചൂട് നേട്ടം?

19. താപ ചാലക പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലമായി എന്ത് ഔട്ട്പുട്ട് ഡാറ്റയാണ് ലഭിക്കുന്നത്?

1. Zenkevich O. സാങ്കേതികവിദ്യയിൽ പരിമിതമായ മൂലക രീതി / O. Zenkevich. – എം.:

മിർ, 1975. - 452 പേ.

2. Segerlind L. പരിമിതമായ മൂലക രീതിയുടെ പ്രയോഗം / L. Segerlind. – എം.:

മിർ, 1979. - 392 പേ.

സാധാരണയായി ലഭ്യമാവുന്നവ……………………………………………. ഹീറ്റ് ട്രാൻസ്ഫർ സമവാക്യം……………………………………………… താപ ചാലക പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനപരം………………………… ദ്വിമാന സിംപ്ലക്സ് മൂലകം………… …………………………………………. മെഷ് ജനറേഷനായി ചതുരാകൃതിയിലുള്ള എഫ്ഇയുടെ പ്രയോഗം........... എഫ്ഇ താപ ചാലകത മാട്രിക്സ്. …………………………. താപനില ഗ്രേഡിയൻ്റുകളും FE അനുസരിച്ച് ശരാശരി താപനിലയും. ജോലി……….. പ്രശ്നപരിഹാരം…………………………………………………. പ്രശ്‌നത്തിനുള്ള പരിഹാരത്തിൻ്റെ പ്രിൻ്റൗട്ട് ………………………………………………………….. ലബോറട്ടറി ജോലികൾക്കുള്ള ടാസ്‌ക് ഓപ്‌ഷനുകൾ ........ ടെസ്റ്റ് ചോദ്യങ്ങൾ……. ……………………………………………………. ഗ്രന്ഥസൂചിക ………………………………………………

ദ്വിമാന താപ ചാലക പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പരിഹാരം

മത്‌കാഡിലെ ഫിനിറ്റ് എലമെൻ്റ് രീതി പ്രകാരം

ബിരുദാനന്തര ബിരുദത്തിൽ പഠിക്കുന്ന വിദ്യാർത്ഥികൾക്കായി "ഗണിത ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അനലിറ്റിക്കൽ, സംഖ്യാ രീതികൾ" എന്ന കോഴ്‌സിൽ ലബോറട്ടറി ജോലികൾ ചെയ്യുന്നതിനുള്ള രീതിശാസ്ത്ര നിർദ്ദേശങ്ങളും നിയന്ത്രണ ജോലികളും.

എഡിറ്റർ-ഇൻ-ചീഫ് A. A. Suevalova എഡിറ്റർ T. F. Sheikina കമ്പ്യൂട്ടർ ലേഔട്ട് ഓപ്പറേറ്റർ L. M. ഇവാനിക്കോവ് അച്ചടിക്കുന്നതിനായി ഒപ്പുവച്ചു. ടൈംസ് ടൈപ്പ്ഫേസ്. ഡിജിറ്റൽ പ്രിൻ്റിംഗ്.

സോപാധികം അടുപ്പ് എൽ. സർക്കുലേഷൻ 50 കോപ്പികൾ. പസഫിക് സ്റ്റേറ്റ് യൂണിവേഴ്സിറ്റി പ്രസ്സ് ഉത്തരവിട്ടു.

680035, ഖബറോവ്സ്ക്, സെൻ്റ്. പസഫിക്, 136.

പസഫിക് സ്റ്റേറ്റ് യൂണിവേഴ്സിറ്റിയുടെ പബ്ലിഷിംഗ് ഹൗസിൻ്റെ പ്രവർത്തന പ്രിൻ്റിംഗ് വകുപ്പ്. 680035, ഖബറോവ്സ്ക്, സെൻ്റ്. പസഫിക്, 136.

സമാനമായ പ്രവൃത്തികൾ:

“വി.ബി. പൊനോമറേവ് എ.ഇ. Zamuraev അഭിലാഷവും വ്യാവസായിക ഉദ്വമനങ്ങളുടെയും ശുദ്ധീകരണത്തിൻ്റെയും ശുദ്ധീകരണവും വിദ്യാഭ്യാസത്തിനുള്ള ഫെഡറൽ ഏജൻസി സ്റ്റേറ്റ് എജ്യുക്കേഷണൽ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഓഫ് ഹയർ പ്രൊഫഷണൽ എഡ്യൂക്കേഷൻ യുറൽ സ്റ്റേറ്റ് ടെക്നിക്കൽ യൂണിവേഴ്സിറ്റി - യുപിഐ വി.ബി. പൊനോമറേവ് എ.ഇ. സമുരേവ് അഭിലാഷവും വ്യാവസായിക എമിഷനുകളുടെയും ശുദ്ധീകരണത്തിൻ്റെയും കോഴ്‌സ് മെഷീനുകൾക്കും നിർമ്മാണ സാമഗ്രികളുടെ യൂണിറ്റുകൾക്കുമുള്ള മെത്തഡോളജിക്കൽ നിർദ്ദേശങ്ങൾ - പ്രൊഫഷണലുകൾ, പ്രൊഫഷണലുകൾ. സാങ്കേതിക. സയൻസസ് V.Ya.Dzyuzer Ekaterinburg UDC 666.9.001.575 (042.4) BBK 35.41v P നിരൂപകർ: പൊനോമറേവ് വി.ബി. P56 അഭിലാഷവും..."

"റഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ്റെ വിദ്യാഭ്യാസ, ശാസ്ത്ര മന്ത്രാലയം ഉന്നത പ്രൊഫഷണൽ വിദ്യാഭ്യാസത്തിൻ്റെ ഫെഡറൽ സ്റ്റേറ്റ് ബഡ്ജറ്ററി എജ്യുക്കേഷണൽ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഓഫ് ഹയർ പ്രൊഫഷണൽ എഡ്യൂക്കേഷൻ പസഫിക് സ്റ്റേറ്റ് യൂണിവേഴ്സിറ്റി പ്രൊഡക്ഷൻ ഓഫ് സ്റ്റോൺ വർക്ക് പ്രോഡക്ഷൻ, കൺസ്ട്രക്ഷൻ, ആർക്കിടെക്ചർ, ആർക്കിടെക്ചറൽ എൻവയോൺമെൻ്റ് ഡിസൈൻ, ടെക്നോളജി, ടെക്നോളജി, ടെക്നോളജിക്കൽ ഡിസൈൻ, ടെക്നോളജി, ടെക്നിക്, ടെക്നിക്, ടെക്നിക്, ടെക്നിക്, ടെക്നോളജി, ടെക്നിക്, ടെക്നിക്, ടെക്നിക്, ടെക്നോളജി, ടെക്നിക്, ടെക്നിക്, ടെക്നിക്, ടെക്നിക്, ടെക്നോളജി, ടെക്നിക്, ടെക്നിക്, ടെക്നിക്, ടെക്നിക്, ടെക്നോളജി, ടെക്നിക്, ടെക്നോളജി, ടെക്നോളജി, ടെക്നോളജി, ടെക്നോളജി, ടെക്നോളജി, ടെക്നോളജി, ടെക്നോളജി, ടെക്നോളജി, ടെക്നോളജി, ടെക്നോളജി, ടെക്നോളജി, ടെക്നോളജി, ടെക്നോളജി, ടെക്നോളജി, ടെക്നോളജി, ടെക്നോളജി, ടെക്നോളജി, ടെക്നോളജി, സാങ്കേതികത , ലാൻഡ്സ്കേപ്പ് ആർക്കിടെക്ചറും സ്പെഷ്യലിസ്റ്റ് പരിശീലന പരിപാടികളും..."

"റഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ ഫെഡറൽ ഏജൻസി ഓഫ് എഡ്യൂക്കേഷൻ ആൻഡ് സയൻസ് മിനിസ്ട്രി ഓഫ് എഡ്യൂക്കേഷൻ സ്റ്റേറ്റ് എജ്യുക്കേഷൻ ഓഫ് ഹയർ പ്രൊഫഷണൽ എഡ്യുക്കേഷൻ റോസ്റ്റോവ് സ്റ്റേറ്റ് കൺസ്ട്രക്ഷൻ യൂണിവേഴ്സിറ്റി ജനുവരി 20 ന് കൺസ്ട്രക്ഷൻ ഡിപ്പാർട്ട്മെൻ്റ് ഓഫ് ഇക്കണോമിക്സ് ആൻഡ് മാനേജ്മെൻ്റ് 2010 ജനുവരി 2 ന് അംഗീകരിച്ചു. റോസ്തോവ്-ഓൺ-ഡോൺ, യു.ഡി.സി 69.003(07) സാമ്പത്തിക സ്പെഷ്യാലിറ്റികളിലെയും മേഖലകളിലെയും വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ബിരുദ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ബിരുദ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ഗവേഷണ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നതിനുള്ള രീതിശാസ്ത്രപരമായ നിർദ്ദേശങ്ങൾ...”

“നിയമപരമായ ഡോക്യുമെൻ്റേഷൻ്റെ അടിസ്ഥാനം: www.complexdoc.ru റഫറൻസ് മെറ്റീരിയലുകൾ നൂറ്റാണ്ടിലെ മെറ്റീരിയലുകളും സാങ്കേതികവിദ്യകളും ഡോബ്രോമിസ്ലോവ് എ.യാ., സങ്കോവ എൻ.വി. പ്ലാസ്റ്റിക് പൈപ്പുകളും പൈപ്പ് ലൈനുകളുടെ നിർമ്മാണത്തിനും അറ്റകുറ്റപ്പണികൾക്കുമുള്ള ആധുനിക സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ കെട്ടിടങ്ങൾക്കും അയൽക്കാർക്കുമായി പ്ലാസ്റ്റിക് പൈപ്പുകളിൽ നിന്ന് നിർമ്മിച്ച മലിനജല സംവിധാനങ്ങളുടെ രൂപകൽപ്പന, ഇൻസ്റ്റാളേഷനും പ്രവർത്തനവും ശുപാർശകൾ. മലിനജല സംവിധാനങ്ങളുടെ പൈപ്പുകൾ സ്ഥാപിക്കുന്നതിനുള്ള ടെറിയലുകൾ കെട്ടിടങ്ങളും അയൽപക്കങ്ങളും 1.1. ആന്തരിക..."

"റഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ്റെ വിദ്യാഭ്യാസ മന്ത്രാലയം ഉന്നത പ്രൊഫഷണൽ വിദ്യാഭ്യാസത്തിൻ്റെ സംസ്ഥാന വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം "ഒറെൻബർഗ് സ്റ്റേറ്റ് യൂണിവേഴ്സിറ്റി" ബിൽഡിംഗ് മെറ്റീരിയലുകളുടെയും ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെയും സാങ്കേതിക വകുപ്പ് ടി.ഐ. "മെറ്റീരിയൽസ് സയൻസ്" അച്ചടക്കം പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ഷെവ്ത്സോവ മെറ്റീരിയൽസ് സയൻസ് മെത്തഡോളജിക്കൽ നിർദ്ദേശങ്ങൾ സ്റ്റേറ്റ് എജ്യുക്കേഷണൽ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഓഫ് ഹയർ പ്രൊഫഷണൽ എഡ്യൂക്കേഷൻ്റെ എഡിറ്റോറിയൽ ആൻഡ് പബ്ലിഷിംഗ് കൗൺസിൽ പ്രസിദ്ധീകരിക്കാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു..."

"റഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ്റെ സെൻ്റ് പീറ്റേഴ്‌സ്ബർഗ് സ്റ്റേറ്റ് യൂണിവേഴ്സിറ്റി ഓഫ് ആർക്കിടെക്ചർ ആൻഡ് സിവിൽ എഞ്ചിനീയറിംഗ് ജി.പി. കൊമിന, എ. ഒ. പ്രൊഷുട്ടിൻസ്കി ഹൈഡ്രോളിക് കണക്കുകൂട്ടലും ഗ്യാസ് പൈപ്പ്ലൈനുകളുടെ രൂപകൽപ്പനയും സംബന്ധിച്ച വിദ്യാഭ്യാസ, ശാസ്ത്ര മന്ത്രാലയം പാഠപുസ്തകം St. സാങ്കേതിക. സയൻസസ്, അസോസിയേറ്റ് പ്രൊഫസർ M. A. Kochergin, OJSC Gazpromregiongaz ൻ്റെ ക്യാപിറ്റൽ കൺസ്ട്രക്ഷൻ വകുപ്പിൻ്റെ സാങ്കേതിക മേൽനോട്ട വിഭാഗത്തിൻ്റെ ചീഫ് സ്പെഷ്യലിസ്റ്റ്; എ.ജി. മാറ്റ്വീവ്, ഡെപ്യൂട്ടി ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ജനറൽ ഡയറക്ടർ..."

"യരോസ്ലാവ് മേഖലയിലെ ജനസംഖ്യയുടെ തൊഴിൽ വകുപ്പും സാമൂഹിക പിന്തുണയും പ്രാദേശിക ടാർഗെറ്റ് പ്രോഗ്രാമിൻ്റെ നടപ്പാക്കൽ ആക്സസ് ചെയ്യാവുന്ന അന്തരീക്ഷം. വൈകല്യമുള്ളവരുടെ സാമൂഹിക പുനരധിവാസത്തിനായി യാരോസ്ലാവ് മേഖലയിലെ ജനസംഖ്യയ്‌ക്കായി സാമൂഹിക സംരക്ഷണ ബോഡികളുടെയും സാമൂഹിക സേവന സ്ഥാപനങ്ങളുടെയും പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഓർഗനൈസേഷൻ വിവരങ്ങളുടെയും മെത്തഡോളജിക്കൽ മെറ്റീരിയലുകളുടെയും ശേഖരണം യാരോസ്ലാവ് 2011 പ്രാദേശിക ടാർഗെറ്റ് പ്രോഗ്രാമിൻ്റെ നടപ്പാക്കൽ ആക്സസ് ചെയ്യാവുന്ന പരിസ്ഥിതി. സാമൂഹിക സംരക്ഷണ സ്ഥാപനങ്ങളുടെയും സാമൂഹിക സേവന സ്ഥാപനങ്ങളുടെയും പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഓർഗനൈസേഷൻ ... "

"റഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ്റെ വിദ്യാഭ്യാസ-ശാസ്ത്ര മന്ത്രാലയം, ഉന്നത പ്രൊഫഷണൽ വിദ്യാഭ്യാസത്തിൻ്റെ ഫെഡറൽ സ്റ്റേറ്റ് ബഡ്ജറ്ററി എജ്യുക്കേഷണൽ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ടിയുമെൻ സ്റ്റേറ്റ് ആർക്കിടെക്ചറൽ ആൻഡ് കൺസ്ട്രക്ഷൻ യൂണിവേഴ്‌സിറ്റി ഡിപ്പാർട്ട്‌മെൻ്റ് ഓഫ് സ്റ്റേറ്റ് ആൻഡ് മുനിസിപ്പൽ അഡ്മിനിസ്‌ട്രേഷനും നിയമ സ്ഥാപനവും. വിദ്യാർത്ഥികളുടെ പ്രായോഗിക വ്യായാമങ്ങൾക്കും സ്വയം സ്ഥാപിത യഥാർത്ഥ ജോലികൾക്കുമുള്ള ട്രൂക്‌ഷനുകൾ ദിശ 081100.62 സംസ്ഥാന, മുനിസിപ്പൽ അഡ്മിനിസ്ട്രേഷൻ മുഴുവൻ സമയ, പാർട്ട് ടൈം വിദ്യാഭ്യാസം Tyumen,..."

"ഫെഡറൽ ഏജൻസി ഫോർ എഡ്യൂക്കേഷൻ കസാൻ സ്റ്റേറ്റ് ആർക്കിടെക്ചറൽ ആൻഡ് കൺസ്ട്രക്ഷൻ യൂണിവേഴ്‌സിറ്റി N.S. ഗ്രോമാകോവ് കെമിക്കൽ കമ്മ്യൂണിക്കേഷൻ ഫുൾടൈം, പാർട്ട് ടൈം, ഡിസ്റ്റൻസ് ലേണിംഗ് ഒന്നാം വർഷ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള രസതന്ത്രത്തിലെ മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശങ്ങൾ കെ 78 ഗ്രോമാകോവ് എൻ. കൂടെ. കെമിക്കൽ കമ്മ്യൂണിക്കേഷൻ: മുഴുവൻ സമയ, പാർട്ട് ടൈം, വിദൂര പഠന വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള രസതന്ത്രത്തിലെ മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശങ്ങൾ, കസാൻ: KGASU, 2007. -37p. മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശങ്ങളിൽ അടിസ്ഥാന വിവര സാമഗ്രികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു..."

“ഉക്രെയ്‌നിലെ വിദ്യാഭ്യാസ, ശാസ്ത്ര മന്ത്രാലയം ഖാർകിവ് നാഷണൽ അക്കാദമി ഓഫ് അർബൻ ഇക്കോണമി വി.ഐ. ഓസ്പിഷെവ് അടിസ്ഥാനങ്ങൾ മാർക്കറ്റിംഗ് പാഠപുസ്തകം (സ്പെഷ്യാലിറ്റി വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് 6.070101 – ട്രാൻസ്പോർട്ട് ടെക്നോളജീസ്) ഖാർകോവ് പബ്ലിഷിംഗ് ഹൗസ് "ഫോർട്ട്" 2009 UDC 339.138(075.8) BBK 65.2790-277 അവലോകനങ്ങൾ ഇവാനിലോവ്, ഡോക്ടർ ഓഫ് ഇക്കണോമിക്സ്, പ്രൊഫസർ, ഹെഡ്. ഡിപ്പാർട്ട്മെൻ്റ് ഓഫ് ഇക്കണോമിക്സ്, ഖാർകോവ് സ്റ്റേറ്റ് ടെക്നിക്കൽ യൂണിവേഴ്സിറ്റി ഓഫ് കൺസ്ട്രക്ഷൻ ആൻഡ് ആർക്കിടെക്ചർ; ജി.വി. കോവലെവ്സ്കി, ഡോക്ടർ ഓഫ് ഇക്കണോമിക്സ്, മാർക്കറ്റിംഗ് ഡിപ്പാർട്ട്മെൻ്റിലെ പ്രൊഫസറും ഞാനും..."

"ഫെഡറൽ ഏജൻസി ഫോർ എഡ്യൂക്കേഷൻ സ്റ്റേറ്റ് എജ്യുക്കേഷണൽ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഓഫ് ഹയർ പ്രൊഫഷണൽ എജ്യുക്കേഷൻ, വ്‌ളാഡിമിർ സ്റ്റേറ്റ് യൂണിവേഴ്സിറ്റി ഡിപ്പാർട്ട്മെൻ്റ് ഓഫ് ബിൽഡിംഗ് സ്ട്രക്ചേഴ്സ്, റൈൻഫോർസ്ഡ് കോൺക്രീറ്റ് സ്ട്രക്ചറുകളുടെ വിഭാഗം പഠിക്കുന്നതിനുള്ള മെത്തഡോളജിക്കൽ നിർദ്ദേശങ്ങൾ: നിർമ്മാണ നിർമ്മാണ കോഴ്‌സുകൾ .വി. മിഖൈലോവ് വി.ഐ. VORONOV Vladimir 2009 UDC 624.012.3/4 BBK 38.53 M54 റിവ്യൂവർ ടെക്നിക്കൽ സയൻസസിൻ്റെ കാൻഡിഡേറ്റ്, അസോസിയേറ്റ് പ്രൊഫസർ ഹെഡ്. വ്‌ളാഡിമിറിൻ്റെ കെട്ടിട ഘടനകളുടെ വകുപ്പ് ..."

"റഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ്റെ വിദ്യാഭ്യാസ മന്ത്രാലയം ഉന്നത പ്രൊഫഷണൽ വിദ്യാഭ്യാസത്തിൻ്റെ സംസ്ഥാന വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം - ഒറെൻബർഗ് സ്റ്റേറ്റ് യൂണിവേഴ്സിറ്റി എ.എസ്. വ്യവസായത്തിലെ സമ്മർദത്താൽ വസ്തുക്കളുടെ കിലോവ് പ്രോസസ്സിംഗ്, ഉന്നത പ്രൊഫഷണൽ വിദ്യാഭ്യാസത്തിൻ്റെ സംസ്ഥാന വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനമായ ഒറെൻബർഗ് സ്റ്റേറ്റ് യൂണിവേഴ്സിറ്റിയിലെ അക്കാദമിക് കൗൺസിൽ ഉന്നത പ്രൊഫഷണൽ വിദ്യാഭ്യാസ പ്രോഗ്രാമുകളിൽ ചേർന്നിട്ടുള്ള വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഒരു പാഠപുസ്തകമായി ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു ... "

"ഫെഡറൽ ഏജൻസി ഫോർ എഡ്യൂക്കേഷൻ Ulyanovsk സ്റ്റേറ്റ് ടെക്നിക്കൽ യൂണിവേഴ്സിറ്റി വാട്ടർ കെമിസ്ട്രി ടെക്സ്റ്റ്ബുക്ക് നോൺ-കെമിക്കൽ സ്പെഷ്യാലിറ്റികളിലെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കായി സമാഹരിച്ചത്: എൽ.വി. പെട്രോവ, ഇ.എൻ. കല്യൂക്കോവ ഉലിയനോവ്സ്ക് 2004 UDC 541.1(075.8) BBK 24 Y7 X 46 നിരൂപകർ: തല. Transstroykomplekt LLC-യുടെ ഗവേഷണ-ഉൽപ്പാദന വിഭാഗം, Ph.D. സാങ്കേതിക. ശാസ്ത്രം. ഐ.എ. ഡോറോഫീവ്, തലവൻ ഡിപ്പാർട്ട്മെൻ്റ് ഓഫ് കെമിസ്ട്രി UlSPU, അസോസിയേറ്റ് പ്രൊഫസർ, കാൻഡിഡേറ്റ് ഓഫ് സയൻസസ്. chem. സയൻസസ് I. T. ഗുസേവ ഒരു വിദ്യാഭ്യാസമായി സർവകലാശാലയുടെ എഡിറ്റോറിയൽ ആൻഡ് പബ്ലിഷിംഗ് കൗൺസിൽ അംഗീകരിച്ചു..."

“വിദ്യാഭ്യാസ, ശാസ്ത്ര മന്ത്രാലയം ഉന്നത പ്രൊഫഷണൽ വിദ്യാഭ്യാസത്തിൻ്റെ സംസ്ഥാന വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം പെർം സ്റ്റേറ്റ് യൂണിവേഴ്സിറ്റി നാച്ചുറൽ സയൻസ് ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് എൻ.ജി. മാക്സിമോവിച്ച്, ഇ.എ. ഖൈറുലിന ജിയോകെമിക്കൽ ബാരിയറുകളും പരിസ്ഥിതി സംരക്ഷണവും പാഠപുസ്തകം പെർം 2011 UDC 504.06:550.4 BBK 20.18:26.30 M 18 Maksimovich, N.G. M18 ജിയോകെമിക്കൽ തടസ്സങ്ങളും പരിസ്ഥിതി സംരക്ഷണവും: പാഠപുസ്തകം. അലവൻസ് / എൻ.ജി. മാക്സിമോവിച്ച്, ഇ.എ. ഖൈറുലിന; പെർം. സംസ്ഥാനം സർവകലാശാല. - പെർം, 2011. - 248 പേ.: അസുഖം. ISBN..."

"ഉക്രെയ്നിലെ വിദ്യാഭ്യാസ, ശാസ്ത്ര മന്ത്രാലയം ഖാർകിവ് നാഷണൽ യൂണിവേഴ്‌സിറ്റി ഓഫ് അർബൻ ഇക്കോണമി. എ. എൻ. ബെക്കെറ്റോവ് റൂഫിംഗ് ആൻഡ് വാട്ടർപ്രൂഫിംഗ് വർക്കുകൾ എഡിറ്റ് ചെയ്തു. ഉന്നത വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളിലെ സ്പെഷ്യൽ എജ്യുക്കേഷൻ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കായി വി. Zhardu സിവിൽ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് വേണ്ടിയുള്ള ട്യൂട്ടോറിയൽ എഡിറ്റ് ചെയ്യുന്നു. kov KNUGH 2013 UDC (075 ) BBK 38.654.3ya73-6+38.637ya73-6 K83 രചയിതാക്കൾ: Zhvan Viktor Denisovich - ടെക്നിക്കൽ സയൻസസിൻ്റെ സ്ഥാനാർത്ഥി, പ്രൊഫസർ, ടെക്നോളജി വകുപ്പിലെ പ്രൊഫസർ..."

«മാനേജ്മെൻ്റ് ടെക്സ്റ്റ്ബുക്ക് യൂണിവേഴ്സിറ്റി വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി ഭാഗം 1 കെമെറോവോ 2008 2 UDC 65.018 (075) BBK 30.607ya7 M 31 നിരൂപകർ: ഇ.ജി. യഗുപ, ഡോ. ഇക്കോൺ. സയൻസസ്, അസോസിയേറ്റ് പ്രൊഫസർ, ഹെഡ്. KGSAR-ൻ്റെ സാമ്പത്തിക സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെയും എൻ്റർപ്രൈസ് ഇക്കണോമിക്‌സിൻ്റെയും വകുപ്പ്; സെമി. ബുഗ്രോവ, പിഎച്ച്.ഡി. ഇക്കോൺ. സയൻസസ്, ഡിപ്പാർട്ട്‌മെൻ്റ് ഓഫ് ഇക്കണോമിക്‌സ് ആൻഡ് ഓർഗനൈസേഷൻ ഓഫ് മെക്കാനിക്കൽ എഞ്ചിനീയറിംഗിൻ്റെ അസോസിയേറ്റ് പ്രൊഫസർ...”

"റഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ്റെ വിദ്യാഭ്യാസ, ശാസ്ത്ര മന്ത്രാലയം ഉന്നത പ്രൊഫഷണൽ വിദ്യാഭ്യാസത്തിൻ്റെ സംസ്ഥാന വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം ടാംബോവ് സ്റ്റേറ്റ് ടെക്നിക്കൽ യൂണിവേഴ്സിറ്റി ഒ.വി. ഉംനോവ, ഒ.വി. ഒരു പവലിയൻ തരത്തിലുള്ള കെട്ടിടത്തിൻ്റെ EVDOKIMTSEV സ്റ്റീൽ ഫ്രെയിം ഒരു അധ്യാപന സഹായമായി സർവകലാശാലയുടെ അക്കാദമിക് കൗൺസിൽ അംഗീകരിച്ച Tambov Publishing House TSTU 2008 UDC 624.014.2(075) BBK N549 U545 R. ssor TSTU വി.ഐ. FSK Tambovregionstroy LLC യുടെ ലെഡെനെവ് ജനറൽ ഡയറക്ടർ വി.ഐ. സ്ക്രിലേവ് ഉംനോവ, ഒ.വി. പവലിയൻ കെട്ടിടത്തിൻ്റെ U545 സ്റ്റീൽ ഫ്രെയിം...”

“റഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ്റെ വിദ്യാഭ്യാസ, ശാസ്ത്ര മന്ത്രാലയം, ഹയർ പ്രൊഫഷണൽ എജ്യുക്കേഷൻ്റെ ഫെഡറൽ സ്റ്റേറ്റ് ബഡ്ജറ്ററി വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം, കസാൻ സ്റ്റേറ്റ് യൂണിവേഴ്സിറ്റി ഓഫ് ആർക്കിടെക്ചർ, സിവിൽ എഞ്ചിനീയറിംഗ് ഡിപ്പാർട്ട്മെൻ്റ് ഓഫ് ഇക്കണോമിക്സ് ആൻഡ് എൻ്റർപ്രണർഷിപ്പ് ഇൻ കൺസ്ട്രക്ഷൻ മാർഗനിർദ്ദേശങ്ങൾ ഓർഗനൈസേഷൻ. ഇനിപ്പറയുന്ന സ്പെഷ്യാലിറ്റികളുടെയും പരിശീലന മേഖലകളിലെയും വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് മൾട്ടിമീഡിയ ഉറവിടങ്ങളുടെ ഉപയോഗം: 070603 ഇൻ്റീരിയർ ആർട്ട്, 190702 ഓർഗനൈസേഷനും ട്രാഫിക് സുരക്ഷയും, 190205 ലിഫ്റ്റിംഗും ഗതാഗതവും, നിർമ്മാണം, റോഡ് മെഷിനറികളും ഉപകരണങ്ങളും, 270100.62..."

"വിദ്യാഭ്യാസത്തിനായുള്ള റഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ്റെ ഫെഡറൽ ഏജൻസിയുടെ വിദ്യാഭ്യാസ, ശാസ്ത്ര മന്ത്രാലയം സെൻ്റ് പീറ്റേഴ്സ്ബർഗ് നാഷണൽ റിസർച്ച് യൂണിവേഴ്സിറ്റി ഓഫ് ഇൻഫർമേഷൻ ടെക്നോളജി, മെക്കാനിക്സ് എന്നിവ. വോറോബിയോവ ട്യൂട്ടോറിയൽ ഫോർ ദി കോഴ്‌സ് ജിയോ ഇൻഫർമേഷൻ സിസ്റ്റങ്ങൾ ഓഫ് ടെറിട്ടോറിയൽ മാനേജ്‌മെൻ്റ് സെൻ്റ് പീറ്റേഴ്‌സ്ബർഗ് 2012 1 ജിഐഎസ് ഉപയോഗിച്ച് ഒബ്‌ജക്റ്റുകളുടെ ജിയോസ്‌പേഷ്യൽ മോഡലിംഗും അവയ്‌ക്കൊപ്പമുള്ള സെമാൻ്റിക് വിവരങ്ങളുടെ ഉപയോഗവും പാഠപുസ്തകം നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്നു. കൂടാതെ, ശേഖരണത്തിൻ്റെയും തയ്യാറെടുപ്പിൻ്റെയും പ്രശ്നങ്ങൾ...”

"റഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ്റെ വിദ്യാഭ്യാസ, ശാസ്ത്ര മന്ത്രാലയം കസാൻ സ്റ്റേറ്റ് ആർക്കിടെക്ചറൽ ആൻഡ് കൺസ്ട്രക്ഷൻ യൂണിവേഴ്‌സിറ്റി ഡിപ്പാർട്ട്‌മെൻ്റ് ഓഫ് ഇൻഡസ്ട്രിയൽ സേഫ്റ്റി ആൻഡ് ലോ ലൈഫ് സേഫ്റ്റി മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശങ്ങൾ. 804.62 നിർമ്മാണ സാമഗ്രികളുടെ ഉത്പാദനവും ഉപയോഗവും , ഉൽപ്പന്നങ്ങളും ഘടനകളും Kazan 2013 UDC 69.05 : 658.382 BBK K 66 K 66 ജീവിത സുരക്ഷ:..."

എ.വി. ഇഗ്നാറ്റീവ്, എൻ.എ. മിഖൈലോവ, ടി.വി. എറെഷ്ചെങ്കോ ഫിനിറ്റ് എലമെൻ്റ് രീതിയും അതിൻ്റെ നടപ്പാക്കലും മാത്ത്കാഡ് എൻവയോൺമെൻ്റ് ലബോറട്ടറി വർക്ക്ഷോപ്പിൽ "ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള വിശകലനവും സംഖ്യാ രീതികളും" വോൾഗോഗ്രാഡ് 2010 ലെ സ്റ്റേറ്റ് ഓഫ് എജ്യുക്കേഷൻ ആൻഡ് സയൻസ് എഞ്ചിനീയറിംഗ് ഡിപ്പാർട്ട്മെൻ്റ് ഓഫ് റഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ്റെ സി. മാത്തമാറ്റിക്സ് ആൻഡ് കമ്പ്യൂട്ടർ എൻജിനീയറിങ് എ.വി. ഇഗ്നാറ്റീവ്, എൻ.എ. മിഖൈലോവ, ടി.വി. എറെഷ്ചെങ്കോ ഫിനിറ്റ് എലമെൻ്റ് രീതിയും അതിൻ്റെ നടപ്പാക്കലും മാത്ത്കാഡ് എൻവയോൺമെൻ്റ് ലബോറട്ടറി വർക്ക്ഷോപ്പിലെ "ഗണിത ഭൗതികശാസ്ത്ര സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള വിശകലന, സംഖ്യാ രീതികൾ" വോൾഗോഗ്രാഡ് 2010 UDC 620B.2010 UDC 620B.620B.95. 73+32.973-018.2я73 I 266 അവലോകനം ഗവേഷകർ: ടെക്‌നിക്കൽ സയൻസസ് സ്ഥാനാർത്ഥി എം.എം. സ്റ്റെപനോവ്, വോൾഗ സ്റ്റേറ്റ് യൂണിവേഴ്സിറ്റി ഓഫ് സിവിൽ എഞ്ചിനീയറിംഗിലെ അപ്ലൈഡ് മാത്തമാറ്റിക്സ് ആൻഡ് കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസ് വിഭാഗത്തിലെ പ്രൊഫസർ; ടെക്‌നിക്കൽ സയൻസസ് ഡോക്ടർ എൻ.ജി. ബന്ദൂറിൻ, വോൾഗ സ്റ്റേറ്റ് യൂണിവേഴ്‌സിറ്റി ഓഫ് സിവിൽ എഞ്ചിനീയറിംഗിലെ സ്ട്രക്ചറൽ മെക്കാനിക്‌സ് വിഭാഗം പ്രൊഫസർ, വിദ്യാഭ്യാസപരവും പ്രായോഗികവുമായ സഹായമായി യൂണിവേഴ്സിറ്റിയുടെ എഡിറ്റോറിയൽ ആൻഡ് പബ്ലിഷിംഗ് കൗൺസിൽ അംഗീകരിച്ച ഇഗ്നാറ്റീവ് എ.വി. I 266 മാത്‌കാഡ് പരിതസ്ഥിതിയിൽ പരിമിതമായ മൂലക രീതിയും അതിൻ്റെ നിർവ്വഹണവും: "ഗണിതശാസ്ത്ര ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള വിശകലനവും സംഖ്യാ രീതികളും" എന്ന അച്ചടക്കത്തിലെ ലബോറട്ടറി വർക്ക്‌ഷോപ്പ് / എ.വി. ഇഗ്നാറ്റീവ്, എൻ.എ. മിഖൈലോവ, ടി.വി. എറെഷ്ചെങ്കോ; വോൾഗോഗ്രർ. സംസ്ഥാനം ആർക്കിടെക്റ്റ്.ബിൽഡുകൾ. സർവകലാശാല. വോൾഗോഗ്രാഡ്: VolgGASU, 2010. 31 പേ. ISBN 978-5-98276-372-3 "ഗണിതശാസ്ത്ര ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അനലിറ്റിക്കൽ, സംഖ്യാ രീതികൾ" എന്ന വിഷയത്തിൽ ലബോറട്ടറി പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നതിന് ആവശ്യമായ ഹ്രസ്വമായ സൈദ്ധാന്തിക വിവരങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, വ്യക്തിഗത ജോലികൾക്കുള്ള ഓപ്ഷനുകൾ, ലബോറട്ടറി ജോലികൾ ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ എന്നിവയും നൽകുന്നു. പഠിക്കുന്ന വിഷയത്തിനായുള്ള ടെസ്റ്റ് ചോദ്യങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു. സ്പെഷ്യാലിറ്റി AD, SM, VV ഫുൾടൈം വിദ്യാഭ്യാസത്തിൻ്റെ മാസ്റ്റർമാർക്ക്. UDC 624.04:004.92(076.5) BBK 38.112я73+32.973-018.2я73 ISBN 978-5-98276-372-3 സ്റ്റേറ്റ് എഡ്യൂക്കേഷൻ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഓഫ് ഹയർ പ്രൊഫഷണൽ എഡ്യൂക്കേഷൻ "Volgograd State University of Architecture work" and C2 2 Architecture 1 ഫിനിറ്റ് എലമെൻ്റ് രീതിയും മത്‌കാഡ് സിസ്റ്റത്തിൽ അതിൻ്റെ നിർവ്വഹണവും ജോലിയുടെ ഉദ്ദേശ്യം: പരിമിതമായ മൂലക രീതി പഠിക്കാനും മാത്‌കാഡ് സിസ്റ്റത്തിൽ അത് നടപ്പിലാക്കുന്നതിൽ കഴിവുകൾ നേടാനും. അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളും എഫ്ഇഎമ്മിൻ്റെ ആശയവും രീതിയുടെ പ്രധാന ആശയം പ്രത്യേക പോയിൻ്റുകളിൽ പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ലളിതമായ രൂപത്തിൻ്റെ ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടമായി കണക്കാക്കുന്ന ഘടനയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുക എന്നതാണ് രീതിയുടെ പ്രധാന ആശയം. സാരാംശത്തിൽ, അനന്തമായ ഫ്രീഡം ഡിഗ്രികളുള്ള ഒരു തുടർച്ചയായ മാധ്യമം, പരിമിതമായ സംഖ്യകളുടെ സ്വാതന്ത്ര്യമുള്ള ഒരു കൂട്ടം ഉപമേഖലകളാൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കപ്പെടുന്നു. ഈ സമീപനത്തിലൂടെ, ഓരോ പരിമിത മൂലകത്തിനും (എഫ്ഇ) ഉള്ളിൽ ആവശ്യമുള്ള തുടർച്ചയായ അളവുകൾ (സ്ഥാനചലനങ്ങൾ, സമ്മർദ്ദങ്ങൾ, രൂപഭേദം മുതലായവ) ഈ അളവുകളുടെ നോഡൽ മൂല്യങ്ങളിലൂടെ ഏകദേശ ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. വിതരണം ചെയ്ത ബാഹ്യ ലോഡുകൾക്ക് തുല്യമായ നോഡൽ ശക്തികൾ പകരം വയ്ക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി, ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് പരിഗണനയിലുള്ള ഘടനയെ വിവരിക്കുന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇക്വേഷനുകൾ അല്ലെങ്കിൽ എനർജി ഫങ്ഷണൽ കുറയ്ക്കുക എന്നതാണ് പ്രശ്നം, ഇതിൻ്റെ പരിഹാരം ആവശ്യമുള്ള നോഡൽ അജ്ഞാതരുടെ മൂല്യങ്ങൾ നൽകുന്നു. കെട്ടിടം, മെക്കാനിക്കൽ എഞ്ചിനീയറിംഗ്, എയർക്രാഫ്റ്റ് ഘടനകൾ എന്നിവയുടെ ശക്തി, സ്ഥിരത, വൈബ്രേഷനുകൾ എന്നിവ കണക്കാക്കുന്ന സമ്പ്രദായത്തിൽ പരിമിതമായ മൂലക രീതി വളരെ വ്യാപകമാണ്. FEM ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് വിശാലമായ വടി സംവിധാനങ്ങൾ (ട്രസ്സുകൾ, ഫ്രെയിമുകൾ മുതലായവ), നേർത്ത മതിലുകളുള്ള സ്പേഷ്യൽ ഘടനകൾ (ഫ്ലോർ സ്ലാബുകൾ, കോട്ടിംഗ് ഷെല്ലുകൾ മുതലായവ), കൂറ്റൻ ത്രിമാന ബോഡികൾ, അതുപോലെ തന്നെ സംയോജിത സംവിധാനങ്ങൾ എന്നിവ വിജയകരമായി വിശകലനം ചെയ്യാൻ കഴിയും. ഏകമാന, ദ്വിമാന, ത്രിമാന മൂലകങ്ങളുടെ. വൈവിധ്യമാർന്ന പ്രയോഗക്ഷമത, ഘടനയുടെ ജ്യാമിതി, മെറ്റീരിയലുകളുടെ ഭൗതിക സവിശേഷതകൾ, പരിസ്ഥിതിയുമായുള്ള ഘടനകളുടെ ഇടപെടൽ (മെക്കാനിക്കൽ, താപനില, നാശത്തിൻ്റെ ഫലങ്ങൾ, അതിർത്തി അവസ്ഥകൾ, എന്നിവ കണക്കിലെടുക്കുന്നതിൻ്റെ ആപേക്ഷിക ലാളിത്യം എന്നിവയാൽ FEM വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു. മുതലായവ), കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ എല്ലാ ഘട്ടങ്ങളുടേയും ഓട്ടോമേഷനുമായി പൊരുത്തപ്പെടാനുള്ള ഉയർന്ന നിലവാരം. ഈ രീതിക്ക് ലളിതമായ ശാരീരിക വ്യാഖ്യാനമുണ്ട്, കൂടാതെ ഘടനാപരമായ മെക്കാനിക്സിൽ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്ന സ്ഥാനചലന രീതിയുമായി അടുത്ത ബന്ധമുണ്ട്. 3 പരിമിതമായ മൂലക സമീപനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ശക്തമായ സോഫ്റ്റ്‌വെയർ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ഒരു വലിയ സംഖ്യ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട്. അവയിൽ ABAQUS, ADINA, ANSYS, COSMOS/M, MSC/NASTRAN, LIRA, SCAD, STARK, STADIO എന്നിവ ഉൾപ്പെടുന്നു. അവയിൽ ഭൂരിഭാഗവും പരിമിത ഘടകങ്ങളുടെ വിപുലമായ ലൈബ്രറിയുണ്ട്, കൂടാതെ ശക്തി, സ്ഥിരത, വൈബ്രേഷനുകൾ എന്നിവയുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ സാധ്യമാക്കുന്നു, ഭൗതികവും ജ്യാമിതീയവുമായ നോൺ-ലീനിയറിറ്റികൾ, മെറ്റീരിയൽ ഓർത്തോട്രോപ്പി, ടെമ്പറേച്ചർ ലോഡുകൾ മുതലായവ കണക്കിലെടുക്കുന്നു. FEM നടപ്പിലാക്കുന്ന സോഫ്റ്റ്‌വെയർ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ മുകളിലുള്ള പട്ടികയാണ് പൂർണ്ണമായതിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെയാണ്, ഈ പ്രദേശത്തെ നിലവിലെ സാഹചര്യം മാത്രം പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു. നിസ്സംശയമായും, മറ്റ് സമീപനങ്ങളെ അപേക്ഷിച്ച് എഫ്ഇഎമ്മിന് കാര്യമായ ഗുണങ്ങളുണ്ട്, മാത്രമല്ല ഇത് സാർവത്രികവുമാണ്. അതേ സമയം, ഡിസൈനിലെ സംഖ്യാ ഗവേഷണ ഉപകരണങ്ങളുടെ വികസനത്തിലെ നിരവധി ഘട്ടങ്ങളിൽ ഒന്നായി ഇത് കണക്കാക്കണം. FEM അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ പൊതുവായ സ്കീം പരിമിതമായ മൂലക രീതി ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രധാന ഘട്ടങ്ങൾ നൽകുന്നു: 1. ഒരു ഭൗതിക വ്യവസ്ഥയുടെ ആദർശവൽക്കരണം. യഥാർത്ഥ ഭൗതിക വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃകയിലേക്കുള്ള പരിവർത്തന പ്രക്രിയയാണ് ആദർശവൽക്കരണം. ഒരു സാങ്കേതിക അല്ലെങ്കിൽ എഞ്ചിനീയറിംഗ് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഘട്ടമാണ് ഈ പ്രക്രിയ. ഈ പ്രക്രിയയിലെ ഒരു പ്രധാന പോയിൻ്റ് ഒരു മോഡലിൻ്റെ ആശയമാണ്, ഇത് ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സ്വഭാവത്തെ മാതൃകയാക്കാനും പ്രവചിക്കാനും നിർമ്മിച്ച ഒരു പ്രതീകാത്മക ഉപകരണമായി നിർവചിക്കാം. ഗണിത മോഡലിംഗ് അല്ലെങ്കിൽ ആദർശവൽക്കരണം, ഒരു എഞ്ചിനീയർ ഒരു യഥാർത്ഥ ഫിസിക്കൽ സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിലേക്ക് മാറുന്ന പ്രക്രിയയാണ്. ഈ പ്രക്രിയയെ ആദർശവൽക്കരണം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കാരണം ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക ഭൗതിക യാഥാർത്ഥ്യത്തിൽ നിന്ന് അമൂർത്തമായിരിക്കണം. ഒരു യഥാർത്ഥ ഫിസിക്കൽ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണമായി, ഷിയർ ഫോഴ്‌സുകളുള്ള ഒരു ഫ്ലാറ്റ് പ്ലേറ്റിൻ്റെ രൂപത്തിൽ ഒരു എഞ്ചിനീയറിംഗ് ഘടന പരിഗണിക്കുക. ഒരു എഞ്ചിനീയർക്ക് പ്ലേറ്റിലെ സമ്മർദ്ദങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യാൻ ഉപയോഗിക്കാവുന്ന ഈ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ ആകാം: 1) മെംബ്രൺ ബെൻഡിംഗ് സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള വളരെ നേർത്ത പ്ലേറ്റിൻ്റെ മാതൃക; 4 2) ക്ലാസിക്കൽ കിർച്ചോഫ് സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള നേർത്ത പ്ലേറ്റ് മോഡൽ; 3) മതിയായ കട്ടിയുള്ള പ്ലേറ്റിൻ്റെ ഒരു മാതൃക, ഉദാഹരണത്തിന്, മൈൻഡ്ലിൻ-റെയ്സ്നർ സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി; 4) ത്രിമാന ഇലാസ്തികത സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള വളരെ കട്ടിയുള്ള പ്ലേറ്റ് മോഡൽ. വ്യക്തമായും, എഞ്ചിനീയർക്ക് താൻ പഠിക്കേണ്ട സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (ഘടന) ഉചിതമായ ഗണിത മാതൃക ശരിയായി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിന് മതിയായ സൈദ്ധാന്തിക പരിജ്ഞാനം ഉണ്ടായിരിക്കണം. 2. പരിഗണനയിലുള്ള പ്രദേശത്തിൻ്റെ വിവേചനാധികാരം. കണക്കുകൂട്ടുന്ന രൂപകൽപ്പനയെ സാങ്കൽപ്പിക പോയിൻ്റുകൾ, വരകൾ അല്ലെങ്കിൽ ഉപരിതലങ്ങൾ എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് പരിമിതമായ അളവുകളുടെ (പരിമിതമായ ഘടകങ്ങൾ) ഘടകങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. മൂലകങ്ങൾ അവയുടെ അതിരുകളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന നോഡൽ പോയിൻ്റുകളിൽ പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു. സ്ട്രക്ചറൽ മെക്കാനിക്സിലെ ചില പ്രശ്നങ്ങളിൽ, നോഡൽ ഡിസ്പ്ലേസ്മെൻ്റുകൾക്ക് പുറമേ, അവയുടെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളും അജ്ഞാതമായ അജ്ഞാതമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. 3. ഇൻ്റർപോളിംഗ് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ നിർമ്മാണം. നോഡൽ പോയിൻ്റുകളുടെ സ്ഥാനചലനങ്ങളിലൂടെ ഓരോ പരിമിത ഘടകത്തിലുമുള്ള സ്ഥാനചലനങ്ങൾ അദ്വിതീയമായി നിർണ്ണയിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം (മിക്കപ്പോഴും പീസ്വൈസ് പോളിനോമിയൽ) തിരഞ്ഞെടുത്തു. മൂലകത്തിൻ്റെ അതിരുകളിൽ ആവശ്യമുള്ള അളവുകളുടെ (സ്ഥാനചലനങ്ങളും അവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും) തുടർച്ച ഉറപ്പാക്കുന്ന തരത്തിലാണ് ഇൻ്റർപോളിംഗ് ഫംഗ്ഷനുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത്. 4. അടിസ്ഥാന ജ്യാമിതീയവും ശാരീരികവുമായ ബന്ധങ്ങളുടെ ഉത്ഭവം. ഇൻ്റർപോളേറ്റിംഗ് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ തിരഞ്ഞെടുത്ത സിസ്റ്റത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, രൂപഭേദങ്ങളും സ്ഥാനചലനങ്ങളും (ജ്യാമിതീയ ബന്ധങ്ങൾ), അതുപോലെ സമ്മർദ്ദങ്ങൾക്കും വൈകല്യങ്ങൾക്കും ഇടയിലുള്ള ആശ്രിതത്വം (ശാരീരിക ബന്ധങ്ങൾ) ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ്. 5. പരിമിതമായ മൂലകത്തിൻ്റെ കാഠിന്യം മാട്രിക്സിൻ്റെ നിർമ്മാണം. ലഗ്രാഞ്ച് തത്വം ഉപയോഗിച്ച്, ലഭിച്ച ജ്യാമിതീയവും ശാരീരികവുമായ ബന്ധങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി പരിമിതമായ മൂലകത്തിൻ്റെ ഒരു കാഠിന്യം മാട്രിക്സ് നിർമ്മിക്കുന്നു. 6. പരിമിതമായ മൂലക രീതിക്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നേടൽ. ഓരോ വ്യക്തിഗത പരിമിതമായ മൂലകത്തിൻ്റെ കാഠിന്യ മെട്രിക്‌സും ആഗോള കാഠിന്യം മാട്രിക്‌സിൽ ഒരു എലമെൻ്റ്-ബൈ-എലമെൻ്റ് ലൂപ്പിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഈ രീതിയിൽ, മുഴുവൻ ഘടനയുടെയും (സന്തുലിത സമവാക്യങ്ങൾ) ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം രൂപീകരിക്കപ്പെടുന്നു, അതിന് Kz = P, 5 രൂപമുണ്ട്, ഇവിടെ K എന്നത് പരിമിതമായ മൂലകങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (എൻസെംബിൾ) കാഠിന്യം മാട്രിക്സ് ആണ്; അജ്ഞാത നോഡൽ സ്ഥാനചലനങ്ങളുടെ വെക്റ്റർ ആണ് z; നോഡൽ ലോഡുകളുടെ വെക്റ്റർ ആണ് പി. സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് മുകളിൽ എഴുതിയ കാഠിന്യം മാട്രിക്സ് കെയിൽ, അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ കണക്കിലെടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അല്ലാത്തപക്ഷം ഈ മാട്രിക്സ് ഏകവചനമായിരിക്കും. 7. ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു. ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ (SLAE) ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, കൃത്യമായതും (സിസ്റ്റം ഉയർന്ന ക്രമമാണെങ്കിൽ) ആവർത്തന രീതികളും ഉപയോഗിക്കുന്നു. അവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിർമ്മിച്ച ഫലപ്രദമായ സംഖ്യാ നടപടിക്രമങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ കാഠിന്യം മാട്രിക്സിൻ്റെ സമമിതിയും ബാൻഡ് ഘടനയും കണക്കിലെടുക്കുന്നു. 8. രൂപഭേദങ്ങളും സമ്മർദ്ദങ്ങളും നിർണ്ണയിക്കൽ. ജ്യാമിതീയവും ശാരീരികവുമായ ബന്ധങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി കണ്ടെത്തിയ നോഡൽ സ്ഥാനചലനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഘടനയിലെ രൂപഭേദം, സമ്മർദ്ദം, ശക്തികൾ എന്നിവ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. ഈ ഘട്ടങ്ങളിൽ ചിലത് കൂടുതൽ വിശദമായി നോക്കാം. പരിഗണനയിലുള്ള പ്രദേശത്തിൻ്റെ വിവേചനാധികാരം ഘടനയെ പരിമിത ഘടകങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നത് FEM ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള നടപടിക്രമത്തിലെ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഘട്ടമാണ്, കാരണം ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പരിഹാരത്തിൻ്റെ കൃത്യത അതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ ഘട്ടത്തിൽ വിജയം ഉറപ്പാക്കുന്നത്, ഒന്നാമതായി, നിലവിലുള്ള എഞ്ചിനീയറിംഗ് കഴിവുകൾ കൊണ്ടാണ്. ഒരു പ്രദേശത്തെ പരിമിത ഘടകങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നത് തെറ്റായ ഫലങ്ങളിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം. ഒരു എഫ്ഇ മെഷ് നൽകുമ്പോൾ, ഘടനയെ ഉപമേഖലകളായി വിഭജിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം ഉയർന്നുവരുന്നു. പരിഹാരത്തിൻ്റെ സ്വീകാര്യമായ കൃത്യത ഉറപ്പാക്കാൻ മൂലകങ്ങളുടെ അളവുകൾ ചെറുതായിരിക്കണം എന്നത് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്; മറുവശത്ത്, ഇടതൂർന്ന മെഷിൻ്റെ ഉപയോഗം ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ വലിയ സിസ്റ്റങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ പരിഹാരത്തിൽ ഗണ്യമായ ഉൾപ്പെടുന്നു കണക്കുകൂട്ടൽ ജോലിയുടെ അളവ്. പ്രദേശത്തെ പരിമിത ഘടകങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ, ആവശ്യമുള്ള മൂല്യങ്ങൾ മാറുന്ന സ്ട്രെസ് കോൺസൺട്രേഷൻ സോണുകളിലെ പരിമിത മൂലകങ്ങളുടെ വലുപ്പം കുറയ്ക്കുന്നതിന് കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ അന്തിമ ഫലങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ചില പൊതു ആശയങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. വേഗത്തിൽ, ആവശ്യമുള്ള മൂല്യങ്ങൾ സാവധാനം മാറുന്നിടത്ത് FE വലുപ്പങ്ങൾ വർദ്ധിപ്പിക്കുക. FEM ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിലെ ഒരു പ്രധാന കാര്യം ഗ്രിഡ് നോഡുകളുടെ എണ്ണമാണ്, കാരണം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള മാട്രിക്സിൻ്റെ ടേപ്പ് 6 ൻ്റെ വീതി യഥാക്രമം ഇതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, കണക്കുകൂട്ടൽ സമയവും ഉപയോഗിച്ച കമ്പ്യൂട്ടർ മെമ്മറിയുടെ അളവും. നിലവിൽ, ഒരു ഘടനയെ പരിമിതമായ മൂലകങ്ങളിലേക്കും നോഡുകളുടെ യുക്തിസഹമായ നമ്പറുകളിലേക്കും സ്വപ്രേരിതമായി തകർക്കുന്നതിനുള്ള സേവന പ്രോഗ്രാമുകൾ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട്. ഉപഡൊമെയ്‌നുകളിൽ (പരിമിതമായ ഘടകങ്ങൾ) നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഭാഗികമായ തുടർച്ചയായ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഡിസ്‌ക്രീറ്റ് മോഡൽ ഉപയോഗിച്ച് മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഏകദേശത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് ഇൻ്റർപോളിംഗ് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ നിർമ്മാണം FEM. നോഡൽ ഡിസ്‌പ്ലേസ്‌മെൻ്റ് വെക്‌ടറിൻ്റെ ഘടകങ്ങളിലൂടെ, ഒരു ഇൻ്റർപോളേറ്റിംഗ് ഫംഗ്‌ഷൻ (ഷേപ്പ് ഫംഗ്‌ഷൻ അല്ലെങ്കിൽ ബേസ് ഫംഗ്‌ഷൻ): u = Nz, (1) ഇവിടെ N എന്നതിൽ N എന്നതിൽ പരിമിതമായ മൂലകത്തിൻ്റെ അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളായ ഡിസ്‌പ്ലേസ്‌മെൻ്റുകൾ എഴുതാം. = [ N1 N 2 … N s ] ആകൃതി ഫംഗ്‌ഷൻ മാട്രിക്‌സ് ആണ്; z = ( z1 z2 … zs ) - പരിമിതമായ മൂലകത്തിൻ്റെ (FE) നോഡൽ സ്ഥാനചലനങ്ങളുടെ വെക്റ്റർ; s എന്നത് FE യുടെ സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണമാണ്. ഫംഗ്ഷനുകൾ (1) സമ്പൂർണ്ണതയുടെയും അനുയോജ്യതയുടെയും മാനദണ്ഡങ്ങൾ പാലിക്കണം. നമുക്ക് അവരെ നോക്കാം. 1. പൂർണ്ണതയുടെ മാനദണ്ഡം. മൂലകത്തിൻ്റെ വലുപ്പം കുറയുന്നതിനനുസരിച്ച് ഇൻ്റർപോളിംഗ് ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന അളവുകളുടെ സ്ഥിരമായ മൂല്യങ്ങൾ നൽകണം. ഈ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്താൻ, ഇൻ്റർപോളിംഗ് ഫംഗ്ഷൻ കുറഞ്ഞത് ഡിഗ്രി p യുടെ പൂർണ്ണമായ ബഹുപദമായിരിക്കണം, ഇവിടെ p എന്നത് ഫങ്ഷണലിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുള്ള ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഉയർന്ന ക്രമമാണ്. T s ∑ Ni = 1 ആകുമ്പോൾ പൂർണ്ണത വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാണ്. i =1 2. അനുയോജ്യത മാനദണ്ഡം. മൂലകങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അതിർത്തിയിൽ (n - 1) ആം ക്രമം ഉൾപ്പെടെ (ഇവിടെ n എന്നത് ഊർജ്ജ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ സംയോജനത്തിലെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ പരമാവധി ക്രമം) വരെയുള്ള അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകളോടൊപ്പം ഇൻ്റർപോളിംഗ് ഫംഗ്ഷൻ തുടർച്ചയായിരിക്കണം. പൂർണ്ണതയും അനുയോജ്യതാ മാനദണ്ഡവും പരിമിതമായ മൂലക രീതിയുടെ സംയോജനത്തിന് മതിയായ വ്യവസ്ഥകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. പരിമിതമായ മൂലകത്തിൻ്റെ അളവുകൾ കുറയുമ്പോൾ, ഏകദേശ 7 FEM പരിഹാരങ്ങൾ കൃത്യമായ പരിഹാരത്തിലേക്ക് ഏകതാനമായി ഒത്തുചേരുന്നു. ഈ മാനദണ്ഡങ്ങളുടെ ലംഘനം വിശ്വസനീയമായ ഒരു പരിഹാരം നേടുന്നതിനുള്ള അസാധ്യതയിലേക്ക് നയിക്കുമെന്ന് ഇതിനർത്ഥമില്ല. ഉയർന്ന കൃത്യതയും വേഗത്തിലുള്ള ഒത്തുചേരലും നൽകുന്ന പൊരുത്തമില്ലാത്തതും അപൂർണ്ണവുമായ ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ട്. അടിസ്ഥാന ജ്യാമിതീയവും ശാരീരികവുമായ ബന്ധങ്ങളുടെ ഉത്ഭവം പൊതുവേ, രൂപഭേദങ്ങളും സ്ഥാനചലനങ്ങളും (ജ്യാമിതീയ ബന്ധങ്ങൾ) തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു: ε = Bz, (2) ഇവിടെ ε എന്നത് വൈകല്യങ്ങളുടെ വെക്റ്റർ ആണ്; നോഡൽ ഡിസ്പ്ലേസ്മെൻ്റുകളുടെ വെക്റ്റർ ആണ് z; നോഡൽ ഡിസ്പ്ലേസ്മെൻ്റുകളുടെ വെക്റ്ററിനെ ഡിഫോർമേഷൻ ടെൻസറിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയ വെക്റ്ററുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു മാട്രിക്സാണ് ബി. അതിനാൽ, രൂപഭേദങ്ങളും നോഡൽ സ്ഥാനചലനങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം (2) രേഖീയമാണെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു. ഏകത്വവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ രൂപഭേദങ്ങളും ഭ്രമണ കോണുകളും ചെറുതായിരിക്കുമ്പോൾ ഘടനയുടെ അത്തരം പ്രവർത്തന സാഹചര്യങ്ങളുമായി ഒരു രേഖീയ ആശ്രിതത്വം യോജിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഭ്രമണ കോണുകളുടെ ചതുരങ്ങൾ അനുബന്ധ രൂപഭേദം ഘടകങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ചെറുതായിരിക്കും. സമ്മർദ്ദങ്ങളും സമ്മർദ്ദങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം നിർണ്ണയിക്കുന്ന ശാരീരിക ബന്ധങ്ങൾക്ക് σ = Dε, (3) രൂപമുണ്ട്, ഇവിടെ σ എന്നത് സ്ട്രെസ് ടെൻസറിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു വെക്റ്റർ ആണ്; D എന്നത് ഇലാസ്തികത മാട്രിക്സ് ആണ്. σ - ε ഗ്രാഫിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക വിഭാഗത്തിലെ ഒരു പ്രത്യേക തരം മെറ്റീരിയലുകൾക്ക് സാധുതയുള്ള സമ്മർദ്ദങ്ങളും സമ്മർദ്ദങ്ങളും തമ്മിൽ നേരിട്ട് ആനുപാതികമായ ബന്ധം സ്ഥാപിക്കുന്ന ഒരു പൊതുവൽക്കരിച്ച ഹുക്കിൻ്റെ നിയമമാണ് (3) സംസ്ഥാന സമവാക്യങ്ങൾ. ഒരു പരിമിതമായ മൂലകത്തിൻ്റെ കാഠിന്യം മാട്രിക്സിൻ്റെ നിർമ്മാണം ഘടനാപരമായ കണക്കുകൂട്ടൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് രണ്ട് പ്രധാന സമീപനങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകളുള്ള ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. രണ്ടാമത്തെ കേസിൽ, സമ്മർദ്ദങ്ങളുടെയും ബാഹ്യ പ്രയോഗിച്ച ലോഡിൻ്റെയും പ്രവർത്തനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട അവിഭാജ്യ അളവിൻ്റെ നിശ്ചലതയുടെ അവസ്ഥയും സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മൊത്തം സാധ്യതയുള്ള ഊർജ്ജത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. FEM ൻ്റെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിൽ ഘടനകൾ കണക്കാക്കാൻ, രണ്ടാമത്തെ സമീപനം ഉപയോഗിക്കുന്നു. അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, ഒരു ഇലാസ്റ്റിക് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മൊത്തം പൊട്ടൻഷ്യൽ ഊർജ്ജം 8 Π (z) = W (z) - A (z) എന്ന ഫോർമുലയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു, ഇവിടെ W എന്നത് രൂപഭേദം വരുത്താനുള്ള സാധ്യതയുള്ള ഊർജ്ജമാണ്; A എന്നത് ബാഹ്യശക്തികളുടെ സാധ്യതയാണ്. ഒരു ഇലാസ്റ്റിക് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊട്ടൻഷ്യൽ ഡിഫോർമേഷൻ എനർജി നിർണ്ണയിക്കുന്നത് W= 1 T ∫ ε σ dV , 2V, ഇവിടെ V എന്നത് ശരീരം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന വോള്യമാണ്, കൂടാതെ A = ∫ uT p എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ബാഹ്യ വിതരണ ലോഡുകളുടെ സാധ്യത നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. dS , S ഇവിടെ p എന്നത് ബാഹ്യ വിതരണ ലോഡുകളുടെ വെക്റ്റർ ആണ്; S എന്നത് ലോഡ് പ്രയോഗിക്കുന്ന സ്ഥലമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സാധ്യതയുള്ള ഊർജ്ജത്തിൻ്റെ ഫോർമുലയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന രൂപഭേദങ്ങളും സമ്മർദ്ദങ്ങളും നോഡൽ ഡിസ്പ്ലേസ്മെൻ്റുകളിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. സ്ഥാനചലനങ്ങൾക്കായുള്ള എഫ്ഇഎം സമവാക്യങ്ങളുടെ വ്യുൽപ്പന്നം മെക്കാനിക്സിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഊർജ്ജ തത്വങ്ങളിലൊന്നിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് - ലഗ്രാഞ്ച് തത്വം, അതനുസരിച്ച് സന്തുലിതാവസ്ഥയിലുള്ള ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്, മൊത്തം പൊട്ടൻഷ്യൽ എനർജി ഒരു നിശ്ചല മൂല്യം കൈക്കൊള്ളുന്നു. ഈ അവസ്ഥ ∂Π = 0 എന്ന രൂപത്തിലാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നത്. ∂z മുഴുവൻ പ്രദേശത്തിലുമുള്ള മൊത്തം പൊട്ടൻഷ്യൽ ഊർജ്ജത്തിൻ്റെ മൂല്യം വ്യക്തിഗത പരിമിത മൂലകങ്ങളുടെ ഊർജ്ജത്തിൻ്റെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു: m () m (() ( )) Π (z) = ∑ Π z = ∑ W i z i - Ai z i , i =1 i i i =1 (4) ഇവിടെ m എന്നത് പരിമിതമായ മൂലകങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്. തുടർന്ന് ∂Π m ⎛ ∂W i (z) ∂Ai (z) ⎞ = ∑⎜ − ⎟ = 0. ∂z i =1 ⎝ ∂z ∂z ⎠ (5) ഒരു പ്രത്യേക ഫിനിറ്റ് ഘടകം പരിഗണിക്കുക, 9 ൽ ഒഴിവാക്കുക 1 T 1 T (Bz)T DBz dV - ∫ (Nz)T p dS = ε σ dV − u p dS = ∫ ∫ ∫ 2V 2V S S 1 1 = zT (∫ BT DBz dv zT Kz - zT P, (6) 2 2 S Π(z) = ഇവിടെ K = ∫ BT DB dV എന്നത് പരിമിതമായ മൂലകത്തിൻ്റെ കാഠിന്യം മാട്രിക്സ് ആണ്, കൂടാതെ (7) V T P = ∫ N p dS നോഡൽ ലോഡുകളുടെ വെക്റ്റർ ആണ്. (8) എസ് പരിമിതമായ മൂലക രീതിയുടെ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നേടൽ സമ്മേഷൻ ഓപ്പറേഷൻ നടത്തുന്നതിന്, ഒരു വ്യക്തിഗത പരിമിത ഘടകത്തിനായുള്ള നോഡൽ ഡിസ്പ്ലേസ്മെൻറ് z(i), നോഡൽ ലോഡ് P(i) എന്നിവയുടെ വെക്റ്ററുകളെ അനുബന്ധ വെക്റ്ററുകളാക്കി മാറ്റേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. z, P എന്നിവ മുഴുവൻ സിസ്റ്റത്തിനും, ചില ബൂളിയൻ മാട്രിക്സ് H(i) ഉപയോഗിച്ച് ചെയ്യാവുന്നതാണ്, പൂജ്യങ്ങളും വണ്ണുകളും മാത്രം മൂലകങ്ങളായി അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു: z (i) = H (i) z; P(i) = H(i)P. (9) പരിമിതമായ മൂലകത്തിൻ്റെ (6) മൊത്തത്തിലുള്ള പൊട്ടൻഷ്യൽ എനർജിയുടെ എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് ഫോർമുലകൾ (9) പകരം വയ്ക്കുന്നത് നൽകുന്നു: () () T 1 (i) T (i) (i) H z K H z - H (i) d 5), സിസ്റ്റം സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു: Π (i) = m ∑ i =1 (T T) H (i) K (i) H (i) z - H (i) H (i) P = 0 , (10 ) ഇവിടെ മാട്രിക്സ് ബന്ധങ്ങളെ വേർതിരിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം ഉപയോഗിക്കുന്നു ∂ T z Kz = 2 Kz . () Kz = P, (11) 10 എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാവുന്ന ∂z സിസ്റ്റം (10), സ്ഥാനചലനങ്ങളിലെ സന്തുലിത സമവാക്യങ്ങളായ പരിമിത മൂലക രീതിയുടെ രേഖീയ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനമാണ്. ചട്ടം പോലെ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (11) പരിഹാരം ഗാസിയൻ രീതി അല്ലെങ്കിൽ ആവർത്തന രീതികൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് നടത്തുന്നത്. (i)T (10) ഫോർമുലയിൽ ദൃശ്യമാകുന്ന ഒരു വ്യക്തിഗത മൂലകത്തിൻ്റെ കാഠിന്യം മാട്രിക്സ് (10) ആഗോള മാട്രിക്സിൻ്റെ അളവിന് തുല്യമായ ഒരു വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് ആണ്. അതിനാൽ, എഫ്ഇഎമ്മിൻ്റെ സംഖ്യാപരമായ നടപ്പാക്കലിൽ ഫോർമുല (10) ൽ സംഗ്രഹ നടപടിക്രമം ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഫലപ്രദമല്ല. പ്രായോഗിക കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ, ആഗോള കാഠിന്യം മാട്രിക്സ് നേരിട്ട് നിർമ്മിച്ചതാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സൂത്രവാക്യം (7) അനുസരിച്ച് ഒരു വ്യക്തിഗത പരിമിത ഘടകത്തിനായി മാട്രിക്സ് കെ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നു, എസ് × എസ് അളവ്. ഈ മാട്രിക്സിൻ്റെ വരികൾക്കും നിരകൾക്കും ആഗോള സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ സംഖ്യകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു, ഇത് ആഗോള കാഠിന്യം മാട്രിക്സിലെ എഫ്ഇ കാഠിന്യം മാട്രിക്സ് ഗുണകങ്ങളുടെ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു. ഇതിനുശേഷം, എഫ്ഇ കാഠിന്യം മാട്രിക്സിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ അവയുടെ വിലാസം നിർണ്ണയിക്കുന്ന സ്ഥലത്ത് പ്രീ-സീറോഡ് ഗ്ലോബൽ മാട്രിക്സിലേക്ക് പ്രവേശിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, സിസ്റ്റത്തിൽ രണ്ട് നോഡുകൾ അടങ്ങിയ രണ്ട് എഫ്ഇകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അവയിൽ ഓരോന്നിനും ഒരു അജ്ഞാതമുണ്ട് (ഒരു ഡിഗ്രി സ്വാതന്ത്ര്യം). സിസ്റ്റം നോഡുകളുടെ ആകെ എണ്ണം 3 ആണ്, ആഗോള മാട്രിക്സിൻ്റെ അളവ് 3 × 3 ആണ്, രണ്ടാമത്തെ നോഡിൽ ഘടകങ്ങൾ പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. 1-ഉം 2-ഉം FE-യുടെ ദൃഢത മെട്രിക്സ്, ഗുണകങ്ങളുടെ അനുബന്ധ സംഖ്യകൾ, ആഗോള മാട്രിക്സ് എന്നിവയ്ക്ക് K (1) = 1 ⎡ k11 ⎢ 1 ⎣⎢ k21 1 ⎤ k12 ⎥; 1 k22 ⎦⎥ K (2) = 2 ⎡ k22 ⎢ 2 ⎢⎣ k32 1 1 ⎡ k11 k12 2 ⎤ ⎢ 1 k23 1 2 = ; K ⎥ ⎢ k21 k22 + k22 2 k33 ⎥⎦ ⎢ 2 k32 ⎢⎣ 0 0 ⎤ ⎥ 2 k23 ⎥. 2 ⎥ k33 ⎥⎦ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (11) മാട്രിക്സ് കെയിൽ, അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ കണക്കിലെടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അല്ലാത്തപക്ഷം അത് അധഃപതിക്കും, അതായത്, അതിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും. അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ കണക്കിലെടുക്കാം: 1. സ്ഥാനചലനത്തിന് അനുയോജ്യമായ kth വരിയും kth നിരയും zk = 0 മാട്രിക്സിൽ നിന്ന് നീക്കം ചെയ്യുന്നു. ഇതിനുശേഷം, മാട്രിക്സ് 11-ൻ്റെ വരികളും നിരകളും പുനർനമ്പർ ചെയ്യുന്നു. അതനുസരിച്ച്, നോഡൽ ഡിസ്പ്ലേസ്മെൻ്റ് വെക്റ്ററിൻ്റെ അളവ് കുറയുന്നു. 2. ബൗണ്ടറി അവസ്ഥയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന zk = 0 എന്ന സമവാക്യം, മാട്രിക്സ് K യുടെ ഭാഗമായി രൂപീകരിച്ചിരിക്കുന്നു. മാട്രിക്സ് K, k-th വരി, k-th നിര എന്നിവയിൽ zk = 0 ലഭിക്കുന്നതിന്, അതുപോലെ അനുബന്ധ മൂലകവും ബാഹ്യ ലോഡുകളുടെ വെക്റ്ററിൽ പി, പൂജ്യങ്ങൾ കൊണ്ട് നിറഞ്ഞിരിക്കുന്നു. മാട്രിക്സ് കെയിലെ ഡയഗണൽ എലമെൻ്റ് rrr ൻ്റെ സ്ഥാനം ഒന്ന് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. തൽഫലമായി, മാട്രിക്സിൻ്റെ ക്രമം മാറില്ല, കൂടാതെ നിർദ്ദിഷ്ട ചലനങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം മൂല്യങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു. 3. zk = 0 ലഭിക്കുന്നതിന്, ഡയഗണൽ ഘടകം rrr ഒരു വലിയ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. മാട്രിക്സിൻ്റെ ക്രമം മാറില്ല. വൈകല്യങ്ങളുടെയും സമ്മർദ്ദങ്ങളുടെയും നിർണ്ണയം സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം (11) പരിഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലമായി, മുഴുവൻ ഘടനയുടെയും നോഡൽ സ്ഥാനചലനങ്ങളുടെ വെക്റ്റർ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. നോഡൽ ഡിസ്പ്ലേസ്മെൻ്റുകളുടെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, എഫ്ഇ ഡിഫോർമേഷൻ വെക്റ്റർ ഫോർമുല (2) ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ സ്ട്രെസ് വെക്റ്റർ ഫോർമുല (3) ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. ദ്വിമാന സിംപ്ലക്സ് മൂലകം പരിമിത മൂലകങ്ങളുടെ വർഗ്ഗീകരണം ബഹുപദങ്ങളുടെ ക്രമം അനുസരിച്ച് നടത്താം - ഈ മൂലകങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മൂലകങ്ങളുടെ മൂന്ന് ഗ്രൂപ്പുകൾ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു: 1) സിംപ്ലക്സ് ഘടകങ്ങൾ; 2) സങ്കീർണ്ണ ഘടകങ്ങൾ; 3) മൾട്ടിപ്ലക്സ് ഘടകങ്ങൾ. സിംപ്ലക്സ് മൂലകങ്ങൾ ഒന്നാം ഡിഗ്രിയിലെ ബഹുപദങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. സങ്കീർണ്ണ മൂലകങ്ങൾ ഉയർന്ന ക്രമത്തിലുള്ള ബഹുപദങ്ങളാണ്. ഒരു സിംപ്ലെക്സ് മൂലകത്തിൽ, നോഡുകളുടെ എണ്ണം സ്പേസ് ഡൈമൻഷൻ +1 ന് തുല്യമാണ്. ഒരു സങ്കീർണ്ണ മൂലകത്തിൽ നോഡുകളുടെ എണ്ണം ഈ മൂല്യത്തേക്കാൾ കൂടുതലാണ്. മൾട്ടിപ്ലക്സ് മൂലകങ്ങൾക്കായി, ഉയർന്ന ക്രമത്തിലുള്ള പോളിനോമിയലുകളും ഉപയോഗിക്കുന്നു, എന്നാൽ മൂലകങ്ങളുടെ അതിരുകൾ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾക്ക് സമാന്തരമായിരിക്കണം. ഒരു ദ്വിമാന സിംപ്ലക്സ് മൂലകത്തിന് ഒരു കാഠിന്യം മാട്രിക്സിൻ്റെ രൂപീകരണം പരിഗണിക്കാം. ഒരു ദ്വിമാന സിംപ്ലക്സ് മൂലകം അതിൻ്റെ ലംബങ്ങളിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന നോഡുകളുള്ള ഒരു ത്രികോണമാണ് (ചിത്രം 1). 12 ചിത്രം. 1. ദ്വിമാന സിംപ്ലക്സ് എലമെൻ്റ് FE നോഡുകൾ എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ അക്കമിട്ടിരിക്കുന്നു, ചില ഏകപക്ഷീയമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത i-th നോഡിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു. x അക്ഷത്തിനൊപ്പം i-th, j-th, k-th നോഡുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ xi, x j, xk, y അക്ഷത്തിൽ - yi, y j, yk എന്നിവയാൽ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു. ഓരോ നോഡിനും രണ്ട് ഡിഗ്രി സ്വാതന്ത്ര്യമുണ്ട് - x-അക്ഷത്തിൽ u ചലനവും y-അക്ഷത്തിലൂടെ ചലനം v. x, y അക്ഷങ്ങൾക്കൊപ്പം ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ FE പോയിൻ്റിൻ്റെ ചലനം നിർണ്ണയിക്കുന്ന ഇൻ്റർപോളിംഗ് ഫംഗ്ഷനുകൾ u (x, y) = α 0 + α1 x + α 2 y എന്ന രൂപത്തിൽ എടുക്കുന്നു; (12) v(x, y) = α3 + α 4 x + α5 y. ഗുണകങ്ങൾ α 0 ,..., α5 അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു: u = ui, v = vi x = xi, y = yi; u = u j, v = v j for x = x j, y = y j; x = xk, y = yk എന്നിവയ്ക്ക് u = uk, v = vk. നമുക്ക് ഗുണകങ്ങൾ α 0, α1, α 2 നിർണ്ണയിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ്റെ അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ മാറ്റി ആദ്യത്തെ എക്സ്പ്രഷൻ (12) ആയി മാറ്റുന്നു, ഇത് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് നയിക്കും: ui = α 0 + α1 xi + α 2 yi ; u j = α 0 + α1 x j + α 2 y j; യുകെ = α 0 + α1 xk + α 2 yk . 13. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ yk ⎥⎦ ⎩α 2 ⎭ ⎩uk ⎭ (13) സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് (13) ത്രികോണ മൂലകത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ ഇരട്ടി F ന് തുല്യമാണ്: 1 xi 1 xj yi y j = 2F . 1 xk yk (14) തുടർന്ന്, ക്രാമറിൻ്റെ നിയമമനുസരിച്ച്, α0 = ui uj xi xj yi yj uk xk yk 1 xi 1 xj yi yj 1 xk yk = ui uj xi xj yi yk = ui uj xi xj yi 2k − x k y j - u j (xi yk - x k yi) - uk xi y j - x j yi ⎤ . ⎣ ⎦ 2F ഗുണകങ്ങൾ α1, α 2 എന്നിവ സമാനമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. ആദ്യ ഫോർമുലയിൽ (12) α0, α1, α 2 എന്നിവയ്‌ക്കുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചതിന് ശേഷം നമുക്ക് 1 ⎡ u (x, y) = (ai + bi x + c i y) ui + a j + bj x + c j y u j + 2F ⎣ + ( ak + bk x + c k y) uk ⎤⎦ , (15) α0 = () (()) ഇവിടെ ai = x j yk - x k y j ; bi = y j - yk; ci = xk - x j. (16) സൂചകങ്ങളുടെ ചാക്രിക ക്രമമാറ്റം വഴി (16) ഫോർമുലകളിൽ നിന്ന് (16) ശേഷിക്കുന്ന ഗുണകങ്ങൾ (16) സൂചികയിൽ നിന്ന് ലഭിക്കും (ഇൻഡക്സ് i-നെ സൂചിക j, സൂചിക j സൂചിക കെ, സൂചിക k സൂചിക i വഴി). അതുപോലെ: v(x, y) = 1 ⎡ (ai + bi x + c i y) vi + a j + bj x + c j y v j + 2F ⎣ + (ak + bk x + c k y) vk ⎤⎦ . () 14 (17) തുടർന്ന് മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ ⎡ Ni ⎧u ⎫ u = ⎨ ⎬ = Nz = ⎢ ⎩v ⎭ ⎢⎣ 0 0 Nj 0 Nk Ni 0 Nj 0 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ u j ⎪⎪ ⎥ ⎨ ⎬, N k ⎥⎦ ⎪ വി ജെ (ai + bi x + c i y) ; N j = 2F 2F (18) 1 Nk = (ak + bk x + c k y). 2F ഇലാസ്തികത സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഒരു തലം പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിൽ രൂപഭേദങ്ങളും സ്ഥാനചലനങ്ങളും ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ജ്യാമിതീയ ബന്ധങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ (15), (17) ഉപയോഗിച്ച് എഴുതിയിരിക്കുന്നു: (ഇവിടെ Ni =) ∂u 1 ∂v 1 bi ui + b j u j + bk uk ; ε y = ci vi + c j v j + ck vk ; = = ∂x 2 F ∂y 2 F ∂u ∂v 1 ci ui + c j u j + ck uk + bi vi + b j v j + bk vk γ xy = + = ∂y ∂x 2 F അല്ലെങ്കിൽ മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ: εx = () ((⎧ε ⎫ ⎡bi x ⎪ 1 j 0 bk ci 0 cj 0 bi cj bj ck 0 bj 0 bk ci 0 cj 0 bi cj bj ck ⎧ ui ⎫ ⎪v ⎪ 0 ⎤⎪ i ⎪ ⎥ ⎪⎪ i ⎪ ⎥ ⎪⎪u j⎪⎪ = z⎪⎪ k ⎦ ⎪ ⎪ u ⎪ k⎪ ⎩⎪ vk ⎭⎪ 0⎤ ⎥ ck ⎥ - ഗ്രേഡിയൻ്റ് മാട്രിക്സ്. ⎥ bk ⎦ 15 (19) എക്‌സ്‌പ്രഷനിലെ (19) പരിമിതമായ മൂലകമായ 2F ൻ്റെ ഇരട്ടിയാക്കിയ ഏരിയയുടെ മൂല്യം ഫോർമുല (14) ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു. ഇലാസ്തികത സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഒരു സമതല പ്രശ്നത്തിലെ സമ്മർദ്ദങ്ങളും സമ്മർദ്ദങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം നിർണ്ണയിക്കുന്ന ശാരീരിക ബന്ധങ്ങൾ σ = Dε, ⎡ ⎤ ⎢ 1 ν1 0 ⎥ ⎥ E1 ⎢ എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു, ഇവിടെ D = 1 0 ν 1 ⎥ ആണ് ഇലാസ്റ്റിക് മാട്രിക്സ്. 2 ⎢ 1 − ν1 ⎢ 1 - ν1 ⎥ ⎢0 0 ⎥ 2 ⎦ ⎣ (20) വിമാനം രൂപഭേദം വരുത്തുമ്പോൾ (ε z = 0), ഫോർമുലയിൽ (20) നമ്മൾ E1 = E ν ; ν = , 1 1− ν 1 - ν12 (21) കൂടാതെ സാമാന്യവൽക്കരിച്ച പ്ലെയിൻ സ്ട്രെസ് അവസ്ഥയ്ക്ക് (σ z = 0) E1 = E ; ν1 = ν. (22) ഫോർമുലകൾ (21) ഉം (22) ഇലാസ്റ്റിക് മോഡുലസ് E ഉം Poisson ൻ്റെ അനുപാതവും ഉള്ള ഒരു ഐസോട്രോപിക് മെറ്റീരിയലുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. രണ്ട് പരസ്പരം ലംബമായ ദിശകളിൽ കാഠിന്യത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ വ്യത്യസ്തമാകുമ്പോൾ ഓർത്തോട്രോപിക് മെറ്റീരിയലിനായി ഇലാസ്തികത മെട്രിക്സുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. മാട്രിക്സ് B, D എന്നിവയിൽ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ മാത്രമേ ഉള്ളൂ എന്നതിനാൽ, ഫോർമുലയിലെ (7) ഘടകത്തിൻ്റെ കാഠിന്യം മാട്രിക്സ് നിർവചിക്കുന്ന വോളിയം ഇൻ്റഗ്രൽ എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കാം: K = ∫ BT DB dV = BT DB ∫ dV V (23) V അല്ലെങ്കിൽ K = BT DB tF . (24) ഫോർമുലയിൽ (24) t എന്നത് മൂലകത്തിൻ്റെ കനം; F എന്നത് മൂലകത്തിൻ്റെ വിസ്തൃതിയാണ്. സാധാരണഗതിയിൽ, കാഠിന്യം മാട്രിക്സ് (24) സംഖ്യാപരമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ആദ്യം ബി, ഡി മെട്രിക്സിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തി, തുടർന്ന് (23) അല്ലെങ്കിൽ (24) പദപ്രയോഗത്തിന് അനുസൃതമായി ഗുണനം നടത്തുന്നു. ലബോറട്ടറി ജോലി നിർവഹിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണം ലബോറട്ടറി ജോലികൾ നടത്തുന്നതിന് മുമ്പ്, FEM രീതിയുടെ പ്രധാന ഘട്ടങ്ങൾ നമുക്ക് ഒരിക്കൽ കൂടി ഓർമ്മിക്കാം: 1. ഇലാസ്റ്റിക് ബോഡി ഘടകങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. വോള്യൂമെട്രിക് ബോഡി ടെട്രാഹെഡ്രോണുകളിലേക്കോ സമാന്തരപൈപ്പുകളിലേക്കോ. പരന്ന ശരീരം - ത്രികോണങ്ങളിലേക്കും ദീർഘചതുരങ്ങളിലേക്കും. 2. ഓരോ മൂലകത്തിനും, ആകൃതി ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു കാഠിന്യം മാട്രിക്സ് നിർമ്മിക്കുന്നു. ഒരു അജ്ഞാത ഡിസ്‌പ്ലേസ്‌മെൻ്റ് ഫംഗ്‌ഷനെ ഏകദേശം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗമാണ് ഷേപ്പ് ഫംഗ്‌ഷൻ. 3. മൂലക കാഠിന്യം മെട്രിക്സുകൾ മുഴുവൻ ശരീരത്തിനും ഒരൊറ്റ കാഠിന്യം മാട്രിക്സായി സംയോജിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. 4. സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ, നോഡൽ സ്ഥാനചലനങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. 5. ഇലാസ്തികതയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ശരീരത്തിൻ്റെ നോഡൽ പോയിൻ്റുകളിലെ രൂപഭേദങ്ങളും സമ്മർദ്ദങ്ങളും നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. തന്നിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ, ഇലാസ്തികതയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിലെ ഒരു വിമാന പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു. രണ്ട് ശക്തികൾ (ചിത്രം 2, സി) ലോഡ് ചെയ്ത ഒരു മോതിരം സമമിതിയുടെ രണ്ട് അക്ഷങ്ങൾ ഉണ്ട്, അതിനാൽ, കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ കൃത്യത വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ റിംഗിൻ്റെ നാലിലൊന്ന് പരിഗണിക്കുന്നു (ചിത്രം 3). സമമിതിയുടെ അക്ഷങ്ങളിൽ, സമമിതിയുടെ അക്ഷങ്ങൾക്ക് ലംബമായ പൂജ്യം സ്ഥാനചലനങ്ങളുടെ അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തണം. ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള പരിമിതമായ മൂലകങ്ങളായി ഞങ്ങൾ റിംഗിൻ്റെ കണക്കാക്കിയ പാദത്തെ വിഭജിക്കുന്നു (ചിത്രം 2, ബി കാണുക). ത്രികോണ മൂലകത്തിന് 6 ഡിഗ്രി സ്വാതന്ത്ര്യമുണ്ട് (സ്വതന്ത്ര നോഡൽ ചലനങ്ങൾ). ഒരു മൂലകത്തിലെ നോഡൽ ചലനങ്ങളുടെ എണ്ണം ത്രികോണത്തിൻ്റെ താഴെ ഇടത് നോഡിൽ ആരംഭിച്ച് എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ തുടരുന്നു. തിരശ്ചീന ചലനങ്ങൾ വിചിത്രവും ലംബ ചലനങ്ങൾ ഇരട്ടവുമാണ്. മുഴുവൻ ബോഡിയുടെയും പരിമിത മൂലകങ്ങളുടെയും നോഡുകളുടെ എണ്ണം മുകളിൽ നിന്ന് താഴേക്കും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ടും നിരകളിലാണ്. മൂലകങ്ങളുടെ അളവുകൾ വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും (ചെറിയ മൂലകം, കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഉയർന്ന കൃത്യത). ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ 66 നോഡുകളും 100 പരിമിത ഘടകങ്ങളും മാത്രമേയുള്ളൂ. കണക്കാക്കിയ നോഡുകളുടെ സ്ഥാനം ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 3, ബി. നോഡ് കോർഡിനേറ്റുകളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 4. നോഡുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ പ്രവേശിക്കുന്നത് ശ്രമകരമായ ജോലിയാണ്, കൂടാതെ ധാരാളം നോഡുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഈ ജോലി ഓട്ടോമേറ്റ് ചെയ്യുന്നതാണ് നല്ലത്. 17 a b c ചിത്രം. 2. ലോഡിംഗ് ഡയഗ്രാമും ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള പരിമിതമായ മൂലകവും a b ചിത്രം. 3. ചിത്രത്തിൽ നോഡുകളുടെ ഡിസൈൻ ഡയഗ്രാമും കോർഡിനേറ്റുകളും. 4 നോഡുകളുടെ ധ്രുവീയ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ കണക്കുകൂട്ടലും ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള (കാർട്ടേഷ്യൻ) കോർഡിനേറ്റുകളായി അവയുടെ പരിവർത്തനവും കാണിക്കുന്നു. ഇവിടെ r1 ഉം r2 ഉം വലയത്തിൻ്റെ ബാഹ്യവും ആന്തരികവുമായ ദൂരങ്ങളാണ്; t - റിംഗ് കനം; φ1, φ2 - കോണീയ കോർഡിനേറ്റിൻ്റെ പ്രാരംഭ, അവസാന മൂല്യങ്ങൾ; X0, Y0 - ധ്രുവത്തിൻ്റെ കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റുകൾ (ധ്രുവ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവം); nr, nφ - ഒരു നിരയിലെയും (ആരം സഹിതം) ഒരു നിരയിലെയും നോഡുകളുടെ എണ്ണം (പരിഗണനയിലുള്ള ശരീരഭാഗത്തിൻ്റെ കവറേജ് കോണിനൊപ്പം). നോഡ് കോർഡിനേറ്റുകളുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഫലങ്ങൾ ഗ്രാഫിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു (ചിത്രം 5). 18 ചിത്രം. 4. മൂലക നോഡുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ ചിത്രം. 5. ഗ്രിഡ് ഓഫ് നോഡുകൾ 19 ഒരു ഇൻഡക്സ് മാട്രിക്സ് കംപൈൽ ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ജോലിയും ശ്രമകരവും സമയമെടുക്കുന്നതുമാണ്. ചിത്രത്തിൽ. ഉദാഹരണത്തിൽ ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്ന സൂചിക മാട്രിക്സ് കംപൈൽ ചെയ്യുന്നതിനുള്ള പ്രോഗ്രാം ചിത്രം 6 കാണിക്കുന്നു. അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകളുടെ യാന്ത്രിക കണക്കുകൂട്ടലും, നോഡുകളുടെ എണ്ണത്തെ ആശ്രയിച്ച്, സമമിതി അക്ഷങ്ങളിലെ ചലനം പൂജ്യമാകുന്ന ചലനങ്ങളുടെ എണ്ണവും ഇത് കാണിക്കുന്നു. നോഡ് കോർഡിനേറ്റുകൾ, ഇൻഡെക്സ് മെട്രിക്സ്, അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ എന്നിവയുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഓട്ടോമേഷൻ, തന്നിരിക്കുന്ന സ്കീമിനെ നോഡുകളുടെ എണ്ണം മാറ്റാൻ അനുവദിക്കുന്നു (ചിത്രം 7). അരി. 6. സൂചിക മാട്രിക്സ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രോഗ്രാം 20 ചിത്രം. 7. ഇൻഡക്സ് മാട്രിക്സ്, നോഡ് കോർഡിനേറ്റുകൾ, സംഖ്യകൾ, നിർദ്ദിഷ്ട ചലനങ്ങൾ, നോഡ് കോർഡിനേറ്റുകൾ, സൂചിക മാട്രിക്സ്, അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ എന്നിവ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ പ്രത്യേക ഫയലുകളായി എഴുതാം. 8. ഈ ഫയലുകൾ പിന്നീട് READPRN ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് വായിക്കാനും മറ്റൊരു പ്രമാണത്തിൽ ഉപയോഗിക്കാനും കഴിയും. 21 ചിത്രം. 8. ബാഹ്യ ഫയലുകളിലേക്കുള്ള കോർഡിനേറ്റുകൾ, സൂചിക മെട്രിക്സ്, അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ എന്നിവ എഴുതുന്നു, അളവുകൾ കണക്കിലെടുത്താണ് ഈ കണക്കുകൂട്ടൽ നടത്തിയത് (ചിത്രം 4). അളവുകൾ കണക്കിലെടുക്കുന്നത് സങ്കീർണ്ണമായ കണക്കുകൂട്ടലിലേക്ക് അധിക ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു, പ്രത്യേകിച്ചും ഡൈമൻഷണൽ മൂല്യങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള മെട്രിക്സുകൾ നൽകുമ്പോൾ (ചിത്രം 9). അരി. 9. ശക്തികളുടെ വെക്‌ടറും ഡിസ്‌പ്ലേസ്‌മെൻ്റ് സൂചികകളുടെ മാട്രിക്‌സും 22 ഓരോ ത്രികോണ മൂലകത്തിനും 3 നോഡുകളും 6 നോഡൽ ഡിസ്‌പ്ലേസ്‌മെൻ്റുകളും ഉണ്ട്. സ്ഥാനചലന സൂചികകളുടെ മാട്രിക്സ് (ശരീരത്തിൻ്റെ നോഡൽ ചലനങ്ങളുടെ ആഗോള സംഖ്യകളും മൂലകങ്ങളുടെ നോഡൽ ചലനങ്ങളുടെ പ്രാദേശിക സംഖ്യകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ്) MIU മാട്രിക്സ് ഇരട്ടിയാക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കും. K = ∫ BT DB dV = BT DB ∫ dV എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് മൂലക കാഠിന്യം മാട്രിക്സ് കണക്കാക്കുന്നത്. V (23) V ഇവിടെ B = ∂T N, ഇവിടെ D എന്നത് E, ν എന്ന പദാർത്ഥത്തിൻ്റെ ഇലാസ്റ്റിക് സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന ആന്തരിക കാഠിന്യം മാട്രിക്സ് ആണ്; ∂ - മാട്രിക്സ് ഡിഫറൻഷ്യൽ ഓപ്പറേറ്റർ, അതായത് ഒരു ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ ചിഹ്നം നൽകുന്നതിൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത ക്രമം; N എന്നത് ആകൃതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു മാട്രിക്സ് ആണ്. ഒരു ത്രികോണ മൂലകത്തിന്, ആകൃതി ഫംഗ്ഷൻ എന്നത് പ്ലെയിനിൻ്റെ സമവാക്യമാണ്, അത് എക്സ്പ്രഷനുകളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു (18). മുകളിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ (കാണുക. എക്സ്പ്രഷൻ (19)), മാട്രിക്സ് B = ∂T N നോഡുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളെ മാത്രം ആശ്രയിക്കുന്ന സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. മൂലകത്തിൻ്റെ കാഠിന്യം മാട്രിക്സ് (ചിത്രം 10) രൂപീകരിക്കുന്നതിനുള്ള ഗുണകങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലും മൂലകങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടലും (ചിത്രം 11) നമുക്ക് അവതരിപ്പിക്കാം. അരി. 10. മൂലകത്തിൻ്റെ കാഠിന്യം മാട്രിക്സ് രൂപീകരിക്കുന്നതിനുള്ള ഗുണകങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ 23 ചിത്രം. 11. മൂലകങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കൽ D യുടെ ആന്തരിക കാഠിന്യത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ് ചുവടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു (ചിത്രം 12) കൂടാതെ ഒരു സോപാധിക ഓപ്പറേറ്ററുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു: പ്ലെയിനിൻ്റെ വ്യത്യസ്ത മെട്രിക്സ് സ്ട്രെസ് ചെയ്ത അവസ്ഥ NDS = 0, കൂടാതെ വിമാനം സ്ട്രെയിൻ ചെയ്ത അവസ്ഥ NDS = 1. ചിത്രം. 12. ആന്തരിക കാഠിന്യം മാട്രിക്സിൻ്റെ രൂപീകരണം ഒരു ത്രികോണ മൂലകത്തിന്, വോളിയം ഇൻ്റഗ്രൽ, ഇൻ്റഗ്രാൻഡിൻ്റെയും വോളിയത്തിൻ്റെയും ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്. മൂലകത്തിൻ്റെ കാഠിന്യം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല (23) മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഒരു സൂചിക മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ചാണ് സിസ്റ്റം കാഠിന്യം മാട്രിക്സ് രൂപപ്പെടുന്നത്. 24 കണക്കിലെടുത്ത് അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ സിസ്റ്റം കാഠിന്യം മാട്രിക്സ്, ഫോഴ്സ് വെക്റ്റർ (ചിത്രം. 13) ഒരു പുനഃക്രമീകരണം ഒപ്പമുണ്ടായിരുന്നു. അരി. 13. സിസ്റ്റം കാഠിന്യം മാട്രിക്സിൻ്റെ രൂപീകരണവും അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ കണക്കിലെടുക്കുന്നതും കാഠിന്യം മാട്രിക്സ് വിപരീതമാക്കുന്നതിലൂടെ നോഡൽ ഡിസ്പ്ലേസ്മെൻ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. അരി. 14. മൂലകത്തിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തുള്ള നോഡ് സ്ഥാനചലനങ്ങൾ, രൂപഭേദം, സമ്മർദ്ദങ്ങൾ എന്നിവയുടെ നിർണ്ണയം ഇലാസ്തികതയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ε = ∂T u, ഇവിടെ u എന്നത് സ്ഥാനചലന വെക്റ്റർ ആണ്. നോഡൽ ഡിസ്‌പ്ലേസ്‌മെൻ്റുകൾ ∆, ഡിസ്പ്ലേസ്‌മെൻ്റ് u എന്നിവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ അനുസരിച്ച് u = N ∆. 25 () അതിനാൽ മൂലകത്തിൻ്റെ രൂപഭേദം ε = ∂T N ∆. ഇലാസ്തികത സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഭൗതിക സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് (ഹുക്കിൻ്റെ നിയമം) സമ്മർദ്ദം σ = Dε. മൂലകങ്ങൾ, നോഡുകൾ, നിരകൾ, വരികൾ എന്നിവയുടെ സൂചകങ്ങൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം ഉപയോഗിക്കുകയും സൂചിക മാട്രിക്സിൽ നിന്ന് എടുത്ത സൂചികകൾക്ക് മൂല്യങ്ങൾ നൽകുകയും ചെയ്യുന്നതാണ് കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ സങ്കീർണ്ണത. ഒരു ത്രികോണ മൂലകത്തിന്, ആകൃതി ഫംഗ്‌ഷൻ രേഖീയമാണ്, അതിനാൽ ആകൃതിയുടെ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ, സ്ട്രെയിൻ, സ്ട്രെസ് എന്നിവ ചിത്രത്തിൽ കാണപ്പെടുന്നു. 14, മൂലകത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ പ്രദേശത്തും സ്ഥിരമാണ്. ബോഡി നോഡുകളിലെ പിരിമുറുക്കങ്ങൾ ഒരു നോഡിൽ കൂടിച്ചേരുന്ന എല്ലാ മൂലകങ്ങളിലെയും സമ്മർദ്ദങ്ങളുടെ അല്ലെങ്കിൽ സമ്മർദ്ദങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിയായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു. ബോഡി നോഡുകളിലെ സമ്മർദ്ദങ്ങളുടെയും സമ്മർദ്ദങ്ങളുടെയും കണക്കുകൂട്ടൽ ചിത്രം കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 15. ചിത്രം. 15. ഓരോ മൂലകത്തിൻ്റെയും മധ്യഭാഗത്തുള്ള ബോഡി നോഡുകളുടെ സ്ഥാനചലനങ്ങൾ, സമ്മർദ്ദങ്ങൾ, രൂപഭേദം എന്നിവ നിർണ്ണയിക്കൽ 26 ചിത്രത്തിൽ. ഇൻ്റേണൽ കാഠിന്യം മാട്രിക്സ് ഡിയിൽ കണക്കിലെടുക്കാത്ത, ഓരോ മൂലകത്തിലെയും രൂപഭേദം, സമ്മർദ്ദം എന്നിവയുടെ നാലാമത്തെ മൂല്യത്തിൻ്റെ നിർവചനം ചിത്രം 15 കാണിക്കുന്നു. Mathcad ഡോക്യുമെൻ്റിനൊപ്പം പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ, NDS: = 1 എന്ന പദപ്രയോഗം NDS: = 0 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിന് താഴെ നമ്മൾ ഒഴിവാക്കിയാൽ , അപ്പോൾ നമുക്ക് കണക്കുകൂട്ടൽ ഫലങ്ങൾ ഇനി ഒരു പ്ലെയിൻ സ്ട്രെസ് അവസ്ഥയിലും ഒരു പ്ലെയിൻ ഡിഫോർമേഷൻ അവസ്ഥയിലും കാണാൻ കഴിയും. കണക്കുകൂട്ടൽ ഫലങ്ങൾ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 16. ചിത്രം. 16. കണക്കുകൂട്ടൽ ഫലങ്ങൾ 27 ലബോറട്ടറി ടാസ്ക് പരിമിതമായ മൂലക രീതി (FEM) ഉപയോഗിച്ച് ഇലാസ്തികതയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ ഒരു വിമാന പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുക. രണ്ട് ശക്തികളാൽ (ചിത്രം 3, ബി) ലോഡ് ചെയ്ത ഒരു മോതിരം സമമിതിയുടെ രണ്ട് അക്ഷങ്ങൾ ഉണ്ട്, അതിനാൽ, കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ കൃത്യത വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിന്, മോതിരത്തിൻ്റെ നാലിലൊന്ന് പരിഗണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അനുയോജ്യമായ ഒരു മെഷ് ഉപയോഗിച്ച്, അത് ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള പരിമിത മൂലകങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനമായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. nr റേഡിയസിലുള്ള നോഡുകളുടെ എണ്ണവും nφ എന്ന ശരീരത്തിൻ്റെ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന ഭാഗത്തിൻ്റെ കവറേജ് കോണിലുള്ള നോഡുകളുടെ എണ്ണവും ഓപ്ഷൻ അനുസരിച്ച് വ്യക്തിഗത ടാസ്ക്കുകളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് തിരഞ്ഞെടുത്തു. ഒരു പ്ലെയിൻ സ്ട്രെസ്ഡ് സ്റ്റേറ്റിലും പ്ലെയിൻ ഡിഫോർമഡ് സ്റ്റേറ്റിലും സ്ട്രെയിനുകളും സമ്മർദ്ദങ്ങളും നിർണ്ണയിക്കുക. വ്യക്തിഗത ടാസ്‌ക്കുകൾക്കുള്ള ഓപ്‌ഷനുകൾ. പരിധിയിലുള്ള നോഡുകളുടെ എണ്ണം, Nr 1 8 2 9 3 10 4 11 5 12 6 13 7 8 8 9 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 13 8 110 ൻ്റെ 9 10 ൻ്റെ പരിധിയിലുള്ള നോഡുകളുടെ എണ്ണം ആംഗിൾ, nφ 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 4 6 7 8 ഓപ്‌ഷൻ നമ്പർ 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 191 1 1 1910 ദൂരത്തിലുള്ള നോഡുകളുടെ എണ്ണം 13 10 11 12 13 11 12 13 കവറേജ് ആംഗിൾ അനുസരിച്ച് നോഡുകളുടെ എണ്ണം, nφ 9 4 5 6 4 8 9 7 5 6 7 6 4 5 6 റിപ്പോർട്ടിൻ്റെ ഉള്ളടക്കം ഡീബഗ്ഗ് ചെയ്‌ത ഡോക്യുമെൻ്റുകൾ അടങ്ങിയ വിദ്യാർത്ഥിയുടെ പ്രവർത്തന ഡയറക്‌ടറിയിൽ രണ്ട് ഫയലുകൾ സൃഷ്‌ടിച്ചിരിക്കണം. ഒരു പ്ലെയിൻ സ്ട്രെസ് അവസ്ഥയിലും പരന്ന രൂപഭേദം വരുത്തിയ അവസ്ഥയിലും കണക്കുകൂട്ടലുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന Mathcad സിസ്റ്റം. 28 ലബോറട്ടറി റിപ്പോർട്ടിൽ അടങ്ങിയിരിക്കണം: 1) ലബോറട്ടറി ജോലിയുടെ പേര്; 2) ലബോറട്ടറി ജോലിയുടെ ഉദ്ദേശ്യം; 3) ചുമതല; 4) മോണിറ്റർ സ്ക്രീനിൽ നിന്ന് പകർത്തിയ ഡീബഗ്ഗ് ചെയ്ത ടാസ്ക് എക്സിക്യൂഷൻ ഡോക്യുമെൻ്റുകൾ. ടെസ്റ്റ് ചോദ്യങ്ങൾ 1. പരിമിതമായ മൂലക രീതി എന്തിനുവേണ്ടിയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്? 2. ഫിനിറ്റ് എലമെൻ്റ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പൊതു കണക്കുകൂട്ടൽ സ്കീം നൽകുക. 3. ഒരു അനുയോജ്യമായ ഡിസൈൻ എന്താണ്? 4. രേഖീയ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏത് സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്നാണ് നോഡുകളുടെ സ്ഥാനചലനം നിർണ്ണയിക്കുന്നത്? 5. ഏകദേശ ബഹുപദത്തിൻ്റെ തരം എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു? 6. അടിസ്ഥാന പ്രവർത്തനങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഏതാണ്? 7. ആകാര പ്രവർത്തനങ്ങൾ എങ്ങനെയാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്? 8. സ്ഥാനചലന പ്രവർത്തനങ്ങൾ എങ്ങനെയാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്? 9. രൂപഭേദം വരുത്തുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ എങ്ങനെയാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്? 10. വോൾട്ടേജുകൾ എങ്ങനെയാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്? 11. സാമാന്യവൽക്കരിച്ച ശക്തികളെ നിർണ്ണയിക്കാൻ ഏത് തത്വമാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്? 12. മൂലകത്തിൻ്റെ കാഠിന്യം മാട്രിക്സ് എങ്ങനെയാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്? 13. എങ്ങനെയാണ് സിസ്റ്റം കാഠിന്യം മാട്രിക്സ് കംപൈൽ ചെയ്യുന്നത്? 14. കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകളെ എന്ത് സ്വാധീനം ചെലുത്തുന്നു എന്നത് കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ? 15. പ്രാഥമിക വൈകല്യങ്ങൾക്ക് കാരണമാകുന്നത് എന്താണ്? 16. പ്രീസ്ട്രെസ്സുകൾക്ക് കാരണമാകുന്നത് എന്താണ്? 17. വ്യക്തിഗത ആഘാതങ്ങൾ കാരണം പ്രതിപ്രവർത്തന ശക്തികൾ എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു? 18. ഗ്രിഡ് പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ എങ്ങനെയാണ് Mathcad സിസ്റ്റം കണക്കാക്കുന്നത്? 29 ഗ്രന്ഥസൂചിക 1. ഡാർക്കോവ് വി.എ. ഘടനാപരമായ മെക്കാനിക്സ്: പാഠപുസ്തകം. നിർമ്മാണത്തിനായി. സ്പെഷ്യലിസ്റ്റ്. സർവകലാശാലകൾ / വി.എ. ഡാർക്കോവ്, എൻ. എൻ ഷാപോഷ്നികോവ്. എഡ്. 8, പുതുക്കിയത് കൂടാതെ അധികവും എം.: ഉയർന്നത്. സ്കൂൾ, 1986. 607 പി. 2. മകരോവ് ഇ.ജി. Mathcad 14-ലെ എഞ്ചിനീയറിംഗ് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ: പരിശീലന കോഴ്സ്. സെന്റ് പീറ്റേഴ്സ്ബർഗ് : പീറ്റർ, 2007. 592 പേ. 3. ട്രൂഷിൻ എസ്.ഐ. പരിമിതമായ മൂലക രീതി. സിദ്ധാന്തവും ചുമതലകളും: പാഠപുസ്തകം. എം.: പബ്ലിഷിംഗ് ഹൗസ് ASV, 2008. 256 പേ. 4. ഖെച്ചുമോവ് ആർ.എ. ഘടനകളുടെ കണക്കുകൂട്ടലിലേക്ക് പരിമിതമായ മൂലക രീതിയുടെ പ്രയോഗം / ആർ.എ. ഖെച്ചുമോവ്, എച്ച് കെപ്ലർ, വി.ഐ. പ്രോകോപിയേവ്. എം.: പബ്ലിഷിംഗ് ഹൗസ് ASV, 1994. 353 പേ. 30 വിദ്യാഭ്യാസ പ്രസിദ്ധീകരണം അലക്സാണ്ടർ വ്‌ളാഡിമിറോവിച്ച് ഇഗ്നാറ്റീവ്, നതാലിയ അനറ്റോലിയേവ്ന മിഖൈലോവ, ടാറ്റിയാന വ്‌ളാഡിമിറോവ്ന എറെഷ്‌ചെങ്കോ ഫിനിറ്റ് എലമെൻ്റ് രീതിയും അതിൻ്റെ നിർവഹണവും മാത്ത്‌കാഡ് പരിസ്ഥിതി ലബോറട്ടറി വർക്ക്‌ഷോപ്പിൽ മാത്‌ക്യാഡ് പരിസ്ഥിതി ലബോറട്ടറി വർക്ക്‌ഷോപ്പ്. ” തല. റിയോ ഒ.ഇ. ഗോറിയച്ചേവ തല എഡിറ്റ് ചെയ്തത് എം.എൽ. പെസ്ഛനയ എഡിറ്റർ ഒ.എ. ഷിപുനോവ കമ്പ്യൂട്ടർ എഡിറ്റിംഗും ലേഔട്ടും എൻ.എ. 06/30/10 ന് പ്രസിദ്ധീകരണത്തിനായി ഡെറിന ഒപ്പുവച്ചു. ഫോർമാറ്റ് 60x84/16. ഓഫ്സെറ്റ് പേപ്പർ. സ്ക്രീൻ പ്രിൻ്റിംഗ്. ടൈംസ് ടൈപ്പ്ഫേസ്. സോപാധികം അടുപ്പ് എൽ. 1.9 അക്കാദമിക് എഡി. എൽ. 1.7 സർക്കുലേഷൻ 100 കോപ്പികൾ. ഓർഡർ നമ്പർ 70 ഉന്നത പ്രൊഫഷണൽ വിദ്യാഭ്യാസത്തിൻ്റെ സംസ്ഥാന വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം "വോൾഗോഗ്രാഡ് സ്റ്റേറ്റ് യൂണിവേഴ്സിറ്റി ഓഫ് ആർക്കിടെക്ചർ ആൻഡ് സിവിൽ എഞ്ചിനീയറിംഗ്" എഡിറ്റോറിയൽ ആൻഡ് പബ്ലിഷിംഗ് ഡിപ്പാർട്ട്മെൻ്റ് സെക്ടർ ഓഫ് ഓപ്പറേഷണൽ പ്രിൻ്റിംഗ് CIT 400074, വോൾഗോഗ്രാഡ്, സെൻ്റ്. അക്കാദമിചെസ്കായ, 1 31