ഒരു ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നം എഴുതുന്നതിനുള്ള വിവിധ രൂപങ്ങൾ. ZLP യുടെ വിവിധ രൂപങ്ങൾ (പൊതുവായ, കാനോനിക്കൽ, സമമിതി)

എംപി ചുമതലകൾ

ജനറൽ ZLP എന്ന് വിളിക്കുന്നു <,=,>=)bi (i=1,n) (2) xj> ന് വിധേയമാണ്

സമമിതി < либо = и не отрицательных переменных и задача минимизации функции (1) при രേഖീയ നിയന്ത്രണങ്ങൾചിഹ്നവുമായുള്ള അസമത്വത്തിൽ > കാനോനിക്കൽ മിക്സഡ്.

മിനിറ്റ് f(x) = -max(-f(x))

<=b (5)соответствует вполне определенное решение х1…хn, xn+1 уравненияa1x1+…+anxn+xn+1=b (6) при условии что хn+1>

ZLP യുടെ വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെയും നിയന്ത്രണങ്ങളുടെയും ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം. ZLP യുടെ ജ്യാമിതീയ രൂപീകരണം.

പ്രശ്നം f=c1x1+c2x2-max (1) നൽകട്ടെ

a11x1+a12x2<=b1 }

am1x1+am2x2<=bm}

x1>=0, x2>=0 (3)

പ്രശ്നത്തിന്റെ പ്ലാൻ (x1,x2) വിമാനത്തിലെ ഒരു പോയിന്റാണ്. ഞങ്ങൾ 2 പ്രതിനിധാനങ്ങളുമായുള്ള ഓരോ അസമത്വവും. ഒരു അർദ്ധവിമാനമാണ്. ഒരു അർദ്ധതലം ഒരു കോൺവെക്സ് സെറ്റാണ്. കോൺവെക്സ്സെഗ്‌മെന്റിനെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന (x1, x2) പോയിന്റുകളും ഗണത്തിൽ പെടുന്ന ഒരു സെറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. C-ma 2 അർദ്ധവിമാനങ്ങളുടെ കവലയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. കടക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും:

1) കോൺവെക്സ് പോളിഗോണൽ അടച്ച പ്രദേശം.

2) കുത്തനെയുള്ള തുറന്ന ബഹുഭുജ പ്രദേശം

3) സിംഗിൾ പോയിന്റ്

4) ശൂന്യമായ സെറ്റ്

5) ബീം, സെഗ്മെന്റ്

വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം:ഫംഗ്ഷൻ 1 സമാന്തര നേർരേഖകളുടെ ഒരു കുടുംബമാണ്, അവയെ ലെവൽ ലൈനുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു (വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സ്ഥിരമായ മൂല്യത്തിന്റെ വരികൾ). x1, x2 എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ അക്ഷങ്ങളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾക്കൊപ്പം ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷന്റെ വർദ്ധനവിന്റെ നിരക്ക് കാണിക്കുന്നു. ഗ്രേഡിയന്റ് വെക്റ്റർഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷനിലെ ഏറ്റവും വേഗതയേറിയ വർദ്ധനവിന്റെ ദിശ കാണിക്കുന്നു, 1-3 പ്രശ്‌നത്തിന്, ഗ്രേഡിയന്റ് വെക്റ്റർ = (c1; c2) പോയിന്റ് (0,0) വിട്ട് കോർഡിനേറ്റുകൾ (c1; c2) ഉപയോഗിച്ച് പോയിന്റിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു. ഗ്രേഡിയന്റ് വെക്റ്റർ ലെവൽ ലൈനുകൾക്ക് ലംബമാണ്. അർദ്ധവിമാനങ്ങളുടെ കവലയെ സാധാരണയായി വിളിക്കുന്നു സ്വീകാര്യമായ പരിഹാരങ്ങളുടെ മേഖല (എഡിഡി).

എൽപിയുടെ പ്രധാന സിദ്ധാന്തം. സ്കീമാറ്റിക് ഡയഗ്രംഈ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്ന ZLP യുടെ പരിഹാരം.

ZLP ന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ടെങ്കിൽ, വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനം പ്ലാൻ പോളിഹെഡ്രോണിന്റെ അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിന്റുകളിലൊന്നെങ്കിലും അങ്ങേയറ്റത്തെ മൂല്യത്തിൽ എത്തുന്നു. ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ ഒന്നിലധികം തീവ്ര പോയിന്റുകളിൽ ഒരു തീവ്രമായ മൂല്യത്തിൽ എത്തുകയാണെങ്കിൽ, അത് ഏത് ഘട്ടത്തിലും അവയുടെ കോൺവെക്‌സ് ലീനിയർ കോമ്പിനേഷനായ ഒരേ മൂല്യത്തിൽ എത്തുന്നു. ZLP സ്വമേധയാ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഒരു ടാബ്ലർ എൻട്രി ഉപയോഗിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്.

ബി.പി		SP -Xm+1 -Xm+2 -Xn
x1	b1o	b11 b12 b1n-m
x2	b2o	b21 b22 b2n-m
xm	ബിഎം	ബിഎം1 ബിഎം2 ബിഎംഎൻ-എം
എഫ്	ബൂ	bo1 bo2 bon-m

സിംപ്ലക്സ് രീതിയുടെ അൽഗോരിതം.

1. പ്രശ്ന മാതൃകയെ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരിക;

2. ആദ്യത്തേത് കണ്ടെത്തുക റഫറൻസ് പ്ലാൻ;

3. പ്രശ്നം ലളിതമായ രൂപത്തിൽ എഴുതുക. മേശ;

5. ഒരു പുതിയ റഫറൻസ് പ്ലാനിലേക്ക്, ഒരു പുതിയ സിമ്പിലേക്ക് നീങ്ങുക. മേശ. ഒരു പുതിയ റഫറൻസ് പ്ലാനിലേക്ക് മാറുന്നതിന്, ഒരു അടിസ്ഥാന വേരിയബിളിനെ സ്വതന്ത്രമായി മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചാൽ മതിയാകും. അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന വേരിയബിളും അനുബന്ധ റെസലൂഷൻ കോളവും നിർണ്ണയിക്കുന്നത് എഫ്-റോയുടെ ഏറ്റവും വലിയ കേവല നെഗറ്റീവ് മൂലകമാണ്. അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കുന്ന വേരിയബിളും അനുബന്ധ പരിഹാര രേഖയും നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഏറ്റവും ചെറിയ സിംപ്ലക്സ് അനുപാതമാണ്, അതായത്. റെസല്യൂഷൻ നിരയുടെ അനുബന്ധ ഘടകവുമായി യൂണിറ്റ് നിരയുടെ മൂലകങ്ങളുടെ ബന്ധം. സിംപ്ലക്സ് അനുപാതം ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് അളവാണ്. പരിഹരിക്കുന്ന വരിയുടെയും പരിഹരിക്കുന്ന നിരയുടെയും കവലയിൽ ഒരു പരിഹരിക്കുന്ന ഘടകമുണ്ട്. ലളിതമായ പരിവർത്തനംഅടുത്തത് നിയമം: 1. അനുവദിക്കുന്ന സ്ട്രിംഗിന്റെ ഘടകങ്ങൾ അനുവദിക്കുന്ന ഘടകമായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു; 2. റെസല്യൂഷൻ നിരയുടെ ഘടകങ്ങൾ റെസല്യൂഷൻ ഘടകമായി വിഭജിക്കുകയും അവയുടെ ചിഹ്നം വിപരീതമായി മാറ്റുകയും ചെയ്യുന്നു; 3. പട്ടികയുടെ ശേഷിക്കുന്ന ഘടകങ്ങൾ ദീർഘചതുരം നിയമം അനുസരിച്ച് പുനഃക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നു:

ബിജ് ബിസ് bkj=(bkj*bis-bij*bks)/bi

രണ്ടാമത്തെ ദ്വൈത സിദ്ധാന്തം.

ഇരട്ട പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഒന്നിന് ഒപ്റ്റിമൽ പ്ലാൻ ഉണ്ടെങ്കിൽ, മറ്റൊന്ന് പരിഹരിക്കാവുന്നതുമാണ്, അതായത്. ഒരു ഒപ്റ്റിക്കൽ പ്ലാൻ ഉണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ അങ്ങേയറ്റത്തെ മൂല്യങ്ങൾ ഒറിജിനലാണെങ്കിൽ (j=1 മുതൽ n വരെ) Σcjxj*= (i=1 മുതൽ m വരെ)Σbiyi* വരെ യോജിക്കുന്നു. പ്രശ്നം, പ്ലാനുകളുടെ സെറ്റിൽ ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ പരിധിയില്ലാത്തതാണ്, തുടർന്ന് ഇൻ ഇരട്ട പ്രശ്നംനിയന്ത്രണങ്ങളുടെ സംവിധാനം അസ്ഥിരമാണ്.

ടികെ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്കിലുള്ള സിദ്ധാന്തം.

ഗതാഗത പ്രശ്നത്തിന്റെ മാട്രിക്സ് എയുടെ റാങ്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ ഒന്ന് കുറവാണ്: r(A)=m+n-1.

39. ZLP യുടെ പ്രാരംഭ റഫറൻസ് പ്ലാൻ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം.

പ്രാരംഭ റഫറൻസ് പ്ലാൻ കണ്ടെത്താൻ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ നിർദ്ദേശിക്കാം അൽഗോരിതം:

1. ഒരു ജോർദാൻ പട്ടികയുടെ രൂപത്തിൽ പ്രശ്നം എഴുതുക, അതിലൂടെ സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ നിരയിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും നെഗറ്റീവ് അല്ല, അതായത്. അസമത്വം aio>=0 (i=1,m) തൃപ്തിപ്പെട്ടു. സ്വതന്ത്ര പദങ്ങൾ നെഗറ്റീവ് ആയ സമവാക്യങ്ങൾ ആദ്യം -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു.

		-x1..... -xn
0=	a1o	a11…. a1n
…..	…..	………………………..
0=	ആമോ	am1.....amn
f=		-c1…. -cn

ജോർദാൻ എലിമിനേഷൻ സ്റ്റെപ്പുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പട്ടിക രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുക, ഇടത് നിരയിലെ പൂജ്യങ്ങൾ അനുബന്ധമായ x ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. അതേ സമയം, ഓരോ ഘട്ടത്തിലും അനുവാദം തിരഞ്ഞെടുക്കാംകുറഞ്ഞത് ഒരു പോസിറ്റീവ് ഘടകമെങ്കിലും അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും നിര. റിസോൾവിംഗ് കോളത്തിന്റെ അനുബന്ധ പോസിറ്റീവ് ഘടകങ്ങളുമായുള്ള സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകളുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ അനുപാതമാണ് പരിഹരിക്കുന്ന വരി നിർണ്ണയിക്കുന്നത്. ഒഴിവാക്കൽ പ്രക്രിയയിൽ ഒരു 0-സ്ട്രിംഗ് നേരിടുകയാണെങ്കിൽ, എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യങ്ങൾ ആകുന്നു, കൂടാതെ സ്വതന്ത്ര പദം പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അപ്പോൾ സിസ്റ്റത്തിന് നിയന്ത്രണ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് പരിഹാരങ്ങളില്ല. സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് പുറമെ മറ്റ് പോസിറ്റീവ് ഘടകങ്ങളൊന്നും ഇല്ലാത്ത ഒരു 0-വരി നമ്മൾ കണ്ടുമുട്ടിയാൽ, നിയന്ത്രണ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഗണത്തിന് നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടാകില്ല. സംയുക്ത, നിശ്ചിത എണ്ണം ഘട്ടങ്ങൾക്ക് ശേഷം ഇടത് നിരയിലെ എല്ലാ പൂജ്യങ്ങളും x ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും അതുവഴി ഒരു നിശ്ചിത അടിസ്ഥാനം നേടുകയും തൽഫലമായി, അനുബന്ധ റഫറൻസ് പ്ലാൻ നേടുകയും ചെയ്യും.

40. ZLP-യുടെ ഒപ്റ്റിമൽ റഫറൻസ് പ്ലാൻ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം.

ഒപ്റ്റിമലിറ്റിക്കായി ഹോയുടെ പ്രാരംഭ പിന്തുണാ പ്ലാൻ പരിശോധിച്ചു.

എഫ്-റോയിൽ നെഗറ്റീവ് ഘടകങ്ങളൊന്നും ഇല്ലെങ്കിൽ (സ്വതന്ത്ര പദത്തെ കണക്കാക്കുന്നില്ല), -പ്ലാൻ ഒപ്റ്റിമൽ ആണ്. എഫ്-ലൈനിലും അടങ്ങിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ പൂജ്യം ഘടകങ്ങൾ, അപ്പോൾ ഒരു ഒപ്റ്റിമൽ പ്ലാൻ മാത്രമേയുള്ളൂ; മൂലകങ്ങൾക്കിടയിൽ കുറഞ്ഞത് ഒരു പൂജ്യമെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, അനന്തമായ ഒപ്റ്റിമൽ പ്ലാനുകൾ ഉണ്ട്. എഫ്-റോയിൽ കുറഞ്ഞത് ഒരു നെഗറ്റീവ് ഘടകമെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, അനുബന്ധ കോളത്തിൽ പോസിറ്റീവ് ഘടകങ്ങൾ ഇല്ലെങ്കിൽ, വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനം സാധ്യമായ മേഖലയിൽ പരിമിതമല്ല. പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാവുന്നതല്ല. എഫ്-റോയിൽ കുറഞ്ഞത് ഒരു നെഗറ്റീവ് ഘടകമെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, അത്തരം ഒരു മൂലകമുള്ള ഓരോ നിരയിലും കുറഞ്ഞത് ഒരു പോസിറ്റീവ് ഘടകമെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒപ്റ്റിമൽ ഒന്നിന് അടുത്തുള്ള ഒരു പുതിയ റഫറൻസ് പ്ലാനിലേക്ക് പോകാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, എഫ്-വരിയിലെ നെഗറ്റീവ് ഘടകമുള്ള കോളം ഇതായി എടുക്കുന്നു അനുവദനീയമായ; അവർ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സിംപ്ലക്സ് ബന്ധത്തിൽ നിന്ന് പരിഹരിക്കുന്ന സ്ട്രിംഗ് നിർണ്ണയിക്കുകയും ജോർദാൻ എലിമിനേഷൻ ഘട്ടം നടത്തുകയും ചെയ്യുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന റഫറൻസ് പ്ലാൻ ഒപ്റ്റിമലിറ്റിക്കായി വീണ്ടും പരിശോധിക്കുന്നു. ഒപ്റ്റിമൽ റഫറൻസ് പ്ലാൻ കണ്ടെത്തുന്നതുവരെ അല്ലെങ്കിൽ പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഹരിക്കാനാകാത്തത് സ്ഥാപിക്കുന്നത് വരെ ഇത് ആവർത്തിക്കുന്നു.

ഗോമോറി രീതിയുടെ അൽഗോരിതം.

1. സിംപ്ലക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച്, പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഒപ്റ്റിമൽ പ്ലാൻ കണ്ടെത്തി. ഒപ്റ്റിമൽ പ്ലാനിന്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണെങ്കിൽ, അത് ഒപ്റ്റിമൽ ആണ്. അല്ലെങ്കിൽ, ഘട്ടം 2-ലേക്ക് പോകുക

2. പൂർണ്ണസംഖ്യ അല്ലാത്ത ഘടകങ്ങളിൽ, നിങ്ങൾ ഉള്ളത് തിരഞ്ഞെടുക്കണം അംശംഏറ്റവും വലുതാണ്, സിംപ്ലക്സ് പട്ടികയുടെ അനുബന്ധ വരി ഉപയോഗിച്ച്, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ശരിയായ കട്ട്ഓഫ് രൂപപ്പെടുത്തുക

(n-m,s=1)∑ (αkm+1)Xm+1≥(βk)

3. രൂപപ്പെടുത്തിയ അസമത്വത്തെ തുല്യമായ പൂജ്യം സമത്വമാക്കി മാറ്റുകയും അതിൽ ഉൾപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുക സിംപ്ലക്സ് ടേബിൾഒരു നോൺ-ഇന്റേജർ ഒപ്റ്റിമൽ പ്ലാൻ ഉപയോഗിച്ച്

4. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വിപുലീകൃത പ്രശ്നം സിംപ്ലക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പ്ലാൻ പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ലെങ്കിൽ, ഘട്ടം 2-ലേക്ക് പോകുക.

പരിഹാര പ്രക്രിയയിൽ ഒരു നോൺ-ഇന്റേജർ ഫ്രീ ടേമും മറ്റ് പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങളും ഉള്ള ഒരു വരി ദൃശ്യമാകുകയാണെങ്കിൽ, അനുബന്ധ സമവാക്യത്തിന് പൂർണ്ണസംഖ്യകളിൽ പരിഹാരമില്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒപ്പം യഥാർത്ഥ പ്രശ്നംപൂർണ്ണസംഖ്യകളിൽ നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല, ഗോമോറിയുടെ രീതിക്ക് പരിമിതമായ പ്രയോഗമുണ്ട് അതിന്റെ സഹായത്തോടെ അത് പരിഹരിക്കാൻ ഉചിതമാണ് ചെറിയ ജോലികൾ, കാരണം ഇടപെടലുകളുടെ എണ്ണം വളരെ വലുതായിരിക്കും.

വിവിധ രൂപങ്ങൾ ZLP രേഖകൾ (പൊതുവായ, കാനോനിക്കൽ, സമമിതി)

എംപി ചുമതലകൾ: ഒപ്റ്റിമൽ പ്ലാനിന്റെ നിർണ്ണയം, ഉൽപാദനത്തിന്റെ ഒപ്റ്റിമൽ വോള്യം നിർണ്ണയിക്കൽ, വിളകളുടെ ഒപ്റ്റിമൽ കോമ്പിനേഷൻ നിർണ്ണയിക്കൽ, ആസ്തികളുടെ ഒപ്റ്റിമൽ പാക്കേജ് രൂപീകരണം, ബാങ്ക് ലാഭം വർദ്ധിപ്പിക്കൽ തുടങ്ങിയവ.

ജനറൽ ZLP എന്ന് വിളിക്കുന്നു മാക്സിമൈസേഷൻ (മിനിമൈസേഷൻ) പ്രശ്നംലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷൻ f=Σcj*xj-max(min) (1) രേഖീയ നിയന്ത്രണങ്ങൾക്ക് കീഴിൽ ∑aij *xj(=<,=,>=)bi (i=1,n) (2) നൽകിയിരിക്കുന്നത് xj>=0(j=1,n1), xj-അനിയന്ത്രിതമായ (j=n1+1,n)(3) ഇവിടെ cj,aij, bi-constants നമ്പറുകൾ .

സമമിതി ZLP എഴുതുന്ന രൂപത്തെ, ഒപ്പിട്ട അസമത്വങ്ങളിലെ രേഖീയ നിയന്ത്രണങ്ങൾക്ക് കീഴിലുള്ള പ്രവർത്തനം (1) പരമാവധിയാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.< либо = и не отрицательных переменных и задача минимизации функции (1) при линейных ограничениях в неравенствах со знаком >അല്ലെങ്കിൽ = കൂടാതെ നോൺ-നെഗറ്റീവ് വേരിയബിളുകൾ. കാനോനിക്കൽ ZLP എഴുതുന്ന രൂപത്തെ സമത്വങ്ങളുടെയും നോൺ-നെഗറ്റീവ് വേരിയബിളുകളുടെയും രേഖീയ നിയന്ത്രണങ്ങൾക്ക് കീഴിലുള്ള പരമാവധി പ്രവർത്തനത്തിന്റെ (1) പ്രശ്നം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മറ്റേതെങ്കിലും രൂപത്തെ വിളിക്കുന്നു മിക്സഡ്.

മിനിറ്റ് f(x) = -max(-f(x))

ഒരു അസമത്വത്തെ സമവാക്യമാക്കി മാറ്റുന്നതും തിരിച്ചും ലെമ്മയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് നടത്തുന്നത്: ഓരോ പരിഹാരത്തിനും x1...xn അസമത്വത്തിന്റെ a1x1+...+anxn<=b (5)соответствует вполне определенное решение х1…хn, xn+1 уравненияa1x1+…+anxn+xn+1=b (6) при условии что хn+1>=0(7) കൂടാതെ തിരിച്ചും. സമവാക്യം 6-ന്റെയും അസമത്വം 7-ന്റെയും എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും x1...xn, xn+1 അസമത്വം 5-ന്റെ x1...xn പരിഹാരവുമായി യോജിക്കുന്നു.

ബാക്ക് സിം ഫോമിൽ നിന്ന് ബാക്ക് കാനോനിക്കൽ ഫോമിലേക്ക് നീങ്ങാൻ, നിങ്ങൾ നൽകണം ബാലൻസ് (തുല്യമാക്കൽ) വേരിയബിളുകൾ.ഇത് അസമത്വ സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്: ഏത് അസമത്വത്തെയും ഒരു സമവാക്യമായോ ലളിതമായ അസമത്വമായോ പ്രതിനിധീകരിക്കാം.

കാനോനിക്കൽ രൂപം ZLP- ചുമതല ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് ax = b എന്ന രൂപത്തിന്റെ ഗുണക മാട്രിക്സ് ആണ്, b എന്നത് കൺസ്ട്രെയിന്റ് വെക്റ്റർ ആണ്.

സേവനത്തിന്റെ ഉദ്ദേശ്യം. ഒരു PPP-യെ KZLP-യിലേക്ക് മാറ്റുന്നതിനാണ് ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിരിക്കുന്നത്. പ്രശ്‌നത്തെ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നത് അർത്ഥമാക്കുന്നത്, അധിക വേരിയബിളുകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ എല്ലാ നിയന്ത്രണങ്ങൾക്കും തുല്യതയുടെ രൂപം ഉണ്ടായിരിക്കും എന്നാണ്.
ഏതെങ്കിലും വേരിയബിളിൽ x j ഒരു നിയന്ത്രണം ഏർപ്പെടുത്തിയില്ലെങ്കിൽ, അത് അധിക വേരിയബിളുകളുടെ വ്യത്യാസത്താൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കും, x j = x j1 - x j2, x j1 ≥ 0, x j2 ≥ 0.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ. വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണവും വരികളുടെ എണ്ണവും (നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ എണ്ണം) തിരഞ്ഞെടുക്കുക. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പരിഹാരം ഒരു Word ഫയലിൽ സേവ് ചെയ്യപ്പെടുന്നു.

ഒരു ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നം കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് എങ്ങനെ കുറയ്ക്കാം

ZLP യുടെ ഗണിത മാതൃകയെ വിളിക്കുന്നു അടിസ്ഥാന, അതിലെ നിയന്ത്രണങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചാൽ, വേരിയബിളുകൾ നെഗറ്റീവ് അല്ല.

ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക എന്ന് വിളിക്കുന്നു കാനോനിക്കൽ, അതിന്റെ നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം m രേഖീയ സ്വതന്ത്ര സമവാക്യങ്ങളുടെ (സിസ്റ്റം റാങ്ക് r=m) ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, സിസ്റ്റം അനുവദിച്ചിരിക്കുന്നു യൂണിറ്റ് അടിസ്ഥാനം, സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകൾ നിർവചിക്കുകയും വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനം സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യങ്ങളുടെ വലത് വശങ്ങൾ നെഗറ്റീവ് അല്ല (b i ≥ 0).

സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളിലൊന്നിൽ ഒന്നിന്റെ ഗുണകം ഉള്ളതും മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ ഇല്ലാത്തതുമായ വേരിയബിളുകളെ വിളിക്കുന്നു അടിസ്ഥാന അജ്ഞാതങ്ങൾ, കൂടാതെ മറ്റെല്ലാവരും - സൗ ജന്യം.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരം വിളിക്കുന്നു അടിസ്ഥാന, അതിലെ ഫ്രീ വേരിയബിളുകൾ 0 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അതിന് ഫോം ഉണ്ട്:
X ബേസുകൾ = (0, 0; b 1 , …, b m), f(X ബേസുകൾ) = c 0

അടിസ്ഥാന പരിഹാരംസിസ്റ്റത്തിന്റെ സൊല്യൂഷനുകളുടെ സെറ്റിന്റെ കോർണർ പോയിന്റാണ്, അതായത്. മോഡലിന്റെ സൊല്യൂഷൻ പോളിഗോണിന്റെ ശീർഷകം നിർവചിക്കുന്നു. അത്തരം പരിഹാരങ്ങളിൽ ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ എടുക്കുന്ന ഒന്നാണ് ഒപ്റ്റിമൽ മൂല്യം.

അനുവദനീയമാണെങ്കിൽ അടിസ്ഥാന പരിഹാരത്തെ റഫറൻസ് സൊല്യൂഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത്. സിസ്റ്റം സമവാക്യങ്ങളുടെ (അല്ലെങ്കിൽ അസമത്വങ്ങൾ) എല്ലാ വലതുവശങ്ങളും പോസിറ്റീവ് b i ≥ 0 ആണ്.

കാനോനിക്കൽ മോഡലിന്റെ ഒതുക്കമുള്ള രൂപം ഇതാണ്:
AX = b
X ≥ 0
Z = CX(പരമാവധി)

ഒരു അനുവദനീയമായ പരിഹാരത്തിന്റെ ആശയം, സ്വീകാര്യമായ പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു മേഖല, ഒരു ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നത്തിനുള്ള സമുചിതമായ പരിഹാരം.
നിർവ്വചനം 1. ZLP നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു വെക്റ്റർ X, നെഗറ്റീവല്ലാത്ത വ്യവസ്ഥകൾ, എന്തെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, ZLP-യുടെ സ്വീകാര്യമായ പരിഹാരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
നിർവ്വചനം 2. എല്ലാ അനുവദനീയമായ പരിഹാരങ്ങളുടെയും ഒരു കൂട്ടം PLP യുടെ അനുവദനീയമായ പരിഹാരങ്ങളുടെ (ADA) മേഖലയെ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു.
നിർവ്വചനം 3. ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ പരമാവധി (അല്ലെങ്കിൽ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്) എത്തുന്ന ഒരു പ്രായോഗിക പരിഹാരത്തെ ഒപ്റ്റിമൽ സൊല്യൂഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 1. ഇനിപ്പറയുന്ന LP പ്രശ്നം കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുക: F(X) = 5x 1 + 3x 2 → നിയന്ത്രണങ്ങൾക്ക് കീഴിൽ പരമാവധി:
2x 1 + 3x 2 ≤20
3x 1 + x 2 ≤15
4x 1 ≤16
3x 2 ≤12
മോഡൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോം. നമുക്ക് ബാലൻസ് നോൺ-നെഗറ്റീവ് വേരിയബിളുകൾ അവതരിപ്പിക്കാം x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , അത് അസമത്വ നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ ഇടത് വശങ്ങളിലേക്ക് ചേർക്കുന്നു. IN ലക്ഷ്യം പ്രവർത്തനംപൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള എല്ലാ അധിക വേരിയബിളുകളും ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു:
അർത്ഥത്തിന്റെ ആദ്യ അസമത്വത്തിൽ (≤), ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ x 3 അവതരിപ്പിക്കുന്നു. അർത്ഥത്തിന്റെ രണ്ടാം അസമത്വത്തിൽ (≤) ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ x 4 അവതരിപ്പിക്കുന്നു. മൂന്നാമത്തെ അസമത്വത്തിൽ ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ x 5 അവതരിപ്പിക്കുന്നു. നാലാമത്തെ അസമത്വത്തിൽ - അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ x 6. മോഡലിന്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപം നമുക്ക് ലഭിക്കും:
2x 1 + 3x 2 + 1x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6 = 20
3x 1 + 1x 2 + 0x 3 + 1x 4 + 0x 5 + 0x 6 = 15
4x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 1x 5 + 0x 6 = 16
0x 1 + 3x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 1x 6 = 12
F(X) = 5x 1 + 3x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6 → പരമാവധി

ഉദാഹരണം നമ്പർ 2. സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ട് റഫറൻസ് പരിഹാരങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക
x 1 + 2x 4 - 2x 5 = 4
x 3 + 3x 4 + x 5 = 5
x 2 + 3x 5 = 2

പുറം 1

പ്രശ്നത്തിന്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപം ഇനിപ്പറയുന്ന മൂന്ന് സവിശേഷതകളാൽ സവിശേഷതയാണ്: 1) സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു വ്യവസ്ഥയുടെ രൂപത്തിൽ നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനം; 2) പ്രശ്‌നത്തിൽ ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന എല്ലാ വേരിയബിളുകൾക്കും ബാധകമായ ഏകതാനമായ നോൺ-നെഗറ്റിവിറ്റി വ്യവസ്ഥകൾ, കൂടാതെ 3) ഒരു ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷന്റെ പരമാവധിയാക്കൽ. ഈ പ്രശ്നത്തിൽ, ഈ മൂന്ന് സവിശേഷതകളും ലംഘിക്കപ്പെടുന്നു.

ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നത്തിന്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപം സൗകര്യപ്രദമാണ്, കാരണം സാധ്യമായ പ്രദേശത്തിന്റെ പ്രാരംഭ ശീർഷകം കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്.

ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നത്തിന്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപവും ജോർദാൻ-ഗോസ് എലിമിനേഷൻ രീതിയും നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ഒരു ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നത്തിന്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപം പലപ്പോഴും സൗകര്യപ്രദമാണ്.

നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനത്തെ ഒരു ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നത്തിന്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് മാറ്റുമ്പോൾ, അസമത്വങ്ങൾ (12), (13) എന്നിവ തുല്യതകളാൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അധിക നോൺ-നെഗറ്റീവ് വേരിയബിളുകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരു ഓർത്തോഗണൽ മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ചുള്ള സാമ്യത രൂപാന്തരം വഴി, ജോഡിവൈസ് കമ്മ്യൂട്ടിംഗ് റിയൽ മെട്രിക്സുകൾ ഒരേസമയം പ്രശ്നം 1128-ന്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുങ്ങുന്നുവെന്ന് തെളിയിക്കുക.

അടിസ്ഥാനപരമായി (4) - (5) രേഖീയമല്ലാത്ത പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നത്തിന്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപമായി കണക്കാക്കാം, കാരണം അദ്ധ്യായത്തിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന രീതികൾ. സാധാരണയായി നോൺ-ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ വേരിയബിളുകൾ പൂർണ്ണസംഖ്യ ആയിരിക്കണമെന്ന് നിർബന്ധമില്ല.

നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ തരങ്ങളും അവയുടെ പരിവർത്തനത്തിനുള്ള രീതികളും.

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു വ്യവസ്ഥയുടെ രൂപത്തിൽ നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ വ്യവസ്ഥയുടെ ഏകതാനതയാണ് പ്രശ്നത്തിന്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിന്റെ സവിശേഷത; വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനം പരമാവധിയാക്കുക; പ്രശ്നത്തിൽ ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന എല്ലാ വേരിയബിളുകളുടെയും നോൺ-നെഗറ്റിവിറ്റിയുടെ അവസ്ഥ.

ഒന്നുമില്ല അധിക സവിശേഷതകൾപ്രശ്നങ്ങളുടെ കാനോനിക്കൽ രൂപം പരിഗണനയിലുള്ള കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ സ്കീമിലേക്ക് ചേർക്കുന്നില്ല.

മിനിമം പ്രശ്നത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ കാനോനിക്കൽ രൂപം നമുക്ക് ആദ്യം പരിഗണിക്കാം.

സിംപ്ലക്സ്-മീറ്റ് അൽഗോരിതം രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളായി തിരിക്കാം. ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, വേരിയബിളുകൾ ഒഴിവാക്കി ഒരു അടിസ്ഥാന പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നു. അത് കണ്ടെത്തിയാൽ, രണ്ടാം ഘട്ടത്തിലേക്ക് നീങ്ങാനുള്ള പ്രശ്നത്തിന്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപമുണ്ട്. ബൗണ്ടഡ് ഒപ്റ്റിമൽ ഉണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കുന്നതാണ് രണ്ടാമത്തെ ഘട്ടം. അത് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, അനുവദനീയമായ അടിസ്ഥാന പരിഹാരങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയും അതിൽ നിന്ന് ഒപ്റ്റിമൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

പ്രശ്നം കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിൽ പരിഹരിച്ചാൽ, രണ്ടാമത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ അവതരിപ്പിച്ച പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു ഭാഗം മാത്രമേ ഉപയോഗിക്കൂ. അതിനാൽ, കാനോനിക്കൽ മിനിമം പ്രശ്‌നത്തിന്, ഖണ്ഡിക 3.4.1 ന്റെ കേസ് മാത്രമേ തിരിച്ചറിഞ്ഞിട്ടുള്ളൂ, കൂടാതെ നിരകളുടെ ചാക്രിക പുനഃക്രമീകരണം, ലംബ അതിർത്തി മേഖലയിലൂടെ നിര കടന്നുപോകൽ, ഘടനാപരമായ ലംഘനങ്ങൾ ശരിയാക്കൽ, വെട്ടിച്ചുരുക്കൽ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഭാഗങ്ങൾ എന്നിവ മാത്രമേ ആവശ്യമുള്ളൂ. സമമിതിയിൽ, കാനോനിക്കൽ പരമാവധി പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, പോയിന്റ് 3.4.2 ന്റെ കേസ് മാത്രമേ തിരിച്ചറിയൂ, കൂടാതെ സ്ട്രിംഗുകളുടെ ചാക്രിക പുനഃക്രമീകരണം, തിരശ്ചീന അതിർത്തി മേഖലയിലൂടെ ഒരു സ്ട്രിംഗ് പ്രവർത്തിപ്പിക്കുക, ഘടനാപരമായ ലംഘനങ്ങൾ ശരിയാക്കൽ, വെട്ടിച്ചുരുക്കൽ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ മറ്റൊരു ഭാഗം എന്നിവ ആവശ്യമാണ്. അല്ലെങ്കിൽ ഒന്നുമില്ല അധിക പ്രത്യേകതകൾടാസ്ക്കിന്റെ കാനോനിക്കൽ ഫോം ചേർക്കുന്നില്ല.

എങ്ങനെയെന്ന് ആമുഖത്തിന്റെ ആദ്യ ഖണ്ഡിക കാണിച്ചുതന്നു പൊതു ചുമതലലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് അതിന്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപങ്ങളിലൊന്നായി ചുരുക്കാം. കാനോനിക്കൽ പ്രശ്നങ്ങൾക്ക്, ഒപ്റ്റിമലിറ്റി വ്യവസ്ഥകൾ ലംഘിക്കുന്നതിന് രണ്ട് ഓപ്ഷനുകളും അടുത്ത ശീർഷത്തിൽ എത്തുന്നതിന് രണ്ട് ഓപ്ഷനുകളും പരിഗണിക്കേണ്ടതില്ല എന്നതിനാൽ, ക്രമാനുഗത മെച്ചപ്പെടുത്തൽ രീതിയുടെ വിവരണം ഔപചാരികമായി ലളിതമാക്കിയിരിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഇത് വലുപ്പം വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നു. അടിസ്ഥാന മാട്രിക്സ് A [/, J ], ഇത് പ്രധാനമായും ഒരു ഷട്ടിന്റെ സങ്കീർണ്ണത നിർണ്ണയിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, മിക്ക കേസുകളിലും, പ്രശ്നത്തിന്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപങ്ങളിൽ രീതി പ്രയോഗിക്കുന്നത് അഭികാമ്യമാണ്, കൂടാതെ ഈ വിഭാഗത്തിൽ പ്രത്യേക ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നങ്ങൾക്കായി ലഭിച്ച രീതിയുടെ വകഭേദങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾ താമസിക്കും.

പേജുകൾ: ..... 1

കാനോനിക്കൽ രൂപം, നിങ്ങൾക്ക് ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ പരമാവധിയാക്കണമെങ്കിൽ, എല്ലാ സിസ്റ്റം നിയന്ത്രണങ്ങളും സമവാക്യങ്ങളാണ്, കൂടാതെ എല്ലാ വേരിയബിളുകളിലും നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത അവസ്ഥ അടിച്ചേൽപ്പിക്കുന്നു.

ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നം നൽകിയിരിക്കുന്നു സമമിതി ആകൃതി, നിങ്ങൾക്ക് ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ പരമാവധിയാക്കണമെങ്കിൽ, എല്ലാ സിസ്റ്റം നിയന്ത്രണങ്ങളും അസമത്വങ്ങളാണ് "" (അല്ലെങ്കിൽ ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ കുറയ്ക്കുക, എല്ലാ സിസ്റ്റം നിയന്ത്രണങ്ങളും അസമത്വങ്ങളാണ് "") കൂടാതെ എല്ലാ വേരിയബിളുകളിലും നോൺ-നെഗറ്റിവിറ്റി വ്യവസ്ഥ ചുമത്തുന്നു.

ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകളെ വിളിക്കുന്നു സ്വീകാര്യമായ പരിഹാരം (പദ്ധതി), ഇത് ZLP യുടെ നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെങ്കിൽ.

സാധ്യമായ എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളുടെയും ഗണത്തെ വിളിക്കുന്നു സാധ്യമായ പരിഹാരങ്ങളുടെ മേഖല(ODR).

പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പരമാവധി (മിനിമം) മൂല്യം കൈവരിക്കുന്ന ഒരു അനുവദനീയമായ പരിഹാരം വിളിക്കുന്നു PAP-യുടെ ഒപ്റ്റിമൽ പ്ലാൻ.

"പ്ലാൻ", "ഒപ്റ്റിമൽ പ്ലാൻ" എന്നീ പദങ്ങൾ സാമ്പത്തിക പ്രയോഗങ്ങളിൽ നിന്നാണ് ഉത്ഭവിക്കുന്നത്.

ZLP റെക്കോർഡിംഗിന്റെ മൂന്ന് രൂപങ്ങളും ഒരു ഫോമിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറുന്നതിന് അൽഗോരിതങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന അർത്ഥത്തിൽ തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, ഒരു ഫോമിൽ ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ഒരു മാർഗമുണ്ടെങ്കിൽ, മറ്റേതെങ്കിലും രൂപത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഒരു പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഒപ്റ്റിമൽ പ്ലാൻ നിർണ്ണയിക്കാൻ എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമാണ്. സമമിതി രൂപത്തിലാണ് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നത് ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി, കൂടാതെ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിൽ - സിംപ്ലക്സ് രീതിയിലൂടെ.

ഒരു രൂപത്തിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

സമമിതി  കാനോനിക്കൽ.ചേർത്താണ് പരിവർത്തനം നടത്തുന്നത് ഇടത് വശംഒരു അധിക നോൺ-നെഗറ്റീവ് വേരിയബിളിന്റെ ഓരോ അസമത്വവും. അസമത്വം “≤” ആണെങ്കിൽ, ബാലൻസ് വേരിയബിൾ അസമത്വത്തിന്റെ ഇടതുവശത്ത് “+” ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് ചേർക്കും. അസമത്വം “” ആണെങ്കിൽ, ബാലൻസ് വേരിയബിൾ അസമത്വത്തിന്റെ ഇടതുവശത്ത് “–” ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് ചേർക്കും. അവതരിപ്പിച്ച പുതിയ വേരിയബിളുകളെ വിളിക്കുന്നു ബാലൻസ് ഷീറ്റ്. ഫംഗ്‌ഷൻ Z ചെറുതാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്‌നം ഫംഗ്‌ഷൻ (–Z) പരമാവധിയാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്‌നത്താൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കപ്പെടുന്നു, ഇത് min Z = –max (–Z) എന്ന് ഉപയോഗിക്കുന്നു.
കാനോനിക്കൽ  സമമിതി.അത്തരമൊരു പരിവർത്തനം നടത്താൻ, സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്തി - നിയന്ത്രണങ്ങൾ, ടാർഗെറ്റ് ഫംഗ്ഷൻ സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. അടുത്തതായി, അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളുടെ നോൺ-നെഗറ്റിവിറ്റി പ്രയോജനപ്പെടുത്തി, നമുക്ക് അവയെ പ്രശ്നത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കാം. പ്രശ്നത്തിന്റെ സമമിതി രൂപത്തിൽ സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളുമായി മാത്രം ബന്ധപ്പെട്ട അസമത്വങ്ങളും സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളെ മാത്രം ആശ്രയിക്കുന്ന ഒരു വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനവും അടങ്ങിയിരിക്കും. അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്തുന്നു.
പൊതുവായ  കാനോനിക്കൽ.നോൺ-നെഗറ്റിവിറ്റി വ്യവസ്ഥ ചുമത്താത്ത ഓരോ വേരിയബിളും രണ്ട് പുതിയ നോൺ-നെഗറ്റീവ് വേരിയബിളുകളുടെ വ്യത്യാസമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. സമമിതിയിൽ നിന്ന് കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനത്തിൽ വിവരിച്ച അതേ രീതിയിൽ ഓരോ അസമത്വത്തിന്റെയും ഇടതുവശത്ത് ഒരു ബാലൻസ് വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് അസമത്വങ്ങളെ സമവാക്യങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നു. ഇസഡ് ഫംഗ്‌ഷൻ ചെറുതാക്കുന്നതിന്റെ പ്രശ്‌നം, സമമിതിയിൽ നിന്ന് കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്കുള്ള പരിവർത്തന സമയത്ത് വിവരിച്ച അതേ രീതിയിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ (-Z) പരമാവധിയാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്‌നം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.

ഒരു ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി

സമമിതി രൂപത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന LLP പരിഹരിക്കാൻ ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. രണ്ട് വേരിയബിളുകളുമായുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഈ രീതി ഏറ്റവും ഫലപ്രദമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു, കാരണം ഗ്രാഫിക് നിർമ്മാണങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്. മൂന്ന് വേരിയബിളുകളുടെ കാര്യത്തിൽ, നിർമ്മാണങ്ങൾ ആർ 3 , നാല് വേരിയബിളുകളുടെ കാര്യത്തിൽ, നിർമ്മാണങ്ങൾ ആർ 4 തുടങ്ങിയവ.

പോയിന്റുകളുടെ കൂട്ടത്തെ വിളിക്കുന്നു കുത്തനെയുള്ള, സെറ്റിന്റെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോയിന്റുകൾക്കായി അതിൽ അവയെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സെഗ്മെന്റ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 1

വിമാനത്തിലെ ഇനിപ്പറയുന്ന സെറ്റ് പോയിന്റുകൾ കുത്തനെയുള്ളതാണ്:

വിമാനത്തിലെ ഇനിപ്പറയുന്ന പോയിന്റുകളുടെ കൂട്ടം കുത്തനെയുള്ളതല്ല:

സിദ്ധാന്തം 1 കോൺവെക്‌സ് സെറ്റുകളുടെ എത്രയോ കവലകൾ ഒരു കോൺവെക്‌സ് സെറ്റാണ്.

സിദ്ധാന്തം 2 ബഹിരാകാശത്ത് രണ്ട് അനിയന്ത്രിതമായ പോയിന്റുകൾ ഉണ്ടാകട്ടെ ആർ എൻ. തുടർന്ന് സെഗ്‌മെന്റിന്റെ ഏത് പോയിന്റിനും [ പി.ക്യു] എക്സിക്യൂട്ട് ചെയ്യണം: .എവിടെ .

ഹൈപ്പർപ്ലെയ്ൻബഹിരാകാശത്ത് ആർ എൻസമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു കൂട്ടം പോയിന്റുകളാണ്. ദ്വിമാന കേസിൽ ഹൈപ്പർപ്ലെയ്ൻ ഒരു നേർരേഖയാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

ഹാഫ് സ്പേസ്അസമത്വങ്ങളിൽ ഒന്നിനെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന പോയിന്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ് അല്ലെങ്കിൽ . ഒരു ഹൈപ്പർപ്ലെയ്ൻ ബഹിരാകാശത്തിലെ പോയിന്റുകളെ രണ്ട് അർദ്ധ-സ്പെയ്സ് ആയി വിഭജിക്കുന്നു. ദ്വിമാന കേസിൽ, ഹൈപ്പർപ്ലെയ്ൻ ഒരു അർദ്ധ-തലം ആണ്.

സിദ്ധാന്തം 3 ഒരു പകുതി-സ്പെയ്സ് ഒരു കോൺവെക്സ് സെറ്റാണ്.

അനന്തരഫലം എത്ര അർദ്ധ സ്‌പെയ്‌സുകളുടെയും കവല ഒരു കോൺവെക്‌സ് സെറ്റാണ്.

പോളിഹെഡ്രോൺഒന്നോ അതിലധികമോ അർദ്ധ-സ്പേസുകളുടെ കവല എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ദ്വിമാന കേസിൽ ഒരു പോളിഹെഡ്രോണിനെ പോളിഗോൺ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 2

ഇനിപ്പറയുന്ന ഗണങ്ങൾ ബഹുഭുജങ്ങളാണ്.

പരിമിതമായ സെറ്റ്

പരിധിയില്ലാത്ത സെറ്റ്

സിംഗിൾ പോയിന്റ്

ശൂന്യമായ സെറ്റ്

ഒരു കോൺവെക്സ് സെറ്റിന്റെ ഒരു പോയിന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു കോണാകൃതിയിലുള്ള, സെറ്റിൽ നിന്ന് മറ്റ് രണ്ട് പോയിന്റുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും സെഗ്‌മെന്റിനുള്ളിൽ അത് കിടക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ.

ഉദാഹരണം 3

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ കോർണർ പോയിന്റുകൾ അതിന്റെ ലംബങ്ങളാണ് (അവയിൽ മൂന്നെണ്ണം ഉണ്ട്). ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ കോർണർ പോയിന്റുകൾ അതിനെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന വൃത്തത്തിന്റെ പോയിന്റുകളാണ് (അവയിൽ അനന്തമായ എണ്ണം ഉണ്ട്).

ഒരു പോളിഹെഡ്രോണിന്റെ കോർണർ പോയിന്റിനെ വിളിക്കുന്നു മുകളിൽ.

നമുക്ക് സമമിതി രൂപത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ZLP പരിഗണിക്കാം.

സിദ്ധാന്തം 4 ഒപ്റ്റിമൽ പ്ലാൻ ZLP അതിന്റെ നിയന്ത്രണ സംവിധാനത്താൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന പരിഹാരം പോളിഹെഡ്രോണിന്റെ ശീർഷകവുമായി യോജിക്കുന്നു.

: ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നങ്ങൾ (LPP)

1. ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ്

2. ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ

3. PAP-കൾ റെക്കോർഡ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഫോമുകൾ

4. ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നങ്ങളുടെ കാനോനിക്കൽ രൂപം

ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ്

ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് എന്നത് ഒരു എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള രീതികൾ വികസിപ്പിക്കുന്നതിന് ഉപയോഗിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രോഗ്രാമിംഗിന്റെ ഒരു ശാഖയാണ് രേഖീയ പ്രവർത്തനങ്ങൾലീനിയർ ഉള്ള നിരവധി വേരിയബിളുകൾ അധിക നിയന്ത്രണങ്ങൾ, വേരിയബിളുകളിൽ ചുമത്തി.

അവർ പരിഹരിക്കുന്ന പ്രശ്നങ്ങളുടെ തരത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, എൽപി രീതികൾ സാർവത്രികവും പ്രത്യേകവുമായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഉപയോഗിച്ച് സാർവത്രിക രീതികൾഏതെങ്കിലും ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നങ്ങൾ (LPP) പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. പ്രശ്ന മോഡലിന്റെ സവിശേഷതകൾ, അതിന്റെ വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനം, നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ സംവിധാനം എന്നിവ പ്രത്യേകം കണക്കിലെടുക്കുന്നു.

ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നങ്ങളുടെ പ്രധാന സവിശേഷത ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷന്റെ അതിരുകൾ സാധ്യമായ പരിഹാരങ്ങളുടെ മേഖലയുടെ അതിർത്തിയിലാണ് എന്നതാണ്.

ചിത്രം 1 - ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം

ZLP യുടെ ഗണിത മാതൃക ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

പരമാവധി (അല്ലെങ്കിൽ മിനിറ്റ്) Z=z(X),(1)

ODR-നെ ഒരു സിസ്റ്റം പ്രതിനിധീകരിക്കാം രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾഅല്ലെങ്കിൽ അസമത്വങ്ങൾ.

വെക്റ്റർ X = (x 1, x 2, .... x p) ഒരു കൺട്രോൾ വെക്റ്റർ അല്ലെങ്കിൽ കൺട്രോൾ ഇഫക്റ്റ് ആണ്.

ഒരു അനുവദനീയമായ പ്ലാൻ X, അതിൽ ഒപ്റ്റിമലിറ്റി മാനദണ്ഡം Z=z(X) ഒരു അങ്ങേയറ്റത്തെ മൂല്യത്തിൽ എത്തുന്നു, അതിനെ ഒപ്റ്റിമൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് X* കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷന്റെ അങ്ങേയറ്റത്തെ മൂല്യം Z*=z(X*).

ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ

പ്രൊഡക്ഷൻ പ്രോഗ്രാം ഒപ്റ്റിമൈസ് ചെയ്യുമ്പോൾ, വർക്ക്ഷോപ്പുകളിലും സമയ ഇടവേളകളിലും വിതരണം ചെയ്യുമ്പോൾ, ഉപകരണങ്ങളുടെ ശേഖരണങ്ങൾ ലോഡുചെയ്യുമ്പോൾ, ചരക്ക് ഒഴുക്ക് ആസൂത്രണം ചെയ്യുമ്പോൾ, വിറ്റുവരവ് പ്ലാൻ നിർണ്ണയിക്കുമ്പോൾ, വ്യാവസായിക സംരംഭങ്ങളിൽ ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് രീതികൾ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ജോലികളുടെ ഏറ്റവും സാധാരണമായ തരം ചുമതല ഒപ്റ്റിമൽ ഉപയോഗംവിഭവങ്ങൾ.വിപണി സാഹചര്യങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ചില ഉൽപ്പാദന യൂണിറ്റുകൾ (വർക്ക്ഷോപ്പ്, എന്റർപ്രൈസ്, അസോസിയേഷൻ മുതലായവ) അനുവദിക്കുക, സാങ്കേതിക കഴിവുകൾലഭ്യമായ വിഭവങ്ങൾ, n ഉത്പാദിപ്പിക്കാൻ കഴിയും വിവിധ തരംഅക്കങ്ങളിൽ അറിയപ്പെടുന്ന ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ j.

ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കുമ്പോൾ, എന്റർപ്രൈസ് ലഭ്യമായ ഉറവിടങ്ങളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു, അതിന്റെ അളവ് m കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കും, കൂടാതെ വിഭവങ്ങളുടെ വെക്റ്റർ B = (b 1, b 2, ..., b t). ij എന്ന സാങ്കേതിക ഗുണകങ്ങളും അറിയപ്പെടുന്നു, ഇത് j-th ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഒരു യൂണിറ്റ് ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള i-th റിസോഴ്സിന്റെ ഉപഭോഗ നിരക്ക് കാണിക്കുന്നു. റിലീസ് കാര്യക്ഷമത j-i യൂണിറ്റുകൾഉൽപ്പാദനം ലാഭം p j ആണ്.

പ്രൊഡക്ഷൻ പ്ലാൻ X = (x 1, x 2, ..., x p) നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, നൽകിയിരിക്കുന്ന വിഭവങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് എന്റർപ്രൈസസിന്റെ ലാഭം പരമാവധിയാക്കുക.

വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു

നിയന്ത്രണങ്ങൾക്ക് കീഴിൽ

പലപ്പോഴും ഉൽപ്പന്ന ശ്രേണി ഒരു ഉയർന്ന ഓർഗനൈസേഷനാണ് സ്ഥാപിക്കുന്നത്, അതായത് അതിന്റെ വോള്യങ്ങൾ ചില അതിരുകൾക്കുള്ളിൽ D ൽ j, D ൽ j എന്നിവ അടങ്ങിയിരിക്കണം: തുടർന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന നിയന്ത്രണം സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു:

വിഭവങ്ങളുടെ ഒപ്റ്റിമൽ ഉപയോഗത്തിന്റെ പ്രശ്നത്തിന്റെ മാതൃക അടിവരയിടുന്നു എന്റർപ്രൈസസിന്റെ വാർഷിക ഉൽപ്പാദന പരിപാടി ഒപ്റ്റിമൈസ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള മോഡലുകൾ. ഉപകരണങ്ങളുടെ പ്രവർത്തന സമയത്തിനുള്ള നിയന്ത്രണങ്ങൾ മോഡലിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു.

ഒരേ നൊട്ടേഷൻ നിലനിർത്തിക്കൊണ്ട്, ഞങ്ങൾ യഥാക്രമം b j, c j എന്നിവയിലൂടെ ഓരോ യൂണിറ്റിനും വിൽക്കുന്ന വിലയും വിലയും എഴുതുന്നു jth ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ. ഒപ്റ്റിമലിറ്റി മാനദണ്ഡമായി ഇനിപ്പറയുന്നവ എടുക്കാം:

1) പരമാവധി ലാഭം

2) കുറഞ്ഞ ഉൽപാദനച്ചെലവ്

3) മൂല്യത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പരമാവധി ഔട്ട്പുട്ട് (ഉൽപ്പന്ന വിൽപ്പനയിൽ നിന്നുള്ള വരുമാനം)

ഉദാഹരണം. എന്റർപ്രൈസസിന് 1, 2, 3, 4 എന്നീ നാല് തരം ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും. ഏത് വോള്യത്തിന്റെയും വിൽപ്പന ഉറപ്പാണ്. ഈ പാദത്തിൽ, എന്റർപ്രൈസസിന് 100 മാൻ-ഷിഫ്റ്റുകൾ, 260 കിലോഗ്രാം ഭാരമുള്ള സെമി-ഫിനിഷ്ഡ് ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ, 370 മെഷീൻ-ഷിഫ്റ്റുകളുടെ യന്ത്ര ഉപകരണങ്ങൾ എന്നിവയുണ്ട്. വിഭവ ഉപഭോഗ നിരക്കും ഓരോ തരത്തിലുള്ള ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെയും യൂണിറ്റിന് ലാഭവും പട്ടിക 1 ൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ആവശ്യമുള്ളത്:

a) ഉണ്ടാക്കുക ഗണിത മാതൃകപരമാവധി ലാഭം കൈവരിക്കുന്ന ഒരു ഉൽപാദന പദ്ധതി നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ചുമതല;

ബി) പാക്കേജിംഗിന്റെ ആവശ്യകതയുമായി പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുക, അങ്ങനെ മൂന്നാമത്തെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ യൂണിറ്റുകളുടെ എണ്ണം 3 മടങ്ങാണ് കൂടുതൽ അളവ്ആദ്യം യൂണിറ്റുകൾ;

സി) അതിനുള്ള ഒപ്റ്റിമൽ ശേഖരം കണ്ടെത്തുക അധിക വ്യവസ്ഥകൾ: ആദ്യ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ 25 യൂണിറ്റുകളെങ്കിലും ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കുക, മൂന്നാമത്തേതിന്റെ 30 യൂണിറ്റിൽ കൂടരുത്, രണ്ടാമത്തേതും നാലാമത്തേതും 1:3 എന്ന അനുപാതത്തിൽ.

പട്ടിക 1

പ്രാരംഭ ഡാറ്റ

പ്രശ്നത്തിന്റെ ഗണിത മാതൃക:

വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനം:

പരമാവധി: Z=40x 1 +50x 2 +100x 3 +80x 4

നിയന്ത്രണങ്ങളോടെ:

a) തൊഴിൽ വിഭവങ്ങൾക്കായി:

2.5x 1 +2.5x 2 +2x 3 +1.5x 4 ? 100;

സെമി-ഫിനിഷ്ഡ് ഉൽപ്പന്നങ്ങൾക്ക്:

4x 1 +10x 2 +4x 3 +6x 4? 260;

യന്ത്ര ഉപകരണങ്ങൾക്കായി:

8x 1 +7x 2 +4x 3 +10x 4 ? 370;

നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത അവസ്ഥ:

b) കോൺഫിഗറേഷന്റെ അധിക ആവശ്യകത വ്യവസ്ഥയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കും

3x 1 =x 3, അതായത് 3x 1 x 3 =0;

c) നമുക്ക് അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകളും കോൺഫിഗറേഷൻ അവസ്ഥയും ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ അവതരിപ്പിക്കാം: x 1 ? 25,

x 3?30, 3*x 2 = x 4.

ഓർഡറുകൾ സ്ഥാപിക്കുന്നതിനോ ഉപകരണങ്ങളുടെ പരസ്പരം മാറ്റാവുന്ന ഗ്രൂപ്പുകൾ ലോഡുചെയ്യുന്നതിനോ ഉള്ള പ്രശ്നം. അത് ഏകദേശം m (i=1,..., m) എന്റർപ്രൈസുകൾ (ഷോപ്പുകൾ, മെഷീനുകൾ, പ്രകടനം നടത്തുന്നവർ) തമ്മിലുള്ള ഓർഡറുകളുടെ വിതരണം വ്യത്യസ്ത ഉൽപ്പാദനവും സാങ്കേതിക സവിശേഷതകളും ഉള്ളതും എന്നാൽ ഓർഡറുകൾ നിറവേറ്റുന്ന കാര്യത്തിൽ പരസ്പരം മാറ്റാവുന്നതുമാണ്. ഒരു ഓർഡർ പ്ലെയ്‌സ്‌മെന്റ് പ്ലാൻ തയ്യാറാക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതിൽ ചുമതല പൂർത്തിയാകുകയും കാര്യക്ഷമത സൂചകം ഒരു അങ്ങേയറ്റത്തെ മൂല്യത്തിൽ എത്തുകയും ചെയ്യും.

നമുക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി പ്രശ്നം രൂപപ്പെടുത്താം. ഒരേ തരത്തിലുള്ള ഉപകരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് n തരത്തിലുള്ള ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ നിർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഓരോ തരത്തിലുള്ള ഉൽപ്പന്നത്തിനും വേണ്ടിയുള്ള പ്രൊഡക്ഷൻ പ്ലാൻ നിശ്ചിത കാലയളവ് x j (j=1,2, …n) സെറ്റ് നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഓരോ തരത്തിലുള്ള ഉപകരണങ്ങളുടെയും ശക്തി പരിമിതവും b i ന് തുല്യവുമാണ്. ടെക്നോളജിക്കൽ മാട്രിക്സ് A=||a ij || അറിയപ്പെടുന്നു, ഇവിടെ ഒരു ij എന്നത് ഒരു യൂണിറ്റ് സമയത്തിന് ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കുന്ന j-th ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ യൂണിറ്റുകളുടെ എണ്ണമാണ്. i-th ഉപകരണങ്ങൾ. മാട്രിക്സ് സി എന്നത് ഒരു കോസ്റ്റ് മാട്രിക്സാണ്, ഇവിടെ c ij എന്നത് i-th ഉപകരണത്തിലെ j-th ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഒരു യൂണിറ്റ് ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചിലവുകളാണ്. എക്സ് ഔട്ട്പുട്ട് വോളിയത്തിന്റെ വെക്റ്റർ ആണ്.

പ്രശ്ന മോഡൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം എടുക്കും:

ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ - എല്ലാ ഓർഡറുകളും നടപ്പിലാക്കുന്നതിനുള്ള ചെലവ് കുറയ്ക്കുന്നു

നിയന്ത്രണങ്ങളോടെ:

a) ഉപകരണ ശക്തി ഉപയോഗിച്ച്

ബി) ഉത്പാദനത്തിനായി

സി) നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത അവസ്ഥ

ഈ പ്രശ്നത്തെ വിതരണ അല്ലെങ്കിൽ വിതരണ പ്രശ്നം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ചില തരത്തിലുള്ള ഉൽപ്പന്നങ്ങൾക്ക് പ്ലാൻ കവിയാൻ അനുവദിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പരിമിതി (ബി) ഫോം എടുക്കും

ഇനിപ്പറയുന്നവയും ടാർഗെറ്റ് ലാഭമായി കണക്കാക്കാം:

a) പരമാവധി ലാഭം

ബി) മെഷീൻ സമയത്തിന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ചെലവ്

കാരണം ഏത് മോഡലിലും ലളിതവൽക്കരണ പരിസരം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു; ലഭിച്ച ഫലങ്ങളുടെ ശരിയായ പ്രയോഗത്തിന്, ഈ ലളിതവൽക്കരണങ്ങളുടെ സാരാംശത്തെക്കുറിച്ച് വ്യക്തമായ ധാരണ ആവശ്യമാണ്, ഇത് ആത്യന്തികമായി, അവയുടെ സ്വീകാര്യത അല്ലെങ്കിൽ അസ്വീകാര്യതയെക്കുറിച്ച് ഒരു നിഗമനത്തിലെത്താൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന മോഡലുകളിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ലളിതവൽക്കരണം, വിഭവ ഉപഭോഗത്തിന്റെയും ഉൽപാദന അളവുകളുടെയും വോള്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള നേരിട്ടുള്ള ആനുപാതികമായ (രേഖീയ) ബന്ധത്തിന്റെ അനുമാനമാണ്, ഇത് ചെലവ് മാനദണ്ഡങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു a ij . വ്യക്തമായും, ഈ അനുമാനം എല്ലായ്പ്പോഴും പാലിക്കപ്പെടുന്നില്ല. അതിനാൽ, പല വിഭവങ്ങളുടെയും ഉപഭോഗത്തിന്റെ അളവ് (ഉദാഹരണത്തിന്, സ്ഥിര ആസ്തികൾ) പെട്ടെന്ന് മാറുന്നു - ഉൽപ്പാദന പരിപാടിയിലെ മാറ്റങ്ങളെ ആശ്രയിച്ച് X. മറ്റ് ലളിതവൽക്കരണ പരിസരങ്ങളിൽ വിലകളുടെ സ്വാതന്ത്ര്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അനുമാനങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു x j വോള്യങ്ങളിൽ നിന്ന് j, ഇത് ചില പരിധികൾക്ക് മാത്രം സാധുതയുള്ളതാണ്. അവരുടെ മാറ്റത്തിന്റെ. ഈ "ദുർബലമായ" പോയിന്റുകൾ അറിയേണ്ടതും പ്രധാനമാണ്, കാരണം അവ മോഡൽ മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന ദിശകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

PAP റെക്കോർഡിംഗ് ഫോമുകൾ

PAP രേഖപ്പെടുത്തുന്നതിന് 3 രൂപങ്ങളുണ്ട്:

1) പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ

max(അല്ലെങ്കിൽ മിനിറ്റ്)Z=,max(അല്ലെങ്കിൽ മിനിറ്റ്)Z=,

2) വെക്റ്റർ രൂപം

(വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നം)

നിയന്ത്രണങ്ങൾക്ക് കീഴിൽ

A 1 x 1 +A 2 x 2 +..+A n x n = B

വെക്റ്ററുകൾ എവിടെയാണ്

C = (C 1, C 2 .. C n), X = (X 1, X 2 .. X n), ഒപ്പം.

3) മാട്രിക്സ് ഫോം

നിയന്ത്രണങ്ങൾക്ക് കീഴിൽ

എവിടെ C = (c 1, c 2,...c n),

ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നങ്ങളുടെ കാനോനിക്കൽ രൂപം

ഒരു ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്‌നത്തിലെ എല്ലാ നിയന്ത്രണങ്ങളും സമവാക്യങ്ങളാണെങ്കിൽ x j എല്ലാ വേരിയബിളുകളിലും നോൺ-നെഗറ്റിവിറ്റി വ്യവസ്ഥകൾ അടിച്ചേൽപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിനെ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിൽ അല്ലെങ്കിൽ ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. കാനോനിക്കൽ പ്രശ്നംലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് (LLP).

നിയന്ത്രണങ്ങൾക്ക് കീഴിൽ

ZLP-യിൽ നിന്ന് CLLP-യിലേക്ക് മാറുന്നതിന്, അസമത്വ നിയന്ത്രണങ്ങളിൽ നിന്ന് സമത്വ നിയന്ത്രണങ്ങളിലേക്ക് മാറുകയും നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിക്കാത്ത വേരിയബിളുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ZLP കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ:

1) നിയന്ത്രണങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ വലത് ഭാഗംനെഗറ്റീവ്, അപ്പോൾ ഈ പരിധി -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം;

2) നിയന്ത്രണങ്ങൾക്കിടയിൽ അസമത്വങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അധിക നോൺ-നെഗറ്റീവ് വേരിയബിളുകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ അവ തുല്യതകളായി രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു;

3) ചില വേരിയബിളുകൾ xk ന് ചിഹ്ന നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നുമില്ലെങ്കിൽ, അത് ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്ഷനിലും എല്ലാ നിയന്ത്രണങ്ങളിലും രണ്ട് പുതിയ നോൺ-നെഗറ്റീവ് വേരിയബിളുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു: xk=x * k - xl, ഇവിടെ l എന്നത് സംഗ്രഹ സൂചികയാണ്, x * k>=, xl >=0.

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം. നമുക്ക് അതിനെ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാം:

നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഓരോ സമവാക്യത്തിലും നമുക്ക് ലെവലിംഗ് വേരിയബിളുകൾ x 4, x 5, x 6 അവതരിപ്പിക്കാം. സിസ്റ്റം സമത്വങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതപ്പെടും, നിയന്ത്രണ സംവിധാനത്തിന്റെ ഒന്നും മൂന്നും സമവാക്യങ്ങളിൽ, x 4, x 6 എന്നീ വേരിയബിളുകൾ ഇടതുവശത്ത് "+" ചിഹ്നവും രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ x-ഉം നൽകുന്നു. 5 "-" ചിഹ്നത്തോടൊപ്പം നൽകിയിട്ടുണ്ട്.

കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലുള്ള സ്വതന്ത്ര പദങ്ങൾ പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കണം; ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അവസാനത്തെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളെ -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക:

ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നങ്ങൾ എഴുതുന്നതിനുള്ള കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിൽ, നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ വേരിയബിളുകളും നോൺ-നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കണം. എന്ന് നമുക്ക് ഊഹിക്കാം

പകരം വയ്ക്കുന്നത് ഈ പദപ്രയോഗംനിയന്ത്രണങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിലേക്കും ഒബ്ജക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷനിലേക്കും ഇൻഡെക്‌സ് ക്രമം വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള വേരിയബിളുകൾ എഴുതുമ്പോൾ, കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ച ഒരു ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്‌നം നമുക്ക് ലഭിക്കും: