>>ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿ

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿ

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು

ಆಯತಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ನಾವು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ ಕೆಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಕಾಲಮ್‌ಗಳು, ನಂತರ ಆಯ್ದ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳು kth ಕ್ರಮದ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ kth ಆದೇಶದ ಚಿಕ್ಕಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A 1 ರಿಂದ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ m ಮತ್ತು n ವರೆಗಿನ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮದ ಅಪ್ರಾಪ್ತರನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಎಲ್ಲಾ ನಾನ್‌ಝೀರೋ ಮೈನರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಬ್ಬ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕನಾದರೂ ಅವರ ಕ್ರಮವು ಶ್ರೇಷ್ಠವಾಗಿದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಣ್ಣ ಆದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಶ್ರೇಣಿಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ರ ಶ್ರೇಣಿ ಇದ್ದರೆ ಆರ್, ಇದರರ್ಥ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಣ್ಣ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಆರ್, ಆದರೆ ಆದೇಶದ ಪ್ರತಿ ಮೈನರ್ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆರ್, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು r(A) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಸಂಬಂಧವು ಹೊಂದಿದೆ

ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು

ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರ ಗಡಿಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಅಥವಾ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ವಿಧಾನದಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ನೀವು ಕೆಳ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕಿರಿಯರಿಂದ ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರಿಗೆ ಚಲಿಸಬೇಕು. ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನ kth ಕ್ರಮದ ಒಂದು ಮೈನರ್ D ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಬಂದಿದ್ದರೆ, ಮೈನರ್ D ಯ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ (k+1) ಆರ್ಡರ್ ಮೈನರ್‌ಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಅದನ್ನು ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕನಂತೆ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಅವೆಲ್ಲವೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿ ಕೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರ ಗಡಿಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

.

ಪರಿಹಾರ.ನಾವು 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಪ್ರಾಪ್ತರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಅಂಶಗಳಿಂದ ನಾವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಚಿಕ್ಕ (ಅಂಶ) M 1 = 1. ಎರಡನೇ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕಾಲಮ್ನ ಸಹಾಯದಿಂದ ಗಡಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಚಿಕ್ಕದಾದ M 2 = ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈಗ M2 ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ 3ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕಿರಿಯರ ಕಡೆಗೆ ತಿರುಗುತ್ತೇವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಮಾತ್ರ ಇವೆ (ನೀವು ಎರಡನೇ ಅಥವಾ ನಾಲ್ಕನೇ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು). ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ: = 0. ಹೀಗಾಗಿ, ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಎಲ್ಲಾ ಗಡಿ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ ಶ್ರೇಣಿ ಎರಡು.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು

ಪ್ರಾಥಮಿಕಕೆಳಗಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

1) ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ (ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್‌ಗಳು),

2) ಸಾಲನ್ನು (ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್) ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು,

3) ಒಂದು ಸಾಲಿಗೆ (ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್) ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಲಿಗೆ (ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್) ಸೇರಿಸುವುದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನ, ಸೀಮಿತವಾದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಪಡೆದರೆ.

ಸಮಾನವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಶ್ರೇಣಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ಎ~ಬಿ.

ಅಂಗೀಕೃತಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣೀಯದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಸತತವಾಗಿ ಹಲವಾರು ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಇವೆ (ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಬಹುದು), ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಅಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

.

ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಯಾವುದೇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್‌ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಅಂಗೀಕೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

A=

ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು.

ಪರಿಹಾರ.ಎರಡನೆಯ ಸಾಲಿನಿಂದ, ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಈ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಿ:

.

ಈಗ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲುಗಳಿಂದ ನಾವು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 2 ಮತ್ತು 5 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ:

;

ಮೂರನೆಯ ಸಾಲಿನಿಂದ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ; ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಬಿ = ,

ಇದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ B ನ ಶ್ರೇಣಿಯು 2 ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ r(A)=2. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಿ ಅನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಅಂಗೀಕೃತಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ, ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ಪದಗಳಿಗಿಂತ, ನಾವು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಸಾಲುಗಳ ಅಂಶಗಳು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಂತರ, ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ, ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ನಂತರದ ಎಲ್ಲವುಗಳಿಂದ, ನಾವು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಂಗೀಕೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

.

ಒಂದು ವೇಳೆ r ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
1) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಆರ್ಡರ್ನ ಮೈನರ್ ಇದೆ;
2) ಎಲ್ಲಾ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರು (r+1) ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನವರು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಣ್ಣ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ.
ಹುದ್ದೆಗಳು: ರಂಗಾ, ಆರ್ ಎ ಅಥವಾ ಆರ್.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇದು r ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ, ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೇವೆಯ ಉದ್ದೇಶ. ಆನ್ಲೈನ್ ​​ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವರ್ಡ್ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸೆಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಉಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡಿ.

ಸೂಚನೆಗಳು. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ, ಮುಂದೆ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ 3 4 5 6 7 x 3 4 5 6 7

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ . R ಶ್ರೇಣಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಆರ್ ಆರ್ಡರ್ ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಮೈನರ್ ಅನ್ನು ಮೂಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಘಟಕಗಳ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್‌ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಹಲವಾರು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಅಪ್ರಾಪ್ತರನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು.

ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಇ ಶ್ರೇಣಿಯು n (ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅವರ ಕಿರಿಯರು , . ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು?
ಪರಿಹಾರ. ಮೈನರ್ M 1 =0, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಯಾವುದೇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮೈನರ್ M 2 =-9≠0 ಮತ್ತು ಆರ್ಡರ್ 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಅಥವಾ / ಮತ್ತು B ಗಳ ಆಧಾರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅವುಗಳು 2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ. detB=0 (ಎರಡು ಅನುಪಾತದ ಕಾಲಮ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿ), ನಂತರ rangB=2 ಮತ್ತು M 2 ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ B ಯ ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಶ್ರೇಣಿಯು 3 ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ detA=-27≠ 0 ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಕ್ರಮವು 3 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ, M 2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಗೆ ಆಧಾರವಲ್ಲ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಏಕೈಕ ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಪ್ರಮೇಯ (ಮೈನರ್ ಆಧಾರದ ಬಗ್ಗೆ). ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಸಾಲು (ಕಾಲಮ್) ಅದರ ಆಧಾರ ಸಾಲುಗಳ (ಕಾಲಮ್‌ಗಳು) ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ.
ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು.

1. R ಶ್ರೇಣಿಯ ಪ್ರತಿ (r+1) ಕಾಲಮ್ (ಸಾಲು) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ.
2. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಅದರ ಸಾಲುಗಳ (ಕಾಲಮ್‌ಗಳು) ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಸಾಲುಗಳು (ಕಾಲಮ್‌ಗಳು) ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ. rangA ಅದರ ಸಾಲುಗಳ (ಕಾಲಮ್‌ಗಳು) ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಾಲುಗಳು (ಕಾಲಮ್‌ಗಳು) ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
3. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಅದರ ಸಾಲುಗಳು (ಕಾಲಮ್‌ಗಳು) ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
4. ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸಾಲು (ಕಾಲಮ್) ಗೆ ನೀವು ಇನ್ನೊಂದು ಸಾಲು (ಕಾಲಮ್) ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
5. ನೀವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಾಲನ್ನು (ಕಾಲಮ್) ದಾಟಿದರೆ, ಅದು ಇತರ ಸಾಲುಗಳ (ಕಾಲಮ್‌ಗಳು) ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
6. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಅದರ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಾಲುಗಳ (ಕಾಲಮ್‌ಗಳು) ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
7. ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಾಲುಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ .
ಪರಿಹಾರ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೈನರ್‌ಗಾಗಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸರಳ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು (-2) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿ, ನಂತರ ಅದನ್ನು (-1) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿ.

ಕೆಲವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನೀಡೋಣ:

.

ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತಂತಿಗಳು ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾಲಮ್ಗಳು
. ನಂತರ ನಿರ್ಣಾಯಕ ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ
, ಆಯ್ದ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ಇದೆ, ಇದನ್ನು ಮೈನರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನೇ ಆರ್ಡರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್
.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.13.ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿ
ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೈನರ್‌ನ ದೊಡ್ಡ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಒಬ್ಬರು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅತ್ಯುನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಗಡಿ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರ ಗಡಿ ವಿಧಾನ).

ಸಮಸ್ಯೆ 1.4.ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರ ಗಡಿಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ
.

.

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
. ನಂತರ ನಾವು ಕೆಲವು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಗಡಿರೇಖೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ.

.

ಆದ್ದರಿಂದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೈನರ್‌ನ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಕ್ರಮವು 2 ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ
.

ಸಮಸ್ಯೆ 1.4 ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರ ಸಂಖ್ಯೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.14.ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೈನರ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಕ್ರಮವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 1.2.(ಆಧಾರ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮೇಯ). ಆಧಾರ ಸಾಲುಗಳು (ಆಧಾರ ಕಾಲಮ್‌ಗಳು) ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸಾಲುಗಳು (ಕಾಲಮ್‌ಗಳು) ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದನ್ನು ಇತರರ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಪ್ರಮೇಯ 1.3.ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 1.4.(ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ). ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಸಲುವಾಗಿ - ನೇ ಆದೇಶ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿತ್ತು, ಅದರ ಸಾಲುಗಳು (ಕಾಲಮ್‌ಗಳು) ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ತುಂಬಾ ತೊಡಕಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳಿಗೆ ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, 10.2 - 10.4 ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಅನ್ವಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಬಳಕೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.15.ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್
ಮತ್ತು ಅವರ ಶ್ರೇಣಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.
.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವೇಳೆ
ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಗಮನಿಸಿ
 .

ಪ್ರಮೇಯ 1.5.ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ನಾವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು:

ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಕಾಲಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾಲುಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು;

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು;

ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ದಾಟುವುದು;

ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು;

ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
.

ಪ್ರಮೇಯ 1.5 ರ ಫಲಿತಾಂಶ.ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವೇಳೆ
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್
ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಟ್ರೆಪೆಜೋಡಲ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬೇಕು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.16.ಸೊನ್ನೆಯ ಹೊರತಾಗಿ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಗಡಿಯ ಮೈನರ್‌ನಲ್ಲಿ, ಕರ್ಣೀಯ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಕೆಳಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾದಾಗ ನಾವು ಟ್ರೆಪೆಜೋಡಲ್ ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

.

ಇಲ್ಲಿ
, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಂಶಗಳು
ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ. ನಂತರ ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ರೂಪವು ಟ್ರೆಪೆಜೋಡಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಿಯಮದಂತೆ, ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ಆಕಾರಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಾಸ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಕಲ್ಪನೆಯೆಂದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಅಂಶದ ಕೆಳಗೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್‌ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಅಂಶದ ಕೆಳಗೆ ಇದೆ ಎಂದು ನಾವು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ.

ಸಮಸ್ಯೆ 1.5.ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ಆಕಾರಕ್ಕೆ ಇಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದರ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

.

ಗಾಸಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲು ಸುಲಭವಾಗುವಂತೆ, ನೀವು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.








.

ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ
. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸೊಗಸಾದ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು, ನೀವು ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು.










.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಸ್ತುವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯ ನಿರ್ಣಯ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೇಳುವ ಮೊದಲು, ನೀವು ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಉತ್ತಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಅಪ್ರಾಪ್ತರನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಲೇಖನದ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕೆಂದು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಆದೇಶದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. k ಎಂಬುದು ಕೆಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ m ಮತ್ತು n ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಮೈನರ್ kth ಆದೇಶಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಎಂಬುದು ಕ್ರಮದ ಚೌಕಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ, ಇದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ, ಇದು ಪೂರ್ವ-ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ k ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು k ಕಾಲಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಅಂಶಗಳ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನಲ್ಲಿ ನಾವು (p-k) ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು (n-k) ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ಅಳಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಅಂಶಗಳಿಂದ ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಅಂಶಗಳ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಕೆ ಆರ್ಡರ್‌ನ ಮೈನರ್ ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೈನರ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ .

ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಹಲವಾರು ಮೊದಲ-ಕ್ರಮದ ಮೈನರ್‌ಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಮೂರನೇ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಆರಿಸಿದರೆ, ನಮ್ಮ ಆಯ್ಕೆಯು ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್‌ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ . ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ಮೈನರ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಾಲುಗಳನ್ನು, ಹಾಗೆಯೇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನಿಂದ ಮೊದಲ, ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ದಾಟಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಅಂಶದಿಂದ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ರಚಿಸಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಮೊದಲ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಆರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಚಿಕ್ಕದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ .

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮದ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ಪಡೆಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಾವು ವಿವರಿಸೋಣ
ಮತ್ತು .

ಹೀಗಾಗಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮದ ಮೈನರ್‌ಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ.

ಹಲವಾರು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಪ್ರಾಪ್ತರನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ. ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಈ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ . ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನಿಂದ ಮೂರನೇ ಸಾಲು, ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ಅಳಿಸುವ ಮೂಲಕವೂ ಈ ಮೈನರ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಮತ್ತೊಂದು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್ ಆಗಿದೆ.

ಈ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕಿರಿಯರ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ನಾವು ವಿವರಿಸೋಣ
ಮತ್ತು .

ಅಂತೆಯೇ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್‌ಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಮೂರು ಸಾಲುಗಳು ಇರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಾಲುಗಳ ಮೊದಲ ಮೂರು ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ನಾವು ಆರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಕೊನೆಯ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ದಾಟುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು.

ಮತ್ತೊಂದು ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್ ಆಗಿದೆ

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಮೂರನೇ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಅಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಈ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕಿರಿಯರ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಚಿತ್ರ ಇಲ್ಲಿದೆ
ಮತ್ತು .

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಗಾಗಿ ಮೂರನೇ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶದ ಯಾವುದೇ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರಿರುವುದಿಲ್ಲ, ರಿಂದ .

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಆಫ್ ಆರ್ಡರ್‌ನಲ್ಲಿ kth ಆರ್ಡರ್‌ನ ಎಷ್ಟು ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರು ಇದ್ದಾರೆ?

ಕೆ ಆದೇಶದ ಅಪ್ರಾಪ್ತರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು , ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು - ಕ್ರಮವಾಗಿ p ನಿಂದ k ಮತ್ತು n ನಿಂದ k ಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಎಲ್ಲಾ ಮೈನರ್‌ಗಳನ್ನು ನಾವು n ಮೂಲಕ p ಕ್ರಮಾಂಕವನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು?

ನಮಗೆ ಅನೇಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಾಲು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಕಾಲಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ k ಮೂಲಕ p ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು(ಮೈನರ್ ಆಫ್ ಆರ್ಡರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ಅವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಆಯ್ದ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ). ಸಾಲು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ನಾವು k ಕಾಲಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ n ಅಂಶಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಸಾಲು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಈ ಸೆಟ್‌ಗಳು k ಆದೇಶದ ಎಲ್ಲಾ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಅದನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕಿರಿಯರನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಮೂಲ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಕ್ರಮವು 3 ರಿಂದ 3 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಪ್ರಾಪ್ತರ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ .

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A: 1, 2 ರ 3 ರಿಂದ 2 ಸಾಲುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ; 1, 3 ಮತ್ತು 2, 3. 3 ರಿಂದ 2 ಕಾಲಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು 1, 2; 1, 3 ಮತ್ತು 2, 3.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈ ಸಾಲುಗಳಿಗಾಗಿ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಕಾಲಮ್‌ಗಳು, ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕಾಲಮ್‌ಗಳು, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಅಪ್ರಾಪ್ತರನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲುಗಳಿಗಾಗಿ, ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕಾಲಮ್ಗಳ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ, ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನ ಎಲ್ಲಾ ಒಂಬತ್ತು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್‌ಗಳು ಕಂಡುಬಂದಿವೆ.

ಈಗ ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೈನರ್‌ನ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಶ್ರೇಣಿ(A) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು Rg(A) ಅಥವಾ Rang(A) ಪದನಾಮಗಳನ್ನು ಸಹ ಕಾಣಬಹುದು.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೈನರ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಂದ, ಶೂನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೊದಲ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ಎಣಿಸುವ ವಿಧಾನ. ಈ ವಿಧಾನವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.

ನಾವು ಆದೇಶದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ವಿವರಿಸೋಣ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವಿದ್ದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗದ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್ ಇರುವುದರಿಂದ).

ಮುಂದೆ ನಾವು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕಿರಿಯರನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮದ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೈನರ್ ಇದ್ದರೆ, ನಾವು ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಪ್ರಾಪ್ತರನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂತೆಯೇ, ಎಲ್ಲಾ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕಿರಿಯರು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಎರಡು. ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್ ಇದ್ದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಕನಿಷ್ಠ ಮೂರು ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು p ಮತ್ತು n ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೀರಬಾರದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ .

ಪರಿಹಾರ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಅದರ ಶ್ರೇಣಿಯು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲ.

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಶ್ರೇಣಿಯು ಕನಿಷ್ಟ ಎರಡು ಆಗಿದೆ. ನಾವು ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ವಿಷಯಗಳನ್ನು.

ಎಲ್ಲಾ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕಿರಿಯರು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿ ಎರಡು.

ಉತ್ತರ:

ಶ್ರೇಣಿ(ಎ) = 2 .

ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ಗಡಿಗೊಳಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಕಡಿಮೆ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಕೆಲಸದೊಂದಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇತರ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ.

ಅಂತಹ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಅಂಚಿನ ಸಣ್ಣ ವಿಧಾನ.

ವ್ಯವಹರಿಸೋಣ ಎಡ್ಜ್ ಮೈನರ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ.

ಮೈನರ್ M ok ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೈನರ್‌ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು "ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ" ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ (k+1) ನೇ ಕ್ರಮದ ಒಂದು ಮೈನರ್ M ok ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಸಣ್ಣ M ಕ್ರಮಾಂಕದ ಗಡಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಂ .

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಸಾಲು ಮತ್ತು ಒಂದು ಕಾಲಮ್‌ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಮೈನರ್ M ಸರಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಗಡಿಯ ಮೈನರ್ M ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಆದೇಶವನ್ನು ಮೈನರ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರ ಗಡಿಯ ವಿಧಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸಮರ್ಥಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ (ನಾವು ಅದರ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ).

ಪ್ರಮೇಯ.

n ನಿಂದ p ಕ್ರಮಾಂಕದ ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನ kth ಕ್ರಮದ ಮೈನರ್ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಎಲ್ಲಾ ಕಿರಿಯರು (k+1) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರ ಮೂಲಕ ಹೋಗುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಆದೇಶದ kth ಕ್ರಮದ ಮೈನರ್ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಅಪ್ರಾಪ್ತರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ . ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ (k + 1) ಆರ್ಡರ್ ಮೈನರ್‌ಗಳಿಗಿಂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ kth ಆರ್ಡರ್ ಮೈನರ್ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೈನರ್‌ಗಳಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಎಣಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ಗಡಿಗೊಳಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ.

ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ಗಡಿಗೊಳಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಮುಂದುವರಿಯೋಣ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ವಿವರಿಸೋಣ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಈ ವಿಧಾನ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್ ಆಗಿ ನಾವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಅದರ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಕಿರಿಯರನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅವೆಲ್ಲವೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗಡಿ ಮೈನರ್ ಇದ್ದರೆ (ಅದರ ಕ್ರಮವು ಎರಡು), ನಂತರ ನಾವು ಅದರ ಗಡಿ ಅಪ್ರಾಪ್ತರನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ. ಅವೆಲ್ಲವೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಶ್ರೇಣಿ(A) = 2. ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಗಡಿಯ ಮೈನರ್ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ (ಅದರ ಕ್ರಮವು ಮೂರು), ನಂತರ ನಾವು ಅದರ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನ (k + 1) ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಎಲ್ಲಾ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಶ್ರೇಣಿ(A) = k, ಅಥವಾ ಶ್ರೇಯಾಂಕ(A) = min(p, n) ಅಲ್ಲದಿದ್ದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಮೈನರ್ ಆದೇಶದ ಮೈನರ್ ಗಡಿ (ನಿಮಿಷ(p, n) – 1) .

ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ಗಡಿಗೊಳಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರ ಗಡಿಯ ವಿಧಾನದಿಂದ.

ಪರಿಹಾರ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನ 1 1 ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಮೈನರ್‌ಗಾಗಿ ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ:

ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಎಡ್ಜ್ ಮೈನರ್ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಅದರ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ನೋಡೋಣ (ಅವರ ವಿಷಯಗಳು):

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್‌ನ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಶ್ರೇಣಿಯು ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ:

ಶ್ರೇಣಿ(ಎ) = 2 .

ಉದಾಹರಣೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ಬಳಸುವುದು.

ಪರಿಹಾರ.

ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೈನರ್ ಆಗಿ, ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ 1 1 = 1 ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ಮೈನರ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಮೈನರ್ ಅನ್ನು ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್‌ನಿಂದ ಗಡಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ
. ಇದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಗಡಿರೇಖೆಯ ಮೈನರ್ ಇಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಮೂರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ:

ಶ್ರೇಣಿ(ಎ) = 3 .

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ).

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಕೆಳಗಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

• ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸಾಲುಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್‌ಗಳು) ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು;
• ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಸಾಲಿನ (ಕಾಲಮ್) ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆ k ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು;
• ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಲಿನ (ಕಾಲಮ್) ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಾಲಿನ (ಕಾಲಮ್) ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸುವುದು, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆ k ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಿ ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು A ಯಿಂದ B ಅನ್ನು ಪಡೆದರೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು "~" ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ A ~ B ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ: ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ B ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನಿಂದ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆದರೆ, ನಂತರ ಶ್ರೇಣಿ(A) = Rank(B) .

ಈ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

• ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸಾಲುಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್‌ಗಳು) ಮರುಹೊಂದಿಸುವಾಗ, ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬದಲಾವಣೆ ಚಿಹ್ನೆ. ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಾಲುಗಳನ್ನು (ಕಾಲಮ್‌ಗಳು) ಮರುಹೊಂದಿಸಿದಾಗ, ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
• ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಸಾಲಿನ (ಕಾಲಮ್) ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆ k ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು k ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಮೂಲ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಸಾಲು ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು k ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ನಂತರ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವೂ ಸಹ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
• ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಲಿನ (ಕಾಲಮ್) ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಲಿನ (ಕಾಲಮ್) ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ k ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ವಿಧಾನದ ಮೂಲತತ್ವಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಟ್ರೆಪೆಜೋಡಲ್ ಒಂದಕ್ಕೆ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಇದನ್ನು ಏಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ? ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಡೆಸುವಾಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯವು ಮೂಲ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ಪಡೆಯಬೇಕು. ಅವರ ನೋಟವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ವಿವರಣೆಗಳು ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಅನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಟೆಂಪ್ಲೇಟ್‌ಗಳಾಗಿವೆ.

ವಿವರಿಸೋಣ ವಿಧಾನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್.

ನಾವು ಕ್ರಮದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು (p n ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ).

ಆದ್ದರಿಂದ, . ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸೋಣ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಮಾನವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು A (1) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A (1) ನ ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ನಾವು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿ. ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ನಾವು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿ. ಮತ್ತು ಹೀಗೆ p-th ಸಾಲಿನವರೆಗೆ. ಸಮಾನವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ, ಅದನ್ನು A (2) ಸೂಚಿಸಿ:

ಫಲಿತಾಂಶದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಎರಡನೆಯಿಂದ ಪಿ-ನೇವರೆಗಿನ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಮೂಲ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಒಬ್ಬರಿಗೆ.

ಎರಡನೆಯಿಂದ p-th ವರೆಗಿನ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವಿದ್ದರೆ, ನಾವು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A (2) ನ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ.

ಒಂದು ವೇಳೆ , ನಂತರ ನಾವು ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು (ಅಥವಾ) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A (2) ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ ಇದರಿಂದ “ಹೊಸ” ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ.

“ನೀವು ಈಜುವುದನ್ನು ಕಲಿಯಲು ಬಯಸಿದರೆ, ಧೈರ್ಯದಿಂದ ನೀರನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಕಲಿಯಲು ಬಯಸಿದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ, ಅದು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.»
ಡಿ. ಪೋಲ್ಯಾ (1887-1985)

(ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ. ಗಣಿತದ ಜನಪ್ರಿಯತೆಗೆ ದೊಡ್ಡ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಕಲಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಹಲವಾರು ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ.)

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

ಅದರಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡೋಣ ಕೆ-ಸಾಲುಗಳುಮತ್ತು k-ಕಾಲಮ್ಗಳು (k≤(ನಿಮಿಷ(m,n))) ಆಯ್ದ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳಿಂದ, ನಾವು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ kthಆದೇಶ. ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಕಿರಿಯರು.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಎ, ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿ ಎಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೈನರ್‌ನ ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕನನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೂಲಭೂತ.

ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಹಲವಾರು ಆಧಾರದ ಅಪ್ರಾಪ್ತರನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿ ಎಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಆರ್(ಎ). ಒಂದು ವೇಳೆ r(A)=r(B), ನಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಮತ್ತು INಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಸಮಾನ. ಅವರು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ A̴∼B.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸಿದಾಗ, ಅದರ ಶ್ರೇಣಿಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
2. ನೀವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಶೂನ್ಯ ಸಾಲನ್ನು (ಕಾಲಮ್) ಅಳಿಸಿದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
3. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ ನಾವು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

• ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು;
• ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು;
• ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ಗಡಿಗೊಳಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಕಲ್ಪನೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೆಜ್ಜೆ ಹಾಕಿದೆ , ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಬಲಕ್ಕೆ ಇದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ಹಂತಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದ ಎತ್ತರವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು).

ಹಂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ನಾನ್-ಎಚೆಲಾನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಉದಾಹರಣೆ: ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಪರಿಹಾರ:

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ.

1. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ.

2. ನಾವು ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು (-3) ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ, ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು (-5) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು (-3) ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ನೀವು ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಹಂತಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ. (ಹೆಜ್ಜೆಗಳ ಕೆಳಗೆ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಸೊನ್ನೆಗಳಿದ್ದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೆಜ್ಜೆ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ)

3. ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು (-1) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು (-1) ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ಹಂತಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಮತ್ತೆ ಹಂತಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಹೆಜ್ಜೆ ಹಾಕಿರುವುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಅವಳ ಶ್ರೇಣಿ ಆರ್=3(ಹಂತದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿ ಆರ್=3.

ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

(ರೋಮನ್ ಅಂಕಿಗಳು ಸಾಲು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ)

ಉತ್ತರ: ಆರ್=3.

ಸಣ್ಣ ಆದೇಶ k+1, ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಆದೇಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಕೆಎಂದು ಕರೆದರು ಚಿಕ್ಕವರ ಗಡಿ

ಗಡಿಯ ಸಣ್ಣ ವಿಧಾನಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೈನರ್‌ನ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.