>> ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស

ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស

ការកំណត់ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស

ពិចារណាម៉ាទ្រីសចតុកោណ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងម៉ាទ្រីសនេះ យើងជ្រើសរើសតាមអំពើចិត្ត kបន្ទាត់ និង kជួរ​ឈរ បន្ទាប់​មក​ធាតុ​នៅ​ចំណុច​ប្រសព្វ​នៃ​ជួរ​ដេក និង​ជួរ​ឈរ​ដែល​បាន​ជ្រើស​បង្កើត​ជា​ម៉ាទ្រីស​ការ៉េ​នៃ​លំដាប់ kth ។ កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនេះត្រូវបានគេហៅថា អនីតិជននៃលំដាប់ kthម៉ាទ្រីស A. ជាក់ស្តែង ម៉ាទ្រីស A មានអនីតិជននៃលំដាប់ណាមួយចាប់ពីលេខ 1 ដល់លេខតូចបំផុតនៃលេខ m និង n ។ ក្នុងចំណោមអនីតិជនដែលមិនមែនជាសូន្យទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីស A យ៉ាងហោចណាស់មានអនីតិជនម្នាក់ដែលមានលំដាប់ធំជាងគេ។ ធំបំផុតនៃការបញ្ជាទិញអនីតិជនដែលមិនមែនជាសូន្យនៃម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថា ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស។ ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស A គឺ rនេះមានន័យថាម៉ាទ្រីស A មានលំដាប់អនីតិជនដែលមិនមែនជាសូន្យ rប៉ុន្តែរាល់អនីតិជននៃការបញ្ជាទិញធំជាង r, គឺស្មើនឹងសូន្យ។ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស A ត្រូវបានតាងដោយ r(A)។ ជាក់ស្តែងទំនាក់ទំនងមាន

ការគណនាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដោយប្រើអនីតិជន

ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្រ្តនៃព្រំដែនអនីតិជនឬដោយវិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម។ នៅពេលគណនាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដោយប្រើវិធីទីមួយ អ្នកគួរតែផ្លាស់ទីពីអនីតិជនលំដាប់ទាបជាងទៅអនីតិជនលំដាប់ខ្ពស់ជាង។ ប្រសិនបើអនីតិជន D នៃលំដាប់ kth នៃម៉ាទ្រីស A ដែលខុសពីសូន្យត្រូវបានរកឃើញរួចហើយ នោះមានតែអនីតិជនលំដាប់ (k+1) ដែលនៅជាប់នឹងអនីតិជន D ប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវការការគណនា ពោលគឺឧ។ ផ្ទុកវាជាអនីតិជន។ ប្រសិនបើពួកវាទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ នោះចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺ k.

ឧទាហរណ៍ ១.ស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃព្រំដែនអនីតិជន

.

ដំណោះស្រាយ។យើងចាប់ផ្តើមជាមួយអនីតិជនលំដាប់ទី 1 i.e. ពីធាតុនៃម៉ាទ្រីស A. អនុញ្ញាតឱ្យយើងជ្រើសរើសឧទាហរណ៍អនីតិជន (ធាតុ) M 1 = 1 ដែលមានទីតាំងនៅជួរទីមួយនិងជួរទីមួយ។ ព្រំដែនដោយមានជំនួយពីជួរទីពីរនិងជួរទីបីយើងទទួលបានអនីតិជន M 2 = ខុសពីសូន្យ។ ឥឡូវនេះយើងងាកទៅរកអនីតិជនលំដាប់ទី 3 ដែលជាប់ព្រំដែន M2 ។ មានតែពីរប៉ុណ្ណោះក្នុងចំណោមពួកគេ (អ្នកអាចបន្ថែមជួរទីពីរឬទីបួន) ។ តោះគណនាពួកវា៖ = 0. ដូច្នេះ អនីតិជនដែលជាប់ព្រំដែនទាំងអស់នៃលំដាប់ទីបីបានប្រែទៅជាស្មើសូន្យ។ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស A គឺពីរ។

ការគណនាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដោយប្រើការបំប្លែងបឋម

បឋមសិក្សាការបំប្លែងម៉ាទ្រីសខាងក្រោមត្រូវបានគេហៅថា៖

1) ការផ្លាស់ប្តូរជួរទាំងពីរ (ឬជួរឈរ)

2) គុណជួរ (ឬជួរឈរ) ដោយលេខមិនសូន្យ

3) ការបន្ថែមទៅជួរដេកមួយ (ឬជួរឈរ) ជួរដេកមួយទៀត (ឬជួរឈរ) គុណនឹងចំនួនជាក់លាក់មួយ។

ម៉ាទ្រីសទាំងពីរត្រូវបានគេហៅថា សមមូលប្រសិនបើមួយក្នុងចំណោមពួកគេត្រូវបានទទួលពីផ្សេងទៀតដោយប្រើសំណុំកំណត់នៃការបំប្លែងបឋម។

ម៉ាទ្រីសសមមូលមិនមែននិយាយជាទូទៅស្មើទេ ប៉ុន្តែចំណាត់ថ្នាក់របស់វាស្មើគ្នា។ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស A និង B គឺសមមូល នោះវាត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖ ក~ ខ.

Canonicalម៉ាទ្រីស​គឺ​ជា​ម៉ាទ្រីស​ដែល​នៅ​ដើម​អង្កត់ទ្រូង​មេ​មាន​មួយ​ចំនួន​ក្នុង​ជួរ​គ្នា (ចំនួន​ដែល​អាច​ជា​សូន្យ) ហើយ​ធាតុ​ផ្សេង​ទៀត​គឺ​ស្មើ​នឹង​សូន្យ​ឧទាហរណ៍

.

ដោយប្រើការបំប្លែងបឋមនៃជួរដេក និងជួរឈរ ម៉ាទ្រីសណាមួយអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជា Canonical ។ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស Canonical គឺស្មើនឹងចំនួនមួយនៅលើអង្កត់ទ្រូងចម្បងរបស់វា។

ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស

ហើយនាំវាទៅជាទម្រង់ Canonical ។

ដំណោះស្រាយ។ពីជួរទីពីរ ដកទីមួយ ហើយរៀបចំបន្ទាត់ទាំងនេះឡើងវិញ៖

.

ឥឡូវនេះពីជួរទីពីរ និងទីបី យើងដកទីមួយ គុណនឹង 2 និង 5 រៀងគ្នា៖

;

ដកទីមួយចេញពីជួរទីបី; យើងទទួលបានម៉ាទ្រីស

ខ = ,

ដែលស្មើនឹងម៉ាទ្រីស A ព្រោះវាត្រូវបានទទួលពីវាដោយប្រើសំណុំកំណត់នៃការបំប្លែងបឋម។ ជាក់ស្តែង ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស B គឺ 2 ដូច្នេះហើយ r(A)=2។ ម៉ាទ្រីស B អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយយ៉ាងងាយស្រួលទៅជា Canonical ។ ដោយការដកជួរទីមួយ គុណនឹងលេខដែលសមស្រប ពីលេខបន្ទាប់ទាំងអស់ យើងប្រែទៅជាសូន្យធាតុទាំងអស់នៃជួរទីមួយ លើកលែងតែទីមួយ ហើយធាតុនៃជួរដែលនៅសល់មិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ បន្ទាប់មក ដកជួរទីពីរ គុណនឹងលេខសមស្រប ពីលេខបន្ទាប់ទាំងអស់ យើងបង្វែរទៅសូន្យធាតុទាំងអស់នៃជួរទីពីរ លើកលែងតែទីពីរ ហើយទទួលបានម៉ាទ្រីស Canonical៖

.

លេខ r ត្រូវបានគេហៅថាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស A ប្រសិនបើ៖
1) នៅក្នុងម៉ាទ្រីស A មានអនីតិជននៃលំដាប់ r ខុសពីសូន្យ។
2) អនីតិជនទាំងអស់នៃលំដាប់ (r + 1) និងខ្ពស់ជាងនេះ ប្រសិនបើពួកគេមាន គឺស្មើនឹងសូន្យ។
បើមិនដូច្នោះទេចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺជាលំដាប់អនីតិជនខ្ពស់បំផុតក្រៅពីសូន្យ។
ការរចនា៖ rangA, r A ឬ r ។
តាមនិយមន័យវាដូចខាងក្រោមថា r គឺជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន។ សម្រាប់ម៉ាទ្រីស null ចំណាត់ថ្នាក់ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាសូន្យ។

គោលបំណងនៃសេវាកម្ម. ម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិតត្រូវបានរចនាឡើងដើម្បីស្វែងរក ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស. ក្នុងករណីនេះដំណោះស្រាយត្រូវបានរក្សាទុកជាទម្រង់ Word និង Excel ។ សូមមើលឧទាហរណ៍ដំណោះស្រាយ។

សេចក្តីណែនាំ។ ជ្រើសរើសវិមាត្រម៉ាទ្រីស ចុចបន្ទាប់។

ជ្រើសរើសវិមាត្រម៉ាទ្រីស 3 4 5 6 7 x 3 4 5 6 7

និយមន័យ។ សូមឱ្យម៉ាទ្រីសនៃចំណាត់ថ្នាក់ r ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ អនីតិជននៃម៉ាទ្រីសដែលខុសពីសូន្យ ហើយមានលំដាប់ r ត្រូវបានគេហៅថាជាមូលដ្ឋាន ហើយជួរដេក និងជួរឈរនៃសមាសធាតុរបស់វាត្រូវបានគេហៅថា ជួរដេក និងជួរឈរមូលដ្ឋាន។
យោងតាមនិយមន័យនេះ ម៉ាទ្រីស A អាចមានអនីតិជនមូលដ្ឋានជាច្រើន។

ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ E គឺ n (ចំនួនជួរដេក)។

ឧទាហរណ៍ ១. ដែលបានផ្តល់ឱ្យម៉ាទ្រីសពីរ និងអនីតិជនរបស់ពួកគេ។ , . តើពួកគេមួយណាអាចយកជាមូលដ្ឋានបាន?
ដំណោះស្រាយ. អនីតិជន M 1 = 0 ដូច្នេះវាមិនអាចជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ម៉ាទ្រីសណាមួយឡើយ។ អនីតិជន M 2 =-9≠0 និងមានលំដាប់លេខ 2 ដែលមានន័យថាវាអាចត្រូវបានយកជាមូលដ្ឋាននៃម៉ាទ្រីស A ឬ / និង B ផ្តល់ថាពួកគេមានចំណាត់ថ្នាក់ស្មើ 2 ។ ចាប់តាំងពី detB=0 (ជាកត្តាកំណត់ដែលមានជួរឈរសមាមាត្រពីរ) បន្ទាប់មក rangB=2 និង M 2 អាចត្រូវបានគេយកជាអនីតិជនមូលដ្ឋាននៃម៉ាទ្រីស B។ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស A គឺ 3 ដោយសារតែការពិតដែលថា detA=-27≠ 0 ហើយដូច្នេះ លំដាប់អនីតិជនមូលដ្ឋាននៃម៉ាទ្រីសនេះត្រូវតែស្មើនឹង 3 ពោលគឺ M 2 មិនមែនជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ម៉ាទ្រីស A ទេ។ ចំណាំថាម៉ាទ្រីស A មានអនីតិជនមូលដ្ឋានតែមួយ ស្មើនឹងកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A ។

ទ្រឹស្តីបទ (អំពីអនីតិជនមូលដ្ឋាន) ។ ជួរដេកណាមួយ (ជួរឈរ) នៃម៉ាទ្រីសគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃជួរមូលដ្ឋានរបស់វា (ជួរឈរ) ។
Corollaries ពីទ្រឹស្តីបទ។

1. រាល់ជួរ (r+1) ម៉ាទ្រីស (ជួរដេក) នៃចំណាត់ថ្នាក់ r គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។
2. ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺតិចជាងចំនួនជួរដេករបស់វា (ជួរឈរ) នោះជួរដេករបស់វា (ជួរឈរ) គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ ប្រសិនបើ rangA ស្មើនឹងចំនួនជួរដេករបស់វា (ជួរឈរ) នោះជួរដេក (ជួរឈរ) គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។
3. កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A គឺស្មើនឹងសូន្យប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែជួរដេក (ជួរឈរ) របស់វាអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។
4. ប្រសិនបើអ្នកបន្ថែមជួរ (ជួរ) ផ្សេងទៀតទៅជួរដេក (ជួរ) នៃម៉ាទ្រីស គុណនឹងលេខណាមួយក្រៅពីសូន្យ នោះចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។
5. ប្រសិនបើអ្នកកាត់ជួរ (ជួរឈរ) ក្នុងម៉ាទ្រីស ដែលជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃជួរផ្សេងទៀត (ជួរ) នោះចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។
6. ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺស្មើនឹងចំនួនអតិបរមានៃជួរដេកឯករាជ្យលីនេអ៊ែររបស់វា (ជួរឈរ)។
7. ចំនួនអតិបរមានៃជួរដេកឯករាជ្យលីនេអ៊ែរគឺដូចគ្នាទៅនឹងចំនួនអតិបរមានៃជួរឈរឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

ឧទាហរណ៍ ២. ស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស .
ដំណោះស្រាយ។ ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស យើងនឹងស្វែងរកអនីតិជននៃលំដាប់ខ្ពស់បំផុត ខុសពីសូន្យ។ ដំបូង យើងបំប្លែងម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់សាមញ្ញជាង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះគុណជួរទីមួយនៃម៉ាទ្រីសដោយ (-2) ហើយបន្ថែមវាទៅទីពីរបន្ទាប់មកគុណវាដោយ (-1) ហើយបន្ថែមវាទៅទីបី។

អនុញ្ញាតឱ្យ A ជាម៉ាទ្រីសនៃទំហំ m\times n និង k ជាចំនួនធម្មជាតិមិនលើសពី m និង n៖ k\leqslant\min\(m;n\). លំដាប់ kth អនីតិជនម៉ាទ្រីស A គឺជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលំដាប់ k ដែលបង្កើតឡើងដោយធាតុនៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរ k ដែលបានជ្រើសរើសតាមអំពើចិត្ត និងជួរឈរ k នៃម៉ាទ្រីស A ។ នៅពេលសម្គាល់អនីតិជន យើងនឹងចង្អុលបង្ហាញលេខនៃជួរដែលបានជ្រើសរើសជាសន្ទស្សន៍ខាងលើ ហើយលេខនៃជួរឈរដែលបានជ្រើសរើសជាសន្ទស្សន៍ទាប ដោយរៀបចំពួកវាតាមលំដាប់ឡើង។

ឧទាហរណ៍ 3.4 ។សរសេរអនីតិជននៃលំដាប់ផ្សេងគ្នានៃម៉ាទ្រីស

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!។

ដំណោះស្រាយ។ម៉ាទ្រីស A មានវិមាត្រ 3 គុណ 4 ។ វាមាន៖ អនីតិជនចំនួន ១២ នៃលំដាប់ទី១ ឧទាហរណ៍ អនីតិជន M_(()_2)^((()_3)=\det(a_(32))=4; ឧទាហរណ៍ អនីតិជនលំដាប់ទី ១៨ M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; អនីតិជនលំដាប់ទី ៤ ជាឧទាហរណ៍

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0។

នៅក្នុងម៉ាទ្រីស A នៃវិមាត្រ m\times n លំដាប់អនីតិជន r-th ត្រូវបានហៅ មូលដ្ឋានប្រសិនបើវាមិនមែនជាសូន្យ ហើយអនីតិជនទាំងអស់នៃលំដាប់ (r+1)-ro គឺស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមានទាល់តែសោះ។

ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់នៃអនីតិជនមូលដ្ឋាន។ មិនមានមូលដ្ឋានអនីតិជននៅក្នុងម៉ាទ្រីសសូន្យទេ។ ដូច្នេះ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសសូន្យគឺតាមនិយមន័យស្មើនឹងសូន្យ។ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស A ត្រូវបានតំណាងដោយ \operatorname(rg)A.

ឧទាហរណ៍ 3.5 ។ស្វែងរកអនីតិជនជាមូលដ្ឋាន និងចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!។

ដំណោះស្រាយ។អនីតិជនលំដាប់ទីបីទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសនេះគឺស្មើសូន្យ ដោយសារកត្តាកំណត់ទាំងនេះមានសូន្យជួរទីបី។ ដូច្នេះមានតែអនីតិជនលំដាប់ទីពីរដែលមានទីតាំងនៅជួរពីរដំបូងនៃម៉ាទ្រីសប៉ុណ្ណោះដែលអាចជាមូលដ្ឋាន។ ដោយឆ្លងកាត់អនីតិជនដែលអាចមាន 6 នាក់ យើងជ្រើសរើសមិនមែនសូន្យ

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!។

អនីតិជននីមួយៗក្នុងចំណោមអនីតិជនទាំងប្រាំនេះគឺជាមូលដ្ឋានមួយ។ ដូច្នេះចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺ 2 ។

កំណត់ចំណាំ 3.2

1. ប្រសិនបើអនីតិជនលំដាប់ kth ទាំងអស់ក្នុងម៉ាទ្រីសស្មើនឹងសូន្យ នោះអនីតិជនលំដាប់ខ្ពស់ក៏ស្មើនឹងសូន្យផងដែរ។ ជាការពិតណាស់ ការពង្រីកអនីតិជននៃលំដាប់ (k+1)-ro លើជួរណាមួយ យើងទទួលបានផលបូកនៃផលិតផលនៃធាតុនៃជួរនេះដោយអនីតិជននៃលំដាប់ kth ហើយពួកវាស្មើនឹងសូន្យ។

2. ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺស្មើនឹងលំដាប់ខ្ពស់បំផុតនៃអនីតិជន nonzero នៃម៉ាទ្រីសនេះ។

3. ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសការ៉េមិនមែនជាឯកវចនៈ នោះចំណាត់ថ្នាក់របស់វាស្មើនឹងលំដាប់របស់វា។ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសការ៉េជាឯកវចនៈ នោះចំណាត់ថ្នាក់របស់វាគឺតិចជាងលំដាប់របស់វា។

4. ការរចនាក៏ត្រូវបានប្រើសម្រាប់ចំណាត់ថ្នាក់ផងដែរ។ \operatorname(Rg)A,~\operatorname(rang)A,~\operatorname(rank)A.

5. រារាំងចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីសត្រូវបានកំណត់ជាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសធម្មតា (លេខ) ពោលគឺឧ។ ដោយមិនគិតពីរចនាសម្ព័ន្ធប្លុករបស់វា។ ក្នុង​ករណី​នេះ ចំណាត់ថ្នាក់​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ប្លុក​មិន​តិច​ជាង​ចំណាត់ថ្នាក់​នៃ​ប្លុក​របស់​វា​ឡើយ៖ \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)Aនិង \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)Bដោយសារអនីតិជនទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីស A (ឬ B) ក៏ជាអនីតិជននៃម៉ាទ្រីសប្លុក (A\mid B) ផងដែរ។

ទ្រឹស្តីបទលើមូលដ្ឋានអនីតិជន និងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស

ចូរយើងពិចារណាទ្រឹស្តីបទសំខាន់ៗដែលបង្ហាញពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ និងឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃជួរឈរ (ជួរដេក) នៃម៉ាទ្រីសមួយ។

ទ្រឹស្តីបទ ៣.១ លើមូលដ្ឋានអនីតិជន។នៅក្នុងម៉ាទ្រីស A មួយ ជួរឈរនីមួយៗ (ជួរដេក) គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃជួរជួរ (ជួរដេក) ដែលអនីតិជនមូលដ្ឋានស្ថិតនៅ។

ជាការពិតណាស់ ដោយមិនបាត់បង់ភាពទូទៅ យើងសន្មត់ថានៅក្នុងម៉ាទ្រីស A នៃទំហំ m\times n អនីតិជនមូលដ្ឋានមានទីតាំងនៅក្នុងជួរ r ដំបូង និងជួរឈរ r ដំបូង។ ពិចារណាកត្តាកំណត់

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

ដែលត្រូវបានទទួលដោយការចាត់តាំងធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរ sth និងជួរឈរ kth ទៅអនីតិជនមូលដ្ឋាននៃម៉ាទ្រីស A ។ ចំណាំថាសម្រាប់ណាមួយ។ 1\leqslant s\leqslant mហើយកត្តាកំណត់នេះគឺស្មើនឹងសូន្យ។ ប្រសិនបើ s\leqslant r ឬ k\leqslant r នោះកត្តាកំណត់ D មានជួរដូចគ្នាពីរ ឬជួរឈរដូចគ្នាពីរ។ ប្រសិនបើ s > r និង k > r នោះកត្តាកំណត់ D គឺស្មើនឹងសូន្យ ព្រោះវាជាលំដាប់អនីតិជននៃ (r+l)-ro ។ ការពង្រីកកត្តាកំណត់តាមបន្ទាត់ចុងក្រោយ យើងទទួលបាន

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

ដែល D_(r+1\,j) គឺជាការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុនៃជួរចុងក្រោយ។ ចំណាំថា D_(r+1\,r+1)\ne0 ចាប់តាំងពីនេះគឺជាអនីតិជនមូលដ្ឋាន។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), កន្លែងណា \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

ការសរសេរសមភាពចុងក្រោយសម្រាប់ s=1,2,\ldots,m យើងទទួលបាន

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

ទាំងនោះ។ kth ជួរឈរ (សម្រាប់ណាមួយ។ 1\leqslant k\leqslant n) គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃជួរឈរនៃអនីតិជនមូលដ្ឋាន ដែលជាអ្វីដែលយើងត្រូវការដើម្បីបញ្ជាក់។

ទ្រឹស្តីបទអនីតិជនមូលដ្ឋានបម្រើដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទសំខាន់ៗដូចខាងក្រោម។

លក្ខខណ្ឌសម្រាប់កត្តាកំណត់ទៅជាសូន្យ

ទ្រឹស្តីបទ 3.2 (លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់កត្តាកំណត់ទៅជាសូន្យ)។ដើម្បីឱ្យកត្តាកំណត់ស្មើនឹងសូន្យ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលជួរឈរមួយរបស់វា (ជួរដេកមួយរបស់វា) ជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃជួរឈរដែលនៅសល់ (ជួរដេក)។

ជាការពិត ភាពចាំបាច់កើតឡើងពីទ្រឹស្តីបទអនីតិជនមូលដ្ឋាន។ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ n គឺស្មើនឹងសូន្យ នោះចំណាត់ថ្នាក់របស់វាគឺតិចជាង n, i.e. យ៉ាងហោចណាស់ជួរឈរមួយមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងអនីតិជនមូលដ្ឋានទេ។ បន្ទាប់មកជួរឈរដែលបានជ្រើសរើសនេះ តាមទ្រឹស្តីបទ 3.1 គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃជួរជួរដែលអនីតិជនមូលដ្ឋានស្ថិតនៅ។ ដោយការបន្ថែម ប្រសិនបើចាំបាច់ ទៅនឹងការរួមបញ្ចូលគ្នានេះ ជួរឈរផ្សេងទៀតដែលមានមេគុណសូន្យ យើងទទួលបានថាជួរឈរដែលបានជ្រើសរើសគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃជួរឈរដែលនៅសល់នៃម៉ាទ្រីស។ ភាពគ្រប់គ្រាន់កើតឡើងពីលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់កត្តាកំណត់។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើជួរឈរចុងក្រោយ A_n នៃកត្តាកំណត់ \det(A_1~A_2~\cdots~A_n)បង្ហាញជាលីនេអ៊ែរតាមរយៈអ្វីដែលនៅសល់

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

បន្ទាប់មកបន្ថែមទៅជួរ A_n A_1 គុណនឹង (-\lambda_1) បន្ទាប់មកជួរឈរ A_2 គុណនឹង (-\lambda_2) ។ល។ ជួរ A_(n-1) គុណនឹង (-\lambda_(n-1)) យើងទទួលបានកត្តាកំណត់ \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o)ជាមួយនឹងជួរឈរទទេដែលស្មើនឹងសូន្យ (ទ្រព្យសម្បត្តិ 2 នៃកត្តាកំណត់) ។

ភាពប្រែប្រួលនៃចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីសក្រោមការបំប្លែងបឋម

ទ្រឹស្តីបទ 3.3 (នៅលើភាពប្រែប្រួលនៃចំណាត់ថ្នាក់ក្រោមការផ្លាស់ប្តូរបឋម) ។ កំឡុងពេលបំប្លែងបឋមនៃជួរឈរ (ជួរដេក) នៃម៉ាទ្រីស ចំណាត់ថ្នាក់របស់វាមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។

ពិតហើយ សូមអោយវាក្លាយជា។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្មតថាជាលទ្ធផលនៃការបំប្លែងបឋមនៃជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស A យើងទទួលបានម៉ាទ្រីស A ។ នៃម៉ាទ្រីស A" គឺស្មើនឹងអនីតិជនដែលត្រូវគ្នា (r+l)-ro នៃលំដាប់នៃម៉ាទ្រីស A ឬខុសពីវានៅក្នុងសញ្ញា (ទ្រព្យសម្បត្តិ 3 នៃកត្តាកំណត់)។ ប្រសិនបើការបំប្លែងប្រភេទ II ត្រូវបានអនុវត្ត (គុណជួរដោយលេខ \lambda\ne0) នោះអនីតិជនណាមួយ (r+l)-ro នៃលំដាប់នៃម៉ាទ្រីស A" គឺស្មើនឹងអនីតិជនដែលត្រូវគ្នា (r+l) -ro នៃលំដាប់នៃម៉ាទ្រីស A ឬខុសគ្នាពីវាកត្តា \lambda\ne0 (ទ្រព្យសម្បត្តិ 6 នៃកត្តាកំណត់) ប្រសិនបើការបំប្លែងប្រភេទ III ត្រូវបានអនុវត្ត (ការបន្ថែមទៅជួរឈរមួយជួរឈរមួយទៀតគុណនឹងលេខ \Lambda) បន្ទាប់មកណាមួយ អនីតិជននៃលំដាប់ (r+1)th នៃម៉ាទ្រីស A" គឺស្មើនឹងអនីតិជនដែលត្រូវគ្នា។ (r+1)-th លំដាប់នៃម៉ាទ្រីស A (ទ្រព្យសម្បត្តិ 9 នៃកត្តាកំណត់) ឬស្មើនឹងផលបូក អនីតិជនពីរ (r+l)-ro នៃលំដាប់នៃម៉ាទ្រីស A (ទ្រព្យសម្បត្តិ 8 នៃកត្តាកំណត់) ។ ដូច្នេះនៅក្រោមការផ្លាស់ប្តូរបឋមនៃប្រភេទណាមួយ អនីតិជនទាំងអស់ (r+l)-ro នៃលំដាប់នៃម៉ាទ្រីស A" គឺស្មើនឹងសូន្យ ចាប់តាំងពីអនីតិជនទាំងអស់ (r+l)-ro នៃលំដាប់នៃម៉ាទ្រីស A គឺ ស្មើនឹងសូន្យ វាត្រូវបានបង្ហាញថានៅក្រោមការបំប្លែងបឋមនៃជួរឈរ ម៉ាទ្រីសចំណាត់ថ្នាក់មិនអាចកើនឡើងបានទេ ដោយសារការបំប្លែងបញ្ច្រាសទៅបឋមសិក្សា ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសមិនអាចថយចុះក្រោមការបំប្លែងបឋមនៃជួរឈរ ពោលគឺវាស្រដៀងគ្នា។ បានបង្ហាញថាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសមិនផ្លាស់ប្តូរនៅក្រោមការផ្លាស់ប្តូរបឋមនៃជួរដេក។

កូរ៉ូឡារី ១. ប្រសិនបើជួរមួយ (ជួរ) នៃម៉ាទ្រីស គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃជួរផ្សេងទៀត (ជួរ) នោះ ជួរនេះ (ជួរ) អាចត្រូវបានលុបចេញពីម៉ាទ្រីសដោយមិនផ្លាស់ប្តូរចំណាត់ថ្នាក់របស់វា។

ជាការពិតណាស់ ខ្សែអក្សរបែបនេះអាចត្រូវបានបង្កើតសូន្យដោយប្រើការបំប្លែងបឋម ហើយខ្សែសូន្យមិនអាចបញ្ចូលទៅក្នុងអនីតិជនមូលដ្ឋានបានទេ។

កូរ៉ូឡារី ២. ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់សាមញ្ញបំផុត (1.7) បន្ទាប់មក

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.

ជាការពិត ម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់សាមញ្ញបំផុត (1.7) មានមូលដ្ឋានអនីតិជននៃលំដាប់ទី។

កូរ៉ូឡារី ៣. ម៉ាទ្រីសការ៉េដែលមិនមែនជាឯកវចនៈណាមួយគឺជាបឋម ម្យ៉ាងវិញទៀតម៉ាទ្រីសការ៉េដែលមិនមែនជាឯកវចនៈគឺស្មើនឹងម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណនៃលំដាប់ដូចគ្នា។

ជាការពិត ប្រសិនបើ A គឺជាម៉ាទ្រីសការ៉េដែលមិនមែនជាឯកវចនៈនៃលំដាប់ទី នោះ \operatorname(rg)A=n(សូមមើលកថាខណ្ឌទី 3 នៃមតិយោបល់ 3.2) ។ ដូច្នេះ ការនាំយកម៉ាទ្រីស A ទៅជាទម្រង់សាមញ្ញបំផុត (1.7) ដោយការបំប្លែងបឋម យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ \Lambda=E_n ចាប់តាំងពី \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(សូមមើល កូរ៉ូឡារី ២)។ ដូច្នេះម៉ាទ្រីស A គឺស្មើនឹងម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ E_n ហើយអាចទទួលបានពីវាដែលជាលទ្ធផលនៃចំនួនកំណត់នៃការបំប្លែងបឋម។ នេះមានន័យថាម៉ាទ្រីស A គឺបឋម។

ទ្រឹស្តីបទ 3.4 (អំពីចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស) ។ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺស្មើនឹងចំនួនអតិបរមានៃជួរដេកឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃម៉ាទ្រីសនេះ។

តាមពិតអនុញ្ញាតឱ្យ \operatorname(rg)A=r. បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីស A មាន r ជួរឯករាជ្យ។ ទាំងនេះគឺជាបន្ទាត់ដែលអនីតិជនមូលដ្ឋានស្ថិតនៅ។ ប្រសិនបើពួកវាអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ នោះអនីតិជននេះនឹងស្មើនឹងសូន្យដោយទ្រឹស្តីបទ 3.2 ហើយចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស A នឹងមិនស្មើនឹង r ។ ចូរយើងបង្ហាញថា r គឺជាចំនួនអតិបរមានៃជួរដេកឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ពោលគឺឧ។ ជួរ p ណាមួយគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរសម្រាប់ p>r ។ ជាការពិតយើងបង្កើតម៉ាទ្រីស B ពីជួរ p ទាំងនេះ។ ដោយសារម៉ាទ្រីស B គឺជាផ្នែកមួយនៃម៉ាទ្រីស A ដូច្នេះ \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r

នេះមានន័យថាយ៉ាងហោចណាស់មួយជួរនៃម៉ាទ្រីស B មិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងអនីតិជនមូលដ្ឋាននៃម៉ាទ្រីសនេះទេ។ បន្ទាប់មក តាមទ្រឹស្តីបទអនីតិជនមូលដ្ឋាន វាស្មើនឹងការរួមបញ្ចូលលីនេអ៊ែរនៃជួរដេកដែលអនីតិជនមូលដ្ឋានស្ថិតនៅ។ ដូច្នេះ ជួរដេកនៃម៉ាទ្រីស B គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ ដូច្នេះ ម៉ាទ្រីស A មានជួរ r ឯករាជ្យភាគច្រើន។

កូរ៉ូឡារី ១. ចំនួនអតិបរមានៃជួរដេកឯករាជ្យលីនេអ៊ែរក្នុងម៉ាទ្រីសគឺស្មើនឹងចំនួនអតិបរមានៃជួរឈរឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ៖

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)A^T ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះធ្វើតាមទ្រឹស្តីបទ 3.4 ប្រសិនបើយើងអនុវត្តវាទៅជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសដែលបានផ្លាស់ប្តូរ ហើយយកទៅពិចារណាថាអនីតិជនមិនផ្លាស់ប្តូរកំឡុងពេលផ្លាស់ប្តូរ (ទ្រព្យសម្បត្តិ 1 នៃកត្តាកំណត់)។

កូរ៉ូឡារី ២. កំឡុងពេលបំប្លែងបឋមនៃជួរដេកនៃម៉ាទ្រីស ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ (ឬឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ) នៃប្រព័ន្ធនៃជួរឈរនៃម៉ាទ្រីសនេះត្រូវបានរក្សាទុក។

តាមពិត អនុញ្ញាតឱ្យយើងជ្រើសរើសជួរឈរ k ណាមួយនៃម៉ាទ្រីស A ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយសរសេរម៉ាទ្រីស B ពីពួកគេ។ ឧបមាថា ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋមនៃជួរដេកនៃម៉ាទ្រីស A ម៉ាទ្រីស A" ត្រូវបានទទួល ហើយជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នានៃជួរដេកនៃម៉ាទ្រីស B ម៉ាទ្រីស B" ត្រូវបានទទួល។ ដោយទ្រឹស្តីបទ 3.3 \operatorname(rg)B"=\operatorname(rg)B. ដូច្នេះប្រសិនបើជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស B មានឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ឧ។ k=\operatorname(rg)B(សូមមើលកូរ៉ូឡារីទី 1) បន្ទាប់មកជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស B" ក៏មានលក្ខណៈឯករាជ្យផងដែរ ចាប់តាំងពី k=\operatorname(rg)B". ប្រសិនបើជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស B គឺពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ (k>\operatorname(rg)B)បន្ទាប់មកជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស B" ក៏អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរផងដែរ។ (k>\operatorname(rg)B"). ដូច្នេះហើយ សម្រាប់ជួរឈរណាមួយនៃម៉ាទ្រីស A ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ ឬឯករាជ្យលីនេអ៊ែរត្រូវបានរក្សាទុកក្រោមការបំប្លែងជួរដេកបឋម។

កំណត់ចំណាំ 3.3

1. ដោយកូរ៉ូឡារីទី 1 នៃទ្រឹស្តីបទ 3.4 លក្ខណសម្បត្តិនៃជួរឈរដែលបានចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងកូរ៉ូឡារីទី 2 ក៏ជាការពិតសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃជួរម៉ាទ្រីសណាមួយ ប្រសិនបើការបំប្លែងបឋមត្រូវបានអនុវត្តតែលើជួរឈររបស់វា។

2. កូរ៉ូឡារីទី 3 នៃទ្រឹស្តីបទ 3.3 អាចត្រូវបានកែលម្អដូចខាងក្រោម: ម៉ាទ្រីសការ៉េដែលមិនមែនជាឯកវចនៈ ដោយប្រើការបំប្លែងបឋមនៃតែជួរដេករបស់វា (ឬតែជួរឈររបស់វា) អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណនៃលំដាប់ដូចគ្នា។

តាមការពិត ដោយប្រើតែការបំប្លែងជួរដេកបឋមប៉ុណ្ណោះ ម៉ាទ្រីស A ណាមួយអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់សាមញ្ញ \Lambda (រូបភាព 1.5) (សូមមើលទ្រឹស្តីបទ 1.1)។ ដោយសារម៉ាទ្រីស A មិនមែនជាឯកវចនៈ (\det(A)\ne0) ជួរឈររបស់វាមានលក្ខណៈឯករាជ្យ។ នេះ​មាន​ន័យ​ថា ជួរ​ឈរ​នៃ​ម៉ាទ្រីស \Lambda ក៏​មាន​លក្ខណៈ​ឯករាជ្យ (Corollary 2 of Theorem 3.4)។ ដូច្នេះ ទម្រង់សាមញ្ញ \Lambda នៃម៉ាទ្រីសដែលមិនមែនជាឯកវចនៈ A ស្របគ្នាជាមួយនឹងទម្រង់សាមញ្ញបំផុតរបស់វា (រូបភាព 1.6) និងជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ \Lambda=E (សូមមើល កូរ៉ូឡារីទី 3 នៃទ្រឹស្តីបទ 3.3)។ ដូច្នេះ ដោយបំប្លែងតែជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសដែលមិនមែនជាឯកវចនៈ វាអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ។ ហេតុផលស្រដៀងគ្នានេះមានសុពលភាពសម្រាប់ការបំប្លែងបឋមនៃជួរឈរនៃម៉ាទ្រីសដែលមិនមែនជាឯកវចនៈ។

ចំណាត់ថ្នាក់នៃផលិតផល និងផលបូកនៃម៉ាទ្រីស

ទ្រឹស្តីបទ 3.5 (នៅលើចំណាត់ថ្នាក់នៃផលិតផលនៃម៉ាទ្រីស) ។ ចំណាត់ថ្នាក់នៃផលិតផលនៃម៉ាទ្រីសមិនលើសពីចំណាត់ថ្នាក់នៃកត្តា៖

\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\)។

ជាការពិតណាស់ អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស A និង B មានទំហំ m\times p និង p\times n ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ទៅម៉ាទ្រីស A នៃម៉ាទ្រីស C=AB\colon\,(A\mid C). ជាការពិតណាស់ \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)ចាប់តាំងពី C គឺជាផ្នែកមួយនៃម៉ាទ្រីស (A\mid C) (សូមមើលកថាខណ្ឌទី 5 នៃការកត់សម្គាល់ 3.2) ។ ចំណាំថាជួរឈរនីមួយៗ C_j យោងទៅតាមប្រតិបត្តិការគុណម៉ាទ្រីសគឺជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃជួរឈរ A_1,A_2,\ldots,A_pម៉ាទ្រីស A=(A_1~\cdots~A_p)៖

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

ជួរឈរបែបនេះអាចត្រូវបានលុបចេញពីម៉ាទ្រីស (A\mid C) ដោយមិនចាំបាច់ផ្លាស់ប្តូរចំណាត់ថ្នាក់របស់វា (Corollary 1 of Theorem 3.3)។ ឆ្លងកាត់ជួរទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីស C យើងទទួលបាន៖ \operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. ពី​ទីនេះ, \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងអាចបញ្ជាក់បានថា លក្ខខណ្ឌគឺពេញចិត្តក្នុងពេលដំណាលគ្នា។ \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)Bហើយទាញសេចក្តីសន្និដ្ឋានអំពីសុពលភាពនៃទ្រឹស្តីបទ។

ផលវិបាក។ ប្រសិនបើ A គឺជាម៉ាទ្រីសការ៉េដែលមិនមែនជាឯកវចនៈ បន្ទាប់មក \operatorname(rg)(AB)= \operatorname(rg)Bនិង \operatorname(rg)(CA)=\operatorname(rg)C, i.e. ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសមិនផ្លាស់ប្តូរទេ នៅពេលដែលវាត្រូវបានគុណពីឆ្វេង ឬស្តាំដោយម៉ាទ្រីសការ៉េដែលមិនមែនជាឯកវចនៈ។

ទ្រឹស្តីបទ 3.6 ស្តីពីចំណាត់ថ្នាក់នៃផលបូកនៃម៉ាទ្រីស។ ចំណាត់ថ្នាក់នៃផលបូកនៃម៉ាទ្រីសមិនលើសពីផលបូកនៃចំណាត់ថ្នាក់នៃលក្ខខណ្ឌ៖

\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.

ជាការពិត ចូរយើងបង្កើតម៉ាទ្រីស (A+B\mid A\mid B). ចំណាំថាជួរឈរនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីស A+B គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស A និង B ។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatorname(rg)(A\mid B). ដោយពិចារណាថាចំនួនជួរឈរឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៅក្នុងម៉ាទ្រីស (A\mid B) មិនលើសពីទេ។ \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B, ក \operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)(សូមមើលផ្នែកទី 5 នៃចំណាំ 3.2) យើងទទួលបានវិសមភាពដែលកំពុងត្រូវបានបញ្ជាក់។

ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺជាលក្ខណៈលេខសំខាន់។ បញ្ហាធម្មតាបំផុតដែលតម្រូវឱ្យស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺការពិនិត្យមើលភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងផ្តល់គោលគំនិតនៃចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស ហើយពិចារណាវិធីសាស្រ្តក្នុងការស្វែងរកវា។ ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់អំពីសម្ភារៈ យើងនឹងវិភាគលម្អិតអំពីដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

ការរុករកទំព័រ។

ការកំណត់ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស និងគោលគំនិតបន្ថែមចាំបាច់។

មុននឹងបញ្ចេញនិយមន័យនៃចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស អ្នកគួរតែយល់ឱ្យបានច្បាស់អំពីគោលគំនិតនៃអនីតិជន ហើយការស្វែងរកអនីតិជននៃម៉ាទ្រីសបង្កប់នូវសមត្ថភាពក្នុងការគណនាកត្តាកំណត់។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើចាំបាច់ យើងសូមណែនាំឱ្យអ្នករំលឹកឡើងវិញនូវទ្រឹស្តីនៃអត្ថបទ វិធីសាស្រ្តក្នុងការស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់។

ចូរយើងយកម៉ាទ្រីស A នៃលំដាប់។ សូមឱ្យ k ជាចំនួនធម្មជាតិដែលមិនលើសពីចំនួនតូចបំផុតនៃលេខ m និង n នោះគឺ .

និយមន័យ។

លំដាប់ kth អនីតិជនម៉ាទ្រីស A គឺជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ដែលផ្សំឡើងដោយធាតុនៃម៉ាទ្រីស A ដែលមានទីតាំងនៅជួរ k និងជួរឈរ k ដែលបានជ្រើសរើសជាមុន ហើយការរៀបចំធាតុនៃម៉ាទ្រីស A ត្រូវបានរក្សាទុក។

និយាយម៉្យាងទៀតប្រសិនបើនៅក្នុងម៉ាទ្រីស A យើងលុបជួរ (p–k) និងជួរឈរ (n–k) ហើយពីធាតុដែលនៅសល់យើងបង្កើតម៉ាទ្រីសដោយរក្សាការរៀបចំធាតុនៃម៉ាទ្រីស A បន្ទាប់មកកត្តាកំណត់នៃ ម៉ាទ្រីសលទ្ធផលគឺជាអនីតិជននៃលំដាប់ k នៃម៉ាទ្រីស A ។

សូមក្រឡេកមើលនិយមន័យនៃអនីតិជនម៉ាទ្រីសដោយប្រើឧទាហរណ៍មួយ។

ពិចារណាម៉ាទ្រីស .

ចូរយើងសរសេរអនីតិជនលំដាប់ទីមួយមួយចំនួននៃម៉ាទ្រីសនេះ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងជ្រើសរើសជួរទីបី និងជួរទីពីរនៃម៉ាទ្រីស A នោះជម្រើសរបស់យើងត្រូវគ្នាទៅនឹងអនីតិជនលំដាប់ទីមួយ . ម៉្យាងទៀត ដើម្បីទទួលបានអនីតិជននេះ យើងបានឆ្លងកាត់ជួរទីមួយ និងទីពីរ ក៏ដូចជាជួរទីមួយ ទីបី និងទីបួនពីម៉ាទ្រីស A ហើយបង្កើតជាកត្តាកំណត់ពីធាតុដែលនៅសល់។ ប្រសិនបើយើងជ្រើសរើសជួរទីមួយ និងជួរទីបីនៃម៉ាទ្រីស A នោះយើងទទួលបានអនីតិជន .

ចូរយើងបង្ហាញពីនីតិវិធីសម្រាប់ការទទួលបានអនីតិជនដែលបានចាត់ថ្នាក់ដំបូង
និង .

ដូច្នេះ អនីតិជនលំដាប់ទីមួយនៃម៉ាទ្រីស គឺជាធាតុម៉ាទ្រីសដោយខ្លួនឯង។

សូមបង្ហាញអនីតិជនលំដាប់ទីពីរជាច្រើន។ ជ្រើសរើសជួរពីរ និងជួរឈរពីរ។ ឧទាហរណ៍ យកជួរទីមួយ និងទីពីរ និងជួរទីបី និងទីបួន។ ជាមួយនឹងជម្រើសនេះ យើងមានអនីតិជនលំដាប់ទីពីរ . អនីតិជននេះក៏អាចត្រូវបានផ្សំឡើងដោយការលុបជួរទីបី ជួរទីមួយ និងទីពីរពីម៉ាទ្រីស A។

អនីតិជនលំដាប់ទីពីរនៃម៉ាទ្រីស A គឺ .

ចូរយើងបង្ហាញពីការសាងសង់អនីតិជនលំដាប់ទីពីរទាំងនេះ
និង .

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ អនីតិជនលំដាប់ទីបីនៃម៉ាទ្រីស A អាចត្រូវបានរកឃើញ។ ដោយ​សារ​តែ​មាន​តែ​បី​ជួរ​នៅ​ក្នុង​ម៉ាទ្រីស A យើង​ជ្រើស​ពួក​វា​ទាំង​អស់។ ប្រសិនបើ​យើង​ជ្រើសរើស​ជួរ​ឈរ​បី​ដំបូង​នៃ​ជួរ​ដេក​ទាំង​នេះ យើង​នឹង​ទទួលបាន​លំដាប់​ទី​បី​

វាក៏អាចត្រូវបានសាងសង់ដោយឆ្លងកាត់ជួរឈរចុងក្រោយនៃម៉ាទ្រីស A ។

អនីតិជនលំដាប់ទីបីមួយទៀតគឺ

ទទួលបានដោយការលុបជួរទីបីនៃម៉ាទ្រីស A.

នេះគឺជារូបភាពដែលបង្ហាញពីការសាងសង់អនីតិជនលំដាប់ទីបីទាំងនេះ
និង .

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស A ដែលផ្តល់ឱ្យមិនមានអនីតិជននៃលំដាប់ខ្ពស់ជាងទីបីចាប់តាំងពី .

តើអនីតិជននៃលំដាប់ kth មានប៉ុន្មាននៃម៉ាទ្រីស A នៃលំដាប់?

ចំនួនអនីតិជននៃលំដាប់ k អាចត្រូវបានគណនាជា , កន្លែង និង - ចំនួនបន្សំពី p ដល់ k និងពី n ដល់ k រៀងគ្នា។

តើយើងអាចបង្កើតអនីតិជនទាំងអស់នៃលំដាប់ k នៃម៉ាទ្រីស A នៃលំដាប់ p ដោយ n យ៉ាងដូចម្តេច?

យើង​នឹង​ត្រូវ​ការ​លេខ​ជួរ​ដេក​ម៉ាទ្រីស​ជា​ច្រើន និង​លេខ​ជួរ​ឈរ​ជា​ច្រើន។ យើងសរសេរអ្វីៗទាំងអស់។ បន្សំនៃធាតុ p ដោយ k(ពួកវានឹងឆ្លើយតបទៅនឹងជួរដេកដែលបានជ្រើសរើសនៃម៉ាទ្រីស A នៅពេលសាងសង់អនីតិជននៃលំដាប់ k) ។ ចំពោះការរួមបញ្ចូលគ្នានៃលេខជួរដេកនីមួយៗ យើងបន្ថែមការបន្សំទាំងអស់នៃធាតុ n នៃលេខជួរឈរ k ជាបន្តបន្ទាប់។ សំណុំនៃបន្សំទាំងនេះនៃលេខជួរដេក និងលេខជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស A នឹងជួយបង្កើតអនីតិជនទាំងអស់នៃលំដាប់ k ។

សូមក្រឡេកមើលវាជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកអនីតិជនលំដាប់ទីពីរទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីស។

ដំណោះស្រាយ។

ចាប់តាំងពីលំដាប់នៃម៉ាទ្រីសដើមគឺ 3 គុណនឹង 3 សរុបនៃអនីតិជនលំដាប់ទីពីរនឹងមាន .

ចូរសរសេរបន្សំទាំងអស់នៃលេខជួរ 3 ទៅ 2 នៃម៉ាទ្រីស A: 1, 2; 1, 3 និង 2, 3 ។ បន្សំទាំងអស់នៃលេខជួរឈរ 3 ទៅ 2 គឺ 1, 2; 1, 3 និង 2, 3 ។

ចូរយើងយកជួរទីមួយ និងទីពីរនៃម៉ាទ្រីស A។ ដោយជ្រើសរើសជួរទីមួយ និងទីពីរ ជួរទីមួយ និងទីបី ជួរទីពីរ និងទីបីសម្រាប់ជួរទាំងនេះ យើងទទួលបានអនីតិជនរៀងៗខ្លួន។

សម្រាប់ជួរទីមួយ និងទីបី ជាមួយនឹងជម្រើសស្រដៀងគ្នានៃជួរឈរយើងមាន

វានៅសល់ដើម្បីបន្ថែមជួរទីមួយ និងទីពីរ ទីមួយ និងទីបី ទីពីរ និងទីបីទៅជួរទីពីរ និងទីបី៖

ដូច្នេះ អនីតិជនលំដាប់ទីពីរទាំងប្រាំបួននៃម៉ាទ្រីស A ត្រូវបានរកឃើញ។

ឥឡូវនេះយើងអាចបន្តដើម្បីកំណត់ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស។

និយមន័យ។

ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីសគឺជាលំដាប់ខ្ពស់បំផុតនៃអនីតិជនដែលមិនមែនជាសូន្យនៃម៉ាទ្រីស។

ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស A ត្រូវបានតំណាងថាជា Rank(A) ។ អ្នកក៏អាចស្វែងរកការរចនា Rg(A) ឬ Rang(A) ផងដែរ។

តាមនិយមន័យនៃចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស និងម៉ាទ្រីសអនីតិជន យើងអាចសន្និដ្ឋានថាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសសូន្យគឺស្មើនឹងសូន្យ ហើយចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសមិនសូន្យគឺមិនតិចជាងមួយ។

ស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសតាមនិយមន័យ។

ដូច្នេះវិធីសាស្រ្តដំបូងសម្រាប់ការស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺ វិធីសាស្រ្តនៃការរាប់អនីតិជន. វិធីសាស្រ្តនេះគឺផ្អែកលើការកំណត់ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស A នៃលំដាប់។

សូម​ពណ៌នា​ដោយ​សង្ខេប ក្បួនដោះស្រាយដោះស្រាយបញ្ហានេះដោយការរាប់អនីតិជន។

ប្រសិនបើមានយ៉ាងហោចណាស់ធាតុមួយនៃម៉ាទ្រីសដែលខុសពីសូន្យ នោះចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺយ៉ាងហោចណាស់ស្មើនឹងមួយ (ចាប់តាំងពីមានអនីតិជនលំដាប់ទីមួយដែលមិនស្មើនឹងសូន្យ)។

បន្ទាប់យើងពិនិត្យមើលអនីតិជនលំដាប់ទីពីរ។ ប្រសិនបើអនីតិជនលំដាប់ទីពីរទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ នោះចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺស្មើនឹងមួយ។ ប្រសិនបើមានអនីតិជនដែលមិនមែនជាសូន្យនៃលំដាប់ទីពីរ នោះយើងបន្តរាប់អនីតិជននៃលំដាប់ទីបី ហើយចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺយ៉ាងហោចណាស់ស្មើនឹងពីរ។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ ប្រសិនបើអនីតិជនលំដាប់ទីបីទាំងអស់គឺសូន្យ នោះចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺពីរ។ ប្រសិនបើមានអនីតិជនលំដាប់ទីបីយ៉ាងតិចមួយក្រៅពីសូន្យ នោះចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺយ៉ាងហោចណាស់បី ហើយយើងបន្តទៅការរាប់អនីតិជនលំដាប់ទីបួន។

ចំណាំថាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសមិនអាចលើសពីលេខតូចបំផុតនៃលេខ p និង n ។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស .

ដំណោះស្រាយ។

ដោយសារម៉ាទ្រីសមិនសូន្យ ចំណាត់ថ្នាក់របស់វាមិនតិចជាងមួយទេ។

អនីតិជននៃលំដាប់ទីពីរ គឺខុសពីសូន្យ ដូច្នេះ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស A គឺយ៉ាងហោចណាស់ពីរ។ យើងបន្តទៅការរាប់អនីតិជនលំដាប់ទីបី។ សរុបនៃពួកគេ។ វត្ថុ។

អនីតិជនលំដាប់ទីបីទាំងអស់គឺស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺពីរ។

ចម្លើយ៖

ចំណាត់ថ្នាក់ (A) = 2 ។

ការស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃព្រំដែនអនីតិជន។

មានវិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀតសម្រាប់ការស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានលទ្ធផលជាមួយនឹងការងារគណនាតិច។

វិធីសាស្រ្តបែបនេះគឺមួយ។ វិធីសាស្ត្រគែមតូច.

តោះដោះស្រាយជាមួយ គំនិតនៃគែមតូច.

វាត្រូវបានគេនិយាយថាអនីតិជន M ok នៃលំដាប់ទី (k+1) នៃម៉ាទ្រីស A មានព្រំប្រទល់ M នៃលំដាប់ k នៃម៉ាទ្រីស A ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសដែលត្រូវគ្នានឹងអនីតិជន M ok "មាន" ម៉ាទ្រីសដែលត្រូវគ្នានឹងអនីតិជន។ ម.

ម៉្យាងទៀតម៉ាទ្រីសដែលត្រូវគ្នានឹងអនីតិជនដែលមានព្រំប្រទល់ M ត្រូវបានទទួលពីម៉ាទ្រីសដែលត្រូវនឹងអនីតិជន M ok ដោយលុបធាតុនៃជួរមួយ និងជួរឈរមួយ។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាម៉ាទ្រីស ហើយយកលំដាប់ទីពីរជាអនីតិជន។ ចូរយើងសរសេរអនីតិជនជាប់ព្រំដែនទាំងអស់គ្នា៖

វិធីសាស្រ្តនៃការដាក់ព្រំដែនអនីតិជនគឺមានភាពយុត្តិធម៌ដោយទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម (យើងបង្ហាញទម្រង់របស់វាដោយគ្មានភស្តុតាង)។

ទ្រឹស្តីបទ។

ប្រសិនបើអនីតិជនទាំងអស់ដែលមានព្រំប្រទល់អនីតិជននៃលំដាប់ kth នៃម៉ាទ្រីស A នៃលំដាប់ p ដោយ n គឺស្មើនឹងសូន្យ នោះអនីតិជនទាំងអស់នៃលំដាប់ (k+1) នៃម៉ាទ្រីស A គឺស្មើនឹងសូន្យ។

ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស វាមិនចាំបាច់ឆ្លងកាត់អនីតិជនទាំងអស់ដែលមានព្រំដែនគ្រប់គ្រាន់នោះទេ។ ចំនួនអនីតិជនជាប់នឹងអនីតិជននៃលំដាប់ kth នៃម៉ាទ្រីស A នៃលំដាប់ ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត . ចំណាំថាមិនមានអនីតិជនទៀតទេដែលជាប់នឹងលំដាប់ k-th អនីតិជននៃម៉ាទ្រីស A ជាងមាន (k + 1) អនីតិជននៃម៉ាទ្រីស A ។ ដូច្នេះហើយ ក្នុងករណីភាគច្រើន ការប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការដាក់ព្រំដែនអនីតិជនគឺទទួលបានផលចំណេញច្រើនជាងការរាប់អនីតិជនទាំងអស់ដោយសាមញ្ញ។

ចូរបន្តទៅការស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃព្រំដែនអនីតិជន។ សូម​ពណ៌នា​ដោយ​សង្ខេប ក្បួនដោះស្រាយវិធីសាស្រ្តនេះ។

ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស A មិនសូន្យ នោះជាអនីតិជនលំដាប់ទីមួយ យើងយកធាតុណាមួយនៃម៉ាទ្រីស A ដែលខុសពីសូន្យ។ សូមក្រឡេកមើលអនីតិជនដែលជាប់ព្រំដែនរបស់វា។ ប្រសិនបើពួកវាទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ នោះចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺស្មើនឹងមួយ។ ប្រសិនបើមានអនីតិជនដែលមិនមានព្រំដែនយ៉ាងហោចណាស់មួយ (លំដាប់របស់វាគឺពីរ) បន្ទាប់មកយើងបន្តពិចារណាអនីតិជនដែលជាប់ព្រំដែនរបស់វា។ ប្រសិនបើពួកគេទាំងអស់គឺសូន្យ នោះចំណាត់ថ្នាក់(A) = 2 ។ ប្រសិនបើអនីតិជនជាប់ព្រំដែនយ៉ាងហោចណាស់មួយគឺមិនសូន្យ (លំដាប់របស់វាគឺបី) នោះយើងចាត់ទុកអនីតិជនជាប់ព្រំដែនរបស់វា។ ល​ល។ ជាលទ្ធផល Rank(A) = k ប្រសិនបើអនីតិជនជាប់ព្រំដែនទាំងអស់នៃ (k + 1)th លំដាប់នៃម៉ាទ្រីស A គឺស្មើនឹងសូន្យ ឬ Rank(A) = min(p, n) ប្រសិនបើមិនមាន សូន្យអនីតិជនជាប់នឹងលំដាប់អនីតិជន (min(p,n) – 1) ។

សូមក្រឡេកមើលវិធីសាស្រ្តនៃព្រំដែនអនីតិជន ដើម្បីស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដោយប្រើឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស ដោយវិធីសាស្រ្តនៃព្រំដែនអនីតិជន។

ដំណោះស្រាយ។

ដោយសារធាតុ 1 1 នៃម៉ាទ្រីស A គឺមិនមែនសូន្យ យើងយកវាជាអនីតិជនលំដាប់ទីមួយ។ ចូរចាប់ផ្តើមស្វែងរកអនីតិជនដែលមានព្រំដែនដែលខុសពីសូន្យ៖

អនីតិជនគែមនៃលំដាប់ទីពីរ ដែលខុសពីសូន្យត្រូវបានរកឃើញ។ សូមក្រឡេកមើលអនីតិជនជាប់ព្រំដែនរបស់វា (របស់ពួកគេ។ វត្ថុ):

អនីតិជនទាំងអស់ដែលមានព្រំប្រទល់នឹងអនីតិជនលំដាប់ទីពីរគឺស្មើនឹងសូន្យ ដូច្នេះ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស A គឺស្មើនឹងពីរ។

ចម្លើយ៖

ចំណាត់ថ្នាក់ (A) = 2 ។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស ដោយប្រើអនីតិជនជាប់ព្រំដែន។

ដំណោះស្រាយ។

ក្នុងនាមជាអនីតិជនដែលមិនមែនជាសូន្យនៃលំដាប់ទីមួយ យើងយកធាតុ 1 1 = 1 នៃម៉ាទ្រីស A ។ អនីតិជនជុំវិញនៃលំដាប់ទីពីរ មិនស្មើនឹងសូន្យ។ អនីតិជននេះមានព្រំប្រទល់ដោយអនីតិជនលំដាប់ទីបី
. ដោយសារវាមិនស្មើនឹងសូន្យ ហើយមិនមានអនីតិជនជាប់ព្រំដែនតែមួយសម្រាប់វា ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស A គឺស្មើនឹងបី។

ចម្លើយ៖

ចំណាត់ថ្នាក់(A) = ៣.

ការស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់ដោយប្រើការផ្លាស់ប្តូរម៉ាទ្រីសបឋម (វិធីសាស្ត្រ Gauss) ។

ចូរយើងពិចារណាវិធីមួយផ្សេងទៀតដើម្បីស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសមួយ។

ការបំប្លែងម៉ាទ្រីសខាងក្រោមត្រូវបានគេហៅថាបឋម៖

• ការរៀបចំជួរដេកឡើងវិញ (ឬជួរឈរ) នៃម៉ាទ្រីស;
• គុណធាតុទាំងអស់នៃជួរណាមួយ (ជួរ) នៃម៉ាទ្រីសដោយចំនួនបំពាន k ខុសពីសូន្យ។
• ការបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរដេកមួយ (ជួរឈរ) ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរផ្សេងទៀត (ជួរឈរ) នៃម៉ាទ្រីស គុណនឹងចំនួនបំពាន k ។

ម៉ាទ្រីស B ត្រូវបានគេហៅថាសមមូលទៅនឹងម៉ាទ្រីស Aប្រសិនបើ B ត្រូវបានទទួលពី A ដោយប្រើចំនួនកំណត់នៃការបំប្លែងបឋម។ សមមូលនៃម៉ាទ្រីសត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា "~" ដែលសរសេរ A ~ B ។

ការស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដោយប្រើការបំប្លែងម៉ាទ្រីសបឋមគឺផ្អែកលើសេចក្តីថ្លែងការណ៍៖ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស B ត្រូវបានទទួលពីម៉ាទ្រីស A ដោយប្រើចំនួនកំណត់នៃការបំប្លែងបឋម បន្ទាប់មក Rank(A) = Rank(B) ។

សុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ ធ្វើឡើងពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស៖

• នៅពេលរៀបចំជួរដេក (ឬជួរឈរ) នៃម៉ាទ្រីសឡើងវិញ កត្តាកំណត់របស់វាផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា។ ប្រសិនបើវាស្មើនឹងសូន្យ នោះនៅពេលដែលជួរដេក (ជួរឈរ) ត្រូវបានតម្រៀបឡើងវិញ វានៅតែស្មើសូន្យ។
• នៅពេលគុណធាតុទាំងអស់នៃជួរណាមួយ (ជួរ) នៃម៉ាទ្រីសដោយលេខបំពាន k ផ្សេងពីសូន្យ កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផលគឺស្មើនឹងកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដើមដែលគុណនឹង k ។ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដើមគឺស្មើនឹងសូន្យ នោះបន្ទាប់ពីគុណធាតុទាំងអស់នៃជួរ ឬជួរឈរណាមួយដោយលេខ k កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផលក៏នឹងស្មើនឹងសូន្យផងដែរ។
• ការបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរជាក់លាក់មួយ (ជួរ) នៃម៉ាទ្រីស ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរផ្សេងទៀត (ជួរ) នៃម៉ាទ្រីស ដែលគុណនឹងចំនួនជាក់លាក់ k មិនផ្លាស់ប្តូរកត្តាកំណត់របស់វាទេ។

ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋមមាននៅក្នុងការកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសដែលយើងត្រូវស្វែងរកទៅ trapezoidal (ក្នុងករណីជាក់លាក់មួយទៅត្រីកោណខាងលើ) ដោយប្រើការបំប្លែងបឋម។

ហេតុអ្វីបានជានេះត្រូវបានធ្វើ? ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនៃប្រភេទនេះគឺងាយស្រួលរកណាស់។ វាស្មើនឹងចំនួនបន្ទាត់ដែលមានធាតុមិនសូន្យយ៉ាងហោចណាស់មួយ។ ហើយចាប់តាំងពីចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសមិនផ្លាស់ប្តូរនៅពេលអនុវត្តការបំប្លែងបឋម តម្លៃលទ្ធផលនឹងជាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដើម។

យើងផ្តល់រូបភាពនៃម៉ាទ្រីស ដែលមួយគួរទទួលបានបន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរ។ រូបរាងរបស់ពួកគេអាស្រ័យលើលំដាប់នៃម៉ាទ្រីស។

រូបភាពទាំងនេះគឺជាគំរូដែលយើងនឹងបំប្លែងម៉ាទ្រីស A ។

ចូរពណ៌នា ក្បួនដោះស្រាយវិធីសាស្រ្ត.

អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលមិនមែនជាសូន្យនៃលំដាប់ A (p អាចស្មើនឹង n) ។

ដូច្នេះ, ។ ចូរគុណធាតុទាំងអស់នៃជួរទីមួយនៃម៉ាទ្រីស A ដោយ . ក្នុង​ករណី​នេះ យើង​ទទួល​បាន​ម៉ាទ្រីស​សមមូល ដោយ​បញ្ជាក់​ថា A (1)៖

ទៅធាតុនៃជួរទីពីរនៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផល A (1) យើងបន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីមួយគុណនឹង . ទៅធាតុនៃជួរទីបី យើងបន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីមួយ គុណនឹង . ហើយបន្តរហូតដល់បន្ទាត់ p-th ។ ចូរយើងទទួលបានម៉ាទ្រីសសមមូល សម្គាល់វា A (2)៖

ប្រសិនបើធាតុទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផលដែលមានទីតាំងនៅជួរពីទីពីរដល់ p-th គឺស្មើនឹងសូន្យ នោះចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនេះគឺស្មើនឹងមួយ ហើយជាលទ្ធផលចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដើមគឺស្មើគ្នា។ ទៅមួយ។

ប្រសិនបើនៅក្នុងបន្ទាត់ពីទីពីរដល់ p-th មានធាតុមិនសូន្យយ៉ាងហោចណាស់មួយ នោះយើងបន្តអនុវត្តការបំប្លែង។ លើសពីនេះទៅទៀត យើងធ្វើសកម្មភាពតាមរបៀបដូចគ្នា ប៉ុន្តែមានតែផ្នែកនៃម៉ាទ្រីស A (2) ដែលសម្គាល់ក្នុងរូប។

ប្រសិនបើ នោះយើងរៀបចំជួរដេក និង (ឬ) ជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស A (2) ឡើងវិញ ដើម្បីឱ្យធាតុ "ថ្មី" ក្លាយជាមិនមែនសូន្យ។

ដូច្នេះ, ។ យើងគុណធាតុនីមួយៗនៃជួរទីពីរនៃម៉ាទ្រីស A (2) ដោយ . យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសសមមូល A (3)៖

ទៅធាតុនៃជួរទីបីនៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផល A (3) យើងបន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីពីរគុណនឹង . ទៅធាតុនៃជួរទីបួន យើងបន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីពីរ គុណនឹង . ហើយបន្តរហូតដល់បន្ទាត់ p-th ។ ចូរយើងទទួលបានម៉ាទ្រីសសមមូល សម្គាល់វា A (4)៖

ប្រសិនបើធាតុទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផលដែលមានទីតាំងនៅជួរពីទីបីទៅ p-th គឺស្មើនឹងសូន្យនោះចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនេះគឺស្មើនឹងពីរហើយដូច្នេះ Rank(A) = 2 ។

ប្រសិនបើបន្ទាត់ពីទីបីទៅ p-th មានធាតុមិនសូន្យយ៉ាងហោចណាស់មួយ នោះយើងបន្តអនុវត្តការបំប្លែង។ ជាងនេះទៅទៀត យើងធ្វើសកម្មភាពតាមរបៀបដូចគ្នា ប៉ុន្តែមានតែផ្នែកនៃម៉ាទ្រីសដែលសម្គាល់ក្នុងរូបប៉ុណ្ណោះ។

ធាតុគឺមិនមែនសូន្យទេ ដូច្នេះយើងអាចគុណធាតុនៃជួរទីពីរនៃម៉ាទ្រីស A (2) ដោយ៖

ទៅធាតុនៃជួរទីបីនៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផល យើងបន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីពីរ គុណនឹង ; ទៅធាតុនៃជួរទីបួន - ធាតុនៃជួរទីពីរគុណនឹង ; ទៅធាតុនៃជួរទីប្រាំ - ធាតុនៃជួរទីពីរគុណនឹង:

ធាតុទាំងអស់នៃជួរទីបី ទីបួន និងទីប្រាំនៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផលគឺស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះដោយប្រើការបំប្លែងបឋម យើងបាននាំយកម៉ាទ្រីស A ទៅជាទម្រង់ trapezoidal ដែលវាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថា Rank(A (4)) = 2 ។ ដូច្នេះចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដើមក៏មានពីរ។

ដូច្នេះជួរឈរទីមួយត្រូវបានបម្លែងទៅជាទម្រង់ដែលចង់បាន។

ធាតុនៅក្នុងម៉ាទ្រីសលទ្ធផលគឺខុសគ្នាពីសូន្យ។ គុណធាតុនៃជួរទីពីរដោយ៖

ជួរ​ឈរ​ទីពីរ​នៃ​ម៉ាទ្រីស​លទ្ធផល​មាន​ទម្រង់​ដែល​ចង់​បាន ដោយ​ហេតុ​ថា​ធាតុ​ស្មើ​នឹង​សូន្យ​រួច​ហើយ។

ចាប់តាំងពី , a , បន្ទាប់មកប្តូរជួរទីបី និងទីបួន៖

ចូរគុណជួរទីបីនៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផលដោយ៖

នេះបញ្ចប់ការផ្លាស់ប្តូរ។ យើងទទួលបាន Rank(A(5))=3 ដូច្នេះ Rank(A)=3។

ចម្លើយ៖

ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដើមគឺបី។

សង្ខេប។

យើងបានពិនិត្យមើលគោលគំនិតនៃចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស ហើយមើលវិធីបីយ៉ាងដើម្បីស្វែងរកវា៖

• តាមនិយមន័យដោយការរាប់អនីតិជនទាំងអស់;
• វិធីសាស្រ្តនៃព្រំដែនអនីតិជន;
• ដោយវិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម។

វាត្រូវបានណែនាំឱ្យប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបំប្លែងបឋមជានិច្ចនៅពេលស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស ព្រោះវានាំឱ្យទទួលបានលទ្ធផលជាមួយនឹងការគណនាតិចជាងបើប្រៀបធៀបទៅនឹងវិធីសាស្ត្រនៃអនីតិជនដែលមានព្រំប្រទល់ ហើយលើសពីនេះទៅទៀត នៅក្នុងការប្រៀបធៀបជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តនៃការរាប់អនីតិជនទាំងអស់នៃ ម៉ាទ្រីសមួយ។

បឋមសិក្សាការបំប្លែងម៉ាទ្រីសខាងក្រោមត្រូវបានគេហៅថា៖

1) ការផ្លាស់ប្តូរជួរទាំងពីរ (ឬជួរឈរ)

2) គុណជួរ (ឬជួរឈរ) ដោយលេខមិនសូន្យ

3) ការបន្ថែមទៅជួរដេកមួយ (ឬជួរឈរ) ជួរដេកមួយទៀត (ឬជួរឈរ) គុណនឹងចំនួនជាក់លាក់មួយ។

ម៉ាទ្រីសទាំងពីរត្រូវបានគេហៅថា សមមូលប្រសិនបើមួយក្នុងចំណោមពួកគេត្រូវបានទទួលពីផ្សេងទៀតដោយប្រើសំណុំកំណត់នៃការបំប្លែងបឋម។

ម៉ាទ្រីសសមមូលមិនមែននិយាយជាទូទៅស្មើទេ ប៉ុន្តែចំណាត់ថ្នាក់របស់វាស្មើគ្នា។ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស A និង B គឺសមមូល នោះវាត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ A ~ B ។

Canonicalម៉ាទ្រីស​គឺ​ជា​ម៉ាទ្រីស​ដែល​នៅ​ដើម​អង្កត់ទ្រូង​មេ​មាន​មួយ​ចំនួន​ក្នុង​ជួរ​គ្នា (ចំនួន​ដែល​អាច​ជា​សូន្យ) ហើយ​ធាតុ​ផ្សេង​ទៀត​គឺ​ស្មើ​នឹង​សូន្យ​ឧទាហរណ៍

ដោយប្រើការបំប្លែងបឋមនៃជួរដេក និងជួរឈរ ម៉ាទ្រីសណាមួយអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជា Canonical ។ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស Canonical គឺស្មើនឹងចំនួនមួយនៅលើអង្កត់ទ្រូងចម្បងរបស់វា។

ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស

ក =

ហើយនាំវាទៅជាទម្រង់ Canonical ។

ដំណោះស្រាយ។ពីជួរទីពីរ ដកទីមួយ ហើយរៀបចំបន្ទាត់ទាំងនេះឡើងវិញ៖

.

ឥឡូវនេះពីជួរទីពីរ និងទីបី យើងដកទីមួយ គុណនឹង 2 និង 5 រៀងគ្នា៖

;

ដកទីមួយចេញពីជួរទីបី; យើងទទួលបានម៉ាទ្រីស

ខ = ,

ដែលស្មើនឹងម៉ាទ្រីស A ព្រោះវាត្រូវបានទទួលពីវាដោយប្រើសំណុំកំណត់នៃការបំប្លែងបឋម។ ជាក់ស្តែង ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស B គឺ 2 ដូច្នេះហើយ r(A)=2។ ម៉ាទ្រីស B អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយយ៉ាងងាយស្រួលទៅជា Canonical ។ ដោយការដកជួរទីមួយ គុណនឹងលេខដែលសមស្រប ពីលេខបន្ទាប់ទាំងអស់ យើងប្រែទៅជាសូន្យធាតុទាំងអស់នៃជួរទីមួយ លើកលែងតែទីមួយ ហើយធាតុនៃជួរដែលនៅសល់មិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ បន្ទាប់មក ដកជួរទីពីរ គុណនឹងលេខសមស្រប ពីលេខបន្ទាប់ទាំងអស់ យើងបង្វែរទៅសូន្យធាតុទាំងអស់នៃជួរទីពីរ លើកលែងតែទីពីរ ហើយទទួលបានម៉ាទ្រីស Canonical៖

.

Kronecker - ទ្រឹស្តីបទ Capelli- លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យភាពត្រូវគ្នាសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ៖

ដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធនេះស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសចម្បងរបស់វា។

ភស្តុតាង (លក្ខខណ្ឌភាពឆបគ្នានៃប្រព័ន្ធ)

ភាព​ចាំបាច់

អនុញ្ញាតឱ្យ ប្រព័ន្ធរួម បន្ទាប់មកមានលេខបែបនេះ។ ដូច្នេះ ជួរ​ឈរ​គឺ​ជា​ការ​ផ្សំ​លីនេអ៊ែរ​នៃ​ជួរ​ឈរ​នៃ​ម៉ាទ្រីស។ ពីការពិតដែលថាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេប្រសិនបើជួរដេក (ជួរឈរ) ត្រូវបានលុបឬបន្ថែមពីប្រព័ន្ធនៃជួរដេករបស់វា (ជួរឈរ) ដែលជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃជួរដេកផ្សេងទៀត (ជួរឈរ) វាធ្វើតាមនោះ។

ភាពគ្រប់គ្រាន់

អនុញ្ញាតឱ្យ។ ចូរយើងយកអនីតិជនជាមូលដ្ឋានមួយចំនួននៅក្នុងម៉ាទ្រីស។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមក វាក៏នឹងក្លាយជាអនីតិជនមូលដ្ឋាននៃម៉ាទ្រីសផងដែរ។ បន្ទាប់មកយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានអនីតិជន

ជួរចុងក្រោយនៃម៉ាទ្រីសនឹងជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃជួរឈរមូលដ្ឋាន ពោលគឺជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស។ ដូច្នេះ ជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌសេរីនៃប្រព័ន្ធ គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស។

ផលវិបាក ចំនួនអថេរសំខាន់ៗប្រព័ន្ធ

ស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃប្រព័ន្ធ។ ប្រព័ន្ធរួម

នឹងត្រូវបានកំណត់ (ដំណោះស្រាយរបស់វាគឺមានតែមួយគត់) ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃប្រព័ន្ធគឺស្មើនឹងចំនួននៃអថេរទាំងអស់របស់វា។

ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការ15 . 2 ការផ្តល់ជូន

ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការ

គឺតែងតែរួមគ្នា។ភស្តុតាង

. សម្រាប់ប្រព័ន្ធនេះ សំណុំលេខ , , , គឺជាដំណោះស្រាយ។

ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការ15 . 3 នៅក្នុងផ្នែកនេះ យើងនឹងប្រើសញ្ញាណម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ៖ .

គឺតែងតែរួមគ្នា។ផលបូកនៃដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនេះ។ ដំណោះស្រាយគុណនឹងលេខក៏ជាដំណោះស្រាយផងដែរ។

. អនុញ្ញាតឱ្យពួកគេបម្រើជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ។ បន្ទាប់មក និង។ អនុញ្ញាតឱ្យ។

បន្ទាប់មក

. អនុញ្ញាតឱ្យពួកគេបម្រើជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ។ បន្ទាប់មក និង។ អនុញ្ញាតឱ្យ។

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក - ដំណោះស្រាយ។15 . 1 សូមឱ្យជាលេខបំពាន។ បន្ទាប់មក

ជាការពិត ការគុណដំណោះស្រាយមិនសូន្យដោយលេខផ្សេងៗ យើងនឹងទទួលបានដំណោះស្រាយផ្សេងៗគ្នា។

និយមន័យ15 . 5 យើងនឹងនិយាយថាដំណោះស្រាយ ទម្រង់ប្រព័ន្ធ ប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ, ប្រសិនបើជួរឈរ បង្កើតប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ហើយដំណោះស្រាយណាមួយចំពោះប្រព័ន្ធ គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃជួរជួរទាំងនេះ។