ម៉ាទ្រីសសមមូល

ដូចដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ អនីតិជននៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ s គឺជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដែលបង្កើតឡើងពីធាតុនៃម៉ាទ្រីសដើមដែលមានទីតាំងនៅប្រសព្វនៃជួរ s និងជួរឈរដែលបានជ្រើសរើសណាមួយ។

និយមន័យ។ នៅក្នុងម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ mn អនីតិជននៃលំដាប់ r ត្រូវបានគេហៅថាជាមូលដ្ឋានប្រសិនបើវាមិនស្មើនឹងសូន្យ ហើយអនីតិជនទាំងអស់នៃលំដាប់ r + 1 និងខ្ពស់ជាងគឺស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមានទាល់តែសោះ ពោលគឺឧ។ r ត្រូវគ្នានឹងទំហំតូចជាងនៃ m ឬ n ។

ជួរឈរ និងជួរនៃម៉ាទ្រីសដែលឈរអនីតិជនមូលដ្ឋាន ត្រូវបានគេហៅថាមូលដ្ឋានផងដែរ។

ម៉ាទ្រីសអាចមានអនីតិជនមូលដ្ឋានផ្សេងៗគ្នាជាច្រើនដែលមានលំដាប់ដូចគ្នា។

និយមន័យ។ លំដាប់នៃអនីតិជនមូលដ្ឋាននៃម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេហៅថា ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស ហើយត្រូវបានតំណាងដោយ Rg A ។

ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃការបំប្លែងម៉ាទ្រីសបឋមគឺថាវាមិនផ្លាស់ប្តូរចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសទេ។

និយមន័យ។ ម៉ាទ្រីសដែលទទួលបានជាលទ្ធផលនៃការបំប្លែងបឋមត្រូវបានគេហៅថាសមមូល។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាម៉ាទ្រីសស្មើគ្នានិងម៉ាទ្រីសសមមូលគឺជាគំនិតខុសគ្នាទាំងស្រុង។

ទ្រឹស្តីបទ។ ចំនួន​ជួរ​ឈរ​ឯករាជ្យ​លីនេអ៊ែរ​ច្រើន​បំផុត​ក្នុង​ម៉ាទ្រីស គឺ​ស្មើ​នឹង​ចំនួន​ជួរ​ដេក​ឯករាជ្យ​លីនេអ៊ែរ។

ដោយសារតែ ការបំប្លែងបឋមមិនផ្លាស់ប្តូរចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសទេ បន្ទាប់មកដំណើរការនៃការស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញយ៉ាងសំខាន់។

ឧទាហរណ៍។ កំណត់ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស។

2. ឧទាហរណ៍៖ កំណត់ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស។

ប្រសិនបើដោយប្រើការបំប្លែងបឋម វាមិនអាចស្វែងរកម៉ាទ្រីសដែលស្មើនឹងដើមបានទេ ប៉ុន្តែមានទំហំតូចជាងនោះ ការស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគួរតែចាប់ផ្តើមដោយការគណនាអនីតិជននៃលំដាប់ខ្ពស់បំផុត។ ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ ទាំងនេះគឺជាអនីតិជននៃលំដាប់ 3. ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកគេមិនស្មើនឹងសូន្យ នោះចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺស្មើនឹងលំដាប់នៃអនីតិជននេះ។

ទ្រឹស្តីបទលើមូលដ្ឋានអនីតិជន។

ទ្រឹស្តីបទ។ នៅក្នុងម៉ាទ្រីស A តាមអំពើចិត្ត ជួរឈរនីមួយៗ (ជួរដេក) គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃជួរជួរ (ជួរដេក) ដែលអនីតិជនមូលដ្ឋានស្ថិតនៅ។

ដូច្នេះ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសបំពាន A គឺស្មើនឹងចំនួនអតិបរមានៃជួរដេកឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ (ជួរ) ក្នុងម៉ាទ្រីស។

ប្រសិនបើ A ជាម៉ាទ្រីសការ៉េ និង det A = 0 នោះយ៉ាងហោចណាស់ជួរឈរមួយគឺជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃជួរឈរដែលនៅសល់។ ដូចគ្នានេះដែរគឺជាការពិតសម្រាប់ខ្សែ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះធ្វើតាមពីលក្ខណសម្បត្តិនៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ នៅពេលដែលកត្តាកំណត់ស្មើនឹងសូន្យ។

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធបំពាននៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ដូចដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស និងវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer អាចអនុវត្តបានតែចំពោះប្រព័ន្ធទាំងនោះនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ដែលចំនួនមិនស្គាល់គឺស្មើនឹងចំនួនសមីការ។ បន្ទាប់យើងពិចារណាប្រព័ន្ធបំពាននៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

និយមន័យ។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការ m ជាមួយ n មិនស្គាល់ក្នុងទម្រង់ទូទៅត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ

ដែល aij ជាមេគុណ និង bi ជាថេរ។ ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធគឺលេខ n ដែលនៅពេលជំនួសទៅក្នុងប្រព័ន្ធ បង្វែរសមីការនីមួយៗរបស់វាទៅជាអត្តសញ្ញាណ។

និយមន័យ។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមួយមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ នោះវាត្រូវបានគេហៅថារួមគ្នា។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមួយមិនមានដំណោះស្រាយតែមួយ នោះវាត្រូវបានគេហៅថាមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។

និយមន័យ។ ប្រព័ន្ធមួយត្រូវបានគេហៅថាកំណត់ថាតើវាមានដំណោះស្រាយតែមួយ និងមិនកំណត់ប្រសិនបើវាមានច្រើនជាងមួយ។

និយមន័យ។ សម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ម៉ាទ្រីស

A = ហៅថាម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ និងម៉ាទ្រីស

A*= ត្រូវបានគេហៅថាម៉ាទ្រីសពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ

និយមន័យ។ ប្រសិនបើ b1, b2, …, bm = 0 នោះប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថា homogeneous ។ ប្រព័ន្ធដូចគ្នាគឺតែងតែស្រប, ដោយសារតែ តែងតែមានដំណោះស្រាយសូន្យ។

ការផ្លាស់ប្តូរប្រព័ន្ធបឋម

ការផ្លាស់ប្តូរបឋមរួមមាន:

1) ការបន្ថែមទៅភាគីទាំងពីរនៃសមីការមួយ ផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃសមីការផ្សេងទៀត គុណនឹងចំនួនដូចគ្នា មិនស្មើនឹងសូន្យ។

2) ការរៀបចំសមីការឡើងវិញ។

3) ការដកចេញពីសមីការប្រព័ន្ធដែលជាអត្តសញ្ញាណសម្រាប់ x ទាំងអស់។

ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Kapeli (លក្ខខណ្ឌស្របគ្នាសម្រាប់ប្រព័ន្ធ) ។

(Leopold Kronecker (1823-1891) គណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់)

ទ្រឹស្តីបទ៖ ប្រព័ន្ធមួយមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា (មានដំណោះស្រាយយ៉ាងតិចមួយ) ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធគឺស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក។

ជាក់ស្តែង ប្រព័ន្ធ (1) អាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់។

គោលដៅភ្លាមៗរបស់យើងគឺដើម្បីបញ្ជាក់ថាម៉ាទ្រីសណាមួយអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារមួយចំនួនដោយប្រើការបំប្លែងបឋម។ ភាសានៃម៉ាទ្រីសសមមូលគឺមានប្រយោជន៍នៅតាមផ្លូវនេះ។

អនុញ្ញាតឱ្យវាក្លាយជា។ យើងនឹងនិយាយថាម៉ាទ្រីសមួយគឺ l_equivalent (p_equivalent ឬសមមូល) ទៅម៉ាទ្រីស ហើយបញ្ជាក់ (ឬ) ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសអាចទទួលបានពីម៉ាទ្រីសដោយប្រើចំនួនកំណត់នៃជួរដេក (ជួរឈរ ឬជួរដេក និងជួរឈររៀងគ្នា) ការបំប្លែងបឋម។ វាច្បាស់ណាស់ថា matrices l_equivalent និង p_equivalent គឺសមមូល។

ដំបូង យើងនឹងបង្ហាញថាម៉ាទ្រីសណាមួយអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ពិសេសដែលហៅថាកាត់បន្ថយដោយការបំប្លែងជួរដេក។

អនុញ្ញាតឱ្យវាក្លាយជា។ ជួរ​មិន​សូន្យ​នៃ​ម៉ាទ្រីស​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​និយាយ​ថា​មាន​ទម្រង់​កាត់​បន្ថយ​ប្រសិន​បើ​វា​មាន​ធាតុ​ស្មើ​នឹង 1 ដែល​ថា​ធាតុ​ទាំងអស់​នៃ​ជួរ​ឈរ​ក្រៅពី​ស្មើ​នឹង​សូន្យ។ យើង​នឹង​ហៅ​ធាតុ​តែមួយ​ដែល​សម្គាល់​នៃ​បន្ទាត់​ថា​ជា​ធាតុ​នាំមុខ​នៃ​បន្ទាត់​នេះ ហើយ​រុំ​វា​ជា​រង្វង់។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសមានទម្រង់កាត់បន្ថយ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសនេះមានជួរឈរនៃទម្រង់

ឧទាហរណ៍ក្នុងម៉ាទ្រីសខាងក្រោម

បន្ទាត់មានទម្រង់ដូចខាងក្រោម។ ចូរយើងយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតដែលថានៅក្នុងឧទាហរណ៍នេះធាតុមួយក៏ធ្វើពុតជាធាតុនាំមុខនៃបន្ទាត់។ នៅពេលអនាគត ប្រសិនបើបន្ទាត់នៃប្រភេទដែលបានផ្តល់ឱ្យមានធាតុជាច្រើនដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិនាំមុខ យើងនឹងជ្រើសរើសតែមួយក្នុងចំណោមពួកវាក្នុងលក្ខណៈបំពាន។

ម៉ាទ្រីស​ត្រូវ​បាន​គេ​និយាយ​ថា​មាន​ទម្រង់​កាត់​បន្ថយ ប្រសិន​បើ​ជួរ​ដេក​មិន​សូន្យ​នីមួយៗ​មាន​ទម្រង់​កាត់​បន្ថយ។ ឧទាហរណ៍ម៉ាទ្រីស

មានទម្រង់ដូចខាងក្រោម។

សំណើ 1.3 សម្រាប់ម៉ាទ្រីសណាមួយមានម៉ាទ្រីសសមមូលនៃទម្រង់កាត់បន្ថយ។

ជាការពិតណាស់ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសមានទម្រង់ (1.1) ហើយបន្ទាប់ពីអនុវត្តការបំប្លែងបឋមនៅក្នុងវា

យើងទទួលបានម៉ាទ្រីស

ដែលខ្សែអក្សរមានទម្រង់ដូចខាងក្រោម។

ទីពីរ ប្រសិនបើជួរដេកក្នុងម៉ាទ្រីសត្រូវបានកាត់បន្ថយ នោះបន្ទាប់ពីអនុវត្តការបំប្លែងបឋម (1.20) ជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសនឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយ។ ពិតប្រាកដណាស់ ចាប់តាំងពីបានផ្តល់មក មានជួរឈរបែបនេះ

ប៉ុន្តែបន្ទាប់មក និងជាលទ្ធផល បន្ទាប់ពីអនុវត្តការបំប្លែង (1.20) ជួរឈរមិនផ្លាស់ប្តូរទេ i.e. . ដូច្នេះបន្ទាត់មានទម្រង់ដូចខាងក្រោម។

ឥឡូវនេះវាច្បាស់ណាស់ថាដោយការបំប្លែងជួរមិនសូន្យនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសនៅក្នុងវេនតាមរបៀបខាងលើ បន្ទាប់ពីចំនួនជំហានកំណត់មួយ យើងនឹងទទួលបានម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់កាត់បន្ថយ។ ដោយសារ​តែ​ការ​បំប្លែង​បឋម​នៃ​ជួរ​ដេក​ប៉ុណ្ណោះ​ត្រូវ​បាន​ប្រើ​ដើម្បី​ទទួល​បាន​ម៉ាទ្រីស វា​ស្មើ​នឹង​ម៉ាទ្រីស។ >

ឧទាហរណ៍ 7. សង់ម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់កាត់បន្ថយ l_សមមូលទៅនឹងម៉ាទ្រីស

គោលគំនិតនៃសមភាព និងសមមូលនៃម៉ាទ្រីសត្រូវបានជួបប្រទះជាញឹកញាប់។

និយមន័យ ១

ម៉ាទ្រីស $A=\left(a_(ij)\right)_(m\times n)$ ត្រូវ​បាន​គេ​និយាយ​ថា​ស្មើ​នឹង​ម៉ាទ្រីស $B=\left(b_(ij)\right)_(k\times l ) $ ប្រសិនបើវិមាត្ររបស់ពួកគេ $(m=k,n=l)$ ស្របគ្នា ហើយធាតុដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីសប្រៀបធៀបគឺស្មើគ្នា។

សម្រាប់ម៉ាទ្រីសលំដាប់ទី 2 ដែលសរសេរជាទម្រង់ទូទៅ សមភាពនៃម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ

ឧទាហរណ៍ ១

ម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

1) $A=\left(\begin(array)(cc)(2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right), B=\left(\begin( array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right)$;

2) $A=\left(\begin(array)(cc)(2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right), B=\left(\begin( array)(c) (-3) \\ (2) \end(array)\right)$;

3) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right), B=\left(\begin( array)(cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \end(array)\right)$ ។

កំណត់ថាតើម៉ាទ្រីសស្មើគ្នា។

1) $A=\left(\begin(array)(cc)(2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right), B=\left(\begin( អារេ)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right)$

Matrices A និង B មានលំដាប់ដូចគ្នា ស្មើនឹង 2$\times $2។ ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីសដែលកំពុងត្រូវបានប្រៀបធៀបគឺស្មើគ្នា ដូច្នេះម៉ាទ្រីសគឺស្មើគ្នា។

2) $A=\left(\begin(array)(cc)(2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right), B=\left(\begin( array)(c) (-3) \\ (2) \end(array)\right)$

Matrices A និង B មាន​ការ​បញ្ជា​ទិញ​ខុស​គ្នា ស្មើ​នឹង 2$\times $2 និង 2$\times $1 រៀងគ្នា។

3) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right), B=\left(\begin( array)(cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \end(array)\right)$

Matrices A និង B មានលំដាប់ដូចគ្នា ស្មើនឹង 2$\times $2។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមែនធាតុដែលត្រូវគ្នាទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសដែលត្រូវបានប្រៀបធៀបគឺស្មើគ្នាទេ ដូច្នេះ ម៉ាទ្រីសមិនស្មើគ្នាទេ។

និយមន័យ ២

ការបំប្លែងម៉ាទ្រីសបឋមគឺជាការបំប្លែងដែលរក្សាភាពស្មើគ្នានៃម៉ាទ្រីស។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ការបំប្លែងបឋមមិនផ្លាស់ប្តូរសំណុំនៃដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ (SLAE) ដែលម៉ាទ្រីសនេះតំណាងឱ្យនោះទេ។

ការបំប្លែងបឋមនៃជួរម៉ាទ្រីសរួមមានៈ

• គុណជួរនៃម៉ាទ្រីសដោយចំនួន $k$ ដែលមិនស្មើនឹងសូន្យ (កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសកើនឡើងដោយ $k$ ដង);
• ការផ្លាស់ប្តូរពីរជួរនៃម៉ាទ្រីសមួយ;
• ការបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរដេកមួយនៃម៉ាទ្រីស ធាតុនៃជួរមួយទៀត។

ដូចគ្នានេះដែរអនុវត្តចំពោះជួរឈរម៉ាទ្រីស ហើយត្រូវបានគេហៅថាការផ្លាស់ប្តូរជួរឈរបឋម។

និយមន័យ ៣

ប្រសិនបើយើងផ្លាស់ទីពីម៉ាទ្រីស A ដោយប្រើការបំប្លែងបឋមទៅម៉ាទ្រីស B នោះម៉ាទ្រីសដើម និងលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថាសមមូល។ ដើម្បីបង្ហាញពីសមមូលនៃម៉ាទ្រីស ប្រើសញ្ញា "$ \sim$" ឧទាហរណ៍ $A\sim B$ ។

ឧទាហរណ៍ ២

ដែលបានផ្ដល់ឱ្យម៉ាទ្រីស៖ $A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2) & (3) \end(array)\right)$ ។

អនុវត្តការបំប្លែងបឋមនៃជួរម៉ាទ្រីសម្តងមួយៗ។

ចូរប្តូរជួរទីមួយ និងជួរទីពីរនៃម៉ាទ្រីស A៖

គុណជួរទីមួយនៃម៉ាទ្រីស B ដោយលេខ 2៖

តោះបន្ថែមជួរទីមួយជាមួយជួរទីពីរនៃម៉ាទ្រីស៖

និយមន័យ ៤

ម៉ាទ្រីស​ជំហាន​គឺ​ជា​ម៉ាទ្រីស​ដែល​បំពេញ​លក្ខខណ្ឌ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

• ប្រសិនបើ​មាន​ជួរ​សូន្យ​ក្នុង​ម៉ាទ្រីស ជួរ​ទាំងអស់​ខាងក្រោម​វា​ក៏​សូន្យ​ដែរ​។
• ធាតុ​មិន​សូន្យ​ដំបូង​នៃ​បន្ទាត់​មិន​សូន្យ​នីមួយៗ​ត្រូវ​តែ​មាន​ទីតាំង​នៅ​ខាង​ស្ដាំ​នៃ​ធាតុ​ឈាន​មុខ​គេ​ក្នុង​បន្ទាត់​ដែល​នៅ​ខាង​លើ​នេះ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ម៉ាទ្រីស $A=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & ( 3) \end(array)\right)$ និង $B=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & (0) \end(array)\right)$ គឺជាម៉ាទ្រីស echelon ។

មតិយោបល់

អ្នកអាចកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ echelon ដោយប្រើការបំប្លែងសមមូល។

ឧទាហរណ៍ 4

ដែលបានផ្ដល់ឱ្យម៉ាទ្រីស៖ $A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2) & (3) \end(array)\right)$ ។ កាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់មួយជំហាន។

ចូរប្តូរជួរទីមួយ និងទីពីរនៃម៉ាទ្រីស A៖

ចូរគុណជួរទីមួយនៃម៉ាទ្រីស B ដោយលេខ 2 ហើយបន្ថែមវាទៅជួរទីពីរ៖

ចូរគុណជួរទីមួយនៃម៉ាទ្រីស C ដោយលេខ -1 ហើយបន្ថែមវាទៅជួរទីបី៖

ចូរគុណជួរទីពីរនៃម៉ាទ្រីស D ដោយលេខ -2 ហើយបន្ថែមវាទៅជួរទីបី៖

$K=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) & (- 20) \end(array)\right)$ គឺជាម៉ាទ្រីសនៃប្រភេទ echelon ។