នៅក្រោម មិនសមហេតុផលយល់ពីកន្សោមដែលអថេរឯករាជ្យ %%x%% ឬពហុនាម %%P_n(x)%% នៃដឺក្រេ %%n \in \mathbb(N)%% ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្រោមសញ្ញា រ៉ាឌីកាល់(មកពីឡាតាំង រ៉ាឌីក- ឫស), i.e. ឡើងដល់អំណាចប្រភាគ។ តាមរយៈការជំនួសអថេរ ថ្នាក់មួយចំនួននៃអាំងតេក្រាលដែលមិនសមហេតុផលទាក់ទងនឹង %%x%% អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាកន្សោមសមហេតុផលទាក់ទងនឹងអថេរថ្មី។

គោលគំនិតនៃអនុគមន៍សមហេតុផលនៃអថេរមួយអាចត្រូវបានពង្រីកទៅអាគុយម៉ង់ច្រើន។ ប្រសិនបើសម្រាប់អាគុយម៉ង់នីមួយៗ %%u, v, \dotsc, w%% នៅពេលគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ មានតែប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ និងការកើនឡើងដល់ចំនួនគត់ត្រូវបានផ្តល់ នោះយើងនិយាយអំពីអនុគមន៍សនិទាននៃអាគុយម៉ង់ទាំងនេះ ដែលជាធម្មតា តំណាង %%R(u, v, \ dotsc, w)%% ។ អាគុយម៉ង់នៃអនុគមន៍បែបនេះអាចជាមុខងារនៃអថេរឯករាជ្យ %%x%% រួមទាំងរ៉ាឌីកាល់នៃទម្រង់ %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%% ។ ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍សមហេតុផល $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ ជាមួយ %%u = x, v = \sqrt(x)%% និង %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% ជាអនុគមន៍សមហេតុផលនៃ $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ ពី %%x%% និងរ៉ាឌីកាល់ %%\sqrt(x)%% និង %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, ខណៈពេលដែលមុខងារ %%f(x)%% នឹងជាអនុគមន៍មិនសមហេតុផល (ពិជគណិត) នៃអថេរឯករាជ្យមួយ %%x%%។

តោះពិចារណាអាំងតេក្រាលនៃទម្រង់ %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. អាំងតេក្រាលបែបនេះត្រូវបានសមហេតុផលដោយការជំនួសអថេរ %%t = \sqrt[n](x)%%, បន្ទាប់មក %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរក %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%% ។

អាំងតេក្រាលនៃអាគុយម៉ង់ដែលចង់បានត្រូវបានសរសេរជាមុខងារនៃរ៉ាឌីកាល់ដឺក្រេ %% 2%% និង %% 3%% ។ ដោយសារពហុគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃ %%2%% និង %%3%% គឺ %%6%% អាំងតេក្រាលនេះគឺជាអាំងតេក្រាលនៃប្រភេទ %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% និងអាចត្រូវបានសមហេតុផលដោយជំនួស %%\sqrt(x) = t%%. បន្ទាប់មក %%x = t^6, \mathrm(d)x=6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%។ ដូច្នេះ $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5\mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ តោះយក %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% និង $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) +1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt(x) +1\right| + C \\ បញ្ចប់ (អារេ) $$

អាំងតេក្រាលនៃទម្រង់ %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% គឺជាករណីពិសេសនៃភាពមិនសមហេតុផលលីនេអ៊ែរប្រភាគ ឧ. អាំងតេក្រាលនៃទម្រង់ %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, ដែល %% ad - bc \neq 0%%, ដែលអាចត្រូវបានសមហេតុផលដោយជំនួសអថេរ %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, បន្ទាប់មក %%x = \dfrac (dt^n-b)(a - ct^n)%%។ បន្ទាប់មក $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរក %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%។

តោះយក %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, បន្ទាប់មក %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x=-\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2)។ \end(array) $$ ដូច្នេះ $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1+t^2\right)^2 )\right) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$

ចូរយើងពិចារណាអំពីអាំងតេក្រាលនៃទម្រង់ %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% ។ ក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុត អាំងតេក្រាលបែបនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាតារាងតារាង ប្រសិនបើបន្ទាប់ពីញែកការ៉េពេញលេញ ការផ្លាស់ប្តូរអថេរត្រូវបានធ្វើឡើង។

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកអាំងតេក្រាល %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%% ។

ដោយពិចារណាថា %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, យើងយក %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, បន្ទាប់មក $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2+4x+5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\left|x+2+\sqrt(x^2+4x+5)\right| + គ. \\ បញ្ចប់ (អារេ) $$

ក្នុងករណីស្មុគ្រស្មាញបន្ថែមទៀត ដើម្បីស្វែងរកអាំងតេក្រាលនៃទម្រង់ %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% ត្រូវបានប្រើ

និយមន័យ ១

សំណុំនៃ antiderivatives ទាំងអស់នៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ $y=f(x)$ ដែលកំណត់លើផ្នែកជាក់លាក់មួយត្រូវបានគេហៅថា អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ $y=f(x)$ ។ អាំងតេក្រាលមិនកំណត់ត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា $\int f(x)dx $ ។

មតិយោបល់

និយមន័យ ២ អាចសរសេរដូចខាងក្រោម៖

\\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

មិនមែនគ្រប់មុខងារមិនសមហេតុផលអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ជាអាំងតេក្រាលតាមរយៈអនុគមន៍បឋមនោះទេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អាំងតេក្រាលទាំងនេះភាគច្រើនអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយប្រើការជំនួសទៅជាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍សនិទាន ដែលអាចបង្ហាញក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍បឋម។

$\int R\left(x,x^(m/n),...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d)\right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s)\right)dx$;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c)\right)dx $។

ខ្ញុំ

នៅពេលស្វែងរកអាំងតេក្រាលនៃទម្រង់ $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx$ វាចាំបាច់ដើម្បីធ្វើការជំនួសខាងក្រោម៖

ជាមួយនឹងការជំនួសនេះ អំណាចប្រភាគនីមួយៗនៃអថេរ $x$ ត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈថាមពលចំនួនគត់នៃអថេរ $t$ ។ ជាលទ្ធផល អនុគមន៍អាំងតេក្រាដត្រូវបានបំប្លែងទៅជាអនុគមន៍សនិទាននៃអថេរ $t$ ។

ឧទាហរណ៍ ១

ធ្វើសមាហរណកម្ម៖

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) ។\]

ដំណោះស្រាយ៖

$k=4$ គឺជាភាគបែងទូទៅនៃប្រភាគ $\frac(1)(2),\,\,\frac(3)(4)$ ។

\[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2)) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5))(t^(3) +1) dt=4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2))(t^(3)+1)\right)dt=4\int t^(2)dt -4\int \frac(t^(2))(t ^(3) +1) dt = \frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(អារេ)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

II

នៅពេលស្វែងរកអាំងតេក្រាលនៃទម្រង់ $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d)\right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx$ វាចាំបាច់ដើម្បីធ្វើការជំនួសខាងក្រោម៖

ដែល $k$ គឺជាភាគបែងទូទៅនៃប្រភាគ $\frac(m)(n),...,\frac(r)(s) $។

ជាលទ្ធផលនៃការជំនួសនេះ អាំងតេក្រាលត្រូវបានបំលែងទៅជាអនុគមន៍សនិទាននៃអថេរ $t$ ។

ឧទាហរណ៍ ២

ធ្វើសមាហរណកម្ម៖

\\[\int \frac(\sqrt(x+4))(x)dx.\]

ដំណោះស្រាយ៖

ចូរធ្វើការជំនួសខាងក្រោម៖

\[\int \frac(\sqrt(x+4))(x) dx=\int \frac(t^(2))(t^(2) -4) dt=2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]

បន្ទាប់ពីធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស យើងទទួលបានលទ្ធផលចុងក្រោយ៖

\[\int \frac(\sqrt(x+4))(x) dx=2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]

III

នៅពេលស្វែងរកអាំងតេក្រាលនៃទម្រង់ $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c)\right)dx$ អ្វីដែលគេហៅថាការជំនួសអយល័រត្រូវបានអនុវត្ត (ការជំនួសមួយក្នុងចំណោមបីដែលអាចធ្វើបានគឺ បានប្រើ) ។

ការជំនួសដំបូងរបស់អយល័រ

សម្រាប់ករណី $a>

យកសញ្ញា "+" នៅពីមុខ $\sqrt(a) $ យើងទទួលបាន

ឧទាហរណ៍ ៣

ធ្វើសមាហរណកម្ម៖

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c)) .\]

ដំណោះស្រាយ៖

ចូរធ្វើការជំនួសខាងក្រោម (ករណី $a=1>0$)៖

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t),\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2)) dt,\,\, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) ។\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c)) =\int \frac(\frac(t^) (2) +c)(2t^(2)) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t)) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

បន្ទាប់ពីធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស យើងទទួលបានលទ្ធផលចុងក្រោយ៖

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c)) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

ការជំនួសទីពីររបស់អយល័រ

សម្រាប់ករណី $c>0$ ចាំបាច់ត្រូវធ្វើការជំនួសខាងក្រោម៖

យកសញ្ញា "+" នៅពីមុខ $\sqrt(c) $ យើងទទួលបាន

ឧទាហរណ៍ 4

ធ្វើសមាហរណកម្ម៖

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2))))^(2))(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2))) dx .\]

ដំណោះស្រាយ៖

ចូរធ្វើការជំនួសខាងក្រោម៖

\\[\sqrt(1+x+x^(2)) =xt+1.\]

\[\sqrt(1+x+x^(2)) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2)) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2))))^(2))(x^(2)\sqrt(1+x+x^(2))) dx= \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2)) dt =\ int \frac(t^(2))(1-t^(2)) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ ដោយបានធ្វើការបញ្ច្រាស់ ការជំនួស យើងទទួលបានលទ្ធផលចុងក្រោយ៖

\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2))))^(2))(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2)) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2)) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2)) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2))) +1) \\right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2)) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2)) +1\right|+C) \end ( អារេ)\]

ការជំនួសទីបីរបស់អយល័រ

អនុគមន៍មិនសមហេតុផលនៃអថេរគឺជាអនុគមន៍មួយដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងពីអថេរ និងអថេរដោយប្រើប្រាស់ចំនួនកំណត់នៃប្រតិបត្តិការបូក ដក គុណ (បង្កើនដល់ចំនួនគត់) ការបែងចែក និងចាក់ឬស។ អនុគមន៍​មិន​សម​ហេតុ​ផល​ខុស​ពី​សនិទានភាព​ដែល​អនុគមន៍​មិន​សម​ហេតុ​ផល​មាន​ប្រតិបត្តិការ​សម្រាប់​ដក​ឫស។

មានមុខងារមិនសមហេតុផលបីប្រភេទសំខាន់ៗ ដែលអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍សនិទាន។ ទាំងនេះគឺជាអាំងតេក្រាលដែលមានឫសនៃអំណាចចំនួនគត់តាមអំពើចិត្តពីអនុគមន៍ប្រភាគលីនេអ៊ែរ (ឫសអាចមានអំណាចខុសៗគ្នា ប៉ុន្តែមកពីអនុគមន៍ប្រភាគលីនេអ៊ែរដូចគ្នា); អាំងតេក្រាលនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល binomial និងអាំងតេក្រាលជាមួយឫសការ៉េនៃត្រីកោណការ៉េ។

ចំណាំសំខាន់។ ឫសមានអត្ថន័យច្រើន!

នៅពេលគណនាអាំងតេក្រាលដែលមានឫស កន្សោមទម្រង់ត្រូវបានជួបប្រទះជាញឹកញាប់ ដែលមុខងារមួយចំនួននៃអថេររួមបញ្ចូល។ វាគួរតែត្រូវបានចងចាំក្នុងចិត្តថា។នោះគឺនៅ t >< 0 , |t| = t. នៅ t 0 0 , |t| = - ធ.< 0 ដូច្នេះនៅពេលគណនាអាំងតេក្រាលបែបនេះ ចាំបាច់ត្រូវពិចារណាករណីដោយឡែកពីគ្នា t > 0 និង t< 0 .

នេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយការសរសេរសញ្ញា ឬកន្លែងណាដែលចាំបាច់។ សន្មតថាសញ្ញាខាងលើសំដៅលើករណី t >

និងទាបជាងមួយ - ទៅករណី t

.
,
ជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរបន្ថែមទៀតសញ្ញាទាំងនេះជាក្បួនលុបចោលគ្នាទៅវិញទៅមក។
វិធីសាស្រ្តទីពីរក៏អាចធ្វើទៅបានផងដែរដែលក្នុងនោះអាំងតេក្រាលនិងលទ្ធផលនៃការរួមបញ្ចូលអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាមុខងារស្មុគស្មាញនៃអថេរស្មុគស្មាញ។ បន្ទាប់មកអ្នកមិនចាំបាច់យកចិត្តទុកដាក់លើសញ្ញានៅក្នុងកន្សោមរ៉ាឌីកាល់នោះទេ។ វិធីសាស្រ្តនេះគឺអាចអនុវត្តបាន ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលគឺវិភាគ នោះគឺជាមុខងារផ្សេងគ្នានៃអថេរស្មុគស្មាញ។ ក្នុងករណីនេះ ទាំងអាំងតេក្រាល និងអាំងតេក្រាលរបស់វាគឺជាមុខងារពហុគុណតម្លៃ។ ដូច្នេះបន្ទាប់ពីសមាហរណកម្ម នៅពេលជំនួសតម្លៃលេខ ចាំបាច់ត្រូវជ្រើសរើសសាខាតម្លៃតែមួយ (ផ្ទៃ Riemann) នៃអាំងតេក្រាល ហើយសម្រាប់វាជ្រើសរើសសាខាដែលត្រូវគ្នានៃលទ្ធផលសមាហរណកម្ម។
ភាពមិនសមហេតុផលលីនេអ៊ែរប្រភាគ

ទាំងនេះគឺជាអាំងតេក្រាលដែលមានឫសពីអនុគមន៍លីនេអ៊ែរប្រភាគដូចគ្នា៖ ដែល R ជាអនុគមន៍សនិទាន គឺលេខសនិទាន m 1, n 1, ..., m s, n s ជាចំនួនគត់, α, β, γ, δ គឺជាចំនួនពិត។) ឬនៅលើអថេររួមបញ្ចូល x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).

នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃអាំងតេក្រាលបែបនេះ៖
, .

អាំងតេក្រាលពីឌីផេរ៉ង់ស្យែល binomials

អាំងតេក្រាលពីឌីផេរ៉ង់ស្យែល binomials មានទម្រង់៖
,
ដែល m, n, p គឺជាលេខសមហេតុផល, a, b គឺជាចំនួនពិត។
អាំងតេក្រាលបែបនេះកាត់បន្ថយទៅជាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍សនិទាននៅក្នុងករណីបី។

1) ប្រសិនបើ p ជាចំនួនគត់។ ជំនួស x = t N ដែល N ជាភាគបែងរួមនៃប្រភាគ m និង n ។
2) ប្រសិនបើ - ចំនួនគត់។ ជំនួស a x n + b = t M ដែល M ជាភាគបែងនៃចំនួន p ។
3) ប្រសិនបើ - ចំនួនគត់។ ជំនួស a + b x − n = t M ដែល M ជាភាគបែងនៃចំនួន p ។

ក្នុងករណីផ្សេងទៀត អាំងតេក្រាលបែបនេះមិនត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈអនុគមន៍បឋមទេ។

ជួនកាលអាំងតេក្រាលបែបនេះអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញដោយប្រើរូបមន្តកាត់បន្ថយ៖
;
.

អាំងតេក្រាលដែលមានឫសការ៉េនៃត្រីកោណការ៉េ

អាំងតេក្រាលបែបនេះមានទម្រង់៖
,
ដែល R ជាអនុគមន៍សមហេតុផល។ សម្រាប់អាំងតេក្រាលបែបនេះនីមួយៗមានវិធីសាស្រ្តជាច្រើនសម្រាប់ដោះស្រាយវា។
1) ការប្រើប្រាស់ការផ្លាស់ប្តូរនាំទៅរកអាំងតេក្រាលសាមញ្ញជាង។
2) អនុវត្តការជំនួសត្រីកោណមាត្រ ឬអ៊ីពែរបូល។
3) អនុវត្តការជំនួសអយល័រ។

សូមក្រឡេកមើលវិធីសាស្រ្តទាំងនេះឱ្យបានលំអិត។

1) ការផ្លាស់ប្តូរមុខងារអាំងតេក្រាល។

ការអនុវត្តរូបមន្ត និងអនុវត្តការបំប្លែងពិជគណិត យើងកាត់បន្ថយអនុគមន៍អាំងតេក្រាលទៅជាទម្រង់៖
,
ដែល φ(x), ω(x) គឺជាអនុគមន៍សនិទាន។

ប្រភេទ I

អាំងតេក្រាលនៃទម្រង់៖
,
ដែល P n (x) ជាពហុនាមនៃដឺក្រេ n ។

អាំងតេក្រាលបែបនេះត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្រនៃមេគុណមិនកំណត់ដោយប្រើអត្តសញ្ញាណ៖

.
ការបែងចែកសមីការនេះ និងសមីការផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំ យើងរកឃើញមេគុណ A i ។

ប្រភេទ II

អាំងតេក្រាលនៃទម្រង់៖
,
ដែល P m (x) គឺជាពហុនាមនៃដឺក្រេ m ។

ការជំនួស t = (x − α) -1អាំងតេក្រាលនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រភេទមុន។ ប្រសិនបើ m ≥ n នោះប្រភាគគួរតែមានផ្នែកចំនួនគត់។

ប្រភេទ III

នៅទីនេះយើងធ្វើការជំនួស៖
.
បន្ទាប់ពីនោះអាំងតេក្រាលនឹងមានទម្រង់៖
.
បន្ទាប់មក ថេរ α, β ត្រូវតែត្រូវបានជ្រើសរើស ដែលមេគុណនៃ t ក្នុងភាគបែងក្លាយជាសូន្យ៖
B = 0, B 1 = 0 ។
បន្ទាប់មកអាំងតេក្រាលរលាយទៅជាផលបូកនៃអាំងតេក្រាលពីរប្រភេទ៖
,
,
ដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលដោយការជំនួស៖
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t −2 ។

2) ការជំនួសត្រីកោណមាត្រ និងអ៊ីពែរបូល

សម្រាប់អាំងតេក្រាលនៃទម្រង់ ក > 0 ,
យើងមានការជំនួសសំខាន់ៗចំនួនបី៖
;
;
;

សម្រាប់អាំងតេក្រាល ក > 0 ,
យើងមានការជំនួសដូចខាងក្រោមៈ
;
;
;

ហើយចុងក្រោយសម្រាប់អាំងតេក្រាល ក > 0 ,
ការជំនួសមានដូចខាងក្រោម៖
;
;
;

3) ការជំនួសអយល័រ

ដូចគ្នានេះផងដែរ អាំងតេក្រាលអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍សនិទាននៃការជំនួសអយល័រមួយក្នុងចំណោមបី៖
, សម្រាប់ a > 0;
, សម្រាប់ c> 0 ;
ដែល x 1 ជាឫសនៃសមីការ a x 2 + b x + c = 0 ។

អាំងតេក្រាលរាងអេលីប

សរុបសេចក្តី សូមពិចារណាអំពីអាំងតេក្រាលនៃទម្រង់៖
,
ដែល R ជាអនុគមន៍សមហេតុផល។

អាំងតេក្រាលបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាពងក្រពើ។ ជាទូទៅ ពួកវាមិនត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈមុខងារបឋមទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយមានករណីជាច្រើននៅពេលដែលមានទំនាក់ទំនងរវាងមេគុណ A, B, C, D, E ដែលអាំងតេក្រាលបែបនេះត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈអនុគមន៍បឋម។
.

ខាងក្រោម​នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​មួយ​ទាក់ទង​នឹង​ពហុនាម​ឆ្លុះ​បញ្ចាំង។ ការគណនានៃអាំងតេក្រាលបែបនេះត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើការជំនួស៖

ឧទាហរណ៍
.

គណនាអាំងតេក្រាល៖

ដំណោះស្រាយ

.
ចូរធ្វើការជំនួស។ 0 នៅទីនេះ x > 0 (u>< 0 ) យកសញ្ញាខាងលើ '+' ។ នៅ x< 0 (អ

.

) - ទាប "-" ។

ចម្លើយ
អក្សរសិល្ប៍ដែលបានប្រើ៖

N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, ការប្រមូលផ្ដុំនៃបញ្ហានៅក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់, “Lan”, ឆ្នាំ 2003 ។

ចំលើយដែលត្រៀមរួចជាស្រេចលើអនុគមន៍រួមបញ្ចូលគឺយកចេញពីការប្រលងសម្រាប់សិស្សឆ្នាំទី 1 និងទី 2 នៃនាយកដ្ឋានគណិតវិទ្យា។ ដើម្បីធានាថារូបមន្តក្នុងបញ្ហា និងចម្លើយមិនធ្វើឡើងវិញនូវលក្ខខណ្ឌនៃកិច្ចការនោះ យើងនឹងមិនសរសេរលក្ខខណ្ឌនោះទេ។ អ្នកដឹងរួចហើយថានៅក្នុងបញ្ហាអ្នកត្រូវ "ស្វែងរកអាំងតេក្រាល" ឬ "គណនាអាំងតេក្រាល" ។ ដូច្នេះហើយ ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការចម្លើយលើការធ្វើសមាហរណកម្ម បន្ទាប់មកចាប់ផ្តើមសិក្សាឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ការរួមបញ្ចូលមុខងារមិនសមហេតុផល

ឧទាហរណ៍ 18. យើងអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរនៅក្រោមអាំងតេក្រាល។ ដើម្បី​សម្រួល​ការ​គណនា យើង​ជ្រើសរើស​មិន​ត្រឹម​តែ​ឫស​ប៉ុណ្ណោះ​ទេ ប៉ុន្តែ​ជា​ភាគបែង​ទាំងមូល​សម្រាប់​អថេរ​ថ្មី។ បន្ទាប់ពីការជំនួសបែបនេះ អាំងតេក្រាលត្រូវបានបំលែងទៅជាផលបូកនៃអាំងតេក្រាលតារាងពីរ ដែលមិនចាំបាច់ធ្វើឱ្យសាមញ្ញនោះទេ។
បន្ទាប់​ពី​ការ​រួម​បញ្ចូល យើង​ជំនួស​ការ​ជំនួស​សម្រាប់​អថេរ។

ឧទាហរណ៍ 19. ពេលវេលា និងលំហជាច្រើនត្រូវបានចំណាយលើការរួមបញ្ចូលមុខងារមិនសមហេតុផលប្រភាគនេះហើយយើងមិនដឹងថាតើអ្នកអាចរកវាចេញពីកុំព្យូទ័របន្ទះឬទូរស័ព្ទបានទេ។ ដើម្បីកម្ចាត់ភាពមិនសមហេតុផល ហើយនៅទីនេះយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយ root cube យើងជ្រើសរើសមុខងារ root ទៅថាមពលទីបីសម្រាប់អថេរថ្មី។ បន្ទាប់យើងរកឃើញឌីផេរ៉ង់ស្យែលហើយជំនួសមុខងារមុនដោយអាំងតេក្រាល។

ផ្នែកដែលប្រើប្រាស់ពេលវេលាច្រើនបំផុតគឺកំណត់ពេលមុខងារថ្មីសម្រាប់ទំនាក់ទំនងថាមពល និងប្រភាគ

បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរ យើងរកឃើញអាំងតេក្រាលមួយចំនួនភ្លាមៗ ហើយយើងសរសេរចុងក្រោយទៅជាពីរ ដែលយើងបំប្លែងតាមរូបមន្តធ្វើសមាហរណកម្មតារាង

បន្ទាប់ពីការគណនាទាំងអស់កុំភ្លេចត្រលប់ទៅការជំនួសដែលបានអនុវត្តនៅដើមដំបូង

ឧទាហរណ៍ 20. យើងត្រូវស្វែងរកអាំងតេក្រាលនៃស៊ីនុសទៅនឹងថាមពលទី 7 ។ យោងទៅតាមច្បាប់ ស៊ីនុសមួយត្រូវបញ្ចូលទៅក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែល (យើងទទួលបានឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃកូស៊ីនុស) ហើយស៊ីនុសទៅថាមពលទី 6 ត្រូវតែសរសេរតាមរយៈកូស៊ីនុស។ ដូច្នេះយើងមកដល់ការរួមបញ្ចូលពីមុខងារនៃអថេរថ្មី t = cos (x) ។



ក្នុងករណីនេះអ្នកនឹងត្រូវនាំយកភាពខុសគ្នាទៅជាគូបហើយបន្ទាប់មកបញ្ចូល
ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានពហុនាមនៃលំដាប់លេខ 7 នៅក្នុងកូស៊ីនុស។


ឧទាហរណ៍ 21. នៅក្នុងអាំងតេក្រាលនេះ ចាំបាច់ត្រូវសរសេរកូស៊ីនុសនៃដឺក្រេទី 4 ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ តាមរយៈការពឹងផ្អែកលើកូស៊ីនុសនៃដឺក្រេទីមួយ។ បន្ទាប់មក យើងអនុវត្តរូបមន្តតារាងសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលកូស៊ីនុស។

ឧទាហរណ៍ 22. នៅក្រោមអាំងតេក្រាល យើងមានផលគុណនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស។ យោងតាមរូបមន្តត្រីកោណមាត្រយើងសរសេរផលិតផលតាមរយៈភាពខុសគ្នានៃស៊ីនុស។ របៀបដែលធ្នូនេះត្រូវបានគេទទួលបានអាចយល់បានពីការវិភាគនៃមេគុណសម្រាប់ "x" ។ បន្ទាប់យើងបញ្ចូលស៊ីនុស

ឧទាហរណ៍ 23. នៅទីនេះយើងមានទាំងអនុគមន៍ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៅក្នុងភាគបែង។ ជាងនេះទៅទៀត រូបមន្តត្រីកោណមាត្រនឹងមិនជួយសម្រួលដល់ការពឹងផ្អែកនោះទេ។ ដើម្បីស្វែងរកអាំងតេក្រាល យើងអនុវត្តការជំនួសត្រីកោណមាត្រសកល t=tan(x/2)

ពីកំណត់ត្រាវាច្បាស់ណាស់ថាភាគបែងនឹងលុបចោលហើយយើងនឹងទទួលបានត្រីកោណការ៉េនៅក្នុងភាគបែងនៃប្រភាគ។ នៅក្នុងវាយើងជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញនិងផ្នែកឥតគិតថ្លៃ។ បន្ទាប់ពីការរួមបញ្ចូល យើងមកដល់លោការីតនៃភាពខុសគ្នារវាងកត្តាចម្បងនៃភាគបែង។ ដើម្បីសម្រួលសញ្ញាណ ទាំងភាគយក និងភាគបែងនៅក្រោមលោការីតត្រូវបានគុណនឹងពីរ។
នៅចុងបញ្ចប់នៃការគណនា ជំនួសឱ្យអថេរ យើងជំនួសតង់សង់នៃអាគុយម៉ង់ពាក់កណ្តាល។

ឧទាហរណ៍ 24. ដើម្បីរួមបញ្ចូលអនុគមន៍ យើងយកការ៉េនៃកូស៊ីនុសចេញពីតង្កៀប ហើយក្នុងតង្កៀបយើងដកហើយបន្ថែមមួយដើម្បីទទួលបានកូតង់សង់។

បន្ទាប់យើងជ្រើសរើស cotangent u = ctg (x) សម្រាប់អថេរថ្មី ឌីផេរ៉ង់ស្យែលរបស់វានឹងផ្តល់ឱ្យយើងនូវកត្តាដែលយើងត្រូវការសម្រាប់ភាពសាមញ្ញ។ បន្ទាប់​ពី​ការ​ជំនួស យើង​មក​ដល់​មុខងារ​មួយ​ដែល​នៅ​ពេល​រួម​បញ្ចូល​នឹង​ផ្តល់​នូវ​អាកតង់សង់។
ជាការប្រសើរណាស់ កុំភ្លេចប្តូរអ្នកទៅជាកូតង់សង់។


ឧទាហរណ៍ 25. នៅក្នុងកិច្ចការចុងក្រោយនៃការធ្វើតេស្ត អ្នកត្រូវបញ្ចូលកូតង់សង់នៃមុំទ្វេទៅដឺក្រេទី 4 ។
នៅចំណុចនេះ ការធ្វើតេស្តលើសមាហរណកម្មត្រូវបានដោះស្រាយ ហើយមិនមានគ្រូបង្រៀនតែម្នាក់នឹងរកឃើញកំហុសជាមួយនឹងចម្លើយ និងយុត្តិកម្មសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរនោះទេ។

ប្រសិនបើអ្នករៀនធ្វើសមាហរណកម្មដូចនេះ ការធ្វើតេស្ត ឬផ្នែកលើប្រធានបទនៃអាំងតេក្រាលមិនគួរឱ្យខ្លាចសម្រាប់អ្នកទេ។ អ្នកផ្សេងទៀតមានឱកាសដើម្បីរៀនឬបញ្ជាដំណោះស្រាយនៃអាំងតេក្រាលពីយើង (ឬដៃគូប្រកួតប្រជែងរបស់យើង :))) ។

យើងបន្តពិចារណាអំពីអាំងតេក្រាលនៃប្រភាគ និងឫស។ មិនមែនពួកគេទាំងអស់សុទ្ធតែមានភាពស្មុគស្មាញនោះទេ វាគ្រាន់តែថាសម្រាប់ហេតុផលមួយ ឬមួយផ្សេងទៀតឧទាហរណ៍គឺជា "ប្រធានបទ" តិចតួចនៅក្នុងអត្ថបទផ្សេងទៀត។

ឧទាហរណ៍ ៩

នៅក្នុងភាគបែងនៅក្រោមឫសមាន trinomial បួនជ្រុងបូកនឹង "បន្ថែម" ក្នុងទម្រង់ជា "X" នៅខាងក្រៅឫស។ អាំងតេក្រាលនៃប្រភេទនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើការជំនួសស្តង់ដារ។

.

ការជំនួសនៅទីនេះគឺសាមញ្ញ:

តោះមើលជីវិតបន្ទាប់ពីការជំនួស៖

(1) បន្ទាប់ពីការជំនួស យើងកាត់បន្ថយពាក្យនៅក្រោមឬសទៅជាភាគបែងរួម។

(2) យើងយកវាចេញពីក្រោមឫស។

(3) ភាគយក និងភាគបែងត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយ . ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ យើងរៀបចំឡើងវិញនូវពាក្យនៅក្រោមឫសក្នុងលំដាប់ងាយស្រួល។ ជាមួយនឹងបទពិសោធន៍ខ្លះ ជំហាន (1), (2) អាចត្រូវបានរំលងដោយអនុវត្តសកម្មភាពដែលបានផ្តល់យោបល់ដោយផ្ទាល់មាត់។

(4) អាំងតេក្រាលលទ្ធផល ដូចដែលអ្នកចងចាំត្រូវបានដោះស្រាយ វិធីសាស្រ្តទាញយកការ៉េពេញលេញ. ជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញ។

(5) តាមរយៈការរួមបញ្ចូល យើងទទួលបានលោការីត "វែង" ធម្មតា។

(6) យើងអនុវត្តការជំនួសបញ្ច្រាស។ ប្រសិនបើដំបូង ត្រលប់ក្រោយ៖ .

(7) សកម្មភាពចុងក្រោយគឺសំដៅលើការធ្វើឱ្យលទ្ធផលត្រង់៖ នៅក្រោមឫស យើងនាំយកពាក្យទៅភាគបែងធម្មតាម្តងទៀត ហើយយកវាចេញពីក្រោមឫស។

ឧទាហរណ៍ 10

ឧទាហរណ៍ ៩

.

នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​សម្រាប់​អ្នក​ដោះស្រាយ​ដោយ​ខ្លួនឯង។ នៅទីនេះថេរមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅឯកោ "X" ហើយការជំនួសគឺស្ទើរតែដូចគ្នា:

.

រឿងតែមួយគត់ដែលត្រូវការគឺដើម្បីបញ្ជាក់បន្ថែម "x" ពីការជំនួសដែលកំពុងត្រូវបានអនុវត្ត:

.

ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ជួនកាលនៅក្នុងអាំងតេក្រាលបែបនេះអាចមាន binomial quadratic នៅក្រោមឫសនេះមិនផ្លាស់ប្តូរវិធីសាស្រ្តនៃដំណោះស្រាយទេវានឹងកាន់តែសាមញ្ញ។ មានអារម្មណ៍ខុសគ្នា៖

ឧទាហរណ៍ 11

ឧទាហរណ៍ ៩

ឧទាហរណ៍ 12

ឧទាហរណ៍ ៩

ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយខ្លីៗនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាឧទាហរណ៍ 11 គឺពិតប្រាកដ អាំងតេក្រាលទ្វេដំណោះស្រាយដែលត្រូវបានពិភាក្សាក្នុងថ្នាក់ អាំងតេក្រាលនៃមុខងារមិនសមហេតុផល.

អាំងតេក្រាលនៃពហុនាមនៃដឺក្រេទី 2 ដែលមិនអាចបំបែកបាននៅក្នុងភាគបែងទៅនឹងអំណាច

ប្រភេទអាំងតេក្រាលដ៏កម្រមួយ ប៉ុន្តែទោះជាយ៉ាងណាបានជួបប្រទះនៅក្នុងឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង។

ឧទាហរណ៍ 13

ឧទាហរណ៍ ៩

ភាគបែង​នៃ​អាំងតេក្រាល​មាន​លេខ​ពីរ​បួន​ជ្រុង​ដែល​មិន​អាច​ធ្វើ​ជា​កត្តា​បាន​ទេ។ យើង​បញ្ជាក់​ថា​ភាព​មិន​អាច​ទៅ​រួច​ជា​កត្តា​សំខាន់​មួយ​។ ប្រសិនបើពហុនាមត្រូវបានបង្កាត់ នោះអ្វីៗគឺច្បាស់ជាងឧទាហរណ៍៖

ចូរយើងត្រលប់ទៅឧទាហរណ៍ជាមួយលេខសំណាង 13។ អាំងតេក្រាលនេះក៏ជាផ្នែកមួយដែលអាចធ្វើអោយអ្នកឈឺចាប់ប្រសិនបើអ្នកមិនដឹងពីរបៀបដោះស្រាយ។

ដំណោះស្រាយចាប់ផ្តើមដោយការបំប្លែងសិប្បនិម្មិត៖

ខ្ញុំ​គិត​ថា​អ្នក​រាល់​គ្នា​បាន​យល់​រួច​ទៅ​ហើយ​អំពី​របៀប​ចែក​ភាគ​ភាគ​ដោយ​ភាគ​បែង​តាម​ពាក្យ។

អាំងតេក្រាលលទ្ធផលត្រូវបានយកជាផ្នែក៖

សម្រាប់អាំងតេក្រាលនៃទម្រង់

កន្លែងណា ( k≥ 2) - លេខធម្មជាតិ ទទួលបាន កើតឡើងវិញ។រូបមន្តកាត់បន្ថយ៖

; គឺ​ជា​អាំងតេក្រាល​នៃ​សញ្ញាប័ត្រ​ទាប​ត្រឹម 1 ។

ចុះប្រសិនបើមានពហុនាមបន្ថែមនៅក្នុងភាគយក? ក្នុងករណីនេះវិធីសាស្ត្រនៃមេគុណមិនកំណត់ត្រូវបានប្រើ ហើយអាំងតេក្រាលត្រូវបានពង្រីកទៅជាផលបូកនៃប្រភាគ។ ប្រសិនបើអ្នកជួបប្រទះអាំងតេក្រាលបែបនេះសូមមើលសៀវភៅសិក្សា - អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនៅទីនោះ។