Рассмотрим два числовых множества X и Y . Правило f , по которому каждому числу хI Х ставится в соответствие единственное число yI Y , называется числовой функцией , заданной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y .
Таким образом, задать функцию, значит задать три объекта:
1) множество Х (область определения функции);
2) множество Y (область значений функции);
3) правило соответствия f (сама функция).
Например, поставим в соответствие каждому числу его куб. Математически это можно записать формулой y=x 3 . В этом случае правило f есть возведение числа х в третью степень. В общем случае, если каждому х по правилу f соответствует единственный y , пишут y = f(x). Здесь "х " называют независимой переменной или аргументом , а "y " -зависимой переменной (т.к. выражение типа x 3 само по себе не имеет определенного числового значения пока не указано значение х ) или функцией от х . О величинах х и y говорят, что они связаны функциональной зависимостью. Зная все значения х и правило f можно найти все значения у . Например, если х=2 , то функция f(x) =x 3 принимает значение у= f(2) =2 3 =8 .
Существуют несколько способов задания функции.
Аналитический способ. Функция f задается в виде формулы y=f(x). Например, y=3cos(x)+2x 2 . Этот способ является преобладающим в математических исследованиях и подробно рассматривается в классическом курсе математики. В географических исследованиях соответствие между переменными величинами x и y не всегда удается записать в виде формулы. Во многих случаях формула бывает неизвестна. Тогда для выражения функциональной зависимости используются другие способы.
Графический способ. На метеорологических станциях можно наблюдать работу приборов-самописцев, регистрирующих величины атмосферного давления, температуры воздуха, его влажности в любой момент времени суток. По полученному графику можно определить значения указанных величин в любой момент времени. Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (x, f(x) ). График содержит всю информацию о функции. Имея перед собой график, мы как бы "видим функцию".
Табличный способ . Этот способ является наиболее простым. В одной строке таблицы записываются все значения аргумента (числа), а в другой – значения f(x) , соответствующие каждому х . Например, зависимость температуры воздуха (Т) от времени суток (t) в определенный день можно представить таблицей.
t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
T, 0 С | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 17 |
Несмотря на повсеместное внедрение компьютеров большинство функций, с которыми приходится сталкиваться специалисту-географу в повседневной деятельности, до сих пор представлены в виде табличного или графического задания. Табличные зависимости получаются в результате регистрации результатов опытов, лабораторных анализов, периодических замеров атмосферных или иных физических параметров. К сожалению, по таблице можно найти лишь те значения функции, значения аргумента которых имеются в таблице. В то же время часто возникают задачи, требующие нахождения значения функции для значения аргумента, не входящего в таблицу. Кроме того этот способ не дает достаточно наглядного представления о характере изменения функции с изменением независимого переменного. От этого недостатка свободны графики, полученные в результате работы автоматических приборов, но и графическое задание не всегда может быть достаточным для дальнейших исследований. Например, такая функция иногда должна в целях исследования протекания природного процесса подвергаться каким-либо математическим операциям, в том числе, дифференцированию или интегрированию. Таким образом, во многих случаях важно знать аналитическое задание функции. Так как точного аналитического задания функции, полученной в результате экспериментальной работы не существует, то для целей исследования применяют следующий прием: функцию, заданную таблично (функцию, заданную графически всегда можно представить в табличном виде) заменяют на некотором отрезке другой функцией более простой, близкой в некотором смысле к данной и имеющей аналитическое выражение. Существует два основных приема такой замены - интерполирование и аппроксимация функции-таблицы.
Функция одной переменной
Функции одной переменной.
Введение
В математике основополагающими понятиями являются понятие множества, элемента множества. Математический анализ имеет дело, в основном, с числовыми множествами.
В дальнейшем будем использовать следующую символику:
N - множество натуральных чисел;
Z - множество целых чисел;
Q - множество рациональных чисел;
R - множество действительных чисел;
С – множество комплексных чисел;
Î - | знак принадлежности: х Î Х – элемент х принадлежит множеству Х, х Ï Х – х не принадлежит множеству Х; | |
Ì - | знак включения: Х Ì У – множество Х есть подмножество У; | |
È - | знак объединения: Х È У – множество, элементы которого принадлежат Х или У; | |
Ç - | знак пересечения множеств: Х Ç У – множество, элементы которого принадлежат и Х и У одновременно; | |
\ - | знак вычитания множеств: Х \ У – множество, состоящее из элементов множества Х, не принадлежащих У; | |
" - | квантор всеобщности, читается: «для любого», «для всех», «каждый», «всякий» и т. п. ; | |
$ - | квантор существования, читается: «существует», «найдется»; | |
Ù - | логическое «и» (конъюнкция); | |
Ú - | логическое «или» (дизъюнкция); | |
Þ - | знак следствия, читается: «следует», «выполняется», «влечет за собой»; | |
Û - | знак эквивалентности, читается: «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно»; | |
| или: | - знаки описания (расшифровки), читаются: «такой, что...», «для которых выполняется...», и т. п. | |
Например, символьная запись "х ÎN $ y ÎN: (y > x Ú y < x ) читается «для любого натурального числа х найдется натуральное число у такое, что либо y > x , либо y < x ».
Как известно, каждому действительному числу ставится в соответствие единственная точка на числовой прямой. Поэтому в дальнейшем договоримся отождествлять термины «действительное число» и «точка» числовой прямой. Для числовых промежутков будем использовать следующие обозначения:
[a ; b ] или a £ x £ b – замкнутый промежуток или отрезок с началом в точке а и концом в точке b ;
(a ; b ) или a < x < b – открытый промежуток или интервал ;
(a ; b ] или a < x £ b ,
[a ; b ) или a £ x < b
– полуоткрытые промежутки или полуинтервалы;
[a ; +¥) или x ³ a , (–¥; b ] или x £ b – лучи;
(a ; +¥) или x > a , (–¥ ; b ) или x < b – открытые лучи;
(–¥ ; +¥) или –¥ < х < +¥ – координатная прямая (множество R действительных чисел).
В науке и практике приходится иметь дело с разного рода величинами. Одни из них в конкретных условиях остаются неизменными (постоянными), другие – меняются (переменные). Например, объем аудитории, банки – постоянны, а объем воздушного шарика – переменный.
В математическом анализе нас будет интересовать только численное выражение той или иной величины, а не ее природа, т.е. будем рассматривать абстрактные величины. Поэтому, постоянной величиной мы будем называть ту величину, которая принимает фиксированное, конкретное (пусть даже неизвестное) значение. Обозначать это будем: х – const. Чаще всего постоянные обозначают начальными буквами латинского алфавита: a , b , c , ... или греческими a, b, e, l, ... .
Переменной величиной считаем ту, которая может принимать произвольные числовые значения из некоторого множества чисел. Обозначают переменные чаще всего буквами конца латинского алфавита: х , у , z , t ,... . Множество, из которого переменная величина принимает значения, называют областью определения этой переменной и пишут: x ÎD.
Функция одной переменной
Наряду с понятием множества и элемента множества, к основным понятиям математики относят и понятие соответствия. Определенный вид соответствий носит название функции.
Пусть заданы множество Х с элементами х и множество У, состоящее из элементов у (множества Х и У – не пустые, элементы их могут быть любой природы).
Определение 1.1 Если каждому элементу х ÎХ по некоторому закону (правилу) f поставлен в соответствие единственный элемент у Î У, то говорят, что на множестве Х задана функция y = f (x ), х ÎХ или отображение f : Х → У множества Х в множество У.
При этом принята терминология:
х – независимое переменное, или аргумент,
Х – область определения функции, а каждый элемент х ÎХ – значение аргумента,
у – зависимое переменное, или функция от аргумента х ,
У – область значений функции, а каждый элемент у
ÎУ такой, что
y
= f
(x
) для некоторого х
ÎХ, называется значением функции.
В зависимости от множеств Х и У, функции имеют специфические названия и обозначения:
если Х, У – подмножества множества действительных чисел R, то функция у = f (x ) называется действительной функцией действительного аргумента или функцией одной переменной;
если ХÌR, УÌС – комплексная функция действительного аргумента, обозначается z = f (x );
если ХÌС, У ÌС – комплексная функция комплексного аргумента, обозначается w = f (z );
если ХÌN, УÌR – функция натурального аргумента или последовательность у п = f (п );
если ХÌR 2 (т.е. множество точек (x , у ) плоскости), УÌR, z ÎУ – действительная функция двух переменных z = f (x , у );
если ХÌR п (п -мерное арифметическое пространство), УÌR – действительная функция п переменных и = f (x 1 ,х 2 , …, х п ). Эту и перечисленные выше функции называют числовыми функциями;
если ХÌ R, УÌ V 2 (множество геометрических векторов на плоскости) –векторная функция скалярного аргумента, `r (t )= x (t ) +y (t ) ;
если ХÌ R 2 , УÌ V 2 – векторная функция двух скалярных аргументов, `F (x , y ) = P(x , y ) + Q(x , y ) ;
В математическом анализе, в основном, изучаются числовые функции. Рассмотрим сначала действительную функцию одного переменного. Поскольку и аргументом, и функцией при этом является действительная числовая величина, то часто будем употреблять ее в женском роде: независимая переменная, зависимая переменная.
В этом случае определение 1.1 может быть перефразировано так:
Определение 1.2 Если каждому значению переменной х из числового множества ХÌR по некоторому закону f поставлено в соответствие определенное действительное число у , то говорят, что на множестве Х задана числовая функция у = f (x ). При этом х называют независимой переменной (аргументом), у – зависимой переменной (функцией), Х – областью определения функции и обозначают Х = D(f ) .
Множество значений, которые принимает у , называется областью значений функции и обозначается Е(f ) . Буква f символизирует то правило, по которому устанавливается соответствие между х и у . Наряду с буквой f используются и другие буквы: y = g (x ), y = h (x ), y = u (x ) . Также функцию можно обозначить z = j(t ), x = f (z ) , s = S (p ) и т. п., т.е. и независимая переменная, и зависимая могут обозначаться любыми буквами латинского алфавита.
Две функции равны тогда и только тогда, когда они имеют одну область определения и при каждом значения аргумента принимают одно и то же значение.
Задать функцию – значит, указать правило, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции.
Основные способы задания функции:
1) Аналитический – с помощью одной или нескольких формул, например
y = sin3x + x 2 , ,
(последние две функции иногда называют кусочно-аналитическими или ступенчатыми функциями). Если функция задана аналитически (формулой), то под областью определения понимают множество значений аргумента х , для которых по заданной формуле можно вычислить соответствующее значение у (т.е. выполнимы все операции, указанные в формуле).
Если в формуле, описывающей функцию, зависимая переменная выражена через независимую переменную, то такая функция называется явно заданной . Приведенные выше функции заданы явно.
Если же равенство, описывающее функцию, не разрешено относительно зависимой переменной, то функция называется неявно заданной , например
х 2 + 3ху – у 3 = 1 или ln(x +3y ) = y 2 .
Неявно заданная функция может быть представлена в форме
где t – параметр, принимающий значения из некоторого множества. Такую функцию называют параметрически заданной функцией . Например,
, t Î R определяет функцию у = (х –1) 2 ,
определяет функцию .
Параметрическое задание функции широко применяется в механике: если х = х (t ) и у = у (t ) законы изменения координат движущейся точки, то уравнения определяю траекторию движения.
2) Словесный . Например, «целая часть числа» – наибольшее целое, не превосходящее х . Эту функцию обозначают у = [x ].
3) Табличный . Например
х | х 1 | х 2 | х 3 | ... |
у | у 1 | у 2 | у 3 | ... |
Так задаются функции, обычно получаемые по результатам опыта, эксперимента, расчета.
4) Графический.
Определение 1.3. Графиком функции у = f (x ) называется геометрическое место точек координатной плоскости ХОУ с координатами (х , f (x )), где х ÎD(f ).
Изображение функциональной зависимости в виде линии (графика) и является графическим заданием функции . Например, показания осциллографа, электрокардиограмма и т.п. – это графическое представление зависимости между изучаемыми величинами.
Заметим, что для однозначной функции ее график имеет только одну точку пересечения с любой прямой х = а , а Î D(f ).
Свойства функций.
I. Функция у = f (x ), x ÎD, называется ограниченной на множестве D, если существуют действительные числа А, В такие, что " x ÎD выполняется условие A £ f (x ) £ B. График такой функции расположен в некоторой горизонтальной полосе между прямыми у = А и у = В (рис.1а). Если таких чисел А и В не существует, то функция называется неограниченной на множестве D.
Если " x ÎD Þ f (x ) £ B, то функция ограничена сверху (рис.1 б).
Если " x ÎD Þ f (x ) ³ А, то функция ограничена снизу (рис.1в).
Ограниченными в своей области определения являются функции у = sin x и y = cos x , т.к. для всех значений х выполняется
–1 £ sin x £ 1 и –1 £ cos x £ 1.
Функция ограничена сверху, т.к. для всех действительных значений х выполняется условие у £ 1. Примером ограниченной снизу функции служит показательная функция у = , т.к. > 0 для всех действительных значений х .
II. Функция у = f (x ), x ÎD, называется возрастающей , если для любых значений аргумента х 1 , х 2 ÎD таких, что х 1 < х 2 , выполняется условие f (x 1) < f (x 2) (т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции, Рис.2а).
Функция у = f (x ), x ÎD, называется убывающей , если "х 1 ,х 2 ÎD таких, что х 1 < х 2 , выполняется условие (f (x 1) > f (x 2) (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, рис.2б). Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями. Если строгие неравенства заменить нестрогими, то соответственно функция будет называться неубывающей и невозрастающей.
|
III. Функция у = f (x ), x ÎD, называется четной , если
" х ÎD Þ (–х ÎD и f (–x ) = f (x )).
График четной функции симметричен относительно оси ОУ (рис.3а).
Функция у = f (x ), x ÎD, называется нечетной , если
" х ÎD Þ (–х ÎD и f (–x ) = f (x )).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 3б).
IV. Функция у = f (x ), x ÎD, называется периодической , если
$ Т > 0: "х ÎD Þ (х ± ТÎD и f (x ) = f (x ± Т)).
|
Если каждому элементу х множ-ва Х (х є Х) ставится в соответствие вполне определённый элемент у множ-ва У (у є У), то говорят, что на множ-ве Х задана функция у = f(x). При этом х назыв. независимой переменной (или аргументом), у – зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответсвия. Множ-во Х назыв. областью определения, а множ-во У – областью значений функции.
Способы задания фун-ий.
а)аналитический, если фун-ия задана формулой у = f(x)
б)табличный способ. Состоит в том, что фун-ия задаётся таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения фун-ии f(x).
в)графический. Состоит в изображении графика фун-ии – множества точек (х,у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значения фун-ии f(x).
г)логический
3 . Односторонний предел. Существование предела в точке.
Число назыв. односторонним пределом слева фун-ии f(x) в точке сгущения x 0, если для ∀ε>0 ∃δ>0, такое, что x∈(x 0 -δ, x 0 ] => f(x)
Число назыв. односторонним пределом справа фун-ии f(x) в точке сгущения х 0 , если если ∀ε>0
∃δ>0, такое, что x∈(x 0 -δ, x 0 ] => f(x)
Число назыв. односторонним пределом справа фун-ии f(x) в точке сгущения х 0 , если если ∀ε>0 ∃δ>0, такое,что х ∈[ x 0, x 0 + δ) =>
Сущ-ие предела в точке. Число А назыв. пределом фун-ии f(x) при х, стремящемся к х 0 (или точке х 0), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдётся такое положительное число δ>0 (зависящее от ε, δ=δ(ε)), что для всех х, не равных х 0 и удовлетворяющее условию , выполняется неравенство
Обозначается или
2. Предел функции и его свойства.
Предельной точной сгущения множества A называется точка x 0 , если в любой окрестности этой точки найдутся такие множества, отличные от x 0 .
Определение предела по Коши. Функция y=f(x), определенная в A, имеет предел С в точке сгущения x 0 , если ∀ε>0 ∃δ>0, такое, что x∈(x 0 -δ, x 0) ∪(x 0 , x 0 +δ) ⇒ f(x)∈(C-ε, С+ε). Существование предела записывают в виде lim x → x 0 f(x)=C или |x-x 0 |<δ⇒|f(x)-C|< ε.
Определение предела по Гейне. Если для различных последовательностей {x n }, стремящихся к x 0 , последовательность значений функции {f(x n)} сходится к некоторому числу C, то это число называется пределом функции f(x).
Определение Коши используется для обоснования существования предела, а опред-ие Гейна – для обоснования отсутствия предела.
Свойства предела: предел единственен и фун-ия в некоторой окрестности предельной точки ограничена.
1)Предел постоянной величины
Предел постоянной величины равен самой постоянной величине.
Скачать с Depositfiles
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Лекция № 13. Тема 1 : Функции
1.1. Определение функции
При изучении определённых процессов реального мира мы встречаемся с характеризующими их величинами, которые меняются во время изучения этих процессов. При этом изменение одной величины сопутствует изменению другой. Например, при прямолинейном равно-мерном движении связь между пройденным путём s , скоростью v и вре-менем t выражается формулой . При заданной скорости v величина пути s зависит от времени t .
В этом случае изменение одной величины (t ) произвольно, а другая (s ) зависит от первой. Тогда говорят, что задана функциональная зависимость. Дадим математическое обоснование этому понятию.
Пусть заданы два множества X и Y .
Определение.
Функцией называется закон или правило, согласно которому каждому элементу
ставится в соответствие единственный элемент
, при этом пишут
или
.
Элемент называется
аргументом функции
f
, а элемент
значением функции.
Множество
X
, при котором функция опреде-лена, называется
областью определения функции
, а множество
Y
областью изменения функции
. Эти множества соответственно обозначаются
и
.
Примеры функций:
1. Скорость свободного падения тела
. Здесь
X
и
Y
множества действительных неотрицательных чисел.
2. Площадь круга
. Здесь
X
и
Y
множества положитель-ных действительных чисел.
3. Пусть
X
множество студентов группы, т.е.
, а
множество оценок на экзамене. Здесь в качестве функции
f
рассматривается критерий оценки знаний.
В дальнейшем под множествами X и Y будем подразумевать множества чисел и придерживаться обозначения . Для большей наглядности будем использовать геометрическое представление множеств и в виде множества точек на действительной оси. Рассмотрим некоторые наиболее употребительные числовые множества (промежутки) :
отрезок;
интервал;
числовая ось (множество действительных чисел);
или окрестность точки a .
а
х
Замечание 1. Мы рассмотрели определение однозначной функции. Если же каждому соответствует по некоторому правилу определённое множество чисел y , то таким правилом определена многозначная функция . Например, .
Примеры. Найти области определения и значений функций :
1. .
2. .
3. .
4. .
1.2. Способы задания функции
1. Аналитический способ. Прежде всего, функции могут задаваться при помощи формул. Для этого используются уже изученные и специально обозначенные функции и алгебраические действия.
Примеры:
1.
.
2.
.
3.
.
В дальнейшем будем использовать краткие математические обозначения (кванторы): для всех, любых; существует, можно указать.
Напомним некоторые элементы поведения функций. Функция называется
возрастающей
(убывающей
) на некотором промежутке, если
из этого промежутка выполняется неравенство
или
и пишут
или
соответственно
.
Возрастающие и убывающие функции называются
монотонными
. Функция называется
ограниченной
на некотором промежутке, если
выполняется условие
. В противном случае функция называется
неограниченной.
Функция называется четной (нечетной ), если она обладает свойством . Остальные функции называются функциями общего вида .
Функция называется
периодической
с периодом
Т
, если выполня-ется условие
.
Например, функция
является возрастающей
и убывающей
.
Функция
является монотонной . Функция
ограничена для , так как
. Функции:
являются четными, а функции
нечетными. Функция
периодическая с периодом
.
Функция может быть задана и уравнением вида
(1)
Если существует такая функция , что
, то уравнение (1) определяет функцию заданную
неявно
. Например, в приме-ре
2 функция задана неявно, это уравнение определяет много-значную функцию
.
Пусть
, а
, тогда функция
называется
сложной функцией
или
суперпозицией
двух функций
F
и
f
.
Например, в примере
3 функция является суперпозицией двух функций
и
.
Если в качестве аргумента рассмотреть переменную
у
, а в качестве функции – переменную
х
, то получим функцию, которая называется для однозначной функции
обратной
и обозначается
. Например, для функции
обратной функцией служит
или
, если придерживаться общепринятых обозначений аргумента и функции.
Замечание 2.
Функция может быть задана и с помощью описания соответствия (описательный способ
). Например, поставим в соответствие каждому числу
число
1, а каждому
число
0. В результате получим единичную функцию
Следует отметить, что всякая формула является символической записью некоторого описанного соответствия и поэтому различие между заданием функции с помощью формул и описания соответствия чисто внешнее.
Графическое изображение функции также может служить для задания функциональной зависимости.
2. Графический способ. Функция задаётся в виде графика. Примером графического задания функции может служить показания осциллографа.
d
Функцию можно задавать с помощью таблиц:
3. Табличный способ. Для некоторых значений переменной x указываются соответствующие значения переменной y . Примерами такого способа заданий являются таблицы значений тригонометрических функ-ций, таблицы, представляющие собой зависимость между измеряемыми величинами и др.
х 1 |
х 2 |
x 3 |
x n |
||
у 1 |
у 2 |
у 3 |
у n |
Для работы на ЭВМ функцию задают алгоритмическим способом.
1.3. Элементарные функции
К
основным
или
простейшим
элементарным функциям относятся:
.
целая часть числа, где
x
наибольшее целое число, не превосходящее
x
, например,
.
1) Область определения функции и область значений функции .
Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
2) Нули функции .
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.
3) Промежутки знакопостоянства функции .
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
4) Монотонность функции .
Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
5) Четность (нечетность) функции .
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
6) Ограниченная и неограниченная функции .
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.
7) Периодическость функции .
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).
19. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Применение функ-ций в экономике.
Основные элементарные функции. Их свойства и графики
1. Линейная функция.
Линейной функцией называется функция вида , где х - переменная, а и b - действительные числа.
Число а называют угловым коэффициентом прямой, он равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс. Графиком линейной функции является прямая линия. Она определяется двумя точками.
Свойства линейной функции
1. Область определения - множество всех действительных чисел: Д(y)=R
2. Множество значений - множество всех действительных чисел: Е(у)=R
3. Функция принимает нулевое значение при или.
4. Функция возрастает (убывает) на всей области определения.
5. Линейная функция непрерывная на всей области определения, дифференцируемая и .
2. Квадратичная функция.
Функция вида , где х - переменная, коэффициенты а, b, с - действительные числа, называетсяквадратичной.