Основы теории вейвлет-преобразования. Дискретное вейвлет-преобразование

Вейвлет-преобразования (или дискретные волновые преобразования) применятся, главным образом, для анализа нестационарных сигналов и для многих задач подобного рода оказывается более эффективным, чем преобразование Фурье.

Преобразование Фурье раскладывает сигнал на составляющие в виде синусов и косинусов, т.е. функций, локализованных в Фурье-пространстве; напротив, вейвлет-преобразование может быть выражено интегральным преобразованием (1.40), где символ отрицания означает комплексную сопряженность и - некоторая функция. Функция может быть выбрана произвольно, но она должна удовлетворять определенным правилам.

Как видно, вейвлет-преобразование на самом деле является бесконечным множеством различных преобразований в зависимости от оценочной функции, использованной для его расчёта. Можно использовать ортогональные вейвлеты для разработки дискретного вейвлет-преобразования и неортогональные вейвлеты для непрерывного. Эти два вида преобразования обладают следующими свойствами:

1. Дискретное вейвлет-преобразование возвращает вектор данных той же длины, что и входной. Обычно, даже в этом векторе многие данные почти равны нулю. Это соответствует факту, что он раскладывается на набор вейвлетов (функций), которые ортогональны к их параллельному переносу и масштабированию. Следовательно, мы раскладываем подобный сигнал на то же самое или меньшое число коэффициентов вейвлет-спектр, что и количество точек данных сигнала. Подобный вейвлет-спектр применим для обработки и сжатия сигналов, например, поскольку мы не получаем здесь нет избыточной информации.

2. Непрерывное вейвлет-преобразование, напротив, возвращает массив на одно измерение больше входных данных. Для одномерных данных мы получаем изображение плоскости время-частота. Можно легко проследить изменение частот сигнала в течении длительности сигнала и сравнить этот спектр со спектрами других сигналов. Поскольку здесь используется неортогональный набор вейвлетов, данные высоко коррелированны и обладают большой избыточностью. Это помогает видеть результат в более близком человеческому восприятию виде.

Дискретное вейвлет-преобразование

Дискретное вейвлет-преобразование (DWT) - реализация вейвлет-преобразования с использованием дискретного набора масштабов и переносов вейвлета, подчиняющихся некоторым определенным правилам. Другими словами, это преобразование раскладывает сигнал на взаимно ортогональный набор вейвлетов, что является основным отличием от непрерывного вейвлет-преобразования (CWT), или его реализация для дискретных временных рядов, иногда называемой непрерывным вейвлет-преобразованием дискретного времени (DT-CWT).

Как показано ранее, вейвлет может быть сконструирован из функций масштаба, которая описывает свойства его масштабируемости. Ограничение, что функция масштаба должна быть ортогональна к своим дискретным преобразованиям, подразумевает некоторые математические ограничения на них, которые везде упоминаются, т.е. уравнение гомотетии

где - фактор масштаба (обычно выбираем как 2).

Более того, площадь под функцией должна быть нормализована и функция масштабирования должна быть ортогональна к своим численным переносам, т.е.

После введения некоторых дополнительных условий (поскольку вышеупомянутые ограничения не приводят к единственному решению) можно получить результат всех этих уравнений, т.е. конечный набор коэффициентов, которые определяют функцию масштабирования, а также вейвлет. Вейвлет получается из масштабирующей функции как, где - чётное целое. Набор вейвлетов затем формирует ортогональный базис, который мы используем для разложения сигнала. Следует отметить, что обычно несколько коэффициентов будут ненулевыми, что упрощает расчёты.

На рис. 2.1 показаны некоторые масштабирующие функции и вейвлеты. Наиболее известным семейством ортонормированных вейвлетов является семейство Добеши. Его вейвлеты обычно обозначаются числом ненулевых коэффициентов, таким образом, мы обычно говорим о вейвлетах Добеши 4, Добеши 6 (4 и 6 означает порядок вейвлета), и т.п. Грубо говоря, с увеличением числа коэффициентов вейвлет функции становятся более гладкими. Другой из упомянутых вейвлетов - простейший вейвлет Хаара, который использует прямоугольный импульс как масштабирующую функцию.

Функция масштабирования Хаара и вейвлет (слева) и их частотные составляющие (справа)

Функция масштабирования Добеши 4 и вейвлет (слева) и их частотные составляющие (справа)

Функция масштабирования Добеши 20 и вейвлет (слева) и их частотные составляющие (справа).Рис. 2.1

Основным отличием вейвлет-преобразования является разложение данных не по синусоидам (как для преобразования Фурье), а по другим функциям, называемым вейвлетобразующими. Вейвлетобразующие функции, в противоположность бесконечно осциллирующим синусоидам, локализованы в некоторой ограниченной области своего аргумента, а вдали от нее равны нулю или ничтожно малы. Пример такой функции, называемой "мексиканской шляпой", показан на рис. 2.2.

Рисунок 2.2 Сравнение синусоиды и вейвлетобразующей функции

Непрерывное вейвлет-преобразование

Свойства вейвлет преобразования

Требования к вейвлетам

Для осуществления вейвлет-преобразования вейвлет-функции должны удовлетворять следующим критериям:

1. Вейвлет должен обладать конечной энергией:

2. Если фурье-преобразование для, то есть

тогда должно выполняться следующее условие:

Это условие называется условием допустимости, и из него следует что вейвлет при нулевой частотной компоненте должен удовлетворять условию или, в другом случае, вейвлет должен иметь среднее равное нулю.

3. Дополнительный критерий предъявляется для комплексных вейвлетов, а именно, что для них Фурье-преобразование должно быть одновременно вещественным и должно убывать для отрицательных частот.

4. Локализация: вейвлет должен быть непрерывным, интегрируемым, иметь компактный носитель и быть локализованным как во времени (в пространстве), так и по частоте. Если вейвлет в пространстве сужается, то его средняя частота повышается, спектр вейвлета перемещается в область более высоких частот и расширяется. Этот процесс должен быть линейным – сужение вейвлета вдвое должно повышать его среднюю частоту и ширину спектра также вдвое.

1. Линейность

2. Инвариантность относительно сдвига

Сдвиг сигнала во времени на t0 приводит к сдвигу вейвлет-спектра также на t0.

3. Инвариантность относительно масштабирования

Растяжение (сжатие) сигнала приводит к сжатию (растяжению) вейвлет-спектра сигнала.

4. Дифференцирование

Отсюда следует, что безразлично, дифференцировать ли функцию или анализирующий вейвлет. Если анализирующий вейвлет задан формулой, то это может быть очень полезным для анализа сигналов. Это свойство особенно полезно, если сигнал задан дискретным рядом.

Вейвлет преобразование для непрерывного сигнала относительно вейвлет функции определяется следующим образом:

где означает комплексное сопряжение для, параметр соответствует временному сдвигу, и называется параметром положения, параметр задает масштабирование и называется параметром растяжения.

Весовая функция.

Мы можем определить нормированную функцию следующим образом

что означает временной сдвиг на b и масштабирование по времени на a. Тогда формула вейлет-преобразования изменится на

Исходный сигнал может быть восстановлен по формуле обратного преобразования

В дискретном случае, параметры масштабирования a и сдвига b представлены дискретными величинами:

Тогда анализирующий вейвлет имеет следующий вид:

где m и n - целые числа.

В таком случае для непрерывного сигнала дискретное вейвлет-преобразование и его обратное преобразование запишутся следующими формулами:

Величины также известны как вейвлет-коэффициенты.

есть постоянная нормировки.

Вейвлеты (от англ. wavelet ), всплески - это математические функции, позволяющие анализировать различные частотные компоненты данных. Вейвлет-коэффициенты определяются интегральным преобразованием сигнала. Полученные вейвлет-спектрограммы принципиально отличаются от обычных спектров Фурье тем, что дают четкую привязку спектра различных особенностей сигналов ко времени.

Для обработки дискретных сигналов используется дискретное вейвлет-преобразование (ДВП, DWT).

Первое ДВП было предложно венгерским математиком Альфредом Хааром. Для входного сигнала, представленного массивом 2 n чисел, вейвлет преобразование Хаара просто группирует элементы по 2 и образует от них суммы и разности. Группировка сумм проводится рекурсивно для образования следующего уровня разложения. В итоге получается 2 n −1 разность и 1 общая сумма. Мы начнем с одномерного массива данных, состоящего из N элементов. В принципе, этими элементами могут быть соседние пикселы изображения или последовательные звуковые фрагменты. Примером будет служить массив чисел (2,9,12,10,9,8, 8,7). Сначала вычислим четыре средние величины (Рис. 40)

Ясно, что знания этих четырех полусумм не достаточно для восстановления всего массива, поэтому мы еще вычислим четыре полуразности

(2 - 9)/2 = - 4,5,

(12 - 10)/2 = 1,

(9 – 8)/2 = 0,5,

(8 – 7)/2 = 0,5,

которые будем называть коэффициентами деталей. Средние числа можно представлять себе крупномасштабным разрешением исходного образа, а детали необходимы для восстановления мелких подробностей или поправок. Если исходные данные коррелированы, то крупномасштабное разрешение повторит исходный образ, а детали будут малыми.

Массив, состоящий из четырех полусумм и четырех полуразностей, можно использовать для восстановления исходного массива чисел. Новый массив также состоит из восьми чисел, но его последние четыре компоненты, полуразности, имеют тенденцию уменьшаться, что хорошо для сжатия.

Повторим нашу процедуру применительно к четырем первым (крупным) компонентам нашего нового массива. Они преобразуются в два средних и в две полуразности. Остальные четыре компонента оставим без изменений. Следующая и последняя итерация нашего процесса преобразует первые две компоненты этого массива в одно среднее (которое, на самом деле, равно среднему значению всех 8 элементов исходного массива) и одну полуразность.

Рисунок 3.18. Илллюстрация работы одномерного вейвлет-преобразования.

В итоге получим массив чисел, который называется вейвлетным преобразованием Хаара исходного массива данных .

Одномерное вейвлетное преобразование Хаара легко переносится на двумерный случай. Стандартное разложение (рис. 3.19) начинается вычислением вейвлетных преобразований всех строк изображения. К каждой строке применяются все итерации процесса, до тех пора, пока самый левый элемент каждой строки не станет равен среднему значению чисел этой строки, а все остальные элементы будут равны взвешенным разностям. Получится образ, в первом столбце которого стоит среднее столбцов исходного образа. После этого стандартный алгоритм производит вейвлетное преобразование каждого столбца. В результате получится двумерный массив, в котором самый левый верхний угловой элемент равен среднему всего исходного массива. Остальные элементы верхней строки будут равны средним взвешенным разностям, ниже стоят разности средних, а все остальные пикселы преобразуются в соответствующие разности.

Пирамидальное разложение вычисляет вейвлетное преобразование, применяя итерации поочередно к строкам и столбцам. На первом шаге вычисляются полусуммы и полуразности для всех строк (только одна итерация, а не все вейвлетное преобразование). Это действие производит средние в левой половине матрицы и полуразности - в правой половине. На втором шаге вычисляются полусуммы и полуразности для всех столбцов получившейся матрицы.

Рисунок 3.19. Стандартное двумерное вейвлет-преобразование

Рисунок 3.20. Пирамидальное двумерное вейвлет-преобразование

Результатом двумерного вейвлет-преобразования является набор матриц, соответствующих различным спектральным составляющим исходного изображения. При этом в левом верхнем углу находится низкочастотная компонента LL4 (рис. 3.21), которая создавалась только на основе полусумм и является уменьшенной копией исходного изображения.

Рисунок 3.21. Составляющие двумерного вейвлет-преобразования

Остальные компоненты преобразования можно использовать для восстановления исходного изображения. При этом, высокочастотные компоненты хорошо поддаются сжатию с использованием алгоритмов RLE и Хаффмана. Следует также отметить, что при сжатии с потерей информации возможно также использовать квантование, а также прямое отбрасывание части компонент. Результатом таких операций является хорошая степень сжатия. На рис. 3.22 приведен пример кодирования изображения, использующего вейвлет-преобразование.

Следует отметить, что двумерное вейвлет-преобразование требует значительных вычислительных ресурсов при реализации обычными программными методами. Однако, алгоритм вейвлет-преобразования состоит из большого количества простых преобразований, которые хорошо поддаются распараллеливанию. В результате, это преобразование хорошо выполняется аппаратно при использовании специализированной элементной базы.

Рисунок 3.22 . Пример вейвлет-преобразования изображения.

Вейвлет-преобразование используется в стандарте сжатия изображений JPEG2000, а также предусмотрено в качестве инструмента в формате MPEG-4.

Дискретные вейвлет-преобразования.

6.3.3.1. Общие сведения о вейвлет-преобразованиях.

Вейвлетное преобразование сигналов является обобщением спектрального анализа, типичный представитель которого – классическое преобразование Фурье.

Вейвлет-преобразования (WT) подразделяют на дискретное (DWT) и непрерывное (CWT). DWT используется для преобразований и кодирования сигналов, CWT – для анализа сигналов.

В вейвлет-анализе роль базисных функций играют функции особого рода, называемые вейвлетами. Термин «вейвлет» (wavelet) в переводе с английского означает «маленькая (короткая) волна». Вейвлеты – это обобщенное название семейств дтематических функций определенной формы, которые локальны во времени и по частоте, и в которых все функции получаются из одной базовой (порождающей) функции посредством ее сдвигов и растяжений по оси времени.

Вейвлет-преобразования рассматривают анализируемые временные функции в терминах колебаний, локализованных по времени и частоте.

Отличительной особенностью вейвлет-анализа является то, что в нем можно использовать семейства функций, реализующих различные варианты соотношения неопределенности. Соответственно, исследователь имеет возможность гибкого выбора между ними и применения тех вейвлетных функций, которые наиболее эффективно решают поставленные задачи.

Основная область применения вейвлетных преобразований – анализ и обработка сигналов и функций, нестационарных во времени, когда результаты анализа должны содержать не только частотную характеристику сигнала (распределение энергии сигнала по частотным составляющим), но и сведения о локальных координатах, на которых проявляют себя те или иные группы частотных составляющих или на которых происходят быстрые изменения частотных составляющих сигнала.

На рисунке 3.1 анализируемый сигнал состоит из двух модулированных деесианов. Преобразование вейвлетом Морлета четко показывает их пространственную и частотную локализацию, в то время как спектр Фурье дает только частотную локализацию.

Одна из главных и особенно плодотворных идей вейвлетного представления сигналов заключается в разделении функций приближения к сигналу на две группы: аппроксимирующую – грубую, с достаточно медленной временной динамикой изменений, и детализирующую – с локальной и быстрой динамикой изменений на фоне плавной динамики, с последующим их дроблением и детализацией на других уровнях декомпозиции сигналов. Это возможно как во временной, так и в частотной областях представления сигналов вейвлетами.

Рисунок

Рисунок 3.1 – вейвлет-преобразование сигнала

6.3.3.2. Базисные функции вейвлет-преобразований.

Вейвлеты имеют вид коротких волновых пакетов с нулевым средним дееюнем, локализованных по оси аргументов, инвариантных к сдвигу и линейных к операции масштабирования. По локализации во временном и частотном представлении вейвлеты занимают промежуточное положение между гармоническими функциями, локализованными по частоте, и функцией Дирака, локализованной во времени.

Базисная функция вейвлет представляет собой некоторое «короткое» колебание. Причем понятие частоты спектрального анализа заменено масштабом, и для перекрытия «короткими волнами» всей временной оси введен сдвиг функций во времени. Базис вейвлетов – это временные функции типа:

, (3.1)

где b – сдвиг;

а – масштаб.

Функция должна иметь нулевую площадь. Фурье-преобразование таких функций равно нулю на нулевой частоте и имеет вид полосового фильтра. Различные значениях масштабного параметра "a" это соответствуют набору полосовых фильтров. Семейства вейвлетов во временной или частотной области используются для представления сигналов и функций в виде суперпозиций вейвлетов на разных масштабных уровнях декомпозиции (разложения) сигналов.

Следующая функция

не зависит от параметров и . Вектор, заданный функцией , имеет постоянную длину в пространстве:

На практике, в качестве базовой функции часто используют функцию

называемую мексиканской шляпой.

6.3.3.3. Непрерывное вейвлет-преобразование.

Пусть имеется функция и некоторая функция - базисная функция. Непрерывное вейвлет-преобразование описывается выражением вида:

. (3.2)

Если базисная функция описывается выражением:

то в результате имеется обычное преобразование Фурье (в этом случае параметр не используется).

Для перекрытия функцией вейвлета всей временной оси пространства используется операция сдвига (смещения по временной оси): , где значение b для НВП является величиной непрерывной. Для перекрытия всего частотного диапазона используется операция временного масштабирования вейвлета с непрерывным изменением независимой переменной: . Таким образом, путем сдвига по независимой переменной (t-b) вейвлет имеет возможность перемещаться по всей числовой оси произвольного сигнала, а путем изменения масштабной переменной "а" (в фиксированной точке (t-b) оси) «просматривать» частотный спектр сигнала по определенному интервалу окрестностей этой точки.

Таким образом, непрерывное вейвлет-преобразование представляет собой разложение сигнала по всем возможным сдвигам и сжатиям/растяжениям некоторой локализованной финитной функции – вейвлета. При этом переменная "a" определяет масштаб вейвлета и эквивалентна частоте в преобразованиях Фурье, а переменная "b" – сдвиг вейвлета по сигналу от начальной точки в области его определения, шкала которого повторяет временную шкалу анализируемого сигнала.

Понятие масштаба ВП имеет аналогию с масштабом географических карт. Большие значения масштаба соответствуют глобальному представлению сигнала, а низкие значения масштаба позволяют различить детали. В терминах частоты низкие частоты соответствуют глобальной информации о сигнале, а высокие частоты – детальной информации и особенностям, которые имеют малую протяженность, т.е. масштаб вейвлета, как единица шкалы частотно-временного представления сигналов, обратен частоте. Масштабирование, как математическая операция, расширяет или сжимает сигнал. Большие значения масштабов соответствуют расширениям сигнала, а малые значения – сжатым версиям. В определении вейвлета коэффициент масштаба а стоит в знаменателе. Соответственно, а > 1 расширяет сигнал, а < 1 сжимает его.

6.3.3.4. Дискретное вейвлет-преобразование.

В принципе, при обработке данных на ПК может выполняться дискретизированная версия непрерывного вейвлет-преобразования с заданием дискретных значений параметров (a, b) вейвлетов с произвольным шагом a и b. В результате получается избыточное количество коэффициентов, намного превосходящее число отсчетов исходного сигнала, которое не требуется для реконструкции сигналов.

Дискретное вейвлет-преобразование (ДВП) обеспечивает достаточно информации, как для анализа сигнала, так и для его синтеза, являясь вместе с тем экономным по числу операций и по требуемой памяти. ДВП оперирует с дискретными значениями параметров а и b , которые задаются, как правило, в виде степенных функций:

где ;

Целые числа;

Параметр масштаба;

Параметр сдвига.

Базис пространства в дискретном представлении:

Вейвлет-коэффициенты прямого преобразования:

. (3.5)

Значение "a" может быть произвольным, но обычно принимается равным 2, при этом преобразование называется диадным вейвлет-преобразованием . Для диадного преобразования разработан быстрый алгоритм вычислений, аналогичный быстрому преобразованию Фурье, что предопределило его широкое использование при анализе массивов цифровых данных.

Обратное дискретное преобразование для непрерывных сигналов при нормированном ортогональном вейвлетном базисе пространства:

. (3.6)

Число использованных вейвлетов по масштабному коэффициенту m задает уровень декомпозиции сигнала, при этом за нулевой уровень (m = 0) обычно принимается уровень максимального временного разрешения сигнала, т.е. сам сигнал, а последующие уровни (m < 0) образуют ниспадающее вейвлет-дерево . В программном обеспечении вычислений для исключения использования отрицательной нумерации по m знак "минус" обычно переносится непосредственно в следующее представление базисных функций:

6.3.3.5. Частотно-временная локализация вейвлет-анализа.

Реальные сигналы, как правило, конечны. Частотный спектр сигналов обратно пропорционален их длительности. Соответственно, достаточно точный низкочастотный анализ сигнала должен производиться на больших интервалах его задания, а высокочастотный – на малых. Если частотный состав сигнала претерпевает существенные изменения на интервале его задания, то преобразование Фурье дает только усредненные данные частотного состава сигнала с постоянным частотным разрешением. Определенная частотно-временная локализация анализа создается дееюниием оконного преобразования Фурье, что дает семейства частотных спектров, локализованных во времени, но в пределах постоянной ширины окна оконной функции, а, следовательно, также с постоянным значением и частотного, и временного разрешения.

В отличие от оконного преобразования Фурье, вейвлет-преобразование, при аналогичных дискретных значениях сдвигов b, дает семейства спектров масштабных коэффициентов а сжатия-растяжения:

. (3.8)

Если считать, что каждый вейвлет имеет определенную «ширину» своего временного окна, которому соответствует определенная «средняя» частота спектрального образа вейвлета, обратная его масштабному коэффициенту а , то семейства масштабных коэффициентов вейвлет-преобразования можно считать аналогичными семействам частотных спектров оконного преобразования Фурье, но с одним принципиальным отличием. Масштабные коэффициенты изменяют «ширину» вейвлетов и, соответственно, «среднюю» частоту их фурье-образов, а, следовательно, каждой частоте соответствует своя длительность временного окна анализа, и наоборот. Так малые значения параметра а , характеризующие быстрые составляющие в сигналах, соответствуют высоким частотам, а большие значения – низким частотам. За счёт изменения масштаба вейвлеты способны выявлять различия на разных частотах, а за счёт сдвига (параметр b ) проанализировать свойства сигнала в разных точках на всём исследуемом временном интервале. Многоразмерное временное окно вейвлет-преобразования адаптировано для оптимального выявления и низкочастотных, и высокочастотных характеристики сигналов.

Таким образом, на высоких частотах лучше разрешение по времени, а на низких – по частоте. Для высокочастотной компоненты сигнала мы можем точнее указать ее временную позицию, а для низкочастотной – ее значение частоты.

Высокочастотная (мелкомасштабная) информация вычисляется на основе длых интервалов сигналов, а низкочастотная – на основе больших. Поскольку анализируемые сигналы всегда конечны, то при вычислении коэффициентов на границах задания сигнала область достоверности выходит за пределы сигнала, и для уменьшения погрешности вычислений сигнал дополняется заданием начальных и конечных условий.

6.3.3.6. Достоинства и недостатки вейвлет-анализа.

К достоинствам вейвлет-анализа можно отнести:

Вейвлетные преобразования обладают всеми достоинствами преобразований Фурье;

Вейвлетные базисы могут быть хорошо локализованными как по частоте, так и по времени;

При выделении в сигналах хорошо локализованных разномасштабных процессов можно рассматривать только те масштабные уровни разложения, которые представляют интерес;

Вейвлетные базисы, в отличие от преобразования Фурье, имеют много разнообразных базовых функций, свойства которых ориентированы на решение различных задач.

Недостатком вейвлетных преобразований является их относительная сложность.

6.3.3.7. Свойства вейвлет-анализа.

Получение объективной информации о сигнале базируется на свойствах вейвлет-преобразования, общих для вейвлетов всех типов. Рассмотрим основные из этих свойств. Для обозначения операции вейвлет-преобразования произвольных функций х(t) будем применять индекс TW.

Линейность .

TW[α·x 1 (t)+β·x 2 (t)] = α·TW+β·TW.

Инвариантность относительно сдвига . Сдвиг сигнала во времени на t 0 приводит к сдвигу вейвлет-спектра также на t 0:

TW = X(a, b-t o).

Инвариантность относительно масштабирования . Растяжение (сжатие) сигнала приводит к сжатию (растяжению) вейвлет-спектра сигнала:

TW = (1/а о)·X(a/а о,b/а o).

Дифференцирование .

D n {TW}/dt n = TW.

TW = (-1) n x(t) dt.

Безразлично, дифференцировать функцию или анализирующий вейвлет. Если деелизирующий вейвлет задан формулой, то это может быть очень полезным для деелиза сигналов. Проанализировать особенности высокого порядка или мелкомасштабные вариации сигнала x(t) с игнорированием крупномасштабных полиномиальных составляющих (тренда и регионального фона) можно дифференцированием нужного числа раз либо вейвлета, либо самого сигнала. Это свойство особенно полезно, когда сигнал задан дискретным рядом.

Аналог теоремы Парсеваля для ортогональных и биортогональных вейвлетов.

X 1 (t)·x 2 *(t) = X ψ -1 a -2 X(a,b) X*(a,b) da db.

Отсюда следует, что энергия сигнала может вычисляться через коэффициенты вейвлет-преобразования.

Основы цифровой обработки сигналов: учебное пособие / Ю.А. Брюханов, А.А. Приоров, В.И. Джиган, В.В. Хрящев; Яросл. Гос. ун-т им. П.Г. Демидова. – Ярославль: ЯрГУ, 2013. – 344 с. (с. 270)

Вейвлет-преобразование - преобразование, похожее на преобразование Фурье (или гораздо больше на оконное преобразование Фурье) с совершенно иной оценочной функцией. Основное различие лежит в следующем: преобразование Фурье раскладывает сигнал на составляющие в виде синусов и косинусов, т.е. функций, локализованных в Фурье-пространстве; напротив, вейвлет-преобразование использует функции, локализованные как в реальном, так и в в Фурье-пространстве. В общем, вейвлет-преобразование может быть выражено следующим уравнением:

где * - символ комплексной сопряженности и функция ψ - некоторая функция. Функция может быть выбрана произвольным образом, но она должна удовлетворять определённым правилам.

Как видно, вейвлет-преобразование на самом деле является бесконечным множеством различных преобразований в зависимости от оценочной функции, использованной для его расчёта. Это является основной причиной, почему термин «вейвлет-преобразование » используется в весьма различных ситуациях и для различных применений. Также существует множество типов классификации вариантов вейвлет-преобразования. Здесь мы покажем только деление, основанное на ортогональности вейвлетов. Можно использовать ортогональные вейвлеты для дискретного вейвлет-преобразования и неортогональные вейвлеты для непрерывного. Эти два вида преобразования обладают следующими свойствами:

Дискретное вейвлет-преобразование возвращает вектор данных той же длины, что и входной. Обычно, даже в этом векторе многие данные почти равны нулю. Это соответствует факту, что он раскладывается на набор вейвлетов (функций), которые ортогональны к их параллельному переносу и масштабированию. Следовательно, мы раскладываем подобный сигнал на то же самое или меньшее число коэффициентов вейвлет-спектра, что и количество точек данных сигнала. Подобный вейвлет-спектр весьма хорош для обработки и сжатия сигналов, например, поскольку мы не получаем здесь избыточной информации.
Непрерывное вейвлет-преобразование, напротив, возвращает массив на одно измерение больше входных данных. Для одномерных данных мы получаем изображение плоскости время-частота. Можно легко проследить изменение частот сигнала в течение его длительности и сравнивать этот спектр со спектрами других сигналов. Поскольку здесь используется неортогональный набор вейвлетов, данные высоко коррелированы и обладают большой избыточностью. Это помогает видеть результат в более близком человеческому восприятию виде.

Дополнительные подробности о вейвлет-преобразовании доступны на тысячах интернет-ресурсов о вейвлетах в сети, или, например, здесь .

В библиотеке обработки данных Gwyddion реализованы оба этих преобразования и использующие вейвлет-преобразование модули доступны в меню Обработка данных → Интегральные преобразования .

Дискретное вейвлет-преобразование

Дискретное вейвлет-преобразование (DWT) - реализация вейвлет-преобразования с использованием дискретного набора масштабов и переносов вейвлета, подчиняющихся некоторым определённым правилам. Другими словами, это преобразование раскладывает сигнал на взаимно ортогональный набор вейвлетов, что является основным отличием от непрерывного вейвлет-преобразования (CWT), или его реализации для дискретных временных рядов, иногда называемой непрерывным вейвлет-преобразованием дискретного времени (DT-CWT).

Вейвлет может быть сконструирован из функции масштаба, которая описывает свойства его масштабируемости. Ограничение состоит в том, что функция масштаба должна быть ортогональна к своим дискретным преобразованиям, что подразумевает некоторые математические ограничения на них, которые везде упоминаются, т.е. уравнение гомотетии

где S - фактор масштаба (обычно выбирается как 2). Более того, площадь под функцией должна быть нормализована и функция масштабирования должна быть ортогональна к своим численным переносам, т.е.

После введения некоторых дополнительных условий (поскольку вышеупомянутые ограничения не приводят к единственному решению) мы можем получить результат всех этих уравнений, т.е. конечный набор коэффициентов a k которые определяют функцию масштабирования, а также вейвлет. Вейвлет получается из масштабирующей функции как N где N - чётное целое. Набор вейвлетов затем формирует ортонормированный базис, который мы используем для разложения сигнала. Следует отметить, что обычно только несколько коэффициентов a k будут ненулевыми, что упрощает расчёты.

На следующем рисунке показаны некоторые масштабирующие функции и вейвлеты. Наиболее известным семейством ортонормированных вейвлетов явлется семейство Добеши. Её вейвлеты обычно обозначаются числом ненулевых коэффициентов a k , таким образом, мы обычно говорим о вейвлетах Добеши 4, Добеши 6, и т.п. Грубо говоря, с увеличением числа коэффициентов вейвлета функции становятся более гладкими. Это явно видно при сравнении вейвлетов Добеши 4 и 20, представленных ниже. Другой из упомянутых вейвлетов - простейший вейвлет Хаара, который использует прямоугольный импульс как масштабирующую функцию.

Функция масштабирования Хаара и вейвлет (слева) и их частотные составляющие (справа).

Функция масштабирования Добеши 4 и вейвлет (слева) и их частотные составляющие (справа).

Функция масштабирования Добеши 20 и вейвлет (слева) и их частотные составляющие (справа).

Существует несколько видов реализации алгоритма дискретного вейвлет-преобразования. Самый старый и наиболее известный – алгоритм Малла (пирамидальный). В этом алгоритме два фильтра – сглаживающий и несглаживающий составляются из коэффициентов вейвлета и эти фильтры рекуррентно применяются для получения данных для всех доступных масштабов. Если используется полный набор данных D = 2 N и длина сигнала равна L , сначала рассчитываются данные D /2 для масштаба L /2 N - 1 , затем данные (D /2)/2 для масштаба L /2 N - 2 , … пока в конце не получится 2 элемента данных для масштаба L /2 . Результатом работы этого алгоритма будет массив той же длины, что и входной, где данные обычно сортируются от наиболее крупных масштабов к наиболее мелким.

В Gwyddion для расчёта дискретного вейвлет-преобразования используется пирамидальный алгоритм. Дискретное вейвлет-преобразование в двумерном пространстве доступно в модуле DWT.

Дискретное вейвлет-преобразование может использоваться для простого и быстрого удаления шума с зашумлённого сигнала. Если мы возьмём только ограниченное число наиболее высоких коэффициентов спектра дискретного вейвлет-преобразования, и проведём обратное вейвлет-преобразование (с тем же базисом) мы можем получить сигнал более или менее очищенный от шума. Есть несколько способов как выбрать коэффициенты, которые нужно сохранить. В Gwyddion реализованы универсальный порог, адаптивный по масштабу порог и адаптивный по масштабу и пространству порог . Для определения порога в этих методах мы сперва определяем оценку дисперсии шума, заданную

где Y ij соответствует всем коэффициентам наиболее высокого поддиапазона масштаба разложения (где, как предполагается, должна присутствовать большая часть шума). Или же дисперсия шума может быть получена независимым путём, например, как дисперсия сигнала АСМ, когда сканирование не идёт. Для наиболее высокого поддиапазона частот (универсальный порог) или для каждого поддиапазона (для адаптивного по масштабу порога) или для окружения каждого пикселя в поддиапазоне (для адаптивного по масштабу и пространству порога) дисперсия рассчитывается как

Значение порога считается в конечном виде как

Когда порог для заданного масштаба известен, мы можем удалить все коэффициенты меньше значения порога (жесткий порог) или мы можем уменьшит абсолютное значение этих коэффициентов на значение порога (мягкий порог).

Удаление шума DWT доступно в меню Обработка данных → Интегральные преобразования → Удаление шума DWT .

Непрерывное вейвлет-преобразование

Непрерывное вейвлет-преобразование (CWT) - реализация вейвлет-преобразования с использованием произвольных масштабов и практически произвольных вейвлетов. Используемые вейвлеты не ортогональны и данные, полученные в ходе этого преобразования высоко коррелированы. Для дискретных временных последовательностей также можно использовать это преобразование, с ограничением что наименьшие переносы вейвлета должны быть равны дискретизации данных. Это иногда называется непрерывным вейвлет-преобразованием дискретного времени (DT-CWT) и это наиболее часто используемый метод расчёта CWT в реальных применениях.

В принципеЮ непрерывное вейвлет-преобразование работает используя напрямую определение вейвлет-преобразования, т.е. мы рассчитываем свёртку сигнала с масштабированным вейвлетом. Для каждого масштаба мы получаем этим способом набор той же длины N , что и входной сигнал. Используя M произвольно выбранных масштабов мы получаем поле N×M , которое напрямую представляет плоскость время-частота. Алгоритм, используемый для этого расчёта может быть основан на прямой свёртке или на свёртке посредством умножения в Фурье-пространстве (это иногда называется быстрым вейвлет-преобразованием).

Выбор вейвлета для использования в разложении на время-частоту является наиболее важной вещью. Этим выбором мы можем влиять на разрешение результата по времени и по частоте.Нельзя изменить этим путём основные характеристики вейвлет-преобразования (низкие частоты имеют хорошее разрешение по частотам и плохое по времени; высокие имеют плохое разрешение по частотам и хорошее по времени), но можно несколько увеличить общее разрешение по частотам или по времени. Это напрямую пропорционально ширине используемого вейвлета в реальном и Фурье-пространстве. Если, например, использовать вейвлет Морле (реальная часть – затухающая функция косинуса), то можно ожидать высокого разрешения по частотам, поскольку такой вейвлет очень хорошо локализован по частоте. наоборот, используя вейвлет Производная Гауссиана (DOG) мы получим хорошую локализацию по времени, но плохую по частоте.

Непрерывное вейвлет-преобразование реализовано в модуле CWT, который доступен в меню Обработка данных → Интегральные преобразования → CWT .