Izračunajte zadani integral izravnom integracijom

Ne uspijeva uvijek. Jedna od najučinkovitijih tehnika

je metoda supstitucije ili zamjene integracijske varijable.

Bit ove metode je da je uvođenjem nove integracijske varijable moguće svesti zadani integral na

na novi integral, koji se uzima izravnom integracijom.

Razmotrite ovu metodu:

Neka je kontinuirana funkcija

treba pronaći: (1)

Promijenimo integracijsku varijablu:

gdje je φ (t) monotona funkcija koja ima kontinuiranu derivaciju

a postoji složena funkcija f(φ(t)).

Primjena formule diferenciranja kompleksa na F (x) = F(φ (t)).

funkcije, dobivamo:

﴾F (φ (t))﴿′ = F′(x) ∙ φ′ (t)

Ali F′(x) = f (x) = f (φ (t)), dakle

﴾F (φ (t))﴿′ = f (φ (t)) ∙ φ′ (t) (3)

Dakle, funkcija F(φ (t)) je antiderivacija funkcije

f (φ (t)) ∙ φ′ (t), dakle:

∫ f (φ (t)) ∙ φ′ (t) dt = F (φ (t)) + C (4)

S obzirom da je F (φ (t)﴿ = F (x), iz (1) i (4) slijedi formula zamjene

varijabla u neodređenom integralu:

∫ f (x)dx = ∫ f(φ (t)) φ′ (t)dt (5)

Formalno, formula (5) se dobiva zamjenom x s φ (t) i dx s φ′ (t)dt

Slijedi rezultat dobiven integriranjem prema formuli (5).

vratite se na varijablu x. To je uvijek moguće, jer po želji

Osim toga, funkcija x = φ (t) je monotona.

Uspješan izbor zamjene obično uključuje dobro poznate napore.

nost. Za njihovo prevladavanje potrebno je ovladati tehnikom razlikovanja

citati i dobro poznaju tablične integrale.

Ali još uvijek možete uspostaviti niz općih pravila i neke tehnike

integracija.

Pravila integracije supstitucijom:

1. Odredite na koji se integral tablice reducira ovaj integral (nakon transformacije izraza integranda, ako je potrebno).

2. Odredite koji dio funkcije integranda treba zamijeniti

novu varijablu i zapišite ovu zamjenu.

3. Pronađite razlike obaju dijelova zapisa i izrazite razliku

brojčanik stare varijable (ili izraz koji sadrži ovu razliku

regionalni) kroz diferencijal nove varijable.

4. Napravite zamjenu ispod integrala.

5. Pronađite dobiveni integral.

6. Kao rezultat toga, oni idu na staru varijablu.

Primjeri rješavanja integrala metodom supstitucije:

1. Nađi: ∫ x²(3+2x) dx

Riješenje:

napravimo zamjenu 3+2x = t

Nađimo diferencijal obje strane supstitucije:

6x dx = dt, odakle

Stoga:

∫ x (3+2x ) dx = ∫ t ∙ dt = ∫ t dt = ∙ + C = t + C

Zamjenom t s njegovim izrazom iz supstitucije, dobivamo:

∫ x (3+2x) dx = (3+2x) + C

Riješenje:

= = ∫ e = e + C = e + C

Riješenje:

Riješenje:

Riješenje:

Pojam određenog integrala.

Razlika u vrijednostima za bilo koju antiderivacijsku funkciju kada se argument promijeni s na naziva se definitivnim integralom ove funkcije u rasponu od a do b i označava se:

a i b nazivaju se donja i gornja granica integracije.

Za izračun određenog integrala potrebno vam je:

1. Pronađite odgovarajući neodređeni integral

2. Zamijenite u dobiveni izraz umjesto x, prvo gornju granicu integracije u, a zatim donju granicu - a.

3. Oduzmite drugi od prvog rezultata zamjene.

Ukratko, ovo pravilo je napisano u obliku formula poput ove:

Ova se formula naziva Newton-Leibnizova formula.

Osnovna svojstva određenog integrala:

1. , gdje je K=konst

3. Ako je , onda

4. Ako je funkcija nenegativna na intervalu , gdje je , tada

Kod zamjene stare integracijske varijable novom u određenom integralu potrebno je stare integracijske granice zamijeniti novima. Ove nove granice određene su odabranom zamjenom.

Primjena određenog integrala.

Područje krivuljastog trapeza omeđeno krivuljom, x-osi i dvije ravne linije I izračunava se formulom:

Volumen tijela nastalog rotacijom oko x-osi krivocrtnog trapeza omeđenog krivuljom koja ne mijenja predznak s x-osi i dvije ravne crte I izračunava se formulom:

Korištenjem određenog integrala također možete riješiti niz fizičkih problema.

Na primjer:

Ako je brzina tijela koje se pravocrtno giba poznata funkcija vremena t, tada se put S koji to tijelo prijeđe od vremena t = t 1 do vremena t = t 2 određuje formulom:

Ako je promjenljiva sila poznata funkcija puta S (pretpostavlja se da se smjer sile ne mijenja), tada se rad A koji izvrši ta sila na putu od do određuje formulom:

Primjeri:

1. Izračunajte površinu figure omeđene linijama:

y = ; y = (x-2) 2; 0x.

Riješenje:

a) Izgradimo grafove funkcija: y = ; y = (x-2) 2

b) Odredi lik čiju površinu treba izračunati.

c) Odredite granice integracije rješavanjem jednadžbe: = (x-2) 2 ; x = 1;

d) Izračunajte površinu zadane figure:

S = dx + 2 dx = 1 jedinica 2

2. Izračunajte površinu figure omeđene linijama:

Y = x 2; x = y 2 .

Riješenje:

x 2 = ; x 4 = x;

x (x 3 – 1) = 0

x 1 = 0; x 2 = 1

S = - x 2) dx = ( x 3\2 - ) │ 0 1 = jedinica 2

3. Izračunajte obujam tijela dobivenog rotacijom lika omeđenog linijama oko osi 0x: y = ; x = 1.

Riješenje:

V = π dx = π ) 2 dx = π = π │ = π/2 jedinice. 3

Test domaće zadaće iz matematike
Mogućnosti zadataka.

Opcija 1

y = (x + 1) 2; y = 1 – x ; 0x

Opcija br. 2

1. Riješite sustav jednadžbi na tri načina:

2. Izračunajte integrale promjenom varijable:

3. Izračunajte površinu figure omeđene linijama:

y = 6 – x ; y = x 2 + 4

Opcija #3.

1. Riješite sustav jednadžbi na tri načina:

2. Izračunajte integrale promjenom varijable:

3. Izračunajte površinu figure omeđene linijama:

y = - x 2 + 5; y = x + 3

Opcija broj 4.

1. Riješite sustav jednadžbi na tri načina:

2. Izračunajte integrale promjenom varijable:

3. Izračunajte površinu figure omeđene linijama:

y = x 2; x = 3; Vol

Opcija #5.

1. Riješite sustav jednadžbi na tri načina:

2. Izračunajte integrale promjenom varijable:

3. Izračunajte površinu figure omeđene linijama:

y = 3 + 2x – x 2 ; Vol

Opcija broj 6.

1. Riješite sustav jednadžbi na tri načina:

2. Izračunajte integrale promjenom varijable:

3. Izračunajte površinu figure omeđene linijama:

y = x + 6; y = 8 + 2x – x 2

Opcija br. 7

1. Riješite sustav jednadžbi na tri načina:

2. Izračunajte integrale promjenom varijable:

3. Izračunaj obujam tijela koje nastaje rotacijom oko Ox lika omeđenog linijama:

y = sin x; y = 0; x = 0; x = π

Opcija br. 8.

1. Riješite sustav jednadžbi na tri načina:

2. Izračunajte integrale promjenom varijable:

Bibliografija

1. Napisano D.T. Bilješke s predavanja iz više matematike 1., 2. dio. M. IRIS PRESS, 2006.

2. Grigoriev V.P., Dubinsky Yu.A. Elementi više matematike. M. Akademija, 2008

3. Vygodsky M.Ya. Priručnik za višu matematiku. M. Znanost, 2001

4. Shipachev V.S. Viša matematika. M. Viša škola, 2005

5. Shipachev V.S. Problematika iz više matematike. M. Viša škola, 2005

2. Zamjena varijable (metoda supstitucije)

Bit metode supstitucije je da kao rezultat uvođenja nove varijable, zadana teško integral se svodi na tablični ili onaj čiji je način izračuna poznat.

Neka je potrebno izračunati integral. Postoje dva pravila zamjene:

Opće pravilo za odabir funkcije
ne postoji, ali postoji nekoliko vrsta funkcija integranda za koje postoje preporuke za odabir funkcije
.

Zamjena varijabli može se primijeniti nekoliko puta dok se ne dobije rezultat.

Primjer 1. Pronađite integrale:

A)
; b)
; V)
;

G)
; d)
; e)
.

Riješenje.

a) Među tabličnim integralima nema radikala raznih stupnjeva, pa se “želim riješiti”, prije svega,
I
. Da biste to učinili, morat ćete zamijeniti x takav izraz iz kojeg bi se lako mogla izvući oba korijena:

b) Tipičan primjer kada se želi "riješiti" eksponencijalne funkcije
. Ali u ovom slučaju, prikladnije je uzeti cijeli izraz u nazivniku razlomka kao novu varijablu:

;

c) Uočavanje da se u brojniku nalazi umnožak
, koji je dio diferencijala radikalnog izraza, zamijeni cijeli ovaj izraz novom varijablom:

;

d) Ovdje, kao u slučaju a), želim se riješiti radikala. No budući da, za razliku od točke a), postoji samo jedan korijen, zamijenit ćemo ga novom varijablom:

e) Ovdje dvije okolnosti pridonose izboru zamjene: s jedne strane, intuitivna želja da se riješimo logaritama, s druge strane, prisutnost izraza , što je diferencijal funkcije
. Ali kao iu prethodnim primjerima, bolje je uključiti konstante koje prate logaritam u zamjenu:

f) Ovdje, kao i u prethodnom primjeru, intuitivna želja da se riješi glomaznog eksponenta u integrandu je u skladu s dobro poznatom činjenicom:
(formula 8 tablice 3). Stoga imamo:

.

Zamjena varijabli za neke klase funkcija

Pogledajmo neke klase funkcija za koje se mogu preporučiti određene zamjene.

Tablica 4.Racionalne funkcije

Vrsta integrala	Metoda integracije
1.1.
1.2.
1.3.	Odabir cijelog kvadrata:
1.4.	Formula ponavljanja

Transcendentalne funkcije:

1.5.
– zamjena t = e x ;

1.6.
– zamjena t= log a x.

Primjer 2. Nađi integrale racionalnih funkcija:

A)
; b)
;

V)
; d)
.

Riješenje.

a) Ovaj integral ne treba izračunavati pomoću promjene varijabli; ovdje je lakše koristiti zamjenu pod diferencijalnim predznakom:

b) Slično koristimo podvođenje pod diferencijalni predznak:

;

c) Pred nama je integral tipa 1.3 iz tablice 4, koristit ćemo se odgovarajućim preporukama:

e) Slično prethodnom primjeru:

Primjer 3. Pronađite integrale

A)
; b)
.

Riješenje.

b) Integrand sadrži logaritam, pa ćemo koristiti preporuku 1.6. Samo u ovom slučaju prikladnije je zamijeniti ne samo funkciju
, i cijeli radikalni izraz:

.

Tablica 6. Trigonometrijske funkcije (R

Vrsta integrala	Metoda integracije
3.1.	Univerzalna zamjena , , ,
3.1.1. , Ako	Zamjena
3.1.2. , Ako	Zamjena .
3.1.3. . , Ako (tj. postoje samo parni stupnjevi funkcija )	Zamjena
3.2.	Ako – neparan, onda vidi 3.1.1; Ako – neparan, onda vidi 3.1.2; Ako – parno, onda vidi 3.1.3; Ako – čak, onda upotrijebite formule za smanjenje stupnja ,
3.3. , ,	Koristite formule

Primjer 4. Pronađite integrale:

A)
; b)
; V)
; d)
.

Riješenje.

a) Ovdje integriramo trigonometrijsku funkciju. Primijenimo univerzalnu zamjenu (tablica 6, 3.1):

.

b) Ovdje također primjenjujemo univerzalnu zamjenu:

.

Napominjemo da je u razmatranom integralu promjena varijabli morala biti primijenjena dva puta.

c) Slično računamo:

e) Razmotrimo dvije metode za izračunavanje ovog integrala.

1)

.

Kao što vidite, dobili smo različite primitivne funkcije. To ne znači da jedna od korištenih tehnika daje pogrešan rezultat. Činjenica je da koristeći dobro poznate trigonometrijske identitete koji povezuju tangentu polukuta s trigonometrijskim funkcijama punog kuta, imamo

Dakle, pronađeni antiderivati ​​se međusobno podudaraju.

Primjer 5. Pronađite integrale:

A)
; b)
; V)
; G)
.

Riješenje.

a) U ovom integralu također možemo primijeniti univerzalnu zamjenu
, ali budući da je kosinus uključen u integrand na parnu potenciju, racionalnije je koristiti preporuke paragrafa 3.1.3 Tablice 6:

b) Prvo reduciramo sve trigonometrijske funkcije uključene u integrand na jedan argument:

U rezultirajućem integralu možemo primijeniti univerzalnu zamjenu, ali napominjemo da integrand ne mijenja predznak kada se predznaci sinusa i kosinusa promijene:

Posljedično, funkcija ima svojstva navedena u odjeljku 3.1.3 tablice 6, tako da će najprikladnija zamjena biti
. Imamo:

c) Ako se u zadanom integrandu promijeni predznak kosinusa, tada cijela funkcija mijenja predznak:

.

To znači da integrand ima svojstvo opisano u stavku 3.1.2. Stoga je racionalno koristiti zamjenu
. Ali prvo, kao u prethodnom primjeru, transformiramo funkciju integranda:

d) Ako se u danom integrandu promijeni predznak sinusa, tada će cijela funkcija promijeniti predznak, što znači da imamo slučaj opisan u stavku 3.1.1 tablice 6, stoga nova varijabla mora biti označena kao funkcija
. No budući da u integrandu nema prisutnosti funkcije
, niti njegov diferencijal, prvo transformiramo:

Primjer 6. Pronađite integrale:

A)
; b)
;

V)
G)
.

Riješenje.

a) Ovaj integral se odnosi na integrale tipa 3.2 tablice 6. Budući da je sinus neparna potencija, prema preporukama je zgodno zamijeniti funkciju
. Ali prvo transformiramo funkciju integranda:

.

b) Ovaj integral je istog tipa kao i prethodni, ali ovdje su funkcije
I
imaju parne stupnjeve, pa trebate primijeniti formule za smanjenje stupnjeva:
,
. Dobivamo:

=

c) Transformirajte funkciju:

d) Prema preporukama 3.1.3 Tablice 6, u ovom integralu je prikladno izvršiti zamjenu
. Dobivamo:

Tablica 5.Iracionalne funkcije (R– racionalna funkcija njegovih argumenata)

Vrsta integrala	Metoda integracije
	Zamjena , Gdje k – zajednički nazivnik razlomaka …, .
	Zamjena , Gdje k–zajednički nazivnik razlomaka …,
2.3.	zamjena, , Gdje k– zajednički nazivnik eksponentnih razlomaka …,
2.4.	Zamjena .
2.5.	Zamjena ,
2.6.	Zamjena , .
2.7.	Zamjena , .
2.8. (diferencijalni binom), integriran je samo u tri slučaja: A) R– cijeli broj (zamjena x = t k, Gdje k– zajednički nazivnik razlomaka T I P); b) – cijeli (zamjena = t k, Gdje k– nazivnik razlomka R); V) – cijeli (zamjena = t k, Gdje k– nazivnik razlomka R).

Primjer 7. Pronađite integrale:

A)
; b)
; V)
.

Riješenje.

a) Ovaj integral se može klasificirati kao integrali tipa 2.1, pa napravimo odgovarajuću zamjenu. Podsjetimo da je smisao zamjene u ovom slučaju oslobađanje od iracionalnosti. A to znači da radikalni izraz treba zamijeniti takvom potencijom nove varijable iz koje bi se izvukli svi korijeni ispod integrala. U našem slučaju to je očito :

Pod integralom dobivamo nepravi racionalni razlomak. Integriranje takvih frakcija uključuje, prije svega, izolaciju cijelog dijela. Dakle, podijelimo brojnik s nazivnikom:

Onda dobivamo
, odavde

U ovoj lekciji ćemo se upoznati s jednom od najvažnijih i najčešćih tehnika koja se koristi pri rješavanju neodređenih integrala - metodom promjene varijable. Uspješno svladavanje gradiva zahtijeva početno znanje i integracijske vještine. Ako u integralnom računu postoji osjećaj praznog punog čajnika, onda se prvo trebate upoznati s materijalom, gdje sam na pristupačan način objasnio što je integral i detaljno analizirao osnovne primjere za početnike.

Tehnički, metoda promjene varijable u neodređenom integralu provodi se na dva načina:

– Podvođenje funkcije pod diferencijalni predznak;
– Zapravo zamjena varijable.

U suštini, to su iste stvari, ali dizajn rješenja izgleda drugačije.

Počnimo s jednostavnijim slučajem.

Podvođenje funkcije pod diferencijalni predznak

Na lekciji Neodređeni integral. Primjeri rješenja naučili smo kako otvoriti diferencijal, podsjećam vas na primjer koji sam dao:

To jest, otkrivanje diferencijala formalno je gotovo isto što i pronalaženje izvoda.

Primjer 1

Izvršite provjeru.

Gledamo tablicu integrala i nalazimo sličnu formulu: . Ali problem je u tome što ispod sinusa nemamo samo slovo "X", već složen izraz. Što uraditi?

Funkciju dovodimo pod diferencijalni predznak:

Otvaranjem diferencijala lako je provjeriti da:

Zapravo i je zapis iste stvari.

Ali, ipak, ostalo je pitanje kako smo došli na ideju da u prvom koraku trebamo napisati naš integral upravo ovako: ? Zašto ovako, a ne drugačije?

Formula (i sve druge formule tablice) valjane su i primjenjive NE SAMO za varijablu, već i za bilo koji složeni izraz SAMO KAO ARGUMENT FUNKCIJE( – u našem primjeru) A IZRAZ POD RAZLIČNIM ZNAKOM BILI SU ISTO .

Stoga bi mentalno promišljanje pri rješavanju trebalo biti otprilike ovako: “Trebam riješiti integral. Pogledao sam u tablicu i našao sličnu formulu . Ali imam složen argument i ne mogu odmah upotrijebiti formulu. No, ako ga uspijem staviti pod znak diferencijala, onda će sve biti u redu. Onda ako to zapišem. Ali u izvornom integralu nema faktora tri, stoga, kako se funkcija integranda ne bi promijenila, moram ga pomnožiti s ". Tijekom približno takvog mentalnog razmišljanja rađa se sljedeći zapis:

Sada možete koristiti tabličnu formulu :

Spreman

Jedina razlika je u tome što nemamo slovo "X", već složen izraz.

Provjerimo. Otvori tablicu izvedenica i diferenciraj odgovor:

Dobivena je izvorna funkcija integranda, što znači da je integral točno pronađen.

Imajte na umu da smo tijekom provjere koristili pravilo za razlikovanje složene funkcije . U biti, podvođenje funkcije pod diferencijalni predznak i - to su dva međusobno obrnuta pravila.

Primjer 2

Analizirajmo funkciju integranda. Ovdje imamo razlomak, a nazivnik je linearna funkcija (s "X" na prvu potenciju). Gledamo tablicu integrala i nalazimo nešto najsličnije: .

Funkciju dovodimo pod diferencijalni predznak:

Oni kojima je teško odmah shvatiti kojim razlomkom treba pomnožiti mogu brzo otkriti razliku u nacrtu: . Da, ispada da to znači da, kako se ništa ne bi promijenilo, moram pomnožiti integral s .
Zatim koristimo tabelarnu formulu :

Ispitivanje:


Dobivena je izvorna funkcija integranda, što znači da je integral točno pronađen.

Primjer 3

Nađi neodređeni integral. Izvršite provjeru.

Primjer 4

Nađi neodređeni integral. Izvršite provjeru.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Odgovor je na kraju lekcije.

Uz malo iskustva u rješavanju integrala, takvi će se primjeri činiti lakima i kliktati kao orasi:

Na kraju ovog odjeljka želio bih se zadržati i na "slobodnom" slučaju, kada u linearnu funkciju ulazi varijabla s jediničnim koeficijentom, na primjer:

Strogo govoreći, rješenje bi trebalo izgledati ovako:

Kao što vidite, podvođenje funkcije pod diferencijalni predznak prošlo je “bezbolno”, bez ikakvih množenja. Stoga se u praksi tako dugo rješenje često zanemaruje i odmah zapisuje . Ali budite spremni, ako treba, objasniti učitelju kako ste to riješili! Jer u tablici zapravo nema integrala.

Metoda promjene varijable u neodređenom integralu

Prijeđimo na razmatranje općeg slučaja - metode promjene varijabli u neodređenom integralu.

Primjer 5

Nađi neodređeni integral.

Kao primjer uzeo sam integral koji smo gledali na samom početku lekcije. Kao što smo već rekli, za rješavanje integrala svidjela nam se tabularna formula , a htio bih cijelu stvar svesti na nju.

Ideja iza metode zamjene je da se zamijeniti složeni izraz (ili neku funkciju) jednim slovom.
U ovom slučaju moli se:
Drugo najpopularnije zamjensko slovo je slovo .
U principu, možete koristiti druga slova, ali mi ćemo se i dalje pridržavati tradicije.

Tako:
Ali kada ga zamijenimo, ostaje nam ! Vjerojatno su mnogi pogodili da ako se prijeđe na novu varijablu, tada bi u novom integralu sve trebalo biti izraženo slovom, a tu uopće nema mjesta za diferencijal.
Logičan zaključak je da je potrebno pretvoriti u neki izraz koji ovisi samo o.

Radnja je sljedeća. Nakon što smo odabrali zamjenu, u ovom primjeru, moramo pronaći diferencijal. S razlikama, mislim da su svi već uspostavili prijateljstvo.

Od tad

Nakon rastavljanja diferencijala, preporučujem da prepišete konačni rezultat što je kraće moguće:
Sada, prema pravilima proporcije, izražavamo ono što nam je potrebno:

Eventualno:
Tako:

A ovo je već najstolniji integral (tablica integrala, naravno, vrijedi i za varijablu).

Konačno, sve što ostaje je izvršiti obrnutu zamjenu. Zapamtimo to.

Spreman.

Konačni dizajn razmatranog primjera trebao bi izgledati otprilike ovako:

“

Zamijenimo:

“

Ikona nema nikakvo matematičko značenje; to znači da smo prekinuli rješenje radi međuobjašnjenja.

Kada pripremate primjer u bilježnici, bolje je označiti obrnutu zamjenu jednostavnom olovkom.

Pažnja! U sljedećim primjerima pronalaženje diferencijala neće biti detaljno opisano.

A sada je vrijeme da se prisjetimo prvog rješenja:

Koja je razlika? Nema temeljne razlike. To je zapravo ista stvar. Ali sa stajališta izrade zadatka, metoda podvođenja funkcije pod diferencijalni predznak puno je kraća.

Postavlja se pitanje. Ako je prva metoda kraća, zašto onda koristiti metodu zamjene? Činjenica je da za niz integrala nije tako lako "uklopiti" funkciju u predznak diferencijala.

Primjer 6

Nađi neodređeni integral.

Napravimo zamjenu: (ovdje je teško smisliti drugu zamjenu)

Kao što vidite, kao rezultat zamjene, izvorni integral je značajno pojednostavljen - sveden na običnu funkciju snage. To je svrha zamjene - pojednostaviti integral.

Lijeni napredni ljudi mogu lako riješiti ovaj integral stavljanjem funkcije pod diferencijalni predznak:

Druga je stvar što takvo rješenje očito nije za sve studente. Osim toga, već u ovom primjeru koristi se metoda podvođenja funkcije pod diferencijalni predznak značajno povećava rizik od zabune u odluci.

Primjer 7

Nađi neodređeni integral. Izvršite provjeru.

Primjer 8

Nađi neodređeni integral.

Zamjena:
U što će se pretvoriti, ostaje za vidjeti

Dobro, izrazili smo to, ali što učiniti s “X”-om koji je ostao u brojniku?!
S vremena na vrijeme, pri rješavanju integrala, susrećemo se sa sljedećim trikom: izrazit ćemo iz iste zamjene !

Primjer 9

Nađi neodređeni integral.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Odgovor je na kraju lekcije.

Primjer 10

Nađi neodređeni integral.

Sigurno su neki ljudi primijetili da u mojoj tablici pretraživanja ne postoji pravilo zamjene varijabli. To je učinjeno namjerno. Pravilo bi stvorilo zabunu u objašnjenju i razumijevanju, jer se ne pojavljuje eksplicitno u gornjim primjerima.

Sada je vrijeme da razgovaramo o osnovnoj premisi korištenja metode zamjene varijable: integrand mora sadržavati neku funkciju i njezinu derivaciju:(funkcije možda nisu u proizvodu)

U tom smislu, pri pronalaženju integrala često morate pogledati tablicu derivata.

U primjeru koji razmatramo primjećujemo da je stupanj brojnika za jedan manji od stupnja nazivnika. U tablici izvedenica nalazimo formulu, koja samo smanjuje stupanj za jedan. A to znači da ako ga označite kao nazivnik, velike su šanse da će se brojnik pretvoriti u nešto dobro.

Prijeđimo na razmatranje općeg slučaja - metode promjene varijabli u neodređenom integralu.

Primjer 5

Kao primjer uzeo sam integral koji smo gledali na samom početku lekcije. Kao što smo već rekli, za rješavanje integrala svidjela nam se tabularna formula, te bismo htjeli svesti cijelu stvar na nju.

Ideja iza metode zamjene je da se zamijeniti složeni izraz (ili neku funkciju) jednim slovom.
U ovom slučaju moli se:
Drugo najpopularnije zamjensko slovo je slovo .
U principu, možete koristiti druga slova, ali mi ćemo se i dalje pridržavati tradicije.

Tako:
Ali kada ga zamijenimo, ostaje nam ! Vjerojatno su mnogi pogodili da ako se prijeđe na novu varijablu, tada bi u novom integralu sve trebalo biti izraženo slovom, a tu uopće nema mjesta za diferencijal.
Logičan zaključak je da je potrebno pretvoriti u neki izraz koji ovisi samo o.

Radnja je sljedeća. Nakon što smo odabrali zamjenu, u ovom primjeru, moramo pronaći diferencijal. S razlikama, mislim da su svi već uspostavili prijateljstvo.

Od tad

Nakon rastavljanja diferencijala, preporučujem da prepišete konačni rezultat što je kraće moguće:
Sada, prema pravilima proporcije, izražavamo ono što nam je potrebno:

Eventualno:
Tako:

A ovo je već najtabličniji integral ( tablica integrala, naravno, vrijedi i za varijablu).

Konačno, sve što ostaje je izvršiti obrnutu zamjenu. Zapamtimo to.

Spreman.

Konačni dizajn razmatranog primjera trebao bi izgledati otprilike ovako:

“

Zamijenimo:

“

Ikona nema nikakvo matematičko značenje; to znači da smo prekinuli rješenje radi međuobjašnjenja.

Kada pripremate primjer u bilježnici, bolje je označiti obrnutu zamjenu jednostavnom olovkom.

Pažnja! U sljedećim primjerima pronalaženje diferencijala neće biti detaljno opisano.

A sada je vrijeme da se prisjetimo prvog rješenja:

Koja je razlika? Nema temeljne razlike. To je zapravo ista stvar. Ali sa stajališta izrade zadatka, metoda podvođenja funkcije pod diferencijalni predznak puno je kraća.

Postavlja se pitanje. Ako je prva metoda kraća, zašto onda koristiti metodu zamjene? Činjenica je da za niz integrala nije tako lako "uklopiti" funkciju u predznak diferencijala.

Primjer 6

Nađi neodređeni integral.

Napravimo zamjenu: (ovdje je teško smisliti drugu zamjenu)

Kao što vidite, kao rezultat zamjene, izvorni integral je značajno pojednostavljen - sveden na običnu funkciju snage. To je svrha zamjene - pojednostaviti integral.

Lijeni napredni ljudi mogu lako riješiti ovaj integral stavljanjem funkcije pod diferencijalni predznak:

Druga je stvar što takvo rješenje očito nije za sve studente. Osim toga, već u ovom primjeru koristi se metoda podvođenja funkcije pod diferencijalni predznak značajno povećava rizik od zabune u odluci.

Primjer 7

Nađi neodređeni integral. Izvršite provjeru.

Primjer 8

Nađi neodređeni integral.

Zamjena:
U što će se to pretvoriti ostaje za vidjeti

Dobro, izrazili smo to, ali što učiniti s “X”-om koji je ostao u brojniku?!
S vremena na vrijeme, tijekom rješavanja integrala, susrećemo se sa sljedećim trikom: izrazit ćemo iz iste zamjene !

Primjer 9

Nađi neodređeni integral.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Odgovor je na kraju lekcije.

Primjer 10

Nađi neodređeni integral.

Sigurno su neki ljudi primijetili da u mojoj tablici pretraživanja ne postoji pravilo zamjene varijabli. To je učinjeno namjerno. Pravilo bi stvorilo zabunu u objašnjenju i razumijevanju, jer se ne pojavljuje eksplicitno u gornjim primjerima.

Sada je vrijeme da razgovaramo o osnovnoj premisi korištenja metode zamjene varijable: integrand mora sadržavati neku funkciju i njegova izvedenica : (funkcije možda nisu u proizvodu)

U tom smislu, pri pronalaženju integrala često morate pogledati tablicu derivata.

U primjeru koji razmatramo primjećujemo da je stupanj brojnika za jedan manji od stupnja nazivnika. U tablici izvedenica nalazimo formulu, koja samo smanjuje stupanj za jedan. A to znači da ako ga označite kao nazivnik, velike su šanse da će se brojnik pretvoriti u nešto dobro.

Zamjena:

Usput, nije tako teško podvesti funkciju pod diferencijalni znak:

Valja napomenuti da za razlomke poput , ovaj trik više neće raditi (točnije, bit će potrebno primijeniti ne samo tehniku ​​zamjene). Možete naučiti integrirati neke razlomke u razredu. Integriranje nekih razlomaka.

Evo još nekoliko tipičnih primjera za samostalna rješenja iz iste opere:

Primjer 11

Nađi neodređeni integral.

Primjer 12

Nađi neodređeni integral.

Rješenja na kraju lekcije.

Primjer 13

Nađi neodređeni integral.

Gledamo tablicu derivacija i nalazimo naš ark kosinus: . U našem integrandu imamo ark kosinus i nešto slično njegovoj derivaciji.

Opće pravilo:
Iza označavamo samu funkciju(a ne njegov derivat).

U ovom slučaju: . Ostaje saznati u što će se pretvoriti preostali dio integranda.

U ovom primjeru detaljno ću opisati nalaz jer se radi o složenoj funkciji.

Ili ukratko:
Koristeći pravilo proporcije, izražavamo ostatak koji nam je potreban:

Tako:

Ovdje više nije tako jednostavno podvesti funkciju pod diferencijalni predznak.

Primjer 14

Nađi neodređeni integral.

Primjer za samostalno rješenje. Odgovor je vrlo blizu.

Pažljivi čitatelji primijetit će da sam razmotrio nekoliko primjera s trigonometrijskim funkcijama. I to nije slučajno, jer pod integrali trigonometrijskih funkcija predviđena je zasebna lekcija. Štoviše, ova lekcija pruža neke korisne smjernice za zamjenu varijable, što je posebno važno za lutke, koji ne razumiju uvijek i ne razumiju odmah kakvu zamjenu treba napraviti u određenom integralu. U članku možete vidjeti i neke vrste zamjena Određeni integral. Primjeri rješenja.

Iskusniji studenti mogu se upoznati s tipičnom zamjenom u integralima s iracionalnim funkcijama. Supstitucija kod integriranja korijena je specifična, a njena tehnika se razlikuje od one o kojoj smo govorili u ovoj lekciji.

Želim ti uspjeh!

Primjer 3:Riješenje :

Primjer 4:Riješenje :

Primjer 7:Riješenje :

Primjer 9:Riješenje :

Zamjena:

Primjer 11:Riješenje :

Zamijenimo:

Primjer 12:Riješenje :

Zamijenimo:

Primjer 14:Riješenje :

Zamijenimo:

Integracija po dijelovima. Primjeri rješenja

Bok opet. Danas ćemo u lekciji naučiti kako integrirati po dijelovima. Metoda integracije po dijelovima jedan je od temelja integralnog računa. Tijekom kolokvija ili ispita od studenata se gotovo uvijek traži rješavanje sljedećih vrsta integrala: najjednostavniji integral (vidi članakNeodređeni integral. Primjeri rješenja ) ili integral zamjenom varijable (vidi članakMetoda promjene varijable u neodređenom integralu ) ili je integral samo na metoda integracije po dijelovima.

Kao i uvijek, trebali biste imati pri ruci: Tablica integrala I Tablica izvedenica. Ako ih još uvijek nemate, posjetite skladište moje web stranice: Matematičke formule i tablice. Neću se umoriti ponavljati - bolje je sve isprintati. Pokušat ću prikazati sav materijal dosljedno, jednostavno i jasno; nema posebnih poteškoća u integraciji dijelova.

Koji problem rješava metoda integracije po dijelovima? Metoda integracije po dijelovima rješava vrlo važan problem; omogućuje integraciju nekih funkcija koje nisu u tablici, raditi funkcije, au nekim slučajevima čak i kvocijente. Kao što se sjećamo, ne postoji prikladna formula: . Ali postoji ovaj: – formula za integraciju po dijelovima osobno. Znam, znam, ti si jedina - s njom ćemo raditi tijekom cijele lekcije (sada je lakše).

4) , – inverzne trigonometrijske funkcije (“lukovi”), “lukovi” pomnoženi nekim polinomom.

Neki razlomci su također uzeti u dijelovima; također ćemo detaljno razmotriti odgovarajuće primjere.

Integrali logaritama

Primjer 1

Nađi neodređeni integral.

klasična. S vremena na vrijeme ovaj se integral može pronaći u tablicama, ali nije preporučljivo koristiti gotov odgovor, jer učitelj ima proljetni nedostatak vitamina i jako će psovati. Budući da razmatrani integral nipošto nije tablični - uzima se u dijelovima. Mi odlučujemo:

Prekidamo rješenje za međuobjašnjenja.

Koristimo formulu integracije po dijelovima:

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.

Odgojni zadaci:

• naučiti učenike koristiti metodu integracije supstitucijom;
• nastaviti razvijati vještine u korištenju integracije funkcija;
• nastaviti razvijati interes za matematiku kroz rješavanje problema;
• njegovati svjestan odnos prema procesu učenja, usaditi osjećaj odgovornosti za kvalitetu znanja, vježbati samokontrolu nad procesom rješavanja i osmišljavanja vježbi;
• podsjetiti da će samo svjesno korištenje algoritama za izračunavanje neodređenog integrala omogućiti učenicima kvalitativno svladavanje teme koja se proučava.

Pružanje nastave:

• tablica osnovnih integracijskih formula;
• kartice sa zadacima za probni rad.

Učenik mora znati: algoritam za izračunavanje neodređenog integrala metodom supstitucije.

Student mora biti sposoban: primijeniti stečena znanja na izračun neodređenih integrala.

Motivacija kognitivne aktivnosti učenika.

Nastavnik navodi da osim metode izravne integracije postoje i druge metode za izračunavanje neodređenih integrala, od kojih je jedna metoda supstitucije. Ovo je najčešća metoda integriranja složene funkcije, koja se sastoji od transformacije integrala prelaskom na drugu integracijsku varijablu.

Napredak lekcije

ja. Organiziranje vremena.

II. Provjera domaće zadaće.

Frontalno ispitivanje:

III. Ponavljanje temeljnih znanja učenika.

1) Ponoviti tablicu osnovnih integracijskih formula.

2) Ponovite što je metoda izravne integracije.

Izravna integracija je metoda integracije u kojoj se dati integral reducira na jedan ili više tabličnih integrala pomoću identičnih transformacija integranda i primjenom svojstava neodređenog integrala.

IV. Učenje novog gradiva.

Nije uvijek moguće izračunati zadani integral izravnom integracijom, a ponekad je to povezano s velikim poteškoćama. U tim se slučajevima koriste druge tehnike. Jedna od najučinkovitijih tehnika je metoda supstitucije ili zamjene integracijske varijable. Bit ove metode je da je uvođenjem nove integracijske varijable moguće dati integral reducirati na novi integral, koji je relativno lako izravno uzeti. Ako nakon promjene varijable integral postane jednostavniji, tada je svrha zamjene postignuta. Integracija metodom supstitucije temelji se na formuli

Razmotrimo ovu metodu.

Algoritam izračunaneodređeni integral metodom supstitucije:

1. Odredite na koji se tablični integral ovaj integral reducira (nakon prve transformacije integranda, ako je potrebno).
2. Odredite koji dio integranda zamijeniti novom varijablom i zapišite tu zamjenu.
3. Pronađite diferencijale obaju dijelova zapisa i izrazite diferencijal stare varijable (ili izraz koji sadrži taj diferencijal) u terminima diferencijala nove varijable.
4. Napravite zamjenu ispod integrala.
5. Pronađite dobiveni integral.
6. Kao rezultat toga, vrši se obrnuta zamjena, tj. idi na staru varijablu. Korisno je rezultat provjeriti diferenciranjem.

Pogledajmo primjere.

Primjeri. Pronađite integrale:

1) )4

Uvedimo zamjenu:

Diferencirajući ovu jednakost, imamo:

V. Primjena znanja pri rješavanju tipičnih primjera.

VI. Samostalna primjena znanja, vještina i sposobnosti.

opcija 1

Pronađite integrale:

opcija 2

Pronađite integrale:

VII. Sažimanje lekcije.

VIII. Domaća zadaća:

G.N. Yakovlev, dio 1, §13.2, stavak 2, br. 13.13 (1,4,5), 13.15 (1,2,3)