Ekvivalentne matrice

Kao što je gore spomenuto, minor matrice reda s je determinanta matrice formirane od elemenata izvorne matrice smještenih na sjecištu bilo kojih odabranih s redaka i s stupaca.

Definicija. U matrici reda mn minor reda r nazivamo bazičnim ako nije jednak nuli, a svi minori reda r+1 i više jednaki su nuli ili uopće ne postoje, tj. r odgovara manjem od m ili n.

Stupci i retci matrice koji sadrže bazni minor također se nazivaju baznim.

Matrica može imati nekoliko različitih baznih minora koji imaju isti redoslijed.

Definicija. Red baznog minora matrice naziva se rang matrice i označava se s Rg A.

Vrlo važno svojstvo elementarnih matričnih transformacija je da ne mijenjaju rang matrice.

Definicija. Matrice dobivene kao rezultat elementarne transformacije nazivaju se ekvivalentne.

Treba napomenuti da su jednake matrice i ekvivalentne matrice potpuno različiti pojmovi.

Teorema. Najveći broj linearno neovisnih stupaca u matrici jednak je broju linearno neovisnih redaka.

Jer elementarne transformacije ne mijenjaju rang matrice, tada se proces pronalaženja ranga matrice može znatno pojednostaviti.

Primjer. Odredite rang matrice.

2. Primjer: Odredite rang matrice.

Ako pomoću elementarnih transformacija nije moguće pronaći matricu ekvivalentnu izvornoj, ali manje veličine, tada pronalaženje ranga matrice treba započeti izračunavanjem minora najvišeg mogućeg reda. U gornjem primjeru, to su minori reda 3. Ako barem jedan od njih nije jednak nuli, tada je rang matrice jednak redu ovog minora.

Teorem o bazičnom minoru.

Teorema. U proizvoljnoj matrici A svaki stupac (redak) je linearna kombinacija stupaca (redaka) u kojima se nalazi bazni minor.

Dakle, rang proizvoljne matrice A jednak je maksimalnom broju linearno neovisnih redaka (stupaca) u matrici.

Ako je A kvadratna matrica i det A = 0, tada je barem jedan od stupaca linearna kombinacija preostalih stupaca. Isto vrijedi i za žice. Ova tvrdnja slijedi iz svojstva linearne ovisnosti kada je determinanta jednaka nuli.

Rješavanje proizvoljnih sustava linearnih jednadžbi

Kao što je gore spomenuto, matrična metoda i Cramerova metoda primjenjive su samo na one sustave linearnih jednadžbi u kojima je broj nepoznanica jednak broju jednadžbi. Zatim razmatramo proizvoljne sustave linearnih jednadžbi.

Definicija. Sustav od m jednadžbi s n nepoznanica u općem obliku zapisuje se na sljedeći način:

gdje su aij koeficijenti, a bi konstante. Rješenja sustava su n brojeva, koji, kada se supstituiraju u sustav, pretvaraju svaku njegovu jednadžbu u identitet.

Definicija. Ako sustav ima barem jedno rješenje, tada se naziva spojem. Ako sustav nema jedno rješenje, tada se naziva nekonzistentan.

Definicija. Sustav se naziva determiniranim ako ima samo jedno rješenje i neodređenim ako ih ima više od jednog.

Definicija. Za sustav linearnih jednadžbi matrica

A = naziva se matrica sustava, a matrica

A*= naziva se proširena matrica sustava

Definicija. Ako je b1, b2, …,bm = 0, tada se sustav naziva homogenim. homogen sustav je uvijek konzistentan, jer uvijek ima nulto rješenje.

Elementarne transformacije sustava

Elementarne transformacije uključuju:

1) Dodavanje obje strane jedne jednadžbe odgovarajućih dijelova druge, pomnoženih s istim brojem, koji nije jednak nuli.

2) Preuređivanje jednadžbi.

3) Uklanjanje iz sustava jednadžbi koje su identiteti za sve x.

Kronecker-Kapeli teorem (uvjet konzistentnosti sustava).

(Leopold Kronecker (1823-1891) njemački matematičar)

Teorem: Sustav je konzistentan (ima barem jedno rješenje) ako i samo ako je rang matrice sustava jednak rangu proširene matrice.

Očito se sustav (1) može napisati u obliku.

Naš neposredni cilj je dokazati da se bilo koja matrica može svesti na neke standardne forme koristeći elementarne transformacije. Jezik ekvivalentnih matrica je koristan na ovom putu.

Neka bude. Reći ćemo da je matrica l_ekvivalentna (p_ekvivalentna ili ekvivalentna) matrici i označiti (ili) ako se matrica može dobiti iz matrice korištenjem konačnog broja elementarnih transformacija retka (stupca ili retka i stupca). Jasno je da su l_ekvivalentne i p_ekvivalentne matrice ekvivalentne.

Najprije ćemo pokazati da se svaka matrica može reducirati na poseban oblik koji se naziva reducirana samo transformacijama redaka.

Neka bude. Za redak koji nije nula ove matrice kaže se da ima reducirani oblik ako sadrži element jednak 1 tako da su svi elementi stupca osim jednaki nuli, . Označeni pojedinačni element pravca nazvat ćemo vodećim elementom tog pravca i zatvoriti ga u krug. Drugim riječima, redak matrice ima reducirani oblik ako ta matrica sadrži stupac oblika

Na primjer, u sljedećoj matrici

linija ima sljedeći oblik, jer. Obratimo pozornost na činjenicu da u ovom primjeru element također pretendira biti vodeći element linije. Ubuduće, ako linija zadanog tipa sadrži više elemenata koji imaju vodeća svojstva, odabirat ćemo samo jedan od njih na proizvoljan način.

Za matricu se kaže da ima reducirani oblik ako svaki od njezinih redaka koji nije nula ima reducirani oblik. Na primjer, matrica

ima sljedeći oblik.

Propozicija 1.3 Za svaku matricu postoji ekvivalentna matrica reduciranog oblika.

Doista, ako matrica ima oblik (1.1) i tada nakon provedbe elementarnih transformacija u njoj

dobijemo matricu

u kojem niz ima sljedeći oblik.

Drugo, ako je redak u matrici smanjen, tada će se nakon provedbe elementarnih transformacija (1.20) redak matrice reducirati. Doista, budući da je dano, postoji takav stupac

ali tada i, posljedično, nakon provođenja transformacija (1.20) stupac se ne mijenja, tj. . Stoga linija ima sljedeći oblik.

Sada je jasno da ćemo redom transformirati svaki ne-nulti redak matrice na gornji način, nakon konačnog broja koraka, dobiti matricu reduciranog oblika. Budući da su za dobivanje matrice korištene samo elementarne transformacije retka, ona je l_ekvivalentna matrici. >

Primjer 7. Konstruirajte matricu reduciranog oblika, l_ekvivalentnu matrici

Često se susreću koncepti jednakosti i ekvivalencije matrica.

Definicija 1

Kaže se da je matrica $A=\left(a_(ij) \right)_(m\times n) $ jednaka matrici $B=\left(b_(ij) \right)_(k\times l ) $ ako se njihove dimenzije $(m=k,n=l)$ poklapaju i odgovarajući elementi uspoređivanih matrica su međusobno jednaki.

Za matrice 2. reda napisane u općem obliku, jednakost matrica može se napisati na sljedeći način:

Primjer 1

Zadane matrice:

1) $A=\lijevo(\begin(niz)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(niz)\desno),B=\lijevo(\begin( array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right)$;

2) $A=\lijevo(\begin(niz)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(niz)\desno),B=\lijevo(\begin( niz)(c) (-3) \\ (2) \end(niz)\desno)$;

3) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( array)(cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \end(array)\right)$.

Odredite jesu li matrice jednake.

1) $A=\lijevo(\begin(niz)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(niz)\desno),B=\lijevo(\begin( array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right)$

Matrice A i B imaju isti poredak, jednak 2$\puta $2. Odgovarajući elementi matrica koje se uspoređuju su jednaki, stoga su matrice jednake.

2) $A=\lijevo(\begin(niz)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(niz)\desno),B=\lijevo(\begin( niz)(c) (-3) \\ (2) \end(niz)\desno)$

Matrice A i B imaju različite redove, jednake 2$\times $2 odnosno 2$\times $1.

3) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( array)(cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \end(array)\right)$

Matrice A i B imaju isti poredak, jednak 2$\puta $2. Međutim, nisu svi odgovarajući elementi matrica koje se uspoređuju jednaki; stoga matrice nisu jednake.

Definicija 2

Elementarna matrična transformacija je transformacija koja čuva ekvivalentnost matrica. Drugim riječima, elementarna transformacija ne mijenja skup rješenja sustava linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE) koje ova matrica predstavlja.

Elementarne transformacije redaka matrice uključuju:

• množenje retka matrice s brojem $k$ koji nije jednak nuli (determinanta matrice se povećava $k$ puta);
• zamjena bilo koja dva retka matrice;
• dodajući elementima jednog retka matrice elemente drugog retka.

Isto se odnosi i na stupce matrice i naziva se elementarnim transformacijama stupaca.

Definicija 3

Ako prijeđemo s matrice A pomoću elementarne transformacije na matricu B, tada se izvorna i rezultirajuća matrica nazivaju ekvivalentnima. Za označavanje ekvivalencije matrica upotrijebite znak "$ \sim$", na primjer, $A\sim B$.

Primjer 2

Data matrica: $A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & (2 ) & (3) \end(niz)\desno)$.

Izvršite elementarne transformacije redova matrice jedan po jedan.

Zamijenimo prvi i drugi redak matrice A:

Pomnožimo prvi redak matrice B s brojem 2:

Zbrojimo prvi red s drugim redom matrice:

Definicija 4

Matrica koraka je matrica koja zadovoljava sljedeće uvjete:

• ako postoji nulti red u matrici, svi redovi ispod njega su također nula;
• Prvi ne-nulti element svake ne-nulte linije mora se nalaziti striktno desno od vodećeg elementa u retku koji je iznad ovog.

Primjer 3

Matrice $A=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & ( 3) \end(array)\right)$ i $B=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & (0) \end(array)\right)$ su matrice ešalona.

Komentar

Možete reducirati matricu u oblik ešalona pomoću ekvivalentnih transformacija.

Primjer 4

Dana matrica: $A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2 ) & (3) \end(array)\right)$. Smanjite matricu na oblik koraka.

Zamijenimo prvi i drugi redak matrice A:

Pomnožimo prvi redak matrice B s brojem 2 i dodajmo ga drugom redu:

Pomnožimo prvi redak matrice C s brojem -1 i pribrojimo ga trećem redu:

Pomnožimo drugi redak matrice D s brojem -2 i dodajmo ga trećem redu:

$K=\lijevo(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) & (- 20) \end(array)\right)$ je matrica tipa echelon.