Переменные состояния динамической системы. Определение переменной состояния

Анализ и синтез систем управления во временной области основан на понятии состояния системы. Состояние системы-это совокупность таких переменных, знание которых, наряду со входными функциями и уравнениями, описывающими динамику системы, позволяет определить ее будущее состояние и выходную переменную. Для динамиче­ской системы ее состояние описывается набором переменных состояния [ЛГ[(?), X2(t) Х„(0]- Это такие переменные, которые определяют будущее поведение систе­мы, если известно ее текущее состояние и все внешние воздействия. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 3.1, где^,^) иy2(t) есть выходные переменные, a ux(t) и u2(t)- вход­ные переменные. Для ЭТОЙ системы переменные (*[, х2,..., хп) имеют следующий смысл: если в момент времени t0 известны начальные значения [^(fo), x2(t0), ...,xn(tQ)] и входные сигналы щ(і) и u2(f) для t > t0, то этой информации достаточно, чтобы определить будущие значения всех переменных состояния и выходных переменных.

Переменные состояния описывают поведение системы в будущем, если извест­ны текущее состояние, внешние воздействия и уравнения динамики системы.

Общий вид динамической системы приведен на рис. 3.2.

Простым примером переменной состояния может служить положение выключателя электролампочки. Выключатель может быть в одном из двух положений - «включено» или «выключено», поэтому его состоянию соответствует одно из двух возможных значе­ний. Если мы знаем, в каком состоянии (положении) находится выключатель в момент времени t0, и если мы прикладываем к нему воздействие, то мы всегда можем определить будущее состояние элемента.

xx(t)=y(i) И x2(t) = -

Дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы, обычно записывается в виде

Эти уравнения по сути описывают поведение системы в терминах скорости изменения каждой переменной состояния.

Другим примером системы, которую можно описать переменными состояния, яв­ляется ТЛС-цепь, изображенная на рис. 3.4.

Состояние системы характеризуется двумя переменными (Х[, х2) где хх есть напряжение на конденсаторе vc(/), и х2 - ток через ин­дуктивность //(/). Выбор этих переменных интуитивно понятен, т. к. общая энергия, за­пасенная в цепи, непосредственно зависит от них, как

E=(l/2)Z,/£ +(1/2)Cvc2. (3.5)

Таким образом, Х](/0) и x2(t0) несут информацию о полной начальной энергии в цепи и, сле­довательно, о состоянии системы в момент t = /0. Для описания пассивной ЛіС-цепи число необходимых переменных состояния равно числу независимых элементов, накапливаю­щих энергию. Используя закон Кирхгофа для токов, запишем дифференциальное уравне­ние первого порядка, определяющее скорость изменения напряжения на конденсаторе:

іс ~С - у - = u(t)~ і і (3.6)

Источник4^ тока

Рис. 3.4. RLC-цепь

Закон Кирхгофа для напряжений, примененный к правому контуру, дает уравнение, опре­деляющее скорость изменения тока через индуктивность:

L^=-Ri, + vc. (3.7)

Выход системы определяется линейным алгебраическим уравнением:

Уравнения (3.6) и (3.7) мы можем переписать в виде системы двух дифференциальных уравнений относительно переменных состояния хх и х2:

*L-lx --Х Г3 9Ї

Тогда выходной сигнал будет равен

^i(0 = v0(0 = R х2. (3.10)

Используя уравнения (3.8) и (3.9), а также начальные условия , мы сможем определить будущее поведение системы и ее выходную переменную.

Переменные состояния, описывающие систему, не являются единственными, и все­гда можно выбрать альтернативную комбинацию таких переменных. Например, для сис­темы второго порядка, такой как масса-пружина или RLC-цепь, в качестве переменных состояния можно выбрать любые две линейно независимые комбинации xx{t) и x2(t). Так, для RLC-цепи мы могли бы принять за переменные состояния два напряжения, vc(/) и v; (/), где vL - напряжение на индуктивности. Тогда новые переменные состояния, х, их"2, будут связаны со старыми переменными хх и х2 соотношениями:

х =vc =х, (3.11)

х* = Vj =vc - RiL =х, - Rx2. (3.12)

Уравнение (3.12) связывает напряжение на индуктивности со старыми переменными состояния vc и iL. В реальной системе всегда можно образовать несколько комбинаций пе­ременных состояния, которые определяют энергию, запасенную в системе, и, следовате­льно, адекватно описывают ее динамику. На практике в качестве переменных состояния часто выбирают такие физические переменные, которые легко могут быть измерены.

Альтернативный метод получения модели в переменных состояния основан на испо­льзовании графа связей. Такие графы могут быть построены для электрических, механи­ческих, гидравлических и тепловых элементов или систем, а также для комбинаций эле­ментов различных типов. Графы связей позволяют получить систему уравнений относи­

тельно переменных состояния.

Переменные состояния характеризуют динамику системы. Инженера в первую оче­редь интересуют физические системы, в которых переменными являются напряжения, токи, скорости, перемещения, давления, температуры и другие аналогичные физические величины. Однако понятие состояния применимо к анализу не только физических, но так­же биологических, социальных и экономических систем. Для этих систем понятие состоя­ния не ограничивается рамками представлений об энергии и подходит к переменным со­стояния в более широком смысле, трактуя их как переменные любой природы, описываю­щие будущее поведение системы.

А б в

Накопителем энергии - емкостью

Расчет переходных процессов в цепях с одним

Электромагнитные процессы при переходном процессе в таких цепях обусловлены запасом электрической энергии в емкости С и рассеиванием этой энергии в виде тепла на активных сопротивлениях цепи. При составлении дифференциального уравнения следует в качестве неизвестной функции выбрать напряжение u C на емкости. Следует отметить, что при расчете установившихся режимов, т. е. при определении начальных условий и принужденной составляющей, сопротивление емкости в цепях постоянного тока равно бесконечности.

Пример 6.2. Включение последовательной цепи R,C на постоянное напряжение.

Цепь (рис. 6.3, а ), состоящая из последовательно соединенных сопротивления R = 1000 Ом и емкости С = 200 мкФ, в некоторый момент времени подключается к постоянному напряжению U= 60 В. Требуется определить ток и напряжение емкости в переходном процессе и построить графики u C (t ), i (t ).

R i R i, A u, B

U C U C t = 0.02,c

0 t 2t 3t t , с

Решение. 1. Определяем начальные условия. Начальное условие u C (-0) = 0, так как цепь до коммутации была отключена (полагаем достаточно длительное время).

2. Изображаем электрическую цепь после коммутации (рис. 6.3, б ), указываем направления тока и напряжений и для нее составляем уравнение по второму закону Кирхгофа

или .

3. Преобразуем уравнение п.2 в дифференциальное. Для этого, подставив вместо тока i известное уравнение , получим:

4. Решение уравнения (искомое напряжение на емкости) ищем в виде:

.

5. Определяем . Так как в цепи постоянного тока в установившемся режиме сопротивление емкости равно бесконечности (при этом ), то все напряжение будет приложено к емкости. Поэтому

u C пр =U= 60 В.

6. Составляем однородное дифференциальное уравнение

решением которого будет функция

7. Составляем характеристическое уравнение RC l + 1= 0, корень которого равен

Постоянная времени

8. Запишем решение .

9. Согласно второму закону коммутации и начальным условиям

10. Определим постоянную интегрирования А путем подстановки t =0 в уравнение п.8

Напряжение на емкости в переходном процессе

11. Ток в цепи можно определить по уравнению

или по уравнению п. 2

Графики u C (t ) и i (t ) представлены на рис. 6.3, в .

Мгновенные значения токов и напряжения, определяющие энергетическое состояние электрической цепи, называются в данном методе переменными, а сам метод назван методом переменных состояния.

Этот метод основан на составлении системы дифференциальных уравнений и, как правило, численном их решении с помощью ЭВМ.



В качестве неизвестных здесь следует принимать переменные, которые не имеют разрывов, т.е. за время не должно быть скачкообразного изменения этих величин. Такими переменными, следовательно, должны быть ток i и потокосцепление в индуктивности, напряжение и заряд на емкости. В противном случае при численном решении производных в точках, где имеется разрыв, возникает бесконечно большая величина, что недопустимо.

Существуют различные численные методы расчета дифференциальных уравнений. Это методы Эйлера, Рунге-Кутта и другие, которые отличаются друг от друга точностью расчета, объемом и временем вычислений. При этом, чем больше точность вычислений, тем больше требуется времени для решения.

1. Определить начальные условия.

2. Составить систему дифференциальных уравнений.

3. Все переменные в уравнениях п.2 выразить через токи или потокосцепления в индуктивностях и напряжения или заряды на емкостях.

4. Все уравнения п.3 свести к нормальной форме Коши.

Основы > Теоретические основы электротехники

Метод переменных состояния
Уравнениями состояния можно назвать любую систему уравнений, определяющих режим цепи. В более узком смысле - это система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенная относительно производных.
Методом переменных состояния назовем анализ цепи, основанный на решении уравнений состояния (первого порядка), записанных в форме Коши. Таким образом, метод переменных состояния - один из методов расчета прежде всего переходных процессов. Далее предполагается, что цепь имеет только независимые источники и не содержит индуктивных сечений и емкостных контуров. В противном случае составление уравнений становится намного сложнее.
Для линейной цепи с постоянными сосредоточенными параметрами ток каждой ветви, напряжение между выбранными выводами, заряд на обкладках конденсатора и т. д. всегда можно найти как решение составленного для этого тока, напряжения, заряда и т. д. дифференциального уравнения (например, исключением других токов и напряжений из системы уравнений Кирхгофа):


Введением переменных это уравнение сводится к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка:

Здесь переменными, которые называются переменными состояния , служат переменная х и ее производные.
Как известно, переходный процесс в любой цепи, кроме ее параметров (значений
r , L, С, М) и действующих источников [ e(t) и J(t)], определяется независимыми начальными (t = 0) условиями - токами в индуктивных элементах и напряжениями на емкостных элементах , которые должны быть известны или рассчитаны. Через них выражаются искомые величины во время переходного процесса. Они же определяют энергетическое состояние цепи. Поэтому в качестве переменных состояния целесообразно выбирать токи и напряжения . Действующие источники можно назвать входными величинами , искомые величины - выходными . Для цепи с n независимыми токами и напряжениями должны быть заданы еще n независимых начальных условий.

Сокращенно дифференциальные уравнения состояния запишем в матричной форме так:

или короче

где X матрица-столбец (размера n x 1) переменных состояния (вектор переменных состояния); F - матрица-столбец (размера m x 1) ЭДС и токов источников (внешних возмущений); А - квадратная матрица порядка n (основная); В - матрица размера п х m (матрица связи). Элементы этих матриц определяются топологией и параметрами цепи.
Для выходных величин (если определяются не токи в индуктивных и напряжения на емкостных элементах) в матричной форме система алгебраических уравнений имеет вид

или короче

где W - матрица-столбец (размера l x 1 ); M - матрица связи (размера l x n ); N - матрица связи (размера l x m ).
Элементы матриц зависят от топологии и параметров цепи. Для уравнений состояния разработаны и машинные алгоритмы формирования на основе топологии и значений параметров.
Уравнения в матричной форме (14.91) можно составить, например, с применением метода наложения. Для получения зависимостей между производными переменных состояния, т. е.
и переменными состояния , а также ЭДС и токами источников, действующими в цепи, будем считать, что переменные состояния заданы. Рассматриваемую цепь, например на рис. 14.41, а, заменим после коммутации эквивалентной (рис. 14.41,6), у которой каждый заданный ток представлен источником тока , а каждое заданное напряжение - источником напряжения (ЭДС) . Применив метод наложения (положительные направления выбраны), запишем напряжения и токи (сначала учитываем действие источников затем и далее источников, действующих в цепи):


Так как , то

Конечно, уравнения (14.93) можно получить и из уравнений Кирхгофа исключением токов и напряжений ре-зистивных элементов. Однако совместное решение уравнений Кирхгофа с увеличением числа ветвей цепи становится все более громоздким.
Уравнения состояния можно формировать и сразу в матричной форме.
Если источников тока и ЭДС нет, т. е. F = 0, то уравнения (14.91) упрощаются

и характеризуют свободные процессы в цепи. Решение запишем в виде

где X (0) - матрица-столбец начальных значений переменных состояния; - матричная экспоненциальная функция.
Подставив (14.94) в (14.91в), убедимся, что получается тождество.
При
решение уравнения (14.91) представим в виде

где Ф(t ) - некоторая матричная функция цепи. После дифференцирования (14.95) получим

Сравним (14.96) с (14.91а)

и, умножив на , после интегрирования найдем, что

где q - переменная интегрирования, или



Подставим это выражение в (14.95):



В частности, при t = 0 имеем

Следовательно, решение для переменных состояния записывается в виде


(реакция цепи равна сумме реакций при нулевом входе и при нулевом начальном состоянии).
Это решение можно получить и применив операторный метод расчета переходных процессов, рассматриваемый в разделе .
Выходные величины можно найти по (14.92).
Если состояние цепи задано не при t = 0, а при
, то в (14.97) первое слагаемое записывается так: , а нижний предел интеграла не 0, а t .
Главная трудность расчета заключается в вычислении матричной экспоненциальной функции. Один из путей такой: сначала находим собственные значения
l матрицы А, т. е. корни уравнения

где 1 - единичная матрица порядка n , которые определяются из уравнения


где - элементы матрицы А.
Собственные значения совпадают с корнями характеристического уравнения цепи.
Матричная экспонента, аргумент которой - матрица А t , имеющая порядок n , представима конечным числом n слагаемых. Если собственные значения различны, то

Где - функции времени; и т. д.
Далее для определения составляем алгебраическую систему n уравнений

Наконец, определив из (14.100), по (14.99) находим и затем X (t) по (14.97).

Пример 14.6. Определить ток в цепи на рис. 14.42 после коммутации при .

Решение. Выбираем положительные направления токов в индуктивных элементах, т. е. переменных состояния, и тока . Независимые начальные условия: . Дифференциальные уравнения цепи


Исключив ток , получим уравнения относительно производных переменных состояния:

т. е. согласно (14.91)

и матрица-столбец начальных значений

Вычислим собственные значения; по (14.98)

откуда . Если приравнять нулю главный определитель уравнений с переменными состояния, то получим те же значения .
Находим коэффициенты ак по (14.100), т. е. из системы уравнений


Значения тока вычисленные в моменты секунд для интервала времени 0 - 0,1 с, в конце которого ток отличается от установившегося менее чем на 1,5%, приведены в табл. 14.1. При вычислениях цифры записывались с 8 разрядами, а во всех приведенных в примере формулах и в табл. 14.1 указаны с округлением.

Таблица 14.1

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

0,040

0,045

0,050

1,079

1,213

1,343

1,455

1,550

1,628

1,692

1,746

1,790

1,827

0,055

0,060

0,065

0,070

0,075

0,080

0,085

0,090

0,095

0,100

, то для n - q разных корней составляется система (14.100), а для q кратных уравнения получаются после вычисления первых q - 1 производных по от обеих частей уравнения с корнем , т. е.

Если в цепи действует только один источник ЭДС (или тока), представляющий единичный скачок 1(

t ), т. е. F(t )=1(t ), и начальные условия нулевые, то решение (14.97) запишется в виде



Для выходных величин по (14.92а) получим

Это будут переходные функции цепи h(t). Импульсные переходные функции

k (t ) определяются по (14.84) или (14.85).
Более общим путем вычисления матричной экспоненциальной функции служит ее представление бесконечным рядом


но ряд при больших t медленно сходится. При ограничении конечным числом слагаемых вычисление сводится к умножению и суммированию матриц. Такие операции есть в математическом обеспечении ЭВМ. Известен метод вычисления матричной экспоненциальной функции, основанный на критерии Сильверста.
Уравнения состояния цепей, порядок которых больше двух-трех, проще решаются не аналитическими, а численными методами, дающими возможность автоматизировать расчет в случае применения ЭВМ.

Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях методом переменных состояния

Это наиболее универсальный метод расчета цепей как них, так и нелинейных. Метод используется для расчета цепей высокого порядка, когда применение других методов расчета нецелесообразно или практически невозможно. Метод переменных состояния основан на решении уравнений состояния (первого порядка)записанных в форме Коши. Для решения системы уравнений первого порядка разработаны численные методы, позволяющие автоматизировать расчет переходных процессов с ЭВМ. Таким образом, метод переменных состояния - один из расчета переходных процессов, ориентированный прежде всего на применение ЭВМ.

Для линейной цепи с постоянными сосредоточенными параметрами ток каждой ветви, напряжение между выводами, заряд на обкладках, конденсатора и т. д. можно найти как решение дифференциального уравнения, составленного для этого тока, напряжения, заряда и т.д., исключением других токов и напряжений из системы уравнений Кирхгофа:

Введением переменных

уравнение (1.1) сводится к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка:

(1.2)

Здесь переменными, которые называются переменными состояния, служит переменная X и ее производные. При этом предполагается, что цепь имеет только независимые источники и не содержит индуктивных сечений и емкостных контуров. В противном случае составление уравнений становится намного сложнее

1. Формирование уравнений переменных состояния

Энергетическое состояние цепи, а следовательно, и переходный процесс в любой цепи определяется энергией магнитного поля, запасенной в индуктивностях, и энергией электрического поля, запасенной в емкостях. Запасы энергии в реактивных элементах определяют токи в индуктивностях и напряжения емкостей, т.е. они определяют энергетическое состояние цепи и поэтому принимаются в качестве независимых переменных состояния.

Любая система уравнений, определяющая состояние цепи, называется уравнениями состояния. Токи в индуктивных элементахи напряжения на емкостных элементах
представляют независимыеначальные условия
цепи и должны быть известны или рассчитаны. Через них выражаются искомые величины во времяпереходного процесса.

Действующие источники энергии принято называть входными величинами
,а искомые величины (токи и напряжения) - выходными величинами
.

Для цепи с n независимыми токами и напряжениями
должны быть заданы еще n независимых начальных условий. Для операций с большим числом переменных используют методы матричного исчисления.

Сокращенно дифференциальные уравнения состояния, описывающие цепь по законам Кирхгофа, записываются в матричной форме:

, (1.3)

где X - вектор-столбец (размером n х 1) произвольных переменных состояния; V - вектор-столбец (размером m х 1) внешних воздействий (ЭДС и токов источников); А - квадратная матрица порядка n (основная); В - матрица связи между входами цепи и переменными состояния (размера n х m). Элементы этих матриц определяются топологией и параметрами цепи
,m - число входов, n - число переменных состояния.

Для выходных величин (если определяются не токи в индуктивностях и напряжения на емкостных элементах) необходимо добавить еще уравнение в матричной форме:

(1.4)

где Y - вектор - столбец искомых токов и напряжений на выходе (размерен 1 х 1), 1 - число выходов; С - матрица связи переменных состояния с выходами цепи (п х 1); D - матрица непосредственной связи входов и выходов цепи (размером 1 х m). Элементы матриц зависят от топологии и значений параметров цепи
.

Систему матричных уравнений

;
(1.5)

можно представить в виде структурной схемы (рис.1.3).

1.1. Составление уравнений состояния цепи

методом наложения

Пусть дана схема цепи после коммутации

Будем считать, что переменные состояния заданы. Рассматриваемую цепь (рис.2) заменим после коммутации эквивалентной (рис.3), у которой заданный ток представлен источником тока,заданное напряжение
источником напряжения
.

Применив метод наложения (положительные направления выбраны), запишем напряжения
и токи
(сначала учитываемдействие источника затем
и далее источников, действующих в цепи).

От действия :

;
;

от действия
:

;
;

от действия е:

;
,

а полный ток
и напряжение .

(1.6)

Учитывая, что
и
получим

т.е в матричном виде уравнение (1.7) запишемся

(1.8)

1.2. Составление уравнений состояния цепи с помощью

законов Кирхгофа

Уравнения (1.7) можно получить и из уравнений Кирхгофа исключением токов и напряжений резистивных элементов. По законам Кирхгофа уравнения для цепи (см.рис. 2) запишем в виде

(1.9)

Разрешим первое уравнение системы относительно , атретье, учитывая, что
, относительно. Тогда

(1.10)

Переменные
иявляются переменными состояния длярассматриваемой цепи. В правой части системы (1.10) присутствует переменная , не являющаяся независимой переменной состояния. Для ее исключения перепишем второе уравнение системы (1.9) в виде

(1.11)

и подставим сюда
.

Полученное из (1.11) значение тока

(1.12)

подставим в систему (1.10).

Получим систему уравнений в переменных состояния
для исследуемой цепи

(1.13)

где X, X, V, А, В соответствуют системе уравнений (1.7).

Пусть в рассматриваемом примере требуется определить токи и . Следовательно и будут выходными величинами цепии их необходимо представить в виде
,
.Ток уже определен в требуемом виде (1.12), а ток
.Тогда вторая система уравнений в переменных состояния
примет вид

(1.14)

В матричной форме система уравнений (1.14) запишется в виде

(1.15)

В частном случае, если выходными переменными является переменные состояния
то матрица С принимает вид диагональной матрицы, а элементы матрицы D равны нулю.

Уравнения состояния решаются на компьютерах численными методами.

Уравнениями состояния электрической цепи называют любую систему дифференциальных уравнений, которая описывает состояние (режим) данной цепи. Например, система уравнений Кирхгофа является уравнениями состояния цепи, для которой она составлена.

В более узком смысле в математике уравнениями состояния называют систему дифференциальных уравнений 1-го порядка, разрешенных относительно производных (форма Коши). Система уравнений состояния в обобщенной форме имеет вид:

Та же система уравнений в матричной форме:

или в обобщённой матричной форме:

Система уравнений состояния формы Коши решается методом численного интегрирования (метод Эйлера или метод Рунге-Кутта) на ЭВМ по стандартной программе, которая должна быть в пакете стандартных программ. При отсутствии такой программы в пакете она легко может быть составлена по следующему алгоритму (метод Эйлера) для к-го шага:

Значения производных на к-ом шаге:

Значения переменных на к-ом шаге:

Для определения значений переменных и их производных на 1-м шаге ин¬тегрирова¬ния используются их значения на момент t=0, т.е. их начальные условия x1(0), x2(0)...xn(0).

Уравнения состояния формы Коши для заданной схемы могут быть получены из системы уравнений Кирхгофа путем их преобразования. Для этой цели: а) из системы уравнений Кирхгофа методом подстановки исключаются ""лишние"" переменные, имеющие зависимые начальные условия, и оставляют переменные iL(t) и uC(t), которые не изменяются скачком и имеют независи-мые начальные условия iL(0) и uC(0); б) оставшиеся уравнения решаются относительно производных и приводятся их к форме Коши.

В случае сложных схем уравнения состояния формы Коши могут быть составлены топологическими методами с использованием матриц соединений [A] и [B].

Последовательность расчета переходного процесса методом переменных состояния выглядит так:

1. Производится расчет схемы в установившемся режиме до коммутации и определяются независимые начальные условия iL(0) и uC(0).

2. Составляется система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для схемы после коммутации.

3. Методом исключения ""лишних"" переменных система уравнений Кирхгофа преобразуется в систему уравнений Коши, составляются матрицы коэффициентов.

4. Выбирается расчетное время (продолжительность переходного процесса) и число шагов интегрирования N.

5. Решение задачи выполняется на ЭВМ по стандартной программе. Выходную функцию получают в виде графической диаграммы x=f(t)или в виде таблицы координат функций для заданных моментов времени.

Пример. Для схемы рис. 74.1 с заданными параметрами элементов (e(t)=Emsin(ωt+ψE), R, R1, R2, R3, L1, L2, C) выполнить расчет переходного процесса и определить функцию uab(t).


1. Выполняется расчет схемы в установившемся режиме переменного тока до коммутации и определяются начальные условия i1(0), i2(0), uC(0).

2. Составляется система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа:

3. Система уравнений Кирхгофа преобразуется в систему уравнений Коши.

Для этой цели из (1) выражаем

и делаем подстановку в (1) и (2), а из (4) делаем подстановку в (1). Тогда получим:


Введем обозначения.