Voit löytää tavoitefunktion maksimin käyttämällä maximize-funktiota, jonka muoto on maximize(<функция>, <система ограничений>, <опции>);

Tässä tapauksessa on kätevää määrittää muuttujien ei-negatiivisuuden ehto käyttämällä NONNEGATIVE-vaihtoehtoa.

> optimi:=maximize(f,syst_ogr,NONNEGATIVE);

Käytä subs-komentoa, jonka avulla voit korvata muuttujien arvoja x 1 ja x 2 per toiminto f.

> fmax:=subs(x1=83/17,x2=19/17,f);

Käytä evalf-funktiota ilmaistaksesi vastauksen reaalilukuna, jossa on 4 merkitsevää numeroa.

> fmax:=evalf(fmax,4);

LP-ongelman ratkaisuun voit tutustua ilman selitystä liitteessä.

Optimointiongelmien ratkaiseminen SimplexWin-erikoispaketissa. Http://www.Simplexwin.Narod.Ru/

Tämä ohjelma on suunniteltu ratkaisemaan lineaarisen ohjelmoinnin ongelmia simplex-menetelmällä.

Tehtävä. Etsi muuttuvia arvoja x 1 Ja x 2, jossa

rajoitusten alla

Työjärjestys:

Käynnistä SimplexWin-ohjelma ja aseta tarvittava rajoitusmatriisin koko valitsemalla valikosta Asetukset – Matriisin koko (Kuva 13).

Riisi. 13. Matriisin koon määrittäminen.

Syötä tiedot (kuva 14). Jos tehtävää ei ole syötetty kanoninen muoto, sitten lisämuuttujia ja keinotekoiset pohjat(sekä vastaavat tavoitefunktiokertoimet) lisätään automaattisesti.

Kuva 14. Tietojen syöttö.

II. Optimaalisen suunnitelman ja tavoitefunktion optimaalisen arvon löytäminen.

Riisi. 15. Tulokset muotoutuvat.

Napsauta Tulokset-lomakkeessa Tulos-painiketta, jonka avulla voit ratkaista ongelman automaattinen tila ja näyttää uusimmat simplex pöytä ja tulos (kuva 16).

Riisi. 16. Ongelman ratkaiseminen.

Optimointiongelmien ratkaiseminenExcel

Katsotaanpa esimerkkiä seuraavan lineaarisen ohjelmointiongelman löytämisestä.

Tehtävä. Etsi muuttuvia arvoja x 1 Ja x 2, jossa

rajoitusten alla

Työjärjestys:

I. Alkutietojen rekisteröinti.

Luo ruutulomake tehtävän ehtojen (muuttujat, tavoitefunktio, rajoitteet) syöttämiseksi ja syötä siihen alkutiedot (tavoitefunktion kertoimet, muuttujien kertoimet rajoitteissa, rajoitteiden oikeat puolet) (kuva 17). ).

Riisi. 17. Tehtävän näyttömuoto (kohdistin solussa D6).

Kommentti: Kuvan näyttömuodossa. 17 Jokaiselle tehtävän muuttujalle ja kertoimelle on määritetty erityinen solu Excelissä. Joten esimerkiksi tehtävämuuttujat vastaavat soluja B3 ( ), C3 ( ), tavoitefunktion kertoimet vastaavat soluja B6 (
), C6 (
), rajoitusten oikeat puolet vastaavat soluja F10 (
), F11 (
),F12 (
), jne.

Syötä riippuvuudet kohteesta matemaattinen malli näytön muotoon, ts. Syötä tavoitefunktion laskentakaava ja rajoitusten vasemmanpuoleisten arvojen laskentakaava.

Tehtävän ehtojen mukaan tavoitefunktion arvo määräytyy lausekkeen avulla
. Excelin vastaavien solujen merkintöjen avulla tavoitefunktion laskentakaava voidaan kirjoittaa muodossa tuotteiden summa kukin tehtävämuuttujien arvoille (B3, C3) varatuista soluista kohdefunktion kertoimille allokoituihin vastaaviin soluihin (B6, C6).

Voit määrittää tavoitefunktion riippuvuuskaavan seuraavasti: :

– aseta kohdistin soluun D6;

– soittoikkuna Ohjattu toiminto - Vaihe 1/2 painamalla painiketta päällä vakio paneeli työkalut;

-ikkunassa Toiminto valitse toiminto SUMMATUOTE;

- avautuvassa ikkunassa SUMMATUOTE rivittää Taulukko 1 syötä lauseke B$3:C$3, ja linjalle Taulukko 2– ilmaisu B6: C6;

– paina painiketta OK.

Riisi. 18. CF:n laskentakaavan syöttäminen Function Wizard -ikkunaan.

Kun olet syöttänyt solut riveihin Taulukko 1 Ja Taulukko 2 ikkunassa SUMMATUOTE tulee näkyviin numeerisia arvoja syötetyt taulukot (kuva 18), ja syötetyllä kaavalla laskettu nykyinen arvo, eli 0 (koska kaavan syöttöhetkellä tehtävämuuttujien arvot ovat nolla) ilmestyvät näyttölomakkeeseen ( kuva 19).

Kommentti: $-symboli ennen rivinumeroa tarkoittaa, että kun kopioit tämän kaavan muihin paikkoihin Excel-laskentataulukossa, rivinumero 3 ei muutu. Symboli : tarkoittaa, että kaava käyttää kaikkia soluja kaksoispisteen vasemmalla ja oikealla puolella olevien solujen välillä.

Ongelmarajoitteiden vasemmalla puolella ovat tuotteiden summa jokainen ongelmamuuttujien arvoille (B3, C3) varattu solu vastaavaan soluun, joka on varattu tietyn rajoitteen kertoimille (B10, C10 – 1. rajoitus; B11, C11 – 2. rajoite; B12, C12 – 3. rajoitus).

Kaavat, jotka määrittävät ongelmarajoitusten vasemman puolen, eroavat toisistaan ​​ja kohdesolun kaavasta D6 vain rivin numero toisessa taulukossa. Tämä luku määräytyy sen rivin mukaan, jolle rajoitus on kirjoitettu näyttömuodossa. Siksi riippuvuuksien määrittämiseksi rajoitteen vasemmille osille riittää, että kaava kopioidaan kohdesolusta rajoitusten vasenten osien soluihin.

Voit laskea rajoitusten vasemman puolen arvot seuraavasti:

– aseta kohdistin soluun D6 ja kopioi solun sisältö leikepöydälle (käyttäen Ctrl+C-näppäimiä);

– aseta kohdistin vuorotellen jokaisen rajoituksen vasemman reunan kenttiin, eli D10 ,D11 , D12 , ja liitä puskurin sisältö näihin kenttiin (käyttäen Ctrl+V-näppäimiä) (tässä tapauksessa kaavan toisen taulukon solujen määrä muuttuu sen rivin numeroksi, johon liittäminen on tehty. puskuri).

Kun olet syöttänyt ruudulle kenttiin D10 ,D11 , D12 0 (nolla-arvo) tulee näkyviin (kuva 19).

Riisi. 19. Tehtävän näyttömuoto veden jälkeen

kaikki tarvittavat kaavat.

Tarkista, että kaavat on syötetty oikein.

Voit tehdä tämän seuraavasti:

- tee se yksitellen kaksoisnapauta hiiren vasen painike soluissa, joissa on kaava, kun taas kaavassa käytetyt solut korostetaan ruudulla kehyksellä (Kuva 20 ja Kuva 21).

Riisi. 20

kaavat kohdesoluun D6.

Riisi. 20. Oikean lisäyksen tarkistaminen

kaavat solussa D10 rajoitusten vasemmalle puolelle.

Määritä tavoitefunktio ja syötä rajoitukset ikkunaan Ratkaisun löytäminen(Kuva 21).

Voit tehdä tämän seuraavasti:

– aseta kohdistin soluun D6;

– soittoikkuna Ratkaisun löytäminen valitsemalla työkalupalkista Data - Ratkaisun löytäminen;

– aseta kohdistin kenttään Aseta kohdesolu;

– syötä kohdesolun osoite $ D $ 6 tai napsauta hiiren vasemmalla painikkeella kohdesolua näyttölomakkeessa, mikä vastaa osoitteen syöttämistä näppäimistöltä;

– osoita kohdefunktion optimoinnin suunta napsauttamalla kerran hiiren vasemmalla painikkeella valintapainiketta enimmäisarvo;

-ikkunassa Ratkaisujen löytäminen kentällä Solujen vaihtaminen syötä solut muuttuvilla arvoilla $B$3:$C$3, valitsemalla ne näyttölomakkeesta pitäen samalla hiiren vasenta painiketta painettuna;

Riisi. 21. Ikkuna Etsi ratkaisua.

– paina painiketta Lisätä;

– valitse tehtävän ehtojen mukaisesti tarvittava merkki merkkikentästä, esim. 1 rajoitukselle tämä on merkki ;

- kentällä Rajoitus syötä esimerkiksi kyseisen rajoitteen oikean puolen solun osoite $10 F$;

– luoda samalla tavalla suhteita muiden rajoitusten oikean ja vasemman osan välille ( $D$11$F$11 , $D$12$F$12) ;

– vahvista kaikkien lueteltujen ehtojen syöttäminen painamalla painiketta OK(Kuva 22 ja kuva 23).

Riisi. 22. Ehdon lisääminen.

Kommentti: Jos tehtäväehtoa syötettäessä on tarvetta muuttaa tai poistaa syötettyjä rajoituksia, se voidaan tehdä napsauttamalla painikkeita Muuttaa tai Poistaa.

Yritysten ja yritysten tuotanto- ja myyntitoiminnan johtamisen markkinajärjestelmän olosuhteissa liiketoimintapäätösten perustana on markkinatieto, ja päätösten paikkansapitävyyden varmistavat markkinat tavaroiden ja palveluiden myynnin yhteydessä. Tällä lähestymistavalla koko yrittäjyyssyklin lähtökohtana on kuluttajakysynnän tutkiminen. Tarkastellaanpa joitain kysynnän ja kulutuksen mallintamiseen liittyviä kysymyksiä.

Ajattele kuluttajaa, joka olemassaolonsa seurauksena kuluttaa joitain tavaroita. Kuluttajien tarpeiden tyytyväisyyden tasoa merkitään U.Oletetaan, että on n tavaroiden tyyppejä B 1, B 2,…, B n. Edut voivat sisältää:

· elintarvikkeet;

· välttämättömät tavarat;

· välttämättömät tavarat;

· luksustavarat;

· maksulliset palvelut jne.

Olkoon jokaisen hyödykkeen kulutuksen määrä yhtä suuri X 1 , X 2 ,…, x n. Tavoitekulutustoiminto kutsutaan tarpeiden tyydyttämisen asteen (tason) väliseksi suhteeksi U ja kulutettujen tavaroiden määrä: X 1 , X 2 , …, x n. Tämä toiminto näyttää tältä.

Kulutushyödykkeiden avaruudessa jokainen yhtälö vastaa tiettyä pintaa vastaavien eli välinpitämättömien tavaroiden joukkoja, joita kutsutaan ns. välinpitämättömyyden pintaa. Tällaisen käyrän hyperpinta, jota kutsutaan moniulotteiseksi välinpitämättömyyspinnaksi, voidaan esittää muodossa , jossa KANSSA- vakio. Tarkastellaan selvyyden vuoksi esimerkiksi kahden tavaran tilaa, esimerkiksi kahden aggregoidun tavararyhmän muodossa: ruoka B 1 ja muut tavarat, mukaan lukien maksulliset palvelut B 2. Sitten kulutuksen tavoitefunktion tasot voidaan kuvata tasossa välinpitämättömyyskäyrien muodossa, jotka vastaavat vakion eri arvoja KANSSA.Voit tehdä tämän ilmaisemalla yhden tavaran kulutuksen määrän X 1 toisen kautta X 2. Katsotaanpa esimerkkiä.

Esimerkki 6.3. Objektiivinen toiminto kulutuksella on muoto. Etsi välinpitämättömyyskäyrät.

Ratkaisu. Välinpitämättömyyskäyrät näyttävät tai , tai (on huomattava, että se on suoritettava).

Jokainen kuluttaja pyrkii maksimoimaan tarpeiden tyydytystason, eli. Kuluttajan kyvyt vaikeuttavat kuitenkin tarpeiden tyydyttämisasteen maksimoimista. Merkitään jokaisen tavaran yksikköhintaa r 1 , r 2 ,…, р n, ja kuluttajatulot kautta D.Sitten se pitäisi suorittaa budjettirajoitus , jolla on lain merkitys, jonka mukaan kuluttajakulut eivät saa ylittää tulojen määrää:

Tämän seurauksena optimaalisen tavarajoukon löytämiseksi on tarpeen ratkaista ongelma optimaalinen ohjelmointi:

(6.3)

Tarkastellaan kaksitekijäistä kulutusfunktiota, jossa X 1 - ruuan kulutuksen määrä ja X 2 - muiden kuin elintarvikkeiden kulutus ja maksulliset palvelut. Lisäksi oletetaan, että kuluttaja ohjaa kaikki tulonsa tarpeidensa tyydyttämiseen. Tässä tapauksessa budjettirajoite sisältää vain kaksi termiä ja eriarvoisuus muuttuu tasa-arvoksi. Optimaalinen ohjelmointiongelma saa tällöin muotoa:

(6.4)

Geometrisesti optimaalinen ratkaisu tarkoittaa välinpitämättömyyskäyrän tangenttipistettä budjettirajoitetta vastaavalle riville.

X 2

Järjestelmän budjettirajoituksesta (6.4) voidaan ilmaista muuttuja . Kun tämä lauseke korvataan tavoitefunktiolla, saadaan yhden muuttujan funktio , jonka maksimi saadaan yhtälöstä vertaamalla derivaatta nollaan: .

Esimerkki 6.4. Kulutustavoitefunktiolla on muoto . Hinta hyvälle B 1 on 20, tavaran hinta B 2 on yhtä suuri kuin 50. Kuluttajan tulot ovat 1800 yksikköä. Etsi välinpitämättömyyskäyrät, optimaalinen setti kulutustavarat, kysyntäfunktio ensimmäiselle hyödykkeelle hinnan mukaan, kysyntäfunktio ensimmäiselle hyödykkeelle tulojen mukaan.

Ratkaisu. Välinpitämättömyyskäyrät näyttävät tältä:

Saamme joukon hyperboleja, jotka sijaitsevat ensimmäisellä koordinaattineljänneksellä eri etäisyyksillä origosta vakion arvosta riippuen KANSSA.

Löydämme optimaalisen tavarasarjan. Optimaalinen ohjelmointiongelma on muotoa:

Sen ratkaisemiseksi ilmaisemme yhden budjettirajoituksen muuttujan toisella: . Korvaa kohdefunktioon

Etsi derivaatta ja vertaa se nollaan

Me saamme.

Siten optimaalinen tavarasarja on 30,5 ja 23,8 yksikköä. Nyt löydämme kysyntäfunktion ensimmäiselle tavaralle sen hinnan perusteella. Tätä varten otamme budjettirajoitteeseen kiinteän arvon sijaan käyttöön ensimmäisen hyödykkeen hinnan, jolloin saadaan yhtälö: . ilmaisemme

tai , josta löydämme ensimmäisen hinnan kysyntäfunktion: .

Nyt löydämme kysyntäfunktion ensimmäiselle hyödykkeelle tulojen perusteella. Tätä varten ilmaisemme budjettirajoituksesta yksi muuttuja toisen kautta: . Korvaa kohdefunktio:

Etsimme derivaatan ja rinnastamme sen nollaan:

Täältä löydämme tulon perusteella ensimmäisen tavaran kysyntäfunktion

7. Malli
sektorien välinen tasapaino

Tasemallit on suunniteltu tuotteiden tuotannon ja jakelun analysointiin ja suunnitteluun eri tasoilla - yksittäisestä yrityksestä koko kansantaloudelle. Jos muistamme kansantalouden historian Neuvostoliitto Sekä Venäjällä että muissa kehittyneissä maissa voidaan havaita, että monien maiden talouksissa eri aikoina Talouskriisejä on ollut eri ääripäissä ylituotantokriiseistä (USA, 1900-luvun puoliväli) pulaan (Venäjä, 1900-luvun loppu). Kaikki nämä talouskriisit liittyvät tuotannon ja kulutuksen epätasapainoon. Näistä tosiseikoista on selvää, että tuotannon ja kulutuksen välinen tasapaino on tärkeä kriteeri sekä makrotaloustiede että mikrotaloustiede.

Monet taloustieteilijät ja matemaatikot yrittivät rakentaa taloudellisia ja matemaattisia tasapainomalleja ongelman alusta lähtien, mutta täydellisimmän tasapainomallin rakensi vuonna 1936 amerikkalainen taloustieteilijä V. Leontiev (joka muutti vallankumouksen jälkeen Yhdysvaltoihin ja sai alan Nobel-palkinto mallitaloudestaan). Tämä malli mahdollisti useiden vuorovaikutuksessa toimivien toimialojen välisen tasapainon laskemisen, vaikka se on helposti yleistettävissä mikrotaloudellisille organisaatioille esimerkiksi useiden vuorovaikutuksessa olevien yritysten tai yhden yrityksen divisioonien välisen tasapainon laskemiseksi (esimerkiksi saman tehtaan työpajat). ).

Tasapainoanalyysin tarkoituksena on vastata makrotaloudessa esiin nousevaan kysymykseen, joka liittyy monipuolisen talouden toiminnan tehokkuuteen: mikä pitäisi olla kunkin maan tuotantovolyymi. n toimialat tyydyttämään kaikki kyseisen teollisuuden tuotetarpeet? Lisäksi jokainen toimiala toimii toisaalta tiettyjen tuotteiden tuottajana; ja toisaalta sekä omien että muiden teollisuudenalojen tuotteiden kuluttajana.

Oletetaan, että harkitsemme n teollisuudenaloilla, joista jokainen tuottaa omia tuotteitaan. Olkoon tuotettujen tuotteiden kokonaismäärä i-th toimiala on yhtä suuri kuin . Valmistettujen tuotteiden kokonaiskustannukset i th toimialaa, kutsumme tämän toimialan bruttotuotteeksi. Katsotaan nyt, mihin teollisuuden tuottamat tuotteet käytetään. Osa tuotannosta käytetään tämän toimialan sisäiseen kulutukseen ja muiden toimialaan liittyvien toimialojen kulutukseen. Tuotteiden lukumäärä i-th teollisuus, joka on tarkoitettu loppukulutukseen (materiaalituotannon ulkopuolella) henkilökohtaiseen ja julkiseen kulutukseen j merkitsee th toimialaa . Jäljelle jäävä osa on tarkoitettu ulkoiseen käyttöön. Tätä osaa kutsutaan lopputuotteeksi. Anna i-Minä teollisuus tuottaa lopputuotteen.

Harkitse tuotantoprosessia tietyn ajanjakson aikana (esimerkiksi vuosi). Koska tuotannon bruttomäärä on mikä tahansa i- teollisuus on yhtä suuri kuin kulutettujen tuotteiden kokonaismäärä n toimialoilla ja lopputuotteella, niin tuotannon ja kulutuksen välinen tasapainoyhtälö saa muotonsa

, (i= 1, 2, …, n). (7.1)

Yhtälöitä (7.1) kutsutaan tasapainosuhteet.

. (7.2)

Kaikki aiemmin käsitellyt indikaattorit voidaan kirjata päätaseeseen:

Teollisuus	Teollisuuden kulutus,	Lopputuote	Bruttotuote,
		…	n
			…
			…
…		…			…	…
n			…
Puhdas tuote			…

Tästä johtuen päätaseessa on neljä matriisia: alojen välisten tuotantoyhteyksien matriisi

; bruttotuotantomatriisi; lopputuotematriisi ja nettotuotematriisi .

Taseanalyysin yksi tehtävistä on määrittää bruttotuote, jos lopputuotteen jakautuminen tunnetaan. Tätä varten otamme käyttöön suorat kustannuskertoimet

Ne saadaan jakamalla matriisin jokaisen sarakkeen kaikki elementit sektorien välisten tuotantolinkkien matriisin vastaavalla elementillä X.Suorilla kustannuskertoimilla tarkoitetaan tuotteen kulutuksen määrää j-th tuotannonala, joka vaaditaan tuottamaan tuotantoyksikkö i th teollisuus. Lausekkeesta (7.3) saadaan: . Korvaamalla viimeisen lausekkeen tasapainosuhteeseen (7.1), saadaan

. (7.4)

Jos merkitsemme suorien kustannuskertoimien matriisia muodossa , sitten tasapainosuhde (7.4) in matriisimuoto voidaan kirjoittaa muodossa

Viimeisestä lausekkeesta löydät lopputuotteen arvon tunnetulla bruttoarvolla

Jossa - identiteettimatriisi, joka on samankokoinen kuin A.

Esimerkki 7.1. Neljän toimialan saldossa edelliseltä kaudelta on muotoinen sektorien välisten tuotantosuhteiden matriisi ja muodon bruttotuotosmatriisi. On tarpeen määritellä lopullinen tuote Y ja puhdas tuote C joka toimiala.

Lopputuote Y saadaan vähentämällä kustakin bruttotulomatriisin elementistä matriisin vastaavien rivien alkioiden summa. Esimerkiksi ensimmäinen arvo on 100 – (10 + 20 + 15 + 10) = 45. Puhdas tuote KANSSA saadaan vähentämällä bruttotuotanto matriisin kustakin elementistä X matriisin vastaavien sarakkeiden alkioiden summa. Esimerkiksi ensimmäinen arvo on 100 – (10 + 5 + 25 + 20) = 40. Tuloksena saamme päätaseen:

Teollisuus	Teollisuuden kulutus,	Lopputuote	Bruttotuote,
Puhdas tuote					S = 210	S = 400

Laitetaan nyt toinen tehtävä: laskemme kunkin toimialan lopputuotteen tulevalle kaudelle, jos bruttotuote osoittautuu yhtä suureksi . Tämän ongelman ratkaisemiseksi löydämme suorien kustannusten kertoimet: i -. toimiala.

Esimerkki 7.2. Tietyllä alueella on kaksi kansantalouden pääsektoria: koneenrakennus (m/s) ja maatalous (maatalous). Näiden toimialojen tase raportointikaudelta määräytyy matriiseilla , . Lasketaan loput indikaattorit ja täytä päätase

Oletetaan, että lopputuotteet suunnitellaan määrällisesti tulevalle kaudelle. On tarpeen määrittää, mikä bruttotuote on suunniteltava. Etsitään suorat kustannuskertoimet:

Voit valita seuraavista syistä, jonka mukaan talousjärjestelmät ovat stokastisia:

1) järjestelmä on monimutkainen, monikriteerinen, kuvataan monitasoiseksi hierarkkinen rakenne;

2) järjestelmään vaikuttaa suuri määrä hallitsematon ulkoiset tekijät (sääolosuhteet, ulkopolitiikka, sosiaaliset tekijät jne.);

3) tahallinen tiedon vääristäminen, tiedon salailu ja kohdennettu taloudellinen sabotaasi.

Tämän perusteella monien mallintamiseen talousjärjestelmät käyttää matemaattisia menetelmiä, joka perustuu todennäköisyysteorian lakien soveltamiseen, joita kutsutaan ns stokastiset menetelmät.

Stokastisia menetelmiä käytettäessä tavoitefunktion optimointi suoritetaan keskiarvon mukaan, eli kun annetut parametrit on tarpeen löytää ratkaisu, kun tavoitefunktion arvo keskimäärin tulee olemaan maksimi.

Taloustieteen stokastisia järjestelmiä kuvaa Markovin laitteisto, joka perustuu Markoviin satunnaisia ​​prosesseja. Niitä käytetään tapauksissa, joissa mallia ei voida formalisoida (kuvataan analyyttisellä lausekkeella) ja silloin, kun järjestelmä on moniparametrinen todennäköisyyslaskentajärjestelmä.

Määritelmä. Mitä tahansa ratkaisua rajoitusjärjestelmään kutsutaan PLP:n hyväksyttäväksi ratkaisuksi.
Määritelmä. Toteutettava ratkaisu, jossa tavoitefunktio saavuttaa maksimin tai minimiarvo, kutsutaan optimaaliseksi ratkaisuksi.

Näistä määritelmistä johtuen LP-ongelma voidaan muotoilla seuraavasti: Konveksin alueen, joka on ratkaisu rajoitusjärjestelmään, kaikkien pisteiden joukosta valitaan sellainen, jonka koordinaatit minimoivat (maksimoivat) lineaarinen funktio F = Kanssa 1 x + Kanssa 2 y.
Huomaa, että muuttujat x, y ZLP:ssä ne ottavat yleensä ei-negatiivisia arvoja ( x≥ 0, y≥ 0), joten alue sijaitsee koordinaattitason ensimmäisellä neljänneksellä.

Harkitse lineaarifunktiota F = Kanssa 1 x + Kanssa 2 y ja korjata osan sen arvosta F. Olkoon esim. F= 0, ts. Kanssa 1 x + Kanssa 2 y= 0. Tämän yhtälön kuvaaja on suora, joka kulkee koordinaattien (0;0) origon kautta (kuva).
Piirustus
Kun muutat tätä kiinteää arvoa F = d, suoraan Kanssa 1 x+ Kanssa 2 y = d siirtyy yhdensuuntaisesti ja "ääriviivat" koko tason. Anna D– monikulmio – rajoitusjärjestelmän ratkaisualue. Vaihtaessaan d suoraan Kanssa 1 x + Kanssa 2 y = d, jollain arvolla d = d 1 saavuttaa monikulmion D, kutsutaan tätä kohtaa A"sisääntulopiste" ja sitten monikulmion ohitettuaan jollain arvolla d = d 2 meillä on viimeinen yhteinen kohta sen kanssa IN, soitetaan IN"poistumispiste".
On selvää, että sen vähiten ja korkein arvo tavoitefunktio F=Kanssa 1 x + Kanssa 2 y tulee sisääntulopisteisiin A ja "poistu" IN.
Ottaen huomioon, että optimaalinen arvo toteutettavissa olevien ratkaisujen joukosta, tavoitefunktio ottaa alueen kärjet D, voimme ehdottaa seuraavaa suunnitelmaa ongelman ratkaisemiseksi:

1. rakentaa rajoitusjärjestelmän ratkaisualue;
2. muodostaa tavoitefunktiota vastaava suora ja etsi tämän suoran rinnakkaiskäännösten "sisääntulo" tai "poistumispiste" (riippuen tarpeesta minimoida tai maksimoida tavoitefunktio);
3. määritä tämän pisteen koordinaatit ja laske niissä tavoitefunktion arvo.

Huomaa, että vektori ( Kanssa 1 , Kanssa 2), kohtisuorassa suoraa vastaan, osoittaa tavoitefunktion kasvusuunnan.

klo graafinen ratkaisu On olemassa kaksi mahdollista PAP-tapausta, jotka vaativat erityistä keskustelua.

Tapaus 1
Kuva 6
Suoraa linjaa liikuttaessa Kanssa 1 x + Kanssa 2 y= d"sisääntulo" tai "poistuminen" (kuten kuvassa) tapahtuu monikulmion sivulla. Tämä tapahtuu, jos monikulmion sivut ovat samansuuntaiset viivan kanssa Kanssa 1 X+ Kanssa 2 klo = d .
Tässä tapauksessa "ulostulo" ("sisääntulo") -pisteitä on ääretön määrä, nimittäin mikä tahansa piste segmentillä AB. Tämä tarkoittaa, että tavoitefunktio ei saa maksimi- (minimi-) arvoa yhdessä pisteessä, vaan kaikissa pisteissä, jotka ovat monikulmion vastaavalla puolella. D.

Tapaus 2
Harkitse tilannetta, kun alue hyväksyttäviä arvoja rajoittamaton.
Rajattoman toimialueen tapauksessa tavoitefunktio voidaan määrittää siten, että vastaavalla suoralla ei ole "poistumispistettä" (tai "sisääntuloa"). Silloin funktion maksimiarvoa (minimi) ei koskaan saavuteta - he sanovat, että toiminto on rajoittamaton.
Piirustus
On tarpeen löytää tavoitefunktion maksimiarvo F = 4x + 6y→ max , rajoitusjärjestelmällä
Rakennetaan toteuttamiskelpoisten ratkaisujen alue, ts. Ratkaistaan ​​epäyhtälöjärjestelmä graafisesti. Tätä varten rakennamme jokaisen suoran ja määritämme epäyhtälöiden määrittelemät puolitasot.
x + y = 18

x	12	9
y	6	9

0,5x + y = 12

x	12	18
y	6	3

x= 12 – yhdensuuntainen akselin kanssa OY ;
y= 9 – yhdensuuntainen akselin kanssa HÄRKÄ ;
x= 0 – akseli OY ;
y = 0 – akseli HÄRKÄ;
x≥ 0 – puolitaso akselin oikealla puolella OY;
y≥ 0 – puolitaso akselin yläpuolella HÄRKÄ;
y≤ 9 – puolitaso alla y = 9;
x ≤ 12 – puolitaso vasemmalle x = 12;
0,5x + y≤ 12 – puolitaso suoran alapuolella 0,5 x + y = 12;
x + y≤ 18 – puolitaso suoran alapuolella x + y = 18.
Piirustus
Kaikkien näiden puolitasojen leikkauspiste on ilmeisesti viisikulmio OAVSD, jossa kärkipisteet pisteissä NOIN(0; 0), A(0; 9), IN(6; 9), KANSSA(12; 6), D(12; 0). Tämä viisikulmio muodostaa alueen mahdollisille ratkaisuille ongelmaan.

Harkitse ongelman tavoitefunktiota F = 4x + 6y→ max.

x	3	0
y	–2	0

Muodostetaan funktion arvoa vastaava suora F = 0: 4x + 6y= 0. Siirrämme tätä suoraa rinnakkain. Koko linjaperheestä 4 x+ 6y= const viimeinen kärki, jonka kautta viiva kulkee poistuessaan monikulmion rajalta, on kärki KANSSA(12; 6). Se on siinä F = 4x + 6y saavuttaa tavoitteensa enimmäisarvo.
Eli milloin x = 12, y= 6 toimintoa F saavuttaa maksimiarvonsa F= 4 ∙ 12 + 6 ∙ 6 = 84, yhtä suuri kuin 84. Koordinaattipiste (12; 6) täyttää kaikki rajoitusjärjestelmän epäyhtälöt ja siinä tavoitefunktion arvo on optimaalinen F* = 84 (merkitsimme optimaalista arvoa "*").
Ongelma on ratkaistu. Joten on tarpeen valmistaa 12 tyypin I tuotetta ja 6 tyypin II tuotetta, joiden voitto on 84 tuhatta ruplaa.

Graafista menetelmää käytetään ratkaisemaan ongelmia, joissa rajoitusjärjestelmässä oli vain kaksi muuttujaa. Tätä menetelmää voidaan käyttää myös kolmen muuttujan epäyhtälösysteemeissä. Geometrisesti tilanne on toinen, suorien viivojen roolia ovat tasot kolmiulotteisessa avaruudessa, ja kolmen muuttujan epäyhtälön ratkaisu on tason toisella puolella sijaitseva puoliavaruus. Alueiden roolia esittävät polyhedrat, jotka ovat puoliavaruuksien leikkauspisteitä.

Lineaarinen ohjelmointi.

Lyhyt teoreettista tietoa

Tavoitteiden asettaminen

Suoran ongelman ratkaisu lineaarinen ohjelmointi vastaa seuraavaan kysymykseen:

millä intensiteetillä n voittoa tuottavat prosessit (tarjoamalla erilaisia ​​palveluita, tuotantoprosessit), joissa niitä käytetään m resurssityypit (tuotannontekijät), joiden suurin käyttöintensiteetti tunnetaan, myyntitulo (voitto) on suurin siinä tapauksessa, että kunkin resurssin kulutuksen intensiteetti ja voiton (tulon) intensiteetti kussakin prosessissa riippuvat lineaarisesti tämän prosessin intensiteetistä.

Sen kaksoisongelman ratkaisu vastaa seuraavaan kysymykseen:

millä alimmilla hinnoilla resurssiyksikköä kohden se on kannattamatonta talouden toimijalle lisälaajennus voittoprosessi hankkimalla uusia resursseja, jotka ovat niukkoja nykyisessä taloudellisen toiminnan olosuhteissa.

Suora lineaarinen ohjelmointiongelma voi liittyä seuraava tilanne. Saatavilla n tapoja tehdä voittoa (tarjoamalla n palvelutyypit) volyymeineen x i (kappalemäärä i suoritetut palvelut). Tässä tapauksessa niitä käytetään m resurssit, varastot j -josta th on yhtä suuri kuin b j . Samaan aikaan kunkin resurssin kulutus j ja voiton määrä kussakin prosessissa i riippuvat lineaarisesti tarjottujen palvelujen määrästä i -th tyyppi kertoimilla a ji Ja c i , vastaavasti. Matrix A=(a ji )m´n merkitys on samanlainen kuin ensimmäisessä osassa, ja sitä kutsutaan myös teknisten tai rakenteellisten kertoimien matriisiksi. Sitten optimaalinen suunnitelma maksimivoiton kriteerin mukaan saadaan ratkaisemalla seuraava suora lineaarinen ohjelmointiongelma:

Tämä ongelma voidaan liittää seuraavan muodon laajennettuun matriisiin:

(4.1)

Kaksoisongelma ongelmalle (4) on seuraava näkymä (z j – vaadittavat rajahinnat):

Tällä formulaatiolla kaksoisongelma(5.1) ja (5.3) hintojen minimoimisen ehdosta ja jatkuvan toiminnan kannattamattomuuden ehdosta seuraa suoraan ehto kustannusten yli- tai yhtäläisyydestä myyntituottojen kanssa.

Mallin peruskäsitteet

Päätös (suunnitelma, ohjelma) - joukko, mallin kaikkien muuttuvien ohjausparametrien tiettyjen arvojen vektori - ne suureet, joita voidaan muuttaa mallinnusobjektin johtajan tahdolla. Ratkaisut voivat olla hyväksyttäviä (toteutettu käytännössä), ei hyväksyttäviä (ei toteutettavissa mallissa olevien rajoitusten vuoksi) ja optimaalisia (paras hyväksyttävistä).

Objektiivinen toiminto L(x) – matemaattinen lauseke, joka yhdistää mallin tekijät (parametrit). Taloudellista järkeä tavoitefunktio heijastaa optimaalisuuskriteeri– indikaattori, jolla on taloudellista sisältöä ja joka toimii tietyn johtamistavoitteen virallistajana, esimerkiksi: voiton maksimointi (rivi 1 kohdassa (4)), tuotteen laadun maksimointi tai kustannusten minimoiminen (5.1).

Rajoitusjärjestelmä mallit - rajoittaa tätä rajaa hyväksyttävää aluetta(hyväksyttävä, toteutettavissa) ratkaisuja, vahvistamalla tärkeimmät sisäiset ja ulkoisia ominaisuuksia optimointitavoitteeseen liittyvät objektit. Viestintäyhtälöt(tyyppi fj(x) ) – rajoitusjärjestelmän matemaattinen formalisointi (rivit 2 ja 3 kohdassa (4), (5.2, 5.3)). Rajoitusjärjestelmä heijastaa viestintäyhtälöiden taloudellista merkitystä.

Järjestelmä, joka koostuu tavoitefunktiosta ja viestintäyhtälöistä - taloudellisen ja matemaattisen mallinnuksen (EMM) ongelma. Siinä tapauksessa, että tavoitefunktio ja kytkentäyhtälöt ovat lineaarisia ja ohjausmuuttujat muuttuvat jatkuvasti, EMM-ongelma on ns. lineaarisen ohjelmoinnin (LP) ongelma. LP-ongelman hyväksyttävien suunnitelmien joukon (SAP) pääominaisuus on, että se on kupera monitahoinen. Joukkoa kutsutaan kuperaksi, jos se sisältää kaikki janat, jotka yhdistävät tämän joukon kaksi pistettä. Jos LP-ongelmalla on ratkaisu, niin se sijaitsee MDP:n kärjessä. MDP:n huipuissa sijaitsevia suunnitelmia kutsutaan perussuunnitelmiksi. Lineaariset ohjelmointiongelmat on jaettu ongelmiin, joissa on rajoitteita epäyhtälöiden muodossa (yleinen LP-tehtävä) ja yhtäläisyyksien muodossa (kanoninen LP-tehtävä). Matemaattisesti formalisoitaessa taloudellisia ongelmia lineaarisen mallin avulla saadaan yleiset LP-ongelmat - esimerkiksi (4), (5). Mikä tahansa yleinen ongelma voidaan liittää kanoniseen ongelmaan ottamalla käyttöön lisämuuttujia. Siten ongelmaan (4) lisäämällä jokaiseen epäyhtälöön tyyppiä "resurssien kulutus £ resurssireservi" (rivi 2 kohdassa (4)) lisämuuttuja x n+j (käyttämätön saldo j resurssi) verrataan seuraavaa kanonista:

Samaan aikaan ongelman (6) ulottuvuus - suunnittelumuuttujien lukumäärä - verrattuna (4) kasvoi n to n+m .

Tehtävää (4) ratkaistaessa resurssitehokkuuskertoimet ovat tärkeitä, joista tässä käytetään differentiaalisia ja inkrementaalisia kertoimia. Differentiaalinen resurssitehokkuuskerroin k ji näyttää renderoidun hinnan yksikköä käytettäessä j th resurssi i -palvelut. Sellaisia ​​palveluita, joita varten kaikkea k ji osoittautuvat pienimmiksi kaikentyyppisille palveluille ja ovat vähiten kannattavia. Niiden ei pitäisi olla läsnä optimaalisessa suunnitelmassa. Tämä mahdollistaa ongelman pienentämisen ja siten sen ratkaisun yksinkertaistamisen pakottamalla tällaisten palvelujen tarjonnan määrän nollaan. Ne lasketaan seuraavasti - k ji =c i /a ji .

inkrementaalinen resurssitehokkuuskerroin K j on suhteellisuuskerroin tavoitefunktion arvon lisäyksen välillä optimaalinen suunnitelma ja varannon muutos, joka aiheutti tämän kasvun j -th resurssi. Sitä voidaan pitää niin TO j näytä kuinka paljon alkuperäisen ongelman tavoitefunktion arvo optimaalisessa suunnitelmassa kasvaa marginaalin kasvaessa j -th resurssi yksikköä kohti. Matemaattisesta näkökulmasta se on täydellinen johdannainen optimaalinen arvo varastomäärän tavoitefunktio j - resurssi: TO j =dL opt/db j .

missä ovat kiinteät kustannukset, jotka eivät riipu käsittelytavasta, min;

Tässä - valmisteleva - operaation viimeinen aika, min;

Käsiteltyjen osien eräkoko;

Apukäyttöaika, min;

Huoltoaika ilman työkalun vaihtoaikaa, min;

Työntekijän lepoaika, min;

Tylsän työkalun vaihtamiseen ja vastaavaan teknisen järjestelmän säätöön liittyvät aikakustannukset;

missä on aika vaihtaa työkalu ja vastaava mittojen säätö;

Käsitellyn akselin halkaisija ja pituus;

Leikkausnopeuden laskentakerroin;

Leikkausnopeus;

Leikkaussyvyys;

Tässä ovat eksponentit leikkausolosuhteiden laskentakaavoissa.

Aikatavoitefunktion analyysi mahdollistaa reservien paljastamisen lisätuottavuuden lisäykseen ja määrittää optimaaliset leikkuuolosuhteet, jotka takaavat mahdollisimman pienet kustannukset.

Objektiivinen kustannusfunktio käyttämällä esimerkkiä akselin käsittelystä, se näyttää tältä:

Tässä ovat materiaalikustannukset;

Kulut aikayksikköä kohti vastaavasti laitteiden, laitteiden käytöstä, palkoista, ottaen huomioon yleiskustannukset;

Työkalun vaihdon ja sopivan mittasäädön aika;

Työkalun hinta sen käyttöajan aikana.

Lausekkeen ensimmäinen jäsen määrittää materiaalin kiinteät kustannukset, valmistelu- ja loppuaikaan liittyvät kustannukset sekä palveluajan. Lausekkeen toinen termi määrittää leikkaustyökalun kustannukset ja seisonta-ajan sen vaihdon yhteydessä. Lausekkeen kolmas termi määrittää suoraan leikkausprosessiin liittyvät kustannukset.

Teknisten konejärjestelmien volyymisuunnittelu

Tämä ja kaikki sitä seuraavat luennot ovat omistettu teknisten työstökoneiden matemaattiseen mallinnukseen ja optimointiin.

Mekaanisen osan työn volyymisuunnittelu, kun teknisten laitteiden enimmäiskuormitus saavutetaan

Ilmoitus ongelmasta. Saatavilla m-koneet ( m– koneryhmät), joilla niitä voidaan valmistaa n– osien tyypit. Käsittelyn monimutkaisuus j- oh yksityiskohtia i– m kone on , tunti. Jokaisen koneen (koneryhmän) käyttöajan varat tunnetaan - B i. Lähtötiedot ongelman ratkaisemiseksi on esitetty taulukossa 14.1.

Taulukko 14.1. Lähtötiedot ongelman ratkaisemiseksi, esitetty yleisessä muodossa

Tarve määrittää kunkin tyypin osien lukumäärä, joiden käsittelyn aikana saavutetaan työmaan laitteiden suurin kuormitus.

Matemaattinen malli ongelman ratkaisemiseksi kirjoitamme:

Rajoitukset:

Ongelma ratkaistaan ​​lineaarisella ohjelmointimenetelmällä. Seuraavat asiat tulee pitää mielessä. Muodon (14.1) - (14.3) rajoitteiden lukumäärän matemaattisessa mallissa tulee olla tiukasti yhtä suuri kuin sivuston koneiden (koneryhmien) lukumäärä. Kun ongelma ratkaistaan ​​tietokoneella, koneiden (koneryhmien) sekä osien tyyppien määrä on käytännössä rajoittamaton ja määräytyy vain tietokoneen ja vastaavan ohjelman ominaisuuksien mukaan. Kun ongelma ratkaistaan ​​manuaalisesti graafis-analyyttisellä menetelmällä, konetyyppien (koneryhmien) määrää ei myöskään rajoiteta, mutta niiden lisääminen johtaa luonnollisesti laskenta-ajan pidentymiseen. Osien tyyppien lukumäärä ei saa ylittää kahta, koska muuten on mahdotonta suorittaa tarvittavia graafisia rakenteita tasossa.

Esimerkki. Esimerkin lähdetiedot on annettu taulukossa 14.2.

Taulukko 14.2. Alkutiedot ongelman ratkaisemiseksi

Merkitään D 1 -tyypin osien lukumäärällä, D 2 -tyypin osien lukumäärällä.

Matemaattinen malli tämän ongelman ratkaisemiseksi kirjoitetaan seuraavasti:

Rajoitukset(laitteiston käyttöajan mukaan):

On löydettävä arvot, jotka täyttävät annetut rajoitukset (14.6) – (14.10) ja varmistettava tavoitefunktion maksimi (14.11). Parametrit ovat ohjattuja parametreja matemaattisessa mallissa.

Ratkaistaan ​​tehtävä grafoanalyyttisellä menetelmällä (ks. luento 6). Graafinen esitys ongelman ratkaisusta on esitetty kuvassa. 14.1.

Kuva 14.1. Graafinen esitys ongelman ratkaisusta

Laskelmat rakentamisrajoituksille (14.6) – (14.8):

x 1
x 2

x 1
x 2

Piirtämällä tämän kanssa yhdensuuntaisen suoran, löydämme kosketuspisteen sen raja-ODR:n kanssa - tämä on piste A. Sen koordinaattien (rajoitusten 14.7 ja 14.8 leikkauspisteet) löytämiseksi ratkaisemme seuraavan yhtälöjärjestelmän:

Ne. vihdoinkin

Kohdefunktion (työpaikan laitteiston enimmäiskuormitus) enimmäisarvo vaadittujen parametrien optimaalisilla arvoilla on:

Laitteen minimikuormitusongelma

Tämä ja sitä seuraavat ongelmat tässä luennossa esitetään ongelman asettamisen ja sen ratkaisun matemaattisen mallin muodostamisen tasolla. Kaikki ne on ratkaistu lineaarisilla ohjelmointimenetelmillä.

Saatavilla m koneet, joilla niitä voidaan valmistaa n osien tyyppejä. Suorituskyky i- kone osan valmistuksessa j- tyyppi on C ij. Suunniteltujen tehtävien arvot A j tuotantoa varten j- yksityiskohdat ja aikaresurssit B i työtä i- kone on esitetty taulukossa 14.3.

Taulukko 14.3 Alkutiedot ongelman ratkaisemiseksi

Tehtävät tulee jakaa kunkin koneen käyttöaikaresurssit huomioon ottaen koneiden kesken siten, että kaikkien koneiden kokonaiskäyttöaika on minimaalinen.

Anna t ij- tuotantoaika j- oh yksityiskohtia i- m kone. Tehdään aikaresurssirajoitukset kullekin koneelle:

Ratkaisu ongelmaan on minimoida lineaarinen tavoitefunktio (kokonaisaika)

(14.14)

rajoituksilla (14.12), (14.13) ja sillä ehdolla, että kaikki muuttujat .

Osien optimaalisen jakautumisen ongelma työstökoneiden kesken

Koostukoon jokin kone erityyppisistä osista, jotka numeroimme numeroilla. Koneita on erilaisia, ja tyypin koneiden lukumäärä on yhtä suuri kuin . Osia voidaan valmistaa erityyppisillä koneilla. :nnen tyypin koneen tuottavuus :nnen osan tuotannossa on . Valmistuksen jälkeen osat lähetetään koottavaksi. Koneet on kiinnitettävä osiin siten, että saadaan mahdollisimman paljon koneita aikayksikköä kohden.

Olkoon th-tyyppisten koneiden lukumäärä, joilla th osa voidaan valmistaa. Ilmeisesti tämäntyyppisten koneiden lukumäärä, jotka valmistavat tämäntyyppisiä osia, ei saisi ylittää tiettyä määrää:

Koneen kokoamiseen tarvittavien osasarjojen kokonaismäärä on yhtä suuri kuin minkä tahansa osan kokonaismäärä, jolla on esimerkiksi numero 1. Siksi ongelman ratkaisu on maksimoida lineaarifunktio

(14.17)

rajoituksilla (14.15), (14.16) sillä lisäehdolla, että kaikki muuttujat .

Tälle ongelmalle löydetyt optimaaliset arvot eivät välttämättä ole kokonaislukuja. Se tarkoittaa esimerkiksi, että kaksi ensimmäisen tyyppistä konetta tuottaa osan numero 1 aikayksikön sisällä, kun taas kolmas samantyyppinen kone toimii vain puolet määritetystä ajasta.

Ongelmana on tuottaa tuotteita rajoitetuilla raaka-ainevaroilla

Erityyppisistä raaka-aineista valmistetaan erilaisia ​​tuotteita. Tyypin valmistettujen tuotteiden myyntikustannukset ovat . Suunnittelukauden th tyypin raaka-ainevarasto on yhtä suuri kuin . Tämän tyyppisten raaka-aineiden tarve on . Taulukossa 14.4 on lähtötiedot ongelman ratkaisemiseksi.

Taulukko 14.4 Alkutiedot ongelman ratkaisemiseksi

Jokaiselle tuotetyypille on määritettävä tällainen tuotantomäärä, jotta varmistetaan valmistettujen tuotteiden myyntikustannusten enimmäismäärä edellyttäen, että käytettävissä olevien raaka-aineiden varastot eivät ylity.

Raaka-ainevarantojen rajoitukset ovat seuraavat:

(14.18)

Tehtävänä on määrittää tuotantokustannukset maksimoivien parametrien (muuttujien) optimaaliset arvot, ts. kohdetoiminto

rajoituksin (14.18) ja lisäehdoilla.

Perusteoria jonossa

Jonoteoria on yksi todennäköisyysteorian haaroista. Tämä teoria harkitsee todennäköisyys ongelmia ja matemaattisia malleja (ennen tätä tarkasteltiin deterministisiä matemaattisia malleja). Muistutetaan, että:

Deterministinen matemaattinen malli heijastaa objektin (järjestelmän, prosessin) käyttäytymistä perspektiivistä täyttä varmuutta nykyisyydessä ja tulevaisuudessa.

Todennäköisyyspohjainen matemaattinen malli ottaa huomioon satunnaisten tekijöiden vaikutuksen kohteen (järjestelmän, prosessin) käyttäytymiseen ja siksi arvioi tulevaisuutta tiettyjen tapahtumien todennäköisyyden näkökulmasta.

Ne. täällä, kuten esimerkiksi peliteoriassa pohditaan ongelmia epävarmuuden olosuhteissa.

Tarkastellaan ensin joitain käsitteitä, jotka luonnehtivat "stokastista epävarmuutta", kun ongelmaan sisältyvät epävarmat tekijät ovat satunnaismuuttujia (tai satunnaisfunktioita), joiden todennäköisyysominaisuudet ovat joko tiedossa tai kokemuksesta saatavia. Tällaista epävarmuutta kutsutaan myös "suotuisaksi", "suotuisaksi".

Satunnaisen prosessin käsite

Tarkkaan ottaen satunnaiset häiriöt ovat luontaisia ​​jokaiselle prosessille. On helpompi antaa esimerkkejä satunnaisesta prosessista kuin "ei-satunnaisesta" prosessista. Jopa esimerkiksi kellon käyttöprosessi (se näyttää olevan tiukasti kalibroitu työ - "toimii kuin kello") on alttiina satunnaisille muutoksille (liikkuminen eteenpäin, jäljessä, pysähtyminen). Mutta niin kauan kuin nämä häiriöt ovat merkityksettömiä ja niillä on vain vähän vaikutusta meitä kiinnostaviin parametreihin, voimme jättää ne huomiotta ja pitää prosessia deterministisenä, ei-satunnaisena.

Olkoon joku järjestelmä S(tekninen laite, tällaisten laitteiden ryhmä, tekninen järjestelmä - kone, työmaa, konepaja, yritys, teollisuus jne.). Järjestelmässä S vuotoja satunnainen prosessi, jos se muuttaa tilaansa ajan myötä (siirtyy tilasta toiseen), lisäksi aiemmin tuntemattomalla satunnaisella tavalla.

Esimerkkejä: 1. Järjestelmä S– tekninen järjestelmä (koneosa). Koneet hajoavat ajoittain ja niitä korjataan. Tässä järjestelmässä tapahtuva prosessi on satunnainen.

2. Järjestelmä S- ilma-alus, joka lentää tietyllä korkeudella tiettyä reittiä pitkin. Häiritsevät tekijät - sääolosuhteet, miehistön virheet jne., seuraukset - kuoppaisuus, lentoaikataulun rikkominen jne.

Markovin satunnainen prosessi

Järjestelmässä tapahtuvaa satunnaista prosessia kutsutaan Markovski, jos hetkeksikään t 0 prosessin todennäköisyysominaisuudet tulevaisuudessa riippuvat vain sen tilasta tällä hetkellä t 0 eivätkä riipu siitä, milloin ja miten järjestelmä saavutti tämän tilan.

Olkoon järjestelmä tietyssä tilassa hetkellä t 0 S 0 . Tiedämme järjestelmän nykytilan ominaisuudet ja kaiken sen aikana tapahtuneen t < t 0 (prosessihistoria). Voimmeko ennustaa (ennustaa) tulevaisuutta, ts. mitä tapahtuu milloin t > t 0 ? Ei aivan, mutta joitain prosessin todennäköisyysominaisuuksia voidaan löytää tulevaisuudessa. Esimerkiksi todennäköisyys, että jonkin ajan kuluttua järjestelmä S tulee pystymään S 1 tai jää tilaan S 0 jne.

Esimerkki. Järjestelmä S- ilmataisteluihin osallistuva ilma-alusten ryhmä. Anna x- "punaisten" lentokoneiden lukumäärä, y– "sinisten" lentokoneiden lukumäärä. Aikaa mennessä t 0 eloonjääneiden (ei alasammuttujen) lentokoneiden lukumäärä, vastaavasti – x 0 , y 0 . Meitä kiinnostaa todennäköisyys, että jollain hetkellä numeerinen ylivoima on "punaisten" puolella. Tämä todennäköisyys riippuu siitä, missä tilassa järjestelmä oli sillä hetkellä t 0, eikä siihen, milloin ja missä järjestyksessä alas ammutut kuolivat tähän hetkeen asti t 0 lentokonetta.

Käytännössä Markov käsittelee puhdas muoto ei yleensä löydy. Mutta on prosesseja, joissa "esihistorian" vaikutus voidaan jättää huomiotta. Ja tällaisia ​​prosesseja tutkittaessa voidaan käyttää Markovin malleja (jonoteoria ei ota huomioon Markovin jonojärjestelmiä, mutta niitä kuvaava matemaattinen laite on paljon monimutkaisempi).

Operaatiotutkimuksessa Markovin satunnaiset prosessit, joissa on diskreetit tilat ja jatkuva aika, ovat erittäin tärkeitä.

Prosessi on ns erillinen tilaprosessi, jos se mahdolliset tilat S 1 , S 2, ... voidaan määrittää etukäteen, ja järjestelmän siirtyminen tilasta tilaan tapahtuu "hyppynä", melkein välittömästi.

Prosessi on ns jatkuva aikaprosessi, jos mahdollisten tilasta tilaan siirtymien hetket eivät ole ennalta määrättyjä, vaan ovat epävarmoja, satunnaisia ​​ja voivat tapahtua milloin tahansa.

Esimerkki. Tekninen järjestelmä(juoni) S koostuu kahdesta koneesta, joista kukin voi epäonnistua (vikaa) satunnaisella hetkellä, jonka jälkeen alkaa välittömästi yksikön korjaus, joka jatkuu myös tuntemattoman, satunnaisen ajan. Seuraavat järjestelmätilat ovat mahdollisia:

S 0 - molemmat koneet toimivat;

S 1 - ensimmäistä konetta korjataan, toinen toimii;

S 2 - toista konetta korjataan, ensimmäinen toimii;

S 3 - molempia koneita korjataan.

Järjestelmän siirtymät S tilasta toiseen tapahtuu melkein välittömästi, sisään satunnaisia ​​hetkiä tietyn koneen vika tai korjauksen valmistuminen.

Analysoitaessa satunnaisia ​​prosesseja diskreeteillä tiloilla on kätevää käyttää geometrista kaaviota - tilakaavio. Graafin kärjet ovat järjestelmän tiloja. Kuvaajan kaaret – mahdolliset siirtymät tilasta toiseen

Kuva 15.1. Järjestelmän tilakaavio

osavaltio. Esimerkkimme tilakaavio on esitetty kuvassa 15.1.

Huom. Siirtyminen tilasta S 0 tuumaa S 3 ei ole esitetty kuvassa, koska oletetaan, että koneet epäonnistuvat toisistaan ​​riippumatta. Emme ota huomioon mahdollisuutta molempien koneiden samanaikaiseen vikaan.

Tapahtumastreamit

Tapahtumavirta– Homogeenisten tapahtumien sarja, jotka seuraavat peräkkäin satunnaisina hetkinä.

Edellisessä esimerkissä tämä on virheiden ja palautusten virta. Muita esimerkkejä: puhelunkulku päällä puhelinkeskus, asiakasvirta myymälässä jne.

Tapahtumien kulku voidaan esittää visuaalisesti aika-akselilla olevien pisteiden sarjalla O t-riisiä. 15.2.

Kuva 15.2. Tapahtumavirran esitys aika-akselilla

Kunkin pisteen sijainti on satunnainen, ja tässä on kuvattu vain yksi virtauksen toteutus.

Tapahtumavirran intensiteetti () on tapahtumien keskimääräinen määrä aikayksikköä kohti.

Katsotaanpa joitain tapahtumavirtojen ominaisuuksia (tyyppejä).

Tapahtumavirtaa kutsutaan paikallaan, jos sen todennäköisyysominaisuudet eivät riipu ajasta.

Erityisesti paikallaan olevan virtauksen intensiteetti on vakio. Tapahtumien virtauksessa on väistämättä tiivistymisiä tai harvinaisuuksia, mutta ne eivät ole säännöllisiä, ja tapahtumien keskimääräinen määrä aikayksikköä kohti on vakio eikä riipu ajasta.

Tapahtumavirtaa kutsutaan virtaa ilman seurauksia, jos kahdelle ei-päällekkäiselle aikajaksolle ja (katso kuva 15.2) jompaankumpaan osuvien tapahtumien määrä ei riipu siitä, kuinka monta tapahtumaa toiselle osuu. Toisin sanoen tämä tarkoittaa, että tapahtumat, jotka muodostavat virran, ilmestyvät tiettyinä aikoina toisistaan ​​riippumatta ja jokainen niistä johtuu omista syistä.

Tapahtumavirtaa kutsutaan tavallinen, jos tapahtumat näkyvät siinä yksitellen, eikä useiden ryhmissä kerralla.

Tapahtumavirtaa kutsutaan yksinkertaisin (tai kiinteä Poisson), jos sillä on kolme ominaisuutta kerralla: 1) paikallaan, 2) tavallinen, 3) ei ole seurauksia.

Yksinkertaisimmalla virtauksella on yksinkertaisin matemaattinen kuvaus. Hän pelaa virtojen keskuudessa samaa erityinen rooli kuten laki normaalijakauma muiden jakelulakien joukossa. Nimittäin kun päällekkäin riittävän suuri määrä riippumattomia, stationaarisia ja tavallisia (voimakkuudeltaan keskenään vertailukelpoisia) virtauksia, saadaan virtaus, joka on lähellä yksinkertaisinta.

Yksinkertaisin virtaus intensiteettivälillä T viereisten tapahtumien välillä on ns eksponentiaalinen jakautuminen tiheyden kanssa