Kuten tiedät, kompleksilukuja käytetään ratkaisemaan joitain tyypillisiä sähkötekniikan ongelmia. Mutta mihin niitä käytetään ja miksi he tekevät sen tällä tavalla? Yritämme selvittää tämän koko tämän artikkelin ajan. Tosiasia on, että monimutkainen menetelmä tai kompleksisten amplitudien menetelmä on kätevä monimutkaisten piirien laskemiseen AC. Muistetaan ensin joitain matemaattisia perusteita:

Kuten näette, kompleksiluku z sisältää kuvitteellisia ja reaaliosia, jotka eroavat toisistaan ​​ja on merkitty tekstissä eri tavalla. Itse kompleksiluku z voidaan kirjoittaa algebralliseen, trigonometriseen tai eksponentiaaliseen muotoon:

Historiallinen tausta

Uskotaan, että ajatus kuvitteellisista numeroista alkoi syntyä vuonna 1545, kun italialainen matemaatikko, insinööri, filosofi, lääkäri ja astrologi Girolamo Cardano julkaisi tätä menetelmää yhtälöiden ratkaisemisessa, jossa hän muuten myönsi, että idean antoi hänelle Niccolo Tartaglia (italialainen matemaatikko) 6 vuotta ennen tämän teoksen julkaisua. Cradano ratkaisi työssään seuraavan muotoisia yhtälöitä:

Näiden yhtälöiden ratkaisuprosessissa tiedemies pakotettiin myöntämään tietyn "epätodellisen" luvun olemassaolon, jonka neliö olisi yhtä suuri kuin miinus yksi "-1", eli ikään kuin neliöjuuri negatiivisesta luvusta, ja jos nyt neliöimme sen, saamme vastaavasti negatiivisen luvun juuren alle. Cardano esitti kertolaskusäännön, jonka mukaan:

Kolmen vuosisadan ajan matemaattinen yhteisö tottui Cardanon ehdottamaan uuteen lähestymistapaan. Imaginaariset luvut juurtuivat vähitellen, mutta matemaatikot hyväksyivät ne vastahakoisesti. Vasta kun Gauss julkaisi algebran teokset, joissa hän todisti algebran peruslauseen, kompleksiluvut hyväksyttiin lopulta perusteellisesti 1800-luvulla.

Kuvitteellisista luvuista on tullut todellinen pelastus matemaatikoille, koska monimutkaisimmat ongelmat ovat tulleet paljon helpommin ratkaistaviksi imaginaarilukujen olemassaolon hyväksymisen myötä.

Niin pian se tuli sähkötekniikkaan. AC-sähköpiirit osoittautuivat joskus hyvin monimutkaisiksi, ja niiden laskemiseksi oli tarpeen laskea monia integraaleja, mikä on usein erittäin hankalaa.

Lopulta vuonna 1893 loistava sähköinsinööri Karl August Steinmetz puhui Chicagossa kansainvälisessä sähköteknisessä kongressissa raportilla "Monimutkaiset numerot ja niiden soveltaminen sähkötekniikassa", joka itse asiassa merkitsee alkua. käytännön sovellus monimutkaisen menetelmän insinöörit vaihtovirtapiirien laskemiseksi.

Fysiikan kurssista tiedämme, että tämä on virta, joka muuttuu ajan myötä sekä suuruuden että suunnan suhteen.

Löytyy tekniikasta erilaisia ​​muotoja vaihtovirta, mutta yleisin virta nykyään on sinimuotoinen vaihtovirta, tätä tyyppiä käytetään kaikkialla, jonka avulla sähköä siirretään, vaihtovirran muodossa se tuotetaan, muunnetaan muuntajilla ja kulutetaan kuormilla . Sinivirta muuttuu ajoittain sinimuotoisen (harmonisen) lain mukaan.

Monimutkaisessa menetelmässä virtojen ja jännitteiden teholliset arvot kirjoitetaan seuraavasti:

Huomaa, että sähkötekniikassa kuvitteellinen yksikkö on merkitty kirjaimella "j", koska kirjain "i" on jo otettu tässä edustamaan virtaa.

Kompleksinen vastusarvo määritetään seuraavista:

Kompleksisten arvojen yhteen- ja vähennyslasku tehdään algebrallisessa muodossa, kun taas kerto- ja jakolasku tehdään eksponentiaalisessa muodossa.

Katsotaanpa monimutkaista amplitudimenetelmää käyttämällä esimerkkiä tietystä piiristä, jossa on tietyt pääparametrien arvot.

Annettu:

kelan jännite 50 V,

vastuksen vastus 25 ohm,

kelan induktanssi 500 mH,

Kondensaattorin sähköinen kapasiteetti on 30 mikrofaradia,

kelan langan vastus 10 ohm,

verkkotaajuus 50 Hz.

Etsi: ampeerimittarin ja volttimittarin lukemat sekä wattimittari.

Ratkaisu:

Ensin kirjoitetaan sarjaan kytkettyjen elementtien kompleksinen resistanssi, joka koostuu todellisista ja kuvitteellisista osista, ja sitten löydetään aktiivi-induktiivisen elementin kompleksiresistanssi.

Muistetaan! Saadaksesi eksponentiaalisen muodon, etsi moduuli z, joka on yhtä suuri kuin reaali- ja imaginaariosan neliöiden summan neliöjuuri, sekä phi, joka on yhtä suuri kuin imaginaariosan jaetun reaalisen osamäärän arktangentti.

Lisätiedot 28.3.2017

Hyvät herrat, tämänpäiväisessä artikkelissa haluaisin kertoa teille hieman kompleksiluvut ja signaalit. Tämä artikkeli on pääasiassa teoreettinen. Sen tehtävänä on valmistaa pohjaa mahdollisuudelle ymmärtää muita artikkeleita. Kun kyse on vaiheesta tai vaikkapa kondensaattorin käyttäytymisestä vaihtovirtapiirissä, kaikki nämä monimutkaisuudet alkavat välittömästi hiipiä sisään. Mutta haluan silti puhua vaiheesta, se on tärkeä asia. Ei, tämä artikkeli ei tule olemaan lyhyt kurssi TFKP, tarkastelemme vain hyvin kapeaa aluetta tästä epäilemättä mielenkiintoisesta ja laajasta aiheesta. Joten mennään!

Mutta ennen kuin alamme puhua suoraan kompleksiluvuista, haluaisin puhua myös sellaisesta uteliaasta asiasta kuin trigonometrinen ympyrä. Hyvät herrat, te ja minä olemme puhuneet sinivirrasta jo kolmen (yksi, kaksi, kolme) artikkelin ajan. Mutta miten sinifunktio muodostetaan yleisesti? Ja kosini myös? On olemassa erilaisia ​​tapoja vastata tähän kysymykseen, mutta tämän artikkelin tarkoituksiin olen valinnut seuraavan selityksen. Katsokaa kuvaa 1. Siinä näkyy ns. trigonometrinen ympyrä.

Kuva 1 - Trigonometrinen ympyrä

Sinne on maalattu paljon tavaraa, joten selvitetään pikkuhiljaa mikä on mitä. Ensinnäkin on olemassa tietty ympyrä, jonka keskipiste osuu yhteen akseleiden koordinaattijärjestelmän keskustan kanssa X Ja Y. Tämän ympyrän säde on yhtä suuri kuin yksi. Vain yksi, ilman voltteja, ampeeria ja muuta. Seuraavaksi piirretään kaksi sädevektoria tämän ympyrän keskustasta OA Ja OE. Ilmeisesti näiden vektorien pituus on yhtä suuri kuin yksi, koska meillä on ympyrä, jonka säde on yksikkö. Kulma vektorien välillä OA ja akseli X on yhtä suuri kuin φ 1, vektorin välinen kulma OE ja akseli X yhtä suuri kuin φ 2

Ja nyt mielenkiintoisin osa, herrat. Katsotaanpa mitä ne ovat yhtäläisiä ennusteita näistä vektoreista akselilla X Ja Y. Vektoriprojektio OA per akseli X- Tämä on segmentti OB, ja akselilla Y- Tämä on segmentti OS. Ja kaikki yhdessä (itse vektori OA ja sen ennusteet OB Ja OS) muodostaa suorakulmaisen kolmion OAV. Käytämme suoran kolmion kanssa työskentelyä koskevia sääntöjä, voimme löytää sen sivut OB Ja OS, eli sädevektorin projektio OA akselilla X Ja Y:

Täysin samalla tavalla voit löytää relaatioita vektorille OE:

Jos ei ole selvää, miksi näin on, suosittelen googlettamaan suorakulmaisen kolmion kuvasuhteita. No, teemme nyt yhden tärkeän johtopäätöksen itsellemme - yksikkövektorin projektio X-akselille on yhtä suuri kuin vektorin ja X-akselin välisen kulman kosini ja projektio X-akselilleY on tämän kulman sini.

Aloitetaan nyt kiertää sädevektori vastapäivään jollain taajuudella. No niin, että se piirtää päällään ympyrän. Ja kuten luultavasti jo arvasit, tällaisella kierrolla vektorin projektio X-akselille piirtää kosinifunktion ja projektio Y-akselille sinifunktion. Eli jos tämä sädevektorimme tekee esimerkiksi 50 kierrosta sekunnissa (eli pyörii taajuudella 50 Hz), niin tämä tarkoittaa, että sen projektio X-akselille muodostaa funktion

ja sen projektio Y-akselille piirtää funktion

Tarpeeksi mielenkiintoinen tosiasia minun mielestäni. Yleensä trigonometrinen ympyrä on utelias asia. Suosittelen tutustumaan häneen paremmin googlaamalla tätä aihetta. Sen avulla voit ymmärtää paljon paremmin. Olemme nyt tarkastelleet vain muutamia ominaisuuksia, joita tarvitsemme. Jätetään nyt tämä tosiasia väliaikaisesti sivuun ja puhutaan suoraan kompleksiluvuista.

Joten herrat, kompleksiluku on muodon lauseke

a- Tämä voimassa osa kompleksilukua z.

b- Tämä kuvitteellinen osa kompleksilukua z.

Itse asiassa vakavissa matematiikan kirjoissa kompleksiluku määritellään hieman eri tavalla, mutta olemme varsin tyytyväisiä tähän vaihtoehtoon.

Tieteellisesti tämä on algebrallinen kompleksiluvun kirjoittamisen muoto. On muitakin, tutustumme heihin vähän myöhemmin.

A Ja b- Nämä ovat tavallisia numeroita, joihin olemme kaikki tottuneet. Esimerkiksi 42, 18, -94, 100500, 1,87 ja niin edelleen. Eli aivan mitä tahansa. Esimerkiksi tällaisia ​​tietueita voi olla

Numero j- tämä on ns kuvitteellinen yksikkö. Sitä ei usein merkitä j:llä, vaan i:llä, mutta i on yleensä sähkötekniikassa nykyinen, joten käytämme kirjainta j. Mikä se on? Muodollisesti se voidaan kirjoittaa näin

On hieman epäselvää, kuinka tämä voi olla negatiivisen luvun juuri. Lapsuudesta lähtien olemme kaikki tottuneet siihen, että meillä on vain juuren alla positiivisia lukuja. Mutta matemaatikot ovat ottaneet käyttöön sellaisen abstraktion, jonka avulla voidaan erottaa negatiivisten lukujen juuri. Ja kummallista kyllä, tällainen abstraktio auttaa melko hyvin kuvaamaan melko todellisia, eikä ollenkaan abstrakteja sähkötekniikan prosesseja.

Eli näemme, että kompleksiluku itsessään koostuu yksinkertaisesti kahdesta hyvin tavallisia numeroita. Kyllä, toista edeltää jokin myyttinen j, mutta se ei muuta asian ydintä.

Tutustutaanpa nyt graafinen esitys kompleksiluvut .

Hyvät herrat, katsokaa kuvaa 2. Juuri tämä idea on kuvattu siellä.

Kuva 2 - Kompleksinen taso

Eli mikä tässä oikein on pointti? Ja temppu on, että otamme ja piirrämme koordinaattijärjestelmän. Siinä kutsumme X-akselia Re, ja Y-akseli on Im. Re on reaalilukuakseli jaIm on imaginaarilukujen akseli. Nyt akselilla Re laitamme arvon sivuun a, ja akselilla Im- koko b kompleksilukumme z. Tuloksena saamme pisteen kompleksiselle tasolle koordinaatteineen (A,b). Ja nyt voimme piirtää sädevektorin origosta tähän pisteeseen. Itse asiassa tätä vektoria voidaan pitää kompleksilukuna.

Hauska tosiasia: kuvitellaanpa se b on yhtä kuin 0. Sitten käy ilmi, että kompleksiluku rappeutuu tavallisimmaksi, "yksiulotteisimmaksi": imaginaariosa yksinkertaisesti katoaa. Ja luonnollisesti vektori tässä tapauksessa on akselilla Re. Eli voimme sanoa, että kaikki numerot, jotka ympäröivät meitä tavallista elämää, ovat akselilla Re, ja kompleksiluku ylittää tämän akselin, joten se laajentaa rajoja. No, ei mennä syvemmälle tähän.

Mennään syvemmälle johonkin muuhun. Nimittäin kuinka muuten kompleksiluvut voidaan esittää. Olemme juuri tulleet siihen tulokseen, että kompleksiluku on pohjimmiltaan vektori. Ja vektori voidaan karakterisoida pituus ja kaltevuuskulma, esimerkiksi X-akselille, nämä kaksi parametria määräävät täysin minkä tahansa vektorin, edellyttäen tietysti, että meillä on kaksiulotteinen avaruus. Tilavuudelle tai jollekin moniulotteiselle avaruudelle (mikä kauhu) tämä ei pidä paikkaansa, mutta kaksiulotteisen avaruuden kohdalla se on totta. Ilmaistaan ​​tämä nyt matemaattisesti. Joten oletetaan nyt, että tiedämme vektorin pituuden (kutsutaanko sitä | z|) ja kulma φ 1 .

Mitä voimme löytää tästä tiedosta? Yleisesti ottaen aika paljon. Itse asiassa tunnemme suorakulmaisen kolmion hypotenuusan ja yhden sen kulmista, eli joidenkin geometrian lauseiden mukaan suorakulmaisen kolmion täysin määritelty. Joten etsitään hänen jalkansa A Ja b:

Nyt, herrat, voimmeko tehdä pienen tempun korvillamme? Muistatko kompleksiluvun algebrallisen merkinnän? No tämä

Laitetaan se tähän a Ja b, esitetty sinien ja kosinien kautta. Me saamme

Saimme mielenkiintoisen ilmaisun. Lomakkeen ilmaisu

soitti trigonometrinen kompleksiluvun kirjoittamisen muoto. On hyvä, jos tiedämme vektorimme pituuden |z| ja sen kaltevuuskulma φ 1. Sähkötekniikassa vektorin pituus muuttuu yhtäkkiä signaalin amplitudiksi ja kaltevuuskulmasta tulee signaalin vaihe. Muuten, huomaa, että kompleksiluvun kirjoittamisen trigonometrinen muoto on jonkin verran lähellä trigonometristä ympyrää, jonka piirsimme artikkelin alussa. Mutta palaamme tähän samankaltaisuuteen hieman myöhemmin.

Hyvät herrat, nyt meidän on vain tutustuttava kompleksiluvun viimeiseen kirjoitusmuotoon - suuntaa-antava. Tätä varten sinun on tiedettävä ns Eulerin kaava. Luvallasi en käsittele tämän kaavan johtamista ja pohdi, mistä se on peräisin. Tämä on hieman artikkelin soveltamisalan ulkopuolella, ja lisäksi on monia lähteitä, joissa epäilemättä he kertovat sinulle tämän kaavan johdosta paljon ammattimaisemmin kuin voin tehdä. Esittelemme vain valmiin tuloksen. Eli Eulerin kaava näyttää tältä

Jossa e- Tämä eksponentti tai, kuten sitä myös kutsutaan, eksponentiaalinen funktio. Matemaatikoille tämä on tietty raja, kun jollain on taipumus äärettömyyteen, tai yksinkertaisesti sanottuna tavallinen luku

Kyllä, vain kaksi pistettä seitsemän.

Vertaa nyt Eulerin kaavaa kompleksiluvun trigonometriseen merkintään. Etkö huomaa mielenkiintoisia yhtäläisyyksiä? Ristittämällä nämä kaksi ilmaisua voimme saada täsmälleen suuntaa-antava kompleksiluvun muoto:

Kummallista kyllä, tätä hankalaa merkintää ei käytetä niin harvoin sähkötekniikassa.

Joten tutustuimme päävaihtoehtoihin kompleksilukujen kirjoittamiseen. Siirrytään nyt vähitellen kohti suosikkisähkötekniikkaamme. Kirjataan ylös kosinijännitteen muutoslaki.

Olemme jo kirjoittaneet tämän lain useita kertoja, esimerkiksi ensimmäisessä vaihtovirtaa käsittelevässä artikkelissa. Totta, siellä oli sini ja tässä kosini, mutta tämä ei muuta oleellisesti mitään, vain kosini on hieman helpompi selittää.

Ja nyt huomio, herrat. Erittäin näppärä toimintosarja.

Ensinnäkin kukaan ei estä meitä ottamasta huomioon kosinia, joka esiintyy tässä lausekkeessa trigonometriseen ympyrään, jonka piirsimme kuvioon 1 aivan artikkelin alussa. Ja mitä? Miksi ei? Kuvittelemme, että jokin vektori Á m, joka on yhtä suuri kuin kosinijännitteemme amplitudi, pyörii sisään suorakaiteen muotoinen järjestelmä koordinoi ympyrätaajuudella ω . Ja sitten, edellä mainituista olosuhteista johtuen, sen projektio X-akselilla hahmottaa täsmälleen meidän lakimme v(t). Saalista ei näytä vielä löytyvän.

Katsotaanpa pidemmälle. X-akselilla projektio piirtää aikafunktiomme, eikä Y-akselia vielä käytetä ollenkaan. Ja jotta hän ei vain seisoisi toimettomana - oletetaan, että tämä ei ole mikä tahansa akseliY, a kuvitteellinen lukuakseli . Eli esittelemme nyt saman monimutkaisen tilan. Tässä tilassa, kun vektoria pyöritetään Á m(vektorit merkitään yleensä kirjaimella, jonka päällä on piste tai nuoli) kun sen projektio X-akselilla piirtää kosinin, Y-akselille piirretään sinifunktio. Koko temppu on siinä, että ylitämme nyt trigonometrisen ympyrän kompleksisen tason kanssa. Ja tuloksena saamme jotain kuvan 3 kaltaista (kuvaa voi napsauttaa).

Kuva 3 - Jännityksen esitys kompleksitasolla

Mitä me näemme siinä? Itse asiassa se, mistä juuri puhuimme. Jänniteemme amplitudin pituinen vektori pyörii koordinaatistossa ja kosinilaki ilmestyy X-akselille (joka on Re) (se on täysin sama kuin signaalimme v(t)). Ja Y-akselilla (joka on Im) sinilaki syntyy. Yhteensä yllä olevan perusteella alkuperäinen signaalimme

voimme esittää trigonometrisessa muodossa näin

tai sisään demonstroiva muoto näin

Kuvitellaan nyt, että meillä ei ole kosinisignaalia, vaan sinimuotoista signaalia. Jotenkin totuimme siihen enemmän. Eli anna jännitteen muuttua tämän lain mukaan

Suoritetaan kaikki perustelut samalla tavalla. Ainoa ero on, että nyt signaalimme on "piirretty" kuvitteelliselle Im-akselille ja Re-akseli näyttää olevan poissa toiminnasta. Mutta ottamalla käyttöön monimutkainen avaruus, saamme yhtäkkiä sen kompleksisen signaalin merkinnän tämä tapaus täsmälleen sama kuin kosinitapauksessa. Eli signaalille

voimme kirjoittaa monimutkaisen esityksen trigonometrisessa muodossa näin

tai sisään demonstroiva muoto näin

Siitä käy ilmi kompleksiesitys sini- ja kosinisignaalin tapauksessa on sama muoto. Tämä on muuten aivan ilmeistä, jos muistat, että kun vektori pyörii ympyrän ympäri, sekä sini että kosini esiintyvät samanaikaisesti eri akseleilla. Ja itse kompleksiluku kuvaa juuri tätä pyörivää vektoria ja sisältää siten tietoa sekä X- että Y-akselista.

Mennään nyt taaksepäin ja kuvitellaan, että meillä on ennätys joistakin monimutkainen signaali muodossa

Tai esimerkiksi tässä muodossa

Miten ymmärrät mitä se kuvaa: sini vai kosini? Vastaus on ei. Hän kuvailee molempia yhtä aikaa. Ja jos meillä on kosini signaali, niin meidän on otettava voimassa osa tätä monimutkaista signaalia, ja jos sinimuotoinen - kuvitteellinen. Se on kosinitapaukselle se näyttää jotakuinkin tältä:

tai niin

A sinin tapauksessa se näyttää tältä

tai niin

Tässä Re() Ja minä()- funktiot kompleksiluvun reaali- tai imaginaariosan ottamiseksi. Muuten, ne on määritelty monissa matemaattisissa CAD-järjestelmissä ja niitä voidaan käyttää suoraan tässä muodossa. Eli välitä heille kompleksiluku ja vastaanota reaali- tai imaginaariosa lähdössä.

Saatat kysyä: miksi monimutkaistaa asioita niin paljon? Mitä hyötyä tästä on? Mikä on voitto? Tietenkin on voittoa, mutta puhumme siitä hieman myöhemmin, seuraavissa artikkeleissa. Siinä kaikki tälle päivälle, herrat. Kiitos kun luit ja hei!

Liity joukkoomme

Termiä kompleksiluku (jäljempänä tekstissä - CN) käytetään ilmaisemaan seuraavan tyyppisiä lausekkeita: ċ=а+jb, jossa indeksi "ċ" käytetään osoittamaan CN, ja "a" ja "b" näyttää todelliset ja kuvitteelliset osat. Merkitys "j" tarkoittaa imaginaarista yksikköä ja on yhtä suuri kuin √(-1) .

IN englanti sanalla sanoen Todellinen on tapana luonnehtia todellisuutta ja termiä Kuvitteellinen- kuvitteelliset ominaisuudet. Näistä sanoista luotiin nimitykset Re ja Im, joita käytetään määrien ilmaisemiseen "A" Ja "b" seuraavalla tavalla:

a = Re(c), b = Im(c).

CN:n esittämiseksi geometrisesti vektorimuodossa käytetään kompleksista tasoa. Sen vaaka-akseli on merkitty kyltillä +1 , ja pystysuora on symboloitu +j. Termiä todellinen (harvemmin todellinen) käytetään nimeämään vaaka-akseli ja pystysuora - kuvitteellinen.

Molemmat CN:n komponentit (todelliset ja imaginaarit) ovat vektorin suorakulmaisia ​​projektioita vastaaville akseleille.

Esitetyssä kaaviossa arvo с=|ċ| kutsutaan CN-moduuliksi ja se on yhtä suuri kuin vektorin pituus. Toinen sädevektorin paikan määräävä parametri on sen kiertokulma α akselista +1 to nykyinen tilanne ċ , pidettiin argumenttina. α=arqċ.

Kolmion jalat esitetään suhteilla:

a = cosa, b = csina.

Käyttämällä trigonometristä muotoa CN:n ilmaisemiseen, se voidaan esittää seuraavasti:

ċ=с(cosα+jsinα).

Käyttämällä Eulerin kaavaa e jα = cosα+jbsinα, voit saada moduuliarvon eksponentiaalisessa muodossa ċ=сe jα.

Polaarisessa muodossa lauseke näyttää tältä:

ċ=с∠α.

Yksikkövektorin sijainti voidaan kuvata kompleksitasolla:

Kuvitteellisella yksiköllä on seuraavat ominaisuudet:

j=e j90°, j2 =-1=e j180°, j 3 =jj 2 =-j=e j270° =e -j90°,
j4=j2j2=1=ej0=ej2Π, 1/J=1j/Jj=J/-1=-j.

Konjugoinnin käsite pätee CN:ään. Ne ovat niitä lukuja, jotka ovat samansuuruisia moduuleissa ja argumenteissa, mutta niillä on erilaisia ​​merkkejä argumenttien kohdalla.

ċ=a+jb=ce jα , ĉ=a-jb=ce jα.

Kaaviosta käy selvästi ilmi, että vektorien kuvaamat CN:t ovat symmetrisiä vaaka-akselin suhteen.

CC ja matemaattiset operaatiot. Niiden lisäämiseksi tai vähentämiseksi tehdään merkintä algebralliseen lausekkeeseen:

ċ=ċ 1 +ċ 2 =(a 1 +jb 1)+(a 2 +jb 2)=(a 1 +a 2)+j(b 1 +b 2)=a+jb.

Tässä suhteessa imaginaari- ja reaalikomponentit lasketaan erikseen yhteen: a = a 1 + a 2, b = b 1 + b 2.

Nämä lukujen algebralliset summaukset ilmaisevat niitä vastaavien vektoreiden yhteenlaskua.

Suorittaessasi konjugaattilukujen summaa voit huomata, että niiden summa ilmaistaan ​​kaksinkertaisella reaalikomponentin arvolla:

ċ+ĉ=(a+jb)+(a-jb)=2a.

Eksponentiaalisessa muodossa olevat CN-lausekkeet ovat käteviä kerto- tai jakolaskua varten. Samalla niiden moduulit kerrotaan tai jaetaan, argumenttien arvot lisätään tai vähennetään.

ċ=ċ 1 ċ 2 =c 1 e jα1 c 2 e jα2 =c 1 c 2 e j(α1+α2) =ce jα ;
ċ=ċ 1 /ċ 2 =c 1 e jα1 /c 2 e jα2 =c 1 e j(α1-α2) /c 2 =ce jα .

Ilmaisussa с=с 1 /с 2, α = α 1 - α 2.

On helppo nähdä, että kertomalla vektorin pituus kasvaa alkaen 2, ja argumentti on arvo a 2. Kun CN:t esitetään vektoreilla, havaitaan säännöllisyys: kertoa vektori muotoa olevilla CN:illä aе jα riittää venyttää vektori sisään A kerran ja käännä se kulmaan α .

Konjugaattilukujen tulon laskemiseksi riittää, että otetaan niiden moduulin neliö:

ċĉ=(a+jb)(a-jb)=a 2 +b 2 tai ċĉ=сe jα сe -jα =с 2.

CN:ien kertomiseen ja jakamiseen tietyissä olosuhteissa on kätevää käyttää niiden algebrallista lauseketta. Tämän tyyppisessä toiminnassa toiminnot suoritetaan polynomien kertolaskujen lakien mukaisesti ja arvon huomioon ottaen j2 = -1.

ċ=ċ 1 ċ 2 =(a 1 +jb 1)(a 2 +jb 2)=(a 1 a 2 -b 1 b 2)+j(b 1 a 2 +a 1 b 2).

Lukujen jakamiseksi riittää, että päästään eroon j:n arvosta nimittäjälausekkeessa kertomalla nimittäjä ja osoittaja samalla konjugaattinimittäjän lausekkeella:

ċ=ċ 1 /ċ 2 =((a 1 +jb 1)/(a 2 +jb 2))((a 2 -jb 2)/(a 2 -jb 2))=((a 1 a 2 + b1b2)+(b1a2-a1b2))/(a22+b22)=a+jb;
a=(a 1 a 2 + b 1 b 2)/(a 2 2 + b 2 2);
b = (b 1 a 2 - a 1 b 2)/(a 2 2 + b 2 2).

Rakennettujen vektorikaavioiden kaavioissa voi olla seuraava kuva:

Jos haluat ilmaista nykyisen arvon sinimuotoisella muodolla, käytä relaatiota i=Imsin(ωt+ψ), jota käytetään kuvaamaan vektoria, jonka pituus on kompleksitasolla Im ja kaltevuuskulma ψ horisonttiin. Hänen ilmeensä Im=Imejψ katsotaan virran kompleksiseksi amplitudiksi. esitetään kaaviolla:

Virran tehollisen arvon saamiseksi kompleksiamplitudi on jaettava √2 .

İ=İm/√2=e jψ Im/√2 =Ie jψ .

Sähkötekniikassa isot kirjaimet pisteillä niiden yläpuolella (E, U, I) käytetään osoittamaan CN:itä, jotka ilmaisevat EMF:n, jännitteen ja virran sinimuotoisia riippuvuuksia ajasta.

Tehdään monimutkaisen johtavuuden ja resistanssin nimitys isoilla kirjaimilla Y Ja Z, pieniä kirjaimia käytetään niiden moduulien näyttämiseen klo Ja z. Nimitys integroitu teho suoritetaan symbolilla S tilde-kuvakkeella "҇" sen yli.

Sähkövirta, virrantiheys, sähköjännite, energia virran kulkiessa, sähkövirran teho
• Sähkövirta
  Sähkövirta on järjestetyn liikkeen ilmiö sähkövaraukset. Sähkövirran suunnaksi katsotaan positiivisten varausten liikesuunta.

  Sähkövirran kaava:
  
  Sähkövirta mitataan ampeereina. SI: A.
  Sähkövirta ilmoitetaan latinalaisin kirjaimin i tai minä. Symboli se) tarkoittaa virran "hetkellistä" arvoa, ts. minkä tahansa tyyppistä virtaa milloin tahansa. Tietyssä tapauksessa se voi olla vakio tai muuttuva.
  
  Isot kirjaimet Latinalainen kirjain minä Yleensä näytetään vakiovirta-arvo.
  Millä tahansa haarautumattomalla alueella sähköpiiri virtaa samansuuruinen virta, joka on suoraan verrannollinen osan päissä olevaan jännitteeseen ja kääntäen verrannollinen sen resistanssiin. Nykyinen arvo määräytyy Ohmin lain mukaan:
  1) ketjulle DC
  2) AC-piirille,
  Jossa U-jännite, IN;
  R- ohminen vastus, Ohm;
  Z- kokonaisvastus, Ohm.
  Johtimen ohminen vastus:
  ,
  Jossa l- johtimen pituus, m;
  s- poikkileikkaus, mm 2;
  ρ - vastus, (Ohm mm2)/m.
  Ohmisen vastuksen riippuvuus lämpötilasta:
  Rt = R 20,
  Jossa R 20- vastus klo 20°C, Ohm;
  Rt- vastus klo t°C, Ohm;
  α - lämpötilavastuskerroin.
  AC-piirin impedanssi:
  ,
  missä on aktiivinen vastus, Ohm;
  - induktiivinen reaktanssi, Ohm;
  - induktanssi, Gn;
  - kapasitanssi, Ohm;
  -kapasiteetti, F.
  Aktiivinen vastus on suurempi kuin ohminen vastus R:
  ,
  missä on kerroin, joka ottaa huomioon vastuksen kasvun vaihtovirralla riippuen: virran taajuudesta; magneettiset ominaisuudet, johtavuus ja johtimen halkaisija.
  Teollisilla taajuuksilla ei-teräsjohtimille ne hyväksytään ja harkitaan.

• Virran tiheys
  Virran tiheys ( j) on poikkipinta-alayksikköä kohti laskettu virta ( s)
  .
  Virrantiheyden jakamiseksi tasaisesti ja sen kohdistamiseksi normaaliin pintaan, jonka läpi virta kulkee, virrantiheyskaava on seuraavanlainen:
  ,
  Jossa minä- virran voimakkuus johtimen poikkileikkauksen läpi pinta-alalla s.
  SI: A/m 2
• Sähköjännite
  Kun virta kulkee, kuten mikä tahansa varausten liike, tapahtuu energian muuntumisprosessi. Sähköjännite on energiamäärä, joka on kulutettava siirtämään varausyksikkö pisteestä toiseen.
  Sähköjännitekaava:
  
  Sähköjännite on merkitty latinalaisella kirjaimella u. Symboli u(t) tarkoittaa "hetkellistä" jännitteen arvoa ja isolla latinalaiskirjaimella U Yleensä ilmoitetaan vakiojännite.
  Sähköjännite mitataan voltteina. SI: IN.
• Energiaa, kun sähkövirta kulkee
  Kaava energialle, kun sähkövirta kulkee:
  
  SI: J
• Tehoa, kun sähkövirta kulkee
  Tehokaava, kun sähkövirta kulkee:
  
  SI: W.

Sähköpiiri
• Sähköpiiri- joukko laitteita, jotka on suunniteltu sallimaan sähkövirran kulkea niiden läpi.
  Näitä laitteita kutsutaan piirielementeiksi.
• Lähteet sähköenergiaa - laitteet, jotka muuntavat erilaisia ​​tyyppejä energiaa, kuten mekaanista tai kemiallista, sähköenergiaksi.
• Ihanteellinen jännitelähde- lähde, jonka päätejännite ei riipu sen läpi kulkevan virran suuruudesta.
  
  Ihanteellisen jännitelähteen sisäinen resistanssi voidaan ottaa tavanomaisesti yhtä suuri kuin nolla.
• Ihanteellinen virtalähde- lähde, jonka läpi kulkevan virran suuruus ei riipu sen napojen jännitteestä.
  
  Tällaisen lähteen sisäisen resistanssin voidaan tavanomaisesti olettaa olevan yhtä suuri kuin ääretön.
• Vastaanotin on laite, joka kuluttaa energiaa tai muuntaa sähköenergian muunlaiseksi energiaksi.
• Kahden terminaalin verkko on piiri, jossa on kaksi liitäntänapaa (napaa).
• Ihanteellinen R-elementti (resistiivinen elementti, vastus)- tämä on passiivinen piirielementti, jossa tapahtuu peruuttamaton prosessi sähköenergian muuntamiseksi lämpöenergiaksi.
  Vastuksen pääparametri on sen vastus.
  
  Resistanssi mitataan ohmeina. SI: Ohm
  Johtavuus on vastavuoroisuuden vastavuoroisuus.
  .
  Johtavuus mitataan siemensillä. SI: cm.
  R-elementin tehokaava:
  .
  R-elementin energiakaava:
  .
• Ihanteellinen C-elementti (kapasitiivinen elementti tai kondensaattori)- tämä on passiivinen piirielementti, jossa tapahtuu prosessi, jossa sähkövirran energia muunnetaan energiaksi sähkökenttä ja päinvastoin. Ihanteellisessa C-solussa ei ole energiahävikkiä.
  Kapasiteettikaava:
  . Esimerkkejä: , .
  Kapasitanssivirta:
  
  Kapasitanssijännite:
  .
  Kapasitiivisen elementin kommutointilaki. Rajallisen amplitudin virralla C-elementin varaus ei voi muuttua äkillisesti: .
  .
  Vakiokapasitanssilla kapasitiivisen elementin jännite ei voi muuttua äkillisesti: .
  C-kennon teho: .
  klo p > 0- energiaa varastoituu kun s< 0
  C-elementin energia:
  , tai
  .
  
  
  Kapasitanssi mitataan faradeina. SI: F.
• Ihanteellinen L-elementti (induktiivinen elementti tai induktori)- tämä on passiivinen elementti, jossa tapahtuu prosessi, jossa sähkövirran energia muunnetaan magneettikentän energiaksi ja päinvastoin. Ihanteellisessa L-elementissä ei ole energiahävikkiä.
  Lineaariselle L-elementille induktanssikaava ( L) on muotoa:
  ,
  missä on vuon kytkentä.
  Induktanssi on merkitty kirjaimella ja sillä on vuon ja virran välisen suhteellisuuskertoimen rooli.
  Induktiivisen elementin jännite:
  .
  Virta induktiivisessa elementissä:
  .
  Induktiivisen elementin kommutaatiolaki.Äärillisen amplitudin jännitteellä vuon kytkentä ei voi muuttua äkillisesti: .
  .
  Vakioinduktanssilla induktiivisen elementin virta ei voi muuttua äkillisesti: .
  L-elementin teho: .
  klo p > 0- energiaa varastoituu kun s< 0 - energia palaa lähteeseen.
  L-elementin energia:
  , tai
  .
  Jos hetkellä , energia on 0, niin
  
  Induktanssi mitataan henrieinä. SI: Gn
  Esimerkki: .
• R, L, C— sähköpiirien passiiviset kaksinapaiset peruselementit.
  
  

Sähköpiirien peruslait
• Ohmin laki piiriosalle, joka ei sisällä EMF-lähdettä.
  Ohmin laki piiriosalle, joka ei sisällä EMF-lähdettä, määrittää suhteen virran ja jännitteen välille tässä osassa.
  
  Suhteessa tähän kuvioon Ohmin lain matemaattinen ilmaus on muotoa:
  , tai
  Tämä yhtäläisyys on muotoiltu seuraavasti: johtimen vakioresistanssilla sen jännite on verrannollinen johtimessa olevaan virtaan.
• Ohmin laki piiriosalle, joka sisältää EMF-lähteen
  Piirille
  
  
  .
  Piirille
  
  
  .
  Yleensä
  .
• Joule-Lenzin laki. Energiaa vapautuu vastuksessa R kun virta kulkee sen läpi minä, on verrannollinen virran neliön ja vastuksen arvon tuloon:
  
• Kirchhoffin lait.
  Piirin topologia (rakenne).
  Sähkökaavio — graafinen kuva sähköpiiri.
  Haara- piirin osa, joka sisältää yhden tai useamman elementin, jotka on kytketty sarjaan ja suljettuna kahden solmun väliin.
  Solmu- ketjun piste, jossa vähintään kolme haaraa yhtyy. Solmut on numeroitu mielivaltaisesti, yleensä arabialaisilla numeroilla. Kaaviossa solmu voi olla merkitty pisteellä tai ei. Pääsääntöisesti niitä solmuja, joiden sijainti on ilmeinen (T-muotoiset yhteydet), ei ilmoiteta. Jos risteävät oksat muodostavat solmun, se osoitetaan pisteellä. Jos oksien leikkauspisteessä ei ole pistettä, solmua ei ole (johdot ovat päällekkäin).
  Piiri- suljettu polku, joka kulkee useiden haarojen läpi. Polut ovat itsenäisiä, jos ne eroavat toisistaan ​​ainakin yhdessä haarassa. Ääriviiva on osoitettu nuolella, jossa on ilmoitettu kulkusuunta ja roomalainen numero. Ohitussuunta valitaan mielivaltaisesti. Piirissä voi olla monia itsenäisiä piirejä, mutta kaikkia näitä piirejä ei tarvita riittävän määrän yhtälöiden muodostamiseksi ongelman ratkaisemiseksi.
  
  
  1) mihin tahansa piirisolmuun virtaavien virtojen algebrallinen summa on nolla:
  ;
  
  2) mihin tahansa solmuun virtaavien virtojen summa on yhtä suuri kuin solmusta virtaavien virtojen summa:
  . .
  Kirchhoffin toinen laki:
  1) minkä tahansa suljetun piirin jännitehäviöiden algebrallinen summa on yhtä suuri kuin emf:n algebrallinen summa samalla piirillä:
  
  2) jännitysten (ei jännitehäviöiden!) algebrallinen summa missä tahansa suljetussa piirissä on nolla:
  . .
• Kirchhoffin yhtälöiden matriisimuoto:
  ,
  Jossa A, IN- kertoimet virtojen ja jännitteiden järjestyksessä p x p (s- piirihaarojen lukumäärä; q- piirin solmujen lukumäärä);
  minä, E- tuntemattomat virrat ja annettu EMF
  Matriisielementit A ovat Kirchhoffin ensimmäisen ja toisen lain mukaan laadittujen yhtälöiden vasemmalla puolella olevien virtojen kertoimet. Matriisin ensimmäiset rivit A sisältävät kertoimia virroille yhtälöissä, jotka on laadittu Kirchhoffin ensimmäisen lain mukaan, ja niissä on alkiot +1, -1, 0 riippuen etumerkistä, jolla annettu virta yhtälöön.
  Seuraavien matriisirivien elementit A ovat yhtä suuria kuin vastusarvot vastaavilla virroilla yhtälöissä, jotka on laadittu Kirchhoffin toisen lain mukaan, vastaavalla merkillä. Matriisielementit IN ovat yhtä suuria kuin Kirchhoffin lakien mukaan laadittujen yhtälöiden oikealla puolella olevat EMF:n kertoimet. Matriisin ensimmäisillä riveillä on nolla elementtiä, koska Kirchhoffin ensimmäisen lain mukaan kirjoitettujen yhtälöiden oikealla puolella ei ole EMF:ää. Loput rivit sisältävät elementtejä +1, -1 riippuen merkistä, jolla EMF sisältyy yhtälöön, ja 0, jos EMF ei sisälly yhtälöön.
  Kirchhoffin lakien mukaan laadittu yhtälöiden yleinen ratkaisu:
  ,
  Jossa — johtavuusmatriisi.
  .
  Virtaukset jokaisessa haarassa:
  ;
  ;
  
  .
Sähköpiirien toimintatavat
• Sähköpiirielementin nimellinen toimintatila- tämä on tila, jossa se toimii nimellisparametreilla.
• Sovittu tila on tila, jossa lähteen syöttämä tai vastaanottimen kuluttama teho on enimmäisarvo. Tämä arvo saadaan tietyllä sähköpiirin parametrien suhteella (koordinaatiolla).
• tila tyhjäkäyntinopeus - tämä on tila, jossa ei ole virtausta lähteen tai vastaanottimen läpi sähkövirta. Tässä tapauksessa lähde ei vapauta energiaa ulkoosa piiri, ja vastaanotin ei kuluta sitä. Moottorille tämä on tila ilman mekaanista kuormitusta irtotavarana.
• tila oikosulku - tämä on tila, joka tapahtuu, kun lähteen tai passiivisen elementin eri liittimet sekä sähköpiirin osa, joka on jännitteinen, on kytketty toisiinsa.
DC-sähköpiirit
• Jos virta on vakio, itseinduktio-ilmiötä ei ole jännite kelan yli on nolla:
  , koska
• Tasavirta ei kulje kapasitanssin läpi.
• on yhden lähteen piiri sarjassa, rinnan tai sekoitettu yhteys vastaanottimet.
  
  klo sarjaliitäntä vastaanottimet:
  I×R ekv;
  R eq =ΣRi.
  Kun vastaanottimet kytketään rinnan, kaikkien vastaanottimien jännite on sama.
  Ohmin lain mukaan kunkin haaran virrat ovat:
  .
  Kirchhoffin ensimmäisen lain mukaan kokonaisvirta:
  E×G ekv;
  G eq = G 1 + G 2 +… + G n; R ekv. = 1/G ekv.
  Sekaliitännälle:
  R eq =.
• Silmukkavirtamenetelmä.
  Menetelmä perustuu Kirchhoffin toisen lain soveltamiseen ja mahdollistaa laskennan pienentämisen monimutkaiset järjestelmät ratkaistavien yhtälöiden lukumäärä.
  Toisistaan ​​riippumattomissa piireissä, joissa jokaiselle piirille sisältyy vähintään yksi haara vain tähän piiriin, otetaan huomioon ehdolliset piirivirrat piirin kaikissa haaroissa.
  Silmukkavirroilla, toisin kuin haaravirroilla, on seuraavat indeksit: tai
  Yhtälöt on koottu Kirchhoffin toisen silmukkavirtojen lain mukaisesti.
  Haaravirrat ilmaistaan ​​silmukkavirroilla Kirchhoffin ensimmäisen lain mukaan.
  Valittujen ääriviivojen ja ratkaistujen yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin Kirchhoffin toisen lain mukaan laadittujen yhtälöiden lukumäärä: .
  Kunkin piirin kaikkien resistiivisten elementtien resistanssien summa plusmerkillä on piirin virran kerroin ja sillä on seuraavat indeksit: tai
  Vierekkäisten piirien virran kertoimen etumerkki riippuu vierekkäisten piirien virtojen suunnan yhteensattumisesta tai epäsopista. EMF syöttää yhtälöön plusmerkillä, jos EMF:n suunnat ja piirivirran suunta ovat samat. .
• Solmupotentiaalimenetelmä.
  Menetelmä perustuu Kirchhoffin ensimmäisen lain soveltamiseen ja mahdollistaa ratkaisevien yhtälöiden määrän pienentämisen, kun etsitään tuntemattomia virtoja. Yhtälöitä laadittaessa yhden piirisolmun potentiaali otetaan nollaksi ja haaravirrat ilmaistaan ​​muiden piirisolmujen tuntemattomien potentiaalien kautta ja niille kirjoitetaan yhtälöt Kirchhoffin ensimmäisen lain mukaisesti. Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen mahdollistaa tuntemattomien potentiaalien määrittämisen ja niiden kautta haaravirtojen löytämisen.
  Kun http:="" title="U_(12)=(sum(i=1)(m)(E_i/R_i))/(sum(i=1)(n)(1/R_i) )=(summa(i=1)(m)(E_i*G_i))/(summa(i=1)(n)(G_i))">.!}
  .
• Suhteellisen suuruuden menetelmä.
  Menetelmällä etsitään tuntemattomia virtoja resistiivisten elementtien ketjukytkennästä sähköpiireissä, joissa on yksi lähde. Virrat ja jännitteet sekä piirin tunnettu EMF ilmaistaan ​​lähteestä kauimpana olevan haaran virran kautta. Ongelmana on ratkaista yksi yhtälö ja yksi tuntematon.
• Tehon tasapaino
  Energian säilymislain mukaan sähköenergian lähteiden kehittämän tehon on oltava yhtä suuri kuin teho, joka muunnetaan sähköenergian muun tyyppiseksi energiaksi piirissä:
  .
  — lähteiden kehittämien valmiuksien summa;
  — kaikkien vastaanottimien tehojen ja lähteiden sisällä tapahtuvien palautumattomien energiamuunnosten summa.
  Tehotase laaditaan löydetyn ratkaisun oikeellisuuden tarkistamiseksi. Tässä tapauksessa energialähteiden piiriin tuomaa tehoa verrataan kuluttajien käyttämään tehoon.
  Tehokaava yhdelle vastukselle:
  
  Kuluttajien kokonaisteho:
  P P=
  Virran lähde:
  P-lähde = P E + P J,
  Jossa P E = ±EI-voimaa EMF lähde(määritetään kertomalla sen EMF tietyssä haarassa kulkevalla virralla. Virta otetaan laskennan tuloksena saadulla etumerkillä. Tuotteen eteen laitetaan miinus, jos virran suunta ja EMF eivät ole täsmää kaaviossa);
  PJ = JUJ— virtalähteen teho (määritetään kertomalla lähdevirta sen yli kulkevalla jännitehäviöllä).
  Voit määrittää UJ:n valitsemalla minkä tahansa virtalähteen sisältävän piirin. Osoita pudotusta U J piiriin lähdevirtaa vastaan ​​ja kirjoita silmukkayhtälö. Kaikki määrät paitsi U J, tässä yhtälössä ovat jo tiedossa, mikä mahdollistaa jännitehäviön laskemisen U J.
  Tehon vertailu: P lähde = P P. Jos yhtäläisyys täyttyy, saldo on oikea ja nykyinen laskelma on oikea.
• Algoritmi piirin laskemiseksi Kirchhoffin lakien mukaan
  1. Piirrämme kaavioon satunnaisesti tuntemattomien virtojen numerot ja suunnat.
  2. Sijoitamme kaavioon satunnaisesti solmunumerot.
  3. Laadimme solmuyhtälöt mielivaltaisesti valituille solmuille (ensimmäisen lain mukaan).
  4. Merkitsemme ääriviivat kaavioon ja valitsemme ohjeet niiden kiertämiseksi.
  5. Määrättyjen ääriviivojen määrä on yhtä suuri kuin Kirchhoffin toisen lain mukaan laadittujen yhtälöiden lukumäärä. Tässä tapauksessa yksikään piireistä ei saa sisältää haaraa virtalähteellä.
  6. Muodostamme ääriviivayhtälöt valituille ääriviivoille (toisen lain mukaan).
  7. Yhdistämme kootut yhtälöt systeemiksi. Siirrämme tunnetut määrät osoitteeseen oikea puoli yhtälöt. Syötetään haluttujen virtojen kertoimet matriisiin A(yhtälöiden vasen puoli) (lue matriiseista). Matriisin täyttäminen F, syöttämällä siihen yhtälöiden oikeat puolet.
  8. Ratkaisemme tuloksena olevan yhtälöjärjestelmän ().
  9. Tarkistamme ratkaisun oikeellisuuden laatimalla tehotasapainon.
     Esimerkki: .
AC sähköpiirit
• Sinimuotoisen virran sähköpiiri on sähköpiiri, jossa EMF, jännitteet ja virrat vaihtelevat sinimuotoisen lain mukaan:
  
• AC on virta, jonka suuruus ja suunta muuttuvat ajoittain ja jolle on tunnusomaista amplitudi, jakso, taajuus ja vaihe.
• AC-virran amplitudi- Tämä korkein arvo, positiivinen tai negatiivinen, vastaanotetaan vaihtovirralla.
• Kausi- tämä on aika, jonka aikana johtimessa tapahtuu virran täydellinen värähtely.
• Taajuus on jakson käänteisluku.
• Vaihe on kulma tai sinimerkin alla. Vaihe kuvaa vaihtovirran tilaa ajan kuluessa. klo t=0-vaihetta kutsutaan alkuvaiheeksi.
• Jaksottainen tila: . Tämä tila voidaan luokitella myös sinimuotoiseksi:
  ,
  missä on amplitudi;
  — alkuvaihe;
  — generaattorin roottorin pyörimiskulmanopeus.
  klo f= 50 Hz rad/s.
• Sinimuotoinen virta- tämä on virta, joka muuttuu ajan myötä sinimuotoisen lain mukaan:
  .
• Sinivirran (EMF, jännite) keskiarvo, kaava:
  ,
  eli sinimuotoisen virran keskiarvo on yhtä suuri kuin amplitudi yksi. Samoin
  .
• Sinivirran tehollinen arvo (EMF, jännite), kaava:
  . Samoin
  .
• Sinivirralla yhdessä jaksossa vapautuvan lämmön määrä, kaava:
  .
  Sinivirran tehollinen arvo minä on numeerisesti yhtä suuri kuin sellaisen tasavirran arvo, joka sinivirran jaksoa vastaavassa ajassa vapauttaa saman määrän lämpöä kuin sinivirta.
  =R×I viesti 2×T tai postitan=minä=
• Sinimuotoisen virran huippukerroin (κ a) on sinivirran amplitudin suhde sinivirran teholliseen arvoon: .
• Sinimuotoisen virran muotokerroin (κ f) on asenne tehokas arvo sinivirta sinivirran keskiarvoon puolen jakson aikana:
  κ f=.
  Ei-sinimuotoisille jaksollisille virroille κa≠, κ f≠1.11. Tämä poikkeama osoittaa epäsuorasti, kuinka erilainen ei-sinimuotoinen virta on sinimuotoisesta.
Kattavan sähköpiirien laskentamenetelmän perusteet
• Mikä tahansa kompleksiluku voidaan esittää:
  a) algebrallisessa muodossa
  b) trigonometrisessa muodossa
  c) havainnollistavassa muodossa
  jossa — Eulerin kaava;
  d) vektori kompleksitasolla,
  
  missä on kuvitteellinen yksikkö;
  — kompleksiluvun reaaliosa (vektorin projektio reaaliakselille);
  — kompleksiluvun imaginaariosa (vektorin projektio imaginaariakselille);
  — kompleksiluvun moduuli;
  — kompleksiluvun argumentin pääarvo.
  Ratkaistiin esimerkkejä kompleksilukujen operaatioista.
• Sinimuotoinen virta i .
• Monimutkainen virran amplitudi- kompleksiluku, jonka moduuli ja argumentti ovat vastaavasti yhtä suuria kuin sinimuotoisen virran amplitudi ja alkuvaihe:
  .
• Kompleksivirta (kompleksinen tehollinen virta):
  
  
• Sinimuotoinen jännite u voidaan määrittää kompleksiluvulle .
• Monimutkainen jännitteen amplitudi- kompleksiluku, jonka moduuli ja argumentti ovat vastaavasti yhtä suuria kuin sinimuotoisen jännitteen amplitudi ja alkuvaihe:
  .
• Monimutkainen vastus:
  
  Aktiivinen vastustuskyky kompleksisessa muodossa ilmaistaan ​​positiivisena reaalilukuna.
  Reaktanssi monimutkaisessa muodossa ilmaistaan ​​imaginaarilukuina ja induktiivinen reaktanssi ( XL) on positiivinen ja kapasitiivinen ( X C) negatiivinen.
  Piiriosan impedanssi sarjaliitännällä R Ja X ilmaistaan ​​kompleksilukuna, todellinen osa on yhtä suuri kuin aktiivinen vastus, ja kuvitteellinen osa on yhtä suuri kuin tämän osan reaktanssi.
• Resistanssikolmio:
  
  
  
• Jännitekolmio:
  
  
  
  
• Voimakolmio:
  
  Kokonaisteho:
  Aktiivinen teho:
  Loisteho:
  
• Ohmin laki monimutkaisessa muodossa:
  .
• Kirchhoffin ensimmäinen laki monimutkaisessa muodossa:
  .
• Kirchhoffin toinen laki monimutkaisessa muodossa:
  .
Resonanssiilmiöt sähköpiireissä
Ihanteellinen aktiivinen resistanssi ei riipu taajuudesta, induktiivinen reaktanssi riippuu lineaarisesti taajuudesta, kapasitiivinen reaktanssi riippuu taajuudesta hyperbolisen lain mukaan:





• Jänniteresonanssi.
  Resonanssi sähköpiireissä on induktiivisia ja kapasitiivisia elementtejä sisältävän sähköpiirin osan tila, jossa jännitteen ja virran välinen vaihe-ero on nolla.
  Resonanssitila voidaan saada muuttamalla taajuutta ω syöttöjännite tai parametrien muuttaminen L Ja C.
  Kun kytketään sarjaan, esiintyy jänniteresonanssia.
  
  
  Virta piirissä on:
  
  Kun virtavektori osuu samaan vaiheeseen jännitevektorin kanssa:
  
  
  
  missä on jännitteen resonanssitaajuus, joka on määritetty ehdosta
  
  Sitten
  
  Sarjapiirin aalto- tai ominaisimpedanssi:
  
  Piirin laatutekijä on induktanssin tai kapasitanssin yli olevan jännitteen suhde tulon jännitteeseen resonanssitilassa:
  
  Piirin laatutekijä on jännitteen vahvistus:
  U Lres=Leikkasin X leikkaus=
  IN teollisuusverkot jänniteresonanssi on hätätila, koska kondensaattorin jännitteen nousu voi johtaa sen rikkoutumiseen ja virran lisääntyminen voi johtaa johtojen ja eristyksen kuumenemiseen.
• Virtojen resonanssi.
  
  
  Virtaresonanssia voi esiintyä, kun reaktiiviset elementit on kytketty rinnan vaihtovirtapiireihin. Tässä tapauksessa: missä
  
  Sitten
  
  Resonanssitaajuudella johtavuuden reaktiiviset komponentit voivat olla suuruudeltaan vertailukelpoisia ja kokonaisjohtavuus on minimaalinen. Samaan aikaan kokonaisvastus tulee maksimi, kokonaisvirta on pienin, virtavektori osuu yhteen jännitevektorin kanssa. Tätä ilmiötä kutsutaan virtaresonanssiksi.
  Aallonjohtavuus: .
  klo g<< b L induktanssin haaran virta on paljon suurempi kuin kokonaisvirta, joten tätä ilmiötä kutsutaan virtaresonanssiksi.
  Resonanssitaajuus:
  ω* =
  Kaavasta seuraa:
  1) resonanssitaajuus riippuu paitsi reaktiivisten, myös aktiivisten vastusten parametreista;
  2) resonanssi on mahdollista, jos R L Ja R C enemmän tai vähemmän ρ , muuten taajuus on kuvitteellinen määrä ja resonanssi ei ole mahdollista;
  3) jos RL = R C = ρ, silloin taajuudella on määrittelemätön arvo, mikä tarkoittaa, että resonanssia voi esiintyä millä tahansa taajuudella, kun syöttöjännitteen ja kokonaisvirran vaiheet kohtaavat;
  4) milloin R L = R C<< ρ jännitteen resonanssitaajuus on yhtä suuri kuin virran resonanssitaajuus.
  Energiaprosessit piirissä virtaresonanssin aikana ovat samanlaisia ​​kuin prosessit jänniteresonanssin aikana.
  Loisteho virran resonanssilla on nolla. yksityiskohtaisesti, loisteho tarkistettu

Asiakaskirjeestä:
Kerro minulle, jumalan tähden, miksi UPS:n teho ilmoitetaan voltteina ampeerina eikä tavallisina kilowatteina. Tämä on erittäin stressaavaa. Loppujen lopuksi kaikki ovat pitkään tottuneet kilowatteihin. Ja kaikkien laitteiden teho ilmoitetaan pääasiassa kW:na.
Aleksei. 21. kesäkuuta 2007

Minkä tahansa UPS:n tekniset ominaisuudet osoittavat näennäistehon [kVA] ja pätötehon [kW] - ne kuvaavat UPS:n kuormituskykyä. Esimerkki, katso kuvat alla:

Kaikkien laitteiden tehoa ei ilmoiteta W:na, esimerkiksi:

• Muuntajien teho ilmoitetaan VA:ssa:
  http://www.mstator.ru/products/sonstige/powertransf (TP-muuntajat: katso liite)
  http://metz.by/download_files/catalog/transform/tsgl__tszgl__tszglf.pdf (TSGL-muuntajat: katso liite)
• Kondensaattorin teho ilmoitetaan muuttujilla:
  http://www.elcod.spb.ru/catalog/k78-39.pdf (kondensaattorit K78-39: katso liite)
  http://www.kvar.su/produkciya/25-nizkogo-napraygeniya-vbi (Ison-Britannian kondensaattorit: katso liite)
• Esimerkkejä muista kuormista on alla olevissa liitteissä.

Kuorman tehoominaisuudet voidaan määrittää tarkasti yhdellä parametrilla (aktiivinen teho W) vain tasavirran tapauksessa, koska tasavirtapiirissä on vain yksi vastustyyppi - aktiivinen vastus.

Kuorman tehoominaisuuksia vaihtovirran tapauksessa ei voida määrittää tarkasti yhdellä parametrilla, koska vaihtovirtapiirissä on kaksi erilaista vastusta - aktiivinen ja reaktiivinen. Siksi vain kaksi parametria: pätöteho ja loisteho kuvaavat tarkasti kuormaa.

Aktiivi- ja reaktiivisen vastuksen toimintaperiaatteet ovat täysin erilaisia. Aktiivinen vastus - muuntaa palautumattomasti sähköenergian muun tyyppiseksi energiaksi (lämpö, ​​valo jne.) - esimerkkejä: hehkulamppu, sähkölämmitin (kohta 39, Fysiikka 11. luokka V.A. Kasyanov M.: Bustard, 2007).

Reaktanssi - vuorotellen kerää energiaa ja vapauttaa sen sitten takaisin verkkoon - esimerkkejä: kondensaattori, induktori (kohta 40,41, Fysiikka 11. luokka V.A. Kasyanov M.: Bustard, 2007).

Edelleen mistä tahansa sähkötekniikan oppikirjasta voit lukea, että pätöteho (aktiivisen resistanssin hajauttama) mitataan watteina ja loisteho (kierrä reaktanssi) mitattuna varsina; Myös kuormitustehon karakterisoimiseksi käytetään kahta muuta parametria: näennäisteho ja tehokerroin. Kaikki nämä 4 parametria:

1. Aktiivinen teho: nimitys P, mittayksikkö: Watt
2. Loisteho: nimitys K, mittayksikkö: VAR(Vt Ampe reaktiivinen)
3. Näennäinen teho: nimitys S, mittayksikkö: VA(V ampeeri)
4. Tehokerroin: symboli k tai cosФ, mittayksikkö: dimensioton määrä

Nämä parametrit liittyvät toisiinsa suhteilla: S*S=P*P+Q*Q, cosФ=k=P/S

Myös cosФ kutsutaan tehokerroin ( Tehotekijä – PF)

Siksi sähkötekniikassa mitkä tahansa kaksi näistä parametreista määritetään kuvaamaan tehoa, koska loput voidaan löytää näistä kahdesta.

Esimerkiksi sähkömoottorit, lamput (purkaus) - niissä. tiedot ilmoitettu P[kW] ja cosФ:
http://www.mez.by/dvigatel/air_table2.shtml (AIR-moottorit: katso liite)
http://www.mscom.ru/katalog.php?num=38 (DRL-lamput: katso liite)
(esimerkkejä eri kuormien teknisistä tiedoista, katso alla oleva liite)

Sama on virtalähteiden kanssa. Niiden teholle (kuormituskyvylle) on ominaista yksi parametri tasavirtalähteille - aktiivinen teho (W) ja kaksi parametria lähteille. AC virtalähde. Tyypillisesti nämä kaksi parametria ovat näennäisteho (VA) ja aktiivinen teho (W). Katso esimerkiksi dieselgeneraattorisarjan ja UPS:n parametrit.

Useimmat toimisto- ja kodinkoneet ovat aktiivisia (ei tai pieni reaktanssi), joten niiden teho ilmoitetaan watteina. Tässä tapauksessa kuormitusta laskettaessa käytetään UPS:n tehoarvoa watteina. Jos kuormana on tietokoneita, joissa on virtalähteet (PSU) ilman syöttötehokertoimen korjausta (APFC), lasertulostin, jääkaappi, ilmastointilaite, sähkömoottori (esim. uppopumppu tai moottori osana työstökonetta ), loisteputkilamput jne., laskennassa käytetään kaikkia lähtöjä. UPS-tiedot: kVA, kW, ylikuormitusominaisuudet jne.

Katso esimerkiksi sähkötekniikan oppikirjoja:

1. Evdokimov F.E. Teoreettiset perusteet sähkötekniikka. - M.: Kustannuskeskus "Akatemia", 2004.

2. Nemtsov M.V. Sähkötekniikka ja elektroniikka. - M.: Kustannuskeskus "Akatemia", 2007.

3. Chastoedov L. A. Sähkötekniikka. - M.: Korkeakoulu, 1989.

Katso myös AC virta, Tehokerroin, Sähkövastus, Reaktanssi http://en.wikipedia.org
(käännös: http://electron287.narod.ru/pages/page1.html)

Sovellus

Esimerkki 1: muuntajien ja automuuntajien teho ilmoitetaan VA:na (volttiampeereina)

http://metz.by/download_files/catalog/transform/tsgl__tszgl__tszglf.pdf (TSGL-muuntajat)

Yksivaiheiset automuuntajat
TDGC2-0,5 kVa, 2A		AOSN-2-220-82
TDGC2-1,0 kVa, 4A	Myöhemmin 1.25	AOSN-4-220-82
TDGC2-2,0 kVa, 8A	Myöhemmin 2.5	AOSN-8-220-82
TDGC2-3,0 kVa, 12A
TDGC2-4,0 kVa, 16A
TDGC2-5,0 kVa, 20A		AOSN-20-220
TDGC2-7,0 kVa, 28A
TDGC2-10 kVa, 40A		AOMN-40-220
TDGC2-15 kVa, 60A
TDGC2-20 kVa, 80A

http://www.gstransformers.com/products/voltage-regulators.html (LATR / laboratorio autotransformers TDGC2)

Esimerkki 2: kondensaattorien teho ilmaistaan ​​VAR:na (Volt Amperes reactive)

http://www.elcod.spb.ru/catalog/k78-39.pdf (kondensaattorit K78-39)

http://www.kvar.su/produkciya/25-nizkogo-napraygeniya-vbi (Ison-Britannian kondensaattorit)

Esimerkki 3: Sähkömoottoreiden tekniset tiedot sisältävät pätötehon (kW) ja cosF:n

Kuormille, kuten sähkömoottoreille, lampuille (purkaus), tietokoneen virtalähteille, yhdistetyille kuormituksille jne., tekniset tiedot ilmoittavat P [kW] ja cosФ (aktiivinen teho ja tehokerroin) tai S [kVA] ja cosФ (näennäisteho ja tehokerroin) teho).

http://www.weiku.com/products/10359463/Stainless_Steel_cutting_machine.html
(yhdistetty kuorma – teräsplasmaleikkauskone / invertteriplasmaleikkuri LGK160 (IGBT)

http://www.silverstonetek.com.tw/product.php?pid=365&area=en (PC-virtalähde)

Liite 1

Jos kuormalla on korkea tehokerroin (0,8 ... 1,0), sen ominaisuudet ovat lähellä resistiivisen kuorman ominaisuuksia. Tällainen kuorma on ihanteellinen sekä verkkolinjalle että virtalähteille, koska ei tuota loisvirtoja ja tehoja järjestelmään.

Siksi monet maat ovat ottaneet käyttöön standardeja, jotka säätelevät laitteiden tehokerrointa.

Lisäys 2

Yksikuormaisilla laitteilla (esimerkiksi PC-virtalähde) ja monikomponenttiyhdistetyillä laitteilla (esim. useita moottoreita sisältävä teollisuusjyrsinkone, PC, valaistus jne.) on alhaiset tehokertoimet (alle 0,8). sisäiset yksiköt (esim. PC-virtalähteen tasasuuntaajan tai sähkömoottorin tehokerroin on 0,6 .. 0,8). Siksi useimmissa laitteissa on nykyään tehokertoimen korjaussyöttöyksikkö. Tässä tapauksessa tulotehokerroin on 0,9 ... 1,0, mikä vastaa sääntelystandardeja.

Liite 3: Tärkeä huomautus koskien UPS:n tehokerrointa ja jännitteen stabilaattoreita

UPS:n ja dieselgeneraattorisarjan kuormitus on normalisoitu normaaliin teollisuuskuormitukseen (tehokerroin 0,8, luonteeltaan induktiivinen). Esimerkiksi UPS 100 kVA / 80 kW. Tämä tarkoittaa, että laite voi syöttää resistiivistä kuormaa, jonka teho on enintään 80 kW, tai sekakuormaa (lois-reaktiivinen) maksimiteholla 100 kVA induktiivisella tehokertoimella 0,8.

Jännitteen stabilaattoreiden kanssa tilanne on toinen. Stabilisaattorin kuormitustehokerroin on välinpitämätön. Esimerkiksi 100 kVA jännitteenvakain. Tämä tarkoittaa, että laite voi syöttää aktiivikuormaa, jonka teho on enintään 100 kW, tai mitä tahansa muuta (puhtaasti aktiivista, puhtaasti lois-, sekatehoa) 100 kVA tai 100 kVAr millä tahansa kapasitiivisella tai induktiivisella tehokertoimella. Huomaa, että tämä pätee lineaariseen kuormaan (ilman suurempia harmonisia virtoja). Suurilla kuormitusvirran harmonisilla vääristymillä (korkea SOI) stabilisaattorin lähtöteho pienenee.

Lisäys 4

Kuvaavia esimerkkejä puhtaista aktiivisista ja puhtaista reaktiivisista kuormista:

• 100 W hehkulamppu on kytketty 220 VAC vaihtovirtaverkkoon - kaikkialla piirissä on johtavuusvirta (johtimien ja lampun volframilangan läpi). Kuorman (lampun) ominaisuudet: teho S=P~=100 VA=100 W, PF=1 => kaikki sähköteho aktiivinen, mikä tarkoittaa, että se imeytyy täysin lamppuun ja muuttuu lämpö- ja valovoimaksi.
• 7 µF ei-polaarinen kondensaattori on kytketty 220 VAC vaihtovirtaverkkoon - johdinpiirissä on johtavuusvirta ja kondensaattorin sisällä (dielektrin läpi) kulkee bias-virta. Kuorman (kondensaattorin) ominaisuudet: teho S=Q~=100 VA=100 VAr, PF=0 => kaikki sähköteho on reaktiivista, eli se kiertää jatkuvasti lähteestä kuormaan ja takaisin, jälleen kuormaan, jne.

Lisäys 5

Vallitsevan reaktanssin (induktiivinen tai kapasitiivinen) osoittamiseksi tehokertoimelle annetaan merkki:

+ (plus)– jos kokonaisreaktanssi on induktiivinen (esimerkki: PF=+0,5). Virtavaihe on kulman Ф jäljessä jännitevaiheesta.

- (miinus)– jos kokonaisreaktanssi on kapasitiivinen (esimerkki: PF=-0,5). Virtavaihe siirtää jännitevaihetta kulman F verran eteenpäin.

Liite 6

Lisäkysymyksiä

Kysymys 1:
Miksi kaikki sähkötekniikan oppikirjat käyttävät vaihtovirtapiirejä laskettaessa kuvitteellisia lukuja/määriä (esim. loistehoa, reaktanssia jne.), joita ei todellisuudessa ole olemassa?

Vastaus:
Kyllä, kaikki yksittäiset suuret ympäröivässä maailmassa ovat todellisia. Sisältää lämpötilan, reaktanssin jne. Imaginaaristen (kompleksisten) lukujen käyttö on vain matemaattinen tekniikka, joka helpottaa laskelmia. Laskennan tulos on välttämättä reaaliluku. Esimerkki: 20 kVAr:n kuorman (kondensaattorin) loisteho on todellinen energiavirta, eli lähde-kuormapiirissä kiertävä todellista wattia. Mutta erottaakseen nämä watit kuorman peruuttamattomasti absorboimista wateista, he päättivät kutsua näitä "kiertowatteja" reaktiivisiksi volttiampeereiksi.

Kommentti:
Aiemmin fysiikassa käytettiin vain yksittäisiä suureita, ja laskettaessa kaikki matemaattiset suureet vastasivat ympäröivän maailman todellisia suureita. Esimerkiksi etäisyys on yhtä suuri kuin nopeus kertaa aika (S=v*t). Sitten, fysiikan kehittyessä, eli kun enemmän tutkittiin monimutkaisia ​​esineitä(valo, aallot, vaihtosähkövirta, atomi, avaruus jne.) sellainen ilmestyi suuri määrä fyysisiä määriä että oli mahdotonta laskea jokaista erikseen. Tämä ei ole vain manuaalisen laskennan ongelma, vaan myös tietokoneohjelmien kirjoittamisen ongelma. ratkaista annettu tehtävä Läheisiä yksittäisiä suureita alettiin yhdistää monimutkaisemmiksi (mukaan lukien 2 tai useampia yksittäisiä suureita) matematiikassa tunnettujen muunnoslakien mukaisesti. Näin syntyivät skalaariset (yksittäiset) suureet (lämpötila jne.), vektori- ja kompleksiset kaksoissuureet (impedanssi jne.), kolmoisvektorisuureet (magneettikentän vektori jne.) ja monimutkaisemmat suureet - matriisit ja tensorit (dielektriset) vakiotensori, tensori Ricci ja muut). Sähkötekniikan laskelmien yksinkertaistamiseksi käytetään seuraavia kuvitteellisia (monimutkaisia) kaksoissuureita:

1. Kokonaisvastus (impedanssi) Z=R+iX
2. Näennäisteho S=P+iQ
3. Dielektrisyysvakio e=e"+ie"
4. Magneettinen läpäisevyys m=m"+im"
5. jne.

Kysymys 2:

Sivu http://en.wikipedia.org/wiki/Ac_power näyttää S P Q Ф kompleksisella, eli kuvitteellisella / olemattomalla tasolla. Mitä tekemistä tällä kaikella on todellisuuden kanssa?

Vastaus:
On vaikeaa suorittaa laskelmia todellisilla sinihousuilla, joten laskelmien yksinkertaistamiseksi käytä vektori (kompleksi)esitystä kuten kuvassa 1. korkeampi. Mutta tämä ei tarkoita, että kuvassa näkyvät S P Q eivät liity todellisuuteen. S P Q:n todelliset arvot voidaan esittää tavallisessa muodossa, perustuen sinimuotoisten signaalien mittauksiin oskilloskoopilla. S P Q Ф I U:n arvot vaihtovirtapiirissä "lähdekuorma" riippuvat kuormasta. Alla on esimerkki todellisista sinisignaaleista S P Q ja Ф, kun kyseessä on kuorma, joka koostuu sarjaan kytketyistä aktiivisista ja reaktiivisista (induktiivisista) vastuksista.

Kysymys 3:
Tavanomaisella virtaliittimellä ja yleismittarilla mitattiin kuormitusvirta 10 A ja kuormitusjännite 225 V. Kerrotaan ja saadaan kuormitusteho W: 10 A · 225 V = 2250 W.

Vastaus:
Olet saanut (laskettu) kokonaiskuormitustehon 2250 VA. Siksi vastauksesi on pätevä vain, jos kuormasi on puhtaasti resistiivinen, niin todellakin volttiampeeri on yhtä suuri kuin watti. Kaikille muille kuormituksille (esimerkiksi sähkömoottorille) - ei. Mittaaksesi kaikki mielivaltaisen kuormituksen ominaisuudet, sinun on käytettävä verkkoanalysaattoria, esimerkiksi APPA137:

Katso lisää luettavaa esimerkiksi:

Evdokimov F. E. Sähkötekniikan teoreettiset perusteet. - M.: Kustannuskeskus "Akatemia", 2004.

Nemtsov M.V. Sähkötekniikka ja elektroniikka. - M.: Kustannuskeskus "Akatemia", 2007.

Chastoedov L. A. Sähkötekniikka. - M.: Korkeakoulu, 1989.

AC teho, tehokerroin, sähkövastus, reaktanssi
http://en.wikipedia.org (käännös: http://electron287.narod.ru/pages/page1.html)

Pienitehoisten muuntajien teoria ja laskenta Yu.N. Starodubtsev / RadioSoft Moscow 2005 / rev d25d5r4feb2013.