>>Matrixi auaste

Maatriksi auaste

Maatriksi järgu määramine

Vaatleme ristkülikukujulist maatriksit. Kui selles maatriksis valime meelevaldselt k read ja k veergudes, siis moodustavad elemendid valitud ridade ja veergude ristumiskohas k-ndat järku ruutmaatriksi. Selle maatriksi determinandiks nimetatakse k-nda järgu moll maatriks A. Ilmselgelt on maatriksil A minoorsed astmed 1-st väikseima arvude m ja n vahel. Maatriksi A nullist erineva mollide hulgas on vähemalt üks moll, mille järjestus on suurim. Nimetatakse antud maatriksi suurimat nullist erinevat väiksemat järjestust koht maatriksid. Kui maatriksi A aste on r, see tähendab, et maatriksil A on nullist erinev järjekord r, kuid iga alaealine järjestus suurem kui r, on võrdne nulliga. Maatriksi A astet tähistatakse r(A). Ilmselgelt suhe kehtib

Maatriksi auastme arvutamine alaealiste abil

Maatriksi auaste leitakse kas alaealiste piiritlemise või elementaarsete teisenduste meetodi abil. Maatriksi auastme arvutamisel esimese meetodi järgi tuleks liikuda madalama järgu alaealistelt kõrgema järgu alaealistele. Kui maatriksi A k-ndat järku nullist erinev moll D on juba leitud, siis vajavad arvutamist vaid (k+1) järku mollid, mis piirnevad minoorse D-ga, s.t. sisaldades seda alaealisena. Kui need kõik on võrdsed nulliga, siis on maatriksi auaste k.

Näide 1.Leia maatriksi auaste alaealiste ääristamise meetodil

.

Lahendus.Alustame 1. järku alaealistest, st. maatriksi A elementidest. Valime näiteks esimeses reas ja esimeses veerus paikneva minoorse (elemendi) M 1 = 1. Piirides teise rea ja kolmanda veeru abil, saame väiksema M 2 = nullist erinev. Nüüd pöördume M2-ga piirnevate 3. järgu alaealiste poole. Neid on ainult kaks (saate lisada teise või neljanda veeru). Arvutame need välja: = 0. Seega osutusid kõik piirnevad kolmanda järgu alaealised võrdseks nulliga. Maatriksi A aste on kaks.

Maatriksi järgu arvutamine elementaarteisenduste abil

ElementaarneNimetatakse järgmisi maatriksteisendusi:

1) mis tahes kahe rea (või veeru) permutatsioon,

2) rea (või veeru) korrutamine nullist erineva arvuga,

3) ühele reale (või veerule) teise rea (või veeru) lisamine, korrutades teatud arvuga.

Neid kahte maatriksit nimetatakse samaväärne, kui üks neist saadakse teisest elementaarteisenduste lõpliku hulga abil.

Ekvivalentmaatriksid ei ole üldiselt võrdsed, kuid nende auastmed on võrdsed. Kui maatriksid A ja B on samaväärsed, kirjutatakse see järgmiselt: A~B.

KanoonilineMaatriks on maatriks, milles põhidiagonaali alguses on reas mitu ühte (mille arv võib olla null) ja kõik muud elemendid on võrdsed nulliga, näiteks

.

Kasutades ridade ja veergude elementaarseid teisendusi, saab mis tahes maatriksi taandada kanooniliseks. Kanoonilise maatriksi aste on võrdne selle põhidiagonaalil olevate maatriksite arvuga.

Näide 2Leidke maatriksi auaste

A=

ja viige see kanoonilisse vormi.

Lahendus. Teisest reast lahutage esimene ja korraldage need read ümber:

.

Nüüd lahutame teisest ja kolmandast reast esimese, korrutatuna vastavalt 2 ja 5-ga:

;

lahutage esimene kolmandast reast; saame maatriksi

B = ,

mis on ekvivalentne maatriksiga A, kuna see saadakse sellest elementaarteisenduste lõpliku hulga abil. Ilmselgelt on maatriksi B aste 2 ja seega r(A)=2. Maatriksi B saab hõlpsasti taandada kanooniliseks. Lahutades kõigist järgnevatest esimese veeru, mis on korrutatud sobivate arvudega, nullisime kõik esimese rea elemendid, välja arvatud esimene, ja ülejäänud ridade elemendid ei muutu. Seejärel lahutame kõigist järgnevatest teise veeru, mis on korrutatud sobivate arvudega, nulliks kõik teise rea elemendid, välja arvatud teine, ja saame kanoonilise maatriksi:

.

Arvu r nimetatakse maatriksi A auastmeks, kui:
1) maatriksis A on nullist erinev r-järgu moll;
2) kõik järgu (r+1) ja kõrgemad alaealised, kui need on olemas, on võrdsed nulliga.
Vastasel juhul on maatriksi auaste kõrgeim kõrvalaste peale nulli.
Nimetused: rangA, r A või r.
Definitsioonist järeldub, et r on positiivne täisarv. Nullmaatriksi puhul loetakse auaste nulliks.

Teenuse eesmärk. Interneti-kalkulaator on loodud leidmiseks maatriksi auaste. Sel juhul salvestatakse lahendus Wordi ja Exceli vormingus. vaata lahenduse näidet.

Juhised. Valige maatriksi dimensioon ja klõpsake nuppu Edasi.

Valige maatriksi mõõde 3 4 5 6 7 x 3 4 5 6 7

Definitsioon . Olgu antud maatriks auastmega r. Igasugust maatriksi minoorset, mis erineb nullist ja mille järjestus on r, nimetatakse põhiliseks ning selle komponentide ridu ja veerge nimetatakse põhiridadeks ja -veerudeks.
Selle definitsiooni kohaselt võib maatriksil A olla mitu põhimolli.

Identiteetmaatriksi E auaste on n (ridade arv).

Näide 1. Arvestades kahte maatriksit, ja nende alaealised , . Millist neist võib pidada põhiliseks?
Lahendus. Minor M 1 =0, seega ei saa see olla ühegi maatriksi aluseks. Minor M 2 =-9≠0 ja selle järjekord on 2, mis tähendab, et seda saab võtta maatriksite A või / ja B aluseks, eeldusel, et nende auastmed on võrdsed 2-ga. Kuna detB=0 (kahe proportsionaalse veeruga determinandina), siis maatriksi B alusmolliks võib võtta rangB=2 ja M 2. Maatriksi A auaste on 3, kuna detA=-27≠ 0 ja seetõttu peab selle maatriksi põhimoll järjekord olema võrdne 3-ga, see tähendab, et M 2 ei ole maatriksi A aluseks. Pange tähele, et maatriksil A on üks põhimoll, mis on võrdne maatriksi A determinandiga.

Teoreem (aluse molli kohta). Maatriksi mis tahes rida (veerg) on ​​selle põhiridade (veergude) lineaarne kombinatsioon.
Järeldused teoreemist.

1. Iga (r+1) veeru (rea) maatriks auastmega r on lineaarselt sõltuv.
2. Kui maatriksi järjestus on väiksem kui selle ridade (veerude) arv, siis on selle read (veerud) lineaarselt sõltuvad. Kui rangA võrdub selle ridade (veerude) arvuga, siis on read (veerud) lineaarselt sõltumatud.
3. Maatriksi A determinant on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui selle read (veerud) on lineaarselt sõltuvad.
4. Kui lisate maatriksi reale (veerule) veel ühe rea (veeru), mis on korrutatud mis tahes arvuga peale nulli, siis maatriksi järjestus ei muutu.
5. Kui kriipsutada maatriksis maha rida (veerg), mis on teiste ridade (veergude) lineaarne kombinatsioon, siis maatriksi järjestus ei muutu.
6. Maatriksi järjestus on võrdne selle lineaarselt sõltumatute ridade (veergude) maksimaalse arvuga.
7. Lineaarselt sõltumatute ridade maksimaalne arv on sama kui lineaarselt sõltumatute veergude maksimaalne arv.

Näide 2. Leidke maatriksi auaste .
Lahendus. Maatriksi auastme definitsiooni alusel otsime kõrgeima järgu molli, mis erineb nullist. Esiteks teisendame maatriksi lihtsamaks vormiks. Selleks korrutage maatriksi esimene rida (-2) ja lisage see teisele, seejärel korrutage see (-1) ja lisage see kolmandale.

Olgu antud mõni maatriks:

.

Valime selles maatriksis suvalised stringid ja suvalised veerud
. Siis determinant järjekord, mis koosneb maatriksi elementidest
, mis asub valitud ridade ja veergude ristumiskohas, nimetatakse alaealiseks järjekorra maatriks
.

Definitsioon 1.13. Maatriksi auaste
on selle maatriksi nullist erineva minoori suurim järjekord.

Maatriksi auastme arvutamiseks tuleks arvesse võtta kõiki selle madalaimat järku alaealisi ja kui vähemalt üks neist erineb nullist, siis alustada kõrgeima järgu alaealiste arvestamist. Sellist lähenemist maatriksi auastme määramisel nimetatakse piirdemeetodiks (või alaealiste piiritlemise meetodiks).

Probleem 1.4. Määrake maatriksi auaste alaealiste ääristamise meetodil
.

.

Kaaluge näiteks esimest järku ääristamist,
. Seejärel kaalume teist järku ääristamist.

Näiteks,
.

Lõpuks analüüsime kolmandat järku piirdeid.

.

Seega on nullist erineva alaea kõrgeim järk 2, seega
.

Ülesande 1.4 lahendamisel võite märgata, et mitmed teist järku piirnevad alaealised on nullist erinevad. Sellega seoses kehtib järgmine kontseptsioon.

Definitsioon 1.14. Maatriksi põhimoll on mis tahes nullist erinev moll, mille järjekord on võrdne maatriksi auastmega.

Teoreem 1.2.(Põhiteoreem). Alusread (baasveerud) on lineaarselt sõltumatud.

Pange tähele, et maatriksi read (veerud) on lineaarselt sõltuvad siis ja ainult siis, kui vähemalt ühte neist saab esitada teiste lineaarse kombinatsioonina.

Teoreem 1.3. Lineaarselt sõltumatute maatriksi ridade arv on võrdne lineaarselt sõltumatute maatriksi veergude arvuga ja võrdub maatriksi auastmega.

Teoreem 1.4.(Vajalik ja piisav tingimus, et determinant oleks võrdne nulliga). Selleks, et määraja - järjekorras oli võrdne nulliga, on vajalik ja piisav, et selle read (veerud) oleksid lineaarselt sõltuvad.

Maatriksi auastme arvutamine selle definitsiooni alusel on liiga tülikas. See muutub eriti oluliseks kõrge järgu maatriksite puhul. Sellega seoses arvutatakse praktikas maatriksi auaste teoreemide 10.2–10.4 rakendamise, samuti maatriksi ekvivalentsuse ja elementaarteisenduste mõistete kasutamise põhjal.

Definitsioon 1.15. Kaks maatriksit
Ja nimetatakse samaväärseteks, kui nende auastmed on võrdsed, s.t.
.

Kui maatriksid
Ja on samaväärsed, siis pange tähele
 .

Teoreem 1.5. Maatriksi auaste elementaarteisenduste tõttu ei muutu.

Nimetame elementaarmaatriksteisendusi
mis tahes järgmistest toimingutest maatriksis:

Ridade asendamine veergudega ja veergude asendamine vastavate ridadega;

Maatriksiridade ümberkorraldamine;

Joone läbikriipsutamine, mille kõik elemendid on nullid;

stringi korrutamine nullist erineva arvuga;

Lisades ühe rea elementidele teise rea vastavad elemendid korrutatuna sama arvuga
.

Teoreemi 1.5 järeldus. Kui maatriks
saadud maatriksist kasutades lõplikku arvu elementaarteisendusi, siis maatriksit
Ja on samaväärsed.

Maatriksi järgu arvutamisel tuleks see taandada trapetsikujuliseks, kasutades lõplikku arvu elementaarteisendusi.

Definitsioon 1.16. Trapetsikujuliseks nimetatakse maatriksi esitusviisi, kui kõrgeima järgu piirdemollis peale nulli kaovad kõik diagonaalsetest allpool olevad elemendid. Näiteks:

.

Siin
, maatriksi elemendid
nulli minna. Siis on sellise maatriksi esitusvorm trapetsikujuline.

Reeglina taandatakse maatriksid Gaussi algoritmi abil trapetsikujuliseks. Gaussi algoritmi idee seisneb selles, et maatriksi esimese rea elementide korrutamisel vastavate teguritega saavutatakse see, et kõik esimese veeru elemendid asuvad elemendi all.
, muutuks nulliks. Seejärel korrutades teise veeru elemendid vastavate teguritega, tagame, et kõik teise veeru elemendid asuvad elemendi all.
, muutuks nulliks. Seejärel jätkake samal viisil.

Probleem 1.5. Määrake maatriksi aste, taandades selle trapetsikujuliseks.

.

Gaussi algoritmi kasutamise hõlbustamiseks võite vahetada esimest ja kolmandat rida.








.

On ilmne, et siin
. Tulemuse elegantsema vormi viimiseks võite aga jätkata veergude ümberkujundamist.










.

Maatriksi järjestus on oluline numbriline tunnus. Kõige tüüpilisem probleem, mis nõuab maatriksi järgu leidmist, on lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi järjepidevuse kontrollimine. Selles artiklis anname maatriksi astme mõiste ja kaalume selle leidmise meetodeid. Materjali paremaks mõistmiseks analüüsime üksikasjalikult mitme näite lahendusi.

Leheküljel navigeerimine.

Maatriksi järgu määramine ja vajalikud lisamõisted.

Enne maatriksi auastme määratluse väljaütlemist peaksite hästi mõistma alaealise mõistet ja maatriksi alaealiste leidmine eeldab determinandi arvutamise oskust. Seega soovitame vajadusel meelde tuletada artikli teooriat, maatriksi determinandi leidmise meetodeid ja determinandi omadusi.

Võtame maatriksi A järjestusega . Olgu k mingi naturaalarv, mis ei ületa väikseimat arvudest m ja n, see tähendab, .

Definitsioon.

Väike k-s tellimus maatriks A on järjestuse ruutmaatriksi determinant, mis koosneb maatriksi A elementidest, mis paiknevad eelnevalt valitud k reas ja k veerus ning maatriksi A elementide paigutus säilib.

Teisisõnu, kui maatriksist A kustutame (p–k) rida ja (n–k) veerud ning ülejäänud elementidest loome maatriksi, säilitades maatriksi A elementide paigutuse, siis determinant saadud maatriks on maatriksi A järgu k minor.

Vaatame näite abil maatriks-molli definitsiooni.

Mõelge maatriksile .

Paneme kirja selle maatriksi mitu esimest järku molli. Näiteks kui valime maatriksi A kolmanda rea ​​ja teise veeru, vastab meie valik esimest järku minoorile . Teisisõnu, selle minoori saamiseks kriipsutasime maatriksist A maha esimese ja teise rea, samuti esimese, kolmanda ja neljanda veeru ning moodustasime ülejäänud elemendist determinandi. Kui valime maatriksi A esimese rea ja kolmanda veeru, saame minoori .

Illustreerime käsitletavate esimese järgu alaealiste saamise protseduuri
Ja .

Seega on maatriksi esimest järku minoorsed maatriksielemendid ise.

Näitame mitut teist järku alaealist. Valige kaks rida ja kaks veergu. Näiteks võtke esimene ja teine ​​rida ning kolmas ja neljas veerg. Selle valikuga on meil teist järku moll . Selle molli saab koostada ka maatriksist A kolmanda rea, esimese ja teise veeru kustutamisega.

Teine maatriksi A teist järku moll on .

Illustreerime nende teist järku alaealiste ehitust
Ja .

Samamoodi võib leida maatriksi A kolmandat järku minoori. Kuna maatriksis A on ainult kolm rida, valime need kõik. Kui valime nendest ridadest kolm esimest veergu, saame kolmandat järku minoorse

Selle saab konstrueerida ka maatriksi A viimase veeru maha kriipsutades.

Teine kolmanda järgu alaealine on

saadakse maatriksi A kolmanda veeru kustutamisel.

Siin on pilt, mis näitab nende kolmanda järgu alaealiste ehitamist
Ja .

Antud maatriksi A jaoks pole kolmandikust kõrgemat järku minoorseid, kuna .

Mitu k-ndat järgu alaealist on järgu maatriksis A?

K järku alaealiste arvu saab arvutada kui , kus Ja - kombinatsioonide arv vastavalt p-st k-ni ja n-st k-ni.

Kuidas konstrueerida kõik maatriksi A järku p minorid n võrra?

Vajame palju maatriksirea numbreid ja palju veerunumbreid. Kirjutame kõik üles p-elementide kombinatsioonid k-ga(need vastavad maatriksi A valitud ridadele järgu k molli koostamisel). Igale reanumbrite kombinatsioonile lisame järjestikku k veerunumbri n elemendi kombinatsioonid. Need maatriksi A ridade ja veerunumbrite kombinatsioonide komplektid aitavad koostada kõiki k järku minoorseid.

Vaatame seda näitega.

Näide.

Leia kõik maatriksi teist järku mollid.

Lahendus.

Kuna algse maatriksi järjestus on 3 korda 3, on teise järgu alaealiste kogusumma .

Kirjutame üles kõik maatriksi A 3 kuni 2 reanumbrite kombinatsioonid: 1, 2; 1, 3 ja 2, 3. Kõik 3–2 veerunumbrite kombinatsioonid on 1, 2; 1, 3 ja 2, 3.

Võtame maatriksi A esimese ja teise rea. Valides nende ridade jaoks esimese ja teise veeru, esimese ja kolmanda veeru, teise ja kolmanda veeru, saame vastavalt alaealised.

Esimese ja kolmanda rea ​​jaoks on meil sarnase veergude valikuga

Teisele ja kolmandale reale tuleb lisada esimene ja teine, esimene ja kolmas, teine ​​ja kolmas veerg:

Seega on leitud maatriksi A kõik üheksa teist järku minoori.

Nüüd saame jätkata maatriksi auastme määramist.

Definitsioon.

Maatriksi auaste on maatriksi nullist erineva minoori kõrgeim järk.

Maatriksi A astet tähistatakse kui Rank(A) . Võite leida ka tähistusi Rg(A) või Rang(A) .

Maatriksi auaste ja maatriksi minoorsete definitsioonide põhjal võime järeldada, et nullmaatriksi auaste on võrdne nulliga ja nullmaatriksi auaste ei ole väiksem kui üks.

Maatriksi auastme leidmine definitsiooni järgi.

Niisiis, esimene meetod maatriksi auastme leidmiseks on alaealiste loendamise meetod. See meetod põhineb maatriksi järjestuse määramisel.

Peame leidma järjestusmaatriksi A auaste.

Kirjeldame lühidalt algoritm selle probleemi lahendamine alaealiste loendamisega.

Kui maatriksis on vähemalt üks element, mis erineb nullist, siis on maatriksi auaste vähemalt võrdne ühega (kuna on olemas esimest järku minor, mis ei võrdu nulliga).

Järgmisena vaatame teise järgu alaealisi. Kui kõik teist järku alaealised on võrdsed nulliga, on maatriksi auaste võrdne ühega. Kui teist järku on vähemalt üks nullist erinev moll, siis loetleme kolmanda järgu mollid ja maatriksi auaste on vähemalt võrdne kahega.

Samamoodi, kui kõik kolmanda järgu alaealised on nullid, on maatriksi auaste kaks. Kui on vähemalt üks kolmanda järgu alaealine peale nulli, siis on maatriksi auaste vähemalt kolm ja liigume edasi neljanda järgu alaealiste loendamise juurde.

Pange tähele, et maatriksi auaste ei tohi ületada väikseimat arvu p ja n.

Näide.

Leidke maatriksi auaste .

Lahendus.

Kuna maatriks on nullist erinev, ei ole selle aste väiksem kui üks.

Teise järgu alaealine erineb nullist, seetõttu on maatriksi A aste vähemalt kaks. Liigume edasi kolmanda järgu alaealiste loendamise juurde. Neid kokku asju.

Kõik kolmanda järgu alaealised on võrdsed nulliga. Seetõttu on maatriksi auaste kaks.

Vastus:

Aste(A) = 2 .

Maatriksi auastme leidmine alaealiste ääristamise meetodil.

Maatriksi järgu leidmiseks on ka teisi meetodeid, mis võimaldavad saada tulemuse väiksema arvutustööga.

Üks selline meetod on serva minoor meetod.

Tegeleme ääremolli mõiste.

Öeldakse, et maatriksi A (k+1) järgu moll M ok piirneb maatriksi A järgu k minoorse M-ga, kui minoorsele M ok-le vastav maatriks "sisaldab" mollile vastavat maatriksit. M .

Ehk siis piirnevale mollile M vastav maatriks saadakse piirdemollis M ok vastavast maatriksist, kustutades ühe rea ja ühe veeru elemendid.

Mõelge näiteks maatriksile ja võta teise järgu alaealine. Paneme kirja kõik piirnevad alaealised:

Alaealiste ääristamise meetodit põhjendab järgmine teoreem (esitame selle sõnastuse ilma tõestuseta).

Teoreem.

Kui kõik maatriksi A k-ndat järku minooriga n-ga piirnevad alaealised on võrdsed nulliga, siis kõik maatriksi A järgu (k+1) mollid on võrdsed nulliga.

Seega ei ole maatriksi auastme leidmiseks vaja läbida kõiki alaealisi, mis on piisavalt piirnevad. Järkjärgu maatriksi A k-ndat järku mollidega piirnevate alaealiste arv leitakse valemiga . Pange tähele, et maatriksi A k-ndat järku minoori piirnevaid alaealisi ei ole rohkem kui maatriksi A (k + 1) järgu molli. Seetõttu on alaealiste piiritlemise meetodi kasutamine enamikul juhtudel tulusam kui lihtsalt kõigi alaealiste loetlemine.

Liigume edasi maatriksi auastme leidmise juurde alaealiste piiritlemise meetodil. Kirjeldame lühidalt algoritm seda meetodit.

Kui maatriks A on nullist erinev, siis esimest järku minoorseks võtame maatriksi A mis tahes elemendi, mis erineb nullist. Vaatame selle piirnevaid alaealisi. Kui need kõik on võrdsed nulliga, on maatriksi auaste võrdne ühega. Kui on vähemalt üks nullist erinev piirnev alaealine (selle järjekord on kaks), siis käsitleme selle piirnevaid alaealisi. Kui need kõik on nullid, siis Aste (A) = 2. Kui vähemalt üks piirnev alaealine on nullist erinev (selle järjekord on kolm), siis käsitleme selle piirnevaid alaealisi. Ja nii edasi. Selle tulemusena on Aste(A) = k, kui kõik maatriksi A (k + 1) järku piirnevad alaealised on võrdsed nulliga või Aste(A) = min(p, n), kui on olemas mitte- järgu molliga piirnev null-moll (min( p, n) – 1) .

Vaatame näite abil maatriksi auastme leidmiseks alaealiste ääristamise meetodit.

Näide.

Leidke maatriksi auaste alaealiste piiritlemise meetodil.

Lahendus.

Kuna maatriksi A element a 1 1 on nullist erinev, võtame seda esimest järku minoorsena. Alustame nullist erineva piirneva molli otsimist:

Leitakse teist järku servamoll, mis erineb nullist. Vaatame selle piirnevaid alaealisi (nende asjad):

Kõik teise järgu molliga piirnevad alaealised on võrdsed nulliga, seetõttu on maatriksi A aste võrdne kahega.

Vastus:

Aste(A) = 2 .

Näide.

Leidke maatriksi auaste kasutades piirnevaid alaealisi.

Lahendus.

Esimest järku nullist erineva minoorina võtame maatriksi A elemendi a 1 1 = 1. Teise järgu ümberkaudne moll ei ole võrdne nulliga. See alaealine piirneb kolmanda järgu alaealisega
. Kuna see ei ole võrdne nulliga ja selle jaoks pole ühtegi piirnevat molli, võrdub maatriksi A auaste kolmega.

Vastus:

Aste(A) = 3 .

Auastme leidmine elementaarmaatriksteisenduste abil (Gaussi meetod).

Mõelgem veel ühele võimalusele maatriksi auastme leidmiseks.

Järgmisi maatriksteisendusi nimetatakse elementaarseteks:

• maatriksi ridade (või veergude) ümberkorraldamine;
• maatriksi mis tahes rea (veeru) kõigi elementide korrutamine suvalise arvuga k, mis erineb nullist;
• rea (veeru) elementidele lisades maatriksi teise rea (veeru) vastavad elemendid, korrutatuna suvalise arvuga k.

Maatriksit B nimetatakse samaväärseks maatriksiga A, kui B saadakse A-st, kasutades lõplikku arvu elementaarteisendusi. Maatriksite samaväärsust tähistatakse sümboliga “~”, st kirjutatud A ~ B.

Maatriksi järgu leidmine elementaarmaatriksteisenduste abil põhineb väitel: kui maatriksist A saadakse maatriksist A lõpliku arvu elementaarteisenduste abil, siis Rank(A) = Aste(B) .

Selle väite kehtivus tuleneb maatriksi determinandi omadustest:

• Maatriksi ridade (või veergude) ümberkorraldamisel muudab selle determinant märki. Kui see on võrdne nulliga, siis ridade (veerude) ümberpaigutamisel jääb see võrdseks nulliga.
• Maatriksi mis tahes rea (veeru) kõigi elementide korrutamisel suvalise arvuga k, mis ei ole null, on saadud maatriksi determinant võrdne algmaatriksi determinandiga, mis on korrutatud k-ga. Kui algse maatriksi determinant on võrdne nulliga, siis pärast mis tahes rea või veeru kõigi elementide korrutamist arvuga k on saadud maatriksi determinant samuti võrdne nulliga.
• Maatriksi teatud rea (veeru) elementide liitmine maatriksi teise rea (veeru) vastavate elementide korrutatuna teatud arvuga k ei muuda selle determinanti.

Elementaarteisenduste meetodi olemus seisneb maatriksi, mille auaste peame leidma, taandamises elementaarteisenduste abil trapetsikujuliseks (konkreetsel juhul ülemiseks kolmnurkseks).

Miks seda tehakse? Seda tüüpi maatriksite järjestust on väga lihtne leida. See võrdub ridade arvuga, mis sisaldavad vähemalt ühte nullist erinevat elementi. Ja kuna maatriksi auaste elementaarsete teisenduste tegemisel ei muutu, on saadud väärtus algse maatriksi auaste.

Toome illustratsioonid maatriksitest, millest üks tuleks saada pärast teisendusi. Nende välimus sõltub maatriksi järjestusest.

Need illustratsioonid on mallid, milleks teisendame maatriksi A.

Kirjeldame meetodi algoritm.

Peame leidma nullist erineva maatriksi A järjestuse (p võib olla võrdne n-ga).

Niisiis, . Korrutame maatriksi A esimese rea kõik elemendid . Sel juhul saame samaväärse maatriksi, mis tähistab seda A (1):

Saadud maatriksi A (1) teise rea elementidele liidame esimese rea vastavad elemendid, korrutatuna . Kolmanda rea ​​elementidele liidame esimese rea vastavad elemendid, korrutatuna . Ja nii kuni p-nda reani. Võtame samaväärse maatriksi, tähistame seda A (2):

Kui kõik saadud maatriksi elemendid, mis asuvad ridades teisest kuni p-ndani, on võrdsed nulliga, on selle maatriksi auaste võrdne ühega ja sellest tulenevalt on algse maatriksi aste võrdne ühele.

Kui ridades teisest kuni p-ndani on vähemalt üks nullist erinev element, jätkame teisenduste läbiviimist. Pealegi toimime täpselt samamoodi, kuid ainult joonisel märgitud maatriksi A (2) osaga.

Kui , siis korraldame maatriksi A (2) read ja (või) veerud ümber nii, et “uus” element muutub nullist erinevaks.

"Kui tahad ujuma õppida, siis astu julgelt vette ja kui tahad õppida probleeme lahendada, See neid lahendada.»
D. Polya (1887-1985)

(Matemaatik. Andis suure panuse matemaatika populariseerimisse. Kirjutas mitu raamatut probleemide lahendamisest ja kuidas õpetada ülesandeid lahendama.)

Mõelge maatriksile

Toome selles esile k-rida Ja k-veerud (k≤(min(m,n))). Valitud ridade ja veergude ristumiskohas asuvatest elementidest koostame determinandi kth tellida. Kõiki selliseid determinante nimetatakse selle maatriksi alaealised.

Vaatleme kõiki maatriksi võimalikke alaealisi A, erineb nullist.

Maatriksi auaste A on selle maatriksi nullist erineva minoori suurim järjekord.

Kui maatriksi kõik elemendid on võrdsed nulliga, siis võetakse selle maatriksi auaste võrdseks nulliga.

Kutsutakse alaealine, kelle järjekord määrab maatriksi auastme põhilised.

Maatriksil võib olla mitu põhimolli.

Maatriksi auaste A tähistatud r(A). Kui r(A)=r(B), siis maatriksid A Ja IN kutsutakse samaväärne. Nad kirjutavad A̴∼B.

Maatriksi astme omadused:

1. Maatriksi ülekandmisel selle järjestus ei muutu.
2. Kui kustutate maatriksist nullrea (veeru), siis maatriksi auaste ei muutu.
3. Maatriksi auaste elementaarmaatriksiteisenduste käigus ei muutu.

Elementaarsete teisenduste all peame silmas:

• Maatriksiridade ümberkorraldamine;
• stringi korrutamine nullist erineva arvuga;
• Ühe rea elementidele lisades teise rea vastavad elemendid, korrutatuna suvalise arvuga.

Maatriksi järgu arvutamisel saab kasutada elementaarteisendusi, maatriksi astmelisele kujule taandamise meetodit ja alaealiste ääristamise meetodit.

Maatriksi astmeliseks redutseerimise meetod Idee seisneb selles, et elementaarteisenduste abil taandatakse see maatriks astmemaatriksiks.

Maatriksit nimetatakse astus , kui igal selle real on esimene nullist erinev element paremal kui eelmises (s.t. saadakse astmed, peab iga astme kõrgus olema võrdne ühega).

Sammumaatriksite näited:

Mitteešeloni maatriksite näited:

NÄIDE: Leidke maatriksi auaste:

LAHENDUS:

Taandagem see maatriks elementaarteisenduste abil astmemaatriksiks.

1. Vahetage esimene ja kolmas rida.

2. Esimeses veerus saame ühe alla nullid.

Lisades esimese rea, mis on korrutatud (-3)-ga teisele reale, esimese rea korrutatud (-5)-ga kolmandale reale ja esimese rea korrutatud (-3)-ga neljandale reale, saame

Et oleks arusaadavam, kus veel nulle tuleb saada, joonistame maatriksisse sammud. (Maatriks on astmeline, kui astmete all on igal pool nullid)

3. Lisades kolmandale reale teise rea (-1) korrutatuna ja neljandale reale (-1) teise rea, saame teise veeru sammude alla nullid.

Kui joonistame sammud uuesti, näeme, et maatriks on astmeline.

Tema auaste on r = 3(astmemaatriksi ridade arv, millest igaühes vähemalt üks element erineb nullist). Seetõttu selle maatriksi auaste r = 3.

Lahenduse saab kirjutada nii:

(Rooma numbrid tähistavad ridade numbreid)

Vastus: r=3.

Väike tellimus k+1, mis sisaldab alaealist korda k helistas alaealisega piirnev.

Alaealiste piirnemise meetod põhineb asjaolul, et antud maatriksi auaste on võrdne selle maatriksi nullist erineva minoori järjekorraga ja kõik sellega piirnevad minoorid on võrdsed nulliga.