Arvutage antud integraal otsese integreerimise teel

Alati see ei õnnestu. Üks tõhusamaid tehnikaid

on integratsioonimuutuja asendamise või asendamise meetod.

Selle meetodi olemus seisneb selles, et uue integratsioonimuutuja kasutuselevõtuga on võimalik antud integraali taandada

uuele integraalile, mis võetakse otsese integreerimise teel.

Mõelge sellele meetodile:

Laskma olla pidev funktsioon

tuleb leida: (1)

Muudame integratsioonimuutujat:

kus φ (t) on monotoonne funktsioon, millel on pidev tuletis

ja on olemas kompleksfunktsioon f(φ(t)).

Rakendades F (x) = F(φ (t)) kompleksi diferentseerimise valemit

funktsioonid, saame:

﴾F (φ (t))﴿′ = F′(x) ∙ φ′ (t)

Kuid F′(x) = f (x) = f (φ (t)), nii et

﴾F (φ (t))﴿′ = f (φ (t)) ∙ φ′ (t) (3)

Seega on funktsioon F(φ (t)) funktsiooni antituletis

f (φ (t)) ∙ φ′ (t), seega:

∫ f (φ (t)) ∙ φ′ (t) dt = F (φ (t)) + C (4)

Arvestades, et F (φ (t)﴿ = F (x), järgneb (1) ja (4) asendusvalem

muutuja määramata integraalis:

∫ f (x)dx = ∫ f(φ (t)) φ′ (t)dt (5)

Formaalselt saadakse valem (5) asendades x väärtusega φ (t) ja dx asendades φ′ (t) dt

Järgneb tulemus, mis saadakse pärast integreerimist vastavalt valemile (5).

mine tagasi muutuja x juurde. See on alati võimalik, kuna eelistuse järgi

Lisaks on funktsioon x = φ (t) monotoonne.

Asenduse edukas valik hõlmab tavaliselt hästi tuntud jõupingutusi.

ness. Nende ületamiseks on vaja omandada eristamise tehnika

tsitaate ja omama häid teadmisi tabeliintegraalidest.

Kuid saate siiski kehtestada mitmed üldreeglid ja mõned tehnikad

integratsiooni.

Asenduse teel integreerimise reeglid:

1. Määrake, millisele tabeliintegraalile see integraal taandatakse (vajadusel pärast integrandi avaldise teisendamist).

2. Määrake, milline integrandi funktsiooni osa tuleb asendada

uus muutuja ja kirjutage see asendus üles.

3. Leidke kirje mõlema osa diferentsiaalid ja väljendage diferentsiaal

vana muutuja valija (või seda diff.

piirkondlik) uue muutuja diferentsiaali kaudu.

4. Tehke integraali all asendus.

5. Leidke saadud integraal.

6. Selle tulemusena lähevad nad vana muutuja juurde.

Näited integraalide lahendamisest asendusmeetodil:

1. Leidke: ∫ x²(3+2x) dx

Lahendus:

teeme asenduseks 3+2x = t

Leiame asenduste mõlema poole erinevuse:

6x dx = dt, kust

Seega:

∫ x (3+2x) dx = ∫ t ∙ dt = ∫ t dt = ∙ + C = t + C

Asendades t selle avaldisega asendusest, saame:

∫ x (3+2x) dx = (3+2x) + C

Lahendus:

= = ∫ e = e + C = e + C

Lahendus:

Lahendus:

Lahendus:

Määratud integraali mõiste.

Mis tahes antiderivatiivse funktsiooni väärtuste erinevust, kui argument muutub väärtusest kuni, nimetatakse selle funktsiooni kindlaks integraaliks vahemikus a kuni b ja tähistatakse:

a ja b nimetatakse integratsiooni alumiseks ja ülemiseks piiriks.

Kindla integraali arvutamiseks vajate:

1. Leia vastav määramatu integraal

2. Asendage saadud avaldisesse x asemel esmalt integreerimise ülemine piir ja seejärel alumine piir - a.

3. Lahutage asendamise esimesest tulemusest teine.

Lühidalt, see reegel on kirjutatud selliste valemite kujul:

Seda valemit nimetatakse Newtoni-Leibnizi valemiks.

Kindla integraali põhiomadused:

1. , kus K=konst

3. Kui , siis

4. Kui funktsioon on mittenegatiivne intervallil , kus , siis

Vana integreerimismuutuja asendamisel uuega kindlas integraalis on vaja asendada vanad integreerimislimiidid uutega. Need uued piirid määratakse valitud asendusega.

Kindla integraali rakendamine.

Kõvera trapetsi pindala, mis on piiratud kõvera, x-telje ja kahe sirgjoonega Ja arvutatakse valemiga:

Keha ruumala, mis moodustub pöörlemisel ümber kõverjoonelise trapetsi x-telje, mis on piiratud kõveraga, mis ei muuda oma märki, x-telje ja kahe sirgjoonega Ja arvutatakse valemiga:

Kindlat integraali kasutades saate lahendada ka mitmeid füüsilisi probleeme.

Näiteks:

Kui sirgjooneliselt liikuva keha kiirus on teadaolevalt aja t funktsioon, siis selle keha läbitud tee S ajahetkest t = t 1 kuni ajani t = t 2 määratakse valemiga:

Kui muutuv jõud on tee S teadaolev funktsioon (eeldatakse, et jõu suund ei muutu), siis selle jõu poolt teekonnal tehtud töö A määratakse valemiga:

Näited:

1. Arvutage joontega piiratud joonise pindala:

y = ; y = (x-2)2; 0x.

Lahendus:

a) Koostame funktsioonide graafikud: y = ; y = (x-2) 2

b) Määrake arv, mille pindala on vaja arvutada.

c) Määrake lõimimise piirid, lahendades võrrandi: = (x-2) 2 ; x = 1;

d) Arvutage etteantud kujundi pindala:

S = dx + 2 dx = 1 ühik 2

2. Arvutage joontega piiratud joonise pindala:

Y = x2; x = y 2 .

Lahendus:

x 2 = ; x 4 = x;

x (x 3 – 1) = 0

x 1 = 0; x 2 = 1

S = - x 2) dx = ( x 3\2 - ) │ 0 1 = ühik 2

3. Arvutage keha ruumala, mis saadakse 0x telje ümber joontega piiratud kujundi pööramisel: y = ; x = 1.

Lahendus:

V = π dx = π ) 2 dx = π = π │ = π/2 ühikut. 3

Kodutöö kontroll matemaatikas
Ülesande valikud.

Valik 1

y = (x + 1) 2; y = 1 – x; 0x

Variant nr 2

1. Lahendage võrrandisüsteem kolmel viisil:

2. Arvutage integraalid, muutes muutujat:

3. Arvutage joontega piiratud joonise pindala:

y = 6 – x; y = x 2 + 4

Valik nr 3.

1. Lahendage võrrandisüsteem kolmel viisil:

2. Arvutage integraalid, muutes muutujat:

3. Arvutage joontega piiratud joonise pindala:

y = -x2 + 5; y = x + 3

Valik number 4.

1. Lahendage võrrandisüsteem kolmel viisil:

2. Arvutage integraalid, muutes muutujat:

3. Arvutage joontega piiratud joonise pindala:

y = x2; x = 3; Ox

Valik nr 5.

1. Lahendage võrrandisüsteem kolmel viisil:

2. Arvutage integraalid, muutes muutujat:

3. Arvutage joontega piiratud joonise pindala:

y = 3 + 2x – x 2; Ox

Valik number 6.

1. Lahendage võrrandisüsteem kolmel viisil:

2. Arvutage integraalid, muutes muutujat:

3. Arvutage joontega piiratud joonise pindala:

y = x + 6; y = 8 + 2x – x 2

Variant nr 7

1. Lahendage võrrandisüsteem kolmel viisil:

2. Arvutage integraalid, muutes muutujat:

3. Arvutage joontega piiritletud kujundi ümber Ox pöörlemisel tekkiva keha ruumala:

y = sin x; y = 0; x = 0; x = π

Variant nr 8.

1. Lahendage võrrandisüsteem kolmel viisil:

2. Arvutage integraalid, muutes muutujat:

Bibliograafia

1. Kirjutas D.T. Kõrgema matemaatika loengukonspekt 1., 2. osa. M. IRIS PRESS, 2006.

2. Grigorjev V.P., Dubinsky Yu.A. Kõrgema matemaatika elemendid. M. Akadeemia, 2008

3. Vygodsky M.Ya. Kõrgema matemaatika käsiraamat. M. Teadus, 2001

4. Shipatšov V.S. Kõrgem matemaatika. M. Kõrgkool, 2005. a

5. Shipatšov V.S. Ülesannete raamat kõrgemas matemaatikas. M. Kõrgkool, 2005. a

2. Muutuja asendamine (asendusmeetod)

Asendusmeetodi olemus seisneb selles, et uue muutuja sisseviimise tulemusena antakse antud raske integraal taandatakse tabeliks või selliseks, mille arvutusmeetod on teada.

Olgu vaja arvutada integraal. On kaks asendusreeglit:

Funktsiooni valimise üldreegel
ei eksisteeri, kuid on mitut tüüpi integrandi funktsioone, mille jaoks on soovitused funktsiooni valimiseks
.

Muutujate asendamist saab rakendada mitu korda kuni tulemuse saamiseni.

Näide 1. Leidke integraalid:

A)
; b)
; V)
;

G)
; e)
; e)
.

Lahendus.

a) Tabeliintegraalide hulgas pole erineva astmega radikaale, seega "tahan lahti saada", ennekõike
Ja
. Selleks peate välja vahetama X selline väljend, millest saab hõlpsasti eraldada mõlemad juured:

b) Tüüpiline näide, kui on soov eksponentsiaalfunktsioonist “vabaneda”.
. Kuid sel juhul on mugavam võtta uue muutujana kogu avaldis murru nimetajas:

;

c) Märkamine, et lugeja sisaldab toodet
, mis on osa radikaalavaldise diferentsiaalist, asendab kogu selle avaldise uue muutujaga:

;

d) Siin, nagu ka juhul a), tahan vabaneda radikaalist. Kuid kuna erinevalt punktist a) on ainult üks juur, asendame selle uue muutujaga:

e) Siin aitavad asendamise valikul kaasa kaks asjaolu: ühelt poolt intuitiivne soov logaritmidest lahti saada, teiselt poolt väljendi olemasolu , mis on funktsiooni diferentsiaal
. Kuid nagu eelmistes näidetes, on parem lisada asendusse logaritmiga kaasnevad konstandid:

f) Siin, nagu eelmises näites, on intuitiivne soov vabaneda integrandi tülikast eksponendist kooskõlas üldtuntud faktiga:
(tabeli 3 valem 8). Seetõttu on meil:

.

Mõne funktsiooniklassi muutujate asendamine

Vaatame mõningaid funktsioonide klasse, mille puhul võib soovitada teatud asendusi.

Tabel 4.Ratsionaalsed funktsioonid

Integraali tüüp	Integratsioonimeetod
1.1.
1.2.
1.3.	Terve ruudu valimine:
1.4.	Kordumise valem

Transtsendentaalsed funktsioonid:

1.5.
- asendamine t = e x ;

1.6.
- asendamine t=logi a x.

Näide 2. Leidke ratsionaalsete funktsioonide integraalid:

A)
; b)
;

V)
; e)
.

Lahendus.

a) Seda integraali pole vaja arvutada muutujate muutuse abil, siin on lihtsam kasutada asendust diferentsiaalmärgi all:

b) Samamoodi kasutame diferentsiaalmärgi all summeerimist:

;

c) Enne kui oleme tabeli 4 tüübi 1.3 integraal, kasutame vastavaid soovitusi:

e) Sarnaselt eelmisele näitele:

Näide 3. Leidke integraalid

A)
; b)
.

Lahendus.

b) Integrand sisaldab logaritmi, seega kasutame soovitust 1.6. Ainult sel juhul on mugavam asendada mitte ainult funktsiooni
ja kogu radikaalne väljend:

.

Tabel 6. Trigonomeetrilised funktsioonid (R

Integraali tüüp	Integratsioonimeetod
3.1.	Universaalne asendus , , ,
3.1.1. , Kui	Asendamine
3.1.2. , Kui	Asendamine .
3.1.3. . , Kui (st on ainult funktsioonide paarisvõimsused )	Asendamine
3.2.	Kui – paaritu, siis vaata 3.1.1; Kui – paaritu, siis vaata 3.1.2; Kui – paaris, siis vaata 3.1.3; Kui – ühtlane, siis kasuta astme vähendamise valemeid ,
3.3. , ,	Kasutage valemeid

Näide 4. Leidke integraalid:

A)
; b)
; V)
; e)
.

Lahendus.

a) Siin integreerime trigonomeetrilise funktsiooni. Rakendame universaalset asendust (tabel 6, 3.1):

.

b) Siin rakendame ka universaalset asendust:

.

Pange tähele, et vaadeldavas integraalis tuli muutujate muutust rakendada kaks korda.

c) Arvutame sarnaselt:

e) Vaatleme kahte meetodit selle integraali arvutamiseks.

1)

.

Nagu näete, oleme saanud erinevaid primitiivseid funktsioone. See ei tähenda, et üks kasutatud tehnikatest annab vale tulemuse. Fakt on see, et kasutades tuntud trigonomeetrilisi identiteete, mis ühendavad poolnurga puutuja täisnurga trigonomeetriliste funktsioonidega, saame

Seega kattuvad leitud antiderivaadid omavahel.

Näide 5. Leidke integraalid:

A)
; b)
; V)
; G)
.

Lahendus.

a) Selles integraalis saame rakendada ka universaalset asendust
, kuid kuna integrandis sisalduv koosinus on ühtlase astmega, on ratsionaalsem kasutada tabeli 6 punkti 3.1.3 soovitusi:

b) Esiteks taandame kõik integrandis sisalduvad trigonomeetrilised funktsioonid üheks argumendiks:

Saadud integraalis saame rakendada universaalset asendust, kuid märgime, et integrand ei muuda märki, kui siinuse ja koosinuse märgid muutuvad:

Järelikult on funktsioonil tabeli 6 punktis 3.1.3 määratletud omadused, nii et kõige mugavam asendamine on
. Meil on:

c) Kui antud integrandis muudetakse koosinuse märki, siis kogu funktsioon muudab märki:

.

See tähendab, et integrandil on punktis 3.1.2 kirjeldatud omadus. Seetõttu on otstarbekas kasutada asendust
. Kuid kõigepealt, nagu eelmises näites, teisendame integrandi funktsiooni:

d) Kui antud integrandis muudetakse siinuse märki, siis muutub märki kogu funktsioon, mis tähendab, et meil on tabeli 6 punktis 3.1.1 kirjeldatud juhtum, mistõttu tuleb uus muutuja määrata funktsioonina.
. Kuid kuna integrandis puudub funktsioon
, ega selle diferentsiaali, teisendame esmalt:

Näide 6. Leidke integraalid:

A)
; b)
;

V)
G)
.

Lahendus.

a) See integraal viitab tabeli 6 tüübi 3.2 integraalidele. Kuna siinus on paaritu aste, on soovituste kohaselt mugav funktsiooni asendada
. Kuid kõigepealt teisendame integrandi funktsiooni:

.

b) See integraal on sama tüüpi kui eelmine, kuid siin on funktsioonid
Ja
on paaris kraadid, seega peate rakendama kraadi vähendamise valemeid:
,
. Saame:

=

c) Muutke funktsioon:

d) Vastavalt tabeli 6 soovitusele 3.1.3 on selles integraalis mugav teha asendus
. Saame:

Tabel 5.Irratsionaalsed funktsioonid (R– selle argumentide ratsionaalne funktsioon)

Integraali tüüp	Integratsioonimeetod
	Asendamine , Kus k – murdude ühisnimetaja …, .
	Asendamine , Kus k–murdude ühisnimetaja …,
2.3.	asendus, , Kus k– astendajate murdude ühisnimetaja …,
2.4.	Asendamine .
2.5.	Asendamine ,
2.6.	Asendamine , .
2.7.	Asendamine , .
2.8. (diferentsiaalne binoom), on integreeritud ainult kolmel juhul: A) R– täisarv (asendus X = t k, Kus k– murdude ühisnimetaja T Ja P); b) – terve (asendus = t k, Kus k– murdosa nimetaja R); V) – terve (asendus = t k, Kus k– murdosa nimetaja R).

Näide 7. Leidke integraalid:

A)
; b)
; V)
.

Lahendus.

a) Selle integraali võib liigitada tüübi 2.1 integraalideks, nii et teeme sobiva asendus. Tuletagem meelde, et asendamise mõte on sel juhul vabaneda irratsionaalsusest. Ja see tähendab, et radikaalavaldis tuleks asendada sellise uue muutuja astmega, millest eraldataks kõik integraali all olevad juured. Meie puhul on see ilmselge :

Integraali all saame ebaõige ratsionaalse murru. Selliste murdude integreerimine hõlmab ennekõike kogu osa eraldamist. Jagame lugeja nimetajaga:

Siis saame
, siit

Selles tunnis tutvume ühe olulisema ja levinuima tehnikaga, mida kasutatakse määramata integraalide lahendamisel - muutujamuutuse meetodiga. Materjali edukas valdamine eeldab esmaseid teadmisi ja lõiminguoskust. Kui integraalarvutuses on tunne, et veekeetja on tühi, siis peaksite esmalt tutvuma materjaliga, kus selgitasin kättesaadaval kujul, mis on integraal, ja analüüsisin üksikasjalikult põhinäiteid algajatele.

Tehniliselt rakendatakse määramata integraali muutuja muutmise meetodit kahel viisil:

– Funktsiooni liitmine diferentsiaalmärgi alla;
– tegelikult muutuja asendamine.

Sisuliselt on need samad asjad, kuid lahenduse disain näeb välja erinev.

Alustame lihtsama juhtumiga.

Funktsiooni liitmine diferentsiaalmärgi alla

Õppetunnis Määramatu integraal. Näited lahendustestõppisime diferentsiaali avama, tuletan teile meelde näidet, mille ma tõin:

See tähendab, et diferentsiaali paljastamine on formaalselt peaaegu sama, mis tuletise leidmine.

Näide 1

Tehke kontroll.

Vaatame integraalide tabelit ja leiame sarnase valemi: . Kuid probleem on selles, et siinuse all pole mitte ainult täht “X”, vaid keeruline avaldis. Mida teha?

Toome funktsiooni diferentsiaalmärgi alla:

Diferentsiaali avades on lihtne kontrollida, et:

Tegelikult ja on sama asja salvestus.

Kuid sellegipoolest jäi õhku küsimus, kuidas me jõudsime mõttele, et esimese sammuna peame oma integraali kirjutama täpselt nii: ? Miks on nii ja mitte teisiti?

Valem (ja kõik muud tabelivalemid) kehtivad ja rakendatavad MITTE AINULT muutuja, vaid ka mis tahes kompleksavaldise jaoks AINULT FUNKTSIOONIARGUMENDINA(- meie näites) JA DIFERENTSIAALMÄRGI ALL AVALDON OLI SAMA .

Seetõttu peaks vaimne mõttekäik lahendamisel olema umbes selline: “Mul on vaja lahendada integraal. Vaatasin tabelit ja leidsin sarnase valemi . Kuid mul on keeruline argument ja ma ei saa valemit kohe kasutada. Kui aga õnnestub see diferentsiaalmärgi alla saada, siis on kõik hästi. Kui ma selle üles kirjutan, siis. Kuid algses integraalis pole tegurit kolm, seetõttu pean selleks, et integrandi funktsioon ei muutuks, korrutama selle arvuga ". Umbes sellise mõttelise arutlemise käigus sünnib kanne:

Nüüd saate kasutada tabelivalemit :

Valmis

Ainus erinevus on see, et meil pole tähte “X”, vaid see on keeruline avaldis.

Kontrollime. Avage tuletiste tabel ja eristage vastus:

Saadud on algne integrandi funktsioon, mis tähendab, et integraal on leitud õigesti.

Pange tähele, et kontrollimisel kasutasime keeruka funktsiooni eristamise reeglit . Sisuliselt funktsiooni liitmine diferentsiaalmärgi alla ja - need on kaks vastastikku vastupidist reeglit.

Näide 2

Analüüsime integrandi funktsiooni. Siin on meil murdosa ja nimetaja on lineaarne funktsioon (mille esimese astmeni on x). Vaatame integraalide tabelit ja leiame kõige sarnasema: .

Toome funktsiooni diferentsiaalmärgi alla:

Need, kellel on raske kohe aru saada, millise murdosaga korrutada, võivad mustandis diferentsiaali kiiresti paljastada: . Jah, selgub, et see tähendab, et selleks, et midagi ei muutuks, pean integraali korrutama arvuga .
Järgmisena kasutame tabelivalemit :

Eksam:


Saadud on algne integrandi funktsioon, mis tähendab, et integraal on leitud õigesti.

Näide 3

Leidke määramatu integraal. Tehke kontroll.

Näide 4

Leidke määramatu integraal. Tehke kontroll.

See on näide, mille saate ise lahendada. Vastus on õppetunni lõpus.

Kuna on kogemusi integraalide lahendamisel, tunduvad sellised näited lihtsad ja klõpsavad nagu pähklid:

Selle osa lõpus tahaksin peatuda ka "vaba" juhtumil, kui lineaarfunktsioonis siseneb muutuja ühikkoefitsiendiga, näiteks:

Rangelt võttes peaks lahendus välja nägema järgmine:

Nagu näete, oli funktsiooni diferentsiaalmärgi alla liitmine “valutu”, ilma korrutusteta. Seetõttu jäetakse praktikas nii pikk lahendus sageli tähelepanuta ja kirjutatakse see kohe kirja . Aga ole valmis vajadusel õpetajale selgitama, kuidas sa selle lahendasid! Sest integraali tabelis tegelikult pole.

Muutuja muutmise meetod määramata integraalis

Vaatleme edasi üldjuhtumit – määramatu integraali muutujate muutmise meetodit.

Näide 5

Leidke määramatu integraal.

Näitena võtsin integraali, mida vaatasime tunni alguses. Nagu me juba ütlesime, meeldis meile integraali lahendamiseks tabelivalem , ja tahaksin kogu asja temale taandada.

Asendusmeetodi idee seisneb selles asendada kompleksavaldis (või mõni funktsioon) ühe tähega.
Sel juhul palub see:
Teine populaarseim asendustäht on kiri .
Põhimõtteliselt võib kasutada ka muid tähti, kuid me peame siiski traditsioonidest kinni.

Niisiis:
Aga kui me selle välja vahetame, jääb meile alles ! Tõenäoliselt arvasid paljud, et kui minnakse üle uuele muutujale, siis uues integraalis tuleks kõike väljendada tähe kaudu ja diferentsiaalil pole seal üldse kohta.
Loogiline järeldus on, et vajate muutuda mõneks väljendiks, mis sõltub ainult.

Toiming on järgmine. Pärast seda, kui oleme selles näites asendaja valinud, peame leidma diferentsiaali. Arvan, et erinevustega on kõigil sõprus juba loodud.

Sellest ajast

Pärast diferentsiaali lahtivõtmist soovitan lõpptulemuse võimalikult lühidalt ümber kirjutada:
Nüüd väljendame vastavalt proportsioonireeglitele seda, mida vajame:

Lõpuks:
Seega:

Ja see on juba kõige tabeli integraal (muutuja puhul kehtib loomulikult ka integraalide tabel).

Lõpuks jääb üle teha vaid vastupidine asendamine. Pidagem seda meeles.

Valmis.

Vaadeldava näite lõplik kujundus peaks välja nägema umbes selline:

“

Asendame:

“

Ikoonil ei ole matemaatilist tähendust, see tähendab, et oleme vahepealsete selgituste jaoks lahenduse katkestanud.

Märkmikus näidet koostades on parem märkida vastupidine asendus lihtsa pliiatsiga.

Tähelepanu! Järgmistes näidetes diferentsiaali leidmist üksikasjalikult ei kirjeldata.

Nüüd on aeg meenutada esimest lahendust:

Mis vahe on? Põhimõttelist vahet pole. See on tegelikult sama asi. Kuid ülesande koostamise seisukohalt on funktsiooni diferentsiaalmärgi alla liitmise meetod palju lühem.

Tekib küsimus. Kui esimene meetod on lühem, siis miks kasutada asendusmeetodit? Fakt on see, et paljude integraalide puhul pole funktsiooni diferentsiaali märgiga nii lihtne “sobitada”.

Näide 6

Leidke määramatu integraal.

Teeme asendus: (siin on raske teist asendust välja mõelda)

Nagu näete, lihtsustati asendamise tulemusel algset integraali oluliselt - vähendati tavaliseks toitefunktsiooniks. See on asendamise eesmärk – integraali lihtsustamine.

Laisad edasijõudnud inimesed saavad selle integraali hõlpsalt lahendada, liites funktsiooni diferentsiaalmärgi alla:

Teine asi on see, et selline lahendus ei sobi ilmselgelt kõigile õpilastele. Lisaks juba selles näites funktsiooni diferentsiaalmärgi alla liitmise meetodi kasutamine suurendab oluliselt riski sattuda otsuses segadusse.

Näide 7

Leidke määramatu integraal. Tehke kontroll.

Näide 8

Leidke määramatu integraal.

Asendamine:
Eks ole näha, mis sellest kujuneb

Olgu, väljendasime seda, aga mida teha lugejasse jääva X-ga?!
Aeg-ajalt puutume integraalide lahendamisel kokku järgmise nipiga: väljendame samast asendusest !

Näide 9

Leidke määramatu integraal.

See on näide, mille saate ise lahendada. Vastus on õppetunni lõpus.

Näide 10

Leidke määramatu integraal.

Kindlasti märkasid mõned, et minu otsingutabelis pole muutuja asendamise reeglit. Seda tehti meelega. See reegel tekitaks selgitustes ja arusaamises segadust, kuna ülaltoodud näidetes seda selgesõnaliselt ei esine.

Nüüd on aeg rääkida muutuja asendusmeetodi kasutamise põhieeldusest: integrand peab sisaldama mõnda funktsiooni ja selle tuletist:(funktsioonid ei pruugi tootes olla)

Sellega seoses tuleb integraalide leidmisel sageli vaadata tuletiste tabelit.

Vaadeldavas näites märkame, et lugeja aste on ühe võrra väiksem kui nimetaja aste. Tuletiste tabelist leiame valemi, mis lihtsalt vähendab kraadi ühe võrra. Ja see tähendab, et kui määrate selle nimetajaks, on tõenäosus, et lugeja muutub millekski heaks.

Vaatleme edasi üldjuhtumit – määramatu integraali muutujate muutmise meetodit.

Näide 5

Näitena võtsin integraali, mida vaatasime tunni alguses. Nagu me juba ütlesime, meeldis meile integraali lahendamiseks tabelivalem ja me tahaksime kogu asja sellele taandada.

Asendusmeetodi idee seisneb selles asendada kompleksavaldis (või mõni funktsioon) ühe tähega.
Sel juhul palub see:
Teine populaarseim asendustäht on kiri .
Põhimõtteliselt võib kasutada ka muid tähti, kuid me peame siiski traditsioonidest kinni.

Niisiis:
Aga kui me selle välja vahetame, jääb meile alles ! Tõenäoliselt arvasid paljud, et kui minnakse üle uuele muutujale, siis uues integraalis tuleks kõike väljendada tähe kaudu ja diferentsiaalil pole seal üldse kohta.
Loogiline järeldus on, et vajate muutuda mõneks väljendiks, mis sõltub ainult.

Toiming on järgmine. Pärast seda, kui oleme selles näites asendaja valinud, peame leidma diferentsiaali. Arvan, et erinevustega on kõigil sõprus juba loodud.

Sellest ajast

Pärast diferentsiaali lahtivõtmist soovitan lõpptulemuse võimalikult lühidalt ümber kirjutada:
Nüüd väljendame vastavalt proportsioonireeglitele seda, mida vajame:

Lõpuks:
Seega:

Ja see on juba kõige tabeli integraal ( integraalide tabel, kehtib loomulikult ka muutuja kohta).

Lõpuks jääb üle teha vaid vastupidine asendamine. Pidagem seda meeles.

Valmis.

Vaadeldava näite lõplik kujundus peaks välja nägema umbes selline:

“

Asendame:

“

Ikoonil ei ole matemaatilist tähendust, see tähendab, et oleme vahepealsete selgituste jaoks lahenduse katkestanud.

Märkmikus näidet koostades on parem märkida vastupidine asendus lihtsa pliiatsiga.

Tähelepanu! Järgmistes näidetes diferentsiaali leidmist üksikasjalikult ei kirjeldata.

Nüüd on aeg meenutada esimest lahendust:

Mis vahe on? Põhimõttelist vahet pole. See on tegelikult sama asi. Kuid ülesande koostamise seisukohalt on funktsiooni diferentsiaalmärgi alla liitmise meetod palju lühem.

Tekib küsimus. Kui esimene meetod on lühem, siis miks kasutada asendusmeetodit? Fakt on see, et paljude integraalide puhul pole funktsiooni diferentsiaali märgiga nii lihtne “sobitada”.

Näide 6

Leidke määramatu integraal.

Teeme asendus: (siin on raske teist asendust välja mõelda)

Nagu näete, lihtsustati asendamise tulemusel algset integraali oluliselt - vähendati tavaliseks toitefunktsiooniks. See on asendamise eesmärk – integraali lihtsustamine.

Laisad edasijõudnud inimesed saavad selle integraali hõlpsalt lahendada, liites funktsiooni diferentsiaalmärgi alla:

Teine asi on see, et selline lahendus ei sobi ilmselgelt kõigile õpilastele. Lisaks juba selles näites funktsiooni diferentsiaalmärgi alla liitmise meetodi kasutamine suurendab oluliselt riski sattuda otsuses segadusse.

Näide 7

Leidke määramatu integraal. Tehke kontroll.

Näide 8

Leidke määramatu integraal.

Asendamine:
Eks ole näha, mis sellest kujuneb

Olgu, väljendasime seda, aga mida teha lugejasse jääva X-ga?!
Aeg-ajalt puutume integraalide lahendamisel kokku järgmise nipiga: väljendame samast asendusest !

Näide 9

Leidke määramatu integraal.

See on näide, mille saate ise lahendada. Vastus on õppetunni lõpus.

Näide 10

Leidke määramatu integraal.

Kindlasti märkasid mõned, et minu otsingutabelis pole muutuja asendamise reeglit. Seda tehti meelega. See reegel tekitaks selgitustes ja arusaamises segadust, kuna ülaltoodud näidetes seda selgesõnaliselt ei esine.

Nüüd on aeg rääkida muutuja asendusmeetodi kasutamise põhieeldusest: integrand peab sisaldama mingit funktsiooni ja selle tuletis : (funktsioonid ei pruugi tootes olla)

Sellega seoses tuleb integraalide leidmisel sageli vaadata tuletiste tabelit.

Vaadeldavas näites märkame, et lugeja aste on ühe võrra väiksem kui nimetaja aste. Tuletiste tabelist leiame valemi, mis lihtsalt vähendab kraadi ühe võrra. Ja see tähendab, et kui määrate selle nimetajaks, on tõenäosus, et lugeja muutub millekski heaks.

Asendamine:

Muide, funktsiooni diferentsiaalmärgi alla liitmine pole nii keeruline:

Tuleb märkida, et selliste murdude puhul nagu , see trikk enam ei tööta (täpsemalt on vaja rakendada mitte ainult asendustehnikat). Mõnda murdu saab tunnis õppida lõimima. Mõnede murdude integreerimine.

Siin on paar tüüpilisemat näidet sama ooperi sõltumatute lahenduste kohta:

Näide 11

Leidke määramatu integraal.

Näide 12

Leidke määramatu integraal.

Lahendused tunni lõpus.

Näide 13

Leidke määramatu integraal.

Vaatame tuletiste tabelit ja leiame oma kaarekoosinuse: . Meie integrandis on kaarkoosinus ja midagi sarnast selle tuletisele.

Üldreegel:
Taga tähistame funktsiooni ennast(ja mitte selle tuletis).

Sel juhul: . Jääb välja selgitada, milleks integrandi järelejäänud osa muutub.

Selles näites kirjeldan leidu üksikasjalikult, kuna see on keeruline funktsioon.

Või lühidalt:
Kasutades proportsioonireeglit, väljendame vajalikku jääki:

Seega:

Siin ei ole enam nii lihtne funktsiooni diferentsiaalmärgi alla koondada.

Näide 14

Leidke määramatu integraal.

Sõltumatu lahenduse näide. Vastus on väga lähedal.

Tähelepanelikud lugejad on kindlasti märganud, et olen kaalunud vähe näiteid trigonomeetriliste funktsioonidega. Ja see pole juhus, sest all trigonomeetriliste funktsioonide integraalid antakse eraldi õppetund. Veelgi enam, see õppetund annab kasulikke juhiseid muutuja asendamiseks, mis on eriti oluline mannekeenide jaoks, kes ei saa alati ega saa kohe aru, millist asendust konkreetses integraalis teha tuleb. Artiklis näete ka teatud tüüpi asendusi Kindel integraal. Näited lahendustest.

Kogenumad õpilased saavad tutvuda tüüpilise asendusega irratsionaalsete funktsioonidega integraalides. Asendamine juurte integreerimisel on spetsiifiline ja selle rakendustehnika erineb selles õppetükis käsitletust.

Soovin teile edu!

Näide 3:Lahendus :

Näide 4:Lahendus :

Näide 7:Lahendus :

Näide 9:Lahendus :

Asendamine:

Näide 11:Lahendus :

Asendame:

Näide 12:Lahendus :

Asendame:

Näide 14:Lahendus :

Asendame:

Integreerimine osade kaupa. Näited lahendustest

Tere jälle. Tänases tunnis õpime osade kaupa lõimima. Osade kaupa integreerimise meetod on integraalarvutuse üks alustalasid. Kontrolltööde või eksamite ajal palutakse õpilastel peaaegu alati lahendada järgmist tüüpi integraale: kõige lihtsam integraal (vaata artiklitMääramatu integraal. Näited lahendustest ) või integraali, asendades muutuja (vaata artiklitMuutuja muutmise meetod määramata integraalis ) või integraal on just sees integreerimine osade meetodil.

Nagu alati, peaks teil käepärast olema: Integraalide tabel Ja Tuletisinstrumentide tabel. Kui teil neid veel pole, külastage palun minu veebisaidi laoruumi: Matemaatilised valemid ja tabelid. Ma ei väsi kordamast – parem on kõik välja printida. Püüan esitada kogu materjali järjepidevalt, lihtsalt ja selgelt, osade integreerimisel pole erilisi raskusi.

Millise probleemi lahendab osade kaupa integreerimise meetod? Osade kaupa integreerimise meetod lahendab väga olulise probleemi, see võimaldab teil integreerida mõningaid funktsioone, mida tabelis pole, tööd funktsioonid ja mõnel juhul isegi jagatised. Nagu mäletame, pole mugavat valemit: . Aga seal on selline: – osade kaupa isiklikult integreerimise valem. Ma tean, ma tean, sina oled ainuke – teeme temaga kogu õppetunni jooksul koostööd (nüüd on lihtsam).

4) , – pöördtrigonomeetrilised funktsioonid (“kaared”), “kaared” korrutatuna mõne polünoomiga.

Samuti käsitleme mõningaid murde osadena.

Logaritmide integraalid

Näide 1

Leidke määramatu integraal.

Klassikaline. Aeg-ajalt võib seda integraali tabelitest leida, kuid valmis vastust pole soovitatav kasutada, kuna õpetajal on kevadine vitamiinipuudus ja ta vannub kõvasti. Kuna vaadeldav integraal ei ole mingil juhul tabel - see võetakse osadena. Otsustame:

Vaheselgitusteks katkestame lahenduse.

Kasutame osade kaupa integreerimise valemit:

Tunni tüüp: uue materjali õppimine.

Õppeülesanded:

• õpetada õpilasi kasutama asendamise teel lõimimise meetodit;
• jätkata funktsioonide integreerimise kasutamise oskuste arendamist;
• arendada jätkuvalt huvi matemaatika vastu probleemide lahendamise kaudu;
• kasvatada teadlikku suhtumist õppeprotsessi, sisendada vastutustunnet teadmiste kvaliteedi eest, teostada enesekontrolli harjutuste lahendamise ja kujundamise protsessi üle;
• tuletage meelde, et ainult ebamäärase integraali arvutamise algoritmide teadlik kasutamine võimaldab õpilastel õpitavat teemat kvalitatiivselt omandada.

Klasside pakkumine:

• integratsiooni põhivalemite tabel;
• ülesannete kaardid kontrolltööks.

Õpilane peab teadma: algoritm ebamäärase integraali arvutamiseks asendusmeetodil.

Õpilane peab suutma: rakendada omandatud teadmisi ebamääraste integraalide arvutamisel.

Õpilaste tunnetusliku tegevuse motiveerimine.

Õpetaja teatab, et määramata integraalide arvutamiseks on lisaks otsesele lõimimismeetodile ka teisi meetodeid, millest üks on asendusmeetod. See on kõige levinum meetod keeruka funktsiooni integreerimiseks, mis seisneb integraali teisendamises, liikudes teisele integratsioonimuutujale.

Tunni edenemine

I. Aja organiseerimine.

II. Kodutööde kontrollimine.

Frontaalne uuring:

III. Õpilaste põhiteadmiste kordamine.

1) Korrake põhiliste integratsioonivalemite tabelit.

2) Korrake, mis on otsese integreerimise meetod.

Otsene integreerimine on integreerimismeetod, mille puhul antud integraal taandatakse integrandi identsete teisenduste ja määramatu integraali omaduste rakendamise abil üheks või mitmeks tabeliintegraaliks.

IV. Uue materjali õppimine.

Antud integraali pole alati võimalik otsese integreerimisega arvutada ja mõnikord on see seotud suurte raskustega. Sel juhul kasutatakse muid tehnikaid. Üks tõhusamaid meetodeid on integratsioonimuutuja asendamise või asendamise meetod. Selle meetodi olemus seisneb selles, et uue integratsioonimuutuja kasutuselevõtuga on võimalik antud integraal taandada uueks integraaliks, mida on suhteliselt lihtne otse võtta. Kui pärast muutuja muutmist muutub integraal lihtsamaks, siis on asendamise eesmärk saavutatud. Asendusmeetodiga integreerimine põhineb valemil

Vaatleme seda meetodit.

Arvutusalgoritmmääramata integraal asendusmeetodil:

1. Määrake, millisele tabeliintegraalile see integraal taandatakse (vajadusel pärast integrandi esmast teisendamist).
2. Määrake, milline integrandi osa uue muutujaga asendada, ja kirjutage see asendus üles.
3. Leidke kirje mõlema osa diferentsiaalid ja väljendage vana muutuja (või seda diferentsiaali sisaldava avaldise) diferentsiaali uue muutuja diferentsiaali kaudu.
4. Tehke integraali all asendus.
5. Leidke saadud integraal.
6. Sellest tulenevalt tehakse tagurpidi asendus, s.t. minge vana muutuja juurde. Tulemust on kasulik kontrollida diferentseerimise teel.

Vaatame näiteid.

Näited. Leidke integraalid:

1) )4

Tutvustame asendust:

Seda võrdsust eristades on meil:

V. Teadmiste rakendamine tüüpnäidete lahendamisel.

VI. Teadmiste, oskuste ja vilumuste iseseisev rakendamine.

valik 1

Leidke integraalid:

2. variant

Leidke integraalid:

VII. Õppetunni kokkuvõte.

VIII. Kodutöö:

G.N. Jakovlev, 1. osa, §13.2, lõige 2, nr 13.13 (1,4,5), 13.15 (1,2,3)