Fourier' teisendus on kõige laialdasemalt kasutatav vahend aja suvalise funktsiooni teisendamiseks selle sageduskomponentide komplektiks kompleksarvu tasandil. Seda teisendust saab rakendada aperioodilistele funktsioonidele nende spektrite määramiseks, sel juhul saab kompleksoperaatori s asendada /co-ga:
Numbrilist integreerimist komplekstasandil saab kasutada kõige huvitavamate sageduste määramiseks.
Nende integraalide põhikäitumisega tutvumiseks vaatleme mitut näidet. Joonisel fig. Joonis 14.6 (vasakul) näitab pindalaühiku impulssi ajapiirkonnas ja selle spektraalset koostist; keskel - sama ala, kuid suurema amplituudiga impulss ja paremal - impulsi amplituud on lõpmatu, kuid selle pindala on siiski võrdne ühtsusega. Õige pilt on eriti huvitav, sest nulllaiusega impulsi spekter sisaldab kõiki võrdse amplituudiga sagedusi.
Riis. 14.6. Sama laiusega, samas suunas impulsside spektrid
Aastal 1822, prantsuse matemaatik J. B. J. Fourier näitas oma töös soojusjuhtivuse kohta, et mis tahes perioodilist funktsiooni saab lagundada algkomponentideks, sealhulgas kordussageduseks ja selle sageduse harmoonilisteks, kusjuures igal harmoonilisel on kordussageduse suhtes oma amplituud ja faas. Fourier' teisenduses kasutatavad põhivalemid on järgmised:
kus A() tähistab alalisvoolu komponenti ning A p ja B p on järjestuse põhisageduse harmoonilised ja mis on sellega vastavalt faasis ja antifaasis. Funktsioon /(*) on seega nende harmooniliste ja Lo-
Juhtudel, kui f(x) on mc/2 suhtes sümmeetriline, st. f(x) piirkonnas l kuni 2l = -f(x) piirkonnas 0 kuni l ja alalisvoolu komponenti pole, Fourier' teisenduse valemid on lihtsustatud järgmiselt:
kus n = 1, 3,5, 7…
Kõik harmoonilised on sinusoidid, ainult mõned neist on faasis ja mõned on põhisagedusega faasist väljas. Enamikku jõuelektroonikas leiduvaid lainekujusid saab sel viisil harmoonilisteks lahutada.
Kui ristkülikukujulistele impulssidele, mille kestus on 120°, rakendatakse Fourier' teisendust, on harmoonilisteks hulk järjestust k = bi ± 1, kus n on üks täisarvudest. Iga harmoonilise h amplituud esimese suhtes on seotud selle arvuga suhtega h = l//e. Sel juhul on esimese harmoonilise amplituud 1,1 korda suurem kui ristkülikukujulise signaali amplituud.
Fourier' teisendus annab iga harmoonilise jaoks amplituudi väärtuse, kuid kuna need kõik on siinuskujulised, saadakse RMS väärtus lihtsalt vastava amplituudi jagamisel 2 juurega. Komplekssignaali efektiivväärtus on ruutjuur iga harmoonilise, sealhulgas esimese harmoonilise efektiivväärtuste ruudud.
Korduvate impulssfunktsioonidega töötamisel on kasulik arvestada töötsüklit. Kui korduvad impulsid joonisel fig. 14.7 on aja A jaoks ruutjuuresväärtus X, siis on aja B ruutjuurväärtus võrdne X(A/B) 1 ‘ 2. Seega on korduvate impulsside efektiivväärtus võrdeline töötsükli väärtuse ruutjuurega. Rakendades seda põhimõtet 120° kestusega ristkülikukujulistele impulssidele (töötsükkel 2/3) ühtsuse amplituudiga, saame efektiivväärtuseks (2/3) 1/2 = 0,8165.
Riis. 14.7. Ruutkeskmise (RMS) väärtuse määramine kordamiseks
impulsid
Huvitav on seda tulemust kontrollida, liites nimetatud ristkülikukujuliste impulsside jadale vastavad harmoonilised. Tabelis. 14.2 näitab selle summeerimise tulemusi. Nagu näete, kõik klapib.
Tabel 14.2. Harmooniliste summeerimise tulemused vastavad
perioodiline signaal töötsükliga 2/3 ja amplituudiühiku
|
Harmooniline arv |
Harmooniline amplituud |
RMS koguväärtus |
Võrdluseks saab rühmitada mis tahes harmooniliste komplekti ja määrata vastava üldise harmoonilise moonutuse taseme. Signaali ruutkeskmine väärtus määratakse valemiga
kus h\ on esimese (põhi)harmooniku amplituud ja h„ on harmooniliste järku n > 1 amplituud.
Moonutuste eest vastutavad komponendid saab eraldi kirjutada kui
kus n > 1. Siis
kus fond on esimene harmooniline ja mittelineaarne moonutustegur (THD) on võrdne D/fondiga.
Kuigi ruutlaine rongide analüüs on huvitav, kasutatakse seda reaalses maailmas harva. Lülitusefektid ja muud protsessid muudavad ristkülikukujulised impulsid pigem trapetsikujuliste impulsside sarnaseks või muundurite puhul, mille esiserva kirjeldab 1 cos(0) ja langevat serva kirjeldab cos(0), kus 0< 0 logaritmilisel skaalal on selle graafiku vastavate lõikude kalle -2 ja -1 Tüüpiliste reaktantsväärtustega süsteemide puhul toimub kalde muutus ligikaudu sagedustel võrgu sageduse 11-ndast harmoonikuni ja koos. reaktantsi või voolu suurenemine süsteemis, kalde muutumise sagedus väheneb . Selle kõige praktiline tulemus on see, et kõrgemad harmoonilised on vähem olulised, kui arvate. Kuigi reaktantsi suurendamine aitab vähendada kõrgemat järku harmoonilisi, ei ole see tavaliselt teostatav. Eelistatavam on vähendada tarbitavas voolus harmoonilisi komponente, suurendades impulsside arvu alaldamise või pinge muundamise ajal, mis saavutatakse faasinihkega. Seoses trafodega käsitleti seda teemat peatükis. 7. Kui türistormuunduri või -alaldi toiteallikaks on trafo mähised, mis on ühendatud tärniga ja kolmnurgaga ning muunduri või alaldi väljundid on ühendatud järjestikku või paralleelselt, siis saadakse 12-impulsiline alaldus. Hulgi harmoonilised arvud on nüüd k = \2n ± 1, mitte k = 6 ja + 1, kus n on üks täisarvudest. 5. ja 7. järku harmooniliste asemel ilmuvad nüüd 11. ja 13. järku harmoonilised, mille amplituud on oluliselt väiksem. Täiesti võimalik on kasutada veelgi rohkem pulsatsioone ja näiteks elektrokeemiatehaste suured toiteallikad kasutavad 48-impulssi süsteeme. Kuna suured alaldid ja muundurid kasutavad paralleelselt ühendatud dioodide või türistorite komplekte, määrab trafo faasinihke mähiste lisakulu suuresti selle hinna. Joonisel fig. Joonis 14.8 näitab 12-impulsilise ahela eeliseid 6-impulsilise ahela ees. 12-impulsilise ahela 11. ja 13. järku harmooniliste tüüpiline amplituudi väärtus on ligikaudu 10% esimesest harmoonilisest. Suure pulsatsiooniarvuga ahelates on harmoonilised suurusjärgus k = pn + 1, kus p on pulsatsioonide arv. Huvi huvides märgime, et harmooniliste komplektide paarid, mis on üksteise suhtes lihtsalt 30° võrra nihutatud, ei tühista üksteist 6-impulsilises ahelas. Need harmoonilised voolud voolavad tagasi läbi trafo; seega on nende vastastikuse hävitamise võimaldamiseks vajalik täiendav faasinihe. Kõik harmoonilised ei ole esimesega faasis. Näiteks kolmefaasilises harmoonilises mustris, mis vastab 120° ruutlaine jadale, muutuvad harmooniliste faasid vastavalt järjestusele -5., +7., -11., +13. jne. Kui kolmefaasilises vooluringis on tasakaalustamata, võivad ilmneda ühefaasilised komponendid, mis tähendab harmooniliste kolmekordistamist nullfaasi nihkega. Riis. 14.8. 6 ja 12 pulsatsioonimuunduri spektrid Isolatsioonitrafosid peetakse sageli harmooniliste probleemide imerohuks. Need trafod lisavad süsteemile teatud reaktiivsust ja aitavad seeläbi vähendada kõrgemate harmooniliste taset, kuid peale nulljärjestuse voolude summutamise ja elektrostaatilise lahtisidumise on neist vähe kasu. Et kontrollida, kas programm töötab õigesti, moodustame proovide massiivi kahe sinusoidi sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) summana ja libistame selle programmi. . Programm joonistas järgmist: Joonis 1 Signaali aja funktsiooni graafik Joonis 2 Signaalispektri graafik Spektrigraafikul on kaks pulka (harmoonikat) 5 Hz amplituudiga 0,5 V ja 10 Hz amplituudiga 1 V, kõik on sama, mis algse signaali valemis. Kõik on hästi, tubli programmeerija! Programm töötab õigesti. See tähendab, et kui rakendame ADC sisendisse reaalse signaali kahe sinusoidi segust, saame sarnase spektri, mis koosneb kahest harmoonilisest. Kokku, meie päris mõõdetud signaal, kestab 5 sekundit, mis on ADC poolt digiteeritud, st esindatud diskreetne loeb, on diskreetne mitteperioodiline ulatus. Midagi tundub valesti! 10 Hz harmoonilist joonistatakse normaalselt, aga 5 Hz pulga asemel tekib mitu kummalist harmoonilist. Vaatame Internetist, mis toimub... Noh, nad ütlevad, et peate valimi lõppu lisama nullid ja spekter joonistatakse nagu tavaliselt. Joon.5 Lisatud nullid kuni 5 sekundini Joonis 6 Vastuvõetud spekter See pole ikka veel sama, mis oli 5 sekundi pärast. Peame teooriaga tegelema. Lähme juurde Vikipeedia- teadmiste allikas. K – trigonomeetrilise funktsiooni number (harmoonilise komponendi number, harmooniline arv) Mida tähendab "funktsiooni esitamine rea summana"? See tähendab, et lisades igas punktis Fourier' seeria harmooniliste komponentide väärtused, saame selles punktis oma funktsiooni väärtuse. (Kõrgemalt öeldes kipub seeria ruutkeskmise kõrvalekalle funktsioonist f(x) olema null, kuid vaatamata ruutkeskmise konvergentsile ei pea funktsiooni Fourier' jada üldiselt koonduge sellele, vaadake https://ru.wikipedia.org/wiki/Fourier_Series.) Selle seeria võib kirjutada ka järgmiselt: (2), Koefitsientide (1) ja (3) suhet väljendatakse järgmiste valemitega: Pange tähele, et kõik need kolm Fourier' seeria esitust on täiesti samaväärsed. Mõnikord on Fourier' seeriatega töötades mugavam siinuse ja koosinuse asemel kasutada imaginaarse argumendi eksponente, st kasutada Fourier' teisendust keerulisel kujul. Kuid meile on mugav kasutada valemit (1), kus Fourier' jada esitatakse koosinuste summana koos vastavate amplituudide ja faasidega. Igal juhul on vale väita, et reaalse signaali Fourier' teisenduse tulemuseks on keerulised harmoonilised amplituudid. Nagu Wiki õigesti ütleb: "Fourieri teisendus (?) on operatsioon, mis seob reaalse muutuja ühe funktsiooni teise funktsiooniga, samuti reaalse muutujaga." Kokku: Fourier' teisendus võimaldab esitada pidevat funktsiooni f(x) (signaal), mis on määratletud segmendil (0, T) teatud trigonomeetriliste funktsioonide (siinus ja/või koosinus) lõpmatu arvu (lõpmatu jada) summana. amplituudid ja faasid, mida arvestatakse ka segmendil (0, T). Sellist seeriat nimetatakse Fourier-seeriaks. Märgime veel mõned punktid, millest mõistmine on vajalik Fourier' teisenduse korrektseks rakendamiseks signaali analüüsis. Kui arvestada Fourier' seeriat (sinusoidide summat) kogu X-teljel, näeme, et väljaspool segmenti (0, T) kordab Fourier' seeriaga esindatud funktsioon perioodiliselt meie funktsiooni. Näiteks joonisel 7 kujutatud graafikul on algfunktsioon defineeritud segmendil (-T\2, +T\2) ja Fourier' jada kujutab perioodilist funktsiooni, mis on määratletud kogu x-teljel. See juhtub seetõttu, et sinusoidid ise on perioodilised funktsioonid ja vastavalt sellele on nende summa perioodiline funktsioon. Joonis 7 Mitteperioodilise algfunktsiooni esitus Fourier' seeria abil Seega: Meie algne funktsioon on pidev, mitteperioodiline, määratletud teatud pikkusega T segmendis. Harmooniliste komponentide perioodid on selle segmendi väärtuse kordsed (0, T), millel on defineeritud algfunktsioon f(x). Teisisõnu, harmoonilised perioodid on signaali mõõtmise kestuse kordsed. Näiteks Fourier' rea esimese harmoonilise periood on võrdne intervalliga T, millel funktsioon f(x) on defineeritud. Fourier' jada teise harmoonilise periood on võrdne intervalliga T/2. Ja nii edasi (vt joonis 8). Joon.8 Fourier' jada harmooniliste komponentide perioodid (sagedused) (siin T = 2?) Vastavalt sellele on harmooniliste komponentide sagedused 1/T kordsed. See tähendab, et harmooniliste komponentide Fk sagedused on võrdsed Fk = k\T, kus k on vahemikus 0 kuni?, näiteks k = 0 F0 = 0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (nullsagedusel – konstantne komponent). Olgu meie algfunktsiooniks signaal, mis on salvestatud ajal T=1 sek. Siis on esimese harmoonilise periood võrdne meie signaali kestusega T1=T=1 sek ja harmooniline sagedus on 1 Hz. Teise harmoonilise periood võrdub signaali kestusega jagatud 2-ga (T2=T/2=0,5 sek) ja sageduseks on 2 Hz. Kolmanda harmoonilise jaoks T3=T/3 sek ja sagedus on 3 Hz. Ja nii edasi. Harmoonikute vaheline samm on sel juhul 1 Hz. Seega saab 1-sekundilise kestusega signaali lagundada harmoonilisteks komponentideks (saades spektri) sageduslahutusvõimega 1 Hz. Signaali kestust on võimalik kunstlikult suurendada, lisades näidiste massiivi nullid. Kuid see ei suurenda tegelikku sageduse eraldusvõimet. Tavaline signaali mõõtmise ja digiteerimise skeem on järgmine. Joon.9 Mõõtekanali skeem Mõõtemuunduri signaal jõuab ADC-sse ajavahemikul T. Aja T jooksul saadud signaali näidised (sämpling) edastatakse arvutisse ja salvestatakse mällu. Joonis 10 Digiteeritud signaal – N näidist vastu võetud ajal T Millised on nõuded signaali digiteerimise parameetritele? Seadet, mis teisendab sisend-analoogsignaali diskreetseks koodiks (digitaalsignaaliks), nimetatakse analoog-digitaalmuunduriks (ADC) (Wiki). ADC üks peamisi parameetreid on maksimaalne diskreetimissagedus (või diskreetimissagedus, inglise keeles sample rate) – ajaliselt pideva signaali diskreetimissagedus selle diskreetmisel. Seda mõõdetakse hertsides. ((Wiki)) Kotelnikovi teoreemi kohaselt, kui pideval signaalil on sagedusega Fmax piiratud spekter, siis saab selle ajaintervallidega võetud diskreetsetest proovidest täielikult ja üheselt rekonstrueerida, s.t. sagedusega Fd? 2*Fmax, kus Fd on diskreetimissagedus; Fmax - signaali spektri maksimaalne sagedus. Teisisõnu peab signaali digiteerimise sagedus (ADC diskreetimissagedus) olema vähemalt 2 korda kõrgem signaali maksimaalsest sagedusest, mida me tahame mõõta. Mis juhtub, kui võtame proove madalama sagedusega, kui seda nõuab Kotelnikovi teoreem? Sel juhul tekib "aliasing" efekt (tuntud ka kui stroboskoopiline efekt, muaré efekt), mille puhul kõrgsageduslik signaal muutub pärast digiteerimist madalsageduslikuks signaaliks, mida tegelikult ei eksisteeri. Joonisel fig. 5 punane kõrgsageduslik siinuslaine on tõeline signaal. Madalama sagedusega sinine sinusoid on fiktiivne signaal, mis tekib sellest, et diskreetimisaja jooksul jõuab kõrgsagedussignaalist läbida rohkem kui pool perioodi. Riis. 11. Madala sagedusega vale signaali ilmumine ebapiisavalt kõrge diskreetimissagedusega Pseudonüümiefekti vältimiseks asetatakse ADC ette spetsiaalne anti-aliasing filter – madalpääsfilter (LPF), mis läbib sagedusi, mis on alla poole ADC diskreetimissagedusest ja lõikavad ära kõrgemad sagedused. Signaali spektri arvutamiseks selle diskreetsetest valimitest kasutatakse diskreetset Fourier' teisendust (DFT). Märgime veel kord, et diskreetse signaali spekter on "definitsiooni järgi" piiratud sagedusega Fmax, mis on alla poole diskreetimissagedusest Fd. Seetõttu saab diskreetse signaali spektrit esitada piiratud arvu harmooniliste summaga, erinevalt pideva signaali Fourier' seeria lõpmatust summast, mille spekter võib olla piiramatu. Kotelnikovi teoreemi kohaselt peab harmoonilise maksimaalne sagedus olema selline, et see moodustaks vähemalt kaks näidist, seetõttu on harmooniliste arv võrdne poole diskreetse signaali valimite arvuga. See tähendab, et kui valimis on N valimit, on harmooniliste arv spektris võrdne N/2. Vaatleme nüüd diskreetset Fourier' teisendust (DFT). Võrreldes Fourier' seeriatega Näeme, et need langevad kokku, välja arvatud see, et aeg DFT-s on olemuselt diskreetne ja harmooniliste arv on piiratud N/2-ga – poole diskreetide arvust. DFT valemid kirjutatakse mõõtmeteta täisarvuliste muutujatena k, s, kus k on signaalinäidiste arv, s on spektraalkomponentide arv. Tulles tagasi alguses saadud tulemuste juurde. Nagu eespool mainitud, vastab mitteperioodilise funktsiooni (meie signaali) Fourier' jadaks laiendamisel saadud Fourier' jada tegelikult perioodilisele funktsioonile perioodiga T (joonis 12). Joonis 12 Perioodiline funktsioon f(x) perioodiga T0, mõõtmisperioodiga T>T0 Nagu on näha jooniselt 12, on funktsioon f(x) perioodiline perioodiga T0. Kuna aga mõõteproovi T kestus ei ühti funktsiooni T0 perioodiga, on Fourier' jaana saadud funktsioonil punktis T katkestus. Selle tulemusena sisaldab selle funktsiooni spekter suur hulk kõrgsageduslikke harmoonilisi. Kui mõõteproovi T kestus langeks kokku funktsiooni T0 perioodiga, siis Fourier' teisenduse järel saadud spekter sisaldaks ainult esimest harmoonilist (sinusoidi perioodiga, mis on võrdne diskreetimiskestusega), kuna funktsioon f(x) on sinusoid. Teisisõnu, DFT programm "ei tea", et meie signaal on "sinusoidi tükk", kuid proovib kujutada perioodilist funktsiooni seeria kujul, millel on katkestus üksikute osade ebaühtluse tõttu. sinusoid. Selle tulemusena ilmuvad spektrisse harmoonilised, mis peaksid funktsiooni kuju, sealhulgas selle katkestuse, kokku võtma. Seega selleks, et saada signaali “õige” spekter, mis on mitme erineva perioodiga sinusoidi summa, on vajalik, et iga sinusoidi täisarv perioode mahuks signaali mõõtmise perioodi. Praktikas saab seda tingimust täita signaali mõõtmise piisavalt pika kestuse korral. Joonis 13 Näide käigukasti kinemaatilise veasignaali funktsioonist ja spektrist Lühema kestusega näeb pilt "halvem" välja: Joonis 14 Näide rootori vibratsioonisignaali funktsioonist ja spektrist Praktikas võib olla raske aru saada, kus on "päris komponendid" ja kus on "artefaktid", mis on põhjustatud komponentide mittemitmekordsetest perioodidest ja signaali diskreetimisperioodist või signaali kuju "hüppadest ja katkestest" . Mõistagi pannakse sõnad “päriskomponendid” ja “artefaktid” mingil põhjusel jutumärkidesse. Paljude harmooniliste olemasolu spektrigraafikul ei tähenda, et meie signaal neist tegelikult "koosneb". See on sama, mis arvata, et arv 7 “koosneb” numbritest 3 ja 4. Arvu 7 võib esitada arvude 3 ja 4 summana – see on õige. Nii et meie signaali... või õigemini isegi mitte “meie signaali”, vaid meie signaali kordamisest (sämplimisest) koostatud perioodilist funktsiooni saab esitada teatud amplituudide ja faasidega harmooniliste (siinuslainete) summana. Kuid paljudel praktika jaoks olulistel juhtudel (vt ülalolevaid jooniseid) on tõepoolest võimalik spektris saadud harmoonilisi seostada reaalsete protsessidega, mis on olemuselt tsüklilised ja annavad olulise panuse signaali kujusse. 2. Signaali esindab reaalväärtuste kogum ja selle spekter on esindatud reaalväärtuste komplektiga. Harmoonilised sagedused on positiivsed. Asjaolu, et matemaatikutel on mugavam kujutada spektrit keerulisel kujul negatiivsete sageduste abil, ei tähenda, et "see on õige" ja "seda tuleks alati teha". 3. Ajavahemikul T mõõdetud signaal määratakse ainult ajavahemiku T jooksul. Mis toimus enne signaali mõõtmise alustamist ja mis saab pärast seda, on teadusele teadmata. Ja meie puhul pole see huvitav. Ajaliselt piiratud signaali DFT annab oma "tõelise" spektri selles mõttes, et teatud tingimustel võimaldab see arvutada selle komponentide amplituudi ja sagedust. Kasutatud materjalid ja muud kasulikud materjalid. Perioodiliste mittesinusoidsete funktsioonide laiendamine Üldmõisted Osa 1. Lineaarahelate teooria (jätkub) ELEKTROTEHNIKA TEOREETILINE ALUS Õpik elektroenergeetika erialade üliõpilastele T. Perioodilise mittesinusoidse voolu elektriahelad Nagu teada, kasutatakse elektrienergiatööstuses voolude ja pingete standardvormina sinusoidset vormi. Reaalsetes tingimustes võivad voolu- ja pingekõverate kujud aga ühel või teisel määral erineda sinusoidsetest. Nende funktsioonide kõverate kujude moonutused vastuvõtjates põhjustavad täiendavaid energiakadusid ja nende efektiivsuse vähenemist. Generaatori pingekõvera sinusoidne kuju on üks elektrienergia kui toote kvaliteedi näitajaid. Keerulise vooluahela voolu- ja pingekõverate kuju moonutamiseks on võimalikud järgmised põhjused: 1) mittelineaarsete elementide olemasolu elektriahelas, mille parameetrid sõltuvad voolu ja pinge hetkväärtustest [ R, L, C=f(u, i)], (näiteks alaldid, elektrikeevitusagregaadid jne); 2) parameetriliste elementide olemasolu elektriahelas, mille parameetrid ajas muutuvad[ R, L, C=f(t)]; 3) elektrienergia allikas (kolmefaasiline generaator) ei suuda oma konstruktsiooniomaduste tõttu pakkuda ideaalset sinusoidset väljundpinget; 4) mõju eespool loetletud tegurite koosmõjul. Mittelineaarseid ja parameetrilisi ahelaid käsitletakse TOE kursuse eraldi peatükkides. Selles peatükis uuritakse lineaarsete elektriahelate käitumist mittesinusoidse kõvera kujuga energiaallikate kokkupuutel. Matemaatikakursusest teame, et mis tahes perioodiline aja funktsioon f(t), mis vastab Dirichlet' tingimustele, võib olla esindatud harmoonilise Fourier' seeriaga: Siin A 0 – konstantne komponent, - k-i harmooniline komponent või lühend k-Ma olen suupill. Esimest harmoonilist nimetatakse põhiliseks ja kõiki järgnevaid harmoonilisi kõrgemateks. Üksikute harmooniliste amplituudid Ja selleks ei sõltu funktsiooni laiendamise viisist f(t) Fourier' seeriasse, samal ajal sõltuvad üksikute harmooniliste algfaasid ajaviite (lähtekoha) valikust. Fourier' seeria üksikuid harmoonilisi saab esitada siinus- ja koosinuskomponentide summana: Siis näeb kogu Fourier seeria välja selline: Fourier' rea kahe vormi koefitsientide vahelised seosed on järgmisel kujul: Kui k Harmooniline ning selle siinus- ja koosinuskomponendid asendatakse kompleksarvudega, siis saab Fourier' rea koefitsientide vahelist seost esitada komplekssel kujul: Kui perioodiline mittesinusoidne ajafunktsioon on antud (või seda saab väljendada) analüütiliselt matemaatilise võrrandi kujul, siis määratakse Fourier' rea koefitsiendid matemaatikakursusest tuntud valemitega: Praktikas uuritakse mittesinusoidset funktsiooni f(t) esitatakse tavaliselt graafilise diagrammi kujul (graafiliselt) (joonis 118) või punktide koordinaatide tabelina (tabelina) ühe perioodi intervalliga (tabel 1). Sellise funktsiooni harmoonilise analüüsi tegemiseks ülaltoodud võrrandite abil tuleb see esmalt asendada matemaatilise avaldisega. Graafiliselt või tabelina määratud funktsiooni asendamist matemaatilise võrrandiga nimetatakse funktsiooni lähendamiseks. Nagu teada, kasutatakse elektrienergiatööstuses voolude ja pingete standardvormina sinusoidset vormi. Reaalsetes tingimustes võivad voolu- ja pingekõverate kujud aga ühel või teisel määral erineda sinusoidsetest. Nende funktsioonide kõverate kujude moonutused vastuvõtjates põhjustavad täiendavaid energiakadusid ja nende efektiivsuse vähenemist. Generaatori pingekõvera sinusoidne kuju on üks elektrienergia kui toote kvaliteedi näitajaid. Keerulise vooluahela voolu- ja pingekõverate kuju moonutamiseks on võimalikud järgmised põhjused: 1) mittelineaarsete elementide olemasolu elektriahelas, mille parameetrid sõltuvad voolu ja pinge hetkväärtustest (näiteks alaldid, elektrikeevitusseadmed jne); 2) parameetriliste elementide olemasolu elektriahelas, mille parameetrid ajas muutuvad; 3) elektrienergia allikas (kolmefaasiline generaator) ei suuda oma konstruktsiooniomaduste tõttu pakkuda ideaalset sinusoidset väljundpinget; 4) mõju eespool loetletud tegurite koosmõjul. Mittelineaarseid ja parameetrilisi ahelaid käsitletakse TOE kursuse eraldi peatükkides. Selles peatükis uuritakse lineaarsete elektriahelate käitumist mittesinusoidse kõvera kujuga energiaallikate kokkupuutel. Matemaatikakursusest on teada, et mis tahes perioodilist aja f(t) funktsiooni, mis vastab Dirichlet' tingimustele, saab esitada harmoonilise Fourier' reana: Siin on A0 konstantne komponent, Ak*sin(kωt+ αk) k-s harmooniline komponent või lühendatult k-s harmooniline. Esimest harmoonilist nimetatakse põhiliseks ja kõiki järgnevaid harmoonilisi kõrgemateks. Üksikute harmooniliste Ak amplituudid ei sõltu funktsiooni f(t) Fourier' jadaks laiendamise meetodist, samas kui üksikute harmooniliste αk algfaasid sõltuvad ajaviite (koordinaatide päritolu) valikust. . Fourier' seeria üksikuid harmoonilisi saab esitada siinus- ja koosinuskomponentide summana: Siis näeb kogu Fourier seeria välja selline: Fourier' rea kahe vormi koefitsientide vahelised seosed on järgmisel kujul: Kui k-s harmooniline ning selle siinus- ja koosinuskomponendid asendada kompleksarvudega, saab Fourier' rea koefitsientide vahelist seost esitada komplekssel kujul: Kui perioodiline mittesinusoidne ajafunktsioon on antud (või seda saab väljendada) analüütiliselt matemaatilise võrrandi kujul, siis määratakse Fourier' rea koefitsiendid matemaatikakursusest tuntud valemitega: Praktikas määratakse uuritav mittesinusoidne funktsioon f(t) tavaliselt graafilise diagrammi kujul (graafiliselt) (joonis 46.1) või punktide koordinaatide tabelina (tabelina) intervalliga üks periood (tabel 1). Sellise funktsiooni harmoonilise analüüsi tegemiseks ülaltoodud võrrandite abil tuleb see esmalt asendada matemaatilise avaldisega. Graafiliselt või tabelina määratud funktsiooni asendamist matemaatilise võrrandiga nimetatakse funktsiooni lähendamiseks. Praegu tehakse mittesinusoidsete ajafunktsioonide f(t) harmoonilist analüüsi tavaliselt arvutis. Lihtsamal juhul kasutatakse funktsiooni matemaatiliseks esitamiseks tükikaupa lineaarset lähendust. Selleks jagatakse kogu funktsioon ühe täisperioodi intervallil M = 20-30 lõiguks nii, et üksikud lõigud oleksid sirgetele võimalikult lähedal (joonis 1). Üksikutes lõikudes lähendatakse funktsioon sirgjoone võrrandiga fm(t)=am+bm*t, kus iga lõigu jaoks määratakse lähenduskoefitsiendid (am, bm) läbi selle lõpp-punktide koordinaatide, näiteks 1. osa saame: Funktsiooni T periood jaguneb suureks arvuks integreerimissammudeks N, integreerimise samm Δt=h=T/N, hetkeaeg ti=hi, kus i on integreerimisetapi seerianumber. Harmoonilise analüüsi valemites asendatakse kindlad integraalid vastavate summadega, nende arvutamine toimub arvutis trapetsi- või ristkülikumeetodil, näiteks: Kõrgemate harmooniliste amplituudide piisava täpsusega (δ≤1%) määramiseks peab integreerimise sammude arv olema vähemalt 100k, kus k on harmooniliste arv. Tehnoloogias kasutatakse üksikute harmooniliste isoleerimiseks mittesinusoidsetest pingetest ja vooludest spetsiaalseid seadmeid, mida nimetatakse harmooniliste analüsaatoriteks. 2.1. Perioodiliste signaalide spektrid
Perioodiline signaal (vool või pinge) on teatud tüüpi mõju, kui signaali kuju korratakse teatud ajaintervalli järel. T, mida nimetatakse perioodiks. Perioodilise signaali lihtsaim vorm on harmooniline signaal ehk siinuslaine, mida iseloomustavad amplituud, periood ja algfaas. Kõik muud signaalid tulevad mitteharmooniline või mittesinusoidne. Võib näidata ja praktika tõestab, et kui toiteallika sisendsignaal on perioodiline, siis on perioodilised ka kõik muud voolud ja pinged igas harus (väljundsignaalid). Sel juhul erinevad signaalid erinevates harudes üksteisest. Perioodiliste mitteharmooniliste signaalide (sisendmõjude ja nende reaktsioonide) uurimiseks elektriahelas on olemas üldine tehnika, mis põhineb signaalide laiendamisel Fourier' jadaks. See tehnika seisneb selles, et alati on võimalik valida harmooniliste (st siinusekujuliste) signaalide jada sellise amplituudi, sageduse ja algfaasiga, mille ordinaatide algebraline summa on igal ajal võrdne ordinaadiga. uuritav mittesinusoidne signaal. Nii näiteks pinge u joonisel fig. 2.1. võib asendada pingete summaga ja , kuna igal ajahetkel on identne võrdsus: Vaadeldava näite puhul on meil esimese harmoonilise periood, mis langeb kokku mitteharmoonilise signaali perioodigaT 1
=
T, ja teise harmoonilise periood on kaks korda väiksemT 2
=
T/2, st. harmoonilised hetkeväärtused tuleks kirjutada kujul: Siin on harmooniliste võnkumiste amplituudid üksteisega võrdsed ( Riis. 2.1. Näide esimese ja teise harmoonilise liitmisest mitteharmooniline signaal Elektrotehnikas nimetatakse harmoonilist komponenti, mille periood on võrdne mitteharmoonilise signaali perioodiga esiteks või põhilised signaali harmooniline. Kõiki teisi komponente nimetatakse kõrgemate harmooniliste komponentideks. Harmooniline, mille sagedus on k korda suurem kui esimene harmooniline (ja periood vastavalt k korda väiksem), nimetatakse k – harmooniline. Samuti eristatakse funktsiooni keskmist väärtust perioodi jooksul, mida nimetatakse null harmooniline. Üldiselt kirjutatakse Fourier' seeriad lõpmatu arvu erinevate sagedustega harmooniliste komponentide summana: (2.1)
kus k on harmooniline arv; - k-nda harmoonilise nurksagedus; ω 1 = ω = 2 π / T- esimese harmoonilise nurksagedus; - null harmooniline. Sageli esinevate vormide signaalide jaoks võib Fourier' seeria laiendust leida erialakirjandusest. Tabelis 2 on toodud kaheksa perioodilise lainekuju lagunemised. Tuleb märkida, et tabelis 2 toodud laiendused toimuvad juhul, kui koordinaatsüsteemi alguspunkt on valitud nii, nagu on näidatud vasakpoolsetel joonistel; kellaaja alguse muutmisel t harmooniliste algfaasid muutuvad, kuid harmooniliste amplituudid jäävad samaks. Sõltuvalt uuritava signaali tüübist tuleks V all mõista kas voltides mõõdetavat väärtust, kui see on pingesignaal, või väärtust mõõdetuna amprites, kui see on voolusignaal. Fourier-seeria perioodiliste funktsioonide laiendus tabel 2 Ajakava f(t)
Fourier funktsioonide jadaf(t)
Märge k=1,3,5,... k=1,3,5,... k=1,3,5,... k = 1,2,3,4,5 k=1,3,5,... k = 1,2,3,4,5 S=1,2,3,4,.. k = 1,2,4,6,.. Signaalid 7 ja 8 genereeritakse sinusoidist klapielemente kasutavad ahelad. Harmooniliste komponentide kogumit, mis moodustavad mittesinusoidse signaali, nimetatakse selle mitteharmoonilise signaali spektriks. Sellest harmooniliste komplektist eraldatakse ja eristatakse neid amplituud Ja faas ulatus. Amplituudispekter on kõigi harmooniliste amplituudide kogum, mis on tavaliselt kujutatud diagrammi kujul vertikaalsete joonte komplekti kujul, mille pikkused on võrdelised (valitud skaalal) harmoonilise amplituudi väärtustega. komponendid ja koht horisontaalteljel määratakse selle komponendi sageduse (harmoonilise numbri) järgi. Samamoodi käsitletakse faasispektreid kõigi harmooniliste algfaaside kogumina; neid näidatakse ka mõõtkavas vertikaalsete joonte komplektina. Tuleb märkida, et elektrotehnika algfaasid mõõdetakse tavaliselt vahemikus –180 0 kuni +180 0. Nimetatakse üksikutest joontest koosnevaid spektreid lineaarne või diskreetne. Spektrijooned on kaugel füksteisest, kus f- sagedusvahemik, mis on võrdne esimese harmoonilise sagedusega f Seega on perioodiliste signaalide diskreetsetel spektritel mitme sagedusega spektrikomponendid - f,
2f, 3f, 4f, 5f jne. Näide 2.1. Leidke ristkülikukujulise signaali amplituud ja faasispekter, kui positiivse ja negatiivse signaali kestused on võrdsed ja funktsiooni keskmine väärtus perioodi jooksul on null u(t) = Vat0<t<T/2
u(t) = -Vat T/2<t<T
Lihtsate, sageli kasutatavate vormide signaalide jaoks on soovitatav lahendus leida tabelite abil. Riis. 2.2. Ristkülikukujulise signaali joone amplituudi spekter Ristkülikukujulise signaali Fourier' jada laiendamisest (vt tabel 2 - 1) järeldub, et harmooniliste jada sisaldab ainult paarituid harmoonilisi, samal ajal kui harmooniliste amplituudid vähenevad võrdeliselt harmooniliste arvuga. Harmooniliste amplituudjoonte spekter on näidatud joonisel fig. 2.2. Konstrueerimisel eeldatakse, et esimese harmoonilise (siin pinge) amplituud on võrdne ühe voltiga: B; siis on kolmanda harmoonilise amplituud võrdne B-ga, viienda - B jne. Kõigi signaali harmooniliste algfaasid on nulliga võrdsed, seetõttu on faasispektris ainult null-ordinaatväärtused. Probleem on lahendatud. Näide 2.2.Leidke amplituud ja faasispekter pingele, mis varieerub vastavalt seadusele: at - T/4<t<T/4; u(t) = 0 at T/4<t<3/4T. Selline signaal genereeritakse sinusoidist, elimineerides (klapielemente kasutava ahelaga) harmoonilise signaali negatiivse osa. Riis. 2.3. Poollaine alaldussignaali joonspekter: a) amplituud; b) faas Siinuspingega poollaine alaldussignaali jaoks (vt tabelid 2–8) sisaldab Fourier' seeria konstantset komponenti (nullharmooniline), esimest harmoonilist ja seejärel ainult paarisharmooniliste komplekti, mille amplituudid vähenevad kiiresti harmoonilise arvu suurenemine. Kui paneme näiteks väärtuseks V = 100 V, siis korrutades iga liikme ühisteguriga 2V/π leiame(2.2)
Selle signaali amplituud ja faasispektrid on näidatud joonistel 2.3a, b. Probleem on lahendatud. Vastavalt Fourier' jadate teooriale esineb mitteharmoonilise signaali täpne võrdsus harmooniliste summaga ainult lõpmata suure hulga harmooniliste korral. Harmooniliste komponentide arvutamine arvutis võimaldab analüüsida mis tahes arvu harmoonilisi, mille määrab arvutuse eesmärk, mitteharmoonilise efekti täpsus ja vorm. Kui signaali kestust
olenemata selle vormist, palju vähem kui periood T, siis harmooniliste amplituudid vähenevad aeglaselt ja signaali täielikumaks kirjeldamiseks on vaja arvesse võtta paljusid seeria termineid. Seda funktsiooni saab jälgida tabelis 2 - 5 ja 6 esitatud signaalide puhul, kui tingimus on täidetud τ
<<T. Kui mitteharmooniline signaal on kujult sinusoidile lähedane (näiteks signaalid 2 ja 3 tabelis 2), siis harmoonilised vähenevad kiiresti ning signaali täpseks kirjeldamiseks piisab, kui piirduda kolme kuni viiega. sarja harmoonilised.
Kui palju on selles fraasis matemaatika seisukohast vigu?
Nüüd on võimud otsustanud, otsustasime, et 5 sekundit on liiga pikk, mõõdame signaali 0,5 sekundiga. 
Joonis 3 Funktsiooni sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) graafik 0,5 sek mõõtmisperioodi jaoks
Joonis 4 Funktsioonide spekter2. Pidev funktsioon ja selle Fourier-rea esitus
Matemaatiliselt on meie signaal pikkusega T sekundit teatud funktsioon f(x), mis on määratud intervallile (0, T) (X antud juhul on aeg). Sellist funktsiooni saab alati esitada vormi harmooniliste funktsioonide (siinus või koosinus) summana:
T - segment, kus funktsioon on määratletud (signaali kestus)
Ak on k-nda harmoonilise komponendi amplituud,
?k- k-nda harmoonilise komponendi algfaas
kus , k-s kompleksamplituud.
Signaalide spektraalanalüüsi matemaatiliseks aluseks on Fourier' teisendus.
Selle funktsiooni spekter on diskreetne, see tähendab, et see esitatakse harmooniliste komponentide lõpmatu seeriana - Fourier' seeriana.
Tegelikult defineerib Fourier' seeria teatud perioodilise funktsiooni, mis kattub meie funktsiooniga lõigul (0, T), kuid meie jaoks pole see perioodilisus oluline.
Eraldusvõime suurendamiseks 2 korda 0,5 Hz-ni peate mõõtmise kestust suurendama 2 korda - kuni 2 sekundini. 10 sekundit kestva signaali saab lagundada harmoonilisteks komponentideks (spektri saamiseks) sageduslahutusvõimega 0,1 Hz. Sageduse eraldusvõime suurendamiseks pole muid võimalusi.3. Diskreetsed signaalid ja diskreetne Fourier' teisendus
Digitehnoloogia arenguga on muutunud ka mõõtmisandmete (signaalide) salvestamise meetodid. Kui varem sai signaali salvestada magnetofonile ja salvestada lindile analoogkujul, siis nüüd digiteeritakse ja salvestatakse signaale arvutimällu failidesse numbrite (näidiste) kogumina.
Väärtus s näitab täielike harmooniliste võnkumiste arvu perioodi T (signaali mõõtmise kestus) jooksul. Diskreetset Fourier' teisendust kasutatakse harmooniliste amplituudide ja faaside leidmiseks arvmeetodil, s.o. "arvutis"Mõned tulemused
1. Reaalsel mõõdetud signaalil kestusega T sekundit, mis on digiteeritud ADC-ga, st esindatud diskreetsete näidiste komplektiga (N tükki), on diskreetne mitteperioodiline spekter, mida esindab harmooniliste hulk (N/ 2 tükki). 
. Iga termin on sinusoid, mille sagedus on seotud perioodiga T täisarvu suhted.
) ja algfaasid on null.
a)b)
