Teisenda kaheksandsüsteemist kümnendkohani. Kahendarvud, numbrid ja kahendarvusüsteem. Arvu teisendamine kümnendarvust kahendarvuks

Vaatame ühte arvutiteaduse kõige olulisemat teemat -. Kooli õppekavas ilmneb see pigem “tagasihoidlikult”, tõenäoliselt sellele eraldatud tundide nappuse tõttu. Teadmised sellel teemal, eriti numbrisüsteemide tõlkimine, on ühtse riigieksami eduka sooritamise ja vastavate teaduskondade ülikoolidesse sisseastumise eelduseks. Allpool käsitleme üksikasjalikult selliseid mõisteid nagu positsioonilised ja mittepositsioonilised arvusüsteemid, on toodud nende arvusüsteemide näited, esitatakse reeglid täiskümnendarvude, õigete kümnendmurdude ja segade kümnendarvude teisendamiseks mis tahes muuks arvusüsteemiks, arvude teisendamiseks mis tahes arvusüsteemist kümnendarvuks, kaheksand- ja kuueteistkümnendarvusüsteemidest kahendarvuks teisendamiseks. süsteem. Eksamitel on sellel teemal palju probleeme. Nende lahendamise oskus on üks taotlejatele esitatavaid nõudeid. Varsti: rubriigi iga teema puhul esitatakse lisaks üksikasjalikule teoreetilisele materjalile peaaegu kõik võimalikud valikud ülesandeid iseõppimiseks. Lisaks on teil võimalus failimajutusteenusest täiesti tasuta alla laadida nendele probleemidele üksikasjalikud valmislahendused, mis illustreerivad erinevaid viise õige vastuse saamiseks.

positsioonilised numbrisüsteemid.

Mittepositsioonilised arvusüsteemid- numbrisüsteemid, milles numbri kvantitatiivne väärtus ei sõltu selle asukohast arvus.

Mittepositsiooniliste numbrisüsteemide hulka kuuluvad näiteks rooma keel, kus numbrite asemel on ladina tähed.

I	1 (üks)
V	5 (viis)
X	10 (kümme)
L	50 (viiskümmend)
C	100 (sada)
D	500 (viissada)
M	1000 (tuhat)

Siin tähistab V-täht 5 olenemata selle asukohast. Siiski tasub mainida, et kuigi Rooma arvusüsteem on klassikaline näide mittepositsioonilisest arvusüsteemist, pole see siiski täiesti mittepositsiooniline, sest Sellest lahutatakse väiksem arv, mis asub suurema ees:

IL	49 (50-1=49)
VI	6 (5+1=6)
XXI	21 (10+10+1=21)
MI	1001 (1000+1=1001)

positsioonilised numbrisüsteemid.

Positsioonilised numbrisüsteemid- numbrisüsteemid, milles numbri kvantitatiivne väärtus sõltub selle asukohast arvus.

Näiteks kui me räägime kümnendarvusüsteemist, siis numbris 700 tähendab number 7 "seitsesada", kuid sama number numbris 71 tähendab "seitset kümnet" ja numbris 7020 - "seitse tuhat". .

Iga positsiooniline numbrisüsteem on oma alus. Aluseks valitakse naturaalarv, mis on suurem või võrdne kahega. See võrdub antud numbrisüsteemis kasutatud numbrite arvuga.

Binaarne- positsiooniline numbrisüsteem alusega 2.
Kvaternaar- positsiooniline numbrisüsteem alusega 4.
Viiekordne- positsiooniline numbrisüsteem alusega 5.
oktaalne- positsiooniline numbrisüsteem alusega 8.
Kuueteistkümnendsüsteem- positsiooniline numbrisüsteem alusega 16.

Teema "Arvusüsteemid" ülesannete edukaks lahendamiseks peab õpilane teadma peast kahend-, kümnend-, kaheksand- ja kuueteistkümnendarvude vastavust kuni 16 10:

10 s/s	2 s/s	8 s/s	16 s/s
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Kasulik on teada, kuidas nendes numbrisüsteemides numbreid saadakse. Võite arvata, et kaheksand-, kuueteistkümnendsüsteemis, kolmes ja teistes positsioonilised numbrisüsteemid kõik toimub samamoodi nagu kümnendsüsteemis, millega oleme harjunud:

Numbrile lisatakse üks ja saadakse uus number. Kui ühikute koht saab võrdseks arvusüsteemi alusega, suurendame kümnete arvu 1 võrra jne.

See „ühe üleminek” on see, mis enamikku õpilasi hirmutab. Tegelikult on kõik üsna lihtne. Üleminek toimub siis, kui ühikute arv on võrdne numbribaas, suurendame kümnendite arvu 1 võrra. Paljud, meenutades vana head kümnendsüsteemi, on selles üleminekus hetkega segaduses numbrite pärast, sest kümnend- ja näiteks kahendkümnend on erinevad asjad.

Seetõttu arendavad leidlikud õpilased välja “omad meetodid” (üllatuslikult... töötavad), kui täidavad näiteks tõetabeleid, mille esimesed veerud (muutuvad väärtused) on tegelikult täidetud kahendarvudega kasvavas järjekorras.

Vaatame näiteks numbrite sisestamist kaheksandsüsteem: Esimesele numbrile (0) liidame 1, saame 1. Seejärel liidame 1-le 1, saame 2 jne. kuni 7. Kui liidame 7-le ühe, saame arvu, mis on võrdne arvusüsteemi alusega, s.t. 8. Seejärel peate suurendama kümnete numbrit ühe võrra (saame kaheksanda kümnendiku - 10). Järgmised on ilmselt numbrid 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...

Ühest arvusüsteemist teise teisendamise reeglid.

1 Täisarvuliste kümnendarvude teisendamine mis tahes muusse arvusüsteemi.

Arv tuleb jagada uus numbrisüsteemi alus. Jaotuse esimene jääk on uue numbri esimene väike number. Kui jagamise jagatis on väiksem või võrdne uue alusega, siis tuleb see (jagatis) uuesti jagada uue alusega. Jagamist tuleb jätkata seni, kuni saame uuest baasist jagatise väiksema. See on uue numbri kõrgeim number (peate meeles pidama, et näiteks kuueteistkümnendsüsteemis on pärast 9 tähti, st kui jääk on 11, peate selle kirjutama kui B).

Näide ("nurgaga jagamine"): teisendame arvu 173 10 kaheksandarvude süsteemi.

Seega 173 10 = 255 8

2 Tavaliste kümnendmurdude teisendamine mis tahes muusse arvusüsteemi.

Arv tuleb korrutada uue numbrisüsteemi baasiga. Täisarvuks muutunud number on uue arvu murdosa kõrgeim number. järgmise numbri saamiseks tuleb saadud korrutise murdosa uuesti korrutada arvusüsteemi uue alusega, kuni toimub üleminek tervele osale. Jätkame korrutamist seni, kuni murdosa võrdub nulliga või kuni jõuame ülesandes määratud täpsuseni (“... arvuta nt kahe kümnendkoha täpsusega”).

Näide: teisendame arvu 0,65625 10 kaheksandarvude süsteemiks.

Meetodid arvude teisendamiseks ühest numbrisüsteemist teise.

Arvude teisendamine ühest positsiooninumbrisüsteemist teise: täisarvude teisendamine.

Täisarvu teisendamiseks ühest arvusüsteemist alusega d1 teise, mille alus on d2, peate selle arvu ja saadud jagatised järjestikku jagama uue süsteemi alusega d2, kuni saadakse jagatis, mis on väiksem kui alus d2. Viimane jagatis on arvu kõige olulisem number uues arvusüsteemis alusega d2 ja sellele järgnevad numbrid on jagamise jäägid, mis on kirjutatud nende vastuvõtmise vastupidises järjekorras. Sooritage aritmeetilisi tehteid numbrisüsteemis, milles tõlgitav arv on kirjutatud.

Näide 1. Teisendage arv 11(10) kahendarvusüsteemiks.

Vastus: 11(10)=1011(2).

Näide 2. Teisendage arv 122(10) kaheksandarvude süsteemiks.

Vastus: 122(10)=172(8).

Näide 3. Teisendage arv 500(10) kuueteistkümnendsüsteemiks.

Vastus: 500(10)=1F4(16).

Arvude teisendamine ühest positsioonilisest arvusüsteemist teise: õigete murdude teisendamine.

Õige murru teisendamiseks alusega d1 arvusüsteemist alusega d2 süsteemiks on vaja algne murd ja saadud korrutite murdosad järjestikku korrutada uue arvusüsteemi d2 alusega. Arvu õige murdosa uues arvusüsteemis alusega d2 moodustatakse saadud korrutistest täisarvuliste osadena, alustades esimesest.
Kui tõlke tulemuseks on murdosa lõpmatu või lahkneva jada kujul, saab protsessi lõpetada, kui nõutav täpsus on saavutatud.

Segaarvude tõlkimisel on vaja täis- ja murdosa eraldi tõlkida uude süsteemi vastavalt täisarvude ja õigete murdude tõlkimise reeglitele ning seejärel kombineerida mõlemad tulemused uues arvusüsteemis üheks segaarvuks.

Näide 1. Teisendage arv 0,625(10) kahendarvusüsteemiks.

Vastus: 0,625 (10) = 0,101 (2).

Näide 2. Teisendage arv 0,6(10) kaheksandarvu süsteemi.

Vastus: 0,6 (10) = 0,463 (8).

Näide 2. Teisendage arv 0,7(10) kuueteistkümnendsüsteemiks.

Vastus: 0,7(10)=0,B333(16).

Teisendage kahend-, kaheksand- ja kuueteistkümnendarvud kümnendsüsteemiks.

Arvu teisendamiseks P-süsteemist kümnendarvuks peate kasutama järgmist laiendusvalemit:
аnan-1…а1а0=аnPn+ аn-1Pn-1+…+ а1P+a0 .

Näide 1. Teisendage arv 101.11(2) kümnendarvusüsteemiks.

Vastus: 101.11(2)= 5.75(10) .

Näide 2. Teisendage arv 57.24(8) kümnendarvude süsteemiks.

Vastus: 57.24(8) = 47.3125(10) .

Näide 3. Teisendage arv 7A,84(16) kümnendarvude süsteemiks.

Vastus: 7A.84(16)= 122.515625(10) .

Kaheksa- ja kuueteistkümnendarvude teisendamine kahendarvusüsteemiks ja vastupidi.

Arvu teisendamiseks kaheksandarvusüsteemist kahendarvuks tuleb selle arvu iga number kirjutada kolmekohalise kahendarvuna (triaadina).

Näide: kirjutage kahendarvusüsteemi arv 16.24(8).

Vastus: 16.24(8)= 1110.0101(2) .

Kahendarvu teisendamiseks tagasi kaheksandarvu süsteemiks peate jagama algse arvu koma vasakule ja paremale jäävateks kolmikuteks ning esitama iga rühma numbriga kaheksandarvusüsteemis. Äärmuslikud mittetäielikud kolmkõlad on täiendatud nullidega.

Näide: kirjutage arv 1110.0101(2) kaheksandarvude süsteemi.

Vastus: 1110.0101(2)= 16.24(8) .

Arvu kuueteistkümnendsüsteemist kahendarvuks teisendamiseks peate kirjutama selle arvu iga numbri neljakohalise kahendarvuna (tetrad).

Näide: kirjuta kahendarvusüsteemi arv 7A,7E(16).

Vastus: 7A,7E(16)= 1111010.0111111(2) .

Märkus: täisarvude puhul vasakule ja murdude puhul paremale esinulle ei kirjutata.

Kahendarvu teisendamiseks tagasi kuueteistkümnendsüsteemiks peate jagama algse arvu koma vasakule ja paremale jäävateks tetradeks ning esindama iga rühma numbriga kuueteistkümnendsüsteemis. Äärmuslikud mittetäielikud kolmkõlad on täiendatud nullidega.

Näide: kirjutage arv 1111010.0111111(2) kuueteistkümnendsüsteemis.

Numbrite teisendamiseks kümnendarvudest mis tahes teiseks, peate kümnendarvu jagama selle süsteemi alusega, millesse teisendate, jättes samas alles iga jaotuse ülejäänud osa. Tulemus genereeritakse paremalt vasakule. Jagamine jätkub seni, kuni jagamise tulemus on jagajast väiksem.

Kalkulaator teisendab arvud ühest numbrisüsteemist teise. See võib teisendada numbreid kahendsüsteemist kümnendsüsteemiks või kümnendsüsteemist kuueteistkümnendsüsteemiks, näidates üksikasjalikku lahenduse edenemist. Saate hõlpsasti teisendada arvu kolmeosalisest kvinaariks või isegi seitsmendast seitsmeteistkümnendaks. Kalkulaator suudab teisendada numbreid mis tahes numbrisüsteemist mis tahes teiseks.

Veebikalkulaator: teisendage numbreid ühest numbrisüsteemist mis tahes teise võrgus asuvasse numbrisüsteemi

Sisendandmed

Sisestage number:

Meetodid arvude teisendamiseks ühest numbrisüsteemist teise

Programmi juurde Arvutiteaduse ühtne riigieksam sisaldab mitmeid ülesandeid, mis on seotud arvude ühest süsteemist teise teisendamisega. Tavaliselt on see teisendus kaheksand- ja kuueteistkümnendsüsteemi ning kahendsüsteemi vahel. Need on jaotised A1, KELL 11. Kuid probleeme on ka teiste numbrisüsteemidega, näiteks jaotises B7.

Alustuseks meenutagem kahte tabelit, mida oleks hea peast teada neil, kes valivad oma tulevaseks erialaks arvutiteaduse.

Numbri 2 astmete tabel:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6	2 7	2 8	2 9	2 10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Seda on lihtne saada, korrutades eelmise numbri 2-ga. Seega, kui te kõiki neid numbreid ei mäleta, ei ole raske meelde tuletada ülejäänud numbreid.

Kahendarvude tabel 0 kuni 15 kuueteistkümnendsüsteemiga:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

Puuduvaid väärtusi on lihtne arvutada, lisades teadaolevatele väärtustele 1.

Aritmeetilised tehted kahendarvusüsteemis

Kui liidetakse kaks 1-ga võrdset arvu, on selle numbri tulemus 0 ja 1 kantakse üle suurimale numbrile.

Täisarvu teisendamine

Niisiis, alustame otse kahendsüsteemi teisendamisest. Võtame sama numbri 810 10. Peame selle arvu jagama kahe astmega võrdseteks osadeks.

Otsime kahe võimsust, mis on 810-le kõige lähemal ja ei ületa seda. See on 2 9 = 512.
Lahutage 810-st 512, saame 298.
Korrake samme 1 ja 2, kuni 1-sid ega 0-sid pole enam järel.
Saime selle nii: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1 .

Siis on kaks meetodit, võite kasutada mõnda neist. Kui lihtne on näha, et igas arvusüsteemis on selle baas alati 10. Aluse ruut on alati 100, kuubik 1000. See tähendab, et arvusüsteemi aluse aste on 1 (üks) ja selle taga on sama palju nulle kui kraadi.

1. meetod: Järjesta 1 vastavalt terminite näitajate järjestusele. Meie näites on need 9, 8, 5, 3 ja 1. Ülejäänud kohad sisaldavad nulle. Nii saime arvu 810 10 = 1100101010 2 binaarse esituse. Üksused on paigutatud 9., 8., 5., 3. ja 1. kohale, lugedes paremalt vasakule nullist.

2. meetod: Kirjutame terminid kahe astmetena üksteise alla, alustades suurimast.

810 =

Nüüd liidame need toimingud kokku, nagu ventilaatori kokku voltimine: 1100101010.

See on kõik. Samal ajal on lihtsalt lahendatud ka probleem "mitu ühikut on arvu 810 kahendmärgistuses?".

Vastus on sama palju, kui selles esituses on termineid (kahe astmeid). 810-l on neid 5.

Nüüd on näide lihtsam.

Teisendame arvu 63 5-kordseks arvusüsteemiks. Lähim aste 5 kuni 63 on 25 (ruut 5). Kuubik (125) on juba palju. See tähendab, et 63 asub ruudu 5 ja kuubi vahel. Seejärel valime koefitsiendi 5 2 jaoks. See on 2.

Saame 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5.

Ja lõpuks, väga lihtsad tõlked 8 ja kuueteistkümnendsüsteemi vahel. Kuna nende baas on kahe astmega, toimub tõlge automaatselt, lihtsalt asendades numbrid nende kahendarvuga. Kaheksandsüsteemis asendatakse iga number kolme kahendnumbriga ja kuueteistkümnendsüsteemis neljaga. Sel juhul on nõutavad kõik eesmised nullid, välja arvatud kõige olulisem number.

Teisendame arvu 547 8 kahendarvuks.

547 8 =	101	100	111
	5	4	7

Veel üks, näiteks 7D6A 16.

7D6A 16 =	(0)111	1101	0110	1010
	7	D	6	A

Teisendame arvu 7368 kuueteistkümnendsüsteemiks. Esmalt kirjutame numbrid kolmikutena ja jagame need lõpust neljakordseteks: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16. Teisendame arvu C25 16 kaheksandsüsteemiks. Esmalt kirjutame numbrid neljaks ja jagame need siis lõpust kolmeks: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8. Vaatame nüüd kümnendarvuks tagasi teisendamist. See pole keeruline, peamine on mitte teha arvutustes vigu. Laiendame arvu polünoomiks koos aluse astmete ja nende koefitsientidega. Seejärel korrutame ja lisame kõik. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 = 7 * 8 2 + 3 * 8 + 2 = 474 .

Negatiivsete arvude teisendamine

Siin tuleb arvestada, et number esitatakse kahe täiendkoodis. Arvu teisendamiseks lisakoodiks peate teadma numbri lõplikku suurust, see tähendab, millesse me tahame selle mahutada - baidis, kahes baidis, neljas. Arvu kõige olulisem number tähendab märki. Kui on 0, siis on arv positiivne, kui 1, siis negatiivne. Vasakul on numbrit täiendatud märginumbriga. Signeerimata ( allkirjastamata ) me numbreid ei arvesta, need on alati positiivsed ja teabena kasutatakse nende kõige olulisemat numbrit.

Negatiivse arvu teisendamiseks binaarseks täiendiks peate teisendama positiivse arvu kahendarvuks, seejärel muutma nullid ühtedeks ja ühed nullideks. Seejärel lisage tulemusele 1.

Niisiis, teisendame arvu -79 kahendsüsteemiks. Number võtab meilt ühe baidi.

79 teisendamine binaarseks, 79 = 1001111. Lisame vasakul olevad nullid 8-bitise baidi suurusele, saame 01001111. Muudame 1 väärtuseks 0 ja 0 väärtuseks 1. Saame 10110000. Lisame tulemusele 1, saame vastuseks 10110001.

Teel vastame ühtse riigieksami küsimusele " mitu ühikut on arvu -79 kahendesituses?».

Vastus on 4.

Arvu pöördväärtusele 1 lisamine kõrvaldab erinevuse esituste +0 = 00000000 ja -0 = 11111111 vahel. Lisakoodis kirjutatakse need samamoodi: 00000000.

Murdarvude teisendamine

Murdarvud teisendatakse vastupidisel viisil, jagades täisarvud alusega, mida vaatasime kohe alguses. See tähendab, et kasutatakse järjestikust korrutamist uue alusega tervete osade kogumisega. Korrutamise käigus saadud täisarvud kogutakse, kuid ei osale järgmistes operatsioonides. Korrutatakse ainult murde. Kui algne arv on suurem kui 1, tõlgitakse täis- ja murdosa eraldi ja liimitakse seejärel kokku.

Teisendame arvu 0,6752 kahendsüsteemiks.