Kirjutage arv kahendarvusüsteemi ja kahe astmed paremalt vasakule. Näiteks tahame teisendada kahendarvu 10011011 2 kümnendarvuks. Paneme selle kõigepealt kirja. Seejärel kirjutame paremalt vasakule kahe astmed. Alustame 2 0-ga, mis on võrdne "1". Suurendame kraadi ühe võrra iga järgneva numbri kohta. Peatume, kui loendi elementide arv on võrdne kahendarvu numbrite arvuga. Meie näidisnumbril 10011011 on kaheksa numbrit, nii et kaheksa elemendi loend näeb välja selline: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
Kirjutage kahendarvu numbrid kahe vastavate astmete alla. Nüüd kirjutage lihtsalt numbrite 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 ja 1 alla 10011011, nii et iga kahendnumber vastab kahe erinevale astmele. Kahendarvu parempoolseim "1" peab vastama kahe astme parempoolsemale "1" jne. Soovi korral võite kirjutada kahendarvu kahe astme kohale. Kõige tähtsam on see, et need sobiksid omavahel.
Sobitage kahendarvu numbrid kahe vastava astmega. Joonistage jooned (paremalt vasakule), mis ühendavad kahendarvu iga järjestikuse numbri selle kohal oleva kahe astmega. Alustage joonte joonistamist, ühendades kahendarvu esimese numbri selle kohal oleva kahe esimese astmega. Seejärel tõmmake joon kahendarvu teisest numbrist kahe teise astmeni. Jätkake iga numbri ühendamist kahe vastava astmega. See aitab teil visuaalselt näha seost kahe erineva numbrikomplekti vahel.
Kirjutage üles iga kahe astme lõppväärtus. Minge läbi kahendarvu iga numbri. Kui arv on 1, kirjuta numbri alla kahe vastav aste. Kui see arv on 0, kirjuta numbri alla 0.
- Kuna "1" vastab "1", jääb see "1". Kuna "2" vastab "1", jääb see "2". Kuna "4" vastab "0", muutub see "0". Kuna "8" vastab "1", muutub see "8" ja kuna "16" vastab "1", muutub see "16". "32" vastab "0" ja muutub "0", "64" vastab "0" ja muutub seetõttu "0", samas kui "128" vastab "1" ja muutub seetõttu 128.
Lisage saadud väärtused. Nüüd lisage saadud numbrid rea alla. Te teete järgmist: 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 155. See on kahendarvu 10011011 kümnendekvivalent.
Kirjuta vastus koos numbrisüsteemiga võrdse alaindeksiga. Nüüd pole vaja muud, kui kirjutada 155 10, et näidata, et töötate kümnendvastusega, mis toimib kümne astmega. Mida rohkem teisendate kahendarvu kümnendkohtadeks, seda lihtsam on teil kahe astmeid meelde jätta ja seda kiiremini saate ülesande täita.
Kasutage seda meetodit kümnendkohaga kahendarvu teisendamiseks kümnendkohaks. Seda meetodit saate kasutada isegi siis, kui soovite teisendada kahendarvu, näiteks 1,1 2, kümnendkohaks. Kõik, mida pead teadma, on see, et kümnendkoha vasakul pool olev arv on tavaline arv ja kümnendkoha paremal pool olev arv on "pool" ehk 1 x (1/2).
- Kümnendarvust vasakul olev "1" vastab 2 0-le või 1-le. Kümnendarvust paremal asuv 1 vastab numbrile 2 -1 või.5. Lisage 1 ja 0,5 ja saate 1,5, mis on kümnendkoha ekvivalent 1,1 2-le.
Meetodid arvude teisendamiseks ühest numbrisüsteemist teise.
Arvude teisendamine ühest positsiooninumbrisüsteemist teise: täisarvude teisendamine.
Täisarvu teisendamiseks ühest arvusüsteemist alusega d1 teise, mille alus on d2, peate selle arvu ja saadud jagatised järjestikku jagama uue süsteemi alusega d2, kuni saadakse jagatis, mis on väiksem kui alus d2. Viimane jagatis on arvu kõige olulisem number uues arvusüsteemis alusega d2 ja sellele järgnevad numbrid on jagamise jäägid, mis on kirjutatud nende vastuvõtmise vastupidises järjekorras. Sooritage aritmeetilisi tehteid numbrisüsteemis, milles tõlgitav arv on kirjutatud.
Näide 1. Teisendage arv 11(10) kahendarvusüsteemiks.
Vastus: 11(10)=1011(2).
Näide 2. Teisendage arv 122(10) kaheksandarvude süsteemiks.
Vastus: 122(10)=172(8).
Näide 3. Teisendage arv 500(10) kuueteistkümnendsüsteemiks.
Vastus: 500(10)=1F4(16).
Arvude teisendamine ühest positsioonilisest arvusüsteemist teise: õigete murdude teisendamine.
Õige murru teisendamiseks alusega d1 arvusüsteemist alusega d2 süsteemiks on vaja algne murd ja saadud korrutite murdosad järjestikku korrutada uue arvusüsteemi d2 alusega. Arvu õige murdosa uues arvusüsteemis alusega d2 moodustatakse saadud korrutistest täisarvuliste osadena, alustades esimesest.
Kui tõlke tulemuseks on murdosa lõpmatu või lahkneva jada kujul, saab protsessi lõpule viia, kui nõutav täpsus on saavutatud.
Segaarvude tõlkimisel on vaja täis- ja murdosa eraldi tõlkida uude süsteemi vastavalt täisarvude ja õigete murdude tõlkimise reeglitele ning seejärel kombineerida mõlemad tulemused uues arvusüsteemis üheks segaarvuks.
Näide 1. Teisendage arv 0,625(10) kahendarvusüsteemiks.
Vastus: 0,625 (10) = 0,101 (2).
Näide 2. Teisendage arv 0,6(10) kaheksandarvu süsteemi.
Vastus: 0,6 (10) = 0,463 (8).
Näide 2. Teisendage arv 0,7(10) kuueteistkümnendsüsteemiks.
Vastus: 0,7(10)=0,B333(16).
Teisendage kahend-, kaheksand- ja kuueteistkümnendarvud kümnendarvude süsteemiks.
Arvu teisendamiseks P-süsteemist kümnendarvuks peate kasutama järgmist laiendusvalemit:
аnan-1…а1а0=аnPn+ аn-1Pn-1+…+ а1P+a0 .
Näide 1. Teisendage arv 101.11(2) kümnendarvusüsteemiks.
Vastus: 101.11(2)= 5.75(10) .
Näide 2. Teisendage arv 57.24(8) kümnendarvude süsteemiks.
Vastus: 57.24(8) = 47.3125(10) .
Näide 3. Teisendage arv 7A,84(16) kümnendarvude süsteemiks.
Vastus: 7A.84(16)= 122.515625(10) .
Kaheksa- ja kuueteistkümnendarvude teisendamine kahendarvusüsteemiks ja vastupidi.
Arvu teisendamiseks kaheksandarvusüsteemist kahendarvuks tuleb selle arvu iga number kirjutada kolmekohalise kahendarvuna (triaadina).
Näide: kirjutage kahendarvusüsteemi arv 16.24(8).
Vastus: 16.24(8)= 1110.0101(2) .
Kahendarvu teisendamiseks tagasi kaheksandarvusüsteemi peate jagama esialgse arvu kolmikuteks, mis asuvad koma vasakul ja paremal, ning esindama iga rühma numbriga kaheksandarvusüsteemis. Äärmuslikud mittetäielikud kolmkõlad on täiendatud nullidega.
Näide: kirjutage arv 1110.0101(2) kaheksandarvude süsteemi.
Vastus: 1110.0101(2)= 16.24(8) .
Arvu teisendamiseks kuueteistkümnendsüsteemist kahendsüsteemiks peate kirjutama selle arvu iga numbri neljakohalise kahendarvuna (tetrad).
Näide: kirjuta kahendarvusüsteemi arv 7A,7E(16). 
Vastus: 7A,7E(16)= 1111010.0111111(2) .
Märkus: täisarvude puhul vasakule ja murdude puhul paremale esinulle ei kirjutata.
Kahendarvu teisendamiseks tagasi kuueteistkümnendsüsteemiks peate jagama algse arvu koma vasakule ja paremale jäävateks tetradeks ning esindama iga rühma numbriga kuueteistkümnendsüsteemis. Äärmuslikud mittetäielikud kolmkõlad on täiendatud nullidega.
Näide: kirjutage arv 1111010.0111111(2) kuueteistkümnendsüsteemis.
Need, kes sooritavad ühtse riigieksami ja palju muud...
Kummaline, et koolide informaatikatundides näidatakse tavaliselt õpilastele kõige keerulisemat ja ebamugavamat viisi numbrite ühest süsteemist teise teisendamiseks. See meetod seisneb algse arvu järjestikuses jagamises alusega ja jagamise jääkide kogumises vastupidises järjekorras.
Näiteks peate teisendama arvu 810 10 binaarseks:
Kirjutame tulemuse vastupidises järjekorras alt üles. Selgub, 81010 = 11001010102
Kui teil on vaja teisendada üsna suured arvud kahendsüsteemi, võtab jaotusredel mitmekorruselise hoone suuruse. Ja kuidas koguda kokku kõik ühed ja nullid ning mitte ühtegi kahe silma vahele jätta?
Arvutiteaduse ühtse riigieksami programm sisaldab mitmeid ülesandeid, mis on seotud arvude teisendamisega ühest süsteemist teise. Tavaliselt on see teisendus kaheksand- ja kuueteistkümnendsüsteemi ning kahendsüsteemi vahel. Need on jaotised A1, B11. Kuid probleeme on ka teiste numbrisüsteemidega, näiteks jaotises B7.
Alustuseks meenutagem kahte tabelit, mida oleks hea peast teada neil, kes valivad oma tulevaseks erialaks arvutiteaduse.
Numbri 2 astmete tabel:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 | 2 7 | 2 8 | 2 9 | 2 10 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
Seda on lihtne saada, korrutades eelmise arvu 2-ga. Seega, kui te kõiki neid numbreid ei mäleta, ei ole ülejäänuid raske meelde tuletatud arvude hulgast saada.
Kahendarvude tabel 0 kuni 15 kuueteistkümnendsüsteemiga:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
Puuduvaid väärtusi on ka lihtne arvutada, lisades teadaolevatele väärtustele 1.
Täisarvu teisendamine
Niisiis, alustame otse kahendsüsteemi teisendamisest. Võtame sama numbri 810 10. Peame selle arvu jagama kahe astmega võrdseteks osadeks.
- Otsime kahe võimsust, mis on 810-le kõige lähemal ja ei ületa seda. See on 2 9 = 512.
- Lahutage 810-st 512, saame 298.
- Korrake samme 1 ja 2, kuni 1-sid ega 0-sid pole enam järel.
- Saime selle järgmiselt: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1.
1. meetod: Järjesta 1 vastavalt terminite näitajate järjestusele. Meie näites on need 9, 8, 5, 3 ja 1. Ülejäänud kohad sisaldavad nulle. Nii saime arvu 810 10 = 1100101010 2 binaarse esituse. Üksused on paigutatud 9., 8., 5., 3. ja 1. kohale, lugedes paremalt vasakule nullist.
2. meetod: Kirjutame terminid kahe astmetena üksteise alla, alustades suurimast.
810 =
Nüüd liidame need toimingud kokku, nagu ventilaatori kokku voltimine: 1100101010.
See on kõik. Samal ajal on lihtsalt lahendatud ka probleem "mitu ühikut on arvu 810 binaarses esituses?".
Vastus on sama palju, kui selles esituses on termineid (kahe astmeid). 810-l on neid 5.
Nüüd on näide lihtsam.
Teisendame arvu 63 5-kordseks arvusüsteemiks. Lähim võimsus 5 kuni 63 on 25 (ruut 5). Kuubik (125) on juba palju. See tähendab, et 63 asub ruudu 5 ja kuubi vahel. Seejärel valime koefitsiendi 5 2 jaoks. See on 2.
Saame 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5.
Ja lõpuks, väga lihtsad tõlked 8 ja kuueteistkümnendsüsteemi vahel. Kuna nende baas on kahe astmega, toimub tõlge automaatselt, lihtsalt asendades numbrid nende kahendarvuga. Kaheksandsüsteemis asendatakse iga number kolme kahendnumbriga ja kuueteistkümnendsüsteemis neljaga. Sel juhul on nõutavad kõik eesmised nullid, välja arvatud kõige olulisem number.
Teisendame arvu 547 8 kahendarvuks.
| 547 8 = | 101 | 100 | 111 |
| 5 | 4 | 7 |
Veel üks, näiteks 7D6A 16.
| 7D6A 16 = | (0)111 | 1101 | 0110 | 1010 |
| 7 | D | 6 | A |
Teisendame arvu 7368 kuueteistkümnendsüsteemiks. Esmalt kirjutame numbrid kolmikutena ja jagame need lõpust neljakordseteks: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16. Teisendame arvu C25 16 kaheksandsüsteemiks. Esmalt kirjutame numbrid neljaks ja jagame need siis lõpust kolmeks: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8. Vaatame nüüd kümnendarvuks tagasi teisendamist. See pole keeruline, peamine on mitte teha arvutustes vigu. Laiendame arvu polünoomiks koos aluse astmete ja nende koefitsientidega. Seejärel korrutame ja lisame kõik. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 = 7 * 8 2 + 3 * 8 + 2 = 474 .
Negatiivsete arvude teisendamine
Siin tuleb arvestada sellega, et number esitatakse kahe täiendkoodis. Arvu teisendamiseks lisakoodiks peate teadma numbri lõplikku suurust, see tähendab, millesse me tahame selle mahutada - baidis, kahes baidis, neljas. Arvu kõige olulisem number tähendab märki. Kui on 0, siis on arv positiivne, kui 1, siis negatiivne. Vasakul on numbrit täiendatud märginumbriga. Me ei käsitle märgita numbreid, need on alati positiivsed ja nende kõige olulisemat bitti kasutatakse teabena.
Negatiivse arvu teisendamiseks binaarseks täiendiks peate teisendama positiivse arvu kahendarvuks, seejärel muutma nullid ühtedeks ja ühed nullideks. Seejärel lisage tulemusele 1.
Niisiis, teisendame arvu -79 kahendsüsteemiks. Number võtab meilt ühe baidi.
Teisendame 79 kahendsüsteemiks, 79 = 1001111. Lisame baidi suurusele vasakul olevad nullid, 8 bitti, saame 01001111. Muudame 1 väärtuseks 0 ja 0 väärtuseks 1. Saame 10110000. Lisame 1 tulemuseks saame vastuseks 10110001. Teel vastame ühtse riigieksami küsimusele "mitu ühikut on arvu -79 binaarses esituses?" Vastus on 4.
Arvu pöördväärtusele 1 lisamine kõrvaldab erinevuse esituste +0 = 00000000 ja -0 = 11111111 vahel. Kahe komplementkoodis kirjutatakse need samamoodi kui 00000000.
Murdarvude teisendamine
Murdarvud teisendatakse vastupidisel viisil, jagades täisarvud alusega, mida vaatasime kohe alguses. See tähendab, et kasutatakse järjestikust korrutamist uue alusega koos tervete osade kogumisega. Korrutamise käigus saadud täisarvud kogutakse, kuid ei osale järgmistes operatsioonides. Korrutatakse ainult murde. Kui algne arv on suurem kui 1, tõlgitakse täis- ja murdosa eraldi ja liimitakse seejärel kokku.
Teisendame arvu 0,6752 kahendsüsteemiks.
| 0 | ,6752 |
| *2 | |
| 1 | ,3504 |
| *2 | |
| 0 | ,7008 |
| *2 | |
| 1 | ,4016 |
| *2 | |
| 0 | ,8032 |
| *2 | |
| 1 | ,6064 |
| *2 | |
| 1 | ,2128 |
Protsessi võib jätkata kaua, kuni saame murdosasse kõik nullid või saavutatakse vajalik täpsus. Peatume praegu 6. märgi juures.
Selgub, et 0,6752 = 0,101011.
Kui number oli 5,6752, siis kahendkoodina on see 101,101011.
1. Järjekordade loendamine erinevates arvusüsteemides.
Kaasaegses elus kasutame positsioonilisi arvusüsteeme, see tähendab süsteeme, milles numbriga tähistatav arv sõltub numbri asukohast numbri tähistuses. Seetõttu räägime edaspidi ainult neist, jättes välja termini "positsiooniline".
Et õppida, kuidas arve ühest süsteemist teise teisendada, mõistame kümnendsüsteemi näitel, kuidas toimub arvude järjestikune salvestamine.
Kuna meil on kümnendarvusüsteem, on meil arvude koostamiseks 10 sümbolit (numbrit). Hakkame lugema: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Numbrid on läbi. Suurendame arvu bitisügavust ja lähtestame vähima tähendusega numbri: 10. Seejärel suurendame uuesti madalat numbrit, kuni kõik numbrid on kadunud: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. suurendame kõrget numbrit 1 võrra ja lähtestame madala numbri: 20. Kui kasutame mõlema numbri jaoks kõiki numbreid (saame numbri 99), suurendame uuesti numbri numbrimahtu ja lähtestame olemasolevad numbrid: 100. Ja nii sisse.
Proovime sama teha 2., 3. ja 5. süsteemis (võtame kasutusele tähistus 2. süsteemi, 3. jne jaoks):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Kui numbrisüsteemi alus on suurem kui 10, peame sisestama lisamärke, on tavaks sisestada ladina tähestiku tähed. Näiteks 12-kohalise süsteemi jaoks vajame lisaks kümnele numbrile kahte tähte ( ja ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Teisendamine kümnendarvusüsteemist mis tahes teiseks.
Positiivse täisarvu kümnendarvu teisendamiseks erineva alusega arvusüsteemiks peate selle arvu baasiga jagama. Jagage saadud jagatis uuesti alusega ja edasi, kuni jagatis on alusest väiksem. Selle tulemusena kirjutage ühele reale viimane jagatis ja kõik jäägid, alustades viimasest.
Näide 1. Teisendame kümnendarvu 46 kahendarvusüsteemiks.
Näide 2. Teisendame kümnendarvu 672 kaheksandsüsteemiks.
Näide 3. Teisendame kümnendarvu 934 kuueteistkümnendsüsteemiks.
3. Suvalise arvusüsteemi teisendamine kümnendarvuks.
Et õppida, kuidas teisendada numbreid mis tahes muust süsteemist kümnendarvuks, analüüsime tavalist kümnendarvu tähistust.
Näiteks kümnendarvuks 325 on 5 ühikut, 2 kümnendikku ja 3 sadu, s.o.
Täpselt sama olukord on ka teistes arvusüsteemides, ainult et me korrutame mitte 10, 100 vms, vaid arvusüsteemi aluse astmetega. Võtame näiteks numbri 1201 kolmendarvusüsteemis. Nummerdame numbrid paremalt vasakule alustades nullist ja kujutleme oma arvu numbri ja kolme korrutiste summana arvu numbri astme võrra:
See on meie arvu kümnendmärk, st.
Näide 4. Teisendame kaheksandarvu 511 kümnendarvude süsteemiks.
Näide 5. Teisendame kuueteistkümnendarvu 1151 kümnendsüsteemiks.
4. Teisendamine kahendsüsteemist süsteemi, mille baas on "kahe võimsus" (4, 8, 16 jne).
Kahendarvu teisendamiseks kahe aluse astmega arvuks on vaja binaarjada jagada rühmadesse vastavalt numbrite arvule, mis on võrdne astmega paremalt vasakule ja asendada iga rühm uue numbri vastava numbriga. numbrisüsteem.
Näiteks teisendame kahendarvu 1100001111010110 kaheksandsüsteemiks. Selleks jagame selle 3 märgist koosnevateks rühmadeks, alustades paremalt (alates ), seejärel kasutame vastavustabelit ja asendame iga rühma uue numbriga:
Õppisime 1. sammus vastavustabeli koostamist.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Need.
Näide 6. Teisendame kahendarvu 1100001111010110 kuueteistkümnendsüsteemiks.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Teisendamine süsteemist, mille võimsus on kaks (4, 8, 16 jne) binaarseks.
See tõlge on sarnane eelmisele, tehtud vastupidises suunas: asendame iga numbri kahendsüsteemi numbrirühmaga vastavustabelist.
Näide 7. Teisendame kuueteistkümnendsüsteemi arvu C3A6 kahendarvusüsteemiks.
Selleks asendage iga numbri number vastavustabelist 4-kohalise rühmaga (alates ), täiendades rühma alguses vajadusel nullidega:
