1. Põhimõisted
1.1. Mudel dünaamiline programmeerimine
1.2. Optimaalsuse põhimõte. Bellmani võrrand
2. Optimaalne ressursside jaotus
2.1 Probleemi püstitus
2.2 Kahemõõtmeline ressursside jaotamise mudel
2.3 Ressursi optimaalse jaotamise diskreetne dünaamiline mudel
2.4 Järelmõjude arvestamine ressursside optimaalse jaotamise probleemides
Järeldus
Kasutatud allikate loetelu
Lisa 1. Programmi loetelu optimaalse ressursside jaotamise probleemi lahendamiseks antud parameetrid. Programmi tulemused
Sissejuhatus
Läbi ajaloo on inimesed otsuste tegemisel kasutanud keerulisi rituaale. Nad pidasid pidulikke tseremooniaid, ohverdasid loomi, ennustasid tähti ja jälgisid lindude lendu. Nad tuginesid rahvapärasele ebausule ja püüdsid järgida primitiivseid reegleid, mis muutsid nende jaoks raske otsustamise lihtsamaks. Praegu kasutatakse otsuste langetamiseks uut ja ilmselt teaduslikumat “rituaali”, mis põhineb elektroonilise arvuti kasutamisel. Ilma tänapäevasteta tehnilisi vahendeid Inimmõistus ei suuda ilmselt arvestada paljude ja erinevate teguritega, millega äri ajamisel, raketi disainimisel või liikluse reguleerimisel kokku puututakse. Praegu on neid palju matemaatilised meetodid optimeerimised on juba üsna arenenud, mis võimaldab tõhusalt kasutada digitaalse ja hübriidi võimalusi arvutid. Üks neist meetoditest on matemaatiline programmeerimine, mis hõlmab mõlemat erijuhtum dünaamiline programmeerimine.
Enamus praktilisi probleeme on mitu (ja mõned võib-olla isegi lõpmatu arv) lahendusi. Optimeerimise eesmärk on leida parim lahendus mõne tõhususe või kvaliteedi kriteeriumi järgi potentsiaalselt võimalike seas. Probleem, mis võimaldab ainult ühte lahendust, ei vaja optimeerimist. Optimeerimist saab saavutada paljude strateegiate abil, alates väga keerukatest analüütilistest ja numbrilistest matemaatilistest protseduuridest kuni lihtsa aritmeetika intelligentse kasutamiseni.
Dünaamiline programmeerimine on optimeerimismeetod, mis on kohandatud operatsioonidele, mille puhul saab otsustusprotsessi jagada eraldi etappideks (sammudeks). Selliseid toiminguid nimetatakse mitmeastmeline.
Matemaatilise programmeerimise haruna hakkas dünaamiline programmeerimine (DP) arenema 20. sajandi 50. aastatel. tänu R. Bellmani ja tema kaaslaste tööle. Esmakordselt lahendati selle meetodiga optimaalse laohalduse probleemid, seejärel laienes oluliselt probleemide klass. Kuidas praktiline meetod optimeerimisel sai dünaamiline programmeerimismeetod võimalikuks alles kaasaegse arvutitehnoloogia kasutamisega.
Dünaamiline programmeerimismeetod põhineb Bellmani sõnastatud optimaalsuse põhimõttel. See kaasamise põhimõte ja idee konkreetne ülesanne optimeerimised sarnaste mitmeastmeliste probleemide perekonda viivad optimaalse väärtuse osas korduvate seosteni - funktsionaalvõrrandideni objektiivne funktsioon. Nende lahendus võimaldab meil pidevalt saavutada optimaalset kontrolli algne probleem optimeerimine.
1. Põhimõisted
1.1 Dünaamiline programmeerimismudel
Anname üldine kirjeldus dünaamilised programmeerimismudelid.
Kaalumisel kontrollitud süsteem, mis kontrolli mõjul liigub algseisundist
lõppseisundisse. Oletame, et süsteemihaldusprotsessi saab jagada järgmisteks osadeks n sammud. Olgu , ,… süsteemi olekud pärast esimest, teist,..., n-samm. See on skemaatiliselt näidatud joonisel fig. 1.
Joonis 1
osariik
süsteemid pärast kth samm ( k = 1,2 …,n) iseloomustavad parameetrid , ,…, mida nimetatakse faasi koordinaadid. Olekut saab esitada punktiga s-mõõtmelises ruumis, mida nimetatakse faasiruum. Süsteemi järjepidev ümberkujundamine (samm-sammult) saavutatakse teatud tegevuste , ,… abil, mis moodustavad süsteemihalduse
, kus on juhtseade sees k-samm, süsteemi ülekandmine olekust olekusse (joonis 1). Juhtimine sisse lülitatud k Kolmas samm on teatud juhtmuutujate väärtuste valimine. Eeldame edaspidi, et süsteemi olek lõpus kth samm sõltub ainult süsteemi eelmisest olekust
ja juhtimine edasi see samm(joonis 1). Seda omadust nimetatakse ei mingit järelmõju. Tähistame seda sõltuvust vormis
, (1.1)
Nimetatakse võrrandeid (1.1). olekute võrrandid. Funktsioonid
eeldame, et antud.Muutuv kontroll U , saame protsessi erinevad "efektiivsused", mida hindame kvantitatiivselt sihtfunktsiooni abil Z , olenevalt süsteemi algseisundist
ja valitud juhtelemendist U : . (1.2)Jõudlusnäitaja kth kontrolliprotsessi etapp, mis sõltub olekust
selle etapi ja selles etapis valitud juhtelemendi alguses tähistame vaadeldava samm-sammulise optimeerimise probleemiga sihtfunktsioon (1.2) peab olema aditiivne, s.t.
. (1.3)
Kui sihtfunktsiooni Z liitvusomadus ei ole täidetud, on seda mõnikord võimalik saavutada funktsiooni mõne teisendusega. Näiteks kui Z on korduvfunktsioon, mis on antud kui
, siis võime vaadelda funktsiooni, mis on aditiivne. Tavaliselt kontrollitakse protsessi tingimusi igas etapis
kehtivad mõned piirangud. Juhtelemendid, mis vastavad neile piirangutele nimetatakse vastuvõetavaks .Samm-sammult optimeerimise probleemi saab sõnastada järgmiselt: määrake teostatavate juhtelementide kogum
Maksimaalse kogukasumi saamiseks tuleb vaadeldaval perioodil (kuu, kvartal, poolaasta, aasta jne) jooksvateks tegevusteks jaotada teatud hulk ressursse s 0. Ressursiinvesteeringute suurus x i (;) iga majandusüksuse tegevuses on teatud väärtuse h kordne. Teatavasti teenib iga majandusüksus olenevalt vaadeldaval perioodil kasutatud vahendite mahust x i f i (x i) kasumit (ei sõltu ressursside investeeringust teistesse majandusüksustesse).
Kujutagem ette ressursside jaotamise protsessi äriüksuste vahel n-astmelise juhtimisprotsessina (sammu number ühtib äriüksuse tingimusliku numbriga). Olgu s k () olekuparameeter, st. vabade vahendite summa pärast k-ndat etappi ülejäänud (n - k) majandusüksuste vahel jaotamiseks. Seejärel saab olekuvõrrandid kirjutada järgmisel kujul:
Võtame arvesse funktsiooni - k-ndalt, (k+1) - ndalt, ..., n-ndalt majandusüksustelt saadud tinglikult optimaalne kogukasum, kui ressursse summas s k-1 () olid nende vahel optimaalselt jaotatud. Paljud võimalikud juhtimisotsused jaotatud ressursside suuruse suhtes k-ndas etapis võib esitada järgmiselt: .
Siis korduvad võrrandid R.E. Bellman (tagurpidi diagramm) näeb välja selline:
Näide. On teatud hulk ressursse s 0 =100, mis tuleb jaotada n=4 majandusüksuse vahel jooksvateks tegevusteks vaadeldaval perioodil (kuu), et saada maksimaalne kogukasum. Ressursiinvesteeringu suurus x i (;) iga majandusüksuse tegevusse on väärtuse h = 20 kordne ja määratakse vektoriga Q. On teada, et iga majandusüksus olenevalt kasutatud vahendite mahust x i vaadeldaval perioodil toob kasumit f i (x i) () (ei sõltu ressursside investeeringust teistesse majandusüksustesse):
On vaja kindlaks määrata, kui palju ressursse tuleks igale ettevõttele eraldada, et kogukasum oleks suurim.
Lahendus. Loome Bellmani korduvad võrrandid (pöördskeem):
Määrame tingimuslikud maksimumid vastavalt (13) arvutustulemused on toodud tabelis 1;
Tabel 1. Tingimuslike optimaalide arvutamine
|
22+20=42 |
|||||||||||
|
22+33=55 |
17+42=59 |
||||||||||
|
22+46=68 |
17+55=72 |
14+59=73 |
|||||||||
|
67+20=87 |
|||||||||||
Tingimusliku optimeerimise tulemuste põhjal määrame ressursside optimaalse jaotuse:
Seega on optimaalne ressursside jaotus:
mis annab suurimat kasumit 87 tavaühiku ulatuses. den. ühikut
Vastus: optimaalne ressursside jaotus: mis annab 87 tavaseadmest suurima kasumi. den. ühikut
Järeldus
Dünaamiline programmeerimine on matemaatilise programmeerimise valdkond, mis sisaldab tehnikate ja tööriistade komplekti optimaalse lahenduse leidmiseks, samuti süsteemi iga sammu optimeerimiseks ja juhtimisstrateegia väljatöötamiseks, st juhtimisprotsessi saab esitada kui mitmeastmeline protsess. Dünaamiline programmeerimine, kasutades samm-sammult planeerimist, võimaldab mitte ainult lihtsustada ülesande lahendamist, vaid ka lahendada neid probleeme, mille jaoks meetodeid ei saa rakendada matemaatiline analüüs. Lahenduse lihtsustamine saavutatakse uuritavate võimaluste olulise vähendamisega, kuna keeruka mitme muutujaga probleemi ühekordse lahendamise asemel hõlmab samm-sammuline planeerimismeetod suhteliselt lihtsate ülesannete mitmekordset lahendamist. Samm-sammulise protsessi planeerimisel lähtume kogu protsessi kui terviku huvidest, s.t. Konkreetses etapis otsuse langetamisel tuleb alati silmas pidada lõppeesmärki. Dünaamilisel programmeerimisel on aga ka omad miinused. Erinevalt lineaarne programmeerimine, milles simpleks meetod on universaalne, dünaamilises programmeerimises sellist meetodit pole. Igal ülesandel on omad raskused ning igal juhul tuleb leida sobivaim lahendusviis. Dünaamilise programmeerimise miinuseks on ka mitmemõõtmeliste ülesannete lahendamise keerukus. Dünaamilise programmeerimise probleem peab vastama kahele tingimusele. Esimest tingimust nimetatakse tavaliselt järelmõju puudumise tingimuseks ja teiseks probleemi objektiivse funktsiooni aditiivsuse tingimuseks. Praktikas esineb planeerimisprobleeme, mille puhul mängivad olulist rolli juhuslikud tegurid, mis mõjutavad nii süsteemi olekut kui ka võimendust. Deterministlikel ja stohhastilistel dünaamilistel programmeerimisprobleemidel on erinevus. Deterministlikus ülesandes on optimaalne juhtimine kordumatu ja on eelnevalt määratud kui karm programm tegevused. Stohhastilise ülesande puhul on optimaalne juhtimine juhuslik ja valitakse protsessi enda käigus, olenevalt juhuslikust olukorrast. Deterministlikus skeemis, mis läbib protsessi etapiviisiliselt lõpust alguseni, on igas etapis ka terve rida tingimuslikke optimaalseid juhtelemente, kuid kõigist nendest kontrollidest viidi lõpuks läbi ainult üks. Stohhastilise skeemi puhul see nii ei ole. Kõiki tingimuslikke optimaalseid juhtelemente saab tegelikult rakendada, kui juhusliku protsessi eelmine käik viib süsteemi vastavasse olekusse. Optimaalsuse printsiip on dünaamilise programmeerimise ülesannete samm-sammulise lahendamise aluseks. Tüüpilised esindajad majanduslikud ülesanded dünaamiline programmeerimine on nn tootmis- ja ladustamisprobleemid, kapitaliinvesteeringute jaotamise probleemid, tootmise ajastamise probleemid ja teised. Dünaamilisi programmeerimisülesandeid kasutatakse ettevõtte tegevuse planeerimisel, võttes arvesse toodete vajaduse muutumist ajas. Ressursside optimaalsel jaotamisel ettevõtete vahel suunas või ajas. Dünaamilise programmeerimise tunnuste ja selle raames formuleeritavate probleemide tüüpide kirjeldus peab tingimata olema väga üldine ja mõnevõrra ebamäärane, kuna seal on tohutult erinevaid erinevaid ülesandeid, sobitub dünaamilise programmeerimise skeemi. Ainult õppimine suur hulk näited annavad selge ülevaate dünaamilise programmeerimise struktuurist.
Oma hea töö esitamine teadmistebaasi on lihtne. Kasutage allolevat vormi
Üliõpilased, magistrandid, noored teadlased, kes kasutavad teadmistebaasi oma õpingutes ja töös, on teile väga tänulikud.
Postitatud http://www.allbest.ru/
Ressursi jaotamise probleem dünaamilise programmeerimismeetodi abil
Kolme ettevõtte A, B ja C tootmisvõimsuse laiendamiseks eraldatakse teatud arv ühikuid täiendavat elektrienergiat summas x 0 = 8 ühikut. Elektrit saab vabastada 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ja 8 ühikuna. Investeerides x i ühikut elektrit i-nda ettevõtte arendusse, saate ettevõttes tulu i ühikult. Neid on erinevaid valikuid x i k) täiendava elektrienergia eraldamine. Need toovad tulu i (k), k=1,n. Võimalikud valikud ettevõtete areng on toodud tabelis 1. Kõigi ettevõtete kogutulu peaks olema maksimaalne, st y=? y i (k)>max
Tabel 1. Ettevõtte arendamise võimalused
|
Variant k |
Ettevõte A |
Ettevõte B |
Ettevõte C |
||||
Matemaatiline lavastus ülesanded:
y=? juures i (k)> max
?X i (k)?x 0
Lahendus:
Käsitletava ülesande lahendamise protseduuri käsitlemist alustame viimasest (3 sammu) etapist (tabel 2), mille käigus suunatakse investeeringud ettevõttele C. Võrrandi lahenduseks otsitakse kolmanda etapi tingimuslikku optimaalset juhtimist.
g C (S 2) = max k f c , x C (k)? S 2 , k = 1, 2, 3, 4
Tabel 2. Tinglikult optimaalsed lahendused (3. samm)
|
osariik |
Kontrolli |
|||||||
Fondide investeerimisel on neli võimalust - neli astmelist juhtnuppu x C (1) = 0 ühikut, x C (2) = 1 ühikut, x C (3) = 2 ühikut, x C (4) = 3 ühikut. ja süsteemi S 2 üheksa teoreetiliselt võimalikku olekut, mis eelneb ettevõttele C vahendite eraldamisele - 3. etappi jaotamata investeeringute mahud: 0,1,2,3,4,5,6,7,8.
Oletame, et süsteem oli olekus S 2 =2. Siis on astmekontrolli x C (2) = 1 korral C (2) tulu 3 ühikut. (Tabel 3) ja astme juhtimine x C (3) = 2 on selle oleku jaoks optimaalne, andes tingimuslikult maksimaalse võimenduse g c (S 2) = 5. Kui süsteem oli olekus S 2 =3, siis on lubatud kõik astmelised juhtnupud: x C (1) = 0 ühikut, x C (2) = 1 ühik, x C (3) = 2 ühikut, x C (4) = 3 ühikut ja optimaalne juhtimine on x C (4) = 3, mis annab tingimuslikult maksimaalse võimenduse g c (S 2) = 6.
Tabel 3 dünaamilise programmeerimise investeeringute jaotus
Kõik täidetakse sarnaselt võimalikud olekud enne 3. etappi. Optimaalsed väärtused näitajad on tabelites paksus kirjas esile tõstetud.
Järgmisena vaadeldakse samamoodi teist etappi (tabel 4), mis seisneb investeeringute jaotamises ettevõttele A. Teises etapis saadakse kogukasum kolmandas ja teises etapis saadud võitude summana ja antakse suhte järgi:
g A (S 1) = max k f A + g c], x A (k)?S 1, k = 1, 2, 3, 4
Seega oleku S 1 =3 jaoks astmelise juhtimisega x A (2) = 1 saame:
g A (S 1) = max k f A + g c ]
Max k 4+g c =4+5=9, kus leiame tabelist 1 ja g c tabelist 3. Kõik olekud täidetakse sarnaselt.
Tabel 4. Tinglikult optimaalsed lahendused (samm 2)
|
osariik |
f A +g c |
Kontrolli |
||||||
Siin tekivad olukorrad, kus optimaalne lahendus ei ole ainuke. Seega on olekus S 1 = 3 astmelised juhtelemendid x A (2) = 1 ja x A (3) = 2, andes sama. võimendus g A (S 1)=9
Tabel 5. Tingimusteta optimaalsed lahendused (1. samm)
Esimeses etapis (tabel 5) - investeeringute jaotamine ettevõttele B - on süsteemis ainult üks eelnev olek, mis vastab algolekule S 0 =8. Tingimusteta optimaalse võimenduse määrab avaldis:
y * = g B (S 0) = max k (f A + g A) x in (k)?S 0 = x 0, k = 1,2,3,4,5
Tingimusteta optimaalsed juhtimisseadmed maksimaalne sissetulek võib olla erinev.
Skeem kõigi leidmiseks optimaalsed võimalused investeeringute jaotus ettevõtete vahel (tabel 6) on toodud joonisel 1.
Tabel 6. Investeeringute optimaalne jaotus.
Joonis 1. Investeeringute optimaalse jaotuse skeem ettevõtete vahel
Järeldus: olles kaalunud ressursside jaotamise probleemi dünaamilise programmeerimismeetodi abil, on välja toodud kaks võimalust ressursside optimaalseks jaotamiseks.
Postitatud saidile Allbest.ru
...Sarnased dokumendid
Üldised omadused Ja majandusnäitajad kolme uuritava ettevõtte tegevust. Tootmise planeerimise, samuti investeeringute jaotamise probleemi lahendamine lineaarse ja dünaamilise programmeerimise abil. Võrdlev analüüs tulemusi.
kursusetöö, lisatud 25.04.2015
Mitmeastmelised protsessid dünaamilised ülesanded. Optimaalsuse ja kordussuhete põhimõte. Dünaamiline programmeerimismeetod. Tootmise laiendamise ja tootmisprogrammi planeerimise vahendite optimaalse eraldamise probleemid.
kursusetöö, lisatud 30.12.2010
Dünaamilise programmeerimise meetod ja selle põhietapid. Optimaalne seadmete asendamise strateegia. Ettevõtete ehitus- ja tegevuskulude minimeerimine. Optimaalne ressursside jaotus ettevõttes STROYKROVLYA LLC ja investeeringud PKT Khimvoloknosse.
kursusetöö, lisatud 01.08.2015
Tootmise planeerimise matemaatiline mudel. Optimaalse plaani koostamine tootmistegevus ettevõtted, mis kasutavad lineaarset programmeerimismeetodit. Leidmine parim viis rahaliste vahendite jaotus planeerimisperioodil.
lõputöö, lisatud 08.07.2013
Transpordikulude arvutamine meetodil minimaalsed kulud. Tingliku optimaalse võrdsuse leidmine dünaamilise programmeerimise protsessis. Lineaaralgebraline Kolmogorovi võrrand koondatud süsteemi rikkevaba töö keskmise aja jaoks.
kursusetöö, lisatud 14.01.2011
Graafiline meetod tootmisprotsesside optimeerimise probleemi lahendamine. Simpleksalgoritmi rakendamine majanduslikult optimeeritud tootmisjuhtimise probleemi lahendamiseks. Dünaamiline programmeerimismeetod optimaalse teeprofiili valimiseks.
test, lisatud 15.10.2010
Optimaalne jaotusplaan sularaha ettevõtete vahel. Iga ettevõtte jaoks plaani väljatöötamine, millesse investeeringutasuvus on kõrgeim väärtus. Lineaarsete ja dünaamiliste programmeerimismeetodite kasutamine.
kursusetöö, lisatud 16.12.2013
Lineaarse programmeerimise ülesannete iseloomulikud tunnused. Tootmise planeerimise probleemi üldine sõnastus. Ehitus matemaatiline mudel ettevõtte ressursside jaotamine. Optimaalse lahenduse tundlikkusanalüüs. Jätkusuutlikkuse aruande koostamine.
esitlus, lisatud 12.02.2014
Optimaalse väärtpaberiportfelli leidmine. Probleemi lahendamise meetodite ülevaade. Matemaatilise mudeli konstrueerimine. Koonuse programmeerimise probleem. Algkapitali jaotusvektori sõltuvus ühest algparameetrist.
lõputöö, lisatud 11.02.2017
Dünaamiline programmeerimismudel. Optimaalsuse printsiip ja Bellmani võrrand. Arvutusliku dünaamilise programmeerimisskeemi modelleerimise ja koostamise protsessi kirjeldus. Ettevõtete ehitus- ja tegevuskulude minimeerimise probleem.
Dünaamiline programmeerimine (DP) on meetod optimaalsete lahenduste leidmiseks mitmeastmelise (mitmeetapilise) struktuuriga probleemidele.
Toome välja DP probleemi üldise sõnastuse. Vaadeldakse kontrollitud protsessi (vahendite jaotamine ettevõtete vahel, ressursside kasutamine mitme aasta jooksul jne). Juhtimise tulemusena viiakse süsteem (juhtimisobjekt) algolekust olekusse 
. Oletame, et kontrolli saab jaotada 
sammud. Igas etapis valitakse üks paljudest lubatavatest juhtelementidest 
, viies süsteemi üle ühte komplekti olekutest 
. Komplekti elemendid 
Ja 
määratakse konkreetse ülesande tingimustest. Süsteemi olekute jada saab kujutada olekugraafikuna, mis on näidatud joonisel fig. 3.1.
Igal sammul n efekt saavutatakse 
. Oletame, et kogumõju on igal etapil saavutatud mõjude summa. Seejärel sõnastatakse DP probleem järgmiselt: määrake selline lubatav kontroll 
, mis annab süsteemi osariigist üle 
olekus 
, mille juures eesmärk toimib 
võtab suurima (väikseima) väärtuse, s.t.
Ülesannete lahendamine DP-meetodiga toimub optimaalsuse põhimõtte alusel, mille sõnastas Ameerika teadlane R. Bellman: olenemata süsteemi seisukorrast mis tahes arvu sammude tulemusel, järgmisel etapil. on vaja valida juhtimine nii, et see koos optimaalne kontroll kõik järgnevad sammud viisid optimaalse võiduni kõigil ülejäänud etappidel, kaasa arvatud see.
Tähistame tähisega 
sihifunktsiooni tinglikult optimaalne väärtus intervallil alates sammust n kuni viimaseni 
-th samm kaasa arvatud, eeldusel, et enne n Kolmandas etapis oli süsteem ühes komplekti olekus 
, ja edasi n Kolmandal etapil valiti komplektist selline juhtseade 
, mis andis sihtfunktsioonile tingimuslikult optimaalse väärtuse, siis 
sihtfunktsiooni tingimuslikult optimaalne väärtus vahemikus ( n+1
) kuni 
-th samm kaasa arvatud.
Aktsepteeritud tähistuses saab Bellmani optimaalsusprintsiibi matemaatilisel kujul kirjutada järgmiselt
Võrdsust (3.1) nimetatakse dünaamilise programmeerimise peamiseks funktsionaalseks võrrandiks. Iga konkreetse probleemi jaoks on võrrandil eriline kuju.
DP-meetodi arvutusprotseduur jaguneb kaheks etapiks: tingimuslik ja tingimusteta optimeerimine.
Laval tingimuslik optimeerimine vastavalt funktsionaalsele võrrandile määratakse igas etapis kõigi võimalike olekute jaoks optimaalsed juhtelemendid, alates viimasest.
Laval tingimusteta optimeerimine samme arvestatakse alates esimesest. Alates algseisundist 
teada, valitakse komplektist optimaalne juhtimine 
. Valitud optimaalne juhtimine 
viib süsteemi väga spetsiifilisse olekusse 
. Tulenevalt sellest, et algseisund 
on teada teise etapi alguses, on võimalik valida optimaalne juhtimine teises etapis 
jne. Seega ehitatakse üles omavahel ühendatud tingimusteta optimeerimislahenduste ahel.
3.1. Ressursi optimaalse jaotamise probleem
Eraldagu ühistule teatud hulk materiaalseid vahendeid põhitootmise rekonstrueerimiseks ja kaasajastamiseks X. Saadaval N ettevõtted, mille vahel on vaja jaotada see ressurss. Tähistame tähisega 
kasum, mida eraldis rahvamajandusele toob j- ettevõte 
ressursiüksused. Eeldatakse, et kasumimarginaal sõltub nii eraldatud ressursi kogusest kui ka ettevõttest. Veelgi enam, ettevõtete saadavat kasumit mõõdetakse samades ühikutes ja ühingu kogukasum koosneb üksikute ettevõtete kasumist. Vaja leida optimaalne plaan ressursside jaotus ettevõtete vahel, mille puhul on ühingu kogukasum maksimaalne.
Käsilolevat ülesannet tuleb käsitleda mitmeastmelisena.
Tingimusliku optimeerimise etapis kaalume ühte (näiteks esimeses ettevõttes), kahes ettevõttes koos (esimeses ja teises), kolmes ettevõttes koos (esimeses, teises ja kolmandas) investeerimise efektiivsust. ) jne ja lõpuks üldse N ettevõtted koos. Ülesandeks on määrata funktsiooni suurim väärtus 
eeldusel, et 
.
Kasutame Bellmani kordumise seost (3.1), mis annab selle ülesande jaoks järgmised funktsionaalvõrrandid 
:
Siin on funktsioon 
määratleb maksimaalne kasum esimene ettevõte sellele eraldamisel x ressursiüksused, funktsioon 
määrab esimese ja teise ettevõtte maksimaalse kasumi nende jaotamisel koos x ressursiüksused, funktsioon 
määrab esimese, teise ja kolmanda ettevõtte maksimaalse kasumi nende jaotamisel koos x ressursiühikud jne ja lõpuks funktsioon 
määrab nende jaotamisel kõigi ettevõtete maksimaalse kasumi kokku x ressursiüksused.
Tingimusteta optimeerimise etapis määratakse optimaalne plaan ressursside jaotamiseks ettevõtete vahel.
Näide 3.1.
Suure nõudlusega toodete tootmismahu suurendamiseks eraldati tootmisliidu neljale ettevõttele 50 miljonit rubla. Igale ettevõttele saab eraldada: 0, 10, 20, 30, 40 või 50 miljonit rubla. Samal ajal iga ettevõtte toodangu aastane kasv 
olenevalt investeeringust on teada ja toodud tabelis. 3.1.
Tabel 3.1
|
Eraldatud vahendite maht x(miljonit rubla) |
Tootetoodangu aastane kasv (miljonit rubla), sõltuvalt eraldatud vahendite mahust |
|||
|
|
|
|
|
|
Leida optimaalne kava rahaliste vahendite jaotamiseks ettevõtete vahel, tagades tootmisliidu maksimaalse aastase tootmismahu kasvu.
Teenuse eesmärk. See teenus mõeldud investeeringute optimaalse jaotuse probleemi lahendamine V võrgurežiim. Arvutuste tulemused esitatakse aruandes Wordi vorming(vt kujundusnäidet).Seda tüüpi probleem põhineb Bellmani funktsioonil ja lahendatakse tagasipühkimise meetodil (vt Tüüpilised ülesanded). Võite kasutada ka teenuse otsekäitamise protseduuri.
Juhised. Valige ettevõtete arv ja ridade arv (efektiivsete investeerimisvõimaluste arv), klõpsake nuppu Edasi (vt Täitmise näide). Kui ettevõtete tulud ja saldod on antud funktsioonide f(x) ja g(x) kujul, lahendatakse probleem selle kalkulaatori kaudu.
Näide nr 1. Määrata optimaalne plaan kolme ettevõtte tootmise laiendamiseks, kui investeeringute puudumisel ja 1, 2, 3 või 4 miljoni suuruse investeeringu korral on teada nende aastakasum.
| f1 | f2 | f3 | x i |
| 40 | 30 | 35 | 0 |
| 90 | 110 | 95 | 1 |
| 395 | 385 | 270 | 2 |
| 440 | 470 | 630 | 3 |
| 620 | 740 | 700 | 4 |
I etapp. Tingimuslik optimeerimine.
1. samm. k = 3.
| e 2 | u 3 | e 3 = e 2 - u 3 | f 3 (u 3) | F* 3 (e 3) | u 3 (e 3) |
| 1 | 0 | 1 | 35 | ||
| 1 | 0 | 95 | 95 | 1 | |
| 2 | 0 | 2 | 35 | ||
| 1 | 1 | 95 | |||
| 2 | 0 | 270 | 270 | 2 | |
| 3 | 0 | 3 | 35 | ||
| 1 | 2 | 95 | |||
| 2 | 1 | 270 | |||
| 3 | 0 | 630 | 630 | 3 | |
| 4 | 0 | 4 | 35 | ||
| 1 | 3 | 95 | |||
| 2 | 2 | 270 | |||
| 3 | 1 | 630 | |||
| 4 | 0 | 700 | 700 | 4 |
2. samm. k = 2.
| e 1 | u 2 | e 2 = e 1 - u 2 | f 2 (u 2) | F*2 (e 1) | F 1 (u 2, e 1) | F*2 (e 2) | u 2 (e 2) |
| 1 | 0 | 1 | 30 | 95 | 125 | 125 | 0 |
| 1 | 0 | 110 | 0 | 110 | |||
| 2 | 0 | 2 | 30 | 270 | 300 | ||
| 1 | 1 | 110 | 95 | 205 | |||
| 2 | 0 | 385 | 0 | 385 | 385 | 2 | |
| 3 | 0 | 3 | 30 | 630 | 660 | 660 | 0 |
| 1 | 2 | 110 | 270 | 380 | |||
| 2 | 1 | 385 | 95 | 480 | |||
| 3 | 0 | 470 | 0 | 470 | |||
| 4 | 0 | 4 | 30 | 700 | 730 | ||
| 1 | 3 | 110 | 630 | 740 | 740 | 1 | |
| 2 | 2 | 385 | 270 | 655 | |||
| 3 | 1 | 470 | 95 | 565 | |||
| 4 | 0 | 740 | 0 | 740 |
3. samm. k = 1.
| e 0 | u 1 | e 1 = e 0 - u 1 | f 1 (u 1) | F*1 (e 0) | F 0 (u 1, e 0) | F*1 (e 1) | u 1 (e 1) |
| 1 | 0 | 1 | 40 | 125 | 165 | 165 | 0 |
| 1 | 0 | 90 | 0 | 90 | |||
| 2 | 0 | 2 | 40 | 385 | 425 | 425 | 0 |
| 1 | 1 | 90 | 125 | 215 | |||
| 2 | 0 | 395 | 0 | 395 | |||
| 3 | 0 | 3 | 40 | 660 | 700 | 700 | 0 |
| 1 | 2 | 90 | 385 | 475 | |||
| 2 | 1 | 395 | 125 | 520 | |||
| 3 | 0 | 440 | 0 | 440 | |||
| 4 | 0 | 4 | 40 | 740 | 780 | 780 | 0 |
| 1 | 3 | 90 | 660 | 750 | |||
| 2 | 2 | 395 | 385 | 780 | |||
| 3 | 1 | 440 | 125 | 565 | |||
| 4 | 0 | 620 | 0 | 620 |
Märkus: Veerud 1 (investeeritud vahendid), 2 (projekt) ja 3 (fondijääk) on kõigi kolme tabeli puhul samad, nii et need võiks ühiseks teha. Veerg 4 täidetakse tulufunktsioonide algandmete alusel, veerus 5 olevad väärtused on võetud eelmise tabeli veerust 7, veergu 6 täidetakse veergude 4 ja 5 väärtuste summa. (3. sammu tabelis puuduvad veerud 5 ja 6).
Veerg 7 kirjet maksimaalne väärtus eelmine veerg fikseeritud algoleku jaoks ja veerus 8 registreeritakse kontroll veerust 2, mille juures saavutatakse maksimum 7.
II etapp. Tingimusteta optimeerimine.
3. etapi tabelist saame F* 1 (e 0 = 4 miljonit rubla) = 780 tuhat rubla, see tähendab, et maksimaalne kasum investeeringust e 0 = 4 miljonit rubla. võrdne 780 tuhande rublaga.
Samast tabelist leiame, et esimesele ettevõttele tuleks eraldada u* 1 (e 0 = 4 miljonit rubla) = 0 miljonit rubla.
Sel juhul on rahaliste vahendite jääk: e 1 = e 0 - u 1, e 1 = 4 - 0 = 4 miljonit rubla.
2. etapi tabelist saame F* 2 (e 1 = 4 miljonit rubla) = 740 tuhat rubla, s.o. maksimaalne kasum e 1 juures = 4 miljonit rubla. võrdne 740 tuhande rublaga.
Samast tabelist leiame, et teisele ettevõttele tuleks eraldada u* 2 (e 1 = 4 miljonit rubla) = 1 miljon rubla.
Sel juhul on vahendite jääk: e 2 = e 1 - u 2, e 2 = 4 - 1 = 3 miljonit rubla.
Viimane ettevõte saab 3 miljonit rubla. Niisiis, investeering 4 miljonit rubla. tuleb jaotada järgmiselt: esimesele ettevõttele ei tohiks midagi eraldada, teisele ettevõttele tuleks eraldada 1 miljon rubla, kolmandale ettevõttele tuleks eraldada 3 miljonit rubla, mis tagab maksimaalse kasumi 780 tuhat rubla.
Näide nr 2. Seal on 4 ettevõtet, mille vahel on vaja jaotada 100 tuhat tavaühikut. ühikut rahalised vahendid. Ettevõtte toodangu suurenemise väärtused, sõltuvalt eraldatud vahenditest X, on esitatud tabelis. Koostage optimaalne vahendite eraldamise plaan, et maksimeerida üldist toodangu kasvu.
