Kus
on reaalarvud ja - eritegelane nimega kujuteldav ühik . Imaginaarse üksuse puhul eeldatakse definitsiooni järgi, et
.

(4.1) – algebraline vorm kompleksarv ja
helistas pärisosa kompleksarv ja
-kujuteldav osa .

Number
helistas kompleksne konjugaat numbrile
.

Olgu antud kaks kompleksarvu
,
.

1. Summa
kompleksarvud Ja nimetatakse kompleksarvuks

2. Erinevuse järgi
kompleksarvud Ja nimetatakse kompleksarvuks

3. Töö
kompleksarvud Ja nimetatakse kompleksarvuks

4. Privaatne kompleksarvu jagamisest kompleksarvuks
nimetatakse kompleksarvuks

.

Märkus 4.1. See tähendab, et kompleksarvude toimingud viiakse sisse vastavalt algebra sõnasõnaliste avaldiste aritmeetiliste toimingute tavapärastele reeglitele.

Näide 4.1. On antud kompleksarvud. Otsi

.

Lahendus. 1) .

4) Korrutades lugeja ja nimetaja nimetaja kompleksse konjugaadiga, saame

Trigonomeetriline vorm kompleksarv:

Kus
- kompleksarvu moodul,
on kompleksarvu argument. Nurk ei ole üheselt määratletud, kuni tähtajani
:

,
.

- argumendi põhiväärtus, mille määrab tingimus

, (või
).

Demonstratiivne vorm kompleksarv:

.

Juur
arvu aste Sellel on erinevad väärtused, mis leitakse valemiga

,

Kus
.

Väärtustele vastavad punktid
, on õige tipud
raadiusega ringi sisse kirjutatud ruut
mille keskpunkt on lähtepunktis.

Näide 4.2. Otsige üles kõik juurväärtused
.

Lahendus. Kujutagem ette kompleksarvu
trigonomeetrilisel kujul:

,

, kus
.

Siis
. Seetõttu vastavalt valemile (4.2)
sellel on neli tähendust:

,
.

Uskudes
, leiame

,
,

, .

Siin teisendasime argumendi väärtused selle põhiväärtuseks.

Lavastab komplekstasandil

Kompleksnumber
kujutatud lennukil
punkt
koordinaatidega
. Moodul
ja argument
vastavad punkti polaarkoordinaatidele
.

Kasulik on seda ebavõrdsust meeles pidada
määrab ringi, mille keskpunkt on punktis raadius . Ebavõrdsus
määratleb pooltasandi, mis asub sirgjoonest paremal
ja ebavõrdsus
- pooltasand, mis asub sirgjoone kohal
. Lisaks ebavõrdsuse süsteem
määrab kiirte vahelise nurga
Ja
lähtuvad päritolust.

Näide 4.3. Joonistage ebavõrdsusega määratletud ala:
.

Lahendus. Esimene võrratus vastab rõngale, mille keskpunkt on punktis
ja kaks raadiust 1 ja 2, siis ringid ala hulka ei arvata (joonis 4.1).

Teine ebavõrdsus vastab kiirtevahelisele nurgale
(4. koordinaatnurga poolitaja) ja
(positiivse telje suund
). Kiired ise piirkonda ei satu (joonis 4.2).

Soovitud ala on kahe saadud ala ristumiskoht (joonis 4.3).

4.2. Kompleksmuutuja funktsioonid

Olgu ühe väärtusega funktsioon
määratletud ja pidev
, A - tükkhaaval sile suletud või mittesuletud orienteeritud kõver, mis asub sisse
. Las, nagu tavaliselt,
,, Kus
,
- muutujate tegelikud funktsioonid Ja .

Funktsiooni integraali arvutamine
kompleksne muutuja taandub tavaliste kõverjooneliste integraalide arvutamisele, nimelt

.

Kui funktsioon
analüütiline lihtsalt ühendatud domeenis
, mis sisaldab punkte Ja , siis kehtib Newtoni-Leibnizi valem:

,

Kus
- funktsiooni jaoks mõni antiderivaat
, see on
piirkonnas
.

Kompleksmuutuja funktsioonide integraalides saab muutujat muuta ja osade kaupa integreerimine on sarnane sellele, kuidas seda tehakse reaalmuutuja funktsioonide integraalide arvutamisel.

Pange tähele ka seda, et kui integratsioonitee on osa punktist lähtuvast sirgest , või ringi osa, mille keskpunkt on punkt , siis on kasulik teha vormi muutuv asendus
. Esimesel juhul
, A - reaalne integratsioonimuutuja; teisel juhul
, A - tõeline integratsioonimuutuja.

Näide 4.4. Arvutama
parabooli järgi
punktist
asja juurde
(Joonis 4.4).

Lahendus. Kirjutame integrandi vormis ümber Siis , . Kasutame valemit (4.3): Sest , See , . Sellepärast

Näide 4.5. Arvuta integraal
, Kus - ringi kaar
,
(joonis 4.5) .

Lahendus.Ütleme , Siis , , . Saame:

Funktsioon
, ühe väärtusega ja analüütiline ringis
, laguneb selles ringis Laurent sari

Valemis (4.5) seeria
helistas põhiosa Laurenti sari ja seeria
helistas õige osa Laurent sari.

Definitsioon 4.1. Punkt helistasisoleeritud ainsuse punkt funktsioonid
, kui selle punkti naabruses on funktsioon
analüütiline kõikjal peale punkti enda .

Funktsioon
punkti läheduses saab laiendada Laurenti seeriaks. Sel juhul on Laurenti seeria puhul võimalik kolm erinevat juhtumit:

1) ei sisalda termineid, millel on negatiivsed erinevused
, see on

(Laurendi sari ei sisalda põhiosa). Sel juhul helistas eemaldatav ainsuse punkt funktsioonid
;

2) sisaldab lõplikku arvu negatiivsete erinevusastmetega termineid
, see on

,

ja
. Antud juhul punkt helistas korrapoolus funktsioonid
;

3) sisaldab lõpmatu arvu negatiivsete võimsustega termineid:

.

Antud juhul punkt helistas sisuliselt ainsuse punkt funktsioonid
.

Eraldatud ainsuse punkti iseloomu määramisel ei ole vaja otsida Laurent'i seeria laiendust. Saate kasutada eraldatud ainsuse punktide erinevaid omadusi.

1) on funktsiooni eemaldatav ainsuse punkt
, kui funktsioonil on piiratud piir
punktis :

.

2) on funktsiooni poolus
, Kui

.

3) on funktsiooni sisuliselt ainsuspunkt
, kui kl
funktsioonil pole piirangut, ei lõplikku ega lõpmatut.

Definitsioon 4.2. Punkt helistasnull
esimene tellimus (või paljusus ) funktsioonid
, kui on täidetud järgmised tingimused:

…,

.

Märkus 4.2. Punkt siis ja ainult siis, kui on null
esimene tellimus funktsioonid
, kui selle punkti mõnes naabruses kehtib võrdsus

,

kus on funktsioon
analüütiline teatud punktis Ja

4) punkt on korra poolus (
) funktsioonid
, kui selle punkti väärtus on null funktsiooni jaoks
.

5) lase - funktsiooni isoleeritud ainsuse punkt
, Kus
- analüütilised funktsioonid punktis . Ja olgu asja mõte on null järku funktsioonid
ja null järku funktsioonid
.

Kell
punkt on korra poolus
funktsioonid
.

Kell
punkt on funktsiooni eemaldatav ainsuse punkt
.

Näide 4.6. Leidke funktsiooni jaoks eraldatud punktid ja määrake nende tüüp
.

Lahendus. Funktsioonid
Ja
- analüütiline kogu komplekstasandil. See tähendab, et funktsiooni ainsuse punktid
on nimetaja nullid, st punktid, kus
. Selliseid punkte on lõpmatult palju. Esiteks on see asja mõte
, samuti võrrandit rahuldavad punktid
. Siit
Ja
.

Mõelge punktile
. Sel hetkel saame:

,
,

,
.

Nulli järjekord on
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

Niisiis, punkt
on teist järku poolus (
).

. Siis

,
.

Nulli lugeja järjekord on
.

,
,
.

Nimetaja nulljärk on
. Seetõttu punktid
juures
on esimest järku poolused ( lihtsad postid ).

Teoreem 4.1. (Cauchy teoreem jääkide kohta ). Kui funktsioon
on analüütiline piiril piirkond
ja kõikjal piirkonnas, välja arvatud piiratud arv ainsuse punkte
, See

.

Integraalide arvutamisel tasub hoolikalt üles leida funktsiooni kõik ainsuse punktid
, siis joonista kontuur ja ainsuse punktid ning pärast seda vali ainult need punktid, mis jäävad integreerimiskontuuri sisse. Õige valiku tegemine ilma pildita on sageli keeruline.

Mahaarvamise arvutamise meetod
oleneb ainsuse punkti tüübist. Seetõttu peate enne jäägi arvutamist määrama ainsuse punkti tüübi.

1) funktsiooni jääk punktis võrdne Laurent'i laienemise esimese astme miinuskoefitsiendiga
punkti läheduses :

.

See väide kehtib igat tüüpi isoleeritud punktide kohta ja seetõttu ei ole sel juhul vaja määrata ainsuse punkti tüüpi.

2) eemaldatavas ainsuse punktis olev jääk on võrdne nulliga.

3) kui on lihtne poolus (esimest järku poolus) ja funktsioon
saab esitada kujul
, Kus
,
(pange tähele, et antud juhul
), siis on jääk punktis võrdub

.

Eelkõige siis, kui
, See
.

4) kui - Lihtne pool siis

5) kui - poolus
järjekorras funktsioon
, See

Näide 4.7. Arvuta integraal
.

Lahendus. Integrandi ainsuse punktide leidmine . Funktsioon on kaks ainsuse punkti Ja Ainult punkt langeb kontuuri sisse (joonis 4.6). Punkt - teist järku poolus, kuna on funktsiooni 2-kordse null .

Seejärel leiame valemi (4.7) abil jäägi sellest punktist:

Teoreemi 4.1 järgi leiame

Föderaalne Haridusagentuur

___________________________________

Peterburi osariik

Elektrotehnikaülikool "LETI"

_______________________________________

Kompleksmuutuja funktsioonide teooria

Juhised

praktilistesse tundidesse

kõrgemas matemaatikas

Peterburi

Kirjastus SPbSETU "LETI"

UDC 512.64(07)

TFKP: Metoodilised juhised probleemide lahendamiseks / koostanud: V.G. Djumin, N.N. Sosnovsky: Peterburi Riikliku Elektrotehnikaülikooli kirjastus, 2010. 32 lk.

Kinnitatud

Ülikooli toimetus- ja kirjastusnõukogu

juhistena

© SPbSETU "LETI", 2010

Kompleksmuutuja , funktsioonid erinevad üldjuhul reaaltasandi vastendustest
iseenesest ainult salvestuse vormis. Oluline ja äärmiselt kasulik objekt on keeruka muutuja funktsioonide klass,

millel on sama tuletis kui ühe muutuja funktsioonid. Teada on, et mitme muutuja funktsioonidel võivad olla osatuletised ja suunatuletised, kuid reeglina erisuunalised tuletised ei lange kokku ning tuletisest ei saa punktis rääkida. Kompleksmuutuja funktsioonide puhul on aga võimalik kirjeldada tingimusi, mille korral need võimaldavad eristada. Kompleksmuutuja diferentseeruvate funktsioonide omaduste uurimine on metoodiliste juhiste sisu. Juhiste eesmärk on näidata, kuidas selliste funktsioonide omadusi saab kasutada mitmesuguste probleemide lahendamiseks. Esitatud materjali edukas valdamine on võimatu ilma kompleksarvudega arvutamise elementaarsete oskusteta ja kõige lihtsamate geomeetriliste objektide tundmiseta, mis on määratletud kompleksarvu tegelikke ja kujuteldavaid osi ühendavate ebavõrdsuste, samuti selle mooduli ja argumendiga. Kogu selleks vajaliku teabe kokkuvõtte leiate juhendist.

Juhendi tekstis kasutatakse laialdaselt matemaatilise analüüsi standardaparaati: piirid, tuletised, integraalid, jadad. Kui nendel mõistetel on oma spetsiifika, siis võrdluses ühe muutuja funktsioonidega, antakse vastavad selgitused, kuid enamasti piisab reaal- ja imaginaarse osa eraldamisest ning reaalanalüüsi standardse aparatuuri rakendamisest.

1. Kompleksmuutuja elementaarfunktsioonid

Arutelu kompleksmuutuja funktsioonide diferentseeritavuse tingimuste üle on loomulik alustada sellest, millistel elementaarfunktsioonidel see omadus on. Ilmselgest seosest

Sellest järeldub, et iga polünoom on diferentseeritav. Ja kuna astmerida saab selle lähenemisringis termini kaupa eristada,

siis on mis tahes funktsioon diferentseeritav punktides, mille läheduses saab seda Taylori seerias laiendada. See on piisav tingimus, kuid nagu peagi selgub, on see ka vajalik. Funktsioonigraafiku käitumist jälgides on mugav toetada ühe muutuja funktsioonide uurimist nende tuletise suhtes. See pole kompleksse muutuja funktsioonide puhul võimalik. Graafiku punktid asuvad ruumis mõõtmega 4, .

Funktsiooni mõningase graafilise esituse saab siiski saada, kui võtta arvesse üsna lihtsate hulkade kujutisi komplekstasandil
, mis tekib antud funktsiooni mõjul. Näiteks vaatleme sellest vaatenurgast mitmeid lihtsaid funktsioone.

Lineaarne funktsioon

See lihtne funktsioon on väga oluline, kuna iga diferentseeritav funktsioon on lokaalselt sarnane lineaarsele. Vaatleme funktsiooni tegevust maksimaalselt üksikasjalikult

Siin
-- kompleksarvu moodul Ja -- tema argument. Seega teostab lineaarfunktsioon venitamist, pöörlemist ja translatsiooni. Seetõttu võtab lineaarne kaardistamine mis tahes hulga sarnaseks hulgaks. Eelkõige muutuvad sirged sirgjooned sirgjoonteks ja ringid ringideks lineaarse kaardistamise mõjul.

Funktsioon

See funktsioon on lineaarse järel kõige keerulisem. On raske eeldada, et see muudab mis tahes joone sirgeks ja ringist ringjooneks on lihtsad näited, et seda ei juhtu, kuid võib näidata, et see funktsioon muudab kõigi sirgete ja ringide hulga; ise. Selle kontrollimiseks on mugav minna kaardistamise tegeliku (koordinaatide) kirjelduse juurde

Tõestus eeldab pöördkaardistuse kirjeldust

Vaatleme võrrandit kui
, siis saame sirge üldvõrrandi. Kui
, See

Seetõttu, millal
saadakse suvalise ringi võrrand.

Pange tähele, et kui
Ja
, siis ring läbib alguspunkti. Kui
Ja
, siis saate lähtepunkti läbiva sirge.

Inversiooni toimel kirjutatakse vaadeldav võrrand kujul ümber

, (
)

või . Ja
vahetatud kohad, tähendab, et inversiooni ajal muutuvad 0-t läbivad sirged ringideks ja 0-t läbivad ringid sirgjoonteks.

Toitefunktsioonid

Peamine erinevus nende funktsioonide ja varem käsitletud funktsioonide vahel on see, et need ei ole üks-ühele (
). Võime öelda, et funktsioon
teisendab komplekstasandi sama tasandi kaheks koopiaks. Selle teema täpne käsitlemine eeldab Riemanni pindade kohmaka aparatuuri kasutamist ja väljub siin käsitletavate küsimuste ulatusest. Oluline on mõista, et komplekstasandit saab jagada sektoriteks, millest igaüks on üks-ühele kaardistatud komplekstasandile. See on funktsiooni jaotus
näeb välja selline. Näiteks ülemine pooltasand on funktsiooniga üks-ühele vastendatud komplekstasandile
. Selliste kujutiste geomeetrilisi moonutusi on raskem kirjeldada kui inversiooni korral. Harjutusena saate jälgida, milliseks muutub kuvamisel ülemise pooltasandi ristkülikukujuliste koordinaatide ruudustik

On näha, et ristkülikukujuliste koordinaatide võrk muundub paraboolide perekonnaks, mis moodustavad tasapinnal kõverjooneliste koordinaatide süsteemi
. Ülalkirjeldatud tasapinna jaotus on selline, et funktsioon
kuvab iga sektorid üle kogu tasapinna. Edasi- ja tagurpidi kaardistamise kirjeldus näeb välja selline

Seega funktsioon
Sellel on mitmesugused pöördfunktsioonid,

määratud tasapinna erinevates sektorites

Sellistel juhtudel peetakse kaardistamist mitmeleheliseks.

Žukovski funktsioon

Funktsioonil on oma nimi, kuna see pani aluse Žukovski loodud lennukitiiva teooriale (selle kujunduse kirjelduse leiate raamatust). Funktsioonil on mitmeid huvitavaid omadusi, keskendume neist ühele – uurige, millistel komplektidel see funktsioon üks-ühele toimib. Mõelge võrdsusele

, kus
.

Järelikult on Žukovski funktsioon üks-ühele igas domeenis, kus iga Ja nende toode ei ole võrdne ühega. Need on näiteks avatud üksuse ring
ja suletud ühikuringi täiend
.

Mõelge siis Žukovski funktsiooni toimimisele ringil

Eraldades reaalse ja imaginaarse osa, saame ellipsi parameetrilise võrrandi

,
.

Kui
, siis täidavad need ellipsid kogu tasapinna. Sarnaselt saab kontrollida, et segmentide kujutised on hüperboolid

.

Eksponentfunktsioon

Funktsiooni saab laiendada astmeseeriaks, mis on kogu komplekstasandil absoluutselt konvergentne, seetõttu on see igal pool diferentseeritav. Kirjeldame komplekte, millel funktsioon on üks-ühele. Ilmselge võrdsus
näitab, et tasapinna saab jagada ribade perekonnaks, millest igaüks on funktsiooniga üks-ühele kaardistatud kogu komplekstasandile. See partitsioon on oluline, et mõista, kuidas pöördfunktsioon või täpsemalt pöördfunktsioonid töötavad. Igal triibul on loomulikult määratletud pöördkaardistus

Ka pöördfunktsioon on sel juhul mitmevalentne ja pöördfunktsioonide arv on lõpmatu.

Kaardistuse geomeetriline kirjeldus on üsna lihtne: sirgjooned
muutuda kiirteks
, segmendid

muutuda ringideks
.

Kompleksmuutuja funktsioonid.
Kompleksmuutuja funktsioonide eristamine.

See artikkel avab õppetundide seeria, milles käsitlen tüüpilisi probleeme, mis on seotud keeruka muutuja funktsioonide teooriaga. Näidete edukaks valdamiseks peavad teil olema põhiteadmised kompleksarvude kohta. Materjali koondamiseks ja kordamiseks külastage lihtsalt lehte. Leidmiseks on vaja ka oskusi teist järku osatuletised. Siin nad on, need osatuletised... isegi nüüd olin veidi üllatunud, kui sageli neid esineb...

Teema, mida hakkame uurima, ei tekita erilisi raskusi ja keerulise muutuja funktsioonides on põhimõtteliselt kõik selge ja juurdepääsetav. Peaasi on kinni pidada põhireeglist, mille tuletasin eksperimentaalselt. Loe edasi!

Kompleksmuutuja funktsiooni mõiste

Esmalt värskendame oma teadmisi ühe muutuja koolifunktsiooni kohta:

Ühe muutuja funktsioon on reegel, mille kohaselt iga sõltumatu muutuja väärtus (definitsioonipiirkonnast) vastab funktsiooni ühele ja ainult ühele väärtusele. Loomulikult on “x” ja “y” reaalarvud.

Keerulisel juhul määratakse funktsionaalne sõltuvus sarnaselt:

Kompleksmuutuja üheväärtuslik funktsioon- see on reegel, mille järgi kõik kõikehõlmav sõltumatu muutuja väärtus (definitsioonipiirkonnast) vastab ühele ja ainult ühele kõikehõlmav funktsiooni väärtus. Teoorias võetakse arvesse ka mitme väärtusega ja mõnda muud tüüpi funktsioone, kuid lihtsuse huvides keskendun ühele definitsioonile.

Mis vahe on keeruka muutujafunktsiooni vahel?

Peamine erinevus: kompleksarvud. Ma ei ironiseeri. Sellised küsimused jätavad inimesed sageli uimaseks. Artikli lõpus räägin teile naljaka loo. Õppetunnis Keerulised numbrid mannekeenide jaoks käsitlesime kompleksarvu kujul . Nüüdsest on täht "z" muutunud muutuv, siis tähistame seda järgmiselt: , samas kui “x” ja “y” võivad olla erinevad kehtiv tähendusi. Jämedalt öeldes sõltub kompleksmuutuja funktsioon muutujatest ja , mis omandavad “tavalised” väärtused. Sellest faktist tuleneb loogiliselt järgmine punkt:

Kompleksmuutuja funktsiooni saab kirjutada järgmiselt:
, kus ja on kahe kaks funktsiooni kehtiv muutujad.

Funktsiooni kutsutakse pärisosa funktsioonid
Funktsiooni kutsutakse kujuteldav osa funktsioonid

See tähendab, et kompleksmuutuja funktsioon sõltub kahest reaalfunktsioonist ja . Et kõike lõpuks selgitada, vaatame praktilisi näiteid:

Näide 1

Lahendus: Sõltumatu muutuja “zet”, nagu mäletate, on kirjutatud kujul , seega:

(1) Asendasime .

(2) Esimese liikme puhul kasutati lühendatud korrutamisvalemit. Terminis on sulud avatud.

(3) Hoolikalt ruudukujuline, seda unustamata

(4) Tingimuste ümberpaigutamine: kõigepealt kirjutame terminid ümber , milles pole kujuteldavat ühikut(esimene rühm), seejärel terminid, kus need on (teine ​​rühm). Tuleb märkida, et terminite segamine ei ole vajalik ja selle sammu võib vahele jätta (tegelikult suuliselt).

(5) Teise rühma puhul võtame selle sulgudest välja.

Selle tulemusena selgus, et meie funktsioon on vormis esindatud

Vastus:
– funktsiooni tegelik osa.
– funktsiooni mõtteline osa.

Millisteks funktsioonideks need osutusid? Kahe muutuja kõige tavalisemad funktsioonid, millest leiate nii populaarsed osatuletised. Ilma halastuseta leiame selle. Aga veidi hiljem.

Lühidalt võib lahendatud ülesande algoritmi kirjutada järgmiselt: asendame , algse funktsiooniga, teostame lihtsustusi ja jagame kõik terminid kahte rühma - ilma kujuteldava üksuseta (reaalosa) ja imaginaarse ühikuga (kujutletav osa) .

Näide 2

Leidke funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa

See on näide, mille saate ise lahendada. Enne kui kiirustate oma kabega keerulises lennukis lahingusse, lubage mul anda teile selle teema kohta kõige olulisem nõu:

OLE ETTEVAATLIK! Ettevaatlik tuleb olla muidugi igal pool, aga kompleksarvudes tuleks olla ettevaatlikum kui kunagi varem! Pidage meeles, et avage klambrid ettevaatlikult, ärge kaotage midagi. Minu tähelepanekute järgi on kõige levinum viga märgi kaotamine. Ära kiirusta!

Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Nüüd kuubik. Kasutades lühendatud korrutamisvalemit, tuletame:
.

Valemeid on praktikas väga mugav kasutada, kuna need kiirendavad oluliselt lahendusprotsessi.

Kompleksmuutuja funktsioonide eristamine.

Mul on kaks uudist: hea ja halb. Alustan heast. Kompleksmuutuja funktsiooni puhul kehtivad diferentseerimisreeglid ja elementaarfunktsioonide tuletiste tabel. Seega võetakse tuletis täpselt samamoodi nagu reaalmuutuja funktsiooni puhul.

Halb uudis on see, et paljude keeruliste muutujafunktsioonide jaoks pole tuletist üldse ja peate selle välja mõtlema kas see on eristatavüks või teine ​​funktsioon. Ja südame tunnetuse "väljamõtlemine" on seotud täiendavate probleemidega.

Vaatleme kompleksmuutuja funktsiooni. Selle funktsiooni diferentseerimiseks on vajalik ja piisav:

1) Nii et esimest järku osatuletised on olemas. Unustage need tähistused kohe, kuna keeruka muutuja funktsioonide teoorias kasutatakse traditsiooniliselt teistsugust tähistust: .

2) Viia läbi nn Cauchy-Riemanni tingimused:

Ainult sel juhul on tuletis olemas!

Näide 3

Lahendus jaguneb kolmeks järjestikuseks etapiks:

1) Leiame funktsiooni tegelikud ja imaginaarsed osad. Seda ülesannet käsitleti eelmistes näidetes, seega kirjutan selle ilma kommentaarideta kirja:

Sellest ajast:

Seega:

– funktsiooni mõtteline osa.

Lubage mul puudutada veel üht tehnilist punkti: mis järjekorras kirjutada terminid tegelikus ja mõttelises osas? Jah, põhimõtteliselt pole see oluline. Näiteks saab reaalosa kirjutada järgmiselt: , ja kujuteldav – näiteks see: .

2) Kontrollime Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist. Neid on kaks.

Alustame seisukorra kontrollimisega. Leiame osatuletised:

Seega on tingimus täidetud.

Hea uudis on muidugi see, et osatuletised on peaaegu alati väga lihtsad.

Kontrollime teise tingimuse täitmist:

Tulemus on sama, kuid vastupidiste märkidega, st tingimus on samuti täidetud.

Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud, seega on funktsioon diferentseeritav.

3) Leiame funktsiooni tuletise. Tuletis on samuti väga lihtne ja leitakse tavapäraste reeglite järgi:

Imaginaarset ühikut peetakse diferentseerimisel konstandiks.

Vastus: - pärisosa, – mõtteline osa.
Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud.

Tuletise leidmiseks on veel kaks võimalust, neid kasutatakse muidugi harvemini, kuid teave on kasulik teise õppetunni mõistmiseks - Kuidas leida kompleksmuutuja funktsiooni?

Tuletise saab leida järgmise valemi abil:

Sel juhul:

Seega

Peame lahendama pöördülesande – saadud avaldises peame isoleerima . Selleks on terminites ja sulgudes väljas vajalik:

Pöördtoimingut, nagu paljud on märganud, on mõnevõrra keerulisem kontrollida, alati on parem võtta väljend mustandil või avada sulud tagasi, veendudes, et tulemus on täpne;

Peegelvalem tuletise leidmiseks:

Sel juhul: , Sellepärast:

Näide 4

Määrake funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa . Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist. Kui Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud, leidke funktsiooni tuletis.

Lõpliku kavandi lühilahendus ja ligikaudne näidis tunni lõpus.

Kas Cauchy-Riemanni tingimused on alati täidetud? Teoreetiliselt ei täitu need sagedamini kui täidetakse. Kuid praktiliste näidete puhul ma ei mäleta juhtumit, kus need poleks täitunud =) Seega, kui teie osatuletised "ei ühtlustu", võite väga suure tõenäosusega öelda, et tegite kuskil vea.

Teeme oma funktsioonid keerulisemaks:

Näide 5

Määrake funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa . Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist. Arvutama

Lahendus: Lahendusalgoritm on täielikult säilinud, kuid lõppu lisandub uus punkt: tuletise leidmine punktist. Kuubi jaoks on vajalik valem juba tuletatud:

Määratleme selle funktsiooni tegelikud ja kujuteldavad osad:

Tähelepanu ja veelkord tähelepanu!

Sellest ajast:


Seega:
– funktsiooni tegelik osa;
– funktsiooni mõtteline osa.

Teise tingimuse kontrollimine:

Tulemus on sama, kuid vastupidiste märkidega, st tingimus on samuti täidetud.

Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud, seega on funktsioon diferentseeritav:

Arvutame tuletise väärtuse vajalikus punktis:

Vastus:, , Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud,

Funktsioonid kuubikutega on tavalised, nii et siin on tugevdamiseks näide:

Näide 6

Määrake funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa . Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist. Arvutama.

Tunni lõpus lõpetamise lahendus ja näide.

Kompleksanalüüsi teoorias on defineeritud ka teised kompleksargumendi funktsioonid: astendaja, siinus, koosinus jne. Nendel funktsioonidel on ebatavalised ja isegi veidrad omadused – ja see on tõesti huvitav! Ma tõesti tahan teile öelda, kuid siin, nagu juhtub, ei ole teatmeteos või õpik, vaid lahenduste raamat, seega käsitlen sama probleemi mõne levinud funktsiooniga.

Kõigepealt nn Euleri valemid:

Kellelegi kehtiv numbrid, kehtivad järgmised valemid:

Saate selle ka oma märkmikusse võrdlusmaterjalina kopeerida.

Rangelt võttes on ainult üks valem, kuid tavaliselt kirjutavad nad mugavuse huvides ka erijuhtu, mille eksponendisse on miinus. Parameeter ei pea olema üks täht, see võib olla keeruline avaldis või funktsioon, oluline on vaid, et need aktsepteeriksid ainult kehtiv tähendusi. Tegelikult näeme seda kohe:

Näide 7

Leia tuletis.

Lahendus: Peo üldjoon jääb kõigutamatuks – vaja on eristada funktsiooni tegelikke ja kujuteldavaid osi. Annan üksikasjaliku lahenduse ja kommenteerin iga sammu allpool:

Sellest ajast:

(1) Asendage selle asemel “z”.

(2) Pärast asendamist peate valima tegelikud ja kujuteldavad osad esimene indikaatoris eksponente. Selleks avage sulgud.

(3) Rühmitame indikaatori mõttelise osa, asetades mõttelise üksuse sulgudest välja.

(4) Kasutame kooli aktsiooni kraadidega.

(5) Kordaja jaoks kasutame Euleri valemit ja .

(6) Avage klambrid, mille tulemuseks on:

– funktsiooni tegelik osa;
– funktsiooni mõtteline osa.

Edasised toimingud on standardsed, kontrollime Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist:

Näide 9

Määrake funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa . Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist. Olgu nii, me ei leia tuletist.

Lahendus: Lahendusalgoritm on väga sarnane kahe eelmise näitega, kuid seal on väga olulised punktid, seega kommenteerin uuesti samm-sammult esialgset etappi:

Sellest ajast:

1) Asendage selle asemel “z”.

(2) Esiteks valime välja tegelikud ja kujuteldavad osad siinuse sees. Nendel eesmärkidel avame sulgud.

(3) Kasutame valemit ja .

(4) Kasutamine hüperboolse koosinuse paarsus: Ja hüperboolse siinuse veidrus: . Hüperboolsed, kuigi sellest maailmast väljas, meenutavad paljuski sarnaseid trigonomeetrilisi funktsioone.

Lõpuks:
– funktsiooni tegelik osa;
– funktsiooni mõtteline osa.

Tähelepanu! Miinusmärk viitab mõttelisele osale ja mitte mingil juhul ei tohi me seda kaotada! Selge näite huvides saab ülaltoodud tulemuse ümber kirjutada järgmiselt:

Kontrollime Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist:

Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud.

Vastus:, , Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud.

Daamid ja härrad, mõtleme selle ise välja:

Näide 10

Määrake funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa. Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist.

Valisin meelega raskemad näited, sest igaüks paistab millegagi hakkama saavat, näiteks koorega maapähklitega. Samal ajal treenite oma tähelepanu! Tunni lõpus pähklipuru.

Noh, lõpetuseks vaatan veel ühte huvitavat näidet, kui nimetajas on keeruline argument. Praktikas on seda paar korda juhtunud, vaatame midagi lihtsat. Eh, ma hakkan vanaks jääma...

Näide 11

Määrake funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa. Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist.

Lahendus: Jällegi on vaja eristada funktsiooni tegelikke ja kujuteldavaid osi.
Kui siis

Tekib küsimus, mida teha, kui nimetajas on “Z”?

Kõik on lihtne - tavaline aitab meetod lugeja ja nimetaja korrutamiseks konjugaatavaldisega, on seda juba õppetunni näidetes kasutatud Keerulised numbrid mannekeenide jaoks. Meenutagem kooli valemit. Meil on juba nimetaja, mis tähendab, et konjugaadi avaldis on . Seega peate lugeja ja nimetaja korrutama järgmisega: