Loeng: Kahe punkti vahelise kauguse valem; sfääri võrrand

Kahe punkti vaheline kaugus

Eelmises küsimuses joone kahe punkti vahelise kauguse leidmiseks kasutasime valemit d = x 2 – x 1.

Mis aga lennukisse puutub, siis asjad on teisiti. Ei piisa lihtsalt koordinaatide erinevuse leidmisest. Punktide vahelise kauguse leidmiseks nende koordinaatide abil kasutage järgmist valemit:

Näiteks kui teil on kaks kindlate koordinaatidega punkti, saate nendevahelise kauguse leida järgmiselt:

A (4;-1), B (-4;6):

AB = ((4 + 4) 2 + (-1 – 6) 2) 1/2 ≈ 10,6.

See tähendab, et tasapinna kahe punkti vahelise kauguse arvutamiseks on vaja leida koordinaatide erinevuste ruutude summa juur.

Kui teil on vaja leida kahe tasapinna punkti vaheline kaugus, peaksite kasutama sarnast valemit koos täiendava koordinaadiga:

Sfääri võrrand

Sfääri määratlemiseks ruumis peate teadma selle keskpunkti koordinaate ja raadiust, et kasutada järgmist valemit:

See võrrand vastab sfäärile, mille keskpunkt on algpunktis.

Kui sfääri keskpunkti nihutatakse teatud arvu ühikute võrra mööda telgesid, siis tuleks kasutada järgmist valemit.

Siin on kalkulaator

Kahe joone punkti vaheline kaugus

Mõelge koordinaatide sirgele, millele on märgitud 2 punkti: A A A Ja B B B. Nende punktide vahelise kauguse leidmiseks peate leidma lõigu pikkuse A B AB A B. Seda tehakse järgmise valemi abil:

Kahe joone punkti vaheline kaugus

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|A B =∣a−b∣,

Kus a, b a, b a, b- nende punktide koordinaadid sirgel (koordinaatjoonel).

Kuna valem sisaldab moodulit, ei ole selle lahendamisel oluline, milline koordinaat millest lahutada (kuna võetakse selle erinevuse absoluutväärtus).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣a−b ∣ =∣ b −a∣

Vaatame näidet, et paremini mõista selliste probleemide lahendust.

Näide 1

Punktid on märgitud koordinaatjoonele A A A, mille koordinaat on võrdne 9 9 9 ja periood B B B koos koordinaadiga − 1 -1 − 1 . Peame leidma nende kahe punkti vahelise kauguse.

Lahendus

Siin a = 9, b = −1 a=9, b=-1 a =9, b =− 1

Kasutame valemit ja asendame väärtused:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣a−b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Vastus

Kahe tasapinna punkti vaheline kaugus

Mõelge kahele tasapinnal antud punktile. Igast tasapinnal märgitud punktist peate langetama kaks risti: Telje poole O X OX O X ja teljel O Y OY O Y. Seejärel võetakse arvesse kolmnurka A B C ABC A B C. Kuna see on ristkülikukujuline ( B C eKr B C risti A C AC A C), seejärel leidke segment A B AB A B, mis on ka punktide vaheline kaugus, saab teha Pythagorase teoreemi abil. Meil on:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2A B 2 = A C 2 + B C 2

Aga, lähtudes sellest, et pikkus A C AC A C võrdne x B − x A x_B-x_A x B​ − x A​ ja pikkus B C eKr B C võrdne y B − y A y_B-y_A y B​ − y A​ , saab selle valemi ümber kirjutada järgmiselt:

Kahe tasapinna punkti vaheline kaugus

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(x B​ − x A​ ) 2 + (y B​ − y A​ ) 2 ​ ,

Kus x A , y A x_A, y_A x A​ , y A​ Ja x B, y B x_B, y_B x B​ , y B​ - punktide koordinaadid A A A Ja B B B vastavalt.

Näide 2

On vaja leida punktide vaheline kaugus C C C Ja F F F, kui esimese koordinaadid (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) ja teiseks - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

Lahendus

X C = 8 x_C = 8 x C​ = 8
y C = − 1 y_C=-1 y C​ = − 1
x F = 4 x_F = 4 x F​ = 4
y F = 2 y_F = 2 y F​ = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25) = 5C F =(x F​ − x C​ ) 2 + (y F​ − y C​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

Vastus

Kahe ruumipunkti vaheline kaugus

Kahe punkti vahelise kauguse leidmine on sel juhul sarnane eelmisele, ainult et ruumipunkti koordinaadid on määratud kolme numbriga, vastavalt tuleb valemile lisada ka rakendustelje koordinaat. Valem näeb välja selline:

Kahe ruumipunkti vaheline kaugus

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(x B​ − x A​ ) 2 + (y B​ − y A​ ) 2 + (z B​ − zA​ ) 2 ​

Näide 3

Leidke lõigu pikkus FK FKFK ruumis, kui selle otstes olevate punktide koordinaadid on järgmised: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) Ja (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . Ümarda vastus lähima täisarvuni.

Lahendus

$F=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3\; ;\; 6\; ;\; 0)\; K=\; (-3;\; 6;\; 0)K=(-3;6;0)$

$FK=\sqrt{(x^{K-x^{F{)}^{2+(y^{K-y^{F{)}^{2+(z^{K-z^{F{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

Vastavalt ülesande tingimustele peame vastuse ümardama täisarvuni.

Olgu , (joonis 2.3). Vajalik leidmiseks.

Joonis 2.3. Kahe punkti vaheline kaugus.

Nelinurksest Pythagorase teoreemi järgi on meil

See on ,

See valem kehtib punktide ja punktide mis tahes asukoha kohta.

II. Segmendi jagamine selles osas:

Laske,. On vaja leida , lamades segmendil ja jagades selle etteantud suhtega (joonis 2.4.).

Joonis 2.4. Segmendi jagamine selles osas.

Sarnasusest ~ ehk kust. Samamoodi.

Seega

– lõigu jagamise valem suhtes .

Kui siis

– lõigu keskkoha koordinaadid.

Kommenteeri. Tuletatud valemeid saab üldistada ruumilise ristkülikukujulise ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi korral. Olgu punktid ,. Siis

- valem punktide ja vahelise kauguse leidmiseks.

Segmendi jagamise valem seoses.

Lisaks Descartes'i koordinaatidele saab tasapinnal ja ruumis konstrueerida palju muid koordinaatsüsteeme ehk viise, kuidas iseloomustada punkti asukohta tasapinnal või ruumis kahe või kolme arvparameetri (koordinaadi) abil. Vaatleme mõningaid olemasolevaid koordinaatsüsteeme.

Lennukil on võimalik kindlaks teha polaarkoordinaatide süsteem , mida kasutatakse eelkõige pöörlevate liikumiste uurimisel.

Joonis 2.5. Polaarkoordinaatide süsteem.

Fikseerime tasapinnale punkti ja sellest väljuva pooljoone ning valime ka mõõtkava ühiku (joonis 2.5). Punkti nimetatakse poolus , pooljoon – polaartelg . Määrame suvalisele punktile kaks arvu:

– polaarraadius , võrdne kaugusega punktist M pooluseni O;

– polaarnurk , võrdne polaartelje ja pooljoone vahelise nurgaga.

Radiaanides mõõdetuna loetakse väärtuste positiivset suunda vastupäeva, tavaliselt eeldatakse.

Polaarraadius vastab poolusele, polaarnurka pole selle jaoks määratletud.

Leiame seose ristkülikukujuliste ja polaarkoordinaatide vahel (joonis 2.6).

Joonis 2.6. Ristkülikukujuliste ja polaarkoordinaatide süsteemide seos.

Ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi alguspunktiks loeme poolust ja kiirt polaarteljeks. Laske - ristkülikukujulises ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis ja - polaarkoordinaatsüsteemis. Leiame seose ristkülikukujuliste ja polaarkoordinaatide vahel.

Ristkülikukujulisest ja ristkülikukujulisest. Seega valemid

väljendada punkti ristkülikukujulisi koordinaate selle polaarkoordinaatidena.

Pöördseost väljendatakse valemitega

Kommenteeri. Polaarnurka saab määrata ka valemi järgi, olles eelnevalt ristkülikukujuliste koordinaatide järgi kindlaks määranud, millises kvadrandis punkt asub.

Näide 1. Leidke punkti polaarkoordinaadid.

Lahendus. Arvutame ; Polaarnurk leitakse järgmistest tingimustest:

Seetõttu, seega.

Näide 2. Leidke punkti ristkülikukujulised koordinaadid.

Lahendus. Me arvutame

Saame.

Kolmemõõtmelises ruumis kasutatakse sageli lisaks ristkülikukujulisele Descartes'i koordinaatsüsteemile silindrilisi ja sfäärilisi koordinaatsüsteeme.

Silindriline koordinaatsüsteem on tasapinna polaarkoordinaatide süsteem, millele on lisatud selle tasapinnaga risti olev ruumitelg (joonis 2.7). Mis tahes punkti asukohta iseloomustavad kolm numbrit - selle silindrilised koordinaadid: , kus ja on punkti projektsiooni polaarkoordinaadid (polaarraadius ja polaarnurk) tasapinnale, kus polaarkoordinaatide süsteem on valitud - rakendus, mis võrdub kaugusega punktist määratud tasapinnani.

Joonis 2.7. Silindriline koordinaatsüsteem

Ristkülikukujulise Descartes'i koordinaatsüsteemi ja silindrilise vahelise seose kindlakstegemiseks asetame need üksteise suhtes nagu joonisel 2.8 (asetame tasapinna tasapinnale ja polaartelg langeb kokku telje positiivse suunaga, telg on levinud mõlemas koordinaatsüsteemis).

Laskma on punkti ristkülikukujulised koordinaadid, selle punkti silindrilised koordinaadid ja punkti projektsioon tasapinnale. Siis

valemid, mis ühendavad punkti ristkülikukujulisi ja silindrilisi koordinaate.

Joonis 2.8. Ristkülikukujulise Descartes'i vaheline seos

ja silindrilised koordinaatsüsteemid

Kommenteeri. Pöörlemiskehade puhul kasutatakse sageli silindrilisi koordinaate, kusjuures telg paikneb piki pöörlemistelge.

Sfääriline koordinaatsüsteem saab konstrueerida järgmiselt. Valime tasapinna polaartelje. Läbi punkti tõmbame tasapinnaga risti oleva sirge (normaalne). Siis saab mis tahes ruumipunkti seostada kolme reaalarvuga, kus on kaugus punktist, on nurk telje ja lõigu projektsiooni vahel tasapinnale ning nurk normaalse ja segmendi vahel. Märka seda , , .

Kui asetame tasapinna tasapinnale ja valime polaartelje, mis langeb kokku telje positiivse suunaga ning valime telje normaalteljeks (joonis 2.9), siis saame neid kahte koordinaatsüsteemi ühendavad valemid

Joonis 2.9. Sfäärilise ja ristkülikukujulise Descartesiuse suhe

koordinaatsüsteemid

Skalaarsed kogused, või skalaare iseloomustab täielikult nende arvväärtus valitud ühikute süsteemis. Vektori kogused või vektoritel on lisaks nende arvväärtusele ka suund. Näiteks kui me ütleme, et tuul puhub kiirusega 10 m/sek, siis võtame kasutusele tuule kiiruse skalaarväärtuse, aga kui ütleme, et edelatuul puhub kiirusega 10 m/sek. siis sel juhul on tuule kiirus juba vektor.

Vektor nimetatakse teatud pikkusega suunatud segmendiks, st. teatud pikkusega segment, milles üks piiravatest punktidest võetakse alguseks ja teine ​​- lõpuks. Tähistame vektorit kas või (joonis 2.10).

Vektori pikkust tähistatakse sümboliga või ja seda nimetatakse vektori mooduliks. Kutsutakse vektorit, mille pikkus on 1 vallaline . Vektorit nimetatakse null , kui selle algus ja lõpp langevad kokku ja seda tähistatakse θ või . Nullvektoril pole kindlat suunda ja selle pikkus võrdub nulliga. Nimetatakse vektoreid, mis asuvad samal sirgel või paralleelsel sirgel kollineaarne . Neid kahte vektorit nimetatakse võrdne , kui need on kollineaarsed, on sama pikkuse ja sama suunaga. Kõik nullvektorid loetakse võrdseteks.

Nimetatakse kahte nullist erinevat kollineaarset vektorit, millel on võrdne suurus, kuid vastupidised suunad vastupidine . Vastandvektorit tähistatakse , vastassuunalise vektori jaoks.

Numbri juurde lineaarsed operatsioonid ülevektorid hõlmavad vektorite liitmise, lahutamise ja vektori arvuga korrutamise tehteid, st. tehteid, mille tulemuseks on vektor.

Määratleme näidatud tehted vektoritega. Olgu kaks vektorit ja antud. Võtame suvalise punkti O ja konstrueerime vektori ning joonistame vektori punktist A. Seejärel kutsutakse vektor, mis ühendab vektori esimese liikme algust teise liikme lõpuga summa need vektorid on tähistatud . Vaadeldavat reeglit vektorite summa leidmiseks nimetatakse kolmnurga reeglid (Joonis 2.11).

Sama vektorite summa võib saada ka muul viisil (joonis 2.12). Joonistame vektori ja vektori punktist. Ehitame nendele vektoritele nagu külgedele rööpküliku. Vektor, mis on tipust tõmmatud rööpküliku diagonaal, on summa. Seda summa leidmise reeglit nimetatakse rööpküliku reeglid .

Suvalise lõpliku arvu vektorite summa võib saada katkendjoone reegli abil (joonis 2.13). Suvalisest punktist joonistame vektori, seejärel joonistame vektori jne. Esimese algust viimase lõpuga ühendav vektor on summa

andmevektorid, st. . Ilmselgelt, kui vektori viimase liikme lõpp langeb kokku esimese algusega, on vektorite summa võrdne nullvektoriga.

Erinevuse järgi kaks vektorit ja seda nimetatakse selliseks vektoriks, mille summa lahutatud vektoriga annab vektori. Siit erinevusvektori koostamise reegel(Joonis 2.14). Punktist joonistame vektori ja vektori . Erinevus on vektor, mis ühendab alamosa vektori ja alamosa vektori otsad ja on suunatud alamosa vektori poole.

Vektori korrutis reaalarvu jaoks on λ vektor, mis on vektori suhtes kollineaarne ja mille pikkus ja suund on sama kui vektor kui , ja suund vastupidine vektorile kui .

Sisenes lineaarsed operatsioonid üle vektorid on omadused :

10 . Liitmise kommutatiivsus: .

20 . Liitumise assotsiatiivsus: .

kolmkümmend . Neutraalse elemendi olemasolu liitmise teel: .

4 0 . Vastandelemendi olemasolu lisamise teel:

50 . Arvuga korrutamise jaotus vektorite liitmise suhtes: .

6 0 . Vektori korrutamise jaotus kahe arvu summaga:

7 0 . Assotsiatiivsuse omadus vektori korrutamisel arvude korrutisega: .

Olgu antud vektorite süsteem:

Nimetatakse avaldis, kus λ i (i = 1,2,…, n) on mõned arvud lineaarne kombinatsioon vektorite süsteemid (2.1). Vektorite süsteemi (2.1) nimetatakse lineaarselt sõltuv , kui nende lineaarne kombinatsioon on võrdne nulliga, eeldusel, et kõik arvud λ 1, λ 2, ..., λ n ei ole võrdsed nulliga. Vektorite süsteemi (2.1) nimetatakse lineaarselt sõltumatu , kui nende lineaarne kombinatsioon on võrdne nulliga ainult siis, kui kõik arvud λ i = 0 (). Vektorite lineaarsele sõltuvusele saame anda veel ühe definitsiooni. Vektorite süsteemi (2.1) nimetatakse lineaarselt sõltuv , kui mõnda selle süsteemi vektorit väljendatakse lineaarselt teistega, vastasel juhul vektorite süsteem (2.1) lineaarselt sõltumatu .

Tasapinnal asuvate vektorite puhul kehtivad järgmised väited.

10 . Kõik kolm vektorit tasapinnal on lineaarselt sõltuvad.

20 . Kui nende vektorite arv tasapinnal on suurem kui kolm, siis on ka need lineaarselt sõltuvad.

kolmkümmend . Selleks, et kaks vektorit tasapinnal oleksid lineaarselt sõltumatud, on vajalik ja piisav, et nad ei oleks kollineaarsed.

Seega on tasapinnal lineaarselt sõltumatute vektorite maksimaalne arv kaks.

Vektoreid nimetatakse koplanaarne , kui need asuvad samal tasapinnal või on paralleelsed sama tasapinnaga. Järgmised väited kehtivad ruumivektorite kohta.

10 . Iga neli ruumivektorit on lineaarselt sõltuvad.

20 . Kui nende vektorite arv ruumis on suurem kui neli, siis on need samuti lineaarselt sõltuvad.

kolmkümmend . Selleks, et kolm vektorit oleks lineaarselt sõltumatud, on vajalik ja piisav, et need oleksid mittetasapinnalised.

Seega on lineaarselt sõltumatute vektorite maksimaalne arv ruumis kolm.

Kutsutakse lineaarselt sõltumatute vektorite mis tahes maksimaalset alamsüsteemi, mille kaudu mis tahes selle süsteemi vektorit väljendatakse alus vaadeldav vektorsüsteemid . Lihtne on järeldada, et tasapinnal olev alus koosneb kahest mittekollineaarsest vektorist ja ruumibaas koosneb kolmest mittetasapinnalisest vektorist. Alusvektorite arvu nimetatakse koht vektorsüsteemid. Vektori alusvektoriteks laienemise koefitsiente nimetatakse vektori koordinaadid sellel alusel.

Olgu vektorid moodustavad baasi ja olgu , siis arvud λ 1, λ 2, λ 3 on baasis oleva vektori koordinaadid Sel juhul kirjutage Võib näidata, et vektori lagunemine aluses on unikaalne . Aluse põhitähendus seisneb selles, et lineaartehted vektoritega muutuvad tavalisteks lineaartehinguteks arvudega – nende vektorite koordinaatidega. Kasutades vektorite lineaartehte omadusi, saame tõestada järgmise teoreemi.

Teoreem. Kahe vektori liitmisel lisatakse nendele vastavad koordinaadid. Kui vektorit korrutatakse arvuga, korrutatakse selle arvuga kõik selle koordinaadid.

Seega, kui ja , siis , kus , ja kus , λ on teatud arv.

Tavaliselt tähistatakse kõigi tasandi vektorite kogumit, mis on taandatud ühisele alguspunktile ja mis on sisse viidud lineaarsete operatsioonidega, V 2-ga ja kõigi ruumi vektorite kogumit, mis on taandatud ühisele alguspunktile, tähistatakse V 3-ga. Välja kutsutakse hulgad V 2 ja V 3 geomeetriliste vektorite ruumid.

Nurk vektorite vahel ja seda nimetatakse väikseimaks nurgaks (), mille võrra üht vektorit tuleb pöörata, kuni see langeb kokku teisega pärast nende vektorite viimist ühisesse algpunkti.

Dot toode kaks vektorit on arv, mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega. Vektorite ja skalaarkorrutis on tähistatud , või

Kui vektorite ja vaheline nurk on võrdne , siis

Geomeetrilisest vaatenurgast on vektorite skalaarkorrutis võrdne ühe vektori mooduli ja sellele teise vektori projektsiooni korrutisega. Võrdsusest (2.2) järeldub, et

Siit kahe vektori ortogonaalsuse tingimus: kaks vektorit Ja on ortogonaalsed siis ja ainult siis, kui nende skalaarkorrutis on võrdne nulliga, st. .

Vektorite punktkorrutis ei ole lineaarne tehe, sest selle tulemuseks on arv, mitte vektor.

Skalaarkorrutise omadused.

1º. – kommutatiivsus.

2º. – jaotus.

3º. – assotsiatiivsus numbrilise teguri suhtes.

4º. - skalaarruudu omadus.

Atribuut 4º järgib määratlust vektori pikkus :

Olgu ruumis V 3 antud alus, kus vektorid on ühikvektorid (neid nimetatakse ühikvektoriteks), igaühe suund langeb kokku ristkülikukujulise ristkülikukujulise koordinaadi koordinaattelgede Ox, Oy, Oz positiivse suunaga süsteem.

Laiendame ruumivektorit V 3 selle aluse järgi (joonis 2.15):

Vektoreid nimetatakse vektorikomponentideks piki koordinaattelge või komponente, arvusid a x, a y, a z– vektori ristkülikukujulised ristkülikukujulised koordinaadid A. Vektori suuna määravad tema poolt koordinaatjoontega moodustatud nurgad α, β, γ. Nende nurkade koosinust nimetatakse suunavektoriks. Seejärel määratakse suunakoosinused valemitega:

Seda on lihtne näidata

Avaldame skalaarkorrutist koordinaatide kujul.

Las olla. Korrutades need vektorid polünoomidena ja võttes arvesse, et saame leidmiseks avaldise skalaarkorrutis koordinaatide kujul:

need. kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne samanimeliste koordinaatide paariskorrutise summaga.

Alates (2.6) ja (2.4) järgib leidmise valemit vektori pikkus :

(2.6) ja (2.7) põhjal saame valemi määramiseks nurk vektorite vahel:

Vektorite kolmikut nimetatakse järjestatuks, kui on näidatud, millist neist peetakse esimeseks, millist teiseks ja millist kolmandaks.

Tellitud kolm vektorit helistas õige , kui pärast nende viimist ühisesse alguspunkti kolmanda vektori lõpust tehakse vastupäeva lühim pööre esimesest vektorist teise. Vastasel juhul nimetatakse vektorite kolmikut vasakule . Näiteks joonisel 2.15 moodustavad vektorid , , vektorite parempoolse kolmiku ja vektorid , vasakpoolse vektorite kolmiku.

Sarnasel viisil tutvustatakse parema ja vasakpoolse koordinaatsüsteemi mõistet kolmemõõtmelises ruumis.

Vektorkunstiteos vektor vektori kaupa on vektor (teine ​​märge), mis:

1) on pikkusega , kus on nurk vektorite ja vahel;

2) risti vektoritega ja (), s.o. on risti tasapinnaga, milles vektorid ja ;

Definitsiooni järgi leiame koordinaatühiku vektorite , , vektorkorrutise:

Kui , , siis määratakse vektori ja vektori vektorkorrutise koordinaadid valemiga:

Definitsioonist järeldub vektorkunsti geomeetriline tähendus : vektori suurus on võrdne vektoritele ehitatud rööpküliku pindalaga ja .

Vektorprodukti omadused:

4 0 . , kui vektorid ja on kollineaarsed või kui üks neist vektoritest on null.

Näide 3. Rööpkülik on ehitatud vektoritele ja , kus , , . Arvutage selle rööpküliku diagonaalide pikkus, diagonaalide vaheline nurk ja rööpküliku pindala.

Lahendus. Vektorite ja konstrueerimine on näidatud joonisel 2.16, rööpküliku konstruktsioon nendel vektoritel on näidatud joonisel 2.17.

Teeme sellele probleemile analüütilise lahenduse. Avaldame konstrueeritud rööpküliku diagonaale defineerivad vektorid läbi vektorite ja ning seejärel läbi ja . Leiame,. Järgmisena leiame rööpküliku diagonaalide pikkused konstrueeritud vektorite pikkustena

Rööpküliku diagonaalide vahelist nurka tähistatakse . Seejärel saame vektorite skalaarkorrutise valemist:

Seega,.

Vektorkorrutise omadusi kasutades arvutame rööpküliku pindala:

Olgu kolm vektorit , Ja , Antakse. Kujutame ette, et vektor korrutatakse vektoriga ja vektor ja saadud vektor korrutatakse skalaarselt vektoriga, määrates seeläbi arvu. Seda nimetatakse vektor-skalaarseks või segatööd kolm vektorit ja . Tähistatakse või.

Uurime välja segatoote geomeetriline tähendus (Joonis 2.18). Olgu , , mitte samatasandiline. Ehitame nendele vektoritele nagu servadele rööptahuka. Ristkorrutis on vektor, mille moodul on võrdne rööpküliku (rööptahuka aluse) pindalaga, mis on ehitatud vektoritele ja on suunatud rööpküliku tasapinnaga risti.

Punktkorrutis (võrdub vektori mooduli ja projektsiooni korrutisega). Konstrueeritud rööptahuka kõrgus on selle projektsiooni absoluutväärtus. Järelikult on kolme vektori segakorrutise absoluutväärtus võrdne vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga ja , s.o. .

Siit vektoritele ehitatud kolmnurkse püramiidi ruumala arvutatakse valemiga.

Märgime veel mõned segatoote omadused vektorid.

1 o. Korrutise märk on positiivne, kui vektorid , , ja moodustavad põhisüsteemiga sama nimega süsteemi, ja muul juhul negatiivne.

Tõesti, on skalaarkorrutis positiivne, kui ja vaheline nurk on terav ja negatiivne, kui nurk on nüri. Teravnurgaga ja vahel paiknevad vektorid ja rööptahuka aluse suhtes ühel küljel ja seetõttu on vektori lõpust pööramine suunast kuni nähtav samamoodi nagu vektori lõpust. vektor, st. positiivses suunas (vastupäeva).

Nürinurga all paiknevad nii vektorid kui ka rööptahuka põhjas asuva rööpküliku tasapinna suhtes erinevatel külgedel ja seetõttu on vektori lõpust näha negatiivses suunas pöörlemine suunast kuni ( päripäeva).

2 o Segatoode ei muutu, kui selle tegurid on ringikujuliselt ümber paigutatud: .

3 o Kui suvalised kaks vektorit on ümber paigutatud, muudab segakorrutis ainult märki. Näiteks, , . , . - tundmatud süsteemid.

Süsteem(3.1) kutsutakse homogeenne , kui kõik liikmed on vabad. Süsteem (3.1) kutsutakse heterogeenne , kui vähemalt üks vabaliikmetest.

Süsteemne lahendus nimetatakse arvude hulgaks, mille asendamisel süsteemi võrranditesse vastavate tundmatute asemel muutub süsteemi iga võrrand identiteediks. Süsteemi, millel pole lahendust, nimetatakse Sobimatu, või vastuoluline . Süsteemi, millel on vähemalt üks lahendus, nimetatakse liigend .

Liigeste süsteemi nimetatakse teatud , kui sellel on ainulaadne lahendus. Kui järjekindlal süsteemil on rohkem kui üks lahendus, siis seda nimetatakse ebakindel . Homogeenne süsteem on alati järjepidev, kuna sellel on vähemalt nulllahendus. Nimetatakse avaldis tundmatute jaoks, millest saab saada süsteemi mis tahes konkreetse lahenduse üldine otsus , ja süsteemi iga konkreetne lahendus on selle privaatne lahendus . Kaks süsteemi samade tundmatutega samaväärne (samaväärne ), kui ühe lahendus on teise lahendus või mõlemad süsteemid on vastuolus.

Vaatleme lineaarvõrrandisüsteemide lahendamise meetodeid.

Üks peamisi meetodeid lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks on Gaussi meetod, või järjestikune meetod tundmatute välistamine. Selle meetodi olemus seisneb lineaarsete võrrandite süsteemi taandamises astmelisele kujule. Sel juhul tuleb läbi viia järgmised võrrandid: elementaarsed teisendused :

1. Süsteemi võrrandite ümberpaigutamine.

2. Ühele võrrandile teise võrrandi lisamine.

3. Võrrandi mõlema poole korrutamine nullist erineva arvuga.

Selle tulemusena on süsteem järgmisel kujul:

Seda protsessi edasi jätkates eemaldame kõigist võrranditest tundmatu, alustades kolmandast. Selleks korrutage teine ​​võrrand arvudega ja lisage süsteemi 3., ... võrrandile -. Järgmised Gaussi meetodi etapid viiakse läbi sarnaselt. Kui teisenduste tulemusena saame identse võrrandi, siis kustutame selle süsteemist. Kui Gaussi meetodi mõnes etapis saadakse järgmise vormi võrrand:

siis on vaadeldav süsteem ebajärjekindel ja selle edasine lahendamine lakkab. Kui elementaarteisenduste sooritamisel vormi (3.2) võrrandit ei kohta, siis mitte rohkem kui - sammuga teisendatakse süsteem (3.1) astmelisele kujule:

Süsteemi konkreetse lahenduse saamiseks on vaja vabadele muutujatele punktis (3.4) määrata konkreetsed väärtused.

Pange tähele, et kuna Gaussi meetodi puhul tehakse kõik teisendused tundmatute võrrandite ja vabaliikmete kordajatel, siis praktikas rakendatakse seda meetodit tavaliselt tundmatute koefitsientidest ja vabade liikmete veerust koosnevale maatriksile. Seda maatriksit nimetatakse laiendatud. Elementaarsete teisenduste abil taandatakse see maatriks astmeliseks vormiks. Seejärel rekonstrueeritakse saadud maatriksi abil süsteem ja rakendatakse sellele kogu eelnev arutluskäik.

Näide 1. Lahendage süsteem:

Lahendus. Loome laiendatud maatriksi ja taandame selle astmelisele kujule:

~ *) ~ **) ~ ***)

*) - teine ​​rida korrutati ja kolmas kriipsutati maha.

Selle peatüki §§5, 6 ja 10 käsitleme mõningaid analüütilise geomeetria lihtsamaid ülesandeid, millele sageli taandatakse palju keerukamaid ülesandeid. Üks selline probleem on kahe punkti vahelise kauguse probleem.

Olgu tasapinnal valitud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis antud kaks punkti, Avaldage nende kahe punkti vaheline kaugus d nende koordinaatide kaudu.

Leiame punktide A ja B projektsioonid koordinaattelgedele (joon. 8). Saab:

Läbi ühe neist punktidest, näiteks A, tõmbame abstsissteljega paralleelse sirge, kuni see lõikub sirgjoonega punktis C

Täisnurksest kolmnurgast ACB saame:

(siin AC ja CB on kolmnurga ACB külgede pikkused). Aga kuna

(1. peatükk, § 3), siis

On selge, et siin peate võtma juure aritmeetilise väärtuse.

Seega on kahe antud punkti vaheline kaugus võrdne nende punktide samade koordinaatide vaheliste erinevuste ruutude summa ruutjuurega.

Kommenteeri. Kui need punktid A kuni B asuvad koordinaatteljega paralleelsel sirgel, siis kolmnurka ABC ei saa, vaid valem (3) kehtib ka sel juhul. Tõepoolest, kui näiteks punktid A kuni B asuvad sirgel, mis on paralleelne Härg-teljega, siis ilmselgelt (I peatükk, § 3). Sama võib saada valemist (3), kuna antud juhul

Kaugus punktist punkti on neid punkte ühendava segmendi pikkus antud skaalal. Seega, kui tegemist on kauguse mõõtmisega, peate teadma skaalat (pikkusühikut), milles mõõtmised tehakse. Seetõttu käsitletakse punktist punkti kauguse leidmise probleemi tavaliselt kas koordinaatjoonel või ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis tasapinnal või kolmemõõtmelises ruumis. Teisisõnu, kõige sagedamini peate arvutama punktide vahelise kauguse nende koordinaatide abil.

Selles artiklis tuletame kõigepealt meelde, kuidas määratakse kaugus punktist punktini koordinaatjoonel. Järgmiseks saame valemid tasandi või ruumi kahe punkti vahelise kauguse arvutamiseks etteantud koordinaatide järgi. Kokkuvõtteks käsitleme üksikasjalikult tüüpiliste näidete ja probleemide lahendusi.

Leheküljel navigeerimine.

Kahe koordinaatjoone punkti vaheline kaugus.

Kõigepealt defineerime tähistus. Me tähistame kaugust punktist A punkti B kui .

Sellest võime järeldada, et kaugus koordinaadiga punktist A koordinaadiga punktini B on võrdne koordinaatide erinevuse mooduliga, see on, punktide mis tahes asukoha jaoks koordinaatjoonel.

Tasapinna punktist punkti kaugus, valem.

Saame valemi punktidevahelise kauguse arvutamiseks ja antud ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis tasapinnal.

Sõltuvalt punktide A ja B asukohast on võimalikud järgmised valikud.

Kui punktid A ja B langevad kokku, on nende vaheline kaugus null.

Kui punktid A ja B asuvad sirgel, mis on risti abstsissteljega, siis punktid langevad kokku ja kaugus on võrdne vahemaaga . Eelmises lõigus saime teada, et kahe koordinaatjoone punkti vaheline kaugus on võrdne nende koordinaatide erinevuse mooduliga, seega . Seega,.

Samamoodi, kui punktid A ja B asuvad sirgel, mis on risti ordinaatteljega, siis kaugus punktist A punkti B leitakse kui .

Sel juhul on kolmnurk ABC ehituselt ristkülikukujuline ja Ja . Kõrval Pythagorase teoreem saame üles kirjutada võrdsuse, kust .

Võtame kõik saadud tulemused kokku: kaugus punktist tasapinna punktini leitakse punktide koordinaatide kaudu valemi abil .

Saadud valemit punktidevahelise kauguse leidmiseks saab kasutada siis, kui punktid A ja B langevad kokku või asuvad sirgel, mis on risti ühe koordinaatteljega. Tõepoolest, kui A ja B langevad kokku, siis . Kui punktid A ja B asuvad sirgel, mis on risti Ox-teljega, siis. Kui A ja B asuvad Oy teljega risti asetseval sirgel, siis .

Ruumipunktide vaheline kaugus, valem.

Tutvustame ruumis ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi Oxyz. Võtame valemi punktist kauguse leidmiseks asja juurde .

Üldjuhul ei asu punktid A ja B ühe koordinaattasandiga paralleelsel tasapinnal. Joonistame läbi punktide A ja B tasapinnad, mis on risti koordinaattelgedega Ox, Oy ja Oz. Nende tasapindade lõikepunktid koordinaattelgedega annavad meile punktide A ja B projektsioonid nendele telgedele. Tähistame projektsioone .

Nõutav kaugus punktide A ja B vahel on joonisel kujutatud ristkülikukujulise rööptahuka diagonaal. Konstruktsiooni järgi on selle rööptahuka mõõtmed võrdsed Ja . Gümnaasiumi geomeetriakursusel tõestati, et risttahuka diagonaali ruut on võrdne selle kolme mõõtme ruutude summaga, seega . Selle artikli esimeses jaotises oleva teabe põhjal saame kirjutada järgmised võrdsused, seega

kust me selle saame valem ruumipunktide vahelise kauguse leidmiseks .

See valem kehtib ka punktide A ja B korral

• kokku sobima;
• kuuluma ühte koordinaattelgedest või ühe koordinaatteljega paralleelsele sirgele;
• kuuluvad ühele koordinaattasanditest või ühe koordinaattasandiga paralleelsele tasapinnale.

Punkti kauguse leidmine, näited ja lahendused.

Niisiis, oleme saanud valemid kahe punkti vahelise kauguse leidmiseks koordinaatjoonel, tasapinnal ja kolmemõõtmelisel ruumil. On aeg vaadata lahendusi tüüpilistele näidetele.

Probleemide arv, mille puhul viimaseks sammuks on kahe punkti vahelise kauguse leidmine nende koordinaatide järgi, on tõesti tohutu. Selliste näidete täielik ülevaade ei kuulu selle artikli ulatusse. Siinkohal piirdume näidetega, kus on teada kahe punkti koordinaadid ja on vaja arvutada nendevaheline kaugus.