Üleminek uuele alusele.

Olgu (1) ja (2) sama m-mõõtmelise lineaarruumi X kaks alust.

Kuna (1) on alus, saab sellest teise aluse vektoreid laiendada:

Koefitsientide põhjal loome maatriksi:

(4) – koordinaatide teisendusmaatriks liikumisel baasilt (1) baasile (2).

Olgu see vektor, siis (5) ja (6).

Suhe (7) tähendab seda

Maatriks P on mittedegenereerunud, kuna vastasel juhul oleks selle veergude ja seejärel vektorite vahel lineaarne seos.

Tõsi on ka vastupidine: iga mitteainsuse maatriks on koordinaatide teisendusmaatriks, mis on määratletud valemitega (8). Sest P on mitteainsuse maatriks, siis eksisteerib selle pöördmaatriks. Korrutades (8) mõlemad pooled, saame: (9).

Olgu lineaarruumi X valitud 3 alust: (10), (11), (12).

Kust, st. (13).

See. koordinaatide järjestikuse teisendusega on saadud teisenduse maatriks võrdne komponentteisenduste maatriksite korrutisega.

Olgu lineaaroperaator ja valitakse X-s aluste paar: (I) ja (II) ning Y-s – (III) ja (IV).

Operaator A alusepaaris I – III vastab võrdsusele: (14). Sama operaator aluste paaris II – IV vastab võrdusele: (15). See. antud operaatori A jaoks on meil kaks maatriksit ja. Me tahame luua nende vahel sõltuvuse.

Olgu P koordinaatide teisendusmaatriks üleminekul I-st ​​III.

Olgu Q koordinaatide teisendusmaatriks üleminekul II-st IV-sse.

Siis (16), (17). Asendades avaldised (16) ja (17) ja (14) asemel (14), saame:

Võrreldes seda võrdsust väärtusega (15), saame:

Seos (19) ühendab sama operaatori maatriksi erinevates alustes. Kui ruumid X ja Y langevad kokku, mängib III aluse rolli I ja IV rolli II, siis saab seos (19) järgmiselt: .

Bibliograafia:

3. Kostrikin A.I. Sissejuhatus algebrasse. II osa. Algebra alused: õpik ülikoolidele, -M. : Füüsika ja matemaatika kirjandus, 2000, 368 lk.

Loeng nr 16 (II semester)

Teema: Maatriksi ekvivalentsuse vajalik ja piisav tingimus.

Nimetatakse kahte ühesuurust maatriksit A ​​ja B samaväärne, kui on olemas kaks mitteainsuse maatriksit R ja S, nii et (1).

Näide: Kaks maatriksit, mis vastavad samale operaatorile erinevate aluste valikute jaoks lineaarruumides X ja Y, on samaväärsed.

On selge, et kõigi sama suurusega maatriksite hulgal ülaltoodud definitsiooni abil defineeritud seos on ekvivalentsus.

8. teoreem: Selleks, et kaks ühesuurust ristkülikukujulist maatriksit oleksid samaväärsed, on vajalik ja piisav, et need oleksid sama järguga.

Tõestus:

1. Olgu A ja B kaks maatriksit, mille puhul see on mõistlik. Korrutise aste (maatriks C) ei ole kõrgem kui iga teguri järjestus.

Näeme, et maatriksi C k-s veerg on maatriksi A veergude vektorite lineaarne kombinatsioon ja see kehtib maatriksi C kõigi veergude kohta, st. kõigi jaoks. See. , st. – lineaarruumi alamruum.

Kuna ja kuna alamruumi mõõde on väiksem või võrdne ruumi mõõtmega, siis on maatriksi C aste maatriksi A astmest väiksem või sellega võrdne.

Võrdsuses (2) fikseerime indeksi i ja määrame k kõik võimalikud väärtused vahemikus 1 kuni s. Seejärel saame süsteemiga (3) sarnase võrdussüsteemi:

Võrdsustest (4) on selge, et maatriksi C i-s rida on maatriksi B ridade lineaarne kombinatsioon kõigi i-de jaoks ja siis maatriksi C ridadega hõlmatud lineaarne kere sisaldub lineaarses korpuses. maatriksi B ridade võrra ja siis on selle lineaarse kere mõõde väiksem või võrdne maatriksi B reavektorite lineaarse kere mõõtmega, mis tähendab, et maatriksi C aste on väiksem või võrdne maatriksi B reavektorite lineaarse kere mõõtmega maatriksi B auaste.

2. Maatriksi A korrutis vasakul ja paremal mitteainsuse ruutmaatriksiga Q võrdub maatriksi A astmega.(). Need. Maatriksi C järk on võrdne maatriksi A astmega.

Tõestus: Juhtumis (1) tõendatu kohaselt. Kuna maatriks Q on mitteainsus, siis on selle jaoks olemas: ja vastavalt eelnevas väites tõestatule.

3. Tõestame, et kui maatriksid on samaväärsed, siis on neil samad järgud. Definitsiooni järgi on A ja B samaväärsed, kui R ja S on sellised, et. Kuna vasakpoolse A korrutamine R-ga ja paremal S-ga annab sama järgu maatriksid, nagu on tõestatud punktis (2), on A aste võrdne B astmega.

4. Olgu maatriksid A ja B ühesugused. Tõestame, et need on samaväärsed. Mõelgem.

Olgu X ja Y kaks lineaarset ruumi, milles valitakse alused (alus X) ja (alus Y). Nagu on teada, määrab iga vormi maatriks teatud lineaarse operaatori, mis toimib X-st Y-ni.

Kuna r on maatriksi A aste, siis vektorite hulgas on täpselt r lineaarselt sõltumatud. Üldisust kaotamata võime eeldada, et esimesed r vektorid on lineaarselt sõltumatud. Siis saab kõike muud nende kaudu lineaarselt väljendada ja kirjutada:

Määratleme ruumis X uue baasi järgmiselt: . (7)

Uus alus Y-ruumis on järgmine:

Tingimuste järgi on vektorid lineaarselt sõltumatud. Täiendame neid mõne vektoriga alusele Y: (8). Seega (7) ja (8) on kaks uut alust X ja Y. Leiame operaatori A maatriksi nendest alustest:

Seega on uues alustepaaris operaatori A maatriks maatriks J. Maatriks A oli algselt suvaline ristkülikukujuline maatriks vormiga r. Kuna sama operaatori maatriksid erinevates alustes on samaväärsed, näitab see, et iga ristkülikukujuline maatriks tüübi ja auastmega r on samaväärne J-ga. Kuna tegemist on samaväärsusseosega, näitab see, et mis tahes kaks maatriksit A ​​ja B tüüpi ja aste r , mis on samaväärsed maatriksiga J, on üksteisega samaväärsed.

Bibliograafia:

1. Voevodin V.V. Lineaaralgebra. Peterburi: Lan, 2008, 416 lk.

2. Beklemishev D.V. Analüütilise geomeetria ja lineaaralgebra kursus. M.: Fizmatlit, 2006, 304 lk.

3. Kostrikin A.I. Sissejuhatus algebrasse. II osa. Algebra alused: õpik ülikoolidele, -M. : Füüsika ja matemaatika kirjandus, 2000, 368 lk.

Loeng nr 17 (II semester)

Teema: Omaväärtused ja omavektorid. Omad alamruumid. Näited.

Samaväärsed maatriksid

Nagu eespool mainitud, on s-järku maatriksi minoor maatriksi determinant, mis on moodustatud algse maatriksi elementidest, mis asuvad mis tahes valitud s rida ja s veergude ristumiskohas.

Definitsioon. Mn järku maatriksis nimetatakse r-järgu molli põhiliseks, kui see ei võrdu nulliga ning kõik r+1 ja kõrgema järgu mollid on nulliga võrdsed või neid pole üldse olemas, s.t. r vastab m või n väiksemale.

Maatriksi veerge ja ridu, millel alus-minoorsed puistud, nimetatakse ka baasiks.

Maatriksil võib olla mitu erinevat põhimolli, millel on sama järjestus.

Definitsioon. Maatriksi põhimolli järjekorda nimetatakse maatriksi auastmeks ja seda tähistatakse Rg A-ga.

Elementaarmaatriksiteisenduste väga oluline omadus on see, et need ei muuda maatriksi auastet.

Definitsioon. Elementaarse teisenduse tulemusena saadud maatriksiid nimetatakse ekvivalentseteks.

Tuleb märkida, et võrdsed maatriksid ja ekvivalentmaatriksid on täiesti erinevad mõisted.

Teoreem. Maatriksi suurim arv lineaarselt sõltumatuid veerge on võrdne lineaarselt sõltumatute ridade arvuga.

Sest elementaarteisendused ei muuda maatriksi auastet, siis saab maatriksi järgu leidmise protsessi oluliselt lihtsustada.

Näide. Määrake maatriksi auaste.

2. Näide: määrake maatriksi auaste.

Kui elementaarteisendusi kasutades ei ole võimalik leida algse maatriksiga samaväärset, kuid väiksema suurusega maatriksit, siis tuleks maatriksi auastme leidmist alustada võimalikult kõrge järgu minoorsete arvutamisega. Ülaltoodud näites on need 3. järgu alaealised. Kui vähemalt üks neist ei ole võrdne nulliga, on maatriksi auaste võrdne selle minoorse järguga.

Teoreem molli alusel.

Teoreem. Suvalises maatriksis A on iga veerg (rida) lineaarne kombinatsioon veergudest (ridadest), milles asub põhimoll.

Seega on suvalise maatriksi A aste võrdne maatriksi lineaarselt sõltumatute ridade (veergude) maksimaalse arvuga.

Kui A on ruutmaatriks ja det A = 0, siis on vähemalt üks veergudest ülejäänud veergude lineaarne kombinatsioon. Sama kehtib ka keelpillide kohta. See väide tuleneb lineaarse sõltuvuse omadusest, kui determinant on võrdne nulliga.

Suvaliste lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine

Nagu eespool mainitud, on maatriksmeetod ja Crameri meetod rakendatavad ainult nendele lineaarvõrrandisüsteemidele, milles tundmatute arv on võrdne võrrandite arvuga. Järgmisena käsitleme suvalisi lineaarvõrrandisüsteeme.

Definitsioon. M võrrandisüsteem, mille üldkujul on n tundmatut, kirjutatakse järgmiselt:

kus aij on koefitsiendid ja bi on konstandid. Süsteemi lahendid on n arvu, mis süsteemiga asendades muudavad iga selle võrrandi identiteediks.

Definitsioon. Kui süsteemil on vähemalt üks lahendus, nimetatakse seda liigendiks. Kui süsteemil pole ühte lahendust, nimetatakse seda ebajärjekindlaks.

Definitsioon. Süsteemi nimetatakse määravaks, kui sellel on ainult üks lahendus, ja määramatuks, kui sellel on rohkem kui üks lahendus.

Definitsioon. Lineaarvõrrandisüsteemi jaoks maatriks

A = nimetatakse süsteemi maatriksiks ja maatriksiks

A*= nimetatakse süsteemi laiendatud maatriksiks

Definitsioon. Kui b1, b2, …,bm = 0, siis nimetatakse süsteemi homogeenseks. homogeenne süsteem on alati järjepidev, sest on alati nulllahendus.

Elementaarsüsteemide teisendused

Elementaarsed teisendused hõlmavad järgmist:

1) Ühe võrrandi mõlemale poolele lisades teise võrrandi vastavad osad, korrutatuna sama arvuga, mis ei ole võrdne nulliga.

2) võrrandite ümberpaigutamine.

3) Eemaldage süsteemist võrrandid, mis on kõigi x-ide identiteedid.

Kroneckeri-Kapeli teoreem (süsteemi järjepidevuse tingimus).

(Leopold Kronecker (1823-1891) saksa matemaatik)

Teoreem: Süsteem on järjekindel (sellel on vähemalt üks lahend) siis ja ainult siis, kui süsteemimaatriksi auaste on võrdne laiendatud maatriksi astmega.

Ilmselgelt saab süsteemi (1) kirjutada kujul.

Sageli kohtab maatriksite võrdsuse ja samaväärsuse mõisteid.

Definitsioon 1

Maatriks $A=\left(a_(ij) \right)_(m\times n) $ on võrdne maatriksiga $B=\left(b_(ij) \right)_(k\times l ) $, kui nende mõõtmed $(m=k,n=l)$ langevad kokku ja võrreldavate maatriksite vastavad elemendid on omavahel võrdsed.

Üldkujul kirjutatud teist järku maatriksite puhul saab maatriksite võrdsuse kirjutada järgmiselt:

Näide 1

Antud maatriksid:

1) $A=\left(\begin(massiivi)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(massiivi)\right),B=\left(\begin( massiiv)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(massiivi)\right)$;

2) $A=\left(\begin(massiivi)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(massiivi)\right),B=\left(\begin( massiiv)(c) (-3) \\ (2) \end(massiivi)\right)$;

3) $A=\left(\begin(massiivi)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(massiivi)\right),B=\left(\begin( massiiv)(cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \end(massiivi)\right)$.

Tehke kindlaks, kas maatriksid on võrdsed.

1) $A=\left(\begin(massiivi)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(massiivi)\right),B=\left(\begin( massiiv)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(massiivi)\right)$

Maatriksitel A ja B on sama järjekord, võrdne 2$\ korda $2. Võrreldavate maatriksite vastavad elemendid on võrdsed, seega on maatriksid võrdsed.

2) $A=\left(\begin(massiivi)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(massiivi)\right),B=\left(\begin( massiiv)(c) (-3) \\ (2) \end(massiivi)\right)$

Maatriksitel A ja B on erinev järjestus, vastavalt 2$\times $2 ja 2$\times $1.

3) $A=\left(\begin(massiivi)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(massiivi)\right),B=\left(\begin( massiiv)(cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \end(massiivi)\right)$

Maatriksitel A ja B on sama järjekord, võrdne 2$\ korda $2. Siiski ei ole kõik võrreldavate maatriksite vastavad elemendid võrdsed, seetõttu pole maatriksid võrdsed.

2. definitsioon

Elementaarmaatriksiteisendus on teisendus, mis säilitab maatriksite samaväärsuse. Teisisõnu, elementaarteisendus ei muuda selle maatriksi poolt esindatud lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi (SLAE) lahenduste kogumit.

Maatriksiridade elementaarsed teisendused hõlmavad järgmist:

• maatriksi rea korrutamine arvuga $k$, mis ei võrdu nulliga (maatriksi determinant suureneb $k$ korda);
• maatriksi mis tahes kahe rea vahetamine;
• maatriksi ühe rea elementidele teise rea elementide lisamine.

Sama kehtib maatriksi veergude kohta ja seda nimetatakse elementaarveeru teisendusteks.

3. määratlus

Kui liigume maatriksilt A elementaarteisendust kasutades maatriksile B, siis nimetatakse algset ja saadud maatriksit ekvivalentseks. Maatriksite samaväärsuse tähistamiseks kasutage märki “$ \sim$”, näiteks $A\sim B$.

Näide 2

Arvestades maatriksit: $A=\left(\begin(massiivi)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2 ) & (3) \end(massiivi)\right)$.

Tehke maatriksiridade elementaarsed teisendused ükshaaval.

Vahetame maatriksi A esimese ja teise rea:

Korrutage maatriksi B esimene rida arvuga 2:

Lisame esimese rea maatriksi teise reaga:

4. definitsioon

Astmemaatriks on maatriks, mis vastab järgmistele tingimustele:

• kui maatriksis on nullrida, on kõik selle all olevad read samuti nullid;
• Iga nullist erineva rea ​​esimene nullist erinev element peab asuma selle rea juhtelemendist rangelt paremal.

Näide 3

Maatriksid $A=\left(\begin(massiivi)(ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & ( 3) \end(massiivi)\right)$ ja $B=\left(\begin(massiivi)(ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & (0) \end(massiivi)\right)$ on ešelonmaatriksid.

Kommenteeri

Maatriksi saab taandada ešelonvormiks, kasutades samaväärseid teisendusi.

Näide 4

Arvestades maatriksit: $A=\left(\begin(massiivi)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2 ) & (3) \end(massiivi)\right)$. Taandage maatriks astmelisele kujule.

Vahetame maatriksi A esimese ja teise rea:

Korrutame maatriksi B esimese rea arvuga 2 ja lisame selle teisele reale:

Korrutame maatriksi C esimese rea arvuga -1 ja lisame selle kolmandale reale:

Korrutame maatriksi D teise rea arvuga -2 ja lisame selle kolmandale reale:

$K=\left(\begin(massiivi)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) & (- 20) \end(massiivi)\right)$ on ešeloni tüüpi maatriks.

Meie vahetu eesmärk on tõestada, et mis tahes maatriksit saab elementaarteisenduste abil taandada mõneks standardvormiks. Samaväärsete maatriksite keel on sellel teel kasulik.

Las olla. Ütleme, et maatriks on maatriksiga l_ekvivalent (p_ekvivalent või ekvivalentne) ja tähistame (või), kui maatriksi saab maatriksist saada piiratud arvu ridade (vastavalt veeru või rea ja veeru) elementaarteisendustega. On selge, et maatriksid l_equivalent ja p_equivalent on samaväärsed.

Esiteks näitame, et mis tahes maatriksit saab taandada erikujule, mida nimetatakse redutseerituks lihtsalt rea teisendustega.

Las olla. Väidetavalt on selle maatriksi nullist erinev rida taandatud kujul, kui see sisaldab elementi, mis on võrdne 1-ga, nii et kõik veeru elemendid peale nulli on võrdsed. Nimetame joone märgitud üksikut elementi selle rea juhtivaks elemendiks ja ümbritseme selle ringiga. Teisisõnu on maatriksi real redutseeritud vorm, kui see maatriks sisaldab vormi veergu

Näiteks järgmises maatriksis

real on järgmine vorm, kuna. Pöörame tähelepanu asjaolule, et selles näites pretendeerib element ka rea ​​juhtiva elemendina. Kui antud tüüpi rida sisaldab edaspidi mitut juhtomadustega elementi, valime neist suvaliselt ainult ühe.

Väidetavalt on maatriksil vähendatud vorm, kui igal selle nullist erineval real on vähendatud vorm. Näiteks maatriks

sellel on järgmine vorm.

Väide 1.3 Iga maatriksi jaoks on samaväärne redutseeritud kujuga maatriks.

Tõepoolest, kui maatriksil on vorm (1.1) ja siis pärast elementaarsete teisenduste tegemist selles

saame maatriksi

milles stringil on järgmine vorm.

Teiseks, kui maatriksi rida vähendati, siis pärast elementaarteisenduste läbiviimist (1.20) vähendatakse maatriksi rida. Tõepoolest, kuna antud, on veerg selline, et

kuid siis ja järelikult peale teisenduste (1.20) läbiviimist veerg ei muutu, s.t. . Seetõttu on real järgmine vorm.

Nüüd on selge, et teisendades maatriksi iga nullist erinevat rida ülaltoodud viisil, saame pärast lõplikku arvu samme redutseeritud kujuga maatriksi. Kuna maatriksi saamiseks kasutati ainult rea elementaarteisendusi, on see l_ekvivalent maatriksiga. >

Näide 7. Koostage taandatud kujuga maatriks, l_ekvivalent maatriksiga