Maatriksi järgu mõiste on tihedalt seotud selle ridade või veergude lineaarse sõltuvuse (sõltumatuse) mõistega. Edaspidi esitame materjali ridade jaoks, esitlus on sarnane.

Maatriksis A Tähistame selle read järgmiselt:

, , …. ,

Väidetavalt on kaks maatriksi rida võrdsed, kui nende vastavad elemendid on võrdsed: , kui , .

Maatriksiridade aritmeetilised toimingud (rea korrutamine arvuga, ridade liitmine) võetakse kasutusele kui elemendihaaval tehtavad toimingud:

Liin e nimetatakse stringide lineaarseks kombinatsiooniks..., maatriks, kui see on võrdne nende ridade suvaliste reaalarvude korrutiste summaga:

Maatriksi ridu nimetatakse lineaarselt sõltuv, kui on numbreid, mis ei ole samaaegselt võrdsed nulliga, nii et maatriksiridade lineaarne kombinatsioon on võrdne nullreaga:

, =(0,0,...,0). (3.3)

Teoreem 3.3Maatriksi read on lineaarselt sõltuvad, kui vähemalt üks maatriksi rida on teiste lineaarne kombinatsioon.

□ Tõepoolest, täpsuse huvides olgu valemis (3.3) , Siis

Seega on rida ülejäänud ridade lineaarne kombinatsioon. ■

Kui ridade lineaarne kombinatsioon (3.3) on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui kõik koefitsiendid on võrdsed nulliga, siis nimetatakse ridu lineaarselt sõltumatuteks.

Teoreem 3.4.(maatriksi auastme kohta) Maatriksi järjestus on võrdne selle lineaarselt sõltumatute ridade või veergude maksimaalse arvuga, mille kaudu kõik teised read (veerud) on lineaarselt väljendatud.

□ Laske maatriksil A suurus m n on auaste r(r min). See tähendab, et on nullist erinev alaealine r- järjekorras. Igasugune nullist erinev alaealine r Seda järjekorda nimetatakse põhi-minoorseks.

Kindluse mõttes olgu base moll juht- või nurgamoll. Siis on maatriksi read lineaarselt sõltumatud. Oletame vastupidist, st üks neist stringidest on näiteks teiste lineaarne kombinatsioon. Lahutage elementidest r- 1. reast 1. rea elemendid korrutatuna , seejärel 2. rea elemendid, korrutisega , ... ja elemendid ( r- 1) - ndad read korrutatuna . Tuginedes omadusele 8, selliste maatriksi teisendustega selle determinant D ei muutu, kuid kuna r- rida koosneb nüüd ainult nullidest, siis D = 0 on vastuolu. Seetõttu on meie oletus, et maatriksi read on lineaarselt sõltuvad, vale.

Kutsume liine põhilised. Näitame, et maatriksi suvalised (r+1) read on lineaarselt sõltuvad, s.t. mis tahes stringi väljendatakse põhilistena.

Vaatleme esimest järku molli (r +1), mis saadakse kõnealust molli teise rea elementidega täiendades i ja veerg j. See moll on null, kuna maatriksi auaste on r, seega on iga kõrgema järgu minoor null.

Laiendades seda vastavalt viimase (lisatud) veeru elementidele, saame

Kus viimase algebralise komplemendi moodul langeb kokku alusminoorsega D ja seetõttu nullist erinev, st. 0.

kus on mõned arvud (mõned neist arvudest või isegi kõik võivad olla nulliga võrdsed). See tähendab, et veergude elementide vahel on järgmised võrdsused:

või ,.

(3.3.1) järeldub, et

(3.3.2)

kus on nullstring.

Definitsioon. Maatriksi A read on lineaarselt sõltuvad, kui on arve, mis ei ole kõik korraga võrdsed nulliga, nii et

(3.3.3)

Kui võrdsus (3.3.3) on tõene siis ja ainult siis, kui , siis nimetatakse ridu lineaarselt sõltumatuteks. Seos (3.3.2) näitab, et kui üks ridadest on lineaarselt väljendatud teistega, siis on read lineaarselt sõltuvad.

Lihtne on näha vastupidist: kui stringid on lineaarselt sõltuvad, siis on string, mis on ülejäänud stringide lineaarne kombinatsioon.

Olgu näiteks sisse (3.3.3), siis .

Definitsioon. Olgu maatriksis A valitud teatud moll r järjekorda ja lase alaealiseks ( r Sama maatriksi +1) järk sisaldab täielikult minoorset . Ütleme, et sel juhul piirneb alaealine alaealisega (või piirneb ).

Nüüd tõestame olulist lemmat.

Lemmaalaealiste kohta. Kui alaealine on korras r maatriks A = erineb nullist ja kõik sellega piirnevad alaealised on võrdsed nulliga, siis on maatriksi A mis tahes rida (veerg) selle ridade (veergude) lineaarne kombinatsioon, mis moodustavad .

Tõestus. Arutlemise üldistust kaotamata eeldame, et nullist erinev moll r järjekord on maatriksi A = vasakus ülanurgas:

.

Esimeseks k Maatriksi A ridade puhul on lemma väide ilmne: piisab, kui lisada lineaarsesse kombinatsiooni sama rida, mille koefitsient on võrdne ühega, ja ülejäänud - nulliga võrdsete kordajatega.

Tõestame nüüd, et maatriksi A ülejäänud read on lineaarselt väljendatud esimesena k read. Selleks konstrueerime molli ( r +1) järjekord, lisades molli k-s rida () ja l veerg ():

.

Saadud moll on kõigi jaoks võrdne nulliga k ja l . Kui , siis on see võrdne nulliga, kuna see sisaldab kahte identset veergu. Kui , siis tulemuseks olev moll on lemma tingimuste kohaselt serv moll ja seega on see võrdne nulliga.

Dekomponeerime molli viimase elementide järgil veerg:

(3.3.4)

kus on elementide algebralised täiendid. Algebraline komplement on maatriksi A moll, seega . Jagage (3.3.4) arvuga ja väljendage seda järgmiselt:

(3.3.5)

Kus,.

Eeldusel saame:

(3.3.6)

Avaldis (3.3.6) tähendab seda k Maatriksi A rida väljendatakse lineaarselt läbi esimese r read.

Kuna maatriksi ülekandmisel ei muutu selle alaealiste väärtused (determinantide omaduste tõttu), siis kehtib kõik tõestatu ka veergude kohta. Teoreem on tõestatud.

Järeldus I . Maatriksi mis tahes rida (veerg) on ​​selle põhiridade (veergude) lineaarne kombinatsioon. Tõepoolest, maatriksi põhimoll on nullist erinev ja kõik sellega piirnevad mollid on nulliga võrdsed.

Järeldus II. Determinant n järjestus on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui see sisaldab lineaarselt sõltuvaid ridu (veergud). Ridade (veergude) lineaarse sõltuvuse piisavus selleks, et determinant oleks võrdne nulliga, tõestati varem kui determinantide omadus.

Tõestame vajalikkust. Olgu antud ruutmaatriks n järgus, mille ainus moll on null. Sellest järeldub, et selle maatriksi auaste on väiksem n , st. on vähemalt üks rida, mis on selle maatriksi põhiridade lineaarne kombinatsioon.

Tõestame veel ühe teoreemi maatriksi auastme kohta.

Teoreem.Maatriksi lineaarselt sõltumatute ridade maksimaalne arv on võrdne selle lineaarselt sõltumatute veergude maksimaalse arvuga ja on võrdne selle maatriksi järjestusega.

Tõestus. Olgu maatriksi A= aste võrdne r. Siis mõni selle k baasread on lineaarselt sõltumatud, vastasel juhul oleks põhimoll null. Teisest küljest mis tahes r +1 või enam rida on lineaarselt sõltuvad. Eeldades vastupidist, võime leida molli, mis on suurem kui r , erineb nullist eelmise lemma järelduse 2 järgi. Viimane on vastuolus sellega, et nullist erineva alaealiste maksimaalne järjekord on võrdne r . Kõik ridade puhul tõestatu kehtib ka veergude puhul.

Kokkuvõtteks toome välja veel ühe meetodi maatriksi auastme leidmiseks. Maatriksi auaste saab määrata, leides maksimaalse järgu molli, mis erineb nullist.

Esmapilgul nõuab see selle maatriksi lõpliku, kuid võib-olla väga suure hulga alaealiste arvutamist.

Järgnev teoreem võimaldab aga sellesse olulisi lihtsustusi sisse viia.

Teoreem.Kui maatriksi A moll on nullist erinev ja kõik sellega piirnevad mollid on võrdsed nulliga, siis on maatriksi auaste võrdne r.

Tõestus. Piisab, kui näidata, et mis tahes maatriksiridade alamsüsteem S>r on teoreemi tingimustes lineaarselt sõltuv (sellest järeldub, et r on maatriksi või selle mis tahes minoorsete ridade maksimaalne arv, mis on suurem kui k on võrdsed nulliga).

Oletame vastupidist. Olgu read lineaarselt sõltumatud. Piirnevate alaealiste lemma kohaselt väljendatakse igaüks neist lineaarselt alaealist sisaldavate ridade kaudu, mis kuna need on nullist erinevad, on lineaarselt sõltumatud:

(3.3.7)

Vaatleme maatriksit K lineaaravaldiste kordajatest (3.3.7):

.

Selle maatriksi ridu tähistatakse . Need on lineaarselt sõltuvad, kuna maatriksi K järk, s.o. selle lineaarselt sõltumatute joonte maksimaalne arv ei ületa r< S . Seetõttu on numbreid, mis ei ole kõik nulliga võrdsed

Liigume edasi komponentide võrdsuse juurde

(3.3.8)

Nüüd kaaluge järgmist lineaarset kombinatsiooni:

või

Lase

Dimensioonimaatriksi veerud. Maatriksi veergude lineaarne kombinatsioon nimetatakse veerumaatriksiks, kus nimetatakse mõningaid reaal- või kompleksarvusid lineaarsed kombinatsiooni koefitsiendid. Kui lineaarses kombinatsioonis võtame kõik koefitsiendid võrdseks nulliga, siis lineaarne kombinatsioon võrdub nulli veeru maatriksiga.

Maatriksi veerge nimetatakse lineaarselt sõltumatu , kui nende lineaarne kombinatsioon on võrdne nulliga ainult siis, kui kõik lineaarse kombinatsiooni koefitsiendid on võrdsed nulliga. Maatriksi veerge nimetatakse lineaarselt sõltuv , kui on arvude hulk, millest vähemalt üks on nullist erinev ja nende koefitsientidega veergude lineaarne kombinatsioon on võrdne nulliga

Samamoodi saab anda maatriksiridade lineaarse sõltuvuse ja lineaarse sõltumatuse definitsioonid. Järgnevalt on kõik teoreemid sõnastatud maatriksi veergude jaoks.

5. teoreem

Kui maatriksi veergude hulgas on null, siis on maatriksi veerud lineaarselt sõltuvad.

Tõestus. Vaatleme lineaarset kombinatsiooni, milles kõik koefitsiendid on nulliga kõigi nullist erineva veergude puhul ja üks kõigi nulli veergude puhul. See on võrdne nulliga ja lineaarse kombinatsiooni koefitsientide hulgas on nullist erinev koefitsient. Seetõttu on maatriksi veerud lineaarselt sõltuvad.

6. teoreem

Kui maatriksi veerud on lineaarselt sõltuvad, see on kõik maatriksi veerud on lineaarselt sõltuvad.

Tõestus. Kindluse huvides eeldame, et maatriksi esimesed veerud lineaarselt sõltuv. Siis on lineaarse sõltuvuse definitsiooni kohaselt arvude hulk, millest vähemalt üks on nullist erinev ja nende koefitsientidega veergude lineaarne kombinatsioon on võrdne nulliga

Teeme lineaarse kombinatsiooni maatriksi kõigist veergudest, sealhulgas ülejäänud nullkoefitsientidega veergudest

Aga . Seetõttu on maatriksi kõik veerud lineaarselt sõltuvad.

Tagajärg. Lineaarselt sõltumatute maatriksi veergude hulgas on kõik lineaarselt sõltumatud. (Seda väidet saab kergesti tõestada vastuoluga.)

7. teoreem

Selleks, et maatriksi veerud oleksid lineaarselt sõltuvad, on vajalik ja piisav, et vähemalt üks maatriksi veerg oleks teiste lineaarne kombinatsioon.

Tõestus.

Vajadus. Olgu maatriksi veerud lineaarselt sõltuvad, see tähendab, et on arvude hulk, mille hulgas vähemalt üks erineb nullist ja nende koefitsientidega veergude lineaarne kombinatsioon on võrdne nulliga

Oletame kindluse mõttes, et . See tähendab, et esimene veerg on ülejäänute lineaarne kombinatsioon.

Adekvaatsus. Olgu maatriksi vähemalt üks veerg teiste lineaarne kombinatsioon, näiteks , kus on mõned arvud.

Siis , see tähendab, et veergude lineaarne kombinatsioon võrdub nulliga ja lineaarse kombinatsiooni arvude hulgas on vähemalt üks (at ) nullist erinev.

Olgu maatriksi auaste . Kutsutakse välja mis tahes nullist erinev 1. järgu moll põhilised . Nimetatakse ridu ja veerge, mille ristumiskohas on põhimoll põhilised .

Lineaarse sõltuvuse ja lineaarse sõltumatuse mõisted on ridade ja veergude jaoks defineeritud võrdselt. Seetõttu kehtivad nende veergude jaoks sõnastatud mõistetega seotud omadused loomulikult ka ridade puhul.

1. Kui veerusüsteem sisaldab nullveeru, siis on see lineaarselt sõltuv.

2. Kui veerusüsteemis on kaks võrdset veergu, siis on see lineaarselt sõltuv.

3. Kui veerusüsteemis on kaks proportsionaalset veergu, siis on see lineaarselt sõltuv.

4. Veergude süsteem on lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui vähemalt üks veergudest on teiste lineaarne kombinatsioon.

5. Kõik lineaarselt sõltumatusse süsteemi kuuluvad veerud moodustavad lineaarselt sõltumatu alamsüsteemi.

6. Kolonnisüsteem, mis sisaldab lineaarselt sõltuvat alamsüsteemi, on lineaarselt sõltuv.

7. Kui veergude süsteem on lineaarselt sõltumatu ja peale veeru lisamist sellele osutub see lineaarselt sõltuvaks, siis saab veergu laiendada veergudeks ja pealegi ainulaadsel viisil, s.t. laienduskoefitsiente saab leida üheselt.

Tõestame näiteks viimast omadust. Kuna veergude süsteem on lineaarselt sõltuv, siis on numbreid, mis ei ole kõik võrdsed 0-ga, mis

Selles võrdsuses. Tegelikult, kui , siis

See tähendab, et mittetriviaalne veergude lineaarne kombinatsioon on võrdne nullveeruga, mis on vastuolus süsteemi lineaarse sõltumatusega. Seetõttu ja siis, st. veerg on veergude lineaarne kombinatsioon. Jääb üle näidata sellise esituse ainulaadsust. Oletame vastupidist. Olgu kaks laiendust ja , ja mitte kõik laienduste koefitsiendid ei ole üksteisega vastavalt võrdsed (näiteks ). Siis võrdsusest

Saame (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

järjestikku on veergude lineaarne kombinatsioon võrdne nullveeruga. Kuna kõik selle koefitsiendid ei ole (vähemalt) võrdsed nulliga, on see kombinatsioon mittetriviaalne, mis on vastuolus veergude lineaarse sõltumatuse tingimusega. Sellest tulenev vastuolu kinnitab laienemise unikaalsust.

Näide 3.2. Tõesta, et kaks nullist erinevat veergu ja on lineaarselt sõltuvad siis ja ainult siis, kui nad on võrdelised, s.t. .

Lahendus. Tegelikult, kui veerud on lineaarselt sõltuvad, siis on numbreid, mis ei ole samal ajal võrdsed nulliga, nii et . Ja selles võrdsuses. Tõepoolest, eeldades, et , saame vastuolu, kuna veerg on ka nullist erinev. Tähendab,. Seetõttu on selline arv, et . Vajadus on tõestatud.

Ja vastupidi, kui , siis . Saime nullveeruga võrdse veergude mittetriviaalse lineaarse kombinatsiooni. See tähendab, et veerud on lineaarselt sõltuvad.

Näide 3.3. Mõelge kõikvõimalikele veergudest moodustatud süsteemidele

Uurige iga süsteemi lineaarset sõltuvust.
Lahendus. Vaatleme viit süsteemi, millest igaüks sisaldab ühte veergu. Vastavalt märkuste 3.1 lõikele 1: süsteemid on lineaarselt sõltumatud ja ühest nullveerust koosnev süsteem on lineaarselt sõltuv.

Vaatleme süsteeme, mis sisaldavad kahte veergu:

– igaüks neljast süsteemist on lineaarselt sõltuv, kuna sisaldab nullveeru (omadus 1);

– süsteem on lineaarselt sõltuv, kuna veerud on proportsionaalsed (omadus 3): ;

– kõik viiest süsteemist on lineaarselt sõltumatud, kuna veerud on ebaproportsionaalsed (vt näite 3.2 väidet).

Mõelge kolme veeruga süsteemidele:

– kõik kuuest süsteemist on lineaarselt sõltuvad, kuna sisaldavad nulli veergu (omadus 1);

– süsteemid on lineaarselt sõltuvad, kuna sisaldavad lineaarselt sõltuvat alamsüsteemi (omadus 6);

– süsteemid ja on lineaarselt sõltuvad, kuna viimast veergu väljendatakse lineaarselt läbi ülejäänud (omadus 4): ja vastavalt.

Lõpuks on neljast või viiest veerust koosnevad süsteemid lineaarselt sõltuvad (6. omaduse järgi).

Maatriksi auaste

Selles jaotises käsitleme veel üht olulist maatriksi numbrilist tunnust, mis on seotud selle ridade (veerude) üksteisest sõltumise ulatusega.

Definitsioon 14.10 Olgu maatriks suuruste ja arvudega, mis ei ületa väikseimat arvudest, ja antakse: . Valime juhuslikult maatriksi read ja veerud (ridade numbrid võivad veergude numbritest erineda). Valitud ridade ja veergude ristumiskohas asuvatest elementidest koosneva maatriksi determinanti nimetatakse maatriksi järjestus minoriks.

Näide 14.9 Lase .

Esimest järku moll on maatriksi mis tahes element. Seega 2, , on esimest järku alaealised.

Teise järgu alaealised:

1. võtame read 1, 2, veerud 1, 2, saame minoori ;

2. võtame read 1, 3, veerud 2, 4, saame minoori ;

3. võtame read 2, 3, veerud 1, 4, saame minoorsed

Kolmanda järgu alaealised:

siin olevaid ridu saab valida ainult ühel viisil,

1. võtame veerud 1, 3, 4, saame minoori ;

2. võtame veerud 1, 2, 3, saame minoori .

Ettepanek 14.23 Kui kõik järgu maatriksi minoorsed on võrdsed nulliga, siis kõik järgu mollid, kui need on olemas, on samuti võrdsed nulliga.

Tõestus. Võtame korra suvalise molli . See on järjestusmaatriksi determinant. Jaotame selle esimese rea järgi. Siis on igas laiendusliikmes üks tegureid algse maatriksi järgu väike. Tingimuse järgi on tellimuse alaealised võrdsed nulliga. Seetõttu on järjekorra moll võrdne nulliga.

Definitsioon 14.11 Maatriksi auaste on maatriksi alatähtede suurim järjekord peale nulli. Nullmaatriksi auaste loetakse nulliks.

Maatriksi auastme jaoks pole ühtset standardset tähistust. Õpiku järgi tähistame seda.

Näide 14.10 Näite 14.9 maatriksil on auaste 3, kuna seal on kolmandat järku alaealised, mis erinevad nullist, kuid neljandat järku alaealisi pole.

Maatriksi auaste on võrdne 1-ga, kuna on olemas nullist erinev esimest järku moll (maatriksielement) ja kõik teist järku mollid on võrdsed nulliga.

Järkjärgu mitteainsuse ruutmaatriksi auaste on võrdne , kuna selle determinant on järgu moll ja mitteainsuse maatriksi puhul nullist erinev.

Ettepanek 14.24 Maatriksi transponeerimisel ei muutu selle järjestus, st .

Tõestus. Algmaatriksi transponeeritud moll on ülevõetud maatriksi moll ja vastupidi, mis tahes moll on algse maatriksi transponeeritud moll. Transponeerimisel determinant (minoor) ei muutu (väide 14.6). Seega, kui kõik algse maatriksi järgu minoorsed väärtused on nulliga, siis kõik sama järgu mollid in on samuti võrdsed nulliga. Kui algse maatriksi järgu moll erineb nullist, siis b on sama järku moll, mis erineb nullist. Seega .

Definitsioon 14.12 Olgu maatriksi auaste . Seejärel nimetatakse iga järgu molli, välja arvatud null, põhimolliks.

Näide 14.11 Lase . Maatriksi determinant on null, kuna kolmas rida on võrdne kahe esimese summaga. Teise järgu moll, mis asub kahes esimeses reas ja kahes esimeses veerus, on võrdne . Järelikult on maatriksi auaste kaks ja vaadeldav alaealine on põhiline.

Põhimoll on ka moll, mis asub näiteks esimeses ja kolmandas reas, esimeses ja kolmandas veerus: . Minor on teises ja kolmandas reas, esimeses ja kolmandas veerus põhiline: .

Esimeses ja teises reas, teises ja kolmandas veerus olev moll on null ja seetõttu ei võeta aluseks. Lugeja saab iseseisvalt kontrollida, millised teised teise järgu alaealised on põhilised ja millised mitte.

Kuna maatriksi veerge (ridu) saab liita, korrutada arvudega ja moodustada lineaarseid kombinatsioone, on võimalik kasutusele võtta maatriksi veergude (ridade) süsteemi lineaarse sõltuvuse ja lineaarse sõltumatuse definitsioonid. Need definitsioonid on sarnased samade vektorite definitsioonidega 10.14, 10.15.

Definitsioon 14.13 Veergude (ridade) süsteemi nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui on olemas selline koefitsientide kogum, millest vähemalt üks erineb nullist, et nende koefitsientidega veergude (ridade) lineaarne kombinatsioon on võrdne nulliga.

Definitsioon 14.14 Veergude (ridade) süsteem on lineaarselt sõltumatu, kui nende veergude (ridade) lineaarse kombinatsiooni võrdsus nulliga tähendab, et selle lineaarse kombinatsiooni kõik koefitsiendid on võrdsed nulliga.

Järgmine väide, mis on sarnane lausega 10.6, on samuti tõene.

Lause 14.25 Veergude (ridade) süsteem on lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui üks veergudest (üks ridadest) on selle süsteemi teiste veergude (ridade) lineaarne kombinatsioon.

Sõnastame teoreemi nimega alus moll teoreem.

Teoreem 14.2 Iga maatriksi veerg on põhimolli läbivate veergude lineaarne kombinatsioon.

Tõestust võib leida lineaaralgebra õpikutest, näiteks,.

Ettepanek 14.26 Maatriksi järjestus on võrdne selle veergude maksimaalse arvuga, mis moodustavad lineaarselt sõltumatu süsteemi.

Tõestus. Olgu maatriksi auaste . Võtame baasmolli läbivad veerud. Oletame, et need veerud moodustavad lineaarselt sõltuva süsteemi. Siis on üks veergudest teiste lineaarne kombinatsioon. Seetõttu on põhimolli puhul üks veerg teiste veergude lineaarne kombinatsioon. Lausete 14.15 ja 14.18 järgi peab see alus-moll olema võrdne nulliga, mis on vastuolus põhimolli definitsiooniga. Seetõttu ei pea paika eeldus, et põhimolli läbivad veerud on lineaarselt sõltuvad. Seega on lineaarselt sõltumatu süsteemi moodustavate veergude maksimaalne arv suurem kui .

Oletame, et veerud moodustavad lineaarselt sõltumatu süsteemi. Teeme neist maatriksi. Kõik maatriks-mollid on maatriks-mollid. Seetõttu ei ole maatriksi alusmolli järjekord suurem kui . Põhimolli teoreemi kohaselt on veerg, mis ei läbi maatriksi alusmolli, lineaarne kombinatsioon põhimolli läbivatest veergudest, see tähendab, et maatriksi veerud moodustavad lineaarselt sõltuva süsteemi. See on vastuolus maatriksi moodustavate veergude valikuga. Järelikult ei saa lineaarselt sõltumatu süsteemi moodustavate veergude maksimaalne arv olla suurem kui . See tähendab, et see on võrdne väidetuga.

Ettepanek 14.27 Maatriksi järjestus on võrdne selle ridade maksimaalse arvuga, mis moodustavad lineaarselt sõltumatu süsteemi.

Tõestus. Lause 14.24 kohaselt ei muutu maatriksi auaste transponeerimise ajal. Maatriksi ridadest saavad selle veerud. Lineaarselt sõltumatu süsteemi moodustavate transponeeritud maatriksi uute veergude (endised read originaalis) maksimaalne arv on võrdne maatriksi auastmega.

Ettepanek 14.28 Kui maatriksi determinant on null, on üks selle veergudest (üks ridadest) ülejäänud veergude (ridade) lineaarne kombinatsioon.

Tõestus. Olgu maatriksi järjekord võrdne . Determinant on ruutmaatriksi ainus kõrvaltäht, millel on järjestus. Kuna see on võrdne nulliga, siis . Järelikult on veergude (ridade) süsteem lineaarselt sõltuv, see tähendab, et üks veergudest (üks ridadest) on teiste lineaarne kombinatsioon.

Lausete 14.15, 14.18 ja 14.28 tulemused annavad järgmise teoreemi.

Teoreem 14.3 Maatriksi determinant on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui üks selle veergudest (üks ridadest) on ülejäänud veergude (ridade) lineaarne kombinatsioon.

Maatriksi auastme leidmine kõigi selle alaealiste arvutamise teel nõuab liiga palju arvutustööd. (Lugeja võib kontrollida, kas neljandat järku ruutmaatriksis on 36 teist järku minoorset.) Seetõttu kasutatakse auastme leidmiseks teistsugust algoritmi. Selle kirjeldamiseks on vaja täiendavat teavet.

Definitsioon 14.15 Nimetagem järgmisi toiminguid nendega maatriksite elementaarseteks teisendusteks:

1) ridade või veergude ümberpaigutamine;
2) rea või veeru korrutamine nullist erineva arvuga;
3) ühele reale arvuga korrutatud rea lisamine või ühele veerule teise arvuga korrutatud veeru lisamine.

Ettepanek 14.29 Elementaarteisenduste käigus maatriksi auaste ei muutu.

Tõestus. Olgu maatriksi auaste võrdne , - elementaarteisenduse sooritamisel saadud maatriksiga.

Vaatleme stringide permutatsiooni. Olgu maatriksi moll, siis on maatriksil moll, mis sellega kas ühtib või erineb ridu ümber paigutades. Vastupidiselt võib iga maatriksi minoorset seostada maatriksi minoorsega, millel on sama ridade järjestus või mis erineb sellest. Seega, sellest, et maatriksis on kõik järgu minoorsed võrdsed nulliga, järeldub, et maatriksis on kõik selle järgu minoorsed samuti võrdsed nulliga. Ja kuna maatriksil on nullist erinev järgu moll, siis on maatriksil ka nullist erinev järgu moll, see tähendab .

Kaaluge stringi korrutamist nullist erineva arvuga. Minor maatriksist vastab mollile maatriksist, mis sellega kas kattub või erineb sellest ainult ühes reas, mis saadakse molli reast nullist erineva arvu korrutamisel. Viimasel juhul. Kõikidel juhtudel on kas ja samaaegselt võrdsed nulliga või samal ajal nullist erinevad. Seega,.