Ühe kanaliga smo ootamise ja piiratud järjekorraga. Ühe kanaliga järjekorrajaam koos ootega Järjekorrajaam m seadmega ja piiratud järjekorraga

Piiramatu sissetuleva vooluga ootesüsteemid

n identset kanalit võtavad vastu kõige lihtsama intensiivsusega päringute voo λ . Kui päringu saamise hetkel on kõik kanalid hõivatud, pannakse see päring järjekorda ja ootab teeninduse algust. Iga päringu teenindusaeg on juhuslik suurus, mis järgib parameetriga eksponentsiaalse jaotuse seadust μ .

Arvutusvalemid
Tõenäosus, et kõik kanalid on tasuta

Tõenäosus, et see on hõivatud k kanalid, tingimusel et teenindatavate päringute koguarv ei ületa kanalite arvu,

Tõenäosus, et süsteem sisaldab k päringud, kui nende arv on suurem kui kanalite arv,

Tõenäosus, et kõik kanalid on hõivatud, on

Keskmine ooteaeg, kuni rakendus hakkab süsteemis teenindama

Keskmine järjekorra pikkus

Keskmine teenusest vabade kanalite arv

Näide
Kahe pumbaga bensiinijaam teenindab Poissoni autode voolu intensiivsusega λ=0,8 autot minutis. Ühe masina hooldusaeg järgib eksponentsiaalseadust, mille keskmine väärtus on 2 minutit. Teist tanklat piirkonnas ei ole, seega võib tankla ees olev järjekord pea piiramatult kasvada. Leia:
1) keskmine hõivatud veergude arv;
2) tanklasse järjekorra puudumise tõenäosus;
3) tõenäosus, et peate teenuse algust ootama;
4) keskmine autode arv järjekorras;
5) keskmine järjekorras seismise aeg;
6) keskmine aeg, mille auto tanklas veedab;
7) keskmine autode arv tanklates.
Lahendus. Vastavalt ülesande tingimustele n=2, λ=0,8; μ=1/t obs = 0,5; ρ=λ/μ=1,6
Kuna ρ /n=0,8<1, то очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы системы массового обслуживания.
Leiame QS olekute tõenäosused:

Hõivatud veergude keskmine arv:
N zan = n-N 0 = 2-(2 p 0 + 1 p 1) = 2-2 0,1111 - 0,1778 = 1,6
Tõenäosus, et tanklas järjekorda ei teki:

Tõenäosus, et peate ootama teenuse käivitumist, on võrdne tõenäosusega, et kõik veerud on hõivatud:
p 0 + p 1 + p 2 = 0,1111 + 0,1778 + 0,1422 = 0,4311
Järjekorras olevate autode keskmine arv:

Keskmine ooteaeg järjekorras:
Keskmine aeg, mille auto bensiinijaamas veedab:
t preb = t obs + t cool = 2+3,5556 = 5,5556 min.
Keskmine autode arv tanklates:
N zan + L och = 1,6 + 2,8444 = 4,4444
Mõelge ühe kanaliga ootustega QS-ile, milles kanalite arv on võrdne ühega n= 1, päringute intensiivsus on λ, teenuse intensiivsus on μ. Ajal, mil kanal on hõivatud, saabunud taotlus on järjekorras ja ootab teenust. Järjekorras olevate kohtade arv on piiratud ja võrdne m. Kui kõik kohad järjekorras on hõivatud, jätab rakendus järjekorra teenindamata. Analüüsime süsteemi olekut:

S 0 – kanal on vaba;
S 1 – kanal kinni;
S 2 – kanal on hõivatud, üks päring on järjekorras;
Sk– kanal on hõivatud, (k–1) päringud on järjekorras;
Sm+ 1 – kanal hõivatud, järjekorras m rakendusi.

Kujutagem sellise QS-i olekugraafikut (joonis 25).

Riis. 25
Erlangi valemite abil leiame sündmuste tõenäosused, mis seisnevad selles, et QS on olekus S 1 , S 2 , …, S m+1:
(28)

Sel juhul on tõenäosus, et süsteemi saabuv rakendus selle vabaks leiab, võrdub
. (29)
Päringute vastuvõtu intensiivsuse λ suhe teenindamispäringute intensiivsusse μ on vähendatud intensiivsus μ, s.o.

ρ=λ/μ
Asendame valemites (28) ja (29) suhte λ/&mu väärtusega ρ, siis saavad avaldised järgmisel kujul:

(30)
Tõenäosus R 0 arvutatakse järgmise valemi abil:
p 0 = -1. (31)
Tõenäosuse avaldis P 0 on geomeetriline progressioon, mille summa on võrdne

.
Seega võimaldavad valemid (30) ja (31) määrata mis tahes süsteemis toimuda võiva sündmuse tõenäosuse, st määrata süsteemi mis tahes olekus olemise tõenäosuse.
Valem jaoks P 0 kehtib juhul, kui ρ ≠ 1. Kui ρ = 1, st taotluste vastuvõtmise intensiivsus on võrdne nende teenindamise intensiivsusega, kasutatakse süsteemi vaba tõenäosuse arvutamiseks teist valemit:

,
kus m on järjekorras olevate rakenduste arv.

Defineerime ühe kanaliga QS-i jõudlusnäitajad:

tõenäosus, et järgmine süsteemi saabuv taotlus lükatakse tagasi R avatud;
absoluutne läbilaskevõime A,
suhteline läbilaskevõime K,
hõivatud kanalite arv k,
keskmine päringute arv järjekorras r,
QS-iga seotud rakenduste keskmine arv, z .

Järgmine süsteemi sisenev päring lükatakse tagasi, kui kanal on hõivatud, st teist päringut teenindatakse ja see on kõik m ka kohad järjekorras on täidetud. siis saab selle sündmuse tõenäosuse arvutada järgmise valemi abil:

. (32)
Tõenäosus, et rakendus tuleb süsteemi ja seda kas kohe teenindatakse või järjekorras on kohti, st suhtelise läbilaskevõime, saab leida valemiga

. (33)
Ajaühikus teenindatavate päringute keskmine arv, st absoluutne läbilaskevõime, arvutatakse järgmiselt.

A=Q·λ (34)
Seega on valemite (32), (33), (34) abil võimalik välja arvutada mis tahes järjekorrasüsteemi peamised jõudlusnäitajad. Nüüd tuletame avaldised ainult sellele QS-ile omaste omaduste arvutamiseks.
Keskmise päringute arvu järjekorras r määratleme diskreetse juhusliku muutuja matemaatilise ootusena, kus R– järjekorras olevate taotluste arv.
♦ R 2 on tõenäosus, et teenusejärjekorras on üks päring;
♦ R 3 – tõenäosus, et järjekorras on kaks rakendust;
♦ Rk– tõenäosus, et järjekorras on (k–1) rakendust;
♦ Rm+ 1 – tõenäosus, et järjekorras on m rakendust.
Seejärel saab järjekorras olevate rakenduste keskmise arvu arvutada järgmiselt:
r =1 · P 2 + 2 · P 3 + ... + (k-1) · P k + ... + m · P m + 1 . (35)
Asendame valemis (35) valemis (30) arvutatud varem leitud tõenäosusväärtused:
r =1·ρ 2 ·p 0 +2·ρ 3 ·p 0 + ... +(k-1)·ρ k ·p 0 + ... +m·ρ m+1 ·p 0 . (35)
Võtame tõenäosuse võrrandist välja P 0 ja R 2, siis saame lõpliku valemi teenusejärjekorras olevate taotluste keskmise arvu arvutamiseks:
r =ρ 2 p 0 (1+2 ρ+ ... +(k-1) ρ k-2 + ... +m ρ m-1)
Tuletame QS-iga seotud rakenduste keskmise arvu z valem, st teenindatavate rakenduste arvu järjekorras. Arvestage QS-iga seotud rakenduste koguarvu z järjekorras r keskmise rakenduste arvu ja hõivatud kanalite arvu kahe väärtuse summana:

z = r +k.
Kuna kanaleid on ainult üks, siis võib hõivatud kanalite arv k olla 0 või 1. Tõenäosus, et k = 0, s.o. süsteem on vaba, vastab tõenäosusele P 0, mille väärtuse saab leida valemi (31) abil. Kui k = 1, s.o. kanal on hõivatud päringu teenindamisega, kuid järjekorras on veel kohti, siis saab selle sündmuse tõenäosuse arvutada valemiga

.
Seetõttu on z võrdne:

. (37)

Ühe kanaliga QS koos ootamisega

Järjekorrasüsteemil on üks kanal. Sissetulev teenusepäringute voog on lihtsaim voog intensiivsusega l. Teenusevoo intensiivsus on võrdne m-ga (st pidevalt hõivatud kanal väljastab keskmiselt m teenindatud päringut). Teenistuse kestus on juhuslik suurus, mille suhtes kehtib eksponentsiaalse jaotuse seadus. Teenusvoog on kõige lihtsam Poissoni sündmuste voog. Kui kanal on hõivatud, on päring järjekorda pandud ja ootab teenust.
Oletame, et olenemata sellest, kui palju päringuid teenindava süsteemi sisendisse saabub, ei suuda see süsteem (järjekord + teenindatavad kliendid) mahutada rohkem kui N-nõuet (rakendusi), st kliente, kes pole ootel, on sunnitud teenindama mujal . Lõpuks on teenusepäringuid genereerival allikal piiramatu (lõpmatult suur) võimsus.
QS-i olekugraafik on sel juhul kujul, mis on näidatud joonisel fig. 3.2.

Ühe kanaliga QS-i olekugraafik koos ootamisega (surma ja paljunemise skeem)
QS-i olekutel on järgmine tõlgendus:
S 0 - kanal vaba
S 1 - kanal on hõivatud (järjekord puudub);
S 2 - kanal on hõivatud (üks päring on järjekorras);
………………………………
S n - kanal on hõivatud (järjekorras on n - 1 päringut);
……………………………
S N - kanal on hõivatud (N - 1 rakendust on järjekorras).
Statsionaarset langust selles süsteemis kirjeldatakse järgmise algebralise võrrandi süsteemiga:

P - staatuse number.
Ülaltoodud võrrandisüsteemi (3.10) lahendus meie QS-mudeli jaoks on kujul

Tuleb märkida, et antud QS-i statsionaarsuse tingimuse täitmine ei ole vajalik, kuna teenindamissüsteemi vastuvõetavate rakenduste arvu kontrollitakse järjekorra pikkuse piirangu kehtestamisega (mis ei tohi ületada N- 1), mitte sisendvoo intensiivsuse suhe, st mitte suhe
l/m = p
Defineerime ühe kanaliga QS-i omadused ootamise ja piiratud järjekorra pikkusega võrdne (N- 1):

Vaatleme näidet ühe kanaliga QS-ist koos ootamisega.
Näide 3.2. Spetsiaalne diagnostikapost on ühe kanaliga QS. Diagnostikat ootavate autode parklate arv on piiratud ja võrdne 3-ga [(N- 1) = 3]. Kui kõik parklad on hõivatud, st järjekorras juba kolm autot, siis järgmist diagnostikasse saabuvat autot hooldusjärjekorda ei panda. Diagnostikale saabuvate autode voog jaotub Poissoni seaduse järgi ja on intensiivsusega l= 0,85 (sõidukeid tunnis). Sõiduki diagnostika aeg jaotub eksponentsiaalseaduse järgi ja on keskmiselt 1,05 tundi.
Vaja kindlaks teha statsionaarses režiimis töötava diagnostikajaama tõenäosuslikud omadused.
Lahendus
1. Sõiduki hooldusvoolu parameeter:

2. Liiklusvoo vähenenud intensiivsus on määratletud intensiivsuste l ja m suhtena, s.o.

3. Arvutame välja süsteemi lõplikud tõenäosused:

P 1 = ρ P 0 = 0,893 0,248 = 0,221
P 2 = ρ 2 P 0 = 0,893 2 0,248 = 0,198
P 3 = ρ 3 P 0 = 0,893 3 0,248 = 0,177
P 4 = ρ 4 P 0 = 0,893 2 0,248 = 0,158
4. Sõiduki hooldamata jätmise tõenäosus:
P avatud =P 4 =ρ 4 ·P 0 ≈ 0,158
5. Diagnostikaposti suhteline läbilaskevõime:
q = 1-P avatud = 1-0,158 = 0,842
6. Diagnostikajaama absoluutne läbilaskevõime
A=λ·q = 0,85·0,842 = 0,716 (sõidukeid tunnis)
7. Keskmine hoolduses olevate ja järjekorras (st järjekorrasüsteemis) olevate autode arv:

8. Keskmine aeg, mille jooksul auto süsteemis viibib:
9. Taotluse keskmine teenusejärjekorras viibimise kestus:
W q = W S -1 / μ = 2,473-1 / 0,952 = 1,423 tundi
10. Keskmine taotluste arv järjekorras (järjekorra pikkus): Lq= A,(1 - P N) W q= 0,85
L q = λ(1-P N) W q = 0,85 (1-0,158) 1,423 = 1,02
Vaatlusaluse diagnostikapunkti tööd võib lugeda rahuldavaks, kuna diagnostikapunkt ei teeninda autosid keskmiselt 15,8% juhtudest (R avatud= 0,158). QS-i efektiivsuse näitajatena ootusega, lisaks juba teadaolevatele näitajatele - absoluutne A ja suhteline Q läbilaskevõime, ebaõnnestumise tõenäosus P tagasilükkamine. , keskmine hõivatud kanalite arv (mitme kanaliga süsteemi puhul) võtame arvesse ka järgmist: L syst. - keskmine rakenduste arv süsteemi; T süsteem - rakenduse keskmine süsteemis viibimise aeg; L väga - keskmine taotluste arv järjekorras (järjekorra pikkus); T och. - rakenduse järjekorras püsimise keskmine aeg; Rzan.. - tõenäosus, et kanal on hõivatud (kanali koormuse aste).

Ühe kanaliga süsteem piiramatu järjekorraga

Praktikas tuleb sageli ette piiramatu järjekorraga ühe kanaliga QS-e (näiteks ühe kabiiniga taksotelefon).
Mõelgem probleemile.
Seal on ühe kanaliga QS järjekorraga, millele piiranguid ei sea (ei järjekorra pikkusele ega ooteajale). QS-i saabuvate päringute voo intensiivsus on λ ja teenindusvoo intensiivsus μ. Vajalik on leida QS olekute piiravad tõenäosused ja tulemusnäitajad.
Süsteem võib olla ühes olekus S 0 , S 1 , S 2 , …, S k , vastavalt päringute arvule QS-is: S 0 - kanal on vaba; S 1 - kanal on hõivatud (teenindab päringut), järjekorda pole, S 2 - kanal on hõivatud, üks päring on järjekorras; ... S k - kanal on hõivatud, (k-1) rakendused on järjekorras jne.
QS-i olekugraafik on näidatud joonisel fig. 8.

Riis. 8
See on surma- ja taastootmisprotsess, kuid lõpmatu arvu olekutega, milles rakenduste voo intensiivsus on võrdne λ-ga ja teenuste voo intensiivsus on μ.
Enne tõenäosuste piiramise valemite üleskirjutamist tuleb nende olemasolus kindel olla, sest aja t→∞ korral võib järjekord piiramatult suureneda. On tõestatud, et Kuiρ<1, need. keskmine sissetulevate rakenduste arv on väiksem kui teenindatavate rakenduste keskmine arv (ajaühiku kohta), siis on olemas piiravad tõenäosused. Kuiρ≥1, järjekord kasvab lõputult.

Olekute piiravate tõenäosuste määramiseks kasutame surma ja paljunemise protsessi jaoks valemeid (16), (17) (siin tunnistame teatavat ranguse puudumist, kuna need valemid saadi varem lõpliku arvu süsteemi olekud). Me saame (32)
Kuna piiravad tõenäosused eksisteerivad ainult ρ puhul< 1, то геометрический ряд со знаменателем
ρ < 1, записанный в скобках в формуле (32), сходится к сумме, равной . Поэтому
p 0 =1-ρ, (33)
ja suhteid arvesse võttes (17)
p1 =ρ·p0; p 2 =ρ 2 · p 0 ; ... ; p k =ρ k · p 0 ; ...
leiame teiste olekute piiravad tõenäosused
p1 =ρ·(1-ρ); p2 =ρ2 · (1-ρ); ... ; p k =ρ k · (1-ρ); ... (34)
Piiravad tõenäosused p 0 , p 1 , p 2 , …, p k , … moodustavad kahaneva geomeetrilise elukutse nimetajaga p< 1, следовательно, вероятность р 0 - наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при ρ < 1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.
Keskmine rakenduste arv süsteemis L. määrame matemaatilise ootuse valemi abil, mis (34) arvesse võttes saab kuju
(35)
(liitmine 1-st ∞-ni, kuna nullliige on 0·p 0 =0).
Võib näidata, et valem (35) teisendab (at ρ< 1) к виду
(36)
Leiame keskmise taotluste arvu järjekorras L väga. See on ilmne
L och =L syst -L rev (37)
kus L vol. – teenindatavate rakenduste keskmine arv.
Teenuse all olevate päringute keskmine arv määratakse teenindatavate päringute arvu matemaatilise ootuse valemiga, võttes väärtuseks 0 (kui kanal on vaba) või 1 (kui kanal on hõivatud):
L och = 0 p 0 +1 (1-p 0)
need. teenindatavate päringute keskmine arv on võrdne tõenäosusega, et kanal on hõivatud:
L och = P zan = 1-p 0, (38)
Tegelikult (33)
L och = P za ρ, (39)
Nüüd valemi (37) järgi, võttes arvesse (36) ja (39)
(40)
On tõestatud, et mis tahes laadi rakenduste voo, mis tahes teenindusaja jaotuse ja mis tahes teenindusdistsipliini puhul on päringu keskmine aeg süsteemis (järjekorras) võrdne keskmise rakenduste arvuga süsteemis (järjekorras) jagatuna rakenduste voo intensiivsuse järgi, need.
(41)
(42)
Valemeid (41) ja (42) nimetatakse Little'i valemid. Need tulenevad sellest, et piiravas statsionaarses režiimis võrdub süsteemi saabuvate rakenduste keskmine arv sellest väljuvate rakenduste keskmise arvuga: mõlema päringuvoo intensiivsus λ on sama.
Valemite (41) ja (42) põhjal, võttes arvesse (36) ja (40), määratakse rakenduse keskmine süsteemis viibimise aeg valemiga:
(43)
ja keskmine aeg, mil rakendus on järjekorras
(44)

Ühe kanaliga QS koos ootamisega ilma ooteploki mahupiiranguteta

Selle QS-i statsionaarne töörežiim eksisteerib t→∞ korral mis tahes n=0,1,2,... ja kui l< m.Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при t®¥ для любого n = 0, 1, 2...., имеет вид
Selle võrrandisüsteemi lahendusel on vorm
P n =(1-ρ)·ρ n, n=0,1,2,... (3.21)
kus ρ=λ/μ< 1
Ühe kanaliga QS koos ootamisega, ilma järjekorra pikkuse piiranguteta, on järgmised:
keskmine klientide (päringute) arv süsteemis:
kliendi keskmine süsteemis viibimise kestus:

Näide 3.3. Meenutagem näites 3.2 vaadeldud olukorda, kus räägime diagnostikaposti toimimisest. Teenindusse saabuvatele sõidukitele olgu kõnealusel diagnostikapostil piiramatu arv parkimiskohti, st järjekorra pikkus on piiramatu.
On vaja kindlaks määrata järgmiste tõenäosuslike karakteristikute lõplikud väärtused:

süsteemi olekute tõenäosused (diagnostikajaam);
keskmine autode arv süsteemis (hoolduses ja järjekorras);
sõiduki keskmine süsteemis viibimise kestus (teeninduses ja järjekorras);
keskmine hooldusjärjekorras olevate autode arv;
keskmine aeg, mil auto rivis seisab.

Lahendus
1. Teenindusvoolu parameeter m ja sõiduki vooluhulga vähendatud intensiivsus p on määratletud näites 3.2:
m = 0,952; p = 0,893.
2. Arvuta valemite abil süsteemi piiravad tõenäosused
P 0 = 1-ρ = 1-0,893 = 0,107
P 1 = (1-ρ) ρ = (1-0,893) 0,893 = 0,096
P 2 = (1-ρ) ρ 2 = (1-0,893) 2 0,893 = 0,085
P 3 = (1-ρ) ρ 3 = (1-0,893) 3 0,893 = 0,076
P 4 = (1-ρ) ρ 4 = (1-0,893) 4 0,893 = 0,068
P 5 = (1-ρ) ρ 5 = (1-0,893) 5 0,893 = 0,061
jne.
Tuleb märkida, et P o määrab aja osakaalu, mille jooksul diagnostiline postitus on sunnitud olema passiivne (jõude). Meie näites on see 10,7%, alates R o= 0,107.
3. Keskmine autode arv süsteemis (hoolduses ja järjekorras):
4. Kliendi keskmine süsteemis viibimise kestus:

6. Auto keskmine järjekorras viibimise kestus -
7. Suhteline süsteemi läbilaskevõime:
st iga rakendust, mis süsteemi tuleb, teenindatakse.
8. Absoluutne läbilaskevõime: A= l q= 0,85 1 = 0,85
Olgu öeldud, et autode diagnoosimisega tegelevat ettevõtet huvitab eelkõige see, kui palju kliente järjekorra pikkuse piirangu kaotamisel diagnostikaposti külastavad.
Oletame, et algses versioonis oli saabuvate autode parkimiskohtade arv võrdne kolmega (vt näide 3.2). Olukordade sagedus m, kui diagnostikapunkti saabuv auto ei saa järjekorda astuda:

T= l P N

Meie näites, kus N = 3 + 1 = 4 ja p = 0,893,
m = l P o p 4 = 0,85·0,248·0,8934·0,134 autot tunnis.
Diagnostikajaama 12-tunnise töörežiimi korral on see samaväärne asjaoluga, et diagnostikajaam kaotab keskmiselt 12·0,134 = 1,6 autot vahetuses (päevas).
Järjekorra pikkuse piirangu kaotamine võimaldab meil suurendada meie näites teenindatavate klientide arvu keskmiselt 1,6 auto võrra vahetuses (12 tundi tööd) diagnostikajaamas. On selge, et diagnostikajaama saabuvate sõidukite parkimisala laiendamise otsus peab põhinema klientide kaotusega kaasneva majandusliku kahju hindamisel, kui nendele sõidukitele on ainult kolm parkimiskohta.

Mitmekanaliline QS piiramatu järjekorraga

Mõelgem probleemile. Seal on n-kanaliga QS piiramatu järjekorraga. QS-i saabuvate päringute voo intensiivsus on λ ja teenindusvoo intensiivsus μ. Vajalik on leida QS olekute piiravad tõenäosused ja selle efektiivsuse näitajad.

Süsteem võib olla ühes olekus S 0 , S 1 , S 2 ,…, S k ,…, S n ,…, - nummerdatud vastavalt QS-is olevate rakenduste arvule: S 0 - rakenduses pole ühtegi rakendust. süsteem (kõik kanalid on tasuta) ; S 1 - üks kanal on hõivatud, ülejäänud on vabad; S 2 - kaks kanalit on hõivatud, ülejäänud on vabad;..., S k - k kanalit on hõivatud, ülejäänud on vabad;..., S n - kõik n kanalit on hõivatud (ei ole järjekorda); S n+1 - kõik n kanalit on hõivatud, järjekorras on üks päring;..., S n+r - kõik on hõivatud n kanalid, r taotlused on järjekorras...

Süsteemi oleku graafik on näidatud joonisel fig. 9. Pangem tähele, et erinevalt eelmisest QS-ist ei jää teenusevoo intensiivsus (süsteemi ühest olekust teise üleviimine paremalt vasakule) konstantseks ning päringute arvu suurenedes QS-is 0-lt n, suureneb see m-lt nm-ni, kuna teeninduskanalite arv suureneb vastavalt. Kui taotluste arv QS-is on suurem kui n, jääb teenusevoo intensiivsus võrdseks nm-ga.

keskmine järjekorras olevate taotluste arv
, (50)
keskmine rakenduste arv süsteemis
L süsteem = L ja +ρ, (51)
Keskmine rakenduse järjekorras viibimise aeg ja rakenduse keskmine süsteemis viibimise aeg, nagu varemgi, leitakse Little'i valemite (42) ja (41) abil.
kommenteerida. Piiramatu järjekorraga QS-i jaoks aadressil r< 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа P отк = 0, относительная пропускная способность K=1 ja absoluutne läbilaskevõime võrdub päringute sissetuleva voo intensiivsusega, st. A=l.

QS piiratud järjekorraga

QS piiratud järjekorraga. Piiratud järjekorraga küsimused erinevad ülaltoodud probleemidest ainult selle poolest, et taotluste arv järjekorras on piiratud (ei tohi ületada teatud määratud T). Kui uus päring saabub ajal, mil kõik kohad järjekorras on hõivatud, jätab see QS-i teenindamata, s.t. lükatakse tagasi.
Ilmselgelt: selliste QS-ide olekute piiravate tõenäosuste ja efektiivsusnäitajate arvutamiseks võib kasutada sama lähenemisviisi, mis ülalpool, selle erinevusega, et kokkuvõtlikult on vaja teha mitte lõpmatu progressioon (nagu näiteks tegime valemi tuletamisel ( 33)), kuid piiratud .
Keskmine aeg, mil rakendus on järjekorras ja süsteemis, nagu varemgi, määratakse Little’i valemitega (44) ja (43).
QS piiratud ooteajaga. Praktikas kohtab sageli nn kannatamatute päringutega QMS-e. Sellised rakendused võivad järjekorrast lahkuda, kui ooteaeg ületab teatud väärtuse. Eelkõige tekivad sellised taotlused erinevates tehnoloogilistes süsteemides, kus teenuse käivitamise viivitus võib viia toote kvaliteedi kadumiseni, operatiivjuhtimissüsteemides, kui kiireloomulised sõnumid kaotavad väärtuse (või isegi tähenduse), kui neid teenuse osutamiseks ei saada. teatud aja jooksul.

Selliste süsteemide lihtsaimates matemaatilistes mudelites eeldatakse, et päring võib jääda järjekorda juhuslikult ajaliselt, jaotuna vastavalt eksponentsiaalseadusele teatud parameetriga υ, s.o. võime tinglikult eeldada, et iga teenusejärjekorras olev päring võib süsteemist lahkuda intensiivsusega υ.
Vastavad ajaliselt piiratud QS-i jõudlusnäitajad saadakse surma- ja paljunemisprotsessi kohta saadud tulemuste põhjal.

Kokkuvõtteks märgime, et praktikas on sageli suletud teenindussüsteeme, milles rakenduste sissetulev voog sõltub oluliselt QS-i enda olekust. Näitena võib tuua olukorra, kui osa masinaid saabuvad remondibaasi töökohtadelt: on selge, et mida rohkem masinaid on remondis, seda vähem neid edasi kasutatakse ja seda vähem intensiivne. äsja remonti saabuvate masinate voog. Suletud QS-i iseloomustab piiratud arv päringuallikaid ja iga allikas on päringu teenindamise ajal "blokeeritud" (st ei väljasta uusi päringuid). Sellistes süsteemides, kus on piiratud arv QS-olekuid, on rakendusvoogude ja teeninduse intensiivsuse mis tahes väärtuste jaoks piiravad tõenäosused. Neid saab arvutada, vaadates uuesti läbi surma ja paljunemise protsessi.

Seal on n-kanaliga QS piiramatu järjekorraga. Seda iseloomustavad järgmised näitajad:

Piira tõenäosus:

, , . . . , , ,…, ,… (10)

Tõenäosus, et rakendus on järjekorras:

(11)

(13)

Keskmine järjekorras oldud aeg:

(15)

Keskmine aeg, mille rakendus järjekorras veedab:

Vaatleme näidet mitme kanaliga QS-i probleemi lahendamisest koos ootamisega.

Ülesanne. Kaupluses saabub kassadesse klientide voog intensiivsusega 81 inimest tunnis. Keskmine kassapidaja ühe kliendi teenindamise kestus = 2 minutit. Määrake arvutussõlme olekute ja teenindusomaduste piiravad tõenäosused.

Tingimuse järgi λ=81(in/tund)= 81/60=1,35 (in/min). Vastavalt valemitele (1, 2):

= λ/μ= λ * tobsl = 1,35 * 2 = 2,7

<1, т.е. при n >= 2,7. Seega on minimaalne kassapidajate arv n =3.

Leiame QS-i teenindusomadused n=3 jaoks.

Tõenäosus, et kassades pole kliente, valemi (9) järgi:

= (1+2,7+2,7 /2!+2,7 /3!+2,7 /3!(3-2,7)) = 0,025

Keskmiselt on kassapidajad jõude 2,5% ajast.

Tõenäosus, et kassas tekib järjekord, määratakse valemiga (11):

P = (2,7 /3!(3-2,7))0,025 = 0,735

Järjekorras olevate ostjate keskmine arv arvutatakse valemi (13) abil:

L = (2,7 /(3*3!(1-2,7/3)))*0,025 = 7,35 (inimesed)

T = 7,35/1,35 = 5,44 (min)

Määrame valemi (15) abil kassade keskmise klientide arvu:

L = 7,35 + 2,7 = 10,05 (inimesed)

Klientide keskmine kassas veedetud aeg määratakse valemiga (16):

T = 10,05/1,35 = 7,44 (min)

Keskmine kliente teenindavate kassapidajate arv valemi (12) järgi = 2,7.

Teenindusega tegelevate kassapidajate koefitsient (osakaal) arvutatakse järgmise valemi abil:

Arvutussõlme absoluutne läbilaskevõime on A=1,35 (in/min), ehk 81 (in/tund), s.o. 81 klienti tunnis. Teenuseomaduste analüüs näitab kolme kassaga kassaaparaatide märkimisväärset ülekoormust.

Piiratud järjekorraga järjekorrasüsteemid

Seal on piiratud järjekorraga n-kanaliga QS. Järjekorras olevate taotluste arv on piiratud m. Kui rakendus saabub ajal, mil järjekorras on juba m rakendust, siis seda ei teenindata. Sellist QS-i iseloomustavad järgmised näitajad:

Piira tõenäosus:

(17)

, , . . . , , ,…, (18)

Ebaõnnestumise tõenäosus:

(19)

Suhteline ribalaius:

Absoluutne läbilaskevõime:

Keskmine hõivatud kanalite arv:

Järjekorras olevate rakenduste keskmine arv:

(23)

Keskmine rakenduste arv süsteemis:

Näide QS optimeerimisest

Järjekorrasüsteemi jõudlusnäitajaid saab kasutada optimeerimisprobleemide lahendamiseks.

Ülesanne.

Määrata minimaalsete kuludega optimaalne kaide arv sadamas, kui on teada, et aasta jooksul teenindati 270 laeva. Ühe laeva mahalaadimine kestab keskmiselt 12 tundi. Laeva seisaku trahv sadamas on 100 tuhat rubla/päev. Kaikulud on 150 tuhat rubla/päev. Arvutused on näidatud tabelis.

Lahendus.

Tingimuste järgi

λ = 270 (laevu aastas) = 270/360 = 0,75 (laevu päevas),

tobsl=12h=12/24=0,5 päeva.

Vastavalt valemitele (1, 2):

= λ/μ= λ * tobsl = 0,75 * 0,5 = 1,5

Järjekord ei kasva tingimusel /n lõpmatuseni<1, т.е. при n >= 1,5. Seega on minimaalne magamiskohtade arv n =2.

Leiame sadama QS teeninduskarakteristikud kaide arvuga n=2.

Arvutame valemi (9) abil välja tõenäosuse, et sadamas ei ole laevu:

Keskmiselt seisavad koid jõude 1,4% ajast.

Järjekorras olevate laevade keskmine arv arvutatakse valemi (13) abil:

Keskmine ooteaeg järjekorras arvutatakse valemi (14) abil:

T = 1,93/0,75 = 2,57 (päevad)

Määrame valemi (15) abil keskmise laevade arvu sadamas:

L=1,93+1,5=3,43 (laevad)

Laevade keskmine sadamas viibimise aeg määratakse valemiga (16):

T = 3,43 / 0,75 = 4,57 (päevad)

Keskmine hõivatud kaikohtade arv (12) =1,5.

Teenindusomaduste analüüs viitab kahe kaikohaga sadama olulisele ummikule.

Leiame kogu trahvi laeva seisaku eest sadamas päevas. Selleks korrutame laeva sadamas seisaku trahvi ja keskmise järjekorras olevate aluste arvu:

= * L .

Määrame kaide teenindamise maksumuse päevas: = *n.

Kahe magamiskoha eest päevas

Kogukulud on: C= + =193+300=493 (rahaühikud)

Kogukulud vastavalt probleemsetele tingimustele peaksid olema minimaalsed.

Arvutame kokku kulud kaide arvule n = 2, 3, 4. Arvutused on toodud tabelis. Nagu tabelist näha, saavutatakse minimaalsed kulud, kui n = 3. Seetõttu on kulude minimeerimiseks vaja 3 magamiskohta.

Tabel 1.- Optimaalse koide arvu arvutamine

Indeks	Kaide arv

Laevaliikluse intensiivsus	0,75	0,75	0,75
Laeva teenindamise intensiivsus	0,5	0,5	0,5
Kai koormuse intensiivsus	1,5	1,5	1,5
Tõenäosus, et kõik magamiskohad on vabad	0,14	0,21	0,22
Keskmine järjekorras olevate laevade arv	1,93	0,24	0,04
Keskmine aeg, mille laev on järjekorras, päevad.	2,57	0,32	0,06
Keskmine laevade arv sadamas	3,43	1,74	1,54
Laeva keskmine sadamas viibimise aeg, päevad	4,57	2,32	2,06
Trahv laeva seisaku eest sadamas, rahaühikud/päev. ()	100,00	100,00	100,00
Kai hoolduskulud päevas, rahaühikud/päev. ()	150,00	150,00	150,00
Kogutrahv laevade seisaku eest sadamas päevas, rahaühikutes. ()	192,86	23,68	4,48
Kai hoolduse kulud kokku päevas, rahaühikutes. ()	300,00	450,00	600,00
Kogukulud, rahaühikud (C)	492,86	473,68	604,48

Ülesande valikud

Tabel 2 – Ülesande valikud

Võimaluse number

Ülesanne
Võimaluse number

Ülesanne

1. Juuksuris teeb meister olenevalt soengu keerukusest töö valmis keskmiselt 30 minutiga. Külastajad saabuvad keskmiselt 25 minuti pärast. Iga töötunni eest teenib meister 300 rahaühikut. Järjekord on piiratud 4 inimesega. Kui järjekorras on rohkem kui 4 inimest, siis klient lahkub ja kahjum tunnis on 150 rahaühikut. Määrake olekute ja teenindusomaduste piiravad tõenäosused. Määrake optimaalne käsitööliste arv.

2. Autod saabuvad tanklatesse keskmiselt 2 autot 5 minuti kohta. Auto tankimine võtab keskmiselt 3 minutit. Määrake olekute ja teenindusomaduste piiravad tõenäosused. Määrake veergude arv nii, et järjekorra keskmine pikkus ei ületaks 3 veergu.

3. Kaalutakse sõidukite ennetava ülevaatuse keskuse ööpäevaringset tööd. Iga masina kontrollimiseks ja defektide tuvastamiseks kulub keskmiselt 30 minutit. Keskmiselt võetakse ülevaatusele 36 autot ööpäevas. Kui ülevaatuspunkti saabunud auto ei leia ühtegi kanalit vabaks, jätab ta ülevaatuspunkti hooldamata. Määrake ennetava ülevaatuspunkti tingimuste ja hooldusomaduste tõenäosus. Määrake kanalite arv nii, et suhteline läbilaskevõime oleks vähemalt 0,8.

4. Erakorralises jalatsiparanduse töökojas vajab meister olenevalt remondi keerukusest keskmiselt 15 minutit. Külastajad saabuvad keskmiselt iga 14 minuti järel. Määrake olekute ja teenindusomaduste piiravad tõenäosused. Määrake käsitööliste arv nii, et keskmine järjekorra pikkus ei ületaks 5 tellimust.

5. Kasutajatoas annab operaator infot keskmiselt 4 minutiga. Kõned saabuvad iga 3 minuti järel. Kui operaatorid on hõivatud, siis kõnet ei teenindata. Määrake kasutajatoe teenuse olekute ja omaduste tõenäosused. Määrake kanalite arv nii, et suhteline läbilaskevõime oleks vähemalt 0,75.

6. Olenevalt ostjal olevate toodete arvust kulub poe kassapidajal keskmiselt ühe tšeki jaoks 2 minutit. Kliendid lähenevad kassasse kiirusega 81 inimest/tund. Määrake olekute ja teenindusomaduste piiravad tõenäosused. Määrake kassapidajate arv nii, et keskmine järjekorra pikkus ei ületaks 4 klienti.

7. Olenevalt sõiduki tüübist kulub ATP-s dispetšeril ühe marsruudilehe väljastamiseks keskmiselt 20 minutit. Autode taotlusi laekub keskmiselt iga 30 minuti järel. Määrake olekute ja teenindusomaduste piiravad tõenäosused. Määrake dispetšerite arv nii, et keskmine järjekorra pikkus ei ületaks 2 päringut.

8. On vaja hinnata automaatse telefonikeskjaama tööd. Kui kõik sideliinid on hõivatud, lahkub abonent süsteemist. Kõned saabuvad intensiivsusega 2 kõnet/min Kõnede kestus jaotub eksponentsiaalselt ja on keskmiselt 1,5 minutit. Määrake süsteemi piiravad tõenäosused ja toimivusnäitajad. Määrake operaatorite arv nii, et telefonijaama suhteline võimsus ei oleks väiksem kui 0,9.

9. Pangas, olenevalt kliendi soovi keerukusest, vajab kassapidaja keskmiselt 10 minutit. Kliendid pöörduvad tema poole keskmiselt iga 12 minuti järel. Kassapidaja teenib 15 000 rahaühikut. kuus. Järjekord on piiratud 6 inimesega. Kui järjekorras on üle 6 inimese, siis klient lahkub ja kahjum tunnis on 200 rahaühikut. Määrake olekute ja teenindusomaduste piiravad tõenäosused. Määrake optimaalne kassapidajate arv.

10. Keskmiselt võtab üks pangaautomaadi tehing aega 2 minutit. Kliendid pöörduvad tema poole keskmiselt iga 20 minuti järel. Määrake olekute ja teenindusomaduste piiravad tõenäosused. Määrake sularahaautomaatide arv nii, et keskmine järjekorra pikkus ei ületaks 2 inimest.

11. Kaupluses kulub müüjal olenevalt ostjast ühe ostu sooritamiseks keskmiselt 10 minutit. Ostjad pöörduvad tema poole keskmiselt iga 5 minuti järel. Määrake olekute ja teenindusomaduste piiravad tõenäosused. Määrake müüjate arv nii, et keskmine järjekorra pikkus ei ületaks 5 inimest.

12. Mööblivabriku tellimuste osakonnas kulub müügijuhil olenevalt kliendi tellimusest ühe tellimuse vormistamiseks keskmiselt 25 minutit. Kliendid saabuvad keskmiselt iga 30 minuti järel. Määrake olekute ja teenindusomaduste piiravad tõenäosused. Määrake juhtide arv nii, et keskmine järjekorra pikkus ei ületaks 3 inimest.

Töökäsk

1.Arvutage järjekorrasüsteemi näitajad Excelis juhendis toodud valemite abil. Valiku optimaalse väärtuse leidmiseks sorteeritakse teeninduskanalite arv n=1, 2, 3...k. Eeldatakse, et sisendvood ja teenus järgivad Poissoni jaotust.

2. Analüüsige saadud tulemusi.

3. Kirjutage aruanne.

1) Töö eesmärk;

2) probleemipüstitus;

3) Excelis tehtud arvutuste tulemused;

4) järeldused töö lõpetamise kohta.

Kontrollküsimused

1. Mida hõlmab järjekorrasüsteemi mõiste?

2. Mis tüüpi järjekorrasüsteemid on olemas?

3. Millised on järjekorrasüsteemide peamised omadused ja toimivusnäitajad?

4. Täpsustage sissetuleva nõuetevoo peamised omadused (karakteristikud)?

5. Loetlege ootega järjekorrasüsteemide peamised omadused ja omadused?

6. Millised on riketega QS-i peamised omadused?

7. Too näiteid erinevate QS tüüpide kohta?

Bibliograafia

1. Afanasjev M.Yu. Operatsiooniuuringud majandusteaduses: mudelid, probleemid, lahendused. / M.Yu. Afanasjev, B.P. Suvorov.- M.: INFRA, 2003.-444 lk.

2. Ventzel E.S. Operatsiooniuuringud. Eesmärgid, põhimõtted, metoodika./ E.S. Ventzel.-M.: Kõrgkool, 2001.-208lk.

3. Zaichenko Yu.P. Operatsiooniuuringud / Yu.P. Zaichenko.-K.: Vištša kool, 1975.-320lk.

4. Konyukhovsky P.V. Matemaatilised meetodid operatsioonide uurimiseks. / P.V. Konyukhovsky - Peterburi: Peeter, 2001.-192 lk.

5. Kremer N.Sh., Putko B.A. Majanduse operatsioonide uurimine./ N.Sh. Kremer, B.A. Butko, I.M. Trishin.- M.: Pangad ja börsid, ÜHTSUS, 1997.-407 lk.

1. Kudrjavtsev E.M. GPSS World Erinevate süsteemide simulatsiooni modelleerimise alused - M.: DMK Press, 2004. - 320 lk.

2. Sovetov V.Ya., Yakovlev S.A. Süsteemide modelleerimine. - M.: Kõrgkool, 1985

3. Sovetov V.Ya., Yakovlev S.A. Süsteemide modelleerimine: kursuse kujundamine. - M.: Kõrgkool, 1989

Vaatleme ühe kanaliga järjekorrasüsteemi koos ootamisega.

Eeldame, et sissetulev teenusepäringute voog on kõige lihtsam voog intensiivsusega λ.

Teenuse voolu intensiivsus on μ. Teenistuse kestus on juhuslik suurus, mille suhtes kehtib eksponentsiaalse jaotuse seadus. Teenusvoog on kõige lihtsam Poissoni sündmuste voog.

Kui kanal on hõivatud, on päring järjekorda pandud ja ootab teenust. Eeldame, et järjekorra suurus on piiratud ja see ei mahuta rohkem kui m rakendusi, s.o. rakendus, mis sattus ühisesse turukorraldusse saabumise hetkel m +1 taotlust (m järjekorras ja üks teenindatakse) lahkub ühisest turukorraldusest.

Selles süsteemis protsessi kirjeldaval võrrandisüsteemil on lahendus:

(0‑1)

Esimese avaldise nimetaja on geomeetriline progressioon esimese liikmega 1 ja nimetajaga ρ, kust saame

Kell ρ = 1 võite kasutada otsest arvutust

(0‑8)

Keskmine rakenduste arv süsteemis.

Alates keskmisest rakenduste arvust süsteemis

(0‑9)

kus on keskmine teenuses olevate rakenduste arv, siis teades, et see jääb alles leidmiseks. Sest on ainult üks kanal, siis võib teenindatavate päringute arv olla kas 0 või 1 tõenäosusega P 0 ja P 1 = 1 - P 0 vastavalt, kust

(0‑10)

ja keskmine rakenduste arv süsteemis on

(0‑11)

Keskmine ooteaeg järjekorras olevale taotlusele.

(0‑12)

st keskmine rakenduse ooteaeg järjekorras on võrdne järjekorras olevate rakenduste keskmise arvuga, mis on jagatud rakenduste voo intensiivsusega.

Keskmine aeg, mil rakendus süsteemis viibib.

Rakenduse süsteemis viibimise aeg on rakenduse ooteaja ja teenindusaja summa. Kui süsteemi koormus on 100%, siis =1/μ, muidu = q/μ. Siit

(0‑13)

Töö sisu.

Katseinstrumentide ettevalmistamine .

See viiakse läbi sarnaselt vastavalt üldreeglitele.

Arvutamine analüütilise mudeli abil.

1. Valmistage Microsoft Excelis ette järgmine tabel.

2. Kirjutage tabeli QS-i parameetrite veergudesse algandmed, mis määratakse reegli järgi:

m = 1,2,3

(maksimaalne järjekorra pikkus).

Iga väärtuse jaoks m on vaja leida QS-indikaatorite teoreetilised ja eksperimentaalsed väärtused järgmistele väärtuspaaridele:

= <порядковый номер в списке группы>

3. Sisestage sobivad valemid analüütiliste mudelinäitajatega veergudesse.

Katse simulatsioonimudelil.

1. Määrake käivitusrežiim eksponentsiaalselt jaotatud teenindusajaga, määrates vastava parameetri väärtuseks 1.

2. Iga kombinatsiooni jaoks m ja käivitage mudel.

3. Sisestage jooksude tulemused tabelisse.

4. Sisestage valemid indikaatori keskmise väärtuse arvutamiseks tabeli vastavatesse veergudesse P avatud, q ja A.

Tulemuste analüüs .

1. Analüüsida saadud tulemusi teoreetiliste ja eksperimentaalsete meetoditega, võrreldes tulemusi omavahel.

2. M=3 korral joonistage sõltuvused ühele diagrammile P avatud teoreetiliselt ja eksperimentaalselt saadud andmetest.

QS parameetrite optimeerimine .

Lahendage järjekorra kohtade arvu optimeerimise ülesanne m keskmise kasutusajaga seadme puhul = maksimaalse kasumi saamise seisukohalt. Probleemi tingimustena võtke:

- tulu ühe rakenduse teenindamisest 80 USD/tunnis,

- ühe seadme ülalpidamiskulu on võrdne 1 cu/tunnis.

1. Arvutuste tegemiseks on soovitatav koostada tabel:

Esimene veerg täidetakse naturaalrea numbrite väärtustega (1,2,3...).

Kõik lahtrid teises ja kolmandas veerus on täidetud ja väärtustega.

Jaotises 0 oleva tabeli veergude valemid kantakse veergude lahtritesse neljandast üheksandani.

Sisestage väärtused jaotiste Tulu, Kulud, Kasum algandmetega veergudesse (vt ülalt).

Jaotiste Tulu, Kulud, Kasum arvutatud väärtustega veergudesse kirjutage üles arvutusvalemid:

- rakenduste arv ajaühiku kohta

N r = A

- kogutulu ajaühiku kohta

I S = I r *N r

- kogutarbimine ajaühiku kohta

E S =E s + E q * (n-1)

- kasum ajaühiku kohta

P = I S - E S

Kus

Ir - tulu ühest taotlusest,

E s - ühe seadme kasutuskulu,

Eq - järjekorras ühe koha opereerimise kulu.

P graafikud avatud,

- tabel andmetega parima leidmiseks m ja m opt väärtus,

- ajaühiku kasumi graafik versus m.

Kontrollküsimused :

1) Kirjeldage lühidalt ühe kanaliga piiratud järjekorra QS mudelit.

2) Millised näitajad iseloomustavad ühe kanaliga QS-i toimimist tõrgetega?

3) Kuidas arvutatakse tõenäosus p 0 ?

4) Kuidas arvutatakse tõenäosusi p mina?

5) Kuidas leida rakenduse teenindamise ebaõnnestumise tõenäosust?

6) Kuidas leida suhtelist ribalaiust?

7) Mis on absoluutne läbilaskevõime?

8) Kuidas arvutatakse keskmine rakenduste arv süsteemis?

9) Tooge näiteid piiratud järjekorraga QS-idest.

Ülesanded .

1) Sadamas on üks kaubakai laevade lossimiseks. Voolukiirus on 0,5 külastust päevas. Ühe laeva keskmine mahalaadimisaeg on 2 päeva. Kui lossimisjärjekorras on 3 alust, saadetakse saabuv laev mahalaadimiseks teisele kaile. Leidke kai jõudlusnäitajad.

2) Raudteejaama infolaud võtab telefonipäringuid vastu intensiivsusega 80 päringut tunnis. Kasutajatoe operaator vastab sissetulevale kõnele keskmiselt 0,7 minutiga. Kui operaator on hõivatud, saab klient teate “Oota vastust” päring paigutatakse järjekorda, mille pikkus ei ületa 4 päringut. Andke hinnang kasutajatoe tööle ja võimalus selle ümberkorraldamiseks

Järjekorrasüsteemi toimingud ehk efektiivsus on järgmine.

Sest QS tõrgetega:

Sest SMO piiramatu ootamisega nii absoluutne kui ka suhteline läbilaskevõime kaotavad oma tähenduse, kuna iga sissetulev päring teenindatakse varem või hiljem. Sellise QS jaoks on olulised näitajad:

Sest Segatüüpi QS kasutatakse mõlemat näitajate rühma: nii suhtelist kui ka absoluutne läbilaskevõime ja ootuste omadused.

Olenevalt järjekorra toimingu eesmärgist saab efektiivsuse kriteeriumiks valida mis tahes etteantud näitajatest (või indikaatorite komplekti).

Analüütiline mudel QS on võrrandite või valemite kogum, mis võimaldab määrata süsteemi olekute tõenäosusi selle töö ajal ja arvutada jõudlusnäitajaid sissetulevate voogude ja teeninduskanalite teadaolevate omaduste põhjal.

Suvalise QS jaoks puudub üldine analüütiline mudel. Piiratud arvu QS-i erijuhtude jaoks on välja töötatud analüütilised mudelid. Analüütilised mudelid, mis enam-vähem täpselt peegeldavad tegelikke süsteeme, on tavaliselt keerulised ja raskesti visualiseeritavad.

QS-i analüütilist modelleerimist hõlbustab oluliselt see, kui QS-is toimuvad protsessid on markovised (päringute vood on lihtsad, teenindusajad jaotuvad eksponentsiaalselt). Sel juhul saab kõiki QS-i protsesse kirjeldada tavaliste diferentsiaalvõrranditega ja piirjuhtudel statsionaarsete olekute puhul lineaarsete algebraliste võrranditega ja pärast nende lahendamist saab määrata valitud efektiivsusnäitajad.

Vaatame mõne QS näiteid.

2.5.1. Mitmekanaliline QS tõrgetega

Näide 2.5. Kolm liiklusinspektorit kontrollivad veokijuhtide saatelehti. Kui vähemalt üks kontrollija on vaba, peatatakse mööduv veok. Kui kõik kontrollijad on hõivatud, sõidab veok peatumata mööda. Veokite voog on lihtne, kontrollaeg on juhuslik eksponentsiaalse jaotusega.

Seda olukorda saab modelleerida kolme kanaliga tõrgetega QS-iga (ei järjekorda). Süsteem on avatud ahelaga, homogeensete päringutega, ühefaasiline, absoluutselt usaldusväärsete kanalitega.

Seisukohtade kirjeldus:

Kõik inspektorid on tasuta;

Üks inspektor on hõivatud;

Kaks inspektorit on hõivatud;

Kolm inspektorit on hõivatud.

Süsteemi oleku graafik on näidatud joonisel fig. 2.11.

Riis.

2.11.

Graafikul: - veoauto voolu intensiivsus; - ühe liiklusinspektori dokumendikontrolli intensiivsus.

Lahendus

Simulatsioon tehakse selleks, et määrata kindlaks sõidukite osa, mida ei katsetata.

Tõenäosuse nõutav osa on kõigi kolme inspektori töölevõtmise tõenäosus. Kuna olekugraafik kujutab tüüpilist "surma ja paljunemise" skeemi, leiame sõltuvuste (2.2) kasutamise. Selle liiklusinspektori ametikoha läbilaskevõimet saab iseloomustada:

suhteline läbilaskevõime. Luurerühma teadete vastuvõtmiseks ja töötlemiseks määrati ühingu luureosakonda kolmest ohvitserist koosnev rühm. Aruannete voo eeldatav intensiivsus on 15 teadet tunnis. Ühe ametniku ühe aruande töötlemise keskmine aeg on . Iga ohvitser võib saada teateid mis tahes luurerühmalt. Vabastatud ohvitser töötleb viimast laekunud teadet. Sissetulevad aruanded tuleb töödelda vähemalt 95% tõenäosusega.

Tehke kindlaks, kas kolmest ohvitserist koosnev meeskond on määratud ülesande täitmiseks piisav.

Lahendus

Ohvitseride rühm tegutseb kolmest kanalist koosneva tõrgetega ühise korraldusasutusena.

Intensiivsusega aruannete voog võib pidada kõige lihtsamaks, kuna see on mitme luurerühma kokku. Teenuse intensiivsus . Jaotusseadus pole teada, kuid see pole oluline, kuna on näidatud, et tõrgetega süsteemide puhul võib see olla meelevaldne.

QS olekute kirjeldus ja olekugraafik on sarnased näites 2.5 toodud kirjeldatutega.

Kuna olekugraafik on "surma ja taastootmise" skeem, on selle jaoks oleku piiravate tõenäosuste jaoks valmis avaldised:

Suhtumist nimetatakse arvestades rakenduste voo intensiivsust. Selle füüsiline tähendus on järgmine: väärtus tähistab keskmist QS-i saabunud päringute arvu ühe päringu teenindamise keskmise aja jooksul.

Näites .

Vaadeldavas QS-is ilmneb tõrge siis, kui kõik kolm kanalit on hõivatud, st. Seejärel:

Sest ebaõnnestumise tõenäosus aruannete menetlemisel on üle 34% (), siis on vaja suurendada kontserni personali. Kahekordistame grupi koosseisu, st CMO-l on nüüd kuus kanalit ja arvutame:

Seega saab saabuvaid teateid 95% tõenäosusega töödelda vaid kuuest ametnikust koosnev rühm.

2.5.2. Mitme kanaliga QS koos ootamisega

Näide 2.7. Jõeületuspunktis on 15 sarnast ülekäigurajatist. Ülekäigukohale saabuva varustuse voog on keskmiselt 1 ühik/min, keskmine ühe varustusühiku ületamise aeg on 10 minutit (sh ülesõiduauto tagasitulek).

Hinnake ülesõidu põhiomadusi, sealhulgas kohese ületamise tõenäosust kohe pärast varustusüksuse saabumist.

Lahendus

Absoluutne läbilaskevõime, ehk kõik, mis ülekäigule läheneb, on praktiliselt kohe ületatud.

Töötavate ülekäigurajatiste keskmine arv:

Praami kasutus- ja seisakumäärad:

Näite lahendamiseks töötati välja ka programm. Eeldatakse, et seadmete ristmikule jõudmise ajaintervallid ja ülesõiduaeg jaotuvad vastavalt eksponentsiaalseadusele.

Ülesõidu kasutusmäärad pärast 50 jooksu on peaaegu samad: .

Järjekorra maksimaalne pikkus on 15 ühikut, keskmine järjekorras viibimise aeg on umbes 10 minutit.

Vaatleme mitme kanaliga QS-i, mille sisend võtab vastu Poissoni intensiivsusega päringute voo ja iga kanali teenuse intensiivsus on, maksimaalne võimalik kohtade arv järjekorras on m-ga piiratud. QS-i diskreetsed olekud määratakse süsteemi poolt vastuvõetud registreeritavate rakenduste arvu järgi.

Kõik kanalid on tasuta;

Ainult üks kanal (ükskõik milline) on hõivatud;

- ainult kaks kanalit (kõik) on hõivatud;
- kõik kanalid on hõivatud.

Kuigi QS on üheski neist olekutest, pole järjekorda. Kui kõik teeninduskanalid on hõivatud, moodustavad järgnevad päringud järjekorra, määrates seeläbi süsteemi edasise oleku:

Kõik kanalid on hõivatud ja üks rakendus on järjekorras,

Kõik kanalid on hõivatud ja kaks päringut on järjekorras,

Kõik kanalid ja kõik kohad järjekorras on hõivatud,

QS-i ülemineku suure arvuga olekusse määrab intensiivsusega sissetulevate päringute voog, samas kui tingimuse järgi osalevad nende päringute teenindamises iga kanali jaoks võrdse teenusevoo intensiivsusega identsed kanalid. Sel juhul suureneb teenusevoo koguintensiivsus uute kanalite ühendamisel kuni olekuni, mil kõik n kanalit on hõivatud. Järjekorra ilmumisega suureneb teenuse intensiivsus veelgi, kuna see on juba saavutanud maksimaalse väärtuse, mis on võrdne.

Kirjutame üles olekute piiravate tõenäosuste avaldised: