Kirjutage arv kahendarvusüsteemi ja kahe astmed paremalt vasakule. Näiteks tahame teisendada kahendarvu 10011011 2 kümnendarvuks. Paneme selle kõigepealt kirja. Seejärel kirjutame paremalt vasakule kahe astmed. Alustame 2 0-ga, mis on võrdne "1". Suurendame kraadi ühe võrra iga järgneva numbri kohta. Peatume, kui loendi elementide arv on võrdne kahendarvu numbrite arvuga. Meie näidisnumbril 10011011 on kaheksa numbrit, nii et kaheksa elemendi loend näeb välja selline: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

Kirjutage kahendarvu numbrid kahe vastavate astmete alla. Nüüd kirjutage lihtsalt numbrite 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 ja 1 alla 10011011, nii et iga kahendnumber vastab kahe erinevale astmele. Kahendarvu parempoolseim "1" peab vastama kahe astme parempoolsemale "1" jne. Soovi korral võite kirjutada kahendarvu kahe astme kohale. Kõige tähtsam on see, et need sobiksid omavahel.

Sobitage kahendarvu numbrid kahe vastava astmega. Joonistage jooned (paremalt vasakule), mis ühendavad kahendarvu iga järjestikuse numbri selle kohal oleva kahe astmega. Alustage joonte joonistamist, ühendades kahendarvu esimese numbri selle kohal oleva kahe esimese astmega. Seejärel tõmmake joon kahendarvu teisest numbrist kahe teise astmeni. Jätkake iga numbri ühendamist kahe vastava astmega. See aitab teil visuaalselt näha seost kahe erineva numbrikomplekti vahel.

Kirjutage üles iga kahe astme lõppväärtus. Minge läbi kahendarvu iga numbri. Kui arv on 1, kirjuta numbri alla kahe vastav aste. Kui see arv on 0, kirjuta numbri alla 0.

• Kuna "1" vastab "1", jääb see "1". Kuna "2" vastab "1", jääb see "2". Kuna "4" vastab "0", muutub see "0". Kuna "8" vastab "1", muutub see "8" ja kuna "16" vastab "1", muutub see "16". "32" vastab "0" ja muutub "0", "64" vastab "0" ja muutub seetõttu "0", samas kui "128" vastab "1" ja muutub seetõttu 128.

Lisage saadud väärtused. Nüüd lisage saadud numbrid rea alla. Peate tegema järgmist: 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 155. See on kahendarvu 10011011 koma ekvivalent.

Kirjutage vastus koos numbrisüsteemiga võrdse alaindeksiga. Nüüd pole vaja muud, kui kirjutada 155 10, et näidata, et töötate kümnendvastusega, mis käsitleb kümne astmeid. Mida rohkem teisendate kahendarvu kümnendkohtadeks, seda lihtsam on teil kahe astmeid meelde jätta ja seda kiiremini saate ülesande täita.

Kasutage seda meetodit kümnendkohaga kahendarvu teisendamiseks kümnendkohaks. Seda meetodit saate kasutada isegi siis, kui soovite teisendada kahendarvu (nt 1,1 2) kümnendkohaks. Kõik, mida pead teadma, on see, et kümnendkoha vasakul pool olev arv on tavaline arv ja kümnendkoha paremal pool olev arv on "pool" ehk 1 x (1/2).

• "1" kümnendarvust vasakul vastab 2 0-le või 1-le. Kümnendarvust paremal asuv 1 vastab numbrile 2 -1 või.5. Lisage 1 ja 0,5 ja saate 1,5, mis on kümnendkoha ekvivalent 1,1 2-le.

Enamik meie planeedi inimesi kasutab loendamisel kümnendarvude süsteemi, kuid arvutid kasutavad kahendsüsteemi. Mõned hõimud kasutasid inimarengu koidikul kaksteistkümnendsüsteemi ja kuuekümnendsüsteemi. Just nende käest jääb meile sihverplaadile 12 tundi ja tunnis 60 minutit.

Mõnikord on vaja arvu ühest süsteemist teise teisendada. Selles artiklis vaatleme täpsemalt, kuidas mõnest teisest populaarsest süsteemist kümnendsüsteemi teisendada.

Numbritest arvu koostamise põhimõte

Kõigepealt peate mõistma, mis on numbrisüsteem ja selle alus. Numbrisüsteem on viis numbrite esitamiseks teatud numbrite kombinatsioonina. Süsteemi aluseks on selles kasutatud numbrite arv. Näiteks kümnendsüsteemis, mille alus on 10, on ainult 10 numbrit - 0 kuni 9. Kuueteistkümnendsüsteemis on vastavalt 16 numbrit, mis on tähistatud numbrite asemel araabia numbritega 0 - 9 ja ladina tähtedega A - F 10 - 15. Näiteks 2F7BE 16 - kuueteistkümnendsüsteem. Selliselt kirjutades tähistab alaindeks arvusüsteemi alust. Peamine erinevus erinevate alustega süsteemide vahel on arvu 10 "väärtus". Kuueteistkümnendsüsteemis oleks 10 16 võrdne 16 10-ga, kuid kahendsüsteemis oleks 10 2 võrdne vaid kahega. 100 16 arvestatakse kui

100 16 = 10 16 * 10 16 = 16 10 * 16 10 = 256 10 .

Samuti on vaja eristada mõisteid "number" ja "number". Numbrit tähistab üks sümbol ja numbrit võib tähistada mitu. Näiteks kahendsüsteemis olev arv 9 10 näeb välja nagu 1001 2 ja binaarsüsteemis numbrit 9 sellisena ei eksisteeri.

Tõlkealgoritm

Arvu kümnendsüsteemi teisendamiseks peate õppima, kuidas kasutada lihtsat algoritmi.

1. Määrake arvusüsteemi alus. Seda tähistab alaindeks pärast numbrit, näiteks numbris 2F7BE 16 on alus 16.
2. Korrutage iga numbri number alusega astmeni, mis on võrdne numbri numbriga paremalt vasakule, alustades nullist. Arvu 2F7BE korral korrutatakse 16 E (võrdne 14-ga) 16-ga nullastmega, B (number 11) 16-ga esimese astmega ja nii edasi: 2F7BE 16 = 2*16 4 +15*16 3 + 7 * 16 2 + 11 * 16 1 + 14 * 16 0 .
3. Liitke tulemused kokku.

2*16 4 +15*16 3 + 7*16 2 + 11*16 1 + 14*16 0 = 194494 10 .

Vaatame näiteid, kuidas kõige populaarsemaid kuueteistkümnend-, kaheksand- ja kahendsüsteeme kümnendsüsteemiks teisendada.

• 5736 8 = 5*8 3 + 7*8 2 + 3*8 1 + 6*8 0 = 3038 10
• 1001011 2 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 75 10
• 2F7BE 16 = 2 * 16 4 + 15 * 16 3 + 7 * 16 2 + 11 * 16 1 + 14 * 16 0 = 194494 10

Muidugi on iga kord käsitsi loendamine ebamugav, irratsionaalne ja isegi vastumeelne. On palju kalkulaatoreid, mis suudavad numbreid süsteemist süsteemi teisendada. Näiteks võib tavaline Windowsi kalkulaator programmeerija režiimis (klahvid Alt+3 või menüü Vaade) töötada radiksisüsteemidega 2, 8, 10 ja 16.

Kalkulaator võimaldab teisendada täis- ja murdarvu ühest arvusüsteemist teise. Numbrisüsteemi alus ei tohi olla väiksem kui 2 ja suurem kui 36 (lõpuks 10 numbrit ja 26 ladina tähte). Numbrite pikkus ei tohi ületada 30 tähemärki. Murdarvude sisestamiseks kasutage sümbolit. või,. Arvu teisendamiseks ühest süsteemist teise sisestage esimesele väljale algne arv, teisele algse numbrisüsteemi alus ja kolmandale väljale selle numbrisüsteemi alus, millesse soovite arvu teisendada, seejärel klõpsake nuppu "Hangi salvestus".

Algne number kirjutatud 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 36 35 - numbrite süsteem.

Ma tahan saada numbri sisse kirjutatud 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 - numbrite süsteem.

Hankige sissepääs

Tõlked valmis: 1237200

Numbrisüsteemid

Numbrisüsteemid jagunevad kahte tüüpi: positsiooniline Ja mitte positsiooniline. Meie kasutame araabia süsteemi, see on positsiooniline, aga on ka rooma süsteem – see ei ole positsiooniline. Positsioonisüsteemides määrab numbri asukoht numbris üheselt selle arvu väärtuse. Seda on lihtne mõista, vaadates näitena mõnda numbrit.

Näide 1. Võtame kümnendarvude süsteemis arvu 5921. Nummerdame numbri paremalt vasakule, alustades nullist:

Arvu 5921 saab kirjutada järgmisel kujul: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Arv 10 on tunnus, mis määrab numbrisüsteemi. Antud arvu asukoha väärtused võetakse astmetena.

Näide 2. Mõelge tegelikule kümnendarvule 1234.567. Nummerdame selle, alustades arvu nullasendist kümnendkohalt vasakule ja paremale:

Arvu 1234,567 saab kirjutada järgmisel kujul: 1234,567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6,10 -2 +7,10 -3.

Arvude teisendamine ühest numbrisüsteemist teise

Lihtsaim viis arvu teisendamiseks ühest arvusüsteemist teise on teisendada arv esmalt kümnendarvusüsteemiks ja seejärel saadud tulemus vajalikuks arvusüsteemiks.

Numbrite teisendamine mis tahes arvusüsteemist kümnendarvusüsteemi

Arvu teisendamiseks suvalisest arvusüsteemist kümnendarvuks piisab selle numbrite nummerdamisest, alustades nullist (komakohast vasakul olev number) sarnaselt näitele 1 või 2. Leiame numbrite korrutiste summa arvust numbrisüsteemi aluse järgi selle numbri positsiooni astmeni:

1. Teisendage arv 1001101.1101 2 kümnendsüsteemiks.
Lahendus: 10011.1101 2 = 1,2 4 +0,2 3 +0,2 2 +1,2 1 +1,2 0 +1,2 -1 +1,2 -2 +0,2 -3 +1,2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Vastus: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Teisendage arv E8F.2D 16 kümnendarvude süsteemiks.
Lahendus: E8F.2D 16 = 14,16 2 +8,16 1 +15,16 0 +2,16 -1 +13,16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Vastus: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Arvude teisendamine kümnendarvusüsteemist teise arvusüsteemi

Arvude teisendamiseks kümnendarvusüsteemist teise arvusüsteemi, tuleb arvu täis- ja murdosa teisendada eraldi.

Arvu täisarvulise osa teisendamine kümnendarvusüsteemist teise arvusüsteemi

Täisarvuline osa teisendatakse kümnendarvusüsteemist teise arvusüsteemi, jagades arvu täisarvu järjestikuse osa arvusüsteemi alusega, kuni saadakse terve jääk, mis on väiksem kui arvusüsteemi alus. Tõlke tulemuseks on ülejäänu kirje, alustades viimasest.

3. Teisendage arv 273 10 kaheksandarvu süsteemi.
Lahendus: 273 / 8 = 34 ja jääk 1. 34 / 8 = 4 ja jääk 2, 4 on väiksem kui 8, nii et arvutus on lõpetatud. Saldode rekord näeb välja selline: 421
Uurimine: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, tulemus on sama. See tähendab, et tõlge tehti õigesti.
Vastus: 273 10 = 421 8

Vaatleme tavaliste kümnendmurdude tõlkimist erinevatesse arvusüsteemidesse.

Arvu murdosa teisendamine kümnendarvusüsteemist teise arvusüsteemi

Tuletame meelde, et kutsutakse korralikku kümnendmurdu null täisarvuga reaalarv. Sellise arvu teisendamiseks N-põhiseks arvusüsteemiks peate arvu järjestikku korrutama N-ga, kuni murdosa läheb nulli või saadakse vajalik arv numbreid. Kui korrutamise käigus saadakse arv, mille täisarv on nullist erinev, siis seda täisarvu enam arvesse ei võeta, kuna see sisestatakse tulemusesse järjestikku.

4. Teisendage arv 0,125 10 kahendarvusüsteemi.
Lahendus: 0,125·2 = 0,25 (0 on täisarv, millest saab tulemuse esimene number), 0,25·2 = 0,5 (0 on tulemuse teine ​​number), 0,5·2 = 1,0 (1 on kolmas number) tulemusest ja kuna murdosa on null , siis on tõlge lõpetatud).
Vastus: 0.125 10 = 0.001 2

Ühes oma materjalidest vaatasime määratlust. Sellel on lühim tähestik. Ainult kaks numbrit: 0 ja 1. Positsiooniliste numbrisüsteemide tähestiku näited on toodud tabelis.

Positsioonilised numbrisüsteemid

Süsteemi nimi	Alus	Tähestik
Binaarne
Kolmainsus
Kvaternaar
Viiekordne
oktaalne
Kümnend		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
kaksteistkümnendsüsteem		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B
Kuueteistkümnendsüsteem		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
Kolmkümmend kuus		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O, P,R,S,T,U,V,X,Y,Z

Väikese arvu kümnendarvust kahendarvuks ja vastupidi teisendamiseks on parem kasutada järgmist tabelit.

Tabel kümnendarvude 0–20 teisendamiseks kahendarvusüsteemi.

kümnend number	kahendnumber	kümnend number	kahendnumber

Tabel osutub aga tohutuks, kui sinna kõik numbrid kirja panna. Nende hulgast õige arvu leidmine on keerulisem. Palju lihtsam on meeles pidada mitut algoritmi arvude teisendamiseks ühest positsiooninumbrisüsteemist teise.

Kuidas teisendada ühest numbrisüsteemist teise? Arvutiteaduses on kümnendarvude teisendamiseks kahendarvudeks mitu lihtsat viisi. Vaatame neist kahte.

Meetod nr 1.

Oletame, et peate arvu teisendama 637 kümnendsüsteemist kahendsüsteemiks.

Seda tehakse järgmiselt: kahe maksimaalne võimsus leitakse nii, et kaks selles astmes on algarvust väiksem või sellega võrdne.

Meie puhul on see 9, sest 2 9 =512 , A 2 10 =1024 , mis on suurem kui meie algarv. Seega saime tulemuse numbrite arvu. See võrdub 9+1=10. See tähendab, et tulemus näeb välja nagu 1ххххххххх, kus x saab asendada 1 või 0-ga.

Leiame tulemuse teise numbri. Tõstame kaks 9 astmeni ja lahutame algarvust: 637-2 9 =125. Seejärel võrrelge numbriga 2 8 =256 . Kuna 125 on väiksem kui 256, on üheksas number 0, s.o. tulemus näeb välja juba 10хххххххх.

2 7 =128 > 125 , mis tähendab, et ka kaheksas number on null.

2 6 =64 , siis on seitsmes number võrdne 1-ga. 125-64=61 Seega oleme saanud neli kõrgemat numbrit ja number saab kujul 10011ххххх.

2 5 =32 ja me näeme, et 32< 61, значит шестой разряд равен 1 (результат 100111хххх), остаток 61-32=29.

2 4 =16 < 29 - viies koht 1 => 1001111xxx. Ülejäänud 29-16=13.

2 3 =8 < 13 => 10011111хх. 13-8=5

2 2 =4 < 5 => 10011111хх, jääk 5-4=1.

2 1 =2 > 1 => 100111110x, jääk 2-1=1.

2 0 =1 => 1001111101.

See saab olema lõpptulemus.

Meetod number 2.

Täisarvuliste kümnendarvude kahendarvusüsteemi teisendamise reegel ütleb:

1. Jagame a n−1 a n−2 ...a 1 a 0 =a n−1⋅2 n−1 +a n−2⋅2 n−2 +...+a 0⋅2 0 korda 2.
2. Jagatis on võrdne an−1⋅2n−2+...+a1, ja ülejäänud osa on võrdne
3. Jagame saadud jagatise uuesti 2-ga, jagamise jääk on võrdne a1-ga.
4. Kui jätkame seda jagamisprotsessi, saame n-ndas etapis arvude komplekti: a 0,a 1,a 2,...,a n−1, mis sisalduvad algarvu binaarses esituses ja langevad kokku jääkidega, kui see jagatakse järjestikku 2-ga.
5. Seega tuleb täisarvu kümnendarvu teisendamiseks kahendarvusüsteemiks jagada antud arv ja saadud täisarvu jagatised järjestikku 2-ga, kuni saame jagatise, mis võrdub nulliga.

Algne arv kahendarvusüsteemis koostatakse saadud jääkide järjestikuse registreerimisega. Alustame selle salvestamist viimase leituga.

Teisendame kümnendarvu 11 kahendarvusüsteemi. Eespool käsitletud toimingute jada (tõlkealgoritm) võib kujutada järgmiselt:

Sain 11 10 =1011 2 .

Näide:

Kui kümnendnumber on piisavalt suur, on mugavam ülalkirjeldatud algoritmi kirjutamise viis:

363 10 =101101011 2

Tere, saidi külastaja! Jätkame IP-võrgu kihi protokolli ja täpsemalt selle versiooni IPv4 uurimist. Esmapilgul teema kahendarvud ja kahendarvusüsteem IP-protokolliga pole midagi pistmist, aga kui meeles pidada, et arvutid töötavad nullide ja ühtedega, siis selgub, et kahendsüsteem ja selle mõistmine on põhialuste aluseks, õppige teisendama numbreid kahendarvust kümnendkohani ja vastupidi: kümnendsüsteemist kahendarvuni. See aitab meil paremini mõista IP-protokolli ja ka muutuva pikkusega võrgumaskide tööpõhimõtet. Alustame!

Kui arvutivõrkude teema sind huvitab, saad lugeda ka teisi kursuse salvestusi.

4.4.1 Sissejuhatus

Enne alustamist tasub selgitada, miks võrguinsener seda teemat vajab. Kuigi võite olla veendunud selle vajalikkuses, kui me rääkisime, võite öelda, et on olemas IP-kalkulaatorid, mis hõlbustavad oluliselt IP-aadresside eraldamist, vajalike alamvõrgu/võrgumaskide arvutamist ning võrgunumbri ja hosti numbri määramist IP-aadressis. See on õige, kuid IP-kalkulaator pole alati käepärast, see on põhjus number üks. Põhjus number kaks on see, et Cisco eksamitel ei anna nad teile IP-kalkulaatorit ja kõik. peate paberil teisendama IP-aadressid kümnendarvust binaarseks, ja küsimusi, kus CCNA sertifikaadi saamiseks eksamil/eksamitel seda nõutakse, polegi nii vähe, oleks kahju, kui eksam sellise pisiasja pärast läbi kukuks. Ja lõpuks, kahendarvusüsteemi mõistmine võimaldab paremini mõista tööpõhimõtet.

Üldiselt ei nõuta võrguinsenerilt, et ta oskaks oma peas teisendada numbreid kahendarvust kümnendarvuks ja vastupidi. Pealegi, harva teab keegi, kuidas seda vaimselt teha, peamiselt sellesse kategooriasse kuuluvad erinevate arvutivõrkude kursuste õpetajad, kuna nad puutuvad sellega pidevalt kokku iga päev. Kuid paberi ja pliiatsi abil peaksite õppima tõlkima.

4.4.2 Kümnendkohad ja numbrid, numbrid numbrites

Alustame lihtsast ja räägime kahendnumbritest ja numbritest, teate, et numbrid ja numbrid on kaks erinevat asja. Arv on tähistamise erisümbol ja arv on abstraktne koguse tähis. Näiteks selleks, et kirjutada üles, et meil on käel viis sõrme, võime kasutada rooma ja araabia numbreid: V ja 5. sel juhul viis on nii arv kui ka number. Ja näiteks numbri 20 kirjutamiseks kasutame kahte numbrit: 2 ja 0.

Kokku on kümnendarvusüsteemis meil kümme numbrit ehk kümme sümbolit (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), mida kombineerides saame kirjutada erinevaid numbreid. Millisest põhimõttest juhindume kümnendarvusüsteemi kasutamisel? Jah, kõik on väga lihtne, tõstame kümmet ühele või teisele kraadile, näiteks võtame arvu 321. Kuidas saab seda teistmoodi kirjutada, nii: 3*10 2 +2*10 1 +1*10 0 . Seega selgub, et number 321 tähistab kolme numbrit:

1. Arv 3 tähendab kõige olulisemat kohta või antud juhul on see sadade koht, muidu nende arv.
2. Number 2 on kümnete kohal, meil on kaks kümnest.
3. Number üks viitab kõige vähem olulisele numbrile.

See tähendab, et selles kirjes ei ole kaks mitte ainult kaks, vaid kaks kümmet või kaks korda kümme. Ja kolm pole lihtsalt kolm, vaid kolm korda sada. Saadakse järgmine sõltuvus: iga järgmise numbri ühik on kümme korda suurem kui eelmise numbri ühik, sest see, mis on 300, on kolm korda sada. Kahendsüsteemi mõistmise hõlbustamiseks oli vaja kõrvale kalduda kümnendarvude süsteemist.

4.4.3 Binaarsed numbrid ja numbrid, samuti nende salvestamine

Kahendarvusüsteemis on ainult kaks numbrit: 0 ja 1. Seetõttu on kahendsüsteemis arvu kirjutamine sageli palju suurem kui kümnendsüsteemis. Kui numbrid 0 ja 1 välja arvata, võrdub null kahendarvusüsteemis kümnendarvude süsteemis nulliga ja sama kehtib ka ühe kohta. Mõnikord kasutatakse alamindekseid: 267 10, 10100 12, 4712 8, et mitte segadusse ajada, millises numbrisüsteemis arv on kirjutatud. Alamindeksi number näitab numbrisüsteemi.

Sümboleid 0b ja & (ampersand) saab kasutada kahendarvude kirjutamiseks: 0b10111, &111. Kui kümnendarvusüsteemis kasutame arvu 245 hääldamiseks järgmist konstruktsiooni: kakssada nelikümmend viis, siis kahendarvusüsteemis peame numbri nimetamiseks hääldama igast numbrist mõne numbri, näiteks numbrit 1100 kahendarvusüsteemis ei tohiks hääldada kui tuhat sada, vaid nagu üks, üks, null, null. Vaatame arvude 0–10 kirjutamist kahendarvusüsteemis:

Ma arvan, et loogika peaks nüüdseks selge olema. Kui kümnendarvusüsteemis oli iga numbri jaoks saadaval kümme valikut (0 kuni 9 kaasa arvatud), siis kahendarvusüsteemis on kahendarvu igas numbris ainult kaks võimalust: 0 või 1.

IP-aadresside ja alamvõrgumaskidega töötamiseks vajame kahendarvusüsteemis ainult naturaalnumbreid, kuigi kahendsüsteem võimaldab meil kirjutada murd- ja negatiivseid arve, kuid me ei vaja seda.

4.4.4 Arvude teisendamine kümnendarvust kahendarvuks

Vaatame seda paremini kuidas teisendada arv kümnendsüsteemist kahendarvuks. Ja siin on kõik tegelikult väga-väga lihtne, kuigi seda on raske sõnadega seletada, nii et ma annan selle kohe näide arvude kümnendsüsteemist kahendsüsteemi teisendamiseks. Võtame arvu 61, kahendsüsteemi teisendamiseks peame selle arvu jagama kahega ja vaatama, mis on jaotuse jääk. Ja jagamise tulemus jagatakse jälle kahega. Sel juhul on dividend 61, jagajaks on alati kaks ja jagatise (jagamise tulemuse) jagame uuesti kahega, jätkame jagamist, kuni jagatis sisaldab 1, see viimane ühik on kõige vasakpoolsem number . Allolev pilt näitab seda.

Pange tähele, et number 61 ei ole 101111, vaid 111101, see tähendab, et me kirjutame tulemuse lõpust. Viimase puhul ei ole mõtet üks kahega jagada, kuna sel juhul kasutatakse täisarvudega jagamist ja selle lähenemisega tuleb välja nagu joonisel 4.4.2.

See ei ole kiireim viis kahendarvust kümnendarvu teisendamiseks.. Meil on mitu kiirendit. Näiteks kahendkoodis olev arv 7 on kirjutatud kui 111, number 3 kui 11 ja number 255 kui 11111111. Kõik need juhtumid on uskumatult lihtsad. Fakt on see, et arvud 8, 4 ja 256 on kahe astmed ning arvud 7, 3 ja 255 on nendest arvudest ühe võrra väiksemad. Niisiis, arvude puhul, mis on ühe võrra väiksemad kui kahe astmega võrdne arv, kehtib lihtne reegel: kahendsüsteemis kirjutatakse selline kümnendarv ühikute arvuna, mis on võrdne kahe astmega. Näiteks arv 256 on kaheksanda astmeni kaks, seetõttu kirjutatakse 255 kui 11111111 ja number 8 on kaks kolmanda astmeni ning see ütleb meile, et kahendarvusüsteemis kirjutatakse 7 kui 111 Noh, saage aru, kuidas kahendarvusüsteemis 256, 4 ja 8 kirjutada pole keeruline, lisage lihtsalt üks: 256 = 11111111 + 1 = 100000000; 8 = 111 + 1 = 1000; 4 = 11 + 1 = 100.
Saate kõiki oma tulemusi kalkulaatoriga kontrollida ja alguses on parem seda teha.

Nagu näete, pole me veel jagamist unustanud. Ja nüüd saame edasi minna.

4.4.5 Arvude teisendamine kahendarvust kümnendarvuks

Arvude teisendamine kahendarvust on palju lihtsam kui kümnendarvust kahendarvuks teisendamine. Tõlke näitena kasutame numbrit 11110. Pöörake tähelepanu allolevale tabelile, see näitab võimsust, milleni peate kahe tõstma, et lõpuks saada kümnendnumber.

Sellest kahendarvust kümnendarvu saamiseks peate korrutama iga numbri numbri astmega kahega ja seejärel liitma korrutamise tulemused, seda on lihtsam näidata:

1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 16+8+4+2+0=30

Avame kalkulaatori ja veendume, et kümnendarvusüsteemis 30 on kahendsüsteemis 11110.

Näeme, et kõik on tehtud õigesti. Näite põhjal on selge, et Arvu teisendamine kahendarvust kümnendarvuks on palju lihtsam kui selle tagasi teisendamine. Enesekindlaks töötamiseks peate lihtsalt meeles pidama kahe kuni 28 võimsust. Selguse huvides annan tabeli.

Meil polegi rohkemat vaja, sest maksimaalne võimalik arv, mida saab kirjutada ühes baidis (8 bitti või kaheksa kahendväärtust) on 255, see tähendab, et igas IP-aadressi või IPv4 alamvõrgu maski oktetis on maksimaalne võimalik väärtus 255. On välju , kus on väärtused, mis on suuremad kui 255, kuid me ei pea neid arvutama.

4.4.6 Kahendarvude liitmine, lahutamine, korrutamine ja muud toimingud kahendarvudega

Vaatame nüüd toimingud, mida saab teha kahendarvudega. Alustame lihtsate aritmeetiliste toimingutega ja seejärel liigume edasi Boole'i ​​algebra tehete juurde.

Kahendarvude lisamine

Kahendarvude liitmine polegi nii keeruline: 1+0 =1; 1+1=0 (selgituse annan hiljem); 0+0=0. Need olid lihtsad näited, kus kasutati ainult ühte numbrit, vaatame näiteid, kus numbrite arv on rohkem kui üks.
101+1101 kümnendsüsteemis on 5 + 13 = 18. Loendame veerus.

Tulemus on esile tõstetud oranžiga, kalkulaator ütleb, et arvutasime õigesti, saate kontrollida. Nüüd vaatame, miks see nii juhtus, sest alguses kirjutasin, et 1+1=0, aga see kehtib juhul, kui meil on ainult üks number, juhtudel kui numbrit on rohkem kui üks, 1+1=10 (või kaks kümnendkohana), mis on loogiline.

Seejärel vaadake, mis juhtub, lisame numbrite kaupa paremalt vasakule:

1. 1+1=10, kirjuta null ja üks läheb järgmise numbri juurde.

2. Järgmises numbris saame 0+0+1=1 (see ühik tuli meile 1. sammu liitmise tulemusest).

4. Siin on meil ühik ainult teises numbris, kuid see on ka siia üle kantud, seega 0+1+1 = 10.

5. Liimige kõik kokku: 10|0|1|0.

Kui sa oled laisk veerus, siis loeme nii: 101011+11011 või 43 + 27 = 70. Mis siin teha saab, aga vaatame, sest keegi ei keela meil teha teisendusi ja kohtade muutmist. terminid summat ei muuda, kahendarvusüsteemi puhul kehtib ka see reegel.

1. 101011 = 101000 + 11 = 101000 + 10 + 1 = 100000 + 1000 + 10 + 1.
2. 11011 = 11000 + 10 + 1 = 10000 + 1000 + 10 + 1.
3. 100000 + 10000 + (1000 +1000) + (10+10) + (1+1).
4. 100000 + (10000 + 10000) + 100 + 10.
5. 100000 + 100000 +110
6. 1000000 + 110.
7. 1000110.

Saate kontrollida kalkulaatoriga, 1000110 kahendarvuna on 70 kümnendkohana.

Kahendarvude lahutamine

Kohe näide ühekohaliste arvude lahutamiseks kahendarvusüsteemis, me ei rääkinud negatiivsetest arvudest, seega ei võta me arvesse 0-1: 1 – 0 = 1; 0 – 0 = 0; 1 – 1 = 0. Kui numbrit on rohkem kui üks, siis on ka kõik lihtne, pole vaja isegi veerge ega nippe: 110111 – 1000, see on sama, mis 55 – 8. Selle tulemusena saame 101111. Ja süda lakkas löömast, kust tuleb kolmandas numbris olev ühik (nummerdades vasakult paremale ja alustades nullist)? See on lihtne! Arvu 110111 teises numbris on 0 ja esimeses numbris 1 (kui eeldame, et numbrite numeratsioon algab nullist ja läheb vasakult paremale), kuid neljanda numbri ühik saadakse lisades kaks ühikut kolmandast numbrist (saad mingi virtuaalse kahe) ja sellest kahest lahutame ühe, mis on arvu 1000 nullkohas ja 2 - 1 = 1 ja 1 on kehtiv number kahendarvusüsteemis.

Kahendarvude korrutamine

Jääb üle kaaluda kahendarvude korrutamist, mida rakendatakse biti võrra vasakule nihutades. Aga kõigepealt vaatame ühekohalise korrutamise tulemusi: 1*1 = 1; 1*0=0 0*0=0. Tegelikult on kõik lihtne, nüüd vaatame midagi keerukamat. Võtame arvud 101001 (41) ja 1100 (12). Korrutame veeruga.

Kui tabelist ei selgu, kuidas see juhtus, siis proovin sõnadega selgitada:

1. Kahendarve on mugav korrutada veerus, seega kirjutame teise teguri esimese alla, kui numbrid on erineva arvu numbritega, on mugavam, kui suurem arv on peal.
2. Järgmine samm on korrutada kõik esimese numbri numbrid teise numbri madalaima numbriga. Korrutamise tulemuse kirjutame alla nii, et iga vastava numbri alla kirjutatakse korrutamise tulemus.
3. Nüüd peame korrutama kõik esimese numbri numbrid teise numbri järgmise numbriga ja kirjutama tulemuse veel ühe rea alla, kuid seda tulemust tuleb nihutada ühe numbri võrra vasakule, kui vaatate tabelit, see on teine ​​nullide jada ülalt.
4. Sama tuleb teha ka järgmiste numbrite puhul, iga kord liigutades ühe numbri vasakule ja kui tabelit vaadata, siis võib öelda, et üks lahter vasakule.
5. Meil on neli kahendarvu, mille peame nüüd liitma ja tulemuse saama. Hiljuti vaatasime lisa, probleeme ei tohiks olla.

Üldiselt pole korrutamine nii keeruline, vajate lihtsalt natuke harjutamist.

Boole'i ​​algebra tehted

Boole'i ​​algebras on kaks väga olulist mõistet: tõene ja väär, mille ekvivalent on kahendarvusüsteemis null ja üks. Boole'i ​​algebra operaatorid suurendavad saadaolevate operaatorite arvu üle nende väärtuste, vaatame neid.

Loogiline JA või JA-operatsioon

Loogiline JA või JA-operatsioon on samaväärne ühekohaliste kahendarvude korrutamisega.

1 JA 1 = 1; 1 JA 0 = 1; 0 JA 0 = 0; 0 JA 1 = 0.

1 JA 1 = 1; 1 JA 0 = 1; 0 JA 0 = 0; 0 JA 1 = 0.

"Loogiline JA" tulemus on üks ainult siis, kui mõlemad väärtused on ühega võrdsed, kõigil muudel juhtudel on see null.

Operatsioon "Loogiline VÕI" või VÕI

Tehe “Loogiline VÕI” või VÕI toimib järgmisel põhimõttel: kui vähemalt üks väärtus on võrdne ühega, on tulemuseks üks.

1 VÕI 1 = 1; 1 VÕI 0 = 1; 0 VÕI 1 = 1; 0 VÕI 0 = 0.

1 VÕI 1 = 1; 1 VÕI 0 = 1; 0 VÕI 1 = 1; 0 VÕI 0 = 0.

Eksklusiivne OR või XOR operatsioon

Tehe "Exclusive OR" või XOR annab meile tulemuse ühe ainult siis, kui üks operandidest on võrdne ühega ja teine ​​on võrdne nulliga. Kui mõlemad operandid on võrdsed nulliga, on tulemus null ja isegi kui mõlemad operandid on võrdsed ühega, on tulemus null.