Dünaamilise süsteemi olekumuutujad. Olekumuutuja määratlemine

Juhtsüsteemide analüüs ja süntees ajavaldkonnas põhineb süsteemi oleku kontseptsioonil. Süsteemi olek on selliste muutujate kogum, mille teadmine koos sisendfunktsioonide ja süsteemi dünaamikat kirjeldavate võrranditega võimaldab määrata selle tulevase oleku ja väljundmuutuja. Dünaamilise süsteemi puhul kirjeldatakse selle olekut olekumuutujate kogumiga [LG[(?), X2(t) X„(0] - need on muutujad, mis määravad süsteemi edasise käitumise, kui selle praegune olek ja kõik välismõjud on teada. Vaatleme joonisel 3.1 kujutatud süsteemi, kus ^,^) ja y2(t) on väljundmuutujad ning ux(t) ja u2(t) on sisendmuutujad. SELLE süsteemi puhul on muutujatel (*[, x2,..., xn) järgmine tähendus: kui ajahetkel t0 on algväärtused [^(fo), x2(t0), ..., xn(tQ) )] ja sisendsignaalid u(i) ja u2(f), kui t > t0, siis piisab sellest teabest kõigi olekumuutujate ja väljundmuutujate tulevaste väärtuste määramiseks.

Olekumuutujad kirjeldavad süsteemi käitumist tulevikus, kui on teada hetkeseisund, välismõjud ja süsteemi dünaamika võrrandid.

Dünaamilise süsteemi üldvaade on näidatud joonisel fig. 3.2.

Lihtne näide olekumuutujast on lambipirni lüliti asend. Lüliti võib olla ühes kahest asendist - "sees" või "väljas", nii et selle olek vastab ühele kahest võimalikust väärtusest. Kui teame, millises olekus (asendis) lüliti on ajahetkel t0 ja kui me rakendame sellele jõudu, siis saame alati määrata elemendi tulevase oleku.

xx(t)=y(i) JA x2(t) = -

Süsteemi käitumist kirjeldav diferentsiaalvõrrand kirjutatakse tavaliselt kujul

Need võrrandid kirjeldavad sisuliselt süsteemi käitumist iga olekumuutuja muutumiskiiruse kaudu.

Veel üks näide süsteemist, mida saab kirjeldada olekumuutujate abil, on joonisel fig. 3.4.

Süsteemi olekut iseloomustavad kaks muutujat (X[, x2), kus xx on kondensaatori pinge vc(/) ja x2 on induktiivsust //(/) läbiv vool. Nende muutujate valik on intuitiivne, kuna ahelasse salvestatud koguenergia sõltub neist otseselt, kuna

E=(l/2)Z,/£ +(1/2)Cvc2. (3.5)

Seega X](/0) ja x2(t0) kannavad teavet kogu algenergia kohta ahelas ja seega ka süsteemi oleku kohta hetkel t = /0. Passiivse LiC ahela kirjeldamiseks on vajalike olekumuutujate arv võrdne energiat akumuleerivate sõltumatute elementide arvuga. Kasutades Kirchhoffi seadust voolude kohta, kirjutame esimest järku diferentsiaalvõrrandi, mis määrab kondensaatori pinge muutumise kiiruse:

іс ~С - у - = u(t)~ і i (3.6)

Allikas4^ vool

Riis. 3.4. RLC ahel

Paremahelale rakendatud Kirchhoffi pingeseadus annab võrrandi, mis määrab voolu muutumise kiiruse läbi induktiivsuse:

L^=-Ri, + vc. (3.7)

Süsteemi väljund määratakse lineaarse algebralise võrrandiga:

Võime võrrandid (3.6) ja (3.7) ümber kirjutada kahe diferentsiaalvõrrandi süsteemina olekumuutujate xx ja x2 jaoks:

*L-lx --Х Г3 9Ї

Siis on väljundsignaal võrdne

^i(0 = v0(0 = R x2. (3.10))

Kasutades võrrandeid (3.8) ja (3.9), samuti algtingimusi, saame määrata süsteemi ja selle väljundmuutuja edasise käitumise.

Süsteemi kirjeldavad olekumuutujad ei ole unikaalsed ja alati saab valida selliste muutujate alternatiivse kombinatsiooni. Näiteks teist järku süsteemi, nagu mass-vedru või RLC-ahel, saab olekumuutujatena valida mis tahes kaks lineaarselt sõltumatut kombinatsiooni xx(t) ja x2(t). Seega võiksime RLC ahela jaoks võtta olekumuutujatena kaks pinget vc(/) ja v; (/), kus vL on induktiivsuse pinge. Seejärel seostatakse uued olekumuutujad x, need"2 vanade muutujatega xx ja x2 suhetega:

x =vc =x, (3.11)

x* = Vj =vc - RiL =x, - Rx2. (3.12)

Võrrand (3.12) seob induktiivpooli pinge vanade olekumuutujatega vc ja iL. Reaalses süsteemis on alati võimalik moodustada mitu olekumuutujate kombinatsiooni, mis määravad süsteemi salvestatud energia ja seetõttu kirjeldavad adekvaatselt selle dünaamikat. Praktikas valitakse sageli olekumuutujateks füüsikalised muutujad, mida saab kergesti mõõta.

Alternatiivne meetod olekumuutujate mudeli saamiseks põhineb seosgraafiku kasutamisel. Selliseid graafikuid saab koostada elektriliste, mehaaniliste, hüdrauliliste ja termiliste elementide või süsteemide, aga ka erinevat tüüpi elementide kombinatsioonide jaoks. Ühendusgraafikud võimaldavad teil saada relatsioonivõrrandi süsteemi

konkreetselt nimetada muutujaid.

Olekumuutujad iseloomustavad süsteemi dünaamikat. Inseneri huvitavad eelkõige füüsikalised süsteemid, milles muutujateks on pinged, voolud, kiirused, nihked, rõhud, temperatuurid ja muud sarnased füüsikalised suurused. Riigi mõiste on aga rakendatav mitte ainult füüsiliste, vaid ka bioloogiliste, sotsiaalsete ja majanduslike süsteemide analüüsimisel. Nende süsteemide puhul ei piirdu oleku mõiste ideedega energiast ja läheneb olekumuutujatele laiemas tähenduses, käsitledes neid mis tahes laadi muutujatena, mis kirjeldavad süsteemi tulevast käitumist.

A B C

Energia salvestamine – võimsus

Siirdeprotsesside arvutamine ahelates ühega

Elektromagnetilised protsessid siirdeprotsessi ajal sellistes ahelates on põhjustatud elektrienergia tarnimisest mahtuvuses KOOS ja selle energia hajumine soojuse kujul ahela aktiivtakistustele. Diferentsiaalvõrrandi koostamisel tuleks tundmatuks funktsiooniks valida pinge uC konteineri peal. Tuleb märkida, et püsiseisundi tingimuste arvutamisel, st algtingimuste ja sundkomponendi määramisel, on alalisvooluahelate mahtuvustakistus võrdne lõpmatusega.

Näide 6.2. R-, C-seeria ahela sisselülitamine konstantsele pingele.

Kett (joonis 6.3, A), mis koosneb järjestikku ühendatud takistustest R= 1000 oomi ja mahtuvus KOOS= 200 µF, mingil ajahetkel ühendatud konstantse pingega U= 60 V. Vajalik on määrata kondensaatori vool ja pinge siirdeprotsessi ajal ning koostada graafikud uC(t),i(t).

R i R i, A sina, B

U C U C t = 0,02.s

0t 2t 3t t, Koos

Lahendus.1. Määrame algtingimused. Esialgne seisund uC(-0) = 0, kuna vooluahel oli enne ümberlülitamist lahti ühendatud (oletame, et üsna pikka aega).

2. Kujutame elektriahelat pärast lülitamist (joonis 6.3, b), näitame voolu ja pinge suunad ning koostame selle jaoks võrrandi vastavalt Kirchhoffi teisele seadusele

või .

3. Teisendame elemendi 2 võrrandi diferentsiaalvõrrandiks. Selleks asendades praeguse asemel i kuulus võrrand , saame:

4. Otsime võrrandi (soovitav pinge kondensaatoril) lahendit kujul:

5. Defineerime. Kuna püsivas olekus alalisvooluahelas on mahtuvuse takistus võrdne lõpmatusega (samal ajal), siis rakendatakse kogu pinge mahtuvusele. Sellepärast

u C pr =U= 60 V.

6. Koostame homogeense diferentsiaalvõrrandi

mille lahendus on funktsioon

7. Koostame iseloomuliku võrrandi R.C. l + 1= 0, mille juur on

Ajakonstant

8. Paneme lahenduse kirja.

9. Vastavalt teisele kommutatsiooniseadusele ja algtingimustele

10. Määrame integratsioonikonstandi A asendamise teel t=0 võrrandi elemendis 8

Mahtuvuspinge siirdeprotsessi ajal

11. Voolu vooluringis saab määrata võrrandiga

või vastavalt võrrandi punktile 2

Diagrammid uC(t) Ja i(t) on esitatud joonisel fig. 6.3, V.

Voolude ja pingete hetkeväärtusi, mis määravad elektriahela energiaoleku, nimetatakse selles meetodis muutujateks ja meetodit ennast nimetatakse olekumuutujate meetodiks.

See meetod põhineb diferentsiaalvõrrandisüsteemi koostamisel ja reeglina nende arvulisel lahendamisel arvuti abil.

Siin tuleks tundmatutena võtta muutujaid, millel ei ole katkestusi, s.t. Nendes kogustes ei tohiks aja jooksul järske muutuda. Seetõttu peavad sellised muutujad olema kehtivad i ja vooühendus induktiivsuse, pinge ja mahtuvuse laengu osas. Vastasel juhul tekib tuletisi arvuliselt lahendades punktides, kus esineb katkestus, lõpmata suur väärtus, mis on vastuvõetamatu.

Diferentsiaalvõrrandite arvutamiseks on erinevaid numbrilisi meetodeid. Need on Euleri, Runge-Kutta ja teised meetodid, mis erinevad üksteisest arvutuste täpsuse, mahu ja arvutuste aja poolest. Veelgi enam, mida suurem on arvutuste täpsus, seda rohkem aega kulub lahendamiseks.

1. Määrake algtingimused.

2. Loo diferentsiaalvõrrandi süsteem.

3. Väljendage kõik muutujad lõike 2 võrrandites kondensaatorite induktiivsuse ja pinge või laengu voolude või vooühenduste kaudu.

4. Taandage kõik 3. sammu võrrandid tavalisele Cauchy vormile.

Alused > Elektrotehnika teoreetilised alused

Oleku muutuja meetod
OlekuvõrrandidSaate nimetada mis tahes võrrandisüsteemi, mis määrab ahela režiimi. Kitsamas tähenduses on see tuletistuletuste suhtes lahendatud esimest järku diferentsiaalvõrrandite süsteem.
Olekumuutujate meetod on ahela analüüs, mis põhineb Cauchy kujul kirjutatud olekuvõrrandite (esimest järku) lahendil. Seega on olekumuutujate meetod üks peamiselt siirdeprotsesside arvutamise meetodeid. Lisaks eeldatakse, et vooluahelal on ainult sõltumatud allikad ja see ei sisalda induktiivseid sektsioone ega mahtuvuslikke ahelaid. Vastasel juhul muutub võrrandite kirjutamine palju keerulisemaks.
Konstantsete koondunud parameetritega lineaarahela puhul võib selle voolu, pinge, laengu jaoks koostatud diferentsiaalvõrrandi lahendusena alati leida iga haru voolu, valitud klemmide vahelise pinge, kondensaatori plaatide laengu jne. jne (näiteks jättes Kirchhoffi võrrandite süsteemist välja muud voolud ja pinged):

Muutujate sisseviimisegasee võrrand taandub samaväärseks esimest järku diferentsiaalvõrrandi süsteemiks:

Siin nimetatakse muutujaidolekumuutujad, toimivad muutuja x ja selle tuletised.
Nagu teada, on mööduv protsess mis tahes vooluringis, välja arvatud selle parameetrid (väärtused r , L, C, M) ja vooluallikad[ e(t) ja J(t)], mis on määratud sõltumatute algtingimustega (t = 0) – voolud induktiivsetes elementidesja mahtuvuslike elementide pinged, mis peab olema teada või arvutatud. Nende kaudu väljendatakse üleminekuprotsessi käigus vajalikke koguseid. Need määravad ka ahela energiaseisundi. Seetõttu on soovitav olekumuutujateks valida voolud ja pinge . Tööallikaid võib nimetada sisendkogusteks, vajalikud kogused - nädalavahetustel. Keti jaoks, millel on n sõltumatud voolud ja stressid tuleb ka täpsustada n iseseisvad algtingimused.

Kirjutame oleku diferentsiaalvõrrandid maatriksi kujul järgmiselt:

või lühem

kus X on veerumaatriks (suurusega n x 1) olekumuutujad (olekumuutujate vektor); F - EMF-i ja lähtevoolude (välised häired) kolonni maatriks (suurus m x 1); A - järjestuse ruutmaatriks n (peamine); B - maatriks suurusega n x m (ühendusmaatriks). Nende maatriksite elemendid määravad vooluringi topoloogia ja parameetrid.
Väljundkoguste jaoks (kui on määratud voolud induktiivsetes elementides ja pinged mahtuvuslikes elementides) maatrikskujul on algebraliste võrrandite süsteem kujul

või lühem

kus W on veerumaatriks (suurus l x 1); M - ühendusmaatriks (suurus l x n ); N - ühendusmaatriks (suurus l x m ).
Maatriksite elemendid sõltuvad ahela topoloogiast ja parameetritest. Olekuvõrrandite jaoks on topoloogia ja parameetrite väärtuste põhjal välja töötatud ka masinate genereerimise algoritmid.
Maatrikskujulisi võrrandeid (14.91) saab konstrueerida näiteks superpositsioonimeetodi abil. Tuletatud olekumuutujate vaheliste sõltuvuste saamiseks, st.ja olekumuutujad, samuti vooluringis mõjuvad EMF ja lähtevoolud, eeldame, et olekumuutujad on täpsustatud. Vaadeldav vooluahel, näiteks joonisel fig. 14.41, a, pärast kommuteerimist asendame selle samaväärsega (joon. 14.41.6), mille jaoks iga antud voolmida esindab praegune allikas, ja iga antud pinge- pingeallikas (EMF). Superpositsiooni meetodil (valitud on positiivsed suunad) paneme pinged kirja ja hoovused (Kõigepealt võtame arvesse allikate mõju siis ja muud ahelas tegutsevad allikad):

Sellest ajast

Muidugi saab võrrandid (14.93) saada ka Kirchhoffi võrranditest, jättes kõrvale takistuslike elementide voolud ja pinged. Kirchhoffi võrrandite ühislahendus muutub aga ahela harude arvu kasvades järjest tülikamaks.
Olekuvõrrandid saab moodustada ka koheselt maatrikskujul.
Kui voolu ja EMF allikaid pole, st F = 0, siis võrrandid (14.91) on lihtsustatud

ja iseloomustada ahelas vabu protsesse. Lahenduse kirjutame vormile

kus X (0) on olekumuutujate algväärtuste veerumaatriks; - maatriksi eksponentsiaalne funktsioon.
Asendades (14.94) väärtusega (14.91c), veendume, et saame identiteedi.
Kellesitame võrrandi (14.91) lahendi kujul

kus Ф(t ) on mingi ahela maatriksfunktsioon. Pärast eristamist (14,95) saame

Võrdleme (14,96) ja (14,91a)

ja korrutades , pärast integreerimist leiame selle

kus q - integratsioonimuutuja või

Asendame selle avaldise (14.95):

Täpsemalt on meil t = 0
Seetõttu on olekumuutujate lahendus kirjutatud kujul

(ahela reaktsioon võrdub nullsisendi ja null algoleku reaktsioonide summaga).
Selle lahenduse saab ka kasutades operaatormeetodit siirdeprotsesside arvutamiseks, mida käsitletakse jaotises.
Väljundväärtused leiate alates (14.92).
Kui vooluringi olek on määratud mitte t = 0, vaid juures, siis (14.97) kirjutatakse esimene liige järgmiselt:, ja integraali alumine piir ei ole 0, vaid t .
Arvutamise peamine raskus seisneb maatriksi eksponentsiaalfunktsiooni arvutamises. Üks võimalus on järgmine: kõigepealt leiame omaväärtused l maatriksid A, st võrrandi juured

kus 1 on järjekorra identiteedimaatriks n, mis on määratud võrrandist

Kus - maatriksi A elemendid.
Omaväärtused langevad kokku juurtegavooluringi iseloomulik võrrand.
Maatriksi astendaja, mille argument on maatriks A t , kellel on tellimus n , mida saab esitada lõpliku arvuga n tingimustele. Kui omaväärtused on erinevad, siis

Kus - ajafunktsioonid; jne.
Järgmisena määratledakoostada algebraline süsteem n võrrandid

Lõpuks, olles määratlenudalates (14.100), kasutades (14.99) leiameja seejärel X (t) vastavalt punktile (14.97).

Näide 14.6. Määrake vool joonisel fig. 14.42 peale ümberlülitamist kl.

Lahendus. Voolude positiivsete suundade valimineinduktiivsetes elementides, st oleku- ja voolumuutujates. Sõltumatud algtingimused:. Diferentsiaalahela võrrandid

Voolu kõrvaldamisega , saame olekumuutujate tuletistele võrrandid:

st vastavalt (14.91)

ja algväärtuste veerumaatriks

Arvutame omaväärtused; autor (14.98)

kus . Kui võrdsustame olekumuutujatega võrrandite põhideterminandi nulliga, saame samad väärtused.
Leiame koefitsiendid ak alates (14.100), s.o võrrandisüsteemist

Praegused väärtused arvutatakse hetkedegasekundit ajavahemikuks 0 - 0,1 s, mille lõpus erineb vool püsiseisundistalla 1,5%, on toodud tabelis. 14.1. Arvutuste käigus kirjutati arvud 8-kohalised ja seda kõikides näites ja tabelis toodud valemites. 14.1 tähistatakse ümardamisega.

Tabel 14.1



	0,005	0,010	0,015	0,020	0,025	0,030	0,035	0,040	0,045	0,050
	1,079	1,213	1,343	1,455	1,550	1,628	1,692	1,746	1,790	1,827

	0,055	0,060	0,065	0,070	0,075	0,080	0,085	0,090	0,095	0,100
, siis n jaoks - q erineva juure korral koostatakse süsteem (14.100) ja q kordajate jaoks saadakse võrrandid pärast esimeste q - 1 tuletiste arvutamist.juurega võrrandi mõlemalt küljelt, st. Kui vooluringis on ainult üks EMF-i (või voolu) allikas, mis tähistab ühte hüpet 1( t), st F(t)=1(t ) ja algtingimused on null, siis kirjutatakse lahendus (14.97) kujule Väljundkoguste jaoks vastavalt (14.92a) saame Need on ahela h(t) üleminekufunktsioonid. Impulsi ajutised funktsioonid k(t ) määratakse (14.84) või (14.85). Üldisem viis maatriksi eksponentsiaalfunktsiooni arvutamiseks on esitada see lõpmatu jaana kuid seeria koondub aeglaselt suurte t. Kui arvutus on piiratud piiratud arvu liikmetega, taandatakse arvutus maatrikskorrutamiseks ja liitmiseks. Sellised toimingud on saadaval arvutitarkvaras. On teada meetod maatriksi eksponentsiaalfunktsiooni arvutamiseks, mis põhineb Silversti kriteeriumil. Ahelate olekuvõrrandeid, mille suurusjärk on suurem kui kaks või kolm, on lihtsam lahendada mitte analüütiliste, vaid numbriliste meetoditega, mis võimaldavad arvuti kasutamise korral arvutust automatiseerida.

Lineaarsete elektriahelate siirdeprotsesside arvutamine olekumuutujate meetodil

See on kõige universaalsem meetod nii lineaarsete kui ka mittelineaarsete ahelate arvutamiseks. Meetodit kasutatakse kõrgetasemeliste vooluahelate arvutamiseks, kui muude arvutusmeetodite kasutamine on ebaotstarbekas või praktiliselt võimatu. Olekumuutujate meetod põhineb Cauchy kujul kirjutatud olekuvõrrandite (esimest järku) lahendamisel. Esimest järku võrrandisüsteemi lahendamiseks on välja töötatud numbrilised meetodid, mis võimaldavad automatiseerida siirdeprotsesside arvutamist arvutiga. Seega on olekumuutujate meetod üks siirdeprotsesside arvutustest, keskendudes eelkõige arvutite kasutamisele.

Konstantsete koondunud parameetritega lineaarahela puhul võib selle voolu, pinge, laengu jaoks koostatud diferentsiaalvõrrandi lahendusena leida iga haru voolu, klemmidevahelise pinge, plaatide laengu, kondensaatori jne. jne, jättes Kirchhoffi võrrandite süsteemist välja muud voolud ja pinged:

Muutujate sisseviimisega

võrrand (1.1) taandab samaväärseks esimest järku diferentsiaalvõrrandi süsteemiks:

(1.2)

Siin on muutujateks, mida nimetatakse olekumuutujateks, muutuja X ja selle tuletised. Eeldatakse, et vooluahelal on ainult sõltumatud allikad ja see ei sisalda induktiivseid sektsioone ega mahtuvuslikke ahelaid. Vastasel juhul muutub võrrandite kirjutamine palju keerulisemaks

1. Olekumuutujate võrrandite moodustamine

Ahela energiaseisundi ja seega ka siirdeprotsessi mis tahes ahelas määrab induktiivsustesse salvestatud magnetvälja energia ja kondensaatoritesse salvestatud elektrivälja energia. Reaktiivelementide energiavarud määravad voolud induktiivsuses ja pinged kondensaatorites, s.o. need määravad vooluringi energiaseisundi ja seetõttu võetakse neid iseseisvate olekumuutujatena.

Igasugust võrrandisüsteemi, mis määrab vooluringi oleku, nimetatakse olekuvõrranditeks. Induktiivsete elementide voolud ja pinge mahtuvuslikel elementidel
esindavad sõltumatuid algtingimusi
ahelad ja need peavad olema teada või arvutatud. Nende kaudu väljendatakse üleminekuprotsessis vajalikke koguseid.

Töötavaid energiaallikaid nimetatakse tavaliselt sisendkogusteks
, ja soovitud kogused (voolud ja pinged) - väljundkogused
.

Keti jaoks koos n sõltumatud voolud ja rõhutab
tuleb ka täpsustada n iseseisvad algtingimused. Suure arvu muutujatega tehte jaoks kasutatakse maatriksarvutuse meetodeid.

Lühendatud olekudiferentsiaalvõrrandid, mis kirjeldavad vooluringi vastavalt Kirchhoffi seadustele, on kirjutatud maatriksi kujul:

, (1.3)

kus X on suvaliste olekumuutujate veeruvektor (suurus n x 1); V on välismõjude (EMF ja lähtevoolud) kolonnvektor (suurus m x 1); A - ruutmaatriks järku n (peamine); B on ühendusmaatriks ahela sisendite ja olekumuutujate vahel (suurus n x m). Nende maatriksite elemendid on määratud ahela topoloogia ja parameetritega
,m on sisendite arv, n on olekumuutujate arv.

Väljundkoguste jaoks (kui mahtuvuslike elementide induktiivsuse voolud ja pinged pole määratud) on vaja lisada veel üks võrrand maatriksi kujul:

(1.4)

kus Y on vektor - soovitud voolude ja pingete veerg väljundis (suurus 1 x 1), 1 - väljundite arv; C on olekumuutujate ja vooluahela väljundite vahelise ühenduse maatriks (n x 1); D - ahela sisendite ja väljundite otseühenduse maatriks (suurus 1 x m). Maatriksi elemendid sõltuvad ahela parameetrite topoloogiast ja väärtustest
.

Maatriksvõrrandi süsteem

;
(1.5)

saab esitada plokkskeemi kujul (joon. 1.3).

1.1. Vooluahela olekuvõrrandite koostamine

ülekatte meetod

Olgu toodud lülitusjärgne skeem

Eeldame, et olekumuutujad on täpsustatud. Pärast lülitamist asendame vaadeldava ahela (joonis 2) samaväärsega (joonis 3), millel on etteantud vool mida esindab praegune allikas , määrake pinge
pingeallikas
.

Superpositsiooni meetodil (valitud on positiivsed suunad) paneme pinged kirja
ja hoovused
(kõigepealt võtame arvesse allika tegevust siis
ja muud ahelas töötavad allikad).

Tegevusest :

;
;

tegevusest
:

;
;

toimingust e:

;
,

ja koguvool
ja pinge.

(1.6)

Võttes arvesse, et
Ja
saame

see tähendab, et maatriksi kujul kirjutame võrrandi (1.7)

(1.8)

1.2. Vooluahela olekuvõrrandite koostamine kasutades

Kirchhoffi seadused

Võrrandid (1.7) on võimalik saada ka Kirchhoffi võrranditest, jättes kõrvale takistuslike elementide voolud ja pinged. Kirchhoffi seaduste kohaselt kirjutame ahela võrrandid (vt joonis 2) kujul

(1.9)

Lahendame süsteemi esimese võrrandi suhtes , kolmandaks, arvestades seda
, suhteliselt . Siis

(1.10)

Muutujad
Ja on kõnealuse ahela olekumuutujad. Süsteemi (1.10) paremal küljel on muutuja , ei ole iseseisev olekumuutuja. Selle kõrvaldamiseks kirjutame süsteemi (1.9) teise võrrandi ümber kujule

(1.11)

ja pane see siia
.

Praegune väärtus, mis on saadud (1.11)

(1.12)

Asendame selle süsteemiga (1.10).

Saame olekumuutujate võrrandisüsteemi
uuritava ringi jaoks

(1.13)

kus X, X, V, A, B vastavad võrrandisüsteemile (1.7).

Olgu vaadeldavas näites vaja määrata voolud Ja . Seega Ja on ahela väljundkogused ja need tuleb esitada kujul
,
.Praegune on juba nõutud kujul (1.12) määratletud ja praegune
.Siis teine olekumuutujate võrrandisüsteem
võtab vormi

(1.14)

Maatriksi kujul kirjutatakse võrrandisüsteem (1.14) kujule

(1.15)

Erijuhul, kui väljundmuutujad on olekumuutujad
siis maatriks C on diagonaalmaatriksi kuju ja maatriksi D elemendid on võrdsed nulliga.

Olekuvõrrandeid lahendatakse arvutites numbriliste meetoditega.

Elektriahela olekuvõrrandid on mis tahes diferentsiaalvõrrandi süsteem, mis kirjeldab antud vooluahela olekut (režiimi). Näiteks Kirchhoffi võrrandisüsteem on selle vooluringi olekuvõrrand, mille jaoks see on koostatud.

Kitsamas tähenduses on olekuvõrrandid matemaatikas 1. järku diferentsiaalvõrrandite süsteem, mis on lahendatud tuletiste suhtes (Cauchy vorm). Olekuvõrrandisüsteem üldistatud kujul on järgmine:

Sama võrrandisüsteem maatriksi kujul:

või üldistatud maatriksi kujul:

Cauchy vormi olekuvõrrandite süsteem lahendatakse arvulise integreerimise meetodil (Euleri meetod või Runge-Kutta meetod) arvutis standardprogrammi abil, mis peaks olema standardprogrammi paketis. Kui paketis sellist programmi pole, saab selle hõlpsasti kompileerida, kasutades k-nda sammu jaoks järgmist algoritmi (Euleri meetod):

Tuletisinstrumentide väärtused k-ndas etapis:

Muutujate väärtused k-ndas etapis:

Muutujate ja nende tuletiste väärtuste määramiseks integreerimise 1. etapis kasutatakse nende väärtusi hetkel t = 0, s.o. nende algtingimused x1(0), x2(0)...xn(0).

Cauchy vormi olekuvõrrandid antud vooluringi jaoks on võimalik saada Kirchhoffi võrrandite süsteemist nende teisendamise teel. Selleks: a) Kirchhoffi võrrandite süsteemist jäetakse asendusmeetodil välja “lisa” muutujad, millel on sõltuvad algtingimused ning jäetakse alles muutujad iL(t) ja uC(t), mis ei muutu järsult. ja neil on sõltumatud algtingimused iL (0) ja uC(0); b) ülejäänud võrrandid lahendatakse tuletiste suhtes ja taandatakse Cauchy vormiks.

Keerukate ahelate puhul saab Cauchy vormide olekuvõrrandid konstrueerida topoloogiliste meetoditega, kasutades ühendusmaatrikse [A] ja [B].

Mööduva protsessi arvutamise jada olekumuutuja meetodi abil näeb välja järgmine:

1. Ahel arvutatakse enne ümberlülitamist püsiseisundis ja määratakse sõltumatud algtingimused iL(0) ja uC(0).

2. Kirchhoffi seaduste järgi koostatakse diferentsiaalvõrrandite süsteem ahela jaoks pärast ümberlülitamist.

3. Likvideerides “lisa” muutujad, muudetakse Kirchhoffi võrrandite süsteem Cauchy võrrandite süsteemiks ja koostatakse koefitsientide maatriksid.

4. Valitakse hinnanguline aeg (üleminekuprotsessi kestus) ja integratsioonisammude arv N.

5. Probleem lahendatakse arvutis standardprogrammi abil. Väljundfunktsioon saadakse graafilise diagrammi kujul x=f(t) või funktsioonide koordinaatide tabelina antud ajapunktide kohta.

Näide. Joonisel fig. 74.1 elementide antud parameetritega (e(t)=Emsin(ωt+ψE), R, R1, R2, R3, L1, L2, C), arvutada siirdeprotsess ja määrata funktsioon uab(t).