34. Optimal plan üçün unikallıq testi, dəst optimal planlar Simpleks metodundan istifadə etməklə LP məsələsini həll edərkən optimal planın olmaması.
Simpleks metodundan istifadə edərək problemləri həll edərkən aşağıdakı optimal həllər növləri mümkündür:
1. Unikallıq . Bütün sərbəst vektorların təxminləri ciddi şəkildə mənfi olarsa, nəticədə əldə edilən istinad planı optimal və unikaldır. (əvvəlki paraqrafdakı nümunəyə baxın).
2. Alternativ optimal (optimal həllər toplusu).
Sərbəst vektorların qeyri-müsbət qiymətləndirmələri arasında ən azı bir sıfır varsa, nəticədə əldə edilən istinad planı optimal olacaq, lakin yeganə deyil. Bu halda, siz digər dəstək planlarına keçə bilərsiniz (sıfır təxminlərə uyğun gələn vektorlar bazaya daxil edilir) və sonra əldə edilmiş optimal dəstək planlarının konveks birləşməsi şəklində ümumi optimal həlli yaza bilərsiniz.
3. ZLP-nin optimal həlli yoxdur, çünki məqsəd funksiyası aşağıdan məhdud deyil . Simpleks cədvəli müsbət nəticəyə malikdirsə və bütün elementlər bu sütundan mənfi və sıfırdır, onda bu vektor bazaya daxil edilə bilər. Lakin bazis vektorlarının heç biri bazisdən alına bilməz. Buradan belə çıxır ki, qeyri-istinad planına keçərkən məqsəd funksiyasının daha da azaldılması mümkündür.
4. Məhdudiyyətlər sistemi ziddiyyətli olduğundan, ZLP-nin optimal həlli yoxdur. Nə vaxtdan PPP-nin qərarı adi simpleks metodu orijinal istinad planı olmalıdır, onda xətti tənliklər sistemi əlbəttə ki, ziddiyyətli deyil. Deməli, adi simpleks üsulu ilə həll edərkən belə bir hal baş verə bilməz.
5. Əgər ODZ bir nöqtədən ibarətdirsə, onda belə məsələnin həlli əhəmiyyətsizdir və onu simpleks üsulundan istifadə etmədən də əldə etmək olar.
35. Hansı hallarda süni əsas metodundan istifadə olunur?
süni.
36. M-məsələsinin süni əsas metodunda qurulması
Xətti proqramlaşdırma problemi varsa kanonik forma, lakin bütün tənliklər əsas dəyişənləri ehtiva etmir, yəni orijinal istinad planı yoxdur. Bu halda, əsas dəyişənlərin olmadığı tənliklərə +1 əmsalı olan bəzi mənfi olmayan dəyişənləri əlavə etmək lazımdır. Belə bir dəyişən adlanır süni.
Məqsəd funksiyasına çox böyük müsbət ədədlə süni dəyişən əlavə edilməlidir (çünki məqsəd funksiyası minimumu tapmaqdır). Bu nömrə işarələnmişdir Latın hərfi M. +∞-ə bərabər hesab edilə bilər. Bununla əlaqədar olaraq, süni əsas metodu bəzən M-metodu da adlanır. Bu çevrilmə orijinal problem uzadılmış problemin qurulması adlanır. Əgər məqsəd funksiyası olan problem həll olunursa, ona süni dəyişən əlavə edilməlidir hədəf funksiyasıçox böyük ilə müsbət rəqəm(məqsəd funksiyası minimumu tapmaq olduğundan). Bu rəqəm Latın hərfi M ilə işarələnir. Onu +∞-ə bərabər hesab etmək olar. Bununla əlaqədar olaraq, süni əsas metodu bəzən M-metodu da adlanır. İlkin problemin bu çevrilməsinə uzadılmış məsələnin qurulması deyilir. Əgər problem maksimumu tapmaq üçün məqsəd funksiyası ilə həll edilirsə, o zaman süni dəyişənlər məqsəd funksiyasına –M əmsalı ilə daxil edilir.
Beləliklə, genişləndirilmiş problemdə istinad dizaynımız var (baza dəyişənlərin bəziləri süni olsa da).
İlkin simpleks cədvəli qurulur.
37. süni bazis metodunda indeks xəttinin qurulması
Təxminlər iki termindən ibarət olduğundan indeks cərgəsinin iki sıraya bölündüyü ilkin simpleks cədvəli qurulur. IN üst xətt M-siz qiymətləndirmənin müddəti yazılır, alt sətirdə - M üçün əmsallar. Qiymətləndirmənin işarəsi M-siz müddətin dəyərindən və işarəsindən asılı olmayaraq M üçün əmsalın işarəsi ilə müəyyən edilir, çünki M. çox böyük müsbət rəqəmdir.
Beləliklə, bazaya daxil edilən vektoru müəyyən etmək üçün aşağı indeks xəttini təhlil etmək lazımdır. Bazadan süni vektor alınırsa, onda həllin alınmasına ehtiyac yoxdursa, sonrakı simpleks cədvəllərində müvafiq sütun hesablana bilməz. ikili problem(növbəti mövzuya baxın).
Bazadan bütün süni vektorlar çıxarıldıqdan sonra, alt xətt hər şeyə sahib olacaq sıfır elementlər, süni vektorlara uyğun gələn təxminlər istisna olmaqla. Onlar -1-ə bərabər olacaqlar. Belə bir xətt nəzərdən keçirilə bilər və ikili problemin həllini əldə etməyə ehtiyac yoxdursa, adi simpleks metodundan istifadə edərək əlavə həll edilə bilər (növbəti mövzuya baxın).
38. Süni əsas metodunda optimallıq meyarı. Orijinal məsələnin ilkin istinad planının qurulmasının əlaməti.
39. Dual simpleks metodu üçün alqoritm
Dual simpleks metodunun alqoritmi:
pulsuz şərtlərin əlamətlərinə diqqət yetirmədən ilk simpleks cədvəlini adi qaydada doldurun. Belə bir problemin ilkin vahid əsasının olması lazım olduğuna inanılır.
Ən böyüyünə uyğun olaraq bələdçi xəttini seçin mütləq dəyər sərbəst terminlər sütununun mənfi elementi A0
Bələdçi sütunu indeks cərgəsinin elementlərinin bələdçi sıranın mənfi elementlərinə ən kiçik mütləq dəyər nisbəti əsasında seçilir.
Yenidən saymaq simpleks cədvəli tam İordaniya istisnaları qaydasına uyğun olaraq
qəbul edilmiş planı yoxlayın.
Məqbul bir istinad planının əldə edilməsinin əlaməti A0 sütununda mənfi elementlərin olmamasıdır. A0 sütununda mənfi elementlər varsa, ikinci nöqtəyə keçin.Əgər orada deyillərsə, o zaman ortaya çıxan problemi adi şəkildə həll etməyə davam edirlər.
optimal həllin əldə edilməsinə işarədir
ikili simpleks üsulu
şərti simpleks metodu üçün optimallıq meyarıdır. 41. Açıq və qapalı nəqliyyat modelləri. Açıq nəqliyyat modelindən qapalı nəqliyyat modelinə keçid. Nəqliyyat vəzifələrinin növləri. Mövcuddur m
məlum məhsul ehtiyatlarına malik homojen məhsulların tədarükçüləri və n
bu məhsulların istehlakçıları müəyyən həcmdə ehtiyaclar. Nəqliyyat vahidinin xərcləri də məlumdur. Əgər məhsul ehtiyatlarının həcmlərinin cəmi bütün istehlakçıların ehtiyaclarının həcminə bərabərdirsə, bu problem adlanır. qapalı nəqliyyat problemi (yəni ∑ Ai = ∑ Bj olarsa), əks halda nəqliyyat problemi adlanır. açıq
. Həll etmək
nəqliyyat problemi
bağlanmalıdır.
Açıq nəqliyyat problemi aşağıdakı kimi qapalı problemə çevrilə bilər.
İstinad planının qurulmasının şimal-qərb üsulu. Bu üsula görə, nəqliyyat dəyərlərinin formalaşması şimal-qərbdən başlayır. masanın küncü, yəni. x11 xanasından. Bu üsula əsasən ilk tədarükçünün malı ilk olaraq paylanır. Üstəlik, ilk təchizatçı ilk istehlakçını mümkün qədər qane edir. O zaman, əgər təchizatçıda hələ də mal varsa,
Matrisdəki ən kiçik elementin metodu.
Metodun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, maksimum mümkün tədarük həmişə matrisdəki ən aşağı tarifə uyğun gələn xanaya yerləşdirilir.
Birincisi, xəttin ən aşağı qiymətinin müşahidə olunduğu sətirlərin xanalarında işarələr (məsələn, ▼ işarəsi ilə) edirik. Sonra cədvəl sütununu sütun-sütun ətrafında gəzirik və sütunlarda ən aşağı qiyməti olan xanalarda eyni qeydləri edirik.
Sonrakı paylama əvvəlcə mümkün qədər iki işarəli, sonra bir olan hüceyrələrə aparılır və sonra tapşırıq (m + n - 1) dolgulara qədər yenidən balanslaşdırılır. Masa boyunca soldan sağa və yuxarıdan aşağı hərəkət edərək içlikləri təşkil edirik.
43. Nəqliyyat problemlərinin xüsusiyyətləri
Nəqliyyat problemi aşağıdakı teoremlərlə əks oluna bilən bəzi xüsusiyyətlərə malikdir.
Teorem 1. Qapalı nəqliyyat probleminin həmişə həlli var.
Teorem 2. Əgər məhsul ehtiyatlarının həcmləri və ehtiyacların həcmləri tam ədədlərdirsə, nəqliyyat məsələsinin həlli də tam ədəd olacaqdır.
Teorem 3. qapalı nəqliyyat probleminin məhdudiyyətlər sistemi həmişə xətti asılıdır.
Bu teoremdən belə nəticə çıxır ki, qapalı nəqliyyat probleminin paylanması həmişə m + n – 1 əsas dəyişənə və (m – 1) (n – 1) boş vaxt dəyişənlərinə malikdir.
44. Nəqliyyat problemlərində degenerasiya paylanması, degenerasiyadan xilas olmaq. Üzəri kəsilmiş birləşmə.
Hüceyrələrin sayı m + n - 1-dən azdırsa, paylanma degenerativ adlanır.
45. Nəqliyyat məsələsi üçün optimallıq teoremləri.
Teorem.Əgər nəqliyyat probleminin bəzi paylanması üçün siz
şərtlər yerinə yetirilir:
A). ui+vj = sij işğal edilmiş hüceyrələr üçün
b) ui+vj ≤ сij, pulsuz hüceyrələr üçün,
onda bu bölgü optimaldır.
ui kəmiyyətləri sıra potensialları, vj kəmiyyətləri isə sütun potensialları adlanır.
46. Potensiallar və onların hesablanması üsulları.
Sətir və sütunların potensiallarını tapmaq üçün optimallıq teoreminin a) şərtinə əsaslanaraq aşağıdakı əsaslandırmadan istifadə edin.
Bu şərtə əsaslanan tənliklərin sayı m + n – 1-ə, ui və vj naməlumlarının sayı isə m + n-ə bərabərdir. Bu. dəyişənlərin sayı tənliklərin sayından çoxdur və bütün tənliklər xətti müstəqildir. Belə xətti tənliklər sisteminin həlli qeyri-müəyyəndir, ona görə də potensiallardan birinə istənilən qiymət verilməlidir. Təcrübədə ui = 0. m + n – 1 naməlum dəyişəni olan m + n – 1 tənliklər sistemi alınır. Bu sistem istənilən üsulla həll edilə bilər. Təcrübədə potensialları hesablamaq üçün potensiallarından biri məlum olan işğal edilmiş hüceyrələr nəzərdən keçirilir və teoremin a) şərtinə əsasən, qalan naməlum potensialların qiymətləri hesablanır.
47. nəqliyyat tapşırıqlarının bölüşdürülməsi üçün optimallıq qiymətləndirmələrinin və optimallıq meyarının hesablanması.
Teoremin b) əlaqəsinə əsasən, təxminləri hesablamaq üçün aşağıdakı düstur yaza bilərik: δ ij= ui +vj – сij. Təxminlərin daşınma həcmləri ilə qarışdırılmamasını təmin etmək üçün onlar (təxminlər) dairələrə daxil edilir.
TZ-nin sərbəst hüceyrələrində optimallıq təxminləri optimallıq meyarını təmsil edir, onun köməyi ilə paylanmanın optimallığı yoxlanılır. Bütün sərbəst hüceyrələrin balları sıfırdan az və ya bərabərdirsə, bu paylama optimaldır.
48. nəqliyyat problemində ehtiyatların yenidən bölüşdürülməsi
Əgər bölgü optimal deyilsə, onda ehtiyatları yenidən bölüşdürmək lazımdır.
Yenidən bölüşdürmə üçün yenidən hesablama dövrü qurulur. Ən yüksək müsbət balı olan xana xana kimi seçilir. Bu xana “+” işarəsi ilə qeyd olunur, yəni ona müəyyən miqdarda çatdırılma yazılmalıdır. Ancaq sonra bu sütundakı balans pozulacaq, buna görə də bu sütunun işğal edilmiş xanalarından biri “-” işarəsi ilə qeyd edilməlidir, yəni tədarük həcmi eyni miqdarda azaldılmalıdır. Lakin sonra bu xətt üçün balans dəyişəcək, buna görə də bu xəttin bəzi işğal edilmiş xanası "+" işarəsi ilə qeyd edilməlidir. Bu proses ilkin xananın yerləşdiyi sətirdə “-” işarəsi qoyulana qədər davam edir.
Hər hansı bir pulsuz hüceyrə üçün yenidən hesablama dövrü və üstəlik, unikal bir dövr var.
İstinad planının optimallığının əlaməti
Müəyyən bir dəstək planını ehtiva edən simpleks cədvəlində f sətirinin bütün elementləri (sərbəst termindən başqa) mənfi deyilsə, bu dəstək planı optimaldır.. Cədvəlin f sətirinə icazə verin. 2.b 0j > (i=1, ..., n m). Bu cədvəldə olan istinad planında x 0, bütün sərbəst dəyişənlərin dəyərləri x m+j sıfıra bərabərdir və f(x 0) =b 00. Sərbəst dəyişənlərdən hər hansı birini x m+ j artırsanız, onda (2.5) bərabərliyindən göründüyü kimi, b 0j-nin mənfi olmadığına görə f(x)-in qiyməti azalmağa başlayacaq. Beləliklə, x o nöqtəsində f(x) funksiyası ən böyük qiymətə çatır, bu o deməkdir ki, x 0 həqiqətən optimaldır istinad planı.
Bir istinad planından digərinə keçmək bacarığı
Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, simpleks metodunun mahiyyəti aşağıdakı meyarın sübutu prosesindədir: əgər hansısa istinad planını ehtiva edən simpleks cədvəlinin f sətirində ən azı bir mənfi element (sərbəst termini nəzərə almasaq), ən azı bir müsbət elementi olan sütuna uyğundur, onda siz əsası çevirərək, məqsəd funksiyasının daha böyük dəyəri olan başqa bir istinad planına keçə bilərsiniz.
Gəlin bu işarəni sübut edək. İlkin B o əsasının belə çevrilməsi üçün dəyişənlərin seçilməsi qaydalarını x 0-da istinad planı ilə təyin edək. yeni əsas B 1 istinad planı ilə x 1 olan; f funksiyasının qiyməti artır, yəni f(x i)>f(x 0). Sonra, simpleks cədvəlindən elementlərin yenidən hesablanması qaydasına uyğun olaraq, biz onları yeni əsasa çeviririk ki, bu da bizə yeni istinad planının komponentlərini tapmağa imkan verəcəkdir.
Cədvəldə bunu fərz edək. 2.1, məsələn, b 0s<0, а среди элементов b is s-го столбца есть хотя бы один положительный. Полагая в равенстве (2.5) все свободные переменные х m+j кроме x m+s , равными нулю, получаем f = b oo -- b os xm+s . Из этого равенства видно, что при увеличении x m+s значение f тоже возрастает. Таким образом, при указанных в признаке условиях действительно есть возможность увеличить f(x), переходя к планам, в которых x m+s принимает положительные значения, а все остальные компоненты x m+j по-прежнему равны нулю. Покажем, что среди таких планов существует и опорный. Тем самым будет найден путь направленного преобразования базиса Б о в новый базис Б 1 . В самом деле, если переменная x m+s принимает положительное значение в некотором опорном плане, значит, она является в нем базисной компонентой (в опорном плане x о она была свободной компонентой и равнялась нулю). Поэтому прежний базис следует преобразовать за счет включения в него переменной x m+s . Но здесь предстоит решить два вопроса:
1) x m+s dəyişəninə yer açmaq üçün dəyişənlərdən hansının əvvəlki bazadan çıxarılması lazımdır;
2) yeni əsas dəyişən x m+s yeni istinad planında hansı dəyəri almalıdır.
Verilən sualları həll etmək üçün (2.4) bərabərliklərində x m+s istisna olmaqla, bütün x m+j-nin sıfıra bərabər olduğunu fərz edək. Sonra
x i = b io -b x m+s-dir (i=l, ..., m)
Bu bərabərliklərdən aydın olur ki, x m+s artdıqca b əmsalları olan x i əsas dəyişənlərin qiymətləri<0, тоже будут расти, оставаясь положительными. Значит, на отрицательные коэффициенты b is можно внимания не обращать, так как они не влияют на знак базисных переменных. Иначе обстоит дело с базисными переменными, у которых b is >0. x m+s artdıqca, bu dəyişənlərin dəyərləri azalmağa başlayacaq və bir an gələcək, bundan sonra onlar mənfi qiymətlər alacaq və (2.3) şərti artıq təmin edilməyəcək. Buna yol vermək olmaz. Buna görə də, əsas dəyişənlərin qeyri-mənfilik şərtini pozmadan x m+s-nin hansı məhdudlaşdırıcı dəyərinə qədər artırıla biləcəyini öyrənək. Bu məqsədlə (2.6) sistemindən b >0 olan bərabərlikləri yazırıq. Fərz edək ki, bu, i=d,…,k,…,p ədədləri ilə bərabərliklərə aiddir:
x d =b do -- b ds x m+s ,
…………………..
x k =b k0 - b ks x m+s ,
………………….
x p =b p0 - b ps x m+s .
Əsas dəyişənlər x d, ..., x k, ..., x p, x m+s bərabərsizliklər sistemini təmin etdiyi müddətcə qeyri-mənfi qalacaq.
b do - b ds x m+s >0, x m+s
……………… ………………
b k0 - b ks x m +s >0 və ya x m+s< b ko /b ks
……………… ………………
b p0 - b ps x m+s >0 x m+s< b po /b ps
yəni x m+s-də B io /b kəsrlərinin ən kiçiyi i = k-yə uyğun olsun, yəni. min ( b io /b is )= b k0 /b ks . Onda deyə bilərik ki, x m+s b k0 /b ks dəyərini aşmadıqca, yəni x m+s 0 olarsa, x k dəyişəni gülləyə bərabər olacaq: x k = b k0 -- b ks b ko /b ks =0 və beləliklə, əsas B o = (x 1 ; ...; x k ; ) çevriləcək. ..; x m ) yeni bazaya, burada x m+s dəyişəni sərbəst qrupdan əsaslara keçir, x k dəyişəni isə sərbəst qrupda x m+s yerini tutur. Eyni zamanda, bütün digər sərbəst dəyişənlər hələ də sıfıra bərabərdir və qalan əsas dəyişənlər hələ də müsbətdir. Nəticə etibarilə, yeni əsasda x 1 əsas planı B 1 = (x 1 ; ...; x m+s ; ...; x m ) m müsbət komponentə və m-n sıfıra malik olacaqdır. X 1 planında bəzi əsas dəyişənlər iki halda sıfır dəyər ala bilər: 1) x 0 planında sıfıra bərabər olan əsas dəyişənlər olduqda; 2) kəsrlərin ən kiçiyi b io /b olduqda iki və ya daha çox ədədə uyğun olacaq i, yalnız i = k. Baza daxil ediləcək dəyişən f-sətirinin mənfi elementi ilə müəyyən edilir. f =b oo - b os x m+s bərabərliyindən aydın olur ki, b 0s olduqda<0 и фиксированном x m+s >0, f(x) dəyəri b 0s əmsalının mütləq qiymətindən asılıdır: |b 0s | nə qədər böyükdürsə, yeni əsasda f(x) dəyəri bir o qədər çox olacaqdır. Amma bu bərabərlikdən o da aydın olur ki, məqsəd funksiyasının yeni əsasda qiyməti həm də x m+s yeni bazis dəyişəninin qəbul etdiyi qiymətdən asılıdır. Biz yalnız f-sətirinin mənfi elementlərinə diqqət yetirərək bazaya daxil edilmiş dəyişəni seçəcəyik. Buna görə də, f sətirində bir neçə mənfi element olduqda, ən böyük mütləq qiymətə malik mənfi elementə uyğun gələn x m+j dəyişənini bazaya daxil edəcəyik. Baza daxil edilən dəyişən üçün əmsallar sütunu həlledici adlanır. Beləliklə, f sətirinin mənfi elementi əsasında bazaya daxil edilmiş dəyişəni (və ya həlledici sütunu seçməklə) seçməklə, f funksiyasının artmasını təmin edirik. Bazadan çıxarılacaq dəyişəni müəyyən etmək bir az daha çətindir. Bunun üçün onlar sərbəst terminlərin həlledici sütunun müsbət elementlərinə nisbətlərini tərtib edirlər (belə münasibətlərə simpleks deyilir) və onların arasından ən kiçiyini tapırlar ki, bu da xaric edilmiş dəyişəni ehtiva edən sətri (həlledici) müəyyən edir. Minimum simpleks münasibətinə uyğun olaraq bazadan çıxarılan dəyişənin seçimi (və ya həlledici xəttin seçilməsi) yeni istinad planında əsas komponentlərin pozitivliyinə zəmanət verir. Beləliklə, biz sübut etdik ki, işarədə göstərilən şərtlərdə f(x) məqsəd funksiyasının böyük qiyməti ilə bir istinad planından digərinə keçmək həqiqətən mümkündür. Qeyd edək ki, yeni istinad planında x m+s yeni əsas dəyişənin qiymətini artıq bilirik: o, b ko /b ks -ə bərabərdir. Yeni istinad planında qalan əsas dəyişənlərin ədədi qiymətlərinə və müvafiq f(x) dəyərinə gəldikdə isə, onları yalnız x 1 ;..., x m+s əsas dəyişənlərin dəyişdirilmiş sistemindən sonra tapmaq olar. ; ...,x m x m+1,…,x k,…, x n sərbəst dəyişənlərin dəyişdirilmiş sistemi vasitəsilə ifadə olunacaq. Bunu etmək üçün təyin edək; problemin şərtlərinin bir əsasdan digərinə çevrilməsi qaydaları. Bu tənlikdə x m+s-də b ks = 0 əmsalı həlledici element adlanır. Bərabərlikdə (2.7) yeni əsas dəyişən x m+s sərbəst dəyişənlərlə ifadə olunur, onların arasında keçmiş əsas dəyişən x k indi yerləşir. Beləliklə, x m+s və x k dəyişənləri rolları dəyişdi. Qalan əsas dəyişənləri eyni şəkildə yeni sərbəst dəyişənlər dəsti vasitəsilə ifadə edək. Bu məqsədlə qalan bərabərliklərdən x m+s dəyərini əvəz edirik (f-i x 0 ilə işarə edirik, onda bərabərlik i = 0-da sistemə daxil ediləcək) Sistemin yeni bazaya gətirilməsi simpleks çevrilməsi adlanır. Simpleks çevrilmə formal cəbri əməliyyat hesab edilərsə, onda qeyd etmək olar ki, bu əməliyyat nəticəsində rollar müəyyən xətti funksiyalar sisteminə daxil olan iki dəyişən arasında yenidən bölüşdürülür: bir dəyişən asılıdan müstəqilə, digəri isə , əksinə, müstəqildən asılılığa doğru. Bu əməliyyat cəbrdə İordaniyanın aradan qaldırılması addımı kimi tanınır. Simpleks metodu. Alqoritm. İstinad planının optimallığının əlaməti. ZLP-nin həndəsi şərhindən aydın olur ki, funksiyanın maksimum və ya minimumu qabarıq çoxbucaqlının - ODP - məhdudiyyətlər sisteminin künc nöqtəsində əldə edilir. Buna görə də, simpleks metodu, bütün nöqtələrin sonsuz dəstini deyil, yalnız künc nöqtələrini - polihedronun təpələrini nəzərdən keçirmək və optimallıq üçün sınaqdan keçirmək fikrinə əsaslanır. düyü. Simpleks metodu ideyasının həndəsi şərhi iki (Şəkil a) və üç (Şəkil b) dəyişən vəziyyətində. Simpleks n-ölçülü fəzada eyni hipermüstəvidə olmayan n+1 təpələri olan qabarıq çoxbucaqlıdır (hipermüstəvi fəzanı 2 yarımfəzaya bölür). Simpleks metodu həllin ardıcıl təkmilləşdirilməsi prinsipinə əsaslanan hesablama prosedurudur. Bu vəziyyətdə bir baza nöqtəsindən digərinə keçirik. Məqsəd funksiyasının dəyəri həmişə yaxşılaşır. Əsas həll– bu, ODR-də tapılan məqbul həllərdən biridir. Xətti tənliklər sisteminin həll olunduğu dəyişənlər deyilir əsas. Sonra bütün digər dəyişənlər çağırılır pulsuz. Sübut edilmişdir ki, əgər optimal həll mövcud olarsa, o zaman ilmə halları istisna olmaqla, sonlu sayda addımlarda tapılacaqdır. Simpleks metod alqoritmi: 1. Məsələnin riyazi modelini qurun. İstinad planının optimallığının əlaməti Əgər problemi maksimum həll etsək, onda bütün təxminlər mənfi olmamalıdır. Problemi min üçün həll etsək, bütün təxminlər müsbət olmamalıdır. Əgər istinad planı optimal deyilsə, daha yaxşı istinad planına keçməlisiniz. Bunun üçün biz ən pis təxmini seçirik. Qətnamə sütununa uyğun olacaq. Bundan sonra, aktivləşdirmə xəttini tapmalısınız. Θ (simpleks əlaqələr sütunu) mənfi və sıfır qiymətli sətirlər üçün çəkilmir. Bütün θ, biz ən kiçiyi seçirik, bu, orijinal məsələnin min və ya maks olmasından asılı olmayaraq həmişə edilir; Həlledici xətt həmişə hansı elementin bazadan çıxarılmasının lazım olduğunu göstərir və həlledici sütun həmişə hansı elementin bazaya daxil edilməli olduğunu göstərir. PPP-nin cədvəl görünüşü. Simpleks - cədvəllər. ZLP-nin həlli üçün sadə üsul 3.1. Simpleks metodunun ümumi xüsusiyyətləri və əsas mərhələləri Simpleks metodunun yaradıcıları sovet riyaziyyatçısı L.V. Kantoroviç və amerikalı riyaziyyatçı J. Dantzig. Simpleks metodundan istifadə edərək istənilən problemi həll edə və ya onun həll olunmazlığını aşkar edə bilərsiniz. Problemlərin bir çox xüsusi sinifləri bu siniflər üçün daha effektiv olan digər üsullarla həll edilə bilər. Bununla belə, simplex metodunun üstünlüyü onun çox yönlü olmasıdır. Demək olar ki, bütün kompüterlər üçün simpleks metodundan istifadə etməklə məsələlərin həlli üçün standart proqramlar hazırlanmışdır. Simpleks metodunun ümumi fikrini təsvir edək. Biz inanırıq ki, ZLP kanonik formada yazılmışdır və məqsəd funksiyasını minimuma endirmək lazımdır. Artıq bildiyimiz kimi, optimal plan ZLP-nin əsas planları arasında axtarılmalıdır. Simpleks metodu bütün istinad planlarından keçmir (çox vaxt bu, onların çoxluğuna görə qeyri-mümkün olardı), lakin bəzi ilkin istinad planından başlayaraq, məqsəd funksiyasının azalması ilə ardıcıl olaraq digər istinad planlarına keçir. Simpleks metodu ya optimal istinad planı tapıldıqda və ya problemin həll olunmazlığı müəyyən edildikdə fəaliyyətini dayandırır. Simpleks metodundan istifadə edərək problemi həll edərkən aşağıdakı mərhələləri ayırd etmək olar: 1) ZLP-nin kanonik formaya gətirilməsi; 2) xətti tənliklər sisteminin qeyri-mənfi sağ tərəfləri olan İordaniya formasına endirilməsi, eyni zamanda xətti məhdudiyyətlər sisteminin uyğunsuzluğu səbəbindən LLP-nin həll edilməməsinin yoxlanılması; 3) optimallıq üçün istinad planının öyrənilməsi; 4) məqsəd funksiyasının ODD-də aşağıdan qeyri-məhdud olması səbəbindən qərarsızlıq üçün ZLP-nin öyrənilməsi; 5) yeni, “daha yaxşı” istinad planına keçid. Simpleks metodundan istifadə edərək ZLP-ni həll edərkən qeydləri azaltmaq və təşkil etmək üçün sadə adlanan cədvəllərdən istifadə olunur. Simpleks cədvəlindən istifadə etmək üçün ZLP cədvəl formasına çevrilməlidir. Bu belə edilir. ZLP kanonik formada yazılsın (2.3-2.5). ZLP-ni cədvəl formasına endirmək üçün sistem (2.4) əvvəlcə mənfi olmayan sağ tərəfləri olan İordaniya formasına endirilməlidir. Fərz edək ki, bu İordaniya forması (2.6) formasına malikdir. (2.6)-dan əsas dəyişənləri sərbəst olanlarla ifadə edək: Məqsəd funksiyasına (2.3) əsas dəyişənlərin əvəzinə onların ifadələrini (3.1) düsturlara uyğun olaraq sərbəst dəyişənlər vasitəsilə qoymaqla, əsas dəyişənləri məqsəd funksiyasından çıxarmış oluruq. Məqsəd funksiyası aşağıdakı formanı alacaq: Cədvəl şəklində məqsəd funksiyası aşağıdakı kimi yazılır: Harada PPP-nin cədvəl formasının aşağıdakı xüsusiyyətlərini qeyd edək: a) xətti tənliklər sistemi mənfi olmayan sağ tərəflərlə İordaniya formasına endirilir; b) əsas dəyişənlər məqsəd funksiyasından xaric edilir və (3.3) şəklində yazılır. İndi Simpleks cədvəlinin təsvirinə keçək. ZLP cədvəl şəklində yazılsın: Sonra tamamlanmış simpleks cədvəli belə görünür. Cədvəl 3.1. PPL əsas planı:
..., bu simpleks cədvəlinə uyğun olan istinad planı adlanır. Formuladan (3.2) göründüyü kimi, bu istinad planı üçün məqsəd funksiyasının dəyəri γ 0-a bərabərdir. Bir nümunəyə baxaq. Aşağıdakı ZLP-ni cədvəl formasına endirin və simplex cədvəlini doldurun: Birincisi, ZLP kanonik formaya gətirilməlidir. Bunun üçün f funksiyası
- f ilə əvəz etmək lazımdır: Tənliklər sistemi mənfi olmayan sağ tərəflərlə İordaniya formasında yazılmalıdır. Buna nail olmaq üçün ümumi texnika daha sonra müzakirə olunacaq (Bölmə 3.7). Bizim nümunəmizdə belə bir İordaniya forması artıq əsas dəyişənlərlə və . Məqsəd funksiyasından əsas dəyişənləri xaric edək - f. Bunun üçün onları sərbəst ifadələrlə ifadə edirik və bu ifadələri məqsəd funksiyasında əvəz edirik. ZLP-nin cədvəl görünüşü aşağıdakı kimidir: Simpleks cədvəlini dolduraq (girişləri qısaltmaq üçün birinci sütuna “B”, sonuncu sütun “Q” başlığı verilir). Cədvəl 3.2. Bu simpleks cədvəlinə uyğun olan istinad planı formaya malikdir: Bu istinad planı ilə - f funksiyasının qiyməti - 20-dir. Tamamlanmış simpleks cədvəli olsun. İstinad planı üçün optimallıq şərtini formalaşdıraq. Simpleks cədvəlinin aşağı cərgəsində, bəlkə də, ən sağdakıdan başqa bütün nömrələr varsa, qeyri-müsbət, onda bu cədvələ uyğun olan istinad planı optimaldır. Sadəlik üçün bu ifadənin doğruluğunu bir nümunə ilə əsaslandıracağıq. Tamamlanmış simpleks cədvəli belə görünsün: Cədvəl 3.3. Simpleks cədvəlinə uyğun olan istinad planı üçün məqsəd funksiyasının qiyməti 6-ya bərabərdir. Məqsəd funksiyasını cədvəl şəklində yazaq: 3.4. Məqsəd funksiyasının ODD-də aşağıdan qeyri-məhdud olması səbəbindən ZLP-nin qeyri-müəyyənliyi şərti. Simpleks cədvəli ZLP üçün doldurulursa, tapşırığın ODD-si boş deyil, ona görə də simpleks cədvəlinə uyğun olan istinad planı ODD-ə aiddir. Bununla belə, ZLP məqsəd funksiyasının ODD-də aşağıdan sərhədsizliyinə görə həll oluna bilməz. Qərarsızlıq şərti aşağıdakı kimi formalaşdırılır. Simpleks cədvəlində ən sağdakı sütundan başqa ən azı bir sütun varsa, alt sətirdə müsbət rəqəm və sütunun bütün digər sətirlərində qeyri-müsbət nömrələr varsa, ZLP aşağıdan sərhədsizliyə görə həll edilə bilməz. məqsəd funksiyasının ODD. Bunu əsaslandırmaq üçün bir daha misal çəkəcəyik. Cədvəl 3.4. Aşağı sətirdəki sütunda müsbət rəqəm, qalan sətirlərdə isə qeyri-müsbət nömrələr var. Gəlin ZLP-nin qərarsızlığını sübut edək. Simpleks cədvəlinə uyğun olan İordaniya formasını yazaq və tərkibində olan şərtləri sağ tərəfə keçirək. alırıq a ixtiyari müsbət ədəd olsun. Aydındır ki, ZLP-nin aşağıdakı mümkün həlli var:. Bu mümkün həll üçün məqsəd funksiyasının dəyərini hesablayaq. Cədvəl 3.4-dən əldə edirik: 3.5. Yeni istinad planına keçid. Fərz edək ki, optimallıq və qərarsızlıq şərtləri təmin edilmir. Sonra simpleks metodu yeni istinad planına keçir. Bu keçid əsas dəyişənlərdən birinin bazadan çıxarılması və sərbəst dəyişənlərdən birinin bazaya daxil edilməsi ilə həyata keçirilir. Bu halda aşağıdakı iki şərt yerinə yetirilməlidir: 1) yeni əsas hələ də məqbul olmalıdır, yəni. müvafiq İordaniya formasının sağ tərəfləri hələ də mənfi olmamalıdır; 2) yeni istinad planı ilə məqsəd funksiyasının dəyəri əvvəlki istinad planı ilə dəyərindən artıq olmamalıdır. Simpleks cədvəlinin bazaya daxil edilmiş dəyişəni ehtiva edən sütunu adlanır ümumi sütun. Bazadan alınan dəyişəni ehtiva edən sətir deyilir ümumi xətt. Ümumi sətirlə ümumi sütunun kəsişməsindəki element adlanır ümumi element. Ümumi elementin seçilməsi qaydası. Simpleks cədvəlinin ən sağdakıdan başqa, alt sətirdə müsbət rəqəmi olan istənilən sütunu ümumi sütun kimi seçilir. Sonra sadə cədvəlin ən aşağısından başqa ümumi sütunla kəsişməsində müsbət ədədləri olan sətirlər nəzərə alınır. Bu sətirlərin hər biri üçün sərbəst terminin ümumi sütundakı elementə nisbəti hesablanır. Bu nisbətin minimal olduğu sıra ümumi olaraq seçilir. Ümumi sətirlə ümumi sütunun kəsişməsindəki element ümumi element olacaqdır. Bu qaydanı bir nümunə ilə izah edək. Cədvəl 3.5. Siz ümumi sütun kimi sütun və ya sütun seçə bilərsiniz. Seçək (əsasən aşağıda ən böyük müsbət rəqəmi olan sütun seçilir). İndi ümumi xətti seçməyə başlayaq. Bunu etmək üçün iki xətti nəzərdən keçirin - və . 4:2 və 8:3 nisbətlərini düzəldirik. 4:2 nisbəti daha kiçik bir dəyərə malikdir, ona görə də birinci sətri ümumi kimi seçirik. Buna görə də, ümumi element 2-dir - sütun və cərgənin kəsişməsində dayanır. Ümumi elementi seçdikdən sonra dəyişənin əsas, x 1 dəyişəninin isə sərbəst olduğu yeni istinad planına keçmək lazımdır. Yeni İordaniya formasındakı əmsalı 1-ə bərabər olmalıdır. Buna görə də, 3.5-ci cədvəlin birinci cərgəsi 2-yə bölünür. Sonra yaranan birinci sıra (-3) ilə vurulur və ikinci cərgəyə əlavə edilir. ,
ikinci tənlikdən xaric edin. Eynilə, İordaniya prosedurundan istifadə edərək, onu üçüncü tənlikdən və məqsəd funksiyasından xaric edirik (sonuncu ZLP-nin cədvəl formasını tələb edir). Nəticədə aşağıdakı cədvəli alırıq. Cədvəl 3.6 Nəzərə alın ki, Q sütununda ilk üç cərgədə mənfi olmayan rəqəmlər var, yəni. yeni əsas hələ də qüvvədədir. Bu təsadüfi bir fakt deyil: ümumi xəttin seçilməsi qaydasına ciddi əməl olunarsa, bu həmişə belə olacaqdır. Bundan əlavə, yeni istinad planı ilə məqsəd funksiyasının dəyəri -2-yə, köhnəsi ilə 12-yə bərabər idi. İstinad planının "təkmilləşdirilməsi" ümumi sütunun seçilməsi qaydasına zəmanət verir. Bu faktları qəti şəkildə sübut etməsək də, onların həmişə baş verdiyini nəzərə almaq lazımdır. Cədvəl H.6-ya nəzər saldıqda görürük ki, nə istinad planının optimallıq şərti, nə də ZLP-nin həll olunmazlıq şərti təmin olunmur. Bu o deməkdir ki, biz yenidən ümumi elementi seçməli və yeni simpleks cədvəlinə keçməliyik. Oxucu bunu özü edə bilər. 3.6. Cədvəl sadə alqoritmi. Tamamlanmış simpleks cədvəli olsun. Yuxarıdakıları ümumiləşdirərək, ZLP-nin simpleks üsulu ilə həlli üçün aşağıdakı alqoritmi əldə edirik. 1. Simpleks cədvəlinin aşağı cərgəsində bəlkə də ən sağdakıdan başqa bütün rəqəmlər müsbət deyilsə, onda simpleks cədvəlinə uyğun olan istinad planı optimaldır və alqoritm dayanır. Əks halda, 2-ci bəndə keçin. 2. Simpleks cədvəlində aşağı sətirdə müsbət rəqəm və bütün digər sətirlərdə qeyri-müsbət ədədlər olan sağdan fərqli sütun varsa, o zaman ZLP-nin ODD-də aşağıdan sərhədsizliyinə görə həll edilmir. məqsəd funksiyası və alqoritm dayanır. Əks halda, 3-cü bəndə keçin. 3. Ən sağdakı sütundan başqa hər hansı bir sütunu seçin, alt sətirdə müsbət rəqəm var - gəlin onu ümumi adlandıraq. Sonra ümumi sütunda müsbət ədədləri olan sadə cədvəlin altdan başqa sətirlərini nəzərdən keçiririk. Bu sətirlərin hər biri üçün sərbəst terminin ümumi sütundakı elementə nisbətini hesablayırıq. Bu əlaqənin minimal olduğu sıra ümumi cərgədir. Ümumi sütunla ümumi sıranın kəsişməsindəki element ümumi element olacaqdır. 4-cü nöqtəyə keçin. 4. Yeni simpleks cədvəli yaradırıq, burada: 1) ümumi sətirdəki dəyişən bazadan alınır; ümumi sütunda dəyişən bazaya daxil edilir; 2) ümumi xətt ümumi elementə bölünür; 3) İordaniya prosedurundan istifadə edərək, ümumi sətirdə olan 1 istisna olmaqla, ümumi sütundakı bütün rəqəmlər sıfıra bərabər tutulur. 1-ci nöqtəyə keçin. Misal I Simpleks üsulu ilə həll edin Problem kanonik formada yazılıb, onu cədvəl formasına gətirmək lazımdır. Tənliklər sistemi mənfi olmayan sağ tərəflərlə (əsas dəyişənlər və ) İordaniya formasında yazılmışdır. Məqsəd funksiyasını cədvəl formasına endirmək lazımdır. Bunun üçün biz əsas dəyişənləri sərbəst olanlarla ifadə edirik x 3 =10 - 2x 1 - x 2 x 4 = 8 - x 1 - 2x 2 və onu məqsəd funksiyasında əvəz edin Cədvəl formasını əldə etmək üçün funksiyanı aşağıdakı kimi yazırıq: İndi ZLP-nin cədvəl görünüşünə sahibik: Birinci simpleks cədvəlini dolduraq Cədvəl 3.7 Cədvəl 3.7-də optimallıq və qərarsızlıq şərtləri yerinə yetirilmir. Aşağı sətirdə müsbət rəqəmi olan ümumi sütunu seçək. Sonra 10:3 və 8:1 nisbətlərini müqayisə edərək, birinci sətri ümumi kimi seçirik. Cədvəldə ümumi element 2-dir. Cədvəl sadə alqoritminin 4-cü bəndinə uyğun olaraq, cədvəl 3.8-ə keçək. Cədvəl 3.8 Optimallıq və qərarsızlıq şərtləri təmin edilmir. Cədvəl 3.8-də ümumi elementi seçin və növbəti cədvələ keçin Cədvəl 3.9 Cədvəl 3.9 optimallıq şərtini təmin edir. Cavab: optimal plan Məqsəd funksiyasının minimum qiyməti f min = - 24. Misal 2. Simpleks üsulu ilə həll edin: İlk növbədə, ZLP-ni kanonik formaya gətirmək lazımdır İndi ZLP-ni cədvəl formasına gətiririk. Tənliklər sisteminin mənfi olmayan sağ tərəfləri (və z-əsas dəyişənləri) ilə İordaniya formasında yazıldığını görürük. Bununla belə, məqsəd funksiyasına əsas dəyişən daxildir. Bizdə: Beləliklə, ZLP-nin cədvəl görünüşü aşağıdakı kimidir: Simpleks cədvəlini doldurun (Cədvəl 3.10). Cədvəl 3.10 Ümumi elementi seçdikdən sonra cədvəl 3.11-ə keçin PPP-nin cədvəl görünüşü. Simpleks - cədvəllər. ZLP-nin həlli üçün sadə üsul 3.1. Simpleks metodunun ümumi xüsusiyyətləri və əsas mərhələləri Simpleks metodunun yaradıcıları sovet riyaziyyatçısı L.V. Kantoroviç və amerikalı riyaziyyatçı J. Dantzig. Simpleks metodundan istifadə edərək istənilən problemi həll edə və ya onun həll olunmazlığını aşkar edə bilərsiniz. Problemlərin bir çox xüsusi sinifləri bu siniflər üçün daha effektiv olan digər üsullarla həll edilə bilər. Bununla belə, simplex metodunun üstünlüyü onun çox yönlü olmasıdır. Demək olar ki, bütün kompüterlər üçün simpleks metodundan istifadə etməklə məsələlərin həlli üçün standart proqramlar hazırlanmışdır. Simpleks metodunun ümumi fikrini təsvir edək. Biz inanırıq ki, ZLP kanonik formada yazılmışdır və məqsəd funksiyasını minimuma endirmək lazımdır. Artıq bildiyimiz kimi, optimal plan ZLP-nin əsas planları arasında axtarılmalıdır. Simpleks metodu bütün istinad planlarından keçmir (çox vaxt bu, onların çoxluğuna görə qeyri-mümkün olardı), lakin bəzi ilkin istinad planından başlayaraq, məqsəd funksiyasının azalması ilə ardıcıl olaraq digər istinad planlarına keçir. Simpleks metodu ya optimal istinad planı tapıldıqda və ya problemin həll olunmazlığı müəyyən edildikdə fəaliyyətini dayandırır. Simpleks metodundan istifadə edərək problemi həll edərkən aşağıdakı mərhələləri ayırd etmək olar: 1) ZLP-nin kanonik formaya gətirilməsi; 2) xətti tənliklər sisteminin qeyri-mənfi sağ tərəfləri olan İordaniya formasına endirilməsi, eyni zamanda xətti məhdudiyyətlər sisteminin uyğunsuzluğu səbəbindən LLP-nin həll edilməməsinin yoxlanılması; 3) optimallıq üçün istinad planının öyrənilməsi; 4) məqsəd funksiyasının ODD-də aşağıdan qeyri-məhdud olması səbəbindən qərarsızlıq üçün ZLP-nin öyrənilməsi; 5) yeni, “daha yaxşı” istinad planına keçid. Simpleks metodundan istifadə edərək ZLP-ni həll edərkən qeydləri azaltmaq və təşkil etmək üçün sadə adlanan cədvəllərdən istifadə olunur. Simpleks cədvəlindən istifadə etmək üçün ZLP cədvəl formasına çevrilməlidir. Bu belə edilir. ZLP kanonik formada yazılsın (2.3-2.5). ZLP-ni cədvəl formasına endirmək üçün sistem (2.4) əvvəlcə mənfi olmayan sağ tərəfləri olan İordaniya formasına endirilməlidir. Fərz edək ki, bu İordaniya forması (2.6) formasına malikdir. (2.6)-dan əsas dəyişənləri sərbəst olanlarla ifadə edək: Məqsəd funksiyasına (2.3) əsas dəyişənlərin əvəzinə onların ifadələrini (3.1) düsturlara uyğun olaraq sərbəst dəyişənlər vasitəsilə qoymaqla, əsas dəyişənləri məqsəd funksiyasından çıxarmış oluruq. Məqsəd funksiyası aşağıdakı formanı alacaq: Cədvəl şəklində məqsəd funksiyası aşağıdakı kimi yazılır: Harada PPP-nin cədvəl formasının aşağıdakı xüsusiyyətlərini qeyd edək: a) xətti tənliklər sistemi mənfi olmayan sağ tərəflərlə İordaniya formasına endirilir; b) əsas dəyişənlər məqsəd funksiyasından xaric edilir və (3.3) şəklində yazılır. İndi Simpleks cədvəlinin təsvirinə keçək. ZLP cədvəl şəklində yazılsın: Sonra tamamlanmış simpleks cədvəli belə görünür.
.
(3.4)Əsas Dəyişənlər Pulsuz üzvlər
...
x k
...
...
...
...
...
.
.
.
. .
. .
...
. .
. .
. .
...
. .
. . .
...
...
f
...
....
B
Q
-5
-7
-2
-f -4
-20
B
Q
-1
-1
f
-5
-3
-1
, harada. ZLP-nin hər hansı icazə verilən həlli üçün dəyişənlər yalnız mənfi olmayan qiymətləri qəbul etdiyinə görə, məqsəd funksiyasının sonuncu qeydindən aydın olur ki, ODD-nin istənilən nöqtəsində onun dəyəri 6-dan az deyil. ODD-də məqsəd funksiyası 6-dır və bu, simpleks cədvəlinə uyğun olan istinad planı ilə əldə edilir.B
Q
-2
-3
-1
f
-1
. Müəyyən edilmiş mümkün həll ilə f = 4 - 2a. Buradan görürük ki, a-nın kifayət qədər böyük qiyməti üçün məqsəd funksiyasının dəyəri özbaşına kiçik ola bilər. Başqa sözlə, məqsəd funksiyası ODE-də aşağıdan məhdudlaşmır. Buna görə də ZLP qərarsızdır.B
Q
2
-1
-2
F
B
Q
f
-2
B
Q
F
B
Q
F
-5
-22
B
Q
F
-24
B
z Q
-1
z
-2
g
-1
.
(3.4)
