“Üzməyi öyrənmək istəyirsinizsə, cəsarətlə suya girin və öyrənmək istəyirsinizsə problemləri həll etmək üçün, Bu onları həll edin.»
D. Polya (1887-1985)

(Riyaziyyatçı. Riyaziyyatın populyarlaşmasına böyük töhfə verib. Məsələlərin həlli və həlli öyrətmək haqqında bir neçə kitab yazıb).

Matrisi nəzərdən keçirin

Gəlin onu vurğulayaq k-sətirləri Və k sütunları (k≤(min(m,n))). Seçilmiş satır və sütunların kəsişməsində yerləşən elementlərdən bir determinant tərtib edəcəyik. kth sifariş. Bütün belə determinantlar deyilir bu matrisin azyaşlıları.

Matrisin bütün mümkün minorlarını nəzərdən keçirək A, sıfırdan fərqli.

Matris dərəcəsi A bu matrisin sıfırdan fərqli minorunun ən böyük sırasıdır.

Əgər matrisin bütün elementləri sıfıra bərabərdirsə, bu matrisin dərəcəsi sıfıra bərabər alınır.

Sifarişi matrisin rütbəsini təyin edən bir azyaşlı adlanır əsas.

Bir matrisin bir neçə əsas kiçikliyi ola bilər.

Matris dərəcəsi A ilə işarələnir r(A). Əgər r(A)=r(B), sonra matrislər A Və IN adlandırılır ekvivalent. Onlar yazır A̴∼B.

Matris dərəcə xüsusiyyətləri:

1. Matris köçürüldükdə onun dərəcəsi dəyişmir.
2. Əgər matrisdən sıfır cərgəni (sütun) silsəniz, matrisin rütbəsi dəyişməyəcək.
3. Elementar matrisin çevrilmələri zamanı matrisin dərəcəsi dəyişmir.

Elementar çevrilmələr dedikdə:

• Matris sıralarının yenidən təşkili;
• Sətirin sıfırdan başqa bir rəqəmə vurulması;
• Bir sətrin elementlərinə digər sətrin müvafiq elementlərinin əlavə edilməsi, ixtiyari bir ədədə vurulması.

Bir matrisin rütbəsini hesablayarkən elementar çevrilmələrdən, matrisin pilləli formaya endirilməsi üsulundan və azyaşlıların haşiyələnməsi metodundan istifadə edilə bilər.

Matrisi pilləli azaltma üsuluİdeya ondan ibarətdir ki, elementar çevrilmələrin köməyi ilə bu matrisin pilləli matrisə çevrilməsidir.

Matris deyilir addımladı , əgər onun hər bir sətirində ilk sıfırdan fərqli element əvvəlkindən sağdadırsa (yəni addımlar alınırsa, hər addımın hündürlüyü birinə bərabər olmalıdır).

Addım matrislərinin nümunələri:

Eşelon olmayan matrislərin nümunələri:

MÜSƏL: Matrisin dərəcəsini tapın:

HƏLL:

Elementar çevrilmələrdən istifadə edərək bu matrisi pilləli matrisə endirək.

1. Birinci və üçüncü sətirləri dəyişdirin.

2. Birinci sütunda birinin altında sıfırları alırıq.

İkinci sətrə (-3) ilə vurulan birinci sətri, üçüncü sətrə (-5) ilə vurulan birinci sətri və dördüncü sətirə (-3) ilə vurulan birinci sətri əlavə etməklə, əldə edirik.

Sıfırları başqa harada əldə etməyiniz lazım olduğunu daha aydın etmək üçün matrisdə addımlar çəkək. (Addımların altında hər yerdə sıfırlar varsa, matris pilləli olacaq)

3. Üçüncü sətrə (-1) ilə vurulan ikinci sətri, dördüncü sətirə (-1) ilə vurulan ikinci sətri əlavə etməklə ikinci sütundakı addımların altında sıfırları əldə edirik.

Yenidən addımları çəksək, matrisin pilləli olduğunu görərik.

Onun dərəcəsidir r=3(hər birində ən azı bir element sıfırdan fərqli olan addım matrisinin sıralarının sayı). Buna görə də bu matrisin rütbəsi r=3.

Həll yolu belə yazıla bilər:

(Roma rəqəmləri sətir nömrələrini göstərir)

Cavab: r=3.

Kiçik sifariş k+1, kiçik sifariş ehtiva edir kçağırdı azyaşlı ilə həmsərhəddir.

Kiçik sərhəd üsulu verilmiş matrisin dərəcəsinin sıfırdan fərqli olan bu matrisin minorunun sırasına bərabər olmasına və onunla həmsərhəd olan bütün kiçiklərin sıfıra bərabər olmasına əsaslanır.

Bəzi matris verilsin:

.

Gəlin bu matrisdə seçim edək ixtiyari sətirlər və ixtiyari sütunlar
. Sonra determinant matris elementlərindən ibarət olan ci sıra
, seçilmiş sətir və sütunların kəsişməsində yerləşir, minor adlanır ci sıra matrisi
.

Tərif 1.13. Matris dərəcəsi
bu matrisin sıfırdan fərqli minorunun ən böyük sırasıdır.

Bir matrisin rütbəsini hesablamaq üçün onun ən aşağı dərəcəli bütün kiçiklərini nəzərə almaq lazımdır və onlardan ən azı biri sıfırdan fərqlidirsə, ən yüksək dərəcəli kiçikləri nəzərə almağa davam etmək lazımdır. Matrisin rütbəsini təyin etmək üçün bu yanaşma sərhədləşdirmə metodu (və ya yetkinlik yaşına çatmayanların sərhədlənməsi üsulu) adlanır.

Problem 1.4. Yetkinlik yaşına çatmayanların sərhədlənməsi metodundan istifadə edərək, matrisin dərəcəsini təyin edin
.

.

Birinci dərəcəli haşiyəni nəzərdən keçirək, məsələn,
. Sonra bəzi ikinci dərəcəli kənarları nəzərdən keçirməyə davam edirik.

Misal üçün,
.

Nəhayət, üçüncü dərəcəli haşiyəni təhlil edək.

.

Deməli, sıfır olmayan minorun ən yüksək sırası 2-dir
.

Problem 1.4-ü həll edərkən, bir sıra ikinci dərəcəli həmsərhəd olan yetkinlik yaşına çatmayanların sıfırdan fərqli olduğunu görə bilərsiniz. Bu baxımdan aşağıdakı konsepsiya tətbiq olunur.

Tərif 1.14. Bir matrisin əsas minoru sırası matrisin dərəcəsinə bərabər olan sıfırdan fərqli hər hansı bir minordur.

Teorem 1.2.(Əsas minor teoremi). Əsas sətirlər (əsas sütunlar) xətti müstəqildir.

Nəzərə alın ki, matrisin sətirləri (sütunları) yalnız və yalnız onlardan ən azı biri digərlərinin xətti kombinasiyası kimi təqdim oluna bildikdə xətti asılıdır.

Teorem 1.3. Xətti müstəqil matrisin sətirlərinin sayı xətti müstəqil matrisin sütunlarının sayına bərabərdir və matrisin dərəcəsinə bərabərdir.

Teorem 1.4.(Müəyyənedicinin sıfıra bərabər olması üçün zəruri və kafi şərt). Determinant üçün -ci sifariş sıfıra bərabər idi, onun sətirlərinin (sütunlarının) xətti asılı olması zəruri və kifayətdir.

Tərifinə əsasən matrisin dərəcəsini hesablamaq çox çətin olur. Bu, yüksək dərəcəli matrislər üçün xüsusilə vacibdir. Bununla əlaqədar olaraq, praktikada matrisin dərəcəsi 10.2 - 10.4 teoremlərinin tətbiqi, həmçinin matrisin ekvivalentliyi və elementar çevrilmə anlayışlarının istifadəsi əsasında hesablanır.

Tərif 1.15.İki matris
Və dərəcələri bərabər olduqda ekvivalent adlanır, yəni.
.

Əgər matrislər
Və ekvivalentdir, sonra qeyd edin
 .

Teorem 1.5. Elementar çevrilmələrə görə matrisin rütbəsi dəyişmir.

Biz elementar matris çevrilmələri adlandıracağıq
matris üzərində aşağıdakı əməliyyatlardan hər hansı biri:

Sətirlərin sütunlarla və sütunların müvafiq sətirlərlə əvəz edilməsi;

Matris sıralarının yenidən təşkili;

Elementlərinin hamısı sıfır olan xəttin kəsilməsi;

Sətirin sıfırdan başqa bir rəqəmə vurulması;

Bir sətrin elementlərinə digər sətrin müvafiq elementlərinin əlavə edilməsi eyni ədədə vurulur
.

Teorem 1.5-in nəticəsi.Əgər matris
matrisdən əldə edilir sonlu sayda elementar çevrilmələrdən istifadə edərək, sonra matris
Və ekvivalentdirlər.

Matrisin rütbəsini hesablayarkən, sonlu sayda elementar çevrilmələrdən istifadə edərək trapesiya formasına endirmək lazımdır.

Tərif 1.16. Biz trapezoidi matrisin təsvir forması adlandıracağıq, o zaman ki, ən yüksək dərəcəli sərhəd minorunda sıfırdan fərqli olaraq diaqonaldan aşağı olan bütün elementlər yox olur. Misal üçün:

.

Burada
, matris elementləri
sıfıra gedin. Sonra belə bir matrisin təsvir forması trapezoidal olacaqdır.

Bir qayda olaraq, matrislər Gauss alqoritmindən istifadə edərək trapezoidal formaya salınır. Gauss alqoritminin ideyası ondan ibarətdir ki, matrisin birinci sətirinin elementlərini müvafiq amillərə vurmaqla birinci sütunun bütün elementlərinin elementin altında yerləşməsinə nail olunur.
, sıfıra çevriləcək. Sonra, ikinci sütunun elementlərini müvafiq amillərlə çarparaq, ikinci sütunun bütün elementlərinin elementin altında olmasını təmin edirik.
, sıfıra dönərdi. Sonra eyni şəkildə davam edin.

Problem 1.5. Bir matrisin dərəcəsini trapezoidal formaya endirərək təyin edin.

.

Qauss alqoritmindən istifadəni asanlaşdırmaq üçün birinci və üçüncü sətirləri dəyişə bilərsiniz.








.

Buradan aydındır
. Bununla belə, nəticəni daha zərif bir forma gətirmək üçün sütunları dəyişdirməyə davam edə bilərsiniz.










.

R ədədi A matrisinin dərəcəsi adlanır, əgər:
1) A matrisində sıfırdan fərqli r dərəcəsinin minoru var;
2) bütün kiçik (r+1) və daha yüksək, əgər varsa, sıfıra bərabərdir.
Əks halda, matrisin rütbəsi sıfırdan başqa ən yüksək kiçik sıradır.
Təyinatlar: rangA, r A və ya r.
Tərifdən belə çıxır ki, r müsbət tam ədəddir. Null matrisi üçün dərəcə sıfır hesab olunur.

Xidmətin məqsədi. Onlayn kalkulyator tapmaq üçün nəzərdə tutulmuşdur matris dərəcəsi. Bu halda, həll Word və Excel formatında saxlanılır. həll nümunəsinə baxın.

Təlimatlar. Matris ölçüsünü seçin, Next düyməsini basın.

Matris ölçüsünü seçin 3 4 5 6 7 x 3 4 5 6 7

Tərif. r dərəcəli matris verilsin. Matrisin sıfırdan fərqli və r sırasına malik hər hansı minoruna əsas, onun komponentlərinin sətir və sütunlarına isə əsas sətir və sütunlar deyilir.
Bu tərifə görə, A matrisi bir neçə əsas minorlara malik ola bilər.

E eynilik matrisinin dərəcəsi n-dir (sətirlərin sayı).

Misal 1. İki matris verilmişdir, və onların yetkinlik yaşına çatmayanları , . Onlardan hansını əsas götürmək olar?
Həll. Kiçik M 1 =0, ona görə də heç bir matris üçün əsas ola bilməz. Minor M 2 =-9≠0 və 2-ci sıraya malikdir, yəni A və ya / və B matrislərinin əsası kimi götürülə bilər, bu şərtlə ki, dərəcələri 2-yə bərabər olsun. detB=0 olduğundan (iki mütənasib sütunlu determinant kimi) B matrisinin bazis minoru kimi rangB=2 və M 2 götürülə bilər. detA=-27≠ olduğuna görə A matrisinin dərəcəsi 3-dür. 0 və buna görə də bu matrisin əsas minorunun sırası 3-ə bərabər olmalıdır, yəni M 2 A matrisi üçün əsas deyil. Qeyd edək ki, A matrisi A matrisinin determinantına bərabər olan tək əsaslı minora malikdir.

Teorem (minor əsası haqqında). Matrisin hər hansı sətri (sütunları) onun əsas sətirlərinin (sütunlarının) xətti birləşməsidir.
Teoremdən nəticələr.

1. r dərəcəsinin hər (r+1) sütun (sətir) matrisi xətti asılıdır.
2. Əgər matrisin rütbəsi onun sətirlərinin (sütunlarının) sayından azdırsa, onun sətirləri (sütunları) xətti asılıdır. RangA onun sətirlərinin (sütunlarının) sayına bərabərdirsə, sətirlər (sütunlar) xətti müstəqildir.
3. A matrisinin determinantı o halda sıfıra bərabərdir ki, onun sətirləri (sütunları) xətti asılı olsun.
4. Əgər siz matrisin sətirinə (sütununa) sıfırdan başqa istənilən ədədə vurulan başqa sətir (sütun) əlavə etsəniz, matrisin rütbəsi dəyişməyəcək.
5. Əgər siz digər cərgələrin (sütunların) xətti kombinasiyası olan matrisdə bir sıranı (sütununu) kəsirsinizsə, onda matrisin dərəcəsi dəyişməyəcək.
6. Matrisin dərəcəsi onun xətti müstəqil cərgələrinin (sütunlarının) maksimum sayına bərabərdir.
7. Xətti müstəqil sətirlərin maksimum sayı xətti müstəqil sütunların maksimum sayı ilə eynidir.

Misal 2. Matrisin dərəcəsini tapın .
Həll. Matris rütbəsinin tərifinə əsaslanaraq, sıfırdan fərqli, ən yüksək dərəcəli minor axtaracağıq. Əvvəlcə matrisi daha sadə formaya çevirək. Bunun üçün matrisin birinci cərgəsini (-2) vurub ikinciyə əlavə edin, sonra (-1) ilə vurub üçüncüyə əlavə edin.

Tərif. Matris dərəcəsi vektor kimi qəbul edilən xətti müstəqil cərgələrin maksimum sayıdır.

Matrisin rütbəsi üzrə teorem 1. Matris dərəcəsi matrisin sıfırdan fərqli minorunun maksimum sırası adlanır.

Determinantlar haqqında dərsdə artıq azyaşlı anlayışını müzakirə etdik, indi isə onu ümumiləşdirəcəyik. Gəlin matrisdə müəyyən sayda sətir və müəyyən sayda sütun götürək və bu “nə qədər” matrisin sətir və sütunlarının sayından az olmalıdır, sətir və sütunlar üçün isə bu “nə qədər” olmalıdır. eyni nömrə. Sonra neçə cərgənin və neçə sütunun kəsişməsində ilkin matrisamızdan daha aşağı dərəcəli matris olacaq. Determinant matrisdir və qeyd olunan “bəzi” (sətir və sütunların sayı) k ilə işarələnərsə, k-ci dərəcənin minoru olacaqdır.

Tərif. Kiçik ( r+1) seçilmiş azyaşlının yerləşdiyi sıra r-ci sıra verilmiş azyaşlı üçün sərhəd adlanır.

Ən çox istifadə edilən iki üsuldur matrisin dərəcəsinin tapılması. Bu yetkinlik yaşına çatmayanlarla sərhəd yolu Və elementar çevrilmə üsulu(Qauss üsulu).

Sərhədsiz kiçiklər metodundan istifadə edərkən aşağıdakı teoremdən istifadə olunur.

Matrisin rütbəsi üzrə teorem 2.Əgər matris elementlərindən minor təşkil edilə bilər r ci sıra, sıfıra bərabər deyil, onda matrisin dərəcəsi bərabərdir r.

Elementar çevrilmə metodundan istifadə edərkən aşağıdakı xüsusiyyətdən istifadə olunur:

Elementar çevrilmələr vasitəsilə orijinala ekvivalent olan trapezoidal matris alınarsa, onda bu matrisin dərəcəsi tamamilə sıfırlardan ibarət olan sətirlərdən başqa oradakı sətirlərin sayıdır.

Yetkinlik yaşına çatmayanların haşiyələnməsi metodundan istifadə edərək matrisin rütbəsinin tapılması

Bağlı yetkinlik yaşına çatmayan şəxs, əgər bu daha yüksək dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanda verilmiş yetkinlik yaşına çatmayanı ehtiva edirsə, verilənə nisbətən daha yüksək dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayandır.

Məsələn, matris verilmişdir

Gəlin azyaşlı götürək

Sərhəddə olan yetkinlik yaşına çatmayanlar:

Matrisin dərəcəsini tapmaq üçün alqoritm növbəti.

1. Sıfıra bərabər olmayan ikinci dərəcəli kiçikləri tapın. Bütün ikinci dərəcəli kiçiklər sıfıra bərabərdirsə, matrisin dərəcəsi birə bərabər olacaqdır ( r =1 ).

2. Əgər sıfıra bərabər olmayan ikinci dərəcəli ən azı bir minor varsa, onda üçüncü dərəcəli sərhəd kiçiklərini tərtib edirik. Üçüncü dərəcəli bütün həmsərhəd olan yetkinlik yaşına çatmayanlar sıfıra bərabərdirsə, matrisin dərəcəsi ikiyə bərabərdir ( r =2 ).

3. Əgər üçüncü dərəcəli həmsərhəd olan yetkinlik yaşına çatmayanlardan heç olmasa biri sıfıra bərabər deyilsə, o zaman sərhədyanı yetkinlik yaşına çatmayanları tərtib edirik. Dördüncü dərəcəli bütün həmsərhəd kiçiklər sıfıra bərabərdirsə, matrisin dərəcəsi üçə bərabərdir ( r =2 ).

4. Matris ölçüsü imkan verdiyi müddətcə bu şəkildə davam edin.

Misal 1. Matrisin dərəcəsini tapın

.

Həll. İkinci dərəcəli kiçik .

Gəlin onu sərhədə salaq. Sərhəddə dörd azyaşlı olacaq:

,

,

Beləliklə, üçüncü dərəcəli bütün həmsərhəd olan yetkinlik yaşına çatmayanlar sıfıra bərabərdir, buna görə də bu matrisin dərəcəsi ikiyə bərabərdir ( r =2 ).

Misal 2. Matrisin dərəcəsini tapın

Həll. Bu matrisin dərəcəsi 1-ə bərabərdir, çünki bu matrisin bütün ikinci dərəcəli azyaşlıları sıfıra bərabərdir (burada, aşağıdakı iki nümunədə həmsərhəd olan yetkinlik yaşına çatmayanların vəziyyətində olduğu kimi, əziz tələbələri yoxlamağa dəvət edirik. özləri, bəlkə də determinantların hesablanması qaydalarından istifadə etməklə) və birinci dərəcəli kiçiklər arasında, yəni matrisin elementləri arasında sıfırdan fərqli olanlar var.

Misal 3. Matrisin dərəcəsini tapın

Həll. Bu matrisin ikinci dərəcəli kiçikləri və bu matrisin bütün üçüncü dərəcəli kiçikləri sıfıra bərabərdir. Beləliklə, bu matrisin dərəcəsi ikidir.

Misal 4. Matrisin dərəcəsini tapın

Həll. Bu matrisin dərəcəsi 3-dür, çünki bu matrisin yeganə üçüncü dərəcəli kiçik 3-dür.

Elementar çevrilmə metodundan istifadə edərək matrisin dərəcəsinin tapılması (Gauss metodu)

Artıq 1-ci misalda aydın olur ki, yetkinlik yaşına çatmayanların sərhədlənməsi metodundan istifadə edərək matrisin rütbəsinin müəyyən edilməsi vəzifəsi çoxlu sayda determinantın hesablanmasını tələb edir. Bununla belə, hesablamaların miqdarını minimuma endirməyin bir yolu var. Bu üsul elementar matris çevrilmələrinin istifadəsinə əsaslanır və Gauss metodu da adlanır.

Aşağıdakı əməliyyatlar elementar matris çevrilmələri kimi başa düşülür:

1) matrisin istənilən sətir və ya sütununu sıfırdan fərqli bir ədədə vurmaq;

2) matrisin hər hansı sətir və ya sütununun elementlərinə eyni ədədə vurulan başqa sətir və ya sütunun müvafiq elementlərinin əlavə edilməsi;

3) matrisin iki sətir və ya sütununun dəyişdirilməsi;

4) “null” sətirlərin, yəni elementlərinin hamısı sıfıra bərabər olanların çıxarılması;

5) bir istisna olmaqla, bütün mütənasib xətlərin silinməsi.

Teorem. Elementar çevrilmə zamanı matrisin rütbəsi dəyişmir. Başqa sözlə, matrisdən elementar çevrilmələrdən istifadə etsək A matrisə keçdi B, Bu .

A m\x n ölçülü matrisa, k isə m və n-dən çox olmayan natural ədəd olsun: k\leqslant\min\(m;n\). Kiçik k-ci sifariş A matrisi A matrisinin ixtiyari seçilmiş k sətri və k sütununun kəsişməsindəki elementlərin yaratdığı k-ci dərəcəli matrisin təyinedicisidir. Yetkinlik yaşına çatmayanları işarələyərkən biz seçilmiş cərgələrin nömrələrini yuxarı indekslər, seçilmiş sütunların nömrələrini isə aşağı indekslər kimi göstərəcəyik, onları artan ardıcıllıqla düzəcəyik.

Misal 3.4. Matrisin müxtəlif sıralarının kiçiklərini yazın

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.

Həll. Matris A 3\x4 ölçülərə malikdir. Onun var: 1-ci dərəcəli 12 azyaşlı, məsələn, azyaşlı M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 2-ci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlar, məsələn, M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 3-cü dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlar, məsələn,

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

Ölçüləri m\x n olan A matrisində r-ci dərəcəli minor deyilir əsas, əgər sıfırdan fərqlidirsə və (r+1)-ro sırasının bütün kiçikləri sıfıra bərabərdirsə və ya ümumiyyətlə yoxdursa.

Matris dərəcəsiəsas minorun sırası adlanır. Sıfır matrisdə əsas minor yoxdur. Buna görə də, sıfır matrisin dərəcəsi, tərifinə görə, sıfıra bərabərdir. A matrisinin dərəcəsi ilə işarələnir \operator adı(rg)A.

Misal 3.5. Bütün əsas kiçikləri və matris dərəcələrini tapın

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

Həll. Bu matrisin bütün üçüncü dərəcəli kiçikləri sıfıra bərabərdir, çünki bu determinantların üçüncü sırası sıfırdır. Buna görə də, yalnız matrisin ilk iki cərgəsində yerləşən ikinci dərəcəli minor əsas ola bilər. 6 mümkün yetkinlik yaşına çatmayandan keçərək sıfırdan fərqli seçirik

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Bu beş azyaşlının hər biri əsasdır. Beləliklə, matrisin dərəcəsi 2-dir.

Qeydlər 3.2

1. Əgər matrisin bütün k-ci dərəcəli kiçiklər sıfıra bərabərdirsə, o zaman yuxarı dərəcəli kiçiklər də sıfıra bərabərdir. Həqiqətən də, (k+1)-ro sırasının minorunu istənilən sətir üzərində genişləndirərək, bu cərgənin elementlərinin hasillərinin k-ci dərəcəli minorlar üzrə cəmini alırıq və onlar sıfıra bərabərdir.

2. Matrisin dərəcəsi bu matrisin sıfırdan fərqli minorunun ən yüksək sırasına bərabərdir.

3. Kvadrat matris qeyri-təkdirsə, onun rütbəsi sırasına bərabərdir. Kvadrat matris təkdirsə, onun rütbəsi sırasından kiçikdir.

4. Təyinatlar rütbə üçün də istifadə olunur \operatorname(Rg)A,~ \operatorname(rang)A,~ \operatorname(rank)A.

5. Blok matrisinin dərəcəsi müntəzəm (rəqəmli) matrisin dərəcəsi kimi müəyyən edilir, yəni. blok quruluşundan asılı olmayaraq. Bu halda, blok matrisinin dərəcəsi onun bloklarının dərəcələrindən az deyil: \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)A Və \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)B, çünki A (və ya B ) matrisinin bütün kiçikləri də blok matrisinin (A\mid B) kiçikləridir.

Minor əsası və matrisin rütbəsi üzrə teoremlər

Matrisin sütunlarının (sətirlərinin) xətti asılılığının və xətti müstəqilliyinin xassələrini ifadə edən əsas teoremləri nəzərdən keçirək.

Minor əsasında teorem 3.1.İxtiyari A matrisində hər bir sütun (sətir) əsas minorun yerləşdiyi sütunların (sətirlərin) xətti birləşməsidir.

Həqiqətən də, ümumiliyi itirmədən hesab edirik ki, m\dəfə n ölçülü A matrisində bazis minor birinci r sətirdə və birinci r sütunda yerləşir. Determinantı nəzərdən keçirin

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

A matrisinin bazis minoruna s-ci sətir və k-ci sütunun müvafiq elementlərini təyin etməklə əldə edilir. Qeyd edək ki, istənilən üçün 1\leqslant s\leqslant m və bu təyinedici sıfıra bərabərdir. Əgər s\leqslant r və ya k\leqslant r , onda D determinantı iki eyni sətir və ya iki eyni sütundan ibarətdir. Əgər s>r və k>r olarsa, D determinantı (r+l)-ro sırasının minoru olduğu üçün sıfıra bərabərdir. Determinantı son xətt boyunca genişləndirərək, alırıq

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

burada D_(r+1\,j) sonuncu cərgənin elementlərinin cəbri tamamlayıcılarıdır. Qeyd edək ki, D_(r+1\,r+1)\ne0, çünki bu, əsas minordur. Buna görə də

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Harada \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

s=1,2,\ldots,m üçün sonuncu bərabərliyi yazsaq, alarıq

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

olanlar. k-ci sütun (hər hansı üçün 1\leqslant k\leqslant n) əsas minorun sütunlarının xətti birləşməsidir ki, bunu sübut etmək lazım idi.

Əsas minor teoremi aşağıdakı mühüm teoremləri sübut etməyə xidmət edir.

Determinantın sıfır olması şərti

Teorem 3.2 (determinantın sıfır olması üçün zəruri və kafi şərt). Determinantın sıfıra bərabər olması üçün onun sütunlarından birinin (sətirlərindən birinin) qalan sütunların (sətirlərin) xətti kombinasiyası olması zəruri və kifayətdir.

Həqiqətən də zərurət əsas minor teoremindən irəli gəlir. Əgər n düzənli kvadrat matrisin determinantı sıfıra bərabərdirsə, onun dərəcəsi n-dən kiçikdir, yəni. ən azı bir sütun əsas minora daxil edilmir. Sonra 3.1 teoreminə əsasən seçilmiş bu sütun, əsas minorun yerləşdiyi sütunların xətti birləşməsidir. Lazım gələrsə, bu kombinasiyaya sıfır əmsallı digər sütunları əlavə etməklə əldə edirik ki, seçilmiş sütun matrisin qalan sütunlarının xətti kombinasiyasıdır. Kafilik müəyyənedicinin xassələrindən irəli gəlir. Məsələn, determinantın sonuncu sütunu A_n olarsa \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) qalanları vasitəsilə xətti şəkildə ifadə edilir

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

sonra A_n sütununa əlavə etməklə A_1 (-\lambda_1) ilə vurulur, sonra A_2 sütunu (-\lambda_2) ilə vurulur və s. sütun A_(n-1) ilə vurulan (-\lambda_(n-1)) müəyyənedicini alırıq \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) sıfıra bərabər olan null sütunu ilə (determinantın 2-ci xassəsi).

Elementar çevrilmələr zamanı matrisin dərəcəsinin dəyişməzliyi

Teorem 3.3 (elementar çevrilmələr zamanı dərəcənin dəyişməzliyi haqqında). Matrisin sütunlarının (sətirlərinin) elementar çevrilməsi zamanı onun dərəcəsi dəyişmir.

Doğrudan da, olsun. Fərz edək ki, A matrisinin sütunlarının bir elementar çevrilməsi nəticəsində A matrisini əldə etdik". Əgər I tip çevrilmə aparılıbsa (iki sütunun dəyişdirilməsi), onda sifarişin hər hansı kiçik (r+l)-ro. A” matrisinin ya A matrisinin sırasının müvafiq minoruna (r+l )-ro bərabərdir, ya da işarəsinə görə ondan fərqlənir (determinantın 3-cü xassəsi). II növ çevrilmə aparılıbsa (sütun \lambda\ne0 ədədinə vurularaq), onda A" matrisinin sırasının hər hansı kiçik (r+l)-ro ya müvafiq minora (r+l) bərabərdir. A matrisinin sırasının -ro və ya ondan fərqli əmsalı \lambda\ne0 (müəyyənedicinin 6-cı xassəsi) Əgər bir sütuna \Lambda nömrəsinə vurulan başqa bir sütun əlavə edilərsə), onda hər hansı. A” matrisinin (r+1)-ci dərəcəsinin minoru ya müvafiq minora bərabərdir. (r+1)-ci dərəcə A matrisinin (determinantın 9-cu xassəsi), ya da cəminə bərabərdir. A matrisinin sırasının iki kiçik (r+l)-ro (determinantın 8 xassəsi). Buna görə də, hər hansı bir tipli elementar çevrilmə zamanı A matrisinin sırasının bütün kiçikləri (r+l)-ro sıfıra bərabərdir, çünki A matrisinin sırasının bütün kiçikləri (r+l)-ro sıfıra bərabərdir, beləliklə sübut edilmişdir ki, sütunların elementar çevrilmələrində rütbə matrisi arta bilməz, çünki elementarlara tərs çevrilmələr elementar olduğundan, sütunların elementar çevrilmələrində matrisin dərəcəsi azala bilməz, yəni. cərgələrin elementar çevrilmələri zamanı matrisin dərəcəsinin dəyişmədiyini sübut etdi.

Nəticə 1. Əgər matrisin bir cərgəsi (sütun) onun digər cərgələrinin (sütunlarının) xətti kombinasiyasıdırsa, bu cərgə (sütun) dərəcəsini dəyişmədən matrisdən silinə bilər.

Həqiqətən, belə bir sətir elementar çevrilmələrdən istifadə edərək sıfır edilə bilər və sıfır sətir əsas minora daxil edilə bilməz.

Nəticə 2. Əgər matris ən sadə formaya (1.7) endirilirsə, onda

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.

Həqiqətən də, ən sadə formanın (1.7) matrisi r-ci sıranın əsas minoruna malikdir.

Nəticə 3. İstənilən qeyri-tək kvadrat matris elementardır, başqa sözlə, hər hansı qeyri-tək kvadrat matris eyni sıralı eynilik matrisinə bərabərdir.

Həqiqətən də, əgər A n-ci dərəcəli qeyri-sinqulyar kvadrat matrisdirsə, onda \operator adı(rg)A=n(3.2-ci şərhin 3-cü bəndinə baxın). Buna görə də, elementar çevrilmələrlə A matrisini ən sadə formaya (1.7) gətirərək, \Lambda=E_n eynilik matrisini əldə edirik, çünki \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(Nəticə 2-ə baxın). Deməli, A matrisi E_n eynilik matrisinə ekvivalentdir və ondan sonlu sayda elementar çevrilmə nəticəsində əldə etmək olar. Bu o deməkdir ki, A matrisi elementardır.

Teorem 3.4 (matrisanın dərəcəsi haqqında). Bir matrisin dərəcəsi bu matrisin xətti müstəqil cərgələrinin maksimum sayına bərabərdir.

Əslində, qoy \operator adı(rg)A=r. Onda A matrisi r xətti müstəqil cərgəyə malikdir. Bunlar əsas minorun yerləşdiyi xətlərdir. Əgər onlar xətti asılı olsaydılar, onda bu minor 3.2 teoreminə görə sıfıra bərabər olardı və A matrisinin dərəcəsi r-ə bərabər olmazdı. Göstərək ki, r xətti müstəqil cərgələrin maksimum sayıdır, yəni. istənilən p sətirləri p>r üçün xətti asılıdır. Həqiqətən də bu p sətirlərindən B matrisini əmələ gətiririk. B matrisi A matrisinin bir hissəsi olduğuna görə \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r

Bu o deməkdir ki, B matrisinin ən azı bir cərgəsi bu matrisin əsas minoruna daxil edilməyib. Onda, bazis minor teoremi ilə, bazis minorunun yerləşdiyi cərgələrin xətti birləşməsinə bərabərdir. Buna görə də, B matrisinin cərgələri xətti asılıdır. Beləliklə, A matrisi ən çox r xətti müstəqil cərgəyə malikdir.

Nəticə 1. Matrisdəki xətti müstəqil sətirlərin maksimum sayı xətti müstəqil sütunların maksimum sayına bərabərdir:

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)A^T.

Bu müddəa 3.4-cü teoremdən irəli gəlir, əgər onu köçürülmüş matrisin cərgələrinə tətbiq etsək və köçürmə zamanı kiçiklərin dəyişmədiyini nəzərə alsaq (determinantın 1-ci xassəsi).

Nəticə 2. Bir matrisin sətirlərinin elementar çevrilməsi zamanı bu matrisin hər hansı bir sütun sisteminin xətti asılılığı (və ya xətti müstəqilliyi) qorunur.

Əslində, gəlin verilmiş A matrisinin istənilən k sütununu seçək və onlardan B matrisini tərtib edək. A" matrisi A matrisinin cərgələrinin elementar çevrilmələri nəticəsində, B matrisi isə B matrisinin cərgələrinin eyni çevrilmələri nəticəsində alınsın. Teorem 3.3 ilə \operatorname(rg)B"=\operatorname(rg)B. Buna görə də, əgər B matrisinin sütunları xətti müstəqil idisə, yəni. k=\operator adı(rg)B(Nəticə 1-ə baxın), onda B matrisinin sütunları da xətti müstəqildir, çünki k=\operator adı(rg)B". Əgər B matrisinin sütunları xətti asılı olsaydı (k>\operator adı(rg)B), onda B matrisinin sütunları da xətti asılıdır (k>\operator adı(rg)B"). Nəticə etibarilə, A matrisinin istənilən sütunları üçün elementar cərgə çevrilmələri altında xətti asılılıq və ya xətti müstəqillik qorunur.

Qeydlər 3.3

1. Teorem 3.4-ün 1-ci nəticəsinə əsasən, Nəticə 2-də göstərilən sütunların xassələri, əgər elementar çevrilmələr yalnız onun sütunlarında aparılırsa, matris sətirlərinin istənilən sistemi üçün də doğrudur.

2. 3.3 teoreminin 3-cü nəticəsi aşağıdakı kimi dəqiqləşdirilə bilər: yalnız onun sətirlərinin (və ya yalnız onun sütunlarının) elementar çevrilmələrindən istifadə edərək hər hansı qeyri-tək kvadrat matrisa eyni sıralı eynilik matrisinə endirilə bilər.

Əslində, yalnız elementar cərgə çevrilmələrindən istifadə etməklə istənilən A matrisini \Lambda (şək. 1.5) sadələşdirilmiş formasına endirmək olar (bax. Teorem 1.1). A matrisi tək olmadığı üçün (\det(A)\ne0), onun sütunları xətti müstəqildir. Bu o deməkdir ki, \Lambda matrisinin sütunları da xətti müstəqildir (Teorem 3.4-ün nəticəsi 2). Buna görə də, qeyri-tək olmayan A matrisinin sadələşdirilmiş forması \Lambda onun ən sadə forması ilə üst-üstə düşür (şək. 1.6) və eynilik matrisi \Lambda=E-dir (bax. Teorem 3.3-ün Nəticə 3). Beləliklə, tək olmayan matrisin yalnız cərgələrini çevirməklə onu eynilik matrisinə endirmək olar. Oxşar mülahizə tək olmayan matrisin sütunlarının elementar çevrilmələri üçün də etibarlıdır.

Məhsulun dərəcəsi və matrislərin cəmi

Teorem 3.5 (matrislərin hasilinin dərəcəsi üzrə). Matrislərin məhsulunun dərəcəsi amillərin dərəcəsindən çox deyil:

\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\).

Həqiqətən, A və B matrislərinin ölçüləri m\times p və p\times n olsun. A matrisinə matrisi təyin edək C = AB \ iki nöqtə \, (A \ orta C). Əlbəttə ki \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C), çünki C matrisin bir hissəsidir (A\mid C) (3.2-ci qeydin 5-ci paraqrafına baxın). Qeyd edək ki, hər bir C_j sütunu, matrisin vurma əməliyyatına görə, sütunların xətti birləşməsidir. A_1,A_2,\ldots,A_p matrislər A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

Belə sütun rütbəsini dəyişmədən (A\mid C) matrisdən silinə bilər (Teorem 3.3-ün 1-ci nəticəsi). C matrisinin bütün sütunlarını kəsərək alırıq: \operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Buradan, \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Eynilə, şərtin eyni vaxtda ödənildiyini sübut edə bilərik \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)B, və teoremin etibarlılığı haqqında nəticə çıxarın.

Nəticə. Əgər A qeyri-sinqulyar kvadrat matrisdir, onda \operator adı(rg)(AB)= \operator adı(rg)B Və \operatorname(rg)(CA)=\operatorname(rg)C, yəni. matrisin rütbəsi tək olmayan kvadrat matrisa soldan və ya sağdan vurulduqda dəyişmir.

Matrislərin cəmlərinin rütbəsi haqqında teorem 3.6. Matrislərin cəminin dərəcəsi şərtlərin sıralarının cəmindən çox deyil:

\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.

Həqiqətən, gəlin bir matris yaradaq (A+B\mid A\mid B). Qeyd edək ki, A+B matrisinin hər bir sütunu A və B matrislərinin sütunlarının xətti birləşməsidir. Buna görə də \operator adı(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatorname(rg)(A\mid B). Nəzərə alsaq ki, matrisdə (A\mid B) xətti müstəqil sütunların sayı artıq deyil \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B, a \operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)(3.2-ci qeydin 5-ci bölməsinə baxın), biz sübut olunan bərabərsizliyi əldə edirik.