Ekvivalent matrislər

Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, s sıralı matrisin minoru seçilmiş s sətirləri və s sütunlarının kəsişməsində yerləşən ilkin matrisin elementlərindən əmələ gələn matrisin təyinedicisidir.

Tərif. mn tərtibli matrisdə r dərəcəli minor sıfıra bərabər deyilsə, əsas adlanır və r+1 və daha yüksək dərəcəli bütün minorlar sıfıra bərabərdir və ya ümumiyyətlə yoxdur, yəni. r m və ya n-dən kiçikinə uyğun gəlir.

Baza minorunun dayandığı matrisin sütun və sətirləri də bazis adlanır.

Bir matrisin eyni sıraya malik bir neçə fərqli əsas kiçikləri ola bilər.

Tərif. Matrisin əsas minorunun sırası matrisin rütbəsi adlanır və Rg A ilə işarələnir.

Elementar matris çevrilmələrinin çox mühüm xüsusiyyəti onların matrisin rütbəsini dəyişməməsidir.

Tərif. Elementar çevrilmə nəticəsində alınan matrislərə ekvivalent deyilir.

Qeyd etmək lazımdır ki, bərabər matrislər və ekvivalent matrislər tamamilə fərqli anlayışlardır.

Teorem. Matrisdəki xətti müstəqil sütunların ən çoxu xətti müstəqil sətirlərin sayına bərabərdir.

Çünki elementar çevrilmələr matrisin rütbəsini dəyişmir, onda matrisin dərəcəsinin tapılması prosesi xeyli sadələşdirilə bilər.

Misal. Matrisin dərəcəsini təyin edin.

2. Nümunə: Matrisin dərəcəsini təyin edin.

Elementar çevrilmələrdən istifadə edərək, orijinala ekvivalent, lakin daha kiçik ölçülü bir matris tapmaq mümkün deyilsə, matrisin rütbəsini tapmaq mümkün olan ən yüksək dərəcəli kiçiklərin hesablanması ilə başlamalıdır. Yuxarıdakı misalda bunlar 3-cü dərəcəli kiçiklərdir. Əgər onlardan ən azı biri sıfıra bərabər deyilsə, matrisin dərəcəsi bu minorun sırasına bərabərdir.

Minor əsasında teorem.

Teorem. İxtiyari A matrisində hər bir sütun (sətir) əsas minorun yerləşdiyi sütunların (sətirlərin) xətti birləşməsidir.

Beləliklə, ixtiyari A matrisinin dərəcəsi matrisdəki xətti müstəqil cərgələrin (sütunların) maksimum sayına bərabərdir.

Əgər A kvadrat matrisdirsə və det A = 0 olarsa, o zaman sütunlardan ən azı biri qalan sütunların xətti birləşməsidir. Eyni şey simlər üçün də keçərlidir. Bu ifadə determinant sıfıra bərabər olduqda xətti asılılıq xüsusiyyətindən irəli gəlir.

Xətti tənliklərin ixtiyari sistemlərinin həlli

Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, matris metodu və Kramer metodu yalnız naməlumların sayı tənliklərin sayına bərabər olan xətti tənliklər sistemlərinə şamil edilir. Sonra, xətti tənliklərin ixtiyari sistemlərini nəzərdən keçiririk.

Tərif. Ümumi formada n naməlum olan m tənliklər sistemi aşağıdakı kimi yazılır:

burada aij əmsallardır və bi sabitdir. Sistemin həlləri n ədəddir ki, onlar sistemdə əvəz olunduqda onun hər bir tənliyini eyniliyə çevirir.

Tərif. Bir sistemin ən azı bir həlli varsa, o zaman birləşmə adlanır. Bir sistemin vahid həlli yoxdursa, o, uyğunsuz adlanır.

Tərif. Sistem yalnız bir həllə malikdirsə təyinatlı, birdən çoxsa qeyri-müəyyən adlanır.

Tərif. Xətti tənliklər sistemi üçün matris

A = sistemin matrisi, matris isə adlanır

A*= sistemin uzadılmış matrisi adlanır

Tərif. Əgər b1, b2, …,bm = 0 olarsa, sistem homojen adlanır. homojen sistem həmişə ardıcıldır, çünki həmişə sıfır həll var.

Elementar sistem çevrilmələri

Elementar çevrilmələrə aşağıdakılar daxildir:

1) Bir tənliyin hər iki tərəfinə digərinin uyğun hissələrinin əlavə edilməsi, sıfıra bərabər olmayan eyni ədədə vurulması.

2) Tənliklərin yenidən təşkili.

3) Bütün x üçün eynilik olan tənliklərin sistemdən çıxarılması.

Kroneker-Kapeli teoremi (sistem üçün ardıcıllıq şərti).

(Leopold Kronecker (1823-1891) Alman riyaziyyatçısı)

Teorem: Sistem yalnız və yalnız sistem matrisinin dərəcəsi genişləndirilmiş matrisin dərəcəsinə bərabər olduqda sistem ardıcıldır (ən azı bir həlli var).

Aydındır ki, sistem (1) formada yazıla bilər.

Bizim yaxın məqsədimiz elementar çevrilmələrdən istifadə etməklə istənilən matrisin bəzi standart formalara endirilə biləcəyini sübut etməkdir. Bu yolda ekvivalent matrislərin dili faydalıdır.

Qoy olsun. Bir matrisin matrisə l_ekvivalent (p_ekvivalent və ya ekvivalent) olduğunu söyləyəcəyik və matrisin sonlu sayda sətirdən (müvafiq olaraq sütun və ya sətir və sütun) elementar çevrilmələrdən istifadə edərək matrisdən əldə edilə biləcəyini ifadə edəcəyik (və ya). Aydındır ki, l_ekvivalent və p_ekvivalent matrislər ekvivalentdir.

Əvvəlcə göstərəcəyik ki, hər hansı bir matrisin sadəcə cərgə çevrilmələri ilə azaldılmış adlanan xüsusi formaya endirilə bilər.

Qoy olsun. Bu matrisin sıfırdan fərqli cərgəsi, 1-ə bərabər elementi ehtiva edərsə, azaldılmış formaya sahib olduğu deyilir ki, sütunun bütün elementləri sıfıra bərabər olsun. Biz xəttin işarələnmiş tək elementini bu xəttin aparıcı elementi adlandıracağıq və onu dairəyə daxil edəcəyik. Başqa sözlə, əgər bu matrisdə forma sütunu varsa, matrisin sətiri azaldılmış formaya malikdir.

Məsələn, aşağıdakı matrisdə

xətt aşağıdakı formaya malikdir, çünki. Diqqət edək ki, bu nümunədə bir element də xəttin aparıcı elementi kimi görünür. Gələcəkdə verilmiş tipli sətir aparıcı xassələrə malik olan bir neçə elementi ehtiva edərsə, biz onlardan yalnız birini ixtiyari şəkildə seçəcəyik.

Sıfırdan fərqli hər bir cərgənin azaldılmış forması varsa, matrisin azaldılmış forması olduğu deyilir. Məsələn, matris

aşağıdakı formaya malikdir.

Təklif 1.3 İstənilən matris üçün azaldılmış formanın ekvivalent matrisası var.

Həqiqətən, əgər matrisin (1.1) forması varsa və onda elementar çevrilmələr aparıldıqdan sonra

matrisi alırıq

burada sətir aşağıdakı formaya malikdir.

İkincisi, əgər matrisdəki sıra azaldılıbsa, elementar çevrilmələr (1.20) aparıldıqdan sonra matrisin cərgəsi azalacaq. Həqiqətən, veriləndən bəri belə bir sütun var

lakin sonra və nəticədə, çevrilmələri həyata keçirdikdən sonra (1.20) sütun dəyişmir, yəni. . Buna görə də xəttin aşağıdakı forması var.

İndi aydın olur ki, matrisin sıfırdan fərqli hər bir cərgəsini yuxarıdakı şəkildə növbə ilə çevirməklə, sonlu sayda addımlardan sonra biz azaldılmış formada matrisa alacağıq. Matris əldə etmək üçün yalnız sıra elementar çevrilmələrdən istifadə edildiyi üçün o, matrisə l_ekvivalentdir. >

Misal 7. l_matrisəyə ekvivalent olan kiçildilmiş formada matrisa qurun

Matrislərin bərabərliyi və ekvivalentliyi anlayışlarına tez-tez rast gəlinir.

Tərif 1

$A=\left(a_(ij) \right)_(m\times n) $ matrisinin $B=\left(b_(ij) \right)_(k\times l) matrisinə bərabər olduğu deyilir. ) $(m=k,n=l)$ ölçüləri üst-üstə düşürsə və müqayisə edilən matrislərin uyğun elementləri bir-birinə bərabərdirsə.

Ümumi formada yazılmış 2-ci dərəcəli matrislər üçün matrislərin bərabərliyini aşağıdakı kimi yazmaq olar:

Misal 1

Verilmiş matrislər:

1) $A=\left(\begin(massiv)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(massiv)\sağ),B=\left(\begin() massiv)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(massiv)\sağ)$;

2) $A=\left(\begin(massiv)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(massiv)\sağ),B=\left(\begin() massiv)(c) (-3) \\ (2) \end(massiv)\sağ)$;

3) $A=\left(\begin(massiv)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(massiv)\sağ),B=\left(\begin() massiv)(cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \end(massiv)\sağ)$.

Matrislərin bərabər olub olmadığını müəyyənləşdirin.

1) $A=\left(\begin(massiv)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(massiv)\sağ),B=\left(\begin() massiv)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(massiv)\sağ)$

A və B matrisləri eyni sıraya malikdir, 2$\x2$-a bərabərdir. Müqayisə olunan matrislərin müvafiq elementləri bərabərdir, ona görə də matrislər bərabərdir.

2) $A=\left(\begin(massiv)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(massiv)\sağ),B=\left(\begin() massiv)(c) (-3) \\ (2) \end(massiv)\sağ)$

A və B matrislərinin müxtəlif sıraları var, müvafiq olaraq 2$\x $2 və 2$\x1$-a bərabərdir.

3) $A=\left(\begin(massiv)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(massiv)\sağ),B=\left(\begin() massiv)(cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \end(massiv)\sağ)$

A və B matrisləri eyni sıraya malikdir, 2$\x2$-a bərabərdir. Bununla belə, müqayisə edilən matrislərin bütün uyğun elementləri bərabər deyil, buna görə də matrislər bərabər deyildir;

Tərif 2

Elementar matrisin çevrilməsi matrislərin ekvivalentliyini qoruyan çevrilmədir. Başqa sözlə, elementar çevrilmə bu matrisin təmsil etdiyi xətti cəbri tənliklər sisteminin (SLAE) həllər çoxluğunu dəyişmir.

Matris sıralarının elementar çevrilmələrinə aşağıdakılar daxildir:

• matrisin cərgəsini sıfıra bərabər olmayan $k$ ədədinə vurmaq (matrisanın təyinedicisi $k$ dəfə artır);
• matrisin istənilən iki cərgəsinin dəyişdirilməsi;
• matrisin bir sıra elementlərinə digər cərgənin elementlərinin əlavə edilməsi.

Eyni şey matris sütunlarına aiddir və elementar sütun çevrilmələri adlanır.

Tərif 3

Əgər elementar çevrilmə ilə A matrisindən B matrisinə keçsək, onda ilkin və nəticələnən matrislər ekvivalent adlanır. Matrislərin ekvivalentliyini göstərmək üçün “$ \sim$” işarəsindən istifadə edin, məsələn, $A\sim B$.

Misal 2

Matris verilmişdir: $A=\left(\begin(massiv)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2 ) & (3) \end(massiv)\sağ)$.

Matris sıralarının elementar çevrilmələrini bir-bir yerinə yetirin.

Gəlin A matrisinin birinci və ikinci cərgəsini dəyişdirək:

B matrisinin birinci cərgəsini 2 rəqəminə çarpın:

Birinci sətri matrisin ikinci sırası ilə əlavə edək:

Tərif 4

Addım matrisası aşağıdakı şərtlərə cavab verən matrisdir:

• matrisdə sıfır cərgə varsa, ondan aşağı olan bütün sətirlər də sıfırdır;
• Sıfırdan fərqli hər bir sətrin ilk sıfırdan fərqli elementi, bundan yuxarı olan sətirdəki aparıcı elementin tam sağında yerləşməlidir.

Misal 3

Matrislər $A=\left(\begin(massiv)(ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & ( 3) \end(massiv)\sağ)$ və $B=\left(\begin(massiv)(ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & (0) \end(massiv)\right)$ eşelon matrislərdir.

Şərh

Ekvivalent çevrilmələrdən istifadə edərək matrisi eşelon formaya endirə bilərsiniz.

Misal 4

Matris verilmişdir: $A=\left(\begin(massiv)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2 ) & (3) \end(massiv)\sağ)$. Matrisi mərhələli formaya endirin.

A matrisinin birinci və ikinci cərgələrini əvəz edək:

B matrisinin birinci cərgəsini 2 rəqəminə vurub ikinci sıraya əlavə edək:

C matrisinin birinci cərgəsini -1 rəqəminə vurub üçüncü sıraya əlavə edək:

D matrisinin ikinci cərgəsini -2 rəqəminə vurub üçüncü sıraya əlavə edək:

$K=\left(\begin(massiv)(cc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) & (- 20) \end(massiv)\right)$ eşelon tipli matrisdir.