نظام الأرقام السداسي العشري، هي الوسيلة الأكثر شيوعًا لتسجيل الأرقام الثنائية بشكل مضغوط. يستخدم على نطاق واسع جدًا في تطوير وتصميم التكنولوجيا الرقمية.

وكما يوحي الاسم، فإن قاعدة هذا النظام هي الرقم ستة عشر 16 أو بالنظام الست عشري 10 16 . لتجنب الالتباس، عند كتابة الأرقام في أنظمة أرقام غير النظام العشري، سنشير إلى قاعدة نظام الأرقام في أسفل يمين تدوين الرقم الرئيسي. وبما أن قاعدة النظام هي الرقم ستة عشر، فهذا يعني أنه لتمثيل الأرقام نحتاج إلى ستة عشر رقما. يتم أخذ الأرقام العشرة الأولى من النظام العشري المألوف لدينا (0،1،..،8،9) ويتم أيضًا إضافة ستة أحرف من الأبجدية اللاتينية (a،b،c،d،e،f). على سبيل المثال، في الرقم السداسي العشري 3f7c2، يكون الحرفان "f" و"c" عبارة عن أرقام سداسية عشرية.

العد بالنظام الست عشري يشبه العد بالنظام العشري. دعونا نحاول حساب الأرقام وكتابتها من خلال تكوينها من الأرقام الستة عشر المتوفرة:

صفر - 0 ;
واحد - 1 ;
اثنين - 2 ;
...
وما إلى ذلك وهلم جرا…
...
ثمانية - 8 ;
تسع - 9 ;
عشرة - أ;
أحد عشر - ب;
اثني عشر - ج;
ثلاثة عشر - د;
أربعة عشرة - ه;
خمسة عشر - F;

ما العمل التالي؟ لقد ولت جميع الأرقام. كيفية تصوير الرقم ستة عشر؟ دعونا نفعل نفس ما فعلناه في النظام العشري. هناك قدمنا ​​مفهوم العشرة، وهنا سنقدم مفهوم "ستة عشر" ونقول أن ستة عشر هو واحد "ستة عشر" وصفر واحد. ويمكن بالفعل تدوين هذا - "10 16".

لذا، السادس عشر - 10 16 (واحد "ستة عشر"، صفر واحد)
سبعة عشر - 11 16 (واحد "ستة عشر"، وحدة واحدة)
...
وما إلى ذلك وهلم جرا…
...
خمسة وعشرون - 19 16 (واحد "ستة عشر"، تسعة آحاد)
ستة وعشرون - 1 أ 16 (واحد "ستة عشر"، عشرة آحاد)
سبعه وعشرين - 1 ب 16 (واحد "ستة عشر"، أحد عشر واحدًا)
...
وما إلى ذلك وهلم جرا…
...
ثلاثون - 1ه 16 (واحد "ستة عشر"، أربعة عشر واحدًا)
واحد وثلاثين - 1و 16 (واحد "ستة عشر"، خمسة عشر واحدًا)
اثنان و ثلاثون - 20 16 (اثنان ستة عشر، صفر واحد)
ثلاثة وثلاثين - 21 16 (اثنان ستة عشر، واحد واحد)
...
وما إلى ذلك وهلم جرا…
...
مائتان وخمسة وخمسون - وما يليها 16 (خمسة عشر في "ستة عشر"، خمسة عشر واحدًا)

مئتان وستة وخمسون - 100 16 (واحد "مئتان وستة وخمسون"، صفر "ستة عشر"، صفر واحد)
مئتان وسبعة وخمسون - 101 16 (واحد "مئتان وستة وخمسون"، من صفر إلى "ستة عشر"، واحد واحد)
مئتان وثمانية وخمسون - 102 16 (واحد "مئتان وستة وخمسون"، من صفر إلى "ستة عشر"، اثنان واحد)
...
وما إلى ذلك وهلم جرا...
...

كلما استنفذنا مجموعة الأرقام لعرض الرقم التالي، ندخل وحدات عد أكبر (أي العد بـ "ستة عشر"، "مائتين وستة وخمسين"، وما إلى ذلك) ونكتب الرقم ممتدًا برقم واحد.

النظر في الرقم 3e2c 16 مكتوبة بنظام الأرقام الست عشري. ويمكننا أن نقول عنه أنه يحتوي على: ثلاثة × أربعة آلاف وستة وتسعين، و"ه" (أربعة عشر) × مائتان وستة وخمسون، واثنان × ستة عشر، و"ج" (اثني عشر) واحدًا. ويمكنك الحصول على قيمتها من خلال الأرقام الموجودة فيها كما يلي.

3e2c 16 = 3 *4096+14 *256+2 *16+12 *1، هنا وتحت علامة * (النجمة) تعني الضرب.

لكن سلسلة الأرقام 4096، 256، 16، 1 ليست أكثر من قوى صحيحة للرقم ستة عشر (أساس نظام الأرقام) وبالتالي يمكن كتابتها:

3e2c 16 = 3 *16 3 +14 *16 2 +2 *16 1 +12 *16 0

وبالمثل بالنسبة للكسر السداسي العشري (الرقم الكسري) على سبيل المثال: 0.5a2 16 عنه يمكننا أن نقول أنه يحتوي على: خمسة على ستة عشر، "أ" (عشرة) مائتان وخمسون ستة واثنين وأربعة آلاف وستة وتسعين. ويمكن حساب قيمته على النحو التالي:

0.5a2 16 = 5 *(1/16) + 10 *(1/256) + 2 *(1/4096)

وهذه سلسلة الأعداد 1/16؛ 1/256 و 1/4096 ليسا أكثر من عدد صحيح للعدد ستة عشر ويمكننا أيضًا أن نكتب:

0.5a2 16 = 5 *16 -1 + 10 *16 -2 + 2 *16 -3

بالنسبة للرقم المختلط 7b2.1f9 يمكننا أن نكتب بنفس الطريقة:

7ب2.1f9 = 7 *16 2 +11 *16 1 +2 *16 0 +1 *16 -1 +15 *16 -2 +9 *16 -3

دعونا نرقم أرقام الجزء الصحيح من رقم سداسي عشري، من اليمين إلى اليسار، على النحو 0,1,2...n (يبدأ الترقيم من الصفر!). وأرقام الجزء الكسري، من اليسار إلى اليمين، مثل -1،-2،-3...-م، فيمكن حساب قيمة رقم سداسي عشري معين باستخدام الصيغة:

ن = د ن 16 ن +د ن-1 16 ن-1 +…+د 1 16 1 +د 0 16 0 +د -1 16 -1 +د -2 16 -2 +…+د -(م-1) 16 -(م-1) +د -م 16 -م

أين: ن- عدد الأرقام في الجزء الصحيح من الرقم ناقص واحد؛
م- عدد الأرقام في الجزء الكسري من الرقم
د ط- الرقم واقفاً أنا-الرتبة

تسمى هذه الصيغة صيغة التوسيع بالبت لعدد سداسي عشري، أي. الرقم المكتوب بنظام الأرقام السداسي العشري. إذا استبدلنا الرقم ستة عشر في هذه الصيغة برقم اعتباطي ما سثم نحصل على صيغة التوسيع للرقم المكتوب فيه كثنظام الأرقام، أي. مع القاعدة س:

N = د ن ف ن +د ن-1 ف ن-1 +…+د 1 ف 1 +د 0 ف 0 +د -1 ف -1 +د -2 ف -2 +…+د -(م-1) ف - (م-1) +د -م ف -م

باستخدام هذه الصيغة، يمكنك دائمًا حساب قيمة الرقم المكتوب في أي نظام أرقام موضعي له أساس س.

يمكن العثور على أنظمة أرقام أخرى على موقعنا باستخدام الروابط التالية.

تدوين سداسي عشري ("ست عشري")- طريقة ملائمة لتمثيل القيم الثنائية. كما أن نظام الأرقام العشري له أساس من عشرة ونظام الأرقام الثنائية له أساس من اثنين، فإن نظام الأرقام السداسي العشري له أساس من ستة عشر.

يستخدم نظام الأرقام الأساسي 16 الأرقام من 0 إلى 9 والأحرف من A إلى F. ويوضح الشكل القيم العشرية والثنائية والست عشرية المكافئة للأرقام الثنائية من 0000 إلى 1111. نجد أنه من الأسهل التعبير عن القيمة كواحدة رقم سداسي عشري بدلاً من أربع بتات

فهم البايتات

نظرًا لأن 8 بتات (بايت) هي التجميع الثنائي القياسي، فيمكن تمثيل الأرقام الثنائية من 00000000 إلى 11111111 بالتدوين السداسي العشري كالأرقام من 00 إلى FF. يتم دائمًا عرض الأصفار البادئة لإكمال تمثيل 8 بت. على سبيل المثال، القيمة الثنائية 0000 1010 بالنظام الست عشري ستكون 0A.

تمثيل القيم الست عشرية

يرجى الملاحظة:ومن المهم التمييز بين القيم السداسية العشرية والأحرف العشرية للأحرف من 0 إلى 9، كما هو موضح في الشكل.

عادةً ما يتم تمثيل القيم السداسية العشرية في النص بقيمة مسبوقة بـ 0x (مثل 0x73)، أو باستخدام رمز منخفض 16. وفي حالات أقل شيوعًا، قد يتبعها الحرف H، مثل 73H. ومع ذلك، نظرًا لعدم التعرف على النص المنخفض في سطر الأوامر أو في بيئات البرمجة، فإنه يسبقه "0x" (صفر X) في التمثيل الفني للأرقام السداسية العشرية. لذلك، سيتم عرض الأمثلة أعلاه على أنها 0x0A و0x73 على التوالي.

يتم استخدام التدوين السداسي العشري لتمثيل عناوين Ethernet MAC وعناوين IP الإصدار 6.

التحويلات السداسية العشرية

يعد تحويل الأرقام بين القيم العشرية والست عشرية أمرًا بسيطًا، ولكن القسمة أو الضرب بسرعة على 16 ليس أمرًا مناسبًا دائمًا. إذا كانت مثل هذه التحويلات ضرورية، فمن الأسهل عادةً تحويل القيمة العشرية أو السداسية العشرية إلى ثنائية، ثم تحويل القيمة الثنائية إلى قيمة عشرية أو سداسية عشرية، اعتمادًا على ما تريد الحصول عليه.

مع الممارسة، من الممكن التعرف على أنماط البت الثنائية التي تتوافق مع القيم العشرية والست عشرية. يوضح الشكل هذه الأنماط لبعض قيم 8 بت.

1. استخدم هذه الطريقة إذا لم تكن معتادًا على نظام الأرقام السداسي العشري.يمكن لأي شخص تقريبًا استخدام الطريقة البسيطة والبديهية. إذا كنت معتادًا على أنظمة الأعداد المختلفة، فاقرأ عنها، وهو ما هو موضح أدناه.

   • إذا كنت لا تعرف أي شيء على الإطلاق عن النظام السداسي العشري، فابدأ بتعلم المفاهيم الأساسية.

2. ارفع 16 للأس من 1 إلى 5 واكتب النتيجة.القيمة المكانية لكل رقم من الرقم السداسي العشري هي نتيجة رفع الرقم 16 للأس 10، كما أن القيمة المكانية لكل رقم من العدد العشري هي نتيجة رفع الرقم 10 للأس 10. ما يلي قائمة نتائج رفع 16 إلى صلاحيات مختلفة تفيد في عملية التحويل:

   • 16 5 = 1048576
   • 16 4 = 65536
   • 16 3 = 4096
   • 16 2 = 256
   • 16 1 = 16
   • إذا كان الرقم العشري الذي تقوم بتحويله أكبر من 1048576، فارفع 16 إلى قوة أعلى وأضف النتيجة إلى القائمة.

3. من القائمة، ابحث عن أكبر رقم أقل من الرقم العشري المحدد.اكتب الرقم العشري المحدد الذي تريد تحويله إلى رقم سداسي عشري. انظر إلى القائمة أعلاه وابحث عن النتيجة الأكبر (رفع 16 للأس) والتي تكون أقل من الرقم العشري المحدد.

   • على سبيل المثال، تحتاج إلى تحويل الرقم العشري 495 إلى رقم سداسي عشري. اختر الرقم 256 من القائمة.

4. اقسم الرقم العشري على النتيجة المختارة لرفع 16 للقوة.التعامل مع نتائج قسمة الأعداد الصحيحة - تجاهل الأرقام بعد العلامة العشرية.

   • في مثالنا: 495 ÷ 256 = 1.93...، لذا استخدم الرقم 1 (هذا هو حاصل القسمة الصحيح).
   • والنتيجة الناتجة هي الرقم الأول من الرقم الست عشري. في هذه الحالة، قمت بقسمة الرقم العشري المحدد على 256، وبالتالي فإن 1 يقع في المركز 256.

5. أوجد الباقي الأول.أي باقي قسمة رقم عشري معين على الرقم المحدد (المقسوم عليه). ويتم حساب الباقي بنفس طريقة القسمة المطولة.

   • اضرب الناتج الناتج بالمقسوم عليه. في مثالنا: 1 × 256 = 256 (أي أن 1 بالنظام الست عشري يمثل 256 بالأساس 10).
   • اطرح نتيجة الضرب من الرقم العشري المحدد: 495 - 256 = 239 .

6. اقسم الباقي على النتيجة التالية (في القائمة) لرفع 16 إلى القوة.انظر إلى القائمة مع نتائج رفع 16 إلى قوى مختلفة. ابحث عن النتيجة الموجودة أسفل النتيجة التي اخترتها للقسم السابق. اقسم الباقي على الرقم المختار للعثور على الرقم التالي من الرقم السداسي العشري (إذا كان الباقي أقل من الرقم المختار، فإن الرقم التالي هو 0).

   • 239 ÷ 16 = 14 . تجاهل الأرقام بعد العلامة العشرية.
   • هذا هو الرقم الثاني من الرقم السداسي العشري، والذي يقع في المركز السادس عشر. يمكن تمثيل أي رقم من 0 إلى 15 برقم سداسي عشري واحد. سيتم تحويل الأرقام الناتجة ووضعها في نهاية هذه الطريقة.

7. أوجد الباقي الثاني.للقيام بذلك، اضرب الناتج في المقسوم عليه، ثم اطرح نتيجة الضرب من الباقي الأول. يجب تحويل الباقي الثاني إلى رقم سداسي عشري.

   • 14 × 16 = 224.
   • 239 - 224 = 15 أي الباقي 15 .

8. كرر العملية المذكورة أعلاه حتى يصبح الباقي أقل من 16.إذا كان الباقي رقمًا بين 0 و15، فيمكن التعبير عنه كرقم سداسي عشري واحد. سيكون هذا الرقم هو الرقم الأخير.

   • الرقم الأخير من الرقم السداسي العشري هو 15، وهو في خانة الآحاد.

9. قم بتحويل الأرقام الناتجة واكتب الإجابة.لقد عثرت على جميع أرقام الرقم السداسي العشري. لكنها مكتوبة في نظام الأرقام العشرية. لتحويل كل رقم إلى الأساس 16، استخدم الإرشادات التالية:

   • الأرقام من 0 إلى 9 لا تتغير.
   • 10 = أ؛ 11 = ب؛ 12 = ج؛ 13 = د؛ 14 = ه؛ 15 = ف
   • في مثالنا، حصلت على الأرقام (1)(14)(15). أي أنه سيتم كتابة الرقم السداسي العشري على النحو التالي: 1EF.

10. تحقق من الإجابة.من السهل القيام بذلك إذا كنت تعرف أساسيات نظام الأرقام السداسي العشري. قم بتحويل كل رقم سداسي عشري إلى رقم أساسي مكون من 10، ثم اضربه في نتيجة رفع 16 إلى القوة المحددة التي تتوافق مع موضع الرقم. في مثالنا:

    • 1EF → (1)(14)(15)
    • العمل مع الأرقام من اليمين إلى اليسار. 15 في خانة الآحاد: 16 0 = 1، إذن 15 × 1 = 15.
    • الرقم التالي يقع في المركز السادس عشر: 16 = 16، وبالتالي 14 × 16 = 224.
    • الرقم التالي يقع في خانة 256: 2 16 = 256، وبالتالي 1 × 256 = 256.
    • اجمع النتائج التي تم العثور عليها: 256 + 224 + 15 = 495، أي أنك تحصل على الرقم العشري الأصلي.

الآن هناك خطوة سهلة جدًا للأمام مرتبطة بنظام الأرقام السداسي العشري. في هذه الحالة، نأمل أن تشك، وربما يكون ذلك صحيحًا، في أنه يجب أن يكون لدينا الآن 16 رقمًا مختلفًا.

ولكن، كما نعلم، هناك عشرة أرقام تقليدية ("عربية") فقط. ويستغرق ستة عشر. اتضح أن ستة أحرف مفقودة.

تعليق
وبالتالي، تنشأ مهمة تصميم بحتة حول موضوع "العلامات" - للتوصل إلى الرموز المفقودة للأرقام.

وهذا يعني أنه في وقت ما كان على المتخصصين التوصل إلى بعض العلامات الجديدة. ولكن ذات مرة، في بداية عصر الكمبيوتر، لم يكن هناك الكثير من الخيارات في اللافتات. لم يكن لدى المبرمجين سوى أرقام وحروف تحت تصرفهم. لذلك، اتخذوا المسار الأولي: لقد أخذوا الحروف الأولى من الأبجدية اللاتينية كأرقام، خاصة وأن هذه لم تكن المرة الأولى تاريخيًا (لقد ذكرنا بالفعل أن العديد من الدول استخدمت في البداية الحروف بدلاً من الأرقام).

تعليق
نأمل أن يفهم الجميع لماذا في هذه الحالة من المستحيل استخدام، على سبيل المثال، الأرقام "10"، "11"، "12"، وما إلى ذلك؟ لأنه إذا كنا نتحدث عن نظام الأرقام السداسية العشرية، فيجب أن يكون ستة عشر أعداد، وليس أرقام.

وبدأ الرمز العشري "10" بالحرف اللاتيني "A" (بشكل أكثر دقة "الرقم A"). وبناء على ذلك، تأتي بعد ذلك الأرقام "B"، و"C"، و"D"، و"E"، و"P".

وبما أننا كنا نعتزم بناء نظام سداسي عشري، بدءًا من الصفر، فهذا بالضبط هو المكان الذي نحصل فيه على 16 رقمًا. على سبيل المثال، الرقم "D" هو الرقم العشري "13"، والرقم "F" هو الرقم العشري "15".

عندما نضيف واحدًا إلى الرقم السداسي العشري “F”، فبما أن لدينا هذه الأرقام قد نفدت، نضع “O” في هذا الرقم، وننقل واحدًا إلى الرقم التالي، فيتبين أن الرقم العشري “16” " سيتم تمثيله في نظام الأرقام السداسي العشري بالرقم "10"، أي أنه يتبين أنه "عشرة سداسي عشري". دعونا ندمج الأرقام العشرية والست عشرية في جدول واحد (الجدول 4.5).

الجدول 4.5. مطابقة الأعداد العشرية والست عشرية.

يتم استخدام النظام السداسي العشري لتسجيل المعلومات الثنائية بشكل أكثر إحكاما. في الواقع، "الألف السداسي العشري"، المكون من أربعة أرقام، يحتل ثلاثة عشر رقمًا في النظام الثنائي (1000 16 = 1000000000000 2).

عند مناقشة أنظمة الأرقام، ظهرت "العشرات" و"المئات" و"الآلاف" بشكل متكرر، لذلك من الضروري الانتباه إلى ما يسمى بالأرقام "الدائرية".

نشأت في بابل القديمة. وفي الهند يعمل النظام على شكل ترقيم عشري موضعي باستخدام الصفر، وقد استعارت الأمة العربية نظام الأرقام هذا من الهنود، وأخذه الأوروبيون بدورهم منهم. في أوروبا، بدأ يسمى هذا النظام باللغة العربية.

النظام الموضعيحساب الميت- يعتمد معنى جميع الأرقام على موضع (رقم) الرقم المحدد في الرقم.

أمثلة، نظام الأرقام العشرية القياسي هو نظام موضعي. لنفترض أنه تم إعطاء رقم453 . رقم 4 يرمز إلى المئات ويتوافق مع رقم400, 5 - عدد العشرات ويتوافق مع القيمة50 ، أ 3 - الوحدات والمعنى3 . ومن السهل أن نرى أنه كلما زاد الرقم، زادت القيمة. ومن ثم نكتب العدد المعطى في صورة مجموع400+50+3=453.

نظام الأرقام السداسي العشري.

نظام الأرقام السداسي العشري(الأرقام السداسية العشرية) - نظام الأرقام الموضعية. قاعدة سداسية عشريةهو الرقم 16.

من خلال كتابة الأرقام في نظام الأرقام الثماني نحصل على تعبيرات مضغوطة إلى حد ما، ولكن في النظام السداسي العشري نحصل على تعبيرات أكثر إحكاما.

الأرقام العشرة الأولى من الأرقام السداسية العشرية الستة عشر هي التباعد القياسي 0 - 9 يتم التعبير عن الأرقام الستة التالية باستخدام الأحرف الأولى من الأبجدية اللاتينية: أ, ب, ج, د, ه, F. يشبه التحويل من النظام السداسي العشري إلى النظام الثنائي وبالعكس عملية التحويل من النظام الثماني.

تطبيق نظام الأرقام السداسي العشري.

يتم استخدام نظام الأرقام السداسي العشري بشكل جيد في أجهزة الكمبيوتر الحديثة، على سبيل المثالاستخدامه للإشارة إلى اللون: #FFFFFF- لون أبيض.

تحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر.

تحويل الأرقام من النظام الست عشري إلى النظام العشري.

لتحويل رقم سداسي عشري إلى رقم عشري، تحتاج إلى تقليل الرقم المحدد إلى شكل مجموع منتجات قوى قاعدة نظام الأرقام السداسية العشرية بالأرقام المقابلة في أرقام الرقم السداسي العشري.

على سبيل المثال، تحويل الرقم الست عشري 5A3إلى العشري. هنا 3 أعداد. وبناءً على القاعدة السابقة، فإننا نختصرها إلى شكل مجموع القوى ذات الأساس 16:

5A3 16 = 3·16 0 +10·16 1 +5·16 2 = 3·1+10·16+5·256 = 3+160+1280 = 1443 10

تحويل الأرقام من النظام الثنائي إلى النظام الست عشري والعكس.

لتحويل رقم ثنائي متعدد الأرقام إلى رقم سداسي عشري، تحتاج إلى تقسيمه إلى رباعيات من اليمين إلى اليسار واستبدال جميع الرباعيات بالرقم السداسي العشري المقابل. لتحويل رقم من النظام السداسي العشري إلى النظام الثنائي، تحتاج إلى تغيير كل رقم إلى الرباعيات المقابلة من جدول التحويل، والذي ستجده أدناه.

على سبيل المثال:

010110100011 2 = 0101 1010 0011 = 5أ3 16

جدول تحويل الارقام

خوارزمية لتحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر.

1. من نظام الأرقام العشرية:

• قسمة الرقم على قاعدة نظام الأرقام المترجم؛
• العثور على الباقي عند قسمة الجزء الصحيح من الرقم؛
• اكتب كل ما تبقى من القسمة بترتيب عكسي؛

2. من نظام الأرقام الثنائية:

• للتحويل إلى نظام الأرقام العشرية، نجد مجموع منتجات الأساس 2 حسب درجة الرقم المقابلة؛
• لتحويل رقم إلى رقم ثماني، نقوم بتقسيم الرقم إلى ثلاثيات.

على سبيل المثال، 1000110 = 1000110 = 1068

• لتحويل رقم من نظام الأرقام الثنائية إلى نظام سداسي عشري، نقوم بتقسيم الرقم إلى مجموعات مكونة من 4 أرقام.

على سبيل المثال، 1000110 = 1000110 = 4616.

جداول الترجمة: