በተለያዩ የመስመራዊ ፕሮግራሚንግ ችግሮች ውስጥ የዓላማ ተግባር እና የእገዳዎች ስርዓት መመዝገብ አንድ አይነት አይደለም: በአንዳንድ ችግሮች ውስጥ ዝቅተኛውን የዓላማ ተግባር መፈለግ እና ሌሎች - ከፍተኛው; በአንዳንድ ሁኔታዎች የሚፈለጉት ተለዋዋጮች በአንድ ኢንዴክስ ላይ ይመረኮዛሉ, እና በሌሎች ውስጥ በሁለት ላይ; በአንዳንድ ችግሮች እገዳዎቹ በስርዓት መልክ ይገለፃሉ የመስመር አለመመጣጠን, እና በሌሎች ውስጥ - በስርዓት መልክ መስመራዊ እኩልታዎች. በተግባራዊ ሁኔታ, አንዳንድ እገዳዎች በመስመራዊ እኩልነት ውስጥ ያሉ እና አንዳንዶቹ በመስመራዊ እኩልታዎች ውስጥ ያሉ ችግሮች ሊኖሩ ይችላሉ. እንዲሁም፣ ሁሉም ችግሮች የተለዋዋጮች አሉታዊ ያልሆኑትን ሊፈልጉ አይችሉም።

እንደነዚህ ያሉትን የተለያዩ መስመራዊ የፕሮግራም ችግሮች ከግምት ውስጥ በማስገባት የነጠላ ክፍሎችን ለመፍታት ልዩ ዘዴዎችን ማዘጋጀት ይጠይቃል ። ትኩረታችንን በማጥናት ላይ እናተኩራለን አጠቃላይ ባህሪያትእና ዘዴዎች መስመራዊ ፕሮግራሚንግ፣ ቀኖናዊ ተብሎ በሚጠራው የተጻፈ።

በመስመራዊ የፕሮግራም አወጣጥ ችግር ውስጥ ከሆነ የመነሻ ገደቦች ስርዓት እንደ እኩልታዎች ቅርፅ ይወስዳል

እና ከፍተኛውን የመስመራዊ ዓላማ ተግባርን ማግኘት ያስፈልግዎታል

ከዚያም መስመራዊ ፕሮግራሚንግ ችግር በቀኖናዊ መልክ እንደተጻፈ ይቆጠራል።

ማንኛውም የመስመር ፕሮግራሚንግ ችግር በቀላሉ ወደ ቀኖናዊ ቅፅ ሊቀንስ ይችላል። በአጠቃላይ, ለዚህ በቂ ነው, በመጀመሪያ, የዓላማውን ተግባር የመቀነስ ችግርን ወደ ከፍተኛው ችግር መቀነስ, ሁለተኛ, ከእኩልነት ገደቦች ወደ የእኩልነት ገደቦች, እና በሶስተኛ ደረጃ, እነዚያን ተለዋዋጮች መለወጥ. ለአሉታዊ ያልሆነ ሁኔታ ተገዢ አይደለም .

በጉዳዩ ውስጥ አነስተኛውን ተግባር መፈለግ ሲፈልጉ , የተግባሩን ከፍተኛውን ለማግኘት መቀጠል እንችላለን የሚከተለው አባባል እውነት ስለሆነ፡-
.

የመጀመርያው ችግር የእኩልነት ገደብ፣ እሱም ቅፅ ያለው ", በግራ ጎኑ ላይ ተጨማሪ አሉታዊ ያልሆነ ተለዋዋጭ እና የቅጹ እኩልነት ገደብ በመጨመር ወደ እኩልታ ገደብ ሊለወጥ ይችላል" "- ተጨማሪ አሉታዊ ያልሆነ ተለዋዋጭ ከግራ ጎኑ በመቀነስ.

አስተዋወቀ ተጨማሪ አሉታዊ ያልሆኑ ተለዋዋጮች ቁጥር ሁልጊዜ ገደቦች የመጀመሪያው ሥርዓት ውስጥ እኩል ያልሆኑ ቁጥር ጋር እኩል መሆኑን ልብ ይበሉ.

የገቡት ተጨማሪ ተለዋዋጮች በጣም የተለየ ኢኮኖሚያዊ ትርጉም አላቸው። ስለዚህ የዋናው መስመራዊ ፕሮግራሚንግ ችግር ገደቦች የምርት ሀብቶችን ወጪዎች እና ተገኝነት የሚያንፀባርቁ ከሆነ ፣ ከዚያ የቁጥር እሴትተጨማሪው ተለዋዋጭ ተጓዳኝ ጥቅም ላይ ያልዋለውን ሀብት መጠን ያሳያል.

አንዳንድ ተለዋዋጭ ከሆነም ልብ ይበሉ አሉታዊ ያልሆነውን ሁኔታ አይታዘዝም, ከዚያም በሁለት አሉታዊ ያልሆኑ ተለዋዋጮች መተካት አለበት እና , ተቀብለዋል
.

ለምሳሌ. የሚከተለውን የመስመራዊ የማመቻቸት ችግር በቀኖናዊ መልክ ይፃፉ፡ የተግባርን ትንሹን ያግኙ
በእገዳዎች ውስጥ

መፍትሄ

በዚህ ችግር ውስጥ የዓላማው ተግባር ዝቅተኛውን ማግኘት አለብዎት, እና የእገዳው ስርዓት አራት እኩልነቶችን ያካትታል. በቀኖናዊ መልክ ለመጻፍ ከእኩልነት ገደቦች ወደ እኩልነት ገደቦች መሄድ እና እንዲሁም መለወጥ ያስፈልግዎታል የዒላማ ተግባር.

በችግሩ እገዳዎች ስርዓት ውስጥ የተካተቱት የእኩልታዎች ብዛት ከአራት ጋር እኩል ስለሆነ ይህ ሽግግር አራት ተጨማሪ አሉታዊ ያልሆኑ ተለዋዋጮችን በማስተዋወቅ መከናወን አለበት ። በተጨማሪም ፣ በሁለተኛው እና በአራተኛው እኩልነት ውስጥ ምልክት አለ ። ", ስለዚህ በግራ ጎናቸው ላይ ተጨማሪ ተለዋዋጮችን እንጨምራለን. በአንደኛው እና በሦስተኛው እኩልነት ውስጥ ምልክት አለ ", ይህም ማለት ተጨማሪ ተለዋዋጮችን ከግራ ጎናቸው እንቀንሳለን.

እንዲሁም የዓላማ ተግባሩን እንለውጣለን, ሁሉንም ምልክቶች ወደ ተቃራኒው እንለውጣለን እና ከፍተኛውን እናገኛለን.

ስለዚህ፣ ይህ መስመራዊ የፕሮግራም አወጣጥ ችግር በሚከተለው ቀኖናዊ መልክ ይጻፋል፡-

የአንድ ተግባር ከፍተኛውን ያግኙ

በእገዳዎች ውስጥ

ገጽ 1

የችግሩ ቀኖናዊ ቅርፅ በሚከተሉት ሶስት ባህሪያት ተለይቶ ይታወቃል: 1) በስርዓተ እኩልታዎች ስርዓት ውስጥ ተመሳሳይነት ያለው እገዳዎች; 2) በችግሩ ውስጥ ለሚሳተፉ ሁሉም ተለዋዋጮች የሚተገበሩ ተመሳሳይ ያልሆኑ አሉታዊ ሁኔታዎች እና 3) የመስመራዊ ተግባርን ከፍ ማድረግ። በዚህ ችግር ውስጥ, እነዚህ ሶስቱም ባህሪያት ተጥሰዋል.  

የችግሩ ቀኖናዊ ቅርፅ በሚከተሉት ሶስት ባህሪያት ተለይቶ ይታወቃል: 1) በስርዓተ እኩልታዎች ስርዓት ውስጥ ተመሳሳይነት ያለው እገዳዎች; 2) በችግሩ ውስጥ ለሚሳተፉ ሁሉም ተለዋዋጮች የሚተገበሩ ተመሳሳይ ያልሆኑ አሉታዊ ሁኔታዎች እና 3) የመስመራዊ ተግባርን ከፍ ማድረግ። በዚህ ችግር ውስጥ, እነዚህ ሶስቱም ባህሪያት ተጥሰዋል.  

የመስመራዊ ፕሮግራሚንግ ችግር ቀኖናዊ ቅርፅ ምቹ ነው ምክንያቱም ሊቻል የሚችለውን ክልል የመጀመሪያ ደረጃ ለማግኘት ቀላል ነው።  

የሊነየር ፕሮግራሚንግ ችግር ቀኖናዊውን እና የጆርዳን-ጋውስን የማስወገድ ዘዴን እንመልከት።  

የመስመራዊ ፕሮግራሚንግ ችግር ቀኖናዊ ቅርፅ ብዙውን ጊዜ ምቹ ነው።  

የእገዳዎችን ስርዓት ወደ መስመራዊ የፕሮግራም አወጣጥ ችግር ቀኖናዊ መልክ ሲቀይሩ፣ እኩልነት (12) እና (13) በእኩልነት መተካት አለባቸው። ይህንን ለማድረግ, ተጨማሪ አሉታዊ ያልሆኑ ተለዋዋጮች ይተዋወቃሉ.  

ጥንድ አቅጣጫ የሚጓዙ እውነተኛ ማትሪክስ በአንድ ጊዜ ወደ ቀኖናዊው የችግር 1128 ተመሳሳይነት ለውጥ ኦርቶጎናል ማትሪክስ እንደሚቀነሱ ያረጋግጡ።  

በመሰረቱ (4) - (5) በምዕራፍ. ብዙውን ጊዜ በመስመር ላይ ባልሆኑ የፕሮግራም ችግሮች ውስጥ ተለዋዋጮች ኢንቲጀር እንዲሆኑ ምንም መስፈርት የለም።  

ለለውጦቻቸው የእገዳ ዓይነቶች እና ዘዴዎች.

የችግሩ ቀኖናዊ ቅርጽ በስርዓተ-ፆታ እኩልነት በስርዓተ-ፆታ እኩልነት; የዓላማውን ተግባር ከፍ ማድረግ; በችግሩ ውስጥ የተካተቱ ሁሉም ተለዋዋጮች አሉታዊ ያልሆነ ሁኔታ.  

ምንም ተጨማሪ ባህሪያትየችግሮች ቀኖናዊ ቅርፅ ከግምት ውስጥ ባለው ስሌት ላይ አይጨምርም።  

በመጀመሪያ የዝቅተኛውን ችግር ሁለተኛውን ቀኖናዊ ቅርፅ እንመልከት።  

ሲምፕሌክስ-ሜቴ አልጎሪዝም በሁለት ደረጃዎች ሊከፈል ይችላል. በመጀመሪያው ደረጃ, ተለዋዋጭዎችን በማስወገድ መሰረታዊ መፍትሄ ይገኛል. ከተገኘ, ከዚያም ወደ ሁለተኛው ደረጃ ለመሸጋገር የችግሩ ቀኖናዊ ቅርጽ አለን. ሁለተኛው እርምጃ የተገደበ ጥሩ መኖሩን ማረጋገጥ ነው. ካለ, ተቀባይነት ያላቸው መሰረታዊ መፍትሄዎች ተወስነዋል እና ከየትኛው ጥሩው ይመረጣል.  

ችግሩ በቀኖናዊ መልክ ከተፈታ, በሁለተኛው አንቀጽ ውስጥ የቀረቡት ክዋኔዎች በከፊል ብቻ ጥቅም ላይ ይውላሉ. ስለዚህ ለቀኖናዊው ዝቅተኛው ችግር የአንቀጽ 3.4.1 ጉዳይ ብቻ እውን ይሆናል ፣ እና የአምዶች ዑደት እንደገና የማደራጀት ስራዎች ብቻ ፣ ዓምዱን በቋሚ ድንበር ዞን በኩል በማለፍ ፣ የመዋቅር ጥሰቶችን ማስተካከል እና የጭረት ክዋኔው ክፍል ያስፈልጋሉ። ሲምሜትሪክ ፣ ቀኖናዊውን ከፍተኛውን ችግር በሚፈታበት ጊዜ የአንቀጽ 3.4.2 ሁኔታ ብቻ እውን ይሆናል ፣ እና ገመዶችን እንደገና የማደራጀት ስራዎች ፣ በአግድም ድንበር ዞን ውስጥ ሕብረቁምፊን በማለፍ ፣ የመዋቅር ጥሰቶችን ማስተካከል እና የመቁረጥ ሥራ ሌላ አካል ናቸው ። ያስፈልጋል። አለበለዚያ ምንም ተጨማሪ ዝርዝሮችየሥራው ቀኖናዊ ቅርጽ አይጨምርም.  

የመግቢያው የመጀመሪያው አንቀጽ እንዴት እንደሆነ አሳይቷል። የጋራ ተግባርመስመራዊ ፕሮግራሚንግ ወደ አንዱ ቀኖናዊ ቅርጾች ሊቀንስ ይችላል። ለቀኖናዊ ችግሮች, የተከታታይ ማሻሻያ ዘዴ መግለጫው በመደበኛነት ቀለል ያለ ነው, ምክንያቱም ምቹ ሁኔታዎችን ለመጣስ ሁለት አማራጮችን እና ወደ ቀጣዩ ጫፍ ለመድረስ ሁለት አማራጮችን ግምት ውስጥ ማስገባት አያስፈልግም መሠረት ማትሪክስ A [/, J], እሱም በዋናነት የአንድ ሻት ውስብስብነት ይወስናል. ሆኖም ፣ በብዙ ሁኔታዎች ፣ ለችግሩ ቀኖናዊ ቅርጾች ዘዴን መተግበር ተመራጭ ይሆናል ፣ እና በዚህ ክፍል ውስጥ ለተወሰኑ የመስመር ፕሮግራሚንግ ችግሮች በተገኘው ዘዴ ልዩነቶች ላይ እናተኩራለን ።  

ገፆች፡    1

ማንኛውም የመስመር ፕሮግራሚንግ ችግር በቀኖናዊ መልክ ወደ መስመራዊ የፕሮግራሚንግ ችግር ሊቀነስ ይችላል። ይህንን ለማድረግ, በአጠቃላይ ሁኔታ, የማጉላት ችግርን ወደ ዝቅተኛነት ችግር መቀነስ መቻል አለብዎት; ከእኩልነት ገደቦች ወደ የእኩልነት ገደቦች ይሂዱ እና አሉታዊ ያልሆነውን ሁኔታ የማይታዘዙ ተለዋዋጮችን ይተኩ። አንድን ተግባር ከፍ ማድረግ በተቃራኒው ምልክት የተወሰደውን ተመሳሳይ ተግባር ከመቀነስ ጋር እኩል ነው እና በተቃራኒው።

የመስመራዊ ፕሮግራሚንግ ችግርን የመቀነስ ደንቡ ቀኖናዊ ቅርጽእንደሚከተለው ነው።

• ከገባ የመጀመሪያ ችግርየመስመራዊ ተግባርን ከፍተኛውን ለመወሰን ከፈለጉ ምልክቱን መለወጥ እና የዚህን ተግባር ትንሹን ይፈልጉ;
• እገዳዎች ካሉ በቀኝ በኩልአሉታዊ ነው, ከዚያም ይህ ገደብ በ -1 ማባዛት አለበት;
• በእገዳዎች መካከል እኩልነት ካለ, ተጨማሪ አሉታዊ ያልሆኑ ተለዋዋጮችን በማስተዋወቅ ወደ እኩልነት ይለወጣሉ.
• አንዳንድ ተለዋዋጭ ከሆነ x jየምልክት ገደቦች የሉትም ፣ ከዚያ ይተካል (በዓላማው ተግባር እና በሁሉም ገደቦች) በሁለት አዳዲስ አሉታዊ ያልሆኑ ተለዋዋጮች መካከል ባለው ልዩነት።
  x 3 = x 3 + - x 3 - ፣ የት x 3+፣ x 3 - ≥ 0 .

ምሳሌ 1. መስመራዊ የፕሮግራም አወጣጥ ችግርን ወደ ቀኖናዊ ቅርፅ መቀነስ፡-

ደቂቃ L = 2x 1 + x 2 - x 3;
2x 2 - x 3 ≤ 5;
x 1 + x 2 - x 3 ≥ -1;
2x 1 - x 2 ≤ -3;
x 1 ≤ 0; x 2 ≥ 0; x 3≥ 0

በእያንዳንዱ የእገዳዎች ስርዓት እኩልታ ውስጥ ደረጃ ተለዋዋጮችን እናስተዋውቅ x 4 ፣ x 5 ፣ x 6. ስርዓቱ በእኩልነት መልክ ይፃፋል ፣ እና በአንደኛው እና በሦስተኛው የገዳቢ ስርዓት እኩልታዎች ተለዋዋጮች። x 4 ፣ x 6ውስጥ ገብተዋል። በግራ በኩልበ "+" ምልክት, እና በሁለተኛው እኩልታ ተለዋዋጭ x 5በ "-" ምልክት ገብቷል.

2x 2 - x 3 + x 4 = 5;
x 1 + x 2 - x 3 - x 5 = -1;
2x 1 - x 2 + x 6 = -3;
x 4 ≥ 0; x 5 ≥ 0; x 6 ≥ 0.

ይህንን ለማድረግ በቀኖናዊው ውስጥ ያሉት ነፃ ቃላት አወንታዊ መሆን አለባቸው፣ የመጨረሻዎቹን ሁለት እኩልታዎች በ -1 ያባዙ።

2x 2 - x 3 + x 4 = 5;
-x 1 - x 2 + x 3 + x 5 = 1;
-2x 1 + x 2 - x 6 = 3።

በመስመራዊ የፕሮግራም አወጣጥ ችግሮች ቀኖናዊ መልክ፣ በእገዳዎች ስርዓት ውስጥ የተካተቱት ሁሉም ተለዋዋጮች አሉታዊ መሆን አለባቸው። ያንን እናስብ x 1 = x 1 "- x 7 ፣ የት x 1 "≥ 0፣ x 7≥ 0 .

በመተካት ላይ ይህ አገላለጽወደ እገዳዎች ስርዓት እና ዓላማው ተግባር እና ተለዋዋጮችን በመረጃ ጠቋሚ ቅደም ተከተል በመፃፍ ፣ በቀኖናዊ መልክ የቀረበው መስመራዊ የፕሮግራም ችግር እናገኛለን ።

L ደቂቃ = 2x 1 "+ x 2 - x 3 - 2x 7;
2x 2 - x 3 + x 4 = 5;
-x 1" - x 2 + x 3 + x 5 + x 7 = 1;
-2x 1" + x 2 - x 6 + 2x 7 = 3;
x 1 "≥ 0፤ x i ≥ 0፣ i=2, 3, 4, 5, 6, 7።

ለቀኖናዊው የኤል.ፒ. ችግር መሰረታዊ እቅድ የተመቻቸ ሁኔታ. ሲምፕሌክስ ዘዴ እና ተያያዥነት.

ቀላል ዘዴነው። ሁለንተናዊ ፣በውስጡ የተጻፈውን ማንኛውንም የመስመር ፕሮግራሚንግ ችግር ለመፍታት ስለሚያስችል ቀኖናዊ ቅርጽ.

የቀላል ዘዴ ሀሳብ የእቅዱን የማያቋርጥ መሻሻል ፣ከአንዳንድ የመጀመሪያ ማጣቀሻ መፍትሄዎች ጀምሮ ፣ ተከታታይ እንቅስቃሴከችግሩ ማጣቀሻ መፍትሄዎች እስከ ጥሩው.

በዚህ እንቅስቃሴ ለችግሮች ከፍተኛውን የዓላማ ተግባር ዋጋ አይቀንስም.

የድጋፍ መፍትሄዎች ቁጥር ውስን ስለሆነ ከተወሰኑ እርምጃዎች በኋላ ጥሩውን የድጋፍ መፍትሄ እናገኛለን።

የማጣቀሻ መፍትሄ መሰረታዊ አሉታዊ ያልሆነ መፍትሄ ነው.

Simplex ዘዴ አልጎሪዝም

1. የችግሩ የሂሳብ ሞዴል መሆን አለበት ቀኖናዊ. ቀኖናዊ ካልሆነ ወደ ቀኖናዊ ቅርጽ መቅረብ አለበት.

2. የመጀመሪያውን የማጣቀሻ መፍትሄ ይፈልጉ እና ለተመቻቸ ሁኔታ ያረጋግጡ.
ይህንን ለማድረግ, ይሙሉ ቀላል ሰንጠረዥ 1.
በእገዳዎች ስርዓት መረጃ እና በተጨባጭ ተግባሩ መሠረት የ 1 ኛ ደረጃ ሰንጠረዥ ሁሉንም ረድፎች እንሞላለን ።

ይቻላል የሚከተሉት ጉዳዮችችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ ከፍተኛ፡

1. ሁሉም Coefficients ከሆነ የመጨረሻው መስመርቀላል ጠረጴዛዎች ዲጄ³ 0፣ ከዚያ ተገኝቷል

መፍትሄ በጣም ጥሩ.

2 ቢያንስ አንድ ቅንጅት ከሆነ ዲጄ £ 0, ግን ለተዛማጅ ተለዋዋጭ አንድ ነጠላ አዎንታዊ የግምገማ ግንኙነት የለም, ከዚያም መፍትሄው ስራዎችን እናቆማለንከF(X)® ¥ ጀምሮ፣ማለትም የዓላማው ተግባር በተመጣጣኝ መፍትሄዎች አካባቢ የተገደበ አይደለም.

የመጨረሻው ረድፍ ቢያንስ አንድ እኩልነት አሉታዊ ከሆነ እና ከተዛማጅ ተለዋዋጭ ጋር ቢያንስ አንድ አዎንታዊ የግምገማ አመለካከት, ከዚያ መንቀሳቀስ ያስፈልግዎታል ወደ ሌላ የማጣቀሻ መፍትሄ.

4. ኢ ከሆነበመጨረሻው ረድፍ ላይ በርካታ አሉታዊ ቅንጅቶች አሉ፣ ከዚያ ወደ ታችኛው ተለዋዋጭ አምድ(BP) ያንን ያስተዋውቁ ተለዋዋጭ, የሚዛመደው ውስጥ ትልቁ ፍጹም ዋጋአሉታዊ ቅንጅት.

5. ቢያንስ አንድ Coefficient Dk ከሆነ< 0 ፣ ያ k - ኛአምድ መቀበል ለአቅራቢው.

6. ለ መሪ መስመርየሚዛመደውን እንቀበላለን ዝቅተኛየነጻ አባላት ጥምርታ biወደ አዎንታዊ ቅንጅቶች እየመራ, k - ያኛውአምድ.

7. በመሪዎቹ ረድፎች እና ዓምዶች መገናኛ ላይ የሚገኘው ንጥረ ነገር ይባላል መሪ አካል.

ቀለል ያለ ሰንጠረዥ መሙላት 2 :

· የመሠረቱን ዓምድ በዜሮዎች እና በአንደኛው ይሙሉ

· መሪውን መስመር በመሪው አካል በመከፋፈል እንደገና ይፃፉ

· መሪው ረድፍ ዜሮዎች ካሉት, ተጓዳኝ አምዶች ወደ ቀጣዩ ቀላል ሰንጠረዥ ሊወሰዱ ይችላሉ

· የ "ሬክታንግል" ህግን በመጠቀም የተቀሩትን መለኪያዎች እናገኛለን

አዲስ የማጣቀሻ መፍትሄ እናገኛለን, እኛ የምንፈትሽበት ለተመቻቸ ሁኔታ፡-

የመጨረሻው ረድፍ ሁሉም ውህዶች ከሆኑ ዲጄ³ 0, ከዚያም መፍትሄው ተገኝቷል ከፍተኛ.

ካልሆነ የ 8 ኛ ደረጃ እና የመሳሰሉትን ቀላል ሰንጠረዥ ይሙሉ.

የዓላማው ተግባር ከሆነ ረ(ኤክስ)መፈለግን ይጠይቃል ዝቅተኛ ዋጋ, ከዚያም መስፈርቱ የችግሩ ተመራጭነትነው። አዎንታዊ ያልሆኑ ቅንጅቶችዲ j ለሁሉም j = 1,2,...n.

የ simplex ዘዴ ውህደት. በ LP ችግሮች ውስጥ መበላሸት. የማንኛውም የስሌት ስልተ ቀመር በጣም አስፈላጊው ንብረት ውህደት ነው ፣ ማለትም በሚተገበርበት ጊዜ የሚፈለገውን ውጤት የማግኘት እድል (በተወሰነ ትክክለኛነት) በተወሰኑ ደረጃዎች (ድግግሞሾች)።

በሲምፕሌክስ ዘዴ መገጣጠም ላይ ያሉ ችግሮች የ R (ክፍል 2) ዋጋን በሚመርጡበት ደረጃ ላይ ሊነሱ እንደሚችሉ መገንዘብ ቀላል ነው. ዝቅተኛ ዋጋዎችግንኙነት

ለብዙ ረድፎች ሰንጠረዥ T (q) በአንድ ጊዜ ይሳካል። ከዚያ በሚቀጥለው ድግግሞሽ፣ አምድ b(β(q+1)) ዜሮ አባሎችን ይይዛል።

የመስመር ፕሮግራሚንግ ችግሮች (LPP)

1. መስመራዊ ፕሮግራሚንግ

2. የመስመራዊ ፕሮግራሚንግ ችግሮች ዓይነቶች

3. ቅርጾች PAP መዝገቦች

4. ቀኖናዊ ቅርጽ የመስመር ፕሮግራሚንግ ችግሮች

መስመራዊ ፕሮግራሚንግ

መስመራዊ ፕሮግራሚንግ አክራሪን ለማግኘት ዘዴዎችን ለማዘጋጀት ጥቅም ላይ የሚውል የሂሳብ ፕሮግራም ቅርንጫፍ ነው። መስመራዊ ተግባራትበርካታ ተለዋዋጮች ከመስመር ጋር ተጨማሪ ገደቦች, በተለዋዋጮች ላይ ተጭኗል.

በሚፈቱት የችግሮች አይነት መሰረት, የ LP ዘዴዎች ሁለንተናዊ እና ልዩ ተከፍለዋል. በመጠቀም ሁለንተናዊ ዘዴዎችማንኛውም መስመራዊ ፕሮግራሚንግ ችግሮች (LPP) ሊፈታ ይችላል። ልዩ ሰዎች የችግሩን ሞዴል ገፅታዎች, ተጨባጭ ተግባሩን እና የእገዳዎችን ስርዓት ግምት ውስጥ ያስገባሉ.

የመስመራዊ ፕሮግራሚንግ ችግሮች ዋናው ገጽታ የዓላማው ተግባር ጽንፍ በትክክለኛ መፍትሄዎች ክልል ወሰን ላይ ነው.

ምስል 1 - የዓላማው ተግባር እጅግ በጣም ከፍተኛ

የ ZLP የሂሳብ ሞዴል እንደሚከተለው ተጽፏል።

ከፍተኛ (ወይም ደቂቃ) Z=z(X)፣(1)

ODR በመስመራዊ እኩልታዎች ወይም እኩልነቶች ስርዓት ሊወከል ይችላል።

ቬክተር X = (x 1፣ x 2፣ .... x p) የመቆጣጠሪያ ቬክተር ወይም የቁጥጥር ውጤት ነው።

ተቀባይነት ያለው ፕላን X፣ የተመቻቸ መስፈርት Z=z(X) ወደ ጽንፍ እሴት የሚደርስበት፣ ምርጥ ተብሎ ይጠራል እና በ X* ይገለጻል፣ የዓላማ ተግባር እጅግ ከፍተኛ ዋጋ በZ*=z(X*)።

የመስመር ላይ የፕሮግራም ችግሮች ዓይነቶች

መስመራዊ የፕሮግራም አወጣጥ ዘዴዎች በኢንዱስትሪ ኢንተርፕራይዞች ውስጥ በስፋት ጥቅም ላይ የሚውሉት የምርት ፕሮግራሙን ሲያሻሽሉ፣ በአውደ ጥናቶች እና በጊዜ ክፍተቶች ውስጥ በማሰራጨት ፣ የመሳሪያዎች ምደባዎች ሲጫኑ ፣ የእቃ ማጓጓዣዎችን ሲያቅዱ ፣ የመዞሪያ እቅዱን ሲወስኑ ፣ ወዘተ.

በጣም የተለመደው የሥራ ዓይነት ነው ተግባር ምርጥ አጠቃቀምሀብቶች.አንዳንድ የምርት ክፍል (ዎርክሾፕ ፣ ኢንተርፕራይዝ ፣ ማህበር ፣ ወዘተ) በገቢያ ሁኔታዎች ላይ በመመስረት ፣ የቴክኒክ ችሎታዎችእና የሚገኙ ሀብቶች, n ማምረት ይችላሉ የተለያዩ ዓይነቶችበቁጥር ጄ የታወቁ ምርቶች.

ምርቶችን በሚያመርትበት ጊዜ ኢንተርፕራይዙ በሚገኙ ሀብቶች የተገደበ ነው, ብዛታቸው በ m, እና የሃብት ቬክተር B = (b 1, b 2, ..., b t) ይገለጻል. የቴክኖሎጂ ጥምርታዎች a ijም ይታወቃሉ፣ ይህም የ i-th ሃብትን የአንድ j-th ምርትን ፍጆታ መጠን ያሳያል። የክፍል ውፅዓት ውጤታማነት j-i ምርቶችበትርፍ p j ተለይቷል.

የድርጅቱን ትርፍ በተሰጡት ሀብቶች ከፍተኛውን የምርት ዕቅድ X = (x 1, x 2, ..., x p) ለመወሰን ያስፈልጋል.

የዓላማው ተግባር ይህን ይመስላል

በእገዳዎች ውስጥ

ብዙውን ጊዜ የምርት ክልሉ በከፍተኛ ድርጅት ይመሰረታል፣ ማለትም መጠኖቹ በተወሰኑ ወሰኖች ውስጥ መካተት አለባቸው D በ j እና D በ j፡ ከዚያም የሚከተለው ገደብ ተቀምጧል።

የተመቻቸ የሀብት አጠቃቀም ችግር ሞዴል ከስር ነው። የድርጅቱን አመታዊ የምርት መርሃ ግብር ለማመቻቸት ሞዴሎች. ሞዴሉ በመሳሪያዎች የስራ ጊዜ ላይ ገደቦችን ያካትታል.

ተመሳሳዩን ማስታወሻ በመያዝ፣ በየክፍሉ የሚሸጠውን ዋጋ እና ዋጋ በቅደም ተከተል በ b j እና c j በኩል እንጽፋለን። jth ምርቶች. የሚከተሉት እንደ ምርጥ መስፈርት ሊወሰዱ ይችላሉ:

1) ከፍተኛ ትርፍ

2) አነስተኛ የምርት ወጪዎች

3) ከፍተኛው ውፅዓት በእሴት ውል (ከምርት ሽያጭ የሚገኝ ገቢ)

ለምሳሌ። ኢንተርፕራይዙ አራት አይነት ምርቶችን 1፣ 2፣ 3 እና 4 ማምረት ይችላል።የማንኛውም መጠን ሽያጭ የተረጋገጠ ነው። በሩብ ዓመቱ ኢንተርፕራይዙ 100 ሰው ፈረቃ፣ ከፊል የተጠናቀቁ ምርቶች 260 ኪሎ ግራም እና 370 የማሽን ፈረቃ የማሽን መሳሪያዎች አሉት። የግብአት ፍጆታ ዋጋ እና ትርፍ በእያንዳንዱ የምርት አይነት በሰንጠረዥ 1 ቀርቧል።

አስፈላጊ፡

ሀ) ሜካፕ የሂሳብ ሞዴልከፍተኛ ትርፍ የሚያስገኝ የምርት ዕቅድ የመወሰን ተግባር;

ለ) የሶስተኛው ምርት አሃዶች ቁጥር 3 ጊዜ እንዲሆን ችግሩን በማሸጊያው ፍላጎት መፍታት ። ተጨማሪ መጠንመጀመሪያ ክፍሎች;

ሐ) በጣም ጥሩውን ስብስብ ይፈልጉ ተጨማሪ ሁኔታዎች: ከመጀመሪያው ምርት ቢያንስ 25 አሃዶችን ያመርታሉ, ከሦስተኛው ከ 30 አይበልጡም, እና ሁለተኛው እና አራተኛው በ 1: 3 ጥምርታ.

ሠንጠረዥ 1

የመጀመሪያ ውሂብ

የችግሩ የሂሳብ ሞዴል፡-

ተጨባጭ ተግባር;

ከፍተኛ፡ Z=40x 1 +50x 2 +100x 3 +80x 4

ከእገዳዎች ጋር፡-

ሀ) ለሠራተኛ ሀብቶች;

2.5x 1 +2.5x 2 +2x 3 +1.5x 4? 100;

በከፊል የተጠናቀቁ ምርቶች;

4x 1 +10x 2 +4x 3 +6x 4? 260;

ለማሽን መሳሪያዎች;

8x 1 +7x 2 +4x 3 +10x 4? 370;

አሉታዊ ያልሆነ ሁኔታ;

ለ) የማዋቀሩ ተጨማሪ መስፈርት በሁኔታው ይገለጻል

3x 1 = x 3, ማለትም 3x 1 x 3 =0;

ሐ) የድንበሩን ሁኔታ እና የውቅረት ሁኔታን እንደሚከተለው እናቅርብ: x 1 25,

x 3?30፣ 3*x 2 = x 4።

ትዕዛዞችን የማስቀመጥ ወይም የሚለዋወጡ የመሳሪያ ቡድኖችን የመጫን ችግር. ስለ ነው። o በ m (i=1,..., m) ኢንተርፕራይዞች (ሱቆች, ማሽኖች, ፈጻሚዎች) መካከል የትዕዛዝ ስርጭት የተለያዩ የምርት እና የቴክኖሎጂ ባህሪያት ያላቸው, ነገር ግን ትዕዛዞችን ከማሟላት አንጻር ሊለዋወጡ ይችላሉ. ስራው የሚጠናቀቅበት እና የውጤታማነት አመልካች ከፍተኛ ዋጋ የሚደርስበትን የትዕዛዝ አቀማመጥ እቅድ ማውጣት ያስፈልጋል።

ችግሩን በሂሳብ እንቅረፅ። m ተመሳሳይ የሆኑ የቡድን መሳሪያዎችን በመጠቀም የምርት ዓይነቶችን ማምረት ያስፈልጋል ። ለእያንዳንዱ የምርት ዓይነት የምርት ዕቅድ የተወሰነ ጊዜየተሰጠው በ x j (j=1,2፣ …n) ነው። የእያንዳንዱ ዓይነት መሳሪያዎች ኃይል የተገደበ እና ከ b i ጋር እኩል ነው. የቴክኖሎጂ ማትሪክስ A=||a ij || ይታወቃል። ij ማለት በአንድ አሃድ የሚመረተው የ j-th ምርት ብዛት ነው። i-th መሳሪያዎች. ማትሪክስ ሲ የወጪ ማትሪክስ ነው፣ c ij ከውጤት ጋር የተያያዙ ወጪዎች ናቸው። jth ክፍሎችበ i-th መሳሪያዎች ላይ ምርቶች. X የውጤት መጠን ቬክተር ነው።

የችግሩ ሞዴል የሚከተለውን ቅጽ ይወስዳል

ተጨባጭ ተግባር - ለሁሉም ትዕዛዞች ትግበራ ወጪዎችን መቀነስ

ከእገዳዎች ጋር፡-

ሀ) በመሳሪያዎች ኃይል

ለ) ለማምረት

ሐ) አሉታዊ ያልሆነ ሁኔታ

ይህ ችግር የማከፋፈያ ወይም የማከፋፈያ ችግር ይባላል።

ለአንዳንድ የምርት ዓይነቶች እቅዱ እንዲያልፍ ከተፈቀደ ገደብ (ለ) ቅጹን ይወስዳል

የሚከተለው እንደ ዒላማ ትርፍ ሊወሰድ ይችላል፡-

ሀ) ከፍተኛ ትርፍ

ለ) የማሽን ጊዜ ዝቅተኛ ዋጋ

ምክንያቱም ማንኛውም ሞዴል የማቅለጫ ቦታዎችን ይይዛል ፣ ለተገኘው ውጤት ትክክለኛ አተገባበር ፣ የእነዚህን ማቅለሎች ምንነት ግልፅ ግንዛቤ አስፈላጊ ነው ፣ ይህም በመጨረሻ ፣ ስለ ተቀባይነት ወይም ተቀባይነት የሌለው መደምደሚያ ላይ እንድንደርስ ያስችለናል ። በተገመቱት ሞዴሎች ውስጥ በጣም ጉልህ የሆነ ማቃለል በንብረት ፍጆታ እና በምርት መጠኖች መካከል ያለው ቀጥተኛ ተመጣጣኝ (መስመራዊ) ግንኙነት ግምት ሲሆን ይህም የወጪ ደንቦችን a ij ን በመጠቀም ይገለጻል። በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, ይህ ግምት ሁልጊዜ አልተሟላም. ስለሆነም የብዙ ሀብቶች ፍጆታ መጠኖች (ለምሳሌ ቋሚ ንብረቶች) በድንገት ይለዋወጣሉ - በምርት ፕሮግራሙ ላይ በተደረጉ ለውጦች ላይ በመመስረት X. ሌሎች ቀለል ያሉ ቦታዎች ዋጋዎች j ከ ጥራዞች x j ነፃነትን በተመለከተ ግምቶችን ያካትታሉ, ይህም ለተወሰኑ ገደቦች ብቻ የሚሰራ ነው. የእነሱ ለውጥ. ሞዴሉን ለማሻሻል መሰረታዊ አቅጣጫዎችን ስለሚጠቁሙ እነዚህን "ተጋላጭ" ቦታዎች ማወቅ በጣም አስፈላጊ ነው.

PAP መቅጃ ቅጾች

PAP 3 የመቅጃ ቅጾች አሉ፡-

1) በተግባሮች መልክ

ከፍተኛ(ወይንም ደቂቃ)Z=፣ከፍተኛ(ወይም ደቂቃ)Z=፣

2) የቬክተር ቅርጽ

(የቬክተሮች ስኬር ምርት)

በእገዳዎች ውስጥ

A 1 x 1 +A 2 x 2 +.+A n x n = B

ቬክተሮች የት አሉ

C = (C 1, C 2 .. C n), X = (X 1, X 2 .. X n), እና.

3) ማትሪክስ ቅጽ

በእገዳዎች ውስጥ

የት C = (c 1, c 2,...c n),

የመስመር ላይ የፕሮግራም ችግሮች ቀኖናዊ ቅርፅ

በመስመራዊ የፕሮግራም አወጣጥ ችግር ውስጥ ያሉት ሁሉም ገደቦች እኩልታዎች ከሆኑ እና አሉታዊ ያልሆኑ ሁኔታዎች በሁሉም ተለዋዋጮች ላይ ከተጫኑ x j፣ ይህ ደግሞ በቀኖናዊ መልክ የሊነር ፕሮግራሚንግ ችግር ወይም ቀኖናዊ መስመራዊ የፕሮግራሚንግ ችግር (CLP) ይባላል።

በእገዳዎች ውስጥ

ከ ZLP ወደ CLLP ለማንቀሳቀስ ከእኩልነት ገደቦች ወደ እኩልነት ገደቦች መሄድ እና አሉታዊ ያልሆኑ ሁኔታዎችን የማይታዘዙ ተለዋዋጮችን መተካት አስፈላጊ ነው።

ZLP ወደ ቀኖናዊ ቅርፅ ለማምጣት ህጎች፡-

1) የእገዳዎቹ በቀኝ በኩል አሉታዊ ከሆነ, ይህ ገደብ በ -1 ማባዛት አለበት;

2) በእገዳዎች መካከል እኩልነት ካለ, ከዚያም ተጨማሪ አሉታዊ ያልሆኑ ተለዋዋጮችን በማስተዋወቅ ወደ እኩልነት ይለወጣሉ;

3) አንዳንድ ተለዋዋጭ xk ምንም የምልክት ገደቦች ከሌለው በዓላማው ተግባር እና በሁሉም ገደቦች ውስጥ በሁለት አዳዲስ አሉታዊ ያልሆኑ ተለዋዋጮች መካከል ባለው ልዩነት ይተካል xk=x * k - xl ፣ l ማጠቃለያ ኢንዴክስ ፣ x * k>=፣ xl >=0።

አንድ ምሳሌ እንመልከት። ወደ ቀኖናዊው መልክ እናምጣው፡-

በእያንዳንዱ የእገዳ ስርዓት እኩልታ ላይ የደረጃ ተለዋዋጮችን x 4፣ x 5፣ x 6 እናስተዋውቅ። ስርዓቱ በእኩልነት መልክ ይጻፋል, እና በስርዓተ ገደቦች የመጀመሪያ እና ሶስተኛ እኩልታዎች ውስጥ, ተለዋዋጮች x 4, x 6 በግራ በኩል በ "+" ምልክት እና በሁለተኛው እኩልታ x ውስጥ ገብተዋል. 5 በ "-" ምልክት ገብቷል.

ይህንን ለማድረግ በቀኖናዊው ውስጥ ያሉት ነፃ ቃላት አወንታዊ መሆን አለባቸው፣ የመጨረሻዎቹን ሁለት እኩልታዎች በ -1 ያባዙ።

በቀኖናዊው የጽሑፍ መስመራዊ የፕሮግራም አወጣጥ ችግሮች ፣ በእገዳዎች ስርዓት ውስጥ የተካተቱት ሁሉም ተለዋዋጮች አሉታዊ ያልሆኑ መሆን አለባቸው። ያንን እናስብ

ይህንን አገላለጽ በእገዳዎች ሥርዓት እና በተጨባጭ ተግባር በመተካት እና ተለዋዋጮችን ወደ ላይ ከፍ ባለ መረጃ ጠቋሚ በመጻፍ፣ በቀኖናዊ መልክ የቀረበው መስመራዊ የፕሮግራም ችግር እናገኛለን፡-

የቀላል መስመር ፕሮግራሚንግ ማመቻቸት

የ ZLP ቀኖናዊ ቅርጽ- የፎርም መጥረቢያ = b መስመራዊ የፕሮግራም አወጣጥ ችግር a coefficient ማትሪክስ ሲሆን ለ እገዳው ቬክተር ነው።

የአገልግሎቱ ዓላማ. የመስመር ላይ ማስያ የተነደፈው ፒፒፒ ወደ KZLP ሽግግር ነው። ችግሩን ወደ ቀኖናዊ ቅርፅ ማምጣት ማለት ተጨማሪ ተለዋዋጮችን በማስተዋወቅ ሁሉም ገደቦች የእኩልነት ቅርፅ ይኖራቸዋል ማለት ነው።
በማንኛውም ተለዋዋጭ x j ላይ እገዳ ካልተጣለ, ከዚያም በተጨማሪ ተለዋዋጮች ልዩነት, x j = x j1 - x j2, x j1 ≥ 0, x j2 ≥ 0 ይተካል.

መመሪያዎች. የተለዋዋጮችን ቁጥር እና የረድፎች ብዛት (የገደቦች ብዛት) ይምረጡ። የተገኘው መፍትሔ በ Word ፋይል ውስጥ ተቀምጧል.

የተለዋዋጮች ብዛት 2 3 4 5 6 7 8 9 10
የረድፎች ብዛት (የገደቦች ብዛት) 2 3 4 5 6 7 8 9 10

የመስመራዊ ፕሮግራሚንግ ችግርን ወደ ቀኖናዊ ቅርፅ እንዴት እንደሚቀንስ

የ ZLP የሂሳብ ሞዴል ተጠርቷል መሰረታዊ, በውስጡ ያሉት እገዳዎች በተለዋዋጭዎቹ አሉታዊ ካልሆኑ በእኩልታዎች መልክ ከቀረቡ.

የሂሳብ ሞዴል ይባላል ቀኖናዊ፣ የእገዳው ስርአቱ በ m መስመራዊ ገለልተኛ እኩልታዎች (የስርዓት ደረጃ r=m) ስርዓት ከቀረበ ስርዓቱ ተመድቧል። አሃድ መሰረት፣ ነፃ ተለዋዋጮች ተገልጸዋል እና የዓላማው ተግባር በነጻ ተለዋዋጮች ይገለጻል። በዚህ ሁኔታ, የእኩልታዎቹ የቀኝ እጆች አሉታዊ ያልሆኑ (b i ≥ 0) ናቸው.

በስርዓቱ ውስጥ ካሉት እኩልታዎች በአንዱ ውስጥ የተካተቱት ተለዋዋጮች የአንድ ጥምርታ ያለው እና በሌሎች እኩልታዎች ውስጥ የማይገኙ ተለዋዋጮች ይባላሉ። መሰረታዊ የማይታወቁእና ሌሎች ሁሉ - ፍርይ.

የስርዓቱ መፍትሄ ይባላል መሰረታዊበውስጡ ያሉት ነፃ ተለዋዋጮች ከ 0 ጋር እኩል ከሆኑ እና ቅጹ ካለው፡-
X መሰረቶች = (0, 0; b 1, ..., b m), f (X bases) = c 0

መሰረታዊ መፍትሄየስርዓቱ መፍትሄዎች ስብስብ ጥግ ነጥብ ነው, ማለትም. የአምሳያው የመፍትሄው ፖሊጎን ጫፍን ይገልፃል. ከእንደዚህ አይነት መፍትሄዎች መካከል የዓላማው ተግባር የሚወስደው አንዱ ነው ምርጥ ዋጋ.

መሰረታዊ መፍትሔ ተቀባይነት ያለው ከሆነ የማጣቀሻ መፍትሄ ይባላል, ማለትም. ሁሉም የቀኝ እጅ የስርዓቱ እኩልታዎች (ወይም አለመመጣጠን) አዎንታዊ b i ≥ 0 ናቸው።

የቀኖናዊው ሞዴል የታመቀ ቅጽ የሚከተለው ነው-
አክስ = ለ
X ≥ 0
Z = ሲኤክስ(ከፍተኛ)

ተቀባይነት ያለው የመፍትሄ ጽንሰ-ሀሳብ ፣ ተቀባይነት ያላቸው መፍትሄዎች አካባቢ ፣ ምርጥ መፍትሄመስመራዊ የፕሮግራም ችግሮች.
ፍቺ 1. የ ZLP ገደቦችን ስርዓት የሚያረካ ቬክተር X, አሉታዊ ያልሆኑ ሁኔታዎችን ጨምሮ, ካለ, ለ ZLP ተቀባይነት ያለው መፍትሄ ይባላል.
ፍቺ 2. የሁሉም ተቀባይነት መፍትሄዎች ስብስብ የ PLP ተቀባይነት መፍትሄዎችን (ADA) ክልል ይመሰርታል።
ፍቺ 3. የዓላማው ተግባር ከፍተኛ (ወይም ዝቅተኛ) የሚደርስበት የሚቻልበት መፍትሔ ጥሩ መፍትሔ ይባላል።

ምሳሌ ቁጥር 1 የሚከተለውን LP ችግር ወደ ቀኖናዊ ቅፅ ይቀንሱ፡ F(X) = 5x 1 + 3x 2 → ከፍተኛው በእገዳው ስር፡
2x 1 + 3x 2 ≤20
3x 1 + x 2 ≤15
4x1≤16
3 x 2 ≤12
ሞዴሉ የተፃፈው በ መደበኛ ቅጽ. ሚዛናዊ ያልሆኑ አሉታዊ ተለዋዋጮችን እናስተዋውቅ x 3, x 4, x 5, x 6, ወደ እኩልነት ገደቦች በግራ በኩል እንጨምራለን. ሁሉንም ተጨማሪ ተለዋዋጮች ወደ ዒላማው ተግባር እናስተዋውቃቸዋለን ከዜሮ ጋር እኩል የሆኑ ጥምርታዎች፡-
በመጀመሪያው የትርጉም አለመመጣጠን (≤), መሠረታዊውን ተለዋዋጭ x 3 እናስተዋውቃለን. በ 2 ኛው የትርጉም አለመመጣጠን (≤) መሠረታዊውን ተለዋዋጭ x 4 እናስተዋውቃለን. በሶስተኛው እኩልነት ውስጥ መሰረታዊ ተለዋዋጭ x 5 እናስተዋውቃለን. በ 4 ኛ እኩልነት - መሰረታዊ ተለዋዋጭ x 6. የአምሳያው ቀኖናዊ ቅርፅ እናገኛለን-
2x 1 + 3x 2 + 1x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6 = 20
3x 1 + 1x 2 + 0x 3 + 1x 4 + 0x 5 + 0x 6 = 15
4x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 1x 5 + 0x 6 = 16
0x 1 + 3x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 1x 6 = 12
F(X) = 5x 1 + 3x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6 → ከፍተኛ

ምሳሌ ቁጥር 2. የስርዓቱን ሁለት የማጣቀሻ መፍትሄዎችን ያግኙ
x 1 + 2x 4 - 2x 5 = 4
x 3 + 3x 4 + x 5 = 5
x 2 + 3x 5 = 2