ከመስመር ክፍልፋይ ተግባር ስር ጋር ውህደቶችን እናስብ፡-
(1) ,
የት R የእሱ ክርክሮች ምክንያታዊ ተግባር ነው. ይህም ማለት፣ የተወሰነ የመደመር (መቀነስ)፣ ማባዛትና ማካፈል (ወደ ኢንቲጀር ሃይል ከፍ ማድረግ) በመጠቀም ከክርክር እና የዘፈቀደ ቋሚዎች የተዋቀረ ተግባር ነው።

ከክፍልፋይ መስመራዊ ምክንያታዊነት ጋር የታሰቡ ውህደቶች ምሳሌዎች

ከቅጹ ሥሮች ጋር የተዋሃዱ ምሳሌዎችን እንስጥ (1) .

ምሳሌ 1

ምንም እንኳን እዚህ ዋናው ምልክቱ የተለያየ ዲግሪ ሥሮችን የሚያካትት ቢሆንም የተዋሃዱ አገላለጽ እንደሚከተለው ሊለወጥ ይችላል.
;
;
.

ስለዚህም ውህደቱ የተወሰነውን የመቀነስ፣ የማካፈል እና የማባዛት ስራዎችን በመጠቀም ከተለዋዋጭ x እና ከመስመር ተግባር ስር የተሰራ ነው። ስለዚህ የ x ምክንያታዊ ተግባር ነው እና ግምት ውስጥ ካለው ዓይነት ጋር የተያያዘ ነው። (1) ከቋሚ እሴቶች ጋር n = 6 , α = β = δ = 1 , γ = 0 :
.

ምሳሌ 2

እዚህ እኛ ልወጣ እናደርጋለን-
.
ይህ የሚያሳየው ውህደት የ x እና ምክንያታዊ ተግባር መሆኑን ነው።

ስለዚህ በጥያቄ ውስጥ ካለው ዓይነት ጋር የተያያዘ ነው.

የክፍልፋይ መስመራዊ ምክንያታዊነት አጠቃላይ ምሳሌ
(2) ,
በጥቅሉ ሲታይ፣ ውህደቱ ማንኛውንም የተወሰነ ቁጥር ያላቸውን ተመሳሳይ የመስመር ክፍልፋይ ተግባር ሥሮች ሊያካትት ይችላል።
የት R የክርክሮቹ ምክንያታዊ ተግባር ነው ፣
- ምክንያታዊ ቁጥሮች; ኤም 1, n 1, ..., m s, n s
- ኢንቲጀሮች.
,
በእርግጥ, n የቁጥሮች የጋራ መለያ ይሁን r 1, ..., r s. ከዚያ እነሱ እንደሚከተለው ሊወከሉ ይችላሉ-የት k (2) 1, k 2, ..., k s
,
,
. . . . .
.

- ኢንቲጀሮች. ከዚያ ሁሉም ተካትተዋል። (2) ሥሮቹ የሚከተሉት ኃይሎች ናቸው-
.

ማለትም ፣ አጠቃላይ ውህደት

የተወሰነ የመደመር፣ የማባዛት እና የማካፈል ስራዎችን በመጠቀም በ x እና በስሩ የተሰራ። ስለዚህ የ x እና ምክንያታዊ ተግባር ነው፡-
(1)
የስር ውህደት ዘዴ
(3) .

ከክፍልፋይ መስመራዊ ምክንያታዊነት ጋር የተዋሃደ

በመተካት ወደ ምክንያታዊ ተግባር ዋና አካል ይቀንሳል (3) :
.

ማረጋገጫ (3) :
;
;
.

በሁለቱም በኩል የዲግሪውን ሥር ማውጣት

;
;
.
እንለወጥ
.

ተዋጽኦውን በማግኘት ላይ፡- (1) :
.

ይህ የሚያሳየው የማዋሃድ ተግባር ቋሚዎች እና የውህደት ተለዋዋጭ t የተወሰነ የመደመር ቁጥር በመጠቀም (መቀነስ) ፣ ማባዛት (ወደ ኢንቲጀር ሃይል ማሳደግ) እና የማካፈል ስራዎችን በመጠቀም ነው። ስለዚህ, ውህደቱ የመዋሃድ ተለዋዋጭ ምክንያታዊ ተግባር ነው. ስለዚህ, የመዋሃዱ ስሌት ወደ ምክንያታዊ ተግባር ውህደት ቀንሷል. ጥ.ኢ.ዲ.

የመስመር ኢ-ምክንያታዊነት ውህደት ምሳሌ

ዋናውን ያግኙ:

መፍትሄ

ውህደቱ አንድ አይነት (ክፍልፋይ) መስመራዊ ተግባር x + ሥሮችን ስለሚያካትት 1 , እና ውህደቱ የሚፈጠረው የመቀነስ እና የመከፋፈል ስራዎችን በመጠቀም ነው, ከዚያም ይህ ውስጠ-ህዋው ከግምት ውስጥ ላለው አይነት ነው.

ተመሳሳይ ደረጃ ያላቸውን ሥሮች እንዲያካትት ውህደቱን እንለውጠው፡-
;
;
.

ምትክ ማድረግ
x+ 1 = ቲ 6.
ልዩነቱን እንውሰድ፡-
መ (x + 1) = dx = ( ቲ 6 )′ dt = 6 t 5 dt.
እንተካ፡
x = ቲ 6 - 1 ;
;
;
.
ያንን በመጥቀስ የክፍሉን አጠቃላይ ክፍል እንመርጣለን
ቲ 6 - 1 = (t - 1)(t 5+t 4+t 3+t 2+t+1).
ከዚያም

.

መልስ

,
የት .

ክፍልፋይ-መስመራዊ ኢ-ምክንያታዊነት ውህደት ምሳሌ

ዋናውን ያግኙ

መፍትሄ

የመስመራዊ ክፍልፋይ ተግባርን ሥር እንመርጥ፡-
.
ከዚያም
.
ምትክ ማድረግ
.
ልዩነቱን ይውሰዱ
.
ተዋጽኦውን በማግኘት ላይ
.
ከዚያም
.
በመቀጠል ያንን እናስተውላለን
.
ወደ ውህደት ይተኩ


.

መልስ

ያገለገሉ ጽሑፎች;
ኤን.ኤም. ጉንተር፣ አር.ኦ. ኩዝሚን፣ በከፍተኛ ሂሳብ የችግሮች ስብስብ፣ “ላን”፣ 2003

በማዋሃድ ተግባራት ላይ ዝግጁ የሆኑ መልሶች ለ 1 ኛ እና 2 ኛ ዓመት የሂሳብ ክፍል ተማሪዎች ከፈተና ተወስደዋል ። በችግሮች እና መልሶች ውስጥ ያሉት ቀመሮች የተግባሮቹን ሁኔታ እንዳይደግሙ ለማረጋገጥ, ሁኔታዎችን አንጽፍም. በችግሮች ውስጥ "ውህደቱን ፈልግ" ወይም "የተዋሃደውን አስላ" እንደሚያስፈልግህ ታውቃለህ። ስለዚህ, ስለ ውህደት መልሶች ከፈለጉ, የሚከተሉትን ምሳሌዎች ማጥናት ይጀምሩ.

ምክንያታዊ ያልሆኑ ተግባራት ውህደት

ምሳሌ 18. በተዋሃዱ ስር የተለዋዋጮችን ለውጥ እናደርጋለን. ስሌቶችን ለማቃለል, ሥሩን ብቻ ሳይሆን, ለአዲሱ ተለዋዋጭ ሙሉውን መለያ እንመርጣለን. ከእንደዚህ አይነት ምትክ በኋላ, ውስጠቱ ወደ ሁለት የሠንጠረዥ ውስጠቶች ድምር ይለወጣል, ይህም ቀላል ማድረግ አያስፈልግም.

ከተዋሃደ በኋላ, በተለዋዋጭ ምትክ ምትክ እንተካለን.
ምሳሌ 19. በዚህ ክፍልፋይ ውህደት ላይ ምክንያታዊ ያልሆነ ተግባርብዙ ጊዜ እና ቦታ አጥተናል እና ከጡባዊዎ ወይም ከስልክዎ የሆነ ነገር መረዳት ይችሉ እንደሆነ እንኳን አናውቅም። ምክንያታዊነትን ለማስወገድ እና እዚህ ከኩብ ሥር ጋር እየተገናኘን ነው, ለአዲሱ ተለዋዋጭ የስር ተግባሩን ወደ ሦስተኛው ኃይል እንመርጣለን. በመቀጠል ልዩነቱን እናገኛለን እና እንተካዋለን ቀዳሚ ተግባርበዋናው ስር

የጊዜ ሰሌዳው ብዙ ጊዜ ይወስዳል አዲስ ባህሪበኃይል ግንኙነቶች እና ክፍልፋዮች ላይ

ከለውጦቹ በኋላ, አንዳንድ ውህደቶችን ወዲያውኑ እናገኛለን, እና የመጨረሻውን ወደ ሁለት እንጽፋለን, ይህም በሰንጠረዥ ውህደት ቀመሮች መሰረት እንለውጣለን.

ከሁሉም ስሌቶች በኋላ, መጀመሪያ ላይ የተከናወነውን ምትክ መመለስን አይርሱ

ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን በማዋሃድ ላይ

ምሳሌ 20. የሳይን ውህድ ወደ 7 ኛ ሃይል ማግኘት አለብን. እንደ ደንቦቹ አንድ ሳይን ወደ ልዩነት መንዳት ያስፈልጋል (የኮሳይን ልዩነት እናገኛለን) እና ወደ 6 ኛ ሃይል ያለው ሳይን በኮሳይን መፃፍ አለበት። ስለዚህ ከአዲሱ ተለዋዋጭ t = cos (x) ተግባር ወደ ውህደት ደርሰናል.



በዚህ ሁኔታ, ልዩነቱን ወደ ኩብ ማምጣት አለብዎ, እና ከዚያ ያዋህዱ
በውጤቱም, በኮሳይን ውስጥ የትእዛዝ 7 ፖሊኖሚል እናገኛለን.


ምሳሌ 21. በዚህ ውህድ ውስጥ, የ 4 ኛ ዲግሪ ኮሳይን በትሪግኖሜትሪክ ቀመሮች ውስጥ በመጀመሪያ ዲግሪ ኮሳይን ላይ ባለው ጥገኝነት መፃፍ አስፈላጊ ነው. በመቀጠል, ለኮሳይን ውህደት የሰንጠረዡን ቀመር እንተገብራለን.

ምሳሌ 22. በዋናው ስር የሲን እና ኮሳይን ምርት አለን። በትሪግኖሜትሪክ ቀመሮች መሰረት ምርቱን በሳይንስ ልዩነት እንጽፋለን. ይህ ቀስት እንዴት እንደተገኘ ከ "x" ጥምርታዎች ትንተና መረዳት ይቻላል. በመቀጠል የሳይኖቹን እንቀላቅላለን

ምሳሌ 23. እዚህ ላይ ሁለቱም ሳይን እና ኮሳይን በዲኖሚነተር ውስጥ አሉን። ከዚህም በላይ ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮች ጥገኝነቱን ለማቃለል አይረዱም. ዋናውን ለማግኘት፣ ሁለንተናዊ ትሪግኖሜትሪክ ምትክ t=tan(x/2) እንተገብራለን።

ከመዝገቡ መረዳት እንደሚቻለው ዲኖሚነተሮቹ እንደሚሰረዙ እና በክፍልፋይ ክፍል ውስጥ ካሬ ትሪኖሚል እናገኛለን. በውስጡም የተሟላ ካሬ እና ነፃ ክፍል እንመርጣለን. ከተዋሃደ በኋላ, በዋና ዋናዎቹ ምክንያቶች መካከል ያለው ልዩነት ሎጋሪዝም ላይ ደርሰናል. ማስታወሻውን ለማቃለል በሎጋሪዝም ስር ያሉት አሃዛዊ እና መለያዎች በሁለት ተባዝተዋል።
በስሌቶቹ መጨረሻ, በተለዋዋጭ ምትክ, የግማሽ ክርክሩን ታንጀንት እንተካለን.

ምሳሌ 24. ተግባሩን ለማዋሃድ, የኮሳይን ካሬን ከቅንፍ ውስጥ እናወጣለን, እና በቅንፍ ውስጥ አንድ ቆርጠን እንጨምራለን.

በመቀጠል, ለአዲሱ ተለዋዋጭ u = ctg (x) የተባለውን ንጥረ ነገር እንመርጣለን, ልዩነቱ ለማቃለል የሚያስፈልገንን ምክንያት ይሰጠናል. ከተተካ በኋላ ወደ አንድ ተግባር ደርሰናል, ሲዋሃድ, አርክታንጀንት ይሰጣል.
ደህና፣ እርስዎን ወደ ኮንቴይነንት መቀየርዎን አይርሱ።


ምሳሌ 25. በፈተናው የመጨረሻ ተግባር ውስጥ, ባለ ሁለት ማዕዘን አካልን ወደ 4 ኛ ዲግሪ ማዋሃድ ያስፈልግዎታል. በዚህ ላይፈተና
እንደዚህ እንዴት እንደሚዋሃዱ ከተማሩ, በመዋሃድ ርዕስ ላይ ሙከራዎች ወይም ክፍሎች ለእርስዎ አስፈሪ አይደሉም. ሁሉም ሰው ከእኛ (ወይም ከተወዳዳሪዎቻችን :)) የመዋሃድ መፍትሄዎችን የመማር ወይም የማዘዝ እድል አለው.

ምክንያታዊ ያልሆኑ ተግባራት ምድብ በጣም ሰፊ ነው, ስለዚህ በቀላሉ እነሱን ለማዋሃድ ሁለንተናዊ መንገድ ሊኖር አይችልም. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ በጣም ለማጉላት እንሞክራለን ባህሪይ ዝርያዎችምክንያታዊ ያልሆነ ውህደት ተግባራት እና የመዋሃድ ዘዴን ከነሱ ጋር ያዛምዱ.

ለልዩ ምልክት የመመዝገቢያ ዘዴን መጠቀም ተገቢ በሚሆንበት ጊዜ ሁኔታዎች አሉ. ለምሳሌ, የቅጹን ያልተወሰነ ውህዶችን ሲያገኙ, የት ገጽ- ምክንያታዊ ክፍልፋይ.

ለምሳሌ።

ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ .

መፍትሄ።

ያንን ማስተዋል አስቸጋሪ አይደለም. ስለዚህ ፣ በልዩ ምልክት ስር እናስቀምጠዋለን እና የፀረ-ተውሳኮችን ሰንጠረዥ እንጠቀማለን-

መልስ፡-

.

13. ክፍልፋይ መስመራዊ መተካት

የዓይነት ውህደት ሀ፣ b፣ c፣ d እውነተኛ ቁጥሮች፣ a፣ b፣...፣ d፣ g የተፈጥሮ ቁጥሮች ሲሆኑ ወደ ምክንያታዊ ተግባር በመተካት ወደ ውህደቶች ይቀንሳሉ፣ K በጣም ትንሽ የተለመደ ብዜት ነው። የክፍልፋዮች መለያዎች

በእርግጥ, ከመተካቱ የሚከተለው ነው

ማለትም x እና dx የሚገለጹት በምክንያታዊ የቲ. ከዚህም በላይ, ክፍልፋዩ እያንዳንዱ ዲግሪ በኩል ይገለጻል ምክንያታዊ ተግባርከቲ.

ምሳሌ 33.4. ዋናውን ያግኙ

መፍትሔው፡ 2/3 እና 1/2 ክፍልፋዮች መካከል ያለው አነስተኛ የጋራ ብዜት 6 ነው።

ስለዚህ፣ x+2=t 6፣ x=t 6 -2፣dx=6t 5 dt፣ስለዚህ

ምሳሌ 33.5.ውህዶችን ለማግኘት ምትክን ይግለጹ፡

መፍትሄ፡ ለ I 1 ምትክ x=t 2፣ ለ I 2 ምትክ

14. ትሪግኖሜትሪክ መተካት

የዓይነት ውህደቶች የሚከተሉትን ትሪግኖሜትሪክ መተኪያዎችን በመጠቀም በትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ላይ በምክንያታዊነት ወደሚመሰረቱ የተግባር ውህደቶች ይቀንሳሉ፡ x = a sint for the first integral; x=a tgt ለሁለተኛው ውህደት;

ምሳሌ 33.6.ዋናውን ያግኙ

መፍትሄ፡- x=2 sin t፣dx=2 cos tdt፣t=arcsin x/2 እናስቀምጥ። ከዚያም

እዚህ ውህደቱ ከ x እና አንጻር ምክንያታዊ ተግባር ነው። በአክራሪው ስር አንድ ሙሉ ካሬ በመምረጥ እና በመተካት ፣የተጠቆመው ዓይነት ውህዶች ቀድሞውኑ ወደ ታሳቢው ዓይነት ውህደት ይቀነሳሉ ፣ ማለትም ፣ የአይነቱ ውህዶች። እነዚህ ውህዶች ተገቢውን የትሪግኖሜትሪክ ምትክ በመጠቀም ሊሰሉ ይችላሉ።

ምሳሌ 33.7.ዋናውን ያግኙ

መፍትሄ፡ ከ x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5፣ በመቀጠል x+1=t፣ x=t-1፣ dx=dt። ለዚህ ነው እናስቀምጠው

ማስታወሻ: የተዋሃደ ዓይነት ምትክ x=1/t በመጠቀም መፈለግ ጠቃሚ ነው።

15. የተወሰነ ውህደት

አንድ ተግባር በአንድ ክፍል ላይ ይገለጽ እና በላዩ ላይ ፀረ-ተውጣጣ ይኑረው. ልዩነቱ ይባላል የተወሰነ ውህደት በክፍሉ ላይ ያሉ ተግባራት እና ያመለክታሉ. ስለዚህ፣

ልዩነቱ በቅጹ ላይ ተጽፏል, ከዚያ . ቁጥሮች ተጠርተዋል የመዋሃድ ገደቦች .

ለምሳሌ, ለአንድ ተግባር ፀረ-ተውሳኮች አንዱ. ለዚህ ነው

16 . c ቋሚ ቁጥር ከሆነ እና ተግባሩ ƒ(x) በ ላይ ሊዋሃድ የሚችል ከሆነ፣ እንግዲያውስ

ማለትም ቋሚው ፋክተር c ከተወሰነው ውህደት ምልክት ሊወጣ ይችላል.

▼የተግባሩ አጠቃላይ ድምርን በ ƒ(x) እናዘጋጅ። አለን።

ከዚያ የሚከተለው ተግባር c ƒ (x) በ [a; ለ] እና ቀመር (38.1) ልክ ነው።▲

2. ተግባራቶቹ ƒ 1 (x) እና ƒ 2 (x) በ [a;b] ላይ ከተዋሃዱ፣ ከዚያም በ[a; ለ] ድምር ዩ

ማለትም የድምሩ ውስጠ-ቁራጭ ከቅንብሮች ድምር ጋር እኩል ነው.

▼
▲

ንብረት 2 በማንኛውም የውሱን ቁጥር ድምር ላይ ተፈጻሚ ይሆናል።

3.

ይህ ንብረት በትርጉም መቀበል ይቻላል. ይህ ንብረት በኒውተን-ላይብኒዝ ቀመርም የተረጋገጠ ነው።

4. ተግባሩ ƒ(x) በ [a; ለ] እና ሀ< с < b, то

ያም ማለት በጠቅላላው ክፍል ላይ ያለው ውህደት በዚህ ክፍል ክፍሎች ላይ ካለው የንጥሎች ድምር ጋር እኩል ነው. ይህ ንብረት የአንድ የተወሰነ ውህደት (ወይም የመደመር ንብረት) ተጨማሪ ይባላል።

ክፍሉን [a; b]ን ወደ ክፍሎች ስንከፋፍል, ነጥብ c በክፍል ነጥቦች ብዛት ውስጥ እናካትታለን (ይህ ሊደረግ የሚችለው ከጠቅላላው ድምር ገደብ ነፃ በሆነው ክፍል ውስጥ ካለው የመከፋፈል ዘዴ ነፃ በመሆኑ ነው. ወደ ክፍሎች)። c = x m ከሆነ፣ አጠቃላይ ድምር በሁለት ድምር ሊከፈል ይችላል።

እያንዳንዳቸው የተፃፉ ድምሮች ለክፍሎች [a; ለ]፣ [ሀ; s] እና [s; ለ]። በመጨረሻው እኩልነት እንደ n → ∞ (λ → 0) በማለፍ እኩልነትን እናገኛለን (38.3)።

ንብረት 4 ለማንኛውም የነጥብ a, b, c (ተግባሩ ƒ (x) በውጤቱ ክፍሎች ላይ ሊጣመር የሚችል ነው ብለን እናስባለን)።

ስለዚህ፣ ለምሳሌ፣ ሀ< b < с, то

(ንብረቶች 4 እና 3 ጥቅም ላይ ውለዋል).

5. "በአማካኝ እሴቶች ላይ ያለው ቲዎሪ" ተግባሩ ƒ (x) በጊዜ ክፍተት ላይ ቀጣይ ከሆነ [a; b], ከዚያም є [a; ለ] እንደዚያ

▼በኒውተን-ላይብኒዝ ቀመር አለን።

የት F"(x) = ƒ(x)። የላግራንጅ ቲዎረም (የአንድ ተግባር ውሱን ጭማሪ ላይ ያለውን ቲዎሬም) ወደ F(b)-F(a) ልዩነት በመተግበር እናገኛለን።

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a)።▲

ንብረት 5 (“አማካይ እሴት ቲዎረም”) ለ ƒ (x) ≥ 0 ቀላል ጂኦሜትሪክ ትርጉም አለው፡ የተወሰነው ውህደት ዋጋ ለአንዳንዶቹ c є (a; b) ከአራት ማዕዘኑ ስፋት ጋር እኩል ነው። ቁመት ƒ (c) እና ቤዝ b-a (ምስል 170 ይመልከቱ)። ቁጥር

በክፍተቱ [a; ለ]።

6. ተግባሩ ƒ (x) ምልክቱን በክፍሉ ላይ ካስቀመጠ [a; ለ] ፣ የት ሀ< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼በ"አማካይ እሴት ቲዎሪ" (ንብረት 5)

የት c є [a; ለ]። እና ከ ƒ (x) ≥ 0 ለሁሉም x О [a; ለ] ፣ ከዚያ

ƒ(ሰ)≥0፣ b-а>0።

ስለዚህ ƒ(с) (b-а) ≥ 0፣ ማለትም ▲

7. በመካከላቸው ያለማቋረጥ ተግባራት መካከል አለመመጣጠን [ሀ; ለ] ፣ (ሀ

▼ከƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0 ጀምሮ፣ ከዚያም ሀ< b, согласно свойству 6, имеем

ወይም በንብረት 2 መሠረት፣

አለመመጣጠን መለየት የማይቻል መሆኑን ልብ ይበሉ.

8. የተዋሃዱ ግምት. m እና M እንደቅደም ተከተላቸው የተግባር y = ƒ (x) በክፍል ላይ ትንሹ እና ትልቁ እሴቶች ከሆኑ [a; ለ] ፣ (ሀ< b), то

▼ለማንኛውም x є [a;b] m≤ƒ(x)≤M ስላለን በንብረት 7 መሠረት አለን።

ንብረት 5 ን ወደ ጽንፍ አካላት በመተግበር እናገኛለን

▲

ƒ(x)≥0 ከሆነ፣ ንብረቱ 8 በጂኦሜትሪ ይገለጻል፡ የከርቪላይን ትራፔዞይድ ስፋት በአራት ማዕዘኖች መካከል የተከለለ ሲሆን ቁመታቸውም ሜትር እና ኤም (ምስል 171 ይመልከቱ)።

9. የአንድ የተወሰነ ውህደት ሞጁል ከውህደቱ ሞጁል አይበልጥም።

▼ንብረት 7 ን በግልፅ አለመመጣጠን ላይ ማመልከት -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|፣ እናገኛለን።

ያንን ተከትሎ ነው።

▲

10. ከተለዋዋጭ የላይኛው ወሰን አንፃር የተወሰነ ውህደት ያለው ውህደት በዚህ ገደብ ከተተካበት ውህደት ጋር እኩል ነው, ማለትም.

የአንድን ምስል ስፋት ማስላት በአካባቢ ንድፈ ሃሳብ ውስጥ በጣም አስቸጋሪ ከሆኑ ችግሮች አንዱ ነው. በትምህርት ቤት ጂኦሜትሪ ኮርስ ውስጥ, መሰረታዊ የጂኦሜትሪክ ቅርጾችን, ለምሳሌ ክብ, ትሪያንግል, ሮምብስ, ወዘተ ያሉትን ቦታዎች ለማግኘት ተምረናል. ይሁን እንጂ ብዙ ጊዜ ይበልጥ ውስብስብ የሆኑ አሃዞችን ቦታዎችን በማስላት ላይ መነጋገር አለብህ. እንደነዚህ ያሉትን ችግሮች በሚፈታበት ጊዜ አንድ ሰው ወደ ውህደት ስሌት መሄድ አለበት.

በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የከርቪላይን ትራፔዞይድ አካባቢን ለማስላት ያለውን ችግር እንመለከታለን, እና በጂኦሜትሪክ ስሜት እንቀርባለን. ይህ በተወሰነው ውህደት እና በከርቪላይን ትራፔዞይድ አካባቢ መካከል ያለውን ቀጥተኛ ግንኙነት ለማወቅ ያስችለናል።

ስር ምክንያታዊ ያልሆነገለልተኛ ተለዋዋጭ %%x%% ወይም ብዙ ቁጥር %%P_n(x)%% ዲግሪ %%n \in \mathbb(N)%% በምልክቱ ስር የተካተተበትን አገላለጽ ይረዱ አክራሪ(ከላቲን ራዲክስ- ሥር) ማለትም እ.ኤ.አ. ወደ ክፍልፋይ ኃይል ተነስቷል. ተለዋዋጭን በመተካት ከ%%x%% አንጻር ምክንያታዊ ያልሆኑ አንዳንድ የተዋሃዱ ክፍሎች ከአዲስ ተለዋዋጭ ጋር ወደ ምክንያታዊ መግለጫዎች ሊቀንስ ይችላል።

የአንድ ተለዋዋጭ ምክንያታዊ ተግባር ጽንሰ-ሐሳብ ወደ ብዙ ክርክሮች ሊራዘም ይችላል. ለእያንዳንዱ ነጋሪ እሴት %%u, v, \dotsc, w%% የተግባርን ዋጋ ሲያሰሉ, የሂሳብ ስራዎች እና ወደ ኢንቲጀር ኃይል መጨመር ብቻ የሚቀርቡ ከሆነ, ስለእነዚህ ነጋሪ እሴቶች ምክንያታዊ ተግባር እንናገራለን, ይህም ብዙውን ጊዜ ነው. %%R(u, v, \ dotsc, w)%% ተወክሏል. የዚህ ተግባር ነጋሪ እሴቶች እራሳቸው የነጻ ተለዋዋጭ %%x%% ተግባራት ሊሆኑ ይችላሉ፣የቅፅ %%\sqrt[n](x) radicalsን ጨምሮ፣ n \in \mathbb(N)%%። ለምሳሌ፣ ምክንያታዊ ተግባር $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ ከ%%u = x, v = \sqrt(x)%% እና %% ጋር w = \sqrt(x^2 + 1)%% የ$$ R\ግራ(x፣ \sqrt(x)) \sqrt(x^2+1)\ቀኝ) = \frac(x +) ምክንያታዊ ተግባር ነው። \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ ከ%%x%% እና ራዲካል %%\sqrt(x)%% እና %%\sqrt(x) ^2 + 1 )%%፣ ተግባር %%f(x)%% ምክንያታዊ ያልሆነ (አልጀብራ) የአንድ ገለልተኛ ተለዋዋጭ %%x%% ተግባር ይሆናል።

የቅጹ %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d) x%% ውህዶችን እናስብ። እንደነዚህ ያሉ ውህዶች ተለዋዋጭ %%t = \sqrt[n](x)%%፣ ከዚያም %%x = t^n፣ \mathrm(d)x = nt^(n-1)%% በመተካት ምክንያታዊ ናቸው።

ምሳሌ 1

%%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%% አግኝ።

የሚፈለገው የመከራከሪያ ውህደት የዲግሪ %%2%% እና %%3%% ራዲካል ተግባር ሆኖ ተጽፏል። በጣም አነስተኛ የሆነው የ%%2%% እና %%3%% ብዜት %%6%% ስለሆነ ይህ ውህድ የ %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) አይነት ነው x %% እና %%\sqrt(x) = t%% በመተካት ምክንያታዊ ሊሆን ይችላል። ከዚያም %%x = t^6፣ \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t፣ \sqrt(x) = t^3፣ \sqrt(x) =t^2%%። ስለዚህ፣ $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ %%t + 1 = z፣ \mathrm(d)t = \mathrm(d)z፣ z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% እና $$ \መጀመሪያ(ድርድር)() እንውሰድ። ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d) ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \ ግራ(\sqrt(x) + 1\ቀኝ)^3 - 9 \ግራ(\sqrt(x) + 1\ቀኝ)^2 + \\ &+~ 18 \ ግራ( \sqrt(x) + 1\ቀኝ) - 6 \ln\ግራ|\sqrt(x) + 1\ቀኝ| + ሲ \ መጨረሻ(ድርድር) $$

የቅጹ %%\int R(x፣ \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% ውህደት ክፍልፋይ መስመራዊ ኢ-ምክንያታዊነት ልዩ ጉዳይ ነው፣ ማለትም የቅጹ integrals %%\displaystyle\int R\ግራ(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\ቀኝ) \mathrm(d) x%%፣ የት %% ማስታወቂያ - bc \neq 0%%፣ ይህም ተለዋዋጭ %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%፣ ከዚያም %%x = \dfrac በመተካት ምክንያታዊ ሊሆን ይችላል። (dt^n - b)(a - ct^n)%%። ከዚያ $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\ግራ(a - ct^n\ቀኝ)^2)\mathrm(d)t። $$

ምሳሌ 2

%%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1+x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%% አግኝ።

%%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1+x))%%፣ በመቀጠል %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 +t^2)%%፣ $ እንውሰድ። $ \ጀማሪ(ድርድር)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\ግራ(1 +t^2\ቀኝ)^2)፣ \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2)፣ \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2)። \ end(array) $$ ስለዚህ፣ $$ \ጀማሪ(ድርድር)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\ግራ(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\ግራ(1+t^2\ቀኝ)^2 )\ቀኝ) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \መጨረሻ(ድርድር) $$

የቅጹ %%\int R\ግራ(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\ቀኝ) \mathrm(d) x%% ውህዶችን እናስብ። በጣም ቀላል በሆኑ ሁኔታዎች ውስጥ, ሙሉውን ካሬ ካገለሉ በኋላ, ተለዋዋጭ ለውጦች ከተደረጉ, እንደዚህ ያሉ ውስጠቶች ወደ ጠረጴዛዎች ይቀንሳሉ.

ምሳሌ 3

ዋናውን %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%% ያግኙ።

ያንን %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%% ብንወስድ %%t = x + 2፣ \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%% እንወስዳለን። ከዚያ $$ \መጀመር(ድርድር)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\ግራ|t + \sqrt(t^2 + 1)\ቀኝ| + C = \\ &= \ln\ግራ|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\ቀኝ| + C. \መጨረሻ(ድርድር) $$

ይበልጥ ውስብስብ በሆኑ ጉዳዮች፣ የቅጹን ውህዶች ለማግኘት %%\int R\left(x፣ \sqrt(ax^2 + bx + c)\ቀኝ) \mathrm(d) x%% ጥቅም ላይ ይውላሉ።